Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: alejandra en 19 Abril, 2013, 16:12



Título: integracion sobre variable compleja
Publicado por: alejandra en 19 Abril, 2013, 16:12
Sea [texx]X=[0,\infty)[/texx] con la medida de Lebesgue. Supongamos z es un numero complejo tal que la parte real es positiva y consideramos la funcion dada por
[texx]f(t)=t^{z-1}exp(-t), t>0[/texx]

Probar que u,v son integrables siendo u,v la parte real e imaginaria de  respectivamente


Solucion: [texx]f(t)=t^{z-1}exp(-t)=exp(ln(t^{a-1})-t)(cos(ln(t^b))+i(sen(ln(t^b)))[/texx]

[texx]u(t)=exp(ln(t^{a-1})-t)(cos(ln(t^b))[/texx]
[texx]v(t)=exp(ln(t^{a-1})-t)(sen(ln(t^b))[/texx]

como t es mayor estricto de 0 u,v son producto de funciones integrables! entonces son integrables...

Ahora bien en el ejercicio me dan una sugerencia: "tratar las integrales sobre [0,1] y [texx][1,\infty)[/texx] separadas"

Me podrían ayudar? muchas gracias!


Título: Re: integracion sobre variable compleja
Publicado por: héctor manuel en 19 Abril, 2013, 23:36
Cómo deduces que [texx]u[/texx] y [texx]v[/texx] son producto de funciones integrables? Eso no lo veo tan directo.

Te propongo otra forma: sea [texx]z=a+ib[/texx], con [texx]a>0[/texx]. Como, en la integral de Lebesgue, ser absolutamente integrable es equivalente a integrable, se tiene que [texx]\displaystyle\int_Xf(t)dt[/texx] existe si y sólo si existe [texx]\displaystyle\int_X|f(t)|dt[/texx]. Calculemos [texx]|f(t)|[/texx]:

Entonces [texx]|t^{z-1}e^{-t}|=|t^{a-1}e^{-t}| |t^{ib}|=|t^{a-1}e^{-t}|=t^{a-1}e^{-t}[/texx].

Luego, todo se reduce a comprobar que existe [texx]\displaystyle\int_Xt^{a-1}e^{-t}dt[/texx] para [texx]a>0[/texx]. Se trata entonces de verificar la existencia de la función Gamma: http://www.fernandorevilla.es/docencia-problemas/iv/38-funcion-gamma-de-euler (es una página de uno de los ilustres participantes del foro).

Saludos.