Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: aangelo en 01 Abril, 2013, 01:38



Título: conjuntos abiertos
Publicado por: aangelo en 01 Abril, 2013, 01:38

Buenas noches.

les pido por favor una colaboración en este ejercicio de análisis.

sea [texx]f\in{C(\mathbb{R})}[/texx], [texx]a \in{\mathbb{R}}[/texx]. Pruebe que [texx]E_a[/texx] = [texx]\left\{{x\in{\mathbb{R}}: f(x) mayor que a }\right\}[/texx] es un conjunto abierto.
Demostraciòn.


Debemos probar que [texx]E_a\subseteq{int(E_a)}[/texx]
sea [texx]y\in{E_a}[/texx].
Luego, [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx] tal que f(y) mayor que a.

En este caso, ¿como construyo un radio r donde [texx]B_r(x)\subseteq{E_a} [/texx]?. con esto probarìa que [texx]y\in{int(E_a)}[/texx].

Agradezco de antemano su colaboración.







Título: Re: conjuntos abiertos
Publicado por: Tanius en 01 Abril, 2013, 01:40
Lo estándar es notar que [texx]E_a = f^{-1}((a,+\infty))[/texx], luego [texx]E_a[/texx] es la imagen inversa bajo una función continua de un conjunto abierto, por tanto es abierto.


Título: Re: conjuntos abiertos
Publicado por: aangelo en 01 Abril, 2013, 01:45
Gracias Tanius. EL problema es que aún no hemos visto imagen inversa en análisis. Así que la demostraciòn denbera ser encaminada por la definiciòn de conjunto abierto.

Un conjunto [texx]X\subseteq{\mathbb{R}}[/texx] es abierto si [texx]X\subseteq{int(X)}[/texx]. Sin embargo, agradezco tu aporte.


Título: Re: conjuntos abiertos
Publicado por: Gustavo en 01 Abril, 2013, 20:24
Sea [texx]f(y)=b>a.[/texx] y [texx]\varepsilon =|b-a|/2.[/texx] Por continuidad, para ese [texx]\epsilon[/texx] existe un [texx]\delta>0[/texx] tal que [texx]|x-y|<\delta[/texx] implica [texx]|f(x)-f(y)|<\varepsilon.[/texx]