Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: aangelo en 28 Marzo, 2013, 23:00



Título: especios métricos.
Publicado por: aangelo en 28 Marzo, 2013, 23:00
Buenas noches.
Les pido el favor de explicarme como definir la distancia de este ejercicio para verificar si  es una métrica.

sea M el conjunto de todos los puntos de la circunferencia C,  y  p(x,y) se define como la longitud del arco mas corto que une a x  y a  y. Indique si (M,p) es un espacio métrico.
 
En este caso,  no se como definir la distancia en el ejercicio.

Les agradezco de antemano su atención y colaboración.


Título: Re: especios métricos.
Publicado por: numbsoul en 28 Marzo, 2013, 23:47
Se tiene [texx]M=\{re^{it}:t\in [0,2\pi)\}[/texx] y [texx]p(re^{is},re^{it})=\displaystyle\int_{s}^{t}r\;dt[/texx] para [texx]s\leq t[/texx].


Título: Re: especios métricos.
Publicado por: Gustavo en 28 Marzo, 2013, 23:54
Se tiene [texx]M=\{re^{it}:t\in [0,2\pi)\}[/texx] y [texx]p(e^{is},e^{it})=\displaystyle\int_{s}^{t}r\;dt[/texx] para [texx]s\leq t[/texx].

Si [texx]s=0[/texx] y [texx]t=\dfrac{3\pi }{2},[/texx] se obtiene que la distancia es [texx]r\dfrac{3\pi}{2},[/texx] ¿no? Cuando se quiere [texx]r\dfrac{\pi}{2}.[/texx]


Título: Re: especios métricos.
Publicado por: Gustavo en 29 Marzo, 2013, 00:08
Esto parece funcionar, pero no me gusta mucho eso por casos

[texx]p({\red r}e^{is},{\red r}e^{it})=\begin{Bmatrix}r\pi &\mbox{si }|s-t|=\pi \\ r|s-t|&\mbox{si }|s-t|<\pi \\ r(|s-t|-\pi)&\mbox{si }|s-t|>\pi\end{matrix}[/texx]

Añadido: La distancia definida así no funciona.


Título: Re: espacios métricos.
Publicado por: aangelo en 29 Marzo, 2013, 00:12
Hola gustavo y numbsoul.

Encontré que la longitud el arco de una circunferencia es: S = [texx]r*\emptyset[/texx], donde [texx]\emptyset[/texx] esta en radianes.
Ahora el interrogante que tengo es como expresar la longitud de arco entre dos puntos x y y de la circunferencia  mediante la formula anterior.


Título: Re: especios métricos.
Publicado por: numbsoul en 29 Marzo, 2013, 00:21
Pues bien,se tiene [texx]p(re^{it},re^{is})=r|t-s|[/texx] para todo [texx]s,t\in [0,2\pi)[/texx].Si sumas y restas [texx]t'\in [0,2\pi)[/texx] dentro del módulo y aplicas la desigualdad triangular,obtienes la desigualdad triangular para [texx]p[/texx].


Título: Re: especios métricos.
Publicado por: Gustavo en 29 Marzo, 2013, 00:30
Pues bien,se tiene [texx]p(re^{it},re^{is})=r|t-s|[/texx] para todo [texx]s,t\in [0,2\pi)[/texx]

Esa fórmula no expresa la distancia del enunciado.


Título: Re: espacios métricos.
Publicado por: aangelo en 29 Marzo, 2013, 00:52
Hola gustabo y numbsoul.

He analizado la distancia y parece ser que es la siguiente:
p(x,y) = min{[texx]r*\emptyset[/texx]: [texx]\emptyset[/texx] esta en radianes}

En este caso, si tenemos dos puntos distintos x y y, entonces se tendrìan dos distancias entre estos dos puntos. para ello, habría que tomar la menor de las dos.

por ahora, vamos aprobar que esta distancia es efectivamente una métrica.


Título: Re: especios métricos.
Publicado por: Gustavo en 29 Marzo, 2013, 00:58
p(x,y) = min{[texx]r*\emptyset[/texx]: [texx]\emptyset[/texx] esta en radianes}

¿El mínimo de qué? Creo que te refieres a [texx]p(re^{is},re^{it})={\red r} \min\{|s-t|,2\pi-|s-t|\}.[/texx] El problema es que salen muchos casos para probar la desigualdad triangular.