Disciplinas relacionadas con la matemática => Foro general => Mensaje iniciado por: argentinator en 31/07/2010, 08:10:46 pm



Título: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 31/07/2010, 08:10:46 pm
Una de las obsesiones que me están haciendo perder la razón es hallar el correcto fundamento de la matemática.
Se supone que la matemática es la más exacta de las ciencias, y en tal caso sus fundamentos deben ser aún más exactos, claros, definidos y precisos.

Aún no tengo claro cómo funcionan las cosas en el terreno de fundamentos, y eso me produce un malhumor que no puedo disimular.

Aunque estoy investigando arduamente el tema, hay mucho que analizar antes de llegar al menos a una solución que me deje tranquilo.

No obstante, la intención del presente thread es menos ambiciosa, y más amigable.
Tan sólo planeo que cada uno se sincere o medite acerca de la visión general que tiene de la matemática.

Y para comenzar, doy mi propia visión.



A veces se habla de "matemáticas" y a veces de "matemática".
Como yo lo veo, sólo hay una sola ciencia matemática, así que prefiero usar el sustantivo singular.

La construcción mental que tengo de la misma es más o menos como sigue:

* Existen varios temas complejos e interesantes en "la" matemática, que la gente usualmente prefiere clasificar en "ramas" de la matemática. Esas "ramas" se construyen conceptualmente como "teorías axiomáticas". En esos axiomas se usan conjuntos e inferencias lógicas, y también puede que se acuda a otras teorías preexistentes. Por ejemplo, se suelen usar sin aviso los números naturales o reales sin mucho preámbulo, como si estuvieran enquistados naturalmente en la lógica misma.

Así, tenemos las ramas típicas: Cálculo, Álgebra Lineal, Álgebra (general), Geometría euclidiana, Análisis matemático, Teoría de Medida, Topología, Geometría Diferencial, Teoría de Representación, Teoría de Grafos, Análisis Numérico, Optimización, y un larguísimo etcétera.

¿Todas estas teorías son especulaciones en el aire, o tienen una base sólida?

Si yo quiero darle una base a cualquiera de estas teorías, recurro a la teoría de conjuntos. Veamos:

* Todas esas teorías pueden fundamentarse a partir de la Teoría de Conjuntos estándar, y para ello basta cualquiera de las "clásicas": Teoría de Zermelo-Fraenkel, Teoría de Newman-Godel-Bernays, Teoría de Morse Y Kelley.

Así que la cuestión de la validez de las teorías o ramas de la matemática puede reducirse a la validez de la teoría de conjuntos.

Ahora bien, la teoría de conjuntos ¿se construye en el aire o tiene alguna base?

* La validez de la teoría de conjuntos se inscribe en la lógica. Existen operaciones lógicas básicas que tienen su contraparte operativa en la teoría de conjuntos... pero lo importante es que si uno confía en la lógica, puede basar la teoría de conjuntos en ella, y luego toda la matemática se sostiene en estos pilares.

Sin embargo, la lógica podría haberse inventado de una manera caprichosa o difusa.
Si nos adscribimos a la forma discursiva de la lógica de aristóteles, quizá nos formemoes la idea de que los razonamientos descansan en el discurso, y en algunas operaciones lógicas básicas.

En realidad no se trabaja así, sino que primero se construye un lenguaje para la matemática, formado por un "alfabeto", o sea, una lista de símbolos que se consideran válidos, y sólo esos.
Esos símbolos se combinan entre sí mediante reglas bien definidas, que determinan qué combinaciones forman una frase "con sentido" para la lógica, y cuáles no.
Luego, con esos símbolos y construcciones se da una lista de postulados iniciales que serán los axiomas de la teoría de conjuntos.

O sea que la teoría de conjuntos se define con un lenguaje (que pretende ser) preciso.
Las afirmaciones de ese lenguaje podrán ser verdaderas o falsas, y podrán demostrarse o no.

* Así que toda la matemática descansa en la lógica ahora.
¿Y la lógica, sobre qué bases descansa?
Resulta que la lógica se inscribe en un marco que se llama actualmente "metamatemática".
Allí se define lo que es un lenguaje de primer orden: una lista de símbolos (finita) y unas reglas de formación de expresiones (finitariamente recursivas).

Ese lenguaje es de carácter sintáctico, o sea, vacío de significado, son sólo reglas de formación de expresiones. Cuando uno las usa para expresar teoremas matemáticos, está jugando con la intuición, pero las demostraciones son un puro cálculo.
No puede uno hablar de cosas que están más allá de lo que uno puede demostrar.

Se puede especular o conjeturar, pero no se puede afirmar nada categóricamente.
Y el carácter de la lógica es esencialmente "vacío de significado".
O sea, es "formal".
Así es como me tomo toda demostración o todo cálculo.
Sólo una cadena ordenada de símbolos sin significado, pero a los cuales uno puede adornar con bellas intuiciones del infinito, de la geometría, de la física (espacio y tiempo), etc., etc.

* En particular, los números mismos los adscribo a la teoría de conjuntos y la lógica.


Así que, para resumir, el esquema mental que tengo de la matemática es el siguiente:

[texx]\xymatrix{& \textsf{Teorías matemáticas} & \textsf{Teoría de conjuntos}\ar[l]\ar[dl] & \textsf{Lógica de Primer Orden}\ar[l] \\ & \textsf {Teoría de números naturales y/o reales}\\}[/texx]



O sea que básicamente trabajo según el programa formalista de Hilbert.
Russell también adscribió toda la matemática a la lógica, y me cuesta entender las diferencias filosóficas de fondo entre Hilbert y Russell.

Para mí, ambos autores dan lugar al mismo sistema.
No me doy cuenta si estoy enmarcado en uno u otro.

Todo esto da cuenta de una "cadena" constructiva de la matemática, desde unos pilares mínimos, y de ahí en adelante.

Ahora bien. Los intuicionistas como Kronecker, Poincaré y Brower no "creían" en el logicismo ni en los axiomas.
Ellos decían que el formalismo podía ser a lo sumo una manera de expresar con buena precisión los "resultados" del trabajo matemático "real". El trabajo matemático se hace, según ellos, con meras intuiciones de la mente.
Y no son cualesquiera intuiciones, sino un par de "actos" específicos: (1) la concepción del "dos", o sea, la capacidad de la mente de distinguir o crear dos entidades (intuitivas) distintas entre sí, y (2) la capacidad mental de "repetición" de un proceso.

Esa manera "mental" de trabajar no es para nada formalista, y obliga a la matemática a conformarse a vivir con arduas restricciones.
La falta de popularidad del intuicionismo es causa de la enorme cantidad de resultados matemáticos importantes que habría que echar a la basura.

Al parecer, las mentes "formales", como las de Russell o Hilbert, admiten la existencia de objetos matemáticos, con tal de probar que el sistema axiomático que define esos objetos no tiene contradicciones.
O sea: no-contradicción implica existencia.

Para los intuicionistas esto no es suficiente, y exigen que todo sea "construido" a partir de algo concreto.

En virtud de este tipo de objeciones, me acostumbré a exigir que todos los sistemas axiomáticos que uso sean no triviales, o sea, que tengan un "modelo" en el que los axiomas funcionen, y sea no vacío, que haya "acción".

Más tarde, gracias a los estudios de Godel, parece ser que esta exigencia "moral" tiene un sentido preciso en la teoría de lenguajes de primer orden: un sistema axiomático dado en la lógica de primer orden es consistente si y sólo si tiene un modelo.



Lo que nunca me quedó claro es: cómo es que alguien puede justificar las aseveraciones en el mundo de los lenguajes de primer orden.

1 * No se puede hablar de una teoría matemática o de los números mismos, sin antes haberlos dado mediante axiomas basados en la teoría de conjuntos.
2 * No se puede hablar de conjuntos y cardinales sin antes haberlos establecido en una teoría lógica.
3 * No se puede razonar lógicamente sin antes haber definido la lógica y sus reglas en el lenguaje de primer orden. (O en cualquier otro lenguaje).

Si se viola esa cadena de prohibiciones, me vuelvo loco.
Por una parte, considero que es un vicio de "circularidad".
La circularidad sin alguna consideración especial, no puede dejarse a su libre albedrío: es fuente de paradojas, y es un pecado mortal para cualquier matemático o lógico.

Otra objeción proviene del modo en que entiendo a los "conjuntos" de la teoría de conjuntos.
Para mí, no existen como colecciones de ninguna cosa, son sólo "letritas en una expresión lógica vacía".
Si voy a usar la palabra "conjunto" en contexto metamatemático, tengo que ser específico en eso, ya que estoy haciendo una "interpretación" o "modelo" de la teoría de conjuntos.
Pero a la larga, esto implica que estoy tomando a la lógica como modelo de sí misma, o a la teoría de conjuntos como modelo de sí misma.

Eso es una circularidad viciosa, y además conlleva la deshonestidad de que un sistema bien puede justificarse a sí mismo, pero eso no es garantía de que sea válido.

Es como si yo me invento un sistema judicial, luego se me acusa de haber cometido una fechoría, y uso a mi propio código penal para juzgarme a mí mismo: "Me considero Inocente y libre de culpa".



Al demostrar teoremas acerca del lenguaje de primer orden en sí mismo, la gente alegremente hace operaciones aritméticas, o habla de conjuntos, o de cardinales...
Yo no logro aceptar ese tipo de cosas porque, como se ve en el esquema de ahí arriba, ninguna de esas cosas tienen sentido cuando uno está en la etapa de un lenguaje de primer orden.

No se puede hablar de conjuntos, porque aún no están definidos. Tampoco se puede usar la lógica, porque la lógica misma no se ha definido.

Si se habla de "conjuntos", entonces serán de "otro tipo" que los de "la" teoría de conjuntos que puse en el esquema de flechas arriba.
Y si se usa una "lógica" para razonar, será otra distinta a aquella que aún no se ha definido ni construido ni nada.

Para mí, el mundo metamatemático es lo mismo que a un pez que lo sacan del agua.
Mientras estoy en el mundo de la lógica de primer orden y la teoría de conjuntos, me siento como un pez en el agua.
Pero cuando me sacan "afuera" de ese mar, ya no puedo respirar.

Y tengo la impresión de que se hacen operaciones ilegítimas o no bien fundamentadas.
Me parece extraño que los otros peces puedan respirar afuera del "agua".


Claro, que esto es sólo mi esquema mental, y quizá le estoy pifiando en tonterías.  :banghead:
Ojalá sea así, y no tenga que leerme todos los libros de fundamentos que estoy planeando leerme.



Doy por sentado que los aburrí con todo esto.

Mas, si les interesa, pueden cada uno compartir su visión general o esquema mental de la matemática, tal como la entienden o se la imaginan.

O lo que sea que quieran compartir, bah.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Fernando Revilla en 31/07/2010, 08:15:19 pm
Doy por sentado que los aburrí con todo esto.

Primero hay que leerlo. :laugh:



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Fernando Revilla en 31/07/2010, 08:17:01 pm
En serio, es más que interesante. Hay varias preguntas del millón. Veremos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Fernando Revilla en 31/07/2010, 08:28:27 pm
Podemos complicar algo más el asunto añadiendo las ideas de  Chaitin (http://es.wikipedia.org/wiki/Gregory_Chaitin) acerca del cuasi-empirismo de las matemáticas.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 31/07/2010, 08:55:16 pm
Estoy leyendo algo de Chaitin, sobre sus teorías de "complejidad".
Al parecer, esto se retrotrae a la noción de "complejidad de Kolmogorov".

Lo que entiendo de su trabajo es que algunas "cadenas de caracteres" son tan complejas, que el algoritmo que ha de generarla es más grande que la cadena misma, si hablamos computacionalmente.

Y esto viene a decir que si esa "cadena de caracteres" es ahora una proposición matemática, si es demasiado "compleja" (en un sentido que se define por ahí) entonces dicha proposición no se puede demostrar, queda indecidible.

O sea, esto está relacionado estrechamente con los Teoremas de Godel y de Turing, que van en el mismo sentido.

Sin embargo, no tengo idea de que es eso del cuasiempirismo, aunque me lo imagino más o menos, ya que algunas especulaciones que he hecho huelen a "cuasiempirismo".



He estado leyendo un par de libros acerca de la historia de los números en la raza humana, y hay ejemplos que muestran que los animales captan ciertas cantidades pequeñas. Por ejemplo, los cuervos parecen distinguir hasta "4".

Los indígenas del Brasil (los Botocoudos) tienen palabras para indicar "uno" y "dos", y para decir 3 o 4 dicen "dos y uno" y "dos y dos".
Para "5" o más dicen algo como "muchos" y se tocan el pelo, para indicar que "tantos como cabellos en mi cabeza".

Ellos no pueden expresar el número 5 porque en realidad sólo entienden bien hasta "2", y fijate que el 3 y 4 lo expresan con "2" palabras.
Ya el "5" requiere "tres" palabras: "dos y dos y uno". Es muy complicado.

Ahora, a mí me gustaría preguntarles a estos hombres cuántos dedos creen que tienen en la mano.
Si levantando el pulgar paso de tener 4 dedos a "tantos como cabellos en mi cabeza", es algo que me desconcierta.
Pero claro, ellos no están interesados en la aritmética y sus fundamentos, según parece.

Lo que me gustaría es poder explicarle a esos indígenas, no sólo cuánto es "5", sino cómo se construyen todos los números, y cómo es que se deducen sus propiedades.
Tengo que enseñarles aritmética y lógica. ¿Qué les enseño primero, qué es fundamento para qué cosa?

Fijate que la mente Brower no concibe más que números naturales que se van "construyendo" de uno en uno.
No es capaz de verlos a todos juntos, o no le queda claro lo que es.

En cambio, Cantor, con su "mente superior" puede concebir claramente todos esos números transfinitos.



Yo a veces me siento como esos indígenas, y hay cosas que mi mente no acepta como válidas.

Para razonar en el mundo "metamatemático" hay que aceptar que existe una razón universalmente válida, porque si no, siempre habrá que buscar "hacia atrás" lenguajes de lenguajes, lenguajes de lenguajes de lenguajes, y así por siempre, justificaciones de las justificaciones, y definiciones de las definiciones, en un camino hacia atrás sin fin.

Y yo quizá no tendría problemas en aceptar una "razón" o una "lógica" universalmente válida si lograra estar seguro de sus leyes, o sus reglas, o sobre lo que es un razonamiento correcto y lo que no lo es.

Recuerdo un ensayo de Russell que leí, en el que pretendía fundamentar ciertas cuestiones filosóficas apelando sólo al discurso. Yo veía cómo Russell se enredaba en sus propias palabras en un discurso cada vez más confuso, al punto que me cansó.

No puedo aceptar que el "nivel de discurso" de la matemática sea el "lenguaje natural", como a veces he oído decir.
El "lenguaje natural" es enemigo de la claridad y la precisión.

Justamente, para eso se inventó la matemática, para "evitar a toda costa" las ambigûedades del lenguaje natural.
Si de pronto me encuentro conque el fundamento de la lógica misma se apoya en eso... me dan ganas de tirarme del vigésimo piso.  :banghead:



Otro problema grave con todo esto es que no me interesa demasiado "hablar tranquila y alegremente del asunto".
Estoy empecinado en que quiero resolverlo a toda costa lo antes posible.

Sufro  :'(



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 31/07/2010, 09:14:44 pm
Después de leerme todo lo que expusiste argentinator busqué la definición de lógica y encontré esto:

La lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia válida.

¿Te vale?

Parece que semejante definición presupone que todo razonamiento debe ser lógico, porque si no es lógico no es válido.
El resto no es más que tirar del hilo y ver lo que sale.

Y ahora empiezan los problemas, no existe definición de conjunto, no existe definición de elemento ni de pertenencia, no existe definición de punto, ni de recta, no existe definición de número, etc. ya que al parecer el problema se resuelve diciendo simplemente que son conceptos primitivos, entonces ... ¿qué esperas sacar de todo esto?

Y por último están los axiomas que se pueden aceptar ó no, pero tampoco se pueden discutir.

Tenemos que aceptar los conceptos primitivos tal y como nos los ponen delante y jugar con ellos mediante axiomas, pero no es posible cuestionarlos ni buscar otros fundamentos más básicos porque no los hay. Esos son simplemente los fundamentos de la matemática y no hay nada más debajo de eso, el edificio de la matemática flota sobre esos pilares, que suponemos muy sólidos, pero no hay nada que cuestionar ni que discutir, está todo perfectamente perpetrado, si lo quieres lo tomas y si no pues lo dejas, esa es al menos mi opinión.

Podríamos definir una nueva matemática estableciendo otros conceptos primitivos que no fueran esos y otros axiomas distintos a los de las teorías de conjuntos. Pues probablemente si, pero los que tenemos son esos y no otros.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 31/07/2010, 10:17:34 pm


Otro problema grave con todo esto es que no me interesa demasiado "hablar tranquila y alegremente del asunto".
Estoy empecinado en que quiero resolverlo a toda costa lo antes posible.

Sufro  :'(



A mi a decir verdad, me gustaría hablar de estos temas tranquilo y alegremente ,por que no es un tema fácil ,y por que yo siempre espero encontrar una respuesta a aquello que no tienes sentido, en  un mundo perfecto hallar un sin sentido es ya un logro.
A menudo lucho contra mis intuiciones y  no me comprometo con ellas
-intuyo en el caso de la lógica , que es como caminar sobre la tierra ,hay algo en la mente humana heredado del mundo fisico(leyes de la naturaleza)tal vez que nos hace ver el mundo con lógica ,pero que es como caminar sobre la tierra sin darnos cuenta que la tierra es redonda.
Ojala algún día poder alejarnos de la lógica ,así como nos alejamos de la tierra para ver que es realmente y si queda algo superior en nosotros mismos.
 :)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 31/07/2010, 10:21:11 pm
Salirse de la lógica puede ser un bonito sueño, pero no parece fácil hacerlo realidad.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 31/07/2010, 10:50:55 pm
A Jabato: Creo que no estás entendiendo cuál es mi dilema.

Yo no estoy cuestionando los axiomas de la teoría de conjuntos que usamos todos los días,
ni tampoco las reglas de la lógica que usamos para la matemática.

Lo que cuestiono es que se usen esos conceptos en contextos que no les corresponden.

Si yo defino "unión de dos conjuntos A y B" y después aplico esos resultados a "ballenas", no tiene ningún sentido.
No puedo hablar de "la unión de dos ballenas" o el "cardinal de una ballena".

Éso es lo que me molesta, la extrapolación sin rigor de hechos o conceptos a contextos que no le pertenecen.

Matemáticamente hablando, la siguiente frase:

"El conjunto A está incluido en el conjunto B"

solamente significa que en un papel he escrito los siguientes símbolos:  

[texx]\forall{x}(x \in{A}\Longrightarrow{x\in{ B}})[/texx]

Esos símbolos no tienen significado alguno, y no puedo extrapolarlos a otros contextos sin al menos un intento de justificación.

Se trata sólo de símbolos en un papel. No es cierto que haya "colecciones" A y B y que une esté "sumergida" en la otra. Eso no tiene realidad matemática.

Puedo cambiar los símbolos [texx]\forall\qquad{x\qquad\in\qquad \Longrightarrow\qquad A\qquad B}[/texx] por estos otros: [texx]\perp\qquad{\Delta\qquad \omega \qquad\otimes{ \qquad|}} \qquad\aleph[/texx], y obtendría una expresión matemáticamente correcta de todos modos, pero sin que evoque nada a la intuición:

[texx]\perp \Delta (\Delta  \omega |\otimes \Delta\omega \aleph)[/texx].

Ahora consideremos que toda la teoría de conjuntos se ha hecho escribiendo sus teoremas que estos últimos simbolos, y sólo ellos, a los cuales obviamente no estamos acostumbrados.
La misma teoría de conjuntos no ha cambiado, y sigue siendo válida.

A continuación pretendo hacer una teoría sobre el lenguaje de primer orden que usa simbolos como [texx]A z  \epsilon \sigma \alpha\beta[/texx].

¿Puedo decir en toda regla que esos signos forman un "conjunto"?
¿Cómo lo expreso con los símbolos [texx]\perp\qquad{\Delta\qquad \omega \qquad\otimes{ \qquad|}} \qquad\aleph[/texx]?
¿Puedo "expresar" que el "conjunto" de signos [texx]Az\sigma[/texx] está "incluido" en el "conjunto" [texx]Az\sigma\alpha[/texx]?
¿Cómo hablo de tales conjuntos usando los signos [texx]\perp\qquad{\Delta\qquad \omega \qquad\otimes{ \qquad|}} \qquad\aleph[/texx].?

Y si hablo de los signos mismos conque he construido la teoría: [texx]\perp\qquad{\Delta\qquad \omega \qquad\otimes{ \qquad|}} \qquad\aleph[/texx], la situación es la misma, sólo que más enredada.




A ver si puedo aclarar el problema con un ejemplo:

Me compro un martillo, unas tablas y unos clavos, y con ellos me "construyo" unos cajones.
Con esos cajones, el mismo martillo y más clavos, me "construyo" un mueble, el cual tiene ahora varios compartimentos para guardar cosas.

Ahora bien, ya tengo el "mueble". ¿Puedo usar ese mueble para "construir" un martillo y unos clavos?
Peor aún: ¿Puedo usar ese mueble para "construir" al mismo martillo y a los mismos claves que usé para construir el mueble en cuestión?

Es ridículo afirmar que sí, claro está, porque se trata de muebles, martillos y clavos.

Pero con esa misma estructura es que concibo la matemática:

El martillo y los clavos serían la "lógica de primer orden y los símbolos que se usan para formar lenguajes, así como las expresiones que se forman combinando dichos signos"-
Los cajones serían los "axiomas de la lógica y los de la teoría de conjuntos."
El mueble sería toda la "matemática".

Yo no tolero que se use el "mueble" como herramienta para confeccionar al martillo que sirvió para construir el mueble mismo.
Ese es el problema que tengo con los fundamentos de la matemática, y los razonamientos que se hacen en ese nivel.

Una vez que la lógica ha sido dada, y los axiomas de conjuntos establecidos, no tengo problemas, me siento cómodo, y no me quejo, porque las reglas son claras y precisas.
Me quejo de la etapa anterior, que es filosófica.

Hay mucha actividad en el terreno de fundamentos de la matemática hoy día, y hay un sinfín de teorías de todo tipo, lógicas de diversa índole, categorías, máquinas-oráculo (o cuánticas), lenguajes con infinitos símbolos, y un sinfín de cosas que parecen no estar sostenidas en nada.

Esas cosas no están "dadas", Jabato. Son, para mí, meras especulaciones que están en la imaginación de los teóricos, y que yo me siento obligado a "creer", o sea, tengo que hacer un esfuerzo de imaginación para entender lo que están diciendo.
Cuando se construyen modelos para demostrar la indemostrabilidad de la Hipótesis del Continuo se apela a modelos que son extraños, yo diría "dudosos", a tal punto que me hacen dudar de si realmente la hipótesis del continuo es indemostrable como se dice.

No reniego de la investigación en lógica, que en realidad es muy rica e interesante, y con satisfacción puedo ver que se avanza respondiendo preguntas que muchas veces me hice.
Pero me da desconfianza el fundamento de todo ese trabajo. La base teórica me parece que no está establecida.




Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 31/07/2010, 10:53:50 pm
A mi a decir verdad, me gustaría hablar de estos temas tranquilo y alegremente ,por que no es un tema fácil ,y por que yo siempre espero encontrar una respuesta a aquello que no tienes sentido, en  un mundo perfecto hallar un sin sentido es ya un logro.
A menudo lucho contra mis intuiciones y  no me comprometo con ellas
-intuyo en el caso de la lógica , que es como caminar sobre la tierra ,hay algo en la mente humana heredado del mundo fisico(leyes de la naturaleza)tal vez que nos hace ver el mundo con lógica ,pero que es como caminar sobre la tierra sin darnos cuenta que la tierra es redonda.
Ojala algún día poder alejarnos de la lógica ,así como nos alejamos de la tierra para ver que es realmente y si queda algo superior en nosotros mismos.
 :)


Hablemos todo lo que quieras, estoy muy compenetrado con estos temas, aunque aún es mucho más lo que ignoro que lo que sé.
Pero me he propuesto investigar sobre el tema.
Hay cientos de libros, mucho material cada vez más complejo y diverso.
Es una maraña de cosas sin fín.

Pero no me pidas que esté calmado. Me afecta emocionalmente el "sentir" que no hay una base sólida para la lógica misma. Es algo que no puedo tolerar.
La lógica ha de ser la más sólida de las ciencias.

Quizá lo sea, pero yo aún no lo sé


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 31/07/2010, 10:56:31 pm
Salirse de la lógica puede ser un bonito sueño, pero no parece fácil hacerlo realidad.

Saludos, Jabato. ;D

No es un "sueño", es un tema de investigación concreto que tiene más de 100 años de historia.

Justamente, hay que salirse un poco de la lógica "acostumbrada" para fundamentar la lógica misma en base a (cuya base será la lista de axiomas de inferencia clásicos que usamos todos los días).

Los lógicos han de hacer esto todo el tiempo, obligados por su propio campo de investigación.
Pero para ello, se ven obligados a razonar sobre objetos "extra-lógicos", y no me convenzo de que los razonamientos que usan son válidos.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: feriva en 31/07/2010, 11:22:11 pm

Hola, Aargentinator. Bueno, eres un profesional de las matemáticas, tienes que tener eso en cuenta, vives en un mundo rodeado de gente que usa las matemáticas, pero son físicos, ingenieros, alumnos...
Cuando estaba en la universidad, recuerdo que todos usábamos los mismos libros de matemáticas, sin embargo, era muy distinta la forma de ver la materia según qué carreras. Mientras los de físicas, por ejemplo, en el primer parcial ya habíamos hecho problemas de todos los colores (de proyecciones, simetrías, Jordan... derivadas, integrales...) los de matemáticas sólo habían visto teoría; se pasaron un mes estudiando teoría de grupos sin hacer un sólo problema de transformaciones, por ejemplo (lo sé porque de vez en cuando me metía en sus clases, de oyente). Yo ya era mayor, no lo hacía con vistas a un futuro profesional, y sí me interesaba la teoría, pero a la mayoría de los demás sólo les interesaba la práctica; y a algunos sólo les interesaba aprobar para tener el día de mañana una carrera y un trabajo; y así poder casarse.
 
Ya sabes el chiste: iban en un avión un ingeniero, un físico y un matemático. A Esto que pasaban sobre una gran isla, vieron que en un prado estaban pastando unas ovejas; una de ellas era negra.
 El ingeniero dijo: en esa isla hay ovejas.
El físico contestó: en esa isla hay ovejas blancas y una negra.
Y el matemático añadió; en la parte sur  de esa isla hay ovejas blancas y al menos una oveja negra.
 Yo estoy de acuerdo en que hay que definir las cosas antes de nada; no sólo en matemáticas, en todo (eso no quiere decir que deje de meter la pata en muchas ocasiones, por ignorancia u olvido; pero no quita para estar de acuerdo).
La matemática es, en gran medida, la búsqueda de la verdad; pero muchas veces, en los debates, nos traiciona el orgullo, la falta de objetividad, el querer tener razón siempre como si nos pagaran por ello. Conseguir domar esa tendencia es quizá lo más difícil de todo. Por eso la matemática puede ser una magnífica disciplina para aprender a ser humilde en todas las facetas de la vida; que es mucho más difícil que el más intrincado de los problemas.

 Saludos    :)
 



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 31/07/2010, 11:38:54 pm

La matemática es, en gran medida, la búsqueda de la verdad; pero muchas veces, en los debates, nos traiciona el orgullo, la falta de objetividad, el querer tener razón siempre como si nos pagaran por ello. Conseguir domar esa tendencia es quizá lo más difícil de todo. Por eso la matemática puede ser una magnífica disciplina para aprender a ser humilde en todas las facetas de la vida; que es mucho más difícil que el más intrincado de los problemas.

¿Hablás en general, o es una crítica a mi persona?

Criticá tranquilo, que no me ofendo.  ;D

Después de todo, mis problemas no son de autoestima, sino filosóficos, jeje  :banghead:

Como sea, abrí este hilo para no arruinar muchos otros "debates" en los que he entrado con el pie izquierdo, justamente por ciertas ideas que tengo respecto a estos temas en concreto.
Así que preferí abrir un hilo como éste, y hablar de ello claramente para no reincidir en futuras situaciones en el foro.

En todo caso, si estás diciendo que he tratado de tener la razón a toda costa, bueno, no lo sé. Lo que sí te puedo decir es que las incertidumbres o la ignorancia que tengo en cuestiones metamatemáticas me afectan profundamente, y deseo resolver el problema.
Si me vuelvo poco simpático en este asunto, espero sepan comprender.
Es una simple frustración ante un tema profundo y difícil, sumado a la sensación no sólo de que no comprendo debidamente el tema, sino de que también no soy bien comprendido, o no me sé explicar.

Cada cual tiene su campo, es cierto, y los lógicos tienen el suyo.
Pero eso no quiere decir que tenga que aceptar todo lo que dicen, por bien que me caigan ellos y sus investigaciones.

Los problemas teóricos son los mismos, y si me sigo enfrascando en este asunto, yo mismo me voy a convertir en un "lógico", y sin embargo mis dudas teóricas serán las mismas.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 31/07/2010, 11:44:02 pm
En todo caso, ¿comparten ustedes este mismo esquema?


[texx]\xymatrix{& \textsf{Teorías matemáticas} & \textsf{Teoría de conjuntos}\ar[l]\ar[dl] & \textsf{Lógica de Primer Orden}\ar[l] \\ & \textsf {Teoría de números naturales y/o reales}\\}[/texx]

¿Ven o consideran la matemática así, se sienten cómodos, les parece que ahí termina todo, están de acuerdo con las cosas tal como son o como se dicen?

¿Algún intuicionista?


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 31/07/2010, 11:53:48 pm
Podemos complicar algo más el asunto añadiendo las ideas de  Chaitin (http://es.wikipedia.org/wiki/Gregory_Chaitin) acerca del cuasi-empirismo de las matemáticas.



¿Algún libro o artículo sobre este tema?


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Ser Humano en 01/08/2010, 01:44:43 am
Hola. Yo también siento cierta desesperación al notar lo poco solido que se vuelve lo que puedo notar acerca de algo cuando profundizo en él. Más aún en el campo de la matemática, de la cual tengo un preconcepto que se contrapone a situaciones como estas.

Estoy completamente de acuerdo con el hecho de que los temas tratados dentro de lo denominado como matemática precisan un previa aceptación de la "lógica", pero discrepo en el que ésta solo se trate de un conjunto de símbolos que no hacen referencia a algo.

Creo que en este contexto aceptamos, que el "ser humano" es un animal que posee la capacidad de "manipular las nociones que a priori posee y las adquiridas a través de la experiencia" (me disculpo por el exceso de comillas, sabrán entender) y de esa forma obtener nuevas nociones.

Entonces es de notar que la lógica no es solo un montón de lineas distribuidas de una determinada manera, sino que cada curva, cada símbolo "representa", "hace referencia", etc. a una de esas nociones que tenemos. Por otro lado también sabemos como interpretar símbolos compuestos de otros símbolos (las proposiciones) los cuales hacen referencia a la noción que tenemos de una cierta "situación"; la forma de interpretar éstos símbolos se reduce a la interpretación de los símbolos contenidos y a la "posición relativa" entre ellos. De esa forma, se puede notar que solo son "válidos" cierto conjunto de símbolos, porque hay limitadas y determinadas maneras en las que relacionamos las nociones que tenemos, y los símbolos hacen referencia a dichas nociones.
(notar que las nociones de "posición relativa", "composición" y demás, también son nociones previas, las cuales se manipulan en el uso e interpretación del lenguaje lógico pero no necesariamente se hace referencia a ellas con un símbolo de forma explicita).

Tal vez el problema radica en establecer solo axiomas iniciales emparentados con lo que uno cree que se trata la "rama" de la matemática que está tratando. En este contexto, donde hablamos de las bases, me parece claro que los axiomas son las nociones previas que tenemos, por lo que no tener en cuenta todos los axiomas, es no tener en cuenta todas las nociones que consideramos válidas a priori.

A mi me parece que "fundamentar la lógica" no tiene mucho sentido, porque cuando se intenta demostrar (por ejemplo) un teorema, es decir, fundamentarlo, se intenta notar que éste es lógicamente válido, por lo que "fundamentar la lógica" sería intentar notar que ésta es lógicamente válida, lo que es trivial.
Tal vez, así como se puede demostrar que un teorema es lógicamente válido, se podría demostrar que la lógica es válida con respecto a otra cosa (¿la realidad?), pero no creo que tenga mucho sentido intentar notar si es válida en el sentido usual que se le da al término.

Espero no desencadenar varios mensajes de insultos :D .

Saludos ;)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 01/08/2010, 02:37:12 am
Hola. Yo también siento cierta desesperación al notar lo poco solido que se vuelve lo que puedo notar acerca de algo cuando profundizo en él. Más aún en el campo de la matemática, de la cual tengo un preconcepto que se contrapone a situaciones como estas.

Ah, ahora no me siento tan sólo  ;D

Cita

Estoy completamente de acuerdo con el hecho de que los temas tratados dentro de lo denominado como matemática precisan un previa aceptación de la "lógica", pero discrepo en el que ésta solo se trate de un conjunto de símbolos que no hacen referencia a algo.


Lo que pasa es que yo me "tragué" el cuento del logicismo-formalismo de Russell y Hilbert.

Si nos ponemos en el contexto de los años en torno al 1900, la matemática no tenía una base sólida común, y muchos conceptos estaban dando vueltas, con sus correspondientes ambigûedades y contradicciones o paradojas.

Russell y Hilbert, cada cual a su modo, trataron de eliminar todas esas imprecisiones, y propusieron basar la matemática en la lógica pura, para asegurar precisión en todos los casos.

Por ejemplo, todos los matemáticos tenían en ese entonces una "intuición" de lo que vendría a ser un "conjunto infinito".
Pero había mucha controversia sobre la "naturaleza real" del infinito.

Había matemáticos que decían que el infinito era pura superchería metafísica, o en el mejor de los casos, que era una noción de dudosa exactitud matemática.

Para enfrentar este tipo de objeciones, Hilbert prefirió "eludir" el problema, y simplemente dejó dicho que "no importa si el infinito realmente tiene sentido o no", o sea, si es producto de la imaginación de alguien, o si existe en el mundo platónico de las ideas, o lo que fuere.

Lo que importa es que mediante símbolos lógicos se puede definir lo que es "ser un conjunto infinito" sin ambigûedad alguna, y sin preocuparse por el "sentido humano" que eso pudiera tener.
Así, el concepto de infinito se puede preservar en la matemática, sin preocuparse por cuestiones intuitivas, metafísicas o filosóficas sobre "lo infinito" en sí mismo.

Pero para eso, hay que relegar al "infinito" al mundo de la imaginación, y en el trabajo concreto de matemáticos, hacer un simple cálculo lógico.

La definición de infinito sería una simple fórmula vacía de significado, como esto:

X es un conjunto infinito si:[texx]\exists{Y,f}(Y\subsetneq X \wedge f:Y\to X \wedge f(Y)=X)[/texx]

Traduciendo a lenguaje "intuitivo", esa fórmula diría que: X es infinito si existen Y, f, tales que Y es un subconjunto propio de X, y f es una función de Y en X que es sobreyectiva.

Me he salteado muchos formalismos, pero lo que quiero mostrar es el carácter "vacío" de una fórmula fría y sin sentimientos.

Cuando uno demuestra teoremas o define objetos matemáticos, en realidad no hace más que manipulaciones de símbolos.

El "significado" o "sentido" que le damos es accesorio. Es quizá lo que en definitiva enriquece a la matemática y la hace bella.
Después de todo, poner ristras de símbolos sin significado no tiene nada de hermoso, claro está.

Pero no sé hasta dónde lo "bello" o lo "intuitivo" tiene que ver con la verdadera sustancia de la lógica y los fundamentos.

Más aún, lo que critico es que esa frialdad en las fórmulas como la de arriba, no puede aplicarse directamente, sin previo aviso o consideración, a objetos concretos de la realidad.

Los símbolos de la lógica se pueden considerar "objetos concretos de la realidad" (mmm), si los pienso como caracteres escritos en un papel.
Al razonar sobre ellos usando teorías de conjuntos o lógica formal, estoy haciendo una "interpretación" de la lógica formal.

De la misma manera que la fórmula F = m x'' no tiene nada que ver con la física, hasta que alguien "interpreta" que eso es Fuerza = masa por aceleración, respecto al movimiento de una partícula.

La cuestión es que, ante todo, hay que preguntarse si la interpretación de F como "fuerza" y m como "masa", etc., es correcta físicamente. Podría ser que no lo fuera, si pusiera una fórmula distinta.

Lo mismo acontece con el uso de números y cardinales al hablar de símbolos escritos en un papel.
Pero lo grave del asunto es que esos mismos símbolos se usan después para formalizar el concepto de número y de cardinal... y la cabeza me da vueltas.


Cita
Creo que en este contexto aceptamos, que el "ser humano" es un animal que posee la capacidad de "manipular las nociones que a priori posee y las adquiridas a través de la experiencia" (me disculpo por el exceso de comillas, sabrán entender) y de esa forma obtener nuevas nociones.

Entonces es de notar que la lógica no es solo un montón de lineas distribuidas de una determinada manera, sino que cada curva, cada símbolo "representa", "hace referencia", etc. a una de esas nociones que tenemos. Por otro lado también sabemos como interpretar símbolos compuestos de otros símbolos (las proposiciones) los cuales hacen referencia a la noción que tenemos de una cierta "situación"; la forma de interpretar éstos símbolos se reduce a la interpretación de los símbolos contenidos y a la "posición relativa" entre ellos. De esa forma, se puede notar que solo son "válidos" cierto conjunto de símbolos, porque hay limitadas y determinadas maneras en las que relacionamos las nociones que tenemos, y los símbolos hacen referencia a dichas nociones.
(notar que las nociones de "posición relativa", "composición" y demás, también son nociones previas, las cuales se manipulan en el uso e interpretación del lenguaje lógico pero no necesariamente se hace referencia a ellas con un símbolo de forma explicita).

Al interpretar símbolos como ciertas entidades matemáticas "ideales", se entra necesariamente en el "platonismo", que presupone que los objetos matemáticas existen realmente en algún lugar, y que la lógica sólo se ocupa de "expresar con un lenguaje limitado hechos de una realidad matemática superior".

Yo no creo en nada que esté "más allá", así que puntos de vista como éste me son duros de digerir.

Tengo que admitir que, aparentemente, todos los matemáticos coincidimos en tener las mismas "intuiciones" de lo infinito, de los objetos geométricos, y otras objetos matemáticos.

Pero mi opinión es que esto se debe a un hecho cultural: todos hemos sido educados para tener esas mismas intuiciones e ideas, y es por eso que parecen universales, que siempre han estado "ahí".

Al pensar en los Botocoudos de Brasil, me pregunto si para ellos serán igual de "obvias" nuestras intuiciones matemáticas, ya sean de la geometría euclidiana, de los infinitos, los números naturales y su caprichosa propiedad de que "siempre hay un siguiente", etc.

Me refiero a que no son intuiciones que la mente humana "capte" de forma natural, como si siempre hubieran estado ahí, sino que son cosas "inculcadas".

Si se deja a los Botocoudos desarrollar su propia lógica o matemática, en unos miles de años podrían sorprendernos con una estructura mental totalmente incompresible para nosotros, pero podrían ellos quizá desarrollar de todos modos una ciencia, aparatos tecnológicos como los nuestros, y hasta incluso mejores todavía.

Cita

A mi me parece que "fundamentar la lógica" no tiene mucho sentido, porque cuando se intenta demostrar (por ejemplo) un teorema, es decir, fundamentarlo, se intenta notar que éste es lógicamente válido, por lo que "fundamentar la lógica" sería intentar notar que ésta es lógicamente válida, lo que es trivial.


En realidad hay mucha investigación en lógica y fundamentos.

La cuestión de si tiene sentido o no... yo creo que sí lo tiene.

O sea, el punto de partida es preguntarse: ¿por qué usamos los razonamientos que usamos? ¿Por qué los consideramos correctos? ¿Cómo ha de darse un razonamiento para que sea correcto?

Si no nos preguntáramos estas cosas, caeríamos muy seguido en situaciones erróneas o paradójicas.

Típico ejemplo es la paradoja de Richards:

Sabemos que los números naturales tienen la propiedad de que "todo conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mínimo".
Ahora definamos el conjunto X de los números naturales n tal que n "no puede definirse con una frase castellana de menos de cien letras". Claramente ese conjunto es no vacío, ya que la cantidad de números que pueden definirse con menos de cien letras es a lo sumo [texx]99^{27}[/texx].
Sea N un tal número. Este N en realidad se puede definir con menos de cien letras, porque es "el mínimo número natural definible con una frase con menos de cien letras", que es una frase que tiene menos de cien letras.

Así que, para evitar ése y muchos otros problemas, hace falta fundamentar la lógica con mucho cuidado, y en particular, ser cuidadoso no sólo sobre el tipo de expresiones que admitimos como "afirmaciones lógicas", sino con el "universo de interpretación" de esas expresiones.

Cita
Tal vez, así como se puede demostrar que un teorema es lógicamente válido, se podría demostrar que la lógica es válida con respecto a otra cosa (¿la realidad?), pero no creo que tenga mucho sentido intentar notar si es válida en el sentido usual que se le da al término.


No sé respecto a qué, o en qué sentido se puede hablar de la validez de la lógica.
Pero la cuestión es que los lógicos mismos investigan esto, y hacen aseveraciones muy complejas "en el aire", y "razonan" como si todos estuviéramos de acuerdo en lo que se entiende por "cadena finita de signos", "número natural", entre otras cuestiones.

Claro que ha habido muchos avances, y yo estoy tratando de informarme a ver qué se sabe y que no se sabe al respecto.

Ahora estoy leyendo el libro "Admissibility of Logical Inference Rules" de un tal Rybakov, quien dice que su libro sistematiza y reúne muchos resultados que andan flotando en el mundillo de los lógicos, y explica y define todos los conceptos.

Mas, sigue haciendo las mismas cosas que siempre me ponen nervioso: usa subíndices de números naturales, usa la idea de "numerable", efectúa modelos que son "conjuntos".
A pesar del malestar, aún así lo he de leer, porque seguramente aprenderé bastante de todos modos, y a lo mejor un día pueda criticar estas cosas con más fundamento.

Cita
Espero no desencadenar varios mensajes de insultos :D .

·$&""$%"·$%  :-X



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: feriva en 01/08/2010, 03:16:08 am
Cita
¿Hablás en general, o es una crítica a mi persona?

Hola, Argentinator. Ni mucho menos lo digo por ti, lo digo por mí, sobre todo, porque a mí me cuesta, porque me analizo mucho en ese aspecto.
 No, no creo que ésa sea una característica tuya (susceptible sí has estado un poco, eh  :) ). Y además, ya te digo, estoy muy de acuerdo en lo que dices y te comprendo; aunque mis conocimientos no den para comprenderte todo lo que quisiera. Ya ves que no he entrado en hilos como el de Gödel, por ejemplo, bueno, sí he entrado pero no he participado, y no lo he hecho porque considero que es un tema que ni conozco lo suficiente ni entiendo lo suficiente; podría opinar, sí, pero no he sufrido en mis carnes la incompletitud axiomática :laugh: y lo que no se sufre personalmente... yo creo que no se comprende de verdad; explico lo dicho: yo estudié filosofía en el colegio, como todos, siologismos, sorites, lógica... pero no supe de verdad lo que entrañaba el error lógico hasta que no me suspendieron en la universidad un examen de análisis matemático por aplicar mal uno de los criterios de Leibnitz en una serie. Esto se lo he dicho en persona a algunos licenciados en filosofía, les he dicho que la práctica de la lógica está en las matemáticas, con los números, con los cálculos, luchando por no fallar al hacer las operaciones... Pero no lo comprenden, a no ser que además de filosofía hayan estudiado algo de matemáticas un poco en serio.

En cualquier caso, no caigas en la obsesión, un poquito de deformación profesional no está mal, pero no dejes que te lleve a mayores, a ver si luego vas a demostrar cualquier problema del milenio, te vuelves loco, y no coges la plata; como Perlman, que mira lo que le pasó  :D
 


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 01/08/2010, 03:34:41 am
Cita
¿Hablás en general, o es una crítica a mi persona?

Hola, Argentinator. Ni mucho menos lo digo por ti, lo digo por mí, sobre todo, porque a mí me cuesta, porque me analizo mucho en ese aspecto.


No suelo ser "susceptible", aunque sí me interesan las críticas (todos tenemos que mejorar como personas), sobretodo aquellas críticas que la gente no se anima a decirte en la cara por amabilidad, porque esas críticas no dichas son las más sinceras.

Quizá no exagero si digo que no me importa que se pongan a insultarme, pero sí que me enojo cuando un razonamiento está mal... La obsesión por la verdad verdadera.

Cita
aunque mis conocimientos no den para comprenderte todo lo que quisiera. Ya ves que no he entrado en hilos como el de Gödel, por ejemplo, bueno, sí he entrado pero no he participado, y no lo he hecho porque considero que es un tema que ni conozco lo suficiente ni entiendo lo suficiente; podría opinar,

Bueno, yo era en ese entonces prácticamente un total ignorante respecto el Teorema de Godel, y sabía muy poco de lógicas de primer orden, teoremas de consistencia y todo eso.
Alguna vez leí algunas cosas, miré algunas fórmulas, escuché algunas clases, pero nunca llegué a entender bien de qué se trataba todo.

Así que justamente participé en el hilo del Teorema de Godel para molestar con todas mis dudas.

En la vida hay que meter la naricita en todos lados.  ;)

Lo que sí tengo por el Teorema de Godel es un gran interés, derivado por esta obsesión de querer entender las bases mismas de la matemática y la lógica.

Cita
En cualquier caso, no caigas en la obsesión, un poquito de deformación profesional no está mal, pero no dejes que te lleve a mayores, a ver si luego vas a demostrar cualquier problema del milenio, te vuelves loco, y no coges la plata; como Perlman, que mira lo que le pasó  :D

Ya es tarde, estoy obsesionado.

Justamente, creo que lo que define a un matemático no es que sabe Teoremas y Axiomas de esto y aquello, sino que no se puede quitar ese "problemín" de la cabeza.
Se cae el mundo, pasa el mundial, se aburren las novias, pero la insistencia en "aquel" problema (cualquiera éste sea) persiste de noche y de día.

Ojalá tuviera el genio de Perelman.
Y a un "millón" nunca se le dice que no.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: feriva en 01/08/2010, 03:40:08 am
Cita
Justamente, creo que lo que define a un matemático no es que sabe Teoremas y Axiomas de esto y aquello, sino que no se puede quitar ese "problemín" de la cabeza. Se cae el mundo, pasa el mundial, se aburren las novias, pero la insistencia en "aquel" problema (cualquiera éste sea) persiste de noche y de día.

No sólo a un matemático (o al menos no sólo a un matemático profesional) conozco muy bien eso que dices  :)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Ser Humano en 01/08/2010, 03:43:05 am
Hola otra vez :) .

En principio, empiezo por aclarar algo que noto que no aclaré en el mensaje anterior; cuando digo "hacer referencia a algo", no me refiero a que "ese algo" sea perceptible, ni notable empíricamente, sino que sería suficiente con que se tenga una noción "sobre ese algo" (como por ejemplo, la forma en que se "relaciona" con otros entes).

Cita
Cuando uno demuestra teoremas o define objetos matemáticos, en realidad no hace más que manipulaciones de símbolos.
Pero justamente ésto es lo que no puedo notar; en el ejemplo de infinito, queda bastante claro "a que se hace referencia", exponiendo cuales son las cualidades del conjunto en cuestión. Por ejemplo, de nada serviría que defina a un conjunto infinito como [texx](&%$·)[/texx], si ese símbolo (o conjunto de símbolos) no hacen referencia a ninguna noción.

Cita
El "significado" o "sentido" que le damos es accesorio. Es quizá lo que en definitiva enriquece a la matemática y la hace bella.
Después de todo, poner ristras de símbolos sin significado no tiene nada de hermoso, claro está.
Pero resultaría de alguna forma útil definir algo a partir de símbolos sin que ellos conlleven ninguna noción? de que forma podríamos (justificadamente) relacionar esos símbolos sin sentido con las nociones que tenemos?. Esa justificación está (al menos como lo noto ahora) en la lógica cuando se trata de relacionar nociones, pero la misma no es útil para relacionar no-nociones con nociones.

Cita
Más aún, lo que critico es que esa frialdad en las fórmulas como la de arriba, no puede aplicarse directamente, sin previo aviso o consideración, a objetos concretos de la realidad.
Lo que puedo notar es que muchos entes que se definen de forma matemática, tienen cualidades que son compartidos por varios entes perceptibles (que además tienen otras cualidades, las cuales les permiten diferenciarse), y si esas cualidades implican algo, o se relacionan con otras de alguna forma, todo ente que presenta las mismas, incluso en la percepción, implicará o se relacionará de la misma forma. Claro que los casos que se pueden "explicar" de ésta forma son los menos. Tal vez no es que el "exterior" coincide con nuestra lógica, sino que nuestra lógica, como herramienta de adaptación al ambiente, coincide con éste (sí, se de la simetría de la igualdad :D, pero creo que se entiende a lo que me refiero) .

Cita
Lo mismo acontece con el uso de números y cardinales al hablar de símbolos escritos en un papel.
Pero lo grave del asunto es que esos mismos símbolos se usan después para formalizar el concepto de número y de cardinal... y la cabeza me da vueltas.
A mi parecer, se tiene, incluso antes de analizar el tema, las nociones de cardinal, numeros, y símbolos (valga la redundancia :D). Pero además se puede notar como éstas nociones están íntimamente relacionadas. Entonces, me parece que el error ésta en intentar definir una a partir de la otra, en cambio de establecer un símbolo que represente a cada una de las nociones y despues escribir la forma en que se relacionan entre ellas. Porque si para nosotros mismos dichas nociones son irreductibles a otras, no va a haber forma que simbolicamente se exprese eso.

Cita
Al interpretar símbolos como ciertas entidades matemáticas "ideales", se entra necesariamente en el "platonismo", que presupone que los objetos matemáticas existen realmente en algún lugar, y que la lógica sólo se ocupa de "expresar con un lenguaje limitado hechos de una realidad matemática superior".
No necesariamente, si se confía en la capacidad del ser humano de abstraer (en el sentido aristotelico), es decir del poder distinguir patrones, regularidades, cualidades generales.

Cita
¿por qué usamos los razonamientos que usamos? ¿Por qué los consideramos correctos? ¿Cómo ha de darse un razonamiento para que sea correcto?
Es que el punto estaría justamente ahí ¿a que consideramos "correcto"?. Por ejemplo, si yo se que existe [texx]a[/texx], es correcto decir que es falso que [texx]a[/texx] no existe ¿por que? porque se ajusta a las nociones previas que tenemos y a la forma en que "se relacionan" dichas nociones, lo que es objeto de estudio de la lógica. Las ramas de la matemática que pude leer, son lógica, aplicada a cierto tipo de nociones previas.
Por otro lado creo que la relevancia del tipo de razonamiento implementado está fundamentalmente en la utilidad de éste. Se que existen "lógicas" imposibles de aplicar, con axiomas diferentes a la lógica usual, pero mi conocimiento acerca de ello es practicamente total.

Cita
No sé respecto a qué, o en qué sentido se puede hablar de la validez de la lógica.
Fue un problema de expresión mío. No me refería a la validez en lógica formal, lo que ineludiblemente me hace recordar a las tablas de verdad :D , sino que me refería a la correspondencia entre lo implementado en la demostración y los resultados de la lógica. En el momento de realizar la demostración se tienen en cuanta las nociones previas y dicha correspondencia.

Cita
Pero la cuestión es que los lógicos mismos investigan esto, y hacen aseveraciones muy complejas "en el aire", y "razonan" como si todos estuviéramos de acuerdo en lo que se entiende por "cadena finita de signos", "número natural", entre otras cuestiones.
Pero ¿qué es lo que usan para razonar?¿la misma lógica que están evaluando? porque de ser así, a priori están aceptando la validez de la lógica para autoevaluarse (nuevamente, no me refiero a la logica formal, sino a la implementación de sus axiomas para concluir proposiciones nuevas).

Cita
Mas, sigue haciendo las mismas cosas que siempre me ponen nervioso: usa subíndices de números naturales, usa la idea de "numerable", efectúa modelos que son "conjuntos".
No es que pretenda insistir demasiado sobre lo mismo :D , sino que no estoy seguro de haber dejado bien en claro cual era mi perspectiva de éstas cosas (por el momento, claro); Más que definiciones circulares, yo noto una relación "íntima" entre dos (o más) nociones que nos son irreductibles. No sé si será el caso de lo que estas leyendo ahora, pero por ejemplo la noción de cardinal me parece que tiene ésta característica y tiene una íntima relación con la noción de conjunto.

Bueno, me voy a descansar.

+ Saludos,


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 01/08/2010, 04:06:45 am
Es que ser humano dijo algo a lo que me tengo que adherir incondicionalmente. La validez de la lógica parece que debería aceptarse como axioma, sería pues el primer axioma de la matemática, axioma que debe aceptarse por definición. ¿Como de otra forma vas a fundamentar la lógica? Creo que es imposible.

Lo segundo es que no entiendo el porqué te escandalizas cuando los lógicos usan los conceptos matemáticos. Los números están ahí solidamente fundamentados para que los use quien mejor lo estime, los lógicos también por supuesto. El error quizás esté en tratar de dar fundamento a la lógica, no en usar los conceptos matemáticos.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 01/08/2010, 04:39:30 am
Cita
Cuando uno demuestra teoremas o define objetos matemáticos, en realidad no hace más que manipulaciones de símbolos.
Pero justamente ésto es lo que no puedo notar; en el ejemplo de infinito, queda bastante claro "a que se hace referencia", exponiendo cuales son las cualidades del conjunto en cuestión. Por ejemplo, de nada serviría que defina a un conjunto infinito como [texx](&%$·)[/texx], si ese símbolo (o conjunto de símbolos) no hacen referencia a ninguna noción.

Suponte que has demostrado el teorema siguiente "Si A es finito, entonces todo subconjunto B de A es también finito". En símbolos lógicos duros y fríos, eso se escribe así:

[texx](\#A < \infty) \Longrightarrow{\forall{B\subset A}(\# B< \infty)}[/texx]

Para llegar a demostrar eso, en la demostración lo único que has hecho es "encadenar proposiciones lógicas", que no son más que "símbolos encadenados en una fila".
Cuando has terminado la demostración, usando los principios de la lógica, has llegado a la conclusión que escribí ahí arriba.

Ahora bien, ese Teorema sigue siendo lógicamente válido aún si yo cambio esos símbolos que figuran ahí por otros, con tal de que la estructura lógica sea la misma.
Y eso es así porque las leyes de inferencia lógica son "meramente formales", o sea, se ocupan sólo de la forma de las expresiones, y no de su "contenido".

La lógica no se preocupa de si se hace referencia a "algo" externo, o con sentido para intuitivo para alguien.
Es mero cálculo, que transforma unas hileras de caracteres en otras. Eso es en definitiva una "demostración", y es algo que una computadora puede hacer, porque se trata de una actividad sistemática, sintáctica, sin significado.

La computadora no sabe ni entiende el significado de "infinito", pero puede hacer la demostración del resultado de finitud de cardinales anterior, y también puede hacer demostraciones de teoremas que hablan de conjuntos infinitos.

No sé cómo ves la lógica matemática, pero en todo caso hago un recordatorio.
Hay unas expresiones que se forman mediante ciertas reglas sintácticas: algunas expresiones tienen sentido lógico y otras se tiran a la basura (algo como  [texx] \forall{\in{\in{\exists{\supset{xx\emptyset}}}}}[/texx] no tiene sentido lógico, son signos puestos al azar).

Dentro de las expresiones válidas, hay algunas que se toman como "Axiomas lógicos", por ejemplo, algo como [texx]p\Rightarrow{}(q \Rightarrow{ p})[/texx], para p, q proposiciones, se toma como uno de los Axiomas lógicos.

A este nivel de cosas, no existen valores de verdad de esas proposiciones.
No hay proposiciones ni verdaderas ni falsas, no hay nada.

Sólo hay axiomas lógicos, y luego se agregan unas reglas de inferencia, que simplemente permiten transformar ciertas proposiciones en otras. (Modus Ponens, Generalización).

La demostración de que todo subconjunto de un conjunto finito es también finito, puede hacerse mediante estas transformaciones de símbolos, sin siquiera preguntarse si eso es verdadero o falso, y sin siquiera preguntarse sobre el significado de lo finito y lo infinito.

Pero aquí no se habla de verdad o falsedad alguna, y la inferencia misma no se sabe si es correcta o no. Es una mera transformación de signos, que una máquina puede hacer.

Más tarde se agregan valores de verdad a las proposiciones, y se les adjudican valores Verdadero y Falso.

Una regla de inferencia es válida siempre que de premisas verdaderas se concluyan tesis verdaderas.

Pero aún así, que sean verdaderas o falsas esas proposiciones, no necesita hacer referencia a noción alguna.

Los lógicas llaman "modelos" a lo que vos estás llamando "nociones", o sea, "interpretaciones concretas" del formulerío lógico.

Resulta que todo lo que es demostrable en el formulerío lógico, es verdadero en un modelo válido para la teoría correspondiente.

O sea que está todo algo "separado": sintaxis, verdad, modelos.

Hay también modelos de la "realidad" a los que se aplica una teoría.
Pero estos son algo distintos.
En realidad nunca hay una completa identificación con una situación real y una teoría matemática, porque para "modelar" una situación real se hacen muchas simplificaciones.

Cita
Pero resultaría de alguna forma útil definir algo a partir de símbolos sin que ellos conlleven ninguna noción? de que forma podríamos (justificadamente) relacionar esos símbolos sin sentido con las nociones que tenemos?. Esa justificación está (al menos como lo noto ahora) en la lógica cuando se trata de relacionar nociones, pero la misma no es útil para relacionar no-nociones con nociones.

Justamente, ese es el dilema que tengo. No puedo relacionar ciertas expresiones frías de la lógica con "nociones" de la vida real, o intuiciones que parecen claras.

No es lo mismo la definición de "infinito" con una fórmula, que la intuición de infinito.
Como muchos pensadores han dicho, la intuición de infinito arroja ambigüedades o dudas.
En cambio, una fórmula lógica fría que defina infinitud de un conjunto, no tiene objeción.
Ni siquiera importa si se refiere a algo realmente infinito.

No entiendo qué quisiste decir con "no-nociones".


Cita
Lo que puedo notar es que muchos entes que se definen de forma matemática, tienen cualidades que son compartidos por varios entes perceptibles (que además tienen otras cualidades, las cuales les permiten diferenciarse), y si esas cualidades implican algo, o se relacionan con otras de alguna forma, todo ente que presenta las mismas, incluso en la percepción, implicará o se relacionará de la misma forma.

Bueno, los entes perceptibles no los percibimos con precisión, y de lo poco que percibimos de ellos, descartamos muchas propiedades o cualidades complejas, y nos quedamos con algunas simples.
Luego las "representamos" matemáticamente, pero eso no es lo mismo que decir que "coinciden".

Un tipico modelo de crecimiento de poblaciones es [texx]P(t) = ce^{at}[/texx], siendo a, c, unas constantes.
La población de un país dado podría modelarse con esa fórmula.
Pero supongamos que a = c = 1, para simplificar. En la mayoría de los instantes t, la población P(t) sería un número fraccionario. Por ejemplo, P(t) = 2.71.... si t = 1.
¿Acaso hay 2.71 personas tras t = 1 año?
No puede haber una cantidad fraccionaria de personas.

Y en general los modelos aplicados a la realidad son así, meras aproximaciones o estimaciones.
Se pueden pulir, mejorar, pero ¿identificar?
Identificar un modelo con la matemática equivaldría a decir que la realidad es una porción de teoría matemática. O sea, estaríamos "viviendo" en un Universo matemático, del cual somos testigos de sólo una parte.

Cita
A mi parecer, se tiene, incluso antes de analizar el tema, las nociones de cardinal, numeros, y símbolos (valga la redundancia :D). Pero además se puede notar como éstas nociones están íntimamente relacionadas. Entonces, me parece que el error ésta en intentar definir una a partir de la otra, en cambio de establecer un símbolo que represente a cada una de las nociones y despues escribir la forma en que se relacionan entre ellas. Porque si para nosotros mismos dichas nociones son irreductibles a otras, no va a haber forma que simbolicamente se exprese eso.

Bueno, esto que has dicho me parece que tiene mucho sentido.
Sin embargo en los textos de lógica no veo que este asunto se analice tal y como vos lo has hecho con esas palabras tan claras.
Me quejo de que nadie siquiera parezca preocuparse de este tipo de cosas.

Será que estoy leyendo los libros equivocados... O a lo mejor tengo que irme a textos más filosóficos.
Hay mucho que ver todavía.

Pero justamente eso que has dicho es uno de los meollos de todo el asunto.

Ahora bien, ¿cómo discernir qué es irreducible y qué no lo es?
Eso daría algo de solidez al asunto.

Para los intuicionistas, la noción de número natural es irreducible.
Pero ellos por ejemplo no aceptan que la doble negación de una afirmación P sea lógicamente equivalente a la afirmación de P, cosa que parece de lo más "lógica".

Así que, si no hay acuerdo en cuáles son las reglas de la lógica, poco se puede hacer tan sólo asumiendo que "existen entidades matemáticas irreducibles".
Habría que decir o especificar "cuáles" son las que se consideran irreducibles, y que la gente se ponga de acuerdo de una vez por todas.

Cita
Cita
Al interpretar símbolos como ciertas entidades matemáticas "ideales", se entra necesariamente en el "platonismo", que presupone que los objetos matemáticas existen realmente en algún lugar, y que la lógica sólo se ocupa de "expresar con un lenguaje limitado hechos de una realidad matemática superior".
No necesariamente, si se confía en la capacidad del ser humano de abstraer (en el sentido aristotelico), es decir del poder distinguir patrones, regularidades, cualidades generales.

Me encantó esto que dijiste.

Esta capacidad de abstracción se la nombra en forma "genérica", y pienso que debería tener una presencia más activa en los fundamentos de la lógica, tal como lo tienen los axiomas lógicas, las fórmulas de primer orden, y toda la historia.
Hay una gran cuota de abstracción al permitir "álgebras de lógica" en las interpretaciones o modelos de las distintas lógicas, pero aún así, el "acto de abstraer" no está considerado o estudiado al grado que a mí me gustaría.

En cuanto a los patrones que un ser humano puede distinguir quizá sean sólo los que "prefiere" distinguir.
Me refiero a que puede haber autolimitaciones psicológicas y culturales que orienten al ser humano a ver unos patrones y no otros.
Más aún si se trata de costumbres, o cosas enseñadas o inculcadas.

Cuando pienso en ciertos niños que tienen "dificultad" para las matemáticas, me pregunto si en realidad no son los demás que tienen "dificultad" para entender la forma de ver la realidad de esos niños.
Quizá al "meterle" nuestra matemática en la cabeza a esos niños, los estamos atrofiando.

Cita
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¿por qué usamos los razonamientos que usamos? ¿Por qué los consideramos correctos? ¿Cómo ha de darse un razonamiento para que sea correcto?
Es que el punto estaría justamente ahí ¿a que consideramos "correcto"?. Por ejemplo, si yo se que existe [texx]a[/texx], es correcto decir que es falso que [texx]a[/texx] no existe ¿por que? porque se ajusta a las nociones previas que tenemos y a la forma en que "se relacionan" dichas nociones, lo que es objeto de estudio de la lógica. Las ramas de la matemática que pude leer, son lógica, aplicada a cierto tipo de nociones previas.
Por otro lado creo que la relevancia del tipo de razonamiento implementado está fundamentalmente en la utilidad de éste. Se que existen "lógicas" imposibles de aplicar, con axiomas diferentes a la lógica usual, pero mi desconocimiento acerca de ello es practicamente total.

Lo de la "relevancia" que has mencionado no tiene discusión.
Cada aplicación con su teoría...

Pero el problema teórico en torno a "una" lógica dada (que las hay muchas y distintas) es determinar si no es una "porquería" como mecanismo de inferencia.
Imaginate una lógica que permitiera demostrar todas las proposiones de ella, junto con las negaciones.
¿A quién le puede interesar?
Es una lógica posible, pero no la usaríamos como una lógica válida.

Así que la validez de una lógica no se ha de mirar sólo en relación a qué se la ha de aplicar, sino que también ha de haber criterios intrínsecos a ella, digo, internos, propiedades inherentes a dicha lógica en cuestión, que digan si es válida o no, en algùn sentido.


Cita
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Pero la cuestión es que los lógicos mismos investigan esto, y hacen aseveraciones muy complejas "en el aire", y "razonan" como si todos estuviéramos de acuerdo en lo que se entiende por "cadena finita de signos", "número natural", entre otras cuestiones.
Pero ¿qué es lo que usan para razonar?¿la misma lógica que están evaluando? porque de ser así, a priori están aceptando la validez de la lógica para autoevaluarse (nuevamente, no me refiero a la logica formal, sino a la implementación de sus axiomas para concluir proposiciones nuevas).

Claro, eso es lo que hacen, y eso es lo que no logro aceptar.

Cita
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Mas, sigue haciendo las mismas cosas que siempre me ponen nervioso: usa subíndices de números naturales, usa la idea de "numerable", efectúa modelos que son "conjuntos".
No es que pretenda insistir demasiado sobre lo mismo :D , sino que no estoy seguro de haber dejado bien en claro cual era mi perspectiva de éstas cosas (por el momento, claro); Más que definiciones circulares, yo noto una relación "íntima" entre dos (o más) nociones que nos son irreductibles. No sé si será el caso de lo que estas leyendo ahora, pero por ejemplo la noción de cardinal me parece que tiene ésta característica y tiene una íntima relación con la noción de conjunto.

Es que justamente de eso se trata.
La relación es tan íntima que no se puede uno "depegar" de una cosa para formalizar la otra.

Sin embargo, habría que intentar "despegar" todo lo que está "pegado", por razones que luego expondré.

Creo que los fundamentos de la lógica están en una etapa "interesante" pero ingenua.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 01/08/2010, 04:52:25 am
Aclaro cosas que dejé colgadas.

Hay al menos dos lógicas distintas (en realidad hay muchas).
Tenemos por ejemplo la lógica proposicional clásica, que podemos llamar PL, y la lógica intuicinista, que podemos indicar con IL.

La lógica intuicionista admite todas las reglas de razonamiento que la PL, excepto la de la doble negación: [texx]\sim{\sim{p}}\Longleftrightarrow{p}[/texx].
En IL eso no se acepta, pero en PL sí, pues es lo que nos permite demostrar por reducción al absurdo.

Ahora bien, supongamos que estamos construyendo la lógica de primer orden, inventando sus axiomas, expresiones y símbolos.
Luego pretendemos razonar acerca de esas expresiones.

Para razonar, necesitamos reglas "previas de razonamiento" a las que estamos por inventar en la lógica de primer orden.

O sea, estamos por inventar PL, así que no tenemos PL.
¿Podemos usar PL para razonar sobre el lenguaje que estamos construyendo?

Quizá sí.
Pero ahora yo me pregunto, ya que estamos razonando con la lógica PL (sin permiso de nadie) ¿pòr qué no usamos mejor IL?
¿O por qué no usamos incluso cualquier otra lógica mientras demostramos teoremas acerca de la lógica misma?



Otra cosa que me preocupa son los cardinales.

En la metamatemática uno no sólo "razona", sino que también se hacen afirmaciones acerca de "modelos" que pueden ser infinitos, e incluso se demuestran teoremas que aluden  a cierta "cardinalidad" del conjunto que sirve de "modelo" para una teoría lógica.

Ahora bien, se habla de cardinales como si fueran algo establecido en forma única, sin duda alguna ni ambiguedad.

Pero eso no puede tomarse a la ligera, porque se sabe que hay teorías de conjuntos en los que hay más cardinales o menos que en otras.
Así que la noción de "cardinal" no es clara, es ambigua.

¿Cómo es entonces que se habla de cardinales así como así en ciertos teoremas de metamatemática? ¿Basados en cuál teoría de conjuntos? ¿En cuáles cardinales?



Y para rematar, están los mismos números naturales que se usan como subíndices en toda la teoría metamatemática.
Se usan propiedades de ellos que aún no se han demostrado.

Pero las propiedades que uno conoce o demuestra de los naturales bien pueden depender de los axiomas empleados, u otras circunstancias.
Y ni siquiera se puede probar que los números sean algo "consistente".

¿Cómo se los usa impunemente en etapas constructivas de la matemática, si encierran dilemas estructurales y teóricos que no son triviales en lo absoluto?


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 01/08/2010, 05:00:56 am
Es que ser humano dijo algo a lo que me tengo que adherir incondicionalmente. La validez de la lógica parece que debería aceptarse como axioma, sería pues el primer axioma de la matemática, axioma que debe aceptarse por definición. ¿Como de otra forma vas a fundamentar la lógica? Creo que es imposible.

Lo segundo es que no entiendo el porqué te escandalizas cuando los lógicos usan los conceptos matemáticos. Los números están ahí solidamente fundamentados para que los use quien mejor lo estime, los lógicos también por supuesto. El error quizás esté en tratar de dar fundamento a la lógica, no en usar los conceptos matemáticos.

Saludos, Jabato. ;D

Mi post anterior no iba dirigido a vos, pero creo que sirve al menos como parte de la respuesta a lo que me estás diciendo.

Pero repito esto: quizá yo podría quedarme tranquilo aceptando la validez universal de "la" lógica, si es que hubiera una sola lógica posible.

Pero el problema es que hay varias, y no hay acuerdo en cuál es la mejor.
Y entonces no entiendo por qué los lógicos "metarrazonan" usando preferentemente sólo una de las tantas lógicas posibles.
Es una elección arbitraria.

En cuanto a usar o no los números, también depende de qué propiedades se acepten o no de ellos.

Los constructivistas aceptan los números naturales como lo más básico de la matemática, incluso más que la lógica, pero no aceptan ciertas demostraciones, ni ciertas conclusiones.
Sólo aquellas que verifican ciertos criterios de "constructibilidad".

Así que, ¿cuál sistema de números naturales tengo que elegir, el de los intuicionistas, o el que usamos en el trabajo matemático corriente?

Si los lógicos eligen usar los números naturales en su trabajo, deben especificar de qué manera los están usando, porque no hay acuerdo en esto tampoco.

Y ni hablar de usar cardinales en metamatemática.
Me parece un disparate total.



Puedo llegar a aceptar parcialmente el trabajo de los lógicos, tal como está, en todo su entero desarrollo, si solamente se le considera como una especie de "teoría relativa" o "virtual".
O sea, estudios de "lógicas" definidas "algebraicamente" dentro de la matemática misma.

En ese contexto, todo tendría validez y sentido, los "modelos" serían conjuntos bien definidos, tendrían un cierto cardinal concreto, los números estarían disponibles, etc.

Pero sería como un universo de "lógicas de juguete".




Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 01/08/2010, 08:08:38 am
Ya creo que te voy entendiendo, parece que ves en los razonamientos una pescadilla que se muerde la cola, ó razonamientos circulares, aunque no sé, la lógica no es precisamente mi fuerte, pero yo no vería dificultad en aceptar la lógica matemática como axioma para la construcción de las TC y en consecuencia la construcción de las matemáticas, y despreocuparme absolutamente de todo lo demás. Lo que hagan los lógicos con sus razonamientos sería algo que no debería afectar a la matemática. Digo yo, ya no sé si sé lo que digo ó no lo sé.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Alexey en 01/08/2010, 10:48:57 am
Yo creo que lo unico que hay que hacer para filosofar sobre matematicas es intentar entender a Wittgenstein http://es.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Wittgenstein (http://es.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Wittgenstein) el genio de la logica y el lenguaje de cuya obra pocos pueden considerarse entendedores. El libro que recomiendo es su Tractatus Logico-Philosophicus [texx]http://es.wikipedia.org/wiki/Tractatus_logico-philosophicus[/texx] que podeis leer aqui: [texx]http://es.wikisource.org/wiki/Tractatus_Logico-Philosophicus[/texx]

No puedo decir nada mas.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 01/08/2010, 01:32:09 pm
Ya creo que te voy entendiendo, parece que ves en los razonamientos una pescadilla que se muerde la cola

Eso mismo.

Cita
yo no vería dificultad en aceptar la lógica matemática como axioma para la construcción de las TC y en consecuencia la construcción de las matemáticas, y despreocuparme absolutamente de todo lo demás.

Claro, podría ser, pero vuelvo a decir que el problema no es "la" lógica, sino "las" lógicas.
Hay muchas lógicas posibles, y no veo motivo o "razón" para elegir una sobre la otra.

Los lógicos mismos en sus "metarazonamientos" usan un cierto tipo de lógica, sin preocuparse de por qué usan esa en vez de alguna otra.  Usan la lógica de Russell
Usan la lógica que usamos todos, pero personajes como Poincaré o Brouwer no aceptarían esos razonamientos de los lógicos actuales, porque aunque no lo digan, "hacen" deducciones a lo Russell.

Ahora digo yo, ¿a quién le debo creer, a Russell o a Brouwer? ¿A quién de los dos hay que tener en cuenta en el mundo de los lógicos?

Cita
Lo que hagan los lógicos con sus razonamientos sería algo que no debería afectar a la matemática.

En realidad afecta.
No es lo mismo la matemática con Axioma de Elección que "sin" tal Axioma.
La matemática con lógica de Russell (la nuestra) no es la misma que con lógica intuicionista.
La "prueba" de que la hipótesis del continuo "no se puede demostrar" es un "resultado" de la lógica (en teoría de modelos), que a mí me resulta dudoso (más allá de que es difícil).

Y al parecer, la lógica actualmente aceptada no alcanza para expresar adecuadamente ciertas ramas de la matemática (creo que se refiere esto a geometría algebraica, o algo por el estilo, pero ya me olvidé).

Cita
Digo yo, ya no sé si sé lo que digo ó no lo sé.

Es confuso. Mas mi opinión es que posiblemente muy pocos lógicos han meditado estas críticas en particular. Razonan a lo Russell, escriben a lo Hilbert, y le dan para adelante.

En la "teoría de modelos" de la lógica moderna se sabe, o se dice, que el lenguaje de la lógica de primer orden tiene el suficiente "poder expresivo" para desarrollar justamente la "teoría de modelos".
O sea que, en realidad, sí que se ha meditado un poco este tipo de cosas.

Pero simplemente se las "usa" sin la suficiente crítica. O al menos, eso es lo que veo yo.
A lo mejor me he perdido de algo, ya que no he leído todo, y hay mucho material desparramado.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 01/08/2010, 01:32:52 pm
Yo creo que lo unico que hay que hacer para filosofar sobre matematicas es intentar entender a Wittgenstein http://es.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Wittgenstein (http://es.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Wittgenstein) el genio de la logica y el lenguaje de cuya obra pocos pueden considerarse entendedores. El libro que recomiendo es su Tractatus Logico-Philosophicus [texx]http://es.wikipedia.org/wiki/Tractatus_logico-philosophicus[/texx] que podeis leer aqui: [texx]http://es.wikisource.org/wiki/Tractatus_Logico-Philosophicus[/texx]

No puedo decir nada mas.

Esta tarde lo leo... A ver si es de verdad la "medicina" que me calme, jeje


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 01/08/2010, 01:42:05 pm
Le has echado un vistazo, échaselo antes de abordar seriamente su lectura. Si es lo que yo creo te va a producir una comezón existencial que hasta te va a salir un sarpullido.

No estoy muy seguro de lo que voy a decir porque la filosofía no es lo mio, pero a la vista de las cosas que se ven y que se leen yo diría que en ese mundo existe mucha gente perdida, desorientada, no todos claro está, pero ... no sé, no acabo de ver claras las razones del pensamiento filosófico y que es lo que buscan los filósofos de hoy, por supuesto siempre a la vista de lo que se ve. A lo mejor es que aún sé todavía menos de lo que yo creo que sé, que es bastante poco, también podría ser, pero ... cuando algo no lo entiendo la primera vez que lo leo, lo vuelvo a leer con más atención, si sigo sin entenderlo entonces hago un esfuerzo aún mayor y si a pesar de eso sigo sin entenderlo lo dejo estar por inutil. Vano esfuerzo el mío y el de quien escribió el texto.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 01/08/2010, 02:11:05 pm
Le has echado un vistazo, échaselo antes de abordar seriamente su lectura.

¿No le tenés fe? Jaja.

Es terreno dudoso, sin duda.

Sin embargo tiene una "Introducción" de Bertrand Russell, diciendo que es un tratado importante en la historia de la lógica.
Es del año 1922, así que supongo que tiene en cuenta las grandes controversias que hubo en los años anteriores a esa época.
Sin embargo, seguro no tiene en cuenta el Teorema de Godel que es del año 1930, y mucho menos los avances posteriores de Tarski y otros, los cuales constan en el libro de Rybakov que he nombrado.

Me gustaría algo más actualizado, pero parece un libro que hay que leer.
También tendría que leer cosas de Russell.
No soy muy ordenado, jeje, voy según lo que me va apareciendo en el camino.

Cita
no acabo de ver claras las razones del pensamiento filisófico y que es lo que buscan los filósofos de hoy, por supuesto siempre a la vista de lo que se ve.

 :-\

Hay de todo en la viña del señor.
Mas hay algunos filósofos aquí en el foro que trabajan con gran seriedad, lo cual me consta.

Cita
A lo mejor es que aún se todavía menos de lo que yo creo que sé, que es bastante poco,

Yo estoy igual.
Pero de a poco se descubren cosas interesantes.

He leído el libro de Georges Ifrah: "A Universal History of Numbers", que enseña mucho a entender la psicología humana acerca de los números naturales, su origen y evolución.
Es un libro de divulgación, pero basado en rigor científico. A mí al menos me inspiró confianza.

Ahí en ese texto descubrí a un tal "Dantzig" con su libro "Number, the language of science", que complementó algunas cosas más, aunque muchas cosas que dice me aburrieron porque ya las sabía, y no contribuyen a entender el fundamento mental o cultural de los números naturales, que son el meollo del problema.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 01/08/2010, 06:30:31 pm
Lo que me refiero es que  ,no es bueno comprometerse emocionalmente .porque uno no sabe si en su búsqueda va a encontrar mas pruebas que refuten su  propia postura .
Por ejemplo ante un problema matemático ,que aparentemente no tiene solución ,como por ejemplo pi y el circulo ,no puedo estar en forma continua tratando de resolver algo así porque es darse la cabeza contra un muro :banghead: o terminar con la cabeza saliendo humo ??? y mas confundido que al comienzo . :-\
Entonces lo que hago es dejar anotadas las ideas mas claras que tango al respecto y comienzo al día siguiente en la mañana cuando este totalmente despejado y desayunado :D ,dedico una media hora hasta tener una nueva idea clara que me permita seguir trabajando .por ello me párese divertido y relajado.
Mientras tanto uno puede leer sobre el tema , y rumiar la idea en la cabeza o en un debate .
Uno nunca sabe, Newton  el día menos pensado vio caer una manzana y se le presento la idea con claridad ,pero sabemos que estuvo harto tiempo tratando de concretar esa idea (gravedad universal).
Me parece muy importante tratar de unificar las  diferentes posturas que se tienen frente a la lógica pero creo yo que hay que tener una idea clara que sirva de apoyo para poder comenzar.
También creo de acuerdo a lo poco que he leído ,de Aristóteles,Kant ,Hegel ,Descartes ,Hume etc ..Siguen siendo los referentes cuando de lógica se trata y los filosofos y lógicos posteriores  no hacen nada nuevo solo seguir las diferentes corrientes que surgen de ellos algunos llegan a ser exotéricos ,(a Kant seguro le daria un ataque alguna de estas posturas postkantianas ),la verdad es que ninguna de sus definiciones hechas por estos grandes filósofos me gusta del todo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Alexey en 01/08/2010, 06:50:29 pm
Hola de nuevo. Veo que eres una persona con muchos intereses. Estoy con Jabato en lo de que la filosofia no me gusta mucho porque a veces se meten en terrenos que la ciencia aborda, como las cuestiones de si el universo es finito o infinito (ejemplo banal), pero sin ningun fundamento ni metodo entonces elucubran mucho y no dicen nada al final. Pero esa es la diferencia entre la filosofia y la ciencia, que esta ultima es mucho mas refinada y tiene un metodo implacable de raciocinio. Yo considero que he estudiado bastantes libros de filosofia porque tampoco lo entendia al principio y me di cuenta de que hay que entender el ambiente historico y como pensaria uno en su situacion. Wittgestein era un aristocrata austriaco marxista que aborrecia el ascenso de Hitler y que tenia problemas muy doloroso en la familia (como que lo habian reprimido y convertido en un ser timido y poco sociable). en este mar de angustia busco algo para fijar lo que le rodeaba (algo parecido a lo que hizo descartes que tras una vida de humillacion, donde la mitad de las mujeres de su familia habian sido quemadas por brujas y la locura reinaba en las callas, decidio establecer una pauta perfecta y armoniosa para sentar las bases del mundo y asi coloco dos ejes sobre todo lo que veia y descubrio como todas las formas, texturas y variaciones de colores o luminosidad que vemos a nuestro alrededor se pueden expresar con ecuaciones matematicas y se puede escribir todo el universo de manera ordenada y humana a traves de una escritura nueva que es la que da inicio a la geometria analitica) y lo encontro en las entrañas de la matematica, buscando el principio del que emanaban todas las leyes del universo y ese campo fundamental de las matematicas es la logica. En realidad wittgestein no es un filosofo ni descartes ni galileo ni newton ni freud aunque se suelen estudiar en los libros de filosofia porque lo que les permitio investigar cientificamente es fruto de su momento historico y su pensamiento filosofico. Ellos son todos cientificos y Wittgestein era un matematico que a partir de lo que descubrio se dispuso a escribir una serie de frases que expresarian su idea sobre la logica y el sentido que tienen los planteaminetos umanos. La pena es que en su convulsa vida (dicen que era un homosexual reprimido) quemo todo su recorrido mental que habia escrito ya y cuando se arrepentio se dispuso a escribir una breve compilacion de sus ideas sin explicar como llego a ellas. por eso en el prefacio del Tractatus Logico-Philosophicus dice
Cita
Quizá este libro sea sólo entendido por alguien a quien ya se le han ocurrido los pensamientos que se expresan en él - o al menos pensamientos similares. - Por tanto, no es un libro de texto. - Su propósito se habría logrado si hiciera disfrutar a una persona que lo leyera y lo entendiera. El libro se ocupa de problemas de filosofía y muestra, creo yo, que la razón por la que estos problemas se pueden proponer es porque la lógica de nuestro lenguaje está mal entendida.
Es una recopilacion de notas sueltas. Por lo que es dificil de leer. Yo he logrado entender algunos conceptos despues de haber leido mucho sobre logica proposicional y sobre teoria de conjuntos pero es muy complicado su pensamiento y por eso te recomiendo que leas sobre todo lo que han escrito otros sobre el porque empezar directamente leyendolo es contraproducente.

En serio, este filosofo (mejor dicho, logico) era un genio. No creais que yo lanzo lecturas al azar y que es un tio que tiene una secta de subditos que lo consideran un genio incomprendiado. Lo he propuesto porque esta considerado uno de los mayores filosofos de todos los tiempos y la mayoria lo pone a la altura de Kant, Hegel o Marcuse. De verdad que no es ningun charlatan que se cree superior como algunos filosofos que he leido (ejeem Nitsche ejeem). De verdad, cojete algun libro bueno de filosofia (desgraciadamente en español no hay, los italianos son los mejores) y hazte el recorrido historico de los filosofos desde galileo (el problema en españa es que hacen una papilla de conceptos desordenados sin imponer una vision historicista autor por autor). Se que es un coñazo pero sin se hace asi la filosofia es una mierda. Cuando llegues al wittgenstein te resultara mucho mas facil entender su pensamiento. Y lo vuelvo a repetir: si puedes, leete otros pensadores de su epoca que hablen de la logica o incluso que hablen sobre el.

Se que es mucho trabajo pero si lo logras (yo no lo hice tan correctamente) estoy seguro de que lo entenderas bien y tus dudas sobre la realidad profunda de la logica se transformaran en exitacion por lo nuevo aprendido. Yo la verdad no lo he entendido en casi nada pero lo que he pillado (gracias tambien a otros filosofos) me resulta cautivador y se que te gustara. Se que es anterior a godel pero lo que importa no es sobre su forma te entender el calculo logico sino de entender cuales son los efectos en el mundo real.

Lo siento, pero es que me explico muy mal y tengo que escribir mucho para que se entienda algo.
Que te sea leve. ;D


__________________________________________________________________________

Actualizacion:

Cita
a Kant seguro le daria un ataque alguna de estas posturas postkantianas
:D no te quepa la menor duda.

Por cierto argentinator, acabo de recordar que un articulo que me ayudo bastante a entender la logica proposicional en el sentido mas filosofico fue este (http://www.mat.puc.cl/~rlewin/apuntes/logica_soc.pdf)

P.D. no puedo escribir tildes con el teclado, no me juzgueis.   :-[


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 01/08/2010, 07:13:11 pm
Me interesan muchas cosas, es cierto, pero principalmente estoy preocupado intensamente por llegar a un fundamento sólido de la matemática.

La cosa es simple: todo el mundo confía en que la matemática es sólida.
Los matemáticos confían en la lógica porque es sólida.
¿Y los lógicos? Van por caminos extraños, con bases dudosas, o que no me convencen.

Así que, ése es el problema. Busco un "esquema" que me permita estar seguro de la matemática misma, hasta cierto punto, sin incertidumbres, ni brumas, ni métodos "sacados de la galera".

Has nombrado muchos filósofos de la lógica, pero a mí me gustan más los "modernos": Russell, Hilbert, Kronecker, Poincaré, Brouwer, Godel, Tarski, Turing, entre otros.

Al Wittgenstein nunca lo había oído nombrar, y sólo confío en él porque Russell habla muy bien de su Tractatus.

En cuanto al contexto histórico y personal de cada persona... la verdad es que no me parece demasiado relevante.
A todos nos pasan cosas en la vida, pero los descubrimientos matemáticos se vuelven independientes de las cuestiones emocionales. Pasan a nutrir a la humanidad.

Muchas cosas afectan a cómo estructuramos el conocimiento y la ciencia.
Y si uno se mete de cabeza, termina leyendo un montón de cosas que se alejan de lo que a uno realmente le interesa.
Soy conciente de que todo en definitiva influencia sobre todo lo demás, y se hace difícil desenredar la maraña de las cosas.
Pero ponerme a leer todo eso que me has dicho... No lo creo.

Fijate que la vida es corta, el tiempo disponible es breve, y uno tiene que "seleccionar" qué va a leer y qué no. Esto de Wittgenstein parece interesante, y lo estoy leyendo ahora.

Puedo leer a Russell, a Hilbert y otros, pero no a todos.
Cada vez que he tenido ocasión de toparme con alguna frase de Kant, me ha parecido un imbécil.
Aún así, mucha gente lo respeta, y no puedo andar ladrando gratuitamente por ahí.

Ni hablar de Nietzche, que lo considero un payaso o un loco. A ése sí que no me lo van a "enchufar".

No obstante, sí que leeré y estudiaré lo que vaya surgiendo en el camino.

De todos modos, si uno no encuentra satisfacción a sus dudas en los libros o en los especialistas, el único camino que queda es resolver el problema uno mismo.
Sin embargo, antes de lanzarme a pretender dar un fundamento sólido para la matemática, tengo que salir de la ingenuidad, y estar más informado, enterarme qué dice cada uno, qué hace cada quién, reflexionar, y algún día, si hay suerte, invento algo.

Mi interés principal es la matemática, y por extensión, las cuestiones que están directamente relacionadas con ella: lógica, física, informática, epistemología de la matemática.

Me interesan otras cosas... pero no mucho.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 01/08/2010, 07:17:51 pm
Lo que me refiero es que  ,no es bueno comprometerse emocionalmente .porque uno no sabe si en su búsqueda va a encontrar mas pruebas que refuten su  propia postura .

Te agradezco la preocupación, pero ya tengo madurez para ocuparme de mis propias emociones, jeje  :P

Uno tiene que ocuparse de aquello que le interesa, así que la "emoción" es la guía.

No importa mucho si lo que encuentro es contrario a lo que me imagino.
Lo que me frustra es no tener claras las cosas, y no que sean o no como a mí me gustan.

Aprender implica que uno tenga que cambiar su punto de vista algunas veces.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Ser Humano en 01/08/2010, 08:17:36 pm
Hola otra vez.
Perdón por tardar tanto en responder, no funciono si hay excesiva radiación solar presente :D .

Cita
Ahora bien, ese Teorema sigue siendo lógicamente válido aún si yo cambio esos símbolos que figuran ahí por otros, con tal de que la estructura lógica sea la misma.
Y eso es así porque las leyes de inferencia lógica son "meramente formales", o sea, se ocupan sólo de la forma de las expresiones, y no de su "contenido".
Si se cambian los símbolos implementados, pero permanecen las nociones a las que se hace referencia, la conclusión será la misma. Si permanecen los mismos símbolos pero éstos hacen referencia a nociones diferentes, entonces no necesariamente la conclusión es la misma. Me parece que no nos estamos entendiendo, y que nos estamos refiriendo a cosas diferentes :( . Voy a poner un ejemplo por las dudas; si el/los simbolo/s [texx](\#A < \infty)[/texx] representa/n una determinada proposición y [texx]{\forall{B\subset A}(\# B< \infty)}[/texx] representa la negación de esa proposición, entonces no se puede concluir dicha implicación (o al menos es lo que noto ahora). Por eso es que decía que lo importante no es la simbología en sí, sino a que hace referencia ésta.

Cita
La lógica no se preocupa de si se hace referencia a "algo" externo, o con sentido para intuitivo para alguien.
Es mero cálculo, que transforma unas hileras de caracteres en otras. Eso es en definitiva una "demostración", y es algo que una computadora puede hacer, porque se trata de una actividad sistemática, sintáctica, sin significado.
No necesariamente ese "algo" debe ser "externo", basta con que ese algo tenga cualidades distintivas (tal vez imaginarias).
En las computadoras se programa el algoritmo, un algoritmo que se puede demostrar que es válido (lógicamente) como procedimiento para llegar a conclusiones a partir de nociones previas. El punto está que para formular el algoritmo se tienen en cuenta a que hace referencia con cada símbolo que puede ser introducido en el programa que lo ejecutará.

Cita
Hay unas expresiones que se forman mediante ciertas reglas sintácticas: algunas expresiones tienen sentido lógico y otras se tiran a la basura (algo como   [ \forall{\in{\in{\exists{\supset{xx\emptyset}}}}}]  no tiene sentido lógico, son signos puestos al azar).
Sí, totalmente; en un mensaje anterior había mencionado algo semejante, pero me parece que lo hice de forma poco clara. Era cuando me refería a que cierto conjunto de símbolos (que a su vez son un símbolo) o hacen referencia a una noción, o son inutiles.

Cita
A este nivel de cosas, no existen valores de verdad de esas proposiciones.
Pero ¿no son los axiomas premisas que se consideran ciertas a priori?

Cita
Pero aún así, que sean verdaderas o falsas esas proposiciones, no necesita hacer referencia a noción alguna.
Pero como se establece la verosimilitud de la proposición si no hace referencia a ninguna noción? (será que nos estamos refiriendo a diferentes cosas con el término "noción"?); Por ejemplo ¿se puede decir si **^¨_Ç es verdadera o falsa?

Cita
No es lo mismo la definición de "infinito" con una fórmula, que la intuición de infinito.
Pero entonces se está haciendo referencia a diferentes cosas con la misma palabra, y alli reside (al menos uno) de los problemas. Es decir, uno puede interpretar la formula, notar a que se refiere y compararla con la "noción intuitiva" de infinito; si no coinciden, entonces son nociones diferentes, y si son nociones diferentes poco útil es que se las llame de igual forma. Es decir, me parece que se puede trabajar con la formula porque no se está haciendo referencia a esa noción poco definida, sino que se está haciendo referencia a otra, que sí está bien clara.

Cita
No entiendo qué quisiste decir con "no-nociones".
Simbología que no hace referencia a algo; por ejemplo averiguar el valor de verdad de [texx](P(x)\longrightarrow Q(x)) \longrightarrow ||||[/texx]

Cita
Bueno, los entes perceptibles no los percibimos con precisión, y de lo poco que percibimos de ellos, descartamos muchas propiedades o cualidades complejas, y nos quedamos con algunas simples.
Luego las "representamos" matemáticamente, pero eso no es lo mismo que decir que "coinciden".
No me refiero para nada a ningún ente ontologico, sino que puramente lo que percibimos y llamamos entes. Por ejemplo, los colores y los sonidos se pueden trabajar con teoría de conjuntos, siendo que la generalización tratada en dicha teoría incluye a los casos de éstos.

Cita
Un tipico modelo de crecimiento de poblaciones es [P(t) = ce^{at}] , siendo a, c, unas constantes.
La población de un país dado podría modelarse con esa fórmula.
Pero supongamos que a = c = 1, para simplificar. En la mayoría de los instantes t, la población P(t) sería un número fraccionario. Por ejemplo, P(t) = 2.71.... si t = 1.
¿Acaso hay 2.71 personas tras t = 1 año?
No puede haber una cantidad fraccionaria de personas.
Claro, no. Alli el problema sería el decir que dicha situación es un caso paticular de la función tratada (la cual generaliza a muchas situaciones); debería decirse que la situación es semejante a uno de los casos particulares de la generalización tratada en la función, o lo que es lo mismo, a la función en sí.

Cita
En cuanto a los patrones que un ser humano puede distinguir quizá sean sólo los que "prefiere" distinguir.
Me refiero a que puede haber autolimitaciones psicológicas y culturales que orienten al ser humano a ver unos patrones y no otros.
Más aún si se trata de costumbres, o cosas enseñadas o inculcadas.
Probablemente, pero no dudo que si uno se lo propone, pueda saltear esas limitaciones.

Cita
Lo de la "relevancia" que has mencionado no tiene discusión.
Cada aplicación con su teoría...
Me refería a que si necesitamos resolver un problema de índole empirico, recurrimos a la lógica clásica, y no a otra, pues ella es la que nos da resultados "verificables" y útiles (si lo que queremos es resolver el problema).

Cita
Claro, eso es lo que hacen, y eso es lo que no logro aceptar.
??? realmente desconcertante.

Cita
Pero ahora yo me pregunto, ya que estamos razonando con la lógica PL (sin permiso de nadie) ¿pòr qué no usamos mejor IL?
¿O por qué no usamos incluso cualquier otra lógica mientras demostramos teoremas acerca de la lógica misma?
Eso sí es puro razonamiento inductivo; cuando queremos resolver un problema, como mencionaba antes, claramente recurrimos a la lógica clasica, y como por lo general nos da resultados "correctos", es decir, verificables de alguna otra forma (además del mismo razonamiento), inducimos que cada vez que tenemos un problema, si aplicamos la lógica clasica de forma efectiva, lo vamos a resolver. Claramente, no tendría por que ser así.
Pero acá de lo que se estaría dudando es de las nociones que se tienen en cuenta en un principio, y como "notar" si son ciertas o no. Es decir, que se están poniendo en duda los axiomas, y eso es un problema en el sentido que al ser axiomas no cabe la posibilidad de una demostración, a menos que la misma sea realizada a partir de otras reglas arbitrarias, es decir, más axiomas  >:( .

Cita
Ahora bien, se habla de cardinales como si fueran algo establecido en forma única, sin duda alguna ni ambigüedad.

Pero eso no puede tomarse a la ligera, porque se sabe que hay teorías de conjuntos en los que hay más cardinales o menos que en otras.
Así que la noción de "cardinal" no es clara, es ambigua.
Esto escapa totalmente a mis nociones, pero algo a tener en cuenta (en cualquier tema) es que si son nociones diferentes, poco importa si las llaman iguales, porque se están refiriendo a diferentes cosas; Si yo dentro de mi casa le digo a los "perros", "arboles", y fuera de mi casa le digo "perros", entonces tengo que tener en cuenta (y cualquiera que me escucha) que cuando me meto en mi casa estoy haciendo referencia a algo diferente con la misma palabra, con el mismo símbolo. Pero claro, siempre es preferible que no se llegue a una situación como esa, que solo presta a confusiones.

Cita
¿Cómo se los usa impunemente en etapas constructivas de la matemática, si encierran dilemas estructurales y teóricos que no son triviales en lo absoluto?
Creéme cuando digo que comprendo claramente lo inconcebible que probablemente te resulten, como a mi me resultan, que se hagan las cosas de esa forma.

Saludos ;)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 01/08/2010, 10:25:00 pm
Cita
Ahora bien, ese Teorema sigue siendo lógicamente válido aún si yo cambio esos símbolos que figuran ahí por otros, con tal de que la estructura lógica sea la misma.
Y eso es así porque las leyes de inferencia lógica son "meramente formales", o sea, se ocupan sólo de la forma de las expresiones, y no de su "contenido".
Si se cambian los símbolos implementados, pero permanecen las nociones a las que se hace referencia, la conclusión será la misma. Si permanecen los mismos símbolos pero éstos hacen referencia a nociones diferentes, entonces no necesariamente la conclusión es la misma. Me parece que no nos estamos entendiendo, y que nos estamos refiriendo a cosas diferentes :( .

Suponte que escribo [texx]a= b[/texx] seguido de [texx]b=c[/texx].
¿Concluirías que [texx]a=c[/texx]?
Seguro que sí, aunque poco importa qué signifiquen las letras a, b, c.

Se trata de reglas formales. Así como la aritmética o el álgebra tienen axiomas, también los tienen la teoría de conjuntos y la lógica misma.

Hay axiomas de la lógica para "implicaciones" y para "igualdades". Por ejemplo:

[texx](x=y)\Rightarrow{(y=x)}[/texx]

Eso es un Axioma lógico, y no importa si alguien les da significado o no.

Una computadora no tiene que preocuparse de si x, y tienen sentido, ni siquiera de que = sea un signo de igualdad.
Hace las inferencias y listo. El significado se pierde, y a nivel de máquina es sólo una cuestión de "transformar una lista de caracteres en otra".

Cita
Cita
La lógica no se preocupa de si se hace referencia a "algo" externo, o con sentido para intuitivo para alguien.
 punto está que para formular el algoritmo se tienen en cuenta a que hace referencia con cada símbolo que puede ser introducido en el programa que lo ejecutará.

El "sentido" del símbolo introducido a la computadora solamente lo entiende un ser humano, el que la programó, pero una vez que has metido los caracteres en la máquina, la máquina no entiende nada, y a ella sólo le concierne con qué reglas debe transformar una cadena de caracteres en otra.


Cita
Cita
A este nivel de cosas, no existen valores de verdad de esas proposiciones.
Pero ¿no son los axiomas premisas que se consideran ciertas a priori?

No.

Justamente en la lógica hay una gran diferencia entre una proposición "demostrada" y una "verdadera".

Tomemos el caso de la regla de transformación "Modus Ponens", que dice:

Si [texx]p \wedge(p\Rightarrow{ q})[/texx] entonces [texx]q[/texx].

Esto quiere decir que la "computadora" busca en la cadena de caracteres una estructura compatible con la expresión [texx]p \wedge(p\Rightarrow{ q})[/texx], se fija qué trozo de la cadena corresponde a "p", y cuál corresponde a "q".
Una vez que lo logra, "transforma" la cadena anterior en el trozo "q".

Si p fuera [texx]x^2+1=0[/texx] y q fuera [texx]x=i[/texx], entonces la máquina transformaría cada aparición de la cadena [texx](x^2+1=0) \wedge((x^2+1=0) \Rightarrow{(x=i)})[/texx] en la cadena [texx](x=i)[/texx].

Poco importa de dónde viene todo eso.

Si la máquina "reconoce" como p a algo como !/|a462, y como q a algo como SGDT!?, entonces la máquina obedientemente transforma la cadena [texx]!/|a462 \wedge(!/|a462\Rightarrow{ SGDT!?})[/texx] en [texx]SGDT!?[/texx].

Claro que antes de que eso pase, los lógicos se asegurarán de que ese tipo de "sentencias" no pertenezcan al lenguaje formal.
Pero quiero dejar claro de qué se trata una "demostración".

Una demostración es una "operación" tal que, dada una cadena de caracteres, da como resultado otra.

Nada se dice de si es cierta o no.

Ahora bien, a una cadena de caracteres se le puede transformar en alguna otra cosa, tal como una "función" lo haría, por ejemplo, en un valor de verdad, V o F (verdadero o falso).

La definición de "verdad" se hace un poco independientemente, siguiendo otras reglas.

Claro que para que todo encaje se procura que las proposiciones "demostradas" sean también "verdaderas".

Sin embargo, Godel mostró como una proposición verdadera puede que no sea "demostrable".
Una conclusión así sólo es posible si hay una clara diferencia entre el procedimiento de "demostrar" y el hecho de "ser verdadero".



Cita
Cita
Pero aún así, que sean verdaderas o falsas esas proposiciones, no necesita hacer referencia a noción alguna.
Pero como se establece la verosimilitud de la proposición si no hace referencia a ninguna noción? (será que nos estamos refiriendo a diferentes cosas con el término "noción"?); Por ejemplo ¿se puede decir si **^¨_Ç es verdadera o falsa?

Sí y no.
Se puede decir que es verdadera o falsa "después" de haber definido cuáles cadenas de caracteres las consideraremos verdaderas y cuáles falsas.

Que esto tenga sentido común o no, no interesa, uno lo puede hacer, con la misma arbitrariedad con que dictamine que una función sobre un conjunto dado vale tal o cual valor en cada x.
Aquí, la función tiene como "dominio" a ciertas cadenas de caracteres, y como imagen, los valores en un conjunto de dos elementos {V, F}.

Cita
Cita
No es lo mismo la definición de "infinito" con una fórmula, que la intuición de infinito.

Pero entonces se está haciendo referencia a diferentes cosas con la misma palabra, y alli reside (al menos uno) de los problemas. Es decir, uno puede interpretar la formula, notar a que se refiere y compararla con la "noción intuitiva" de infinito; si no coinciden, entonces son nociones diferentes, y si son nociones diferentes poco útil es que se las llame de igual forma. Es decir, me parece que se puede trabajar con la formula porque no se está haciendo referencia a esa noción poco definida, sino que se está haciendo referencia a otra, que sí está bien clara.

Sí, está bien, pero eso no quita el hecho de que uno nunca puede trabajar realmente con la "noción intuitiva" de infinito, porque justamente es intuitiva, y por lo tanto carece de objetividad.
Lo único objetivo son los "símbolos escritos en un papel", de los cuales todo el mundo puede opinar objetivamente.



Cita
Cita
Pero ahora yo me pregunto, ya que estamos razonando con la lógica PL (sin permiso de nadie) ¿pòr qué no usamos mejor IL?
¿O por qué no usamos incluso cualquier otra lógica mientras demostramos teoremas acerca de la lógica misma?
Eso sí es puro razonamiento inductivo; cuando queremos resolver un problema, como mencionaba antes, claramente recurrimos a la lógica clasica, y como por lo general nos da resultados "correctos", es decir, verificables de alguna otra forma (además del mismo razonamiento), inducimos que cada vez que tenemos un problema, si aplicamos la lógica clasica de forma efectiva, lo vamos a resolver. Claramente, no tendría por que ser así.
Pero acá de lo que se estaría dudando es de las nociones que se tienen en cuenta en un principio, y como "notar" si son ciertas o no. Es decir, que se están poniendo en duda los axiomas, y eso es un problema en el sentido que al ser axiomas no cabe la posibilidad de una demostración, a menos que la misma sea realizada a partir de otras reglas arbitrarias, es decir, más axiomas  >:( .

Bueno, yo veo las cosas de un modo similar o quizá igual: la lógica clásica proviene de un razonamiento inductivo, tal como vos decís: "Ya que funcionó hasta ahora, seguimos confiando en ella".
Pero ya sabemos que lo "inductivo" tiene sus fallas, con tal que un solo ejemplo viole la regla que los casos precedentes satisfacían.

No hay motivos empíricos para aceptar la lógica clásica en toda su generalidad.
Así como las propiedades de los conjuntos finitos no se extienden a los infinitos, también puede ocurrir que la lógica clásica, que ha funcionado en muchas situaciones, no necesariamente puede funcionar en todas las situaciones concebibles.

Hay quienes dicen que sí funciona siempre. Lo estoy analizando, pero por ahora sigo opinando que no, que la lógica clásica es tan falible como cualquier otra cosa, aunque reconozco su poder de resistencia a la falibilidad.

En cuanto a los axiomas, son elecciones de cada teoría.
El caso es que en la lógica misma se toman axiomas, y como resultado surgen muchas lógicas distintas, así como cambiando los axiomas de la geometría surgen muchas geometrías distintas.

En cada contexto una lógica será mejor que otra, según la "aplicación", pero en el caso de los fundamentos mismos de la lógica, ¿por qué usar aún la lógica clásica y no otra?

Cita
Cita
Ahora bien, se habla de cardinales como si fueran algo establecido en forma única, sin duda alguna ni ambigüedad.

Pero eso no puede tomarse a la ligera, porque se sabe que hay teorías de conjuntos en los que hay más cardinales o menos que en otras.
Así que la noción de "cardinal" no es clara, es ambigua.
Esto escapa totalmente a mis nociones, pero algo a tener en cuenta (en cualquier tema) es que si son nociones diferentes, poco importa si las llaman iguales, porque se están refiriendo a diferentes cosas; Si yo dentro de mi casa le digo a los "perros", "arboles", y fuera de mi casa le digo "perros", entonces tengo que tener en cuenta (y cualquiera que me escucha) que cuando me meto en mi casa estoy haciendo referencia a algo diferente con la misma palabra, con el mismo símbolo. Pero claro, siempre es preferible que no se llegue a una situación como esa, que solo presta a confusiones.

El problema con los cardinales es de "escalas".
Suponte el caso absurdo de que en una teoría axiomática A los números naturales posibles son sólo 1, 3, 5, etc.
En otra teoría axiomática B los números son 1, 5, 9, 12 y 34.
En otra teoría axiomática C los números son las potencias de 2.

Ahora viene un lógico y hace una teoría que se dedica a "contar" por ejemplo la cantidad de caracteres de una expresión dada.
Y suponte que se le ocurre usar la opción A porque es la que más conoce y le resulta cómoda.
¿Es esto correcto?
¿Se puede usar el concepto de número natural alegremente?
Yo diría que no, porque hay 3 conceptos distintos A, B y C, y nada garantiza que uno sea mejor que otro.

Con los cardinales infinitos pasa algo así, hay "números transfinitos" que en algunas teorías dejan de existir, y en otras teorías o modelos aparecen más de los acostumbrados.
Entonces, ¿por qué hablar de "cardinales" en tales contextos?
No es algo unívocamente determinado, no es aceptable.



Lo que dijiste del empirismo de la lógica clásica me gustó, pues yo también lo he pensado algunas veces, pero yo lo uso para argumentar contra su uso indiscriminado, y no para defenderla.

Como ves, al ponerse a pensar sobre el asunto, van apareciendo algunas coincidencias.

Pero tampoco quiero hacer "escuela", porque no estoy demasiado seguro de nada.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 01/08/2010, 11:50:57 pm
Estas cuestiones sobre expresiones vacías de significado... tienen nombres específicos en la teoría de lenguajes formales.

Al manejo y definición de un lenguaje formal y sus símbolos, se le denomina "sintaxis".
A la interpretación de esos símbolos, mediante valores de verdad de algún tipo, o incluso alguna otra interpretanción diferente, se le llama "semántica".

Hay una distinción entre "forma" y "significado".

No te puedo decir que yo esté seguro de lo "bien" que esta manera de trabajar le hace a la matemática, pero el caso es que se hace así.

Sintaxis por un lado y semántica por otro.

Los valores de verdad forman parte del costado "semántico".



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Ser Humano en 02/08/2010, 12:39:32 am
Hola argentinator

Cita
Suponte que escribo [a= b]  seguido de [b=c] .
¿Concluirías que [a=c] ?
Seguro que sí, aunque poco importa qué signifiquen las letras a, b, c.
Si previamente se a que hace referencia el símbolo = , sí, por el hecho de que se que los símbolos que se encuentran a ambos lados son formas equivalentes de mencionar la misma noción. Sin definir a que hace referencia = , podría no llegarse a esa conclusión (por ejemplo si = haría referencia a que se diferencian). En este caso, la nociones que representan [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] son muy generales, y son cumplidas por muchos entes particulares. De hecho, una vez que se sabe a que noción hace referencia el sigo = , es incluso necesario mencionar que los simbolos a y b hacen referencia a otra noción, ya que los símbolos en sí no cumplen que a=b, ni que b=c.

Cita
Una computadora no tiene que preocuparse de si x, y tienen sentido, ni siquiera de que = sea un signo de igualdad.
Hace las inferencias y listo. El significado se pierde, y a nivel de máquina es sólo una cuestión de "transformar una lista de caracteres en otra".
Pero las nociones a las que hacen referencia están implicitas en el algoritmo de resolución, en las nociones que se aceptan de antemano. De no ser así, parecería igual de util asignarle a cada conjunto de caracteres, otro de forma aleatoria.

En la implicación que mencionas, claramente se está haciendo referencia a la propiedad simétrica de la igualdad. No noto que sea un conjunto de caracteres que no hagan referencia a algo, porque noto, justamente, a que hacen referencia.

Cita
El "sentido" del símbolo introducido a la computadora solamente lo entiende un ser humano, el que la programó, pero una vez que has metido los caracteres en la máquina, la máquina no entiende nada, y a ella sólo le concierne con qué reglas debe transformar una cadena de caracteres en otra.
Claro, en ningún momento afirmo ello. Y si lo hice, fue un error  :D . Lo que sí digo es que para formular el algoritmo de resolución se tiene que tener en cuenta "a que hace referencia" cada símbolo, es decir, tener en cuenta cuales son las nociones que se manejan, más allá del símbolo que se implemente.

Cita
Si la máquina "reconoce" como p a algo como !/|a462, y como q a algo como SGDT!?, entonces la máquina obedientemente transforma la cadena [!/|a462 \wedge(!/|a462\Rightarrow{ SGDT!?})] en [SGDT!?] .
Claro que antes de que eso pase, los lógicos se asegurarán de que ese tipo de "sentencias" no pertenezcan al lenguaje formal.
Pero quiero dejar claro de qué se trata una "demostración".

Una demostración es una "operación" tal que, dada una cadena de caracteres, da como resultado otra.

Nada se dice de si es cierta o no.

Ahora bien, a una cadena de caracteres se le puede transformar en alguna otra cosa, tal como una "función" lo haría, por ejemplo, en un valor de verdad, V o F (verdadero o falso).
Como a ésta altura se notará, no me refería a ello al mencionar "demostración".
En el ejemplo que me das, al no definir, o decir a que hacen referencia cada uno de los símbolos, se está en el mismo caso inicial, en donde p y q podían ser cualquier cosa mencionada de esa manera (y en este caso esos símbolos son aquello a lo que haga referencia).

¿La verdad la conclusión no está asegurada por la verdad de las premisas? (en un razonamiento axiomaticamente válido como el que tratamos).

Cita
Sin embargo, Godel mostró como una proposición verdadera puede que no sea "demostrable".
Una conclusión así sólo es posible si hay una clara diferencia entre el procedimiento de "demostrar" y el hecho de "ser verdadero".
Seguramente que hay diferencias, de hecho yo noto a la demostración como un procedimiento, no como una cualidad. Pero si bien no son lo mismo, puede que exista una implicación entre ellos.
¿Pero como se "sabe" que esa proposición es verdadera si no se puede demostrar que lo es?

Cita
Aquí, la función tiene como "dominio" a ciertas cadenas de caracteres, y como imagen, los valores en un conjunto de dos elementos {V, F}.
Cuando uno menciona que una proposición es verdadera, no esta simplemente mencionando que es TRWEAS (o cualquier cosa), sino que esta haciendo referencia al preconcepto de la palabra.

Pero hay mucha razón en dudar de el valor de "verdad" de los axiomas de los que parte la lógica clasica, es decir, preguntarse por que no se puede establecer valores de verdad de forma aleatoria a otras proposiciones.

Cita
Sí, está bien, pero eso no quita el hecho de que uno nunca puede trabajar realmente con la "noción intuitiva" de infinito, porque justamente es intuitiva, y por lo tanto carece de objetividad.
Si, de eso no cabe duda (o tal vez pocas no más  ;D), pero es importante tener en cuenta que lo que se menciona como infinito, no es ese infinito, sino que otra cosa que se define de la manera expuesta.

Cita
Hay quienes dicen que sí funciona siempre. Lo estoy analizando, pero por ahora sigo opinando que no, que la lógica clásica es tan falible como cualquier otra cosa, aunque reconozco su poder de resistencia a la falibilidad.
Desde ya que no sé si es infalible, lo mio es una total incertidumbre al respecto. Hasta donde conozco, aun no hay respuesta definitiva sobre ello. Cualquier cosa que puedas averiguar sería magnifico que lo pongas en el hilo ;)

Cita
En cuanto a los axiomas, son elecciones de cada teoría.
El caso es que en la lógica misma se toman axiomas, y como resultado surgen muchas lógicas distintas, así como cambiando los axiomas de la geometría surgen muchas geometrías distintas.
A mi me parece que allí reside toda la problematica, en saber por que unos axiomas y no otros. Espero conocer la respuesta antes de morirme  :'( (sin intenciones de sonar fatalista :D)

Cita
En cada contexto una lógica será mejor que otra, según la "aplicación", pero en el caso de los fundamentos mismos de la lógica, ¿por qué usar aún la lógica clásica y no otra?
No solo me parece que no hay una forma de fundamentar eso, sino que encuentro una forma de refutar un planteo semejante; como habiamos hablado antes, el usar lógica clasica para fundamentar la propia lógica es aceptar (arbitrariamente) su validez para autofundamentarse (y si se acepta su validez para fundamentar de nada sirve demostrar, porque ya está aceptado).



El último párrafo no lo cito para no hacer muy extenso el mensaje; Nuevamente, el problema lo noto (como mencionaba más arriba) en la elección de axiomas, y el motivo por la preferencia de unos sobre otros.

Cita
Lo que dijiste del empirismo de la lógica clásica me gustó, pues yo también lo he pensado algunas veces, pero yo lo uso para argumentar contra su uso indiscriminado, y no para defenderla.
Me da la impresión de que te pareció que pretendía "justificar" la preferencia por el uso de esa lógica; Eso no es así, solo expuse lo que me parece que puede ser el motivo de su uso tan habitualmente, y de las "seguridades" que por lo general se sienten con respecto a ella.

Cita
Pero tampoco quiero hacer "escuela", porque no estoy demasiado seguro de nada.
jaja  :D ¿Podemos llamarla la "escuela Pitagórica" o ya usaron ese nombre?  ;D


La charla es tan amena que casi no me molesta pasar tanto tiempo escribiendo;

Saludos  ;)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Ser Humano en 02/08/2010, 12:43:54 am
Sintaxis por un lado y semántica por otro.
Pero para establecer la sintaxis (los algoritmos de resolución) ¿no implementan la semantica? porque los algoritmos desembocan en conclusiones definidas, lejos de ser asignadas arbitrariamente (sólo se imponen arbitrariamente los axiomas).

Hasta la proxima ;)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/08/2010, 03:37:30 am
Realmente es posible fundamentar la matemática en la lógica matemática, pero llevo dándole vueltas a la pregunta ¿de donde salen los esquemas de dicha lógica y en que se fundamenta? y no soy capaz de contestarla, solo se me ocurren simplezas del tipo "Principio de la no contradicción", "Principio del tercero excluido", etc, pero no soy capaz de ver más allá.

¿Realmente será cierto que los principios de la lógica aristotélica son de tipo axiomático y se aceptan ó no se aceptan pero no pueden cuestionarse?. Si ello es verdaderamente así entonces ¿en que estamos fundamentando la matemática? ¿Como vamos a cuestionar la lógica matemática usando los razonamientos de la metamatemática, semanticos ó de índole similar? De verdad argentinator que yo no le veo sentido a tus inquietudes y desazones en ese aspecto, ó yo no te entiendo ó creo que te preocupas por cosas que no tienen la menor importancia, la matemática es incuestionable porque la lógica matemática también lo es y no hay mucho más que decir.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 04:23:36 am
Jabato, si algo se vuelve incuestionable, es que deja de ser ciencia para ser un dogma.

Hay filósofos que niegan y detractan por deporte.
Sin embargo, no es mi caso.

Como yo lo veo, lo único que justifica a la lógica es que la gente se ha acostumbrado a sus reglas.

Hay muchas cosas que estoy cuestionando, pero me centraré en esto por ahora:

Vos decís: "la lógica ya está, la usamos y listo".
Pero el problema acá es el uso del artículo "la".

No hay "una sola" lógica, hay muchas. ¿Cuál elijo?
Hay lógicas que no aceptan el "tercero excluido".
Hay expertos matemáticos que dicen que "hay que rechazar el principio del tercero excluido".
Hay otros que dicen que "hay que aceptar el tercero excluido".

¿A quién le creo? ¿A cuál de los dos?

Llamemos LOG1 a la lógica que usamos todos, la cual acepta "tercero excluido" como uno de sus principios de razonamiento (Russell y compañía).
Llamemos LOG2 a la lógica que no acepta al tercero excluido (Brouwer y amigos).

Ahora bien.
Tomemos una lista de símbolos [texx]S = \{\forall,{\exists,{\in,{\wedge,\vee,\Rightarrow,{\subset,{(,),=,x,y,z,|,\sim{}}}}}}\}[/texx].

Formemos con ellos un lenguaje de primer orden L.
Esto quiere decir que hay igualdades de variables ([texx]x=z[/texx]), combinadas con conjunciones, disyunciones, implicaciones y negaciones, ([texx]\wedge,\vee,\sim{},\Rightarrow{}[/texx]), y también vale preceder esas expresiones con variables cuantificadas ([texx]\forall{x},\exists{y},[/texx] etc).
No vale cuantificar sobre "expresiones complicadas", sólo sobre variables.

Ahora, con ese lenguaje L, damos los axiomas usuales de la lógica.
Por ejemplo, para cualesquiera expresiones válidas p, q del lenguaje L, tenemos el axioma lógico:

[texx]p\Rightarrow{(q\Rightarrow{p})}[/texx]

Hay varios más, algunos involucran igualdades...

Si dentro de esos axiomas lógicos ponemos el siguiente:

(*) [texx]\sim{\sim{p}}\Rightarrow{p}[/texx]

entonces hemos puesto el axioma del tercero excluido en este sistema lógico.

Llamemos a esta lista de axiomas: "La lista de axiomas lógicos estándar del lenguaje de primer orden".
Y abreviémosla con A1.

Si no incluimos el axioma (*) del tercero excluido, entonces nos queda la "lista de axiomas lógicos intuicionista del lenguaje de primer orden", que no permite al tercero excluido.
O sea, de la doble negación de p no se deduce p.

Abreviemos a esta lista de axiomas intuicionista con A2.

Finalmente, se dan reglas de inferencia, por ejemplo, Modus Ponens:

Si uno tiene en una lista de proposiciones [texx]p[/texx] y [texx]p\Rightarrow{q}[/texx], entonces concluye que [texx]q[/texx] ha sido "demostrada".

O sea, manipulando expresiones del lenguaje L, uno pasa de unas expresiones a otras mediante meras transformaciones de "símbolos" y a eso es lo que uno llama "demostrar".
Se permiten sólo "axiomas" y "modus ponens" para ir "demostrando" nuevas proposiciones.



Prosigamos.

Ahora uno puede estudiar las expresiones lógicas del lenguaje L, y determinar si entre ellas hay algunas que satisfacen los axiomas A1 ó no, puede estudiar y establecer resultados que indican si ciertas expresiones de L son "demostrables" o no lo son.

Uno puede asignar valores de verdad a las proposiciones mediante algún criterio que se ha de especificar, y en tal caso puede estudiar si las proposiciones verdaderas son demostrables o no, y si las proposiciones demostrables son verdaderas o no.

Los resultados obtenidos para los sistemas axiomáticas A1 y A2 son distintos, porque son sistemas distintos.
Eso es claro, y ni amerita ejemplificar.



Pero ya sea que estudiemos los axiomas lógicos A1 o los axiomas lógicos A2,
en cualquier caso, los resultados obtenidos sobre ellos se logran "razonando" de alguna manera sobre ellos.

Los razonamientos que se hacen sobre ellos se hacen mediante "alguna" clase de inferencia lógica.
Y yo pregunto: ¿cuál lógica usamos de las dos que puse al principio: la LOG1 o la LOG2?

Si nos fijamos, la LOG1 se parece mucho a la A1.
La A1 es como una "pintura" o "retrato" de la LOG1, hecho dentro del "cuadro" del lenguaje L.
La A2 es como una "pintura" o "retrato" de la LOG2, hecho dentro del "cuadro" del lenguaje L.

¿Cuál de las dos lógicas debemos usar para estudiar a las A1 y la A2?
¿Usamos la LOG1 o la LOG2?



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/08/2010, 04:46:34 am
No se trata de que sea incuestionable sino opcional, indiferente, que puede ser aceptado ó no.

Está muy claro, las conclusiones usando uno cualquiera de los sistemas pueden ser muy distintas unas de otras, pero si aceptamos uno de los sistemas L1 ó L2 lo aceptamos con todas sus consecuencias. Elige el que más te guste pero no puedes elegir los dos, debes elegir uno de ellos y lo que obtengas será consecuencia de tu elección. ¿Cual es el que debes elegir? No tiene por que haber uno que sea mejor que el otro, deben ser considerados como sistemas independientes y como no puedes discernir cual es mejor si los dos son consistentes cualquiera deberá valer, junto con todo lo que arrastra por supuesto.

Para mi esas son las disyuntivas, eliges un sistema lógico y te atienes a él. Es que no veo la forma de poder criticar un sistema lógico. Si me dices en que forma podríamos discernir cual de entre dos sistemas lógicos es el mejor pues veríamos en que forma y de que manera, pero contéstame a esta última pregunta ¿como, en base a que criterios, decidimos cual de los sistemas es el que vale y cual no? Yo, sinceramente no veo la forma, pero es que aún hay más, es que yo creo que no la hay salvo que algún día se demuestre que alguno de ellos es inconsistente porque conduzca a contradicción, cosa que dudo llegue a ocurrir.

Te dire otra cosa también, pero esto es un tema opinable, para mi el principio de tercero excluido es demasiado rígido, encorseta la matemática y no permite su desarrollo. Creo que es posible crear otras lógicas más abiertas al mundo, más realistas, pero eso es solo una opinión. 

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Fernando Revilla en 03/08/2010, 04:54:12 am
No hay "una sola" lógica, hay muchas. ¿Cuál elijo?
Hay lógicas que no aceptan el "tercero excluido".
Hay expertos matemáticos que dicen que "hay que rechazar el principio del tercero excluido".
Hay otros que dicen que "hay que aceptar el tercero excluido".

¿A quién le creo? ¿A cuál de los dos?

Claro, estamos hablando de construcciones mentales. Se puede elegir.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 04:57:01 am
Hola Ser Humano.

Cita
Claro, en ningún momento afirmo ello. Y si lo hice, fue un error   . Lo que sí digo es que para formular el algoritmo de resolución se tiene que tener en cuenta "a que hace referencia" cada símbolo, es decir, tener en cuenta cuales son las nociones que se manejan, más allá del símbolo que se implemente.

No, no se tiene que tener en cuenta nada, porque para plantearle el algoritmo a la computadora, eso es totalmente irrelevante.
Si a mí me da "amnesia" y me olvido para qué programé el algoritmo, la máquina seguirá dando los mismos resultados.
Y eso muestra que lo único que importa, a nivel de lenguaje, es "el procedimiento" y no el "sentido" o las "nociones" implicadas.

Los caracteres no necesitan significado, ni sentido, ni estar asociados a nociones, para transformarse unos en otros.

Si en vez de usar el signo "=" usara el signo "*", sería lo mismo.
Los axiomas serían quizá de la forma: [texx](x*y)\wedge(y*z)\Longrightarrow{(x*z)}[/texx], y eso solamente me estaría diciendo que, a fin de cuentas, el símbolo "*" servirá para indicar alguna relación transitiva.

Poco importa si le llamo "=" o "*" o "\omega", o lo que se te ocurra.
La "transitividad" no me la da lo que "el símbolo (=) me sugiere", sino que su "sentido" está dado "a posteriori" exclusivamente por los axiomas que yo haya puesto de Reflexividad, Simetría y Transitividad.

Todo sistema axiomático funciona así. Los objetos o símbolos de una teoría no tienen significado alguno, hasta que uno estipula axiomas que han de cumplir y que los vinculan entre sí.
El significado de los símbolos se adquiere luego tras ver cómo esos axiomas permiten "jugar" a los objetos primitivos de la teoría entre sí.



Es más, se puede estudiar una teoría axiomática sin siquiera preocuparse por si representan una noción "intuitiva" o no que a uno le inspire algo.

Si planteo los axiomas siguientes:

Elementos primitivos: [texx]P,L[/texx] (ciertos conjuntos).

(1) [texx]\forall{r}(r\in{L}\Rightarrow{r\subset{P}})[/texx]
(2) [texx]\forall{a\forall{b}}(a\in P\wedge b\in P\Rightarrow{} \exists{r}(r\in{L}\wedge a\in{r}\wedge b \in{r}))[/texx]
(3) [texx]\forall{r\forall{s}}(r\in L\wedge s\in L\Rightarrow{} \exists{a}(a\in{P}\wedge a\in{r}\wedge b \in{s}))[/texx]

¿Qué sentido tienen esos axiomas?
Un montón de situaciones podrían modelarse con esos axiomas.
Pero en principio no hace falta que correspondan a ninguna "noción".
Y sin embargo uno puede demostrar teoremas a partir de suponer la validez de (1), (2) y (3).


Cita
¿La verdad la conclusión no está asegurada por la verdad de las premisas?

Sí, pero el "procedimiento" de demostrar es distinto que el "cálculo" de verdad.

Hay teorías que están tan mal hechas, que se puede demostrar todo en ellas, tanto lo verdadero como lo falso.
¿Qué es lo que está mal en ellas, el criterio de verdad, el método de demostración, o los axiomas?

Hay teorías en las cuales, si algo es demostrable, entonces es verdadero.
Pero si es verdadero, no quiere decir que haya una demostración que lo pruebe.
Es el caso de la aritmética misma, sin ir muy lejos.

El "procedimiento" de demostrar es sólo eso, un procedimiento, que transforma unas cadenas de símbolos en otras, y al final se obtiene "algo", otra cadena se símbolos.
Luego uno puede "calcular" si esas cadenas de símbolos son verdaderas o no.

Si la teoría está bien construida, entonces las demostraciones sólo conducen a resultados verdaderos.



Fijate si la explicación que le di a Jabato de las diversas etapas de construcción te aclaran un poco cómo se trabaja hoy en día en la matemática "estándar".

Etapa 1: una lista de símbolos S.
Etapa 2: un lenguaje L.
Etapa 3: Unas reglas de "demostración" o "inferencia".
Etapa 4; Axiomas

Y habría que agregar aún una:

Etapa 5: Asignar valores de verdad a las expresiones de L, y ver "qué onda".



Sin embargo, que la matemática estándar sea así, no significa que siempre vaya a quedar así.
Eso no se sabe.

Veo que te cuesta "despegar" los símbolos de sus "sentidos" o "intenciones" o "ideas" asociadas.
La matemática de hoy mantiene esas cosas "despegadas" para poder estudiarlas.
Pero a lo mejor haya que volver algún día a "volverlas a pegar".



En todo esto anda dando vueltas la lógica de aristóteles...
Yo doy por sentado que eso no sirve más, es anticuado.
¿Será ese mi error?

Hoy en día se conocen muchas cuestiones sobre la lógica del "lenguaje natural", pero son complejas.
No es para nada algo "trivial".
Y no puede uno "aceptar alegremente" que hay una "lógica ahí" que nos soluciona la vida.
Porque en realidad no somos concientes de los peligros que esa lógica acarrea.
De hecho, está llena de peligros, paradojas, se cuelan falacias de forma imperceptible por todas partes.

Así que "aceptar que hay una lógica incuestionable" no me parece que esté bien, porque según veo yo: NO ESTÁ CLARO CUÁL ES ESA LÓGICA INCUESTIONABLE.
Si hubiera claridad, unicidad, si por lo menos no hubiera dudas de cuáles son sus reglas en todos los casos, podría quizá aceptarla.
Pero la canoa me hace agua por todos lados.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Fernando Revilla en 03/08/2010, 05:00:48 am
Es que no veo la forma de poder criticar un sistema lógico. Si me dices en que forma podríamos discernir cual de entre dos sistemas lógicos es el mejor pues veríamos en que forma y de que manera, pero contéstame a esta última pregunta ¿como, en base a que criterios, decidimos cual de los sistemas es el que vale y cual no? Yo, sinceramente no veo la forma

De acuerdo.

Cita
Te dire otra cosa también, pero esto es un tema opinable, para mi el principio de tercero excluido es demasiado rígido, encorseta la matemática y no permite su desarrollo. Creo que es posible crear otras lógicas más abiertas al mundo, más realistas, pero eso es solo una opinión. 

Ahi no, es al revés. Se mofaba Hilbert de los intuicionistas diciendo que a propósito se ataban un brazo para boxear.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/08/2010, 05:01:18 am
Probablemente el único principio que deba ser aceptado por cualquier lógica posible, y que por lo tanto la caracteriza, es el Principio de no contradicción, todo lo demás es opcional, prescindible si quieres. Realmente la lógica podríamos verla como el arte de no contradecirse. Construye unos principios y aprende a preservarlos de forma sistemática mediante el uso de una pocas reglas (lógica proposicional, lógica de predicados, etc.)

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 05:18:14 am
Cita
Te dire otra cosa también, pero esto es un tema opinable, para mi el principio de tercero excluido es demasiado rígido, encorseta la matemática y no permite su desarrollo. Creo que es posible crear otras lógicas más abiertas al mundo, más realistas, pero eso es solo una opinión.

Bueno, por lo que he leído sobre el tema, te diría que es al revés, que en realidad "negar el tercero excluido" es algo que pone muchas restricciones a la matemática.

En realidad, no permite demostrar muchos resultados matemáticos clásicos que nos gusta mucho usar.



Ahora bien, con la nomenclatura que me inventé unos posts atrás,
te puedo decir lo siguiente: "razonando" en el estilo LOG1 (Russell) se ha "demostrado" que la lógica A1 (como Russell, pero ya dentro del lenguaje L), es "consistente".
O sea, da la sensación de ser una lógica muy sólida y confiable.

Como la lógica A2 (la intuicionista "dibujada" dentro del lenguaje L) tiene un axioma menos que la A1, es también "consistente".

Ser "consistente" quiere decir que "de una proposición no se puede demostrar su negación".

Quizá Phidias me pueda corregir en estas definiciones, ya que los lógicos son algo más puntillosos en esto, y todo se vuelve cada vez más "sutil".
Pero mi definición al menos "se entiende" a los fines de esta charla.

Los "resultados" de "consistencia", tanto de A1 como de A2, se deben hacer, claro está, como parte de la "metateoría", o sea, "razonando" según LOG1 (Russell) o según LOG2 (intuicionismo).

El hecho es que, en efecto, se usar LOG1 (Russell) para todo esto.

Luego está la cuestión de la "completitud".
A los axiomas de una teoría se les da el "valor" verdadero, arbitrariamente, porque para eso son Axiomas.
Luego se definen recursivamente en las expresiones del lenguaje cuáles proposiciones son verdaderas y cuáles falsas.

Una teoría es "completa" cuando existe una "demostración" para toda proposición "verdadera".
La teoría A1 es "completa", y esto quiere decir que todo lo que sea "verdadero" se puede demostrar en esa lógica.

La teoría A2 no sé si es "completa", creería que sí, porque es una subteoría de A1, pero en todo caso ojalá que Phidias me lo pueda confirmar.

No obstante, de nuevo, estos resultados de "completitud" pertenecen a la metateoría,
y para obtenerlos se ha "razonado" usando LOG1.



Si uno usara LOG2, ¿a qué resultados llegaría?



¿Y si usara alguna otra lógica?



De modo similar, también hay "opciones" acerca de las propiedades a usar de los números naturales.
Aunque los números naturales tienen su propia teoría dentro del lenguaje L,
hay cosas de ellos que se podrán probar o no, según qué axiomas se adopten, si los usuales, o los meros constructivistas.

¿Cuáles usar en la "metateoría"?

Y en todo caso, si esto se pudiera más o menos "limpiar", hay resultados "metateóricos" que implican el uso de "cardinales infinitos".
Y eso ya me supera la capacidad de tolerancia.

Lo veo con la misma ambigüedad que si usar "el valor" de una función compleja-multivaluada.

Son demasiadas concesiones.

Digo yo... a lo mejor todo tiene arreglo. Pero por ahora lo ignoro  :banghead:


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 05:29:08 am
Probablemente el único principio que deba ser aceptado por cualquier lógica posible, y que por lo tanto la caracteriza, es el Principio de no contradicción, todo lo demás es opcional, prescindible si quieres. Realmente la lógica podríamos verla como el arte de no contradecirse. Construye unos principios y aprende a preservarlos de forma sistemática mediante el uso de una pocas reglas (lógica proposicional, lógica de predicados, etc.)

Saludos, Jabato. ;D

Y bueno, pero muchas lógicas satisfacen eso.
Estoy de acuerdo con vos en que inclusive "toda lógica" debiera satisfacer la "no contradicción".

Pero ese sólo principio no alcanza para "determinar" una sola lógica definitiva.

Mas, creo que esto que has dicho, tan simple, podría ser la roca inicial en qué apoyarse.
Habría que ver "cuánto" puede obtenerse a partir de ese sólo axioma.

Escrita como axioma en el lenguaje L, tiene este aspecto:

[texx]\sim{(p\wedge \sim{p})}[/texx]

Si aplicamos (o mejor dicho, si aceptamos) ley distributiva y leyes de De Morgan, queda:

[texx]\sim p{\vee (\sim\sim{p})}[/texx]

No sé si pueda hacerse mucho más.



En cuanto a la lógica "estándar", la cual he llamado LOG1, y luego A1 dentro de L,
tiene la virtud de que las proposiciones verdaderas corresponden a tautologías, cuando uno usa las famosas tablitas de verdad.






Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/08/2010, 05:35:46 am
Pues no lo sé, yo ya ando muy perdido, quizás tengáis razón y sea cierto que negar el principio de tercero excluido es lo que encorseta la matemática, lo leí también por ahí en alguna parte. En fin no sé ya que opinar, el debate extralimita mis conocimientos y prefiero leeros que decir tonterías ó simplezas que a lo más que creo llegar.

En cualquier caso de los cuatro apartados que citaste:

Etapa 1: una lista de símbolos S.
Etapa 2: un lenguaje L.
Etapa 3: Unas reglas de "demostración" o "inferencia".
Etapa 4; Axiomas

El único que parece ser cuestionable, opinable ó criticable es el segundo, y tu mismo has dicho que es el único que no afecta a la consistencia del sistema lógico, que si al programador se le olvida el lenguaje con el que programó a la computadora la máquina seguiría funcionando y demostrando teoremas sin problemas, estoy de acuerdo en eso, pero eso supondrá que la consistencia de sistema es independiente del la interpretación que hagamos nosotros de los símbolos que utilicemos ¿no?

Con los símbolos, los axiomas, y las reglas de inferencia sería suficiente.

Por otro lado los símbolos es indiferente cuales sean, no en cuanto a su cantidad, pero si a cuales usemos. Por lo tanto hemos eliminado las cuestiones semánticas y lo que nos queda son las reglas y los axiomas.

¿Podemos cuestionar las reglas de inferencia? Pues no estoy demasiado seguro. Pero en cualquier caso las distintas lógicas se resumirían en un conjunto de símbolos (una cantidad de símbolos para ser exactos) unos axiomas y un conjunto de reglas de inferencia.

Quedaría pendiente decidir si podemos modificar las reglas de inferencia y con qué criterio podemos hacerlo y esa es realmente la única duda que me queda. ¿Con qué criterios se construyen las reglas de inferencia? ¿Son fijas ó pueden modificarse a voluntad? ¿Que normas deben cumplir dichas reglas?

Saludos, Jabato. ;D 


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 06:01:30 am
El único que parece ser cuestionable, opinable ó criticable es el segundo, y tu mismo has dicho que es el único que no afecta a la consistencia del sistema lógico, que si al programador se le olvida el lenguaje con el que programó a la computadora la máquina seguiría funcionando y demostrando teoremas sin problemas, estoy de acuerdo en eso, pero eso supondrá que la consistencia de sistema es independiente del la interpretación que hagamos nosotros de los símbolos que utilicemos ¿no?

Bueno, en realidad no, porque las "computadoras" no son capaces de estudiar la consistencia o completitud de un lenguaje y los axiomas que le pongan.
Se trata de "metateoremas" que requieren que un "humano" los demuestre.

Si uno quisiera que una máquina sea capaz de hacer todo el trabajo, tendría una lógica diferente, más restringida que la que usamos los "humanos", y habría resultados metateóricos que no se podrían "probar" (estoy usando un sinónimo de la palabra "demostrar", para no confundir los contextos).

Por ejemplo, hablando de computadoras, hay un teorema equivalente al de Godel relacionado a máquinas de Turing, que dice lo siguiente:
"Hay un programa de computadora P del cual no se sabe si termina en finitos pasos o si se sigue ejecutando eternamente".
O sea, es "indecidible" en el sentido de "terminar de ejecutarse o no".

Según lo que yo sé (y si no me equivoco en esto), una computadora no es capaz de expresar o establecer o probar ese resultado de la máquina de Turing.
No tiene suficiente "poder expresivo", porque la computadora misma es una máquina de Turing.

Para poder probarlo, la máquina tendría que analizar "infinitos" programas al mismo tiempo, y eso no es posible, porque la máquina sólo puede analizar "de a una sola cosa a la vez".
Las máquinas son "constructivistas", ya que pueden "iterar" (tras el natural n pueden pasar a imprimir el natural n+1, y así sucesivamente), pero no son capaces de imprimir "todos los naturales n" en un solo golpe de vista.

Ahí se nota la diferencia entre el "infinito potencial" (de Brouwer) y el "infinito real" (de Cantor).

¿Cuáles de esos dos "infinitos" tengo permitido usar al "razonar" en una metateoría?



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 06:16:14 am
Cita
Bueno, en realidad no, porque las "computadoras" no son capaces de estudiar la consistencia o completitud de un lenguaje y los axiomas que le pongan.
Se trata de "metateoremas" que requieren que un "humano" los demuestre.

Aunque en realidad ahora dudo de esto que dije.

Después de todo, esto depende de la "metalógica" que uno use.

Ya me embrollé yo mismo.
Ahora sí que no entiendo más nada.  :D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/08/2010, 06:16:28 am
Ahí ya me pierdo, lo de la maquina de Turing es interesante pero ni idea de qué va la cosa. Contéstame a mi última pregunta, por favor:

"Quedaría pendiente decidir si podemos modificar las reglas de inferencia y con qué criterio podemos hacerlo y esa es realmente la única duda que me queda. ¿Con qué criterios se construyen las reglas de inferencia? ¿Son fijas ó pueden modificarse a voluntad? ¿Que normas deben cumplir dichas reglas?"

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 06:40:33 am
Bueno, no entiendo exactamente en relación a qué va esa pregunta.

Creo que me preguntás esto:

Dados unos símbolos S, y un lenguaje L hecho con ellos,
se dan después unos Axiomas lógicos A1, A2,...

Esa lista de axiomas lógicos son como cualquier otra lista de axiomas.
Es una lista de "expresiones" escritas en el lenguaje formal L, y listo.

En principio, no hay criterio alguno para dar esas reglas.
La gente es capaz de inventar muchas lógicas distintas.
Yo te dí dos ejemplos clásicos sencillos: la lógica clásica, y la intuicionista, que lo único que hace es "quitarle" el axioma del "tercero excluido" a la lista clásica.
Del thread del Teorema de godel, te copio la lista que dio Gustavo de los axiomas de la lógica "clásica", en su momento :


Finalmente, agregamos al lenguaje un símbolo especial, digamos [texx]\otimes{} [/texx], que servirá para escribir sucesiones de fórmulas. Formalmente definimos:

Axiomas lógicos:

Por definición, un axioma lógico es cualquier fórmula que se obtenga de los esquemas siguientes. (Como ya dije en otro mensaje, estos esquemas definen en realidad un algoritmo que permite reconocer, dada una fórmula, si ésta es, o no, un axioma lógico.)

1. [texx]F\Rightarrow{}(G\Rightarrow{}F)[/texx], donde [texx]F[/texx] y [texx]G[/texx] son fórmuas cualesquiera.

2. [texx]F\Rightarrow{}(G\Rightarrow{}H)\Rightarrow{}((F\Rightarrow{}G)\Rightarrow{}(F\Rightarrow{}H))[/texx], donde [texx]F[/texx], [texx]G[/texx] y [texx]H[/texx] son fórmuas cualesquiera.

3. [texx](-F\Rightarrow{}-G)\Rightarrow{}(G\Rightarrow{}F)[/texx], donde [texx]F[/texx] y [texx]G[/texx] son fórmuas cualesquiera.

4. [texx]\forall{x}F(x)\Rightarrow{}F(x/t)[/texx].
Una explicación aquí: [texx]x[/texx] respresenta una variable cualquiera y cuando escribimos [texx]F(x)[/texx] entendemos que [texx]x[/texx] es una variable libre en F, [texx]t[/texx] es un término y [texx]F(x/t)[/texx] es la fómrula que se obtiene reemplazando toda aparición de la variable [texx]x[/texx] por el término [texx]t[/texx]. Una restricción: si [texx]t[/texx] tiene variables, ninguna de éstas puede aparecer afectada por un cuantificador al efectuarse el reemplazo.

5. [texx]\forall{x}(F\Rightarrow{}G)\Rightarrow{}(F\Rightarrow{}\forall{x}G)[/texx] siempre que [texx]x[/texx] no aparezca libre en [texx]F[/texx].

6. [texx]x = x[/texx], donde [texx]x[/texx] es una variable cualquiera.

7. [texx]x = y \Rightarrow{} y = x[/texx], donde [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] son variables cualesquiera.

8. [texx]x = y \Rightarrow{} (y = z\Rightarrow{} x = z)[/texx]

9. [texx]x = y \Rightarrow{} t(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) = t(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n)[/texx], donde [texx]t[/texx] es un término cualquiera.

10. [texx]x = y \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n)[/texx], donde [texx]F[/texx] es una fórmula cualquiera.

Los axiomas 9 y 10 dicen esencialmente que si [texx]x=y[/texx] entonces podemos reemplazar libremente [texx]x[/texx] por [texx]y[/texx].

Los esquemas del 1 al 5 son los axiomas de la lógica primer orden, al agregar los otros se obtiene la lógica de primer orden con igualdad.

Ahora bien, para que la lógica "trabaje" hacen falta "reglas de inferencia".

Si hay una lista de proposiciones, todas ellas "axiomas" o "demostradas",
si entre ellas figuran [texx]p[/texx] y [texx]p\Rightarrow{q}[/texx], entonces está permitido "escribir" una nueva proposición, a saber, [texx]q[/texx], y se la considera "demostrada".
Ese es el razonamiento "Modus Ponens".

En la lista anterior están dados unos axiomas escritos todos con [texx]\Rightarrow{}[/texx].
No figura explícitamente la ley de "no contradicción", así que habrá que "demostrarla" a partir de los axiomas puestos ahí.

Lo mismo con la ley del "tercero excluido", que no me queda claro cómo se demuestra a partir de esa lista de axiomas. Imagino que habrá que hacer varios cálculos hasta lograrlo.

Mas, la cuestión es que uno puede dar entonces otra lista de axiomas en los que figure el "principio de no contradicción":
[texx]\sim{(F\wedge\sim{F})}[/texx]

Y después uno podría mostrar que estos axiomas lógicos son equivalentes a los de más arriba.



Uno puede poner los axiomas que quiera, y también puede elegir la "regla de inferencia" que se le antoje.
A continuación, uno se pone a analizar si esa lógica tiene "algún sentido".

O sea, una lógica que permitiera demostrar todas las proposiciones del lenguaje, no serviría para nada, ya que nuestro sentido común nos dice que, como vos bien decís, no puede aceptarse que sean demostrables tanto [texx]P[/texx] como su negación [texx]\sim{P}[/texx], o sea, no tiene sentido una lógica en que se demuestran "contradicciones".

Luego uno se pone a analizar otras cosas.
Por ejemplo, si con esa lógica es posible construir alguna otra teoría, ya sea de conjuntos , o de números.
Para esto, se agregan más axiomas: axiomas de una teoría específica, o sea, axiomas no lógicos.

Uno podría agregar los Axiomas de Peano, y ver qué pasa.

Al analizar una teoría, uno estudia si los axiomas de esa teoría no se contradicen entre sí, si unos axiomas implican a otros o no (si no lo hacen, se dice que los axiomas son "independientes"), y si la teoría es completa, o sea: dada cualquier proposición p, uno querría poder afirmar si p es demostrable, o bien su negación no-p es demostrable.
Si hay una proposición sobre la que no se puede demostrar ni p ni no-p, se dice que p es "indecidible", claro está, y la teoría que la contiene se dice que es "incompleta", pues hay algo que no se puede demostrar.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 06:49:38 am
Todos estos "análisis" y "estudios" acerca de un "sistema de axiomas lógicos" tienen que hacerse usando algún tipo de "razonamiento".
Pero ese "razonamiento" es "externo" al sistema lógico que estamos analizando.

Si "se parecen", es sólo una cuestión intuitiva, porque en realidad, fuera del lenguaje formal L, estamos usando sólo "metarrazonamientos", o como dicen por ahí, "el lenguaje natural", el "sentido comùn", o cosas por el estilo.

Yo podría aceptar esto, siempre que el nivel de complejidad de los resultados de la "metalógica" se mantuvieran dentro de un cierto grado de "sencillez" o "simplicidad".
Pero ocurre que los resultados "metalógicos" son cada vez más complejos y profundos.

Y entonces me preocupo porque, al menos a mí me lo parece, hay un gran descuido en las bases de toda esa teoría.
Cuando una teoría (en este caso "metateoría") se vuelve demasiado compleja y profunda, no puede seguir basándose en el "lenguaje natural" o un supuesto "sentido común", o una noción más o menos intuitiva de "número natural".



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 07:06:06 am
Usando la "flechita", la no contradicción tendría este aspecto, que a lo mejor se puede deducir más rápido:

[texx]\sim{(p\Rightarrow{\sim{p}})}[/texx]

A mí me gusta más este como un Axioma básico, igual que a vos, y no como algo que haya que "demostrar".


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/08/2010, 08:45:32 am
Pero no, no has contestado a mi pregunta creo, los símbolos, el lenguaje y los axiomas, que deben ser expresados usando los dos primeros claro está, no son lo que yo busco. Lo que ando buscando es cuales son las reglas que deben respetarse para desarrollar teoremas a partir de los axiomas.

Por ejemplo, en lógica proposicional ó lógica aristotélica creo que son las famosas reglas del silogismo las que priman, en lógica de predicados que es una extensión de la anterior existen también unas reglas para transformar correctamente unas fórmulas en otras, imagino que en lógica de segundo orden ocurre lo propio, pero ... ¿quien ó qué establece cuales deben ser las reglas y porqué unas son correctas y otras no?

No sé si me explico con claridad.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/08/2010, 09:17:53 am
Por ejemplo, veamos unos ejemplos secillos, de donde sale que se cumple:

[texx]a=b\wedge a=c\quad\Rightarrow{}\quad b=c[/texx]

Es demostrable ó se acepta por definición.

Y esta otra:

[texx]a=b\quad\Rightarrow{}\quad b=a[/texx]

etc.

Resumiendo, ¿como se construyen los teoremas? ¿quien ó qué decide que sea en esa forma en la que debe hacerse y no en otra?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Alexey en 03/08/2010, 01:03:42 pm
Por ejemplo, veamos unos ejemplos secillos, de donde sale que se cumple:

[texx]a=b\wedge a=c\quad\Rightarrow{}\quad b=c[/texx]

Es demostrable ó se acepta por definición.

Y esta otra:

[texx]a=b\quad\Rightarrow{}\quad b=a[/texx]

etc.




Resumiendo, ¿como se construyen los teoremas? ¿quien ó qué decide que sea en esa forma en la que debe hacerse y no en otra?

Saludos, Jabato. ;D

Os repito que esas preguntas son las que intento responder Wittgenstein. No quiero ser pesado pero en serio que este debate empezaría a dar sus frutos si lo estudiáramos cuanto más posible. Y repito, no es su vida emocional lo que importa sino la estructura mental de su clase y su época que le otorgan las herramientas de su pensamiento. Lo de que no hay que estudiar muchas cosas porque después tenemos un cacao mental es una idea que es fruto de no querer estudiar históricamente esas cosas. Cuanto mas leas mejor, esa es la ley. Bueno, como no quiero daros el coñazo paso a debatir con vosotros sin considerar la filosofía existente.

Uno de los planteamientos mas interesantes de las matemáticas es lo que acabas de mencionar de si es posible una explicación de [texx]a=b\wedge a=c\quad\Rightarrow{}\quad b=c[/texx] o simplemente tenemos que asumir este hecho como un dogma de fe sobre el cual cimentar todo nuestro conocimiento. Una explicación tendría que profundizar el la definición del símbolo =.
Es por esto que en teoría de conjuntos no existe definición sobre lo que es un conjunto, sino que se dice sistemáticamente que es un concepto autoevidente o concepto primitivo; es decir que se tiene que asumir como dogma y punto. Los axiomas de la teoría de conjuntos o los de la lógica no están sujetos a duda. Por eso son axiomas y no teoremas.

Lo importante de este debate es el entender que la lógica de lo que se encarga no es de encontrar los principios fundamentales que estructuran la realidad sino de encontrar las estructuras ancestrales que en lo profundo de nuestra mente subyacen para darnos esquemas de comprensión de aquello que nos rodea (según la interpretación de Copenhague estas dos cosas son la misma en realidad).

Lo que buscamos con la lógica por tanto es la base que nos permite tener nuestra forma de ver el mundo. Si cambiáramos algún axioma de la lógica o de la teoría de conjuntos desarrollaríamos nuevas matemáticas con las cuales habría otras formas de analizar los fenómenos o incluso predecir otros. Seguramente hayamos descartado todas las posibles gracias al hecho de que nuestra visión del mundo es una muy concreta y otra lógica no tiene lugar en nuestra visión. Es como cuando nació la geometría de Lobachevsky con tan solo cambiar un axioma (el de las paralelas) de la geometría de Euclides. Ese axioma nos parece evidente e imposible de refutar, pero si le damos otra forma (que en principio parecerá no tener cabida en nuestro mundo) como la que le otorgaron los nuevos matemáticos se puede construir toda una nueva geometría que explique muchas cosas de nuestro entorno y permita a nuestra mente expandir su cosmovisión.

Esto nos lleva a una duda importante: ¿todos los seres pensantes (perdonan esta jerga pero no siempre se encuentran palabras adecuadas) desarrollarían unos axiomas lógicos como los nuestros? es mas, ¿todas las culturas comparten los mismos axiomas de la lógica? Numerosos antropólogos investigan en esta línea y creen que no. Solo la cultura occidental puede ver estos axiomas lógicos (hoy en día se considera que occidente se extiende por toda la tierra y son pocas las culturas que no han entrado en choque con esta).

Ahí esta el meollo de la cuestión. Si buscamos (volviendo a lo que comentaba antes) una definición de lo que representa ese símbolo que nosotros escribimos como = seguramente necesite de un modelo mas básico aun de razonamiento, tan básico que no nos es posible comprender ya que para explicarlo seguramente necesitemos de el mismo concepto y por lo tanto crearíamos una falacia lógica.

Podríamos considerar que el principio máximo de la ciencia es la búsqueda de explicaciones. Nuestro objetivo es explicarlo todo. La cuestión es si esto es posible. Hasta ahora lo que hemos hecho ha sido explicar las cosas con conceptos mas simples y reducidos, y esos conceptos mas simples los explicamos con otros aun mas. De tal forma que siguiendo este método hemos llegado a una serie de decenas de axiomas que explican las matemáticas (que a su vez explican la física y seguramente algún día expliquen todas las ramas del conocimiento). Estos axiomas en la practica los asumimos sin considerarlos y sin necesidad de explicarlos, simplemente obedeciéndolos sin rechistar. Pero si nos planteamos seguir con este método para explicarlo todo y continuamos reduciendo el numero de leyes fundamentales y haciéndolas mas universales entonces nuestro objetivo es alcanzar un solo axioma indiscutible del que emanen todos los demás y que partiendo de la asunción de que este sea cierto podamos construir toda la ciencia (no solo las matemáticas). Esto aplicando el método científico de reducir apocas leyes lo que observamos (quizás haya otras formas de buscar una explicación para todo). Este ultimo axioma debe ser indiscutible o todo nuestros razonamientos se vendrían abajo ya que todos tendrían su raíz en el. Seria como una formula todo poderosa y omnipresente en nuestro mundo. Quizás sea el Dios al que los científicos ateos (entre los que me incluyo) tendemos en creer. Es como la teoría del todo.
También tenemos que preguntarnos ¿porque buscamos algo que el solo lo explique todo y no lo hacemos de otra forma? o si esta estrategia es una puramente cultural, ya que los únicos que han buscado los axiomas de las matemáticas y han ahondado en los fundamentos de la lógica ha sido occidente (véase desde cultura griega hasta Gödel).


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/08/2010, 02:23:37 pm
Pues no sé Alexey, es extensa pero no me satisface tu respuesta. Si no podemos decidir cual es la forma correcta de construir teoremas partiendo de un determinado sistema lógico (símbolos, lenguaje y axiomas) entonces no entiendo nada. Las reglas que me permitan deducir teoremas estarán establecidas, tienen que estarlo. Bajemos un escalón más. Analicemos en primer lugar la lógica proposicional. Imagino que hay unas reglas ¿cuales son? ¿las del silogismo? Y para la lógica de predicados ¿cuales son esas reglas? No me basta con una respuesta como la que me diste, no puede bastarme.

Analicemos algunos ejemplos en detalle, por favor.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 02:50:20 pm
Pero no, no has contestado a mi pregunta creo,

 ¿quien ó qué establece cuales deben ser las reglas y porqué unas son correctas y otras no?


Creo que sí te he contestado.

En las lógicas más comunes o parecidas a la nuestra, las regla del razonamiento es el Modus Ponens, solamente eso permite deducir unas sentencias de otras.

Según la lista de 10 axiomas que puse antes, el ejemplo que pusiste

[texx]a=b\wedge a=c\quad\Rightarrow{}\quad b=c[/texx]

sería "demostrable", porque no figura entre los axiomas.
Habrá que deducirlo paso a paso a partir de la lista de 10 axiomas lógicos.

Lo que ocurre es que aquí se "asume" la definición de los símbolos [texx]\wedge,\vee[/texx], como "meras abreviaturas" de:
[texx]a \vee b [/texx] abreviatura de [texx]\sim{a}\Rightarrow{b}[/texx]
[texx]a\wedge b[/texx] abreviatura de [texx]\sim{(\sim{}a\vee \sim{}b)}[/texx]

Así que hay que usar eso en combinación con los axiomas del 1 al 10 para probar tu primer enunciado.
Sin embargo, seguro que sale en pocos pasos a partir del Axioma 8, que es muy similar.

En cuanto a este otro enunciado que pusiste:

[texx]a=b\quad\Rightarrow{}\quad b=a[/texx]

Ése es exactamente el Axioma 7.



En cuanto a "quién" decide cuáles son esos axiomas, bueno, también te lo he contestado: "los que son expertos en lógica".






Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/08/2010, 03:09:27 pm
Si, tienes razón en lo de que me habías contestado, aunque por alguna razón no leí esa parte de tu respuesta, donde se muestran los 10 axiomas. Aunque si recuerdo haber leido la primera parte del mensaje.

De todas formas sigo sin tener respuesta a mi pregunta, me dices que son los expertos lógicos quienes deciden si un razonamiento es válido ó no. Disculpa pero no me vale como respuesta. Tendrá que haber unas reglas de tipo general porque sino algo se me queda bailando en el aire que no me encaja.

Vamos a ver consideremos los 10 axiomas que mostraste antes y aceptémoslos como válidos. Y tratemos hipotéticamente de programar una computadora para que partiendo de ese sistema lógico, con sus símbolos, etc la computadora pueda trabajar con ellos para deducir teoremas.

Digo yo que habrá que darle a la computadora algún método de trabajo para que, partiendo de ciertas cadenas, pueda obtener otras que serán los teoremas ¿no? ¿Como sabe la computadora que cadenas son válidas y cuales no? ¿como construye las nuevas cadenas a partir de las anteriores? Resumiendo ¿cuales son las reglas de inferencia? ¿Solo el Modus Ponens?

Yo creo que mi pregunta es clara pero hasta ahora nadie me ha contestado satisfactoriamente.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/08/2010, 04:13:33 pm
Encontré este texto en Wikipedia que aclara un poco el asunto pero que deja demasiados flecos sin concretar:

Algunas de las reglas de inferencia más conocidas son:

En la lógica proposicional:

-Modus ponendo ponens
-Modus ponendo tollens
-Modus tollendo ponens
-Modus tollendo tollens
-Silogismo hipotético
-Silogismo disyuntivo

En lógica de primer orden:

-Regla de Generalización universal

Imagino que para la lógica de primer orden valen las de la lógica proposicional además de la regla de generalización universal, que no sé exactamente lo que dice, pero bueno al menos hay una regla.

Aunque realmente Wilkipedia las vende como algunas de las reglas de inferencia más conocidas, pero en mi modesta opinión este asunto debería quedar bien sentado y concretado para que no existan interpretaciones vagas y no se, lo veo poco preciso para ser algo en lo que fundamentar la matemática. Es probable que sea por desconocimiento propio pero me gustaría concretar y precisar al máximo este asunto, por salir de dudas claro.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 04:20:27 pm
Analicemos algunos ejemplos en detalle, por favor.

En Wikipedia está explicada la lógica proposicional, pero está algo incompleto el material, y además creo que puede confundir las cosas porque es un ejemplo distinto al que estoy discutiendo. Igual pongo el enlace:

http://es.wikipedia.org/wiki/Lógica_proposicional (http://es.wikipedia.org/wiki/Lógica_proposicional)

En la lógica de primer orden, las proposiciones no son necesariamente "objetos" de la teoría, sino de la "metateoría", aunque en ciertos libros lo he visto presentado de otra forma... y eso complica las definiciones y todo lo demás.



Lógica proposicional:

Tenemos una lista de símbolos:

[texx]S = \{\wedge,\vee,\sim{,\Rightarrow{,\Longleftrightarrow{,=,p,q,r,...}}}\}[/texx]

He puesto variables p, q, r, ..., dando a entender que tengo tantas variables como yo quiera.
Esto se puede formalizar mejor, diciendo que las variables son [texx]p,p|,p||,p|||,[/texx], etc., o sea, usando "palitos" como un "subíndice" n. Pero por ahora es más claro si usamos letras.

Hay dos caminos posibles, o se quitan  los símbolos [texx]\wedge,\vee,[/texx] de la lista y se los pone como "metasímbolos", o sea, abreviaturas de alguna expresión, o se procura dar una axiomática que sea consecuente con esas "abreviaturas", o sea, que funcionen como uno espera.

Es claro que, formando cadenas de caracteres con los símbolos de S, se pueden formar cualesquiera combinaciones posibles: [texx]\wedge\Rightarrow r{\Rightarrow{p\Rightarrow{\sim{p\sim{}}}}}[/texx]

Muchas de ellas no nos interesan, y las que sí interesan se de deben especificar mediante reglas gramaticales de un cierto lenguaje [texx]L[/texx]:

Lenguaje L para la lógica proposicional:

Se especifica mediante axiomas de "construcción":

(R1) Una letra aislada, como p, q, r, etc., se considera una expresión del lenguaje [texx]L[/texx].
(R2) Si [texx]\phi[/texx] es alguna expresión de L, entonces [texx]\sim \phi[/texx] también es expresión válida en L.
(R3) Si [texx]\phi,\psi[/texx] son expresiones de L, también lo son [texx]\phi\wedge\psi,\phi\vee\psi,\phi \Rightarrow{\psi,}\phi\Longleftrightarrow{\psi}[/texx].
(R4) No se permiten otras maneras de generar expresiones de L.

También hay reglas para usar los paréntesis (), pero no las voy a poner.
Tan sólo vamos a usar los paréntesis en la medida que sea conveniente para que las expresiones se entiendan mejor.

Así que p, q, r, etc. son expresiones.
Y luego a partir de ellas vamos "construyendo" las demás, mediante las reglas (R2) y (R3).
Por ejemplo: [texx]p\Rightarrow{(\sim{q\wedge r})}[/texx].

Ahora bien, esas expresiones del lenguaje L son cosas que uno puede escribir, nada más.
No significa esto que sean demostraciones de nada, ni que tengan valor verdadero o falso.
No son más que reglas que nos permiten formar frases de L.
Esas frases pueden ser cosas con sentido o no, ciertas o no, demostrables o no.
Eso se establece después.



Axiomas para la lógica proposicional:

Según Wikipedia, son sólo 3, y voy a tomar esos, aungue voy a tener que agregar otros más para darle sentido a las operaciones [texx]\wedge,\vee,\Longleftrightarrow{}[/texx].
Habría que agregar axiomas para las demás operaciones (también los saco de Wikipedia):

http://en.wikipedia.org/wiki/Propositional_calculus (http://en.wikipedia.org/wiki/Propositional_calculus)

Supongamos que [texx]\phi,\psi,\chi[/texx] representan expresiones válidas en L.

(1) [texx]\phi\Rightarrow{(\psi\Rightarrow{\phi})}[/texx]
(2) [texx](\phi\Rightarrow{(\psi\Rightarrow{\chi}})\Rightarrow{((\phi\Rightarrow{\psi})\Rightarrow{(\phi\Rightarrow{\chi})})}[/texx]
(3) [texx](\phi\wedge\chi)\Rightarrow{\phi}[/texx]
(4) [texx](\phi\wedge\chi)\Rightarrow{\chi}[/texx]
(5) [texx]\phi\Rightarrow{(\chi\Rightarrow{\phi\wedge\chi})}[/texx]
(6) [texx]\phi\Rightarrow(\phi \vee\chi){}[/texx]
(7) [texx]\chi\Rightarrow(\phi \vee\chi){}[/texx]
(8) [texx](\phi\Rightarrow{\psi})\Rightarrow{(\chi\Rightarrow\psi) \Rightarrow(\phi\vee\chi}\Rightarrow{\psi})}[/texx]
(9) [texx](\phi\Rightarrow{\chi})\Rightarrow{(\phi\Rightarrow\sim{}\chi) \Rightarrow(\sim\phi)}[/texx]
(10) [texx]\phi\Rightarrow{(\sim{\phi}\Rightarrow{\chi})}[/texx]
(11) [texx]\phi\vee\sim\phi[/texx]

Y también hay axiomas para la flechita doble [texx]\Longleftrightarrow{}[/texx], pero no los voy a escribir porque me cansé.
En todo caso, considerémoslo un "metasímbolo" que abrevia una expresión de la forma:
[texx](\phi \Rightarrow{\psi})\wedge(\psi\Rightarrow{\phi})[/texx].

Estas letras [texx]\phi, \psi, \chi[/texx], obviamente no son "símbolos" de L, porque no figuran en la lista S que pusimos arriba. Se toman, tan sólo, como una "abreviatura" o algo por el estilo, en el "metalenguaje".
O sea, sirven para "entendernos entre nosotros".
O sea, en realidad estamos dando infinitos axiomas, no sólo 3.
Supongamos que [texx]\phi\equiv{(p\Rightarrow{q})}, \psi\equiv{(\sim r)}[/texx].
Entonces una "instancia" del axioma (1) sería
[texx](p\Rightarrow{q})\Rightarrow{(\sim r\Rightarrow{(p\Rightarrow{q})})}[/texx]

Mas, hay infinitas posibilidades para [texx]\phi,\psi[/texx], y en vez de enumerarlas una por una, se usan "axiomas esquemáticos" como (1), (2) y (3).
Espero se entienda ahora que [texx]\phi,\psi[/texx], son parte del "metalenguaje".
Quieren decir que, por cada caso posible de expresión válida [texx]\phi,\psi[/texx], valen los axiomas de arriba.



Reglas de Inferencia:

Se supone que tenemos una lista de expresiones escritas, digamos, una debajo de la otra, tal que todas ellas, o son algún axioma sacado de la lista (1) a (11), o bien se han "demostrado" mediante las reglas de inferencia.

Sólo hay una regla:

(Modus Ponens) Si en la lista de proposiciones tenemos [texx]\phi[/texx], y también [texx]\phi\Rightarrow{\psi}[/texx], entonces podemos agregar a la lista la expresión [texx]\psi[/texx].

Esto se escribe abreviadamente "en el metalenguaje", así:

(Modus Ponens) [texx]\phi, \phi\Rightarrow{\psi}\vdash \psi[/texx]

El símbolo [texx]\vdash[/texx] es una abreviatura de "si... entonces...".
Podemos decir: Si [texx]\phi[/texx] y [texx]\phi\Rightarrow{\psi}[/texx] entonces [texx]\psi[/texx].

Una demostración es una lista de expresiones de L (finita, por si alguien pregunta), que contiene, o bien axiomas, o bien expresiones obtenidas mediante Modus Ponens.

La última expresión de la lista es la "conclusión" o teorema.



Hasta ahora, todo lo anteriore es meramente "formal", sintáctico.
No ha habido ocasión de preguntarse por los valores de verdad.

Supongamos que sólo vamos a considerar dos valores de verdad: 1 = verdadero, y 0 = falso.

A las proposiciones de arriba no podemos asignarle "un único" valor de verdad.

El valor de verdad de una expresión de L es algo que uno puede elegir.
Doy un ejemplo, y los demás los hacen ustedes.

(V1) Si [texx]\phi, \psi[/texx] valen "1", entonces a la expresión [texx]\phi\wedge\psi[/texx] se le asigna el valor "1". En otro caso, se le asigna el valor "0".
(V2) A las expresiones "atómicas" p, q, r, etc., se les asigna alguno de los valores "0" o "1", pero no se especifica cuál.

A partir de ahí, y de definiciones similares para los demás conectores [texx]\sim{,\vee,\Rightarrow{,}}[/texx], podemos asignar un valor "0" o "1" a cualquier expresión del lenguaje L.

Sin embargo, tenemos que darnos cuenta de que a las variable p, q, r, ... les podemos asignar distintos valores de verdad.

Cada asignación de valores de verdad es una "interpretación" del lenguaje L.
Por ejemplo, [texx]p \equiv{"0"}, q \equiv{"1"}, r \equiv{"0"}[/texx], sería una de las tantas interpretaciones.
El valor de verdad de todas las proposiciones de L dependerá de estos.

Sin embargo, la gracia está en que, para cualquier "interpretación", tanto los axiomas lógicos como las expresiones que han sido "demostrados" con la regla "modus ponens", tengan siempre valor de verdad "1".

Pero esto ya corresponde a la "semántica".
O sea, la interpretación de un sistema axiomático se llama "semántica".



Sin embargo, este ejemplo de la lógica proposicional es distinto en apariencia del de la lógica de primer orden...
Mas los elementos que figuran siempre son estos: símbolos, reglas de un lenguaje, axiomas lógicos, reglas de inferencia (puede haber varias), semántica o interpretación.

Un sistema axiomático lógico es "bueno" si para toda "interpretación" en que los axiomas son verdaderos (se les asignó valor "1"), las expresiones demostradas (Teoremas) siempre valen "1" también.





Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 04:25:16 pm

Yo creo que mi pregunta es clara pero hasta ahora nadie me ha contestado satisfactoriamente.


La primera vez que preguntaste no había entendido cuál era exactamente tu duda, ni siquiera si era una duda o parte de una argumentación.

En el post anterior te doy un ejemplo de cómo se trabaja en lógica actualmente, usando la lógica proposicional

La lógica de primer orden es distinta, y como hay ciertas "diferencias" en las distintas fuentes que estoy consultando, y además hay "complicaciones" en la mera definición (funtores y otros entes extraños), preferí olvidarme por un rato de eso.

Pues entiendo lo que hacen, pero explicarlo es largo y laborioso.

Encontré este texto en Wikipedia que aclara un poco el asunto pero que deja demasiados flecos sin concretar:

Algunas de las reglas de inferencia más conocidas son:

En la lógica proposicional:

-Modus ponendo ponens
-Modus ponendo tollens
-Modus tollendo ponens
-Modus tollendo tollens
-Silogismo hipotético
-Silogismo disyuntivo

En lógica de primer orden:

-Regla de Generalización universal

Imagino que para la lógica de primer orden valen las de la lógica proposicional además de la regla de generalización universal, que no sé exactamente lo que dice, pero bueno al menos hay una regla.

Aunque realmente Wilkipedia las vende como algunas de las reglas de inferencia más conocidas, pero en mi modesta opinión este asunto debería quedar bien sentado y concretado para que no existan interpretaciones vagas y no se, lo veo poco preciso para ser algo en lo que fundamentar la matemática. Es probable que sea por desconocimiento propio pero me gustaría concretar y precisar al máximo este asunto, por salir de dudas claro.

Saludos, Jabato. ;D

Bueno, Wikipedia es lo que es.
Yo la uso para tener algo a mano, pero hay que sabe qué usar y qué no.

En cuanto a la regla de "generalización", en efecto, es una segunda regla de inferencia que se usa en la lógica de primer orden.
Pero en realidad "no es necesaria", basta el "modus ponens" y algún que otro axioma lógico que "comense" y ya está...

Modus ponens: sólo él.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/08/2010, 04:34:22 pm
Bien, bien, no te esfuerces más, ya quedó claro que existen las reglas de inferencia y también sé hasta donde se puede llegar con Wilkipedia y como usarla, ya sé que suele dar una visión bastante simple de los temas, pero en principio válida para ir avanzando. Y ahora sigamos avanzando. Ese que pusiste es un ejemplo pero podría haber otros imagino.

¿Puede haber más de un conjunto de reglas de inferencia? (... SI)

¿Cualesquiera conjunto de reglas de inferencia es válido? (... NO)

¿Porqué unos son válidos y otros no? (... ?)

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 04:42:49 pm

¿Cualesquiera conjunto de reglas de inferencia es válido?

¿Porqué unos son válidos y otros no? (... ?)


En realidad cualquier lista (fijate que no uso la palabra "conjunto" porque me pone nervioso) de reglas de inferencia es válida.
No hay ningún criterio.

A lo sumo, uno puede analizar qué pasa al aplicar esa regla de inferencia.

Eso depende qué axiomas lógicos haya.
Si entre los axiomas no hay "negaciones", no hay modo de deducir contradicciones. ¿Qué regla de inferencia puede ser considerada "mala"?

Ahora, supongamos que sí hay "negaciones".
Si vemos que una regla de inferencia permite deducir de una expresión [texx]\phi[/texx] a su negación [texx]\sim{\phi}[/texx], entonces algo está mal.

Pero en principio no sabemos qué es lo que está "mal".
¿La regla de inferencia está mal?
¿O la lista de axiomas está mal?

A veces los problemas están en los axiomas.
Quitando un axioma "vicioso", la teoría completa queda "consistente" sin cambiar la regla de inferencia.
¿No?







Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/08/2010, 04:50:25 pm
Bien pero el punto a donde yo quería llegar ya lo has citado, en principio cualquier lista de símbolos, cualquier lenguaje, cualquier lista de axiomas y cualquier lista de reglas de inferencia podría valer. Todos salvo aquellos que conduzcan a contradicción:

[texx]\phi \rightarrow{}\sim\phi[/texx]

¿Voy bien encaminado?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 04:53:50 pm
Cita
Os repito que esas preguntas son las que intento responder Wittgenstein. No quiero ser pesado pero en serio que este debate empezaría a dar sus frutos si lo estudiáramos cuanto más posible.


Bueno Alexey, no nos retes, ya vamos a leer el libro.
Yo recién voy por la introducción.
Mientras tanto, hablamos de lo que sabemos hasta ahora.
Después veremos si Wittgenstein ayuda realmente o no.

Cita
Lo que buscamos con la lógica por tanto es la base que nos permite tener nuestra forma de ver el mundo. Si cambiáramos algún axioma de la lógica o de la teoría de conjuntos desarrollaríamos nuevas matemáticas con las cuales habría otras formas de analizar los fenómenos o incluso predecir otros. Seguramente hayamos descartado todas las posibles gracias al hecho de que nuestra visión del mundo es una muy concreta y otra lógica no tiene lugar en nuestra visión. Es como cuando nació la geometría de Lobachevsky con tan solo cambiar un axioma (el de las paralelas) de la geometría de Euclides. Ese axioma nos parece evidente e imposible de refutar, pero si le damos otra forma (que en principio parecerá no tener cabida en nuestro mundo) como la que le otorgaron los nuevos matemáticos se puede construir toda una nueva geometría que explique muchas cosas de nuestro entorno y permita a nuestra mente expandir su cosmovisión.

Esto nos lleva a una duda importante: ¿todos los seres pensantes (perdonan esta jerga pero no siempre se encuentran palabras adecuadas) desarrollarían unos axiomas lógicos como los nuestros? es mas, ¿todas las culturas comparten los mismos axiomas de la lógica? Numerosos antropólogos investigan en esta línea y creen que no. Solo la cultura occidental puede ver estos axiomas lógicos (hoy en día se considera que occidente se extiende por toda la tierra y son pocas las culturas que no han entrado en choque con esta).

Ahí esta el meollo de la cuestión.

Y sí, yo cuestiono a la lógica de la misma manera, admitiendo que hay muchas otras posibilidades, y que no se sabe por qué se usa siempre una y la misma.
Incluso hasta me he planteado las mismas imaginaciones con extraterrestres, otras mentes, y todo eso.
O sea que ya somos dos.


Cita
Este ultimo axioma debe ser indiscutible o todo nuestros razonamientos se vendrían abajo ya que todos tendrían su raíz en el. Seria como una formula todo poderosa y omnipresente en nuestro mundo. Quizás sea el Dios al que los científicos ateos (entre los que me incluyo) tendemos en creer. Es como la teoría del todo.

Bueno, no sé, mis dudas a este respecto no van tan lejos.
No me interesa encontrar "el axioma" fundamental y básico de todo.

Tan sólo me conformo conque los libros de lógica y teoría de modelos tengan claro cuál es el razonamiento que ellos mismos están empleando, tomen recaudos, vayan despacio, y no se tomen a la ligera estas "circularidades" que he mencionado.

No estoy cuestionando la verdad última, sino las metodologías actuales en el campo de investigación en lógica.

Que yo llegue a descubrir o aclarar cuál es el "axioma de todo" no cambia el hecho de que los libros de lógicas están, desde mi punto de vista, mal escritos.
Porque seguirán estando "mal escritos" (desde mi punto de vista).

Así que, o ellos cambian su manera de abordar el discurso "metalógico", o yo me reconcilio con ellos descubriendo que lo que hacen está justificado de alguna forma.
O bien desarrollo una teoría mejor.




Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 05:00:20 pm
Bien pero el punto a donde yo quería llegar ya lo has citado, en principio cualquier lista de símbolos, cualquier lenguaje, cualquier lista de axiomas y cualquier lista de reglas de inferencia podría valer. Todos salvo aquellos que conduzcan a contradicción:

[texx]\phi \rightarrow{}\sim\phi[/texx]

¿Voy bien encaminado?


Yo diría que sí, pero ocurre que incluso eso de "evitar las contradicciones" es algo que no está claramente definido.
Es algo que "los lógicos procuran hacer".
Y lo hacen así: se preguntan si entre todas las expresiones demostrables hay alguna contradicción.

Pero eso no quita que ese sistema lógico autocontradictorio no puede definirse.
De hecho, se lo definió, se lo estudió, y después se concluyó que "contiene una expresión contradictoria".
La consecuencia de eso es que es un sistema que a los lógicos les cae "antipático".

Se les dan nombres, y todo eso.

Pero ocurre que también se demuestran "metateoremas" que tienen que ver con la "existencia de contradicciones".
Son los teoremas de consistencia.

Un "sistema lógico" es "consistente" si y sólo sí, bla bla blah.

En particular, no se sabe si la aritmética misma es "consistente".
Es algo que no se puede demostrar.
Así que estamos fritos.

Aunque la lógica de primer orden sí se ha probado que es consistente,
al agregarle los axiomas de peano ya no se puede asegurar consistencia...
Pero todo esto es muy sutil, es el teorema de Godel, y aún no lo manejo con la debida destreza.

Como sea, ¿cómo se han "demostrado" esos resultados de "consistencia"?
Pues bien, "razonando". ¿Con qué lógica? Mmmm Esa es la cuestión.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 05:07:52 pm
O sea, ahora ya estamos "hablando" del sistema axiomático (1) a (11), del lenguaje L, etc., todo ese rollo que escribí en el post de antes.

Pero al "hablar" de esa "teoría" estamos haciendo "metateoría", porque estamos usando otro lenguaje para decir cosas sobre el lenguaje L y sus axiomas.
No usamos al L mismo.

Si dijéramos que usamos "la misma lógica" que L, estaríamos haciendo "interpretaciones" de L en nuestro lenguaje.
Pero estaríamos, pues, extrayendo conclusiones de L usando al mismo L, vía una interpretación intermedia.

No es que no pueda hacerse... pero si yo hablo de otra lógica, L2, ¿la estudio con L o con L2?
¿Con qué hago la "metateoría"?

La metateoría se hace "en lenguaje natural", pero inevitablemente aparecen "razonamientos" y "números naturales".
Para mí esto es una "petición de principio" encubierta.

Estoy usando la rueda para inventar la rueda.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/08/2010, 05:19:48 pm
Sí, es claro que tienes razón, pero sospecho que si quieres resolver esa cuestión tendrás que inventar el "metalenguaje", un lenguaje que fuera válido para la lógica en general, para cualquier tipo de lógica y que nos permitiera hablar de lógica sin recurrir a ninguna lógica en particular. Y por lo que yo sé eso aún no existe. Tendremos que usar el lenguaje natural en ausencia de otro más preciso. Digo yo.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 05:28:45 pm
A mí me han dicho que sí se puede formalizar el metalenguaje, pero en realidad nunca lo he visto hasta ahora escrito en algún texto.

En todo caso, la cuestión es la misma, porque para razonar sobre el metalenguaje se necesita una "metametalenguaje", y así sucesivamente, en forma infinita, y hacia "atrás".

O sea, no habría punto de partida.

Y supongo que es por eso que hay que resignarse a usar, en algún momento "el lenguaje natural".

Pero aún así, formalizando el metalenguaje, prevalecen los mismos problemas.
Porque los métodos no diferirían mucho de los que ya existen.
Las situaciones son análogas: ¿qué lógica usar en los metametarrazonamientos para justificar los metateoremas? ¿puedo usar números naturales para "contar" o "poner subíndices"? Y así por el estilo.

Se necesitaría, digo yo, que haya un método válido de razonamiento "universal", quizá "intuitiva", que no amerite formalización alguna.
Y también se necesitaría una versión "intuitiva" de número, no formalizada.
Tal sería el caso de la versión intuicionista de los números.

Las mismas cosas aparecen una y otra vez.

Además, para "generar" la teoría del lenguaje de primer orden se necesita de un metalenguaje bastante complejo, así que no sé si hay salida de todo esto.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 05:32:36 pm
Tendremos que usar el lenguaje natural en ausencia de otro más preciso. Digo yo.


Y sí... esa es la situación, pero entonces ¿a qué se redujo la ciencia? ¿A la imprecisión del lenguaje natural? ¿No era eso lo que estábamos evitando con toda la matemática y la lógica?
Eso es lo que me molesta de todo esto.

Estoy leyendo por ejemplo "Foundations of Mathematical Logic" de un tal Haskel Curry.
Se puede bajar de Gigapedia.
Cuando empezás a leerlo dice cosas como: "Y bueno, todo queda expresado en el lenguaje natural (...) y es cierto que esto puede ser impreciso, pero más o menos lo vamos perfeccionando, como toda cosa humana que es perfectible (...)".

(Sería del capítulo 2 en adelante, que el 1 es sólo introductorio e intuitivo).

En eso se basan los fundamentos de la "lógica" moderna.
Es terrorífico.
Aunque es del año 1976. Ý me faltan muchos textos que leer, y más modernos, en los que quizá las cosas se hagan un poco mejor... Pero lo dudo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/08/2010, 07:34:22 pm
Entiendo, lo que parece que es imposible es la construcción de un sistema lógico sin recurrir al menos a otro sistema lógico, lo que nos lleva a la pescadilla que se muerde la cola, ó en algún momento al lenguaje natural, y eso es lo que te reconcome por dentro, ¿es así?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 03/08/2010, 09:20:46 pm
Básicamente es eso.

 :'(



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 04/08/2010, 03:30:31 am
Hola a todos.
Comparto el desasosiego intelectual de argentinator con estos temas.
Esta es mi opinión al respecto.

Si bien podemos concebir esa regresión sin fin de metalógicas para fundamentar lógicas, pienso que no es necesaria ni útil. La cadena tiene un principio; humilde y basto como una roca sin pulir, pero principio al fin: nosotros, yo.

La lógica es un intento de abstraer los procesos que ejecutamos cuando razonamos. La acción de razonar es un hecho subjetivo. Yo no sé como razonas tú y tú no sabes como razono yo, porque ni yo puedo “ver” tus ideas ni tu puedes “ver” las mías.

Para que las ideas se tornen visibles a los demás, es necesario representarlas mediante objetos lingüísticos, esto es, mediante un lenguaje. Lo elementos del lenguaje son físicos (un garabato, un sonido) y todos los pueden ver. Mediante estas representaciones físicas de las ideas, podemos descubrir cuales son las características de nuestro razonamiento que son comunes a los demás individuos. Podemos abstraerlas y registrarlas como un conjunto de reglas.

Pero ese proceso de socialización del conocimiento de las habilidades racionales, nunca será cien por ciento segura (jamás podremos saber si todos los individuos razonan siguiendo el mismo esquema). Frente a esto, lo único que se puede hacer es elegir la lógica que más consenso tenga, esto es, aquella donde exista más acuerdo respecto a su capacidad de abstraer las reglas del razonamiento humano.

Esta elección de LA logica, tampoco es un asunto resuelto. Las lógicas utilizadas se irán modificando con el tiempo conforme vayamos desentrañando mejor nuestro comportamiento racional. Y aun es posible que esas capacidades racionales humanas vayan cambiando con el tiempo y que sea necesario adaptar las lógicas una y otra vez, cono se hace con las teorías en las ciencias empíricas.

En resumen, veo a la lógica como un intento de normalizar nuestras habilidades racionales. Y estas últimas son el punto de partida de la cadena.

Naturalmente, una vez que se ha hecho abstracción de un sistema lógico, uno empieza a probar cambiándole cosas para ver que ocurre. Así, se obtienen otros sistemas de reglas no triviales (por ejemplo, una lógica trivial sería una que nos permite demostrar que todos los enunciados tienen el mismo valor de verdad), otras lógicas, parecidas a la lógica que normaliza nuestro razonamiento, pero no exactamente iguales. Puede pasar que esas otras lógicas sean tan distintas de la lógica que describe nuestro razonamiento, que no tengamos dudas de que se trata de unas estructuras interesantes pero distintas de nuestro razonamiento, unos meros constructos artificiales.
Pero también podría ser que esas otras lógicas sean tan parecidas a la consensuada, que no quede claro cuál de las dos representa mejor a nuestro razonamiento.

En todo caso, creo que la única guía para elegir qué lógica representa mejor nuestra actividad racional es el consenso y el estudio de los especialistas. Es una conclusión un tanto decepcionante para un matemático, pero creo que es la conclusión correcta. Y es decepcionante porque uno siempre tendrá derecho a no consensuar. Y siempre habrá quien polemice. En mi opinión, esta discrepancia residual es inevitable e irresoluble. Y decepcionante.

El punto de partida para una lógica es pues nuestro intelecto y su naturaleza.

Esto se puede ver cuando hacemos el viaje de argentinator:

En cuanto intentamos estudiar la lógica usual desde “afuera” nos sorprendemos a nosotros mismos utilizando de facto la lógica usual (la lógica y otros elementos primarios como los números naturales). Eso se debe a que la lógica usual ha realizado denodados esfuerzos por parecerse a nuestra forma natural de razonar correctamente. Podemos desprendernos de la lógica normalizada, pero no podemos desprendernos de nuestros hábitos racionales naturales. Y no es posible razonar sin razonar.

Saludos. 


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 04/08/2010, 03:54:55 am
Podemos desprendernos de la lógica normalizada, pero no podemos desprendernos de nuestros hábitos racionales naturales. Y no es posible razonar sin razonar.


Sí, todo lo que has dicho parece muy razonable, y es posible que yo también haya pensado cosas similares alguna vez, así que se podría decir que compartimos algunas ideas.

Pero esto último que has dicho, que es tan natural, pareciera que no se toma debidamente en cuenta en los textos de lógica, y simplemente los autores "usan" el razonamiento que tienen como "hábito".

Lo lamentable de eso es que dan por sentado que cualquier persona que lee un tal libro comparte dichos hábitos, o que está de acuerdo, o que no se los cuestiona.

Aceptar las cosas así nada más, por consenso, o por costumbre, no me parece para nada científico.

Me parece que hace falta una actitud más cuidadosa, no sólo "decidirse por alguna lógica que más o menos funcione".
Aún así, lo grave es "ni siquiera mencionar" que se está haciendo cosa semejante.

Y más grave es que cuando en los "metateoremas" aparecen "cardinales de la teoría de conjuntos".
¿En qué están pensando cuando hablan del cardinal de algo, ya sea un conjunto de símbolos, proposiciones, o el "modelo" que se usa en el "costado semántico" para alguna interpretación?

Yo sé que esos resultados son muy lindos e interesantes, pero hay demasiadas cosas en el aire.
No es sólo un problema de qué lógica se usa, sino de por qué se usan resultados potentes de la teoría de conjuntos y la lógica, sin una debida "autorización" o el debido cuidado.

Gracias Cristian por meterte por acá, y  soportar este calvario.    ;)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Fernando Revilla en 04/08/2010, 04:39:37 am
Comparto en esencia las ideas de Cristian C. Con respecto a lo siguiente:

El punto de partida para una lógica es pues nuestro intelecto y su naturaleza.

El profesor de Lógica José Fernández-Prida decía que nunca se debía olvidar que para construir la "Lógica" estábamos pensando de manera lógica. ¿De qué manera?.

No obstante comento dos cosas concretas:

(i) Respecto al sistema formal [texx]L[/texx] del cálculo de enunciados nuetra creencia en su "potencia y veracidad"  no debería ser nunca porque lo han dicho los especialistas en Lógica. Lo es porque cualquier humano tiene la capacidad de entender (independientemente de su intelecto) que es consistente y con los axiomas iniciales y la regla de deducción, los teoremas son exactamente las tautologías.

(ii) Respecto al sistema formal [texx]K_{\mathcal{L}}[/texx] del cálculo de predicados nuetra creencia en su "potencia y veracidad" no debería ser nunca porque lo han dicho los especialistas en Lógica. Lo es porque cualquier humano tiene la capacidad de entender (independientemente de su intelecto) que es consistente y con los axiomas iniciales y las reglas de deducción, los teoremas son exactamente las fórmulas logicamente válidas (aquellas verdaderas en cualquier interpretación).

Como ya comenté otras veces estos dos sistemas, satisfacen a los paladares intelectuales más exquisitos independientemente del intelecto inicial y su naturaleza. ¿Ha habido alguna polémica al respecto?. Sería absolutamente inaceptable.

Otro asunto es cuando aparecen las matemáticas. Asunto no resuelto e intuyo que nunca lo será. Espero que de alguna manera esto sirva como bálsamo para argentinator, pero claro argentinator es un rebelde con causa.  :laugh: 


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 04/08/2010, 05:24:07 am
Hay una cuestión interesante en todo esto, me explico. Sabemos que son posibles distintas lógicas y que todas ellas deben satisfacer al menos el Principio de no contradicción. La pregunta del millón es si con todas ellas deberíamos poder construir los números naturales y en consecuencia conducirnos a las mismas matemáticas que ya conocemos ó si existe la posibilidad de que en algún caso eso no sea así.

La conclusión sería alucinante, si con cualquier lógica posible (que no sea contradictoria) debieramos poder contruir la matemática tal y como la conocemos hoy en día entonces tendríamos ya a nuestra disposición la herramienta que busca nuestro amigo argentinator y se habrían consolidado los pilares de la ciencia, y si en caso contrario fuera posible la construcción de otras matemáticas distintas a las que ya conocemos hoy entonces ... ¿como serían? Yo creo que esta última opción no debiera ser posible, que solo es posible una única matematica, aunque claro, a ver quien es el guapo que lo demuestra.

El caso de la lógica no standard es un caso especial, creo, porque lo que hace es potenciar la matemática actual, de manera que permite la construcción de una matemática como la que tenemos hoy en día y añade algo más que son los números infinitos e infinitesimales, pero debe considerarse que contiene también a los números naturales y en consecuencia no modifica nada de lo que ya tenemos.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Fernando Revilla en 04/08/2010, 06:00:11 am
La pregunta del millón es si con todas ellas deberíamos poder construir los números naturales y en consecuencia conducirnos a las mismas matemáticas que ya conocemos ó si existe la posibilidad de que en algún caso eso no sea así.

Extrapolando la frase de El Quijote Con la iglesia hemos dado, Sancho obtendríamos  Con lo naturales hemos dado, Jabato. Yo percibo los naturales como ya construidos (en el sentido de Kronecker) y creo que cualquier intento (loable por otra parte) de formalizar tal cosa ya dejan de ser en algún sentido los naturales. Y como diría un maestro Zen: no existe lenguaje para las verdades más profundas.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 04/08/2010, 08:11:56 am
Pues no sé, yo creo que si esas preguntas no tienen respuesta hoy es muy probable que algún día la tengan. Queda así una pequeña ventana por la que aún parece que entra la luz de la esperanza para nuestro amigo argentinator, todo sea por quitarle esa comezón que le corroe por dentro, aún incluso a pesar del maestro Zen.

La frase correcta creo que era: "Con la iglesia hemos topado, amigo Sancho"

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Fernando Revilla en 04/08/2010, 08:31:34 am
Pues no sé, yo creo que si esas preguntas no tienen respuesta hoy es muy probable que algún día la tengan. Queda así una pequeña ventana por la que aún parece que entra la luz de la esperanza para nuestro amigo argentinator, todo sea por quitarle esa comezón que le corroe por dentro, aún incluso a pesar del maestro Zen.

Apostaría a que no, pero ...

Cita
La frase correcta creo que era: "Con la iglesia hemos topado, amigo Sancho"

Esto es más fácil que el asunto de los naturales. Extracto del capítulo IX de El Quijote:

Guió don Quijote, y, habiendo andado como docientos pasos, dio con el bulto que hacía la sombra, y vio una gran torre, y luego conoció que el tal edificio no era alcázar, sino la iglesia principal del pueblo. Y dijo:

—Con la iglesia hemos dado, Sancho.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 04/08/2010, 08:51:33 am
La frase completa es una frase hecha del castellano que dice exactamente:

"Con la iglesia hemos topado, amigo Sancho"

y no una cita de el Quijote, aunque parece que los eruditos quieren ver en ella una referencia a dicho pasaje del famoso libro cervantino, pero en esta web se aclara un poco la confusión:

"Con la iglesia hemos topado, amigo Sancho" (http://culturitalia.uibk.ac.at/hispanoteca/Foro-preguntas/ARCHIVO-Foro/Topar.htm)

Al usar la cita cervantina en el sentido y tono en el que la utilizaste cometiste un error ya que para ese significado lo correcto hubiera sido utilizar la frase hecha del castellano citada más arriba, puesto que en el Quijote no se acepta ni ese sentido ni ese tono de las palabras de Alonso Quijano sino solo el de haber accedido al pueblo, por pura casualidad, justo por el sitio donde se encontraba la iglesia, nada más. Sin embargo la frase mía hace referencia al hecho de enfrentarse con personas ó instituciones muy poderosas contra las que hay poco que hacer. Sentido al que hiciste referencia dando a entender lo difícil que resulta meter en orden a los números naturales. 

Realmente el lenguaje natural está pleno de matices, dobles sentidos e imprecisiones que es lo que yo creo que le preocupa más a argentinator. Elegiste bien la frase como ejemplo del debate, amigo Phidias, pero la usaste mal.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Fernando Revilla en 04/08/2010, 09:10:49 am
La frase completa es una frase hecha del castellano que dice exactamente:

"Con la iglesia hemos topado, amigo Sancho"

y no una cita de el Quijote, aunque parece que los eruditos quieren ver en ella una referencia a dicho pasaje del famoso libro cervantino, pero en esta web se aclara un poco la confusión:

"Con la iglesia hemos topado, amigo Sancho" (http://culturitalia.uibk.ac.at/hispanoteca/Foro-preguntas/ARCHIVO-Foro/Topar.htm)

Al usar la cita cervantina en el sentido y tono en el que la utilizaste cometiste un error ya que para ese significado lo correcto hubiera sido utilizar la frase hecha del castellano, puesto que en el Quijote no se acepta ese sentido ni ese tono de las palabras de Alonso Quijano sino el de haberse encontrado lisa y llanamente con la iglesia del pueblo.

Saludos, Jabato. ;D

Este tema es muy interesante y ahora enlaza con la lógica.

Phidias: Extrapolando la frase de El Quijote Con la iglesia hemos dado, Sancho.

Aserto: Que esa frase es exactamente la que viene en el Quijote es una proposición verdadera.

Jabato: La frase correcta creo que era: "Con la iglesia hemos topado, amigo Sancho"

Comentario: ¿Qué proposición es esa?. La frase correcta que se dice en el El Quijote, o la frase como ha evolucionado. ¿Tú te crees que con ese tipo de lenguaje indefinido podemos hablar minimamente en serio de Lógica?.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 04/08/2010, 09:41:51 am
Pues la verdad es que el lenguaje natural no está hecho para eso. Pero como ya le dije a argentinator parece que no tenemos muchas alternativas entre las que escoger.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 04/08/2010, 04:26:27 pm
Ante el tema inicial del thread:

Cita de: Argentinator
¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?

Y tras yo haber desnudado mi alma,
Phidias dice:

Yo percibo los naturales como ya construidos (en el sentido de Kronecker) y creo que cualquier intento (loable por otra parte) de formalizar tal cosa ya dejan de ser en algún sentido los naturales.

¿Conque vamos "confesando", ehh?  :P

Soy conciente de los teoremas de consistencia de la lógica, y sé que son resultados fuertes y profundos.
Mas, me sigue faltando "algo", y la clave vendrá cuando repase la teoría completamente.
Estoy seguro que las mismas dudas volverán, de una forma u otra, aún cuando me ponga a hilar más fino.

Esas dudas tienen que ver, básicamente, con esto: en la etapa presuntamente "informal" de la lógica, en la cual el lenguaje de la lógica y sus axiomas aún no han sido construidos, se hace previamente toda una larga y compleja serie de "definiciones formales" que no tienen sustento.
Se usan "conjuntos" de símbolos (cuando aún no hay "conjuntos"), se habla de "conjuntos" de fórmulas (o expresiones válidas del lenguaje), se habla de "relaciones n-arias", para todo "número natural n", cuando todavía no existen "los naturales", y si existen intuitivamente... no están claras todas sus propiedades.
Y se habla de "lo finito y lo infinito", como si de verdad existiera algo "infinito".
A ver, que alguien me muestre un conjunto infinito de símbolos, o de fórmulas, que lo escriba, si es brujo.



Bueno, todo esto puede que este sea un problema mío, en cómo entendí las cosas durante mi formación.
Ocurre que "me acostumbré" a pensar que "todo" se puede o debe formalizar y axiomatizar en matemática.
Cuando fui descubriendo que esto no era ni fácil, ni obligatorio, no fue algo "trivial" para mí.

Tengo, en tal caso, una mente "constructivista", y deseo que todo esté "formalmente construido".
Así que "aceptar una intuición de número" al estilo de Kronecker no es algo que a mí me resulte "obvio" ni "natural".
En realidad, es una de esas cosas que he tardado en entender y madurar.

Así que cuando Phidias dice "todo ser humano entiende claramente que...", bueno, a eso me refiero.
Pienso que no es claro para todo ser humano, porque al menos a mí no me queda claro lo sólido de los pasos que se dan, y más aún, la lógica moderna no es una ciencia "trivial" como para que cualquier ser humano pueda estar de acuerdo con sencillez y claridad acerca de todo lo que se dice.

Para mantener el acuerdo, se debiera mantener la "sencillez". La estructuración de la lógica debiera seguir otro formato, porque algunos "saltos engañosos" se esconden tras las afirmaciones complicadas.

O sea, al final, estoy pensando como un "constructivista" extremo, jeje, a pesar de que me digo de mentalidad formalista.
Pero el caso es que en el "lenguaje natural" no hay muchas cosas seguras.
Al usar "lenguaje natural" me siento "sucio, pecador".  :P
Todo esto mismo que estoy diciendo es "pecado".

Bueno, como sea, creo que para concretar, tendría que ponerme a seguir más de cerca los cálculos del asunto, en algún otro hilo más específicamente dedicado a eso.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 04/08/2010, 04:36:20 pm
Me parece "prohibitivo" usar "conjuntos" en el "lenguaje natural", porque la "intuición" de conjunto ha probado ser "problemática": sabemos que si no se formaliza adecuadamente, se obtienen paradojas. ¿Cómo entonces, usar una versión "informal" de conjunto estaría permitido?

No se pueden usar números naturales de manera informal, porque justamente, al hacerlo, se prueban  resultados como el de Godel, que nos dejan dudas acerca de la consistencia de la aritmética.
¿Cómo usar algo de lo que no se puede aseverar su "consistencia", salvo por mera "creencia" o "fe" que uno pueda tener en los números mismos?

No se pueden usar "cardinales transfinitos" al hablar en "metalógica" porque la estructura de dichos cardinales depende de la teoría que uno acepte: cambia la escala de los infinitos mismos. Al usarlos en el "lenguaje natural", estamos usando un "lenguaje ambiguo" a propósito.

Y en cuanto a la "lógica estándar", usarla sólo porque "se ha demostrado" que es "consistente" no sé si es argumento suficiente.
Para "demostrarlo" se han usado "razonamientos abstractos", y esos razonamientos tienen la misma "estructura" de la misma lógica de la que pretendemos "probar que es consistente".
Pero mientras todavía no hemos completado la prueba de esa consistencia... ¿con qué derecho la usamos en el "lenguaje natural", y peor aún, para probar que ella misma es consistente?

Aún aceptando esa prueba de consistencia... ocurre que seguramente hay más de una lógica consistente. ¿cuál es más válida, y cuál ha de usarse en el "razonamiento del lenguaje natural"?

Nota de honestidad: en realidad esto es algo que ya ignoro, o sea, no estoy seguro de si hay otras lógicas que sean "consistentes" y "completas", porque no me acuerdo  :-[
Así que Phidias, tendrás que corregirme. Pero pienso que sí las hay. No es difícil concebir que eso es posible.

Y si hubiera una gran familia de lógicas consistentes y completas, ¿con qué criterio se elegiría una por sobre las otras?


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 04/08/2010, 04:43:11 pm
Pues me vais a disculpar si parece que insisto demasiado en este asunto pero me gustaría revisar un poco las posibles lógicas que hoy tenemos a nuestra disposición para tratar de averiguar si efectivamente es posible construir en todas ellas las TC y/o el conjunto de los números naturales y en consecuencia unas matemáticas como las actuales. Se me ocurren algunas y otras que leí por ahí:

Lógica proposicional
Lógica de predicados ó de primer nivel
Lógica de segundo nivel
Lógica no standard
Lógica difusa
Lógica modal

etc (imagino que me olvido de algunas).

teniendo cada una de ellas diversas variantes y formas que van desde el álgebra de Boole (debe ser de las más sencillas) hasta las lógicas más sofisticadas de segundo nivel, pero lo que interesa aquí es si en todas ellas se pueden construir los números naturales. No se yo tanto de lógica para atreverme a discutir sobre el tema, pero seguro que algunos de los foristas expertos en lógica podrían poner algo más de luz en este punto, concretamente en lo relacionado a la construción de la matemática en el seno de cada una de ellas.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 04/08/2010, 04:58:48 pm
Bueno, yo tampoco soy experto, ando iniciándome en este camino.

Te respondo por lo poco que sé.

La lógica proposicional no tienen cuantificadores, sólo "variables proposicionales" p, q, r, y no alcanzaría para desarrollar la aritmética. Es que esas variables representarán "proposiciones" y no "conjuntos o elementos".

En la lógica de primer orden no hay variables proposicionales, sino variables x, y, z que se terminan "entendiendo" a posteriori como "conjuntos" o "elementos", y por tanto se adecúan más a las afirmaciones matemáticas que necesitamos. También hay cuantificadores [texx]\forall{\exists{}}[/texx].
Allí se pueden dar axiomas de Peano (de primer orden) para los números naturales.

Pero en lógica de primer orden las "proposiciones" no existen en el lenguaje, sino que uno "las ve desde afuera" como expresiones que dependen de las variables x, y, z, etc. (se les llama "fórmulas").
Así que no se puede cuantificar sobre las proposiciones.

En el lenguaje de segundo orden, se puede cuantificar sobre proposiciones, y eso permite que el principio de inducción se pueda formular en el modo que solemos pensarlo siempre:

Dada una proposición P sobre los números naturales n, si P(1) y si P(n) implica P(n+1), entonces P(n) es cierta para todo n...

En lenguaje de primer orden eso no puede hacerse, sólo se puede dar una versión restringida del principio de inducción (que yo creo que la mayor parte del tiempo igual sirve):

Si A es un subconjunto de N, y si 1 está en A, y n en A implica n+1 en A, entonces A = N.

Yo digo que esta versión más "débil" es igual de útil, porque uno puede definir el conjunto A como el conjunto de todos los n que satisfacen cierta fórmula P(n), aunque esta vez P no es un objeto "interno" del lenguaje, sino una "metavariable" que representa alguna "fórmula de primer orden".

Ocurre que el lenguaje de 2do orden y su lógica, están expuestos a los resultados de incompletitud de Godel, incluso sin adosarle la aritmética.

En cambio la lógica de primer orden (sin adosarle la aritmética) es consistente y completa.

Las otras lógicas, sencillamente no las conozco, más que por habérmelas cruzado en Wikipedia.

Algunas lógicas, como la difusa, tienen otros propósitos, y suelen pensarse o definirse pensando en "aplicaciones no matemáticas", así que seguramente su definición usa una gran maquinaria formal de la matemática misma, y tal vez legítimamente, porque después de todo, se desarrollan como una rama de la matemática misma, y no desde el "metalenguaje".

Las lógicas no-estándar y modal, me suenan a lógicas con "más de un valor de verdad", más no lo sé.
Sin embargo, he visto algo del cálculo de la lógica modal, y tiene "símbolos" que no entiendo "un pomo" de cuál es su sentido intuitivo.
Son símbolos adicionales, que no se usan en la lógica corriente.







Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: feriva en 04/08/2010, 05:25:16 pm
`
Cita
Para mantener el acuerdo, se debiera mantener la "sencillez". La estructuración de la lógica debiera seguir otro formato, porque algunos "saltos engañosos" se esconden tras las afirmaciones complicadas.

Amigo, Argentinator, ya veo el problema, eres un hombre honrado que  aún no se ha desengañado de la naturaleza del ser humano; la cual prima por encima de su lógica natural, del logos, de esa lógica primaria y ancestral de la cual depende la otra más superior; porque si la base está podrida, cómo quieres que crezca el árbol, ¿sano?
. En ciencia las cosas deberían ser lo que son, no lo que algunos, por conveniencia, quieren que sea; y esos lógicos antiguos de los que hablas eran humanos antes que matemáticos o cualquier otra cosa, no santos; y los propios santos también eran humanos antes que santos.
Personalmente, de las cosas complicadas siempre sospecho que esconden mentira; alguna vez no será así, no digo yo que no...
Quien más y quien menos, como dijo una vez E. Hawkings, arregla sus teorías ad hoc; eso dijo, sí, aunque las palabras, probablemente, no sean exactas.
Antes de admitir un fracaso, la mayoría de los científicos inventarán cualquier cosa, harán cualquier arreglo; ahí está, por poner un caso muy conocido, la constante cosmológica de Einstein.
Y así muchas cosas van quedando... no es que queden densas, porque quizá algunas no pueden ser livianas, van quedando... pues eso, "complicadas".
 Ah, y hay otra anécdota (hoy va de anécdotas :) ) en la que De Sitter recibió a un joven físico el cual le presentó un trabajo suyo sobre no sé qué ley universal; De Sitter le contestó: cuando alguien me habla de "universal" ya se que se trata de una completa barbaridad.
 En fin, que eso, creo que vas camino del desengaño: te lo diré con una canción de tu tierra: "verás que todo es mentira, verás que nada es verdad, que al mundo nada le importa, yira..."

Un saludo y adelante con tu investigación en cualquier caso.   


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 04/08/2010, 05:33:23 pm
Cita
y esos lógicos antiguos de los que hablas

Sólo para aclarar: de "los que hablo" es de los lógicos modernos, no de los antiguos.

De los antiguos ya sé que todos estaban equivocados, que si no, nada hubiera cambiado en la ciencia. :P




Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 04/08/2010, 05:34:39 pm
Mas, no sólo me quejo de los lógicos: quizá el problema es que yo no entiendo adecuadamente el campo de investigación.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: feriva en 04/08/2010, 05:44:46 pm
Cita
de los lógicos: quizá el problema es que yo no entiendo adecuadamente el campo de investigación.

Eso es lo que más me hace dudar precisamente, el que tú no los entiendas; ¿quién los va a entender, entonces?   :laugh:


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 04/08/2010, 05:45:47 pm
(...)
Lógica modal

(...)

pero lo que interesa aquí es si en todas ellas se pueden construir los números naturales.


En relación a esto, en la lógica de primer orden, que se supone que es la que usamos, la aritmética es "incompleta".

Pero en lógica modal pareciera que las cosas se arreglan... "modalmente", vaya a saber lo que eso significa.
Acá les paso un archivo, del cual saqué el enlace de la Wikipedia, donde hace todas las cuentas:

http://www.csc.villanova.edu/~japaridz/Text/prov.pdf (http://www.csc.villanova.edu/~japaridz/Text/prov.pdf)

Al parecer, el símbolo [texx]\Box[/texx] sirve para "razonar" acerca de los "razonamientos mismos", que es más o menos una de las cosas que he estado planteando.






Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 04/08/2010, 05:48:54 pm
Cita
de los lógicos: quizá el problema es que yo no entiendo adecuadamente el campo de investigación.

Eso es lo que más me hace dudar precisamente, el que tú no los entiendas; ¿quién los va a entender, entonces?   :laugh:

Cuando unos amigos tienen una jerga en común, al paso del tiempo sólo ellos entienden muchas de las cosas que dicen: tienen sentido para ellos.

La lógica ha tenido un desarrollo frenético en el último siglo, y la "barra de amigos de la lógica" han seguido una misma "conversación" a lo largo de los años, a la cual ellos están acostumbrados, es su campo y su forma de "hablar" o de "pensar", y cuando alguien de "afuera" intenta integrarse al grupo, se encuentra con mucho desorden.

Ese es el problema "humano" que veo.
Uno de los libros que estoy leyendo pretende "poner un poco de orden" en el tema, dado que, entre otras cosas, mucho material no se encuentra con facilidad.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: feriva en 04/08/2010, 06:19:58 pm
Cita

Cuando unos amigos tienen una jerga en común, al paso del tiempo sólo ellos entienden muchas de las cosas que dicen: tienen sentido para ellos.

La lógica ha tenido un desarrollo frenético en el último siglo, y la "barra de amigos de la lógica" han seguido una misma "conversación" a lo largo de los años, a la cual ellos están acostumbrados, es su campo y su forma de "hablar" o de "pensar", y cuando alguien de "afuera" intenta integrarse al grupo, se encuentra con mucho desorden.

Ese es el problema "humano" que veo.
Uno de los libros que estoy leyendo pretende "poner un poco de orden" en el tema, dado que, entre otras cosas, mucho material no se encuentra con facilidad.



Entiendo lo que quieres decir, tú, desde tu punto de vista, te ves como "nuevo" frente a otros, es lógico -¿lo es?- pero no creo que sea objetivo en sentido universal, digamos, es tu sensación, yo creo. El sabio siempre piensa que no sabe lo suficiente, a diferencia del necio.
 En todo caso, con mi comentario anterior no quería hacer una críticia particular de los lógicos, al contrario, son de lo más honrado que hay; la crítica iba más dirigida hacia otras ramas de la ciencia; sin embargo, también habrá algo de eso que digo en la lógica, supongo (o he supuesto quizá ligereza) 


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 04/08/2010, 10:07:56 pm
No es lo mismo "no saber" sobre "teoría de módulos", por ejemplo, que "no saber" sobre lógica.
Porque tengo la certeza de la "teoría de módulos" tiene bases formales precisas e inambiguas.

En cambio, el universo de "las lógicas" es muy confuso, no hay base teórica confiable.
Los resultados son buenos, interesantes, pero las bases... son lo que cuestiono.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 04/08/2010, 11:40:05 pm
He estado leyendo tus intervenciones  Argentinator  sobre lógica ,me parecen muy interesantes ,complementándolo con otros artículos ,es un tema apasionante . :)
Sin embargo siempre me queda esa sensación, hacemos  construcciones sobre lógica ,pero en algún momento la lógica  debería ser una ley natural  y si no sus contradicciones  se haría evidentes pues precisamente es al mundo físico  a quien se aplican.
Pensaba por ejemplo.
-La velocidad  de la  luz en el vacío es igual en todos los sistemas de referencia inerciales.
Existe algún procedimiento lógico que deduzca cosas como estas, entonces yo me quedo preguntando, puede que existan alguna causa alguna razón que lo explique pero creo que no es accesible para todos  pues necesitamos más allá de la lógica poder representar una idea como esta en nuestra mente.

Yo me preocupo en este sentido de este tema,
-si la lógica puede o no llevarnos a conocer algo a través de un razonamiento
-o si es la idea, es decir si la idea que se presenta en nuestra mente es la que nos acercaría  a la realidad, para ello habría en primer lugar que  tener un cerebro capas de representar tal idea .
De lo contrario la lógica se perdería en construcciones acerca de la veracidad de la lógica .

Tendríamos que aplicar la lógica dialéctica de Hegel. ;D

   “ Si ocurrió, puede ser, y si ocurriera, sería. Pero como no ocurre, no es. Eso es la lógica”
                                                                                            
                                                                                                     Lewis Carroll  :laugh:



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Fernando Revilla en 05/08/2010, 06:57:49 am
¿Conque vamos "confesando", ehh?  :P

No me preocupa la confesión: si la aritmética de primer orden es compatible, todo teorema formal es una fórmula verdadera en [texx]\mathbb{N}[/texx]. Bien, esto no quiere decir que la aritmética de primer orden sea igual a su interpretación [texx]\mathbb{N}[/texx]. Debería insistir no obstante que los sistemas [texx]L[/texx] y [texx]K_{\mathcal{L}}[/texx] a cuya bonanza me refería son sistemas formales que no incluyen axiomas matemáticos.   


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 05/08/2010, 12:08:37 pm
Una de las cosas que pide a gritos argentinator es que al estudiar un sistema axiomático (ya sea matemático o solo lógico) no se utilicen en el metaanálisis  elementos que están dentro del sistema estudiado. Por ejemplo, para probar que hay reales indefinibles hemos comparado los cardinales (un concepto que solo vive dentro de la teoría de conjuntos) del conjunto R (otro elemento dentro de la teoría) y las cadenas de expresiones bien formadas, elementos que estás fuera de la teoría.

Yo no sé hasta qué punto estas cosas pueden evitarse absolutamente, pero es muy interesante observar la estructura de la prueba de Gödel.

Allí, mediante una codificación numérica de las cadenas de símbolos, Gödel disfraza de números a las cadenas bien formadas de la Aritmética, pero no solo eso, lo hace de modo que la concatenación de cadenas se pueda definir como una operación aritmética entre los números de las cadenas concatenadas, de modo que su codificación sea un morfismo del conjunto de cadenas con la concatenación al conjunto N con esa operación aritmética.

De este modo, cualquier afirmación acerca del sistema que se pueda describir en términos de concatenaciones de expresiones, (como por ejemplo: “una expresión es demostrable”) tendrá un reflejo dentro del sistema, equivaldrá a una propiedad numérica perfectamente expresable dentro del sistema.
Con esta argucia, Gödel hizo que los números hablaran de la Aritmética, que la Aritmética nos contara algunas cosas de sí misma, desde dentro de su propia entraña.

Por supuesto, para hacer esto, Gödel debió utilizar el concepto intuitivo de función, o peor, el de morfismo. Pero buena parte del resto de la argumentación metaaritmética la metió dentro de la Aritmetica y la expresó en términos de propiedades de los números.

Tal vez esta sea una línea de trabajo para tener en cuenta.

Saludos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 05/08/2010, 01:51:57 pm
Pues parece que si, porque si yo he entendido bien todo este debate eso es precisamente lo que repele a argentinator. Aunque en el teorema de Godel se supone que el sistema lógico y la aritmética subyacente están ya construidos y lo que se demuestra es su incompletitud, de manera que quizás en este caso se justificara el uso de dichos conceptos.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 06/08/2010, 01:33:22 am
La lógica vacía que carece de substancia

“El árbol que esta en la montaña, no  puede estar en el mar”

“Esta frase es falsa”

Si sacamos las cosas reales aquellas que existen árbol o montaña
Queda

“El porque de lo que se dice, no puede decir porque se dice”

Es una frese que no tiene elementos reales, sigue teniendo significado pero no tiene contenido  tal vez porque es una frase que busca una causa, no en la naturaleza ,si no en si misma .

El árbol esta en la montaña

Es una frase basada en la experiencia, cuando abrimos los ojos talvez por primera vez vemos el árbol en la montaña. Aprendimos  por experiencia que no están en el mar, y por lo tanto volveremos a la montaña y lo hallaremos.
Pero si una frase carece  de símbolos como árbol mar azul etc que si están en la naturaleza ,entonces hace inferencias que carecen de experiencias sensoriales

“El porque  de lo que se dice, no puede decir porque se dice”  o
“Esta frase es falsa”


Son frases que buscan inferencias en si mismas, dice que el porque no puede porque, porque carece de experiencia, porque el porque es una palabra que tiene sentido solo cuando hay experiencia ,cuando alguien lo ha vivido

“La naranja no es redonda, porque esta hecha jugo.”

En la frase

“Esta frase es falsa “

Para decir que algo es falso o es verdadero solo se puede decir si tengo experiencias previas.
Y una frase no existe antes de ser escrita  o dicha por lo tanto la frase no existe
Nuevamente la experiencia no existe. el contenido no existe .
 
La lógica no es funcional sin la experiencia

Por ahí dicen que para cada animal o planta existe en la naturaleza, se  crea otra para  nutrirse de la primera; las hojas captan la luz , los lobos se alimentan de los ciervos
Las flores atraen los insectos  para polinizar
Que habrá creado  a la razón ? el no estar a la deriva talvez, no  ser una hoja para que venga un ciervo y se la coma , o un lobo y competir por el ciervo. Ser el dueño de las circunstancias ,si pones en una computadora las costumbres del lobo y  encierras al lobo , y ordenas a la  computadoraque no escape la computadora  podría tener al lobo cautivo toda su vida, entonces la razón permite manipular las fuerzas externas como un velero en el mar.

Abrir los ojos por primera vez para ver el mar y  navegar con la razón como un velero en el mar.


 :-[ lo siento ,me sali de la lógica
 


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 06/08/2010, 03:16:40 am
A lo que aspiro es a que los fundamentos de la lógica y la matemática no tengan "vicios" lógicos escondidos, circularidad, ambigüedades, y cosas por el estilo.

Ahora bien, ya que Phidias me ha remarcado el hecho de que la lógica de primer orden es consistente, creo que el siguiente paso es que yo me ponga a hacer las cuentas pertinentes.
O sea, ya he dicho todo lo que pensaba al respecto, ahora falta un trabajo más minucioso.

Mas en este hilo no lo haré, porque está dedicado a cuestionar el "esquema mental de la matemática".

Deseo ponerme pronto manos a la obra, y lo iré subiendo al foro, pero no prometo nada. Primero hay que estudiar.  :banghead:


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: feriva en 06/08/2010, 06:16:07 am
Cita

En cambio, el universo de "las lógicas" es muy confuso, no hay base teórica confiable.
Los resultados son buenos, interesantes, pero las bases... son lo que cuestiono.

Hola, Argentinator.
Nunca me había fijado en eso de "Karma" que pone debajo del nombre de usuario; hoy lo he hecho y me he preguntado que qué era. Lo primero que me ha venido a la cabeza ha surgido de un rápido razonamiento intuitivio: he supuesto que "karma 1" era una designación para los moderadores, ya que, en el post que estaba mirando aparecía el 1 para un moderador y el cero para usuarios de distinto rango. Pero he seguido mirando y, luego, he visto en otro post que no era así, ya que, un usuario normal tenía "karma 1" y en cambio un moderadro tenía "karma 0". Me he fijado un poco más: el usuario corriente era el que había iniciado el hilo, el autor del post. A partir de ahí he hecho una deducción más certera, como es natural.

La base más primaria de la lógica -la más básica, se podría decir redundantemente- es quizá la deducción; aunque la deducción no sea lógica en sí, aunque sea un concepto distinto, ambas cosas están intimamente relacionadas (igual que lo están "relación" y "lógica"). Tal vez se pueda discutir que sea una base como tal, pero sin duda es un antecedente.

Sin embargo, y volviendo a lo del "karma 1", ahora mismo no puedo estar completamente seguro de que designe al autor del post; completamente no, porque para ello tendría que mirar más posts; porque... y ¿si fuera un error informático, por ejemplo? La experiencia me  ha enseñado que toda comprobación es poca. No obstante, el exceso de comprabación, en un momento dado -cuando ya hemos comprobado mucho y tenemos seguridad- puede llevar, debido al cansancio mental, a ver fantasmas (a todos nos ha pasado muchas veces con diferentes cosas).

Tal vez la mejor manera de estudiar o construir las cosas, es por etapas, dejando un tiempo de maduración a las ideas que se han asimilado, para que se asienten, para ver si mañana, después de haber cambiado de actividad mental, siguen siendo como eran la última vez que pensamos en ellas.

 Saludos.   

(¿ves?, me había equivocado en mi deducción, nunca he instalado el gestor SMF, he instalado el Joomla y otros, y claro, no conozco las características; sin embargo, la deducción, a tenor de los pocos datos que tenía en ese momento, era lógica)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Elius en 10/08/2010, 06:38:56 pm
"Salirse" de la lógica y del lenguaje es una antigua aspiración filosófica, que termina fatalmente en mística.
Comparto la desazón por la falta de bases unívocas, indudables y sólidas como una montaña, para el conocimiento. Pero, amigos, es un intento que tiene más de dos milenios, y si bien se ha logrado mucho, las bases son siempre efímeras, provisionales, intrumentales y utilitarias. Es preferible blanquear eso (la instrumentalidad y provisionalidad de todas las verdades) antes que engañarse con cuestiones "trascendentales".

La matemática se parece a la filosofía fundacionista (que pretende aportar fundamentos indudables a todo conocimiento) cuando se aleja de su condición de instrumento conceptual. Por eso, aunque reconozco que los intuicionistas eran demasiado drásticos descartando el principio del tercio excluído, valoro la constructibilidad antes que las demostraciones de existencia que se basan en el absurdo de su negación.


Ludwig Wittgenstein (que fue alumno de Russell) planteó incluso dejar pasar el lenguaje: sólo hay juegos, juegos de lenguaje junto a tantos otros juegos.

Y también dejó un aforismo inolvidable: "de lo que no se puede hablar, mejor es callar".

Él mismo no pudo seguir ese consejo, y luego del libro en que lo plantea, dio clases en Cambridge, y dejó varios libros póstumos.

De modo que es un tema que lleva a una especie de "koan": cuanto más lo debatimos, más preguntas sin respuestas se añaden. Pero no podemos dejar de hablar de él.

También los fundamentos de la matemática es una pregunta filosófica, es decir, una pregunta con la cual no nos queda más remedio que convivir, sin apegarse demasiado a ninguna respuesta.  :)


Saludos!

 


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Elius en 10/08/2010, 06:55:48 pm
Sobre el "esquema mental de la matemática" de Argentinator:

La teoría de conjuntos es una cruza de lógica con matemática (Quine hablaba de lógica con la piel de lobo, cuando no reconocía la independencia de la TC, y de TC con la piel de cordero cuando ésta pretende pasar por lógica), a la que me resisto a ver como un fundamento confiable: en poco más de cien años, ha producido más paradojas y conceptos "inefables" (modelos no standard) que el resto de la matemática en tres milenios. Para los amantes del koan, esto no es un obstáculo, pero preferiría algo más parecido al construccionismo.

¿No hay un ícono para "sonrisa budista"? ^^

Saludos!



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 10/08/2010, 07:15:46 pm
La verdad es que si somos sinceros la TC es poco fiable si atendemos a su evolución "obligada" desde Cantor debida al gran número de paradojas que ha sido capaz de generar. Aunque eso no quiere decir que actualmente sea una teoría, en sus diversas modalidades, que tenga problemas, parece que no los tiene.

En cualquier caso yo creo que el problema de los fundamentos de la matemática, aun teniendo en cuenta su relatividad, es un problema que aún está sin resolver y que se perciben cambios importantes en un futuro más ó menos inmediato, relacionados con el teorema de Godel ó la lógica no estandard. Aún tendrá que haber algunos cambios importantes hasta que podamos decir que la matemática está bien fundamentada en la lógica (aunque parece que la lógica se fundamenta en ... !el sentido común!) y esos cambios afectarán sin duda a las TC, aunque aún no sabemos en que forma y manera ocurrirá, pero será interesante verlo, si es que llegamos a verlo, yo espero que si.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 10/08/2010, 11:08:03 pm
"Salirse" de la lógica y del lenguaje es una antigua aspiración filosófica, que termina fatalmente en mística.
No comparto es te punto de vista  >:(
Al comienzo del despertar de la humanidad .en el mundo reinaba la mística ,hechiceros ,chamanes ,gurús etc ellos eran los que gobernaba al pueblo pues infringían miedo a los súbditos para mantener la jerarquía social y la estructura ,toda sociedad necesita una estructura ,lo que la hace funcional .
Mas tarde todo esto desaparece lentamente.
Yo creo que hemos asumido la lógica como algo intocable  ,el salirnos de la lógica no significa a mi entender caer en el misticismo o locura. porque todo lo que hemos logrado o creemos haber logrado lo hemos llevado a la experiencia .¿porque la lógica no puede ir al tribunal de la experiencia?
Faraday relaciono el magnetismo con la electricidad  lógico o ilógico ,la experiencia através de un experimento es la que determino su veracidad es ella la experiencia la que nos ha guiado ,puede que no sea la lógica la que nos acerca  a la realidad ,puede ser la intuición ,la idea etc
Sabes que últimamente  se esta tratando de crear sentimientos artificiales en los robot ,para ver si pueden tener algún grado de autonomía y poder interactuar con nosotros sin tener que programarlos.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Elius en 11/08/2010, 10:49:43 am
Aunque eso no quiere decir que actualmente sea una teoría, en sus diversas modalidades, que tenga problemas, parece que no los tiene.

Mi impresión es que la parte útil de la TC es la "ingenua", pero trae paradojas; y la axiomática no las trae, pero su enorme aparato teórico está dedicado a evitarlas, por lo cual no tiene mayor utilidad para fundamentar otras teorías. Lamentablemente, también la lógica matemática en general se ha convertido en una teoría de cómo evitar paradojas en su propio ámbito (o convertir paradojas en teoremas, como es el caso de Skolem), antes que en fundamento de cualquier otra teoría. La mayoría de los matemáticos prescinde de ambas teorías, algo que no sería preocupante, si no fuera que la razón de ser de ambas es la fundamentación del resto.

Saludos!




Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Elius en 11/08/2010, 11:36:07 am
"Salirse" de la lógica y del lenguaje es una antigua aspiración filosófica, que termina fatalmente en mística.
No comparto es te punto de vista  >:(

Tal vez podamos clarificar posiciones. Someterse al tribunal de la experiencia no me parece que sea "salirse" de la lógica ni del lenguaje representacional. Más bien estaba pensando en los autores post modernistas, especialmente franceses, y en Heidegger, por una parte. Y por otra parte (con otra herencia, digamos), en las teorías deflacionistas de la verdad, y en el pragmatismo tardío, que asume alegremente que la filosofía (también la que se plantea fundamentar las ciencias) es sólo un género literario entre otros, que casi se roza con el desafío postmodernista: "La ciencia es un mito más".

Tu postura parece más bien empirista, con lógica y lenguaje de sentido común. ¿No es así?  ;)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 11/08/2010, 02:19:23 pm
¡Un mito, la ciencia un mito! No se entiende como alguien pueda llegar a concluir algo así y mantenerse dentro del mundo de la racionalidad. Si hay algo de lo que no puede negarse que ha servido para construir el mundo en que vivimos es de la ciencia. Tendremos un mudo mejor ó peor, seremos más ó menos felices, no lo sé, pero vivimos inmersos en un mundo que se ha construido a base de logros científicos, uno detrás de otro y afirmar que la ciencia es un mito es lo mismo que cerrar los ojos a la realidad misma.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 11/08/2010, 03:44:47 pm


Tu postura parece más bien empirista, con lógica y lenguaje de sentido común. ¿No es así?  ;)

El empirismo ciego  ,sin una cuota de razón o ideas, me párese absurdo ,porque somos nosotros lo seres humanos los que vamos en busca de la verdad, pero  somos nosotros también los que consideramos que una verdad debe radicar en la materia .
Por ejemplo en el caso de Faraday ,relacionar la electricidad y el magnetismo podría ser material para alguna obra literaria alo mejor una gran obra literaria ¿ que sentido tiene que sea la experiencia la que sea realmente util ?Nietzsche, dice  que la ciencia se separo de la filosofía porque la filosofía no busca la utilidad ,la ciencia si y la ciencia le reclama a la filosofía utilidad.
Yo creo que la experiencia confirma, nuestra existencia, incluso una obra literaria esta sujeta a la experiencia, el lector determinara su éxito.
Vivimos en un mundo material, no se si capturar la electricidad para que nos alumbre, comunicarnos por Internet ,teléfono, esto  es lo útil, pero  la electricidad es una realidad externa ,si digo la electricidad existe y se relaciona con el magnetismo tengo que probarlo pues yo me referido a una realidad externa fuera de mi mente .porque yo me he referido a la materia ,es igual a decir Pepe se esconde detrás de aquel muro.
La realidad interna, que papel juega la lógica  o razón ,¿Cuánto de materia hay en nuestro cerebro y como funciona nuestro cerebro?¿porque hemos extraído nuestros procesos lógicos ,conectores etc ,los hemos puesto en un computador que en un segundo relaciona un sin numero de hechos ?.Para mi es que hemos descubierto algo en nuestro comportamiento cerebral que es material por eso lo hemos podido poner en un computador, responde de alguna forma a leyes físicas, causalidad talvez. De alguna forma estamos llevando la lógica ante la experiencia. Por ello tal vez la lógica no pueda responder por el  infinito por que el infinito no esta sujeto a la experiencia.
Por ejemplo
Un ateniense dice todos los atenienses son mentirosos.
No podemos creer al ateniense puesto que es un ateniense, y no conocemos la realidad de los atenienses (experiencia), entonces es en juicio  sobre un juicio anterior ,y podría hacer una construcción de juicios sobre juicios anteriores sin terminar.


Pero si creo en la mente humana por que creo que la idea como tal ,la imaginación ,los sentimientos intuición  etc. no se han podido mecanizar no se han podido meter en un computador con éxito, creo  que deben de igual manera tener algún proceso material talvez pero es mas complicado ,sofisticado.
Nosotros sabemos matemática y algo de física y la pregunta que yo siempre he querido hacer es si nuestra mente  puede tener una imaginación tan  prolífica, y si conocemos el universo donde hay leyes rígidas por otro lado esta la idea de infinito
¿La imaginación puede ser tan prolífica y desbordar el infinito?mi respuesta es no ,lo imaginable tiene limites ,es nuestra frontera.
 ::)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Elius en 11/08/2010, 05:33:14 pm
¡Un mito, la ciencia un mito! No se entiende como alguien pueda llegar a concluir algo así y mantenerse dentro del mundo de la racionalidad.

Totalmente de acuerdo, amigo, pero si vas a la Facultad de Humanidades, o de Filosofía y Letras, alguna clase de la carrera de sociología o psicología, encontrarás muchos especímenes!

Y si quieres una sobredosis, busca un grupo de lacanianos (Lacan era psiquiatra, pero opinaba del universo entero; llegó a comparar el símbolo fálico con la raíz cuadrade de -1  ??? :banghead:).



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 11/08/2010, 06:16:33 pm
Pues bien, ya sabemos que hoy en dia cualquiera que sea la tontería que digas, por muy grande que sea, siempre hay alguien que estará de acuerdo con ella, pero eso no quiere decir que tengamos que hacer caso a semejantes opiniones, el sentido común y el conocimiento racional hace que seamos capaces de discernir, por suerte. Aunque lo que me llama la atención es que sean universitarios los que defienden semejantes tonterías.

Saludos, Jabato. ;D



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 11/08/2010, 07:30:08 pm
Muchachos, hay que "calmar" opiniones.

Si nos dirigimos a "grupos de personas" en forma descalificante va contra las normas del foro, además de ser un error humano de "prejuicio generalizado".

Desde el punto de vista racional hay que ser, me parece a mí, más concretos, y apuntar a "los dichos concretos" de una determinada persona, y no a "grupos de personas que hacen tal o cual actividad".



La gente que anda por las ciencias "humanísticas" tiende a "irse por las ramas",
y aunque a mí no me gusta salirme de lo concreto, me parece bien que haya gente que vea las cosas desde otro punto de vista, con la imaginación abierta, con posturas extravagantes.

De todo lo que inventen o digan no todo va a ser sólido científicamente, pero alguien tiene que "ir más allá".
¿O acaso no hemos disfrutado de un libro imaginativo de ciencia ficción, o algún tema filosófico que nos haga pensar?

Además, hay gente que no ha tenido la "suerte" de toparse con el trabajo racional, matemático o afines, y hay que tratar de "evangelizarlos", jejeje  >:D
Soy de la opinión que "aquel que nunca tuvo que probar un Teorema", es como que "le falta entender un gran territorio del universo intelectual".

Porque uno tiene que "imaginar más allá", pero también tiene que "quemar algunas neuronitas" para entender las dificultades reales que conlleva entender el Universo.
Es fácil decir que la ciencia es literatura, pero sin los mecanismos y métodos de la ciencia hoy no sabríamos que la Tierra es redonda, ni nuestra situación biológica en la escala evolutiva, ni nada de lo que los librepensadores pudieran "aprovechar" para luego filosofar y debatir.

Pero bueno, algún pedante siempre aparece por ahí, y yo no me aguanto las ganas de "combatirlos", jeje, pero lo importante, digo yo, es proseguir en este nuestro camino, sin importar cuántos o quiénes se pongan enfrente para detractar la ciencia.

Hay gente que se plantea disyuntivas filosóficas con honestidad, y hacen honor a su campo.
Hay de todo, y uno no tiene más remedio que aprender a elegir.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 11/08/2010, 08:04:11 pm
El "apostolado" es fundamental, si las personas que no tienen el hábito del razonamiento lógico, del análisis, de los conceptos bien definidos, de la precisión en los matices, son una gran mayoría nos perderemos en un gran bosque oscuro y tenebroso. Algo así debió ocurrir en el comienzo de la edad media, pienso yo. Es dificil que eso vuelva a ocurrir pero si ocurrió una vez quien nos asegura que no pueda volver a pasar. Sociedades embrutecidas, preocupadas solo por guerrear unas contra otras, olvidadas de la cultura y de la ciencia, sin moral y sin tradición, como es posible que pueda llegarse a esos extremos, es difícil entenderlo para gente como nosotros, pero sin duda que ocurrió y podría volver a pasar.

De ver en la unidad imaginaria un símbolo fálico a sacrificar a la mujer más bella de la tribu porque lo diga el brujo no hay nada más que un paso, y no es muy largo. Yo soy mas bien de la opinión del jefe de la tribu que opinaba que a la que había que sacrificar era a la más fea.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 12/08/2010, 01:01:16 am
La visión “humanística” de la ciencia ha sido tratada aquí con un sentido que tal vez no expresa la profundidad del problema.
Evidentemente, cuando nos preguntamos acerca de los fundamentos de las ciencias formales, estamos obligados a explorar la frontera entre las ciencias formales y las fácticas.

Mario Bunge dice que las ciencias formales estudian las “formas de las ideas”, y ejemplifica: Si un conjunto de libros es distinto de otro, y el primero está incluido en el segundo, entonces no es cierto que el segundo esté incluido en el primero. Lo mismo ocurre con dos conjuntos de árboles o de seres humanos o de estrellas en el cielo. En todos esos casos, estos enunciados expresan sendos hechos, son enunciados referidos a las cosas y su veracidad puede constatarse mediante la observación.
Pero podemos ver que cualquiera sean los conjuntos A y B, siempre ocurrirá que si A es distinto de B y A está incluido en B entonces no es cierto que B está incluido en A. Este nuevo enunciado expresa que cualquiera sean los objetos concretos por los que reemplacemos A y B, el aserto es verdadero, y por lo tanto, su veracidad no depende de ese reemplazo ni de la realidad. La veracidad del enunciado general está implícita en la forma del enunciado. Esta es entonces, una verdad formal, concluye Bunge.

Pero argentinator no está tan seguro de esto y dice que las propiedades de los conjuntos dependen de los axiomas elegidos. Hay axiomáticas donde los cardinales son diferentes y otras donde los cardinales transfinitos ni siquiera existen.

Tenemos hasta aquí dos visiones, una dice que las ciencias formales estudian afirmaciones cuya veracidad es independiente de la realidad, y la otra dice que la veracidad de las afirmaciones formales está sujeta a la elección de una axiomática.

Frente a este dilema yo quiero formular una pregunta crítica:
¿Existirá algún lugar del universo o algún estado futuro del universo o algún Universo alternativo con otras constantes físicas y/u otras leyes físicas donde exista algún par de conjuntos distintos de objetos físicos donde el primero esté incluido en el segundo y el segundo esté incluido en el primero?

Cualquiera de las dos respuestas posibles me deja perplejo:

Si la respuesta es sí, entonces el enunciado en cuestión no es del todo formal, expresa una propiedad que se verifica en unos universos y no en otros, algo cuya veracidad depende del universo en que nos encontremos y por lo tanto es de origen fáctico, depende de la realidad. En ese caso, si nuestro objetivo es describir las propiedades de todos los conjuntos del universo, no somos libres de elegir los axiomas ya que tendremos que verificar empíricamente si nuestro universo verifica o no verifica la propiedad enunciada arriba y elegir axiomas que nos permitan deducir ésta y no su negación.

Si la respuesta es no, si en todos los universos posibles siempre es cierto que dados dos conjuntos distintos donde el primero está incluido en el segundo, el segundo no está incluido en el primero; entonces ahora sí, realmente la propiedad se independiza del plano fáctico. En ese caso, tendríamos una verdad absoluta, algo que de ningún modo puede ser falso y por lo tanto, tampoco somos libres de elegir los axiomas en el sentido que expresa argentinator  ya que nuestra teoría de conjuntos solo puede elegir axiomas que permitan deducir esa  propiedad y nunca su negación.
Claro, en este caso me cuesta desentrañar cuál sería la naturaleza de la verdad de ese enunciado. Una verdad que no se basa en hechos, y que siquiera depende del comportamiento de nuestro intelecto. ¿Por qué profunda razón ese aserto es verdadero y no su negación? Cuando argentinator busca un punto de partida seguro, busca verdades de este tipo, afirmaciones que sean verdaderas en todos los universos posibles.

Pero lo peor de todo es que si éste último fuera el caso, jamás lo sabríamos.
He allí un dilema acerca de los fundamentos.



Saludos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 12/08/2010, 02:09:03 am
Yo creo que el enfoque es otro distinto. No es correcto tratar de ver los axiomas lógicos como algo que vaya a describir el mundo y pensar que solo puede haber unos que sean los únicos verdaderos. Ese enfoque ya sabemos que no va a funcionar. Creo más bien que la idea es establecer unas reglas del juego aceptables y ver si con ellas podemos obtener una herramienta que nos ayude a comprender el mundo, pero sin pensar nunca que esas reglas son las únicas posibles. Yo creo más bien que hay muchos sistemas lógicos posibles y cada uno de ellos nos permite una modalidad de juego distinta. Nunca alcanzaremos un estado de conocimiento relativo a un conjunto verdades absolutas, indiscutibles, y que nos dé una única imagen completa del universo.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 12/08/2010, 09:51:31 am
Cristian: No he leído al filósofo Mario Bunge, pero de todos modos, como yo veo las cosas, todo el mundo comete el mismo "error" de Lacan, aunque en "menor grado".  O sea, toda aplicación de la matemática es una especie de "numerología".

Para mí, formalmente hablando, la matemática no son más que signos escritos en un papel, acorde a ciertas reglas arbitrarias de un juego que los matemáticos eligen jugar.

Ahora bien, cuando se pretende que esas reglas se apliquen a la realidad, es una mera "aproximación", nunca es exacto. Así que a mí no me preocupa investigar la estructura de todos los mundos posibles "desde la lógica".
Como yo lo veo, la matemática pura está disociada de sus eventuales aplicaciones.

Las aplicaciones de la matemática son metáforas "mutuas" entre una fórmula y un hecho físico.
Que ambos hechos "coincidan" es una asociación de tipo psicológico.
Si digo que un automóvil va a 30 km/hora, no es cierto, porque no es exacto. Seguro que en cada segundo hay pequeñas variaciones de esa velocidad.
Pero yo insisto con asociar una velocidad de 30 al vehículo, y en base a ese dato predigo que va a llegar a cierta ciudad en 2 horas 15 minutos. Pero esto también es falso, porque se acumulan errores en los cálculos, no sólo por las variaciones del conductor en el pie del acelerador, también en la influencia del viento y otros factores ambientales, baches en la autopista, y así por el estilo.

Si el universo fuera estrictamente matemático, bastaría con "acertaR" cuál es su lista de axiomas para entenderlo todo.
Pero no funciona así. Uno usa modelos aproximados, siempre, y evita detalles complicados, o que no le interesan.
Los aspectos de la realidad que uno modela matemáticamente son de pura y libre elección personal.

No digo que la realidad física no tenga ciertas "reglas", o sea, se nota que es "regular" en algún sentido, ya que ciertos fenómenos físicos se aparean bastante bien con sus correspondientes formulaciones matemáticas.
Pero esas formulaciones son inexactas, empíricas, basadas en medidas y estadísticas que han tenido errores e imprecisión, y más aún, son todas parte de una gran teoría "falsable", como requiere el método científico.

Cuando se habla de "conjuntos de libros" no es lo mismo que hablar de "conjuntos" matemáticamente.
Es sólo una "asociación de ideas", una "aplicación de la teoría de conjuntos".
No hay una biblioteca con infinitos libros.

Del mismo modo, no hay una hoja de papel donde se puedan imprimir infinitos caracteres.
Tampoco pueden imprimirse en una hoja de papel infinitos símbolos lógicos, ni infinitos axiomas lógicos, etc.
Son cosas que no tienen sentido.

La diferencia entre la "numerología" científica y la de Lacan, es que la científica se ajusta a los experimentos con un grado de precisión bastante alto.
Mas Lacan, quién sabe lo que habrá querido hacer.

Creo que ahora entiendo cuál es mi propia crítica hacia los fundamentos de la matemática.
Me parece que los "metateoremas" usan "numerología" de la matemática sobre sí misma.
Interpretan demasiado "extensamente" los conceptos de número natural y de conjunto.
 
Y el Universo que obedezca las reglas que más le plazca.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 12/08/2010, 10:33:24 am

Y el Universo que obedezca las reglas que más le plazca.


Puedes tener la seguridad de que lo hace.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 12/08/2010, 01:33:45 pm
Hola a todos, es un placer leeros.

Vengo siguiéndoos en los hilos "menos matemáticos" con una cierta asiduidad desde que fui redirigido a este foro por cristian C para el seguimiento que hacíais del libro de Gustavo y Guillermo del teorema de Gödel.

No soy matemático ni podré llegar a serlo posiblemente, no me ha sido dado, por razones las que sean; sin embargo, no puedo dejar de sentir una enorme inquietud por los temas "más circenses" de la física primero, y de la matemática, más tarde. Así que, espero se me excuse por cualquier falta de rigor. Exponer con el rigor debido es farragoso.

No digo que la realidad física no tenga ciertas "reglas", o sea, se nota que es "regular" en algún sentido, ya que ciertos fenómenos físicos se aparean bastante bien con sus correspondientes formulaciones matemáticas.
Pero esas formulaciones son inexactas, empíricas, basadas en medidas y estadísticas que han tenido errores e imprecisión, y más aún, son todas parte de una gran teoría "falsable", como requiere el método científico.

Cuando se habla de "conjuntos de libros" no es lo mismo que hablar de "conjuntos" matemáticamente.
Es sólo una "asociación de ideas", una "aplicación de la teoría de conjuntos".
No hay una biblioteca con infinitos libros.

Cita de: argentinator
Del mismo modo, no hay una hoja de papel donde se puedan imprimir infinitos caracteres.

Empiezo por la última cita.

Para mí, cuando Cantor dice (en su teorema homónimo) "Sean", o "Dados", refiriendo de esta manera a los naturales y los reales, está "dando por impresos" en una hoja de papel los infinitos caracteres de los números de los conjuntos referidos.

Pero luego aplica dos varas de medir, una para los naturales, que por narices no pueden ser referidos en su totalidad, y otra para los reales, que por narices sí pueden ser referidos en su totalidad, aunque en realidad ni uno ni el otro de ambos conjuntos puedan ser referidos en su totalidad; tengo una sospecha incierta de esto, de que Cantor actúa "sin justicia", y la fundamento en otra sospecha incierta, la de que el teorema de Cantor se "justifica" a posteriori, con la creación ad hoc de la axiomática que permite derivar su/s resultado/s como teorema/s. Creo que hay (sin certeza alguna) un deseo, un capricho de una facción de los matemáticos en dar soporte a las visiones/resultados de Cantor.

Por supuesto que pienso que en el otro bando (en el que me incluyo) también existe este sesgo del capricho, una voluntad de "quitarle la razón" a Cantor, y de seguro que hay un soporte axiomático para derivar este otro conjunto (en su acepción vulgar) de visiones, con las que me identifico más.

En definitiva, pienso que las matemáticas "puras" ya estaban contaminadas en el sentido de "contaminación" del que argentinator desea preservarlas, y que lo fascinante es que se pueda dar luego un sustento a la visión de cada facción a través de unos pocos axiomas, expresados con unos pocos símbolos y unos pocos esquemas de razonamiento.

Lo que inclina el fiel de la balanza de mi juicio hacia las posturas intuicionistas, constructivistas o como se llamen, es por ejemplo que opino que hay "más justicia" en la forma de razonar de Gödel que en la forma de razonar de Cantor.

Gödel da expresión formal a una barrera mecánica que debe enfrentar cualquier lenguaje con un alfabeto finito en el mundo real, y lo hace con una cadena de razonamientos finita en un lenguaje con un alfabeto finito, y su resultado rige para cualquier alfabeto finito en cualquier constructo lógico expresable con una cadena finita de razonamientos. Sus resultados son leyes físicas que se van a verificar siempre, y no veo manera de que una lógica finitista consiga huir de estas leyes.

Sobre la primera cita:

Cada medida en física es ciertamente inexacta; pero el conjunto de medidas, que pueden ser realizadas sobre propiedades distintas de una misma entidad postulada o sobre distintas entidades postuladas en una misma teoría, poseen ligaduras que hacen muy impactante que haya acuerdo -con un margen de precisión bien definido- con la abstracción matemática que les da soporte.

Bueno, ya me callo.

Un saludo a todos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 12/08/2010, 04:28:41 pm
Cita
Para mí, cuando Cantor dice (en su teorema homónimo) "Sean", o "Dados", refiriendo de esta manera a los naturales y los reales, está "dando por impresos" en una hoja de papel los infinitos caracteres de los números de los conjuntos referidos.

Cuando Cantor hizo su teoría, estaba todavía algo "en el aire".
La "intuición" de conjuntos infinitos es tal como vos estás apuntando: infinitos números escritos en una hoja de papel.

Hoy en día, las nociones de "cardinal" de Cantor tienen una formalización precisa en teoría de conjuntos, y tal cosa es la escritura de unas cuantas fórmulas lógicas (finitas), cada una de longitud finita, en una hoja de papel.
Así que la noción de conjunto infinito ya "no necesita" de la versión "intuitiva" de infinitud para darse sostén.
Si uno acepta la teoría de lenguajes formales de primer orden, junto con alguna de las teorías axiomáticas de conjuntos estándar (tal como yo he apuntado en mi esquema mental al principio de todo), entonces todo resultado matemático puede expresarse con una secuencia finita de caracteres, y así también ocurre con las demostraciones, etc.

A eso me refiero cuando hablo de "finitos caracteres en un papel".
Y en tal sentido, estoy de acuerdo con el resultado de Cantor, porque la demostración funciona en el marco teórico al que adhiero.

Pero ¡ojo!, que adhiero sólo porque he sido educado en la tradición: lenguajes de 1er orden + teoría de conjuntos ZFC/NBG/MK.
O sea, no me queda otra, y además es más o menos lo que se acepta universalmente en la matemática actual como estándar.
Así que para entenderse con otra gente hay que andar más o menos el mismo camino.

Además, para salirse de lo estándar, hay mucho que investigar previamente. Hay detalles muy puntillosos, que no me dejan tranquilo...



Cita
Lo que inclina el fiel de la balanza de mi juicio hacia las posturas intuicionistas, constructivistas o como se llamen, es por ejemplo que opino que hay "más justicia" en la forma de razonar de Gödel que en la forma de razonar de Cantor.

Yo no estaría de acuerdo.
Para mí, aunque Godel fue muy audaz, y yo diría, hasta agresivo en su construcción, en el fondo ambos actúan de modo similar, porque basan su teoría en ciertas certezas intuitivas.

Para Cantor los sucesivos ordinales infinitos eran fáciles de "imaginar", y le parecían de lo más "ciertos".
Para Godel, todos los pasos de su teoría están justificados por cierto "sentido común" acerca del uso de naturales, conjuntos finitos e infinitos.
No me refiero sólo al Teorema de godel, sino a toda su metateoría de la lógica en general.

Mas, recuerden que Godel decía ser platonista, lo cual justificaría un poco su accionar.

Yo, en cambio (aunque lejos de compararme con Godel, claro está) no soy platonista, sino todo lo contrario.
Concibo a las ideas platónicas como "cosas que inspiran a los matemáticos", pero cuando uno tiene que demostrar o calcular algo, todo lo que hace son meras manipulaciones finitas de un número finito de símbolos en un papel.
Las ideas ayudan, acortan pasos, etc., pero lo concreto es lo que está en el papel.
Y además, se supone que el rigor matemático exige que uno dé una prueba escrita de lo que dice, en papel.

Eso corresponde al terreno "sintáctico". Sólo manejo de símbolos acorde a ciertas reglas preestablecidas.

Yo no veo claro que los teoremas de Godel sean tan finitistas, o mecánicos, o físicos.
¿No hay algún paso que use el "infinito intuitivamente"?
Si mal no recuerdo, los resultados de Godel son bastante exhaustivos, me refiero a que sus teoremas tienen versiones para el terreno exclusivamente sintáctico.
Mas ya no me acuerdo, sin embargo siempre me queda el recuerdo o la sensación de que Godel ha hecho algún salto "infinito" que no es mecánico, ni finito, sino mental, imaginativo, intuitivo.

En caso de que descubra lo contrario, me retractaré, y hasta quizá recupere la felicidad.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 12/08/2010, 06:04:31 pm
Cita de: argentinator
Yo no veo claro que los teoremas de Godel sean tan finitistas, o mecánicos, o físicos.

Cualquier mandanga que se le plantee a un ordenador de la manera correcta, le hará darse de bruces con un "error de concepto", debido a su imposibilidad de entender conceptos. Para mí, este es un resultado físico. Se le puede "liar" sintácticamente, para que ya no "sepa" a qué hacen referencia los símbolos que está manejando y, creo que ese es un problema mecánico, no hay especificación ténica que pueda llegar a superarlo. Y nosotros, tampoco podremos construir un lenguaje que no deba estar tirando de esas lacras que son los teoremas de Gödel, porque, entiendo, nos "detenemos" en el mismo punto, a la hora de asignar valor de verdad a algunos constructos sintácticos, creo.

Un saludo


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 12/08/2010, 07:55:31 pm
 Los teoremas de Godel sobre incomoplitud  ,me párese extrapolados.
Antes de decir ,que nada se puede conocer a través de la razón ,puesto que la razón es lógica y la lógica es el fundamento de las matemáticas me párese desproporcionado.
Si ponemos lo  lógico que en un computador este siguiera un proceso ,ningún computador podrá extraer una verdad que nosotros no conoscamos.Es como decir, los humanos no podemos conocer através del tacto o caminando ,caminar es un acto mecánico un robot podría caminar ,de hecho ya caminan, pero son todos procesos vacíos necesitan de energía para actuar solamente.
 
Yo no entiendo porque se habla de lógica ,como si el cerebro humano fuera una masa que actúa mecánicamente.

Si el computador A,  dice al computador B

"Yo proceso la verdad "

El computador B dice al computador A en base a lo dicho por A

"No puedes decir la verdad porque la verdad es la última sentencia"

Se crea un circulo vicioso, bueno a menos que uno tenga un virus :D

La verdad no esta sujeta a caminar sin sentido , así como en un computador puede haber una lógica sin sentido.

Yo por ejemplo cuando razono ,lo que en el fondo hago es exponer una idea ,y las ideas no son generales no se, pueden generalizar .

Ejemplo;

Si   Pedro mirando el cielo ,se imagina el cielo estrellado como pintado por alguien  y dice a Juan.

“Quien habrá pintado el cielo, Juan”

Juan a su vez tiene otra idea del cielo estrellado, Juan cree que es alguien que los observa desde lo alto.

Entonces Juan y pedro entran en un dialogo, donde el dialogo y la lógica no sale de lo que ambos imaginan

Juan pregunta

¿ porque crees que fue pintado?

Juan busca una causa a lo dicho por Pedro ,a su ves pedro pregunta lo mismo ¿porque

crees que existe alguien aya afuera?

L a respuesta  que uno dará al otro 

Juan -Alguien  hace las cosas por lo tanto, alguien lo puso ahí
Pedro-nosotros provenimos de alguien por lo tanto venimos de alguien.

La lógica no funciona sin contenido ,sin algo o alguien sobre quien inferir ,es por lo tanto un mecanismo exploratorio de nuestra mente ,no es la responsable de que seamos capases de conocer.
 Las ideas por el contrario son rupturistas porque se forman de lo ilógico aquello que es absurdo.
Hay muchas cosas absurdas y en la antigüedad había más.
Por ejemplo;
 Los relámpagos en la antigüedad que  caían desde el cielo, contrastado con la falta de ellos en la tierra y la falta de continuidad con el viento y otros fenómenos los hacia misterios y creaba una situación absurda para la cual no habia respuesta.

Hoy la lógica vacía , produce situaciones absurdas desde donde nacen diversas ideas.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: bueno en 12/08/2010, 10:09:48 pm
Este es mi primer post. Es muy bueno tu thread Argentinator. Si bien no lo leí todo (recién hoy descubrí el foro) hay algunas impertinencias que quisiera escribir.

Primero excusarme, pues apenas soy un aficionado a las matemáticas (ni eso). Yo estudié arte (teoría y estética), y desconozco todas las referencias que mencionas, pero como tu pregunta es abierta igual meto mi cuchara.

Creo que el quid del asunto lo mencionó Ser Humano, y tu respuestas fueron buenas y pertinentes, pero quisiera hacer un énfasis de algo que dijo Ser Humano. Y es que yo insistiría con aquello de la dificultad de ir mas allá de la lógica de primer orden. Para mi el rollo es así y lo importante es lo siguiente:
las matemáticas (o matemática), como cualquier otro lenguaje, es un sistema de REPRESENTACIÓN (dije que sería enfático), y es esa la operación que pone todas las dificultades. Si bien no soy un ducho en la teoría de sistemas, hay una máxima que se me quedó pegada y que me hace sentido: "No hay entorno sin sistema, ni sistema sin entorno". En termino de lenguaje, éste es un sistema de representación (si es que acaso no todo sistema es de representación) y el entorno es la realidad, o lo real. ¿Y qué es lo real?... esa es la dificultad, pues según esta premisa la realidad no existe sin un sistema que lo represente.

La pregunta sobre nuestro acceso a la realidad parece no tener respuestas, aunque es muy común en filosofía moderna que la respuesta sea que nuestro único acceso es la referencia de los sistemas de representación, es decir, no hay realidad sin lenguaje... o se puede ser más radical y decir que hay puro lenguaje.

Los lenguajes, incluidos la matemática, nacen, entonces, primero del ejercicio de representar lo real, o la realidad, o lo concreto, para poder "administrarlo". Cuanta coincidencia hay entre los signos que representan y lo representado es también una eterna discusión.. Luego de este primer paso de representar (que acá le han llamado intuiciones, palabra que no hace énfasis al ejercicio realizado a mi gusto) los signos, en función de significar, generan estas "lógicas de primer orden", como le han llamado (reglas o axiomas). Estas lógicas parecen cobrar cierta autonomía, tanto en matemática como en la lengua, que hacen que aquel primer ejercicio, es decir intentar acercarse o aprehender la realidad, termine torciéndose, y se genera un efecto de mayor lejanía, olvidando incluso el ejercicio mismo de referir que implica cualquier signo. Por eso entiendo y es fascinante el tipo de conciencia como la tuya, Argentinator, en cuanto ha perdido por completo de vista el ejercicio referencial e imaginar o intuir los signos como puros signos, dueños de una lógica cuyo origen parece desconocido.

Por ejemplo, en el ejemplo de los indios brasileños de los que hablas, ellos no se han enterado que tienen 5 dedos en cada mano simplemente porque no han tenido la necesidad de representarse algo como eso. Otra anécdota que puedo comentar es que acá en Chile, y supongo que en todo el mundo, a lo largo de la historia, cualquiera que haya pasado por un colegio cuando niño sufrió del abuso o abusó él mismo de otros compañeros. Nada tan grave ni terrible. Pero bastó con que se importara el vocablo "Bulling" para que fuera un tema nacional, como si cuya existencia en la "realidad" no hubiese tenido lugar sino hasta que fue nombrado.

Para responder a tu pregunta inicial sobre cual es el esquema mental que tenemos cada cual sobre las matemáticas, el mío, al menos sobre el álgebra, es que es un sistema que le entrega un número (signo) a un punto del espacio (realidad) que nunca antes había tenido representación en ningún otro sistema. Podrás decirme que esos puntos en el espacio no son tal, que en el espacio hay espacio y no puntos, pero la realidad de cada punto se hace patente en el minuto que adquiere su propio signo. E ir más allá y cuestionarse nuestra relación con la realidad fuera de cualquier lenguaje, si es que acaso tenemos acceso a algo así como lo real, es complicado, o mejor dicho, no tenemos otro instrumento que el mismo lenguaje y su lógica para corroborar la coincidencia entre el lenguaje y lo que representa. Por lo que es mejor no ir más allá del lenguaje (como te lo recomienda Ser Humano).

pues supongo que hay cosas que no explique bien o no se entendieron, o se entendieron mal... pero todo se puede corregir después.
Saludos a los que participan de este foro, y en especial de este thread.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 12/08/2010, 11:27:38 pm
Cita
REPRESENTACIÓN (dije que sería enfático), y es esa la operación que pone todas las dificultades. Si bien no soy un ducho en la teoría de sistemas, hay una máxima que se me quedó pegada y que me hace sentido: "No hay entorno sin sistema, ni sistema sin entorno". En término de lenguaje, éste es un sistema de representación (si es que acaso no todo sistema es de representación) y el entorno es la realidad, o lo real. ¿Y qué es lo real?... esa es la dificultad, pues según esta premisa la realidad no existe sin un sistema que lo represente.
los sistemas de representación visuales ,por ejemplo en como representa la realidad el sujeto en cuestión ,así como decía Kant, como yo represento el objeto.
Pero asegurar que no hay realidad sin lenguaje o representación, esto pone a la realidad y al sujeto en este caso en una sola línea mecanicista nuevamente
Represento ;
La tierra es plana ,es mi representación visual(millones de ser humanos compartieron esto en la edad media). ¿podría yo estar cerca de la realidad?
La realidad de un mundo esférico estaba mas allá de una representación visual
Para mi la representación, de la índole que sea sigue siendo un proceso mecánico
Representar el espacio a través de unidades alto y ancho (espacio euclidiano )no es garantía que la realidad sea tal ,es mas la teoría de la relatividad a demostrado que el espacio es curvo.
Las teorías psicológicas son una cosa
La física es otra
Las matemáticas otra .
La filosofía otra
Yo podía nutrir una rama del conocimiento de otra ,pero no puedo decir que la psicología es la premisa básica de la filosofía o de las matemáticas, y cada una de ellas busca a su vez la verdad.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 13/08/2010, 01:29:35 am
Hola a todos y perdón por el ladrillo.

Dice argentinator:
Cita
Si uno acepta la teoría de lenguajes formales de primer orden, junto con alguna de las teorías axiomáticas de conjuntos estándar (tal como yo he apuntado en mi esquema mental al principio de todo), entonces todo resultado matemático puede expresarse con una secuencia finita de caracteres, y así también ocurre con las demostraciones, etc.

La parte en negrita no es exacta y merece más análisis. En un sistema axiomático sintáctico es cierto que todo resultado matemático puede representarse mediante una secuencia finita de caracteres (al menos todo resultado matemático concebible), pero si ese sistema axiomático es recursivo (contiene un número finito de axiomas o un número infinito de ellos que puedan definirse mediante una cantidad finita de caracteres) entonces no es cierto que todo resultado matemático pueda demostrarse dentro de ese sistema.

Y este es el problema que yo veo en tu planteo sintáctico (que es básicamente el de Hilbert). Y este es el problema que el Teorema de Incompletitud de Gödel representó para el Programa de Hilbert.

Recordemos un poco el escenario aquel, si me permiten.
Hilbert pensaba que todos los problemas matemáticos se podrían resolver utilizando la axiomática existente entonces (principios del 900), tal vez con el agregado de alguno que otro axiomilla más que se evidenciara necesario. Entonces confeccionó una lista de los problemas que él consideraba que faltaban resolver y le dijo al mundo: Señores, en cuanto hayamos demostrado como teoremas todas estas conjeturas (más algunilla que aparezca) a partir de los axiomas que tenemos (más algunillos que necesitemos agregar), habremos resuelto todos los problemas matemáticos.
Ese desafío fue el “Programa de Hilbert”.
Si el plan de Hilbert hubiera sido posible, entonces de veras hubiéramos dispuesto de un sistema sintáctico capaz de representar todos los resultados matemáticos concebibles, y aquí “representar” significa escribir y demostrar. En ese caso, bien podríamos librarnos de las ideas matemáticas y quedarnos con el sistema simbólico de representación.

En este punto llegó Gödel y le dijo a Hilbert: “Macho, no solo deberás agregar muchos más que algunillos axiomillas; peor aún, ninguna cantidad de axiomas finita o (infinita pero finitamente expresable) será suficiente para demostrar siquiera todas las propiedades aritméticas (las de los números naturales con la suma, el producto y su relación de orden).

Lo que el teorema de incompletitud implica es que ese vuelco de las ideas matemáticas al sistema axiomático sintáctico siempre será incompleto. Siempre existirán resultados aritméticos que no podrán demostrarse en esos sistemas sintácticos. El mundo de la sintaxis nunca representará cabalmente todas las ideas matemáticas. Se le acerca pero nunca lo alcanza.

Y allí llega la pregunta. Si los resultados matemáticos no están en los sistemas finitos de signos ¿Dónde están? ¿Dónde vive la matemática si los sistemas axiomáticos sintácticos son solo una representación incompleta de ella? ¿cuál es su naturaleza entonces?

Frente a este planteo hay varias posturas posibles. La primera es desestimar la pregunta y decir “no me importa cual es la naturaleza de la matemática. Cuando yo hago matemática utilizo un sistema formal de representación, y si aparece un problema que no se deja modelizar por el sistema existente, siempre me será posible diseñar otro que incluya al anterior y que modelice el nuevo problema.”
Esta postura admite implícitamente que la emergencia de sistemas formales de representación es un flan que baila al son de profusión de nuevas ideas o nuevos problemas reales.

Otra postura es el platonismo. Esta es tal vez la postura más consistente con los resultados del Teorema de Incompletitud. Allí, los objetos matemáticos y los resultados y propiedades de esos objetos son ideas. Las representaciones formales de algunas de esas ideas siempre serán incompletas.

Mi postura es todavía diferente. Yo creo que existen dos dimensiones matemáticas distintas:

En una, las ideas matemáticas, ya sean conceptos o afirmaciones se abstraen de la realidad física.
Allí, o bien existe un conjunto de objetos reales con una cantidad par (finita!) de objetos que no puede partirse de ninguna manera en dos colecciones con cantidades primas de objetos (y una colección de objetos reales tiene cantidad prima cuando esos objetos no se pueden llenar completamente en ninguna caja con divisiones rectangulares, filas y columnas); o bien todas las colecciones con cantidad par de objetos pueden partirse en dos colecciones con cantidades primas de objetos.
Estas propiedades reales de las colecciones de objetos, representan la negación y afirmación de la conjetura de Goldbach.
Si la conjetura fuera indemostrable con la axiomática de Peano, podría construirse una axiomática que la incluya afirmada y otra que la incluya negada, pero solo una de ellas representará la propiedad real. Solo una coincidirá con lo que ocurre con las colecciones de objetos en el mundo físico. Solo una representará una propiedad de los números naturales, siendo estos últimos una abstracción de las distintas cantidades de objetos de los conjuntos.

La otra dimensión es la matemática libre. Allí, independientemente de lo que ocurra con las cosas, se pueden diseñar sistemas axiomáticos consistentes de una infinidad de maneras. Se los  puede estudiar, comparar y se pueden realizar metateoremas acerca de ellos.

Ambas dimensiones tienen naturaleza epistemológica distinta y es tal vez esto lo que nos confunde cuando ponemos ambas en la misma bolsa.
En la versión libre, no tiene ningún sentido hablar de la verdad. Los enunciados no son verdaderos o falsos sino demostrables, demostrables sus opuestos o indemostrables.
En la versión realista, podemos acercarnos algo a la noción de verdad y falsedad. De hecho, podemos acercarnos tanto como en una ciencia fáctica. Pero la veracidad de este tipo de enunciados todavía me confunde bastante.


Saludos.

Ptda: ¡Hola Garubi! Me alegra verte por aquí.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 13/08/2010, 11:39:08 am

La lógica no funciona sin contenido ,sin algo o alguien sobre quien inferir ,es por lo tanto un mecanismo exploratorio de nuestra mente ,no es la responsable de que seamos capases de conocer.
 Las ideas por el contrario son rupturistas porque se forman de lo ilógico aquello que es absurdo.
Hay muchas cosas absurdas y en la antigüedad había más.
Por ejemplo;
 Los relámpagos en la antigüedad que  caían desde el cielo, contrastado con la falta de ellos en la tierra y la falta de continuidad con el viento y otros fenómenos los hacia misterios y creaba una situación absurda para la cual no habia respuesta.

Hoy la lógica vacía , produce situaciones absurdas desde donde nacen diversas ideas.


Quizá en esto radique el problema, tal como apuntó Cristian, y es el famoso proyecto formalista de Hilbert.
Esto de "separar" la sintaxis de la matemática de los "significados" (o semántica) puede que sea un error, pero la alternativa a este enfoque no es clara.
O sea, toda alternativa requiere que uno incorpore la "intuición" de ciertos conceptos matemáticos, para agregar algún elemento que vaya más allá de las meras formalidades sintácticas.
Pero al agregar intuición, se nos viene encima el problema de lo "subjetivo" y "ambiguo" de las intuiciones mismas.
Justamente, las "intuiciones" siempre corren el riesgo de ser "distintas" para dos mentes diferentes, y entonces no hay criterio científico para discernir qué intuición se está usando, o si de lo que se habla es "lo mismo" para todos los hablantes.

Y por eso Hilbert buscaba formalizarlo todo, mecanizarlo, para eliminar las ambigüedades de la intuición.
En su época los matemáticos no se ponían de acuerdo sobre los fundamentos de la matemática, y en esto tenía mucho que ver lo que cada uno "intuía" sobre ella.

A mí me gustaría agregar un factor intuitivo a la matemática, pero que sea "inambiguo".
En ese caso, yo creo que me conformaría con las demostraciones que surjan de ahí, siempre que haya una certeza de "unanimidad" en el significado y alcance de las intuiciones en cuestión.
Mas eso es difícil, incluso con la intuición de "número natural".
Yo creo comprender la razón de por qué los intuicionistas no aceptaban al "todo" de los números naturales, sino de uno en uno, mas no hallo una metáfora adecuada para explicarlo. En cuanto la encuentre la comparto con ustedes...

En cuanto a lo que has dicho del "contenido" de la lógica, yo nunca tuve problemas con eso, pero no porque tuviera claro el sentido de verdad o falsedad de una proposición, sino todo lo contrario: siempre he considerado que lo Verdadero o Falso es mera convención de aquel que enuncia una afirmación.

Si estudiamos la proposición [texx]p\Rightarrow{q}[/texx], entonces "yo soy quien da un significado a p" y "yo soy quien da un significado a q".
Además "yo soy quien decide si p es verdadera o falsa", y lo mismo con q.
Ahora bien, tras hacer esto, cesa mi "voluntad", y entran en juego las leyes de la lógica, las cuales me dicen el valor de verdad de la operación [texx]p\Rightarrow{q}[/texx].
Hay operaciones lógicas que siempre dan resultado "verdadero" (tautologías) sin importar el valor de verdad que yo le asigne a sus premisas.
Y eso es la lógica proposicional: una cuestión meramente "operacional", y no le importa si cada premisa individual es cierta, sino que "el razonamiento" que las conecta sea "correcto".

Pero aún así, "Yo soy quien elige jugar con las reglas de la lógica".


En el lenguaje cotidiano, todo es una "decisión" de cada uno.
Dada semejante arbitrariedad, nunca me he preocupado por ese tema, como yo lo veo, todo es una mera convención, después de todo, la lógica es un sistema de frías reglas, mas cuando hablamos del mundo, lo hacemos a través de meras interpretaciones personales nuestras, entra en juego nuestra intuición sobre cada situación o problema, y eso a mí ya no me interesa, al menos respecto al problema de hallar el fundamento de las matemáticas.

Son cosas que no se relacionan entre sí.

Cita
La parte en negrita no es exacta y merece más análisis. En un sistema axiomático sintáctico es cierto que todo resultado matemático puede representarse mediante una secuencia finita de caracteres (al menos todo resultado matemático concebible), pero si ese sistema axiomático es recursivo (contiene un número finito de axiomas o un número infinito de ellos que puedan definirse mediante una cantidad finita de caracteres) entonces no es cierto que todo resultado matemático pueda demostrarse dentro de ese sistema.

Hola Cristian. Posiblemente no me he expresado bien, pero creo que lo que he dicho es exacto.

Yo no he dicho que "todo resultado matemático puede demostrarse", soy perfectamente conciente de esa imposibilidad en virtud de los resultados de Godel mismos.
Lo que he dicho es que "toda demostración es finita". O sea, si algo "tiene una demostración", está escrita en un papel, y consume finitos caracteres, y se hace en finitos pasos.
Si algo es verdad, pero no es demostrable... entonces no importa si es verdad o no, porque nadie puede dar con la prueba.

Todo lo que aparece en los libros y en los artículos científicos son "verdades que a su vez son demostrables finitamente".
No se admiten verdades sin demostración.
La demostración es un procedimiento finito, mecánico, y eso es a fin de cuentas lo que se hace en todo procedimiento matemático y en todo texto matemático.

En una demostración estrictamente matemática, bajo el lenguaje de primer orden y los axiomas usuales de conjuntos, toda demostración es finita.

Una "demostración" es una serie de pasos mecánicos que transforman una "cadena de caracteres" en otra "cadena distinta".
En cambio, si es verdad o no, eso es una "interpretación" que se hace desde otro punto de vista, es como una "función" que a cada "cadena de caracteres" asigna un valor 0 ó 1 (falso o verdadero).

Ambos procedimientos se definen de manera que "todo lo demostrable también es verdadero", y Godel probó que "no siempre lo verdadero tiene una demostración que lo acredite".

El proceso de mecánico de demostar es siempre finito, y aunque insuficiente, es lo único que el mundillo matemático acepta como "verificación" de que algo es verdadero.
Nadie ha escrito una demostración con infinitos pasos, o infinitos caracteres, porque es imposible.

Y Godel, cuando hace su teorema de incompletitud, en algún momento tiene que usar la intuición para abarcar infinitos casos, porque si no, no puede probar su teorema. Y eso es lo que objeto de él.

Pero no me molesta tanto que use la "intuición" para hablar de infinitos elementos o números, o conjuntos... lo que me molesta es la ambigüedad en el uso de tales intuiciones.
Yo digo que esas intuiciones son ambiguas, ya que al formalizarlas en algún sistema eso se ve claramente, y no es válido por ejemplo usar una teoría intuitiva de conjuntos en el metalenguaje, y me parece al menos "dudoso" usar la intuición de número natural en el metalenguaje.

Mas no sé cómo es la prueba original de Godel, tendría que leerla y ver si adolece de los defectos que le achaco.
Cada vez que leo un libro sobre estos temas, por ejemplo el conocido libro de Ivorra, veo que se definen los conceptos metamatemáticos como si "la formalidad de la matemática ya fuera un hecho".
Se usa un formalismo propio de la matemática formal que luego se pretende discutir.

En particular se usan números. Y las construcciones ydefiniciones típicas se refieren a una cosa llamada "álgebra universal", que para mí no tiene demasiado sentido.
Es una idea moderna interesante, y hasta me simpatiza, pero me parece que no tiene la solidez de fundamentos que se requiere para servir luego de sostén a los fundamentos de las matemáticas mismas.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 13/08/2010, 03:04:11 pm
En las última opiniones que la  gente ha escrito por acá veo que el tema tiende a irse muy por las ramas.
O sea, se están mezclando varios problemas filosóficos distintos.

Hay quienes parecen que yo pongo en duda la lógica o la razón como método para llegar a la verdad de cualquier afirmación filosófica o científica.
En realidad ese es un "problema" que no estoy planteando, es mucho más general, y no viene al caso.
Sólo me planteo el papel de la razon como manera válida de argumentar en la metamatemática y/o metalógica, o sea, ¿es válida la lógica usada para fundamentar sistema formales acerca de la lógica misma?

Es un problema más específico.

También se habla de las aplicaciones de la matemática a la ciencia.
Es un tema interesante, pero que en principio puede que no tenga demasiado que ver en el problema de la correcta fundamentación de la matemática.
O sea, si un físico o un biólogo desea usar la matemática para fundamentar o expresar los enunciados de su ciencia, me parece que es un problema epistemológico de ellos, y no tiene nada que ver con el dilema de si está bien o no usar "infinitos" en las argumentaciones metamatemáticas.

Como yo lo veo, todo "uso" de la matemática es una interpretación intuitiva, y correponde a "matemática aplicada". Es una especie de "numerología" aunque con algo más de sentido científico por suerte. Pero de todas maneras, son interpretaciones que relacionan hechos reales con expresiones matemáticas, y sólo eso.
Si esa relación en algún momento falla, mala suerte, se busca un modelo mejor.

Pero eso corresponde al fundamento de cada ciencia. Nadie les obliga a usar la matemática, y si la usan, las interpretaciones que hagan físicamente son un tema no-matemático, así que está fuera del debate de cuál es el fundamento correcto de la matemática misma.

También se habla de discusiones acerca del lenguaje, las interpretaciones psicológicas de la realidad, etc.
Todo eso hace que uno se meta en complicaciones que no tienen solución.
El lenguaje es un área estudiada por la lingüística, y sus concepto aún no están claramente delineados, es una ciencia "en vías de desarrollo". Tiene que ver con el cerebro, la psicología del lenguaje, etc.

Todo eso introduce enormes imprecisiones, y como matemático me interesa un "punto firme" en qué apoyarme, para después desarrollar el fundamento de la matemática de una manera sólida, sin ambigüedades.

Las dudas que he tratado de plantear y discutir son estrictamente matemáticas, y quiero evitar en lo posible ir más allá, no creo que sea necesario.

Sin embargo hay algunas cuestiones inevitables, por ejemplo, la noción de "símbolo".
Por más que parezca tratarse de algo "físico" e "inambiguo", en realidad la "unicidad" de un símbolo es una cuetión sicológica, una convención humana, lo cual corresponde al estudio de la "semiótica".
Por ejemplo, para un escritor de ficción, da lo mismo usar las letras [texx]A,\textsf{A},a,\textsf{a},\matcal A[/texx], pues toda ella son la misma letra "A", pero para un matemática son distinguibles, porque se usan para propósitos distintos.
Así que, distinguir entre un símbolo y otro es también una cuestión dudosa, pero yo podría comenzar "aceptando" como axioma epistemológico, por decirlo así, que "los humanos podemos distinguir símbolos unos de otros", y así usarlos sin mayores problemas, y preocuparnos por otro tipo de cosas, como por ejemplo, las nociones de número o de conjunto.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 13/08/2010, 04:03:21 pm
Bien, creo que argentinator con este resumen del debate a centrado otra vez la cuestión, que creo que efectivamente como bien ha dicho se había ido un poco por las ramas. El tronco de la cuestión es si efectivamente se pueden utilizar conceptos matemáticos formales de cierta complejidad u otros no formales, basados en la intuición ó el sentido común, para justificar ó fundamentar la lógica (digamos mejor ... la lógica matemática, siempre me referiré a ésta en lo sucesivo). El infinito numerable desde luego es un conceptos formal de tipo complejo, pero los subíndices, y las n-cadenas también lo son porque presuponen la existencia de los naturales. Su argumentación es que si hacemos eso estamos justificando la lógica con lógica y eso es un argumento circular, argumento que incluso los propios lógicos rechazarían, aparte de las imprecisiones que puede suponer esgrimir argumentos basados en la intuición y el sentido común.

Creo que una de las principales cuestiones a debate es si Godel, en su demostración de sus dos famosos teoremas, utilizó ese tipo de conceptos, lo que podría cuestionar esa demostración. Desde luego no seré capaz de sacaros de dudas, eso está claro, pero cuando menos debe reconocerse, y yo así lo hago, que los argumentos de argentinator deberían ser tenidos en cuenta con vistas a una revisión de ciertas cuestiones que hoy por hoy preocupan más a los matemáticos que a los lógicos pero que deberían preocupar más a los lógicos que a los matemáticos. Yo desde luego me adhiero a su punto de vista en lo concerniente al menos a dudar de si los métodos empleados para demostrar dichos teoremas tienen una base suficientemenete sólida. A primera vista parecería que los cimientos presentan alguna pequeña grieta.

Probablemente la cuestión que estamos tratando aquí no trate de los fundamentos de la matemática sino más bien de los fundamentos de la lógica, por eso digo que debería preocupar más a los lógicos que a los matemáticos.

Yo rogaría porque se centrara el debate en el tronco y no en las ramas, ya que el tema es lo suficiente interesante y complejo para que se le dedique todo el hilo.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 13/08/2010, 06:30:16 pm
Encontré este texto por Internet, concretamente aquí (http://www.monografias.com/trabajos72/definiciones-principios-logica/definiciones-principios-logica2.shtml#losprincia), ya me direis que os parece. ¿Sería esto el primer germen del fundamento de la lógica matemática?

Los Principios Lógicos

El Principio Lógico de Identidad.     [texx]\forall{x(x=x)}[/texx]

Afirma que toda cosa es igual a si misma. Tomemos en consideración los siguientes ejemplos el círculo es redondo; el hombre es un animal racional. Tanto en el primero como en el segundo ejemplo, el predicado esta implícito en el sujeto. En efecto, es inconcebible un círculo que no fuere redondo, y que el hombre no fuese un animal racional.

Estas dos proposiciones presentan una identidad entre el sujeto y el predicado. Círculo es lo mismo que redondo, y el hombre es lo mismo que un animal racional.

En este sentido, podríamos reducir a la formula A es A.

Esta identidad lógica indica al mismo tiempoque el círculo implica el ser redondo, y el hombre implica ser animal racional, lo cual expresado en fórmula sería A implica A. De esto se sigue que: De lo verdadero se deriva siempre lo verdadero, nunca lo falso.

El Principio Lógico de no Contradicción    [texx]\neg(A\wedge\neg A)[/texx]

El principio de la contradicción afirma que: es imposible que algo sea al mismo tiempo verdadero y falso. Consideremos los siguientes ejemplos: el círculo no es redondo; el hombre no es un animal racional. Ambas proposiciones son falsas porque son ambas contradictorias. En efecto, es falso que el círculo no sea redondo y que el hombre no sea un animal racional. Si es un círculo es imposible que no sea redondo, y si es un hombre es imposible que no sea animal racional.

Como es inadmisible que sea algo y no sea al mismo tiempo y en el mismo sentido, amabas proposiciones son contradictorias. La contradicción puede aparecer también entre dos proposiciones contradictorias entre sí. Por ejemplo: El triángulo tiene tres lado. Ahora si es verdadero que el triángulo tiene tres lados, es automáticamente falsa la otra que afirma que no tiene tres lados. Luego, dos proposiciones contradictorias entre sí contribuyen a una contradicción.

La contradicción expresada en fórmula sería: tanto si una proposición predica que algo es y no es como si dos proposiciones son contradictorias entre sí, hay una contradicción.

El Principio Lógico del Tercer Excluido   [texx](A\vee\ \neg A)[/texx]

Dice que: dos proposiciones contradictorias no pueden ser ambas falsas, ni ambas verdaderas. Necesariamente una de ellas debe ser verdadera. Consideremos el siguiente ejemplo: el soles una estrella. Por el principio de contradicción no podemos considerar ambas como verdaderas, y por el principio del tercer excluido no podemos aceptar que ambas son falsas. Luego, se sigue que si una es verdadera la otra es falsa y viceversa. Su expresión formal sería: A, o es A o no es A.

De esto se sigue que: entre dos proposiciones contradictorias, si la primera es verdadera, la segunda será falsa, y si la segunda es verdadera la primera será falsa.

Principio de la Razón Suficiente

El principio lógico de la razón suficiente no fue enunciado por Aristóteles sino posteriormente por el filósofo y científico alemán Guillermo Leibniz (1.646-1.716), y se refiere a que para nuestro pensamiento sólo son verdaderos aquellos conocimientos que podemos probar con un número suficiente de razones, para que lleven al convencimiento de la verdad de lo afirmado. Esto quiere decir que, "Todo objeto debe tener una razón suficiente que lo explique". O lo que es, es por alguna razón.

Sería bueno disponer de una versión lo más completa posible de estos principios, si hay alguno más que los que aquí aparecen que no lo sé, y exponerlos en la forma actualizada, ya que me parece que actualmente no seran expresados en la forma en que aparecen aquí.

Según he podido leer el cuarto principio, el de la razón suficiente, parece que está actualmente cuestionado dentro del seno de la matemática y de las ciencias fácticas, de manera que como fundamento de la lógica matemática nos quedarían los tres primeros.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 13/08/2010, 10:20:03 pm
Hola Argentinator.
Creo que tu pretensión de deshacerte de todos los elementos “espurios” te deja sin herramientas para trabajar.

Para no irme por las ramas voy a ir citándote puntualmente.

Dices
Cita
Sólo me planteo el papel de la razón como manera válida de argumentar en la metamatemática y/o metalógica, o sea, ¿es válida la lógica usada para fundamentar sistema formales acerca de la lógica misma?

Bien, tu pregunta tiene dos respuestas posibles:

1. La lógica es válida utilizada para fundamentar sistemas formales acerca de la lógica misma.

2. La lógica no es válida utilizada para fundamentar sistemas formales acerca de la lógica misma.

Pregunto entonces ¿Qué criterios he de utilizar para resolver la antinomia? ¿Por donde arrancamos? ¿Qué hacemos con esto?
No se tu pero yo, en cuantito intento salir de allí, me sorprendo razonando. Y en cuanto desisto de razonar, me quedo varado en la antinomia.
Hagamos un intento para graficar lo que me ocurre:

a) Si utilizo la lógica para resolver la antinomia y concluyo la afirmación 2, entonces la lógica no es válida utilizada para fundamentar sistemas formales acerca de la lógica misma, entonces me pregunto ¿habrá sido válida utilizada para concluir 2?

b) Si utilizo la lógica para resolver la antinomia y concluyo la afirmación 1, entonces la lógica es válida utilizada para fundamentar sistemas formales acerca de la lógica misma. Pero ¿es válida para responder a esta cuestión acerca de la lógica como elemento válido para fundamentar sistemas formales acerca de la lógica? ¿Cómo me aseguro de esto?

Y  lo peor: toda la estructura que conforman a) y b) es un razonamiento. De modo que ya de antemano estoy utilizando el elemento por cuya validez pregunto, como método válido para responder la pregunta. ¿qué sentido tiene esto?

c) Si no utilizo la lógica para resolver la antinomia, entonces puede valer tanto 1 como 2 como ambos, como ninguno. No hay lógica.

En mi opinión, lo único de lo que podemos estar seguros respecto a tu planteo acerca a la validez de la lógica como instrumento por medio del cual fundamentar sistemas formales acerca de la lógica es que para encararlo debemos necesariamente utilizar aquello cuya idoneidad queremos elucidar.

Así pues, el problema que planteas en la cita es irresoluble.


Cita
como matemático me interesa un "punto firme" en qué apoyarme, para después desarrollar el fundamento de la matemática de una manera sólida, sin ambigüedades.

No hay. Remito mi argumentación a lo anterior.

Por otro lado, no entiendo mucho la incumbencia del problema de los signos que refieres. Concretamente dices:

Cita
Así que, distinguir entre un símbolo y otro es también una cuestión dudosa, pero yo podría comenzar "aceptando" como axioma epistemológico, por decirlo así, que "los humanos podemos distinguir símbolos unos de otros", y así usarlos sin mayores problemas.

Acepto que distinguir unos símbolos de otros puede ser una cuestión dudosa y también acepto tu axioma: Los humanos somos capaces de distinguir unos dibujitos de otros.

Bien ¿y ahora qué hacemos?.

(no quiero ser ácido, estoy tratando de ser enfático)

Permíteme tomar la “forma” de tu axioma para mostrar un aspecto de él que me interesa resaltar:

Tu axioma refiere algo que los humanos somos capaces de hacer
Yo diría con más detalle y precisión: algo que el intelecto humano es capaz de hacer.
Ese axioma tiene una simiente certera: Yo soy capaz de distinguir unos símbolos de otros. El método por el cuál me aseguro de ello es la introspección: puedo reconocerme capaz de hacer la distinción. El aserto pierde certeza cuando lo generalizo para todos los humanos, por eso es un axioma que debemos aceptar pero que podríamos elegir no aceptar.

En mi opinión, para poder seguir avanzando más allá de este axioma, será necesario axiomatizar otras capacidades del intelecto humano. Y tengo para mi la impresión de que cuando terminemos de axiomatizar las mínimas capacidades del intelecto humano que nos serán necesarias como punto de partida de todo razonamiento, habremos axiomatizado una lógica.

Saludos.
 Pdta.: Acabo de ver que Jabato ha colgado otro post.  Ahora voy a leerlo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 14/08/2010, 01:37:38 am
Hola Jabato.

He leído tu post. Podríamos concensuar tomar estos axiomas como principios lógicos y partir de allí con este concenso sin tratar de fundamentarlo. Pero no podemos tratar de fundamentar la validez de esos principios argumentando lógicamente, como se hace en el texto que pones, donde cada vez que leo un "se sigue que" salgo a buscar una estructura lógica subyacente porque se me está diciendo que de unos hechos se concluyen otros.

En resumen, el problema de argentinator no se resuelve, por el contrario se expresa de la forma más descarnada en ese texto.

Saludos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 14/08/2010, 01:38:06 am
Cita
Tu axioma refiere algo que los humanos somos capaces de hacer
Yo diría con más detalle y precisión: algo que el intelecto humano es capaz de hacer.
Ese axioma tiene una simiente certera: Yo soy capaz de distinguir unos símbolos de otros. El método por el cuál me aseguro de ello es la introspección: puedo reconocerme capaz de hacer la distinción. El aserto pierde certeza cuando lo generalizo para todos los humanos, por eso es un axioma que debemos aceptar pero que podríamos elegir no aceptar.

No hace falta que me discutas estas cosas, es claro que esto pasa, que los dilemas de la mente humana no tienen fin.

Pero no elijo el "axioma" de distinción mental de símbolos porque sí, sino porque es un "punto de apoyo" que puede llegar a funcionar muy bien, ya que se puede mecanizar, llevar a máquinas, cosas comprobables experimentalmente, y susceptibles de ser estudiadas con objetividad.

Claro que así, uno corre el riesgo de que un día la impresora escriba un caracter "extraño" o "inesperado", y entonces todo el asunto se desmorona.
Pero bueno, ¿acaso la lógica no es esto, algo que algún día se puede desmoronar?

Te pongo un ejemplo sobre lo "eterno" de los principios humanos.
Hace unos siglos atrás los humanos creíamos que después de un día, siempre venía otro, que tras cada puesta de Sol sucedería un amanecer, por siempre.
Hoy sabemos que esto no es así, y que llegará un día que será el último, porque el Sol tiene vida finita.

La lógica, digo yo, es algo aprendido, por eso es tan "natural", y no por otra cosa.
Así como un hombre traumado por la mordedura de un perro "reacciona" siempre con susto cuando ve un perro, el "razonamiento natural" también va por ese lado, es una reacción aprendida.
Aunque en realidad es algo aprendido, cultural.

Yo aprendí lógica mucho después de aprender matemática, análisis y álgebra.
No sabía que las verdades matemáticas "se demostraban", y para mí eran lo que eran.
Cuando descubrí que todo se "debía" demostrar con un razonamiento lógico, fue una gran sorpresa, aunque también fue un alivio ver que había un método, y que yo podía aprovechar ese método para "calcular" los razonamientos.

Pero en todo caso, es un "cálculo", algo que tiene sus reglas y se aprende.
No es algo "innato", ni "cuestionable".
Si las verdades matemáticas se hubieran establecido de otra manera, y alguien inventara de pronto el álgebra de boole (o sea, el álgebra de las tablas de verdad), eso sería matemática también, y con ingenio y astucia muchas cosas funcionarían.
De hecho, muchas culturas que no conocían las demostraciones de Euclides, hacían matemática "a ojo", y les funcionaba.

Así que me pregunto si la matemática requiere "estrictamente" de la lógica, o es otro tipo de "intuición" o de "acto inteligente".



Cita
Acepto que distinguir unos símbolos de otros puede ser una cuestión dudosa y también acepto tu axioma: Los humanos somos capaces de distinguir unos dibujitos de otros.

Bien ¿y ahora qué hacemos?.

Estudiar símbolos únicamente, con mucha paciencia, y teniendo cuidado de que al usar ciertos "razonamientos", no afirmen hechos demasiado arriesgados desde el punto de vista "intuitivo".




Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 14/08/2010, 01:59:30 am
En todo caso, aún dejando en paz a los "razonamientos" y a la lógica, ¿estás seguro de que los "razonamientos" que usás en metalógica son razonamientos válidos en algún sentido?
O sea, estamos en terreno de "palabras", de "lenguaje libre". ¿Con qué criterio me asegura alguien que nadie será capaz de "argumentar avispadamente" en favor o en contra de lo que se le antoje?

Cuando la gente hace metalógica parecen estar todos "misteriosamente de acuerdo" acerca de lo que se habla, y parecieran no contradecirse entre sí.
Pero eso me parece mera casualidad, porque no hay nada formalizado debidamente.

Me parece que hace falta más detalle en los argumentos que se usan, más fundamento, y no conformarse con el estado de cosas tal como están.

Veo la situación como similar a lo que pasaba con Cantor y su teoría de conjuntos.
Mientras no se formalizó, eran "ideas en el aire". Después cobró sentido matemático claro, aunque con mucho sufrimiento.
Me parece que no hemos sufrido todavía lo suficiente, y que hay seguir buscando más hondo en todas estas cuestiones de los fundamentos.
Conformarse con la "astucia" de Godel no es algo bueno.
Ciertamente la cuenta que sacó es admirable, lo que hizo fue muy ingenioso. ¿Pero está bien?

Supongamos que me salgo con la mía, y un día alguien me da el gusto de mostrarme una fundamentación de la lógica e incluso de la metalógica que me conforme... entonces en ese terreno podría estudiarse un resultado como el de Godel... pero mejor formalizado.
Yo no he encontrado (en los libros que he hojeado), y pienso que no hay, una cuidadosa formulación.

Las afirmaciones metalógicas son demasiado complejas como para seguirlas llamando "metateoría".
Ya son una teoría que necesita una formulación rigurosa, y la cual a su vez necesita ella misma pruebas o estudios de consistencia.

Para que algo se digne de llamarse "metateoría" debe permanecer enmarcada en una clara y visible "simplicidad",
y de esa manera uno puede "ver" que las afirmaciones que se hacen son "ciertas", o sea, los "razonamientos" serían mucho más creíbles.

Ah, qué sé yo...  :banghead:

Como sea, estoy buscándole la vuelta a todo esto, y me voy a salir con la mía. Algo voy a encontrar.
No me voy a conformar con las cosas tal como están, que son un desastre.
Pero se ve arduo y duro el camino.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 14/08/2010, 02:10:18 am
Y en realidad todo el problema viene porque nadie puede escribir ni pensar al mismo tiempo en infinitos símbolos.

Y ya que esto es "físicamente" imposible (al menos eso parece), ¿no será que toda cosa infinita es una idea "ridícula" y que hay que desterrar el infinito de la matemática?

Sería una lástima, y a mí me dolería más que cuando Romeo perdió a Julieta.
Pero ¿y si es ese todo el problema?

Si hay una "imposibilidad física", eso quizá nos está "sugiriendo algo", un presagio de que "el infinito no debe ser algo serio".

Mas el Universo es tan vasto y complejo que "parece infinito".

Podría ser que el Universo sea potencialmente infinito, pero siempre finito, y eso impide que las computadoras o cualquier máquina o nosotros mismos demos el "salto" más allá de lo finito que se requeriría para trabajar con "comodidad".

Cada vez me vuelvo más "intuicionista", pero bueno, es que las cuentas no me dan.
A veces ni siquiera puedo ir hacia lo "finitamente grande", porque se complica demasiado.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 14/08/2010, 05:16:46 am
Creo que estamos en un callejon sin salida y que estamos en el punto en que el callejón se acaba. Parece que no va a haber solución a estas cuestiones, y aunque las hubiera solo conseguiríamos trasladar el problema a otro entorno, ya que siempre encontraríamos algunas verdades que debiéramos aceptar de forma intuitiva.

Si el principio de identidad ó el de no contradicción, por ejemplo, debieran ser demostrados y no directamente aceptados en base a nuestra intuición estaríamos en una posición de muy dudosa racionalidad. No ocurre lo mismo con el principo del tercero excluido, que puede negarse, y que quizás su negación nos pudiera conducir a otros esquemas de razonamiento matemático, pero nada de estas cuestiones resuelve el problema. La formalización estricta de los sistemas nunca va a resolver el problema.

Si creo que sería lícito "exigir" a los lógicos que trataran de minimizar los conceptos no formales (intuitivos) que se manejan en la lógica, al igual que hacen los matemáticos con los conceptos primitivos, de forma que siempre fueran los mismos. Tal y como yo lo veo quizás el no acotar el "terreno resbaladizo" en el seno de la lógica podría ser causa de que algún día diéramos el "gran patinazo". Aunque sí parece que estamos rodeados de  conceptos primitivos, intuición y sentido común por todas partes y que eso no va a ser fácil de evitar.

¿Qué es un conjunto? ¿Qué es un número? ¿Qué es un punto ó una recta? ¿Existe un infinito lógico? ... 

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 14/08/2010, 06:46:39 pm



La lógica, digo yo, es algo aprendido, por eso es tan "natural", y no por otra cosa.
Así como un hombre traumado por la mordedura de un perro "reacciona" siempre con susto cuando ve un perro, el "razonamiento natural" también va por ese lado, es una reacción aprendida.
Aunque en realidad es algo aprendido, cultural.

Yo aprendí lógica mucho después de aprender matemática, análisis y álgebra.
No sabía que las verdades matemáticas "se demostraban", y para mí eran lo que eran.
Cuando descubrí que todo se "debía" demostrar con un razonamiento lógico, fue una gran sorpresa, aunque también fue un alivio ver que había un método, y que yo podía aprovechar ese método para "calcular" los razonamientos.


No creo que la lógica sea algo aprendido culturalmente,yo lo veo como algo si
Analogia :
Suponte que un computador fuera nuestro cerebro con todas las neuronas  así como el computador tiene microchip .El computador tiene un sistema operativo Windows  xp  ,vista ,Windows 7 ,los procesos lógicos serian algo asi como los sistemas operativos ,no puedes hacer nada sin un sistema operativo, entonces  en este caso no puedes hacer nadad sin la lógica,El sistema operativo no funciona sin recibir ordenes externas, sin que se instale algún programa o recibir información desde el exterior, la red

Asi los procesos logicos son los mismos para un chino que para un americano.

Entonces lo que creo que si cambia son las experiencias ,Hegel por ejemplo dice que se necesita materia ,cualquier criatura viva interactúa con la materia ,el ser humano moldea la materia a y esta  moldea al ser humano, pero yo creo aun ,que esta es una postura extrema .

La lógica siempre funcionara mas ya de si su sustento sea un hecho  regular o no
-Al día le sucede otro día  es una regularidad
Pero es esta regularidad es fruto de la experiencia, y el hecho de que eventualidad no exista en el futuro es resultado de otra experiencia, hallazgos ,como pueden ser los descubrimientos en química.
Si te fijas hemos cambiado una visión por otra pero la lógica sigue siendo la misma
La primera toma como verdad una regularidad como el día  y la segunda toma como verdad la experiencia.
Talves por ello me atengo a señalar que la lógica necesita de la materia , de la experiencia

La intuición, no  se lo que es intuir :-\ ,talvez sucede por contraste ,intuir una vedad o un aparente verdad, y todavía nos queda esa otra postura que señala que la realidad solo existe mientras un sujeto se encuentre con la materia por ejemplo ,de las infinitas posibilidades de interactuar con lo que me rodea ,interactúo con la mesa ,solo entonces podemos hablar de realidad, porque si interactúo con la puerta entonces mi realidad es otra (creo que tiene que ver con la teoría quántica) ???
Estoy de acuerdo con Argentinator en que Godel de haber llegado a un resultado a través de algo como pudo haber sido la intuición, es dudoso es como la paradoja del mentiroso
Todos los atenienses son mentirosos (la verdad no se puede determinar pues no se sabe se si los atenienses son mentirosos)
Uso la lógica para negar la lógica (no se sabe cual fue el procedimiento verdadero , fue intuición ,razonamiento o que el que utilizo Godel)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 14/08/2010, 07:00:42 pm
Ya que zonurb dice que no sabe lo que es la intuición, digamos que, metiendo todo en el mismo paquete, los conceptos primitivos, los conceptos intuitivos y/o las ideas derivados del sentido común son todos aquellos conceptos e ideas que no tienen una definición estrictamente formal y que por lo tanto se dejan sin definir a la espera de que la imaginación del individuo que razona resuelva el problema. No deberían ser demasiados conceptos (al no poder evitar que no exista ninguno) y los que se manejen deberían estar bien identificados si no queremos que nuestros razonamientos se salgan de madre. Creo que en el fondo argentinator lo que esta pidiendo quizás no es que se formalice todo sino que se formalice lo que pueda formalizarse y lo que no se pueda que se haga notar de la forma que mejor proceda, un poco de orden en pocas palabras, sobre todo en el seno de la metateoría que es donde pueden existir mayores abusos e imprecisiones del lenguaje.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 14/08/2010, 08:25:51 pm
Lo que sucede es que la intuición, no es necesaria mente cierta, es  una forma de pensamiento no racional.
-Podría intuir  algo simple como ,dentro de un triangulo caben infinitos triángulos
-También podría intuir que en 50 años llegaran los extraterrestres.

Uno no sabe o no puede tener certeza de cuantas variables conjuntas puede estar manejando el cerebros y si responden a cosas sensibles he incluso relaciones que no son sensibles, es decir deducciones que el cerebro hace en forma inconciente.
Podrían ser las intuiciones espejismos cosas que creemos ver y no son ,por eso en cualquier caso necesitamos razonar para contrastarlo con la materia ,una intuición por si sola no nos permite hacer de algo una realidad.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 14/08/2010, 08:38:59 pm
Bien, eso es cierto, la intuición no es necesariamente cierta pero hay casos en que es obligada. ¿Podrías explicarme que es para ti un conjunto, un punto ó el infinito? Son conceptos que todos utilizamos con asiduidad pero en ellos tiene mucho que ver la intuición, y no tienen que ser necesariamente lo mismo para ti que para mi.

Por ejemplo yo suelo imaginarme los puntos de color negro ??? y el infinito como algo muy lejano en un universo negro plagado de estrellas ??? ¿y tu?  ::) Claro que si no existe una definición formal, como es el caso, entonces la única imagen que nos queda es la imagen mental que nos hemos hecho en la impronta.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 14/08/2010, 08:46:41 pm
Cita
Ptda: ¡Hola Garubi! Me alegra verte por aquí.

Me alegro sinceramente de que te alegres, Cristian, yo también me alegro.

Y también me veo compelido a pedir perdón por el ladrillo que sigue.

Quería aclarar que mi postura no es contraria al concepto de infinito en matemáticas, sino a la de jerarquías de infinitos que propone  Cantor. No seguiré con este debate aquí so pena de ser acusado de irme por las ramas, aunque a mi concepto de orden le vendría bien, porque veo mucha relación, nada tangencial, con el tema de la fundamentación de la matemática.

Bueno, punto y aparte.

Cita
Cualquier mandanga que se le plantee a un ordenador de la manera correcta, le hará darse de bruces con un "error de concepto", debido a su imposibilidad de entender conceptos. Para mí, este es un resultado físico. Se le puede "liar" sintácticamente, para que ya no "sepa" a qué hacen referencia los símbolos que está manejando y, creo que ese es un problema mecánico, no hay especificación ténica que pueda llegar a superarlo. Y nosotros, tampoco podremos construir un lenguaje que no deba estar tirando de esas lacras que son los teoremas de Gödel, porque, entiendo, nos "detenemos" en el mismo punto, a la hora de asignar valor de verdad a algunos constructos sintácticos, creo.

Quiero también desdecirme de esto, porque no es lo que quería decir. Hace días que llevo a vueltas con una idea feliz que encontré accidentalmente al programar en el trabajo, a la que no consigo acabar de dar forma (esto es muy frecuente en mi caso).

Lo que quería decir es que no tenemos manera de transmitirle -ni a un dispositivo mecánico ni a otro ser humano-, mediante el uso de un lenguaje simbólico al uso, el uso correcto de los símbolos, porque se pierde el significado durante la explicación. Este es el que tildaba de fenómeno físico, este es el hallazgo de Gödel. No es cábala, no es una especulación, no es "profundo", es simple.

Me veo obligado a narrar el fenómeno, por la misma razón por la que no consigo darle forma, por la misma razón, sospecho, por la que los símbolos matemáticos me producen el mismo vértigo que a argentinator las manipulaciones lógicas de Gödel.

Estábamos validando un campo de búsqueda, para que el usuario final pudiese buscar cosas como "O'flaherty", "O'Connor", etc. en una rejilla con los registros, una rejilla que en el entorno de programación utilizado entendía la comilla simple como un separador de cadenas.

Un pequeño inciso humanístico que creo que viene al caso: Tengo 49 años, y estoy empezando a programar en la cosa esta del POO u OOP para llevar más pan a casa, sin siquiera tener una base sólida en el paradigma de programación modular, y sin haber tenido contacto con la programación en década y media. Mi sensación con la cosa esta del .net (de las narices) es que te ves obligado a utilizar un objeto "pié de rey" cuando necesitas un objeto "llave inglesa", porque lo que quieres es apretar una tuerca. Creo que viene al caso porque tengo la sensación de que de alguna manera, argentinator se queja de que le están cambiando las herramientas, y me siento solidario con su situación a más de un nivel. No sigo por terminar con el inciso de una vez.

El caso es que estoy verde en esto, y me desesperó tremendamente tener que explicarle a la máquina el uso que tenía que hacer del símbolo; no sabía explicárselo.

Se me explicó cómo hacerlo: Reemplazando la comilla simple (para mí aquello debía ser llamado "apóstrofo", pero pronto me percaté de que ése debate no era operativo) en la cadena de texto por dos comillas simples. Algo así:

"Reemplaza en la orden de búsqueda que estamos construyendo en el idioma que entiende la rejilla las ocurrencias de " ' " que aparezcan en el campo donde el usuario ha tecleado su cadena de texto, por ocurrencias de " ' ' "".

Insisto en que estoy muy verde y que cualquier novedad llamaba mucho mi atención.

Debí de proferir una blasfemia del tenor de "-------" (nunca he sabido si va con "h" o no), porque me sorprendió que no se pudiese decirle a la máquina directamente algo como:

"Reemplaza en la orden de búsqueda que estamos construyendo en el idioma que entiende la rejilla las ocurrencias de [voy pasando subcadenas al lenguaje común para que se vaya atisbando el problema]: "comilla simple" que aparezcan en el campo donde el usuario ha tecleado su cadena de texto [las comillas reales que deslindan "comilla simple"  pertenecen a mi diálogo con la máquina, lo verbalizado a la orden que construíamos la máquina y yo para la rejilla; los "dos puntos" (:) son un añadido sin importancia], por [verbalizo del todo, para que las comillas finales e iniciales de la frase, que pertenecen al texto que estoy escribiendo en este post no se mezclen con el resto de comillas de la orden que dirijo yo a la máquina para que le transmita la orden a la rejilla una vez que el usuario haya escrito la cadena que debe buscarse en la rejilla] ... por [decía] "comillas comilla simple comillas"".

Los últimos símbolos " que deslindan comillas comilla simple comillas al final del párrafo, antes de la última ocurrencia del símbolo: " " " y el punto final del párrafo -y que decía que no iba a utilizar-, hacen referencia al literal que debe hacérsele llegar a la rejilla para que considere un literal la comilla simple. La rejilla entiende las comillas como principio y final de un literal.

No quiero seguir, porque si sigo no me leeréis, y la idea ya esta ahí.

Lo que quiero decir es que sospecho que se presenta un problema físico insoluble cuando el lenguaje tiene un alfabeto finito y debemos hacer referencia a la representación de un símbolo del lenguaje en la cadena.

Esta debería ser una operación posible, ya que el lenguaje vulgar -y cualquier lenguaje formal- son de facto metalenguajes, donde cada palabra es representación de un objeto externo al lenguaje, pero no así cada símbolo individual. Es decir: No solemos poner comillas a "perro" para decir:

"El "perro" come de su escudilla", aunque en rigor, deberíamos ponérselas; pero sí solemos entrecomillar la "p" cuando decimos: "La "p" es una letra del alfabeto romano" ("romano" o como se llame).

El caso es que la función de los símbolos, al tratarlos desde el propio lenguaje, va cambiando. Va cambiando su significado. No se puede huir de ello, y llega un momento en que no es un problema tratable mecánicamente sin ampliar constantemente el set de símbolos del sistema, para poder entrecomillar por ejemplo esto: """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""". Primero hay que contar los pares, ver si el número de pares es par o impar (por eso estimé finalmente que había que cambiar la comilla simple por la doble comilla simple en el caso que narré antes), y -si es un literal lo que estamos refiriendo-, añadir una comilla si el número de pares es impar (lo que implicaría necesariamente que algo no está bien, creo) o añadir dos comillas si el número de pares es par (lo que implicaría que todo marcha bién, creo).

Creo que argentinator apuntaba a este enfoque, aquí:

Cita
Claro que así, uno corre el riesgo de que un día la impresora escriba un caracter "extraño" o "inesperado", y entonces todo el asunto se desmorona.

Y que el tema de la paridad que menciono al final está en relación con lo que dice Cristian aquí:

Cita
En una, las ideas matemáticas, ya sean conceptos o afirmaciones se abstraen de la realidad física.
Allí, o bien existe un conjunto de objetos reales con una cantidad par (finita!) de objetos que no puede partirse de ninguna manera en dos colecciones con cantidades primas de objetos (y una colección de objetos reales tiene cantidad prima cuando esos objetos no se pueden llenar completamente en ninguna caja con divisiones rectangulares, filas y columnas); o bien todas las colecciones con cantidad par de objetos pueden partirse en dos colecciones con cantidades primas de objetos.

Mis disculpas por todo el desorden, y confusión, y mezcla malsana en lo expuesto, pero excusadlo, más que otra cosa porque tengo un interés muy grande en el tema, aunque no sea matemático, y porque creo que por aquí hay alguna pista para salir del embrollo.

Un saludo a todos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 14/08/2010, 09:12:06 pm
Es que si en lógica utilizas un solo símbolo para dos significados distintos (que es tu problema) podemos organizar un buen cacao. Te aconsejaría substituir el simbolo ' en un campo de texto por otro cualquiera que no hayas utilizado, tales como los [Alt(izda)-n] que son muy socorridos. Aquí tienes un ejemplo  de los 10 primeros representados a gran tamaño:

☺☻♥♦♣♠•◘○◙

Hay hasta un total de 256 caracteres aunque la colección incluye los caracteres de texto, los números y los signos de puntuación.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 14/08/2010, 09:30:44 pm
Es que si en lógica utilizas un solo símbolo para dos significados distintos (que es tu problema) podemos organizar un buen cacao. Te aconsejaría substituir el simbolo ' en un campo de texto por otro cualquiera que no hayas utilizado, tales como los [Alt(izda)-n] que son muy socorridos. Aquí tienes un ejemplo  de los 10 primeros representados a gran tamaño:

☺☻♥♦♣♠•◘○◙

Hay hasta un total de 256 caracteres aunque la colección incluye los caracteres de texto, los números y los signos de puntuación.

Saludos, Jabato. ;D

Mantengo, Jabato, que no es mi problema, sino tu problema y el de todos. No depende de los símbolos utilizados, sino de del hecho de que el alfabeto sea finito, y del hecho de que los símbolos no se autogeneran. El problema es que los caracteres reservados del lenguaje dejan de cumplir su función, cuando son aludidos desde el propio lenguaje (sea el que sea), o algo así.

Visto de otra manera, ni siquiera se trata de un problema, sino de una propiedad del mundo, a explorar.

Mi problema es mi limitada capacidad de expresión formal o informal, que me impide transmitirte adecuadamente la idea. Es un problema personal mío.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 14/08/2010, 09:45:58 pm
Ya. Creo que te entiendo, el problema es que si utilizo un conjunto finito de símbolos con un significado cada uno de ellos en un determinado sistema formal, no puedes hacer referencia a ninguno de ellos en el sistema, es decir que si es uno de esos símbolos entonces no puede se aludido, referido, nombrado en ese mismo sistema so pena de modificar su significado. ¿Es eso?

No estoy seguro de que eso sea cierto.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 14/08/2010, 09:54:33 pm
He intentado explicarme, y me doy cuenta de que lo he hecho fatal.

La rejilla utiliza internamente a cualquier nivel el apóstrofo -o un análogo- para "comenzar" la cadena que recibe.
Debes mandarle dos apóstrofos para que ella entienda uno y lo incorpore a la cadena, porque ella comenzó la cadena con un apóstrofo cuando le dijimos que iba una cadena de texto. Debo cerrar la cadena y volver a abrirla para que la rejilla se percate de que la cadena continúa. Está implementada así. Da igual que sea un apóstrofo, al final es un estado físico.
Y nosotros también estamos implementados a nivel lógico así.

En algún momento, como decía argentinator, se nos va todo al garete, y el problema es ése, la autoreferencia, pero es inevitable a menos que redefinamos símbolos o añadamos nuevos constantemente, con su definición.

Sigo sin explicarme, pero es que no sé madurar la idea.

Un saludo, y gracias por tu esfuerzo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 14/08/2010, 10:15:16 pm
Pues lo siento pero no acabo de verlo. Parece como si se generara un proceso "ad infinitum" que te impide cerrar la cadena y continuar con el proceso, pero no lo veo, no sé si es una limitación tuya a la hora de explicarlo ó una limitación mía a la hora de comprenderlo. Tengo algunos conceptos elementales de programación y conozco los problemas que planteas, cuando tratas de implementar en la cadena un símbolo que el sistema interpreta como fín de la cadena, pero cuando tratas de involucrar ese proceso en los sistemas lógicos me pierdo.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 14/08/2010, 10:16:53 pm
La intuición para mi:
Es algo extraño, me acuerdo un día cuando salí con mis padres de viaje a otra ciudad  tenia 8 años ,al llegar a la ciudad recuerdo que me quede mirando un lugar ,después paso el tiempo  y mis padres decidieron regresar ,preguntaron a alguien por una dirección y no conocían las calles ,pero yo me acordaba de aquel lugar ,entonces les dije fue en cuando llegamos a la ciudad. Para mi eso es intuición.,
puede que todo lo que hablemos o hagamos este gobernado por la intuición
Pero la intuición por si sola no te hace alguien real
Si un científico intuye algo ¿Cómo prueba lo que intuye?¿como hace real lo que intuye?
Es algo así como:
 Percibo la luz =La gravedad atrae a los cuerpos
Ambas cosas son reales o creemos que son reales, percibir la luz todos lo hacemos y resulta incuestionable, si solo un sujeto intuye la gravedad, pero este mismo sujeto se cuestiona si la gravedad es real. Entonces necesitamos del razonamiento, y el razonamiento nos dice que debemos buscar causas y efectos por lo tanto debemos hacer experimentos, ósea tenemos que recurrir a la experiencia.
Un poco por experiencia, creo que ,si elimino la razón y dejo solo la intuición ,dejo de ser operante ante la realidad
 
-intuyo  a la razón como a mi corazón.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 15/08/2010, 03:07:25 am
Hola zonurb:

Te comento que hace un cierto tiempo que tengo una postura filosófica definida en lo que respecta a las intuiciones y su posible uso.

Opino, como todo el mundo, que las intuiciones son difudas, subjetivas, e inciertas, mas son así en general...

Considero que "es al menos posible" que haya "aunque sea unas pocas" intuiciones que no sean dependientes del sujeto (o sea, no pecarían de subjetividad), y en tal caso serían "absolutas", al menos a lo que intuiciones humanas se refiere.

Más precisamente, a lo mejor no sean esas intuiciones propiamente dichas "lo absoluto" en este asunto, sino cierto "rasgo" inherente a ellas (que ya no lo sé definir, me refiero a cuestiones de tipo lingüístico-social-psicológico-semiótico), de tal suerte que todos los seres humanos serían capaces de "estar de acuerdo" al menos en esos rasgos.

Eso permitiría decir que hay algunas intuiciones "fiables".
No importaría si son de significado claro, ni siquiera importa si son descriptibles con el lenguaje.
Tan sólo importaría "el acuerdo" común de todos los sujetos.

Por ejemplo, parece claro que todos los seres humanos intuimos la diferencia entre "uno" y "muchos".
Eso se refleja en características propias de los idiomas, incluso primitivos.
No vemos el Universo como una "masa informe", sino que "distinguimos objetos individuales en el Universo".

Puede que el Universo no tenga realmente "objetos separados", pues podría ser que todo el Cosmos sea una "superonda vibrante multidimensional", y que las "distinciones de objetos" sean una mera peculiaridad del cerebro humano.
O sea, no importa si los objetos individuales son tal así en la realidad.
Lo que importa es que el cerebro humano se toma el trabajo de "demarcar" partes de lo que percibe, y los "separa" en "individualidades".

Esta "actitud" de la mente humana (¿capacidad?) es lo que permitiría la generación intuitiva de los sucesivos numeros naturales, y así vendría justificado el uso de los números, al menos en su versión "intuicionista-constructivista" (al estilo de Brouwer y amigos).

Lo "individual" y la "recurrencia" puede que tengan ese estatus de "intuición primitiva".
Mas no estoy del todo seguro de esto, no me convence en realidad la intuición de número como uno de esos "absolutos".

Otro ejemplo de "intuición colectiva" sería de tipo "semiótico", o sea, el reconocimiento de Símbolos con los cuales luego formamos palabras escritas y toda expresión científica.
Son un ejemplo de "acuerdo colectivo intuitivo".

Claro que no me entusiasma dedicarme a "fundamentar" la teoría de las "intuiciones permisibles/absolutas/colectivas/consensuadas".

Mas me parece que es bueno que comparta con ustedes estas ideas que tengo, porque pueden ayudar a separar las aguas entre las "intuiciones cualesquiera" y una cierta clase especial de "intuiciones absolutas o consensuadas".

Un "alfabeto" es una colección de símbolos que todos acordamos como "siempre los mismos", y esto permite "mecanizarlos" con una computadora, programar, y definir nociones de lenguajes formales de una manera menos "humana", más "visible".



Garubi: Tus dilemas sobre programación son pertinentes, porque se supone que las teorías matemáticas actuales son representables con caracteres de un alfabeto finito, como el de una computadora.

Ahora, tu problema es que estás obligado a usar "comillas" para hablar de "comillas".
Las "comillas" del usuario que usará tu programa, son un símbolo del "lenguaje del usuario".
Pero las "comillas" del lenguaje de programación POO que estás usando son "metalenguaje" de ese lenguaje.
El inconveniente es que en computación se usan los mismos simbolos para el lenguaje que para el metalenguaje, y sólo algunas reglas de compilación salvan el embrollo.

Pero la cuestión es que estas cosas en el mundo informático tienen solución.

Sin embargo no me has entendido bien respecto lo que dije de la "impresora".

A lo que me refiero es que puede llegar el día que la impresora "falle" e imprima algo que uno no "programó". No me estaba quejando yo de un problema de programación...

O sea, lo que yo digo es: si la lógica siempre funciona, es lo mismo que decir que el programa que uno hizo siempre da el resultado esperado. No hay ningún problema de qué preocuparse.

Pero puede ser que la máquina falle. ¿Por qué? Sencillamente, porque es una máquina, que está dentro de este Universo.
Lo que yo digo es que la lógica puede fallar, aunque en un sentido algo distinto.

Hasta ahora, todo "razonamiento" ha sido, digámoslo, corroborado, y eso da certeza de que la lógica funciona.
En tal sentido, la "lógica" es una "teoría física", es parte de las teorías que explican el Universo.
En toda teoría del Universo estamos suponiendo que valen las reglas de la lógica común y corriente.

Pero podría ocurrir que un día esto falle.

Y de hecho, hoy leí algo que me confirma que ya ocurrió.
Paso a comentarles:



Dado que me considero un cabeza duro para estas cuestiones de la lógica y los fundamentos, no sentí ninguna vergüenza en ponerme a leer el libro: Lógica para tontos.
De hecho, recomiendo darle alguna hojeada.

Entre varias cosas, cuenta lo de las lógicas no estándares que se han ido inventando en el siglo 20.
Y está el caso de la lógica cuántica.
Ocurre que las partículas subatómicas no responden a estas famosas leyes del 3ro excluído.

Supongamos que hay dos tazas boca abajo en una mesa, y una partícula subatómica que está obligada a estar en la mesa dentro de la hoquedad de las tazas:

* La partícula subatómica p que está confinada sobre la mesa, y (o está debajo de la taza A o está debajo de la taza B).

Eso sería una proposición "verdadera".
Ahora aplicamos la "ley distributiva" de la conjunción con la disyunción, y obtenemos:

* (La partícula p está confinada sobre la mesa y está debajo de la taza A) ó (La partícula p está confinada sobre la mesa y está debajo de la taza B).

Esta última proposición sólo puede ser cierta si al menos una de las dos expresiones entre paréntesis son verdaderas. Pero cada una de esas premisas individuales no puede ser cierta, por el principio de incertidumbre de Heissneberg.

De manera que toda la afirmación es FALSA.

Esto muestra que la lógica no es algo que uno tenga que aceptar como un dogma.
¿Por qué preferir una lógica sobre otra, a la hora de razonar?
¿Por qué se toma la lógica clásica como universalmente válida?
Mi opinión es que esto se hace sólo por "costumbre".

Pueden ver ejemplos de estas discusiones en la famosa Wikipedia.
Claro que, si los discuten los "expertos", es palabra santa, pero si lo digo yo en un foro de internet, "estoy discutiendo cosas imposibles de plantear".  ;)

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_cu%C3%A1ntica (http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_cu%C3%A1ntica)

Y acá va otro enlace sobre lo "empírica" que puede ser la lógica, para que vean que no soy el único tarado que se plantea que la lógica puede "variar sus resultados" según las circunstancias:


http://es.wikipedia.org/wiki/%C2%BFEs_emp%C3%ADrica_la_l%C3%B3gica%3F (http://es.wikipedia.org/wiki/%C2%BFEs_emp%C3%ADrica_la_l%C3%B3gica%3F)

Ahí se cita a un tal Quine, cuyos libros me he prometido buscar y leer, entre muchos otros autores que se han dedicado a los fundamentos de la matemática.

Ya que mis quejas no son del todo aceptadas... a lo mejor sí lo sean si aparecen en boca de expertos como Quine, o los afamados físicos de partículas, etc.   :D



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 15/08/2010, 03:40:47 am
Cristian: Disculpá si a veces me pongo medio "denso", pero estos temas de los fundamentos me ponen los nervios de punta.

En cuanto a lo que comentaban Jabato y Garubi sobre la autorreferencia y los lenguajes de programación...
Bueno, hoy estuve releyendo el libro "Godel para todos" de Martínez y Piñeiro (el amigo Gustavo que a veces anda en el thread del Teorema de godel).
No es que les quiera hacer propaganda al libro de mis compatriotas, pero es un libro muy claro y específico, y creo que se consigue en España.
Así que Garubi, si te interesan estos temas, es recomendable que leas ese libro.

Si me ha costado entender ese libro tan "claro", mucho más me costará leer la prueba original de Godel, o las sucesivas adaptaciones.

En todo caso, ahí se habla de esas dos cosas: el teorema de Godel, los fundamentos de la aritmética, los axiomas lógicos de primer orden, y cómo representar eso en un algoritmo de computadora, justamente con "concatenación de caracteres".
O sea, elementos que todo programador puede manejar.

El Teorema de Godel es una construcción rebuscada de una "autorreferencia", y si tienen alo de paciencia llegaré a eso:

1 * Supone que en el "difuso mundo" del metalenguaje, existen los números naturales de los cuales todos "ya sabemos" cuáles son sus propiedades básicas (o sea, sabemos sumar y multiplicar).

2 * Deine un lenguaje (el de primer orden) y da los axiomas usuales de la lógica, y además los axiomas de Peano de los números naturales. Y nada más que eso.  Lo hace con: una lista finita de símbolos o "caracteres" (hecho bien concreto para un programador), y da reglas que son "esquemáticas", y por lo tanto "infinitas", pero "verificables por un programa en finitos pasos".

3 * Define una noción de demostración o inferencia (el modus ponens), cosa programable, porque en finitos pasos uno "transforma" unas proposciones en otras, y genera una conclusión.

Las "premisas" son "cadena de caracteres" del lenguaje de 1er orden. Y la "conclusión" también lo es.
El programa transforma premisas en conclusiones con un "algoritmo" en "finitos pasos".
Eso es "demostrar", algo mecánico, y la máquina ni se enteró que hizo una demostración.
Para la máquina, sólo transformó unas cadenas de caracteres en otras.

4 * Da una definición de "proposición verdadera", asignándole a cada "cadena de caracteres" un valor de "verdadero" o "falso", o sea "V" o "F".

5 * Se asume que los axiomas lógicos y de Peano son "V", y que las conclusiones de las "demostraciones" hechas con "modus ponens" son "V".

6 * Se construye luego una expresión que es "V", pero que no se puede llegar con el algorimo de "demostración" en finitos pasos, o sea, no es demostrable. Concluye que la aritmética tiene una expresión verdadera y no demostrable, luego es "incompleta".

Lo que me marea de toda esa construcción es que para definir "verdad", se asumen de entrada los números naturales, como una intuición que "ya funciona" sin problemas.
Yo protesto ante el uso "preconcebido" de las propiedades de los números naturales, además de que se habla de "infinitos enunciados" acerca de los números, que son verdaderos.

En la parte sintáctica esto se evita, pero a la hora de definir "verdad" se entra en la semántica, y parece que se permite todo... Ya eso no me gusta.

Como sea, hay una prueba que "aparentemente" es completamente sintáctica, aunque es complicada.
Y ahí aparece la autorreferencia de la siguiente manera:

* Dado que las proposiciones de la aritmética de 1er orden forman un conjunto infinito numerable (estas 3 últimas palabras me dan vértigo de sólo decirlas, y peor si van todas juntas), todas ellas se pueden "codificar" con un número natural.

* La codificación es específica, sigue ciertos criterios, y no voy a entrar en detalles, pero én todo caso, hay una función expresable en el lenguaje que asigna a cada proposición su "código".

* Eso de arriba es extraño, pero al parecer es posible (y yo, por supuesto, ni aún así me lo creo, aunque debe ser cierto aunque yo no quiera creerlo), y en tal caso, se puede "calcular" el código asociado a una proposición.

* De esa manera, el lenguaje habla del "metalenguaje", y eso equivaldría a que Adán pudiera usar su lenguaje cavernícola para expresar lo que Dios piensa de Adán.

* Ahora bien, dado que d(x) hace referencia a la proposición cuyo código es "x", una proposición que involucre propiedades aritméticas relativas a la función d(x) también es codificable.
Pòr ejemplo, uno puede decir cosas como "d(x) es un número primo" (o no es primo).

* Y finalmente, cuando uno calcula el número de codigo asociado a una tal proposición, y le da, digamos, n, mete ese número "n" en la misma proposición, o sea, se fija qué pasa si hace x = n, calcula d(n), y lo hace dentro de la misma proposición que hablaba de d(x).

Eso termina dando el efecto de que una proposición tenga la capacidad de decir cosas sobre sí misma, ya que se codifica el metalenguaje en el lenguaje mismo.

Esa es una forma de autorreferencia.

A mí no me queda claro que sea una autorreferencia legítima, ya que el insistir conque una proposición se "refiere a sí misma" me parece una "interpretación" completamente "semántica", o sea, algo intuitivo.
No entiendo en realidad (aún) si estas proposiciones son de verdad "autorreferentes" y si de verdad dicen lo que Godel asevera que dicen.

No comprendo la relación entre lenguaje y metalenguaje... porque no entiendo qué es el metalenguaje.

Según el libro de Martínez y Gustavo P., el "metalenguaje" es la matemática misma, porque en ella uno puede expresar y definir todas estas cuestiones de los algoritmos, las asignaciones de verdad, etc., etc.

Pero he visto otros libros, y oído a otras personas, que dicen que el "metalenguaje" es simplemente el "lenguaje natural", y que se aceptan allí sólo unas "intuiciones básicas" fácilmente verificables.
No me cabe duda de que en un principio esas intuiciones fueron simples, como en la Axiomática de Hilbert.
Pero ya a estas alturas todo eso se complicó demasiado. Ya no es más simple.

¿Y a quién le hago caso: a los que dicen que metalenguaje es matemática, o a los que dicen que es sólo "lenguaje informal"? Incluso hay otros que dicen que es álgebra universal + álgebra de Boole, y otros que definen las cosas desde un lenguaje de 2do orden, y otros que usan teoría de categorías...

Y otros que ni aclaran por qué hacen lo que hacen, ni por qué tienen tan claro que lo que dicen tiene algún sentido.

Si la lógica no es clara... ¿entonces qué lo es?


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 15/08/2010, 08:39:23 am
Sobre la intuición Parece que el crebro de una persona normal es capaz de realizar algunas funciones elementales básicas que son las que le sirven posteriormente para hacer abstracciones y desarrollar conceptos. De manera que debemos suponer que todos los hombres pueden realizar al menos estas tareas mentalmente:

a) identificar objetos

b) percibir sus cualidades

c) memorizar objetos

d) recordar objetos

e) agrupar objetos

f) comparar objetos

g) ordenar grupos

h) abstraer conceptos

Es muy probable que pudieramos usar estas habilidades que se nos suponen a todos para establecer algunos conceptos intuitivos en el seno de la lógica que fueran universalmente aceptados, y que permitieran mejorar el diseño de los metalenguajes. Son habilidades que todos tenemos y la intuición se basa única y exclusivamente en los recuerdos que tenemos memorizados de nuestra experiencia en base a esas habilidades.

Por ejemplo, si yo os hablo de un objeto que se llama "tetracubo", que hasta ahora nadie os ha definido, probablemente vuestra intuición os llevará a la imagen de una especie de híbrido entre un tetraedro y un hexaedro (cubo), pero si le hablo de un tetracubo a la asistenta que viene a limpiar a mi casa la impronta que le producirá semejante palabra será muy distinta, probablemente una especie de híbrido entre un tetrabrik y un cubo de fregar. Ahora bien supongamos que yo al mismo concepto le llamo "A-disgenoide-47", entonces no puede haber intuición, la intuición se bloquea, luego los nombres de los conceptos intuidos (no definidos) influyen y mucho.

La intuición es por tanto inevitable, es inmediata y más importante aún, depende totalmente del nombre que utilicemos para designar la idea. La intuición depende pues en grado sumo de la experiencia individual que tengamos en el conocimiento del mundo y del símbolo que usemos para representar el objeto ó la idea de que se trate.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 15/08/2010, 04:46:02 pm
En cuanto a la "capcidad de recordar" o la "memoria" del ser humano, también tengo objeciones en ese sentido.

En las teorías de los lenguajes formales se asume, sin siquiera meditarlo, que es posible escribir tantos símbolos en fila como uno desee.
Pero si llevamos eso a una computadora, vemos que es necesario tener en cuenta la capacidad de "memoria RAM" de la´máquina.
Hay siempre un límite superior de capacidad, y aunque se puede ampliar, es complicado, y no está claro que podamos disponer de tanta capacidad de memoria como se nos antoje para almacenar secuencias de símbolos.

Lo mismo ocurre con la mente humana, o la capacidad de escribir símbolos en un papel.
¿Qué tan grande es esta capacidad?

Este asunto está desestimado, no tenido en cuenta, y entonces uno tiene tanto espacio "como quiera", más concretamente, tiene un "bloque de memoria por cada número natural". Así, la capacidad no solo se vuelve infinita (ya sea en forma "actual" o "potencial"), sino que esos "casileros vacíos" en donde se escribirán los símbolos, "ya están ordenados en la intuición de quien define el lenguaje formal".

O sea, quien define un lenguaje formal asume que hay "espacios en blanco, ordenados de izquierda a derecha, de uno en uno, tantos como quiera".
Esta "estructura de espacios en blanco", que es la típica "cinta" de las "máquinas de Turing", tiene exactamente la misma estructura y propiedades que "los números naturales", pues comparten su modo de estar ordenados, y su propiedad de que "siempre hay un espacio más a la derecha que es distinto de todos los anteriores".

Esta propiedad de los números es "recursiva" (siempre se repite el mismo procedimiento), pero también "creativa", porque permite "agregar un nuevo objeto en cada paso".

A mí me resulta difícil de formalizar o de aceptar alegremente los números naturales así metidos y colados por todos lados, ya sea intencionalmente o subrepticiamente.
El motivo es que el proceso creativo de "ir agregando cada vez un nuevo objeto distinto a los anterirores" me parece denmasiado "complejo", y por lo tanto demasiado potente.



Estoy leyendo un texto que explica los fundamentos de la metamatemática para gente que no tiene demasiada experiencia en el tema,
tal como es mi caso, mas ahora no recuerdo el nombre del autor.
Como sea, iré indicando lo que me parezca pertinente de ese libro.



Lo que pretendo es que el universo de discurso del metalenguaje esté claramente definido.
Parece ser que los distintos autores eligen lo que más les gusta, y a veces sin avisar.
Esto es lamentable.

Supongamos que estamos en la teoría de conjuntos ZFC escrita en lenguaje de primer orden, con los axiomas lógicos correspondientes.
En ese caso, estamos bajo una teoría matemática concreta, con sus deficiencias y todo.
A esa teoría básica la llamaré T.
Uno puede, sin inconvenientes, definir en este lenguaje/teoría T los conceptos de "lenguaje", "demostración", "lógicas", "modelos", etc., pero estos se refieren ahora a "lenguajes dentro T", "demostraciones dentro de T", "lógicas dentro de T", "modelos dentro de T", etc.

Eso tiene sentido, y los cálculos me los puedo empezar a creer... relativamente en relación a la teoría T.

Pero ahora, un "símbolo" dentro de T no se "define" como un caracter escrito en papel, o generado por computadora.
Ya no es un "objeto físico", sino que un símbolo es algún elemento de un "conjunto" de ZFC.

Dentro de T, en que se ha establecido ZFC, todo es un "conjunto", y los símbolos serán "objetos"  de la teoría ZFC, o sea, conjuntos (recordemos que en ZFC todo "elemento" es también un "conjunto" y viceversa).
Así que las cosas se vuelven más abstractas, y la "aplicación" a lenguajes formales escritos en "el mundo real" constituyen una interpretación física de una teoría abstracta.
Y entonces esa interpretación corre el mismo riesgo de errores y desajustes que toda aplicación de la matemática.
Por ejemplo, un modelo de poblaciones usa una función [texx]P(t) = ce^{kt}[/texx] para indicar la población de un país.
Ese model es inexacto ya que hace corresponder cantidades "fraccionarias" de habitantes, y sabemos que eso no tiene sentido.

Si pasamos de una teoría de lenguajes "escrita dentro de ZFC", al aplicarla a un conjunto de símbolos "real", no podemos asegurar que las interpretaciones que se hagan aún tienen sentido, sobretodo en las aseveraciones que involucran conjuntos infinitos.
Es un nivel de especulación que me parece errado, algo irracional.



No obstante, yo podría tratar de reconciliarme parcialmente con toda esta cuestión, y tratar de entender los metalenguajes, pero no definidos desde el "lenguaje natural", sino como una ´teoría matemática mas.

Esto es posible, pero hay problemas profundos al hacer esto, y es que, por ejemplo, los mismos "vicios" o "supuestos" que uno hace en la teoría de soporte, T, pueden contagiarse a los "lenguajes virtuales" definidos dentro de T, y así habría posiblemente situaciones que uno no pueda "ver" con claridad.

Cambiando las reglas de la teoría T, podrían "verse" otras opciones.

Es lo único que tengo a mano por ahora, pero no es satisfactorio.

Lo ideal sería un  "metalenguaje" totalmente desprovista de una teoría subyacente T aceptada previamente.
Un tal metalenguaje debe tener reglas claras y simples, porque toda complicación ya amerita una formalización.
Si se formaliza algo, se debe hacer de forma "simple" desde el metalenguaje.

En cuanto a las reglas lógicas, la gente las aplica inconcientemente sin pensar en ellas.
Pero pienso que si uno se "entrena" en usar otras reglas lógicas, como las de al lógica cuántica, entonces también se pueden volver inconcientes, automáticas, y "naturales" para quien las use o aprenda.
Con una lógica aprendida así, los razonamientos generales serían distintos, y podrían obtenerse conclusiones diferentes al estudiar la lógica proposicional estándar.

Porque si bien los lógicos "definen" muchas lógicas distintas, cuando "razonan" sobre estas lógicas artificiales lo hacen usando la "lógica estándar de Aristóteles".
Pero yo lo que propongo es que "cambiemos la costumbre", y usemos esas nuevas lógicas para "razonar" de forma absoluta y general, y ver el impacto que producen al analizar otras lógicas.

O sea, hasta ahora la gente ha analizado "otras lógicas" pero siempre desde "el punto de vista" de la lógica estándar.
¿Cómo sería juzgada la lógica estándar desde el "punto de vista" de "otra lógica"? ¿Seguiría siendo consistente y completa?

Esto daría una "relatividad" en lógica, que me parece que no ha sido explorada.

Los únicos casos "reales" en que se han explorado otros "modos de razonamiento" han tenido lugar cuando los "intuicionistas" expresaron sus ideas y su forma de ver la matemática.

Pero nadie a usado lógicas multivaluadas, ni lógicas cuánticas, etc., para analizar la matemática misma.

En todo caso, volviendo a la relatividad de las lógicas: ¿habrá transformaciones del tipo Lorentz, como en la relatividad de Einstein, jeje? O sea, una "ley" subyacente a todas las lógicas (aunque no sé definir qué es una "lógica").
Esa "ley" suprema podría ser la verdadera "ley fundamental de todo razonamiento", y no las cosas que solemos aceptar como el tercero excluido, la ley distributiva, la no-contradicción, etc.

¿Aparecerán los números naturales escondidos bajo la manga aún a nivel tan abstracto?
Bueno, que estos delirios no los aburra demasiado.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 15/08/2010, 05:27:28 pm
Bueno, argentinator, no se si notaste que omití (a propósito) la capacidad de contar colecciones de objetos como función básica de nuestro cerebro, desde luego podemos distinguir entre una colección de dos objetos y otra de veinte, nuestro cerebro reconoce que hay más objetos en la segunda, pero estaría confuso a la hora de decidir cual contiene más objetos, una con 200 objetos y otra con 201. Así que los números naturales no pertenecen al ambito de la intuición, son por lo tanto consecuencia del pensamiento racional y es muy improbable que a esos niveles (en el ámbito de la intuición y no de la racionalidad) puedan establecerse criterios que permitan crearlos. Yo diría que no es posible. Y si no hay números naturales no podemos saber que es el infinito, so pena que pudiera definirse un "infinito lógico", no matemático, al que ya he aludido en anterior ocasión, que además estuviera basado en la intuición, lo cual es bastante improbable porque la intuición utiliza nuestros recuerdos y no creo que haya nadie que recuerde haber percibido el infinito alguna vez en su vida. Así que podemos decir sin temor a equivocarnos que si existe algun sistema axiomático fundamental base de todo razonamiento éste debe pertenecer al ámbito del "conocimiento intuitivo colectivo (conocimiento común a todos los individuos)" de la especie humana, y en él desde luego no existirán los números naturales ni nada que provenga de ellos.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 15/08/2010, 05:45:15 pm
Según las investigaciones psicológicas sobre la captación de números, parece ser que el ser humano capta con facilidad hasta "4", y después la cosa se vuelve muy confusa.

Encontré una formalización de la aritmética que no usa ni cuantificadores (cosa que me parece sin sentido en un lenguaje formal que no va a usar teoría de conjuntos), y tampoco usa ¡lógica!

O sea, todas las conclusiones se obtienen a través de una "regla de inferencia" que es simplemente el "método de inducción".
No hay necesidad de "lógica alguna" en ese sistema, o sea, no hay modus ponens, ni conjunciones, disyunciones, ni nada:.
Está en la parte inferior del siguiente enlace:

http://en.wikipedia.org/wiki/Skolem_arithmetic (http://en.wikipedia.org/wiki/Skolem_arithmetic)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 15/08/2010, 08:14:24 pm
Quizás este documento (creo que no es muy allá, aunque solo lo he ojeado) os guste, habla de la aritmética recursivo-primitiva ARP (PRA) en inglés y tiene relación con el último enlace que nos mostró argentinator.

Aritmética recursivo-primitiva (http://revistas.ucm.es/fsl/00348244/articulos/RESF9191120031A.PDF)

Entre otras cosas habla de ... ¡¡¡una posible refutación del teorema de Godel !!!

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 15/08/2010, 09:06:16 pm
Sinceramente creo que en metateoría no puede utilizarse el concepto de número, ni de infinito bajo ningún concepto, ni explícito ni implícito, salvo que se suponga válida la aritmética clásica, y entonces ya no hablamos de metateoría sino de matemáticas.

¿No os parece?

Saludos, Jabato. ;D



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 15/08/2010, 09:16:57 pm
En cuanto a la refutación del Teorema de Godel, entiendo que el artículo que pusiste llega a la conclusión de que con la aritmética ARP no sería posible refutar el susodicho Teorema: lo prueba con un razonamiento de Reducción al Absurdo.

Lo que menciona allí sobre que los números son objetos propios de un "lenguaje de tercer orden" me pareció al menos "atinado".
En definitiva, los números "debieran ser" clases de equivalencia asociadas a los conjuntos biyectables entre sí.

Esto no puede "trabajarse" con comodidad en la teoría de conjuntos ZFC en lenguaje de 1er orden, y por eso se deben dar ciertos "rodeos".
En particular, a los números se los construye con el conocido método de ir "anidando conjuntos vacíos"...
Pero eso sólo da un conjunto que se comporta según las leyes de Peano.

Mas, cuando pensamos en números, lo hacemos desde la (semiprohibida) perspectiva de que representan "clases", las clases de todos los conjuntos con el mismo "cardinal".

 


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 15/08/2010, 09:32:56 pm
Sinceramente creo que en metateoría no puede utilizarse el concepto de número, ni de infinito bajo ningún concepto, ni explícito ni implícito, salvo que se suponga válida la aritmética clásica, y entonces ya no hablamos de metateoría sino de matemáticas.

¿No os parece?


Bueno, parece que te he arrastrado hacia mis propias dudas, jeje.
No sé si eso es bueno.

Cuando uno mira en detalle el Teorema de incompletitud de Godel, y tal como dice también en el artículo que pusiste,
lo que se prueba es que la "completitud de la Aritmética de Peano no puede probarse desde la Aritmética de Peano".

En todo el trayecto de la prueba, lo que Godel hace es consecuente con eso:
Él trabaja en el sistema de Axiomas de Peano de 1er orden, procura codificar la teoría dentro de sí misma, y allí intenta probar completitud, obteniendo que tal cosa no es posible.

Yo no sé si es fácil objetar a Godel mismo, ha sido muy cuidadoso.

Lo que Godel dijo al respecto es muy claro: uso Axiomas de Peano, y con eso pruebo que la completitud de dicha teoría no se puede probar dentro del sistema.

No dijo ni más ni menos que eso.

Y por eso no sería, quizá, obligatorio que se cuestione todo lo que estoy cuestionando.
Las cosas que cuestiono corresponden a todos los que vinieron después de Godel (aunque algunos pasos de la prueba de Godel tampoco me los trago del todo).

Godel especificó al menos dos cuestiones importantes: (1) Qué metalenguaje usaba, y (2) qué lenguaje iba a investigar. Resulta que ambos eran (¿exactamente?) el mismo.

Pero cuando uno busca los nuevos avances en lógica, no queda claro qué metalenguaje se usa, y eso es porque hay muchas posibilidades, muchos enfoques, muchas propuestas, y es para marearse, perderse, y no saber qué es cada cosa, ni qué reglas se usan para justificar o afimar cuáles cosas.

Hasta ahora, los artículos más claros que he encontrado son los de Wikipedia, lo cual es lamentable...
Una de las cosas menos claras en los textos de "fundamentos" de la matemática es el concepto de "modelo" o "semántica". Es, a mi entender, una de las cosas más ambiguas y confusas que me he cruzado en la vida.
No se entiende qué es un modelo.

Y los que lo definen, lo definen en base a álgebras tan complejas, que requieren la teoría de conjuntos estándar para definirse.
Es el cuento del huevo y la gallina.

Mas ahora estoy leyendo un libro que parece querer explicar bien qué es cada cosa.
Si más o menos se entiende y tiene algo de claridad, les comento de qué se trata.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 15/08/2010, 09:39:26 pm
Bueno, para mi ya cayó la bola, creo que ya no distingo los elementos de los conjuntos, así que me voy al sobre a meditar sobre todas estas cuestiones tan interesantes. Chau

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 16/08/2010, 12:39:01 am
Ahora bien, se me ocurre otra pregunta. ¿Si es posible construir la aritmética sin recurrir a la lógica, entonces ... para qué necesitamos a la lógica como fundamento de la matemática?

No sé muy bien como funcionarían unas matemáticas sin lógica, solo con inducción. ¿Sin teoría de conjuntos?

¿Será posible?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 16/08/2010, 08:12:09 am
El reto estaría quizás en saber si es posible construir algo parecido a una secuencia como la de los números naturales pero finita usando solo las habilidades expuestas en mi mensaje #151, es decir, si es posible ordenar un grupo finito de objetos, y abstraer de él las propiedades mínimas necesarias para construir los números naturales, si eso fuera posible se podrían construir dichos números sin recurrir a la lógica.

Quizás si fuera posible, no lo sé.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 16/08/2010, 11:17:38 pm
La verdad no tengo claro qué es lo que estás preguntando.

Aunque cosas similares me andan por la cabeza.

Sin embargo, ya sea que se hable de un infinito potencial o un infinito "actual" (esa palabra siempre estará mal traducida, lamentablemente), el hecho es que los números no son finitos.

Lo no finito siempre requiere una "abstracción", así que tomarlos como algo "básico" no creo que se pueda...

Pero uno podría usar sin más la Aritmética de Skolem que mencioné por ahí, y que está desarrollada en el enlace de la Wikipedia.

Los números necesitan distinguir "unidades", y luego necesitan un proceso "recurrente", para ser números.
Esos son "2" ingredientes.

En realidad, toda axiomatización de los números se ha hecho con cierta "finitud", no hay otra manera.

Pero no entiendo a lo que estás apuntando.

Mas, respecto a la Aritmética de Skolem, hago un comentario general.
Uno observa que las "lógicas" constan de dos elementos: unos axiomas, y unas "reglas de inferencia".

La cuestión es que ambas cosas, axiomas e inferencias, son parte de "lo mismo".
Me refiereo a que, si uno quita algunos axiomas, pero agrega ciertas inferencias más o menos parecidas, al final se obtienen los mismos teoremas.
O sea, no hay una sola forma de definir lógicas, sistemas axiomáticos y razonamientos.
Hay varias maneras y procedimientos distintos que arrojan los mismos resultados.

Eso es lo que pasa con el sistema de Skolem.
Él se sacó de encima la lógica, pero definión las cosas de manera que se obtengan los mismos resultados.
A mí me simpatizaría más una matemática sin lógica, sino basada en números, porque por algo soy matemático... y peor aún, Pitagórico!!! jeje.
 :)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 17/08/2010, 01:08:38 am
Bueno, si, me refiero a esa idea. Me refería a ver si es posible usando solo las habilidades que enuncie (u otras similares ya que esas habilidades son cosecha propia, las improvisé en un rato de meditación) era posible construir un numeroso grupo de objetos bien ordenado y abstraer de ese grupo las propiedades necesarias (deben ser propiedades que tengan todos los objetos del grupo) para construir un conjunto similar al de los naturales. Trataba de ver si es posible construir los naturales en el seno del conocimiento intuitivo, ¿para qué? pues para justificar que pudieran usarse los números en metalenguaje, ó como bien dices, poder crear la aritmética fuera de la lógica. Quizás la segunda me guste más, aunque quizás sea algo rebuscado el argumento pero sí, los tiros iban por ahí. Ahora bien ... ¿como sería una matemático sin lógica, sin teorías de conjuntos, sin algebra de boole? Ya ahí creo que me pierdo.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 17/08/2010, 01:21:23 am
Bueno, dar a los números como la cosa más elemental, y seguir desde ahí, es la postura del "intuicionismo".
Aunque admiten ellos algo de lógica, sin aceptar el 3ro excluido.

Pero sólo números, sin lógica. No sé.
Habría que ver si el sistema de Skolem alcanza para desarrollar toda la matemática.

Lo que se me ocurre es que alguna lógica en algún momento será necesaria.
Eso puede definirse aritméticamente, pues el álgebra de boole no es otra cosa que un álgebra de máximos y mínimos con 2 elementos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 17/08/2010, 01:49:26 am
Alguna vez ha pasado por mi cabeza la idea, peregrina desde luego, de que el álgebra abstracta tiene muchos argumentos como candidata a pertenecer a los fundamentos de la matemática más que a la matemática misma, quizás ahí estuviera la clave, aunque no sé, algebra sin conjuntos es algo desde luego extraño. Yo me pierdo ya por esos caminos, no sé tanto como para aventurarme en una escalada libre, sin fiador y borracho como una cuba, ya me entiendes. En lugar de axiomas definiríamos operaciones entre elementos, aunque sin conjuntos no sé muy bien como meterle mano a la cosa ...  Desde luego el álgebra abstracta no necesariamente opera con números, opera con objetos y eso la hace adecuada para moverse con soltura con ciertas cuestiones. Podemos trabajar con el álgebra pero sin los números y eso es una gran ventaja. Quizás la aritmética pudiera construirse partiendo solo del álgebra, aunque habría que usar un sucedáneo para los conjuntos. ¿Podrían definirse los números naturales partiendo solo del álgebra? Quizás si.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 17/08/2010, 02:36:14 pm
Imaginemos un universo de objetos que podemos identificar y cuyas propiedades podemos percibir. Aceptaré los tres principos clásicos de la lógica matemática aunque los enunciaré en forma distinta:

1º.-Principio de identidad: Dos objetos que tienen iguales todas sus propiedades son el mismo objeto. En consecuencia dos objetos distintos no pueden tener las mismas propiedades.

2º.- Principio de definición: Un objeto necesariamente tiene ó no tiene una propiedad pero no puede tenerla y no tenerla simultaneamente. Es un agregado de los principios de no contradicción y del tercero excluido de la lógica.

Y ahora consideremos una primera estructura básica formada por un grupo de objetos, [texx]G[/texx], que comparten la propiedad [texx]A[/texx] y que están ordenados por la propiedad [texx]B[/texx], y representemosla mediante:

[texx]G(A,B)[/texx]

y denominémosla de forma general agrupación.

Tendríamos ya un primer germen de estructura algebraica, y podríamos empezar a trabajar con él. ¿No os parece? El juego consitiría en ver hasta donde podemos llegar desarrollando este modelo. Se trataría de irle dotando de propiedades y operaciones hasta conseguir convertirlo en algo que tuviera las propiedades de los números naturales, si eso fuera posible, claro. El paso más complicado quizás sea el salto al infinito, pero quien sabe ... aunque no podemos usar el concepto de conjunto creo que si podemos usar el concepto de recursividad, el de secuencia, etc.  Ya veremos.

Desde luego aquí no hay lógica, no hay conjuntos y no habrá números hasta que los construyamos.

Lo primero que podemos afirmar es que todos los objetos de una agrupación son necesariamente distintos, por estar estos ordenados (El orden en este caso no es el orden matemático clásico sino que hace referencia al criterio por el cual nuestra percepción es capaz de compararlos y distinguirlos). Lo que significa que nuestra percepción es capaz de establecer diferencias en cuanto a la propiedad con la que están ordenados y por lo tanto deben ser objetos distintos porque no tienen las mismas propiedades.

Lo segundo que podemos afirmar es que las propiedades que permiten ordenar los objetos de una agrupación deben tener la cualidad de ser matizadas, es decir, de asignar a cada objeto un cierto grado distinto al grado que se asigna a los demás objetos, por lo tanto los objetos que tienen esa propiedad la tienen con un cierto grado que es el que permite realizar las comparaciones oportunas. Ya veremos la forma de precisar como y de qué manera se establece dicho grado, de momento quedémonos con la copla de que dicho grado existe y nuestra mente es capaz de precisarlo.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 17/08/2010, 06:16:05 pm
Alguien mencionó aquí el hecho que la lógica pueda se aprendida, yo  creo que no 
Si bien ,por ejemplo
viviéramos en el espacio, diríamos;

Dejare el vaso en el aire y me propulsare de ida y de regreso.

Esta frase no tiene lógica en la tierra, y en este sentido puede que la lógica sea una intuición de la realidad en que vivimos en la tierra.
Pero existe otro pero al asunto y es el principio de causalidad. hasta que punto la causalidad es una intuición universal, Por que tan solo aceptar la no causalidad nos aterra .Es esta una intuición o es un condicionamiento racional del que no podemos salir

-Si esta uno sentado en la tierra y aparése luego de un segundo sentado en la luna

Nos párese imposible aceptar tal premisa bajo ningún punto de vista , y el solo hecho de vivir algo así da terror, siempre buscamos la causa de algo.
Pero será esta una ley universal, ¿Qué es la fuerza en física? Experimentalmente
es toda causa agente capaz de modificar la cantidad de movimiento  la forma de los cuerpos materiales. pero ¿que es esta causa o agente ?
La causalidad la aplicamos al espacio señalando que entes de algo hay algo ,que hay un ancho y alto ¿pero si el vacío existe realmente donde no hay nada?
La experiencia abre mas interrogantes y desafía nuestro entendimiento racional :banghead:



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 17/08/2010, 06:39:42 pm
Yo, que por lo visto debo ser el forista más intuicionista y pragmático de este foro (aunque no hace mucho que me he enterado), te diré, zonurb, que para mí el pensamiento racional no tiene sentido ni justificación si no se usa para comprender el mundo, no cabe duda que la experiencia es el único y mayor reto del pensamiento racional, que otra cosa podía desafiar a nuestra inteligencia sino es el propio mundo.

Saludos, Jabato. ;D 


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 17/08/2010, 07:55:46 pm
Nada hay más certero que la existencia de mi propio intelecto. No puedo dudar de él si no a través de el.

Cualquier otra cosa que diga será menos certera que ésta.

Claro, esta es una certeza personal, que no puedo compartir sin degradarla.
Mi certeza de la existencia de tu intelecto es menos segura.
Pero para conservar el grado de certeza, tengo que condenar el acerto a la inutilidad.

Para que un conocimiento sea útil es necesario socializarlo, y para socializarlo es necesario concensuar. Podemos hacer esto: Yo acepto el supuesto de que tu intelecto existe y tu aceptas el supuesto de que existe el mio. Y en un injustificado salto al abismo, ambos, tu y yo, podemos aceptar la existencia de todos los intelectos humanos y decir: El humano tiene intelecto.

Respecto a las capacidades de mi intelecto y el tuyo, también deberemos concensuar cuales son comunes a ambos, y en un injustificado salto al abismo, suponerlas comunes a las de todos los hombres.

Lo mismo podemos hacer con la forma como nuestro intelecto funciona: Concensuar las mínimas reglas de la razón que supondremos aceptadas por todos.

No hay otro modo.

Pero esto, así, ya lo hizo Aristóteles. ¡Ay! Maldito desgraciado.


Saludos.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 17/08/2010, 08:05:51 pm
Pues ese creo que era el último reducto de mi pensamiento racional fuera de la lógica, que si no ando muy errado acaba de salir volando por los aires. A lo mejor resulta que retomando el camino desde Aristóteles llegamos a algo serio, pero hoy no estoy por la labor. Así que creo que me voy a retirar a los cuarteles de invierno.

Bueno, ahora que lo he meditado con la almohada, si parece que Aristóteles fué consciente de que era necesario convenir unas mínimas reglas que acotaran el pensamiento racional, pero lo que seguro no hizo fue intentar utilizar el álgebra para construir los números naturales así que ese parece un camino inexplorado, de manera que sigue en pie el intento.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 18/08/2010, 08:39:28 am
Llegados a ese punto se me ocurren dos vía posibles para trabajar con agrupaciones:

a) PRIMERA VÍA: Intentar definir alguna ley de composición interna en las agrupaciones para dotarlas de estructura de grupo y poder trabajar así con la teoría de grupos.

b) SEGUNDA VÍA: Establecer algún tipo de transformación que nos permita ir añadiendo objetos indefinidamente a una determinada agrupación para hacerla tan grande como queramos y tratar de implementar algún esquema similar al de los axiomas de Peano para construir N

El problema del infinito: Por otro lado creo que deberíamos substituir el concepto de "infinito actual" por el concepto de "tan grande como queramos" que sería el equivalente al "infinito potencial", aunque este punto debemos meditarlo bien. Pienso que el concepto de "infinito actual" es un concepto demasiado sofisticado e inalcanzable como para ser utilizado aquí, pero a lo mejor el concepto de "tan grande como queramos", es decir el "infinito potencial" es equivalente al anterior (solo desde nuestro punto de vista) y es más accesible.

No sé bien las consecuencias que pudiera tener para la matemática hacer desaparecer en ella el infinito actual. Probablemente para la construcción de los números naturales sea indiferente una u otra clase de infinito, pero convendría meditarlo bien.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 19/08/2010, 03:51:07 pm
Pues no digo que sea verdad, pero me da la sensación como si al iniciar la travesía de la zona "pantanosa" me hubiran dejado solo. No sé, es solo una sensación pero no puedo evitar pensarlo.

-¡Hola!

-¿Hay alguien por aquí?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Elius en 19/08/2010, 05:09:32 pm
Hola, Jabato,
me parece muy interesante tu propuesta de tomar el álgebra como fundamento de la matemática, pero tengo algunas dudas.
Si partimos de
                        [texx]G(A,B)[/texx]

creo que estamos saltando sobre algunos supuestos, que darían lugar a la lógica de propiedades y a la teoría de conjuntos (aunque fuere ingenua).

Pues si hay objetos que tienen las propiedades A y B, tenemos que ser capaces de decir cuándo es el caso que un objeto q tiene la propiedad A o B. Y ya estamos en la lógica de términos o predicados de una variable.
Y el orden, ¿no presupone ya la sucesión natural? La noción de "sucesor" es más primitiva, creo yo, que la de orden, que presupone un conjunto cuyos elementos tienen esa relación binaria entre sí.

Tal vez puedas ayudarme a entender un poco más tu propuesta...  ::)

Saludos!

Elius




Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 19/08/2010, 05:41:25 pm
Bueno, lo que intentaba era suponer que nuestra capacidad de conocimiento presenta unas habilidades innatas que son comunes a todos los hombres, y que basándonos en esas habilidades podemos construir una estructura algebraica que pudiera, con los adornos necesarios, generar los números naturales. De manera que:

a) No hay lógica alguna ni TC (aunque en este caso se aceptan como válidos el principio de identidad, el de no contradicción y el del terero excluido pero descritos en la forma que se muestra en mi mensaje #166), ya que los supuestos de los que hablas no son necesarios puesto que se acepta (por real decreto) que somos capaces (nuestra mente es capaz) de identificar objetos, percibir sus propiedades, agruparlos, comparalos y ordenarlos, así como memorizarlos, recordarlos y abstraer de ellos sus propiedades. Lee por favor mi mensaje #151, en este mismo hilo.

b) Por tanto las colecciones de objetos no son conjuntos, y las "clases" (objetos que tienen una cierta propiedad) así como el orden que se muestra en esta propuesta no son los que habitualemente manejamos en matemática (no son objetos construidos con la lógica), son objetos consecuencia de las habilidades que se acepta que podemos realizar y punto.

La idea era pues, aceptando solo dos principios y un pequeño "pack" de habilidades, ver si fueramos capaces de construir los naturales partiendo de este punto y usando solo el álgebra abstracta, por la peculiaridad que tiene de no necesitar a los números naturales. Era simplemente un experimento, no es que pretenda plantear aquí una propuesta que ya sé a donde nos va a conducir, no tengo ni idea de adonde vamos por este camino (solo sé que parece ser un camino inexplorado), igual llegamos a un callejón sin salida que igual conseguimos construir [texx]\mathbb N[/texx] con todas sus propiedades, no lo sé.

En cualquier caso esta propuesta trataba de buscar la colaboración de todos para ver si el camino llegaba a alguna parte, no es una investigación mía ni nada por el estilo, yo me limité a mostrar un posible punto de partida para tratar de justificar la utilización de números en metateoría ó la posibilidad de fundamentar la matemática fuera de la lógica si acaso (el debate es ya muy largo), pero al parecer me quedé solo con el experimento.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 19/08/2010, 08:32:25 pm
Pues no digo que sea verdad, pero me da la sensación como si al iniciar la travesía de la zona "pantanosa" me hubiran dejado solo. No sé, es solo una sensación pero no puedo evitar pensarlo.

-¡Hola!

-¿Hay alguien por aquí?

De mi parte, ando ocupado en cuestiones laborales... he tenido poco tiempo.

Repaso tu lista:


a) identificar objetos

b) percibir sus cualidades

c) memorizar objetos

d) recordar objetos

e) agrupar objetos

f) comparar objetos

g) ordenar grupos

h) abstraer conceptos


Ya Elius te ha contestado diciendo cosas similares a las que yo hubiera dicho.

Repaso la lista a ver qué me inspira al verla:

Parecen demasiadas "habilidades", y algunas parecen por demás complejas, en el sentido de que ya se alejan de una intuición clara, inmediata, y universal.

La (a) no sé si es una habilidad o un "capricho" psicológico: uno "separa" la realidad en individualidades, pero no sé si la realidad amerita que uno le haga eso para entenderla mejor. Puede ser una estrategia errónea de conocimiento.

Como sea, la (a) me agrada, a pesar de todo eso, porque es de donde surgen las "unidades".

La (b) me parece muy complicada, porque no queda claro qué son las "cualidades" de un objeto.

La (c) y la (d) son lo mismo para mí, ¿o no?
En todo caso, dado que siempre estoy pensando en llevar todo a la "computadora" lo más rápido posible,
me parece relevante tener en cuenta la memoria.

Pero la memoria humana no sabemos bien cómo funciona, ni cómo es que recuerda las cosas.
No es lo mismo que una memoria de computadora.
Habría que pensar en alguna parte de nuestra habilidad de "memoria" que sea fácil de entender y que tenga relevancia matemática.

Por un lado, no me convence (c), porque no es algo "claro", pero siempre me ha preocupado considerar la cantidad de memoria disponible al efectuar una teoría.
En  metamatemática, en general se actúa como si no hubiera qué preocuparse por cuántos caracteres uno puede escribir, son ilimitados.
Pero creo que hay que meditar sobre ello.

La (e) parece esencial para poder construir un número concreto a partir de unidades, pero ¿qué es agrupar? ¿Se puede aceptar eso como un axioma de la mente?
No lo veo nada claro.

La (f) y la (g) ne suenan como equivalentes, pues ordenar y comparar van de la mano.
Mas, acá está el problema de que "comparar" es algo que se hace en un "sentido" antes previamente especificado.
Me parece un acto mental demasiado complejo como para ser axioma.

Finalmente el (h) me agrada bastante, y a pesar de que parece a simple vista una "payasada filosófica", ya que parece que no estás diciendo nada (o sea, ¿qué diablos es "abstraer"?),
resulta que es una habilidad clave de la mente.

Si (h) pudiera "formalizarse" o "sistematizarse" o "aclararse" de alguna manera, sería un gran logro,
y muchas veces he pensado en esto de "darle un símbolo" al "operador de abstracción".

Pero los riesgos de manejarse con conceptos así, son muy grandes.
Me refiero, a riesgos de caer en el palabrerío sin sentido, lejos de cualquier seriedad científica.





Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 20/08/2010, 03:04:38 am
Debo confesar que desestimo toda posibilidad de dar un inicio seguro para las ciencias formales sin caer como por un embudo al problema gnóstico general.

Yo ya he hecho ese viaje y he salido malherido, decepcionado y un tanto más confundido que antes del viaje.

¿Qué hemos de consensuar? ¿la lista de habilidades que enuncia Jabato? Pues bien para hacerlo necesitamos antes concensuar nuestra percepción de los conceptos utilizados para describir esas capacidades. ¿Qué es un “objeto”? ¿qué es “percibir”? ¿qué es “comparar”, “ordenar”, “abstraer”? ¿Despiertan estas palabras las mismas ideas en todos nosotros? ¿Cómo estar seguros? ¿Despiertan una idea clara en mi? ¿Cómo la clarifico?

Si no avanzamos hacia allí, deberemos escribir un grueso compendio de todo lo que aceptaremos como conocimiento común a todos los individuos. Y cuando lo hagamos, seremos arbitrarios e impresisos.

Si avanzamos hacia allí, rápidamente nos encontraremos preguntando si la realidad existe. Y comprobando que no hay como estar seguros. Y cuando lleguemos al meollo en nuestro viaje en pos de la certeza, nos encontraremos con algo así como un martillo una pinza y un destornillador; un simple conjunto de herramientas cuya existencia no se puede negar porque para hacerlo debemos utilizarlas: El intelecto. Pero no la idea del intelecto sino el intelecto como metaherramental inicial. Nada hay más atrás en el viaje hacia la certeza.
Pero construir algo a partir de allí, nos obligará a un viaje plagado de supuestos, cada uno de los cuales se incorpora para ampliar el tamaño del objeto estudiado, sumando a su vez sendas cuotas de incertidumbre que se incorporan con cada supuesto.

En un punto he comprendido que existe una suerte de relación inversa entre la certeza del conocimiento y su tamaño.

No hay un punto certero para el inicio de las ciencias formales y para saber qué cosa sería “suficientemente certero” solo tendremos siempre un conjunto (¡ay!) de opiniones personales.

Yo creo que el programa de argentinator es irrealizable, más aún, creo que la consigna es imprecisable.

Perdón por el pesimismo.

Sigan, sigan, no me esperen.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 20/08/2010, 03:11:09 am
Bien, trataré de defender mi posición, aunque vaya de antemano que solo fué una propuesta meditada solo durante un rato y no tengo tampoco ningún interés en mantenerla, así que en principio cualquer modificación podría ser perfectamente relevante.

Sobre la a) Identificar objetos: Creo que sería impensable cualquier clase de conocimiento si nuestra mente no fuera capaz de realizar tal cosa, de manera que no veo otra alternativa. Debe enfocarse como una fuente de información y no interesa aquí la forma en que la mente la realiza, solo que es capaz de realizarla. Siendo por otra parte una habilidad que realmente existe y que no puede cuestionarse, ya que no vemos el mundo como un todo indivisible, sino que lo percibimos como un agregado de objetos. En mi opinión creo que dicha habilidad debe mantenerse.

Sobre la b) Percibir sus cualidades: Tres cuartos de lo mismo que la anterior. Aunque en este caso la palabra "percibir" hace referencia al acto de estimular los sentidos, nada más. Las cualidades serían todo aquello que hace que seamos capaces de diferenciar un objeto de otro. Entiendo también que esta habilidad es necesaria para que exista conocimiento.

Sobre la c) y la d) Memorizar y recordar objetos: No hay inconveniente por mi parte en unificarlas, aunque sean en principio distintas habilidades. También me parecen imprescindibles para que exista conocimiento. Las dos habilidades se implementaron con vistas al uso de la experiencia, de los recuerdos. En esencia es una habilidad que nos permite "tirar de disco duro" y ver lo que tenemos ahí almacenado. Parece que en éstas estamos de acuerdo. Son necesarias aunque si lo prefieres como una sola habilidad.

Sobre la e) Sobre agrupar objetos: Hace referencia a la capacidad de establecer "relaciones" entre objetos que tengan alguna propiedad común, exactamente eso es agrupar. Agrupar es establecer una relación entre dos objetos que tienen una misma propiedad. Nuestra mente lo hace de forma asidua e incluso a veces de forma inconsciente. No estoy de acuerdo en que sea una habilidad compleja de la mente, sino más bien bastante simple. Entiendo que no deberíamos prescindir de esta habilidad ya que entonces sería imposible construir colecciones de objetos y perderíamos la capacidad de crear estructuras. Yo la mantendría. Aparte de la posibilidad, muy útil creo, de establecer clases de equivalencia a la hora de definir los números naturales, cuando lleguemos a eso y si es que llegamos.

Sobre la f) y la g) Comparar y ordenar objetos: Este es un tema complejo, que creo necesita un tratamiento especial, al igual que el problema del infinito al que dediqué unos parrafos ya. Si me permites omitiré comentarios ahora y después trataré de hacer un análisis más detallado, aunque considero que ambas habilidades, que efectivamente van de la mano, deben ser implementadas independientemente una de la otra, ya que la primera persigue poder decidir si dos objetos tienen la misma propiedad ó no y la segunda persigue establecer cual de los dos la presenta en mayor grado (falta aquí definir que significa la palabra "grado"). Ambas habilidades son necesarias en mi opinión.

Sobre la h) Capacidad de abstracción: El proceso de abstracción nos permite separar una propiedad del objeto que la presenta y hacer consideración independiente de una y de otro. Es digamos la "fábrica" de conceptos de nuestra mente. Abstraer está en el RAE así que no parece algo tan sofisticado, y el sentido en que se implementa esa habilidad aquí es precisamente ese. La capacidad de separar una propiedad del objeto que la tiene ("abstraer").

abstraer. (Del lat. abstrahĕre).

1. tr. Separar por medio de una operación intelectual las cualidades de un objeto para considerarlas aisladamente o para considerar el mismo objeto en su pura esencia o noción.


Te daré una muestra sencilla, de una pelota roja podríamos concluir por ejemplo tres conceptos distintos:

- pelota
- esfera
- rojo

Esa es la idea y es efectivamente fundamental en este análisis.



***



Creo que en ningún caso interesa analizar aquí la forma en que la mente es capaz de hacer todas estas cosas, solo nos interesa establecer que puede hacerlo, lo cual creo que no plantea demasiadas dudas, salvo quizás el caso de ordenar objetos, que creo que sí necesita un análisis más detallado.

Imagino, por otro lado, conociéndote como te conozco (me refiero aquí solo a argentinator), que te gustaría "formalizar" y "axiomatizar" estas habilidades u otras parecidas (debe ser alguna especie de deformación profesional, inseguridad ó vicio aprendido de los matemáticos esa manía de someterlo todo a reglas inamovibles ::)). Sobre la formalización habría que establecer antes algún lenguaje formal y personalmente no me gusta la idea por el parecido que tendría tal cosa con la lógica (imagino que recuerdas qué motivó este experimento), y sobre lo de convertirlas en axiomas tampoco me gusta la palabra axioma ya que hace referencia a algo en principio incuestionable y esto no lo es en absoluto, preferiría decir que se conviene, se acuerda, y no necesariamente de forma permanente y universal, aunque de esto último no estoy demasiado seguro, dependerá de si lo que buscamos es justificar el uso de los números en metalenguaje ó fundamentar toda la matemática fuera de la lógica (ardua tarea). Si te parece seguimos meditando otras alternativas a estas de la formalización, aunque si deseas hacer un intento de formalizar tales ideas pues tu mismo, eres muy dueño.

Se vé que de esta forma todo el bagaje necesario para justificar el conocimiento procedería de la observación del mundo, de la experiencia, y no existiría nada platónico en ello, aunque imagino que habría otras ciencias que tendrían mucho que decir al respecto, pero así planteado estaríamos claramente enmarcados dentro del intuicionismo ¿no es eso?.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 20/08/2010, 08:11:43 am
Hola Cristian C, voy a tratar de contestarte lo más claro que pueda, a ver si soy capaz:


¿Qué hemos de consensuar? ¿la lista de habilidades que enuncia Jabato? Pues bien para hacerlo necesitamos antes consensuar nuestra percepción de los conceptos utilizados para describir esas capacidades. ¿Qué es un “objeto”? ¿qué es “percibir”? ¿qué es “comparar”, “ordenar”, “abstraer”? ¿Despiertan estas palabras las mismas ideas en todos nosotros? ¿Cómo estar seguros? ¿Despiertan una idea clara en mi? ¿Cómo la clarifico?


- Un objeto es cualquier cosa que seas capaz de imaginar.
- Aunque ya he contestado a eso una percepción es cualquier cosa que estimule tus sentidos.
- Agrupar es relacionar dos objetos que presentan la misma propiedad.
- Comparar en relación con una propiedad es decidir si dos objetos tienen la misma propiedad ó no. 
- Ordenar es decidir de entre dos objetos cual debe aparecer antes en un proceso de ordenación.
- abstraer, ya puse antes la acepción que debe aceptarse aquí de su definición académica.

Estas palabras probablemente no despierten las mismas ideas en todos nosotros, pero sí tienen un significado claro para cada uno. ¿Cual es el problema?

Si no tienen un significado claro para ti es tu problema, pero puedes estar seguro de que tu mente hace estas cosas y ni tan siquiera te pide permiso para hacerlas, las hace de forma automática, instintiva, de manera que el pensamiento racional no influye en esa actividad, es pura intuición.

Imagínate un corredor de atletismo de 400 mts vallas que tuviera que andar analizando los pros y los contras de ejecutar un movimiento en base al análisis racional de las percepciones que reciben sus sentidos, ¡resultaría ridículo!

Otro ejemplo serían los jugadores de ajedrez, se sabe que la mayor parte de los movimientos en una partida de ajedrez se ejecutan en base a la experiencia, recuerdos de otras partidas anteriores, y a la intuición, y que solo se realizan verdaderos análisis de las jugadas en una proporción muy pequeña del conjuto total de jugadas.

En esencia lo que se busca es poder construir una agrupación, es decir un colectivo de objetos que comparten la propiedad [texx]A[/texx] y están ordenados por la propiedad [texx]B[/texx], objeto que representaré como ya dije por:

[texx]G(A,B)[/texx]

y que todos podremos construir si aceptamos esas habilidades como válidas. Y llegados a este punto, ya podemos abstraer de ese objeto que hemos construido el concepto de agrupación, primer concepto abstracto de esta peculiar teoría.

1.- Agrupación: colección de objetos que satisfacen la propiedad A y están ordenados por la propiedad B

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 20/08/2010, 09:41:25 am
El problema de la ordenación: Este problema puede resolverse con cierta facilidad si admitimos que existe dos tipos de percepciones, las percepciones absolutas que permiten establecer si un objeto presenta tal ó cual propiedad y las percepciones relativas que permiten establecer la forma en que dos objetos satisfacen una determinada propiedad, de manera que ante una percepcion relativa entre dos objetos podremos afirmar cual de los dos objetos presenta la propiedad de que se trate en mayor ó menor grado. Es cierto que nuestros sentidos son capaces de percibir matices hasta un cierto límite, dentro del cual podemos resolver, pero a partir de un cierto límite necesitamos habilitar recursos que nos permitan ampliar nuestra sensibilidad, pero nada nos impide, creo, considerar que las máquinas en general y especialmente los instrumentos de medición y los sensores puedan ser una extensión de nuestros sentidos. Creo que esto zanja la cuestión de momento.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 20/08/2010, 11:26:35 am
Desde luego una cosa sí parece clara, y es que hay un camino inexplorado que "parece" conducir a nuestro objetivo, y que como mínimo debería ser analizado por los expertos con la debida meticulosidad. No me considero un experto ni nada que se le parezca en tales tareas así que es improbable que pueda llegar mucho más alla de lo conseguido hasta ahora, pero ahí queda lo expuesto por si alguien quiere recoger el testigo. Los resultados solo el tiempo puede decir si serán los esperados ó no hay salida en este callejón, pero que merece la pena intentarlo, de eso no me cabe la menor duda. Una matemática sin teoría de conjuntos podría ser muy deseable, ó en todo caso disponer de unos fundamentos mejor ordenados de la lógica tampoco me parece que fuera un objetivo a despreciar, en cualquier caso salvo que alguien tenga interés en seguir jugando a este juego yo lo dejaré estar aquí, dicen que como muestra bien vale un botón.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 20/08/2010, 11:42:16 am


Yo ya he hecho ese viaje y he salido malherido, decepcionado y un tanto más confundido que antes del viaje.

¿Qué hemos de consensuar? ¿la lista de habilidades que enuncia Jabato? Pues bien para hacerlo necesitamos antes concensuar nuestra percepción de los conceptos utilizados para describir esas capacidades. ¿Qué es un “objeto”? ¿qué es “percibir”? ¿qué es “comparar”, “ordenar”, “abstraer”? ¿Despiertan estas palabras las mismas ideas en todos nosotros? ¿Cómo estar seguros? ¿Despiertan una idea clara en mi? ¿Cómo la clarifico?




Yo tengo algún grado de esperanza, por ello ago hincapié en la experiencia
Talvez haya cosas que no sea posible definir de momento .Pero sabemos que es lógica hemos avanzado bastante en ese sentido ,no queda claro que es crear, intuición etc
Yo creo que se hace necesario entrar en la robótica ,se necesitan sentidos ,es decir
La interacción con el mundo real ,luz ,formas etc. luego crear un código que interactúe con la lógica  y la realidad concreta 
Por ejemplo
Tenemos una copa en una mesa.
Nosotros percibimos la luz , pero es nuestra mente la que ordena y emitimos un juicio la copa esta sobre la mesa ,nuestra mente necesita reconocerlo ,un computador podría disponer de un algoritmo de reconocimiento tridimensional y luego buscar en una memoria.
Se podría trabajar en algún grado de verdad rudimentaria

Otro problema son las motivaciones internas que hace que nos fijemos en la puerta o en una lámpara y esto cambia el enfoque de la verdad, no  podríamos fijarnos en la lámpara si se nos esta cayendo el techo encima . ???
Pero en cualquier caso tengo que incluir los sentidos y la lógica que conozco y ver que ocurre entere estos dos polos si se puede decir.

 ::)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 20/08/2010, 09:46:00 pm
Cristian: Entiendo perfectamente tu posición, de hecho, no estoy buscando una base filosófica de la matemática con certezas de tipo "ontológico", sino solamente considerar dos o tres (y no muchas más) "intuiciones primitivas" en las que todos tengamos consenso o acuerdo.

De hecho, eso ya existe, todos tenemos acuerdo matemático en ciertas intuiciones básicas, como las reglas lógicas y los números naturales....

Los intuicionistas basan la matemática en "intuiciones" justamente, pero para asegurar que esas intuiciones no se van por el lado de la locura, ellos mismos las restringen a "unas pocas" que les dan "certidumbre".

Pero además creo que estás sobreentendiendo cosas de "mi proyecto" que no son tales.

* Mi proyecto es entender la lógica y la metalógica y/o metamatemática en su estado actual.
* Cuando intento aprender sobre el tema, encuentro ambigüedades e imprecisiones en los autores.
* Encuentro que aceptan "intuiciones" (o "metalenguaje") que son demasiado "fuertes", tienen tanta fuerza que ya no pueden aceptarse como "metateoría", porque son intuiciones que provienen de la experiencia matemática, y más aún "experiencia sesgada", porque como matemáticos han trabajado bajo cierto paradigma (lenguajes de 1ro o 2do orden, teoría de Zermelo-Fraenkel, etc.).

Vos dijiste algo como esto: "NO es posible evitar unas intuiciones básicas que son herramientas con las cuales no queda más remeido que usarlas sin buscarles más fundamentos".

Y yo estaría de acuerdo con eso, "si fuera verdad que esas intuiciones son comunes a todos".
No es cierto, porque "son ambiguas".

Si un intuicionista hace un libro de metamatemática y teoría de modelos, usa una intuición de númros naturales y de conjuntos, que es distinta a uno que viene "acostumbrado" a la teorái de Zermelo-Fraenkel y el infinito actual de Cantor.

Si vas a usar herramientas básicas, tienen que tener el mismo sentido para todos, cuando menos.
Y si no, al menos aclarar el alguna parte lo que estás haciendo.

Pero como nadie piensa en lo que hace, le dan para adelante, y no son concientes de los "abusos" teóricos que hacen.

Lo que pretendo es que haya una teoría "normalizada, ordenada y precisa" en el mundo de la "metamatemática".
Porque "denuncio" que no la hay, que es todo un desastre, y por negligencia humana, no porque no se pueda.

No es un problema filosófico, sino de conducta. (Aunque hay cuestiones filosóficas que aparecen, seguro, pero creo que no hay que ir tan lejos para solucionar ciertas cosas).

Los errores de conducta que veo son estos:

* Se usan "números naturales" en la "etapa previa a la matemática", incluso antes de dar cualquier sistema de formalización de los números naturales.
Esto es bochornoso, porque como ya hemos mostrado en posts anteriores, hay muchas teorías axiomáticas distintas de los números naturales.
Cada una pretende entender qué son los números naturales, pero lo hacen de forma diferente, y lo peor de todo: "con consecuencias diferentes".

VOs decís: los núneros naturales son una herramienta y punto: usémoslos.
Bueno, pero ¿cuáles son los números naturales que estamos usando: los de Peano, los de Cantor, los de Skolem, los de Brower, los de primer orden, los de 2do orden escritos en lenguaje de 1er orden, los de 2do orden escritos en lenguaje de 2do orden?

La noción de "número natural" no es una "herramienta básica" admisible, porque es "muy ambigua".

No es sólo cuestión de deicr: "los números son 1, 2, 3, ...", porque en los "metateoremas" se usan muchas propiedades importantes de los números: el orden, la inducción (que tiene varias versiones de "poder demostrativo" distinto, según el caso), las propiedades de la suma y el producto...

Esas propiedades son distintas en cada sistema, el algunos valen, en otros no.
El principio e inducción no se puede usar sin un contexto perfectamente especificado, porque en cada teoría de números naturales que se proponga, el principio de inducción tiene una versión diferente, que especifica claramente "a qué tipo de enunciados se puede aplicar la inducción matemática".

En metamatemática no hay forma clara de especificar eso, y se puede usar libremente...
¡Y eso está mal!
Está mal porque la inducción es equivalente a decir que todo conjunto de naturales tiene mínimo.
Y entonces podemos cosntruir enunciados en "metalenguaje" que tienen la forma de la Paradoja de Richards:

"El mínimo natural que se define con menos de 100 caracteres".

Así que no puedo aceptar que venga un "lógico", y escriba un libro que "alegremente" comience diciendo:

Para cada número natural n, una relación n-aria es blahb blah blah.

O peor, que se ponga a "calcular" longitudes de "enunciados de los lenguajes de primer orden", y que haga teoremas en los que hay algún tipo de "conteo".



Otro concepto que se usa con "abuso" en los libros de metamatemática es el de "finito" e "infinito".
Eso no es gratis.
No hay una noción clara de "finitud" e "infinitud".

Y entonces, no es honesto usar esas palabras en un "metalenguaje" en forma alegre y despreocupada.

Si uno define "finito" como aquello que es coordinable con 1, ..., n, algún natural n, ...
ya está usando los números naturales, y toda la ambigüedad que viene con ellos.

Pero peor aún, se habla de lenguajes o modelos "numerables", "más que numerables" como si todo eso tuviera un sentido claro y preciso.

Yo desafío a cualquiera a que "no es capaz de probar que todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinito numerable".
¿Podrías probarlo con rudimentos del metalenguaje?
¿Cuánta teoría de conjuntos hay que usar pàra probar eso?

Y más importante: ¿qué noción de infinito estás usando?

Si se usa la noción de que "infinito es un conjunto que continene un subconjunto equipotente con N",
resulta que habrá conjuntos finitos, infinitos, y quizá otros inclasificables...
Porque nadie puede probar que todo conjuntos es sólo o finito o infinito.

No con esa definición por lo menos (a menos, claro, que suponga un axioma tan profundo y abstracto como el axioma de elección).

Uno puede usar las definiciones de finito e infinito del estilo de Dedekin: infinito es el conjunto equipotente con alguna parte propial

En ese caso los conjuntos son o finitos o infinitos, no hay lugar a dudas (si es que vale el 3ro excluido de la logica, jeje).

Pero entonces desafío a cualquiera a que sea capaz de probar que el conjunto de partes de un finito es también finito.
O cosas más básicas como por ejemplo que todo conjunto infinito tiene un subconjunto numerable.

O sea, no está claro que el mínimo cardinal infinito sea el numerable.
Ni tampoco se puede probar que un conjunto finito es equipotente con 1, ..., n.

No se puede, a nenos que uno empiece a ver que el problema es serio, y entonces se ve obligado a "meter axiomas de una teoría de conjuntos, cuidadosamente elegidos", y que ya no tienen nada de "básico".

No son herramientas confiables, porque son ambiguas, complejas y confusas.
Y su complejidad se ha desestimado.



Además en metateoría de habla de "conjuntos" de tales y cuales cosas.

La noción de conjunto es ambigua y sólo puede usarse sin riesgos con una adecuada teoría formal.
No es algo utilizable en el metalenguaje, en donde vale usar "lenguaje natural".

En primer lugar: los axiomas clásicos de la teoría de conjuntos no determinan "cuáles son todos los conjuntos", así que hay "modelos" de "universos de conjuntos" que se comportan muy distinto.
Las investigaciones de Skolem son un ejemplo de eso.

Leyendo por ahí he visto que Skolem ha construido "modelos" para la teoría de conjuntos donde todos los conjuntos son numerables, o del cardinal que a uno le guste.
¿Y entonces, de qué diablos estamos hablando?

La palabra "conjunto" no tiene nada de básico, y no es aceptable como herramienta "intuitiva" o de uso común, o punto de partida.

También son ambiguos los cardinales de conjuntos, porque en "disintos modelos" aparecen cardinales que unos modelos están, y en otros no.



Es una cosa de locos.

IMaginate que una reunión de físicos se ponen a discutir la geometrái del Universo.

Uno dice que los ángulos de un triangulo suman 180, (geometría euclidiana)
otros dicen que suman 270, (geometría esférica)
y otros que siempre suman menos de 180. (otras geometrías no euclidianas).

Imaginate ahora que yo tengo que escuchar y entender lo que dicen, y encima creérmelo.
Lo peor de todo, es que a pesar de las visibles contradicciones y ambiguedades, parecen estar todos de acuerdo, y se entienden...

No puede ser: así como en geometría, cada geometría dsintinta genera universos distintos, y se obtienen conclusiones distintas,
en teoría de conjuntos o de axiomas de los naturales, ocurre lo mismo.

Se obtienen situaciones distintas, consecuencias de las propias asunciones que hace cada autor, y que uno tiene que más o menos adivinar.

Si no se puede usar la intuición para fundamentar la lógica, mucho menos se pueden uasr las cosas que se usan comunmente, porque son un desastre.

¿O acaso estoy yo tan confundido y no entiendo de qué se trata el tema?
Quisiera estar confundido y equivocado, pero... por ahora sigo pensando que es todo un desastre.

Y en el medio de ese desastre está Godel.
A pesar de que Godel hace razonamientos "arriesgados" (o sea, no estoy seguro de si todo lo que hace es "estrictamente lógico").
Pero en todo caso, Godel es uno de los pocos que concreta bien lo que hace:

* Asume un lenguaje y una teoría, y con ella decide hacer metateoría sobre "otra" teoría matemática (que la misma en realidad).

No todo el mundo mantiene la claridad en esto, y las cosas se disparan por todos lados.

Y después están los que usan álgebras de reticulados para los "modelos", usan álgebra universal para la metateoría, o teoría de categorías.
Todas estas cosas no son gratuitas, hay que aclararle al lector los "riesgos" de usar esas herramientas.

Además, son herramientas demasiado complejas y poderosas, no hay garantía alguna de consistencia, sino todo lo contrario, hay mucho riesgo de inconsistencia lógica.

¿Y entonces?

Yo no hablo tanto de un "proyecto" como de una "actitud honesta", me quejo de un problema científico humano.

Lo que lamento de mí mismo es que estoy demasiado "en pañales" como para proponer una alternativa a esto mismo de lo que me quejo.
Hay mucho que estudiar, y encima con todo ese desorden en los libros, peor será.
Pero me parece que como matemáticos, si bien no podemos definir todo, sí tenemos la obligación de trabajar en terrenos y con conceptos sin ambigüedad,



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 22/08/2010, 06:10:10 am
Me voy a permitir hacer solo un apunte más. Si yo ahora construyo una agrupación basada en las dos siguientes propiedades:

A: Es objeto pensado

B: De dos objetos de la colección aparece antes aquel que fué pensado antes.

Podría construirse así una agrupación de la que formaran parte cualquier colección de objetos del mundo (reales ó imaginados) y en la que dichos objetos estuvieran ordenados por el mismo orden en que fueron pensados. Es claro que por muy grande que fuera dicha agrupación siempre podríamos añadir un nuevo objeto y obtener así una nueva agrupación.

Pues creo que ya está, esto nos permitiría construir facilmente los números naturales.

Aunque me parece que podríamos simplicar todo el proceso dicendo simplemente que (cualquiera de nosotros) podemos construir una colección de objetos pensados, todos ellos distintos entre si, y ordenados en el mismo orden en que fueron pensados y aceptar que siempre podemos pensar en un nuevo objeto y añadirlo a la colección. El conjunto será tan grande como queramos (aparece aquí el concepto de infinito potencial), tendrá un primer elemento, estará totalmente ordenado con un buen orden y satisfará el principio de inducción, y por lo tanto parece que dicha colección debiera satisfacer los axiomas de Peano. Ya tenemos pues los números naturales en puertas, construidos solo con las habilidades de nuestra intuición, y sin lógica ni teoría de conjuntos.

Esto quizás podría justificar, en mi modesta opinión, y siempre con el permiso de argentinator ¡por supuesto!, que un lógico manejara los conceptos de número y de infinito potencial en metateoría, aparte de otras consideraciones que pudieran derivarse relacionadas con los fundamentos de la lógica y la matemática.

Ahora bien, teniendo en cuenta que los naturales pueden construirse partiendo de la intuición y que no necesitan ni a la lógica ni a la matemática para ser construidos, y que por lo tanto estarían disponibles para ambas disciplinas podríamos plantear aquí dos interesantes preguntas:

¿Podría fundamentarse toda la lógica en solo cuatro principios elementales: la existencia de los naturales y los principios de identidad, de no contradicción y la existencia del infinito potencial?

¿Podría fundamentarse toda la matemática en solo cinco principios elementales: la existencia de los naturales y los principios de identidad, de no contradicción, del tercero excluido y la existencia del infinito potencial?



[texx]\boxed{\boxed{\left .\begin{array}{rrr}\\\mathbb{L\acute OGICA}\quad\longleftarrow{}\quad\left\{\begin{array}{ccc}\textsf{Existencia de los naturales}\\\\\textsf{Principio de identidad}\\\\\textsf{Principio de no contradiccion}\\\\\textsf{Existencia del infinito potencial}\\\end{array}\\\\\textsf{Principio del tercero excluido}\textsf{ }\textsf{ }\textsf{}\textsf{ }\\\textsf{ }\end{array}\right\}\quad\longrightarrow{}\quad\mathbb{MATEM\acute ATICA\ \ }\right\}}}[/texx]


¡Ah! ¡Quien lo sabe! Pero a mi la intuición me dice que sí.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 22/08/2010, 02:47:57 pm
Bueno, no sé por qué me pedís permiso, habrá sido una broma!!!

El sistema que has descrito es muy parecido a la matemática intuicionista.
Así que, en cuanto a tu pregunta de si esos elementos que describiste alcanzan para fundamentar la matemática,
ya se sabe la respuesta: NO.
El motivo es que hay resultados muy útiles en la matemática que necesitan más "potencia" o "poder de axiomas", y el intuicionismo es demasiado débil.

Es todo un dilema.
Si uno trata de quedarse con pocas cosas que sean "seguras" intuitivamente, pierde fuerza.
Si se gana fuerza, se entra en ambigüedades y círculos viciosos (esto según yo, porque no parece que haya otra gente que me dé la razón en mis múltiples quejas).

Pero es mejor tener algunas cosas que sean "seguras" en el sentido que fuere, y así poder seguir.

Ahora, si el intuicionismo alcanza o no para un "metalenguaje", no lo sé.

Mas te puedo otra vez criticar que no queda claro que estás queriendo decir con "principio de inducción".
Decir que de un número se obtiene siempre otro siguiente que es distinto... es un principio de "recursión".
O de "creatividad recursiva".

Pero la inducción es algo que se usa como un "método de demostración", ya sea matemáticas o metamatemáticas.
Cuando se hace una demostración matemática, se especifica con claridad a qué tipo de sentencias se aplica la inducción y cómo trabaja: sentencias de primer orden, conjuntos, propiedades (en una teoría de 2do orden).

Y eso es porque cuanto más se permite hablar a la inducción, más fuerte se pone.
Pero siempre es una decisión del "arquitecto" de axiomas.
¿Con qué criterio asigna uno más o menos fuerza a los razonamientos por inducción, sino más que el libre albedrío?

Mas cuando en metalenguaje se usa "libremente la inducción", se cae en paradojas, si no se restringe la potencia de dicho principio.
¿Alguien sabe cómo "graduar" la potencia del axioma de inducción para que no dé paradojas?
Supongo que nadie sabe.

Y además, de nuevo, no hay un concepto único de números naturales.
Justamente por la fuerza de la inducción.

Si hay más o menos fuerza... es que son sistemas distintos, no son todos "los mismos números naturales",
son todos objetos distintos, e identificarlos como si todos fueran "lo mismo" es la gran falacia de la que me quejo.

¿Se entiende que se habla de cosas distintas cada vez que alguien pronuncia las palabras "números naturales"?
Cada vez que hablamos de ellos, estamos hablando de algo distinto que la vez anterior, y que los demás dicen, y lo que uno mismo dijo alguna otra vez.


Por eso digo que es algo ambiguo.
Porque si fuere siempre "lo mismo" en algún sentido, no me quejaría de que es ambiguo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 22/08/2010, 02:49:59 pm
Lo que pusiste en la llave de "LOGICA" es quizá lo mismo que el "intuicionismo".

Cuando los intuicionistas buscaban "intuiciones básicas seguras", han caído en lo mismo que vos, ejeje.
Debe haber algo de cierto en esto, entonces. mmmm


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 22/08/2010, 03:13:22 pm
- Por supuesto que lo de pedirte permiso fué solo un comentario jocoso que trataba de amenizar la velada, nada más. Fué una inocente broma.

- Pues no sé si estoy reproduciendo aquí exactamente el esquema del intuicionismo, tampoco me preocupa demasiado, lo que si sé es que estas ideas se enmarcan bien dentro del intuicionismo y que salieron ellas solas de mi cabeza, son originales mías, no las he leido en ninguna parte.

- Por otro lado la existencia del infinito potencial nos permite establecer que yo siempre pueda añadir un objeto a cualquier colección de objetos que tenga previamente establecida, por lo tanto por ese lado no hay problemas.

- Respecto a que cada uno tengamos una idea (¡ojo! que no un concepto) de cuales sean los naturales tu y yo ya hemos discutido largamente ese tema, llegando a la conclusión de que actualmente, con la lógica y las TC, eso también es así, por lo tanto no veo problemas en ello. Quizás lo que haga falta sea establecer con precisión el paquete de propiedades que debieran tener (cosa que hasta ahora no he hecho), incluida la versión de la inducción que debería ser satisfecha en este caso, para que aunque cada uno de nosotros tengamos una representación distinta de los naturales, sin embargo, todos manejemos el concepto de la misma forma, en base a sus propiedades, que estarían así bien establecidas, pero yo creo que eso es prefectamente posible, solo falta hacerlo.

- Respecto al tema de la inducción debería pensarlo mejor, pero bastaría considerar cual es la forma más adecuada de inducción a esta teoría y establecerla de forma natural en el proceso de construcción de los naturales. Yo, desde mi punto de vista, no veo que haya dificultades para eso.

- En cualquier caso piensa que lo que estoy haciendo es diseñar una versión "previa" de los naturales, llámalos "pre-naturales" si lo prefieres, una versión intuitiva, para que pueda ser utilizada en cualquier entorno, incluso fuera de la lógica y de la matemática, en metateoría, pero nada nos impide elaborar después una nueva versión más perfeccionada de dichos números, con todos los adornos que quieras, para ser utilizada en el seno de la matemática, pero eso ya no sería objetivo de esta teoría sino de la matemática propiamente dicha, ¿no te parece?

- Y además todo esto de la construcción de los naturales salió de la SEGUNDA VIA de las dos que contemplé en mi mensaje #171, la PRIMERA VIA iría por otro camino distinto que sería dotar a las agrupaciones de la estructura de grupo, estableciendo alguna LCI, y continuar por el camino de la Teoría de grupos para tratar de fundamentar la matemática en el álgebra abstracta, tema que con seguridad está inexplorado y que creo que merecería algún chequeo también.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 22/08/2010, 06:24:00 pm
El problema de la construcción de los números naturales: Veamos ahora una de las posibles formas de construir los números naturales, soslayando el problema de la inducción, y de manera más acorde con mi forma de pensar al respecto.

Yo alguna vez he defendido en este foro la postura de que los números naturales pueden verse como cada una de las clases de equivalencia de todos los conjuntos biyectivos entre sí. Aprovechando la propiedad de que en una agrupación no existen objetos repetidos, no pueden existir, cabe la posibilidad de establecer así los conceptos de relación y de aplicación entre agrupaciones, conceptos paralelos a los que la matemática clásica establece entre conjuntos, y llegaremos a establecer así los conceptos de aplicación inyectiva, sobreyectiva y biyectiva (entre agrupaciones). No es difícil hacerlo. Bien, pues ya tenemos creado el concepto de número natural como cada una de las clases de equivalencia de todas las agrupaciones biyectivas entre sí, aunque como no es posible la existencia de una agrupación sin objetos, en este caso el cero no sería número natural, empezaría la cuenta en el 1, pero creo que no hay problema en eso.

Desde luego ésta no es la única forma de hacerlo, hay más, pero no me voy a complicar demasiado la existencia. Estos números, llamémoslos pre-naturales para evitar confusiones, serían una abstracción más que suficiente para la metateoría, y su refinamiento, caso de ser necesario, sería ya una cuestión de tipo lógico-matemática que por lo tanto no nos afecta aquí.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 23/08/2010, 03:53:50 am
Realmente, visto desde este punto de vista, la matemática no es más que una variedad de la lógica, con sus principios, sus símbolos, su lenguaje formal, sus reglas de inferencia y sus axiomas. Quizás la matemática es mucho más flexible en sus reglas y admite distintos lenguajes formales según el caso, pero no se aprecia gran diferencia realmente. Así pues el problema de los fundamentos de la matemática no es más que el problema de los fundamentos de la lógica. Tan resbaladizo es el terreno que pisa una como la otra.

Entonces no tenemos nada, ó más bien nada más que la intuición para intentar dar una base sólida a ambas. Por mucho que corramos acabaremos llegando a conceptos parecidos a los que yo expuse en este debate. Incluso aunque tratáramos de dar fundamento a la matemática en el seno del álgebra abstracta, que no sé si tan siquiera es posible, siempre deberíamos partir de unos conceptos preliminares que solo podrían basarse en la intuición, y sin posibilidad de ser formalizados.

Por lo tanto el camino más directo es sin duda acotar y precisar los conceptos intuitivos que podemos usar (yo propondría que fueran los mismos en ambas disciplinas y basados en las habilidades innatas de nuestra mente), y a partir de ahí iniciar el proceso de la inferencia lógico-deductiva. Los conceptos intuitivos que yo expuse aquí son solo un ejemplo, por supuesto que hay otras muchas opciones y probablemente mucho mejores que la mía, pero no veo otras salidas al problema de fundamentar el pensamiento racional que apoyarnos en los conceptos que es capaz de generar nuestra mente sin pedirnos permiso, ó lo que viene a ser lo mismo:

"No tenemos otra que fundamentar el pensamiento racional en el pensamiento irracional"

lo que no deja de ser una curiosa opción, sin embargo sí podríamos fundamentar el pensamiento irracional en otras ciencias no deductivas tales como la biología, la psicología, la física, etc, que serían las que nos dicen la forma en que somos capaces de crear conceptos para después razonar con ellos, lo que como alternativa aún resulta ser mucho más ... ¡insólita!.

Resumiendo, los conceptos más elementales que podamos usar no pueden ser conceptos formales, deben ser conceptos intuitivos, y por lo tanto la base de todo razonamiento se encuentra en la forma en que somos capaces de aprehender (en el sentido más académico de la palabra) dichos conceptos sin emitir juicio de ellos. El razonamiento viene después, antes debemos aprehender una serie de conceptos elementales para elaborar con ellos el juicio (determinar su naturaleza y sus propiedades) y posteriormente proceder a razonar con ellos:


INTUICIÓN         [texx]\longrightarrow{}[/texx]         JUICIO         [texx]\longrightarrow{}[/texx]         RAZÓN


Por ejemplo, captamos el conceto de agrupación (construimos distintos ejemplos y de ellos abstraemos el concepto). Posteriormente realizamos el juicio sobre tal concepto, estableciendo (axiomáticamente) las propiedades que debe tener y que le caracterizan, y por último lo utilizamos para razonar. Idéntico proceso para los conjuntos, los puntos y rectas de la geometría, los números y otros elementos intuitivos (no formales) de la lógica y la matemática. Tal y como yo lo veo no hay escapatoria a este proceso.

¿A alguien se le ocurre otra forma de hacerlo?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 26/08/2010, 09:51:42 am
Ahora bien, hay dos cuestiones que en mi opinión suponen un avance claro respecto de lo que teníamos antes de este debate. Si en metateoría aceptamos la existencia del infinito potencial y de los números pre-naturales, y mantenemos los principios fundamentales de identidad y de no contradicción, junto con el concepto de agrupación (en lugar del de conjunto) construido en la forma que aquí se expuso dispondremos de unos pilares suficientemente sólidos ("suficientemente sólidos" no quiere decir inamovibles) para fundamentar la lógica, y en consecuencia la matemática, en unos principios ordenados y acordes con la naturaleza humana.

El desarrollo de la lógica a partir de este punto y la aceptación del principio del tercero excluido nos debería de conducir a una matemática muy parecida, sino idéntica, a la que hoy disfrutamos todos. Pero con fundamento (como dice el Arguiñano ;))

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 27/08/2010, 11:32:25 pm
Respondiendo al la pregunta del título del thread:
Tengo un esquema mental de las matemáticas liviano por desconocimineto, pero creo que hay que arrearle un fuerte tirón de orejas a Cantor, y dedicar un fuerte aplauso a Gödel.
Aventuro sin prudencia que Gödel quitó la razón a Cantor.

Hale. Espero opiniones a favor o en contra de estas tesis.

¿Alguien más opina que ambos temas están en íntima relación?


Un saludo


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 28/08/2010, 12:03:27 am
Bueno, Godel realmente a quien quitó la razón no fué a Cantor, sino a todos los matemáticos que creyeron en el proyecto de fundamentar la matemática solidamente y convertirla en un sistema completo en el que todas las verdades fueran demostrables, que no es un proyecto de Cantor sino de Hilbert. Godel lo que ha hecho realmente con sus famosos teoremas (son dos) es demostrar que el proyecto de Hilbert está condenado al fracaso (aunque aún parece que existen ciertas reticencias ó indicios de que podría no ser correcta esa demostración). Aunque formalmente esta aceptada como válida. Pero podría haber alguna sorpresa en el futuro, bueno eso siempre es posible, incluso en lógica ó matemática.

Hilbert trató seriamente de fundamentar la matemática de forma incuestionable y Cantor basicamente resolvió el tema del infinito actual, un problema muy antiguo y de dificil solución, de hecho aún hoy se considera que está sin resolver completamente, debido a varias cuestiones pendientes tales como la hipótesis del continuo, etc. Incluso yo mismo no comparto algunas cuestiones relativas a la cardinalidad de los conjuntos que definió Cantor (aunque realmente no trato de compararme con él, por supuesto, el fué un gran matemático y yo solo soy un aficionado), tema que ya se ha debatido largo y tendido en este foro. Aunque a la vista de este otro debate sobre fundamentos de la matemática y metalógica verás que tanto un asunto como el otro aún podrían dar mucho de sí en el futuro, incluso con sorpresa incluida, como en el roscón de Reyes.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 28/08/2010, 02:47:51 pm
Bueno, Godel realmente a quien quitó la razón no fué a Cantor, sino a todos los matemáticos que creyeron en el proyecto de fundamentar la matemática solidamente y convertirla en un sistema completo en el que todas las verdades fueran demostrables, que no es un proyecto de Cantor sino de Hilbert. Godel lo que ha hecho realmente con sus famosos teoremas (son dos) es demostrar que el proyecto de Hilbert está condenado al fracaso (aunque aún parece que existen ciertas reticencias ó indicios de que podría no ser correcta esa demostración). Aunque formalmente esta aceptada como válida. Pero podría haber alguna sorpresa en el futuro, bueno eso siempre es posible, incluso en lógica ó matemática.

Sí, son dos, el de incompletitud, que se deriva de de la indecidibilidad del enunciado G, derivable pero no decidible, y el de consistencia, que se deriva de que el enunciado de la consistecia del sistema es derivable también, e igualmente indecidible.

Se dice que el problema de la decisión de la verdad o falsedad de la G de un sistema lógico finitista y etc. etc. es equivalente al problema de la parada (http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_parada) de la eventual máquina de Turing que decidiese si las máquinas de Turing se detienen o no, en la ejecución de un programa determinado. El input de Parada (T(n)) es T(n) y el programa que se carga en T(n).

No existe dicha eventual máquina, porque puesta a resolver el problema de su propia parada, no puede decidir si debe detenerse o no.

Se dice que esta máquina es equivalente siempre a algo que entiendo que se trata de la comprobación -o decisión- del argumento diagonal de Cantor (http://es.wikipedia.org/wiki/Diagonalizaci%C3%B3n_de_Cantor), por medios mecánicos, en un tiempo finito. Entiendo que esto consiste en intentar resolver con una lógica finitista si se puede dar una lista exhaustiva de los reales con los números naturales, y que lleva finalmente a la necesidad de construír un bucle del tipo: "Ejecútate hasta que no termines".

Cita
Hilbert trató seriamente de fundamentar la matemática de forma incuestionable y Cantor basicamente resolvió el tema del infinito actual, un problema muy antiguo y de dificil solución, de hecho aún hoy se considera que está sin resolver completamente, debido a varias cuestiones pendientes tales como la hipótesis del continuo, etc. Incluso yo mismo no comparto algunas cuestiones relativas a la cardinalidad de los conjuntos que definió Cantor (aunque realmente no trato de compararme con él, por supuesto, el fué un gran matemático y yo solo soy un aficionado), tema que ya se ha debatido largo y tendido en este foro. Aunque a la vista de este otro debate sobre fundamentos de la matemática y metalógica verás que tanto un asunto como el otro aún podrían dar mucho de sí en el futuro, incluso con sorpresa incluida, como en el roscón de Reyes.

Gracias a Cantor, descubrí un infinito muy grande. Lo eché al macuto y, según que ando el camino voy levantando todas las piedras en busca de uno mayor. Hasta la fecha no he encontrado uno mayor, ni tampoco otro infinito distinto del que llevo en mi macuto.

Tengo para mí que, con todos los respetos por el trabajo de Cantor, que me parece admirable, acabó sexando angeles, o dirimiendo el problema del huevo y la gallina, y que Gödel vino a decirle más o menos que para decidir sobre el sexo de los ángeles trajese toda la colección, para sentarse con él y sexarlos uno a uno, antes de decidir, y que antes de decidir sobre si el huevo fue primero que la gallina -o viceversa-, aportase primero al menos el primer elemento de la serie huevo/gallina o gallina/huevo. Creo por tanto que hay una diferencia entre decir "Sean..." o "Dados..." y que efectivamente dichos conjuntos sean, o nos hayan sido dados.

Sé que hay parches axiomáticos, la axiomática de ZF, pero esta se compone de un número finito de axiomas y sospecho mucho; en ella se enuncian cosas como el axioma del conjunto vacío, que debe ser único por el axioma de extensionalidad.
Y después se procede a enunciar todos los números naturales a base de contar ocurrencias del conjunto vacío. No lo entiendo bién.

Esta es, mal que bién expresada, la relación que veo entre el teorema de Cantor y los teoremas de Gödel, y la manera en que creo que Gödel contradice de alguna manera las matemáticas basadas en los muchos infinitos de Cantor, con ZF.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 28/08/2010, 04:40:40 pm
No creo que haya demasiada relación entre el trabajo de uno y de otro. Cantor en esencia lo único que hizo fué establecer una clasificación de los conjuntos infinitos y demostrar que había más de una clase (para ser exactos demostró que había infinitas clases, aunque no sé precisar aquí si los números transfinitos son un conjunto numerable, continuo ó incluso de mayor cardinalidad). Esto parece que tendría relación con la hipotesis del continuo.

En cualquier caso Godel ni ha dicho ni ha desdicho nada al respecto, salvo la demostración de que la hipotesis del continuo es un posible axioma de la TC(ZF), aunque como también es posible demostrar lo mismo para su negación pues ....

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 29/08/2010, 07:10:12 am
Todo tiene relación con Cantor.

Godel por ejemplo, "construyó" un modelo de conjuntos (a partir del vacío, el conjunto que sólo contiene al vacío, y así sucesivamente siguiendo por recursión transfinita...) en el cual no sólo valen los Axiomas usuales de la Teoría de Conjuntos, sino también vale la Hipótesis Generlizada del Continuo.

Pero hay gente que vino después, y construyó sistemas donde no vale dicha H.G.Continuo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 29/08/2010, 06:00:25 pm
Bueno, todo depende del enfoque que queramos darle a las cosas. Realmente la teoría de conjuntos original tiene ya poco que ver con las modernas teorías axiomáticas, y quizás la cuestion más relevante de toda la matemática de Cantor y que aún subsiste virgen fué su definición de cardinalidad y los famosos números transfinitos (que llevan implícitos la definición cantoriana de infinito). Es a eso cuando me refería que Godel no habló de esas cuestiones ó si lo hizo no modificó de forma significativa tales conceptos, que siguen siendo los mismos que los de Cantor. Los conceptos relacionados con el infinito, y no con la teoría de conjuntos. No cabe duda que en matemática todo está relacionado y no es fácil modificar algo sin que afecte a otros muchos conceptos. Pero bueno solo fué un matiz tratando de explicar lo que dije, ya que podríamos debatir realmente de forma independiente cada uno de los tres temas (fundamentos, infinito y TC) sin necesidad de tocar los otros dos, salvo alusiones, así que también es posible considerar los tres problemas como relativamente independientes, claro que con todos los matices que queráis, de entrada os acepto cualquier cosa que digáis al respecto.

¿Porqué tengo que aceptar la existencia de los conjuntos y mucho más la de los conjuntos infinitos? ¿Quien me asegura que tales entes existen?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Ser Humano en 29/08/2010, 08:06:38 pm
 :o Definitivamente éste tema fue concurrido, en mi prolongada ausencia, más de lo que me había imaginado. Voy a procurar hacerme un rato para ponerme al tanto de lo que se comento, y volver a participar.

Saludos  ;)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 29/08/2010, 11:32:00 pm
Tengo una duda respecto a este tema  sobre todo respecto a Cantor y su definición de conjunto, iba a preguntarle a Lauluna ase tiempo pero pensé alo mejor meto la pata . :-[
Debería callarme hasta no tener una idea mas clara al respecto pero también se que las opiniones de los demás ayudan

Un conjunto es una colección de objetos por objeto aquí no debe entenderse sólo las entidades físicas, como las mesas y las sillas, sino todo objeto en el sentido más amplio de la palabra: mesas, sillas, personas, ideas, creencias, lenguajes, letras, otros conjuntos, etc. A los objetos que pertenecen a un conjunto se los llama miembros o elementos del conjunto.
La definición de conjunto según la entiendo es todo aquellos  objetos materiales como piedra ,planeta galaxia seres vivos ,silla y todos aquellos objetos como ideas si se le puede llamar objetos pero en cuanto existen se les puede llamar objetos .
El problema que se me presenta es :
-Si tengo los objetos extramentales  objetos materiales reales ; sol planeta árbol, casa  etc.
-Objetos mentales ; ideas, pensamientos ,juicios .
Yo desde mi juicio mis ideas y mi pensamiento puedo decir cual es el conjunto de todos los objetos externos conocidos por ejemplo ; el conjunto de todos los objetos del universo, y siempre estará bien definido ,porque los árboles por ejemplo  son un subconjunto del planeta .etc..
Sin embargo, si hacemos un poco de ficción y pudiéramos medir cada uno de nuestros pensamientos en el tiempo, (teniendo en cuenta que los juicios están dentro del pensamiento)o mejor aun si tuviéramos una maquina que pensara  ,luego le preguntáramos cuantos pensamientos  as tenido las ultimas  24 horas y la respuesta tiene que ser dada antes del segundo anterior a las 24 horas cumplidas ,el ultimo juicio o pensamiento quedaría afuera.
Supón que a tenido 100 pensamientos, y la maquina dice  a son 100+1 ,pero cuando emite este juicio no son 100+1 si no 100+1+1 

El sujeto en si o la maquina esta incapacitada para referirse a la totalidad de sus juicios ,pero si lo pude hacer un agente externo a el y si se pudiera el ultimo juicio quedaria exculido .

Siempre abra un juicio que queda excluido . ???


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 30/08/2010, 12:24:13 am
Bueno, Zonurb1, veo un problema... por llamarlo así, en las cosas que decís.
Pienso que tenés muchos "preconceptos".

La definición de conjunto que estás dando no sé si es la de Cantor.
Pero quizá se parece, y tomada así, es una noción errónea, porque, como bien apuntó Russell, se puede pensar en conjuntos patológicos, como por ejemplo: "aquel conjunto que contiene a todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos".

Un tal conjunto conduce a paradojas, porque es contradictorio pensar tanto que él mismo pertenece a sí mismo, como que no.

También el conjunto de todos los conjuntos conduce a paradojas, ya que no puede determinarse si pertenece o no a sí mismo.

Otro "preconcepto" en las cosas que estás diciendo es que "todo puede cuantificarse" o "contarse", como por ejemplo, "los pensamientos".

¿Quién dijo que "los" pensamientos son individuales?
Puede que sea más preciso decir que hay un "flujo continuo de actividad pensante".

Pero en verdad no se sabe esto tampoco.
Así que ¿conjunto de pensamientos? mmmm

¿Conjuntos de objetos? ¿Existen los objetos "de a uno"? ¿O sólo existe el capricho de separar la realidad en objetos individuales?

En fin...



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 30/08/2010, 03:09:25 am
Hay una cuestión que nunca se ha comentado, creo, y que me parece que debe decirse. En lógica y en matemática se acepta el principio de identidad y el de no contradicción por definición, si eso es así podemos considerar como objeto cualquier ente (físico ó no) siempre que cumpla tres condiciones:

1ª Que sea un ente pensado (es importante en mi opinión, aunque no lo parezca a primera vista, porquer el conjunto de todos los objetos no es necesariamente numerable, pero el conjunto de todos los objetos pensados es finito, potencialmente infinito si aceptamos que siempre podemos pensar en un nuevo objeto, pero a lo sumo será un infinito numerable).

2ª Que satisfaga el principio de identidad. Dos objetos son iguales si y solo si tienen las mismas propiedades.

3ª Que satisfaga el principio de no contradicción. Un objeto no puede tener y no tener una propiedad al mismo tiempo.

Los objetos que no satisfacen las tres condiciones anteriores no pueden ser objetos lógicos (ni matemáticos) ni ser objeto del estudio de dichas ciencias. Por lo tanto los objetos que son contradictorios en si mismos, es decir, que por propia definición tienen y no tienen al mismo tiempo una cualidad no pueden ser objetos de la lógica ni de la matemática y no debíamos tenerlos en consideración bajo ningún concepto en un debate como éste. La paradoja del mentiroso (la frasecita de marras "esta frase que estás leyendo es falsa", ó su versión con atenienses "todos los atenienses son mentirosos" dicha por un ateniense claro) ó las de Russel, "el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a si mismos", ó simplemente "el conjunto de todos los conjuntos" son ejemplos claros de objetos que no deberíamos tener en cuenta a la hora de razonar, porque claramente violan el principio de no contradicción, son contradictorios en si mismos y como consecuencia de ello no pueden nunca ser objetos del razonamiento deductivo, porque siempre nos conducirán al absurdo.

Es imposible razonar con objetos como estos:

1 = 2       Un perro verde que no es verde             una colección de objetos que nunca han sido pensados        etc.


Este texto es de Wilkipedia:

Cantor partió de la convicción platonista de que era posible “comprimir” una colección o conjunto de objetos y considerarla como un todo (o mejor dicho, como una sola entidad), y al parecer, aceptando implícitamente los supuestos siguientes:

(i) Un conjunto es una reunión de objetos que cumplen con cierta propiedad (llamados los elementos de ese conjunto) y que, por tanto, queda definido por tal propiedad.
 
(ii) Un conjunto es una sola entidad matemática, de modo que puede a su vez ser contenido por otro conjunto.
 
(iii) Dos conjuntos que tengan los mismos elementos son iguales. Así, puede decirse que un conjunto está determinado por sus elementos.


Claramente insuficientes desde la persepectiva de las TC modernas. Quizás Cantor debió haber sido más específico en esta cuestión (bueno, quizás no, seguro) e incluso haber añadido algunas más a las propiedades de los conjuntos que aquí aparecen y nos hubiera ahorrado muchos quebraderos de cabeza, aunque claro Cantor no tuvo la perspectiva que tenemos hoy día de la teoría de conjuntos (ni nada que se le parezca), aunque ya bastante hizo con lo que hizo, que fué mucho.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 30/08/2010, 07:48:36 pm
Una cosa debo decir, después de mis últimos mensajes. Parece que es posible construir los números naturales desde fuera de la matemática, e incluso desde fuera de la lógica (acabo de hacerlo en este mismo hilo, ante vuestros propios ojos), es decir sin usar lenguajes formales ni teoría de conjuntos, ni tan siquiera axiomas, tan solo reconociendo unas pocas funciones de nuestra mente, nada nuevo que no supieramos ya, y con tres principios elementales que a nadie con dos dedos de frente se le ocurriría negar, principio de identidad, principio de no contradicción y la existencia del infinito potencial. Esas han sido mis únicas armas y he conseguido construir los números naturales (para ser exactos un conjunto que satisface todos sus axiomas según se definen en el seno de la matemática).

¿Eso no cambia ningún planteamiento dentro de la lógica ó de la matemática? ¿Es que lo que hice lo hice mal y nadie me dice nada? Y ¡ojo! que dije construir no intuir. Los intuicionistas aceptan su existencia como un principio más, pero eso no es lo mismo que construirlos, creo. Lo que más me asombra es que ni lógicos ni matemáticos de este foro hayan hecho ni el más mínimo esbozo de desacuerdo con mis planteamientos. Estoy seguro que algo debería andar desajustado ó necesitará algún retoque en mi exposición, quizás algún matiz, alguna imprecisión. ¿No? ¿Nada? ¿Todo está perfecto? ¡Uy! que raro, como diría Murphy, no me lo creo.

Pero bien, supongamos que fuera cierto y que puede hacerse, aunque no necesariamente en la forma que yo lo hice, pero sí, supongamos que puede hacerse. Entonces cabe ahora una pregunta:

¿Para qué necesita entonces la matemática a la lógica y a la teoría de conjuntos? Con la aritmética, el álgebra y poco más sería suficiente para desarrollar todo lo que sigue a los naturales. Es una opinión tan válida como cualquier otra pero ... yo lo veo así. La razón sería evidente, si podemos fundamentar la matemática en la lógica, pero no podemos fundamentar la lógica en otra cosa que no sea la intuición, simplificamos considerablemente evitando los lenguajes formales de la lógica, las teorías axiomáticas de conjuntos y apoyando la matemática directamente en las fuentes del razonamiento puro, que están más allá de la lógica, están en la intuición, el sentido común y en la propia naturaleza humana, por supuesto siempre desde la vista que desde aquí se ve. Con lo que acabaríamos concluyendo que la Lógica y la Matemática son hermanas y no madre e hija como parece que se nos quiere vender, siendo además que la segunda es mucho más hermosa.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 30/08/2010, 11:53:16 pm
Si a la pregunta ¿cual es el conjunto universal de juicios ?la respuesta es un juicio

El conjunto en si no es un juicio, porlo tanto no es miembro de sí mismo

Por ejemplo;
-el conjunto de todas la peras de una cesta , lo podríamos llamar el conjunto universal de las peras
-el conjunto de todas la manzanas de la misma cesta  lo llamamos el conjunto universal de las manzanas
El conjunto universal de la fruta,  incluye a las peras y las manzanas los cuales son subconjuntos .

Pero si me refiero por ejemplo a

1+1=2                                                       ( es una operación matemática, pero a la vez es un juicio)
Pedro es mayor que Juan porque  nació antes  (es otro juicio)
El conjunto universal de los juicios es 100        (es otro juicio)

Y cuando uno se hace la pregunta cuantos elementos o juicios constituyen el conjunto universal de juicios y si mi respuesta es 100 estoy equivocado porque es 100 +1 .

Yo creo que este problema responde a algo físico, porque  cada cosa ocupa un lugar en el espacio , dos manzanas no pueden ocupar el mismo espacio .

La idea de conjunto es una idea abstracta , a su ves decir cuantos elementos hay en un conjunto es un juicio, y cada juicio necesita de un tiempo y de un espacio.

El ultimo juicio no lo puedo contabilizar dentro del conjunto porque ocupa un tiempo y un espacio, y solo me puedo referir a los juicios anteriores que ocupan espacios y tiempos distintos .

¿Puede ser algo no enumerable en absoluto ?,puesto que de la perspectiva humana podríamos medir  en  teóricamente el conjunto de las células de un árbol o sus átomos ,no resultan medibles porque resultan casi infinitos .parece que todo lo externo a nosotros es potencialmente medible o numerable
Pero los juicios pueden ser 100 0 50 y aun así no me resulta numerables.

No se a veces pienso que todo estaría bien si las piedras me dijeran cuantas locas ideas he tenido hoy?    :-\



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 31/08/2010, 01:51:37 am
Unas cuantas zonurb, puedes estar seguro. ¿Porque el conjunto universal de juicios tiene que ser todos los juicios, incluido éste último? En las teorías modernas el conjunto universal no es más que un contenedor, uno cualquiera, que contiene a todos los juicios con los que vamos a razonar, que no son necesariamente todos los juicios. Lo que estás diciendo es un trabalenguas, pero no es un problema lógico.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 01/09/2010, 05:30:41 pm
Lo que yo se de Cantor, el trato de elaborar una teoría ,que explicara las matemáticas como parte del universo independiente de cómo nosotros la pudiéramos ver ,Cantor era además profundamente religioso .
Supuestamente todo lo que vemos , todo lo que nos rodea tendría que estar explicado por la teoría de conjuntos ,no podría escapar nada ,de esta forma las matemáticas no serian una visión subjetiva humana de la realidad.

Todo esto es aparentemente cierto nosotros estamos contenidos en el planeta y este en algo mayor  y aquí esta presente el significado de pertenencia
Pero mi inquietud nace de la pregunta ¿si la verdad excite , tiene que existir mas allá de nosotros mismos ?es decir el mundo no solo debe ser medido por nosotros como espectadores del mundo ,sino también al revés nosotros debemos ser medidos por el mundo .
-Es como la teoría geocéntrica en posición a la teoría heliocéntrica

Si es el juicio quien mide al mundo, el juicio debe ser medido por el mundo

Y esto ultimo no ocurre porque transgrede un principio básico de la materia ,”toda materia ocupa un lugar en el espacio”
Por ejemplo una regla puede medir las demás cosas pero no pude medir se así misma ,
porque tendría que ocupar el mismo espacio

Un juicio no puede dar cuenta de si mismo, porque esta inserto en un espacio y un  tiempo determinado

Esta es mi postura no se si entiendo ??? bien a Cantor .


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 01/09/2010, 06:06:12 pm
Bueno, la historia ha puesto de manifiesto que la TC original, la de Cantor, planteaba muchos problemas, por las paradojas sobretodo. Probablemente si hubiera vivido durante más tiempo él mismo la hubiera perfeccionado, ya que fué un gran matemático, eso nadie lo duda, pero no pudo acabar de resolver algunas de las paradojas que él mismo identificó.

En cualquier caso demostrar que hay distintos infinitos, unos mayores que otros, fué uno de los mayores logros de la historia de la matemática y su TC, ó mejor diversas versiones mejoradas de la suya, constituyen hoy uno de los pilares fundamentales de la matemática, así que no cabe duda que su obra es fundamental para la matemática moderna. Fué un incomprendido en su época, y aunque murió loco, no puede afirmarse que siga siéndolo hoy.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 01/09/2010, 07:09:45 pm
Sobre el infinito actual: Cabe aquí hacerse una pregunta, que al menos yo no tengo demasiado clara. Y es sobre la existencia del infinito actual en la matemática.

Parece que el hilo conductor que condujo a Cantor a establecer distintas categorías de infinito fué el descubrimiento de los números reales. ¿Podemos cuestionarnos su existencia? Pues hay algunos flecos sueltos con el tema de los reales, no sé si habeis leido el debate que se originó en este foro recientemente sobre los números indefinibles, y en el que creo que se llegó a una conclusión válida y es la de que por mucho que lo intentemos nunca podremos determinar (identificar, establecer de forma unívoca) el valor de una cantidad continua de números reales, sino tan solo de una cantidad a lo sumo potencialmente numerable.

Hoy en día podemos buscar otros argumentos basándonos en el teorema de Cantor, por ejemplo, el conjunto de las partes de [texx]\mathbb N[/texx] es continuo (ó mejor de cardinalidad mayor que numerable), pero también le podemos aplicar el mismo criterio que a los números indefinibles. No tengo demasiado claro como se demuestra la existencia del infinito actual en la matemática moderna, y me gustaría oir algunas opiniones al respecto, ya que parece que los matemáticos no tienen duda de que tal cosa existe, pero ... ¿es posible demostrar su existencia como ente abstracto? No sé cual es el razonamiento que conduce a tal demostración, pero si aceptamos las objeciones relativas a la numerabilidad de los pensamientos, parece que no debería ser fácil concluir que tal grado de infinitud existe. ¿Existe donde? En nuestra mente no. Está claro que si solo podemos razonar con un conjunto a lo sumo numerable (y solo potencialmente numerable) de ideas abstractas, de conceptos (lo que ya de por sí es mucho), entonces ... ¿podemos afirmar realmente que exista algo en nuestra mente (indivudual ó incluso colectiva) que tenga una cardinalidad mayor que la de potencialmente numerable? Yo diría que no, pero entonces ... los conjuntos continuos que maneja la matemática donde deberían estar si no es en nuestra mente. Aquí ya vuelvo a andar algo perdido. ¿Realmente podemos pensar en un conjunto infinito? ¿Y si no podemos pensar en él entonces como podemos afirmar que tal concepto existe si no es de forma potencial? ¿No estaremos hablando del sexo de los ángeles sin darnos cuenta de ello?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 02/09/2010, 12:43:29 am
Jabato: El infinito "actual" se deduce de los axiomas de la teoria de conjuntos estándar, ya sea que tomes ZFC o Morse-Kelley, o NBG.
Son todas teorías "casi iguales", cualquiera de ellas se puede tomar como "estándar" para la matemática actual.

Esos axiomas están colgados en aquel hilo fijo en el subforo de lógica, en el que ya has participado.
Incluso están escritos en su versión "estrictamente lógica" (abrir los spoilers), o sea, en lenguaje de 1er orden.

Si a esos axiomas se agregan los axiomas de la lógica que siempre usamos, y el método de inferencia de Modus Ponens, se puede probar cualquier cosa que hoy día sea "teorema" en matemática (salvo, quizá, algunas excepciones concernientes a asuntos realmente muy abstractos...).

O sea que esos axiomas contienen toda la potencia de la matemática "usual" moderna,
incluyendo a los infinitos "actuales".

Quizá te queden dudas acerca de los infinitos no-numerables, como el de R.
Pero recordarás que R puede construirse por varios métodos a partir de Q (por ejemplo, cortaduras de Dedekind).

Si bien R conviene definirlo concretamente por Axiomas,
para que esos axiomas no hablen de "delirios sin sentido",
hace falta demostrar, como vos estás exigiendo,
que realmente "existe" un sistema de números reales.

Eso se hace mediante las construcciones típicas, que construyen R a partir de Q (las hay muchas: cortaduras de Dedekind, sucesiones de raciones, intervalos encajados).
Todas esas construcciones son válidas en las teorías ZFC y demás que he nombrado.
No se salen de ahí los métodos, inventos, y construcciones realizadas.

Mas, (un modelo de) Q puede construirse a partir de (un modelo de) Z,
y (un modelo de) Z puede construirse a partir de (un modelo de) N.

Así que todo el problema es ahora construir realmente un modelo de N en las teorías de conjuntos estándar.

Bueno, eso es casi trivial, porque el "Axioma del Infinito" establece la existencia de un conjunto que "se comporta como N".
Lo hace por decreto, como buen axioma que es.

La existencia de un infinito numerable "actual" es por decreto.
Esa es su prueba  :P de existencia...
¿O acaso pensabas construirlo "agregando unos", al mejor estilo intuicionista?

Date una vuelta por ese hilo, y fijate en la lista de Axiomas.
Verás que el Axioma del Infinito es muy explícito: dicta por decreto que hay un conjunto que tiene propiedades muy similares a las de N.
Eso es lo que hace, muy cobardemente.

Pero todos los demás "infinitos actuales" pueden construirse a partir de N, y usando, claro está, la potencia de los demás axiomas.
Eso es "constructivo" ya, y no "decreto", pero lleva más trabajo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 02/09/2010, 12:45:12 am
Aunque sabiendo que hay un N (infinito numerable), se obtiene trivialmente toda una lista inacabable de infinitos "actuales" de orden superior, con tal de tomar simplemente P(N), P(P(N)), etc.

Y es que se usa el "Axioma de Partes", y un teorema clásico que demuestra que para todo conjunto A, el cardinal de A es menor estrictamente que el de P(A).


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 02/09/2010, 01:12:00 am
Claro, claro, yo hasta ahí ya llegaba, creo, pero la cuestión que yo planteaba es algo más sutil, ya que lo que yo me he cuestionado antes (aunque quizás no lo he explicado bien) es la forma en que se pasa de un [texx]\mathbb N[/texx] infinito potencial a un [texx]\mathbb N[/texx] infinito actual, que es quizás donde está el meollo de la cuestión. Si es por real decreto pues ya está, aclarada mi duda, pero los reales decretos no garantizan que no estemos hablando del sexo de los ángeles. También podemos establecer como axioma que existe un planeta en el que viven dragones rojos decorados con topitos azules.

Así que resulta que los matemáticos resuelven los problemas filosóficos de fondo a base de axiomas, no está mal pensado. Pero entonces decir que el problema del infinito actual es un problema resuelto por Cantor resulta ciertamente eufemistico:

1º.- El infinito potencial nadie lo cuestiona, así que no hay problema con él.

2º.- El infinito actual existe porque así se establece.

Problema resuelto.

En cualquier caso me basta como respuesta para el debate pero ... no sé ... quizás convendría replantearse algunas cosas.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 02/09/2010, 01:45:06 am
El infinito acutal existe por decreto.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 02/09/2010, 03:40:42 am
Está claro argentinator, ahora bien desde esta perspectiva podemos establecer una sutil diferencia entre los números pre-naturales (los saco a colación solo de forma puntual y como ejemplo) que construí unos mensajes atrás y los naturales, [texx]\mathbb N[/texx], construidos por ejemplo con los axiomas de Peano en el seno de la TC. Los primeros son potencialmente infinitos (no podemos construir agrupaciones infinitas aunque sí tan grandes como queramos) y los segundos son actualmente infinitos, ya que dichos axiomas (los de Peano) establecen que si existe un conjunto que los satisfaga entonces ese conjunto es [texx]\mathbb N[/texx] y es infinito, pero por el axioma de infinitud se concluye que al menos existe un conjunto que los satisface, luego ya tenemos en el ámbito de la existencia el infinito actual (por real decreto, sí, pero establecido).

Algunos comentarios: Cuando en matemática decimos existe (ó usamos el símbolo [texx]\exists{}[/texx]), ¿donde debemos entender que se produce esa existencia? ¿En nuestra mente? Creo que es en nuestra mente, sí, ¿dónde sino?. Entonces la existencia de infinitos objetos debería ser potencial, no puede ser actual debido a las limitaciones propias de nuestra naturaleza como especie biológica. Pero el axioma de infinitud establece que nuestra mente es capaz de contener un conjunto infinito porque afirma que existe un conjunto [texx]X[/texx] tal que si contiene al elemento [texx]x[/texx] entonces contiene también al elemento [texx]\{x\}[/texx] y, sinceramente, eso es más que cuestionable (en lo que concierne a las habilidades de nuestra mente desde luego es imposible). Todo lo que se deduciría de esa conclusión repercute en el razonamiento de forma directa y nos lleva a cuestionar el concepto matemático del infinito actual y la verosimilitud del axioma de infinitud. ¿Lo aceptamos como axioma?, bien, pero seamos conscientes de qué es lo que realmente estamos haciendo cuando aceptamos como válida tal afirmación. El axioma puede establecerse pero las conclusiones a las que se pueda llegar algún día con él podrían alejarse bastante de una lógica digamos ... razonablemente compatible con la naturaleza humana ó incluso con "mentes artificiales", computadoras, inteligencia artificial, etc.

La resolución del problema del infinito actual (aparte de las soluciones por decreto) pasa en todos los casos por la consideración de si nuestra mente es capaz de abstraer un tal concepto ó no. De si podemos realizar el salto de lo potencialmente infinito a lo realmente infinito. ¿Podemos? Una buena pregunta. Desde luego si nuestra mente es capaz de hacerlo no es vía percepción. Podemos abstraer propiedades de objetos percibidos que realmente las tienen. Los conceptos rojo, redondo, etc son conceptos abstraidos de la percepción de objetos que realmente eran rojos ó redondos. Pero ... ¿de donde saldría la abstración del infinito? Solo se me ocurren tres posibles respuestas:

a) O bien procede de la percepción de lo potencialmente infinito. ¿Quien no se ha sentido fascinado alguna vez por la contemplación del cielo, plagado de estrellas, una noche clara de verano ó por la idea de vivir eternamente? Esta respuesta admite pues la posibilidad de que, de la observación del mundo, nuestra mente sea capaz de abstraer un tal concepto, y por lo tanto se aceptaría aquí la existencia del concepto de infinito actual en la forma en que lo describe el axioma de infinitud. Aceptamos la existencia (en nuestra mente) de al menos un conjunto infinito, aunque no necesariamente tendría que ser el que se establece en dicho axioma. Podría ser cualquier otro y no necesariamente numerable aunque eso modificaría algunos aspectos de nuestra matemática. Sería interesante investigarlo.

b) O bien es un concepto inherente a toda la especie humana, y proviene de nuestra memoria colectiva. Ya lo traemos incorporado cuando venimos a este mundo. Es un concepto "atómico", no basado en los conjuntos, y no haría referencia a un conjunto infinito sino más bien a un concepto más bien relacionado con el concepto de objeto que con el de conjunto (no sé si me explico). Sería necesario replantear la forma en que se introduce un tal concepto en la matemática, no como extrapolación del infinito potencial al infinito actual, sino más bien como algo existente más alla de lo finito. Como una entidad independiente que tiene unas ciertas propiedades y a la que podemos hacer referencia. Los números transfinitos como números que existen más alla de los naturales, la extensión clásica de los reales con los elementos [texx]\pm{\infty} [/texx], los puntos del infinito en geometría, etc.

c) Y la tercera opción sería negar el concepto de infinito como abstracción, y concluir que el infinito actual no existe, tal y como hacen los intuicionistas, por ejemplo.

¿Cual de las tres es la más correcta? no lo sé, sinceramente. Parecería que desde un punto de vista intuitivo la primera sería la más coherente ya que plantea una evolución natural de la percepción humana, y desde un punto de vista racional quizás la segunda fuera la más adecuada. La tercera me parece una postura demasiado forzada, antiintuitiva diría yo. Pero a primera vista cualquiera de las tres parece posible. La TC admite la primera como válida, bien, pero no es la única opción y desde luego no es la más racional.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/09/2010, 12:15:20 am
Y llegado a este punto debemos modificar el esquema que os propuse hace algunos mensajes:

Cita de: Jabato

[texx]\boxed{\boxed{\left .\begin{array}{rrr}\\\mathbb{L\acute OGICA}\quad\longleftarrow{}\quad\left\{\begin{array}{ccc}\textsf{Existencia de los naturales}\\\\\textsf{Principio de identidad}\\\\\textsf{Principio de no contradiccion}\\\\\textsf{Existencia del infinito potencial}\\\end{array}\\\\\textsf{Principio del tercero excluido}\textsf{ }\textsf{ }\textsf{}\textsf{ }\\\textsf{ }\end{array}\right\}\quad\longrightarrow{}\quad\mathbb{MATEM\acute ATICA\ \ }\right\}}}[/texx]



ya que es necesario incorporar en él el infinito actual para poder construir la matemática tal como la conocemos hoy:


[texx]\boxed{\boxed{\left .\begin{array}{rrr}\\\mathbb{L\acute OGICA}\quad\longleftarrow{}\quad\left\{\begin{array}{ccc}\textsf{Principio de identidad}\\\\\textsf{Principio de no contradiccion}\\\\\textsf{Existencia del infinito potencial}\\\end{array}\\\\\textsf{Principio del tercero excluido}\textsf{ }\textsf{ }\textsf{}\textsf{ }\\\\\textsf{Existencia del infinito actual}\textsf{ }\textsf{ }\textsf{ }\textsf{ }\\\textsf{}\end{array}\right\}\quad\longrightarrow{}\quad\mathbb{MATEM\acute ATICA\ \ }\right\}}}[/texx]


esquema que ya va pareciéndose bastante al que, en mi opinión, manejamos todos, consciente ó inconscientemente, cuando usamos la matemática.

Entiendo yo aquí que la aceptación de la existencia de ambos tipos de infinito permitirá la construcción en cada caso de los pre-naturales y los naturales y por lo tanto pueden omitirse en el esquema, ya que ambos tipos de números son construcciones que se hacen posibles en base a los otros principios aceptados. Pero no debemos olvidar que aunque los números parece ser que pueden ser manejados en el seno de la metalógica, solo son en esa teoría una "colección de abstracciones" tan grande como queramos (potencialmente infinita), pero no son ni un conjunto ni mucho menos un conjunto infinito. Para aceptar el hecho de la infinitud debe aceptarse (ó demostrarse) la existencia del infinito actual y eso por lo que yo sé solo está aceptado (y además de forma implícita) en el seno de la TC con su axioma de infinitud.

Si aceptamos la existencia del infinito actual como principio fundamental de la matemática podríamos pasar entonces de los pre-naturales a los naturales, directamente, sin necesidad de ningún axioma. Actualmente eso no es así, sino que es necesario establecerlo axiomáticamente, y se hace además en el seno de la TC, algo carente de sentido ya que entiendo que la expresión en forma de principio fundamental, de forma clara y explícita, es mucho más coherente desde un punto de vista racional, que hacerlo de forma implícita (como consecuencia de un axioma) y solo en el seno de la teoría de conjuntos (¡¡lo que es absolutamente ridículo!!).

LA EXISTENCIA DEL INFINITO ACTUAL DEBÍA ELEVARSE AL RANGO DE PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA MATEMÁTICA

ya que tiene entidad suficiente para serlo y desde luego mucha más entidad que otros principios, tales como el del tercero excluido.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 03/09/2010, 04:03:28 pm
Realmente el problema de construcción de la matemática es muy complejo. Llegados a este punto podemos afirmar quizás que ya tenemos los cinco ingredientes básicos en nuestra cocina, pero todavía no podemos afirmar que hayamos hecho el guiso ni nada que se le parezca. Falta construir aún el sistema que nos permita razonar con esos principios (digamos las reglas de inferencia ó un sucedáneo si queremos hacerlo fuera de la lógica formal). Quizás el álgebra pudiera tomar aquí un papel relevante pero la tarea sería ardua y el recorrido está inexplorado de manera que la cosa es compleja.

El camino formal de la construcción de la matemática se inicia con la aceptación de estos cinco principios generales, sin los cuales sería imposible tal desarrollo, luego pasa por el establecimiento del sistema lógico formal que nos va a permitir el razonamiento deductivo, proceso que va desde la construcción de la lógica proposicional, estadio más elemental de los sistemas formales, pasando por la lógica de predicados y hasta llegar a la lógica de segundo nivel, pero continua con la teoría de conjuntos, la construcción de los números naturales, la aritmética y todo lo que le sigue. Es un problema muy complejo para ser analizado de forma ligera en un debate como éste y buscar alternativas al proceso puede llegar a ser aún mucho más complejo.

A mi no me cabe duda de que existen otros caminos que podrían conducirnos al mismo objetivo, incluso sin lógica (ó mejor sin sistemas lógicos formales) si me apuráis, pero ... ¡ufff!, con lo a gustito que se está en casa a ver quien se pone a recorrerlos. Ardua tarea sin duda.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 09/09/2010, 06:32:43 pm
Hola,

Quería realizar una consulta sobre una idea posiblemente tonta:
Cantor define las biyecciones como pares, y hace bien -entiendo- porque no hay posibilidad de definir nada de manera distinta que un par objeto.propiedad.

No conozco otra definición de conjunto, y esta definición obliga a constituir los conjuntos necesariamente como listas. Cualquier lista no es más que una línea debajo de otra. Las biyecciones no son más que una línea debajo de otra (una lista de pares).

Para que exista función identidad en los reales, que es trivial (necesaria) tiene que existir una lista de los reales.

Peto es trivial también que los naturales son una lista.

Luego, si Cantor demuestra que no hay una lista de los naturales como "prefijo" (en la misma línea) de cada línea del listado exhaustivo de los reales, ¿No está demostrando que no hay función identidad en los reales, cosa que sería una tontuna o absurdo?

Gracias de antebrazo, y un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 09/09/2010, 07:48:11 pm
No.

Cantor sólo demuestra que los reales no se pueden poner en una "lista".

No se pueden poner "una atrás de otro" en una secuencia "enumerable"...

Mas, en realidad, sí se pueden listar... pero no es posible hacerlo en una lista "enumerada" con números naturales, porque los naturales son demasiado "pocos" para completar el proceso, sin importar lo ingeniosa de la enumeracion que se pretenda elegir.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 10/09/2010, 12:28:35 am
Realmente el problema con los reales es incluso de mayor alcance, ya que ni tan siquiera podemos nombrarlos a todos, mucho menos podremos listarlos. Yo diría que no existe una lista de los reales. Digamos que no sería posible definir una sucesión de números reales que los contenga a todos, cosa que sí puede hacerse con los naturales.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 10/09/2010, 01:39:20 am
Hola Garubi.

Dices
Cita
Cantor define las biyecciones como pares, y hace bien -entiendo- porque no hay posibilidad de definir nada de manera distinta que un par objeto.propiedad.

No. En teoría de conjuntos, las biyecciones (y todas las funciones) no son pares sino conjuntos de pares (ordenados).

Cita
No conozco otra definición de conjunto

Lo anterior que anotas no define conjuntos, solo refiere biyecciones.
Por lo demás, en TC no hay definición para conjunto o clase (según la teoría). Se trata de un concepto primitivo. La idea intuitiva que ese concepto primitivo trata de representar es la de un agregado, colección o agrupación de elementos distintos. Pero como en toda teoría axiomática, la interpretación es prescindible.

Cita
y esta definición obliga a constituir los conjuntos necesariamente como listas.

No, no nos obliga. La interpretación intuitiva del concepto “conjunto” aplicada a algunos elementos teóricos, como todos los puntos de un cuadrado, puede dar casos donde los conjuntos (los puntos) no pueden visualizarse como “listas”.

Cita
Cualquier lista no es más que una línea debajo de otra. Las biyecciones no son más que una línea debajo de otra (una lista de pares).

El concepto intuitivo de “lista” como claramente lo describes aquí, no es necesariamente aplicable a todas las biyecciones. Pueden existir biyecciones imposibles de imaginar como listas (como la existente entre los puntos de un cuadrado y los de un cubo)

Cita
Para que exista función identidad en los reales, que es trivial (necesaria) tiene que existir una lista de los reales

Se desprende de las observaciones anteriores que no es así.

Saludos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 10/09/2010, 04:01:59 am
Hola, Cristian y compañía.

¿Quién puede listar un cuadrado o un círculo? no son de la naturaleza de una lista.
El argumento de Cantor parte de la existencia de una lista (esta es numerable por narices), pero la lista de los reales no depende de la lista de los naturales.
Si existe lista de los reales, es numerable, Si no existe, no hay función identidad:
[texx]\{r:r\in\mathbb{R}\}[/texx] Estos son los reales.
La expresión de arriba no puede evitar contener implícitamente la noción de enumeración, es una biyección de la forma:
[texx]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} = \{r_i: \forall r_i \in \mathbb{R} (r_i=r_i)\}[/texx]
¿Puede decirse de otra manera?
Estos son sistemas de representación, en ningún momento alteran "lo que hay fuera".

Se me ocurrió este ejemplo (o lo leí y lo recordé, vaya Ud. a saber):

Tengo un saco lleno de piedras, y voy enumerando partes desde cero, sacando tantas piedras como corresponda.
Es un saco ideal, hay infinitas piedras.
¿Depende de mi alfabeto para los números el que se acaben o no se acaben?
¿Depende de lo que yo piense?
¿Soy capaz de distinguir un infinito de otro?

Si mantenemos la lógica del si/no verdadero/falso, no veo como podemos decidir.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 10/09/2010, 05:45:01 am
Cantor enuncia otro sistema de numeración, de forma recursiva:

[texx]f(x)\leftarrow 2^x[/texx], y pone otro nombre a estos números; pero son eso, nombres.

Si no, deja de ser cierto que el cardinal de una colección es igual al número de sus elementos.

No puede ser.

Bueno, esta es la idea.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 10/09/2010, 07:01:41 am
Creo que si no hay posibilidad de refutar esta idea y es formalizable sin quitar -no digo poner- ningún axioma a ZF, ZF es inconsistente incondicionalmente, sin abandonar el terreno de la lógica binaria.

No sé si me estoy poniendo muy trascendente.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 10/09/2010, 09:23:04 am
Hola Garubi:

En cuanto logres formalizar el objeto al que le llamas "lista" (digo, definirlo dentro de la TC) todas tus dudas comenzarán a clarificarse.

Saludos


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 10/09/2010, 10:35:43 am
No sé.

Puede ser que sí. Entiendo que hay árboles, grafos y mucho material suelto. Pero a la hora de enunciarlos, no consigo ver más que pares objeto:propiedad.

Y confío mucho en esta estructura, y en las posibilidades que tiene "casar" pares de este tipo. Y ternas, y etc. Pero, ¿Qué es "lo elemental" que sabemos enunciar?

El axioma del conjunto potencia... errrrhhh,,, lo tengo que revisar, no lo he destripado simbólicamente; sólo conozco la enunciación "intuitiva", que viene a decir más o menos que "si existe un conjunto, existe su conjunto potencia".

Cualquier clase vacía está llena, con algunas restricciones, no creo que con las suficientes.

¿Cómo defines el infinito de una colección? Entiendo que a través de la noción de conjunto, que se considera una noción primitiva.
Cuando intento formalizarla, salen construcciones recursivas del tipo del conjunto de partes. Pero, ¿Tiene la pobre realidad -e incluyo a los entes de razón- la culpa de los sueños de la razón?

Las matemáticas funcionan, pero teniendo que discriminar entre  la validez de los muchos productos que ofrece ZF, quizás más de lo necesario. Es una marca muy expansiva, más que la realidad, más que la lógica. Si no me indicas cual es la falla, no puedo verla de momento.


Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 10/09/2010, 11:14:12 am
El infinito acutal existe por decreto.

¡Joder!

y, perdón por el exabrupto. No lo había visto. No puedo estar más de acuerdo.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 10/09/2010, 12:36:07 pm
Sea: [texx]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}= sen(r)+n\text{ } cos(r), r\in\mathbb{R}, n\neq r \Longleftrightarrow{n\in{N}}[/texx]

No sé si vale, pero las instrucciones están en el lenguaje formal.

Si no me he equivocado, esto es la recta real o paralelo a la recta real, así que no hay mucha posibilidad de confundirse.

[texx]\aleph_0\leq{\aleph_1}\longrightarrow{}\omega<\omega}\wedge\exists{n\in\mathbb{N}}:n>\omega[/texx],

porque todo n de [texx]\mathbb{N}[/texx] tiene origen e imagen en toda la extensión de [texx]f[/texx].

Es un intento amateur, así que mis disculpas por anticipado.  :)

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 10/09/2010, 01:51:15 pm
Los reales sí se pueden "listar", pero la lista tiene más elementos que el conjunto de números naturales...

Esto de "listar" se refiere tan sólo al Axioma de Buena Ordenación.
Dicho Axioma es equivalente al Axioma de Elección.

Si aceptamos cualquiera de esos axiomas en la matemática, cualquier conjunto se puede "listar", o sea, poner un primero, un segundo, tercero, etc.
O sea, los elementos quedan bien ordenados... pero de modo transfinito. No hay manera "cómoda" de expresar esa lista.

No hay manera de equipararla al conjunto N de naturales.

Pero, lo que se dice "listar", "se puede", aunque en abstracto.
En realidad el Axioma de Buena Ordenación sólo dice esto: "existe una manera de poner conjuntos transfinitos en forma bien ordenada, como una lista transfinita",
pero en ningún momento se especifica "cuál" es ese buen orden.
Nadie conoce un buen orden explícito de R.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 10/09/2010, 03:01:12 pm
No acabo de entender esta última parte del debate. Creo que fué iniciada por Garubi, pero lo que no entiendo es qué tiene que ver esto último con todo lo anterior. En mi opinión, nada. Ha sido un cambio directo de rumbo a un tema que aunque nadie dice que no sea interesante, es más que conocido, está más que demostrado y no tiene relación alguna con el debate. Me refiero a la cuestión de si hay más reales que naturales ó no. Pues claro que sí, pero no solo eso, es que no son conjuntos que puedan ponerse bajo biyección, luego tienen distinta cardinalidad. Pero ... ¿que tiene esto que ver con el esquema mental de la matemática?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 10/09/2010, 03:06:24 pm
Los reales sí se pueden "listar", pero la lista tiene más elementos que el conjunto de números naturales...

Esto de "listar" se refiere tan sólo al Axioma de Buena Ordenación.
Dicho Axioma es equivalente al Axioma de Elección.

Si aceptamos cualquiera de esos axiomas en la matemática, cualquier conjunto se puede "listar", o sea, poner un primero, un segundo, tercero, etc.
O sea, los elementos quedan bien ordenados... pero de modo transfinito. No hay manera "cómoda" de expresar esa lista.

No hay manera de equipararla al conjunto N de naturales.

Pero, lo que se dice "listar", "se puede", aunque en abstracto.
En realidad el Axioma de Buena Ordenación sólo dice esto: "existe una manera de poner conjuntos transfinitos en forma bien ordenada, como una lista transfinita",
pero en ningún momento se especifica "cuál" es ese buen orden.
Nadie conoce un buen orden explícito de R.

He apañado un poco la función, perdón, a ver si vale así.

El razonamiento de Cantor no depende del orden, ni de que haya biyección alguna, depende de que a la izquierda de las líneas haya tantas cosas como a la derecha de las líneas. Sirven los propios extremos de las líneas. No tienen por qué ser paralelas: las rotas y las pones paralelas: las trasladas, y las pones una debajo de otra. Rotas el bloque y son palotes.

Cantor enunció la biyección como una colección de pares -una lista-, y llegó a la conclusión de que no podía numerarla y que , por lo tanto, se acababan los números naturales antes que los reales. Me niego a entrecomillar lo de que "se acababan los números".

Mi opinión es que dos colecciones que no se acaban, no se acaban. Lo encuentro natural, sin ánimo de hacer el chiste fácil.

Un saludo, y gracias por responder.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 10/09/2010, 03:11:57 pm
No acabo de entender esta última parte del debate. Creo que fué iniciada por Garubi, pero lo que no entiendo es qué tiene que ver esto último con todo lo anterior. En mi opinión, nada. Ha sido un cambio directo de rumbo a un tema que aunque nadie dice que no sea interesante, es más que conocido, está más que demostrado y no tiene relación alguna con el debate. Me refiero a la cuestión de si hay más reales que naturales ó no. Pues claro que sí, pero no solo eso, es que no son conjuntos que puedan ponerse bajo biyección, luego tienen distinta cardinalidad. Pero ... ¿que tiene esto que ver con el esquema mental de la matemática?

Si se puede demostrar en ZF un enunciado: "Los números reales son más que los naturales",
y su negación, o una de sus negaciones: "Los números reales no son más que los naturales",

se obtiene un "esquema mental de la mátematica" de uso corriente, pero inconsistente.

Si no se demuestra pero se da con un enunciado indecidible, tendrás una axiomática en la que puede ocurrir que puedas enunciar el teorema de Cantor en cualquier estrato de esa lógica, y demostrar que no es decidible en ninguno de ellos, no sé. Quixás.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 10/09/2010, 03:34:13 pm
De las dos fórmulas que he utilizado más arriba (ya la corregí para bién, creo), la primera me parece lícita pero no decidible.
De la corrección de la de abajo, sólo doy fe de que me parece que puede contener algo de verdad.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 10/09/2010, 03:39:24 pm
Pues no sé, pero no acabo de entenderte. Vamos por partes:

1º).- ¿Qué debemos entender por "son más"?

Una cosa sí es cierta: son conjuntos que tienen distinta cardinalidad y la cardinalidad del segundo es mayor, eso creo que está demostrado. Si eso puede demostrarse entonces es imposible demostrar su negación, porque eso supondría la inconsistencia de la matemática. No entiendo a donde quieres ir a parar.

Saludos, Jabato. ;D



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 10/09/2010, 03:49:20 pm
Pues no sé, pero no acabo de entenderte. Vamos por partes:

1º).- ¿Qué debemos entender por "son más"?

Una cosa sí es cierta: son conjuntos que tienen distinta cardinalidad y la cardinalidad del segundo es mayor, eso creo que está demostrado. Si eso puede demostrarse entonces es imposible demostrar su negación, porque eso supondría la inconsistencia de la matemática. No entiendo a donde quieres ir a parar.

¿qué debemos entender por "cardinalidad"? ¿Una biyección?

La matemática no se agota con la lista de axiomas de ZF y afines, ni siquiera quitando todos y poniendo otros. Sencillamente, cambian las reglas, y los resultados. El de Cantor, puede estar "validado" con uno o con una composición de axiomas.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 10/09/2010, 04:01:57 pm
Cierto, si cambiamos los axiomas de la teoría de conjuntos cualquiera sabe a donde podríamos llegar, pero no fué eso lo que dijiste, ó al menos no fué eso lo que yo entendí:


Si se puede demostrar en ZF un enunciado: "Los números reales son más que los naturales",
y su negación, o una de sus negaciones: "Los números reales no son más que los naturales",

se obtiene un "esquema mental de la mátematica" de uso corriente, pero inconsistente.


Eso tal y como lo expusiste aquí no podría ocurrir, con ZF creo que es imposible, si entendemos por "son más" el hecho de que los reales tengan una cardinalidad mayor. Fuera de ZF podrían pasar muchas cosas, pero vayamos por partes, aún no contestaste a mi primera pregunta:

1ª).- ¿Que debemos entender por "son más"?

Y ahora va mi segunda pregunta,

2ª).- ¿Estamos en ZF ó no?

Porque unas veces dices que estamos en ZF y al párrafo siguiente dices lo contrario ó te desdices de lo dicho:


La matemática no se agota con la lista de axiomas de ZF y afines, ni siquiera quitando todos y poniendo otros. Sencillamente, cambian las reglas, y los resultados. El de Cantor, puede estar "validado" con uno o con una composición de axiomas.


Si estamos en ZF es una cosa pero en caso contrario ¿donde estamos?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 10/09/2010, 04:41:05 pm
Cita
Eso tal y como lo expusiste aquí no podría ocurrir, con ZF creo que es imposible, si entendemos por "son más" el hecho de que los reales tengan una cardinalidad mayor. Fuera de ZF podrían pasar muchas cosas, pero vayamos por partes, aún no contestaste a mi primera pregunta:

1ª).- ¿Que debemos entender por "son más"?

Me veo tentado de responderte: "aquello que te dicta tu sentido común", pero creo que te refieres a la noción que debe derivarse de la lista de axiomas de ZF, en cuyo caso, "ser más" creo que debe traducirse como:, "una vez demostrado que no existe ninguna biyección entre dos conjuntos A y B en una eventual biyección de A en B, debemos decir que la cardinalidad de B es mayor".
Y ahora va mi segunda pregunta,

Cita
2ª).- ¿Estamos en ZF ó no?

Estamos en el mundo, y ZF es un juego lógico con unas reglas, no todas claras. Hay más juegos, y el hilo se llama "qué esquema mental..."

No lo tengo, estoy buscándolo.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 10/09/2010, 04:46:30 pm
En realidad el dilema es muy simple. Los axiomas los ponemos nosotros. Los axiomas de los distintos sistemas de Teoría de Conjuntos se han elegido asumiendo un concenso respecto a lo que expresan. Lo que no se puede es aceptar lo que afirman los axiomas y no aceptar lo a partir de ellos se concluye en los teoremas.

Si queremos librarnos de la tesis del teorema de Cantor, o bien sostenemos que la demostración está mal, en cuyo caso debemos meternos en el mecanismo de la prueba formal y mostrar el error; o bien sostenemos que el teorema está bien, pero no estamos de acuerdo con el resultado, en cuyo caso no tenemos más opción que modificar la axiomática.
El problema, Garubi, es que tu a veces hablas de lo primero y a veces de lo segundo pero no haces ni lo primero ni lo segundo.

Fuera de esto, yo admito que tener un teorema que acepta la existencia de un conjunto cuyos elementos, en su inmensa mayoría son indefinibles, le deja a uno cierta sensación rara. Ahora bien, o convivo con esto o reformulo la axiomática. En el segundo caso, debo tener en cuenta que la axiomática reformulada debe permitirme seguir haciendo todo lo otro con lo qué sí estoy de acuerdo.

Saludos.
 


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 10/09/2010, 05:00:30 pm
Claro Cristian, captaste bien el hilo. Podemos modificar los axiomas de la TC, por supuesto, incluso podíamos omitir la TC y sacarnos de la manga otra cosa, incluso podíamos quedarnos fuera de la lógica y de los sitemas lógicos formales (ya leísteis supongo mis mensajes anteriores hablando de la intuición y de los principios de la lógica y la matemática), eso nadie lo niega, pero habría que saber a donde nos conduce eso antes de poder hablar de ello, al menos si queremos poder seguir hablando de matemática.

Hay muchos posibles mundos, por supuesto, pero nosotros estamos en éste, pertenecemos a la especie humana y tenemos que atenernos a nuestra propia naturaleza, que es lo jodido del asunto. Si pudieramos pensar como lo hacen los dioses, quizás la matemática no existiría.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 10/09/2010, 05:36:45 pm
Se habla mucho de sintaxis, pero sería mucho más claro hablar de una ortografía.
Tengo algunos axiomas en la cabeza, pero necesito darles dos o tres vueltas más. Los pondré.

Respecto a esta definición:
Sea: [texx]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}= sen(r)+n\text{ } cos(r), r\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{R}\Longleftrightarrow{n\in{N}}[/texx].

Rogaría que alguien me echase una mano, para saber si está o no está bien formulada (la he cambiado otra vez :( ) y, caso de que lo esté bien, me gustaría saber si es decidible o no el valor de la función en todos sus puntos, porque yo pienso que no, pero no estoy seguro.

Si no podemos decidir si los naturales son un subconjunto de los reales, respondiendo a esta pregunta "sí" o "no", prefiero no jugar a ZF. :)

Un saludo


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 10/09/2010, 06:41:48 pm
Hola Garubi:

En cuanto logres formalizar el objeto al que le llamas "lista" (digo, definirlo dentro de la TC) todas tus dudas comenzarán a clarificarse

Hola Cristian,

Llamo lista a una colección de objetos que cimplen una propiedad.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 10/09/2010, 07:21:58 pm
No sé Garubi a qué le estás llamando "decidible".

En ZF vale todo lo que suele decirse que "vale" en matemática.
Los naturales forman un subsistema de los reales.

Lo de la "sintaxis" no es un capricho de palabrerío filosófico,
es algo bastante concreto, formulado con reglas precisas y específicas.
La sintaxis se refiere a reglas de transformación de unas expresiones en otras, mediante mera deducción formal.

La semántica se refiere a interpretaciones o universos en que se "muestra" de alguna forma que las reglas de esa "sintaxis" son aplicables.

¿Qué es eso de la "ortografía"?

Para tener claro cómo se expresan los axiomas de ZF, te recomiendo este hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,21322.msg86106.html#msg86106 (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,21322.msg86106.html#msg86106)

Ahí está escrita no sólo la interpretación de cada Axioma, sino la escritura formal exacta, y explicada con todo detalle.

Para entender la relación entre los distintos sistemas numéricos, y ver que los naturales forman no sólo un subconjunto sino un subsistema de los reales, te recomiendo este otro hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477 (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477)

Da la casualidad que ambos los escribí yo...

Si te cansa leerme a mí, podrías leer cómo es esto de la sintaxis y la fundamentación de la teoría de conjuntos en el libro gratuito de Ivorra:

http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf (http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 11/09/2010, 07:03:00 am
El problema de la lógica:

Bien, siguiendo con el esquema de la parte anterior del debate hay una pregunta que puede plantearse y que creo que sería bueno que intentáramos responder. Supongamos que aceptamos las ocho habilidades de nuestra mente que describí en mi mensaje #151, y que reproduzco aquí por comodidad:

                                                                                    a).- identificar objetos
                                                                                    b).- percibir sus cualidades
                                                                                    c).- memorizar objetos
                                                                                    d).- recordar objetos
                                                                                    e).- agrupar objetos
                                                                                    f).- comparar objetos
                                                                                    g).- ordenar colecciones de objetos
                                                                                    h).- abstraer conceptos

Y que por otra parte aceptamos como válido el esquema que os propuse también algunos mensajes atrás y que también reproduco aquí por la misma razón:


[texx]\boxed{\boxed{\left .\begin{array}{rrr}\\\mathbb{L\acute OGICA}\quad\longleftarrow{}\quad\left\{\begin{array}{ccc}\textsf{Principio de identidad}\\\\\textsf{Principio de no contradiccion}\\\\\textsf{Existencia del infinito potencial}\\\end{array}\\\\\textsf{Principio del tercero excluido}\textsf{ }\textsf{ }\textsf{}\textsf{ }\\\\\textsf{Existencia del infinito actual}\textsf{ }\textsf{ }\textsf{ }\textsf{ }\\\textsf{}\end{array}\right\}\quad\longrightarrow{}\quad\mathbb{MATEM\acute ATICA\ \ }\right\}}}[/texx]


Recordemos que la combinación de ambos esquemas, el de habilidades de nuestra mente y el de los principios de la lógica y de la matemática nos va a permitir construir los números naturales (como clases de equivalencia de agrupaciones biyectivas), y aunque no tendríamos los conjuntos, sí tendríamos las agrupaciones que son colecciones de objetos pensados y ordenados cronológicamente por el momento en que fueron pensados. La pregunta sería, ¿que necesitamos añadir a esto para construir la matemática? La verdad es que creo que la primera necesidad sería establecer unas reglas para poder hacer inferencias y el álgebra de proposiciones parecería una buena candidata. Ahora bien, ¿nos bastaría con el álgebra proposicional? ¿Para que necesitamos la lógica de primer nivel (ó lógica de predicados)? ¿Y para qué la de segundo nivel? ¿Qué es lo que no podríamos hacer si nos quedamos solo con el álgebra de proposiciones?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 11/09/2010, 07:22:27 am
Una pregunta tipo test, para todos aquellos que tienen claro su esquema mental de las matemáticas:

Tengo un saco lleno de piedras (lo siento, lo tengo) y no sé cuantas son.

El tamaño de la colección de piedras del saco puede depender de:

  • Que las piedras se saquen de una en una.
  • Que las piedras se saquen a puñados.
  • El número de piedras que hay en el saco.
.
La pregunta es:

Con el esquema ZF y cualquier adición de axiomas: ¿Qué opción ha de marcarse: la primera, la segunda o la tercera?


Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 11/09/2010, 07:29:45 am
Garubí, ¿que debemos entender por "tamaño de la colección de piedras"? ¿Podías ser más específico? ¿Te refieres a su cardinal, a su peso ó a su volumen? Por cierto los axiomas de ZF no hablan ni de sacos ni de piedras. Ni tan siquiera la matemática lo hace.

Por otro lado me parece correcto que plantees una pregunta como esa al foro, yo intentaré contestarla, pero lo que ya no me parece tan correcto es que nos obligues a elegir entre tres respuestas posibles. ¿Tiene que ser necesariamente una de esas tres?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 11/09/2010, 07:41:19 am
Garubí, ¿que debemos entender por "tamaño de la colección de piedras"? ¿Podías ser más específico? ¿Te refieres a su cardinal, a su peso ó a su volumen? Por cierto los axiomas de ZF no hablan ni de sacos ni de piedras. Ni tan siquiera la matemática lo hace.

Al cardinal, claro.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 11/09/2010, 07:43:21 am
[texx]r\in\mathbb{R}=n\in\mathbb{N}\Longleftrightarrow\forall n\subset\mathbb{R}\text{ }n \neq r[/texx]

    Si a esto no se le puede poner una V o una F, Los números reales son indistinguibles de los naturales y al revés, para todo r y para todo n.
    Dos colecciones indistinguibles, han de ser iguales, digo yo.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 11/09/2010, 08:32:43 am


[texx]r\in\mathbb{R}=n\in\mathbb{N}\Longleftrightarrow\forall{n,r}\text{ } (n\neq r)[/texx]

Lo he refinado un pelín.

  • Si esto es verdadero, N no pertence a R ni está incluído en R.
  • Si es falso, un número real es indistinguible de un número natural, y las dos colecciones son iguales.
  • Si es indecidible, el teorema de Cantor no es consistente con ZF. (Edito: Y, sin embargo, lo es. Así, que a sacar conclusiones).

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 11/09/2010, 12:12:44 pm
... ¿y, si ponemos un entonces?

¡Parece que vale igual!  ???

Lo tenía en la punta de la lengua, y no sabía cómo decirlo. No me extraña.  :-\. No sé ni qué cara poner.

Bueno, un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 11/09/2010, 01:16:41 pm
¡Holá!

¿Hay vida en el planeta Tierra?

Señores, que aquí no pasa nada, con independencia de que esto esté bien o mal.
Si está bien, los números son sólo símbolos, cosa sabida, como el resto de los símbolos. Los reales son numerables (posiblemente), y habrá que estudiar los sistemas de representación, y retocar axiomas aquí y allá con realismo. ¡Es una buena noticia!

Y, si está mal, pues igual. Sólo que yo me quedo sin mi logro intelectual; decepcionante, pero nada nuevo, al manos para mí.

Los niños saben de las cosas a veces más que los adultos, y también los austriacos que emigran a ambientes menos rígidos.

En cualquier caso, mejor tener en qué pensar que mirarse el ombligo, ¿no? Digo.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 11/09/2010, 01:37:35 pm
Voy a retocarlo un poco más:

[texx]r\in\mathbb{R}\wedge n\in\mathbb{N}\rightarrow\forall{n,r}\text{ } (n\neq r)[/texx]

  • Si esto es verdadero, N no pertence a R ni está incluído en R.
  • Si es falso, un número real es indistinguible de un número natural, y las dos colecciones son iguales.
  • Si es indecidible, el teorema de Cantor no es consistente con ZF. (Edito: Y, sin embargo, lo es. Así, que a sacar conclusiones).

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 11/09/2010, 02:54:00 pm
A mí me va a dar un algo.

Jabato, alguna opinión provisional, aunque sea?

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 11/09/2010, 03:17:19 pm
Es cosa de pares, y operaciones binarias.

Semos computadoras electrónicas de esas, que decidimos constantemente sobre asuntos de este tipo y otros.
En palabras de la física, no podemos hurtarnos a nuestro diseño. Es normal.

Si hay más verdades, que las hay, ya irán saliendo. Hay que dejar que la máquina trabaje, y hacerla trabajar, claro.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 11/09/2010, 03:29:03 pm
Voy a retocarlo un poco más:

[texx]r\in\mathbb{R}\wedge n\in\mathbb{N}\rightarrow\forall{n,r}\text{ } (n\neq r)[/texx]

  • Si esto es verdadero, N no pertence a R ni está incluído en R.
  • Si es falso, un número real es indistinguible de un número natural, y las dos colecciones son iguales.
  • Si es indecidible, el teorema de Cantor no es consistente con ZF. (Edito: Y, sin embargo, lo es. Así, que a sacar conclusiones).

Un saludo.
;D

Esto que expusiste no tiene ni pies ni cabeza para mi, no lo entiendo. Cuando algo no se entiende lo mejor es no opinar sobre ello, y esperar a ver si alguien aporta algo de luz. Y sigo sin entender que tiene esto que ver con el debate.

Imagino que a estas alturas de siglo no pretenderás convencer a alguien de alguna de estas tres afirmaciones:

a) La intersección entre N y R es vacía.

b) N y R son el mismo conjunto.

c) El teorema de Cantor es falso.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 11/09/2010, 04:06:25 pm
No sé, insisto.

Quizás se me ha ido la chapa, pero en la vida real doy el pego.
La intersección no es vacía, es evidente.
Pero enunciados en secuencia, ¿cómo decides cual es cual?

Habrá que esperar, qué se le va a hacer.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 11/09/2010, 04:29:12 pm
Bueno, analicemos más despacio tu exposición. En palabras corrientes viene a decir que si elegimos un número real y otro natural resulta que ambos números serán distintos cualquiera que sea la pareja elegida. Evidentemente esa afirmación es falsa porque yo puedo hacer que [texx]r=n=1[/texx]

Lo que me gustaría ver es como demuestras partiendo de que esa afirmación es falsa que N y R son conjuntos indistinguibles.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 11/09/2010, 04:39:06 pm
Es condicional, no es ni cierta ni falsa.
Hay que hacer la tabla de verdad.

Si es cierta, entonces...
Si es falsa, entonces...

¿Tan raro es esto?

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 11/09/2010, 04:57:43 pm
Bien, pero yo te he demostrado que es falsa ya que al menos hay un caso para el que que no se satisface que es [texx]r=n=1[/texx], por lo tanto tu afirmación:

[texx]p\equiv{}r\in\mathbb{R}\wedge n\in\mathbb{N}\rightarrow\forall{n,r}\text{ } (n\neq r)[/texx]

es falsa. Tu afirmas entonces que si [texx]p[/texx] es falsa (lo es) se concluye que [texx]\mathbb N[/texx] y [texx]\mathbb R[/texx] son el mismo conjunto. Bien, solo te falta demostrarlo. Desde luego que no podrás.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 11/09/2010, 06:02:07 pm
A mí me va a dar un algo.

Garubi, alguna demostración provisional, aunque sea?



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 11/09/2010, 10:12:28 pm
Lo que he hecho es esperar, y después salir a tomar cerveza, y te aconsejo lo propio, y pensar.

Esto no sale de la nada.

Un saludo.





Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 12/09/2010, 12:46:57 am
Estas cosas me pasan por hacer caso a quien no debo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 12/09/2010, 03:57:07 am
En el mundo las colecciones son finitas.

Las lógicas, los números, son colecciones finitas de símbolos.

Sus combinaciones posibles arrojan representaciones de objetos finitos.

El infinito es uno, porque no puede deducirse otra cosa a través de colecciones finitas de símbolos, y esto es lo que se demuestra.

Ya se sabía.

Las listas no pueden ser otra cosa que listas, de lo que sea, pero deben ser listas.Juntas dos listas, y tienes una lista más larga.
No depende de lo que ponga en cada línea, este es el hallazgo.

Y la sorpresa, es que la lógica lo codifica con naturalidad.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 12/09/2010, 05:09:28 am
Hola Garubi. Dices:

Cita
Las lógicas, los números, son colecciones finitas de símbolos.

Falso. La inmensa mayoría de los números reales no se pueden expresar con una colección finita de símbolos.

Saludos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 12/09/2010, 06:07:07 am
¿Y con esto es con lo que das el pego en la vida real? Pues vaya, demasiada mecha para tan poca dinamita. ¡Si precisamente lo que demostró Cantor fué que tu razonamiento es falso!

La demostración del teorema de Cantor la tienes en Internet en infinidad de sitios (hasta en Wilkipedia está), échale un vistazo por favor y dinos donde falla. Qué es lo que está mal.

¡Vaya con la caballa!


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 12/09/2010, 06:24:44 am
hola Cristian.

Falso. La inmensa mayoría de los números reales no se pueden expresar con una colección finita de símbolos.

Cierto.

¿Y?

La inmensa mayoría de los naturales no pueden escribirse como una colección finita de símbolos.

Cuando enuncias un real, debes primero definirlo. Cuando lo defines, es uno más de la lista.

Pensamos a base de cambiar de axiomas, probarlos y descartarlos o reenunciarlos. Puedes observar la realidad, o inventarla.
Lo que se puede enunciar formalmente, adquiere forma lógica a renglón seguido. Hay que evaluarlo.
Mientras funciona, es verdad. Después, si deja de funcionar, le pones una F o acotas (formalmente si puedes, si no intuitivamente) su alcance. Reconstruyes la lista de axiomas, y desarrollas según las reglas. Es algo orgánico.

Las piedras son piedras, y los numeros, nombres para las cantidades de cosas. Reconocemos objetos y, si es preciso, los numeramos.

Podemos cambiar nuestras reglas, pero el producto es un producto mecánico del uso de esas reglas.

No puedes deshacerte del alcance de lo que pone ahí porque hay que evaluarlo. Los números son cantidades. Es un alfabeto.
Lo único que he hecho es aprender un idioma para saber cómo decirlo. Los idiomas se traducen, los conjuntos son siempre discretos, si no no sabemos enunciarlos.

¿Qué es lo que te extraña?

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 12/09/2010, 06:58:28 am
Cristian,

aunque no lo creas, yo te estoy explicando lo que tú me has explicado a mí, con otras palabras.

Es sólo lógica, funciona sola.

Como metáfora:

Yo soy un geranio que tú y otros han abonado, y ahora florezco. He creído en que la lógica funciona, y la lógica funciona.
Pero atisbo en la estructura de la cosa.

He sacado el enunciado por tanteo, pensando mucho e intentando hacerlo bién.

Necesitas la lista de axiomas, para que haya algo que computar. Y luego utilizas un lenguaje.

Las matemáticas valen. La lógica es la herramienta.

Qué es lo que te extraña.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 12/09/2010, 07:23:20 am
Muy poetico, sin duda, pero aquí lo que falta es demostrar que [texx]\mathbb N[/texx] y [texx]\mathbb R[/texx] son el mismo conjunto, y que yo sepa hasta ahora no hay tal demostración.

No sirve argumentar que solo existen aquellos reales que podemos nombrar, eso no demuestra nada en cuanto a su cantidad, solo demuestra nuestras propias limitaciones, que nuestra naturaleza nos impide abarcar el infinto, cualquier clase de infinito, pero eso no nos impide demostrar que hay muchas clases de infinito, tal y como hizo Cantor.

Una demostración y una poesía tiene en general distinta consideración por parte de lógicos y matemáticos, y hasta ahora solo he visto poesía, mucha poesía, y nada más que poesía, pero demostraciones ... ¡ninguna!

Jabato.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 12/09/2010, 07:27:07 am
Muy poetico, sin duda, pero aquí lo que falta es demostrar que [texx]\mathbb N[/texx] y [texx]\mathbb R[/texx] son el mismo conjunto, y que yo sepa hasta ahora no hay tal demostración.

No sirve argumentar que solo existen aquellos reales que podemos nombrar, eso no demuestra nada en cuanto a su cantidad, solo demuestra nuestras propias limitaciones, que nuestra naturaleza nos impide abarcar el infinto, cualquier clase de infinito, pero eso no nos impide demostrar que hay muchas clases de infinito, tal y como hizo Cantor.

Evalúa el enunciado, caso de que sea cierto. Evalúa el enunciado caso de que sea falso.

¿Tú sabes matemáticas?

Yo quiero llevar más pan a casa.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 12/09/2010, 08:05:43 am
¿Que yo evalue qué?. No soy yo el que hace afirmaciones gratuitas. Si verdaderamente tiene consistencia eso que has afirmado, y no solo una vez sino varias, demuéstralo. En otro caso se te podría tildar de charlatán, que habla y habla pero no dice nada coherente, y que solo se limita a enredar un debate limpio que estaba muy interesante. Si tienes algo que decir, garubi, dilo y dilo como se dicen las cosas en este negocio, con argumentos y demostraciones, y si no lo mejor sería que te limitaras a leer lo que escriben los demás.

Jabato.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 12/09/2010, 08:34:31 am
¿Hay alguien por ahí que razone según las reglas de la lógica y con lo que sabemos de la recta real capaz de decir algo que no sea una mera acusación de charlatanería?

Hay un enunciado lógico pendiente de evaluar por otras personas que no sean yo mismo.

Afirmo que del enunciado lógico se desprende que reales y naturales son indistinguibles en este contexto y que por ello, son la misma colección, con un único cardinal. No sé formalizar esto que afirmo ahora mismo, y además no me da la gana, dispensando.

Me ha costado un triunfo llegar a este enunciado:

[texx]r\in\mathbb{R}\wedge n\in\mathbb{N}\rightarrow\forall{n,r}\text{ } (n\neq r)[/texx]

¿Alguien por ahí que se vea capaz de refutar la conclusión, en lugar de afirmar que está mal?

El enunciado está tan bien formado como cualquier otro, y se traduce a cualquier lengua humana, o casi.
Estoy convencido de que el enunciado no contraviene ningún axioma en ZF, pero tampoco pienso copiar y pegar de la Wikipedia. Lo sé que está bien, al menos lo creo.

¿Alguien capaz de dedicarse a algo distinto que sentar cátedra y que pueda someter la conclusión a un test lógico riguroso?

Gracias por anticipado y un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 12/09/2010, 08:45:05 am
Yo ya hice eso garubi, ya evalué esa expresión y te dije cual fué el resultado de tal evaluación, aunque me sirvió de poco. Te demostré que ese enunciado es falso, incluso te puse un ejemplo, y todavía sigo esperando que me expliques como se deduce de tal consideración que los naturales y los reales son conjuntos indistinguibles. Sospecho que no acabará de llegar esa demostración (probablemente porque no la tienes). Ahora bien, si en tu razonamiento lógico no es ese el paso siguiente, me refiero a mostrar como se deduce de eso que los naturales y los reales son conjuntos indistinguibles, entonces ¿cual es el paso siguiente de tu razonamiento? ¿que viene ahora? Me tienes sobre ascuas.

Jabato.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 12/09/2010, 11:53:08 am
Dice Garubi:

Cita
La inmensa mayoría de los naturales no pueden escribirse como una colección finita de símbolos.

Falso. TODOS los naturales pueden representarse mediante una secuencia finita de símbolos.

Dices:

[texx]r\in\mathbb{R}\wedge n\in\mathbb{N}\rightarrow\forall{n,r}\text{ } (n\neq r)[/texx]

Falso. Todos los naturales son reales pero no todos los reales son naturales.

Saludos


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 12/09/2010, 11:55:12 am
Pido perdón por la ligereza y falta de precisión con las que he enunciado mis conclusiones; voy a intentar precisar más, ahora que lo tengo algo más claro.
Yo he sido el primer sorprendido por este resultado, no hay intención alguna de engaño. Procedo.

Dado el enunciado:

[texx]r\in\mathbb{R}\wedge n\in\mathbb{N}\rightarrow\forall{n,r}\text{ } (n\neq r)[/texx]

Afirmo que:

  • El enunciado está bién construído según la sintaxis de ZF.
  • Su negación es cierta en ZF, es decir, que: [texx]\neg\text{  }(r\in\mathbb{R}\wedge n\in\mathbb{N}\rightarrow\forall{n,r}\text{ } (n\neq r))[/texx] es cierta en ZF.
  • Si [texx]\mathbb{N}[/texx] y [texx]\mathbb{R}[/texx] son indistinguibles, son la misma colección, según se desprende de la certeza de la negación de dicho enunciado en ZF y que, por tanto, son un único conjunto con un único cardinal, en ZF
  • Que según ZF, también, [texx]\mathbb{N}[/texx] y [texx]\mathbb{R}[/texx] tienen distinto cardinal, porque La afirmación de Cantor de que “un conjunto tiene una cardinalidad estrictamente menor que la de su conjunto de partes”, es verdadera con la lista de axiomas de ZF, y las reglas usuales de la lógica.
  • Que la noción de enumeración o lista, también es consistente con la noción “primitiva” o “abstracta” (y tanto) de conjunto en ZF, porque lo único claro que se desprende de dicha noción es que un conjunto es “una colección de objetos”.
  • Que por tanto, ZF –con cualquier adición de axiomas- es inconsistente incondicionalmente.

Afirmo, más especulativamente, con el único soporte del sentido común, fuera del contexto de ZF, que:

  • Que [texx]\mathbb{N}[/texx] y [texx]\mathbb{R}[/texx] son dos nombres para la representación de dos colecciones de objetos, cuya enunciación –cuya  representación- siempre constituye una colección finita y, que si se enuncian –representan- como un único conjunto, adquieren propiedades básicas (a clarificar), en relación con la noción matemática de identidad (una biyección trivial de la forma [texx]f:A \rightarrow A = \{a:\forall a \in A\text{ }(a=a)\}[/texx]).
  • Que los entes de razón y los objetos de la realidad (que son clara representación de sí mismos) son capturados por el entendimiento a través de su estructura más básica, que considero –es una opinión que puede cambiar- que es absolutamente análoga (habrá palabras que gusten más) a la de la formación de los enunciados lógicos, y que puede enunciarse –representarse, codificarse- de la forma a:P(A). Creo que cualquier constructo lógico (cualquier concepto) se constituye a base de: 1º: Casar “pares” (dos cosas) y enunciarlas –representarlas- juntas y separadas, y 2º Introducirlas enunciadas –representadas- juntas y separadas en enunciados lógicos.

    Ya no especulo más.

    Propongo, para clarificar conceptos en la enunciación –representación- precisa de los razonamientos (pensamientos, sensaciones, vaya Ud. a saber), lo siguiente:
    • Que los enunciados lógicos diferencien entre: “existe” y “tiene representación”, codificándose con distintos símbolos, o que se cambie el sentido del símbolo “existe un” por el de “puede decirse para algún”, si esto fuese suficiente. Quizás.
    • Que se acepte que:un sistema lógico siempre puede ser inconsistente, hasta que no se demuestre lo contrario, cosa que no creo que ocurra, vaya Ud. a saber, pero que se acepte que también puede ser siempre puede mejorable.
    • Que se acepte que que hay que pegarle un repaso a la simbolización –sobre todo- de la lógica.
    • Que se acepte que siempre se puede “hablar de fundamentos” de la Sra. Matemática, que es preciso a veces “desaprender” para corregir errores, que la Sra. Matemática no está exenta de jamás de imprecisiones, y etc. etc., y que a veces tiene que venir un ignorante a decirnos que seguimos en pañales.
    Ya no sé qué más puedo clarificar por ahora.

    Un saludo a todos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 12/09/2010, 12:25:55 pm
Juro Cristian, que en lo único que estoy pensando después de la paliza mental que produce este tema, que como le comentaba a Enceladus en el otro foro, es que al menos me valga la vaina para poder llevar algo mas de pan a casa.

Hay que ser humildes y realistas.

Las matemáticas valen, pero hay que ser realistas y reenunciar algunas cosas, y ganaremos todos en productividad. :)

En fin, Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 12/09/2010, 02:49:53 pm
Creo que lo expuesto -no me queda otra- establece un nexo objetivo entre el mundo real y el pensamiento.

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 12/09/2010, 03:16:31 pm
Esto último ya me dejó absolutamente perplejo. ¡Que digo perplejo!, ¡Totalmente alucinado!

No puedo contradecir ese último pensamiento porque es de una lógica aplastante. Me dejó totalmente aplastado.

Creo que voy a proceder a crear un nexo objetivo entre mi pensamiento y mi realidad y para ello me tomaré un café, a ver si se me quita el escozor en los ojos.

¡Que barbaro! ¡Increible!


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 12/09/2010, 03:46:30 pm
Esto último ya me dejó absolutamente perplejo. ¡Que digo perplejo!, ¡Totalmente alucinado!

No puedo contradecir ese último pensamiento porque es de una lógica aplastante. Me dejó totalmente aplastado.

Creo que voy a proceder a crear un nexo objetivo entre mi pensamiento y mi realidad y para ello me tomaré un café, a ver si se me quita el escozor en los ojos.

¡Que barbaro! ¡Increible!

Gracias, Jabato. ¡Es para volverse tarumba! :)
La cosa funciona para cualquier conjunto finito si se enuncia el conjunto de partes sin llaves accesorias ni comas, ni repeticiones.
Lo que es igual a sí mismo, es igual a sí mismo, objetivamente!!!! o algo así.
Cágate. Es como quitarse un corsé muy prieto, da seguridad.

Un saludo a todos, y ánimo, es buena noticia. La física clásica, al menos, funciona. Hay que dejarse llevar, la lógica está fuera, no dentro!!! se puede trabajar con más fe en lo evidente, creo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 12/09/2010, 05:40:37 pm
Pido perdón por la ligereza y falta de precisión con las que he enunciado mis conclusiones; voy a intentar precisar más, ahora que lo tengo algo más claro.
Yo he sido el primer sorprendido por este resultado, no hay intención alguna de engaño. Procedo.

Dado el enunciado:

[texx]r\in\mathbb{R}\wedge n\in\mathbb{N}\rightarrow\forall{n,r}\text{ } (n\neq r)[/texx]

Afirmo que:

  • El enunciado está bién construído según la sintaxis de ZF.
  • Su negación es cierta en ZF, es decir, que: [texx]\neg\text{  }(r\in\mathbb{R}\wedge n\in\mathbb{N}\rightarrow\forall{n,r}\text{ } (n\neq r))[/texx] es cierta en ZF.
  • Si [texx]\mathbb{N}[/texx] y [texx]\mathbb{R}[/texx] son indistinguibles, son la misma colección, según se desprende de la certeza de la negación de dicho enunciado en ZF y que, por tanto, son un único conjunto con un único cardinal, en ZF
  • Que según ZF, también, [texx]\mathbb{N}[/texx] y [texx]\mathbb{R}[/texx] tienen distinto cardinal, porque La afirmación de Cantor de que “un conjunto tiene una cardinalidad estrictamente menor que la de su conjunto de partes”, es verdadera con la lista de axiomas de ZF, y las reglas usuales de la lógica.
  • Que la noción de enumeración o lista, también es consistente con la noción “primitiva” o “abstracta” (y tanto) de conjunto en ZF, porque lo único claro que se desprende de dicha noción es que un conjunto es “una colección de objetos”.
  • Que por tanto, ZF –con cualquier adición de axiomas- es inconsistente incondicionalmente.

Afirmo, más especulativamente, con el único soporte del sentido común, fuera del contexto de ZF, que:

  • Que [texx]\mathbb{N}[/texx] y [texx]\mathbb{R}[/texx] son dos nombres para la representación de dos colecciones de objetos, cuya enunciación –cuya  representación- siempre constituye una colección finita y, que si se enuncian –representan- como un único conjunto, adquieren propiedades básicas (a clarificar), en relación con la noción matemática de identidad (una biyección trivial de la forma [texx]f:A \rightarrow A = \{a:\forall a \in A\text{ }(a=a)\}[/texx]).
  • Que los entes de razón y los objetos de la realidad (que son clara representación de sí mismos) son capturados por el entendimiento a través de su estructura más básica, que considero –es una opinión que puede cambiar- que es absolutamente análoga (habrá palabras que gusten más) a la de la formación de los enunciados lógicos, y que puede enunciarse –representarse, codificarse- de la forma a:P(A). Creo que cualquier constructo lógico (cualquier concepto) se constituye a base de: 1º: Casar “pares” (dos cosas) y enunciarlas –representarlas- juntas y separadas, y 2º Introducirlas enunciadas –representadas- juntas y separadas en enunciados lógicos.

    Ya no especulo más.

    Propongo, para clarificar conceptos en la enunciación –representación- precisa de los razonamientos (pensamientos, sensaciones, vaya Ud. a saber), lo siguiente:
    • Que los enunciados lógicos diferencien entre: “existe” y “tiene representación”, codificándose con distintos símbolos, o que se cambie el sentido del símbolo “existe un” por el de “puede decirse para algún”, si esto fuese suficiente. Quizás.
    • Que se acepte que:un sistema lógico siempre puede ser inconsistente, hasta que no se demuestre lo contrario, cosa que no creo que ocurra, vaya Ud. a saber, pero que se acepte que también puede ser siempre puede mejorable.
    • Que se acepte que que hay que pegarle un repaso a la simbolización –sobre todo- de la lógica.
    • Que se acepte que siempre se puede “hablar de fundamentos” de la Sra. Matemática, que es preciso a veces “desaprender” para corregir errores, que la Sra. Matemática no está exenta de jamás de imprecisiones, y etc. etc., y que a veces tiene que venir un ignorante a decirnos que seguimos en pañales.
    Ya no sé qué más puedo clarificar por ahora.

    Un saludo a todos.

Los enunciados que pusiste al principio están mal, son falsos, ya Cristian te lo dijo.

Cuando al final estás pidiendo "aclarar" enunciados y principios, me parece que te hace falta que vos mismo seas quien aclare las reglas que estás usando.
Te estás autoengañando, porque estás extrayendo conclusiones falsas sin justificación alguna.
Son puros disparates.

Y eso es porque te pones a demostrar teoremas con cerveza en mano, y no con libros.

Lo de Jabato fue una ironía Garubi... estás hablando cualquier cosa sin sentido.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 13/09/2010, 12:46:36 am
A veces solemos creer que entender el significado de una afirmación implica que estamos preparados para lidiar con ella. Esto no es así. La afirmación "hay infinitos infinitos distintos" es fácil de entender  para cualquiera, pero estaríamos a años luz de poder refutarla, si no estuviéramos de acuerdo, a menos que estudiáramos primero matemática durante muchos años.

Por eso Garubi, si tu intención es refutar esto, deberás abocarte al estudio formal de la matemática, no hay alternativa.

Ninguno de los que está debatiendo aquí, podrá resolver esto por tí. Es una asignatura pendiente tuya.

Por eso te propongo que liberes este hilo para proseguir con el tema central de debate.

Saludos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 13/09/2010, 05:17:23 am
Pido que no se borre.

Una última intervención.

Para refutar un argumunto pueril de beodo poco ilustrado, argentinator, has hecho lo siguiente:

Citar todo el ladrillo que solté, y luego decir:

"Está mal y es falso, Cristian te lo ha dicho". 1ª línea. (una construcción lógica "si...entonces..." no es verdadera ni falsa sin ser evaluada previamente en ambos casos para los dos miembros, a ambos lados de la flecha. Aunque puede estar mal compuesta. Luego, has invocado a una autoridad y, no puedo estar más de acuerdo)

Me pides que siga sacando conclusiones y que me aclare. 2ª línea. (es un consejo, lo acepto de grado)

Emites un enunciado analógico. 3ª línea.

Digo disparates. 4ª línea. (Una desautorización, otra forma de la falacia de autoridad)

Soy un borracho y no argumento. 5ª línea (bis)

La opinión de Jabato, según tu criterio. 6ª y última línea. Sobre cual es su opinión, tendrá que decidir Jabato.

Sobre esto, no me hagas decir más.
___________________________________________

Sobre el tema de los infinitos:

Considera la recta real. Para simplificar, el eje "x", "mitad" positiva.
Piensa en cuantas funciones de R en R puedes definir, que discurran sobre el, y pregúntate si el infinito, por la derecha y para cualquier r de R, es distinto que para cualquier n de R. ¿Puedes distinguir más de "un infinito" de alguna manera?*

(*:¿Puedes distinguir más de "un infinito" de alguna manera?) Sí. Con ZF y el Teorema de Cantor, pero ZF se escribió después.

Cuando separas lla membresía de un conjunto que llamas "R", puedes hacer lo que pone en la línea de arriba; lo enunciado en la línea de arriba es "cierto".

Cuando no la separas, llegas al enunciado que llegué yo, que los r de R y los n de N son indistinguibles. Sale solo.


Que no pasa nada, hombre. Lo que funcionaba antes, funciona ahora igual.
Sólo, que pensamos según que se organiza la materia. Sobre otros temas, decide cada cual en su propio nombre.
Las matemáticas lo impregnan todo, como era de suponer. Es tu campo, así que tu verás.
Yo ya no quiero sacar más conclusiones.
Quiero sacar un poco de pasta de esto, si es posible sin hablar demasiado, y cuidar de los míos y de quien más pueda o sepa.
Es ley de vida.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 13/09/2010, 05:57:15 am
Pues yo ya decidí sobre lo que expusiste, garubi, y por si acaso no te quedó clara cual era mi opinión al respecto de tus intervenciones la repetiré aquí aunque esta vez procuraré que quede algo más nítida si cabe, para que no haya dudas al respecto.

Tus argumentos son un galimatías ininteligible de conceptos entremezclados que no conduce a ninguna parte y del que es imposible sacar alguna conclusión medianamente coherente. Te recomiendo que estudies lógica y matematemática antes de lanzarte a opinar sobre tales cuestiones, ya que si algo puede concluirse de tus exposiciones en este debate es tu gran desconocimiento de ambas materias. No solo no sabes lo que dices, sino que ni tan siquiera sabes de lo que hablas.

Y sobre todo, lo que más patético resulta son los aires de superioridad con los que afirmas la sarta de barbaridades que sueltas, dándotelas de experto, como si los demás no entendiéramos las burradas que afirmas, precisamente por lo ignorantes que somos. ¡Lamentable!


¿Ya te quedó suficientemente claro ó matizo algo más?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 13/09/2010, 10:35:36 am
Lo que he hecho es esperar, y después salir a tomar cerveza, y te aconsejo lo propio, y pensar.

Yo recomiendo mejor estudiar que tomar cerveza para resolver este tipo de cuestiones.

Lo de tu afición a la cerveza no me lo inventé yo.

No estás contribuyendo en nada al debate.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 13/09/2010, 11:42:30 am
Cita
Yo recomiendo mejor estudiar que tomar cerveza para resolver este tipo de cuestiones.

Pues la verdad, lo cierto es que alguna cervecita sí que tomo  ;D, y que el tema a debate no es la lógica.

Vaya ida de chapa. ::)
Mis disculpas.
Esto no es lo mío, creo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 13/09/2010, 12:55:42 pm
Yo creo que la lógica es un tema que trasciende a la matemáticas, a la teoría de conjuntos .Todos  los seres humanos podemos saber que es y usarla unos mas otros menos y la relación entre la lógica y la naturaleza  ,es un tema del cual depende la teoria de conjuntos, pues deduzco que de acuerdo a lo leído de Cantor ,debido a su profunda fe quería demostrar que el universo tiene un orden.
Así que desprendo de esto que la naturaleza del problema ,es la valides de la lógica ante el mundo real y este es un tema que se sale de las matemáticas.
 :)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 13/09/2010, 01:26:45 pm
Pues en realidad lo que originó este debate no es la "validez de la lógica frente al mundo real", que es pedir "demasiado".
Yo sólo cuestiono la validez de las argumentaciones de "los lógicos" en el terreno de fundamentos de la matemática.

O sea, la validez del "juego lógico" ante sí mismo, que es lo mismo que preguntarse si las reglas del ajedrez mantienen en armonía al ajedrez, sin que se produzcan situaciones irregulares, o "reglas inventadas de camino".

El ajedrez no tiene aplicación a la vida real, es sólo un juego con sus reglas propias.
Me cuestiono si esas reglas son ambiguas o si conforman un juego "armonioso consigo mismo", y si todos los jugadores juegan con las mismas reglas...
No me interesa si el caballo de flanco dama se corresponde con un purasangre de la realeza británica y sus repercusiones geopolíticas.

¿Cuáles son las reglas de la matemática?

Se habla de "la lógica" como si fuera "una" y definitiva, y como si todos estuviéramos de acuerdo en qué cosa es.
Eso es como ponerse a discutir sobre las virtudes del ángel Gabriel, cada cual dirá lo que le parezca sin llegar a nada.




Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 13/09/2010, 03:33:27 pm
Ocurre que el primer error es relacionar la lógica ó la matemática con el mundo real. La lógica y la matemática tienen relación con nuestros pensamientos, y nuestros pensamientos estan a su vez condicionados por el mundo de nuestras percepciones, pero no existe una relación directa (al menos no podemos afirmar que exista) entre ambos mundos. Las leyes que rigen nuestra mente, nuestro pensamiento racional, no necesariamente tienen que servir para explicar el mundo. De hecho ya sa ha dado el caso de que como consecuencia de descubrimientos en mecánica cuántica se ha tenido que refutar alguno de los principios clásicos de la lógica, me refiero al principio de la razón suficiente y es presumible que cosas parecidas puedan volver a ocurrir en el futuro. Hasta tal punto es así que ello ha obligado a establecer una lógica especial para la mecánica cuántica, la lógica cuántica. La matemática y la lógica no hablan del mundo real sino de conceptos abstraidos por nuestra mente y no de otra cosa. Hablar de la validez de la lógica frente al mundo real puede tener cierto sentido mientras las conclusiones de la lógica estén avaladas por nuestra experiencia, pero no necesariamente eso es condición sine equa non ni tampoco es ese el motivo de este debate, argentinator lo ha descrito mejor que yo, con unas pocas palabras:


Yo sólo cuestiono la validez de las argumentaciones de "los lógicos" en el terreno de fundamentos de la matemática.


y ahí que yo sepa ni interviene la experiencia ni el mundo real, solo los conceptos abstractos y el pensamiento racional, que son los verdaderos objetos de este debate.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 13/09/2010, 10:46:00 pm
Yo creo que existe una lógica humana ,la cual esta inserta en un mundo real .Hablar de lógica o hablar de lo que dicen los lógicos acerca de la lógica no es ajena a lo real .sito un extracto  sobre la critica de Kronecker hace a Cantor sobre los números trascendentales.

La existencia no está probada para los conjuntos (como han sido definidas antes),
que aparecen en la teoría de Cantor.
Estas dos formas de hablar divide a los matemáticos en dos tipos: los que dicen "nosotros podemos" creen (posiblemente de un modo subconsciente) que la Matemática es una invención puramente humana; los hombres que dicen "existe" creen que la Matemática tiene una"existencia" extrahumana por sí misma, y que "nosotros" simplemente actuamos sobre las"verdades eternas" de la Matemática en nuestro viaje por la vida, en la misma forma como un hombre, que pasa por tina ciudad, atraviesa cierto número de calles con cuya construcción no tiene nada que ver.

Los teólogos son hombres que dicen "existe"; los escépticos prudentes son en su mayor partehombres que dicen "nosotros". "Existe una infinidad de números pares, o de primos", dicen losabogados de la "existencia" extrahumana; "los construimos" dice Kronecker y los hombres queafirman "nosotros".

Otra critica  a Zermelo sobre la realidad.


Un ejemplo muy notable e importante del modo "existencia" de considerar la teoría de conjuntos proporciona el postulado de Zermelo (enunciado 1904). "Para todo conjunto M cuyos elementos son conjuntos P (es decir, M es un conjunto de conjuntos o una clase de clases), no estando vacíasy no superponiéndose los conjuntos (ninguno de los dos contiene elementos comunes), existe al menos un conjunto N que contiene precisamente un elemento de cada uno de los conjuntos P que constituyen M". Comparando este concepto con la definición antes dada de un conjunto (o clase),se observará que los hombres "nosotros" no consideran el postulado evidente por sí mismo, si el
conjunto M consiste, por así decir, en una infinidad de segmentos lineales que no se superponen.Aunque el postulado parece bastante razonable, los intentos para probarlo han fracasado. Es deconsiderable importancia en todas las cuestiones relacionadas con la continuidad.Unas palabras acerca de cómo este postulado llegó a ser introducido en la Matemática plantearán otros problemas no resueltos de la teoría de Cantor. Una serie de cosas contables diferentes, como todos los ladrillos de una pared, se puede ordenar fácilmente; necesitamos sólo contarlas como 1,2, 3..., en cualquiera de las múltiples y diferentes formas que ellas mismas sugieren. Pero, ¿cómo ordenar todos los puntos de una línea recta? No pueden ser contados como 1, 2, 3... La tarea parece infructuosa cuando consideramos que entre dos puntos cualesquiera de la línea "podemos
encontrar" o "existen" otros puntos de la línea. Si cada vez que contamos dos ladrillos adyacentes surge otro entre ellos, en la pared, nuestra cuenta se hará confusa. De todos modos; los puntos deuna línea recta parecen tener cierto tipo de orden, podemos decir si un punto está a la derecha o ala izquierda de otro, y así sucesivamente. Los intentos para ordenar los puntos de una línea nohan dado buen resultado. Zermelo propuso su postulado como un medio para hacer el ensayo másfácil, pero no ha sido aceptado de un modo general como una suposición razonable o como un procedimiento de uso seguro.



Critica de Hilbert  a Brouwer sobre el prejuicio que podría  causar a la ciencia (realidad)

Tal revolución en los rudimentos del pensamiento matemático no podía dejar de ser combatida.El movimiento radical de Brouwer hacia la izquierda fue acelerado por un bramido de la derecha reaccionaria "Lo que Weyl y Brouwer están haciendo (Brouwer es él jefe, Weyl su acompañante en la revuelta) es seguir los pasos de Kronecker", decía Hilbert, el campeón del status quo. "Estánintentando restablecer la Matemática lanzando por la borda todo lo que no les agrada y dificulta su acción. El efecto es desmembrar nuestra ciencia y correr el riesgo de perder una gran parte de
nuestro capital más valioso. Weyl y Brouwer condenan los conceptos generales de números irracionales, de funciones (hasta de las funciones que se presentan en la teoría de números), los números transfinitos de Cantor, etc.,



 ???


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 14/09/2010, 12:31:37 pm
Has citado varios párrafos que hablan de "existencia".

Y esto, como muchas otras cuestiones en matemática, dan lugar a INNÉCESARIOS malentendidos.

La existencia en el sentido de Hilbert-Zermelo-y amigos, no debe entenderse en el sentido de "existencia filosófica/ontológica".
No es una "existencia" en el sentido de que "en el mundo real" hay "en alguna parte" un objeto con tales y cuales características.

La "existencia" es sólo un cuantificador, es un simbolito que se aplica a proposiciones P(x), y uno escribe algo como:

[texx]\exists{x:}P(x)[/texx]

Es un error darle a eso interpretaciones "físicas", porque no es necesario.

En matemática "Zermeliana-Hilbertiana-Cantoriana", la palabra "existe" sólo quiere decir que el conjunto [texx]\{x:P(x)\}\neq\emptyset[/texx].

O sea, el cuantificador existencial es sólo un "operador" que da como resultado "Verdadero" o "falso" cuando se lo aplica a una función proposicional P(x).

Si nos "imaginamos" a la "colección" de funciones proposicionales P(x) como un conjunto (que no lo es, pero estoy haciendo analogías), entonces el cuantificador existencial [texx]\exists{}[/texx] es un "operador" que a cada "función" le otorga un valor 0 ó 1.
El valor 1 "se lee": existe un x tal que P(x) vale...

No hay ninguna necesidad de pensar en "el mundo real", o preocuparse de si "realmente existen" los x tales que P(x).

La confusión viene por que se está haciendo una operación mental indebida,
que es lo mismo que hacen los numerólogos o los astrólogos:
Se está confundiendo un término técnico, el "cuantificador existencial", con una interpretación alternativa de la palabra "existe" que está sacada del diccionario de la R.A.E.

Eso es una "superchería" absoluta, y hay que tomar conciencia de eso.
La existencia "ontológica" (o sea, en carne y hueso) no es una cuestión matemática.
La matemática de "Hilbert-Zermelo" es una mera manipulación de símbolos.
Y es ridículo estarle pidiendo "pruebas de existencia" cuando se habla de existencia.

Son dos significados de la palabra "existenci"a distintos, que se pretenden poner en un mismo contexto: actitud de superchería o bruja de aviso clasificado.

La "existencia" al estilo de Brouwer y amigos, sí es más "ontológica", porque ellos "construyen" los objetos matemáticos.
Pero ellos "no tienen el símbolo [texx]\exists{}[/texx]" en su versión de matemática.
Ellos usan usa noción distinta de existencia.

Y por si no queda claro lo que la "existencia" significa en la teoría de conjuntos de Zermelo,
uno puede hacer una analogía entre los cuantificadores y los operadores de conjuntos.

Escribir [texx]\exists{j\in J}:a\in A_j[/texx] es lo mismo que escribir [texx]a\in\bigcup_{j\in J}A_j[/texx].
Escribir [texx] \forall{}{j\in J}:a\in A_j[/texx] es lo mismo que escribir [texx]a\in\bigcap_{j\in J}A_j[/texx].

Se trata de meros "operadores", y a nadie le importa si "realmente" existen esos j o esos x tales que cumplen tal o cual propiedad.

Y justamente por eso se llama "Formalismo" a la escuela de Hilbert, porque se trata de un cálculo meramente formal.
Hilbert mismo aclaró que los "transfinitos" no importa si existen o no en el mundo real, lo que importa es cómo se opera con elllos en una hoja de papel, o sea, con los símbolos que representan a los "supuestos" infinitos.
Lo importante es que no haya contradicción.

La cuestión de existencia "ontológica" en el formalismo es más sutil, y tiene que ver con la "existencia" (ahora sí, en carne y hueso) de "modelos" para una teoría axiomática. Y este tipo de cosas es la que han estudiado Godel y los que le siguieron, y es lo que estudian los lógicos hoy en día.
Esos "modelos" suelen ser algebraicos, pero en realidad es todo tan caótico que no te puedo asegurar qué diablos es un modelo, ni si tiene sentido todo lo que se dice o hace en esa rama de estudio, ni si realmente es algo confiable.





Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Garubi en 14/09/2010, 02:29:25 pm
Cita
Son dos significados de la palabra "existenci"a distintos, que se pretenden poner en un mismo contexto: actitud de superchería o bruja de aviso clasificado.

Está debidamente formalizado y presentado como debe hacerse.
En papel.

 :banghead: ;)

Un saludo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 14/09/2010, 06:39:13 pm
Hay una pregunta que quisiera hacer en este punto. ¿Las TC (axiomáticas) presuponen que nos encontramos en una lógica de primer nivel, una lógica de predicados? Creo que la respuesta es sí, pero tengo mis dudas, ¿es correcta esa suposición? Si es cierto entonces las lógica proposicional no podrían tratar con conjuntos y por lo tanto en ella sería imposible construir la matemática tal y como la conocemos hoy en día. ¿Estoy muy equivocado?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 14/09/2010, 07:27:08 pm
La lógica que se usa para las TC es la de primer orden, no la de predicados.

La de predicados no tiene cuantificadores, la de primer orden sí.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: zonurb1 en 14/09/2010, 07:37:29 pm
Que bueno que me aclares estos puntos ,yo recién estoy tratando de ver estos temas ,hay tanta cosa dispersa ,estoy viendo ahora el libro de lógica de Ivorra  ,pero no trata sobre los orígenes y el desarrollo de las distintas corrientes formalismo ,constructivismo etc..
.
Es bueno saber si me tendré que atener a un platonismo matemático (metafisico ) en papel y con un infinito por decreto, y mas aun si no tengo un ente real en que apoyarme es como un globo que créese y que hay que parchar a cada rato. :D

Mal clasificada la ontología para mi gusto dentro de la metafísica siendo el estudio de lo que existe y lo que no existe ,siendo una actividad absolutamente racional y mas física que cualquier otra actividad mental(parece que todavía se cree que el pensamiento no involucra gasto de energia)
La numerología es una práctica adivinatoria utilizando los números. Es un conjunto de creencias o tradiciones que pretende establecer una relación mística entre los números, los seres vivos y las fuerzas físicas o espirituales.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 14/09/2010, 07:59:35 pm
La refencia que hago a la numerología o la astrología se debe a la manera en que "considero" que los numerólogos y astrologos se comportan hoy en día.

Llamando al 0-600-T U D E S T I N O, te aparece un tipo haciendo "juegos de palabras".

Hay que prestar atención a este tipo de engaños, que es muy común y pasa desapercibido: usar una misma palabra con dos significados distintos... y sin avisar, en el medio de un discurso o razonamiento.

Esos juegos de palabras son propios del estilo de la superchería de estos tiempos.

Es una falacia, diría yo, semántica.

Y es fácil que caigamos en ella nosotros mismos, al confundir dos sentidos distintos de una misma palabra, o dos versiones parecidos de un mismo concepto, etc.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 15/09/2010, 02:50:06 pm
Me ha dejado un poco sorprendido tu respuesta argentinator:

La lógica que se usa para las TC es la de primer orden, no la de predicados.

La de predicados no tiene cuantificadores, la de primer orden sí.

Echa un vistazo a este documento que te adjunto, que afirma justo lo contrario:

Lógica de Predicados (http://www.di.uniovi.es/~labra/FTP/LPRED.pdf)

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 15/09/2010, 03:13:28 pm
Me puedo haber equivocado. Tengo algo de ensalada ya a esta altura.

Pero hay una lógica (quizás se llame "proposicional") que no usa cuantificadores, y hay otras que sí cuantifican.

A ver qué dice wikipedia...

En todo caso, me disculpo por el error.

A lo que me refiero con lógica "sin cuantificadores" es a la lógica de orden 0, tal como se enuncia en el PDF que colgaste.
Y la lógica con cuantificadores, será la de 1er orden, u órdenes mayores.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 15/09/2010, 03:30:26 pm
Eso si me encaja con lo que llevo leido sobre lógicas varias. A estas alturas estoy revisando algunas cuestiones elementales de lógica para aclarar un poco mis ideas, me refiero a esas ideas que nunca se exponen ni se discuten porque todo el mundo las presupone conocidas, preguntas tales como la que planteé antes sobre las TC, etc.

La lógica proposicional (la que trata con proposiciones) no tiene cuantificadores, la lógica de predicados si los tiene, y ahí venía el motivo de mi pregunta, de la que al parecer es correcta la respuesta que propuse, las TC axiomáticas implican el uso de una lógica de primer nivel ó lógica de predicados (con cuantificadores) ya que la lógica de proposiciones al no tener cuantificadores no puede tratar con relaciones entre objetos y las TC si lo hacen.

Con vistas a problema de fondo del debate resulta pues que para poder establecer un fundamento suficientemente sólido de la matemática, a todo lo comentado ya con anterioridad, debemos añadir una lógica de predicados ó de primer nivel (yo diría que ambas expresiones hacen referencia a lo mismo) sin la cual sería imposible construir la matemática en la forma en que se hace hoy en día, es decir, basando todo el armazón en la TC. Por lo tanto si quisiéramos buscar alternativas a esta forma de hacerlo estaríamos obligados como mínimo a buscar recursos suficientes para substituir a una lógica de este tipo y eso empieza a parecerme ya una tarea suficientemente ardua.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 15/09/2010, 03:44:02 pm
En la lógica de 1er orden se enuncian (o agregan o enmarcan) los axiomas de ZFC.

Toda la matemática estándar "vive" ahi.

La lógica de 1er orden parece no muy potente, pero los axiomas de ZFC son los que proveen la "potencia" expresiva necesaria.

Fijate que si no, para obtener "potencia", se apela a lógicas de orden superior al 1ero.

Pero sospecho que la potencia de estas lógicas es "excesiva".

Sin embargo, hay enunciados matemáticos muy abstractos y generales que no "caben" en lógica de 1er orden ni ZFC.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 15/09/2010, 05:00:43 pm
Ahora bien, llegados a este punto hay otra pregunta interesante: ¿Qué es lo que aporta en esencia este tipo de lógica? Incluso vista desde fuera de las TC. ¿Qué cualidades tiene que nos permite realizar el desarrollo posterior que sigue?. Yo creo que fundamentalmente nos permite distinguir entre unos objetos y otros por las propiedades que satisfacen ó no. Es decir, se admite que un mismo predicado (una cualidad) pueda ser verdadero ó falso dependiendo de cuales sean los objetos a los que se aplique. Esta es una propiedad que nos permite hacer referencia a diversos objetos estableciendo así sus propiedades, ó bien establecer relaciones entre distintos objetos (de equivalencia ó de orden), pero esas son habilidades que le hemos reconocido a nuestra mente. Es decir, nuestra mente identifica objetos, determina sus propiedades y establece relaciones de equivalencia y de orden mediante la comparación de objetos. Entonces ¿que es lo que no podemos hacer solo con las habilidades reconocidas hasta el momento de nuestra mente? Pues creo que es la inferencia propiamente dicha, la deducción lógica, pero ... en esencia ¿qué es la inferencia? ¿qué es lo que hace nuestra mente cuando realiza una deducción lógica? Esa es una buena pregunta.

Por ejemplo, si mediante la comparación de varios objetos concluimos que:

[texx]a>b[/texx]         [texx]b>c[/texx]

que es lo que justificaría que podamos concluir, sin comparar los objetos [texx]a[/texx] y [texx]c[/texx], que:

[texx]a>c[/texx]

Con la lógica formal nos está permitido establecer semejante inferencia, pero ... ¿nuestra mente, sin lógica, solo con los recursos de la intuición sería capaz de concluir lo mismo? Otra interesante pregunta y sencillamente creo que la respuesta es no. Es necesario pues establecer las reglas que nos permitan realizar inferencias, y esas reglas serán en esencia la lógica, cualquiera que sea la forma que le demos. Así pues parece que no va a ser fácil prescindir de una "lógica". Quizás fuera posible encontrar otros formatos, otras maneras de estructurar nuestro pensamiento racional, pero en esencia serán otras formas distintas de lógica, con sus principios, sus axiomas y sus reglas de juego y en las que no intervendrá la intuición. Son, digamoslo así, el reglamento de nuestro pensamiento racional al que siempre estaremos sometidos a la hora de inferir. Podremos quizás escoger entre distintas opciones, entre distintos reglamentos, podemos diseñar muchos tipos de lógicas distintas, pero lo que no podemos evitar es tener que elegir una de ellas. Lo que nos sumerge de improviso en otra cuestión también interesante, y es la de la arbitrariedad de la lógica, tema no menor, pero que dejaremos para más adelante si acaso.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Boni en 18/09/2010, 07:59:32 pm
Hola, soy nuevo. Envío un saludo a todos, y en especial a los participantes en este hilo.

Tengo curiosidad por conocer cómo quedan vuestros esquemas mentales matemáticos, después de haber visitado la web  www.isodimensional.com. Además de las páginas, he leído también el artículo, y sinceramente empiezo a creer que sobre los fundamentos de la matemática no está todo dicho, aunque discrepo sobre algunas cuestiones allí mencionadas. Por ejemplo, por el hecho de que sea de naturaleza discreta, no creo que sea una “nueva matemática”, sino la misma matemática euclidiana de siempre, pero con otros fundamentos.

En fin, ya me diréis algo.

Saludos (esta vez de despedida)

Boni.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 20/09/2010, 03:46:33 am
Hola Bani. La página que pones es una perorata. Huye de allí.
Una matemática sin axiomas (al menos implícitos) no puede contener demostraciones, entonces no pasará de ser un cúmulo de afirmaciones inconexas.

Respecto a la idea de formalizar una matemática sin continuo, creo que es totalmente realizable, solo resta ver qué cosas deseables se pierden con ella.

Saludos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Boni en 20/09/2010, 07:17:58 pm
Hola Cristian C (y demás foreros)

Quizás tengas razón, pero no veo la relación o dependencia entre axiomas y demostraciones, cuando están disponibles todas las herramientas y elementos matemáticos en formato discreto para llevarlas a cabo. No sé si habrás leído el artículo, pero en lo referente a los axiomas deja claro que no son necesarios, porque al ser discreto el espacio, y todos los elementos y conceptos matemáticos que se manejan− cito en su propios términos  −“no son necesarios los actos de fe”, o sea, los axiomas, que son realmente eso, pues como bien sabes, no admiten demostración. Yo creo mucho en los patrones y paralelismos conceptuales (analogías), por lo que te dejo un pensamiento para que reflexiones.

A partir de actos de fe, se han publicado suficientes libros de teología como para construir con ellos otra gran muralla china, y sin embargo aún no sabemos si existe Dios. ¿No podría ser que los “actos de fe” permiten desarrollar todo lo que se nos ponga por delante, sin que haya nadie capaz de decir “para el carro”, precisamente porque el punto de partida son actos de fe irrefutables? Sinceramente, yo preferiría una matemática sin dogmas, aunque sean muy razonables (como los axiomas), por eso no hago ascos a que se trabaje en el desarrollo de una matemática de naturaleza discreta (una idea que, según veo, también crees en ella), por lo que me parece muy loable la iniciativa de asa página. 

Saludos, y gracias

Boni


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 20/09/2010, 08:29:37 pm
No Boni. Los Axiomas no son "actos de fe".
Los Axiomas son sólo una lista de "supuestos básicos" con los que "arranca" una teoría.

Son puntos de partida.

La matemática es abstracta. Cuando se da un sistema axiomática, lo que significa es que se lista una serie de propiedades comunes a varios sistemas, y así, por abstracción, se estudian las propiedades comunes a todos esos sistemas.

No hay necesidad de fe, porque no se habla de nada concreto.

Los objetos de una teoría axiomática no tienen definición, así que no son nada.
Se define a esos objetos de forma "virtual", indicando cómo interactúan entre sí, a través de los axiomas.

Así que, suponiendo ciertas relaciones entre ciertos objetos, ¿qué consecuencias trae esto?



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 21/09/2010, 12:31:57 am
Hay una diferencia muy considerable entre un dogma de fé y una verdad matemática. Los primeros son incuestionables, hay que aceptarlos como verdades absolutas. Las segundas son verdades relativas, que solo se aceptan si se quiere, pero que pueden modificarse a voluntad. La matemática solo es la consecuencia de aceptar unos determinados supuestos, pero nada nos impediría aceptar otros distintos ó no aceptar ninguno y vivir si ella. ¿Hay algún problema en eso?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Boni en 21/09/2010, 05:26:40 am
Hola de nuevo a todos

Supongo que el término “acto de fe” no es muy apropiado en matemáticas, pues tiene muchas connotaciones religiosas, que sólo sirven para enturbiar más las cosas. Sin embargo, si a los “actos de fe” aplicamos literalmente vuestras opiniones o definiciones de lo que son los axiomas, los resultados que se obtienen en el terreno religioso tienen un paralelismos asombroso con los resultados matemáticos. No voy a poner ejemplos para no alargarme, pero sé que están en la mente de todos.
 
En cuanto a la diferencia entre axiomas y actos de fe que establece Jabato, vuelve a repetirse al pié de la letra el mismo patrón de comportamiento evolutivo. Pequeñas o grandes variaciones en la definición o establecimiento de los actos de fe “incuestionables” han sido el origen de los cismas, o incluso de nuevas religiones, sobre las cuales tampoco pondré ejemplos, pero que están ahí, es decir, justamente igual que lo que sucede en matemáticas, por ejemplo, cuando se varía el postulado (acto de fe) de las paralelas en la geometría (religión) euclidiana, que da lugar al “cisma” de las geometrías (religiones) no euclidianas.

No os dejéis engañar por la semántica, y por favor reconocer que una vez que se han establecido unos principios básicos que cumplan ciertos requisitos (como que no se contradigan, etc.), no es necesario creer en ellos para desarrollar todo un tinglado (matemático o religioso) consistente (sin contradicciones), que nadie en este mundo es capaz de refutar, pues si alguien lo intenta, en seguida  le damos con los principios básicos en las narices, que si son lógicos y razonables, le cierran la boca de sopetón, y para siempre.

En fin, creo que la objetividad y la abstracción son los principios básicos de las matemáticas, que los sistemas axiomáticos son solamente herramientas o medios que sirven como base o punto de arranque para comenzar a construir entes matemáticos más complejos, pero que sólo son necesarios cuando la materia prima con la que se trabaja se nos escapa de las manos (espacios de puntos sin dimensión, espacios infinitamente densos, sacos de elementos (conjuntos) que a voz de pronto tienen infinitos elementos, etc., etc., etc.). Esto no sucede, y con ello volvemos al punto de partida establecido por Cristian C, cuando la materia prima de la matemática es discreta, ya que entonces se pueden desarrollar los entes (conceptos) matemáticos, estableciendo relaciones entre ellos, sin necesidad de suponer nada, exactamente lo mismo que hace un obrero cuando construye una casa, o igual que hizo Miguel Ángel cuando tomo un bloque de mármol (supongo), un cincel y un martillo, y creó el David, sin necesidad de postular la existencia o la esencia de esos elementos de trabajo.

De nuevo un saludo, y gracias a quien corresponda por dejarme expresarme (esto es lo más importante de todo, más que las matemáticas)

Boni.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 21/09/2010, 08:37:14 am
Pues todo va a depender del valor que asignes a las cosas. Cada uno sabe como valora sus propias ideas, por ejemplo, yo podría decirte que para mí la matemática es solo un juego que me permite disfrutar con la lógica y sus enrevesados vericuetos, ó podría decirte que las ideas religiosas son fundamentales para mí, y que el hecho de creer ó no creer ciertos dogmas de fé afecta a mi espiritualidad y a mi vida eterna, pero también podría decirte justo lo contrario de manera que todo es relativo, hasta tu propia existencia lo es. ¿En cuanto valoras tus ideas religiosas? ¿Y tu concepto de la matmática? ¿Y tus convicciónes cuales son?

Pues tu mismo debes contestarte y en función de lo que te contestes deberías actuar consecuentemente. Pero permitenos a los demás que tengamos nuestra propia ética y que nos comportemos de acuerdo a ella. Los dogmas ó el  pensamiento racional, a cada uno le va una u otra forma de pensar, pero no dudes de que ambas cosas no son la misma, ni por asomo. ¡Hasta ahí podíamos llegar!


¡Equiparar el pensamiento racional con el dogma! ¡Pues vaya insensatez!


Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 21/09/2010, 06:54:31 pm
Creo entender un poco mejor lo que dice Boni. Si restringimos la matemática al campo discreto y finito (debe ser finito además de discreto), tenemos una ciencia que simplemente abstrae estructuras del mundo real pero no las extrapola al campo infinito, las mantiene allí, pegadas a la realidad empírica. Entonces, la verdad de los asertos se puede verificar empíricamente y no se requieren axiomas.

Esto es perfectamente posible, pero inspira varias reflexiones. En primer lugar, una matemática así, es una ciencia empírica y no formal. Su estructura de validación es la observación de la realidad, es decir, sabemos que un enunciado es verdadero porque lo que afirma ocurre en realidad.

Esto trae algunas complicaciones importantes. Por ejemplo, ¿como verificamos que 991 es un número primo? Recordemos que no podemos derivarlo de otras afirmaciones porque esto desemboca nuevamente en una familia de axiomas iniciales.
Debemos probar empíricamente, por caso, que no podemos colocar 991 objetos en una disposición rectangular de modo de llenarla por completo. O también podemos verificar empíricamente algún enunciado más simple a partir del cual pueda probarse el carácter primo de 991. Pero esta operatoria se hace tortuosa cuando tratamos con primos mayores o propiedades más intrincadas.

Por ejemplo, consideremos la asociatividad de la suma en naturales. Puedo verificar rápidamente operando con colecciones de objetos reales, que realmente 3 + (2+5) = (3+2) + 5. Pero ¿Cómo verifico el caso 1.235.693 + (2.456.125+599.641)  = (1.235.693+2.456.125) + 599.641?
Es muy claro que tener algo como el principio de inducción nos libra de verificar caso por caso. Pero para tener principio de inducción necesitamos un supuesto formulado para conjuntos infinitos.
En el fondo, esto ocurre con todas las ciencias empíricas: una vez verificada una regularidad en un alto número de casos, se postula la ley general. Pero esta postulación es hipotética, nunca estaremos seguros de la validez de la afirmación para el caso universal a partir de muchos casos particulares.
Así pues, la idea de una matemática restringida al campo finito sin axiomas, nos libra de los axiomas pero nos condena a un sinfín de enunciados hipotéticos, o peor aun, a verificar la asociatividad de la suma para cada terna de números naturales donde la queramos usar, por ejemplo. ¿Se entiende el problema?

Saludos.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 22/09/2010, 03:57:07 am
Se entiende la idea, aunque no se comparte. Podríamos construir una matemática finita y discreta sin necesidad de que ésta fuera empírica, bastaría quizas eliminar algunos axiomas relativos al infinito, aunque verdaderamente dudo de las ventajas ó de la utilidad de semejante construcción frente a lo que ya tenemos ahora.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Boni en 22/09/2010, 05:12:40 am
Hola a todos

Jabato, me parece que no ha sido buena idea mezclar religión con matemáticas. Por separado los dos temas ya son de por sí explosivos en lo referente a fundamentos, y por lo que veo su mezcla resulta aún peor, aunque a decir verdad, no soy consciente de haber herido las creencias religiosas de nadie. ¿Qué tiene de malo decir que, una vez realizada la abstracción correspondiente,  se pueden equiparar los sistemas axiomáticos de las religiones y de las matemáticas? ¿En que hiere esto las convicciones religiosas de cada uno? Posiblemente se deba a una mala interpretación.

Con respecto a lo que dice Cristian C en su última entrega, creo que tiene razón, aunque sólo a medias. En primer lugar, la matemática de siempre (la de los axiomas), por mucho infinito que tenga, a la hora de calcular utiliza 2, 6,10, 40, o n  dígitos de precisión, por lo que en este sentido es igual que cualquier otra matemática discreta (sin axiomas). Por lo tanto, equiparada la utilidad práctica de ambas matemáticas, pasemos al terreno teórico.

Tal como veo las cosas (de momento), en una de las páginas de la susodicha web se dice que el término “ilimitado” encaja mejor que el de “infinito”, y que el “infinito discreto” viene a ser como el infinito que utilizamos con la sucesión de los números naturales. Ahora mi duda es, ¿no es suficiente un “infinito” así, para aplicar la inducción con los números naturales? ¿No es lo que hace Peano? Perdonarme si estoy metiendo la pata hasta el fondo, pues no soy experto en esto, pero a mí me parece que es lo mismo. Si fuese suficiente, un “infinito ilimitado” sería lo que necesita una matemática sin axiomas para cubrir todas sus necesidades teóricas, pues como dice una de las notas, en ella sólo hay naturales, y todos los demás números son interpretaciones, es decir, lo mismo que dijo Kronecker, pero en esta ocasión, literalmente hablando.

En cuanto a tus dudas sobre los números primos y demás, personalmente opino que la matemática (con axiomas), desde siempre, cuando trabaja con números naturales, lo hace en un ámbito discreto (pues los naturales son discretos), pero con un ruido de fondo “que suena a infinito”, que no hace más que molestar. Por lo tanto, no creo que los conceptos, teoremas, etc. de una y otra matemática difieran mucho trabajando con naturales en la matemática sin axiomas, pero sin ruido de fondo. (¡Qué curioso! No sé si os habéis percatado, pero sin buscarlo ha surgido una analogía entre la música analógica (continua), y la digital (discreta)). De hecho, no es preciso especular al respecto, pues por algún lado de la web se dice que la mayor parte del trabajo en el desarrollo de la matemática discreta, se va en discretizar (adaptar) los conceptos de la matemática continua (con axiomas). Además, también se dice que todo lo que requiera el infinito que se define para los reales, no tiene cabida en una matemática así (sin axiomas), como la teoría de los números transfinitos. Creo que más claro, el agua.

Para finalizar, respecto a lo que dice Jabato en su último comentario, en su web el autor no hace más que alabar por todas partes las ventajas de la MDI, y que según él, no las proporciona la matemática de siempre. ¿Has leído la web? Digo esto porque a lo peor estamos aquí escribe que te escribe, sin tener una referencia común sobre la que hablar, y está claro que así no llegaremos a ningún lado. En lo que a mí respecta, a pesar de ser partidario de la existencia de una matemática de naturaleza discreta, tengo algunas dudas sobre lo que se dice en esa web, y en el artículo. Una, que ya comenté en mi primer envío, es que no creo que se trate de una nueva matemática, ya que si los conceptos son los mismos, aunque surjan por otros derroteros, la matemática sigue siendo la misma. ¿Qué opináis? 

Saludos

Boni

PD: De verdad que es todo un placer  no encontrar ni un solo “k”, ni “pq” por  ningún lado del foro.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 22/09/2010, 09:47:07 am
Hola Jabato. Jamás he dicho que es imposible axiomatizar una matemática finita. He dicho en cambio, que si queremos prescindir de los axiomas, debemos validar las afirmaciones mediante la observación y la experiencia, y que esto solo puede hacerse para matemática finita porque el infinito es inobservable.

Cita
En primer lugar, la matemática de siempre (la de los axiomas), por mucho infinito que tenga, a la hora de calcular utiliza 2, 6,10, 40, o n  dígitos de precisión, por lo que en este sentido es igual que cualquier otra matemática discreta (sin axiomas). Por lo tanto, equiparada la utilidad práctica de ambas matemáticas, pasemos al terreno teórico.

Pero la matemática de siempre puede operar con series convergentes y obtener resultados finitos a partir de sumatorias infinitas. Esta que propones tu, no puede.
Pero fuera de esto, el problema que planteo para la idea de una matemática sin axiomas es ¿por qué metodo se verifica si un enunciado es verdadero o falso?

Cita
en una de las páginas de la susodicha web se dice que el término “ilimitado” encaja mejor que el de “infinito”, y que el “infinito discreto” viene a ser como el infinito que utilizamos con la sucesión de los números naturales. Ahora mi duda es, ¿no es suficiente un “infinito” así, para aplicar la inducción con los números naturales?

Tu hablas de "aplicar", de "utilizar", de "calcular" y yo de hablo de validar las afirmaciones.
Te pongo un ejemplo.
El principio de inducción finita dice que si una propiedad enunciada para números naturales se verifica para 1 y cada vez que se verifica para un número se verifica para el siguiente, entonces la propiedad se verifica para todos los números naturales.

Lo que yo te pregunto es: eso que anoté en cursiva ¿es cierto? ¿como lo sabes?
En una presentación axiomática, lo referido en cursiva es verdeadero porque se puede probar a partir de los axiomas. En una presentación sin axiomas ¿cómo aseguramos que es cierto? Una afirmación como la de arriba no se puede validar mediante la observación de los hechos porque no es posible observar conjuntos de objetos de todas las cantidades de elementos.

Así pues, la web que señalas, "agrega" afirmaciones sobre el infinito numerable a sus herramientas, pero no nos dice como saber si son ciertas. Nos quita la cosa que teníamos para asegurarlo (los axiomas) y no nos da nada a cambio. En el caso finito, al menos tenemos la tortuosa vía experimental para validar los asertos, pero con el "infinito de los naturales" no nos deja ni eso.
El inconveniente es más claro que el aire de una mañana estival sobre una pradera sin bruma. :)

Saludos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 22/09/2010, 11:05:08 am
En lo que a mí respecta, a pesar de ser partidario de la existencia de una matemática de naturaleza discreta,

Ser "partidario" de algo no es científico. ¿CUál es el sentido de ser partidario de una postura?

No es esto una cuestión política, sino de tratar de comprender las posibilidades y limitaciones de cada tipo de fundamento que se propone para la matemática.

Yo estoy "educado" en la teoría axiomática, con "ingredientes" de la teoría de modelos, tal como los que investigó Godel en sus comienzos.
Pero eso no quiere decir que yo sea "partidario". Eso por dar un ejemplo.

Además, Boni, lo que estás llamando "ilimitado", matemáticas finitas... es más de lo mismo, es otra vez el intuicionismo dando vueltas por ahí, y Jabato mismo unos posts atrás se puso "partidario" de ese tipo de fundamento.

Pero se sabe ya que ese tipo de postura "no es suficiente" para recuperar todos los hechos matemáticos que se han demostrado con los fundamentos axiomáticos de tipo Hilbert-Zermelo-Fraenkel.

Si leyeras este hilo desde el comienzo, verás que han aparecido ya casi todas las formas posibles de fundamentar la matemática (me refiero a las posiblidades que siempre reaparecen una y otra vez).
Y conviene no dejarse "deslumbrar" por páginas webs exóticas donde algún "iluminado" cree descubrir algo nuevo.

Nada es nuevo, los problemas de fundamentos de matemática son los mismos desde hace unos 150 años, salvo que ahora se sabe mucho más de lógica y teoría de modelos.
Pero uno tiene que preguntarse si lo que uno piensa, defiende o propone, no es acaso "lo mismo"  :banghead: que ya han hecho otros.  :banghead:



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 22/09/2010, 11:15:33 am
En una matemática como la que tratas de describir no tendrían cabida conceptos tales como el de número real, continuidad ó los conceptos geométricos de recta y plano, por citar solo algunos ejemplos. Dudo mucho que una tal matemática tuviera alguna utilidad, y aún con todo si la tuviera es muy dudoso que resolviera algún problema que no pueda resolver la matemática ordinaria. No creo que un invento como ese sirva para algo más que el de ser un divertido pasatiempo.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Luis Fuentes en 22/09/2010, 12:28:20 pm
Hola

 Perdonad que me entrometa pero de pasada habéis citado (y criticado) la WEB:

 www.isodimensional.com

 ¿Me pregunto si detrás de una apariencia un tanto exotérica puede haber algo interesante?. Para no desviar el tema central que tratáis, introduzco esta reflexión en otro hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,37720.new.html#new

Saludos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 22/09/2010, 01:58:11 pm
 ::)


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: ahuroriitha en 14/10/2010, 02:08:08 am

Hola, Aargentinator. Bueno, eres un profesional de las matemáticas, tienes que tener eso en cuenta, vives en un mundo rodeado de gente que usa las matemáticas, pero son físicos, ingenieros, alumnos...
Cuando estaba en la universidad, recuerdo que todos usábamos los mismos libros de matemáticas, sin embargo, era muy distinta la forma de ver la materia según qué carreras. Mientras los de físicas, por ejemplo, en el primer parcial ya habíamos hecho problemas de todos los colores (de proyecciones, simetrías, Jordan... derivadas, integrales...) los de matemáticas sólo habían visto teoría; se pasaron un mes estudiando teoría de grupos sin hacer un sólo problema de transformaciones, por ejemplo (lo sé porque de vez en cuando me metía en sus clases, de oyente). Yo ya era mayor, no lo hacía con vistas a un futuro profesional, y sí me interesaba la teoría, pero a la mayoría de los demás sólo les interesaba la práctica; y a algunos sólo les interesaba aprobar para tener el día de mañana una carrera y un trabajo; y así poder casarse.
 
Ya sabes el chiste: iban en un avión un ingeniero, un físico y un matemático. A Esto que pasaban sobre una gran isla, vieron que en un prado estaban pastando unas ovejas; una de ellas era negra.
 El ingeniero dijo: en esa isla hay ovejas.
El físico contestó: en esa isla hay ovejas blancas y una negra.
Y el matemático añadió; en la parte sur  de esa isla hay ovejas blancas y al menos una oveja negra.
 Yo estoy de acuerdo en que hay que definir las cosas antes de nada; no sólo en matemáticas, en todo (eso no quiere decir que deje de meter la pata en muchas ocasiones, por ignorancia u olvido; pero no quita para estar de acuerdo).
La matemática es, en gran medida, la búsqueda de la verdad; pero muchas veces, en los debates, nos traiciona el orgullo, la falta de objetividad, el querer tener razón siempre como si nos pagaran por ello. Conseguir domar esa tendencia es quizá lo más difícil de todo. Por eso la matemática puede ser una magnífica disciplina para aprender a ser humilde en todas las facetas de la vida; que es mucho más difícil que el más intrincado de los problemas.

 Saludos    :)
 





:aplauso:

Todo eso es muy cierto, estoy de acuerdo contigo, no puedo dar mi opinión porque en realidad no sé nada de matemáticas, o por lo menos no a su nivel así que solo me informo  trato de descubrir lo que en realidad son  :D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 04/10/2011, 07:08:24 pm
Hola, argentinator.

Hay mucha tela que cortar y no es fácil decidir por dónde empezar. Ante todo, creo que no está de más un "disclaimer":

Soy consciente de que todo cuanto voy a defender aquí es una postura concreta frente a la cual hay muchas alternativas, todas ellas respetables. Pero me da mucha pereza intercalar en todas mis frases un "creo que" o "en mi opinión", "yo diría que", etc. Es más fácil dejar claro desde el principio que cuando diga "eso es así" no hay que entender "esto es así y el que opine lo contrario se equivoca", sino "yo creo que eso es así".

Para centrar el debate, creo que lo mejor será que copie algunas frases tuyas y las comente, no con ánimo de argumentar, sino simplemente de poner sobre la mesa nuestras posturas y nuestras diferecias. Mi propósito aquí es borrar la ventaja con la que cuento al haber leído el hilo y saber cómo piensas tú mientras que tú no sabes cómo pienso yo. En cuanto tú sepas dónde me sitúo yo estaremos en condiciones de hablar sin dar palos de ciego.

Copio de tu post más antiguo en este hilo, así que si hay algo sobre lo que tu pensamiento haya evolucionado y no quieras mantener ahora, sólo tienes que indicármelo.

Una de las obsesiones que me están haciendo perder la razón es hallar el correcto fundamento de la matemática.
Se supone que la matemática es la más exacta de las ciencias, y en tal caso sus fundamentos deben ser aún más exactos, claros, definidos y precisos.

[...]

La construcción mental que tengo de la misma es más o menos como sigue:

* Existen varios temas complejos e interesantes en "la" matemática, que la gente usualmente prefiere clasificar en "ramas" de la matemática. Esas "ramas" se construyen conceptualmente como "teorías axiomáticas".

[...]

Así, tenemos las ramas típicas: Cálculo, Álgebra Lineal, Álgebra (general), Geometría euclidiana, Análisis matemático, Teoría de Medida, Topología, Geometría Diferencial, Teoría de Representación, Teoría de Grafos, Análisis Numérico, Optimización, y un larguísimo etcétera.

¿Todas estas teorías son especulaciones en el aire, o tienen una base sólida?

Si yo quiero darle una base a cualquiera de estas teorías, recurro a la teoría de conjuntos. Veamos:

* Todas esas teorías pueden fundamentarse a partir de la Teoría de Conjuntos estándar, y para ello basta cualquiera de las "clásicas": Teoría de Zermelo-Fraenkel, Teoría de Newman-Godel-Bernays, Teoría de Morse Y Kelley.

Así que la cuestión de la validez de las teorías o ramas de la matemática puede reducirse a la validez de la teoría de conjuntos.

Ahora bien, la teoría de conjuntos ¿se construye en el aire o tiene alguna base?

* La validez de la teoría de conjuntos se inscribe en la lógica. Existen operaciones lógicas básicas que tienen su contraparte operativa en la teoría de conjuntos... pero lo importante es que si uno confía en la lógica, puede basar la teoría de conjuntos en ella, y luego toda la matemática se sostiene en estos pilares.

Hasta aquí, totalmente de acuerdo.

Sin embargo, la lógica podría haberse inventado de una manera caprichosa o difusa.
Si nos adscribimos a la forma discursiva de la lógica de aristóteles, quizá nos formemos la idea de que los razonamientos descansan en el discurso, y en algunas operaciones lógicas básicas.

En realidad no se trabaja así, sino que primero se construye un lenguaje para la matemática, formado por un "alfabeto", o sea, una lista de símbolos que se consideran válidos, y sólo esos.
Esos símbolos se combinan entre sí mediante reglas bien definidas, que determinan qué combinaciones forman una frase "con sentido" para la lógica, y cuáles no.
Luego, con esos símbolos y construcciones se da una lista de postulados iniciales que serán los axiomas de la teoría de conjuntos.

O sea que la teoría de conjuntos se define con un lenguaje (que pretende ser) preciso.
Las afirmaciones de ese lenguaje podrán ser verdaderas o falsas, y podrán demostrarse o no.

Hasta aquí de acuerdo, salvo un mínimo matiz: nadie pretende asegurar que exista un criterio, no ya para dedicir, sino siquiera para atribuir un valor de verdad concreto a las afirmaciones del lenguaje de la teoría de conjuntos. Si es consistente tendrá sus modelos, pero una misma afirmación podrá ser verdadera en unos y falsa en otros, sin que se pueda decir que un modelo es más "digno de crédito" que otros. Por ejemplo, no creo que pueda decirse si "de verdad, de verdad de la buena", la hipótesis del continuo es verdadera o falsa (otros opinan lo contrario, pero en cualquier caso la fundamentación de las matemáticas no depende para nada que tengan razón los unos o los otros sobre este punto.)

* Así que toda la matemática descansa en la lógica ahora.
¿Y la lógica, sobre qué bases descansa?
Resulta que la lógica se inscribe en un marco que se llama actualmente "metamatemática".
Allí se define lo que es un lenguaje de primer orden: una lista de símbolos (finita) y unas reglas de formación de expresiones (finitariamente recursivas).

Ese lenguaje es de carácter sintáctico, o sea, vacío de significado, son sólo reglas de formación de expresiones. Cuando uno las usa para expresar teoremas matemáticos, está jugando con la intuición, pero las demostraciones son un puro cálculo.
No puede uno hablar de cosas que están más allá de lo que uno puede demostrar.

Se puede especular o conjeturar, pero no se puede afirmar nada categóricamente.
Y el carácter de la lógica es esencialmente "vacío de significado".
O sea, es "formal".
Así es como me tomo toda demostración o todo cálculo.

Sí, pero hay un hecho crucial que pareces pasar por alto, pues con lo minucioso que estás siendo en tu análisis, si no lo pasaras por alto lo mencionarías:

El lenguaje formal que construye la metamatemática para la teoría de conjuntos es formal en el sentido que explicas perfectamente, pero el lenguaje de la metamatemática no es en absoluto un lenguaje formal, sino que la metamatemática basa sus afirmaciones en el significado concreto y preciso de los conceptos que utiliza, justo lo contrario a lo que sucede con el lenguaje de la teoría de conjuntos, donde evita en todo momento apoyarse en el posible significado de los signos que manipula.

Quiero decir que los conceptos de "signo", "cadena de signos", "axioma", "demostración", "variable libre", etc. no son conceptos formales regulados por axiomas que no tienen en cuenta su posible significado, sino que cuando decimos, por ejemplo, que, si una fórmula tiene la estructura [texx]\phi\equiv \forall x(\alpha\rightarrow \beta)[/texx], entonces las subfórmulas [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx] tienen menor longitud (menor número de signos) que la fórmula [texx]\phi[/texx], esta afirmación no puede entenderse en absoluto como un teorema deducido formalmente de unos axiomas sino que hay que entenderla igual que como entendemos que si entre mis alumnos hay hombre y mujeres, el número total de mis alumnos varones ha de ser estrictamente menor que el número total de mis alumnos. Esto lo comprende cualquiera con pleno conocimiento de causa sin necesidad de recurrir a ningún axioma.


Sólo una cadena ordenada de símbolos sin significado, pero a los cuales uno puede adornar con bellas intuiciones del infinito, de la geometría, de la física (espacio y tiempo), etc., etc.

* En particular, los números mismos los adscribo a la teoría de conjuntos y la lógica.

Si con esto quieres decir que para ti los números naturales son, por definición, los objetos construidos en la teoría de conjuntos a los que se les da tal nombre, ahí discrepamos totalmente. Ese punto de vista es autodestructivo. Tiene perfecto sentido decir que los axiomas de ZFC son siete (extensionalidad, vacío, par, unión, infinitud, regularidad y elección) más el esquema de reemplazo (que comprende infinitos casos particulares), y ahí he usado los conceptos de "siete" e "infinito" desde "fuera" de ZFC y, por consiguiente, no en el sentido formal definible en ZFC sino en el mismo sentido "material" en que puedo decir que los dedos de mi mano son cinco y que el número de poesías que pueden formarse en castellano es infinito. Nada de eso depende de ZFC para tener perfecto sentido.

Me salto todas tus (precisas) referencias a Hilbert, Russell, intuicionistas, etc. Todo eso me da igual. Mi opinión personal es que dar vueltas a lo que pensaban personas inteligentes en un momento de confusión intelectual desorienta más que otra cosa.

Lo que nunca me quedó claro es: cómo es que alguien puede justificar las aseveraciones en el mundo de los lenguajes de primer orden.
1 * No se puede hablar de una teoría matemática o de los números mismos, sin antes haberlos dado mediante axiomas basados en la teoría de conjuntos.

Falso. Los axiomas de Peano eran cinco, cosa que puede constatar cualquiera a quien se le presenten antes de deducir nada a partir de ellos.

2 * No se puede hablar de conjuntos y cardinales sin antes haberlos establecido en una teoría lógica.

Falso. El conjunto de los axiomas de ZFC es un conjunto de cardinal infinito perfectamente definido antes de demostrar ningún teorema de ZFC.

3 * No se puede razonar lógicamente sin antes haber definido la lógica y sus reglas en el lenguaje de primer orden. (O en cualquier otro lenguaje).

Rotundamente falso. Para admitir un teorema como válido, tienes que razonar que realmente se somete a la lógica y a sus reglas del lenguaje de primer orden (es decir, que no has metido la pata en la demostración) y ese razonamiento no puedes hacerlo formalizado en la lógica de primer orden, pues para admitirlo como válido tendrías que razonar que realmente se somete a la lógica y a sus reglas del lenguaje de primer orden y... ¿has leído "Lo que la tortuga le contestó a Aquiles"?

Si se viola esa cadena de prohibiciones, me vuelvo loco.
Por una parte, considero que es un vicio de "circularidad".
La circularidad sin alguna consideración especial, no puede dejarse a su libre albedrío: es fuente de paradojas, y es un pecado mortal para cualquier matemático o lógico.

No creo que haya circularidad alguna. Una situación muy sutil, sí, pero circularidad no. Ya hablaremos sobre esto.

Otra objeción proviene del modo en que entiendo a los "conjuntos" de la teoría de conjuntos.
Para mí, no existen como colecciones de ninguna cosa, son sólo "letritas en una expresión lógica vacía".
Si voy a usar la palabra "conjunto" en contexto metamatemático, tengo que ser específico en eso, ya que estoy haciendo una "interpretación" o "modelo" de la teoría de conjuntos.
Pero a la larga, esto implica que estoy tomando a la lógica como modelo de sí misma, o a la teoría de conjuntos como modelo de sí misma.

Eso es una circularidad viciosa, y además conlleva la deshonestidad de que un sistema bien puede justificarse a sí mismo, pero eso no es garantía de que sea válido.

Creo que este párrafo y el anterior definen el núcleo del problema y en mi próximo post (salvo que me propongas otra cosa) trataré de centrarme en darte una réplica fundamentada a ambos.


Es como si yo me invento un sistema judicial, luego se me acusa de haber cometido una fechoría, y uso a mi propio código penal para juzgarme a mí mismo: "Me considero Inocente y libre de culpa".



Al demostrar teoremas acerca del lenguaje de primer orden en sí mismo, la gente alegremente hace operaciones aritméticas, o habla de conjuntos, o de cardinales...
Yo no logro aceptar ese tipo de cosas porque, como se ve en el esquema de ahí arriba, ninguna de esas cosas tienen sentido cuando uno está en la etapa de un lenguaje de primer orden.

No se puede hablar de conjuntos, porque aún no están definidos. Tampoco se puede usar la lógica, porque la lógica misma no se ha definido.

Si se habla de "conjuntos", entonces serán de "otro tipo" que los de "la" teoría de conjuntos que puse en el esquema de flechas arriba.
Y si se usa una "lógica" para razonar, será otra distinta a aquella que aún no se ha definido ni construido ni nada.

Por ahí van los tiros. Ya lo discutiremos con detalle, pero es obvio que los conjuntos de la metamatemática son de otro tipo que los de la teoría de conjuntos, pues, como tú muy bien dices, los conjuntos de la teoría de conjuntos no son "nada" (o, si son algo, son algo polémico y la gracia de la lógica formal es no tener que meterse en esa polémica y poder trabajar como si no fueran nada). Por el contrario, lo conjuntos de la metamatemática son indudablemente algo, son conjuntos, colecciones de elementos de verdad, no letras y afirmaciones y es esencial tratarlos como algo, es decir, razonar sobre ellos, no formalmente, manipulando afirmaciones sobre ellos sintácticamente, sino semánticamente, justificando cada afirmación considerando de forma esencial su significado concreto, unívoco y completamente riguroso.

Para mí, el mundo metamatemático es lo mismo que a un pez que lo sacan del agua.
Mientras estoy en el mundo de la lógica de primer orden y la teoría de conjuntos, me siento como un pez en el agua.
Pero cuando me sacan "afuera" de ese mar, ya no puedo respirar.

Eso es pura sugestión.  ;D  Es como quien tiene miedo a nadar por si se ahoga, con un poco de decisión puede liberarse de sus traumas.

Y tengo la impresión de que se hacen operaciones ilegítimas o no bien fundamentadas.
Me parece extraño que los otros peces puedan respirar afuera del "agua".


Claro, que esto es sólo mi esquema mental, y quizá le estoy pifiando en tonterías.  :banghead:

Pues eso creo yo, que el problema está en que tu esquema mental no es afortunado. (Recuerda el "disclaimer"). Trataré de proponerte otro, a ver si te convence.

Doy por sentado que los aburrí con todo esto.

Esto último es el error más grave que he leído en todo tu post.   :D

Lo dicho: mi intención no ha sido tratar de convencerte de nada. Sólo quería que supieras en qué puntos discrepamos, a modo de primera aproximación al problema. Salvo que me lleves a contestarte a otras cosas que me digas, en mi próximo post trataré de entrar en el asunto y argumentar mi punto de vista.

Un saludo.

P.D.: Si te aburro no estás obligado a aguantar mis rollos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 04/10/2011, 07:45:38 pm
Me gustaría hacer solo un inciso, ya que veo que el debate deriva por los flecos de la metamatemática. En algún otro debate quedó claro, al menos para mi, que los lógicos, cuando tratan temas de la metamatemática pueden utilizar números llamémosles ... pseudonaturales. Son números naturales y aunque pueden usarlos no pueden decir que existe el conjunto de todos los números naturales. Los números "pseudonaturales" construidos uno a uno en cualquiera de las formas posibles son potencialmente infinitos pero para un lógico no son un conjunto, claro está que no pueden serlo si antes no se ha establecido una TC. Tampoco pueden manejar el concepto de infinito (salvo que lo definan previamente), ni otros conceptos que se derivan de él, pero en mi opinión sí pueden manejar números, naturales, enteros y racionales, sin problemas y toda la matemática que es posible construir con ellos. Por ejemplo la aritmética. Pueden por lo tanto contar objetos en cantidad finita y realizar algunas operaciones básicas como la suma ó el producto de números naturales, enteros ó racionales, y todo ello sin necesitar en absoluto tener una TC previamente establecida.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 04/10/2011, 08:43:27 pm
Me preguntaste al principio si mi pensamiento había "evolucionado" (cambiado).

En realidad, tras indagar al menos un poco más que lo que sabía en aquel entonces no he hecho más que estar más porfiado en mis puntos de vista sobre la matemática.
Me parece un ámbito científicamente "deshonesto" (no me refiero a las personas que la estudian, sino al modo en que se fundamentan las cosas).


El lenguaje formal que construye la metamatemática para la teoría de conjuntos es formal en el sentido que explicas perfectamente, pero el lenguaje de la metamatemática no es en absoluto un lenguaje formal, sino que la metamatemática basa sus afirmaciones en el significado concreto y preciso de los conceptos que utiliza, justo lo contrario a lo que sucede con el lenguaje de la teoría de conjuntos, donde evita en todo momento apoyarse en el posible significado de los signos que manipula.


Estás afirmando implícitamente la metamatemática se basa en afirmaciones en el significado concreto y preciso de los conceptos que utiliza.

¿Cuál significado concreto? ¿Dónde está la precisión?

Es metalenguaje, y las convenciones que se usan son de tipo lingüístico.
Eso es un ambiente impreciso.
La gente "cree" que está de acuerdo en que habla de lo mismo, pero es que comparten una jerga común.

Yo, que estoy cerca de los lógicos por ser matemático, y por estar interesado en lógica, resulta que me cuesta entender las convenciones lingüísticas que han hecho.

Si realmente fuesen convenciones claras y precisas para cualquiera, en particular lo serían para mí, y yo no me estaría quejando de nada.

Si no es obvio, no hay lugar a un metalenguaje preciso.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 04/10/2011, 08:55:14 pm
Estás afirmando implícitamente la metamatemática se basa en afirmaciones en el significado concreto y preciso de los conceptos que utiliza.

No lo estoy afirmando implícitamente. Lo estoy afirmando explícitamente. Bueno. Ese era mi objetivo por hoy. Ahora ya sabes en qué discrepo de ti y me acabas de confirmar que discrepas de mí en lo que yo pensaba a raíz de haber leído el hilo. Ahora estoy cansado, que aquí en España son las dos de la mañana. Me voy a dormir y mañana, si tengo tiempo, que me hará falta bastante, procuraré entrar en harina.

@Jabato: Estoy de acuerdo con lo que dices, bueno en realidad me parece bastante moderado lo que dices, yo iría un poco más lejos, pero eso es precisamente lo que hay que justificar aquí, y a eso voy. Mañana será otro día.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 04/10/2011, 09:08:29 pm

Quiero decir que los conceptos de "signo", "cadena de signos", "axioma", "demostración", "variable libre", etc. no son conceptos formales regulados por axiomas que no tienen en cuenta su posible significado, sino que cuando decimos, por ejemplo, que, si una fórmula tiene la estructura [texx]\phi\equiv \forall x(\alpha\rightarrow \beta)[/texx], entonces las subfórmulas [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx] tienen menor longitud (menor número de signos) que la fórmula [texx]\phi[/texx], esta afirmación no puede entenderse en absoluto como un teorema deducido formalmente de unos axiomas

sino que hay que entenderla igual que como entendemos que si entre mis alumnos hay hombre y mujeres, el número total de mis alumnos varones ha de ser estrictamente menor que el número total de mis alumnos.

 Esto lo comprende cualquiera con pleno conocimiento de causa sin necesidad de recurrir a ningún axioma.


Las cosas que "cualquiera" puede comprender en la vida cotidiana, son cosas "subjetivas", basadas en información imprecisa, o desinformación, o incluso ignorancia.

También obedece a convenciones culturales, que hasta pueden ser locales, que sólo un pequeño grupo entiende.

Uno puede tener ideas de "número", "cantidad", conjuntos de ciertos tipos de objetos.

Pero son conceptos difusos, porque dependen del lenguaje, y de la cultura.

No se puede dejar librado al libre arbitrio del lenguaje coloquial, el sentido común, y otros males anti-racionalistas de la mente humana algo tan importante como lo es el fundamento de la matemática, la más racional y precisa de las ciencias.

No hay garantía alguna de que el uso o abuso del sentido informal o coloquial de esos términos lleve siempre a resultados claros, precisos y consecuentes.

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Una de las cosas que me molesta terriblemente es ese ejemplo que has puesto, que viene como anillo al dedo.

Dijiste: "si una fórmula tiene la estructura [texx]\phi\equiv \forall x(\alpha\rightarrow \beta)[/texx], entonces las subfórmulas [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx] (...)"

No tiene sentido hablar del número de elementos de una fórmula.
¿Qué concepto de número estás usando?

Y además, cuando te vas a una "subfórmula", te estás yendo en forma "recursiva" hacia otra cosa que tiene una estructura similar.
¿Qué te asegura que al ir tomando sucesivas subfórmulas vas a llegar a una fórmula atómica, o sea, que ya no haya subfórmulas posibles, y el proceso termine en "finitos" pasos?

Respuesta: Se puede estar seguro de algo así si uno aplica el PODEROSO principio de que "todo conjunto de números naturales tiene un mínimo".

Es eso lo que se está usando para poder deducir que una secuencia de subfórmulas tiene que tener un último elemento, o que el proceso de ir tomando sucesivas subfórmulas es "finito".

Se están usando propiedades demasiado fuertes de los números naturales.

No es cuestión no más de decir: Bueno, si entiendo lo que significa "ocho", entonces no hay problema en entender metalógicamente lo que significa "nueve".

Ir "agregando de a uno" es algo metalógicamente más simple (no quiere decir que me lo crea, pero me parece más aceptable).
Pero usar el "principio del mínimo" en forma implícita, sin siquiera tener la honestidad de reconocer que se está haciendo tal cosa, me parece grosero.

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Digo yo, ¿qué garantías hay de que hacer este tipo de razonamientos con números metamatemáticos (por llamarlos de algún modo) no llevará a paradojas, contradicciones o errores?

Hay ya ejemplos de este tipo de problemas al razonar así, cuando se mezclan propiedades de los números arbitrariamente en el lenguaje coloquial.
El caso típico es la paradoja de Berry.

Si bien no se aplicaría dicha paradoja en la metamatemática,
no obstante la paradoja de Berry quiere decir esto: "hemos hallado al menos una paradoja en el lenguaje coloquial. ¿Por qué no puede haber otras?"

¿Se han tomado todas las precauciones suficientes?

El único modo de ser bastante precavido con esto es declarar con precisión el alcance de la metalógica, sus "reglas" (meta-axiomas, o axiomas en la metalógica), e indicar con precisión qué se entiende por "cantidad" o "número" en ese contexto.

No puede darse nada por "sobreentendido", porque hay libertad de sobreentender cosas distintas por parte de individuos distintos.
Eso cae en el ámbito de lo subjetivo, lo cual es anticientífico.

No hay que olvidar que la matemática es una ciencia.




Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 04/10/2011, 09:12:32 pm
Estás afirmando implícitamente la metamatemática se basa en afirmaciones en el significado concreto y preciso de los conceptos que utiliza.

No lo estoy afirmando implícitamente.

No, no. Me refiero a que estás haciendo una "afirmación implícita" dando por cierto algo que no lo es, o que no está probado, o de lo que yo pienso que no es cierto.

Estás aceptando de entrada que hay "significados concretos" y "precisión".
Y yo digo que no hay tales cosas.

Para que las haya, la gente tiene que ponerse a discutir y ponerse de acuerdo sobre el sentido de la metamatemática.
Si me explicás lo que cada cosa significa, y si terminamos llegando a un acuerdo sobre cómo se hacen las cosas... entonces habremos obtenido una convención, y a partir de ahí obtendremos los mismos resultados que obtienen todos los lógicos en este terreno.

Pero no me creo esas convenciones, porque si me cuesta tanto trabajo adaptarme o percibirlas como obvias o "buenas", es que algo anda mal.
Si requieren tanta "convesación" para ponernos de acuerdo, es que no son obvias ni precisas.
No hay metalenguaje preciso, porque no hay consenso.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 04/10/2011, 09:30:40 pm
Cita
Si con esto quieres decir que para ti los números naturales son, por definición, los objetos construidos en la teoría de conjuntos a los que se les da tal nombre, ahí discrepamos totalmente. Ese punto de vista es autodestructivo. Tiene perfecto sentido decir que los axiomas de ZFC son siete (extensionalidad, vacío, par, unión, infinitud, regularidad y elección) más el esquema de reemplazo (que comprende infinitos casos particulares), y ahí he usado los conceptos de "siete" e "infinito" desde "fuera" de ZFC y, por consiguiente, no en el sentido formal definible en ZFC sino en el mismo sentido "material" en que puedo decir que los dedos de mi mano son cinco y que el número de poesías que pueden formarse en castellano es infinito. Nada de eso depende de ZFC para tener perfecto sentido.

Me salto todas tus (precisas) referencias a Hilbert, Russell, intuicionistas, etc. Todo eso me da igual. Mi opinión personal es que dar vueltas a lo que pensaban personas inteligentes en un momento de confusión intelectual desorienta más que otra cosa.

Claro que no hace falta la teoría de conjuntos para darle sentido a los números o al infinito.

Y también es claro que el sentido es otro, ya que a nivel metamatemático no se habla de conjuntos "dentro de ZFC".

Pero lo que no es claro es "cuál es ese otro sentido de número o de infinito" que se está usando.

Y te digo más: el sentido intuitivo que se usa en la metalógica es (opino yo) un "concepto" absolutamente influenciado por la experiencia ardua en matemática por parte de los matemáticos que andan tras estos asuntos.

Los lógicas "ya tienen" grabado a fuego una forma de actuar y de ser de los números en su mente.
Esa forma de actuar la "dedujeron" desde ZFC.

Y aunque se engañen a sí mismos diciendo que hablan de números "fuera de ZFC", están en realidad asumiento propiedades o sentidos o cosas que se han deducido ahí.

Pero si viene alguien que no pertenece al ámbito usual de la matemática o de la lógica, no tiene por qué tener esa experiencia de los números naturales.
Puede tener otra intuición algo diferente, aceptar con seguridad algunas propiedades y no otras.

¿Qué noción intuitiva o qué convención de número se usa en metamatemática?
¿Y por qué?

Se usa la de ZFC, y se lo hace porque sí. Inaceptable.

------------------

El mismo concepto de infinito es ambiguo.

Dentro de la teoría de conjuntos se pueden definir dos nociones distintas de "infinito". Infinito a lo Dedekind, o infinito como: cantidad mayor que todo número natural dado.

En ZFC coinciden. En ZF no.

¿Qué intuición usar de "infinito" en metalógica? ¿Y por qué?
¿Tiene sentido hablar de infinito? ¿De potencialmente infinito?

Se supone por ejemplo que uno puede escribir proposiciones lógicas con una longitud finita "arbitrariamente grande" de signos.
En el Universo que conozco tal cosa no se puede hacer, porque no hay suficientes átomos para lograrlo.

Esto muestra que el carácter de la metamatemática no es concreto, sino que sigue siendo un tipo de elaboración mental ficticia.
En tal caso, es una abstracción, y no puede llamarse metateoría a algo que es ficticio.

O sea, se asume que las fórmulas, por ser finitas, son algo concreto, tan concreto que se pueden escribir en una hoja de papel, digamos.
Pueden así analizarse objetivamente.

Pero tales fórmulas no pueden escribirse todas.
Y hay fórmulas que no pueden escribirse, por lo largas que son.
Dado que esta longitud de las fórmulas escapa a lo que "cualquiera puede comprender con pleno conocimiento de causa" (son largas y complejas, e incluso irrepresentables gráficamente), ¿de qué estamos hablando cuando hablamos de ellas?

No son dichas fórmulas todavía algo lo bastante concreto, terrenal, como para que uno puede elaborar conocimiento material sobre ellas.
No son objetos materiales, son ficticios.

Se requiere, para hablar de ellos, de reglas y axiomas bien específicos, como los requiere cualquier otra teoría matemática que debe lidiar con conjuntos infinitos.

No se puede dejar librado a la "confiable comprensión de cualquiera".



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 04/10/2011, 09:46:33 pm
Cita
Falso. Los axiomas de Peano eran cinco, cosa que puede constatar cualquiera a quien se le presenten antes de deducir nada a partir de ellos.

Acá no sé qué me estás discutiendo.

Me refiero a lo que dijiste de que, por ejemplo, "los axiomas de ZFC son siete".

Ese "siete" es un número que no puede "usarse" porque no está definido.

No importa lo que dijo Peano.
¿Qué tiene que ver con lo de Peano?

Vos podrás definir una teoría de 1er orden de números naturales, sin usar ZFC, y poniendo los axiomas de Peano, pero cuando digas: "los axiomas de Peano son cinco", ese "cinco" no está definido, y no es el "cinco" que surge de los axiomas de Peano.

O por lo menos, no debiera serlo.

--------------------

Cuando expuse esto de la estructura mental que tengo de la matemática,
me refiero a que no se pueden usar conceptos definidos en una etapa "posterior".

Las sucesivas "etapas" de la matemática sólo pueden definirse, asumo, a partir de objetos o conceptos que previamente existen o definen.

Si defino la geometría a partir de la teoría de conjuntos,
no puedo yo, en la etapa en que estoy dando los axiomas de conjuntos, hablar de rectas y planos.
Porque todavía no he dado todos los axiomas de conjuntos que me permiten "expresar" conceptos de geometría.

Si uno lo hiciera, si uno dijera que ciertos conjuntos son "ortogonales", por decir algo, estaría asumiendo que los conjuntos son objetos geométricos perpendiculares entre sí.
¿Qué sentido tiene esto?
Ninguno.

¿Podría tenerlo? Intuitivamente sí, si es que se me ocurre representar a los conjuntos de ZFC como líneas rectas en un plano.
Y entonces, ¿no sería esto una violación de principios?
Sería metalenguaje de otro estilo, geométrico.

Si no se acepta hacer algo así con la geometría, ¿por qué se acepta con los números?

-------------

Euclides aceptaba que "ya" había una geometría.
Pero hoy día sólo se la acepta tras una serie de postulados, a partir de los cuales trabajar.

Pero pareciera que alegremente se aceptan de entrada los números naturales, como si no hubiera nada que discutir de ellos en la metateoría.

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En todo caso, si los números naturales son tan necesarios, y no nos podemos despegar de ellos, entonces quiere decir que se están construyendo las bases de la matemática de forma inadecuada.

No es aceptable el esquema actual: Metamatemática ---> Lenguaje de 1er orden ---> [Conjuntos --->] Números naturales.

(Los conjuntos se pueden omitir).

Los números se necesitan en el metalenguaje.
Y se necesitan fuertemente.
Pero nadie lo admite con franqueza, porque se prefiere el autoengaño de pensar que el modo en que se los usa es inofensivo.

Si hasta se usan para "ordenar" los signos en una fórmula.
¿Cómo se ordenan los signos en una fórmula? Según el orden de los naturales.
¿Y cómo es que estamos tan seguros de que podemos tomar ese orden, y por qué lo tomamos, y como estamos tan confiados en dicha ordenación de los signos?

Esa forma de actuar antepone "axiomas implícitos".
Y son de la misma suerte que los axiomas geométricos que Euclides aceptaba como "obvios" y que siglos después se tuvieron que formalizar como axiomas propiamente dichos.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 05/10/2011, 12:58:52 am
Hola argentinator. Mientras esperamos la exposición de donald, no puedo resistir formular algunas acotaciones.
Dices:

Cita
Dijiste: "si una fórmula tiene la estructura [texx]\phi\equiv \forall x(\alpha\rightarrow \beta)[/texx]
, entonces las subfórmulas [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx](...)"

No tiene sentido hablar del número de elementos de una fórmula.
¿Qué concepto de número estás usando?

Y además, cuando te vas a una "subfórmula", te estás yendo en forma "recursiva" hacia otra cosa que tiene una estructura similar.
¿Qué te asegura que al ir tomando sucesivas subfórmulas vas a llegar a una fórmula atómica, o sea, que ya no haya subfórmulas posibles, y el proceso termine en "finitos" pasos?

Respuesta: Se puede estar seguro de algo así si uno aplica el PODEROSO principio de que "todo conjunto de números naturales tiene un mínimo".

Ocurre que ni [texx]\phi[/texx] ni [texx]\alpha[/texx] ni [texx]\beta[/texx] son fórmulas sino variables de fórmulas, y por lo tanto, no tienen longitud. Cuando reemplazas [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx] por fórmulas concretas, esto es, por cadenas concretas de signos, obtienes una fórmula, esto es otra cadena concreta de signos. Y entonces puedes verificar contando signos, que la cantidad de signos de la formula compuesta es mayor que la cantidad de signos de las fórmulas constitutivas.

Puedes objetar dos cosas:
1. Yo estoy hablando de casos concretos y no del caso general. Es cierto. ¿Cuál es el problema con eso? Estamos en el metalenguaje, debemos ahorrar afirmaciones universales siempre que sea posible, entonces pregunto ¿para qué necesitamos la afirmación en cuestión “para toda fórmula”? ¿Qué cosa no podremos construir si prescindimos de ella?
2. No estoy aclarando qué es “contar”. Es cierto. Asumo que todos en esta discusión sabemos qué es contar. Pero afirmo además que es imposible cimentar ninguna abstracción formal de la matemática sin utilizar esta habilidad adquirida empíricamente, la cuál resulta entonces previa e inevitable.

Por lo demás, creo que buena parte de tu problema de fundamentación proviene de no aceptar esto último.

La matemática finita no necesita de axiomas porque, en principio, todo puede probarse a mano (mediante un número finito de pasos). De hecho, algunas afirmaciones extendidas a infinitos casos también pueden aceptarse sin axiomas. Ivorra pone un buen ejemplo en su “Lógica y Teoría de Conjuntos”: La cantidad de cuadrículas de un tablero rectangular es igual a su número de filas (a) por su número de hileras (b). Pero todo el mundo puede ver que es también igual a su número de hileras (b) por su número de filas (a) entonces, axb = bxa. Esto es fácil de ver, porque el tablero sigue siendo el mismo y solo hemos cambiado la forma de contar las cuadrículas. Además, la conmutatividad del producto (que de ello hablamos) no puede depender del tamaño del tablero. Un cuestionamiento de esto no sería razonable.

Sin embargo, hay otras afirmaciones generales (creo yo, la mayoría de ellas) que no son evidentes. Por eso he dicho que solo algunas propiedades pueden sostenerse sin prueba para infinitos objetos.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 05/10/2011, 01:08:02 am
Dice argentinator:

Cita
Digo yo, ¿qué garantías hay de que hacer este tipo de razonamientos con números metamatemáticos (por llamarlos de algún modo) no llevará a paradojas, contradicciones o errores?

Si los números metamatemáticos son finitos, esto sería equivalente a una paradoja física, a una realidad  física contradictoria, porque los números finitos pueden representarse físicamente.

La pregunta sería entonces ¿qué garantías hay de que el universo físico no sea contradictorio?
Ninguna. Pero no resolverás eso con un sistema formal que incluya a todos los números finitos.

Dices:

Cita
Hay ya ejemplos de este tipo de problemas al razonar así, cuando se mezclan propiedades de los números arbitrariamente en el lenguaje coloquial.
El caso típico es la paradoja de Berry.

Si bien no se aplicaría dicha paradoja en la metamatemática,
no obstante la paradoja de Berry quiere decir esto: "hemos hallado al menos una paradoja en el lenguaje coloquial. ¿Por qué no puede haber otras?"

La paradoja de Berry se refiere a conjuntos infinitos y por lo tanto, no intuitivos, no fácticos.

Dices:

Cita
No puede darse nada por "sobreentendido"

¿Qué es "no"? ¿Qué es "puede"? ¿Qué es "darse"? ¿Qué es "nada"? ¿Qué es "por"? ¿Qué es "'sobreentendido'"?

Este es el problema. Esa pretención que enuncias, es impracticable, imposible.

Saludos por hoy.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 05/10/2011, 05:13:17 am
Cita
2. No estoy aclarando qué es “contar”. Es cierto. Asumo que todos en esta discusión sabemos qué es contar. Pero afirmo además que es imposible cimentar ninguna abstracción formal de la matemática sin utilizar esta habilidad adquirida empíricamente, la cuál resulta entonces previa e inevitable.

Por lo demás, creo que buena parte de tu problema de fundamentación proviene de no aceptar esto último.

Tal cual.

Yo no sé lo que es contar.
Es un sistema de creencias, no algo científico.
Y es cierto que no lo acepto,
y también coincido en que es una herramienta inevitable.
Necesitamos números.

Lo que planteo entonces es que está todo mal hecho.

Y un ejemplo de esto es lo que dijiste después:

Cita
Si los números metamatemáticos son finitos, esto sería equivalente a una paradoja física, a una realidad  física contradictoria, porque los números finitos pueden representarse físicamente.
No es una paradoja física, porque las fórmulas no son algo físico.

Existen fórmulas que son finitas y todo, y sin embargo no se las puede representar físicamente.

La fórmula que se obtiene de poner 1 sexagesillón de veces (x = x) conectados por la conjunción "y", es una fórmula.
Pero no existe en el mundo físico en forma alguna, no hay modo de escribirla explícitamente.

Los razonamientos con metavariables terminan siendo un cálculo abstracto, y las propiedades que se aceptan "intuitivamente" sobre los números son demasiado fuertes.

--------------

Otra vez has dicho algo que me molesta.
Hay una falsa creencia en esto.

Dijiste: "Todos sabemos lo que es contar".

Bueno, digamos que sí, que uno acepta eso.

Pero eso no alcanza para decir cosas como: "Si tomo una fórmula, toda subfórmula tiene una cantidad menor de elementos".
¿Cómo sabés eso con tanta seguridad?

Al tratar de justificar una afirmación así, se está presuponiendo que los metanúmeros cumplen propiedades del tipo "inducción" o "que hay un mínimo natural en un conjunto dado de naturales".

Esas propiedades no son tan simples como "contar palitos".

Yo sé lo que es contar, pero no sé lo que es el principio de inducción, ni el principio del mínimo, ni el principio de definición por recurrencia.
Esos principios son equivalentes, y son complejos en su sentido y estructura.
No son obvios.

Pero con la excusa de que uno supuestamente "sólo hace conteo", que es algo "simple", en realidad está metiendo otras propiedades avanzadas de los números.

Esto no se puede hacer, porque como bien se sabe, si los axiomas de los números se dan de diverso modo, se obtienen distintos modelos de números naturales.

Resulta que no hay una sola opción "intuitiva y simple" posible para "contar", sino que hay muchas.
Y nadie dice cuál.

Es éste otro error más.
Se asume que "contar" se refiere a un único posible sistema de números.
Y no hay un solo posible sistema.
Hay distintos sistemas, distintos modelos, e incluso con distintas fuerzas en el poder de demostración o propiedades del tipo inducción o recurrencia.

Esa ambigüedad es la que resulta de tomar las cosas así.
Se asumen cosas que no son ciertas.

Eso de que "todos sabemos contar" es una falacia,
porque asume que contar es lo mismo en todos los casos.
Eso no es cierto, y los mismos tipos que trabajan en metamatemática y lógica lo han demostrado.

Lo cual me parece doblemente ridículo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 05/10/2011, 07:43:05 am
Hola a todos.

Acabo de leer todos los posts nuevos del hilo. Parece que esto se anima. Me temo que se han abierto muchísimos frentes y no es fácil elegir la forma de abordarlos sin perderse en mil pequeñas batallas. Esta noche, con tiempo por delante, trataré de encauzar un poco el debate tratando de que resulte lo más constructivo posible.

Saludos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 05/10/2011, 03:39:44 pm
Bueno, yo creo que el debate esta bien encauzado, y es la continuación lógicamente histórica del debate ya antiguo de los fundamentos de la matemática. Dicho debate concluyó cuando se traslado el debate al capítulo de los fundamentos de la lógica, y en él estamos, y es en él en el que se muestran las discrepancias que se han mostrado hasta el momento. Lógicamente un debate como este es interminable ya que antes ó después deberemos llegar a encontrar algo que no pueda fundamentarse en otra teoría más elemental. Fundamentamos la matemática en la lógica, la lógica en la metalógica, ¿y la metalógica? Antes ó después tendremos que fundamentarnos en el sentido común, que es donde yo creo que están los fundamentos de todo, pero bueno, el debate es interesante, así que prosigamos.

No entiendo demasiado de lógica y mucho menos de metalógica, pero yo creo que argentinator tiene su parte de razón, aunque quizás sus argumentos están demasiado exacervados, no todo en metalógica está mal ó es "chapucero" por resumirlo en una sola palabra. Quizás es cierto que un poco de orden en la exposición de los principios (¿principios de la metalógica? si es que alguien sabe lo que es eso) vendría bien aunque tampoco creo que se le deba negar a esa disciplina la posibilidad de basarse por ejemplo en la aritmética elemental para realizar algunos cálculos. Probablemente en un discreto punto medio esté la justeza aunque voy a esperar los comentarios de los que saben más que yo en este asunto y ver lo que pasa.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 05/10/2011, 05:53:51 pm
Hola, a todos.

Ha quedado claro que argentinator y yo discrepamos sobre la fundamentación de las matemáticas. El considera que la fundamentación actual es defectuosa y está pidiendo a gritos un replanteamiento y yo pienso que está muy bien como está y no podría ser mejor.

argentinator ya ha dejado claro cuál cree que es la naturaleza del error de los que pensamos así: falta de reflexión, ingeniuidad, incluso sugiere que "tratamos de disimular" que usamos tales o cuales propiedades, que "nos negamos a confesar" esto o lo otro. (No debería hacer falta aclarar que sería absurdo ver en estas afirmaciones descalificaciones personales o considerarlas ofensivas. Son, sin duda, análisis honestos y perfectamente válidos por su parte, con independencia de que, obviamente, no puedo compartirlos.) No está de más que, para empezar, exponga yo en qué consiste la naturaleza de su error.

Si alguien trata de razonar sobre algo y, pese a ello, llega a conclusiones erróneas (como pensamos que le sucede a argentinator a quienes no compartimos sus conclusiones), ello puede deberse en principio a tres causas:

1) Falta de dominio de la lógica.

Si alguien dice: Todos los hombres son mortales, pero, como yo soy mujer, puedo concluir que soy inmortal, no podremos tomarnos en serio sus opiniones.

No me cabe ninguna duda de que no es para nada el caso de argentinator, y que su discurso lógico es incuestionable.

Dando por hecho que alguien domina la lógica, aparece un problema crucial:

La lógica sin premisas es estéril

Para razonar, es necesario apoyarse en premisas que no procedan a su vez de otro razonamiento previo. Es obvio que lo contrario sería imposible.

Ante esta necesidad, es fácil caer en otras dos "desviaciones":

2) Dogmatismo. Consiste en tomar premisas alegre e irreflexivamente y sin fundamento alguno. En cierto modo, argentinator nos acusa de dogmáticos al aceptar como evidentes cosas que según él no están claras en absoluto.

Desde luego, no es que argentinator no sea dogmático, sino que es la antítesis del dogmatismo. Estoy seguro de que si le ponen un dogma a menos de 100 metros le sale un sarpullido (y eso es bueno y muy sano, me gusta bromear, no puedo evitarlo, pero no ha de confundirse bromear con burlarse de alguien).

Pero el problema de quienes están tan sensibilizados contra el dogmatismo como argentinator es que lo tienen fácil para caer en la tercera posibilidad:

3) Escepticismo.

@argentinator: tu postura es escéptica. No en el sentido positivo en que alguien puede decir orgulloso "soy escéptico sobre la existencia de ovnis", o cosas así, sino en el sentido destructivo de quien califica de dogma toda premisa que no proceda de un razonamiento. Esto es lo que Cristian C te está diciendo cuando le replica:

Cita
No puede darse nada por "sobreentendido"

¿Qué es "no"? ¿Qué es "puede"? ¿Qué es "darse"? ¿Qué es "nada"? ¿Qué es "por"? ¿Qué es "'sobreentendido'"?

Este es el problema. Esa pretención que enuncias, es impracticable, imposible.

Coincido totalmente con Cristian. Tienes las mismas razones para sostener la tesis que sostienes que para sostener que es insensato asegurar que mañana saldrá el Sol, o que existe alguien en el mundo que no seas tú, o que los recuerdos que tienes sobre lo que hiciste ayer son verdaderos y no un implante en tu memoria introducido por alienígenas.

Esto no es una burla. Quiero decir que tu argumento es: "no puedes convencerme de que lo que crees saber es realmente cierto (en tu caso, que conozcamos los números intuitivamente, etc.) porque todo en este mundo es dudoso".

Me ha parecido importante empezar por aquí porque te debería quedar claro que sólo tienes dos posibilidades: quedarte con tu insatisfacción y tus dudas hasta el fin de tus días o reconocer que eres escéptico y que el escepticismo es una patología del razonamiento y no una postura razonable.

Por supuesto, no pretendo que lo reconozcas así a priori. Si lo hicieras, significaría que careces por completo de criterio, y nadie puede esperar eso. Sólo digo que conviene que sepas desde el principio a dónde quiero llegar.

Fíjate que la refutación de tu escepticismo la das tú mismo. Has expuesto una perfecta demostración por reducción al absurdo:

Hipótesis: La lógica es lo que se define mediante los lenguajes formales y el cálculo deductivo, los números y demás conceptos matemáticos son lo que se define mediante ZFC.

Conclusión: Como la fundación de las matemáticas necesita emplear el razonamiento lógico y hacer referencia a números y conjuntos, la fundamentación de las matemáticas incurre en un círculo vicioso y es inaceptable.

Para ti no es un razonamiento completo porque estás dejando entreabierta una puerta falsa: no concluyes que sea imposible fundamentar la matemática, sino únicamente que quienes deberían hacerlo (o haberlo hecho) lo hacen mal, y dices que te gustaría tener tiempo suficiente para encontrar una alternativa que te resulte satisfactoria.

Eso es engañarte a ti mismo: si consideras que sólo estamos legitimados a razonar lógicamente cuando hemos definido un cálculo deductivo y al mismo tiempo reconoces que éste no puede elegirse arbitrariamente, sino que debe ser justificado y para ello es necesaria la lógica, es imposible que encuentres una solución a la fundamentación de las matemáticas que satisfaga tus pretensiones. Quizá el mejor momento para discutir esto no sea ahora, sino cuando hayas tenido ocasión de reflexionar y te hayas convencido de que para decir algo de provecho a la hora de fundamentar las matemáticas necesitas considerarte legitimado para hacer razonamientos sobre números naturales fórmulas, etc. como los que has censurado en tus últimos posts.

Cuando eso suceda, tal vez estés dispuesto a admitir la inexorabilidad de tus propios argumentos, que demuestran que, para fundamentar las matemáticas, no podemos partir de la hipótesis que acabo de destacar y que tú afirmas categóricamente, pues dicha hipótesis conduce necesariamente al fracaso.

Obviamente, yo afirmo lo contrario:

Es posible hablar con rigor y precisión de algunos conceptos matemáticos (sin restricciones sobre la sofisticación de los argumentos, sólo sobre la naturaleza de los conceptos empleados) entre ellos los números naturales o algunos conjuntos sin necesidad de apoyarse para nada en ninguna teoría axiomática.

En particular, discrepo cuando dices que

Cita
Y aunque se engañen a sí mismos diciendo que hablan de números "fuera de ZFC", están en realidad asumiento propiedades o sentidos o cosas que se han deducido ahí.

Es al revés: las propiedades elementales sobre los números naturales (incluyendo la existencia de mínimos) eran conocidas mucho antes de que nadie conociera ZFC, pero ZFC está diseñado para incluirlas en su seno, pero es ZFC quien "copia" los argumentos metamatemáticos que cuestionas, y no al revés.

Creo que está claro que el núcleo duro del debate consistirá en discutir si, efectivamente, es posible hacer metamatemática con rigor fuera de y con anterioridad a ZFC o no. Pero, dado que si entramos aquí es posible que no salgamos nunca, preferiría dejar eso para futuros posts y exponer antes algunas ideas sobre lo que tú originalmente preguntabas en este hilo:

¿Qué esquema mental de las matemáticas tenemos cada uno de nosotros?

Te propongo que aceptes temporalmente, como una hipótesis de trabajo, que es posible razonar metamatemáticamente sin apoyarse en un lenguaje formal (entiéndelo si quieres como el principio de una demostración por reducción al absurdo por tu parte) y veamos cómo puede entenderse entonces la matemática. En otras palabras, te invito a que venzas tu aversión y te dignes a echar un vistazo a lo que hay detrás de esa puerta que te obstinas en cerrar. Más tarde discutiremos si cruzar esa puerta es rendirse al dogmatismo (como tú crees) o simplemente huir del escepticismo (como yo creo).

Creo que es preferible así porque si me limito a replicarte a cada objeción que haces, lo único que conseguiríamos es un montón de árboles de argumentos que no permitirían, ni a ti ni a nadie, ver un bosque de concepción alternativa a la tuya.

Creo que si primero te formas una idea clara de cuál es la concepción que opongo a la tuya, podrás entender mejor el sentido de cada réplica que pueda hacerte cuando entremos a contrastar opiniones y nos ahorraremos mucho tiempo aclarando malentendidos. Piensa que yo ya he leído mucho sobre tu punto de vista en los mensajes antiguos de este hilo, sin replicarte (porque no estaba ahí para hacerlo) y creo que es justo que tú me dejes exponer el mío según yo considere mejor exponerlo, sin que tus objeciones dirijan mi exposición. Luego estaremos en condiciones de debatir equilibradamente.

Así pues, imagina que vas a leer una novela de vampiros o de fantasmas y, como buen lector, asume temporalmente el papel de alguien que cree en vampiros o fantasmas, en este caso en la existencia de lógica y matemáticas más allá de ZFC.

***************************

Los matemáticos no sintieron la necesidad de regular explícitamente el razonamiento lógico y matemático hasta que Cantor (y Russell y otros) mostraron que la "noción general de conjunto" (entendiendo "conjunto" como colección de objetos, ni más ni menos) es contradictoria. Antes, Bolzano, Boole, De Morgan y otros habían estudiado las leyes de la lógica, pero por pura curiosidad intelectual, no como respuesta a una demanda de la comunidad matemática.

La reacción más "histérica" ante la alarma creada por la noticia "los conjuntos son contradictorios" es la desconfianza hacia todo conjunto, pero eso es como si después del 11S se hubiera encarcelado a todos los musulmanes residentes en EEUU. Me explico: lo que mostró Cantor es que "el conjunto de todos los conjuntos" es contradictorio, y después se vio que otros "conjuntos" parecidos llevaban a contradicciones parecidas, como "el conjunto de todos los cardinales" o "el conjunto de todos los ordinales" y, en general, lo que Cantor llamó "multiplicidades inconsistentes".

Pero fue el propio Cantor el que descubrió que los "conjuntos" que resultaban paradójicos tenían todos características similares, características muy distintas de las de los conjuntos que habitualmente han venido manejando los matemáticos en sus razonamientos. Por ello, sería más adecuado decir que Cantor descubrió que "ciertos conceptos" son contradictorios, y que dichos conceptos corresponden "anecdóticamente" a conjuntos, pero a conjuntos muy específicos. No hay razón para que del hecho de que "el conjunto de todos los conjuntos" sea contradictorio nos lleve a temer que "el conjunto A de los números 0, 1, 2, 3, 4" sea contradictorio.

Pongamos que un algebrista demuestra (sin saber nada de axiomas ni de teorías lógicas) que todas las estructuras de grupo que pueden definirse sobre el conjunto A son isomorfas entre sí. ¿Hay realmente razones para temer, a raíz de los descubrimientos de Cantor, que el inofensivo conjunto A y los razonamientos que el algebrista puede hacer sobre él puedan ser ambiguos o contradictorios? Eso es como deducir del 11S que "todos los musulmanes son peligrosos", en lugar de que "todos los musulmanes extremistas radicales son peligrosos".

Lo que nos enseña Cantor es que no tenemos una noción intuitiva de "conjunto en general", siempre entendiendo "conjunto" como "colección de elementos", pero esto no contradice en absoluto que tengamos un conocimiento intuitivo totalmente inequívoco de "algunos conjuntos en particular", como el conjunto A de antes. Y la reacción racional ante la alarma cantoriana no es decir, "ya no me creo nada", sino preguntarnos: ¿hasta dónde podemos confiar en nuestro conocimiento intuitivo de las matemáticas?

Por poner un ejemplo: la actitud de argentinator es como la de alguien que, al enterarse de que los experimentos confirmaban que la física Newtoniana es falsa, dijera, "pues ya no me creo nada. A lo mejor la fuerza de la gravedad es repulsiva y yo me he creído hasta ahora que era atractiva". Eso no puede ser. Si los principios de la física tenían que ser cambiados, era obvio que eso cambiaría la teoría más o menos radicalmente, podría modificar la ley de la gravitación, pero cualquier nueva teoría de la gravitación que sustituyera a la de Newton, para ser aceptable, debía coincidir con ella en que los cuerpos caen hacia abajo y no hacia arriba. En particular, un algebrista no necesita saber nada sobre lógica y axiomas para que si alguien le viene y le dice "tengo una teoría axiomática en la que puedo demostrar que hay dos grupos no isomorfos con cinco elementos" pueda contestarle con toda tranquilidad y sin temor de estar despreciando la sabiduría suprema: "tu teoría axiomática es papel de papelera".

En definitiva: la actitud razonable ante la "crisis conjuntista" es plantearse seriamente dos preguntas:

1) ¿Cuánta matemática intuitiva necesitamos salvar y justificar para fundamentar satisfactoriamente la matemática general?

2) ¿Cuánta matemática intuitiva podemos realmente salvar y justificar?

Si las respuesta a 1) es más exigente que una respuesta honesta a 2), tenemos un problema serio, pero si la respuesta a 2) coincide o excede a la respuesta a 1), estamos salvados.

Como nunca encontraremos seguro una solución para la fundamentación de la matemática es dejándonos llevar por el pánico y, ante la alarma cantoriana, responder sin más reflexión "demasiada" a la pregunta 1 y "nada" a la pregunta 2.

Responder a 2) es lo que he dicho antes que será mejor dejar para más adelante (y para ello le he pedido a argentinator que acepte provisionalmente que hable de conjuntos como el conjunto A y otros más sofisticados sin ponerme pegas, aunque vea lo que digo como quien lee una novela de vampiros y sabe que los vampiros no existen. En este post hablaré únicamente de 1), y para ello trataré de describir en qué consiste a mi juicio "fundamentar satisfactoriamente la matemática general".

Podemos distinguir dos fases: fundamentar la lógica y fundamentar la teoría de conjuntos.

Imaginemos un profesor de álgebra que examina a unos alumnos proponiéndoles unos problemas y se dispone a corregir los resultados. Puede ocurrir que un alumno le presente una solución brillante y original a un problema que a él nunca se le había ocurrido. En tal caso, el profesor la reconocerá como correcta y se la valorará positivamente, pero también puede ocurrir que se encuentre con otra solución original por lo descabellado del argumento, y que la rechace como incorrecta. ¿Cómo hace el profesor para distinguir un caso del otro, si en ambos casos son razonamientos nuevos para él? Puede ocurrir perfectamente que el profesor sea un algebrista famoso, autor de artículos de prestigio, y que jamás haya estudiado lógica formal, que no sepa más que vagamente, de oídas, qué es un axioma lógico o una regla de inferencia. A pesar de ello, resulta estar capacitado como todo matemático profesional para distinguir una demostración correcta de una incorrecta, y no puede decirse que lo hace apoyándose en un cálculo deductivo que desconoce por completo. De hecho, si pone una objeción a una demostración no será del tipo "esto no vale porque has aplicado incorrectamente la regla de negación del particularizador en el subsecuente", o algo parecido. Su argumento será: "esto está mal, porque tú tienes A y afirmas B como consecuencia, pero nada te garantiza que el hecho de que A sea cierto obligue a que B también lo sea."

En general, la gran mayoría de matemáticos competentes que no saben nada de lógica formal (y también la gran mayoría de los que sí la conocen) no juzgan un razonamiento según si sigue o no las reglas de inferencia de un sistema deductivo, sino que su criterio es que un razonamiento es correcto si al suponer verdaderas sus premisas no deja lugar a la menor duda de que su conclusión también tiene que ser verdadera.

Alguien preguntará: ¿verdadera en qué interpretación? y la respuesta es: en una arbitraria. Por ejemplo, un matemático reconocerá como correcto el razonamiento que dice que, sabiendo que todo grupo de orden primo es abeliano y que 5 es un número primo, entonces todo grupo de orden 5 es abeliano, pero no dirá que esto es correcto por la regla de eliminación del generalizador seguida de modus ponens, sino simplemente porque es evidente que así es, evidente a partir del significado lógico de las premisas y la conclusión, pero sin que importe para nada qué es un grupo o qué es un número primo. Sea lo que sea un grupo, sea lo que sea el orden de un grupo, sea lo que sea un grupo abeliano y sea lo que sea un primo, si es verdad que todo grupo de orden primo es abeliano y es verdad que 5 es primo, es imposible que un grupo de orden 5 no sea primo. En esta convicción descansa su aprobación al argumento.

Formalizar la lógica significa coger esta lógica que conocen todos los matemáticos de hoy en día y todos los matemáticos que han existido en la historia y enlatarla en unos axiomas y unas reglas de inferencia. Más precisamente: fijamos un lenguaje formal con unos signos lógicos ([texx]\land, \lor, \forall,[/texx] etc.)  a los cuales atribuimos un significado preciso: [texx]\land[/texx] significa "y", [texx]\forall[/texx] significa "para todo objeto del universo (en principio indeterminado) del que hablamos", etc., y luego establecemos unos axiomas lógicos y unas reglas de inferencia que pueden aplicarse mecánicamente sin tener en cuenta para nada ese significado que hemos atribuido a los signos lógicos.

Pero la clave del asunto es que los axiomas y las reglas de inferencia no se fijan arbitrariamente, sino que exigimos que sean correctos: los axiomas deben ser tales que todo matemático los considere verdaderos en cualquier contexto. Por ejemplo, si decidimos tomar como axioma [texx]\alpha\land \beta\Rightarrow \alpha[/texx], para todo par de fórmulas [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx], cualquier matemático aceptará que lo hagamos, y la razón para ello es que, teniendo en cuenta que [texx]\land[/texx] significa "y", y que [texx]\Rightarrow[/texx] significa "si... entonces...", podemos estar seguros de que si [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx] son ambas verdaderas, entonces [texx]\alpha[/texx] es verdadera.

Si, en cambio, pretendiéramos colarle como axioma que [texx]\alpha\lor \beta\Rightarrow \alpha[/texx], el matemático nos podría hacer varias sugerencias sobre qué podemos hacer con nuestro sistema deductivo, tal vez mirando de reojo a su papelera. Este es el punto crucial:

Es insostenible que el cálculo deductivo formal defina el razonamiento lógico, como pretende argentinator, y que sólo después de haberlo definido podemos razonar lógicamente con seguridad. Por el contrario, la lógica es anterior a todo cálculo deductivo y, más aún, debe juzgar a todo presunto cálculo deductivo para darle su aprobación si es que es correcto. La corrección consiste en que los axiomas sean lógicamente válidos en el sentido explicado y en que las reglas de inferencia sean correctas en el sentido de que si parten de premisas verdaderas, produzcan necesariamente conclusiones verdaderas (respecto a una interpretación arbitraria de los signos no lógicos). Nadie necesita un cálculo deductivo para distinguir un razonamiento correcto de uno incorrecto, y, por el contrario, un sistema deductivo necesita que se compruebe que sus axiomas y reglas de inferencia dan lugar a razonamientos correctos.

A partir de aquí, una simple inducción de esas que argentinator denuncia como fraudulentas, demuestra el teorema de corrección: es evidente que si tenemos unos axiomas que son siempre verdaderos y unas reglas de inferencia que sólo producen fórmulas verdaderas cuando se aplican fórmulas verdaderas, igualmente será cierto que al aplicar un número finito de veces dichas reglas a unos axiomas y a unas premisas verdaderas, la conclusión será necesariamente verdadera.

En otras palabras, en contra de lo que dice argentinator, yo digo que una deducción formal, en el sentido de una sucesión de fórmulas encadenadas por reglas de inferencia, no es un "razonamiento de verdad", sino un "razonamiento de cartón piedra". Podemos programar a un ordenador para que aplique aleatoria, pero correctamente, las reglas del cálculo deductivo a unas premisas dadas y así obtendrá una deducción formal sin haber tenido en cuenta para nada el significado posible de las fórmulas que involucre, pero ese "razonamiento de cartón piedra" se convertirá en un "razonamiento de verdad" en cuanto un matemático lo lea y lo traduzca a un auténtico argumento en virtud del cual si las premisas dadas son verdaderas, es imposible concebir que la conclusión pueda ser falsa.

Pero ahora viene lo más maravilloso y espectacular de todo: Gödel-Henkin demostraron el teorema de completitud semántica. Si alguien conoce ese teorema y no se queda maravillado, es que no lo entiende realmente.

Pensad en la diversidad de razonamientos matemáticos que existen: un matemático familiarizado con el razonamiento en álgebra puede sentirse desorientado si tiene que razonar en un contexto de análisis, o viceversa, las técnicas son de lo más variopinto, uno puede encontrar lineas argumentales que nunca había imaginado antes, etc. Podría pensarse que tratar de recoger todas las posibilidades de razonamiento matemático es tarea imposible, como clasificar toda la flora y fauna de la Tierra y que, aunque se escribiera una enciclopedia con todas las técnicas de demostración aplicadas hasta la fecha, siempre quedaría abierta la posibilidad de añadirle nuevos tomos... pero no. Resulta que Gödel demostró que si un matemático es capaz de razonar que si unas premisas son verdaderas, entonces otra afirmación es necesariamente verdadera, independientemente de qué clase de argumentos haya empleado para ello, por novedosos  y originales que sean, aunque no haya tenido en cuenta para nada la lógica formal, con tal de que las premisas y la conclusión puedan expresarse en un lenguaje de primer orden, tenemos la garantía de que la conclusión podrá demostrarse "ciegamente" a partir de las premisas mediante nuestro humilde cálculo deductivo (a poco que nos hayamos preocupado de no dejarlo cojo y le falte algún axioma)
El único requisito es semántico: la inexorabilidad del argumento, la hipótesis es que sea impensable que las premisas sean verdaderas y la conclusión pueda ser falsa.

Si alguien quiere encerrarse en una concha de escepticismo y no apreciar este resultado, o incluso censurarlo por falaz, es su opción, pero yo le digo (te digo, argentinator): te estas perdiendo una joya, un hito del razonamiento humano, una joya que pierde todo su brillo si la concibes como un "razonamiento de cartón piedra", como un mero teorema de ZFC, una ristra de ristras de signos sin sentido.

El teorema de completitud semántica es un portento sólo si lo concibes como un teorema metamatemático que habla de unos objetos muy concretos: los signos, las fórmulas, las demostraciones, y lo que dice de ellos es algo con pleno e impactante sentido: esas míseras reglas y axiomas recogen toda, absolutamente toda, la capacidad de razonamiento matemático, ahí es nada.

Todo lo que un matemático puede razonar cuando razona como suele hacerlo, sin pensar en axiomas ni reglas de inferencia, puede codificarse mediante el cálculo deductivo, en forma de deducción formal. Esa es la gloria de la lógica de primer orden.

Y esto sólo lo puede entender y admirar quien comprenda que la lógica es anterior al cálculo deductivo, y que éste está construido para capturar (y nunca para definir) la noción previa de razonamiento lógico-matemático (quiero decir la parte lógica del razonamiento matemático, sin entrar todavía en axiomas específicos de la teoría de conjuntos) con el fin de poder teorizar sobre ella (por ejemplo, a la hora de demostrar que no se puede demostrar la hipótesis del continuo, y cosas similares).

Bueno. Esto ya es muy largo. En el próximo post explicaré cómo entiendo la fundamentación de la teoría de conjuntos propiamente dicha y, a partir de ahí, podemos hacer tres cosas: debatir el "hueso", que es la fundamentación del razonamiento metamatemático, debatir lo dicho hasta aquí por unos y por otros, o mandarme a hacer gárgaras por plomo.  ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 05/10/2011, 06:15:43 pm
Donald, haciendo esto lo único que vas a conseguir es cargarte el debate.

Jabato.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 05/10/2011, 06:21:15 pm
Donald, haciendo esto lo único que vas a conseguir es cargarte el debate.

Jabato.

No veo cuál es el problema, yo quedé con argentinator en que le expondría mi punto de vista por si le interesaba, precisamente porque se quejaba de que nunca había encontrado a nadie que justificara los hechos que él considera injustificables. Pero si por algún motivo que no imagino hay algún problema, mi regla de oro es no decir nada a quien no le interese lo que pueda decir. Punto en boca. Aquí acaba mi intervención.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 05/10/2011, 06:55:29 pm
Pues amigo, si no lo ves es que estás ciego. Habla mejor de los principios de la lógica ó de la metalógica, aporta algunos datos ó haz razonamientos con una base sólida, pero soltar un discurso como el que has soltado, en el que no hay puntos sólidos a los que agarrarse y todo es opinable solo hace que reafirmar las opiniones de argentinator, demasiado discurso y poco fundamento y aquí lo que se busca no es el discurso sino el fundamento, ¿me explico? Si todo lo que tienes que decir sobre el tema se reduce a lo expuesto, por lo que a mi respecta te lo puede ahorrar. 

Jabato.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 05/10/2011, 07:08:36 pm
Pues amigo, si no lo ves es que estás ciego. Habla mejor de los principios de la lógica ó de la metalógica, aporta algunos datos ó haz razonamientos con una base sólida, pero soltar un discurso como el que has soltado, en el que no hay puntos sólidos a los que agarrarse y todo es opinable solo hace que reafirmar las opiniones de argentinator, demasiado discurso y poco fundamento y aquí lo que se busca no es el discurso sino el fundamento, ¿me explico? Si todo lo que tienes que decir sobre el tema se reduce a lo expuesto, por lo que a mi respecta te lo puede ahorrar. 

Jabato.

¿Tan descabellado te parece que antes de confrontar dos puntos de vista, en los términos en los que tú muy bien dices que hay que hacer, aportando datos, razonando con base sólida, etc., las dos partes expongan sus puntos de vista con libertad, simplemente para que cada cual tenga una idea clara de cómo piensa cada cual? Si yo tengo que discutir con alguien, prefiero dejale hablar primero sin ponerle objeciones para entender qué y cómo piensa, a dónde quiere llegar, qué acepta y qué no acepta. Luego, una vez tengo una idea clara de cuál es su postura, podré examinar con qué estoy de acuerdo y con qué no, y sólo entonces un debate como el que tú planteas puede ser realmente productivo y constructivo. Supuse (y tal vez me equivoqué), que argentinator querría conocer mi punto de vista antes de confrontarlo al suyo, igual que para mí ha sido importante conocer el suyo a través del hilo antes de entrar en el debate. Pero lo dicho: tengo cosas más provechosas que hacer que pasarme horas tecleando y, desde luego, que debatir a ciegas pequeñas discrepancias sin ninguna orientación de dónde estamos y a dónde vamos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 05/10/2011, 09:55:26 pm
Hola donald.

Es muy clara tu exposición. Estás pasando la película "al derecho", es decir: primero existen ideas intuitivas (números, conjuntos) y luego se formalizan. Cuando se formalizan puede ocurrir que aparezcan propiedades no intuitivas o aun contradictorias. Pero lo más importante: no puede existir la formalización sin la idea intuitiva previa. Y toda revisión de las formalizaciones en busca de los fundamentos, nos lleva de narices nuevamente a las ideas intuitivas iniciales, las cuales resultan entonces inevitables.

Saludos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 06/10/2011, 12:16:21 am
La propia matemática ya presenta conceptos intuitivos que no pueden basarse en conceptos lógicos previos, más aún la lógica y no digamos la metalógica. Tratar de fundamentar el pensamiento racional en una teoría en la que todos los conceptos esten solidamente fundamentados es un objetivo utópico ya que siempre tendremos alguno que no podrá fundamentarse en nada, y será por lo tanto un concepto intuitivo. Es algo tan básico que con un solo párrafo basta para expresarlo.

Ahora bien, yo creo que la argumentación de argentinator no va por ahí, yo creo que lo que pide argentinator va más con la idea de los principios, y estoy interpretando sus palabras, será él mejor que yo quien explique su postura al respecto, creo que la postura de argentinator trata de exigir a la metalógica una declaración de principios, es decir un conjunto de verdades que no pueden demostrarse ni fundamentarse en otras previas y que se aceptan por principio como algo verdadero, y esa es una queja que repite con cierta frecuencia. Mientras eso no se aclare con precisión la metalógica será para él algo incomprensible plagado de dobleces e imprecisiones y bastante difícil de entender. Yo entiendo y comparto su postura aunque en una posición menos crítica, pero no cabe duda que algo hay de eso.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 06/10/2011, 04:01:13 am
Hola gente.

En cuanto a "Principios" uno puede adoptar los que más les guste.

Donald me ha discutido en base a muchas cosas que he dicho mucho antes.
Cuando me critica que he sido "escéptico al estilo destructivo", sólo voy a negarlo en parte.

Es cierto que muchas veces he ejercido un escepticismo destructivo, sin premisas del todo sólidas. Esto es un síntoma de que hay muchas cosas que no sé.

Aún reconociendo mi ignorancia y limitaciones, entiendo que no haría falta tampoco profundizar demasiado, porque mis objeciones serán las mismas.

Lo que uno logra si se pone a "estudiar" en serio es fundamentar mejor las cosas.

Como sea, hay algunas partes en mis posts que han sido objeciones basadas en premisas bien concretas, y aún no me han respondido.
Por ejemplo, cuando digo que los números son algo ambiguo, no lo digo por el deporte de ser escéptico. Sino que es así. Ahora voy con eso (de nuevo, por vigésima vez).

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Acá todos coinciden en que hay que comenzar desde "alguna intuición".

Bueno, yo pienso que eso es algo "aceptable".
Puedo vivir en paz con las intuiciones.

Como siempre, desde algún lugar hay que partir, sin antes haber definido nada, ni construido nada. Y bueno, con algo habrá que conformarse.

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Yo no cuestiono entonces el que "haya que partir de algo", sino los "algos" de los cuales se parte.
¿Por qué? Porque son ambiguos.

Si hablamos de Principios, adhiero al principio de que "la matemática no puede ser ambigua ni contradictoria".
Además, las ambigüedades tienen alto riesgo de aparecer cuando se apela a la intuición. Luego: si vamos a aceptar intuiciones, que sea con gran responsabilidad.

Esto pasa por la sencilla razón de que la intuición de todo el mundo funciona distinto.

Se la pasan diciendo que hay "una lógica (intuitiva) previa" o una "aritmética (intuitiva) previa".
Pero no la hay. No hay "una" de lo que sea, sino muchas.

No hay "una sola" aritmética previa posible.
Alguien tiene que decir a cuáles números naturales se está refiriendo.

Cuando los estudiosos han intentado especificar sistemas axiomáticos para los números naturales, resulta que han tenido que ensayar múltiples opciones.
Algunas tienen axiomas más débiles, otras axiomas más fuertes, otras son en lógica de 1er orden, otras en lógica de 2do orden, otras se hacen a través de conjuntos.

Y más aún, tras dar unos axiomas concretos, se pueden aplicar a distintos modelos que no son equivalentes entre sí. (No son isomorfos).
Bien. Si en esto último me equivoco, que Donald me lo indique.

Entran en juego aquí los números no estándar, entre otros inventos extravagantes.

La existencia de muchos sistemas axiomáticos distintos de los números naturales muestran que nadie ha sido capaz de "dar en el clavo" a la hora de explicar o determinar concretamente qué son los "números naturales".

O sea que la "intuición" de número natural es sólo un punto de partida, una idea difusa que ha tenido múltiples ecos.
Los números naturales son algo que no se termina de comprender.
Como hay múltiples opciones, que dan lugar a propiedades más débiles o más fuertes, o con diferentes modelos, resulta que el "concepto de número natural es ambiguo".

Bueno. Como no me encuentro seguro de estas cosas es que un día dije: "miren, mejor me voy a estudiar porque tengo muchas lagunas".
Acá ya tengo lagunas, y me veo obligado a tocar de oído.

Pidiendo disculpas por esto previamente, es que le pregunto a Donald o a Cristian, o a quien sea, si ellos piensan que en realidad se puede hablar de una noción inambigua de número natural, donde las propiedades sean las mismas para todas las intuitivas mentes humanas. O no.

Y no es que yo no acepto los teoremas de Godel, Henkin, etc.
Son joyas, claro que lo son.
Pero la ciencia no se construye con "glorias de los ancestros".
Los logros de los antiguos están para ser rebatidos.

No podemos hoy en día usar la teoría de Newton, por más joya que sea, porque está equivocada. Es un buen punto de partida, pero Einstein es mejor.

Acá es lo mismo. Godel y Henkin y demás amigos son maravillosos, pero el punto de vista que emplean para sus demostraciones metamatemáticas me sigue pareciendo ambiguo.

Incluso, tengo la convicción de que Godel ha sido muy pero que muy cuidadoso en sus construcciones y teoremas. El famoso teorema de incompletitud es una gran muestra de competencia. Es difícil criticarlo desde el punto de vista que expongo en este hilo.

Pero hay que notar que estos trabajos inspiraron las teorías de modelos, o sea, las cosas que orbitan en torno a los fundamentos de la matemática.
Si uno acepta esos trabajos, lo cual provisoriamente estaría bien, se encuentra con trabajos de otra gente que muestra claramente que no hay un solo concepto posible de número natural.

Es la misma postura la que termina contradiciéndose consigo misma.

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Lo mismo pasa con la lógica.
Todos parecen muy convencidos de que hay una sola lógica.
Yo pregunto cuál y dónde.

Al intentar formalizar la "intuición" de la lógica que supuestamente todos tenemos, resultan también muchas lógicas posibles. También surgen lógicas alternativas.

Peor todavía: los que trabajan en lógica inventan todos los días lógicas nuevas para que se adapten a formas de razonar de los seres humanos, que no son del estilo aristotélico clásico.

El sentido común usa distintos tipos de razonamiento según las circunstancias, y no queda claro en cada caso cuál debiera usarse ni por qué.
Y eso es por la misma complejidad de la mente humana, su lenguaje y su intuición.
Para modelar esta "lógica intuitiva" se han tenido que usar lógicas difusas, y seguramente muchas otras más (modales, intuicionistas, etc.).

Sabiendo esto, con esta experiencia sobre el "razonamiento" humano intuitivo, ¿cómo es que me vienen a decir que hay "una" lógica intuitiva que aceptamos de antemano?

La lógica que se usa debe ser especificada con rigor en la metamatemática, e indicar claramente el alcance del metalenguaje.

Hasta donde recuerdo, en las pocas veces que he visto una actitud seria en esto es en el Teorema de Incompletitud de Godel.
Aunque mantengo ahí las mismas objeciones, el teorema en cuestión lo respeto más porque da la sensación de que Godel es conciente en todo momento de las reglas que está usando, ya que hace metateoría de la aritmética de 1er orden apelando a ella misma: la artimética de 1er orden, pues lo que intenta probar es que dicha aritmética no es capaz de demostrar su propia consistencia.

Me cuesta hallar críticas al estilo "argentinator" en esa demostración en concreto.

Ya aparecen ahí cuestiones metamatemáticas, sin embargo.
Los problemas empiezan cuando se comienza a fundamentar la teoría de conjuntos y todo lo demás.

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Ah, por cierto. Los conjuntos son también algo arduamente ambiguo.
Y no por la paradoja de Russell, sino que distintas listas de axiomas dan diversas posibilidades que formalizan en forma distinta la "intuición" de conjunto.

Incluso, una misma lista de axiomas da lugar a múltiples modelos diferentes, y otra vez hay ambigüedad.

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La noción de finitud también es ambigua.
¿Finito según Cantor o finito según Dedekind?
¿Cómo se sabe que algo es finito, que termina, que un algoritmo aplicado a una fórmula va a terminar en "finitos" pasos?

Si agarro una fórmula, no sé si es finita.

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Me parece que ya he concretado mejor mis objeciones.
Y no se trata de si acepto o no la "gloria" de Godel o de Henkin,
sino que el esquema mental de la matemática es, a mi entender, inadecuado.

La metamatemática puede basarse en intuiciones, claro está.
Pero no en números naturales, ni en conjuntos, ni en "una" lógica previa, ni en nada que sea ambiguo.
El grado de ambigüedad es tan alto que me parece todo un desastre.

El modo correcto de construir la matemática debe buscar, en mi opinión personal, un nuevo camino, tras una profunda revisión.

El hecho de que los números naturales y la lógica sean cosas tan básicas y necesarias, debe servir de guía para ese fundamento, pero no se los debe usar así no más a la ligera.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 06/10/2011, 06:27:16 am
Bueno, parece que mi post no ha puesto el peligro el debate, así que voy a acabar lo que empecé. A mí, por lo menos, me ha servido de mucho la respuesta de argentinator para concretar y matizar los puntos de discrepancia. Aunque "lo que me pide el cuerpo" es pasar a presentarle razonadamente mis objeciones a sus objeciones, sigo pensando que lo más provechoso es que termine de presentar mi punto de vista sin ánimo de argumentar nada, sino simplemente para poner las cartas sobre la mesa. A partir de aquí ya podemos entrar a debatir razonadamente todo lo que queráis. Procuraré aludir en lo posible a las objeciones de argentinator, pero sin dejar que me desvíen de mi objetivo de dar una visión general de mi punto de vista. En cualquier caso, por si se nota algún desfase, tened presente que la mitad de lo que sigue estaba escrito antes de los últimos posts. Cuando Jabato afirmó que lo que decía no interesaba, dejé de escribir, pero copié lo escrito por si otros opinaban lo contrario.

Segunda parte: la fundamentación de la teoría de conjuntos.

No hay que ser un lince para comprender por dónde van los tiros a la hora de reponerse de la "alarma cantoriana": si Cantor demostró que hablar de la totalidad de los conjuntos (entendiendo el concepto meramente como "colección de objetos") es contradictorio, la solución era "no hablar de la totalidad de los conjuntos". Esto da pie a dos posibilidades:

Los intuicionistas (en todas sus variantes) trataron de encontrar un lenguaje formal, una lógica y una axiomática que permitiera hablar únicamente de los conjuntos (entendidos como colecciones de objetos) a los que podamos atribuir realmente existencia objetiva o, más concretamente, aquellos que podemos manejar con seguridad basándonos en nuestra intuición.

Los formalistas, por el contrario, siguieron el camino fácil, cómodo, práctico y útil: encontrar un lenguaje formal, una lógica y una axiomática que permitiera hablar de los algunos conjuntos, los suficientes como para hacer matemáticas con comodidad, sin que importe en absoluto si entre los conjuntos descritos por la teoría axiomática hay algunos "ficticios", a los que no podemos atribuir ninguna existencia intuitiva, ni si hay conjuntos "intuitivos" que dejemos fuera por conveniencia. El único requisito es la consistencia del sistema axiomático que propongamos. No tenemos que preocuparnos por si existen realmente algunos objetos que cumplan nuestros axiomas, pues el teorema de completitud garantiza que si lo hemos hecho bien y son consistentes, entonces existirán seguro objetos que los satisfacen, aunque tal vez no se parezcan mucho a las pobres ideas intuitivas que podamos formarnos sobre ellos (ya que no nos hemos preocupado de restringir nuestros axiomas al verdadero alcance de nuestra intuición).

(Nota: no pretendo ser fiel a la historia. El teorema de completitud es muy posterior a la elaboración de las teorías axiomáticas actuales.)

El planteamiento es el siguiente: Fijamos un lenguaje formal cuyo único signo no lógico sea un signo de relación [texx]\in[/texx]. De este modo, un modelo de nuestro lenguaje estará determinado por un universo [texx]M[/texx] y una relación binaria [texx]R[/texx] en [texx]M[/texx]. En principio, aceptamos cualquier cosa. Para cada objeto [texx]a[/texx] en el modelo [texx]M[/texx] (de cuya naturaleza no decimos nada), podemos considerar su extensión, entendida como la colección de todos los objetos de [texx]M[/texx] que cumplen [texx]x\, R\, a[/texx].

Inmediatamente incluimos en el saco de nuestros axiomas el axioma de extensionalidad, cuya interpretación es que dos objetos que tengan la misma extensión son necesariamente el mismo objeto. Así, cada objeto de [texx]M[/texx] tiene asociado y está completamente determinado por una colección de objetos de [texx]M[/texx], su extensión. Y aquí viene la idea clave: convenimos en que, a partir de ahora, la palabra "conjunto" ya no se referirá a una colección de objetos cualquiera, sino a un objeto de un modelo de los axiomas de la teoría de conjuntos (que vamos a definir). Es lo mismo que hacemos cuando llamamos "vector" a todo elemento de cualquier espacio vectorial, de modo que la naturaleza de los vectores puede ser de lo más diversa, si bien su comportamiento será similar en la medida en que todos cumplirán los axiomas de espacio vectorial.

En nuestro caso, acabamos de ver que podemos concebir a cada conjunto como una colección de conjuntos (su extensión), pero es absurdo identificar conjunto con colección de objetos en general, o incluso con colección de conjuntos, pues el carácter contradictorio de "la totalidad de los conjuntos" se refleja ahora en que en todo modelo de la teoría de conjuntos habrá siempre colecciones de conjuntos que no serán conjuntos, en el sentido de que no serán la extensión de ningún conjunto (por ejemplo, la colección formada por todos los objetos de [texx]M[/texx]).

Entendiéndolo así, argentinator tiene razón al afirmar que no tiene sentido hablar de conjuntos antes de fijar los axiomas de la teoría de conjuntos, pues son éstos los que definen el concepto de conjunto igual que los axiomas de espacio vectorial definen el concepto de vector. (Y lo definen parcialmente, en el sentido de que podemos tener modelos distintos en los que los conjuntos cumplan propiedades distintas, más allá de las propiedades que obligatoriamente deben cumplir por satisfacer los axiomas.), pero se equivoca de lleno al pretender que eso significa que no podemos hablar metamatemáticamente de colecciones de objetos, fuera del contexto de la teoría de conjuntos.

A partir de aquí la pregunta es ¿qué más axiomas metemos en el saco?, y la respuesta del formalista es: cuantos más mejor, es decir, se trata de poner cuantos axiomas hagan falta para garantizar la existencia de todos los conjuntos posibles sin caer en contradicciones. Pensemos por ejemplo en el axioma de partes.

Mi opinión personal (digo esto como inciso, pero no me apoyaré en esta opinión en nada de lo que diga) es que el axioma de partes es intuitivamente falso, en el sentido de que yo puedo tener un conocimiento intuitivo perfectamente determinado de un conjunto como el conjunto de los números naturales, conocer muchos subconjuntos suyos con el mismo nivel de determinación intuitiva (el conjunto de los pares, los primos, los números de Gödel de sentencias aritméticas verdaderas, etc.) y ello no significa que tenga ninguna representación intuitiva de la totalidad de los subconjuntos de [texx]\mathbb{N}[/texx].

Ahora bien, lo importante es que la cuestión de si el axioma de partes es o no intuitivamente verdadero es irrelevante para el programa formalista. La cuestión es ¿resulta útil exigir que, para cada conjunto [texx]a[/texx] que haya en un modelo [texx]M[/texx] haya también otro conjunto que tenga como extensión a todos los conjuntos de [texx]M[/texx] cuya extensión está contenida en la de [texx]a[/texx]?

Fijémonos en que aquí no se trata para nada de si existe "la totalidad de los subconjuntos de [texx]a[/texx] en el sentido cantoriano de la palabra, sino de si  hay un conjunto (en el nuevo sentido restringido) cuya extensión sea precisamente, no la totalidad de subcolecciones, sino la totalidad de subconjuntos (que es muy distinto) de [texx]a[/texx].

Para que se vea la diferencia. El teorema de Henkin prueba que si la teoría de conjuntos es consistente podemos tomar un modelo [texx]M[/texx] numerable. En él habrá un conjunto [texx]N[/texx] que satisfará la definición de "el conjunto de los números naturales" y su conjunto de partes tendrá una extensión numerable (porque el modelo entero lo es) y eso permite probar, por el argumento de Cantor, que habrá sin duda subcolecciones de elementos de [texx]N[/texx] que no serán la extensión de ninguno de los elementos del conjunto "partes de [texx]N[/texx] " del modelo [texx]M[/texx] (y, siempre en mi opinión, el ejemplo que se construye por el argumento diagonal de Cantor sí que existe intuitivamente, con lo que se trata de una colección de números naturales que no aparece reflejada, expresada, representada en el modelo).

Un ejemplo más simple: muchos filósofos parecen traumatizarse con el axioma del conjunto vacío. Dicen: "si un conjunto es una colección de elementos, ¿qué sentido tiene que un conjunto no tenga elementos?", pero eso está fuera de lugar. El axioma del conjunto vacío responde simplemente a la pregunta: ¿qué conviene más, exigir que en cada modelo de la teoría de conjuntos haya un objeto cuya extensión no tenga elementos o lo contrario? Y resulta que es más práctico lo primero. No hay nada de extraño en tener una relación y que haya un objeto [texx]a[/texx]  tal que ningún objeto [texx]x[/texx] cumpla [texx]x\,R\,a[/texx]. Ese es todo el misterio del conjunto vacío.

No merece la pena que me extienda más en esto. Ahora ya puede entenderse qué papel desempeña ZFC en el razonamiento matemático. Sus axiomas seleccionan determinadas colecciones de objetos (los modelos de ZFC) que cumplen las propiedades suficientes para desarrollar las matemáticas con comodidad, sin ninguna pretensión de recoger la totalidad de los conjuntos (concepto contradictorio) ni de restringirse a los conjuntos de los que realmente tengamos una idea intuitiva clara. El conjunto [texx]\mathcal{P}(\mathbb{N})[/texx] es un ejemplo de conjunto de existencia intuitiva dudosa y la consecuencia de esto es que su interpretación en un modelo dado puede diferir mucho de la imagen que la intuición logra formarse de él a duras penas (puede incluso ser numerable externamente al modelo).

Pero esto (o cualquier concepción alternativa de lo que es ZFC) no puede entenderlo nadie que se obstine en identificar "colección de objetos" con los conjuntos introducidos axiomáticamente en ZFC. Bajo ese supuesto, la distinción entre conjuntos y colecciones de conjuntos que no son la extensión de ningún conjunto se vuelven sinsentidos y aceptar ZFC se convierte en la arbitrariedad que argentinator dice que es.

Decía Jabato que metamatemáticamente se puede trabajar con "pseudonaturales", entendiendo que los naturales "de verdad" son los construidos a partir de los axiomas de ZFC. Desde este punto de vista, eso es muy cuestionable. Más bien es al revés. Metamatemáticamente sé perfectamente lo que estoy diciendo cuando digo que los números naturales son el 0, el 1, el 2, y así sucesivamente, donde "y así sucesivamente", esas palabras que exasperan a los formalistas radicales, resume lo que hay que explicar a cualquiera para que entienda qué son los números naturales sin entrar en teorías axiomáticas. En cambio, los números naturales definidos en ZFC son, o bien una mera definición formal que no significa nada, como dice argentinator, o bien podemos interpretarlos como los objetos de un modelo de ZFC que constituyen la extensión del objeto que cumple en dicho modelo la definición de número natural (que dependerán del modelo).

Argentinator usaba el hecho de que en distintos modelos estos números naturales "de ZFC" pueden tener propiedades distintas para concluir que no existe un concepto intuitivo unívoco de número natural. Su error es doble: considera la intuición poco fiable a la hora de determinar el concepto de número natural (lo cual sería discutible) y, lo que es más grave, considera que los axiomas de ZFC sí que son fiables, cuando es indiscutible que no lo son en absoluto, ni para definir los números naturales ni para definir los conceptos de finito/infinito.

Me explico:

Si [texx]M[/texx] es cualquier modelo de ZFC, en él habrá sin duda un objeto [texx]\bf 0[/texx] que satisface la definición de [texx]0[/texx] tal y como se define en ZFC, y otro que [texx]\bf 1[/texx] que satisface la definición de [texx]1[/texx] tal y como se define en ZFC, y un [texx]\bf 2[/texx], y un [texx]\bf 3[/texx], etc. Por otro lado estará el objeto [texx]\bf N[/texx] que satisface la definición de [texx]\mathbb{N}[/texx] en ZFC. Necesariamente, todos los conjuntos [texx]\bf 0, 1, 2, \ldots[/texx] están en la exensión de [texx]\mathbb{N}[/texx], pero no podemos asegurar que en la extensión de N no haya otros conjuntos además de   [texx]\bf 0, 1, 2, \ldots[/texx] Estos posibles conjuntos adicionales satisfacen la definición de número natural en ZFC, pero, obviamente, no se corresponden con números naturales "de verdad".

Esto es lo que menciona argentinator, y todo lo que dice es cierto, pero discrepo en la conclusión filosófica que extrae de ahí: no es que nadie haya sido capaz de definir con precisión los números naturales. Todo maestro de escuela define con precisión los números naturales a sus alumnos, en el sentido de que les hace entender sin margen de dudas lo que son. Lo que no se puede hacer es definirlos a través de la lógica de primer orden. Por eso argentinator se equivoca cuando busca la exactitud matemática en la lógica formal. Esta proporciona exactitud en cuanto a determinación de qué es un razonamiento válido y qué no, pero se vuelve extremadamente imprecisa a la hora de caracterizar nociones que intuitivamente están perfectamente determinadas, como la de número natural o la de finitud. Discrepo de argentinator incluso cuando admite que la intuición es algo "tolerable" a falta de un sistema axiomático, dando por hecho que, en cuanto haya construido uno que le satisfaga se precipitará a trabajar en él y tratará de olvidar su pasado turbio, cuando no tenía más remedio que codearse con la intuición. Al pasar de la intuición a un sistema formal, ganamos en la posibilidad de razonar sobre objetos extraños a aquélla, como cardinales infinitos y cosas así, pero perdemos necesariamente precisión sobre los conceptos intuitivos. El cambio es equilibrado, pero no es una ganancia.

Esto es algo sobre lo que te invito a reflexionar, argentinator: tu dudas de la precisión de la intuición, yo te replico que de la imprecisión de los sistemas formales en las mismas cuestiones para las que la intuición te resulta dudosa (por ejemplo, la definición de los números naturales)  no hay duda posible: se puede demostrar que los sistemas formales (de primer orden, en particular ZFC) no son capaces de definir los números naturales. Si buscas precisión, olvídate de la lógica formal. (Aquí habría que hablar de qué pasa con la lógica de segundo orden. No me voy a extender, pero no creo que resuelva nada realmente a este respecto.)

Lo mismo sucede con la finitud. Supongamos que [texx]M[/texx] es lo que se llama un [texx]\omega[/texx]-modelo deZFC, es decir, un modelo en el que no hay números naturales no estándar, de modo que los objetos que en  [texx]M[/texx] satisfacen la definición de número natural se corresponden con [texx]0, 1, 2, \ldots[/texx]. Entonces, es fácil ver que los conjuntos en  [texx]M[/texx] que satisfacen la definición de finitud (donde un conjunto es finito si y sólo si se puede biyectar con un número natural) son exactamente los conjuntos cuya extensión es finita en el sentido intuitivo de que puedes empezar a numerar sus elementos "uno, dos, tres..."  ¡y acabar!

Sin embargo, si el modelo es sólo un modelo de ZF, puede suceder que haya conjuntos finitos según la definición de Dedekind (que no se puedan biyectar con un subconjunto propio) y que no sean finitos según la otra definición. Esto no signfica, como pretende argentinator, que tengamos dos definiciones de conjunto finito, en el sentido de dos definiciones iguamente válidas, sin que pueda decirse que una es mejor que la otra.  Por el contrario, un conjunto  [texx]A[/texx] en [texx]M[/texx] que sea finito según Dedekind pero infinito según la otra definición tiene una extensión infinita y, por lo tanto, existen biyecciones, representables por colecciones intuitivas de conjuntos (conjuntos que representen pares ordenados en  [texx]M[/texx]) entre dicha extensión y una subcolección propia, pero dichas colecciones intuitivas de conjuntos no son la extensión de ningún objeto de  [texx]M[/texx], no son conjuntos, y por eso  [texx]A[/texx] satisface la definición de finitud de Dedekind a pesar de ser infinito. Dedekind fracasa.

Imponer el axioma de elección tiene el efecto de asegurar que al menos una de tales biyecciones "intuitivas" está reflejada en  [texx]M[/texx] en el sentido de que es la extensión de un conjunto, y así la finitud según Dedekind coincide con la finitud.

Ahora bien, todo esto es bajo el supuesto de que  [texx]M[/texx] sea un  [texx]\omega[/texx]-modelo. Si contiene números naturales no estándar, la situación es más dramática:  [texx]M[/texx] contendrá conjuntos que satisfarán la definición de finitud que parecía "la buena", la de ser equipotente a un número natural, y a pesar de ello tendrán una extensión infinita "de verdad", es decir, en el sentido de que si te pones a contar sus elementos, ¡nunca acabas! Esto sucede si el cardinal del conjunto en cuestión es un número natural no estándar.

En general, puede decirse que cualquier teoría de conjunto de primer orden es incapaz de dar una definición de conjunto finito que caracterice a los conjuntos "finitos" de verdad, en el sentido de que siempre habrá modelos de la teoría (se puede probar que siempre hay modelos no estándar) en los que un conjunto que satisfaga la definición de finitud que queráis dar tendrá una extensión infinita, donde por "infinita" entiendo infinita "de verdad", es decir, en el sentido (no formalizable) de que si te pones a enumerar sus elementos no acabas nunca.

Argentinator: tu presentas esto como un argumento en contra de la capacidad de la intuición para concretar la noción de conjunto finito. Yo te digo que esto es un argumento en contra de la capacidad de la lógica formal para concretar la noción de conjunto finito. Y, nuevamente, estos argumentos sólo puede entenderlos quien comprenda que tenemos realmente una noción intuitiva operativa de número natural, conjunto finito y conjunto infinito que pueden definirse como se le pueden definir a un niño de diez años, pero que no pueden definirse en términos de la lógica de primer orden (y, ya digo, si queréis hablamos del caso de órdenes superiores, pero no voy a extenderme más aquí).

Esto es todo lo que tenía que decir para explicar mi punto de vista. A partir de aquí, si os parece, discutimos con argumentos todo lo que queráis. Está claro que se puede empezar por muchos sitios. Quedo a vuestra disposición.




Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 06/10/2011, 03:16:58 pm
Donald: Has dicho que yo "busco la definición concreta de número natural en la teoría formal".

Eso no es así, es sólo un malentendido.

Yo uso los resultados conocidos que hay actualmente en lo "formal" para mostrar que no hay un modo único de especificar qué cosa es un número natural.

En realidad lo que hago es usar eso como ejemplo que muestra que no es posible entender con exactitud qué cosa es un número natural.

No se lo puede entender ni desde lo formal ni desde lo intuitivo.

Si la intuición de número natural de la escuela primaria es tan clara e inambigua... ¿cómo es que hay tantas teorías sobre ellos?
Las diversas teorías tienen en cuenta distintos grados de fuerza en el principio de inducción, y el universo al cual está permitido aplicarse.

Los números naturales no son una mera secuencia "inocente".
No es sólo "contar de a uno".
También tienen una estructura, la cual se refleja en cierto "comportamiento".
O sea: "propiedades" algebraicas, aritméticas y ordinales que ellos tienen.

Cuando se afirma que "basta saber contar" se está mintiendo,
porque se usan propiedades más fuertes que "contar", y no se especifica nunca cuáles son las propiedades de los "metanúmeros" que se están usando.

Para decir que una fórmula es finita, hay que analizar sus subfórmulas, y ver si tienen "menor" tamaño. ¿Qué es menor? ¿Cómo se sabe que una longitud es menor que otra? Ya hay ahí una relación de orden entre los "metanúmeros naturales".
Y esa relación de orden cumple el principio del mínimo. ¿O no lo cumple?.

Se aplica también "inducción en la longitud de las fórmulas" entre otro tipo de cosas para construir las fórmulas y demostrar cosas sobre ellas.

Esos principios están enunciados en forma vaga, y sin una honesta y clara mención.
Se apela a la intuición del lector, la cual funciona "sólo" porque ya tiene un cierto entrenamiento matemático previo, y entonces, al apelar a ese entrenamiento lo que se está haciendo es "usar" las teorías formales que el lector ya maneja.

Se usa, pues, ZFC en primer orden, todo lo estándar.
Es hacer trampa.

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Para no seguir discutiendo sólo porque sí, voy a plantear la cuestión de otra forma.

Ya que mencionaste la escuela primaria, voy a preguntar lo siguiente.

Imaginemos que viene Tarzán al foro de rinconmatematico y dice: "Hey, esto es muy interesante y quiero aprenderlo, saber de qué se trata".

Tarzán quiere comenzar a construir la matemática desde cero, sin experiencia previa con números naturales, ni con lógica, ni con nada.
¿Cómo se le explica satisfactoriamente qué es la metamatemática?

O sea, ¿cómo construir la lógica de 1er orden desde el mero sentido común, la intuición, los rudimentos del lenguaje?

No me llamo más argentinator.
Ahora me llamo Tarzán, y quiero saber cómo es esto de construir la teoría de primer orden de Zermelo Fraenkel.

No fui a la primaria, nadie me habló de la lógica, y voy a ver todo esto por primera vez.
¿Cómo convencer a Tarzán de que la construcción empleada tiene sentido, de que no da vueltas en círculos, de que no es ambigua?
Tendrías que explicarle qué son los números y la lógica, convencerlo de que eso no es algo ambiguo, y que sirve como herramienta para construir todo, sin problemas.

Y hay que tener en cuenta que aunque Tarzán es iletrado, sin embargo es inteligente, y se va a dar cuenta si le estás haciendo trampa.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 06/10/2011, 03:20:04 pm
En todo caso, para hacer la cosa simple: ¿podrías explicarme con total precisión cuáles son los números que te enseñaron en la escuela primaria, y qué propiedades tienen?
¿Y son esos los mismos números que usaba Godel, o que usaba Henkin, o Hilbert, o los otros?

Porque todos fueron a una escuela primaria diferente, y la intuición de cada uno de ellos fue entrenada de modo distinto.
No veo garantías de que sea lo mismo para todos ellos.

Tampoco les enseñaron cosas como "inducción" o "principio del mínimo", y sin embargo aparecen de un modo u otro en la metateoría.

Si todo fuera contar "palitos" en la meta-vida... Pero hay más.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 06/10/2011, 03:28:05 pm
Ahora vamos al grano. Las discusiones concretas son las que aclaran los argumentos y no los discursos. Ese parece ser el principal argumento de argentinator, pues bien, ahora puedes lucirte donald.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 06/10/2011, 07:03:51 pm
Donald: Has dicho que yo "busco la definición concreta de número natural en la teoría formal".

Eso no es así, es sólo un malentendido.

Yo uso los resultados conocidos que hay actualmente en lo "formal" para mostrar que no hay un modo único de especificar qué cosa es un número natural.

En realidad lo que hago es usar eso como ejemplo que muestra que no es posible entender con exactitud qué cosa es un número natural.

No se lo puede entender ni desde lo formal ni desde lo intuitivo.

Si la intuición de número natural de la escuela primaria es tan clara e inambigua... ¿cómo es que hay tantas teorías sobre ellos?

Las diversas teorías tienen en cuenta distintos grados de fuerza en el principio de inducción, y el universo al cual está permitido aplicarse.

Aquí estás mezclando dos cosas. Si lo único fuera que hay distintas teorías sobre los números naturales, deducir de ahí que hay distintos conceptos de número natural sería como si dijeras que hay distintos conceptos de la teoría de la relatividad porque hay libros que hablan de ella en inglés, otros en alemán, unos se centran en tales aspectos, otros en otros... Eso es irrelevante.

Por concretar: tenemos la aritmética de Peano AP en la que las únicas fórmulas son aritméticas (es decir, hablan de números, sumas, productos y ya está) y, por consiguiente, el principio de inducción es un esquema axiomático que se restringe a fórmulas aritméticas porque no hay más.

Por otro lado tenemos ZFC, donde podemos enunciar el principio de inducción como un teorema sobre subconjuntos arbitrarios de [texx]\mathbb{N}[/texx] y, como cada fórmula del lenguaje de ZFC (con las variables adecuadas) define un subconjunto de [texx]\mathbb{N}[/texx], indirectamente tenemos el principio de inducción como esquema de teorema para fórmulas arbitrarias del lenguaje de ZFC.

También podríamos considerar una lógica de segundo orden en la que se planteara el principio de inducción sobre variables de segundo orden que representen subconjuntos de [texx]\mathbb{N}[/texx].

Si sólo fuera eso (que no es así, y ahora entraremos en lo que hay de más) no puedes decir que los números naturales de cada teoría tienen propiedades distintas por el hecho de que las teorías tengan una potencia distinta. AP es a ZFC lo que un libro de aritmética elemental es a un libro de teoría de números avanzada. (En principio, hablan de los mismos objetos con herramientas de distinta potencia.) Que el principio de inducción de ZFC sea más fuerte que el de AP no significa que los números de ZFC sean distintos de los de AP, sino que ZFC recoge más propiedades sobre ellos que AP, y aún así, no tantas como la intuición. Por ejemplo, la consistencia de AP puede expresarse en términos de una fórmula aritmética (es decir, una afirmación sobre números naturales) que puede demostrarse en ZFC, pero no en AP. Esto no significa que los números sean distintos, sino que para probar dicha consistencia no basta con hacer referencia a números o a conjuntos finitos de números (a los que se puede hacer referencia indirectamente en AP codificándolos mediante números), sino también a conjuntos infinitos. Como el lenguaje de AP no tiene capacidad para hablar de conjuntos infinitos, no es posible demostrar en AP una afirmación sobre números naturales que sí puede probarse en ZFC. Esto no implica que haya una diferencia en la naturaleza de los objetos descritos por las dos teorías.

Ahora bien otra cosa muy distinta es que se puede probar que AP y ZFC (supuesto que sean consistentes) admiten modelos no isomorfos en los que sus correspondientes números naturales no son isomorfos. En particular habrá modelos de una con números naturales no isomorfos a los de la otra, pero no porque sean teorías distintas, sino por el problema de que cualquier teoría de primer orden no es categórica y no determina sus modelos. Por eso creo que mezclar esto, que realmente podría ser un argumento a tu favor, con la existencia de diferentes teorías, confunde más que otra cosa. Si crees que la existencia de diversas teorías aporta algo que no esté contenido en el hecho de que una misma teoría admite diversos modelos, dímelo y volveré sobre ello, pero yo no lo veo. Así que paso a ocuparme de la cuestión de la existencia, no de diversas teorías, sino de diversos modelos. Si crees que con esto estoy desviando tu argumento a mi favor, dímelo, porque entonces es que no veo el camino que querías plantear.

Así pues, creo entender que lo que aportas como muestra de que no es posible entender con exactitud qué es un número natural que es posible construir diversos modelos de AP o de AFC en los que los números naturales no son los mismos. Yo te contesto, eso no es indicio de nada. Si M es un modelo de cualquier teoría aritmética, pueden pasar dos cosas: que los objetos que en M satisfacen la definición de número natural sean únicamente el denotado por el numeral [texx]0[/texx], el denotado por el numeral [texx]0'[/texx], el denotado por el numeral [texx]0''[/texx], etc. Si es así, los objetos que en ese modelo cumplen la definición de números naturales forman un conjunto "isomorfo" en sentido intuitivo a los números naturales intuitivos, pues se puede demostrar (por una inducción metamatemática de las que no te gustan) que la suma definida en M del número (en M) denotado por el numeral [texx]0^{(m)}[/texx] y el denotado por [texx]0^{(n)}[/texx] (donde [texx]m[/texx] y [texx]n[/texx] son números naturales "de verdad", metamatemáticos, es el número (de M) denotado por el numeral [texx]0^{n+m}[/texx], donde la suma es la suma intuitiva de números naturales, "la de verdad".

Por el contrario, si el modelo M contiene un objeto que cumple la definición de número natural de la teoría en cuestión (AP, ZFC o la que sea) y no es ninguno de los objetos denotados por los numerales, entonces los números naturales de M son unos objetos muy extraños que no se parecen en nada a los números naturales de verdad, pero tu error es considerar que eso son otros objetos tan dignos del nombre de "números naturales" como los de verdad o los del primer caso.

Es como si das una fiesta y decides que sólo pueden entrar hombres. Te pones en la puerta de tu casa y sólo dejas entrar hombres, pero va y una mujer se te presenta vestida de hombre y con barba postiza y la dejas pasar. Luego te enteras de que es una mujer y dices: vaya, yo creía que había un único tipo de hombres, pero hay dos clases: los que tienen aparato reproductor masculino y los que lo tienen femenino pero llevan barba". ¡Nooo! Que tu propósito haya sido invitar sólo a hombres no te da derecho a llamar hombres a tus invitados si se te ha colado una mujer. Pretendías invitar a hombres, pero has fallado.

Igualmente, las definiciones de número natural en ZFC o AP pretenden restringir los objetos que las satisfacen a ser los números naturales, y en algunos modelos pueden conseguirlo, pero en otros fallan, y se te cuelan objetos infinitos (en el sentido de "números" tales que el conjunto de números menores es infinito) a los que tú llamas números naturales sólo porque han pasado tu examen de entrada, que no es suficientemente fiable. Desde el punto de vista intuitivo la situación está totalmente clara: hay distintos modelos de AP o ZFC, y en algunos sus "numeros naturales" son de verdad y en otros no.

Respondo a tu pregunta:

Cita
Si la intuición de número natural de la escuela primaria es tan clara e inambigua... ¿cómo es que hay tantas teorías sobre ellos?

Porque ninguna de ellas es capaz de definir los números naturales de forma categórica, es decir, con garantías de que en sus modelos no se colarán invitados no deseados. Eso no es un indicio, sino una prueba de que las teorías formales son incapaces de determinar los números naturales, pero tú pretendes usarlo como evidencia de que la intuición no es capaz de determinar los números naturales. Es tan falaz como afirmar que un alumno no ha hecho bien su trabajo porque otro distinto no ha hecho bien su trabajo. ¿Falla la lógica formal y la sospechosa es la intuición? ¿Qué lógica tiene eso?

Los números naturales no son una mera secuencia "inocente".
No es sólo "contar de a uno".
También tienen una estructura, la cual se refleja en cierto "comportamiento".
O sea: "propiedades" algebraicas, aritméticas y ordinales que ellos tienen.

Cuando se afirma que "basta saber contar" se está mintiendo,
porque se usan propiedades más fuertes que "contar", y no se especifica nunca cuáles son las propiedades de los "metanúmeros" que se están usando.

Yo te las especifico: todas. Se pueden contar, ordenar, sumar, multiplicar, y todo ello con las propiedades usuales (asociativa, distributiva, buen orden, etc.)

Para decir que una fórmula es finita, hay que analizar sus subfórmulas, y ver si tienen "menor" tamaño. ¿Qué es menor?

¿Cómo se sabe que una longitud es menor que otra? Ya hay ahí una relación de orden entre los "metanúmeros naturales".

Un número es menor que otro si al contar te aparece antes que el otro. El hecho de que los llames "metanúmeros naturales" ya es capcioso. Los "metanúmeros naturales" tienen todas las propiedades que cabe esperar de los números naturales, cosa que no se puede decir de los "números formales", en el sentido de que, por ejemplo, si ZFC es consistente, pese a que en ZFC puedes demostrar que todo subconjunto de [texx]\mathbb{N}[/texx] no vacío tiene mínimo, existen modelos de la teoría en la que existen colecciones de objetos de M que cumplen la definición de número natural de ZFC, que no son vacías, y que no tienen mínimo elemento.

Nuevamente, atacas una propiedad básica de los números naturales, como que todo subconjunto no vacío tiene mínimo, lo cual es poco menos que evidente, y pareces insinuar que, claro en ZFC no hay problema, cuando es justo al revés. Se puede demostrar que ZFC tiene modelos (supuesta su consistencia) en los que intuitivamente falla la buena ordenación, pero formalmente no se nota porque los subconjuntos sin mínimo no son la extensión de ningún conjunto, luego el teorema de buena ordenación que demuestras en ZFC no le afecta.

Todos tus argumentos que pretenden cuestionar la fiabilidad de la intuición sólo son muestras de los defectos de la lógica formal. Tiras piedras sobre tu propio tejado.

Y esa relación de orden cumple el principio del mínimo. ¿O no lo cumple?.

Una respuesta rápida es "sí", pero la verdad es que hay que matizar. El principio del mínimo es que todo subconjunto no vacío tiene un mínimo elemento, y aquí tenemos un problema con la palabra "subconjunto".

Como toda precaución lingüística es poca, a partir de aquí voy a adoptar un convenio: restringiré la palabra "conjunto" al sentido que le daba en mi post anterior: elemento de un modelo de la teoría de conjuntos (ZFC por concretar) o, equivalentemente, pues se determinan mutualmente, a la extensión de un tal elemento. Para referirme a colecciones de objetos intuitivas usaré "colección".

En estos términos, el problema es la palabra "subcolección". Intuitivamente, tenemos un conocimiento preciso, objetivo y riguroso de algunas colecciones de objetos, como la colección de los números naturales, y de algunas subcolecciones, como la de los números pares, la de los números primos, la de los números de Gödel de sentencias intuitivamente verdaderas de PA (que no es recursivo), etc.

Sin embargo, no tenemos una determinación intuitiva de "la totalidad de las subcolecciones de la colección de los números naturales". Esto quiere decir que si a mí me preguntan si tal número está o no en la colección de los números primos, se cómo contestar a esa pregunta. Más en general, si me preguntan si un número natural está o no en la colección de los números de Gödel de sentencias verdaderas de PA, tal vez no sepa contestar a la pregunta, pero al menos sé lo que significa. Por ejemplo, imaginemos que me dan un número natural y compruebo que es el número de Gödel de la conjetura de Goldbach: todo número par es diferencia de dos primos.

Entonces yo no sé si pertenece o no al conjunto en cuestión, porque no sé si la conjetura de Goldbach es cierta, pero sé lo que significa que pertenezca: significa que el 2 es diferencia de dos primos, y el 4 también, y el 6 también, y el 8 también, etc. Si eso es verdad, pertenece, si no, no pertenece. No hay ambigüedad. Desconocimiento sí, pero ambigüedad no.

En cambio, si me preguntan si la totalidad de las subcolecciones de la colección de los números naturales cumple una propiedad, no es que tal vez no sepa responder, sino que ni siquera sé qué significaría que la respuesta fuera afirmativa o negativa. No tengo ninguna forma de representarme dicha totalidad análoga a la representación que tengo de los números naturales como algoritmo que genera su sucesión.

A causa de esto, el principio del mínimo se ha de entender como un "esquema teoremático intuitivo", a saber, no que "para toda subcolección de la colección de los números naturales", sin más, sino para toda subcolección concreta de los números naturales de la que yo tenga un conocimiento intuitivo preciso, objetivo y riguroso, si no es vacía, seguro que tiene un mínimo elemento. No es una afirmación general, sino una afirmación que puede demostrarse para cada caso particular.

La prueba es la siguiente, sea A una tal subcolección, donde A no es una variable de un lenguaje formal, sino que en cada caso particular se ha de sustituir por una colección concreta con garantías de estar bien definida intuitivamente (como los ejemplos que he citado).

Si el cero está en A, ahí tienes su mínimo. Si no está en A (y no importa si yo sé discernir cuál es el caso), entonces podemos considerar el 1. Si está en A, ahí tienes su minimo, y en el supuesto de que ni el 0 ni el 1 estén en A consideramos el 2. Proseguimos así y, como suponemos que A no es vacía, en algún momento hemos de llegar a un elemento de A, es decir, hemos de llegar a un número tal que 0 no está en A, 1 no está en A, n-1 no está en A, pero n sí que está en A, y ahí tienes su mínimo.

A modo de inciso: el problema de la paradoja de Berry es que "la colección de todos los números naturales que no se pueden definir con menos de nosécuántas palabras" (no me apetece hacer cuentas) no es un conjunto bien definido intuitivamente, no ya porque dé lugar a una paradoja, sino porque no sé qué tendría que hacer (independientemente de que pudiera hacerlo o no en la práctica) para decidir si un número dado le pertenece o no. No sé lo que significa realmente pertenecer a dicho conjunto. Si quieres podemos produndizar más en ello.

Se aplica también "inducción en la longitud de las fórmulas" entre otro tipo de cosas para construir las fórmulas y demostrar cosas sobre ellas.

Esos principios están enunciados en forma vaga, y sin una honesta y clara mención.
Se apela a la intuición del lector, la cual funciona "sólo" porque ya tiene un cierto entrenamiento matemático previo, y entonces, al apelar a ese entrenamiento lo que se está haciendo es "usar" las teorías formales que el lector ya maneja.

Se usa, pues, ZFC en primer orden, todo lo estándar.
Es hacer trampa.

No. Tú haces trampa. Estas tratando como esencial un hecho accidental. El hecho accidental es que los que se interesan por la lógica matemática suelen ser matemáticos con experiencia matemática. Imagina que doy un curso de lógica a matemáticos que no saben lógica formal. Tú antes me has preguntado qué significa "ser menor que", y yo te he dado una respuesta de escuela de primaria. Te he respondido porque me has preguntado, pero nunca se me hubiera ocurrido "explicarte" eso sin que me lo preguntaras, porque consideraría que te estaría insultando con ello.

Las demostraciones intuitivas de las propiedades de los números naturales son se pueden probar, o bien traduciendo literalmente sus pruebas en ZFC o, mejor aún, simplificándolas al no tener que respetar sus tecnicismos formales. Por lo tanto, cualquier matemático con experiencia puede perfectamente darse a sí mismo pruebas intuitivas de los hechos que yo necesite usar, y  estaría insultandolos, o al menos aburriéndolos, si me pusiera a explicarles esas cosas. Pero es casualidad. Si en vez de ser matemáticos fueran Tarzán, pues se las explicaría intuitivamente, pero como los lectores de libros de lógica son matemáticos, los libros de lógica dan por conocidas esas cosas, pero no hay un círculo vicioso en realidad.

Como este post ya es muy largo. Corto aquí y paso a escribir otro para responderte al resto. Allá voy.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 06/10/2011, 07:24:49 pm
¿Y cuáles son "todas" las propiedades que "cabe esperar" de los números naturales?

¿Por ejemplo, cómo es el Principio de Inducción, el del Mínimo o el de Definición por recurrencia, tal como se emplea en un razonamiento metamatemático?

No sé cuáles son "todas" las propiedades que "cabe esperar".
¿Por qué hay tantos problemas en definir este punto?
Es una pregunta sencilla.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 06/10/2011, 07:43:40 pm
Para no seguir discutiendo sólo porque sí, voy a plantear la cuestión de otra forma.

Ya que mencionaste la escuela primaria, voy a preguntar lo siguiente.

Imaginemos que viene Tarzán al foro de rinconmatematico y dice: "Hey, esto es muy interesante y quiero aprenderlo, saber de qué se trata".

Tarzán quiere comenzar a construir la matemática desde cero, sin experiencia previa con números naturales, ni con lógica, ni con nada.
¿Cómo se le explica satisfactoriamente qué es la metamatemática?

O sea, ¿cómo construir la lógica de 1er orden desde el mero sentido común, la intuición, los rudimentos del lenguaje?

No me llamo más argentinator.
Ahora me llamo Tarzán, y quiero saber cómo es esto de construir la teoría de primer orden de Zermelo Fraenkel.

No fui a la primaria, nadie me habló de la lógica, y voy a ver todo esto por primera vez.
¿Cómo convencer a Tarzán de que la construcción empleada tiene sentido, de que no da vueltas en círculos, de que no es ambigua?
Tendrías que explicarle qué son los números y la lógica, convencerlo de que eso no es algo ambiguo, y que sirve como herramienta para construir todo, sin problemas.

Y hay que tener en cuenta que aunque Tarzán es iletrado, sin embargo es inteligente, y se va a dar cuenta si le estás haciendo trampa.

Por una parte me lo pones fácil y por otra difícil. Como Tarzán no conoce la teoría formal no podría ver ningún círculo vicioso. Esto es evidente. Por otra parte, al ser iletrado, tampoco es probable que se planteara dudas filosóficas como las que tú te planteas, pues éstas sólo surgen cuando uno ha leído muchas cosas. Así que, de verdad, de verdad, lo tendría bastante fácil, pero es que tú no planteas eso. Tú quieres un Tarzán iletrado pero tan "toreado" como tú, lo cual es un tanto ficticio, pero lo acepto. Y ahí viene la parte difícil, pues si mis posts tienden a ser largos, a ver cómo te resumo en pocas palabras TODA la metamatemática necesaria para formalizar la matemática. Me temo que tendré que ser tan esquemático que lo tendrás fácil para señalar omisiones importantes, pero es que me has puesto un problema teóricamente fácil pero prácticamente hercúleo. A ver qué digo:

Primero le enseñaría lo que son los números naturales. Le enseñaría a contar, los dedos de su mano, piedras, lo que fuera, y luego le haría observar que los números son los mismos se cuente lo que se cuente, y me aseguraría que entiende cómo escribir el numeral del siguiente de cualquier número que le diera. Por ejemplo, le preguntaría cuál es el siguiente de 6479 y esperaría que contestara sin vacilar 6480.

En cuanto hubiera entendido esto, Tarzán sabría ya qué son los números naturales.

Si no fuera el Tarzán inocente que propones, sino argentinator con piel de Tarzán, es posible que me preguntara qué son en definitiva los números naturales, pues no son dedos, ni piedras, ni nada.

Yo le contestaría que los números naturales no son más que lo que ya sabe. Que el cero no es más que el primer número natural, y no es que sea algo desconocido, sino que quien sabe que el cero es el primer número natural ya sabe todo lo que hay detrás del concepto de cero. Igualmente, el 1 no es más que el número natural que sigue a 0, y quien sabe eso ya sabe todo lo que hay que saber sobre el 1. No hay nada más. Y quien sabe construir el siguiente número de cada número natural que le den ya sabe todo lo que hay que saber sobre qué son los números naturales. No hay nada más aparte de eso.

(A ver si me explico, sabe todo lo que hay que saber sobre QUE SON los números naturales. Por supuesto, podrá aprender luego muchas más cosas sobre ellos, pero nada que concrete más su naturaleza.)

Luego le haría ver que los números naturales tienen un orden natural: un número natural es menor que otro si aparece antes en la sucesión que empieza en el cero y de cada natural pasa al siguiente.

Luego le haría ver la evidencia del principio de inducción: si tengo una propiedad bien definida, una propiedad tal que no hay duda sobre lo que significa que un número natural la cumpla o no (si hay dudas sobre si está bien definida, es que no lo está) y podemos convencernos de cualquier modo de que 0 ha de cumplirla, y que si un número la cumple también la cumple el siguiente, entonces todo número tiene que cumplirla.

Esto es porque, según hemos dicho, 0 la cumple, luego 1 la cumple, luego 2 la cumple, luego 3 la cumple, y como es obvio que la hipótesis nos permite avanzar indefinidamente, concluimos que todos la cumplen.

Luego le haría ver el principio del mínimo que ya te he demostrado en mi otro post.

Luego le definiría la suma de números naturales. Hay muchas formas de hacerlo. Elegiría la que más me apeteciera. Por poner una: para sumar un número mas otro, dibujo tantos puntitos como indica el primer sumando, luego tantos como indica el segundo sumando, y luego cuento los puntitos que he dibujado.

Para probarle, por ejemplo, que la suma es conmutativa le haría ver que, al contar, no importa en qué orden cuento los puntitos, y en particular da igual contarlos de atrás adelante que al revés, pero en un caso estoy calculando n+m y en otro m+n, luego tiene que dar lo mismo.

Creo que puedes imaginarte cómo le definiría la multiplicación. También hay muchas formas de probar sus propiedades. Para probar la asociatividad podría usar la brillante idea de Cristian C. Lo detallo más por si quieres usarlo como blanco de tus críticas:

1) Pongamos que tenemos dos números naturales m y n.

2) Es evidente que puedo concebir un rectángulo cuya base mida m unidades y su altura n unidades. (Y no hace falta un curso de geometría euclídea para esto.)

3) Divido el rectángulo en cuadrados unitarios. ¿Cuántos habrá? Según se cuenten, habrá m.n o n.m, pero como ya sabemos que el número de objetos que contamos no depende de la forma en que se cuenten, concluimos que los dos productos son iguales.

No sé si me dejo algunas cosas que necesitaría. Esto de improvisar un libro no es fácil. Pero creo que, más o menos, ya estaría en condiciones de explicarle lo que es un lenguaje formal. Por no alargar esto, me centraré en el lenguaje de la teoría de conjuntos, aunque podría trabajar más en general, a costa de explicaciones más largas.

Le diría, vamos a considerar unos signos a los que llamaremos variables. Seran los signos [texx]x_0, x_1, x_2, \ldots[/texx]. Cuando diga "variable", me refiero simplemente a una equis y un número natural como subíndice. Las variables no son ni más ni menos que esto.

Consideraremos también los signos siguientes: [texx]=, \in, \lnot, \land, \lor, \Rightarrow, \Leftrightarrow, \forall, (,)\exists[/texx]. No son más que garabatos que puedo escribir en un papel. No representan nada. Voy a estudiar los signos en sí mismos.

Con los signos podemos formar cadenas de signos: por ejemplo, [texx]\forall \Rightarrow x_1x_1x_3\land\lor lor[/texx]. El orden es importante, si los desordeno cambio de cadena. Y cada cadena tiene una longitud, que es su número de signos (Tarzán ya sabe contar).

Ahora defino una fórmula inductivamente:

Las cadenas de signos de la forma [texx](x_i=x_j)[/texx] y [texx](x_i\in x_j)[/texx] se llaman fórmulas atómicas. Es muy fácil distinguir si una cadena de signos es o no una fórmula atómica.

Si hemos construido fórmulas [texx]\phi[/texx] y [texx]\psi[/texx], entonces también serán fórmulas las cadenas de signos
[texx]\lnot\phi[/texx], [texx](\phi\land\psi)[/texx], etc. (creo que agradeceréis que abrevie obviedades).

Y luego le demostraría que, dada una cadena de signos, hay un procedimiento para saber en un número finito de pasos si es o no es una fórmula. Es bastante largo. Lo omito, pero si dudas de que exista, lo cuento.

Por no avanzar demasiado aburriéndoos con trivialidades, voy a demostrar una bobada por inducción sobre la longitud de una fórmula:

Toda fórmula contiene el mismo número de paréntesis ( que ).

Demostración. Supongamos que el resultado fuera falso. Esto significaría que existen fórmulas con distinto número de paréntesis de cada clase. Podemos considerar la colección de números naturales que son la longitud de alguna fórmula desequilibrada en sus paréntesis. Sería un conjunto no vacío perfectamente determinado intuitivamente. Por lo tanto tendría un mínimo elemento n. Existiría entonces una fórmula desequilibrada de longitud n. Dicha fórmula se tendría que poder construir según el proceso descrito antes.

No puede ser una fórmula atómica, porque cada fórmula atómica tiene un paréntesis de cada. Por lo tanto, o bien es de la forma [texx]\lnot\phi[/texx], o bien [texx](\phi\land\psi)[/texx], etc.

Si fuera de la forma [texx]\lnot\phi[/texx], entonces [texx]\phi[/texx] es una fórmula de longitud menor, porque si a una colección de cosas le quito una cosa, la colección que queda se acaba de contar una unidad antes que la inicial, como es fácil ver.

Por lo tanto, la longitud de [texx]\phi[/texx] no puede pertenecer a la colección de longitudes de fórmulas desequilibradas, luego [texx]\phi[/texx] no puede ser desequilibrada, luego [texx]\lnot\phi[/texx] tampoco, porque tiene los mismos paréntesis.

Bueno, ya me he cansado. Creo que es suficientemente representativo de cómo irían las cosas.

En todo caso, para hacer la cosa simple: ¿podrías explicarme con total precisión cuáles son los números que te enseñaron en la escuela primaria, y qué propiedades tienen?
¿Y son esos los mismos números que usaba Godel, o que usaba Henkin, o Hilbert, o los otros?

Porque todos fueron a una escuela primaria diferente, y la intuición de cada uno de ellos fue entrenada de modo distinto.
No veo garantías de que sea lo mismo para todos ellos.

Tampoco les enseñaron cosas como "inducción" o "principio del mínimo", y sin embargo aparecen de un modo u otro en la metateoría.

Si todo fuera contar "palitos" en la meta-vida... Pero hay más.

A lo último, creo que ya te he contestado: es fácil enseñarle a cualquiera (como a Tarzán) el principio de inducción o el del mínimo.

En cuanto a lo primero, eso ya es escepticismo puro y duro. Como me ha aparecido un mensaje diciendo que hay nuevos posts, voy a publicar éste y, si no hay nada mejor a lo que rebatir, te contesto a esto, y si no lo dejo para otro post, porque se puede decir mucho sobre ello.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 06/10/2011, 07:45:09 pm
¿Y cuáles son "todas" las propiedades que "cabe esperar" de los números naturales?

¿Por ejemplo, cómo es el Principio de Inducción, el del Mínimo o el de Definición por recurrencia, tal como se emplea en un razonamiento metamatemático?

No sé cuáles son "todas" las propiedades que "cabe esperar".
¿Por qué hay tantos problemas en definir este punto?
Es una pregunta sencilla.

¡¡Un poco de paciencia!! Te lo estaba explicando el post siguiente. A ver si te vale como respuesta con lo que acabo de publicar. Pero es más de lo mismo: explicarle cuáles son esas propiedades a un matemático es insultarlo. Por eso no se explican normalmente, no porque haya ningún problema en explicarlas. Es por no aburrir.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 06/10/2011, 08:09:08 pm
Sobre el escepticismo puro y duro:

Cita
En todo caso, para hacer la cosa simple: ¿podrías explicarme con total precisión cuáles son los números que te enseñaron en la escuela primaria, y qué propiedades tienen?
¿Y son esos los mismos números que usaba Godel, o que usaba Henkin, o Hilbert, o los otros?

Pues son los que le he explicado a Tarzán. Confío en que no me salgas con que me he dejado muchas propiedades en el tintero. Esto es un blog, no un libro de quinientas páginas. No puedo detallarlas todas aquí. Confío en haber sido representativo.

Lo otro ya es inadmisible. Te voy a contestar en general:

Ya te expliqué la diferencia entre el escepticismo y el dogmatismo: cualquier razonamiento necesita premisas, luego cualquier conocimiento requiere apoyarse en evidencias que no son susceptibles de ser demostradas a partir de hechos previos. El escéptico pide razones para todo, y pregunta qué es todo y cómo se yo que eso es así, etc. Su base es un hecho indubitable:

Toda convicción de cualquier persona, sea la que sea, podría ser fruto de un error.

Esto es incuestionable. Ahora bien, el escéptico hace de esto su filosofía, y construye lo que podríamos llamar el ESEU (esquema de silogismo escéptico universal), que reza así:

Cualquier afirmación tenida por cierta podría ser falsa a causa de un error, confusión, etc.
"Esto" es una afirmación cualquiera,

luego

"Esto" podría ser falso.

Aquí "Esto" es una metavariable que ha de sustituirse por cualquier afirmación que el escéptico haya elegido como blanco. Este silogismo tiene la virtud de ser totalmente a priori, y derriba cualquier afirmación, sea la que sea.

Si alguien se dedica a atacar con el ESEU, lo único que consigue es la parálisis total, un encefalograma plano, no se puede decir nada porque cualquier cosa es refutable por el ESEU.

Como eso no lleva a ninguna parte, el escepticismo-ESEU es inadmisible, y cualquier persona con vocación de supervivencia debe comprometerse a no usar semejante arma de destrucción masiva. ¿Y eso cómo se hace? Sencillamente, no cuestionando todo, sino cuestionando únicamente aquello para lo que tengamos algún indicio racional de que pudiera ser fruto de un error. Esa es la actitud sana si queremos razonar con seguridad sin caer ni en el escepticismo ni en el dogmatismo. Porque el dogmático es el que no se cuestiona ni siquiera lo que tiene indicios de ser dudoso.

Por ejemplo, si alguien dice: "Yo sé que la conjetura de Goldbach es cierta porque se me ha aparecido Dios y me lo ha asegurado, y además sé que era Dios y no una alucinación porque no venía solo, sino acompañado de Jesucristo que me ha confirmado que, ciertamente, era Dios quien me hablaba", y ese alguien se cree lo que dice, está siendo dogmático, porque nada de lo que ha dicho descarta la duda razonable de que haya podido tener una alucinación.

Ahora bien, si nosotros hemos visto lo que han escrito sobre aritmética Gödel y cualquiera de los personajes que citas, y no hemos hallado en sus palabras el menor indicio de que entiendan los números naturales en un sentido distinto del que tú o yo los entendemos, ¿qué indicio tenemos, aparte del destructivo ESEU, de que sus números naturales podrían ser distintos de los nuestros, o los tuyos de los míos? No te puedo demostrar que es así del mismo modo que no te puedo demostrar que la constelación en la que estaba el Sol el día que nací no ha influido en nada en mi carácter o en mi destino, al contrario de lo que afirman los astrólogos. Es un astrólogo quien tiene que demostrar que hay una conexión y no yo quien ha de probar que no la hay, porque el mero hecho de que no hay ningún indicio razonable de que pudiera haberla basta a un ser racional (ni escéptico ni dogmático) para aceptar que no la hay, sin necesidad de  demostración alguna

Jamás he hablado con una persona y se ha producido el menor equívoco que me induzca a pensar que concibe los números naturales de forma distinta a como los concibo yo. No hablo de si piensa que son esto o lo otro (que ahí cada filósofo tiene sus manías), sino que todos cuentan como yo, todos suman como yo, todos entienden el orden como yo, todos entienden la inducción como yo, todos afirman como yo el principio del mínimo, etc. Y siendo eso así, ¿qué indicio racional puede haber, sin contar ESEU, para que yo deba cuestionarme que los números naturales que me muestra mi intuición no son los mismos que los de la de otros? Que no dude de eso no me convierte a mí en dogmático, sino que el hecho de que tú dudes te convierte en escéptico.

Matizo, no obstante, que negar ESEU no es negar su premisa mayor. La forma racional (no escéptica) de aceptar la premisa mayor es tener presente que, si en un futuro surgiera algún dato, indicio, lo que fuera, que indicara que algo previamente aceptado como cierto podría ser erróneo, la honestidad intelectual propia de la razón auténtica me obligaría a reconsiderar ese hecho, pues no hacerlo me convertiría en dogmático. Se duda de las cosas cuando hay razones para dudar (distintas de ESEU) y se deja siempre abierta la posibilidad de reconsiderar lo establecido si surgen tales razones, pero no se duda mientras no hay indicios razonables que justifiquen la duda. Ese es el error del escéptico.









Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 06/10/2011, 08:22:01 pm
Ese parece ser el principal argumento de argentinator, pues bien, ahora puedes lucirte donald.

Confundes la claridad con la frivolidad. Supongo que, para ti, tomar chocolate será un ritual solemne.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 07/10/2011, 01:34:29 am
Ese parece ser el principal argumento de argentinator, pues bien, ahora puedes lucirte donald.

Confundes la claridad con la frivolidad. Supongo que, para ti, tomar chocolate será un ritual solemne.

Tengamos cuidado con los comentarios personales.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 07/10/2011, 02:10:16 am
Donald, te agradezco el esfuerzo que has puesto en tus respuestas.

Sobretodo, cuando expusiste una típica demostración metamatemática, el ejemplo de los paréntesis equilibrados.

Al leerla, te puedo asegurar que sentía que me clavaban espinas en los ojos con cada palabra.

O bien esa "demostración" es un abuso descarado de lo que se entiende por "intuición de nociones sencillas sobre las que construir una metateoría",
o bien es una demostración matemática compleja, que esconde un cálculo deductivo, o bien, esconde la necesidad de un cálculo deductivo formal.

---------------

Además te tomaste el trabajo de clasificarme en una cosa que llamaste escepticismo, que te tomaste largo trabajo en definir.

Soy conciente de que las cosas que digo tienen ese aspecto.
No lo voy a negar.

Pero también he intentado mostrar argumentos concretos.

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Cuando decís que ninguna persona conocida tuya parece concebir los números naturales de forma distinta a como vos los concebís... eso es algo sólo anecdótico, no es algo científico.

Uno no puede fundamentar una ciencia en lo que "los conocidos de uno más o menos piensan".

La matemática necesita absoluto rigor, es la ciencia en la que otras ciencias se basan cuando necesitan exactitud y confianza, solidez absoluta, ausencia de ambigüedades, y conceptos claramente definidos y delimitados.

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Por un lado, me parece fatal que una ciencia como la matemática se termine basando en última instancia en cosas como el lenguaje coloquial, el sentido común y la intuición.

Pero aún si estas cosas se aceptan, me parece ridículo que se siga diciendo que se usa la intuición y el sentido común cuando lo que estás haciendo es una demostración compleja, con muchas suposiciones fuertes, y una deducción formal.

Que la hayas escrito con palabras no la hace informal.

Es una prueba fácilmente traducible a una teoría matemática (dentro de ZFC) de los lenguajes formales, cosa que ya existe.

Si en ZFC uno define lenguajes, puede contar caracteres de expresiones dadas en esos lenguajes, usar inducción, y hacer las mismas demostraciones que vos hiciste acerca de los paréntesis equilibrados.

En realidad, es en eso en lo que se basa.

Llamarle a eso demostración metamatemática es un autoengaño.

Estás haciendo uso de la aritmética ya formalizada, sin reconocerlo.
No hay nada intuitivo ahí.

Me decís a mí que soy un escéptico, pero yo veo la actitud tuya como una negación inmadura (y espero no lo tomes a mal, no es personal, critico el punto de vista de hacer las cosas así, que veo que es generalizado).
Es como cerrar los ojos a propósito para demostrar que está todo oscuro.

Cuando se habla de "toda fórmula", se usa inducción, el principio del mínimo, conjuntos de naturales, etc., y además un razonamiento por el absurdo como hiciste, en que se aplica modus ponens, el tercero excluido, y las reglas clásicas de la lógica deductiva, no hay nada intuitivo.

Es una demostración en toda regla, que intenta no serlo para intentar decir que es "metamatemática", "informal", "intuitiva", o lo que fuere.

Pero no es posible escapar de la necesidad de una formalización.

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Si se intenta escapar de esto, entonces caemos otra vez en que no se sabe qué reglas se están usando para decir no sé qué cosas.

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Es demasiado formal para ser intuitivo.

O al revés: se le achacan a la intuición facultades demasiado poderosas, que en realidad no tiene.

Mi intuición no funciona así.
Yo sólo intuyo una ciencia mal fundamentada, que está en pañales.

Si es por intuir... cada uno intuye lo que más le gusta.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 07/10/2011, 09:32:30 am
Ese parece ser el principal argumento de argentinator, pues bien, ahora puedes lucirte donald.

Confundes la claridad con la frivolidad. Supongo que, para ti, tomar chocolate será un ritual solemne.

Puedes explicarme que conclusión debo extraer de ese comentario de tan mal gusto. No sé a que viene semejante tontería. ¿Te molestó quizás que te hiciera notar la excesiva superficialidad de tus apreciaciones y lo prolijo de tus matizaciones? Porque ambas cosas resultan evidentes despues de leer tus peroratas.

Jabato.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 07/10/2011, 02:53:45 pm
Muchachos. Tendremos que dejar atrás los roces, porque si no habrá que bloquear el hilo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 07/10/2011, 04:30:42 pm
Donald, te agradezco el esfuerzo que has puesto en tus respuestas.

El tema es interesante. Sólo espero no estar repitiendo cosas que ya hayas oído muchas veces y te aburra repetir lo mismo una y otra vez.

Sobretodo, cuando expusiste una típica demostración metamatemática, el ejemplo de los paréntesis equilibrados.

Al leerla, te puedo asegurar que sentía que me clavaban espinas en los ojos con cada palabra.

O bien esa "demostración" es un abuso descarado de lo que se entiende por "intuición de nociones sencillas sobre las que construir una metateoría",
o bien es una demostración matemática compleja, que esconde un cálculo deductivo, o bien, esconde la necesidad de un cálculo deductivo formal.

Creo que malinterpretas la palabra "sencillas". Los razonamientos intuitivos sólo son fiables si tratan sobre nociones sencillas (por ejemplo, si tratan sobre números naturales, pero no sobre números reales, ya que dudo mucho que alguien pueda afirmar que tiene una intuición clara de la totalidad de los números reales como para apoyarse en su intuición para hacer afirmaciones sobre ellos), pero eso no es lo mismo que decir que los argumentos intuitivos no puedan ser arbitrariamente complejos. Me pediste que le explicara a Tarzán la fundamentación de la matemática de forma que pudiera entenderme sin tener una formación previa. No me has aclarado si crees que lo he hecho bien, es decir, ¿aceptas que ese Tarzán inteligente e iletrado podría entender plenamente mis explicaciones a pesar de no conocer el cálculo deductivo? Supongo que si no me has dicho que no, es que aceptas que sí. Tú me pediste que le explicara cómo se fundamenta la lógica formal y la teoría de conjuntos, y fui hacia ahí, pero te voy a hacer una lista (no exhaustiva) de algunas de las ramas de la matemática que le podría haber explicado sin apelar para nada al cálculo deductivo ni a la teoría axiomática de conjuntos si las inclinaciones de Tarzán hubieran sido otras:

Toda la aritmética elemental sobre números naturales, enteros y racionales (donde elemental significa que, por ejemplo, el último teorema de Fermat es una afirmación aritmética, pero su demostración requiere conceptos muy alejados de la aritmética y de la intuición, por lo que no podría demostrarle a Tarzán el UTF sin apoyarme en ZFC), lo que incluye cualquier género de argumentos por inducción, recursión, y lo que sea, mientras no involucren más que números naturales, enteros y racionales.

En particular, toda la teoría sobre funciones recursivas de variables naturales con valores naturales (la teoría de la recursión se generaliza a espacios de sucesiones y, más en general, a estructuras recursivas arbitrarias, pero esto ya excedería las posibilidades de la intuición). En particular, desarrollar intuitivamente la teoría de la recursión es imprescindible si quieres una demostración metamatemática (independiente de ZFC) de los teoremas de incompletitud, lo cual es necesario a su vez para poder aplicarlos a la propia ZFC y concluir, por ejemplo, que es imposible demostrar la consistencia de ZFC. Si concibes los teoremas de Gödel como teoremas de ZFC, sería absurdo extraer como consecuencia de un teorema de ZFC que es imposible demostrar la consistencia de ZFC.

Toda la teoría de números elemental (es decir, que no involucre conceptos analíticos o algebraicos sofisticados, como clausuras algebraicas, etc.) En particular, puedes demostrar intuitivamente, calcando las demostraciones de cualquier libro, los teoremas sobre congruencias, sobre resolución de ecuaciones diofánticas sencillas, etc. Por ejemplo, parte de esto es necesario si quieres demostrar metamatemáticamente que la fórmula indecidible de Gödel es equivalente a una ecuación diofántica, lo cual es un complemento elegante al teorema de incompletitud (metamatemático).

Prácticamente toda la matemática discreta (teoría de grafos, teoría elemental de grupos finitos, etc.) Por ejemplo, los teoremas de Sylow pueden probarse sin apelar en ningún momento a ZFC, con los argumentos usuales que se dan en ZFC.

Toda la geometría bidimensional y tridimensional euclídea que, cuando se axiomatiza, no depende del axioma de continuidad, es decir, que no hace referencia a medidas de longitudes y ángulos con números reales, asignación de coordenadas, etc.

Si las aspiraciones de los matemáticos no fueran más allá de este nivel ZFC sería muy interesante, pero innecesario. Ahora bien, como van más allá y frecuentemente los resultados de las ramas que he citado se combinan con otros que exceden el alcance de la intuición, es preciso formalizar todas ellas en ZFC (pues un razonamiento en ZFC no puede apoyarse en razonamientos intuitivos) y eso es lo habitual.

Tal vez digas: ¿y cómo justificas lo que acabas de decir? No puedo justificar a priori que es posible desarrollar intuitivamente toda la teoría elemental de grupos finitos. La única forma de justificarlo sería haciéndolo, y no es plan que lo haga aquí. En cualquier caso, no te encontrarías nada esencialmente diferente al razonamiento de los paréntesis.

Ahora bien, lo que no te vale a ti tampoco como argumento es decir que mis lecciones a Tarzán no son válidas como metamatemática porque no cuadran con tu concepto de lo que tiene que ser la metamatemática intuitiva (reducida a razonamientos simples en el sentido de "no muy complejos"). Tú mismo reconoces que tu concepto de lo que estás dispuesto a conceder a la intuición es demasiado poco para fundamentar adecuadamente la matemática, luego lo que estamos debatiendo es si es posible o no una metamatemática intuitiva más potente que la que tú estás dispuesto a admitir, y no puedes darme como argumento en contra que el nivel de confianza que yo tengo en la intuición es superior al que tienes tú. Eso sería una petición de principio: "Yo pienso así, y si tu dices algo distinto no te lo acepto porque no es lo que yo pienso". Podrás no aceptarlo por alguna razón, pero no por no ser lo que tú piensas.

Además te tomaste el trabajo de clasificarme en una cosa que llamaste escepticismo, que te tomaste largo trabajo en definir.

Soy conciente de que las cosas que digo tienen ese aspecto.
No lo voy a negar.

Pero también he intentado mostrar argumentos concretos.

Nunca he dicho ni insinuado que no des argumentos. Sólo digo que a veces, entre tus argumentos hay dudas escépticas sin más fundamento que el escepticismo por principio, y cuando encuentro una de ellas trato de separarlas del resto de tu argumentación, porque el escepticismo por principio no tiene respuesta posible.

Cuando decís que ninguna persona conocida tuya parece concebir los números naturales de forma distinta a como vos los concebís... eso es algo sólo anecdótico, no es algo científico.

Uno no puede fundamentar una ciencia en lo que "los conocidos de uno más o menos piensan".

Has tergiversado lo que te decía. Te lo diré más asépticamente:

Yo le explico a Tarzán intuitivamente la aritmética elemental como paso previo a la construcción de la lógica formal, y me pregunto: ¿existe alguna posibilidad de que esto que le estoy explicando lo vaya a entender de forma distinta a como yo lo entiendo? ¿Podría ocurrir que si Tarzán decide explicarle a Jane lo que yo le he explicado a él en realidad le estuviera explicando algo distinto porque su intuición (o la de Jane) fuera distinta a la mía? En resumen: puede que las leyes de la aritmética que conozco estén influidas de algún modo por mi psicología particular, o que la psicología de otra persona pueda hacérselas comprender de otro modo? Más concretamente: ¿Podría ocurrir que otra persona considerara tan intuitivamente evidente que 2 + 2 = 5 como para mí lo es que 2 + 2 = 4?

Y, honestamente, no se me ocurre cómo podría ser así. Entiendo que un "fallo" en el cerebro de una persona pueda inducirla a error, a hacer un cálculo incorrecto, a equivocarse de un modo u otro, pero no concibo cómo podría ocurrir que un cerebro configurado de forma distinta pudiera concebir intuitivamente una aritmética distinta. Los ejemplos que te ponía eran posibles ejemplos de indicios que podrían cambiar la situación, pero no tenían mayor valor en mi planteamiento. En resumen: yo no puedo hallar más relación entre aritmética y psicología, cultura o cualquier factor subjetivo que entre mi signo del zodíaco y mi destino. Pero del mismo modo que no puedo demostrarle a un astrólogo que no hay tal relación, sino que recae sobre él la responsabilidad de justificarla, a ti te digo que eres tú quien tiene que explicarme qué clase de evidencias tienes que sugieran que podría haber diferencias entre mi intuición y la intuición de Gödel (y hablo de diferencias de naturaleza, que las hicieran incompatibles, no de agudeza, perspicacia, etc., en lo que Gödel me daría cien vueltas).

Lo que te decía es que esa duda que me planteas no muestra dogmatismo por mi parte, sino escepticismo por la tuya, salvo que me aportes evidencias por las que debería cuestionarme la objetividad de la intuición. Me has intentado presentar como tal la no categoricidad de la lógica de primer orden, pero ya te he replicado que señalar un defecto de  la lógica formal no dice nada sobre que la intuición también lo posea. Más bien en ese caso la intuición muestra su capacidad para distinguir lo que la lógica formal no distingue (los números naturales "de verdad" de los falsos que se cuelan en las definiciones formales, como las mujeres en tu fiesta). ¿Tienes algún indicio más al respecto? Si no es así, tu duda escéptica está fuera de lugar.

La matemática necesita absoluto rigor, es la ciencia en la que otras ciencias se basan cuando necesitan exactitud y confianza, solidez absoluta, ausencia de ambigüedades, y conceptos claramente definidos y delimitados.

Suscribo totalmente esas palabras. A lo sumo discreparía en lo de "conceptos claramente definidos", según lo entiendas. El concepto intuitivo de "recta" no puede ser definido, si por "definido" entiendes "determinado por una definición". No obstante, es un concepto claramente definido en el sentido de que la intuición no duda en qué objetos son rectas y cuáles no lo son. (Si quieres que debatamos qué pasa con una curva que parece recta, lo hacemos, pero creo que sería irse por las ramas.)

Por un lado, me parece fatal que una ciencia como la matemática se termine basando en última instancia en cosas como el lenguaje coloquial, el sentido común y la intuición.

Yo nunca he hablado de sentido común. La intuición es algo mucho más preciso que eso. En cuanto a lo de lenguaje coloquial, si quieres decir "no lenguaje formal", es lo que hay, si quieres decir "lenguaje impreciso", sería inadmisible, ciertamente. A mi también me parecería fatal. Afortunadamente, no es el caso.

Pero aún si estas cosas se aceptan, me parece ridículo que se siga diciendo que se usa la intuición y el sentido común cuando lo que estás haciendo es una demostración compleja, con muchas suposiciones fuertes, y una deducción formal.

Que la hayas escrito con palabras no la hace informal.

Es una prueba fácilmente traducible a una teoría matemática (dentro de ZFC) de los lenguajes formales, cosa que ya existe.

Si en ZFC uno define lenguajes, puede contar caracteres de expresiones dadas en esos lenguajes, usar inducción, y hacer las mismas demostraciones que vos hiciste acerca de los paréntesis equilibrados.

En realidad, es en eso en lo que se basa.

Llamarle a eso demostración metamatemática es un autoengaño.

Estás haciendo uso de la aritmética ya formalizada, sin reconocerlo.
No hay nada intuitivo ahí.

¡Uf! Este pasaje es muy denso.

Para empezar, fíjate en lo que dices con un poco de perspectiva:

Me dijiste que la fundamentación de la matemática es circular porque se necesita ZFC para fundamentar la metamatemática que fundamenta a su vez a ZFC, y como apoyo a tu afirmación me propusiste que le fundamentara la matemática a Tarzán. Si te hubiera dicho que no sé como hacerlo, me habrías contestado: "¡Ves! Tengo razón, la fundamentación es circular", pero te digo como hacerlo (y espero que reconozcas que Tarzán podría entender mis explicaciones sin conocer previamente ZFC) y tu respuesta es "¡Ves! Tengo razón, la fundamentación es circular".

¿No te parece poco serio que si me propones que te responda si [texx]P[/texx] o [texx]\lnot P[/texx] (si puedo o no puedo fundamentarle la matemática a Tarzán), una respuesta [texx]P[/texx] te dé la razón y una respuesta [texx]\lnot P[/texx] también te dé la razón. Podías haberme dicho que ibas a salir por ahí y me habría ahorrado la lección.

Pero bueno, a pesar de que no me parece serio que la opción contraria a la que sin duda te dé la razón te lleve a la misma conclusión, vamos a analizarla:

Tu problema es como el de alguien que dijera: ¡Qué raro! Los padres suelen parecerse físicamente a los hijos. Pero eso significa que, por algún extraño proceso, cuando un hombre es concebido recibe información del futuro sobre cómo serán sus hijos y esa información influye sobre su formación hasta acabar pareciéndose a sus futuros descendientes. No me explico cómo es posible.

¿Y no será que son los hijos los que se parecen a los padres, y no al revés? Tú te empeñas en ver a ZFC como fundamento a la metamatemática (lo cual es absurdo, como tú mismo concluyes, pues llegas a un círculo vicioso), cuando la respuesta obvia es que ZFC ha sido diseñado para extender la capacidad de razonamiento intuitivo. Todo razonamiento intuitivo puede formalizarse en ZFC, y en muchos casos el razonamiento intuitivo y el formalizado son como dos gotas de agua, que es lo que pasa con la prueba de los paréntesis. Una cosa es que ZFC permita expresar en su seno cualquier argumento intuitivo y otra cosa es que el razonamiento intuitivo presuponga ZFC. Lo primero da lugar a un círculo vicioso, lo segundo no.

Un ejemplo: imagiemos que me he convencido de que "Todos los hombres son mortales" y de que "Yo soy un hombre". Ninguna de esas dos afirmaciones habla sobre conjuntos, son afirmaciones físicas, y no requieren ZFC para ser entendidas y comprobadas en los términos en que la física permite comprobar una afirmación universal. Pero si a continuación digo "Yo soy mortal" ¿He pasado a trabajar en ZFC y he usado eliminación del generalizador y modus ponens? No. Lo que sucede es que esas reglas de razonamiento son intuitivamente válidas, se usan constantemente al construir la metamatemática, y se diseña el cálculo deductivo para que incluya versiones formales de las mismas, lo cual no significa que esté usando modus ponens antes de definir modus ponens. A lo sumo, uso el modus ponens intuitivo antes de definir el modus ponens formal. Eso sí.

Más concretamente: el cálculo deductivo formal permite extraer consecuencias de unas premisas sin atender a su significado, la intuición, por el contrario, puede darse cuenta de que 2 + 2 = 4 atendiendo a lo que significa 2, 4, y sumar. Ahora bien, cuando la intuición ha llegado "intuitivamente" a un número suficientemente grande de premisas, es posible que éstas sean suficientes para deducir de ellas unas consecuencias sin necesidad de volver a apelar a la intuición, formalmente, pero no necesariamente formalizadamente, es decir, usando un cálculo deductivo formal.

Es lo que sucede con la prueba de los paréntesis. Una vez ha quedado justificado (intuitivamente) que una subfórmula tiene longitud menor que una fórmula, etc. la prueba del teorema de los paréntesis ya no necesita más llamadas a la intuición, y es un argumento que se formaliza trivialmente, como obviamente has observado.

Pero no puedes decir lo mismo de mi definición de "un número natural es menor que otro si aparece antes que el otro al contar". Eso es una definición intuitiva que no puede formalizarse directamente en ZFC, quiero decir con una traducción literal, aunque sí que puede formalizarse indirectamente, como bien sabes, y como de hecho sucede con cualquier definición o razonamiento intuitivo.

Por cierto, que todo razonamiento intuitivo puede formalizarse en ZFC no es algo que diga yo. ¿Cuál es el argumento estándar que prueba que no puede probarse metamatemáticamente la consistencia de ZFC? Si puediera probarse, puesto que ZFC puede formalizar cualquier razonamiento metamatemático intuitivo, la consistencia de ZFC podría probarse formalmente en ZFC, y entonces el teorema de Gödel nos daría que ZFC es contradictorio.

Me decís a mí que soy un escéptico, pero yo veo la actitud tuya como una negación inmadura (y espero no lo tomes a mal, no es personal, critico el punto de vista de hacer las cosas así, que veo que es generalizado).
Es como cerrar los ojos a propósito para demostrar que está todo oscuro.

Yo no me tomo nada como una crítica personal. Pero cuando yo te eres escéptico te señalo tus argumentos escépticos. Si yo fuera inmaduro, deberías poder indicarme qué "cosas me faltan por aprender o por entender", pues en eso consiste la inmadurez. Y hasta ahora no me has dicho nada que yo haya sabido poner en su lugar.

Yo creo que es ingenuo que, del hecho de que un razonamiento intuitivo pueda incorporar secciones puramente formales (pues no es necesario preocuparse del significado de los conceptos involucrados, aunque lo tengan y, por lo tanto es trivialmente formalizable) deduzcas que la intuición se basa en ZFC.

Me parece ingenuo que asocies "argumento sofisticado" con "argumento que necesita el apoyo de un cálculo deductivo formal.

Cuando se habla de "toda fórmula", se usa inducción, el principio del mínimo, conjuntos de naturales, etc., y además un razonamiento por el absurdo como hiciste, en que se aplica modus ponens, el tercero excluido, y las reglas clásicas de la lógica deductiva, no hay nada intuitivo.

¿No hay nada intuitivo en la prueba geométrica de la conmutatividad del producto? Podría haberla probado igualmente por inducción, pero la puse para mostrarte que la intuición tiene más posibilidades a su alcance que el cálculo deductivo.

¿No hay nada de intuitivo en definir los números naturales como el producto del algoritmo que los genera, que involucra necesariamente la noción intuitiva de tiempo?

Hay muchas partes puramente intuitivas en mis lecciones a Tarzán. Puse el ejemplo de los paréntesis porque quería que mi esbozo fuera representativo, y ello exigía poner también fragmentos directamente formalizables, pero lo que aplicas a un fragmento de mi esbozo no es aplicable a todo él, y, aunque lo fuera, ya te he explicado que la intuición no imita a ZFC, sino al revés.

Es una demostración en toda regla, que intenta no serlo para intentar decir que es "metamatemática", "informal", "intuitiva", o lo que fuere.

¡Claro que es una demostración en toda regla! Las demostraciones intuitivas son demostraciones en toda regla, en el sentido de que cumplen el requisito que define a una demostración válida: convencer inevitablemente a quien la sigue de la verdad de la conclusión.

Parece que insinúes que, para que fuera una auténtica demostración metamatemática tendría que haber intercalado alguna "chapuza" que te permitiera decir: "ves qué cosa más chapucera y poco fiable es el razonamiento intuitivo". Otra vez estamos en lo mismo: si te hubiera puesto una demostración con chapuzas, me dirías que tienes tú razón, que la intuición no es de fiar, y si mi demostración no tiene chapuzas, también tienes tú razón, porque eso no es una demostración intuitiva.

Yo me preocuparía de esa forma que tienes de plantear las cosas de modo que tanto [texx]P[/texx] como [texx]\lnot P[/texx] te acaban dando la razón. Algo debe andar mal en la lógica subyacente.


Pero no es posible escapar de la necesidad de una formalización.

¿Podrías explicarme dónde ves tú esa necesidad? Yo no la veo en ninguna parte. Ya te he dicho unas cuantas cosas que me vería capaz de explicarle a Tarzán sin recurrir a ZFC.

Si se intenta escapar de esto, entonces caemos otra vez en que no se sabe qué reglas se están usando para decir no sé qué cosas.

De ahí provienen todas tus contradicciones. Unas reglas nunca son la solución de nada. No pudes definir la justicia como "obedecer las leyes", porque antes es necesario que un legislador dicte unas leyes justas.

No puedes definir el razonamiento riguroso como "obedecer unas reglas", porque antes hace falta que el lógico diseñe unas reglas que sean lógicas y no absurdas.

Es demasiado formal para ser intuitivo.

La intuición puede apoyarse en los significados o no, el razonamiento formal no puede. Por lo tanto, cuando la intuición no se apoya en significados, se vuelve trivialmente formalizable, pero no es en sí misma formal.

O al revés: se le achacan a la intuición facultades demasiado poderosas, que en realidad no tiene.

Ni tú puedes decir a priori que no las tiene, ni yo puedo decir a priori que las tiene. Lo único que se puede hacer es dar lecciones a Tarzán. Si las entiende, tengo razón yo, si no las entiende, la tienes tú. ¿Crees que Tarzán habría entendido mis lecciones?

Mi intuición no funciona así.

No lo creo. No creo que mientas, pero no lo creo. Tu intuición tiene la típica parálisis del escéptico, es como quien, por razones puramente psicológicas, no es capaz de hablar, sin que su aparato fonador tenga problema alguno. Un trauma puede curarlo. (No insinúo que estés loco. Digo que lo único que te hace falta para usar tu intuición es no bloquearla a priori con tu filosofía escéptica.) O también: antes de que supieras nada de lógica contabas intuitivamente, sumabas intuitivamente, resolvías problemas matemáticos intuitivamente, y seguro que dabas las mismas respuestas correctas a los problemas que te ponía tu maestro exactamente igual que tus compañeros de clase con tu misma capacidad para resolver los problemas bien intuitivamente.


Yo sólo intuyo una ciencia mal fundamentada, que está en pañales.

Si es por intuir... cada uno intuye lo que más le gusta.

No, si es por filosofar, cada uno filosofa lo que más le gusta. La intuición es la misma para todos. La filosofía no.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Cristian C en 07/10/2011, 04:56:43 pm
Cita
(…) me parece ridículo que se siga diciendo que se usa la intuición y el sentido común cuando lo que estás haciendo es una demostración compleja, con muchas suposiciones fuertes, y una deducción formal.

Creo que aquí está el nudo del problema. Lo resumo con dos preguntas antagónicas:

1. ¿La demostración de donald es intuitiva pero se podría traducir al lenguaje formal?

O en cambio

2. ¿La demostración de donald es formal pero está disfrazada de intuitiva?

¿Todas las demostraciones verifican lo primero, todas verifican lo segundo o algunas lo uno y otras lo otro? Y es este último caso ¿Cuáles y cuáles? ¿cómo me doy cuenta?
(utilizo “intuitiva” como sinónimo de “metamatemática” o, tal vez, “coloquial”)

Para hallar algo de luz en este dilema, yo me formulo más preguntas:
Si un resultado formal contradice algo que tenemos muy claro intuitivamente (pensemos en la conmutatividad de la suma) ¿Qué debemos modificar, la intuición o la formalización?

Imaginemos una situación más concreta: Se prueba que la conjetura de Goldbach es indemostrable en la aritmética de Peano y se la agrega como axioma. 20 años después un supercompudator descubre un número par que no es suma de dos primos. Una legión de matemáticos positivamente lo verifican a mano. ¿Qué hacemos entonces, cambiamos el axioma agregado por su negación o lo dejamos como está?
 
Lo que estoy tratando de decir es que la formalización de la aritmética, de la teoría de conjuntos y demás, se realiza con el objetivo de que coincida con conceptos previos, intuitivos, informales pero concensuados.
Claro, una vez hecho esto, puede resultar (y de hecho resulta) que el sistema formal sugiera propiedades para las que la intuición no puede pronunciarse, como la hipótesis del continuo, por ejemplo. O aún, resultados de apariencia antiintuitiva, como el teorema de Banach-Tarski. Pero lo que nunca admitiríamos es un sistema formal que sea claramente contrario a la intuición, porque el sistema formal, repito, tiene por objeto precisar ideas previas de cuya verdad no no podemos dudar razonablemente.

Yo digo que los números naturales intuitivos son únicos y tu dices que pueden haber muchos. ¿Puedes poner un ejemplo de dos conjuntos de números naturales intuitivos distintos? No te pido sistemas formales que arrojen naturales distintos, sino dos ideas distintas de números intuitivos, informales.

Saludos


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 07/10/2011, 06:06:07 pm
Imaginemos una situación más concreta: Se prueba que la conjetura de Goldbach es indemostrable en la aritmética de Peano y se la agrega como axioma. 20 años después un supercompudator descubre un número par que no es suma de dos primos. Una legión de matemáticos positivamente lo verifican a mano. ¿Qué hacemos entonces, cambiamos el axioma agregado por su negación o lo dejamos como está?

Aquí hay una serie de errores que invalidan tu argumento, pero no la idea que hay tras él, con la que estoy plenamente de acuerdo. Un error secundario es que la conjetura de Goldbach afirma que todo numero par es la diferencia y no la suma de dos primos, y esto hace que un ordenador no pueda comprobar por puro cálculo que un número dado no cumpla la conjetura. Si tratamos de reconstruir tu argumento usando la afirmación con la suma en lugar de la diferencia, tenemos un inconveniente más serio: si un ordenador puede demostrar que un número natural no es suma de dos primos, entonces necesariamente eso puede probarse en la aritmética de Peano, pues la demostración se reduciría en esencia a constatar que un número finito de sumas de pares de primos no dan como resultado el número en cuestión y, si eso es así, se puede probar sin duda a partir de los axiomas de Peano. (Si un número es primo, se puede probar que lo es en AP, y si un número es la suma de otros dos, se puede probar que es así en AP). Esto significa que en AP se puede demostrar la negación de la conjetura. Pero para añadir un axioma a AP sin perder la consistencia, no necesitas que dicho axioma no se pueda demostrar, como supones, sino que su negación no se pueda demostrar, para que al añadirlo no se llegue a ninguna contradicción. Y esto ya no tiene arreglo.

No obstante, la idea de tu ejemplo me parece muy oportuna, así que voy a proponerte una variante con el mismo espíritu y sin estos inconvenientes:

Sabemos que el teorema de Fermat es cierto, pero, dado lo sofisticado de su prueba, no sería descabellado que no pudiera demostrarse sin la ayuda de todo el aparato de la teoría de conjuntos y, en particular, que no pudiera demostrarse a partir de AP. Imaginemos que alguien demuestra que así es, que el último teorema de Fermat no es demostrable en AP. Entonces podríamos añadir a los axiomas de Peano un axioma que dijera "existen números naturales [texx]n, x, y, z[/texx] no nulos con [texx]n>2[/texx] tales que [texx]x^n+y^n=z^n[/texx]" (como no se puede demostrar en AP el UTF, no hay contradicción por tomar como axioma adicional en AP que UTF tiene un contraejemplo). La teoría resultante AP + [texx]\lnot[/texx]UTF sería consistente y tendría modelos.

La pregunta análoga (o la más parecida que se me ocurre) a la que planteabas es: ¿Aceptaríamos que los objetos de un modelo de esa teoría pueden ser tomados como auténticos "números naturales" a pesar de que proporcionan un contraejemplo al UTF y de que sabemos (por la prueba de Wiles en ZFC, suponiendo consistente a ZFC) que el UTF es cierto y que, por tanto, no tiene contraejemplos?


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: feriva en 07/10/2011, 10:49:15 pm
Imaginemos una situación más concreta: Se prueba que la conjetura de Goldbach es indemostrable en la aritmética de Peano y se la agrega como axioma. 20 años después un supercompudator descubre un número par que no es suma de dos primos. Una legión de matemáticos positivamente lo verifican a mano. ¿Qué hacemos entonces, cambiamos el axioma agregado por su negación o lo dejamos como está?

Aquí hay una serie de errores que invalidan tu argumento, pero no la idea que hay tras él, con la que estoy plenamente de acuerdo. Un error secundario es que la conjetura de Goldbach afirma que todo numero par es la diferencia y no la suma de dos primos, y esto hace que un ordenador no pueda comprobar por puro cálculo que un número dado no cumpla la conjetura. Si tratamos de reconstruir tu argumento usando la afirmación con la suma en lugar de la diferencia, tenemos un inconveniente más serio: si un ordenador puede demostrar que un número natural no es suma de dos primos, entonces necesariamente eso puede probarse en la aritmética de Peano,

Hola, Donald. No, la Conjetura fuerte de Goldbach no dice eso, sino lo que ha sugerido Cristian en su ejemplo. Por otra parte, un profesor de matemáticas de este foro -profesor universitario de experiencia además de investigador- Fernando Revilla, argumentó hace tiempo en un post que no se puede demostrar dicha conjetura por inducción, o sea, utilizando los axiomas de Peano; cosa en la que estoy de acuerdo (y creo que casi todo el mundo que haya trabajado o pensado largo tiempo sobre ese problema lo estará también). Y, luego, si existiera un número que no se pudiera formar mediante la suma de dos primos, entonces, una máquina, en teoría, sí lo podría detectar; si fuera muy grande tardaría mucho, pero bastaría verificar las permutaciones de las sumas de los primos menores  que ese número, por ejemplo.   

Saludos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 02:15:00 am
Cita
Pero lo que nunca admitiríamos es un sistema formal que sea claramente contrario a la intuición, porque el sistema formal, repito, tiene por objeto precisar ideas previas de cuya verdad no no podemos dudar razonablemente.

Yo no puedo admitir un sistema formal que se base en la intuición.
El sistema formal tiene por objeto quitarse de encima la intuición, porque la intuición es subjetiva, anticientífica.

La matemática no es sólo un jueguito de demostración y números, es una ciencia, conectada con otras ciencias. ¿Dónde está el rigor?

Cuando a Tarzán le explicaste los números y la propiedad del "mínimo" en un conjunto de números, Tarzán, como es iletrado pero inteligente (como mostraban en la película), se dio cuenta de que podía hablar del "mínimo entero definible no definible con menos de trece palabras castellanas".
Pero ese entero n, que existe, porque el conjunto correspondiente es no vacía, se puede definir con doce palabras castellanas.

¿Cómo le aclarás este punto a Tarzán?
¿No sería ya tiempo de que a Tarzán y a mí nos vayas especificando cuál es exactamente el alcance del discurso al cual se aplican los números naturales y el principio de inducción, o las reglas lógicas, o el domino de discurso, en toda esta vasta extensísima, difusa y tramposa zona del lenguaje coloquial y la metamatemática?

En cuanto a la pregunta de Cristian, de si hay dos sistemas de naturales intuitivamente diferentes.
Bueno, en principio no haría falta, pues con una sola intuición basta para tener una paradoja en el lenguaje coloquial, como se ve en el párrafo anterior.

Pero si uno se pone a buscar, la puede encontrar.

La solución rápida (algo tramposa, lo admito), pero igualmente válida, es que cualquier modelo no estándar de los axiomas de Peano sirven para inspirar una forma "intuitivamente" distinta de otros sistemas de números naturales.

-------------------

Una distinción más sutil entre dos sistemas de naturales viene dada por lo siguiente:

Bien es sabido que se pueden considerar los naturales (digamos "a la usanza" de los estándar en ZFC) ya sea como un "conjunto real", o sea, "el conjunto de todos los números naturales" como una "totalidad" (a lo Cantor),
y la secuencia de números naturales en forma "potencial", en forma constructiva, iterativa, a lo Brower.

Ambas cosas no son lo mismo, porque hay teoremas sobre conjuntos de naturales que no pueden enunciarse en la versión de "infinito potencial" o del "constructivismo".

Son dos versiones intuitivamente diferentes de sistemas de números naturales.
La intuición de Cantor y la intuición de Brower.

Yo, humildemente, pienso que al menos habría que ser claros e indicar cuál de esas dos intuiciones se están aceptando en la metamatemática.

Porque Donald dice que se usan "todas" las propiedades de los números naturales.
Entonces me obliga a usar la intuición de Cantor, que se refleja en la formalización de los naturales en ZFC.

Pero otras gentes he visto que dicen que la metamatemática anda tras la intención de formalización de Hilbert, que buscaba compatibilidad con el constructivismo de principios de 1900, con lo cual, la construcción del lenguaje de primer orden y la metamatemática me obliga a adherirme a la intuición de Brower de "sistema de números naturales".

Yo no tengo motivos para creer en la intuición de Cantor, ni la de Brower, ni la de Hilbert, ni la Godel, ni la de Donald, ni la de Cristian.

Y tampoco hace falta.
Lo que hace falta es definir con claridad qué reglas de juego se aceptan en la metamatemática.
Porque esas reglas determinan el poder de demostración y universo de discurso de la misma.

Si no, lo resucito a Nietzche, y que empiece a decir cualquier cosa acorde a su "intuición", y aprovechando que es hábil haciendo estragos con el lenguaje coloquial, va a ser un desastre.

O si no, están las intuiciones de Kant, el Arjona de la epistemología, que nos van a dar ganas de dedicarnos a otra cosa.

No se puede "esquivar el bulto" de definir en serio los parámetros exactos de acción permitidos, o sea: las "reglas" de la metamatemática.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 02:54:33 am
Cita
No se puede "esquivar el bulto" de definir en serio los parámetros exactos de acción permitidos, o sea: las "reglas" de la metamatemática.

Es muy posible que dichas reglas existan, pero que no me las quieran decir, por egoístas que son...  :'(


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 04:47:50 am
Cita
(…) me parece ridículo que se siga diciendo que se usa la intuición y el sentido común cuando lo que estás haciendo es una demostración compleja, con muchas suposiciones fuertes, y una deducción formal.

Creo que aquí está el nudo del problema. Lo resumo con dos preguntas antagónicas:

1. ¿La demostración de donald es intuitiva pero se podría traducir al lenguaje formal?

O en cambio

2. ¿La demostración de donald es formal pero está disfrazada de intuitiva?

¿Todas las demostraciones verifican lo primero, todas verifican lo segundo o algunas lo uno y otras lo otro? Y es este último caso ¿Cuáles y cuáles? ¿cómo me doy cuenta?
(utilizo “intuitiva” como sinónimo de “metamatemática” o, tal vez, “coloquial”)

Para hallar algo de luz en este dilema, yo me formulo más preguntas:
Si un resultado formal contradice algo que tenemos muy claro intuitivamente (pensemos en la conmutatividad de la suma) ¿Qué debemos modificar, la intuición o la formalización?


Acorde al espíritu científico, es claro que lo que tenemos que modificar es la intuición.

Si no, seguiríamos creyendo que la Tierra es plana.
Es la ciencia la que probó que la Tierra es redonda, así como que no es el Sol el que gira en torno a la Tierra.

En cuanto a qué cosa es una demostración, bueno, sea lo que sea, no es algo intuitivo. Es algo mecánico, pues consiste en transformar unas secuencias de símbolos en otras, acorde a reglas especificadas con absoluto rigor.

La intuición no tiene ningún papel en ese asunto.

Es más, se pueden demostrar teoremas que a la intuición no le sugieran nada.

La intuición no se puede usar como "certificado" de verdad.

En lo que a mí respecta, la intuición tiene dos papeles en la matemática: (1) inspirar nuevas ideas que luego se formalizarán en conceptos rigurosamente definidos sin ambigüedad alguna, y (2) prestar un servicio pedagógico, a fin de acelerar la comprensión de las líneas generales de una demostración o concepto.

Pero el certificado de "verdadero" lo da la prueba formal.

Lo que no está formalizado, no sirve para nada, no es científico.
Y son sólo ideas, como estas cuestiones que discuto a modo "epistemológico".

El concepto de infinito se basa en intuiciones... pero como concepto, el infinito es sólo una secuencia de signos vacíos sin gracia alguna escritos por ahí.

La intuición de conjuntos es un claro ejemplo de que no se puede fiar uno de conceptos matemáticos dados "intuitivamente".
La intuición de conjuntos permite ver con claridad objetos como el conjunto de todos los conjuntos, o conjuntos que se pertenecen a sí mismos, o conjuntos que tienen elementos, a los que pertenecen otros elementos, que a su vez les pertenecen otros elementos, y así por siempre.

Esta falta de criterio para decidir qué está permitido o no para un conjunto, junto a las paradojas, obligan a una formalización.

Es la ambigüedad que ofrece la intuición de conjunto lo que obliga a formalizar.

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Uno de los problemas que acarrea la intuición es que no se puede escribir con precisión, y depende del contexto lingüístico de los hablantes.

Para convencer a cualquier persona de cualquier cultura, época o creencia de que el argumento utilizado es correcto, no quedará más opción que especificar las reglas de inferencia utilizadas, establecer las convenciones de qué se acepta por números naturales, entre otros menjunjes, entre ellos, el alcance válido de las afirmaciones y métodos empleados.

Claro, todo esto lo digo "intuitivamente".

Como se puede apreciar, estoy haciendo meta-meta-matemática, con gran uso del lenguaje coloquial, razonamientos elípticos difusos, entrecruzamientos entre intuiciones, imaginaciones y cálculos formales, hipérboles camufladas, entre otras artimañas, necesidades y costumbres.

Pero bueno, tampoco es que pretendo hacer teoremas sobre el asunto, porque después de todo, se trata de opiniones epistemológicas. Uno puede ser vago y difuso en esa área.

Pero cuando estás haciendo una demostración concreta sobre símbolos del lenguaje, y diciendo cosas como: Teorema de Completitud, eso ya no es filosófico, no es vago, es un Teorema formal, calculado y demostrado con precisión, y usa un argumento formal disfrazado de "intuitivo" o "meta-razonamiento".

En realidad, si se define una teoría de lenguajes en ZFC (como de hecho se hace para aplicaciones informáticas), se pueden demostrar ahí los mismos teoremas famosos de la metamatemática.

O sea que son una copia uno de otro.
No veo la intuición por ningún lado.

Así que mi respuesta a tu pregunta es: la 2, Donald disfrazó una prueba formal de "intuitiva", sólo para boxearme un poco.

El Teorema de Completitud de Godel... ¿puede seguir llamándose intuitivo?

--------------

En cuanto a lo que pregunta Donald de si confundo "intuitivo" con "simple", bueno, ciertamente que sí.

Si algo es demasiado complicado, ya no es intuitivo.
Cada paso puede ser intuitivamente creíble, pero eso le pasa también a cualquier demostración formal.

Si la demostración es muy complicada y extensa, es parte de una teoría científica de algún tipo, y ya deja de llamarse "meta-teoría".

Meta-teoría es discutir con ideas difusas, imaginaciones, analogías, metáforas, como estamos haciendo en muchas partes de este thread.

Pero si se hace una demostración rigurosa y mecánica, ya no es una meta-afirmación, sino que hay reglas formales y axiomas lógicos que se están empleando como parte de un cálculo deductivo.
Esas reglas deben especificarse.

Pero hacer esto equivale a admitir que se está dando vueltas en círculos, porque se está definiendo lo mismo que se intenta definir después, y la cosa no empieza o no termina nunca.

Siempre llego a la misma conclusión.

Aunque intuitivamente, claro está.
Quizás tenga que dejar de usar la intuición para razonar sobre estas cosas.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 08/10/2011, 05:02:35 am
Hola, Donald. No, la Conjetura fuerte de Goldbach no dice eso, sino lo que ha sugerido Cristian en su ejemplo. Por otra parte, un profesor de matemáticas de este foro -profesor universitario de experiencia además de investigador- Fernando Revilla, argumentó hace tiempo en un post que no se puede demostrar dicha conjetura por inducción, o sea, utilizando los axiomas de Peano; cosa en la que estoy de acuerdo (y creo que casi todo el mundo que haya trabajado o pensado largo tiempo sobre ese problema lo estará también). Y, luego, si existiera un número que no se pudiera formar mediante la suma de dos primos, entonces, una máquina, en teoría, sí lo podría detectar; si fuera muy grande tardaría mucho, pero bastaría verificar las permutaciones de las sumas de los primos menores  que ese número, por ejemplo.   

¡Perdón! Es cierto. Creo que me rayé. Olviden mi post al respecto.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 08/10/2011, 07:22:50 am
Este texto está extraido de una wilkipedia en la que se habla de los axiomas de peano :

Un modelo es una interpretación de los símbolos primitivos que hace verdaderos a todos los axiomas. Por ejemplo, interpretando al símbolo 0 como el número cero, y al predicado N como los números naturales, el primer axioma resulta verdadero, porque es verdad que "el cero es un número natural". Lo mismo ocurre con todos los otros axiomas: bajo las interpretaciones naturales de 0, N y x', cada uno de los axiomas resulta verdadero. Luego, las interpretaciones naturales de los símbolos primitivos son un modelo de la aritmética de Peano.
Originalmente, los axiomas de Peano fueron diseñados para caracterizar a los números naturales, y los símbolos primitivos debían ser interpretados de esta manera natural. Sin embargo, los símbolos que designan a los conceptos primitivos admiten otras reglas de designación (interpretaciones), algunas de las cuales serán además modelos. Por ejemplo, podría interpretarse al símbolo 0 como el número dos, a N como el predicado "ser un número par", y a x' como el sucesor del sucesor, en vez del sucesor inmediato. En tal caso, los axiomas tendrían que entenderse así:
El dos es un número par
Si n es un número par, entonces el sucesor del sucesor de n también es un número par
El dos no es el sucesor del sucesor de ningún número par.
Si hay dos números pares n y m con el mismo sucesor de sucesor, entonces n y m son el mismo número par.
Si el dos pertenece a un conjunto, y dado un número par cualquiera, el sucesor del sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números pares pertenecen a ese conjunto.
Bajo esta interpretación, todos los axiomas resultan verdaderos, y los axiomas ya no definen a los números naturales, sino a los números pares. También es posible encontrar modelos (es decir, interpretaciones que hagan verdaderos a todos los axiomas) por fuera de la matemática. Por ejemplo, podría interpretarse a 0 como el primer día de la creación, a N como el predicado "ser un día", y a x' como el día después de x. Bajo esta interpretación, los axiomas también resultan verdaderos.
A aquellos modelos que no fueron originalmente planeados se los llama modelos inintencionales (non-intended models), y existen infinitos modelos inintencionales de la aritmética de Peano. Estrictamente hablando, la aritmética de Peano no define a la serie de los números naturales, sino a la noción más amplia de progresión.


Hay pues muchos conjuntos (ó colecciones de objetos) que satisfacen dichos axiomas pero que en absoluto tiene las mismas propiedades intuitivas que los números naturales.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 08:08:22 am
Hola Jabato.

Yo ya tenía visto ese artículo de Wikipedia, y lo mencioné en otro hilo acá en el foro, justamente para criticarlo.

Me parece que la manera en que explica las cosas sobre los modelos de los Axiomas de Peano no es buena.

En realidad, si vamos al caso, cualquier conjunto numerable satisface los axiomas de Peano, con tal de "contagiarle" con una biyección desde N las propiedades y operaciones aritméticas.

Pero sin embargo, bajo la teoría estándar de conjuntos ZFC, todos los sistemas que satisfagan los axiomas de Peano son isomorfos entre sí.

Así que, es cierto que hay muchos "sistemas" (nunca digo "conjuntos" en este caso) que cumplen los axiomas, pero "estructuralmente" hablando, son todos equivalentes.

Para entender a qué nos referimos, analicemos el caso de los axiomas de Espacio Vectorial.
Hay muchos espacios vectoriales que satisfacen los axiomas, y sin embargo ellos no son equivalentes.

El espacio de polinomios de grado menor que 5 es isomorfo a [texx]R^6[/texx], pero no es isomorfo a [texx]R^3[/texx].

Sin embargo, en lo que respecta a los Axiomas de Peano, tenemos la suerte de que todos los sistemas que los satisfacen sí que son isomorfos entre sí.

------------------

Cuando intento poner en evidencia que hay modelos distintos de números naturales, me refiero a los modelos "no-estándar" de números naturales.

Esto se refiere a lo siguiente:

Los Axiomas de Peano cuando se dan "pelados", sin el soporte de alguna teoría de conjuntos, o sea, sin mencionar conjuntos, sino sólo un lenguaje (digamos de primer orden) en que se habla de números naturales y operaciones aritméticas,
eso es una teoría que se estudia desde "cero",
de la misma forma que se estudia desde "cero" a la teoria de conjuntos ZFC y luego se intenta construir la matemática sobre ella.

Bueno, las teorías de números naturales que se definen de este modo admiten modelos no-estándar, y eso quiere decir que hay casos de objetos que satisfacen los axiomas de Peano, pero que tienen elementos adicionales, que van más allá de los que normalmente se ven en el estándar N de ZFC.

Esos sí que son ejemplos de naturales fuera de lo común, a los que Donald llamaría "anti-intuitivos".

Los intuitivos tendrían una correspondencia con cualquier conjunto numerable (contagiado de la estructura de N) en ZFC.

-------------------------

Pero aún admitiendo los mismos "tipos" de números naturales, se pueden obtener situaciones diferentes.

Esto ocurre porque los números naturales no son, como siempre digo, un mero conjunto N con gente adentro. Son también una estructura.
Hay que analizar siempre las propiedades que se están suponiendo de ellos, y las operaciones aritméticas que se han definido, etc.

Intuitivamente hablando, se tiene, como dije antes, la intuición de Cantor, que ve a los números naturales como un "infinito real", palpable: están todos los números reunidos en un conjunto.
La intuición de Brower dice que los números sólo pueden especificarse recursivamente, de uno en uno, tal como haría una computadora que desea imprimir la secuencia de los números, pero no existe para él un conjunto que contenga al mismo tiempo todos los números naturales.

Esto equivale a decir que nunca habrá un instante en que nuestra computadora nos habrá soltado una hoja en que imprimió "todos" los números naturales.
Aunque si imprimió uno, puede imprimir el siguiente.

-----------------------

Una cosa que no entiendo es cómo es que los lógicos se toman tanto trabajo en mantener las cosas de forma "recursiva", digamos, escribiendo fórmulas al estilo Brower: si he podido construir una fórmula, puedo obtener otra agregando unos pocos caracteres.

Con un lenguaje así, con reglas intuicionistas/constructivistas/Broweristas, se intenta dar origen al lenguaje de primer orden, y sobre él construir la matemática.

Pero para "demostrar" hechos acerca de ese lenguaje, la gente se permite hacer razonamientos no-constructivistas, o sea, aceptando cosas como el tercero excluido, o hablando de totalidades finitas o infinitas, entre otras cuestiones.

Después que ese lenguaje a duras penas se ha construido, se inventa ahí una lógica que acepta el tercero excluido, y los conjuntos y demás objetos matemáticos ahí adentro son no-constructivos, al mejor estilo cantoriano.

¿Por qué en unas partes se restringen y en otras no?
¿Por qué esa incoherencia?

¿Y por qué están tan seguros de que en metamatemática pueden usar tercero excluido y toda la potencia de los números naturales, pero al construir el lenguaje de primer orden no, está prohibido, y de nuevo al edificar la matemática allí otra vez está permitido?

Todas estas acciones tienen un carácter arbitrario.

La gente razona como se le da la gana, y no se lo cuestiona.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 08:13:24 am

He visto en otro hilo del foro que están discutiendo sobre la noción de verdad en teoría de modelos.

Noción de verdad en... (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,45022.msg200498/topicseen.html#msg200498)


Veo que allí está el debate de si en los teoremas metamatemáticos es correcto usar demostraciones con tercero excluido, o usar demostraciones sólo constructivas (intuicionistas).

La mera existencia de esa disyuntiva muestra claramente que la duda que estoy planteando en este otro hilo ya existe, que no soy yo el que la inventó, sino que a lo sumo me quejo del asunto.

Veo que allí sí parece válido discutir acerca de cuáles son las reglas del juego en la metamatemática, y parece que hay gente que tiene claras las reglas que se aceptan y cuáles no, y más aún, que hay posturas filosóficas que hacen que ciertos expertos acepten reglas de inferencia distintas en la metamatémática.

Es éste el caso de los constructivistas.

Me llama la atención de que en ese hilo sea válido discernir sobre las leyes de razonamiento que se aceptan o no en la metamatemática, pero en el presente hilo eso pareciera que no se puede hacer, y esto que estamos en el mismo foro.
Hasta compartimos el mismo subforo de lógica.

Eso sí que es extraño.

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Como sea, da igual. Si seguimos hablando, voy a terminar confesando que en realidad ni siquiera acepto las pruebas formales.

Es todo mentira.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 08/10/2011, 08:23:22 am
Ja, ja, ja. Vamos que no te crees nada, como dicen en mi pueblo.

Eres un genio argentinator.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 08/10/2011, 09:10:42 am
Hola. Justo ahora no tengo tiempo para replicar, pero incluyo sólo una observación que no tiene nada de filosófica, sino que es un hecho objetivo que te podrá confirmar cualquiera que sepa algo de teoría de modelos. Esto no es cierto:

Los Axiomas de Peano cuando se dan "pelados", sin el soporte de alguna teoría de conjuntos, o sea, sin mencionar conjuntos, sino sólo un lenguaje (digamos de primer orden) en que se habla de números naturales y operaciones aritméticas,
eso es una teoría que se estudia desde "cero",
de la misma forma que se estudia desde "cero" a la teoria de conjuntos ZFC y luego se intenta construir la matemática sobre ella.

Bueno, las teorías de números naturales que se definen de este modo admiten modelos no-estándar, y eso quiere decir que hay casos de objetos que satisfacen los axiomas de Peano, pero que tienen elementos adicionales, que van más allá de los que normalmente se ven en el estándar N de ZFC.

Esos sí que son ejemplos de naturales fuera de lo común, a los que Donald llamaría "anti-intuitivos".

Los intuitivos tendrían una correspondencia con cualquier conjunto numerable (contagiado de la estructura de N) en ZFC.

Si lo entiendo bien, crees que cuando defines los números naturales en la teoría de conjuntos, el resultado es único salvo isomorfismo, mientras que si los defines únicamente a partir de los axiomas de Peano, sin el soporte de alguna teoría de conjuntos, entonces admiten modelos no estándar.

No. Lo que hay de cierto es que en ZFC (o cualquier otra teoría de conjuntos) puedes demostrar que dos estructuras cualesquiera que cumplan los axiomas de Peano son isomorfas, pero eso no es equivalente a lo que tú dices.

Se puede demostrar que si existen modelos de ZFC (es decir, si ésta es consistente), entonces existen modelos no estándar de ZFC en los que hay un conjunto c (hay infinitos, de hecho) que cumple la definición de número natural pero que no es el denotado por el numeral 0, ni por el 1, ni por el 2, etc., de modo que la colección de objetos del modelo que cumplen la definición de número natural y la de ser menores que c es infinita (pues incluye a todos los números naturales estándar).

[Paréntesis subjetivo]( por lo tanto, hay modelos de ZFC cuyos números naturales no son los que "yo llamo anti-intuitivos".)

El teorema de unicidad implica que en un modelo no estándar, todas las estructuras que satisfacen los axiomas de Peano son isomorfas entre sí y, por consiguiente, son todas no estándar. El teorema de unicidad no implica que las estructuras de un modelo de ZFC que satisfacen los axiomas de Peano sean isomorfas a las estructuras de otro modelo de ZFC que satisfacen los axiomas de Peano.

Ahora hablo de lo que no sé: No sé que nadie haya demostrado que si ZFC es consistente admita un modelo estándar (cuyos números naturales sean identificables con los intuitivo), ni sé tampoco de ningún resultado que implique que tal demostración es imposible. Si hay algún resultado sobre esto, lo desconozco.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 01:55:58 pm
Bueno, pero me estás poniendo dos modelos distintos de ZFC.

Con los axiomas de ZFC, se puede probar que todo par de conjuntos con los axiomas de peano son isomorfos.

No es una creencia, y se puede probar.

Que hay modelos distintos de ZFC, lo sé.

Lo demás que has dicho en realidad ya lo ignoro. Ahí me "has pillao" como dicen en tu pueblo. (En el mí se dice "me agarraste").

Pero tampoco estoy muy seguro de lo que has dicho.

Aunque no tengo problemas en admitir mi error, tengo dudas sobre lo que has dicho sobre los "axiomas pelados" de Peano.

Hay muchos sistemas axiomáticos propuestos, y tienen cada uno modelos no isomorfos entre sí.

Puede que me haya equivocado en llamarlos "no-estándar".
Pero no hace falta ZFC para que un modelo tenga modelos no-isomorfos de naturales.

No te aproveches de mi ignorancia para mentirme en esta parte.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 08/10/2011, 02:13:35 pm
Yo no puedo admitir un sistema formal que se base en la intuición.

Pues ya lo has dicho todo. ¿Y en qué vas a basar la teoría axiomática de conjuntos entonces, o simplemente la lógica formal, sin entrar en axiomas de conjuntos? ¿Cómo vas a comprobar que las reglas deductivas son realmente operativas, que son consistentes, etc. si necesitas hacer esas comprobaciones antes de poder confiar en ellas?

El sistema formal tiene por objeto quitarse de encima la intuición, porque la intuición es subjetiva, anticientífica.

Eso es un prejuicio. Mejor dicho, es cierto si se aplica a al deplorable concepto de intuición que describes más abajo (no digo que sea deplorable que tengas ese concepto, sino que lo que describes es realmente algo deplorable que nadie querría para nada, pero es que eso no es la intuición).

La matemática no es sólo un jueguito de demostración y números, es una ciencia, conectada con otras ciencias. ¿Dónde está el rigor?

En su absoluta precisión, ya provenga de la intuición, ya del cálculo formal.

Cuando a Tarzán le explicaste los números y la propiedad del "mínimo" en un conjunto de números, Tarzán, como es iletrado pero inteligente (como mostraban en la película), se dio cuenta de que podía hablar del "mínimo entero definible no definible con menos de trece palabras castellanas". Pero ese entero n, que existe, porque el conjunto correspondiente es no vacía, se puede definir con doce palabras castellanas.

¿Cómo le aclarás este punto a Tarzán?
¿No sería ya tiempo de que a Tarzán y a mí nos vayas especificando cuál es exactamente el alcance del discurso al cual se aplican los números naturales y el principio de inducción, o las reglas lógicas, o el domino de discurso, en toda esta vasta extensísima, difusa y tramposa zona del lenguaje coloquial y la metamatemática?

Aquí hay mucha tela. Voy a acabar con el resto de cosas pendientes y el próximo post lo dedico a responderte a esto.

En cuanto a la pregunta de Cristian, de si hay dos sistemas de naturales intuitivamente diferentes.
Bueno, en principio no haría falta, pues con una sola intuición basta para tener una paradoja en el lenguaje coloquial, como se ve en el párrafo anterior.

Te refutaré esto en mi próximo post.

Pero si uno se pone a buscar, la puede encontrar.

La solución rápida (algo tramposa, lo admito), pero igualmente válida, es que cualquier modelo no estándar de los axiomas de Peano sirven para inspirar una forma "intuitivamente" distinta de otros sistemas de números naturales.

Totalmente tramposa. Estás probando que la lógica formal (y te recuerdo que eso no sólo se aplica a los axiomas de Peano, sino también a los axiomas de toda la teoría de conjuntos) no determina los números naturales. Si me pusiera en el plan en que te pones tú, tendría que decirte que la lógica formal no es científica, ni rigurosa, porque según qué axiomas o qué modelos tomes, tienes unos números naturales u otros. En cambio, la intuición sí que es rigurosa y científica, porque tiene un criterio para distinguir si los números naturales de un modelo son auténticos o malas imitaciones.

No respaldo lo que acabo de escribir porque es una interpretación capciosa del hecho (a imitación de las interpretaciones que tú haces), pero sí que afirmo que tal conclusión está igual de bien fundada que tu argumento según el cual la existencia de modelos no estándar implica que la intuición no es rigurosa y la lógica formal sí lo está. Según tu propia lógica (que no la mía), deberías tachar la lógica formal de acientífica y alabar a la intuición como científica.

Una distinción más sutil entre dos sistemas de naturales viene dada por lo siguiente:

Bien es sabido que se pueden considerar los naturales (digamos "a la usanza" de los estándar en ZFC) ya sea como un "conjunto real", o sea, "el conjunto de todos los números naturales" como una "totalidad" (a lo Cantor),
y la secuencia de números naturales en forma "potencial", en forma constructiva, iterativa, a lo Brower.

Ambas cosas no son lo mismo, porque hay teoremas sobre conjuntos de naturales que no pueden enunciarse en la versión de "infinito potencial" o del "constructivismo".

Son dos versiones intuitivamente diferentes de sistemas de números naturales.
La intuición de Cantor y la intuición de Brower.

Yo, humildemente, pienso que al menos habría que ser claros e indicar cuál de esas dos intuiciones se están aceptando en la metamatemática.

Bueno, aquí tenemos un problema técnico, y es que tú eres escéptico y yo soy "clásico". Un escéptico es alguien que no se atreve a nadar porque piensa que si se moja los pies corre el peligro de ahogarse, un intuicionista es alguien que se atreve a meterse en el agua a condición de que ésta no le pase del ombligo, porque así está seguro de que no se ahogará, y un "clásico" se atreve a adentrarse hasta donde su buen criterio le dice que no se ahogará, lo cual dependerá de si hay o no una corriente intensa, de si hay desniveles bruscos en el fondo marino, etc.

Si un intuicionista participara en el debate, te reprocharía a ti tu mojigatería y a mí mi atrevimiento, tú nos reprocharías a ambos nuestro atrevimiento y yo os reprocharía a los dos vuestra mojigatería. No puedo defender una postura que no comparto (el intuicionismo), pero tú no puedes usar contra mí que haya otros que no piensan como yo, porque yo sólo puedo responder de mí mismo. Tú piensas que yo estoy equivocado (y supongo que pensarás también que un intuicionista que sostenga una metamatemática intuitiva intuicionista está equivocado, porque cualquier intuición es abominable), yo pienso que tú y los intuicionistas estáis equivocados y un intuicionista pensará que tú y yo estamos equivocados. Ante el conflicto, podemos discutir, pero conmigo discute sobre la posición que yo defiendo (la clásica) y si tienes pegas con el intuicionismo dirígete a un intuicionista. No uses contra mí que haya otros que piensan otra cosa. Mi respuesta es que un intuicionista se equivoca igual que tú te equivocas. Esto es trivial: si pensara que un intuicionista tiene razón y yo no, me haría intuicionista.

Porque Donald dice que se usan "todas" las propiedades de los números naturales.
Entonces me obliga a usar la intuición de Cantor, que se refleja en la formalización de los naturales en ZFC.

"Te obligo": simplemente, yo soy clásico y puedo defender la postura clásica y no otras que no comparto. Por otra parte, la formalización de los naturales en ZFC no captura la noción intuitiva de número natural, es, por lo tanto, más pobre que la intuición. Si te quedas con ZFC y pierdes la intuición, pierdes información sobre los números naturales.

Más precisamente: si ZFC es contradictorio, al quedarte con ZFC estás pifiándola, porque la intuición es consistente y ZFC no lo es. Si ZFC es consistente, entonces dicha consistencia puede expresarse como una afirmación verdadera sobre los números naturales que nunca podrás demostrar en ZFC. De hecho, tendrás modelos de ZFC en los que sea falsa, y yo podré decirte, basándome en la intuición, que existe un modelo de ZFC donde tus números naturales cumplen una propiedad que es falsa. Tú no podrás decir nada, porque no sabrás salir de ZFC.

Pero otras gentes he visto que dicen que la metamatemática anda tras la intención de formalización de Hilbert, que buscaba compatibilidad con el constructivismo de principios de 1900, con lo cual, la construcción del lenguaje de primer orden y la metamatemática me obliga a adherirme a la intuición de Brower de "sistema de números naturales".

De eso nada. Si alguien quiere fundamentar la matemática con la lógica intuicionista, cada cual es libre de entretenerse como quiera, pero un matemático clásico fundamenta la matemática en la lógica intuitiva clásica y le dan igual las mojigaterías intuicionistas.

Yo no tengo motivos para creer en la intuición de Cantor, ni la de Brower, ni la de Hilbert, ni la Godel, ni la de Donald, ni la de Cristian.

Y tampoco hace falta.

Tú tienes la necesidad de decidir cómo quieres ser de mojigato: si eres absolutamente mojigato no te crees nada, te quedas en el escepticismo y no puedes construir un mísero sistema formal en el que deducir teoremas, si eres algo mojigato, pero no mucho, tienes posibilidades de conseguir algo con mucho esfuerzo. Si eres clásico, pues fundamentas la matemática formal sin traumas y ya está. Es tu decisión.


Lo que hace falta es definir con claridad qué reglas de juego se aceptan en la metamatemática.
Porque esas reglas determinan el poder de demostración y universo de discurso de la misma.

Eso es imposible. Entraré en ello en el post prometido.

No se puede "esquivar el bulto" de definir en serio los parámetros exactos de acción permitidos, o sea: las "reglas" de la metamatemática.

Ya te dije que las normas no pueden salir del aire. Sólo puede dictar leyes justas un legislador que sepa bien lo que es la justicia, sólo puede definir reglas lógicas de razonamiento quien sepa bien lo que es la lógica. Es lógicamente imposible que fijar unas reglas sea la solución al problema, porque todas reglas deben ser juzgadas. Sin reglas, lo que queda es el propio juicio. Hay que juzgar cada paso que se da en el momento que se da. No puedes juzgar primero, hacer reglas que marquen el camino y aplicarlas después para caminar. Para marcar un camino hay que recorrer el trecho sin apoyarse en marcas previas, juzgando a cada paso por dónde conviene ir.

Acorde al espíritu científico, es claro que lo que tenemos que modificar es la intuición.

Si no, seguiríamos creyendo que la Tierra es plana.
Es la ciencia la que probó que la Tierra es redonda, así como que no es el Sol el que gira en torno a la Tierra.

Eso es salirse por la tangente. Cristian C te hacía una pregunta muy concreta en un contexto muy concreto. Voy a tratar de apretarte las tuercas con la pregunta: Sea G la afirmación indecidible de Gödel para ZFC. Es equivalente a que ZFC es consistente, pero, si es así, no se puede demostrar ni refutar en ZFC. Eso se demuestra intuitivamente, pues estamos poniendo en cuestión la consistencia de ZFC, luego considerarla como un teorema de ZFC, cuya consistencia se está poniendo en cuestión, le quitaría toda relevancia. La intuición te dice, pues, que si añades a ZFC como axioma la negación de G, tendrás un sistema consistente (si es que ZFC lo era) a pesar de que dicho axioma es falso. ¿Dirás acaso: como se trata de un sistema consistente y no me hablo con la intuición, no tengo nada que objetar, así que no tengo inconveniente en aceptar el axioma, y si la intuición (= Gödel) me dice que es falso me da igual?


En cuanto a qué cosa es una demostración, bueno, sea lo que sea, no es algo intuitivo. Es algo mecánico, pues consiste en transformar unas secuencias de símbolos en otras, acorde a reglas especificadas con absoluto rigor.

La intuición no tiene ningún papel en ese asunto.

¿Y si te encuentras un libro cuyo autor se ha olvidado de incluir un par de axiomas lógicos y su cálculo deductivo no permite probar todos los teoremas que debería, lo aceptarás sin más porque es un cálculo deductivo o aceptarás un razonamiento intuitivo que muestre que es incompleto y que necesita ser mejorado? ¿Eres consciente de que se podrían definir infinitos cálculos deductivos de los cuales muchos serían contradictorios y otros muchos consistentes, pero sólo unos pocos equivalentes serían los que cualquiera aceptaría para trabajar? ¿Cómo seleccionas esos pocos sistemas privilegiados si no es comprobando que reflejan fielmente el razonamiento intuitivo?

Lo que dices es como afirmar que las leyes no son más que un conjunto de reglas, de modo que el sistema legal de la Alemania Nazi es un ejemplo de sistema legal, y el sistema legal estadounidense, es otro ejemplo, ninguno es mejor ni peor porque todos son sistemas coherentes que dejan bien claro y fuera de dudas qué es legal y qué es ilegal. Uno permite matar judíos porque sí, otro no, pero eso son "pequeñas diferencias intuitivas" irrelevantes, pues la justicia es por definición respetar la ley. Matar judíos en Alemania era justo porque era legal. Así razonas tú.

Es más, se pueden demostrar teoremas que a la intuición no le sugieran nada.

La intuición no se puede usar como "certificado" de verdad.

En lo que a mí respecta, la intuición tiene dos papeles en la matemática: (1) inspirar nuevas ideas que luego se formalizarán en conceptos rigurosamente definidos sin ambigüedad alguna, y (2) prestar un servicio pedagógico, a fin de acelerar la comprensión de las líneas generales de una demostración o concepto.

Pero el certificado de "verdadero" lo da la prueba formal.

Lo que no está formalizado, no sirve para nada, no es científico.

Tu primera frase es la verdadera en todo este párrafo. Ante la pregunta "¿Existen subconjuntos de [texx]\mathbb{R}[/texx] no medibles Lebesgue?, la intuición no tiene nada que decir. Si razonamos en ZFC, la respuesta es sí, pero si razonamos en ZF más el llamado axioma de determinación la respuesta es no, y la intuición no puede decir que ninguna de las dos respuestas sea "la verdadera". En cambio, si llamamos ZFC* a ZFC sin el axioma de infinitud y le añadimos como axiomas la fórmula indecidible de Gödel para esta teoría o, alternativamente, su negación, obtenemos dos teorías formales consistentes con dos teoremas mutuamente contradictorios, y la intuición sí que puede decir que la que contiene a la fórmula de Gödel tiene razón y la otra miente.

En suma, ZFC sirve para extender la capacidad de razonamiento a aquellos contextos que la intuición no puede abarcar, como si existen conjuntos no medibles Lebesgue, pero a la vez ZFC se ha diseñado para que coincida con la intuición en los contextos en los que ésta puede pronunciarse con el rigor y la precisión propios de la ciencia (por ejemplo, al tratar sobre números naturales, enteros, racionales, grupos finitos, etc.)

Y son sólo ideas, como estas cuestiones que discuto a modo "epistemológico".

El concepto de infinito se basa en intuiciones... pero como concepto, el infinito es sólo una secuencia de signos vacíos sin gracia alguna escritos por ahí.

La intuición de conjuntos es un claro ejemplo de que no se puede fiar uno de conceptos matemáticos dados "intuitivamente".
La intuición de conjuntos permite ver con claridad objetos como el conjunto de todos los conjuntos, o conjuntos que se pertenecen a sí mismos, o conjuntos que tienen elementos, a los que pertenecen otros elementos, que a su vez les pertenecen otros elementos, y así por siempre.

Absolutamente falso. El conjunto de todos los conjuntos no tiene ningún contenido intuitivo, y por eso es necesaria la teoría axiomática de conjuntos para tratar con la noción general de conjunto, pues excede completamente a la intuición, al igual que todo lo que planteas aquí.

Esta falta de criterio para decidir qué está permitido o no para un conjunto, junto a las paradojas, obligan a una formalización.

Es la ambigüedad que ofrece la intuición de conjunto lo que obliga a formalizar.

Totalmente de acuerdo. Eso vale para conjuntos en general, pero no para números naturales, o conjuntos concretos de números naturales, que tienen un significado intuitivo perfectamente definido y que permiten razonar sobre ellos con rigor en ausencia de toda formalización, gracias a lo cual podemos, entre otras cosas, construir sistemas formales que nos permitan hablar de conceptos no intuitivos, como el de los números reales, etc. (El concepto de recta es intuitivo, el conjunto de la totalidad de los puntos que forman una recta no lo es.)

Uno de los problemas que acarrea la intuición es que no se puede escribir con precisión, y depende del contexto lingüístico de los hablantes.

Para convencer a cualquier persona de cualquier cultura, época o creencia de que el argumento utilizado es correcto, no quedará más opción que especificar las reglas de inferencia utilizadas, establecer las convenciones de qué se acepta por números naturales, entre otros menjunjes, entre ellos, el alcance válido de las afirmaciones y métodos empleados.

Totalmente falso. Te podría poner muchos ejemplos de gentes de otras culturas y épocas (a muchos alumnos míos, sin ir más lejos) a los que nunca les harás comprender teoremas matemáticos por mucho que fijes reglas de inferencia etc. Tampoco yo les podría hacer entender teoremas intuitivos. La cuestión es que eso de "convencer a cualquiera" es un cuento chino. Mejor lo dejamos.

Claro, todo esto lo digo "intuitivamente".

Como se puede apreciar, estoy haciendo meta-meta-matemática, con gran uso del lenguaje coloquial, razonamientos elípticos difusos, entrecruzamientos entre intuiciones, imaginaciones y cálculos formales, hipérboles camufladas, entre otras artimañas, necesidades y costumbres.

Si estás insinuando que eso es para ti el razonamiento intuitivo, es inaceptable. Un razonamiento matemático intuitivo tiene que ser absolutamente riguroso, lo cual excluye metáforas, hipérboles, lenguaje coloquial (si lo entiendes como impreciso, pero no si lo entiendes como no formalizado), etc. A lo sumo, puede contener elipsis si son honestas, es decir, si realmente omiten algo que el oyente o lector ya sabe. Por ejemplo, si te digo que los números naturales son el 0, el 1, el 2, etc., ese etcétera es una elipsis que está justificada porque tú ya sabes contar, pero que puede sustituirse por lo que cualquier maestro de escuela explica a sus alumnos sin recurrir al etc. para que aprendan a prolongar indefinidamente la sucesión de los naturales. Incluso podríamos añadir que en realidad no importa cómo los representamos, sino que sólo importa que hay un primer natural al que llamamos cero (pero podríamos llamarlo zero o como quisiéramos) y que a cada número natural le sigue otro que tenemos que saber nombrar sea como sea, ya sea uno, one, 1, 0', o como queramos. Quien sabe general una sucesión así, está generando los números naturales. Si dos personas usan nombres o notaciones diferentes, están hablando en diferentes idiomas de los mismos objetos. Con eso están completamente definidos los números naturales intuitivos. ¿Dónde están las metáforas, las elipsis, el lenguaje coloquial...?

Pero bueno, tampoco es que pretendo hacer teoremas sobre el asunto, porque después de todo, se trata de opiniones epistemológicas. Uno puede ser vago y difuso en esa área.

Pero cuando estás haciendo una demostración concreta sobre símbolos del lenguaje, y diciendo cosas como: Teorema de Completitud, eso ya no es filosófico, no es vago, es un Teorema formal, calculado y demostrado con precisión, y usa un argumento formal disfrazado de "intuitivo" o "meta-razonamiento".

En realidad, si se define una teoría de lenguajes en ZFC (como de hecho se hace para aplicaciones informáticas), se pueden demostrar ahí los mismos teoremas famosos de la metamatemática.

O sea que son una copia uno de otro.
No veo la intuición por ningún lado.

Efectivamente, todo teorema intuitivo se puede formalizar, aunque no siempre de forma literal. Por ejemplo, puedo definir la suma de números naturales así:

El número m + n es el número que sale de contar hasta m y luego prolongar el cómputo n pasos más.

Esta definición no se puede transcribir literalmente a ZFC, pero te determina la suma completamente y puedes demostrar a partir de ella que tiene las propiedades que definen la suma en ZFC.

Otros razonamientos sí que se pueden transcribir literalmente, pero es tan absurdo decir que mi demostración de los paréntesis es un teorema de ZFC sólo porque puede transcribirse a un teorema de ZFC como decir que ahora mismo estoy escribiendo en inglés porque todo cuanto escribo se podría traducir al inglés. ¿No ves el español por ningún lado sólo porque lo que digo podría escribirse en inglés?

Si yo le explico matemáticas (por ejemplo, aritmética, pero no lógica) a Tarzán sin hablarle de ZFC y Tarzán luego le cuenta a Jane lo que ha aprendido, ¿qué sentido tiene decir que uno le está demostrando a la otra teoremas de ZFC cuando ninguno de los dos sabe lo que es ZFC? Si Jane es inteligente y Tarzán mete la pata en un momento e intenta demostrarle algo erróneo, se lo hará notar, y se lo hará notar gracias a su intuición, no le dirá que no ha respetado tal o cual regla de ZFC o que ha tomado por axioma de ZFC algo que no es, porque Jane no sabe lo que es eso. ¿Cómo te explicas que Jane pueda darse cuenta de que un razonamiento por inducción está mal, por ejemplo, porque el argumento de paso de n a n+1 puede fallar si n = 2? Jane puede notar eso a pesar de no saber nada de axiomas. ¿Cómo te lo explicas? Y si la objeción de Jane es correcta, seguiría siéndolo aunque alguien demostrara mañana que ZFC es contradictorio.

Así que mi respuesta a tu pregunta es: la 2, Donald disfrazó una prueba formal de "intuitiva", sólo para boxearme un poco.

El Teorema de Completitud de Godel... ¿puede seguir llamándose intuitivo?

El teorema de Completitud de Gödel puede formalizarse y convertirse en un teorema de ZFC, pero también puedes justificar que es cierto intuitivamente (salvo que seas intuicionista o escéptico, en cuyo caso no te lo creerás). Sólo al darte cuenta de que es cierto intuitivamente puedes estar seguro de que, sin restricción alguna, prueba que el cálculo deductivo es semánticamente completo, es decir, que no podría ser mejor de lo que es. Si lo consideras como teorema de ZFC a lo sumo podrías afirmar lo mismo bajo la hipótesis de que ZFC es consistente. Por lo tanto, considerarlo como teorema de ZFC lo hace más débil, menos fiable. (Esto no significa que no sea utilísimo como teorema en ZFC, igual que lo pueda ser el teorema del valor medio.)

En realidad necesitas más que la consistencia de ZFC para creerte el teorema de completitud. Necesitas que ZFC admita modelos estándar (cosa que no sé si está demostrada, bajo el supuesto de consistencia). En efecto, si unas fórmulas cumplen las hipótesis del teorema de completitud, la consecuencia es que cierta fórmula es deducible a partir de otras. Si sólo has demostrado esto en ZFC, tienes una prueba en ZFC de que existe una deducción de una fórmula a partir de otras, pero, si ZFC no admitiera modelos estándar, entonces no tienes garantías de que existiera una deducción estándar, luego no tienes garantías de que exista una deducción "de verdad", que pudiera escribirse en un papel. El teorema formalizado es mucho más débil que el teorema intuitivo. Y si consideramos una virtud en ciencia eliminar hipótesis innecesarias, su prueba en ZFC es menos científica que su prueba intuitiva.



En cuanto a lo que pregunta Donald de si confundo "intuitivo" con "simple", bueno, ciertamente que sí.

Si algo es demasiado complicado, ya no es intuitivo.
Cada paso puede ser intuitivamente creíble, pero eso le pasa también a cualquier demostración formal.

Confundes "intuitivo" con "intuitivamente evidente". Por otro lado, una demostración formal no tiene por qué tener nada de intuitivo. Ya me dirás qué tiene de intuitivo un teorema sobre un espacio de Banach de dimensión infinita. A lo sumo podrás hacer analogías parciales con la geometría bidimensional, o tridimensional, pero nada que legitime los pasos de la demostración.

Si la demostración es muy complicada y extensa, es parte de una teoría científica de algún tipo, y ya deja de llamarse "meta-teoría".

Meta-teoría es discutir con ideas difusas, imaginaciones, analogías, metáforas, como estamos haciendo en muchas partes de este thread.

Pero si se hace una demostración rigurosa y mecánica, ya no es una meta-afirmación, sino que hay reglas formales y axiomas lógicos que se están empleando como parte de un cálculo deductivo.
Esas reglas deben especificarse.

Pero hacer esto equivale a admitir que se está dando vueltas en círculos, porque se está definiendo lo mismo que se intenta definir después, y la cosa no empieza o no termina nunca.

Siempre llego a la misma conclusión.

Obviamente. Si partes de premisas contradictorias, llegas a una conclusión contradictoria. Si todo lo complejo es formal, y para definir un sistema formal hacen falta razonamientos complejos, tienes un círculo vicioso. Lo que pasa es que no todo lo complejo es formal, sino a lo sumo formalizable, pero no necesariamente formalizable, y mientras no quieras reconocer esto no entenderás nada y tendrás siempre tu contradicción a cuestas.

Aunque intuitivamente, claro está.
Quizás tenga que dejar de usar la intuición para razonar sobre estas cosas.

No razonas. Partes dogmáticamente de que la intuición es lo que tú dices que es y que el razonamiento formal es lo que tú dices que es, y te equivocas en ambas cosas. Disminuyes la intuición hasta convertirla en inútil, y magnificas el razonamiento formal hasta pretender que todo razonamiento riguroso es formal. Obviamente, como hay que ser riguroso para fundamentar el razonamiento formal, con tus definiciones aberrantes llegas a un círculo vicioso. El círculo se rompe en cuanto comprendes que la matemática se fundamenta razonando rigurosamente, científicamente, pero informalmente (intuitivamente), para construir una teoría axiomática que nos permita extender nuestra capacidad de razonamiento a campos a los que nuestra intuición no llega (el análisis real, la teoría abstracta de conjuntos, la teoría de cardinales, la topología general, etc.). Tienes la solución ante tus ojos. Si no la quieres ver, allá tú.

Te debo un post, pero ahora estoy cansado. Luego sigo.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 02:25:12 pm
Cita
Ahora hablo de lo que no sé: No sé que nadie haya demostrado que si ZFC es consistente admita un modelo estándar (cuyos números naturales sean identificables con los intuitivo), ni sé tampoco de ningún resultado que implique que tal demostración es imposible. Si hay algún resultado sobre esto, lo desconozco.

Si fueras capaz de definir con precisión el problema, yo podría probarlo.

No se puede probar porque no has definido con precisión que son los números naturales "identificables con lo intuitivo".

Hasta donde yo sé, eso que has dicho no hace falta probarlo, es un Axioma de la teoría de conjuntos.

El Axioma del Infinito, con la construcción de Von Newmann, que apila "vacíos", ¿no es acaso ése un modelo estándar?

Está bien que esa construcción está del lado "sintáctico", pero bueno, en realidad no pasa nada. Está el modelo L de Godel, que es aquel que cumple la Hipótesis del Continuo Generalizada, y en el cual quiero creer que N es una versión de "naturales de la escuela primaria de Donald", o al menos de la primaria de Godel.

Ahora, digo yo, dado un modelo, ¿puede saberse si el cardinal del N no estándar allí construido tiene cardinal mayor que numerable?

Esto quiere decir que es biyectivo con N, pero ¿con cuál N? ¿Con alguno de esos modelos de N que tienen cardinal mayor que numerable?

Ya no sé adónde va esta discusión.

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En realidad la pregunta que hago es que, si es verdad que hay tantos modelos de N, incluso de cardinal distinto, ¿cómo sabés vos que tu intuición no te engaña y está usando naturales con el cardinal mínimo posible?

Después de todo, según lo que has comentado, incluso hasta yo fui engañado con el formalismo de ZFC, en el cual creí que sólo había un cardinal posible para N.

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En todo caso, no me quedo tranquilo con la afirmación que has puesto sobre los modelos no isomorfos de ZFC.

Eso no puede ser cierto.
Ahí está mal la definición que usan de isomorfismo.

Mi razonamiento es éste. Bajo un modelo fijo de ZFC (no me pongas por ahora dos modelos distintos), se tiene que dos conjuntos que cumplen los axiomas de Peano son isomorfos.

En particular, son isomorfos con el conjunto N que se puede construir con el alfabeto de dígitos decimales, el orden lexicográfico, y las operaciones aritméticas tal como se enseñan en la escuela primaria, esta vez operando con dígitos.

Las operaciones con dígitos así formuladas son un algoritmo, algo sintáctico y, según las asunciones metamatemáticas, son unívocas.

Ese "modelo" de los dígitos es el mismo bajo cualquier modelo de ZFC.
De ahí tendría que deducirse que todos los sistemas de números naturales, incluso bajo modelos distintos, son isomorfos.

Si ahora vos me decìs que ese conjunto de dígitos decimales puede tener cardinalidades distintas en modelos distintos de ZFC, entonces ¿qué les pasó a los intuitivos números de la primaria?


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 02:30:00 pm
Dije que la intuición no sirve para nada.

Me replicaste que la intuición es precisa, pero que "no es" lo que yo llamo intuición.

Es obvio de esto que tenemos una idea distinta de lo que la intuición es.

De esto se desprende claramente que hay que definir con precisión qué se admite por "intuición matemáticamente válida".

O sea, usaste un criterio personal para decir qué es una intuición correcta.
Pero yo no entiendo el criterio que estás usando.

No se trata de una postura filosófica, sino que si no me podés definir con precisión qué criterio estás usando, no voy a poder entender lo que estás diciendo o haciendo.

No se puede comunicar conocimiento científico de esta forma.
Lo subjetivo es acientífico.
Así que te podrás imaginar adónde guardo la intuición.

Como Cristian mencionó, una máquina de Turing es capaz de hacer una demostración en forma mecánica, y la máquina no tiene intuición alguna.
Pero la demostración la hizo igual.

Eso es al menos más objetivo, es mecánico, no depende de las posturas filosóficas de nadie, ni de la intuición de nadie. Si ponemos a trabajar una máquina, hará lo suyo. Y es porque las especificaciones dadas a la máquina son inambiguas, y el modo en que ésta trabaja es preciso y sin tanto palabrerío ni ideologías.

La intuición no hace falta.

Pero ya que mencionaste que estás de acuerdo conmigo en la precisión de la matemática, y dijiste que si las intuiciones son precisas, entonces son aceptables, bueno, yo digo lo mismo.

Si hay intuiciones precisas también las acepto.
(Y además, si es que las intuiciones son independientes del sujeto, claro está).
Hay que conformarse con un punto de partida.
Lo que no acepto es que las intuiciones que aparecen por ahí sean realmente precisas, o independientes del sujeto.

Esa es otra cuestión.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 02:47:40 pm
Yo no puedo admitir un sistema formal que se base en la intuición.

Pues ya lo has dicho todo. ¿Y en qué vas a basar la teoría axiomática de conjuntos entonces, o simplemente la lógica formal, sin entrar en axiomas de conjuntos? ¿Cómo vas a comprobar que las reglas deductivas son realmente operativas, que son consistentes, etc. si necesitas hacer esas comprobaciones antes de poder confiar en ellas?

Jaja. Es en esto en lo que estoy pensando.

Que nadie tenga idea de cómo hacerlo es una cosa.
Pero que justamente todo eso es lo que hay que hacer, eso es lo que pienso.

¿Te da curiosidad? Ya dije que eso me llevará tiempo, sobretodo porque no veo a nadie más interesado en hacerlo.

Y fijate todo el camino que has recorrido en lógica y teoría de conjuntos.
Yo tengo que andar bastante de ese camino todavía, no sé cuánto, pero quizá mucho. Las "intuiciones" que tengo sobre cómo resolver el problema... no son siquiera formalizables. Tengo esquemas geométricos, no las puedo expresar, y además no puedo iniciar una empresa así sin antes profundizar un poco más.

Pero pienso que una teoría así es necesaria, aunque te parezca impensable.

Tiene que haber precisión en alguna parte.
Si una máquina puede, ¿cómo yo no voy a poder?


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 02:52:59 pm
 
Cita
De eso nada. Si alguien quiere fundamentar la matemática con la lógica intuicionista, cada cual es libre de entretenerse como quiera, pero un matemático clásico fundamenta la matemática en la lógica intuitiva clásica y le dan igual las mojigaterías intuicionistas.

¿Cómo se define la lógica intuitiva clásica?
Me la imagino como una valuación sobre "ciertas" sentencias (no sé cuáles) en un álgebra de Boole {0,1}.

¿A qué tipo de sentencias es válido aplicarla?
Digo, para que no me aparezca la paradoja de Berry, por ejemplo.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 02:57:02 pm
Cita
En cambio, la intuición sí que es rigurosa y científica, porque tiene un criterio para distinguir si los números naturales de un modelo son auténticos o malas imitaciones.

No es la intuición la que tiene un criterio.
Es tu cerebro el que ha asumido ciertas premisas implícitamente y las usa como criterios para declarar que algo es o no es un número natural.

Una intuición sin entrenamiento no es capaz de decidir si algo es o no es un número natural.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 03:16:01 pm
Cita
Bueno, aquí tenemos un problema técnico, y es que tú eres escéptico y yo soy "clásico".

Cuando dijiste eso fue en respuesta a que yo mencioné los números al estilo Cantor y los números al estilo intuicionista.

Ahí no hay ningún problema conque yo sea escéptico, porque en realidad puse de manifiesto que no está claro cuál de las dos "intuiciones" de número se usan en metamatemática.
Fue algo más concreto.

No se trata de "mi" posición, sino de que estoy preguntando "cuál es la posición clásica", por decirlo así.

Pero nunca me vas a responder eso, porque cualquier respuesta a esa pregunta equivale a admitir que hay "reglas y criterios" para definir lo que es la posición clásica en la metamatemática.
O sea que estarías "formalizando", jaja.

He intentado hacerte pisar el palito por ahí, pero no tuve suerte.

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En cuanto a mi posición filosófica, soy algo así como un hiperempirista.
Los objetos "ideales", al estilo platónico, francamente no los veo en ninguna parte.

Es extraño, porque todos los días hago matemática pensando en forma "platónica", pero para mí el sentido de una demostración es completamente vacío. Sólo significa que empecé a demostrar algo, y llegué tras ciertos pasos a escribir una cadena de símbolos. Eso es lo real.

La intuición embellece la matemática, pero no le da precisión, porque no se sabe lo que es.

Yo no sé lo que es la intuición.
Me lo imagino, creo que lo entiendo, pero en concreto no lo sé.
Nadie puede lograr que yo entienda con precisión qué es una intuición, y de las válidas que se pueden usar en metamatemática.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 03:26:54 pm
Cita
Tú tienes la necesidad de decidir cómo quieres ser de mojigato: si eres absolutamente mojigato no te crees nada, te quedas en el escepticismo y no puedes construir un mísero sistema formal en el que deducir teoremas, si eres algo mojigato, pero no mucho, tienes posibilidades de conseguir algo con mucho esfuerzo. Si eres clásico, pues fundamentas la matemática formal sin traumas y ya está. Es tu decisión.


No soy yo el que ha tomado decisiones.
Tomar decisiones es de filósofos, no de científicos.

Yo pienso que todas esas posibilidades que has mencionado hay que explorarlas.
Hay que ejercitar la mente en distintas "posturas" y ver qué resultado da.

Y no sería mucho pedir que cada "postura" se defina con precisión, para que quede claro cuál es cuál.

Si no, ¿cómo sabés hasta dónde es capaz de demostrar un intuicionista o un "clásico"?
Si no hay ninguna regla de deducción metamatemática, ¿cómo hacés para distinguir estas cosas?

Que no hay reglas ahí es la gran mentira.

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En realidad lo que más me hace enojar es que estoy seguro que dentro de una década todo el mundo se va a estar llenando la boca discutiendo sobre estas cuestiones, como algo novedoso, y mientras tanto yo tengo que aguantar que me quieran vender el buzón de que hay una sola metamatemática posible, y que encima me digan que no tiene reglas.

Lo más "lógico" me parece a mí es que los expertos se pongan a discutir sobre las distintas formas de razonamiento, más allá de la forma "clásica", y que "razonen" con lógicas distintas, para ver qué pasa.

Me extraña mucho que eso no se haga, cuando es algo muy natural.

Y después me dicen a mí que soy el escéptico que no se anime a mojarse.

Los "miedosos" son los "clásicos", que prefieren pensar que hay una sola forma de hacer las cosas, por temor a cuestionarlas.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 03:47:10 pm
Cita
Absolutamente falso. El conjunto de todos los conjuntos no tiene ningún contenido intuitivo, y por eso es necesaria la teoría axiomática de conjuntos para tratar con la noción general de conjunto, pues excede completamente a la intuición, al igual que todo lo que planteas aquí.

Eso lo decís ahora, porque Russell ya te puso sobre aviso de que eso está mal.

Porque si no, estarías muy contento pensando en cosas como "conjunto de todos los conjuntos".

A mí me enseñaron el "conjunto universal" en la escuela primaria, y me parecía muy intuitivo. Un día tuve que aprender que esa intuición estaba mal.

Las intuiciones son las cosas que a uno le inculcan y le hacen creer.

No hay modo de distinguir intuiciones legítimas de aquellas que no lo son.
Y si lo hay, estoy abierto a oír una definición precisa de intuición precisa y aceptable.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 04:06:40 pm
Este debate está muy desordenado,
he dado muchas respuestas apresuradas que me terminan confundiendo hasta a mí mismo,
o incluso que ya no me gustan cómo las escribí.

 :-\

Creo que habría que tratar de volver a cosas más concretas, porque en el afán de tener la razón he terminado mezclando un montón de cosas que es mejor analizar por separado.

Es triste caer en eso, pero es normal que ocurra.

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Uno de mis reclamos a la metamatemática es que en los libros de texto definan honestamente qué reglas están usando, para que así no me queden dudas de la legitimidad de lo que se está demostrando, y para constatar la seriedad científica del procedimiento.

Yo cada vez que pruebo algo, trato de ser conciente de qué reglas y supuestos estoy usando.

Nadie me acepta una demostración si yo digo algo como: "y bueno, esa parte es intuitiva, la intuición es maravillosa, y si no te la tragás es que sos un escéptico".

No entiendo por qué lo que se me reclama a mí, yo no lo puedo reclamar a otros.
¿Los lógicos tienen coronita?

En realidad me pareció que se puede establecer con precisión no sólo las reglas del lenguaje de la matematemática, sino también el universo del discurso.

Eso se puede hacer, pero el hacerlo significa reconocer que "ay" te atraparon cometiendo el pecado de "formalizar".

Donald no se dejó atrapar, y se me fue por las ramas cada vez que intenté que formalice algo que yo veo claramente que es muy formalizable, porque las reglas son muy claritas.

Pero hacer esto contagia al discurso metamatemático de todas las ambigüedades que surgen de la misma teoría de modelos, puesto que de cada formalización... surgen muchos modelos no isomorfos.

Si se pretende que el discurso de la metamatemática sea inambiguo, debe ser informal, y no digo esto por haberlo "razonado" (aunque parezca un razomamiento lo que hice), sino por mero instinto de supervivencia.

Estas cosas que mi "intuición" me muestra, ¿son meta-meta-matemática?
¿Son correctas?

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Voy a pedir pues el gran favor que hagan caso omiso de los últimos posts, al menos cuando me volví demasiado desordenado o estúpido.

Quisiera volver a la cordura, y debatir otra vez desde el punto que expongo ahí arriba.

Es un "meta-meta-razonamiento".
¿Está mal?


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 08/10/2011, 05:00:38 pm
Éste no es el post que te debo, pero es que me lo has puesto tan a mano que no he podido resistirme. Te voy a contestar a uno de tus últimos posts, pero quiero dejar bien claro que éste es completamente distinto a todos mis posts en este hilo. Aquí trabajo en ZFC, y sólo voy a apelar a teoremas demostrables en ZFC que puedes encontrar publicados en libros. Nada de intuiciones ni filosofías. Me meto en tu terreno.

Como tú muy bien dices, todas las cuestiones lógicas pueden formalizarse en ZFC y vamos a trabajar en esa formalización. Me abstengo de extraer consecuencias metamatemáticas.

En particular, cuando hable del lenguaje formal [texx]L[/texx] de la teoría de conjuntos, no me refiero al lenguaje metamatemático que usamos para ecsribir teoremas, sino a un concepto matemático cuyos signos son, por definición, por ejemplo, números naturales. Concretamente, podemos definir el conjunto de las variables de [texx]L[/texx] como el conjunto de los números naturales pares, así, si escribo [texx]x_i[/texx], es una fórma cómoda de referirse al número natural [texx]2i[/texx], los demás signos de [texx]L[/texx] son (por definición) ([texx]= = 1[/texx], [texx]\in = 3[/texx], [texx]\lnot = 5[/texx], [texx]\Rightarrow = 7[/texx], y así sucesivamente, puedo definir cada signo lógico como un número natural impar.

A partir de aquí, las técnicas de inducción y recursión que se demuestran en ZFC me permiten definir el conjunto [texx]F[/texx] de las fórmulas de [texx]L[/texx] (que es un subconjunto del conjunto de sucesiones finitas de números naturales), lo que son las variables libres de una fórmula de [texx]L[/texx], lo que es el conjunto [texx]S[/texx] de sentencias de [texx]L[/texx] y así, uno por uno, puedo dar definiciones formales de todos los conceptos de la lógica. Puedes encontrar esto hecho con detalle en cualquier libro de lógica formal que trabaje en ZFC y no metamatemáticamente. En particular puedo definir el conjunto [texx]ZFC\subset S[/texx] formado por los axiomas de ZFC, entendidos ahora como ciertas sucesiones finitas de números naturales. Esto es completamente estándar.

Cita
Ahora hablo de lo que no sé: No sé que nadie haya demostrado que si ZFC es consistente admita un modelo estándar (cuyos números naturales sean identificables con los intuitivo), ni sé tampoco de ningún resultado que implique que tal demostración es imposible. Si hay algún resultado sobre esto, lo desconozco.

Si fueras capaz de definir con precisión el problema, yo podría probarlo.

No se puede probar porque no has definido con precisión que son los números naturales "identificables con lo intuitivo".

Te defino la versión formal del problema intuitivo que planteaba en el post que citas:

Supongamos que ZFC es consistente (esto es una afirmación en ZFC, como sería suponer la hipótesis del continuo o suponer el axioma de constructibilidad). Fíjate que el teorema de incompletitud de Gödel asegura que, si ZFC es consistente es imposible demostrar que lo es en ZFC.

El teorema de completitud de Gödel es equivalente al teorema que afirma que una teoría de primer orden es consistente si y sólo si tiene un modelo. Podrás cuestionar que esto tenga validez metamatemática intuitiva, pero aquí me refiero al teorema de ZFC que se demuestra a partir de los axiomas de ZFC y que afirma lo que he dicho. Entra en la Wikipedia y encontrarás referencias.

Así pues, como estamos suponiendo que ZFC es consistente podemos afirmar que tiene un modelo M. Según la definición formal de modelo que puedes encontrar en cualquier libro de teoría de modelos, esto significa que M es en realidad un par ordenado [texx](M,R)[/texx], donde [texx]M[/texx] es un conjunto y [texx]R[/texx] es una relación binaria en [texx]M[/texx] que interpreta a la relación de pertenencia. En general, para cualquier par en estas condiciones se define (me remito a cualquier libro de teoría de modelos) la relación [texx](M,R)\vDash \alpha[/texx] sobre el conjunto [texx]S[/texx] de sentencias de [texx]L[/texx], que "informalmente" en tu sentido peyorativo de la palabra, significa que [texx]\alpha[/texx] es verdadera cuando sus variables se interpretan como objetos de [texx]M[/texx] y el signo [texx]\in[/texx] se interpreta como la relación [texx]R[/texx] (y el signo [texx]=[/texx], es decir, el número 1) se interpreta como la igualdad. Escribo [texx]M[/texx] en lugar de [texx](M,R)[/texx] con la misma licencia por la que los algebristas escriben [texx]G[/texx] en lugar de [texx](G,*)[/texx] para nombrar un grupo.

Que [texx]M[/texx] sea un modelo de ZFC significa que [texx]M\vDash ZFC[/texx], es decir, que [texx]\forall \alpha\in ZFC\ M\vDash \alpha[/texx].

Aquí es muy importante que, por definición, [texx]M[/texx] tiene que ser un conjunto, y esto no lo hago para fastidiarte, sino que se puede demostrar que si [texx]M[/texx] es una clase propia y [texx]R[/texx] es cualquier relación binaria en [texx]M[/texx] (incluso la propia relación de pertenencia natural) es imposible definir una relación [texx]M\vDash \alpha[/texx] donde [texx]\alpha[/texx] recorre el conjunto [texx]S[/texx] de sentencias de [texx]L[/texx] de forma que verifique las condiciones que se exigen cuando [texx]M[/texx] es un conjunto. Esto sería complicado de explicar aquí, pero si crees que no es así, toma un libro de teoría de modelos, mira la definición de  [texx]M\vDash \alpha[/texx] que encontrarás para el caso de que [texx]M[/texx] sea un conjunto e intenta generalizarla a clases propias. Enséñame tu generalización y te diré dónde has metido la pata, porque eso no se puede hacer.

Hasta donde yo sé, eso que has dicho no hace falta probarlo, es un Axioma de la teoría de conjuntos.

El Axioma del Infinito, con la construcción de Von Newmann, que apila "vacíos", ¿no es acaso ése un modelo estándar?

Está bien que esa construcción está del lado "sintáctico", pero bueno, en realidad no pasa nada. Está el modelo L de Godel, que es aquel que cumple la Hipótesis del Continuo Generalizada, y en el cual quiero creer que N es una versión de "naturales de la escuela primaria de Donald", o al menos de la primaria de Godel.

Nota: a mitad escribir me he dado cuenta de que llamo igual a la clase de los conjuntos constructibles que a mi lenguaje formal. No voy a retocar lo escrito, pero el contexto no deja lugar a dudas.

Como [texx]L[/texx] es una clase propia, puedes decir que es lo que se llama un "modelo interno" de ZFC, pero no un modelo en el sentido de la teoría de modelos. No puedes definir la relación [texx]L\vDash \alpha[/texx] que "cumplirían" los elementos de [texx]S[/texx] verdaderos en [texx]L[/texx] y, sin esa relación, no puedes aplicar a [texx]L[/texx] ningún teorema de la teoría de modelos.

Lo más que puedes hacer, y es lo que Gödel hizo (y aquí entro en la metamatemática sólo para decirte por qué no podemos ir por ahí en un post en el que me he comprometido a trabajar dentro de ZFC), es definir para cada fórmula metamatemática [texx]\alpha[/texx], es decir, no un conjunto elemento del conjunto [texx]S[/texx], sino una fórmula de verdad, de las que usas para escribir teoremas, definir metamatemáticamente, digo, otra fórmula [texx]\alpha^L[/texx], llamada su relativización, que significa que lo que dice [texx]\alpha[/texx] es verdadero en [texx]L[/texx], pero así sólo puedes enunciar y demostrar que [texx]L[/texx] satisface cualquier conjunto finito de sentencias metamatemáticas que sean axiomas (o teoremas) del ZFC metamatemático, pero no puedes enunciar esto como un teorema sobre la versión formalizada de ZFC ni la versión formalizada [texx]S[/texx] de las sentencias del lenguaje formal. Una buena referencia para esto es Kunen, Set Theory. Se encuentra gratis en la red si buscas bien.

Lo dicho sobre [texx]L[/texx] basta para demostrar metamatemáticamente que, por ejemplo, si ZFC es consistente, también lo es ZFC más la hipótesis del continuo, pero no puedes aplicarle a [texx]L[/texx] la teoría de modelos formalizada.

La versión formalizada de lo anterior es que si [texx]M[/texx] es un modelo de ZFC (que sea un conjunto, como exige la definición), entonces también lo es el subconjunto de [texx]M[/texx] que podemos llamar

[texx]L^M = \{x\in M\mid \vDash x\in L\}[/texx],

donde el "[texx]x\in L[/texx]" que aparece ahí es el elemento de [texx]S[/texx] que corresponde a la fórmula `"[texx]x[/texx] es un conjunto constructible". Vamos, que los elementos de [texx]M[/texx] que también son constructibles en [texx]M[/texx] es otro modelo de ZFC. Esta es la versión formalizada de lo que Gödel probó metamatemáticamente.

Ahora ya puedo plantearte la versión formal que me pedías:

Suponiendo que ZFC es consistente se puede demostrar que tiene un modelo [texx](M,R)[/texx]. Lo que te decía es que no sé de nadie que haya probado que exista un modelo estándar. ¿En qué sentido?

Bueno, para cada natural [texx]n[/texx] (de los tuyos, sigo trabajando en ZFC, no te asustes) podemos definir inductivamente una fórmula de [texx]L[/texx] (una sucesión de números naturales). Definimos [texx]\phi_0(x)[/texx] como la fórmula [texx]x = 0[/texx] de [texx]L[/texx] que técnicamente es la misma que [texx]x = \emptyset[/texx] o también [texx]\forall y\ \lnot y\in x[/texx]. Supuesta definida [texx]\phi_n(x)[/texx], defino [texx]\phi_{n+1}(x)[/texx] como la fórmula (sucesión de números naturales) siguiente:

[texx]\exists y(\phi_n(y)\land x = y\cup\{y\})[/texx].

Como es fácil ver, intuitivamente (en el sentido pavoroso que tú le das al término), [texx]\phi_n(x)[/texx] es la fórmula que significa [texx]x[/texx] es el número natural que se obtiene aplicando [texx]n[/texx] veces al número natural cero la operación siguiente, pero esta idea intuitiva no hace falta para nada, tenemos la definición rigurosa formal.

Diremos que el modelo [texx]M[/texx] es estándar si para cada [texx]x\in M[/texx] que cumpla

[texx]M\vDash x\in \mathbb{N}[/texx]

(donde la fórmula que aparece ahí es sólo una sucesión finita de números naturales) se cumple que existe un [texx]n\in \mathbb{N}[/texx] tal que [texx]M\vDash \phi_n(x)[/texx].

Intuitivamente esto significa que todo elemento que en M es un número natural se obtiene aplicando al objeto que en M representa el 0 (el conjunto vacío de M) un número finito [texx]n[/texx] de veces la operación sucesor.

Ya te he formulado rigurosamente mi problema: si suponemos que ZFC es consistente, podemos probar que tiene un modelo, pero ¿tiene un modelo estándar? Como te dije, no sé si eso está demostrado. Si quieres intentarlo tú, pues tú mismo. Recalco que todo el planteamiento es teoría de modelos estándar tal y como viene en cualquier libro de la materia. Todas las referencias que he hecho a metamatemática han sido para explicar por qué no puedo hacer ciertas cosas.

En todo caso, no me quedo tranquilo con la afirmación que has puesto sobre los modelos no isomorfos de ZFC.

Eso no puede ser cierto.
Ahí está mal la definición que usan de isomorfismo.

Mi razonamiento es éste. Bajo un modelo fijo de ZFC (no me pongas por ahora dos modelos distintos), se tiene que dos conjuntos que cumplen los axiomas de Peano son isomorfos.

En particular, son isomorfos con el conjunto N que se puede construir con el alfabeto de dígitos decimales, el orden lexicográfico, y las operaciones aritméticas tal como se enseñan en la escuela primaria, esta vez operando con dígitos.

Las operaciones con dígitos así formuladas son un algoritmo, algo sintáctico y, según las asunciones metamatemáticas, son unívocas.

Ese "modelo" de los dígitos es el mismo bajo cualquier modelo de ZFC.
De ahí tendría que deducirse que todos los sistemas de números naturales, incluso bajo modelos distintos, son isomorfos.

Si ahora vos me decìs que ese conjunto de dígitos decimales puede tener cardinalidades distintas en modelos distintos de ZFC, entonces ¿qué les pasó a los intuitivos números de la primaria?

Bien, vamos a analizar la situación. Partimos de un modelo M de ZFC del que no sabemos si es estándar o no. Si quieres suponer que lo es, me da lo mismo, no afecta a nada de lo que voy a decir. Elige un cardinal ¿he oído [texx]\aleph_{17}[/texx]? Vale. Pues voy a construir a partir de [texx]M[/texx] un modelo no estándar de ZFC en el que el conjunto de los números naturales (que, por supuesto, satisface los axiomas de Peano en [texx]M[/texx]) tiene al menos [texx]\aleph_{17}[/texx] elementos.

Tomemos un conjunto [texx]C[/texx] disjunto de [texx]\mathbb{N}[/texx] que tenga cardinal [texx]\aleph_{17}[/texx]. Define un lenguaje formal [texx]L_C[/texx] cuyos signos sean los de [texx]L[/texx] más los signos de [texx]C[/texx] considerados como constantes. (Trabajar con lenguajes formales no numerables es el pan de cada día en teoría de modelos.) Las fórmulas de [texx]L_C[/texx] son sucesiones finitas de [texx]\mathbb{N}\cup C[/texx]. La definición usual de fórmula y demás conceptos lógicos es válida para lenguajes de cualquier cardinal.

Consideremos el conjunto [texx]A[/texx] de sentencias de [texx]L_C[/texx] definido como la unión de ZFC más el conjunto formado por las sentencias siguientes: [texx]c\in\mathbb{N} [/texx], para cada [texx]c\in C[/texx] y [texx]c\neq c'[/texx], para cada par de elementos distintos [texx]c,c'\in C[/texx].

Vamos a probar que cada subconjunto finito de sentencias de [texx]A[/texx] tiene un modelo. En efecto, si [texx]B\subset A[/texx] es finito, entonces sólo puede contener un número finito de las fórmulas que hemos añadido, luego en ellas sólo puede aparecer un número finito de constantes de [texx]C[/texx]. Llamemos [texx]c_1,\ldots, c_n[/texx] a las constantes de [texx]C[/texx] que aparecen en las sentencias de [texx]A[/texx]

Entonces, un modelo de [texx]A[/texx] se obtiene tomando el modelo [texx]M[/texx] de partida e interpretando las constantes [texx]c_1,\ldots, c_n[/texx] como [texx]n[/texx] objetos de [texx]M[/texx] distintos dos a dos, digamos [texx]p_1,\ldots, p_n[/texx], todos los cuales cumplan [texx]M\vDash p_i\in \mathbb{N}[/texx]. Esto es posible porque necesariamente [texx]M[/texx] contiene infinitos objetos que cumplen la definición de número natural, y sólo necesitamos un número finito de ellos.

Esto prueba que todo subconjunto finito de [texx]A[/texx] tiene un modelo, y el teorema de compacidad (un teorema estándar de la teoría de modelos, demostrable a partir de los axiomas de ZFC) implica entonces que [texx]A[/texx] tiene un modelo [texx](N,S)[/texx], que en principio es distinto de [texx](M,R)[/texx]. Como [texx]ZFC\subset A[/texx], en particular [texx]N[/texx] es un modelo de ZFC.

Sea [texx]N^* = \{x\in N\mid (N,S)\vDash x\in \mathbb{N}\}[/texx], es decir, el conjunto de los objetos del modelo [texx]N[/texx] que cumplen la definición de número natural. Es fácil probar que tiene cardinal mayor o igual que [texx]\aleph_{17}[/texx]. En efecto, la aplicación [texx]f: C\longrightarrow N[/texx] que a cada [texx]c\in N[/texx] le hace corresponder el objeto denotado por la constante [texx]c[/texx] en [texx]N[/texx] (en el sentido usual de la teoría de modelos) tiene su imagen en [texx]N^*[/texx], y es inyectiva, pues si [texx]c, c'\in C[/texx] son distintos, entonces la fórmula [texx]c\neq c'[/texx] está en [texx]A[/texx], luego [texx]N\vDash c\neq c'[/texx], y esto significa, por definición, que [texx]f(c)\neq f(c')[/texx].

Si llamamos [texx]\kappa[/texx] al cardinal de [texx]N^*[/texx], podemos repetir la construcción partiendo de un cardinal mayor que [texx]\kappa[/texx] en lugar de [texx]\aleph_{17}[/texx], y así obtenemos otro modelo [texx]N'[/texx] de ZFC cuyo conjunto de números naturales tiene cardinal mayor que el de [texx]N[/texx].

Esto es teoría de modelos estándar, y prueba que tu argumento tiene algún fallo. ¿Te digo cuál es? Que pretendes definir (o caracterizar) los números naturales (en tu último argumento, el que te cito un poco más arriba) como sucesiones [texx]finitas[/texx] de dígitos, pero el concepto de finitud no puede ser definido categóricamente en ZFC. En los modelos que acabo de construir (precisamente por tu argumento) hay sucesiones "finitas" de dígitos (en el sentido de objetos [texx]s\in N[/texx] tales que [texx]N\vDash s[/texx] es una sucesión finita de dígitos, donde la frase "es una sucesión finita de dígitos" sustituye a la fórmula correspondiente de ZFC, con cualquier definición de finitud o de dígitos que quieras dar, pero que en realidad tiene longitud infinita, donde por "en realidad" no quiero decir intuitivamente, sino que (entendiendo las sucesiones finitas como aplicaciones de dominio igual a un número natural) [texx]s[/texx] es una aplicación cuyo rango está contenido en el conjunto de los 10 objetos que en [texx]N[/texx] representan los dígitos, pero cuyo dominio es un número natural no estándar, que bien puede dejar tras de sí [texx]\aleph_{15}[/texx] números naturales menores.

Pero me ha enternecido ver cómo buscabas los números naturales de la primaria. Sé que ha sido un lapsus, pero por algo se empieza. Todavía tienes esperanza.  ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 08/10/2011, 05:03:23 pm
Voy a pedir pues el gran favor que hagan caso omiso de los últimos posts, al menos cuando me volví demasiado desordenado o estúpido.

Publicaste esto mientras yo escribía mi último post, y lo he leído después. No he contravenido tu petición a propósito, pero, en cualquier caso, creo que si te estudias lo que he escrito aprenderas algo que te puede ayudar a organizar tus ideas.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 05:19:50 pm
Cita
Pero me ha enternecido ver cómo buscabas los números naturales de la primaria. Sé que ha sido un lapsus, pero por algo se empieza. Todavía tienes esperanza.

En realidad en la primaria me enseñaron los números naturales como cardinales, y los conjuntos... en forma intuitiva, con un irreprochable conjunto universal.

Mi intuición nunca tuvo problemas en abarcar un conjunto que contuviera "todo los conjuntos y objetos imaginables".

La contradicción surge al querer formalizarlo, y la gente formaliza para poder discutir en un plano de igualdad, sin que le inventen a uno "reglamentos mágicos" o conejos sacados de la galera.

Hay veces que me quejo por escepticismo, es cierto, no he podido evitarlo.
Lamentablemente eso se mezcla con las veces que me quejo porque no encuentro la suficiente honestidad científica en el método de trabajo.

Son cosas distintas.

Además, hay cosas que he hecho con la intuición... que no puedo confesar públicamente. Si hasta llegué a demostrar la reencarnación con aritmética meramente intuitiva e "inambigua".

Pero no puedo decir esas cosas en público.
Y además, no creo en la reencarnación, así que imaginate como está mi cabeza.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Jabato en 08/10/2011, 05:46:57 pm
Creo que os habéis inmerso en un debate sobre la intuición y el formalismo imaginando que son ideas opuestas y eso es falso. Además habéis dejado de lado la percepción que es otra de las funciones de nuestra mente, no todo lo que no es formal es intuido y vicebersa. Hay objetos e ideas que son simplemente percibidos, con todas sus propiedades. De hecho yo creo que la percepción ha sido el motor de la matemática durante muchos miles de años, y resulta que estamos aquí. Es quizás un error tan grave ó más dejarse llevar por el puro formalismo y pensar que todo se obtiene de tal actividad y que todo aquello que no es formalizable es impreciso ó ambiguo. La idea de conjunto es intuida, todos los hombres sabemos lo que es un conjunto, y no hay ambiguedad en ello, porque es un concepto que todos percibimos en idéntica forma.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 05:50:21 pm
Éste no es el post que te debo, pero es que me lo has puesto tan a mano que no he podido resistirme. Te voy a contestar a uno de tus últimos posts, pero quiero dejar bien claro que éste es completamente distinto a todos mis posts en este hilo. Aquí trabajo en ZFC, y sólo voy a apelar a teoremas demostrables en ZFC que puedes encontrar publicados en libros. Nada de intuiciones ni filosofías. Me meto en tu terreno.

Como tú muy bien dices, todas las cuestiones lógicas pueden formalizarse en ZFC y vamos a trabajar en esa formalización. Me abstengo de extraer consecuencias metamatemáticas.
(...)

Enséñame tu generalización y te diré dónde has metido la pata, porque eso no se puede hacer.


Gracias por este trabajo.
Lo he estado leyendo varias veces, me cuesta entenderlo.



Cita

Bien, vamos a analizar la situación. Partimos de un modelo M de ZFC del que no sabemos si es estándar o no. Si quieres suponer que lo es, me da lo mismo, no afecta a nada de lo que voy a decir. Elige un cardinal ¿he oído [texx]\aleph_{17}[/texx]? Vale. Pues voy a construir a partir de [texx]M[/texx] un modelo no estándar de ZFC en el que el conjunto de los números naturales (que, por supuesto, satisface los axiomas de Peano en [texx]M[/texx]) tiene al menos [texx]\aleph_{17}[/texx] elementos.


Este tipo de demostraciones me sacan de quicio.

Estás diciendo que M es un modelo de ZFC.
Deduzco de ahí que M satisface los axiomas de ZFC, como es lógico.
Además, en M se pueden definir cardinales [texx]\aleph_\alpha[/texx] de todos los órdenes.
El [texx]\aleph_0[/texx] en M es por definición el cardinal de los números naturales en M.
Y para concretar, le llamo conjunto de números naturales a la construcción de von Newmann que proviene del Axioma del Infinito de ZFC.

"Apilando" vacíos de M, se obtiene, en M, un conjunto que será bien ordenado, y tiene el mínimo cardinal posible en M.

Cuando has dicho ahora [texx]\aleph_{17}[/texx] ¿es el [texx]\aleph_{17}[/texx] de M, o es "otro" [texx]\aleph_{17}[/texx]? ¿De dónde sale ese cardinal? No entiendo a qué se refiere "ese" cardinal.

Si se trata de un cardinal en M, entonces nada tiene sentido, porque en M todos los sistemas de números naturales, o sea, me refiero a los que satisfacen los Axiomas de Peano, son biyectivos entre sí.
Si esto no fuera cierto, estaría contradiciendo un hecho que sé que se puede probar sin mayores problemas en ZFC. Un modelo no puede contradecir los hechos generales probados en la teoría que "modela".

Así que no puede haber dentro de M un sistema de números naturales con cardinal mayor a N, y que sea isomorfo.

En realidad quisiera entender qué pasa con ese aleph que pusiste, dónde lo tomaste. No puede ser en M.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 06:19:09 pm

Tomemos un conjunto [texx]C[/texx] disjunto de [texx]\mathbb{N}[/texx] que tenga cardinal [texx]\aleph_{17}[/texx]. Define un lenguaje formal [texx]L_C[/texx] cuyos ...

Sigo leyendo el segundo párrafo de tu demostración y encuentro que hay dos cosas más que no entiendo.

¿Dónde están los conjuntos [texx]C[/texx] y [texx]\mathbb N[/texx]?

Ya que ahora estamos en terreno "formal", estas cosas se tienen que especificar.
No puedo seguirte adecuadamente si no.

Pareciera que [texx]C[/texx] lo estás tomando afuera de [texx]M[/texx]. ¿Pero dónde?
¿Y [texx]\mathbb N[/texx]? ¿A cuál te estás refiriendo?
¿Al que usaste como dominio de las funciones de recurrencia en el lenguaje donde construiste ZFC?
¿O el [texx]\mathbb N[/texx] que se obtiene dentro del modelo M, aplicando en M el Axioma del Infinito?



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 08/10/2011, 06:33:22 pm
Gracias por este trabajo.
Lo he estado leyendo varias veces, me cuesta entenderlo.

Es normal. Yo mismo me siento incómodo cuando escribo porque comprendo que haría falta escribir varias decenas de páginas para explicarlo debidamente, pero lo escribo porque creo que las ideas son relevantes para lo que nos ocupa, y pongo todo mi empeño en ser lo más claro posible, pero comprenderás que es muy difícil. No dudes en preguntar todo lo que haga falta y yo procuraré explicarme todo lo que pueda.


Cita
Bien, vamos a analizar la situación. Partimos de un modelo M de ZFC del que no sabemos si es estándar o no. Si quieres suponer que lo es, me da lo mismo, no afecta a nada de lo que voy a decir. Elige un cardinal ¿he oído [texx]\aleph_{17}[/texx]? Vale. Pues voy a construir a partir de [texx]M[/texx] un modelo no estándar de ZFC en el que el conjunto de los números naturales (que, por supuesto, satisface los axiomas de Peano en [texx]M[/texx]) tiene al menos [texx]\aleph_{17}[/texx] elementos.

Este tipo de demostraciones me sacan de quicio.

Vaya, creía que eso sólo te pasaba con las demostraciones intuitivas. (Perdón, no bromeo más, pero es que me lo has puesto tan fácil...)

Estás diciendo que M es un modelo de ZFC.
Deduzco de ahí que M satisface los axiomas de ZFC, como es lógico.

En efecto, por ejemplo, que en M se cumpla el axioma del conjunto vacío ([texx]\exists x\forall y\ y\notin x[/texx]) significa que el par [texx](M,R)[/texx] cumple [texx]\exists x\in M\forall y\in M\ \lnot y\,R\,x[/texx]. Igualmente con todos los demás axiomas.

Además, en M se pueden definir cardinales [texx]\aleph_\alpha[/texx] de todos los órdenes.
El [texx]\aleph_0[/texx] en M es por definición el cardinal de los números naturales en M.
Y para concretar, le llamo conjunto de números naturales a la construcción de von Newmann que proviene del Axioma del Infinito de ZFC.

Exacto. En teoría de modelos es frecuente referirse a él como [texx]\aleph_0^M[/texx]. Es el elemento de [texx]M[/texx] que satisface la definición de [texx]\aleph_0[/texx].

"Apilando" vacíos de M, se obtiene, en M, un conjunto que será bien ordenado, y tiene el mínimo cardinal posible en M.

Supongo que te refieres al menor cardinal infinito posible en M. Cierto, pero será bien ordenado en M, lo cual no significa que tenga que estar bien ordenado de verdad.

Me explico. Ante todo, el conjunto que se construye "apilando" vacíos es lo que se suele llamar el ordinal [texx]\omega[/texx]. La construcción rigurosa de los ordinales en ZFC hace que podamos afirmar que [texx]0 = \emptyset[/texx], [texx]1 = \{0\}[/texx], [texx]2 = \{0, 1\}[/texx], etc., y que [texx]\omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots \}[/texx]

Todos estos etcéteras y puntos suspensivos sustituyen a una construcción rigurosa que conoces bien porque la he leído en tu hilo sobre los números naturales perfectamente explicada por ti. Más aún, el buen orden en [texx]\omega[/texx] no es más que la relación de inclusión (o de pertenencia, si consideras la correspondiente relación estricta).

Ahora bien, al hacer esto en [texx]M[/texx] obtienes un conjunto [texx]\omega^M\in M[/texx] tal que, para todo [texx]x\in M[/texx], se cumple [texx]x\,R\,\omega^M[/texx] (es decir, [texx]x[/texx] es un elemento de  [texx]\omega^M[/texx] respecto a la pertenencia de [texx]M[/texx] si sólo si [texx](M,R)\vDash x[/texx] es un número natural, es decir, si y sólo si [texx]x[/texx] satisface en [texx]M[/texx] la definición de número natural.

En general, para cada [texx]x\in M[/texx] podemos llamar extensión de [texx]x[/texx] en [texx]M[/texx] al conjunto

[texx]E(x) = \{y\in M\mid y\,R\,x\}\subset M[/texx].

Es el conjunto de los elementos de [texx]x[/texx] respecto a la relación de pertenencia en [texx]M[/texx]. En particular, [texx]E(\omega^M)[/texx] es el conjunto de los objetos de [texx]M[/texx] que cumplen la definición de número natural (los vacíos apilados).

Ahora bien, no es cierto que el conjunto [texx]E(\omega^M)[/texx] tenga por qué estar bien ordenado por la relación (estricta) [texx]R[/texx]. Lo que sabemos es que está bien ordenado en [texx]M[/texx], y la diferencia es muy sutil. Voy a tratar de explicarla:

¿Que significa que [texx]\omega[/texx] está bien ordenado? Obviamente:

[texx]\forall x(x\subset \omega\land x\neq \emptyset\rightarrow \exists y\in x\forall z\in x(y\in z\lor y=z))[/texx]

(Ahí dice: para todo subconjunto [texx]x[/texx] de [texx]\omega[/texx] no vacío existe un [texx]y\in x[/texx] que es el mínimo de [texx]x[/texx], en el sentido de que cualquier otro [texx]z\in x[/texx] tiene que ser mayor que [texx]y[/texx] (es decir, [texx]y\in z[/texx]) o igual a [texx]y[/texx].

Esto es un teorema de ZFC, luego tiene que ser cierto en [texx]M[/texx]. ¿Qué significa esto? Que se cumple si cambiamos los para todos y los existe por para todo elemento de M y existe un elemento de M y cambiamos la relación de pertenencia por R. Para verlo mejor reescribo la fórmula anterior en una forma equivalente más elemental:

[texx]\forall x(\forall u(u\in x\Rightarrow u \in \omega)\land\exists u(u\in x)\rightarrow \exists y\in x\forall z\in x(y\in z\lor y=z))[/texx]

La versión en M será:

[texx]\forall x\in M(\forall u\in M(u\,R\, x\Rightarrow  u\,R\, \omega^M)\land \exists u(u\,R\,x)\rightarrow \exists y\in M(y\,R\, x\land \forall z\in R(z\,R\,x\Rightarrow (y\,R z\lor y=z))[/texx]

Ahí dice: para todo [texx]x\in M[/texx] tal que [texx]E(x)\subset E(\omega^M)[/texx] y [texx]E(x)\neq \emptyset[/texx] existe un [texx]y\in E(x)[/texx] tal que [texx]y[/texx] es el mínimo de [texx]E(x)[/texx] para la relación estricta [texx]R[/texx].

Así pues, el hecho de que [texx]\omega^M[/texx] esté bien ordenado en M no significa que todos los subconjuntos no vacíos de [texx]E(\omega^M)[/texx] tengan un mínimo elemento, sino únicamente los que sean la extensión de un [texx]y\in M[/texx], y nadie te asegura que todo subconjunto de [texx]M[/texx] sea la extensión de un elemento de [texx]M[/texx] (de hecho es imposible. El propio [texx]M[/texx] no puede ser la extensión de un [texx]u\in M[/texx], ya que tal [texx]u[/texx] sería en [texx]M[/texx] el conjunto de todos los conjuntos y eso no existe.

Así  pues, [texx]E(\omega^M)[/texx] puede tener subconjuntos sin mínimo para la relación de pertenencia [texx]R[/texx]. Esto pasa seguro si el modelo no es estándar, en el sentido que te definí en el otro post, pues el conjunto de todos los elementos de [texx]E(\omega^M)[/texx]  que son números naturales no estándar no puede tener mínimo elemento (pues dicho mínimo no puede ser el cero y el anterior de un número no estándar tiene que ser no estándar, porque el siguiente de un estándar es estándar), luego no es la extensión de ningún conjunto de M.

En resumen: [texx]\omega^M[/texx] sólo está bien ordenado "en parte" (visto desde dentro de M, lo está, desde fuera no necesariamente).

Como veo que vas haciendo más preguntas, publico esto para que puedas ir leyendo y sigo contestando.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 08/10/2011, 06:43:04 pm
Cuando has dicho ahora [texx]\aleph_{17}[/texx] ¿es el [texx]\aleph_{17}[/texx] de M, o es "otro" [texx]\aleph_{17}[/texx]? ¿De dónde sale ese cardinal? No entiendo a qué se refiere "ese" cardinal.

Olvida por un momento mi demostración. Imagina que estamos hablando de otra cosa y te digo: considera un espacio vectorial sobre [texx]\mathbb{R}[/texx] de cardinal (rectifico, quería decir dimensión, no importa mucho, pero es más natural) [texx]\aleph_{17}[/texx]. ¿Entenderías a qué cardinal me estoy refiriendo? Pues a ése me refiero. Me refiero al cardinal [texx]\aleph_{17}[/texx] tal y como se define en ZFC. Si quieres, reordena mi demostración de esta forma:

Empiezo diciendo, sea [texx]C[/texx] un conjunto cualquiera de cardinal [texx]\aleph_{17}[/texx] disjunto con [texx]\omega[/texx]. (Dado un cardinal, siempre existe un conjunto de ese cardinal, y lo puedo tomar disjunto a cualquier otro conjunto).

Dicho esto paso a: Supongamos que existe un modelo [texx](M,R)[/texx] de ZFC. Así, [texx]\aleph_{17}[/texx] es [texx]\aleph_{17}[/texx], que se define independientemente de [texx]M[/texx]. Por supuesto M tendrá su [texx]\aleph_{17}^M[/texx], pero ese objeto no interviene para nada en mi prueba.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 08/10/2011, 06:47:16 pm

Tomemos un conjunto [texx]C[/texx] disjunto de [texx]\mathbb{N}[/texx] que tenga cardinal [texx]\aleph_{17}[/texx]. Define un lenguaje formal [texx]L_C[/texx] cuyos ...

Sigo leyendo el segundo párrafo de tu demostración y encuentro que hay dos cosas más que no entiendo.

¿Dónde están los conjuntos [texx]C[/texx] y [texx]\mathbb N[/texx]?

Ya que ahora estamos en terreno "formal", estas cosas se tienen que especificar.
No puedo seguirte adecuadamente si no.

Pareciera que [texx]C[/texx] lo estás tomando afuera de [texx]M[/texx]. ¿Pero dónde?
¿Y [texx]\mathbb N[/texx]? ¿A cuál te estás refiriendo?
¿Al que usaste como dominio de las funciones de recurrencia en el lenguaje donde construiste ZFC?
¿O el [texx]\mathbb N[/texx] que se obtiene dentro del modelo M, aplicando en M el Axioma del Infinito?

Creo que te he contestado ya en mi último post. [texx]C[/texx] es un conjunto de cardinal [texx]\aleph_{17}[/texx]  que podría haber tomado antes incluso de introducir a M en la prueba y el [texx]\mathbb{N}[/texx] del que hablaba en el post de la demostración es el que, a raíz de tu (oportuna) precisión de considerar a [texx]\mathbb{N}[/texx] como definido "apilando vacíos" he pasado a llamar [texx]\omega[/texx], que es su nombre habitual en este contexto, pero [texx]\omega[/texx] y [texx]\mathbb{N}[/texx] son dos nombres para el mismo concepto, el conjunto de los números naturales que tú construyes en tu hilo sobre el tema y que se construye independientemente de M.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 07:42:31 pm
Bueno, esta versión "formal" de ZFC es lo que necesito para discutir las cosas con precisión, y es bueno que haya surgido esto.

Pienso que una gran fuente de malentendidos surge cuando en los textos no explican si el contexto es "formal" o "metamatemático", entre otras cuestiones, que introducen ambigüedades.

Voy a recapitular el esquema mental que tengo en relación a tu demostración, a ver si estamos hablando de lo mismo.

(1) Hay una cosa que se llama Metamatemática. Sólo sé de ella que me crispa.
(2) "En" (1) se construye un (el) lenguaje de primer orden, con sus axiomas lógicos y reglas de inferencia. Digamos que me lo tomo así, sin analizarlo, porque eso sería mirarlo desde (1), que has tenido la gentileza de evitar.
(3) En (con) (2) se procede a dar la lista de Axiomas de ZFC. Esto es el ZFC en el lado "sintáctico".
(4) Con esa teoría ZFC, puede construir el conjunto [texx]\omega[/texx], que es un ordinal mínimo. Este [texx]\omega[/texx] es un "objeto" (por decirle de algún modo) sintáctico, pues la demostración se hace sólo en ZFC.

Ahora me dijiste que tu teoría de modelos es "formal", y entiendo que es interna al ZFC de (4), con lo cual hay cosas que se repiten, pero en un nivel inferior.

(5) Pasaste pues a considerar un conjunto finito (no necesariamente finito) F en ZFC de símbolos. Sobre él es posible definir listas de símbolos, mediante funciones que van de los segmentos de naturales {1, ..., n} en [texx]\omega[/texx] en el conjunto F. A esto se lo denota F*, que es un conjunto de ZFC.

(6) De F* se extrae un subconjunto, que sería una especie de copia de todas las fórmulas bien formadas en (2), lo cual puedo creerme que sé definir sin problemas ahora como un subconjunto L de F*. A los elementos del conjunto L les llama uno "sentencias".
(7) De las sentencias que nos da L, agregamos ahora otras más, para formar otro conjunto de sentencias que copia a los axiomas ZFC dados en (3). Digamos que es una teoría de conjuntos "hecha" dentro de F*. Los enunciados no salen de ahí. ¿A esto le llamaste ZFC "versión formal"? Entiendo que es eso lo que has hecho. Le voy a poner [texx]ZFC_{formal}[/texx].
(8) El [texx]ZFC_{formal}[/texx] es sólo un conjunto de sentencias, formadas con ciertas reglas que dicen qué simbolos de F son teoremas o no.
(9) En ZFC (el de (3)) ahora se toma un cierto conjunto [texx]M[/texx].
(10) Mediante una función (definida con ZFC de (3)) entre el conjunto de sentencias [texx]ZFC_{formal}[/texx] y [texx]M[/texx] se envía la fórmula que define el conjunto vacío en un elemento [texx]\emptyset ^M\in M[/texx], y así se haría con otras fórmulas que definen unívocamente objetos en el lado formal, asignándoles a la fórmula correspondiente una constante en el lado del modelo [texx]M[/texx].

Uno puede probar en [texx]ZFC_{formal}[/texx] la sentencia que dice que "si dos sistemas (N,0,s), (N',0',s') satisfacen las propiedades de Peano, entonces N y N' son conjuntos biyectivos entre sí". Se haría aplicando recurrencia de N con una función de N en N', y recíprocamente usando recurrencia de N' con una función de N' en N, al estilo f(s(n)) = s'(f(n)).

Este teorema es "sintáctico" en [texx]ZFC_{formal}[/texx], y en principio no tiene por qué decirme nada sobre el modelo M.
Pero lo básico de la teoría de modelos es el hecho de que todo lo que pasa en [texx]ZFC_{formal}[/texx] tiene que reflejarse para las constantes de un modelo particular M dado.

Así que hasta acá estamos de acuerdo que al traducir todo en M, se obtendrá que todos los sistemas en M satisfaciendo las propiedades de Peano tienen que ser biyectivos entre sí, en M.

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Lo que entiendo es que en [texx]ZFC_{formal}[/texx] no hay ningún conjunto de números naturales.
Lo único que hay es una sentencia con cierta forma: "existe x tal que [texx]\emptyset \in x[/texx] y etc..." pero es sólo una sentencia, o sea, una función de un segmento de [texx]\omega[/texx] en [texx]F[/texx].

Cuando yo "tomo" un conjunto de números naturales, tengo que tomarlo en [texx]M[/texx], o en algún otro modelo.
No puedo tomarlo de otro lado.
Al mapear la sentencia anterior en [texx]M[/texx], se obtiene un conjunto [texx]\omega^M[/texx], que es "subconjunto" en sentido de (4) de [texx]M[/texx].

Pero creo vos decís que lo que tengo que tomar es [texx]\mathbb N=\omega[/texx], que es el tipo que aparece en (4).
El cardinal [texx]\aleph_{17}[/texx], ¿en qué universo lo estás tomando?
Entiendo que me decís que lo saque del ZFC del punto (4).

El conjunto [texx]C[/texx], ¿dónde está? Lo tomo también de (4).

Aunque ZFC es sólo "sintáctico", no me incomoda tomar cosas de ahí.
Después de todo, uno toma sólo aquello que las demostraciones a nivel sintáctico se lo permiten.
Y ciertamente me permiten tomar [texx]\omega[/texx].

Ahora bien. Tanto [texx]\omega[/texx] como [texx]M[/texx] viven en el Universo ZFC de (4). Vos me decís que la relación de pertenencia en [texx]M[/texx] mete cosillas extrañas.

Claro, me faltó recordar que la relación [texx]\in[/texx] de [texx]ZFC_{formal}[/texx] se "mapea" en un subconjunto de [texx]M\times M[/texx].

Esto es una cierta relación [texx]R[/texx], o sea, un subconjunto de [texx]M\times M[/texx] que no tiene por qué coincidir con la relación de [texx]\in[/texx] que estamos usando en general desde el ZFC de (4).

Hasta ahí parece que estaríamos de acuerdo en el significado de las cosas.
¡Qué dura es la vida!

Ahora, me creo totalmente que esa [texx]R[/texx] respeta la buena ordenación del [texx]\omega^M[/texx] pues viene como Teorema desde [texx]ZFC_{formal}[/texx].

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Creería que hasta ahí vamos bien.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 07:48:03 pm
Cita
y la diferencia es muy sutil. Voy a tratar de explicarla:

Esta parte ya no logro verla.
O sea, esto que has dicho de que R tiene subconjuntos sin mínimo.

A estas alturas, leo dos tipos de "subconjuntos".
Los [texx]\in[/texx]-subconjuntos y los [texx]R[/texx]-subconjuntos.

Si tomo un elemento [texx]A[/texx] de [texx]M[/texx] tal que [texx]A\subset _R \omega^A[/texx] y [texx]A\neq \emptyset ^A[/texx], entonces tiene que ser cierto que [texx]A[/texx] tiene un [texx]R[/texx]-mínimo.

No entiendo adónde apuntan las demás cosas, o subconjuntos que aparecen por ahí.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 08/10/2011, 07:56:36 pm
Es correcto todo lo que dices salvo un mínimo detalle sin importancia:

(5) Pasaste pues a considerar un conjunto finito F en ZFC de símbolos. Sobre él es posible definir listas de símbolos, mediante funciones que van de los segmentos de naturales {1, ..., n} en [texx]\omega[/texx] en el conjunto F. A esto se lo denota F*, que es un conjunto de ZFC.

El conjunto de signos ha de ser infinito, porque, por definición, un lenguaje formal ha de tener infinitas variables. La idea es que no estaría justificado que una demostración no pudiera proseguirse simplemente porque hayas usado ya todas las variables del lenguaje y necesites más.

Una cuestión tiquis-miquis: me da rabia que la gente traduzca el inglés symbol por símbolo. En castellano un símbolo es algo que hace referencia a algo tomando como base una metáfora, como la paloma como símbolo de la paz, el halcón como símbolo de la guerra, el laurel como símbolo de la gloria. Las referencias arbitrarias, sin metáforas, se hacen en castellano a través de signos.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 08/10/2011, 08:08:46 pm
Cita
y la diferencia es muy sutil. Voy a tratar de explicarla:

Esta parte ya no logro verla.
O sea, esto que has dicho de que R tiene subconjuntos sin mínimo.

Mejor dicho, que [texx]M[/texx] puede tener subconjuntos sin mínimo respecto de la relación [texx]R[/texx]. Tanto si los tiene como si no, el modelo [texx]N[/texx] que se acaba construyendo los tiene sin duda.


A estas alturas, leo dos tipos de "subconjuntos".
Los [texx]\in[/texx]-subconjuntos y los [texx]R[/texx]-subconjuntos.

Si tomo un elemento [texx]A[/texx] de [texx]M[/texx] tal que [texx]A\subset _R \omega^A[/texx] y [texx]A\neq \emptyset ^A[/texx], entonces tiene que ser cierto que [texx]A[/texx] tiene un [texx]R[/texx]-mínimo.

No entiendo adónde apuntan las demás cosas, o subconjuntos que aparecen por ahí.

Veamos: lo que has dicho "si tomo un elemento  [texx]A[/texx] de [texx]M[/texx]..." es cierto.

El problema es que puedes tener un conjunto [texx]A\subset M[/texx] que no cumpla [texx]A\in M[/texx] y que, aunque cumpla que [texx]\forall x\in A\ x\,R\,\omega^M[/texx], es decir, aunque todos los elementos de [texx]A[/texx] satisfagan en [texx]M[/texx] la definición de número natural, el conjunto [texx]A[/texx] no tenga mínimo elemento, porque, como tú muy bien has dicho, lo único que sabes es que los [texx]A\in M[/texx] tales que [texx]A\subset_R \omega^M[/texx], es decir, que cumplen [texx]\forall x\in A\ x\,R\,\omega^M[/texx], están obligados a tener mínimo.

Si [texx]M[/texx] es un modelo no estándar, es fácil probar que el siguiente en M de un número natural estándar es también un número natural estándar, luego, recíprocamente, si un número natural no es estándar, desde luego no puede ser el cero y su anterior tampoco puede ser estándar. Por lo tanto, si [texx]n_0\in M[/texx] cumple la definición de número natural, pero no es estándar, entonces, no es cero, luego tiene un (único) anterior [texx]n_1[/texx] tal que [texx]n_1\,R\, n_0[/texx], el cual no puede ser estándar, luego tiene un (único) anterior [texx]n_2[/texx] que cumple [texx]n_2\,R\,n_1\,R\, n_0[/texx], y una construcción por recurrencia (no en M) te da entonces una sucesión [texx]\{x_n\}_{n\in\omega}[/texx] con la propiedad de que [texx]\forall i\in \omega\ n_{i+1}\,R\,n_i[/texx].

El conjunto [texx]A = \{n_i\mid i\in \omega\}[/texx] está formado por números naturales en M y no tiene mínimo elemento.

Si no queda claro vuelve a preguntarme y trataré de darle más vueltas.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 08/10/2011, 09:01:59 pm
Pero hacer esto contagia al discurso metamatemático de todas las ambigüedades que surgen de la misma teoría de modelos, puesto que de cada formalización... surgen muchos modelos no isomorfos.

Si se pretende que el discurso de la metamatemática sea inambiguo, debe ser informal, y no digo esto por haberlo "razonado" (aunque parezca un razomamiento lo que hice), sino por mero instinto de supervivencia.

Estas cosas que mi "intuición" me muestra, ¿son meta-meta-matemática?
¿Son correctas?

Vamos por buen camino. He aquí el post prometido.

En la metamatemática (seria y rigurosa) están prohibidas las metáforas, pero no así en la meta-metamatemática. Así que voy a tratar de explicar cómo entiendo yo la metamatemática con una metáfora.

Imagina un hombre que ha vivido siempre en una gran ciudad rodeado de comodidades y, por accidente, naufraga en una isla desierta. Su primera reacción es buscar un árbol que tenga enchufe para recargar su teléfono móvil, pero no encuentra. Luego busca un hotel donde alojarse, pero no hay. Se pregunta qué reglas tiene que seguir para encontrar comida y sobrevivir, pero no tiene reglas. ¿Qué hace? ¿No hacer nada por no tener reglas? Eso lleva a la muerte por inanición, ¿inventarse unas reglas, como afirmar que Dios le ha hablado y le ha sugerido que se tire por un barranco, que Él enviará a sus ángeles para que lo recojan y lo devuelvan a casa? Eso lleva a la muerte por despeñamiento. No. Hay que ver lo que hay y hacer lo que mejor se pueda. Si hay conejos, habrá que cazar conejos, y si hay peces habrá que pescar. Lo que no puede hacer es pedir un inventario donde estén clasificados todos los animales que viven en la isla y determinar a priori con cuáles se va a relacionar y con cuáles no. Eso no existe. Se relacionará con quien le toque relacionarse para sobrevivir.

¿Y cómo sabrá si lo hace bien o mal? Pues, si se muere, es que lo ha hecho mal, y si no se muere, es que lo está haciendo bien, así de claro. Si no se muere, está demostrando con su actuación que lo que haga para sobrevivir está bien hecho. Si al cabo de muchos años, tiene ya experiencia sobre cómo vivir en la isla, y aparece una náufraga y tiene naufraguitos, el náufrago podrá imponer reglas a sus hijos para que, siguiéndolas, tengan garantías de sobrevivir sin necesidad de pensar nada, mecánicamente, haciendo simplemente lo que su padre les permite y no haciendo lo que está prohibido, sin pensar. Y esas reglas no serán disparates, como "para sobrevivir es necesario que cada mañana bailéis un Pas de deux de El lago de los cisnes", sino normas sensatas como "por las noches no debéis salir de la cueva, porque hay lobos". Serán normas estudiadas para ser adecuadas, y no estudiadas por un método basado en normas y declaraciones de principios, sino por el cuidado constante, continuo y atento por no meter la pata en ningún paso. Eso es la metamatemática.

Concretando. Yo (náufrago sin contacto posible con la teoría axiomática de conjuntos) sé que hubo otro náufrago llamado Cantor que pretendió hablar intuitivamente de conjuntos cualesquiera y se murió de contradicción. Por lo tanto, no cometeré su mismo error y no intentaré hablar intuitivamente de conjuntos cualesquiera. ¿De qué conjuntos hablaré entonces? En un primer momento, podría pensar en limitarme a tratar únicamente con aquellos conjuntos de los que pueda determinar efectivamente cuáles son sus elementos, como es el caso de los números naturales, o el de los números primos, o el de los números mayores que mil, etc.

Sin embargo, mi experiencia me ha enseñado que si me limito a tratar con esos conjuntos me quedo corto a la hora de lograr ciertos fines, y por ello me pregunté: ¿sería posible tratar intuitivamente con conjuntos más generales que aquellos de los que soy capaz de precisar cuáles son sus elementos y cuáles no? Y mi experiencia me ha enseñado que sí que es posible.

No puedo justificar aquí que es posible, porque eso sería hacer meta-metamatemática rigurosa, y mi experiencia me ha enseñado que no existe la meta-metamatemática rigurosa. Lo que existe es la metamatemática rigurosa, y su rigor se pone de manifiesto al recorrerla y comprobar que no se llega a contradicción alguna. Pero hablar sobre los criterios generales que hay que seguir para hacer metamatemática es necesariamente vago y ambiguo. La verdad es que no hay criterios generales. Cada paso que se da debe ser juzgado y aprobado en ese mismo momento. Y si uno da un paso en falso y llega a una contradicción, bueno, no es distinto a cuando uno está demostrando un teorema en ZFC y un amigo le hace ver que ha metido la pata dos hojas más atras. Se borran las dos últimas hojas y se continúa desde ahí.

Digo, pues, que mi experiencia (por ejemplo, mi experiencia al tratar de entender el teorema de completitud de Gödel), me ha enseñado que necesito hablar intuitivamente, pero con rigor, de conjuntos más generales que aquellos de los que puedo precisar cuáles son sus elementos en la práctica, ¿qué clase de conjuntos más generales necesito? Aquellos para los que sé dar sentido a qué significa que un elemento les pertenezca o no, independientemente de que sepa comprobar si se da o no el caso.

Por ejemplo, pensemos en el conjunto de los números naturales que son diferencia de dos primos (y ahora no meto la pata, ya sé que eso no es la conjetura de Goldbach, pero ése es el conjunto que me interesa ahora). ¿Puedo hablar intuitivamente de ese conjunto? ¿Mi intuición me garantiza que existe un conjunto así y que, por lo tanto, no caeré en contradicciónes razonando sobre él?

Yo creo que sí. Observemos que, dado un número natural n par, tal vez no encuentre dos primos cuya diferencia sea n. Podría buscarlos, considerando cada vez pares de primos más grandes, y tal vez pasen años de búsqueda y no encuentre ningún par, pero sé que, o bien hay un par de primos cuya diferencia es n, y tarde o temprano aparecerá en una enumeración de todos los pares de primos o bien no existe tal par, y n no está en el conjunto en cuestión. Tal vez no sepa determinar si un número dado está en ese conjunto o no, pero sé lo que significa que un número esté en ese conjunto o no lo esté. Y creo que eso basta para poder hablar sobre él sin temor a contradecirme al hacerlo.

Fíjate que no puede precisar qué significa "ser capaz de atribuir un significado inequívoco a si un elemento pertenece o no a un conjunto" en general, pero en cada caso particular puedo preguntarme si entiendo lo que significa pertenecer o no pertenecer al conjunto, y si queda alguna duda al respecto es que ese hipotético conjunto no son más que palabras vacías de significado intuitivo.

Es lo que ocurre, no ya con el conjunto de todos los conjuntos, sino simplemente con el conjunto de todos los subconjuntos de [texx]\mathbb{N}[/texx]. Si me preguntan qué significa que una afirmación sobre ellos sea verdadera o falsa ¿cómo debo entender eso? No tengo ninguna forma de representarme intuitivamente todos y cada uno de los subconjuntos de [texx]\mathbb{N}[/texx] que podría concebir intuitivamente. Sé lo que es el conjunto de los pares, el de los primos, etc., pero no sé cuántos más tendría que poner en esa lista.

Si me preguntan si todos los números naturales cumplen algo, yo sé que eso significa que el 0 lo cumple y que el 1 lo cumple, y que el 2 lo cumple, etc., lo cual tiene sentido siempre y cuando en cada caso en concreto yo pueda llegar a la convicción de que sé perfectamente qué significa que cada número natural cumpla la propiedad en cuestión, pero, aunque sepa qué significa que un subconjunto de [texx]\mathbb{N}[/texx] cumple algo, no sé dar sentido a la afirmación "todos los subconjuntos de [texx]\mathbb{N}[/texx] cumplen ese algo", porque no tengo forma de representármelos todos. En particular, no soy capaz de concebir intuitivamente ningún conjunto que no se pueda numerar, al menos en teoría, no necesariamente en la práctica.

Y no es que Cantor tuviera más intuición o una intuición distinta de la mía. Dudo mucho que Cantor pudiera representarse de algún modo el conjunto de todos los conjuntos. Posiblemente, Cantor razonaba sobre él como yo puedo razonar sobre un cubo de cuatro dimensiones, por analogías que pueden ser más o menos fiables en el caso de la geometría de cuatro dimensiones porque sabemos que es consistente, pero no podemos hablar sobre el conjunto de todos los conjuntos imaginando simplemente un conjunto muy grande. La intuición no abarca toda su extensión y no es extraño que surjan contradicciones de él. Nadie puede decir: me imagino perfectamente una cosa, pero esa cosa no puede existir (como concepto lógico, obviamente puedo imaginarme un gnomo).

Por eso te hice aquella precisión cuando me preguntaste si todo subconjunto de [texx]\mathbb{N}[/texx] no vacío tiene mínimo (intuitivamente). Como afirmación sobre la totalidad de los subconjuntos de [texx]\mathbb{N}[/texx] no tiene sentido para mí, pero lo que sí sé es que si tengo un subconjunto de [texx]\mathbb{N}[/texx] bien definido en el sentido de que sepa darle un sentido concreto y libre de ambigüedades a las afirmaciones [texx]n[/texx] está en el conjunto y [texx]n[/texx] no está en el conjunto, y puedo asegurar que es no vacío, entonces tiene que haber un mínimo elemento en ese conjunto.

Te repito la prueba:

Sabemos que tiene sentido afirmar que 0 está en el conjunto o no lo está. Si lo está, ya tenemos el mínimo, si no lo está, pasamos a considerar el 1, y así sucesivamente hasta que encontramos un primer número que está en el conjunto. Ese es el mínimo. Esto tiene sentido si nunca deja de estar bien definida la condición n está o n no está en el conjunto.

Teniendo esto en cuenta, analicemos la paradoja de Berry:

En la matemática formal, toda definición que cumple ciertas reglas define un conjunto. Aquí no tenemos reglas, sólo sabemos que hay expresiones castellanas que puede parecer que definan conjuntos, como "el conjunto de todos los conjuntos" o "el conjunto de todos los subconjuntos de [texx]\mathbb{N}[/texx]", o "el conjunto de todos los números naturales que saben leer y escribir francés e inglés correctamente y entienden el alemán", que en realidad son palabras a las que la intuición no sabe proporcionarles un significado concreto.

¿Qué sucede con "el conjunto de todos números naturales no definibles en menos de 20 palabras"? (pongo 20 porque así voy sobrado, me da pereza contar cuántas bastarían) ¿Es esto un conjunto bien definido intuitivamente? ¿Tengo una idea intuitiva de cuál es ese conjunto? ¿Sé lo que significa que un número natural sea definible con 20 palabras?

La situación es muy sutil. Es un ejemplo de cómo en la selva te puedes encontrar con cosas que nunca te encontrarías en una ciudad civilizada.

Yo puedo definir el 2 como "el menor número primo", para lo cual necesito cuatro palabras. Sé perfectamente lo que significa "el 2 es definible con cuatro palabras", pero ¿sé lo que significa que un número cualquiera sea definible con menos de 20 palabras (aunque no sepa comprobar si así es)?

Pensémoslo. ¿En qué consiste en general que un número sea definible en menos de 20 palabras? He de considerar la totalidad de las expresiones castellanas que podrían definir números naturales en menos de 20 palabras. Si aceptamos que el vocabulario castellano es finito, se trata de un número finito. Ahora bien, entre ellas habría de varios tipos. Veamos algunos ejemplos:

a) El menor número divisible entre tres primos distintos.

b) El menor número políglota.

c) El menor número que es número de Gödel de una demostración de una contradicción en ZFC.

d) El menor número natural no definible en menos de 20 palabras.

A primera vista, los cuatro sintagmas anteriores definen un número natural en castellano. Pero no es así:

a) El primero veo que define sin duda alguna al número 30

b) El segundo no define a ningún número natural, porque no tiene sentido llamar políglota a un número, salvo que alguien me dé una definición de políglota aplicable a números. Esto ya de por sí podría ser razón para considerar que "ser definible" no está bien definido, pero se podría apañar introduciendo la cláusula de ser definible con las definiciones de las palabras castellanas que figuran en el diccionario, sin introducir jerga.

c) El tercer sintagma no sé si me define o no a un número natural. Si ZFC es consistente no define a ninguno, porque el conjunto sobre el que se toma el mínimo es vacío, mientras que si ZFC es contradictorio sí que define a un número que no sabría decir cuál es, pero no importa. Puedo afirmar que sé lo que significa que el sintagma c) define un número natural, aunque no sepa si es cierto o no y no sepa cuál es ese número en caso de existir.

¿Pero qué ocurre en el caso d)? Estoy tratando de averigüar si puedo dar un significado intuitivo a "ser definible en menos de 20 palabras", pero me encuentro con que el procedimiento natural que me llevaría a darle un sentido a ese concepto (considerar todos los sintagmas de menos de 20 palabras que definen números, considerar los números definidos por ellos y ver si alguno define al número que estoy considerando) me obliga a considerar un sintagma que ya contiene la expresión "ser definible en menos de 20 palabras".

Concluyo que la definición de "ser definible en menos de 20 palabras" es circular. Para darle un sentido aplicable a cualquier número natural (no a algunos casos concretos como el 2) necesito saber previamente lo que significa, luego mi intento de darle un sentido intuitivo fracasa y puedo concluir que no soy capaz de atribuir un sentido intuitivo a "el conjunto de todos los números definibles en menos de 20 palabras". Por consiguiente, mi razonamiento intuitivo de que todo subconjunto de [texx]\mathbb{N}[/texx] no vacío tiene un mínimo elemento no se aplica a este pretendido conjunto, ya que no cumple los requisitos de estar bien definido que requería mi prueba.

Si quisiera particularizar sobre él la prueba, me encontraría con esto: puedo asegurar que el 0 no está en el conjunto, porque ciertamente es definible en menos de 20 palabras (por ejemplo, como "el menor número natural") e igualmente sucede con el 1, pero tarde o temprano llegaré a un número para el que no se me ocurra una definición con menos de 20 palabras y, entonces, cuando me plantee qué significa que dicho número sea definible con menos de 20 palabras teniendo en cuenta que no se me ocurre ninguna definición, mi respuesta sera, no que no sé si es definible o no en menos de 20 palabras, sino que, en realidad, no sé qué significa que sea definible o no en menos de 20 palabras.

Por lo tanto, no he caído en ninguna contradicción. Intuitivamente, "el conjunto de todos los conjuntos no definibles con menos de 20 palabras" no es más que un conjunto de palabras imprecisas, como "el conjunto de todos los números naturales muy pequeños", del que podría decir que contiene al 0 y al 1, pero no tiene sentido preguntarse si contiene o no al 100.

La paradoja de Berry sólo demuestra que "el menor número natural no definible en menos de 20 palabras" es sólo una expresión a la que la intuición no puede atribuir un sentido, al igual que no es posible asignar un valor de verdad a la afirmación "esta afirmación es falsa".

Estas curiosidades de la selva exterior a ZFC serán más o menos molestas, pero no perturban a una metamatemática bien meditada, pues (salvo un lapsus equiparable al del matemático que trabaja en ZFC y mete la pata) hacen referencia a conjuntos claramente mal definidos.

Hacer metamatemática rigurosa es asegurarse a cada paso de que todos los conceptos que manejamos están bien definidos, en el sentido que vagamente he indicado antes (porque la meta-metamatemática es necesariamente vaga). Yo no puedo demostrar a priori que esto es viable, ni tú puedes demostrar a priori que es inviable. La única forma de comprobarlo es recorrer el camino y juzgar si las precauciones son adecuadas.

Hace un rato te he contestado a un hilo en el que usas el libro de Ivorra como referencia para la teoría axiomática de conjuntos. Bien, me parece un ejemplo interesante. Ivorra construye toda la metamatemática apoyándose en la intuición. Prescinde de las explicaciones informales que pueda hacer entre definiciones y teoremas y limítate a éstos: ¿encuentras allí metáforas, vaguedades, conjuntos mal definidos, hipérboles y todo eso que decías?

Lo que sí que puedes encontrar son elipsis, pero elipsis no esenciales, debidas a que Ivorra supondrá que sus lectores son matemáticos por el hecho de que sólo a los matemáticos les interesa la lógica matemática, luego dará por hecho que están familiarizados con la matemática formal y eso hace que ciertos argumentos intuitivos se puedan omitir porque cualquiera familiarizado con la matemática formal puede traducir fácilmente un argumento formal conocido a un argumento intuitivo, y sería insultante que Ivorra explicara a sus lectores cómo sumar, cómo operar con números, qué es contar los signos de una cadena de signos, etc.

Pero ante una elipsis, te has de plantear si está omitiendo algo que es imposible de precisar, o simplemente algo que, de ponerse explícitamente, aburriría a sus lectores y multiplicaría por 10 la extensión del libro, pero que nada impide explicitar si alguien se pone pesado.

Si encuentras un paso que consideras que no es fiable, dime cuál es y lo analizaremos. Pero ésa es la única forma de juzgar la metamatemática, atendiendo a sus razonamientos y juzgando si son concluyentes o no lo son, no según si se ajustan a ciertas reglas prefijadas inexistentes e imposibles, sino si dan pie a alguna clase de duda más allá de la mera duda escéptica sistemática y estéril.

Con esto he cumplido mi promesa. Estamos en paz.


Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 10:39:01 pm

Veamos: lo que has dicho "si tomo un elemento  [texx]A[/texx] de [texx]M[/texx]..." es cierto.

El problema es que puedes tener un conjunto [texx]A\subset M[/texx] que no cumpla [texx]A\in M[/texx] y que, aunque cumpla que [texx]\forall x\in A\ x\,R\,\omega^M[/texx], es decir, aunque todos los elementos de [texx]A[/texx] satisfagan en [texx]M[/texx] la definición de número natural, el conjunto [texx]A[/texx] no tenga mínimo elemento, porque, como tú muy bien has dicho, lo único que sabes es que los [texx]A\in M[/texx] tales que [texx]A\subset_R \omega^M[/texx], es decir, que cumplen [texx]\forall x\in A\ x\,R\,\omega^M[/texx], están obligados a tener mínimo.

Para el contraejemplo o "modelo no estándar" has tenido que tomar un elemento [texx]A[/texx] que no [texx]in[/texx]-pertenece a [texx]M[/texx].

Primero me pareció que esto no se podía hacer, porque después de todo, ¿para qué estás considerando a los elementos de [texx]M[/texx] como tu modelo, si después vas a tomar lo que se te antoje?

Puedo imaginar un ZFC-subconjunto [texx]A[/texx] de [texx]M[/texx] que no sea ZFC-elemento de [texx]M[/texx] y cuyos ZFC-elementos sean a su vez [texx]R[/texx]-elementos de [texx]\omega^M[/texx].

Además  [texx]A[/texx] no es un R-subconjunto de [texx]\omega^A[/texx], porque eso querría decir que [texx]A\in M[/texx].

¿Qué le hacés ahora al [texx]A[/texx]?

Sigo sin entender.

Tampoco quiero hacerte trabajar de más. Estoy cansado y tendría que revisar todos los pasos que has escrito.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: argentinator en 08/10/2011, 10:43:42 pm
En cuanto a lo que me preguntaste de Ivorra, bueno, yo me basé en él para armar el hilo de Axiomas de la Teoría de Conjuntos, pero eso no quiere decir que me crea la parte metamatemática.

La tomé sólo porque es lo estándar, y quería dejarlo escrito.

El modo en que se relacionan la metamatemática, y luego la formalización subsiguiente no me termina de convencer.



Título: Re: ¿Qué esquema mental de la matemática tenemos cada uno de nosotros?
Publicado por: Carlos Ivorra en 09/10/2011, 08:28:39 am
Para el contraejemplo o "modelo no estándar" has tenido que tomar un elemento [texx]A[/texx] que no [texx]in[/texx]-pertenece a [texx]M[/texx].

Primero me pareció que esto no se podía hacer, porque después de todo, ¿para qué estás considerando a los elementos de [texx]M[/texx] como tu modelo, si después vas a tomar lo que se te antoje?

Lo que se me antoje dentro de lo que permiten las reglas de ZFC. Ésa es la gran ventaja de tener reglas, que, mientras las cumplas, no necesitas dar explicaciones de por qué haces lo que haces. Otra cosa es dar explicaciones para uno entienda lo que se hace, y a eso vamos.

Tenemos que [texx](M, R)[/texx] es un modelo de ZFC. En particular podemos olvidarnos de eso y considerar a [texx]M[/texx] como un conjunto sin más. Como tal conjunto que es, está definido el conjunto [texx]\mathcal PM[/texx] de todos sus subconjuntos. Lo que te decía es que, dado un elemento [texx]A\in \mathcal PM[/texx], que puedo considerar siempre que quiera, sin que importe para nada que [texx]M[/texx], con la relación [texx]R[/texx] sea un modelo de ZFC, puede encontrarse en dos situaciones distintas.

O bien existe un [texx]x\in M[/texx] tal que [texx]A =E(x)= \{y\in M\mid y\,R\, x\}[/texx], o bien no existe tal [texx]x[/texx].

Lo primero significa que [texx]A[/texx] es un conjunto en el modelo [texx]M[/texx], lo segundo que no lo es.

Ahora considera el conjunto [texx]E(\omega^M) =\{y\in M\mid y\,R\, \omega^M\} \subset M[/texx], que es el conjunto de los números naturales de [texx]M[/texx] y toma, más concretamente, un [texx]A\in \mathcal PE(\omega^M)\subset \mathcal PM[/texx].

Tienes así un conjunto formado por números naturales de [texx]M[/texx], pero que igualmente puede estar en los dos casos indicados antes: puede corresponderse con un conjunto en [texx]M[/texx] o ser lo que se llama un "subconjunto externo" del modelo [texx](M,R)[/texx], un subconjunto de [texx]M[/texx] que no es "compatible" con la relación [texx]R[/texx] en el sentido de que sus [texx]\in[/texx]-elementos no son exactamente los [texx]R[/texx]-elementos de ningún conjunto de [texx]M[/texx]

Puedo imaginar un ZFC-subconjunto [texx]A[/texx] de [texx]M[/texx] que no sea ZFC-elemento de [texx]M[/texx] y cuyos ZFC-elementos sean a su vez [texx]R[/texx]-elementos de [texx]\omega^M[/texx].

Además  [texx]A[/texx] no es un R-subconjunto de [texx]\omega^A[/texx], porque eso querría decir que [texx]A\in M[/texx].

Exacto.

¿Qué le hacés ahora al [texx]A[/texx]?

Sigo sin entender.

Lo que trataba de hacer es prevenirte de que el hecho de que "[texx]\omega[/texx] está bien ordenado por [texx]\in[/texx]" es un teorema de ZFC y que, por tanto, tiene que ser verdadero en [texx](M,R)[/texx], no implica que [texx]E(\omega^M)[/texx], el conjunto de los números naturales en [texx]M[/texx], tenga que estar bien ordenado por [texx]R[/texx], pues no podemos asegurar que todos sus subconjuntos no vacíos tienen mínimo respecto a [texx]R[/texx], sino únicamente que sus subconjuntos "internos", es decir, los que están en el primero de los dos casos que te distinguía antes, lo tienen.

En principio, sólo te prevenía de que eso podía ocu