Matemática => Ecuaciones diferenciales => Mensaje iniciado por: mathtruco en 29/10/2011, 02:47:14 pm



Título: Problemas Sturm Liouville
Publicado por: mathtruco en 29/10/2011, 02:47:14 pm
Cuando se usa el método de separación de variables en EDP frecuentemente se llega a los mismos problemas (EDO de segundo orden), llamados problemas Sturm Liouville.

A continuación hay una tabla resumen:

[texx]
\begin{array}{|c@{\hspace{0.68in}}|c@{\hspace{0.04in}}|c@{\hspace{0.65in}}|}
\hline
{\mbox{Problema}}&{\mbox{Valores Propios}}&{\mbox{Funciones Propias}}\\
\hline
\begin{array}{c}
y''+\lambda y=0\\
y(0)=y(L)=0
\end{array}&
\begin{array}{l}
\lambda _n=\left({\displaystyle{{n\pi } \over L}}\right)^2\\
n = 1,2,3,\dots\\
\end{array}
&
{\left\{\sin\left({\displaystyle{{n\pi }\over L}}\right)\right\} _{n = 1}^\infty}
\\
\hline
\begin{array}{c}
y''+\lambda y=0\\
y'(0)=y'(L)\\
\end{array}
&
\begin{array}{l}
\lambda _n=\left({\displaystyle{{n\pi }\over L}}\right)^2\\
n=0,1,2,3,\dots\\
\end{array}
&
{\left\{ 1,\cos\left({\displaystyle{{n\pi }\over L}}\right)\right\} _{n = 1}^\infty}
\\
\hline
\begin{array}{c}
y''+\lambda y=0\\
y(0)=y'(L)=0\\
\end{array}
&
\begin{array}{c}
\lambda _n=\left(\displaystyle{\frac{{(n+\frac{1}{2})\pi }}{L}}\right)^2\\
n=0,1,2,3\dots\\
\end{array}
&
\left\{ {\sin \left( {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\pi x} \right)} \right\}_{n = 0}^\infty
\\
\hline
\begin{array}{c}
y''+\lambda y=0\\
 y'(0) = y(L) = 0\\
\end{array}
&
\begin{array}{c}
\lambda _n=\left(\displaystyle{\frac{{(n + \frac{1}{2})\pi }}{L}} \right)^2\\
n = 0,1,2,3\dots
\end{array}
&
\left\{ {\cos \left( {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\pi x} \right)} \right\}_{n = 0}^\infty
\\
\hline
\end{array}
[/texx]
[texx]
\begin{array}{|c|c|c|}
\begin{array}{c}
y''+\lambda y=0\\
y(0)=y(L)\\
y'(0)=y'(L)
\end{array}
&
\begin{array}{c}
\lambda _n=\left(\displaystyle{\frac{{2n\pi}}{L}}\right)^2\\
n=0,1,2,3\dots
\end{array}
&
\left\lbrace 1,\cos\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right),\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\right\rbrace_{n=1}^\infty
\\
\hline
\begin{array}{c}
y''+\lambda y=0\\
hy(0)-y'(0)=0\;\; (h>0)\\
y'(L)=0
\end{array}
&
\begin{array}{l}
\tan(L\sqrt{\lambda _n })=\displaystyle{h \over {\sqrt{\lambda _n }}}\\
n = 1,2,3\dots
\end{array}
&
y_n (x) = \displaystyle\frac{{\cos (\sqrt{\lambda _n } (L - x))}}{\sin (L\sqrt{\lambda _n)}}
\\
\hline
\end{array}
[/texx]


Para más detalles consultar archivo adjunto.