Matemática => Triángulos => Mensaje iniciado por: Michel en 18/01/2013, 08:35:16 am



Título: Medianas
Publicado por: Michel en 18/01/2013, 08:35:16 am
Los lados de un triángulo miden [texx]a, b, c[/texx] y las medianas [texx]m_a, m_b, m_c[/texx].

[texx]\dfrac{3}{4}<\dfrac{m_a+m_b+m_c}{a+b+c}<\dfrac{3}{2}[/texx]


Título: Re: Medianas
Publicado por: Michel en 26/01/2013, 07:47:52 am
Sea G el baricentro del triángulo.

Teniendo en cuenta la desigualdad triangular y que "la envuelta es menor que la envolvente":

[texx]a<GB+GC<c+b,\qquad       b<GC+GA<a+c,\qquad      c<GA+GB<b+a[/texx]

Teniendo en cuenta la propiedad del baricentro, de las anteriores se deducen:

[texx]a<\dfrac{2(m_b+m_c)}{3}<c+b, \quad     b<\dfrac{2(m_c+m_a)}{3}<a+c,\quad      c<\dfrac{2(m_a+m_b)}{3}<c+a[/texx]

Sumando: [texx]a+b+c<\dfrac{4(m_a+m_b+m_c)}{3}<2(a+b+c)[/texx]

Multiplicando por [texx]3/4[/texx] y dividiendo por [texx](a+b+c)[/texx], resulta la relación pedida.