Revista, Técnicas, Cursos, Problemas => Consultas - comentarios - ejercitación de los cursos => Mensaje iniciado por: Jabato en 06/01/2010, 05:24:15 am



Título: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 06/01/2010, 05:24:15 am

Este curso está basado en el texto CALCULO INTEGRAl de P. PUIG ADAM, que podeis encontrar en la editorial Gomez Puig, ediciones.

Los requisitos previos para poder seguir el curso con cierta facilidad es tener sobretodo unos conocimientos aceptables de Matemática elemental a nivel de secundaria y algo más avanzados de funciones reales de variable real y sobre todo del concepto de Integral, ya que pretendo que el curso sea eminentemente práctico, eludiendo la retórica y entrando directamente al grano, es decir, buscando sobretodo aprender a resolver integrales a nivel de experto, enfocando el curso sobre todo al cálculo de primitivas. Claro está que si se considerara oportuno se podrán realizar, a petición de los alumnos, exposiciones de tipo teórico relativas al concepto de integral, pero de forma puntual, el objetivo del curso no es ése sino aprender a integrar, al menos ese es el enfoque que me gustaría darle. Es un curso modesto, sin grande alardes teóricos, pero los conocimientos que en él se adquirirán son muy prácticos, dentro del ámbito de la matemática. Procuraré pues aportar un gran número de ejercicios resueltos y ejemplos que comentaremos en detalle.

*** EL CURSO TENDRA UNA SEGUNDA PARTE EN LA QUE SE TRATEN LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES. AUNQUE ESTE TEMA DA PARA UN CURSO COMPLETO INDEPENDIENTE PERO QUE ENCAJARÍA TAMBIÉN SIN PROBLEMAS COMO PROLONGACIÓN DE ÉSTE.

Realmente el cálculo de funciones primitivas es un problema más próximo, en mi opinión, a la resolución de ecuaciones diferenciales que al cálculo de integrales definidas propiamente dichas, ya que el primero obedece a la resolución de una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

[texx]\boxed{y'=f(x)}[/texx]

cuyo objetivo no es más que dar la solución general a dicha ecuación, cuando el segundo problema, el de cálculo de integrales definidas, trata de evaluar más bien el valor de una medida (áreas, longitudes, valores medios, etc), es por eso que justifico la inclusión de esta segunda parte del curso como prolongación de la primera llevando el problema hasta sus últimas consecuencias, es decir, al caso más general de las ecuaciones diferenciales de primer orden, explícitas e implícitas:

[texx]\boxed{y'=f(x,y)}[/texx]            [texx]\boxed{F(x,y,y')=0}[/texx]

e incluso a las de orden superior:

[texx]\boxed{F(x,y,y',y'', \cdots, y^{(n})=0}[/texx]

lo que nos da una panorámica muy sencilla y completa de cual va a ser el desarrollo del curso, a grandes rasgos.

Este punto de vista, que es muy personal y tan discutible como cualquier otro, es el que justificaría la inclusión de esta segunda parte del curso, aunque verdaderamente dicha visión no coincide con la visión general que suele darse en las aulas debido a la relación existente entre uno y otro problema mediante la regla de Barrow, pero esa relación no debería desvirtuar la diferencia fundamental que existe entre ellos y que es muy clara bajo este prisma, y que demuestra que el objetivo del cálculo de integrales definidas es claramente muy distinto al problema del cálculo de funciones primitivas.

La segunda parte del curso se tratará en igual forma que la primera, es decir, minimizando la parte teórica y tratando de dotar al alumno de una ejercitación a nivel de experto en la resolución de dichas ecuaciones diferenciales, por supuesto con la inclusión de multitud de ejercicios resueltos, ejemplos y otros propuestos para que los propios alumnos traten de resolver. La guía del curso no sería en este caso ningún libro sino unos apuntes en formato PDF que podéis encontrar en Internet en la dirección:

MÉTODOS CLÁSICOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS de J.L. Varona Malumbres (http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/LibroED.pdf)

que son bastante aceptables, pero que sobre todo se adaptan muy bien a las necesidades del curso, aunque adolecen de una ausencia significativa, me refiero a las ecuaciones lineales, que aunque aparecen en el texto, el tratamiento que les dá no es el más adecuado para su resolución por lo que tendremos que suplementar con algún otro texto que de momento no tengo demasiado claro cual pueda ser, aunque seguro que encontramos muchos que traten bien y en profundidad el tema.

Para la cuestión de los problemas resueltos de ecuaciones diferenciales tengo idea de usar el "Makarenko":

PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS de A. Kiselov, M. Krasnov y G. Makarenko

libro muy bueno y muy conocido, sobre todo en el ámbito de las ingenierías, y que podeis bajaros en Internet desde diversos sitios, aunque pagando, pero dado que no es necesario seguir un texto para la aplicación al curso ya que solo interesan los problemas resueltos que contiene y no la teoría, cualquier otro aporte de ejercicios y problemas por parte de los alumnos será bienvenido. Los requisitos previos para poder seguir adecuadamente esta segunda parte del curso no son tampoco demasiado exigentes, aunque no cabe duda que el alumno debe estar más ó menos familiarizado con las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, saber lo que son y para qué sirven, ya que con eso creo que debería ser suficiente para sacar un buen rendimiento al curso.

Estoy convencido de que el contenido de este curso "casi" garantiza a todo aquél que lo realice la habilidad de saber integrar casi todo lo que sea integrable en el ámbito de las funciones reales de variable real, de forma que espero que nos aproveche a todos, a mí también, puesto que también espero mejorar mis conocimientos sobre esta materia.

La fecha de comienzo no está decidida de momento y no habrá inconveniente en que haya inscripciones estando el curso ya avanzado, ya que cada alumno puede seguir la parte que más le interese y obviar las demás.

Para responder a las consultas, dudas, ó lo que fuere, tendréis que inscribiros previamente, es condición del foro, posteando una respuesta en este mismo hilo, diciendo "Me inscribo", o algo por el estilo.

¡Animo! Saludos, Jabato. ;D

Aquí podréis hacer las consultas, observaciones y proponer los problemas que querais y donde realizaremos ejemplos y ejercicios de aprendizaje y práctica del curso. Será el foro donde se debatirán los conceptos, las dudas y todo lo que queráis relacionado con el curso.

Os mantendré informados de las inscripciones que se vayan produciendo aquí:

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Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: aesede en 13/01/2010, 10:40:16 pm
Hola Jabato.

¿Las respuestas a los ejercicios las ponemos acá? ¿O las mandamos por MP?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: argentinator en 13/01/2010, 10:45:56 pm
Contesto yo: Lo ideal sería poner todo acá, para compartirlo con todo el mundo.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: aesede en 13/01/2010, 11:20:10 pm
Ok ;)

No están todas, pero a medida que pueda voy actualizando el post. Acá van:

1) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=ln(x)[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{3} ln^3(x) + c[/texx]

2) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=x+1[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x+1) + c[/texx]

3) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=x^3+1[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{2}{3} \sqrt{x^3+1} + c[/texx]

4) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=x^2-6[/texx]. Solución: [texx]y = - \displaystyle\frac{1}{ \sqrt{x^2-6}} + c[/texx]

5) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=5-x^2[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{4 (5-x^2)^2} + c[/texx]

6) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=3+x^4[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{3+x^4} + c[/texx]

7) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=a+bx^3[/texx]. Solución: [texx]y = - \displaystyle\frac{1}{3b(a+bx^3)} + c[/texx]

8) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=2-x^3[/texx]. Solución: [texx]y = - \displaystyle\frac{1}{3} ln(2-x^3) + c[/texx]

9) Se resuelve como la integral de una suma de funciones. Solución: [texx]y = 2 \sqrt{x} + \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x) + c[/texx]

10) El integrando es un cociente de polinomios, así que si hacemos el cociente tenemos una integral polinómica sencilla de resolver. Solución: [texx]y = 2x - \displaystyle\frac{5}{2} x^2 + c[/texx]

11) Se resuelve partiendo de que [texx]\frac{d}{dx} [arctg(u)] = \displaystyle\frac{u'}{1+u^2}[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{4} arctan(x/2) + c[/texx]

Por ahora me voy a dormir, mañana termino con las que faltan. Un saludo.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Phicar en 14/01/2010, 12:32:57 am
Bro es que creo que el ejercicio de aplicacion 6 esta mal o yo estoy errado, porque las derivo y una es negativa y la otra no ;).....


Lindo curso, by the way :)


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Dogod en 14/01/2010, 01:15:04 am
14. Por sustitución: Finalmente se integra: [texx]-\displaystyle\frac{1}{4}10^u.du[/texx]. Y como la primitiva las integrales de la forma

[texx]a^u = \displaystyle\frac{1}{Ln(a)}a^u + C,[/texx] entonces la respuesta es:

[texx]y = -\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{10^{5 - 4x}}{Ln(10)}[/texx].


La 15 también es por sustitución. Se integra [texx]\displaystyle\int_{}^{}e^{-u}.du[/texx] Y la respuesta es:
[texx]
y = -\displaystyle\frac{1}{2}e^{-x^2 - 1} + C[/texx]


La 16 creo que se podría hacer con el cambio: [texx]Sen(x) = \displaystyle\frac{2z}{1 + z^2}, cos(x) = \displaystyle\frac{1 - z^2}{1 + z^2}[/texx], [texx]dx = \displaystyle\frac{2dz}{1 + z^2}[/texx]. Pero también podemos ver que el numerador es la derivada del denominador, así:

[texx]
u = sen(x) + cos(x), du = cos(x) - sen(x).[/texx] De modo que nos queda:

[texx]-\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{u}du = -Ln(u) + C = -Ln(sen(x) + cos(x) + C[/texx]


Hasta pronto.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 14/01/2010, 01:23:22 am
Ok ;)

No están todas, pero a medida que pueda voy actualizando el post. Acá van:

1) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=ln(x)[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{3} ln^3(x) + c[/texx]

2) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=x+1[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x+1) + c[/texx]

3) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=x^3+1[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{2}{3} \sqrt{x^3+1} + c[/texx]

4) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=x^2-6[/texx]. Solución: [texx]y = - \displaystyle\frac{1}{ \sqrt{x^2-6}} + c[/texx]

5) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=5-x^2[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{4 (5-x^2)^2} + c[/texx]

6) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=3+x^4[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{3+x^4} + c[/texx]

7) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=a+bx^3[/texx]. Solución: [texx]y = - \displaystyle\frac{1}{3b(a+bx^3)} + c[/texx]

8) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio [texx]u=2-x^3[/texx]. Solución: [texx]y = - \displaystyle\frac{1}{3} ln(2-x^3) + c[/texx]

9) Se resuelve como la integral de una suma de funciones. Solución: [texx]y = 2 \sqrt{x} + \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x) + c[/texx]

10) El integrando es un cociente de polinomios, así que si hacemos el cociente tenemos una integral polinómica sencilla de resolver. Solución: [texx]y = 2x - \displaystyle\frac{5}{2} x + c[/texx]

11) Se resuelve partiendo de que [texx]\frac{d}{dx} [arctg(u)] = \displaystyle\frac{u'}{1+u^2}[/texx]. Solución: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{4} arctan(x/2) + c[/texx]

Por ahora me voy a dormir, mañana termino con las que faltan. Un saludo.

Vamos a ver aesede, parece que te defiendes bien con las integrales, pero a la hora de comentar tus respuestas debo hacer algunas matizaciones. Según he dicho en la parte de teoría, el método de substitución se basa en un cambio de la forma:

[texx]x=x(u)[/texx]

Dicho cambio de variable, debe cumplir dos condiciones, debe ser invertible y debe tener validez en todo el dominio de la función subintegral. Bien, entonces las soluciones a los ejercicios que aportas, vistas como aplicación del método de substitución, adolecen de algunos "defectillos":

a) El cambio de variable deberías haberlo expresado en la forma [texx]x=x(u)[/texx] y no al revés [texx]u=u(x)[/texx]. Esto no plantea demasiados problemas en el caso de las intgerales 1, 2 y 3, por ejemplo, pero ...

b) En las integrales 4, 5 y 6 el cambio de variable no es correcto porque no se corresponde con una función invertible.

Sin embargo los resultados a los que llegas si son correctos, pero porque has empleado la composición de funciones como método de integración y no el método de substitución. De hecho las ocho primeras integrales se deberían resolver, en mi opinión, por composición de funciones. No estoy demasiado seguro de que captes la sutil diferencia entre un método y otro.

Tampoco aclaras en la integral 9 como resuelves cada uno de los sumandos. El primero es una integral inmediata, pero ¿como resuelves el segundo sumando?

En la integral 10 podías dar algún detalle más.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 14/01/2010, 01:34:36 am
Phicar, por favor, si deseas intervenir en el curso debes inscribirte primero. Puedes hacerlo en el hilo de organización de este curso, tienes un enlace para hacerlo al comienzo e este hilo, pero mientras no te inscribas te agradeceré que te abstengas.

Gracias, Jabato.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 14/01/2010, 02:03:43 am
Resolución del ejercicio 1 por el método de substitución:

[texx]y'=\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}[/texx]

Realizamos el cambio de variable:

[texx]x=e^t[/texx]      [texx]dx=e^tdt[/texx]              [texx]y=\displaystyle\int_{}^{}t^2dt=\displaystyle\frac{t^3}{3}+Cte[/texx]

y para deshacer el cambio de variable aplicamos la substitución inversa [texx]t=t^{-1}(x)=Ln(x)[/texx], con lo que llegamos a la solución final:

[texx]\boxed{y = \displaystyle\frac{1}{3} ln^3(x) + Cte}[/texx]

Resolución del ejercicio 1 por el método de composición:

[texx]y'=\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}[/texx]

Teniendo en cuenta que:

[texx]\displaystyle\frac{dx}{x}=d(Ln(x))[/texx]

resulta que:

[texx]y=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}Ln^2(x)d(Ln(x))=\displaystyle\int_{}^{}u^2du=\displaystyle\frac{1}{3}u^3+Cte[/texx]

que nos permite ya resolver directamente la integral por composición, obteniéndose, claro está, el mismo resultado que antes.

Quizás hay demasiadas "sutilezas" en todo esto, estoy completamente de acuerdo en el caso que nos ocupa, pero hay otras muchas integrales, y las veremos, donde no tener en cuenta este tipo de sutilezas puede llevarnos a errores garrafales.

Resolución del ejercicio 1 por partes (como producto) : También es posible usar integración por partes, ya que considerando que:

[texx]u=Ln^2(x)[/texx]       [texx]v=Ln(x)[/texx]

resulta:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx=Ln^3(x)-2\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx\qquad\longrightarrow{}\qquad 3\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx=Ln^3(x)[/texx]

que nos conduce directamente a la solución.

Mañana os pongo algunas otras soluciones del resto de ejercicios, y comentamos la jugada.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 14/01/2010, 05:22:08 am
Otra cuestión es que dado que el cursillo trata de métodos y no de soluciones, y dado que en esta disciplina tampoco es demasiado extraño llegar a soluciones correctas usando métodos incorrectos, es por lo que os pediría que cada vez que mostreis un ejercicio resuelto aportéis el detalle del método empleado para resolverlo, ya que eso es lo que más interesa al caso. De hecho ya se ve que aesede ha llegado a soluciones correctas usando métodos, cuando menos cuestionables, y es un fenómeno que se repetirá a menudo a lo largo del curso. Pero ¡ojo!, la única forma de garantizar que las soluciones son correctas es ... aplicar correctamente los métodos.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: aesede en 14/01/2010, 09:49:22 am
Hola Jabato.

a) El cambio de variable deberías haberlo expresado en la forma [texx]x=x(u)[/texx] y no al revés [texx]u=u(x)[/texx]. Esto no plantea demasiados problemas en el caso de las intgerales 1, 2 y 3, por ejemplo, pero ...

Entiendo. Evidentemente, en la práctica no "afectó" la forma de expresar el cambio, pero seguramente debe tener un fundamento teórico que no logro ver. ¿Por qué es así?

b) En las integrales 4, 5 y 6 el cambio de variable no es correcto porque no se corresponde con una función invertible.

Estoy de acuerdo, sino no podría "ir y venir" con los cambios. ¿Ésto es aplicable también a los cambios que se hacen para resolver por composición? ¿O sólo para sustitución?

Sin embargo los resultados a los que llegas si son correctos, pero porque has empleado la composición de funciones como método de integración y no el método de substitución. De hecho las ocho primeras integrales se deberían resolver, en mi opinión, por composición de funciones. No estoy demasiado seguro de que captes la sutil diferencia entre un método y otro.

Sinceramente, lo veía como dos formas distintas de expresar lo mismo. Quizás me ayudaría algún ejercicio resuelto de esos que, si aplicás incorrectamente el método, te llevan a "errores garrafales". Creo que ayudaría a entender mejor la diferencia, así que si no es mucho pedir... :)

Tampoco aclaras en la integral 9 como resuelves cada uno de los sumandos. El primero es una integral inmediata, pero ¿como resuelves el segundo sumando?

El segundo sumando es similar al ejercicio 1), con la salvedad que: [texx]y'=\displaystyle\frac{ln(x)}{x}[/texx]. De la forma incorrecta en que resolví los ejercicios en el post anterior, diría que se hace el cambio: [texx]u = ln(x)[/texx], y la integral se transforma en:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} u' u dx = \displaystyle\int_{}^{} u du = \displaystyle\frac{1}{2} u^2 + c = \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x) + c[/texx]

En la integral 10 podías dar algún detalle más.

Si hacemos el cociente tenemos que: [texx]\displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} = 2-5x[/texx], por lo tanto podemos simplificar el integrando por una función que es equivalente en todo el dominio de la primera. Ésto nos simplifica mucho los cálculos, ya que la integral se convierte en:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} dx = \displaystyle\int_{}^{} (2-5x) dx = 2x - \displaystyle\frac{5}{2} x^2 + c[/texx]

Quizás este ejercicio estaba pensado para algún otro método, pero me pareció menos rebuscado transformar el integrando para que tenga primitiva inmediata. (tengo un error cuando copié el resultado de la 10, me faltó el cuadrado de la x en el segundo término)

Saludos profe ;)


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 14/01/2010, 12:41:03 pm
No tengo ahora demasiado tiempo para muchos comentarios. Debo irme, pero sí lo tengo para hacer solo uno breve. ¿Como es posible que el cociente de dos polinomios de segundo grado te de como resultado un polinomio de primero? ¡¿?!

Esta tarde procuraré contestar a todas tus preguntas.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 14/01/2010, 03:02:43 pm
Seguiré contestando a vuestras preguntas por orden de numeración de los ejercicios, así vamos recorriendo bien el tema. Sigo pues  con los ejercicios 1 al 8 y con las dudas de aesede.

Creo que es un error pensar que en el método de composición de funciones se utiliza un cambio de variable. No es correcto. En dicho método lo que se utiliza es la definición del diferencial de una función para tratar de reescribir la función subintegral en la forma:

[texx]f(x)f'(x)dx= f(x)d(u)[/texx]

que entonces puede aplicarse cuando es posible hacer que:

[texx]f(x)=v(u)[/texx]

Efectivamente pueden interpretarse tales asociaciones como "cambios de variable", pero no es tal cosa ó al menos no lo veo yo así.

La interpretación que debe hacerse según lo veo yo, (y según se redactó el dictado del curso) es la siguiente:

a) Cuando hacemos:

[texx]x=x(t)[/texx]

en el método de susbstitución lo que hacemos es substituir la variable [texx]x[/texx] por la variable [texx]t[/texx], cambio que podemos hacer siempre. Llegaremos a un resultado integrable ó no, pero el cambio lo podemos hacer siempre.

b) En el método de composición lo que hacemos es aplicar la definición de diferencial de una función:

[texx]f'(x)dx=du[/texx]

y no un cambio de variable propiamente dicho.

Aunque es cierto que los segundos pueden interpretarse a veces también como cambios de variable, pero no siempre. Ya te expuse algún caso.

Desde luego actuando con estos criterios a mi me va bien, y esa es la filosofía del curso y el planteamiento correcto del asunto. Es digamos el método que yo os propongo utilizar. Si quieres considerar que los segundos son también cambios de variable, pues tu mismo, pero ... entonces no llegaremos a entendernos, al menos no en este curso.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: aesede en 14/01/2010, 03:12:25 pm
No tengo ahora demasiado tiempo para muchos comentarios. Debo irme, pero sí lo tengo para hacer solo uno breve. ¿Como es posible que el cociente de dos polinomios de segundo grado te de como resultado un polinomio de primero? ¡¿?!

Esta tarde procuraré contestar a todas tus preguntas.

Saludos, Jabato. ;D

Hice cualquier cosa. No sé en qué estaba pensando. Tengo la cabeza en otro lado.

Eso me pasa por apurado, y por no pensar. Pido disculpas.

Vamos de nuevo:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} dx = \displaystyle\int_{}^{} dx + \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{2-5x}{x^2+4} dx = x + \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2}{x^2+4} dx - 5 \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x}{x^2+4} dx + c[/texx]

La integral del segundo sumando la resolvemos haciendo el cambio: [texx]u = \displaystyle\frac{1}{2}x[/texx], con lo que [texx]du = \displaystyle\frac{1}{2} dx[/texx]:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2dx}{x^2+4} = \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2 dx}{4 (\displaystyle\frac{1}{4} x^2+1)}= \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{du}{1+u^2} = arctan(u) + c_1 = arctan(\displaystyle\frac{x}{2}) + c_1[/texx]

La integral del tercer término la resolvemos haciendo el cambio [texx]u = x^2+4[/texx], con lo que [texx]du = 2x dx[/texx]:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{-5 x dx}{x^2+4} = - \displaystyle\frac{5}{2} \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2x dx}{x^2+4} = - \displaystyle\frac{5}{2} \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{u'}{u} dx = - \displaystyle\frac{5}{2} \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{du}{u} = - \displaystyle\frac{5}{2} ln(x^2+4) + c_2[/texx]

Ahora sí, el resultado final es:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} dx = x + arctan(\displaystyle\frac{1}{2} x) - \displaystyle\frac{5}{2} ln(x^2+4) + c[/texx]

Otra vez coloqué los cambios de la forma [texx]u=u(x)[/texx], supongo que cuando se está acostumbrado a algo es difícil dejarlo de lado. Vas a tener que tenerme paciencia ;) jaja

Saludos.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 14/01/2010, 03:24:38 pm
Un profesor de guitarra que tuve, hace ya muchos años, me decía que es mucho peor enseñar a un aficionado que sabe algo que a uno que no tiene ni idea, porque al primero hay que "desenseñarle" todo lo que hace mal. Y tenía mucha razón.

No estoy tratando de insinuar que seas un aficionado ni que hagas las cosas mál, aesede, entiéndeme, solo que en un curso que se llama "métodos de integración" convendría tener algún método para poder hablar de él. ¿No te parece?

El problema es que cuando entramos en el campo de las integrales indefinidas, toda la exactitud que tenían las matemáticas que habíamos estudiado desaparece como por arte de magia, empezamos a usar cosas que no son funciones como si lo fueran, nos olvidamos de los dominios y los codominios y de las reglas que deben satisfacer las funciones invertibles, continuas, derivables, etc. y entonces parece que todo vale. Y lo malo es que el sistema funciona. Muchas veces llegamos a resultados correctos usando métodos incorrectos, y claro, después pasa lo que pasa. Mi consejo es que no nos salgamos del guión, y creo que entonces todo andará bien. Apliquemos un método. Éste que os propongo yo, ó cualquier otro, me da igual, pero uno que nos garantice que vamos a llegar a buen puerto. Esa es la mejor manera de aprender esta técnica. Después, una vez dominemos la técnica, entonces es cuando empezamos a crear arte.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: aesede en 14/01/2010, 03:27:28 pm
Desde luego actuando con estos criterios a mi me va bien, y esa es la filosofía del curso y el planteamiento correcto del asunto. Es digamos el método que yo os propongo utilizar. Si quieres considerar que los segundos son también cambios de variable, pues tu mismo, pero ... entonces no llegaremos a entendernos, al menos no en este curso.

No lo tomes a mal. No estoy cuestionando lo que decís, ni mucho menos.

Es simplemente que, cuando lo estudié, lo estudié de otra forma. Somos animales de costumbres, y "desacostumbrarnos" a algo cuesta. Voy a pensar en el asunto, y tratar de entenderlo.

Mi consejo es que no nos salgamos del guión, y creo que entonces todo andará bien. Apliquemos un método, éste que os propongo yo, ó cualquier otro, pero uno que nos garantice que vamos a llegar a buen puerto.

Estoy de acuerdo, justamente para eso hago el curso.

Saludos ;)


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 14/01/2010, 04:04:49 pm
El 9 y 10 parece que ya quedaron claros, sobretodo si conseguimos que aesede realice los cambios de variable al derecho y no al revés. Je, je.

El 11, convendría resolverlo aplicando uno de los métodos que establece el curso. Esa fué una exigencia que os puse justo antes de plantear los ejercicios de práctica:

"... y para los que la única condición que se os pone es la de resolverlos usando alguno de los métodos explicados en el curso ..."

¿Que método es el que aplicas aesede? Sinceramente no lo reconozco. ¿Podías hacer la exposición detallada y razonar como llegas a eso?

Si me permitis una sugerencia yo haría esto:

Sabemos que las soluciones de dicha ecuación son de la forma:

[texx]y=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{ArcTan(x/2)}{4+x^2}\ dx[/texx]

y puesto que:

[texx]d(ArcTan(x/2))=\displaystyle\frac{2dx}{4+x^2}[/texx]

podemos reescribir la integral como:

[texx]y=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{ArcTan(x/2)}{4+x^2}\ dx=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}ArcTan(x/2)d(ArcTan(x/2)=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}udu[/texx]


que nos permite aplicar el método de integración por composición de funciones y concluir que:


[texx]y=\displaystyle\frac{1}{4}ArcTan(x/2)+Cte[/texx]


Tu "diferencia de criterio" con el que he planteado aquí, aesede, parece estar en la consideración de que este método aplica un cambio de variable de la forma:

[texx]u=ArcTan(x/2)[/texx]

y no cabe duda que es un enfoque posible, pero ése no es el enfoque que pretendo dar en este curso.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Dogod en 14/01/2010, 04:20:01 pm
EJERCICIO 9: [texx]y'=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x}+Ln(x)}{x}[/texx]

Podemos descomponer la integral en dos sumandos, así:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}dx + \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln(x)}{x}dx[/texx].

En donde, del lado izquierdo, hemos racionalizado la expresión [texx]\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x}}{x}[/texx]. Esto lo hemos hecho de la siguiente forma: Multiplicamos numerador y denominador por [texx]\sqrt[ ]{x}
[/texx], y nos queda:

[texx]\displaystyle\frac{x}{\sqrt[ ]{x}}x = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}[/texx]


Bien, ahora que ya tenemos nuestras dos integrales procedemos a ver que en la segunda [texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln(x)}{x}dx
[/texx] podemos hacer una sustitución de la forma [texx]u = Ln(x)[/texx], entonces [texx]du = \displaystyle\frac{1}{x}[/texx]. Y nos queda:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}u.du + \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}dx[/texx], hemos hecho un cambio de la forma [texx]x=x(u)[/texx], ya que podemos cambiar la integral de la siguiente forma:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx=\displaystyle\int_{}^{}f(u)x'(u)du[/texx], ahora:


[texx]\displaystyle\int_{}^{}u.du + \displaystyle\int_{}^{}x^{-1/2}dx =[/texx]

[texx]\displaystyle\frac{u^2}{2} + \displaystyle\frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \displaystyle\frac{u^2}{2} + 2x^{1/2} + C =[/texx]. (Deshaciendo el cambio de variable):


[texx]2\sqrt[ ]{x} + \displaystyle\frac{(Ln(x))^2}{2} + C[/texx]

Estaré mal en el concepto?

Un saludo


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 14/01/2010, 05:25:51 pm
Creo que das demasiadas vueltas Sabio, y además cometes algún error que ya le he aclarado a aesede, veamos si puedo simplificar un poco tu razonamiento y corregirlo:

Una vez descompuesta la integral en suman de dos integrales, resulta que el primer sumando se corresponde con una integral inmediata:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x}}{x}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}x^{-1/2}\ dx[/texx]

Y el segundo podemos resolverlo mediante substitución con el cambio   [texx]x =e^t[/texx]   [texx]dx=e^tdt[/texx]:

NOTA: Recuerda que el método de substitución siempre nos exige un cambio de variable de la forma [texx]x=x(t)[/texx] que sea invertible y válido en todo el dominio de la función (no solo de este sumando sino de toda la función subintegral, piensa que lo que estamos haciendo es resolver una EDO, muy sencillita pero ... es toda una señora ecuación diferencial ordinaria de primer orden).

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln(x)}{x}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}tdt[/texx]

El resto ya es fácil. Solo hay que deshacer el cambio de variable y tenemos la primitiva del segundo sumando.

Nota, Sabio, que el cambio de variable que hemos utilizado esta vez es invertible y tiene validez en todo el dominio de la función subintegral que resulta ser [texx]x>0[/texx].

Esa forma de resolverlo es perfectamente conforme con el planteamiento dado en la teoría para el método de substitución.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 14/01/2010, 06:15:27 pm
Os recuerdo que hay todavía 9 ejercicios de aplicación que no habéis intentado. La idea era que esos ejercicios os sirvieran para entender los conceptos básicos.

Saludos, Jabato ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Dogod en 14/01/2010, 07:29:48 pm
Creo que das demasiadas vueltas Sabio, y además cometes algún error que ya le he aclarado a aesede, veamos si puedo simplificar un poco tu razonamiento y corregirlo:

Una vez descompuesta la integral en suman de dos integrales, resulta que el primer sumando se corresponde con una integral inmediata:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x}}{x}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}x^{-1/2}\ dx[/texx]

Y el segundo podemos resolverlo mediante substitución con el cambio   [texx]x =e^t[/texx]   [texx]dx=e^tdt[/texx]:

NOTA: Recuerda que el método de substitución siempre nos exige un cambio de variable de la forma [texx]x=x(t)[/texx] que sea invertible y válido en todo el dominio de la función (no solo de este sumando sino de toda la función subintegral, piensa que lo que estamos haciendo es resolver una EDO, muy sencillita pero ... es toda una señora ecuación diferencial ordinaria de primer orden).

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln(x)}{x}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}tdt[/texx]

El resto ya es fácil. Solo hay que deshacer el cambio de variable y tenemos la primitiva del segundo sumando.

Nota, Sabio, que el cambio de variable que hemos utilizado esta vez es invertible y tiene validez en todo el dominio de la función subintegral que resulta ser [texx]x>0[/texx].

Esa forma de resolverlo es perfectamente conforme con el planteamiento dado en la teoría para el método de substitución.

Saludos, Jabato. ;D

Entendido!! Ya le voy cogiendo el hilo a lo que intentas decirnos, no tenía idea de eso, es mejor el cambio con la función inversa [texx] x = e^\theta[/texx], y, además, sale sin dar tantas vueltas, es cierto,

Estupendo va el curso,

Seguimos hablando
       ;)


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: aesede en 15/01/2010, 01:47:00 am
El 9 y 10 parece que ya quedaron claros, sobretodo si conseguimos que aesede realice los cambios de variable al derecho y no al revés. Je, je.

Vamos a intentar ;) jajaja

9)

El cambio vendría dado por: [texx]x = e^t[/texx] con lo que [texx]dx = e^t dt[/texx]

Así, la integral quedaría: [texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{ln(x)}{x} dx = \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{ln(e^t)}{e^t} e^t dt = \displaystyle\int_{}^{} t dt = \displaystyle\frac{t^2}{2} + c[/texx]

Si [texx]x = e^t[/texx] entonces su inversa es: [texx]t = ln(x)[/texx].

Reemplazando: [texx]y = \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x) + c[/texx]

10)

a) para la integral del segundo término hacemos el cambio: [texx]x = 2t[/texx], con lo que [texx]dx = 2dt[/texx]

Entonces: [texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{4 dt}{4 (t^2+1)} = \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{dt}{t^2+1} = arctan(t) + c[/texx]

Como [texx]x = x(t)[/texx] es biyectiva, admite inversa: [texx]t = \displaystyle\frac{x}{2}[/texx].

Volvemos a variable original: [texx]y = arctan(\displaystyle\frac{x}{2}) + c[/texx]

b) la integral del tercer término me desconcertó un poco, porque no sé cómo hacer el cambio para que la [texx]x = x(t)[/texx] "me sirva".

Cuando pueda sigo con los demás. Un saludo :)


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 15/01/2010, 04:11:48 am
Esto ya parece otra cosa, aesede. Vamos bien.

Date cuenta solo de un detalle aesede, en el primer ejercicio de aplicación utilicé este mismo cambio de variable, y tuve mis problemas, debido precisamente a que el cambio no era válido para valores negativos de [texx]x[/texx], pero en este caso no hay problema porque la función no existe para esos valores. La primitiva que estamos calculando es por lo tanto válida para todo el dominio de la función, igual que en el ejercicio de aplicación citado.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: aesede en 17/01/2010, 10:37:07 pm
EJERCICIOS DE APLICACIÓN

5) Se pide resolver la integral por integración por suma, por lo que entiendo que la idea es transformar al integrando en una suma de funciones racionales.

5.1) [texx]f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^2}[/texx]

5.1.1) Si se nos dá la libertad de hacerlo, podemos considerar que [texx]f[/texx] tiene primitiva inmediata, a saber: [texx]F(x) = arctan(x) + c[/texx].

5.1.2) Si podemos trabajar con números complejos, podemos descomponer el integrando en una suma de fracciones (método de coeficientes indeterminados). Este método no se expone explícitamente en el curso, pero supongo que es lo que tratará el capítulo II.

El resultado que obtengo con éste método es [texx]y = \displaystyle\frac{1}{2i} ln \left |{\displaystyle\frac{ix+1}{ix-1}}\right | + C[/texx]. ¿Es correcto?

5.2)[texx]f(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x^2}[/texx]

La expresión [texx]1-x^2[/texx] puede escribirse: [texx](1-x)(1+x)[/texx]. Ahora bien, una vez factorizado el denominador podemos escribir el integrando de esta forma:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} (\displaystyle\frac{A}{x-1} + \displaystyle\frac{B}{x+1}) dx[/texx]

y si aplicamos el método pedido (descomponemos el integrando como suma de dos funciones) tenemos:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{A}{x-1} dx + \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{B}{x+1} dx[/texx]

Nos queda encontrar los valores de A y B. Claramente se ve que el integrando tiene que cumplir: [texx]A(x+1)+B(x-1)=1[/texx] para todo valor de x. Si hacemos [texx]x=1[/texx] y [texx]x=-1[/texx] llegamos a que [texx]A=-1/2[/texx] y [texx]B=-1/2[/texx].

PREGUNTA: ¿no se debería exigir que los valores de x que elija pertenezcan al dominio de la función?

Una vez que conocemos estos valores y que descompusimos al integrando en otras dos funciones racionales "más sencillas" (que podemos resolverlas por sustitución, mediante los cambios: [texx]x=t+1[/texx] y [texx]x=t-1[/texx] respectivamente) llegamos al resultado:

[texx]y = - \displaystyle\frac{1}{2} ln|x-1| + \displaystyle\frac{1}{2} ln|x+1| + c[/texx]

Espero no haberme adelantado con temas del segundo capítulo, y pido disculpas de antemano si lo hice, pero es la única forma que se me ocurrió para resolver aplicando el método que se pedía en el enunciado :)

6) Para demostrar que tanto [texx]y_1[/texx] como [texx]y_2[/texx] son primitivas de la misma función, podemos derivar y ver si los resultados que obtenemos son los mismos.

6.1) [texx]y_1 = arctan(x) \Longrightarrow{} y_1' = \boxed{\displaystyle\frac{1}{1+x^2}}[/texx]

6.2) [texx]u = \displaystyle\frac{1}{x} \Longrightarrow{} y_2 = arctan(\displaystyle\frac{1}{x}) = arctan(u) \Longrightarrow{} y_2' = \displaystyle\frac{u}{1+u^2} = \boxed{- \displaystyle\frac{1}{1+x^2}}[/texx]

Las dos expresiones difieren en signo. No sé qué me estoy pasando por alto.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: aesede en 17/01/2010, 10:47:46 pm
Algunas preguntitas puntuales:

I. En la tabla de primitivas inmediatas, primer caso. ¿No se debería restringir a [texx]p[/texx] a tomar valores enteros?

II. Al método de reducción (sección 1.3.3) lo asocio con integrales de la forma [texx]y'=P(x) e^x[/texx], como por ejemplo la propuesta en el ejercicio de aplicación 2: [texx]y'=x^2 e^x[/texx], en la que tengo que resolver tantas integrales por partes como indique el grado de [texx]P(x)[/texx]. La pregunta es: ¿este método tiene otras aplicaciones concretas, más allá de ésta?

III. ¿A qué llamamos "función subintegral"?

IV. ¿El método de integración por Racionalización (sección 1.3.2) lo vamos a analizar en detalle en el próximo capítulo? Porque sino quizás algún ejemplo ayude a comprenderlo un poco más. Te agradecería también ejemplos del método por derivación respecto de un parámetro. Hay cosas que no veo del todo claras, por ejemplo, ¿por qué se valoriza [texx]p=1[/texx]? Quizás sería interesante que expongas la resolución de los ejercicios de aplicación de este método.

Gracias de antemano Jabato, saludos ;)


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 18/01/2010, 02:25:18 am
Efectivamente, la descomposición de una función racional en suma de fracciones simples es el método que explicaré cuando lleguemos a la integración de funciones racionales. No procede ahora la explicación de forma general.

Es correcto considerar esa integral como inmediata, aunque no era el método que se pedía.

Si me explicas como has integrado esta expresión:

[texx]\displaystyle\frac{1}{2i}\displaystyle\int_{}^{}\left(\displaystyle\frac{1}{x-i}-\displaystyle\frac{1}{x+i}\right)\ dx[/texx]

te diré si es correcto tu resultado.

Prueba a hacer el cambio de variable [texx]x=Tan(t)[/texx]:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{1+x^2}=\displaystyle\int_{}^{}dt=ArcTan(x)+Cte[/texx]

En mi modesta opinión este ejercicio no puede resolverse por descomposición en suma de fracciones en la forma que lo haces, pero cuando contestes a mi primera pregunta te diré porqué.

¿Cuales son las primitivas de estas funciones?

[texx]\displaystyle\frac{1}{x-i}[/texx]                    [texx] \displaystyle\frac{1}{x+i}[/texx]

Pues que yo sepa no pueden calcularse en [texx]R[/texx] ó habría que usar la definición compleja de logaritmo lo que complica mucho el asunto. En todo caso podríamos calcular cada una de las:

[texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)\ dx[/texx]                     [texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)\ dx[/texx]

y proceder a restar los resultados.

La descomposición correcta en suma de dos integrales es ésta. Si:

[texx]\displaystyle\frac{1}{x^2+1}=\displaystyle\frac{1}{2i}\left(\displaystyle\frac{1}{x-i}-\displaystyle\frac{1}{x+i}\right)[/texx]

entonces resulta que:

[texx]\displaystyle\frac{1}{x^2+1}=\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}-\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)-\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)[/texx]

y por lo tanto:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\ dx=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)\ dx-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)\ dx[/texx]

¿Sabes seguir ahora?, ¿que ocurre si pasamos esos complejos a forma polar?


[texx]\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{ix+1}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Cos(ArcTan(x))}{\sqrt[ ]{1+x^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}Cos^2(ArcTan(x))[/texx]                 [texx]\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{ix-1}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Cos(ArcTan(x))}{\sqrt[ ]{1+x^2}}=-\displaystyle\frac{1}{2}Cos^2(ArcTan(x))[/texx]

y por lo tanto:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{x^2+1}=\displaystyle\int_{}^{}Cos^2(ArcTan(x))\ dx=ArcTan(x)+Cte[/texx]


El cálculo de los coeficientes [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] se realiza por el método de los coeficientes indeterminados y no asignando valores a la variable. No es correcto eso que haces por varias razones. La ecuación que debes plantear es ésta:

[texx]\displaystyle\frac{A}{1-x}+\displaystyle\frac{B}{1+x}\equiv{}\displaystyle\frac{1}{1-x^2}[/texx]

y la exigencia debe ser que dicha igualdad sea una identidad, es decir, que se satisfaga para todos los puntos del dominio. Dicha condición nos debrá conducir a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. En general puede demostrarse (ya lo veremos) que el sistema es siempre compatible y determinado, lo que nos dice que una función racional siempre puede descomponerse en suma de fracciones simples y además que dicha descomposición es única:

[texx]A(1+x)+B(1-x)\equiv{}1\qquad\longrightarrow{}\qquad A=B=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]

No es lo mismo exigir la igualdad en dos puntos que exigir la identidad de ambas expresiones.

El ejercicio de aplicación número 6 es erróneo, no hagas caso al enunciado. Se me coló a mi el error.

A tus tres últimas preguntas:

I) No. Prueba a calcular el límite:   [texx]\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{(x+h)^p-x^p}{h}[/texx]

II) Si, que yo conozca existen varias, por ejemplo existe un método alternativo (basado en una fórmula de reducción) para resolver integrales racionales con raíces imaginarias múltiples. Y también para resolver integrales de la forma:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}Sen^m(x)Cos^n(x)dx[/texx]

Y me imagino que habrá mas casos. Son método bastante complejos y no se suelen aplicar pero ahí estan por si alguien los necesita.

III) La función subintegral es la que incluimos bajo el signo integral, es decir, la función subintegral de:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx[/texx]

es [texx]f(x)[/texx]

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: aesede en 18/01/2010, 05:41:40 pm
Hola Jabato ;)

Si me explicas como has integrado esta expresión:

[texx]\displaystyle\frac{1}{2i}\displaystyle\int_{}^{}\left(\displaystyle\frac{1}{x-i}-\displaystyle\frac{1}{x+i}\right)\ dx[/texx]

te diré si es correcto tu resultado.

Prueba a hacer el cambio de variable [texx]x=Tan(t)[/texx]:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{1+x^2}=\displaystyle\int_{}^{}dt=ArcTan(x)+Cte[/texx]

En mi modesta opinión este ejercicio no puede resolverse por descomposición en suma de fracciones en la forma que lo haces, pero cuando contestes a mi primera pregunta te diré porqué.

¿Cuales son las primitivas de estas funciones?

[texx]\displaystyle\frac{1}{x-i}[/texx]                    [texx] \displaystyle\frac{1}{x+i}[/texx]

Pues que yo sepa no pueden calcularse en [texx]R[/texx] ó habría que usar la definición compleja de logaritmo lo que complica mucho el asunto. En todo caso podríamos calcular cada una de las:

[texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)\ dx[/texx]                     [texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)\ dx[/texx]

y proceder a restar los resultados.

La descomposición correcta en suma de dos integrales es ésta. Si:

[texx]\displaystyle\frac{1}{x^2+1}=\displaystyle\frac{1}{2i}\left(\displaystyle\frac{1}{x-i}-\displaystyle\frac{1}{x+i}\right)[/texx]

entonces resulta que:

[texx]\displaystyle\frac{1}{x^2+1}=\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}-\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)-\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)[/texx]

y por lo tanto:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\ dx=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi+1}\right)\ dx-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{xi-1}\right)\ dx[/texx]

¿Sabes seguir ahora?, ¿que ocurre si pasamos esos complejos a forma polar?


[texx]\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{ix+1}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Cos(ArcTan(x))}{\sqrt[ ]{1+x^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}Cos^2(ArcTan(x))[/texx]                 [texx]\displaystyle\frac{1}{2}R_e\left(\displaystyle\frac{1}{ix-1}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{Cos(ArcTan(x))}{\sqrt[ ]{1+x^2}}=-\displaystyle\frac{1}{2}Cos^2(ArcTan(x))[/texx]

y por lo tanto:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{x^2+1}=\displaystyle\int_{}^{}Cos^2(ArcTan(x))\ dx=ArcTan(x)+Cte[/texx]


El cálculo de los coeficientes [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] se realiza por el método de los coeficientes indeterminados y no asignando valores a la variable. No es correcto eso que haces por varias razones. La ecuación que debes plantear es ésta:

[texx]\displaystyle\frac{A}{1-x}+\displaystyle\frac{B}{1+x}\equiv{}\displaystyle\frac{1}{1-x^2}[/texx]

y la exigencia debe ser que dicha igualdad sea una identidad, es decir, que se satisfaga para todos los puntos del dominio. Dicha condición nos debrá conducir a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. En general puede demostrarse (ya lo veremos) que el sistema es siempre compatible y determinado, lo que nos dice que una función racional siempre puede descomponerse en suma de fracciones simples y además que dicha descomposición es única:

[texx]A(1+x)+B(1-x)\equiv{}1\qquad\longrightarrow{}\qquad A=B=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]

No es lo mismo exigir la igualdad en dos puntos que exigir la identidad de ambas expresiones.

Evidentemente que mi error está en considerar que: [texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{x-i} = ln \left |{x-i}\right | + c[/texx]. De todos modos espero la explicación :)

Y, con respecto al método de coeficientes indeterminados, creo que sería mejor que esperemos hasta el capítulo II y lo analicemos bien.

III) La función subintegral es la que incluimos bajo el signo integral, es decir, la función subintegral de:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx[/texx]

es [texx]f(x)[/texx]

Ah! Entiendo. Función subintegral = integrando.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: aesede en 18/01/2010, 05:58:06 pm
Te voy actualizando mi estado en el curso :D

  • Integración inmediata... OK
  • Integración por suma de funciones... OK
  • Integración por partes... OK
  • Integración por composición... OK
  • Integración por sustitución... OK
  • Integración por reducción... OK
  • Integración por racionalización... NO LO TENGO DEL TODO CLARO
  • Integración por derivación respecto a un parámetro... NO LO TENGO DEL TODO CLARO

Voy a ver los resultados de los ejercicios de aplicación que publicaste de estos dos últimos métodos a ver si los entiendo.

Gracias! Un saludo.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 18/01/2010, 06:18:26 pm
Pues sobre la forma en que resolví la integración de la ecuación:

[texx]y'=\displaystyle\frac{1}{1+x^2}[/texx]

no se que más puedo añadir a lo que ya expuse aquí y en el ejercicio de aplicación correspondiente. Si me dices cuales son las dudas que aún tienes intentaré aclarártelas. Lo que hice es correcto pero lo que no puede hacerse, al menos sin algunas explicaciones previas, es lo que hiciste tú para resolverlo. Eso creo que ya te ha quedado claro, donde está el error y el porqué es un error.

Sobre la descomposición de una función racional en suma de fracciones simples lo veremos en detalle en el próximo capítulo. El método de los coeficientes indeterminados es otra cosa aunque ambas guardan relación pero no debes confundir una cosa con la otra.

Sobre los métodos de racionalización y derivación respecto a un parámetro veremos alguna cosa más, en los capítulos sucesivos, sobre todo del primero que se usa amplimente. Cuando exponga la solución del ejercicio de aplicación que habla del método de racionalización creo que se te aclararán muchas dudas. Ten paciencia.

El segundo es un método que tiene una aplicación bastante limitada y aunque es útil en algunos casos no suele usarse demasiado. Revisa la teoría y si algo no entiendes pues ... lo vemos.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Illuminatus en 20/01/2010, 10:10:43 am
Mi problema es que desconozco totalmente las derivadas y las integrales. ¿Que es ¿[texx]dx[/texx]?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 20/01/2010, 12:21:17 pm
Pues no quisiera desanimarte demasiado, Illuminatus, pero ¿que nivel tienes de matemáticas? Si dices que no sabes lo que es una derivada pues no entiendo para qué te has apuntado. Este curso no puede enseñarte esas cosas, y si me entretengo en explicartelas pues solo conseguiré destrozar el curso aburriendo a los demás. Si es cierto que ni tan siquiera sabes lo quees una derivada pues será mejor que renuncies al curso, y lo siento de veras, pero no vas a enterarte de nada, y mucho menos cuando empecemos a hablar de ecuaciones diferenciales.

Lástima. Jabato.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Illuminatus en 20/01/2010, 12:26:28 pm
Pues sí, tengo un nivel de 1ro de Batxiller, tengo 15 años... Así que no puedo la verdad, me dijiste que si que podia, pues me inscribí, pero creo que es mejor todo a su tiempo.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: aesede en 04/03/2010, 04:00:37 pm
Jabato, una consulta con respecto a las integrales binomias.

Planteas que sólo pueden racionalizarse si es entero alguno de los tres números: [texx]p[/texx], [texx]q[/texx], [texx]p+q[/texx], y analizas cada caso.

Si consideramos que [texx]m,n \in \mathbb{Z}[/texx], tenemos:
- para el primer caso: [texx]p[/texx] es entero y [texx]q[/texx] es racional.
- para el segundo caso: [texx]p+q[/texx] es entero, y [texx]q[/texx] es racional.

¿Qué pasaría si [texx]m[/texx] es divisible por [texx]n[/texx]? Es decir, ¿hay un tercer caso en el que [texx]q[/texx] sea entero?

Gracias, saludos :)


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 04/03/2010, 05:55:57 pm
Piensa que, dada la forma simétrica de la integral binomia que he utilizado, el hecho de que p ó q sean enteros es indiferente, hay dos casos solo:

1º Si alguno de los exponentes, uno cualquiera de ellos, es entero y el otro racional.

2º Si la suma de los exponentes es entera y ambos son por supuesto racionales.

No existen más casos siempre que consideremos que los exponentes son racionales claro, que es condición necesaria para que la integral sea binomia.

¿Está claro?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: aesede en 04/03/2010, 06:00:35 pm
Perfecto. Gracias Jabato ;)


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Amerim en 13/06/2010, 01:17:02 am
Muy bueno el curso, Saludos.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: argentinator en 13/06/2010, 10:44:29 pm
Estimado Amerim:

Para poder participar en el curso debes inscribirte en el mismo.
El curso consta de 3 secciones: una de organización, otra de teoría y ésta misma que es de consultas.

Debes ir a la sección de organización y responder con el mensaje "me inscribo al curso".
El enlace es el siguiente:

Organización curso "Métodos de integración" (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,28767.msg113125.html#msg113125)

Una vez ahí, aprovecha a leer todas las indicaciones de cómo participar.

Saludos


Título: Algunos ejercicios
Publicado por: camicasilo en 10/10/2010, 02:10:18 am
Como estan compañeros de clase:

realice algunas integrales y me encantaría que me diran sus comentarios de las soluciones, probablemente me suelo complicar y escojer el camino más dificil para resolverlas tal vez ud me ayuden a optimizar mi rendimiento para asi volverme una flecha veloz.... :D
igual son las mas básicas y les van a parece faciles.

1. [texx]\displaystyle\int \frac{arctan(x)}{1+x^2}dx=[/texx]

Como
[texx]\displaystyle\int f(x)^{n}f'(x)dx=[/texx]
[texx]f(x)^{n} f(x)-\displaystyle\int f(x) nf(x)^{n-1}f'(x)dx=[/texx]
[texx]f(x)^{n} f(x)-n\displaystyle\int (f(x) f(x)^{n-1})f'(x)dx=[/texx]
[texx]f(x)^{n+1}-n\displaystyle\int (f(x)^{n})f'(x)dx[/texx]

entonces

[texx]\displaystyle\int f(x)^nf'(x)+ n \displaystyle\int f(x)^nf'(x)=f(x)^{n+1}[/texx]
[texx](n+1)\displaystyle\int f(x)^nf'(x)=f(x)^{n+1}[/texx]
[texx]\displaystyle\int f(x)^nf'(x)=\frac {f(x)^{n+1}}{n+1}[/texx]


utilizamos esta formula y solucionamos la integral muy fácilmente:

[texx]\displaystyle\int \frac{arctan(x)}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}arctan(x)^2[/texx]

2. [texx]\displaystyle\int \frac{x+1}{x^2+2x}dx=[/texx]

Si [texx]u=x^2+2x[/texx] [texx]du=2x+2dx[/texx]   [texx]du=2(x+1)dx[/texx]  [texx]\frac{du}{2(x+1)}=dx[/texx]

[texx]\displaystyle\int \frac{x+1}{u}\frac{du}{2(x+1)}=\displaystyle\int\frac{u}{2}du=2ln|u|+C= \textcolor{red}{\frac{1}{2}} ln|x^2+2x|+C[/texx]

Jabato me propuso otra solución

[texx]\displaystyle\int \frac{arctan(x)}{x^2+1}dx= [/texx]  Si [texx]arctanx=u\rightarrow{\frac {du}{dx}}=\frac {1}{1+x^2}[/texx]  luego [texx]dx=1+x^2du[/texx]

[texx]\displaystyle\int \frac{arctan(x)}{x^2+1}dx=\displaystyle\int u du=\frac {1}{2}u^2+C=\frac {1}{2}arctan^2(x)+C[/texx]








Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 10/10/2010, 06:08:53 am
Para la primera es mucho más directo hacer la substitucción [texx]x=Tan\ u[/texx]


[texx]\displaystyle\int \frac{arctan(x)}{1+x^2}dx=\displaystyle\int\frac{du}{u}=\displaystyle\frac{1}{2}(ArcTan\ x)^2+Cte[/texx]

En la segunda creo que tienes un error:


[texx]\displaystyle\int \frac{x+1}{x^2+2x}\ dx=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int \frac{2x+2}{x^2+2x}\ dx=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{du}{u}=\displaystyle\frac{1}{2}Ln|x^2+2x|+Cte[/texx]

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: camicasilo en 11/10/2010, 02:14:52 am
Continuo con los ejrcicios que he resuelto:

3. [texx]\displaystyle\int sec^3 (x) Tan(x)dx=\displaystyle\int Sec(x)Sec^2(x)Tan(x)dx[/texx]
Si [texx] u=Tan(x)[/texx] [texx]\frac{du}{dx}=Sec^2(x)[/texx]  [texx]dx=\frac {du}{Sec^2(x)}[/texx]
y [texx]u^2=Tan^2(x)\rightarrow{u^2=Sec^2(x)-1}[/texx]  entonces [texx]Sec(x)=\sqrt{u^2+1}[/texx]

[texx]\displaystyle\int Sec(x)Sec^2(x)Tan(x)dx=\displaystyle\int u \sqrt{u^2+1}du[/texx]

Si [texx]v=\sqrt{u^2+1}[/texx]   [texx]\frac{dv}{dx}=\frac{2u}{2\sqrt{u^2+1}}[/texx]  [texx]dx=\frac{dv\sqrt{u^2+1}}{u}[/texx]

[texx]\displaystyle\int u \sqrt{u^2+1}\frac{dv\sqrt{u^2+1}}{u}[/texx]
[texx]\displaystyle\int vvdv[/texx]
[texx]= \frac{v^3}{3}+x[/texx]
[texx]= \frac{\sqrt{(Tan^2(x)+1)^3}}{3}[/texx]

4. [texx]\display\int \frac{e^x}{e^x+1}dx=[/texx]  [texx]u=e^x+1[/texx] [texx]\frac{du}{dx}=e^x[/texx] [texx]dx=\frac{du}{e^x}[/texx] entonces [texx]\display\int \frac{1}{u}du=ln|u|+C=ln|e^x+1|+C[/texx]




Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 11/10/2010, 04:21:10 pm
Sobre el 3 conviene alegar que los métodos de integración están ahí por algún motivo, es decir, es bueno usarlos porque automatizan dentro de lo posible el proceso y suelen ahorrar tiempo y trabajo, por lo que aplicándolos la integral resulta:


[texx]{\displaystyle\int Sec^3 (x)Tan(x)\ dx=\displaystyle\int \displaystyle\frac{Sen(x)}{Cos^4(x)}\ dx=-\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dt}{t^4}=\displaystyle\frac{1}{3t^3}+Cte=\displaystyle\frac{1}{3Cos^3(x)}+Cte}[/texx]


Obteniéndo idéntico resultado pero de una forma mucho más metódica y breve.

Nada que objetar al último.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: gmares en 24/10/2010, 03:52:56 pm
Saludos Jabato, estoy comenzando con tu curso y lo encuentro bastante interesante en la medida que, observo que los métodos que presentan me resultan conocidos pero de alguna forma los he aprendido en forma diferente. Tal es el caso de la sustitución, tú expones lo siguiente:

La idea de este método estriba en considerar que la variable x es a su vez función de otra variable que denominaré t,  lo que provoca la transformación de la integral en otra que puede ser más sencilla ó conocida:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx=\displaystyle\int_{}^{}f(t)x'(t)dt[/texx]

Aquí recuerdo haber aplicado siempre exactamente el paso inverso a este, es decir, dada una función [texx]f(x)[/texx] asumo que esta puede representarse como una función compuesta de forma más simple. Luego reemplazo a esta por una función [texx]F(u)[/texx] donde [texx]F(u)=F(f(x))[/texx]. En relación a esto como F(u) es función compuesta entonces:
[texx]\frac{du}{dx}=F'(x)[/texx] despejando [texx]dx=\frac{du}{F'(x)}[/texx].

Luego la integral me queda de la forma:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx = \displaystyle\int_{}^{} F(u)\frac{du}{f'(x)}[/texx]

Aplicada a un ejemplo simple, (es nada más que un ejemplo y la sustitución no presenta utilidad alguna para su resolución):
[texx]\displaystyle\int_{}^{}2x\ dx [/texx] haciendo 2x = u será [texx]dx=\frac{du}{2}[/texx] luego la integral quedará:
[texx] \frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}u\ du [/texx]
[texx]\frac{1}{2}\frac{u^2}{2}[/texx] lo que resulta equivalente luego de reaplazar u por 2x, al resultado que se hubiera obtenido sin la sustitución.

Ahora pregunto, y no es con ánimo de utilizar esto ni mucho menos, si hago tu curso me ajusto a lo que propones, simplemente deseo ordenar los conocimientos. Entonces, este método es una deformación del que tu propones? Es erróneo su planteo?

Obvservé que otro participante del curso Aesede planteaba las sustituciones al revés no se si son casos similares o no. Desde ya gracias, saludos!


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 24/10/2010, 05:06:23 pm
Sí, es cierto lo que dices. El enfoque de la sustitución puede ser diverso y a menudo en los libros no distingue entre ambas modalidades. En realidad si tengo que ser sincero ambos procedimientos son correctos siempre que se respete una condición, de la que también hablo en el curso, que es la de que hay que tener en cuenta el dominio y el rango de la función que se utiliza para realizar la transformación de la integral, ya que eso afecta (puede afectar) a la primitiva. Hay varios ejemplos expuestos en el curso y comentados en este hilo también, creo.

Ahora bien, en la propia teoría del curso se da una explicación (al menos se intenta) del porqué para un cambio de la forma [texx]x=f(t)[/texx] yo lo considero substitución, y la otra modalidad, [texx]t=f(x)[/texx], yo la considero composición de funciones. No existe una razón más poderosa para realizar esa distinción salvo la de que en el caso que yo denomino de substitución lo que realmente se hace es substituir una variable por otra, y sin embargo el caso que expones se basa en una conocida propiedad de la composición de funciones. Aunque puedes hacer la consideración que estimes más oportuna. Realmente no tiene importancia la forma en que denominemos el procedimiento, lo que sí es importante al utilizar cualquiera de los dos cambios:

[texx]x=f(t)[/texx]              ó bien            [texx]t=f(x)[/texx] 

es no perder de vista los dominios y rangos de la función que utilizamos para realizar la transformación de la integral, ya que como ya te dije eso puede afectar a la solución pero cualquiera de las dos modalidades es correcta, sí, de hecho en la teoría del curso están contempladas las dos, aunque bien es verdad que bajo distinto nombre. Espero haberte aclarado la duda.

Gracias por participar. Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: gmares en 24/10/2010, 06:21:05 pm
No, gracias a vos Jabato. Entendí perfectamente lo que dices, y estoy de acuerdo en que no hay que perder de vista los conceptos más primitivos como es el del dominio de una función. En mi opinión a quienes estudiamos por necedidad y no por gusto, es decir como parte de una carrera universitaria, se nos da la matemática de a trozos y en forma bastante rápida, dejando ambiguedades y ciertos agujeros en los conceptos. Es imposible que se logre una comprensión plena de lo que se enseña si no es por voluntad propia, creo que estos cursos son una buena oportunidad para ello. Saludos!

Pd: un ejemplo de lo que digo mas arriba es la integral de 1/x, tu explicas muy bien porque aparecen las barras de valor absoluto, eso nunca lo escuche ni lo leí antes, aunque es bastante simple de entender nadie se detiene a aclarar esas sutilezas.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 24/10/2010, 06:51:21 pm
Efectivamente, ese es el ejemplo más claro de lo que se dice en el curso al respecto, aunque no es el único, hay más casos.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: gmares en 25/10/2010, 05:24:18 pm
Hola Jabato, hace tiempo me surgió una duda, no respecto a un método pero creo que viene al caso. En muchas ocasiones he observado una expresión como [texx]\displaystyle\int_{}^{}\left |{f(x)}\right |\ dx[/texx], esto es un simbolismo o se puede resolver una integral de este tipo. Digamos [texx]\displaystyle\int_{}^{}\left |{\frac{e^{5x}}{8x^2}}\right | dx[/texx], esto tiene una solución especial o simplemente debo aplicar el valor absoluto a la primitiva hallada? Saludos!


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 25/10/2010, 06:00:03 pm
No, no debes aplicara el valor absoluto a la primitiva hallada, en general se cumplirá que:

[texx]\left|\displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx\right|\neq{}\displaystyle\int_{}^{}\left|f(x)\right|\ dx[/texx]

lo que debes hacer es hallar la primitva del valor absoluto de la función, que no es lo mismo, es decir resolver la ecuación diferencial:

[texx]y'=|f(x)|[/texx]

Normalmente este tipo de expresiones se usan para determinar el área bajo una curva, y se hace como aplicación de las integrales definidas, no es habitual usar este tipo de expresiones en integrales indefinidas, aunque no cabe duda de que las expresiones de la forma [texx]|f(x)|[/texx] son funciones también y tendrán en general una función primitiva, aunque quizás no sea fácil obtenerla, honestamente debo decir que este tipo de integrales indefinidas no se me ha presentado nunca. Tendría que meditarlo más despacio. ¿Conoces algún caso del que tengas la solución?

Si acaso se me ocurre que la forma más aproximada a una solución sería, basándonos en el teorema fundamental del cálculo, algo parecido a esto:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}|f(x)|\ dx=\displaystyle\int_{a}^{x}|f(t)|\ dt+Cte[/texx]

en la que [texx]a[/texx] es un valor fijo, constante, y al que puedes asignar el valor que más comodo te resulte para obtener la integral definida. Dicha expresión nos permite obtener la función primitiva como un caso particular de la integral definida.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: gmares en 25/10/2010, 10:50:48 pm
Efectivamente, la primera vez que vi la expresión [texx]\displaystyle\int_{}^{}\left |{f(x)}\right |dx[/texx] fué en un libro donde se trataba el cálculo de áreas mediante integrales definidas. Decía que cuando la función tomaba valores negativos el área era igual a [texx]-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) dx[/texx] o bien debía calcularse [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}\left |{f(x)}\right |dx[/texx]. Lo curioso es que nunca se explicaba como resolver eso, de allí viene mi duda.
Aparte de lo anterior, estube tratando de entender el método de integración paramétrica, pero no hay caso...
[texx]\forall{m\in{N}}\quad / \quad 0\leq{}m\leq{}n\qquad \displaystyle\int_{}^{}x^mf(x)dx=\left[\frac{\partial^m}{\partial p^m}\displaystyle\int_{}^{}F^{(m}(px)dx\right]_{p=1}[/texx]

1- Los símbolos [texx]\frac{{\partial f}}{{\partial x}}[/texx] se que son derivadas parciales, pero no entiendo bien cual es el parámetro.

2- Que significa el [texx]p=1[/texx], me parece que en algún lado lo ví pero no recuerdo nada.

3- Y lo más importante, no entiendo bien como funciona el método. Por ejemplo:

[texx]{\displaystyle\int_{}^{}x^2e^x\ dx=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\right]_{p=1}=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\frac{e^{px}}{p}\right]_{p=1}=\left[\frac{{\partial}}{{\partial p}}\displaystyle\frac{(px-1)}{p^2}e^{px}\right]_{p=1}=\left[\displaystyle\frac{p^2x-2p(px-1)}{p^4}e^{px}+x\displaystyle\frac{px-1}{p^2}e^{px}\right]_{p=1}=(x^2-2x+2)e^x+Cte}[/texx]

Cómo desaparece x aquí? Y luego, lo que haces es integrar dos veces? Estoy extraviado jeje...





Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 26/10/2010, 04:15:40 pm
Veamos a ver si soy capaz de explicártelo de una forma sencilla que se entienda. Supongamos la integral:


[texx]\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\ dx[/texx]


y admitamos que al derivar su valor respecto del parámetro [texx]p[/texx] n veces obtenemos:


[texx]\displaystyle\frac{{\partial^n }}{{\partial ^n}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{{\partial^n }}{{\partial ^n}}e^{px}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}x^ne^{px}\ dx[/texx]


y si yo ahora particularizo para un determinado valor de [texx]p[/texx], por ejemplo [texx]p=1[/texx] obtengo:


[texx]\displaystyle\int_{}^{}x^ne^{x}\ dx[/texx]


Ahora bien si invierto el orden de las transformaciones realizadas y hallo primero la integral, obteniendo:


[texx]\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\ dx=\displaystyle\frac{e^{px}}{p}[/texx]


y a continuación derivo n veces respecto de [texx]p[/texx] y por último particularizo el resultado obtenido para [texx]p=1[/texx] el resultado debería de coincidir con el valor de:


[texx]\displaystyle\int_{}^{}x^ne^{x}\ dx[/texx]


es decir:


[texx]{\displaystyle\int_{}^{}x^ne^x\ dx=\left[\frac{{\partial^n}}{{\partial p^n}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\right]_{p=1}=\left[\frac{{\partial^n}}{{\partial p^n}}\displaystyle\frac{e^{px}}{p}\right]_{p=1}[/texx]


que es una forma un tanto peculiar de obtener primitivas derivando. Expresiones similares se obtienen para integrales de la forma:


[texx]\displaystyle\int_{}^{}x^me^xf(x)\dx[/texx]


para las que se consideran los casos más conocidos:


[texx]\displaystyle\int_{}^{}x^me^{ax}Sen(bx)\dx[/texx]                       [texx]\displaystyle\int_{}^{}x^me^{ax}Cos(bx)\dx[/texx]


y sus combinaciones lineales de la forma:


[texx]\displaystyle\int_{}^{}P(x)e^{ax}Sen(bx)\dx[/texx]                       [texx]\displaystyle\int_{}^{}P(x)e^{ax}Cos(bx)\dx[/texx]


en las que [texx]P(x)[/texx] reprersenta un polinomio cualquiera. Integrales que sería realmente complejo obtener por otros métodos y que sin embargo por éste método son laboriosas, pero no difíciles, al final salen.

Por ejemplo, si yo te pido que resuelvas una integral como ésta:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}x^3e^xCos(8x)\ dx[/texx]

¿qué método emplearías para resolverla?

Pues fácil, resolvería primero ésta, que está en los libros:


[texx]\displaystyle\int_{}^{}e^{ax}Cos(8x)\ dx[/texx]


a continuación derivaría el resultado obtenido respecto de [texx]a[/texx] tres veces, y por último particularizaría el resultado para [texx]a=1[/texx]

El método es realmente expeditivo, y tiene mucho interés habida cuenta de la importancia que tienen para el análisis funcional las funciones de la forma:


[texx]P(x)e^{ax}Sen(bx+c)[/texx]


ó sus equivalentes con funciones trigonométricas hiperbólicas que también se dejan tratar con facilidad por estos métodos.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: gmares en 26/10/2010, 09:44:06 pm
Hola Jabato, voy entendiendo, me gustaría ir ajustando detalles pues es la primer vez que veo el método:
1- Es como que asumes que la función integrando es función de dos variables, una x, y la otra p, a quien le das finalmente, el valor 1. Por eso aparece la derivada parcial verdad? En dicho caso me parece que más que paramétrico, se introduce una nueva variable a la función, para que se convierta en una función de dos variables... Es decir, por que paramétrico?

2- No comprendo bien que le pasa al [texx]dx[/texx]:
[texx]{\displaystyle\int_{}^{}x^2e^x\ dx=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\right]_{p=1}=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\frac{e^{px}}{p}\right]_{p=1}=\left[\frac{{\partial}}{{\partial p}}\displaystyle\frac{(px-1)}{p^2}e^{px}\right]_{p=1}=\left[\displaystyle\frac{p^2x-2p(px-1)}{p^4}e^{px}+x\displaystyle\frac{px-1}{p^2}e^{px}\right]_{p=1}=(x^2-2x+2)e^x+Cte}[/texx]

Aquí queda una integral sin diferencial:

[texx]{\displaystyle\int_{}^{}x^2e^x\ dx=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\right]_{p=1}[/texx]

La integral se transforma completamente y el [texx]dx[/texx] "vuela"? No debería transformarse en [texx]dp[/texx] ??

Veamos a ver si soy capaz de explicártelo de una forma sencilla que se entienda. Supongamos la integral:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\ dx[/texx]

y admitamos que al derivar su valor respecto del parámetro [texx]p[/texx] n veces obtenemos:

[texx]\displaystyle\frac{{\partial^n }}{{\partial ^n}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{{\partial^n }}{{\partial ^n}}e^{px}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}x^ne^{px}\ dx[/texx]


3- Aquí la expresión: [texx]\frac{{\partial^n }}{{\partial ^n}}[/texx] no debiera ser [texx]\frac{{\partial^n }}{{\partial p ^n}}[/texx]?

4- Más alla de que pueda aplicar el sistema todavía no entiendo bien como funciona, se me hace la idea de que es un cambio demasiado grande y algo arbitrario, algo asi como manosear la integral (jaja). Supongo que la práctica me dará mayor comprensión... Saludos.

En cuanto tenga cirta práctica subo algunos ejercicios hechos.

Saludos Jabato, y gracias.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 27/10/2010, 08:58:34 am

1- Es como que asumes que la función integrando es función de dos variables, una x, y la otra p, a quien le das finalmente, el valor 1. Por eso aparece la derivada parcial verdad? En dicho caso me parece que más que paramétrico, se introduce una nueva variable a la función, para que se convierta en una función de dos variables... Es decir, por que paramétrico?


Bueno, no es exactamente así, [texx]p[/texx] es un parámetro ya que asume un valor en la integral, el que más te guste, pero un único valor, aunque si prefieres considerarlo como una segunda variable respecto de la que vamos a derivar no seré yo quien te ponga objeciones a eso. Pero el método tiene nombre y se denomina "integración por derivación respecto de un parámetro".


2- No comprendo bien que le pasa al [texx]dx[/texx]:
[texx]{\displaystyle\int_{}^{}x^2e^x\ dx=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\ dx\right]_{p=1}=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\frac{e^{px}}{p}\right]_{p=1}=\left[\frac{{\partial}}{{\partial p}}\displaystyle\frac{(px-1)}{p^2}e^{px}\right]_{p=1}=\left[\displaystyle\frac{p^2x-2p(px-1)}{p^4}e^{px}+x\displaystyle\frac{px-1}{p^2}e^{px}\right]_{p=1}=(x^2-2x+2)e^x+Cte}[/texx]

Aquí queda una integral sin diferencial:

[texx]{\displaystyle\int_{}^{}x^2e^x\ dx=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\right]_{p=1}[/texx]

La integral se transforma completamente y el [texx]dx[/texx] "vuela"? No debería transformarse en [texx]dp[/texx] ??


No, no, el diferencial se me olvidó ponerlo por error, ya lo he corregido sobre estas lineas. lo que se hace es derivar dos veces el resultado de la integral y particularizar posteriormente el valor obtenido para [texx]p=1[/texx]

Continuaré aclarando tus dudas. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Luis Fuentes en 27/10/2010, 09:36:18 am
Hola

 Perdonad la intromisión. En cuanto a esto:

Hola Jabato, hace tiempo me surgió una duda, no respecto a un método pero creo que viene al caso. En muchas ocasiones he observado una expresión como [texx]\displaystyle\int_{}^{}\left |{f(x)}\right |\ dx[/texx], esto es un simbolismo o se puede resolver una integral de este tipo. Digamos [texx]\displaystyle\int_{}^{}\left |{\frac{e^{5x}}{8x^2}}\right | dx[/texx], esto tiene una solución especial o simplemente debo aplicar el valor absoluto a la primitiva hallada? Saludos!

 La forma buena de enfocarlo es la que apunta Jabato:

Cita
Si acaso se me ocurre que la forma más aproximada a una solución sería, basándonos en el teorema fundamental del cálculo, algo parecido a esto:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}|f(x)|\ dx=\displaystyle\int_{a}^{x}|f(t)|\ dt+Cte[/texx]

 Nótese que para calcular:

[texx]\displaystyle\int_{a}^{x}|f(t)|\ dt[/texx]

 debemos dependiendo de los valores de [texx]x[/texx], dividir nuestra intervalo de integración en trozos separando aquellos donde [texx]f(t)[/texx] es siempre negativo, de los que vale positivo.

 Es fácil por ejemplo practicar con el caso más sencillo:

[texx]\displaystyle\int |x|dx[/texx]

 La primitiva salvo constante debe de dar:

[texx]F(x)=\begin{Bmatrix} x^2/2 & \mbox{ si }& x\geq 0\\-x^2/2 & \mbox{si}& x<0\end{matrix}[/texx]

Saludos.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 27/10/2010, 05:07:50 pm
Gracias manco por la puntualización, la verdad es que nunca me había enfrentado a integrales indefinidas en las que la función subintegral está encerrada entre las barras del valor absoluto y no estaba seguro de que lo que apunté fuera del todo exacto. Parece que si.

Bien siguiendo con las aclaraciones a gmares, que parece que le está costando este método le diré solo una cosa más de momento, todo el método se basa en la siguiente igualdad:

[texx]\displaystyle\frac{{\partial^n}}{{\partial p^n}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}\frac{{\partial^n}}{{\partial p^n}}e^{px}\ dx[/texx]

igualdad que puede demostrarse si es necesario. Bueno, para ser exactos ambos términos se diferencian en una constante, pero como lo que vamos buscando son funciones primitivas dicha constante no afecta al resultado. No lo demostré en el curso (no me pareció necesario) y no lo haré aquí (sigue sin parecérmelo), pero puede demostrarse con facilidad. Es decir que es exactamente lo mismo derivar respecto del parámetro [texx]p[/texx] dentro que fuera de la integral. Evidentemente es más sencillo realizar primero la integración y después derivar que hacerlo al revés, lo que permite simplificar el proceso del cálculo de la primitiva. La particularización que se realiza al final de todo el proceso al valor del parámetro [texx]p=1[/texx] se hace para que el resultado de tales operaciones coincida con el valor de la integral que vamos buscando, que es en este caso:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}x^ne^x\ dx[/texx]

¿Está más claro ahora? Espero que sí.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: herotodo en 28/10/2010, 05:49:44 pm
buenas Jabato, no tengo internet todo el tiempo. Crees que exista la posibilidad de poner el contenido del curso en un pdf o un documento de word para imprimirlo.
Si no se puede no importa.
saludos a todos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 28/10/2010, 05:53:26 pm
Pues no lo sé, la verdad, no he intentado hacerlo. Quizás los moderadores del foro puedan ayudarte con eso.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Luis Fuentes en 28/10/2010, 06:12:35 pm
Hola

buenas Jabato, no tengo internet todo el tiempo. Crees que exista la posibilidad de poner el contenido del curso en un pdf o un documento de word para imprimirlo.
Si no se puede no importa.
saludos a todos

No tienes más que ir al dicatado del curso y darle a la pestaña imprimir.

Saludos.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: herotodo en 29/10/2010, 12:53:14 pm
Jabato, podrías explicar paso a paso mediante un ejemplo el método de derivación con respecto a un parámetro. El ejemplo que viene en los ejercicios de aplicación no lo entiendo.
saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 29/10/2010, 02:20:08 pm
¿Que es exactamente lo que no entiendes?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: gmares en 30/10/2010, 09:15:40 pm
Jabato:
Dada la ecuación diferencial [texx]y'\ =\ \frac{y}{x}[/texx] (1)
Resuelvo separando las variables:
[texx]\displaystyle\int_{}^{}\frac{dy}{y}\ =\ \displaystyle\int_{}^{}\frac{dx}{x}[/texx] luego esto es igual a:
[texx]Ln\ y\ =\ Ln\ x + c[/texx] siendo [texx]c[/texx] una constante, ahora bien puedo poner esta constante como:
[texx]Ln\ y\ =\ Ln\ x + Ln\ c\ \Rightarrow{}\ Ln\ y\ =\ Ln\ (x\cdot{c})[/texx]
Finalmente: [texx]y\ =\ x\cdot{c}[/texx]

La pregunta es: es viable hacer lo mismo del lado de las [texx]y[/texx]. Es decir, si la integral respecto a [texx]y[/texx] y la integral respecto a [texx]x[/texx] difieren en una constante, entonces sumo dicha constante a [texx]y[/texx].
[texx]Ln\ y + c\ =\ Ln\ x[/texx]
[texx]Ln\ y\ + Ln\ c\ =\ Ln\ x  \Rightarrow{}\ Ln\ (y \cdot{c})\ =\ Ln\ x[/texx]
Finalmente [texx]y\cdot{c}\ =\ x[/texx] (2)

En caso de que sí, pregunto lo siguiente: Dada la ecuación: [texx]y\ =\ x \cdot{c}[/texx] obtengamos la ecuación diferencial que se corresponde con esa familia de funciones:
[texx]y\ =\ x \cdot{c}[/texx]
[texx]\frac{y}{x} =\ c[/texx]
[texx]y'\ =\ c[/texx]
Reemplazo [texx]c[/texx] y me queda:
[texx]y'\ =\ \frac{y}{x}[/texx]
Llegamos a (1) lo que de alguna forma indica que se ha procedido correctamente.

Sin embargo mi duda surge aquí:
[texx]y\ =\ x \cdot{c}[/texx]
[texx]\frac{y}{c} =\ x[/texx]
Luego:
[texx]\frac{1}{c} =\frac{x}{y}[/texx]
Pero aquí [texx]c[/texx] es una constante arbitraria entonces [texx]\frac{1}{c}[/texx] es una constante arbitraria también que podría designar nuevamente con [texx]c[/texx] o bien para ser más claros con [texx]c_1[/texx] luego:
[texx]y'\ =\ c[/texx] como [texx]c[/texx] es cualquie constante, entonces la reemplazo por [texx]c_1[/texx] luego:
[texx]y'\ =\ c_1[/texx]
Reemplazo [texx]c_1[/texx] y me queda:
[texx]y'\ = \frac{x}{y}[/texx]
No llegamos a (1) sino que llegamos más bien llegamos a (2), pero hemos procedido correctamente apoyados en la arbitrariedad de [texx]c[/texx] y [texx]c_1[/texx], que sucedió entonces?

Espero se entienda mi duda, es respecto a la constante c...






Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: gmares en 30/10/2010, 09:40:14 pm
Una duda parecida a la anterior:
Dada [texx]y'\ =\ y \cdot{x}[/texx] resolviendo queda:
[texx]Ln \y\ =\ x +c[/texx] Luego: [texx]y\ =\ e^{x +c}[/texx].

Sien embargo si hacemos:
Dada [texx]y'\ =\ y \cdot{x}[/texx] resolviendo queda:
[texx]Ln \y\ =\ x + Ln\ c[/texx] Luego: [texx]Ln\ y - Ln\ c\ = x[/texx]
Finalmente:
[texx]\frac{y}{c} = e^x [/texx].

Pregunta: Las dos soluciones son correctas?
[texx]\frac{y}{c} = e^x [/texx] y [texx]y\ =\ e^{x +c}[/texx].


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 31/10/2010, 04:27:27 am
Tus dos soluciones son incorrectas (incompletas estrictamente hablando) porque en ninguna de las dos se admiten valores negativos de [texx]y[/texx] y sin embargo existen soluciones para las que [texx]y<0[/texx]. Piensa que en la segunda solución que planteas es obligado que [texx]c>0[/texx] lo que conduce en igual forma a valores positivos de [texx]y[/texx]

¿Porqué no mejor esta otra?


[texx]{y'=yx\qquad\longrightarrow{}\qquad \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dy}{y}=\displaystyle\int_{}^{}dx\qquad\longrightarrow{}\qquad Ln|y|=x+c\qquad\longrightarrow{}\qquad y=\pm{\ e^{x+c}}\qquad\longrightarrow{}\qquad y=\pm{\ e^c\cdot e^x}=ke^x}[/texx]


en la que se admiten tanto valores positivos como negativos e incluso nulos de la constante de integración y no hay pérdida de soluciones.

Piensa que si aceptas solo una de estas dos expresiones para la primitiva de [texx]1/y[/texx]:


[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dy}{y}=Ln(y)+Cte[/texx]                             [texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dy}{y}=Ln(-y)+Cte[/texx]


estas obligando implícitamente a que [texx]y[/texx] adopte solo valores positivos ó negativos, pero en ambos casos pierdes soluciones, la solución más correcta pasa por considerar que: 


[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dy}{y}=Ln|y|+Cte[/texx]

como ya se ha comentado en alguna otra parte de este hilo, ¿no te parece?

La pérdida de soluciones a la hora de resolver una ecuación diferencial es a menudo un problema grave, y no es conveniente fomentarlo sino más bien ponerlo de manifiesto siempre que se presente.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: gmares en 31/10/2010, 10:42:27 am
Hola Jabato, gracias por la respuesta. Pero creo que la primer solución si admite valores negativos de y:
[texx]\frac{y}{c} = e^x [/texx]

Pasando c al segundo miembro:
[texx]y = c \cdot{e^x}[/texx] lo que coincide con lo que tu pones en [texx]e^c\cdot e^x=ke^x[/texx], parecen ser la misma solución. Lo que sí, en mi solución, no se admite el valor 0 para c: [texx]c\neq{0}[/texx]

En cuanto a:
Piensa que en la segunda solución que planteas es obligado que [texx]c>0[/texx] lo que conduce en igual forma a valores positivos de [texx]y[/texx]

Siendo la expresión [texx]y = e^{x+c}[/texx] aquí [texx]c[/texx] puede ser negativo, es decir [texx]c < 0[/texx], no veo por que no. En lo que sí estoy completamente de acuerdo es que expresada de esta forma, no existen valores de [texx]c[/texx] que hagan negativos a [texx]y[/texx], por lo que coincido que es una solución "parcial" y por ello incorrecta. No es por contradecir, nada mas planteo mis dudas  :D. Al fin al cabo etoy de acuerdo contigo, veo que la expresión debe resultar de forma que admita todos los valores solución, y no colocar [texx]c[/texx] por que sí en cualquier lado. Corríjeme si este último razonamiento es correcto por favor.

PD: Aquí te había dejado otra duda similar, que tal vez exprese mejor mi duda, sucede que justo se agregó una página al tema y esta quedo "oculta" en la página tres. http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=post;msg=157700;topic=28768.60;sesc=6a8ecfe5f195198033dd79eb9b390f1e#top


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 31/10/2010, 10:48:46 am
Bueno, yo diría por la forma en que hiciste la deducción que en tu desarrollo se muestra el logaritmo de [texx]c[/texx], y ó me explicas como justificas que [texx]c[/texx] pueda ser negativo ó no puedo aceptar que [texx]c[/texx] sea negativo.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: gmares en 31/10/2010, 10:55:13 am
Entiendo lo que dices, partí de [texx]Ln\ c[/texx] pero es que no coloqué las barras de valor absoluto si fuese [texx]Ln\ \left |{y }\right | - Ln\ \left |{c}\right |\ = x[/texx] supongo en ese caso abría sido correcto mi razonamiento, es decir, el procedimiento estubo mal, pués ál elegir mi constante como [texx]Ln\ c[/texx] ya desde ahí excluí soluciones...


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: herotodo en 02/11/2010, 05:17:50 pm
Jabato, he estado tratando de entender integración por derivación respecto de un parámetro leyendo lo que le explicaste a gmares,me aclaró algunas cosas, pero todavía no entiendo.
?El parámetro p solo se le multiplica al exponente x de [texx] e [/texx]?
?este tipo de integración solo es válida cuando está presente [texx] e^x [/texx]?
?Cómo integraría una función de la forma [texx] (ax^2+bx+c)e^x [/texx]. ?
saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 02/11/2010, 07:28:22 pm
Ocurre que el procedimiento es válido de forma general, lo que pasa es que su utilidad máxima aparece cuando el parámetro aprece en la forma expuesta en la función exponencial, pero pueden hacerse desarrollos similares en funciones trigonométricas tales como el seno y el coseno, por ejemplo, aunque su efectividad disminuye a medida que nos alejamos de la exponencial. Basta con que la función sea integrable, y ella misma y su primitiva sean derivables respecto de [texx]p[/texx]. Al aplicar la condición de Schwartz se concluye con la validez del método, que de forma más general puede expresarse como:


[texx]\displaystyle\int \frac{{\partial}}{{\partial p}}f(px)g(x)\ dx=\displaystyle\frac{{\partial}}{{\partial p}}\displaystyle\int f(px)g(x)\ dx+Cte[/texx]

Por otro lado tenemos que:


[texx]\displaystyle\int (ax^2+bx+c)e^x\ dx=a\displaystyle\int x^2e^x\ dx+b\displaystyle\int xe^x\ dx+c\displaystyle\int e^x\ dx[/texx]


en la que cada sumando puede resolverse por derivación parametrica de forma independiente. ¿Se te ocurre una forma más rápida de hacerlo? A mi no. Debes tener en cuenta que a la hora de integrar no solo cuenta saber hacerlo bien, sino también saber hacerlo deprisa, usando los métodos más ágiles a nuestra disposición, lo que suele ser incluso más difícil todavía.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: gmares en 02/11/2010, 09:41:35 pm
Jabato dónde está el error:
Dada la ecuación diferencial [texx]y'\ =\ \frac{y}{x}[/texx] (1)
Resuelvo separando las variables:
[texx]\displaystyle\int_{}^{}\frac{dy}{y}\ =\ \displaystyle\int_{}^{}\frac{dx}{x}[/texx] luego esto es igual a:
[texx]Ln\ \left |{y}\right |\ =\ Ln\ \left |{x}\right | + c[/texx] siendo [texx]c[/texx] una constante, ahora bien puedo poner esta constante como:
[texx]Ln\ \left |{y}\right |\ =\ Ln\ \left |{x}\right | + Ln\ \left |{c}\right |\ \Rightarrow{}\ Ln\ \left |{y}\right |\ =\ Ln\ \left |{x\cdot{c}}\right |[/texx]
Finalmente: [texx]y\ =\ x\cdot{c}[/texx]

La pregunta es: es viable hacer lo mismo del lado de las [texx]y[/texx]. Es decir, si la integral respecto a [texx]y[/texx] y la integral respecto a [texx]x[/texx] difieren en una constante, entonces sumo dicha constante a [texx]y[/texx].
[texx]Ln\ \left |{y}\right | + c\ =\ Ln\ \left |{x}\right |[/texx]
[texx]Ln\ \left |{y}\right |\ + Ln\ \left |{c}\right |\ =\ Ln\ \left |{x}\right |  \Rightarrow{}\ Ln\ \left |{y \cdot{c}}\right |\ =\ Ln\ \left |{x}\right |[/texx]
Finalmente [texx]y\cdot{c}\ =\ x[/texx] (2)

En caso de que sí, pregunto lo siguiente: Dada la ecuación: [texx]y\ =\ x \cdot{c}[/texx] obtengamos la ecuación diferencial que se corresponde con esa familia de funciones:
[texx]y\ =\ x \cdot{c}[/texx]
[texx]\frac{y}{x} =\ c[/texx]
[texx]y'\ =\ c[/texx]
Reemplazo [texx]c[/texx] y me queda:
[texx]y'\ =\ \frac{y}{x}[/texx]
Llegamos a (1) lo que de alguna forma indica que se ha procedido correctamente.

Sin embargo mi duda surge aquí:
[texx]y\ =\ x \cdot{c}[/texx]
[texx]\frac{y}{c} =\ x[/texx]
Luego:
[texx]\frac{1}{c} =\frac{x}{y}[/texx]
Pero aquí [texx]c[/texx] es una constante arbitraria entonces [texx]\frac{1}{c}[/texx] es una constante arbitraria también que podría designar nuevamente con [texx]c[/texx] o bien para ser más claros con [texx]c_1[/texx] luego:
[texx]y'\ =\ c[/texx] como [texx]c[/texx] es cualquie constante, entonces la reemplazo por [texx]c_1[/texx] luego:
[texx]y'\ =\ c_1[/texx]
Reemplazo [texx]c_1[/texx] y me queda:
[texx]y'\ = \frac{x}{y}[/texx]
No llegamos a (1) sino que llegamos más bien llegamos a (2), pero hemos procedido correctamente apoyados en la arbitrariedad de [texx]c[/texx] y [texx]c_1[/texx], que sucedió entonces?

Espero se entienda mi duda, es respecto a la constante c, parece ser algo así como el concepto de [texx]\infty[/texx] pues las operaciones no la afectan, entonces como podemos a partir de dicha constante inferir que esta divide o multiplica para hallar una ecuación diferencial?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 03/11/2010, 12:59:44 am
En tu segunda pregunta lo que no puedes hacer es substituir [texx]c[/texx] por [texx]c_1[/texx]. Vayamos por partes y más despacio:

Razonamiento a)

[texx]y=cx\qquad\longrightarrow{}\qquad \displaystyle\frac{y}{x}=c\qquad\longrightarrow{}\qquad y'=c\qquad\longrightarrow{}\qquad y'=\displaystyle\frac{y}{x}[/texx]

Razonamiento b)

[texx]{y=cx\qquad\longrightarrow{}\qquad \displaystyle\frac{y}{c}=x\qquad\longrightarrow{}\qquad \displaystyle\frac{1}{c}=\displaystyle\frac{x}{y}\qquad\longrightarrow{}\qquad \boxed{y'=c=c_1=\displaystyle\frac{1}{c}=\displaystyle\frac{x}{y}}}[/texx]      ???

La ecuación recuadrada es falsa. De donde te sacas que [texx]y'=c_1[/texx] La constante es arbitraria si la matienes arbitraria, pero si la condicionas mediante una ecuación entonces ya no es arbitraria, está sometida a una ecuación que en este caso es:

[texx]c=\displaystyle\frac{1}{c}\qquad\longrightarrow{}\qquad c=\pm{1}[/texx]

Observa entonces que para esos dos valores de c se cumple la:

[texx]\displaystyle\frac{y}{x}=\displaystyle\frac{x}{y} [/texx]

Lo que has hecho es condicionar los valores de [texx]c[/texx] de una forma velada, no explícita, mediante un razonamiento basado en la arbitrariedad de [texx]c[/texx] que no es correcto. Piensa que a cada punto del plano le corresponde un único valor de [texx]c[/texx], y cada valor de [texx]c[/texx] determina una curva. No es correcto asumir que:

[texx]c=\displaystyle\frac{1}{c}[/texx]

porque estás distorsionando el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial.

No sé bien si aclaré tu duda. Analiza un poco más el concepto de "constante arbitraria", me parece que no lo tienes claro.
Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: gmares en 03/11/2010, 01:22:12 am
Saludos Jabato, gracias por contestar.
Si aclaraste la duda con esto:

La ecuación recuadrada es falsa. De donde te sacas que [texx]y'=c_1[/texx] La constante es arbitraria si la matienes arbitraria, pero si la condicionas mediante una ecuación entonces ya no es arbitraria, está sometida a una ecuación

Una ultima cosa que viene al caso, supongamos:
[texx]y' = 2\cdot{\frac{y}{x}}[/texx]

Integrando obtenemos:
[texx]Ln\left |{y}\right | = Ln \left |{{(x\cdot{C_1}})^2}\right |[/texx]
Finalmente:
[texx]y = x^2\cdot{{c_1}^2}[/texx]

La duda es: si observo [texx]{c_1}^2[/texx] evidentemente es un valor positivo pues está elevado al cuadrado, si para simplificar, decido reemplazar  [texx]{c_1}^2[/texx] por [texx]c_2[/texx], no estaría cometiendo un error, al pasar por alto que [texx]c_2[/texx] no es totalmente arbitraria, sino que solo puede tomar valores positivos, no sería más correcto dejar expresado simplemente [texx]{c_1}^2[/texx]. Ya que en este caso se deja sentado explícitamente que el valor constante es positivo?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 03/11/2010, 01:31:42 am
¿Resolviste bien tu ecuación diferencial? ¿Estás seguro de que [texx]y[/texx] no puede tomar valores negativos? Revisa de donde sale ese [texx]C_1^2[/texx] a ver si estás perdiendo soluciones por alguna parte.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: herotodo en 04/11/2010, 01:35:01 pm
Buenas, por favor díganme si lo siguiente tiene algún error "de concepto":

[texx] \displaystyle\int_{}^{} \frac{sen(x)}{cos(x)}dx [/texx]

luego digo que

[texx]  t=cos(x) \Longrightarrow{} dt=-sen(x)dx \Longrightarrow{} dx= \frac{dt}{sen(x)} [/texx]

por lo que

[texx] \displaystyle\int_{}^{} \frac{sen(x)}{cos(x)}dx =- \ln (cos (x))+c [/texx]

saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 04/11/2010, 03:38:23 pm
Es más correcto esto otro:


[texx] \displaystyle\int_{}^{} \frac{sen(x)}{cos(x)}dx =-\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dt}{t}=-Ln|t|+Cte=- Ln|Cos(x)|+Cte[/texx]


porque la expresión que obtuviste no vale cuando [texx]t=Cos(x)<0[/texx] pero la que yo obtuve sí.

Nota que la primitiva que obtuviste para la integral:

[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dt}{t}=Ln(t)+Cte[/texx]

solo es válida para la semirrecta real positiva. En este mismo hilo, en la respuesta #61, está explicado porqué ocurre eso.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: herotodo en 05/11/2010, 05:30:15 pm
Por favor, me podrían decir si el siguiente ejercicio está bien:

[texx] \displaystyle\int_{} xe^{-(x^2+1)}dx [/texx]

entonces,

[texx] t=-(x^2+1) [/texx]

[texx] dt=-2xdx [/texx]

por lo que

[texx] \displaystyle - \frac{1}{2} \int_{} e^{t}dt


\displaystyle\int_{} e^{-(x^2+1)}dx = - \frac{1}{2} e^{-(x^2+1)} [/texx]

saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 05/11/2010, 05:40:59 pm
Sí, está bien resuelto.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: herotodo en 08/11/2010, 01:25:35 pm
Buenas, jabato no me queda claro el método de los coeficientes indeterminados. Por ejemplo en el ejercicio de aplicación 1 no entiendo lo que quiere decir "identificar los distintos términos de los polinomios en el primer miembro y en el segundo", por favor podrías explicarme como llegas al siguiente sistema de ecuaciones:

[texx]\left . \begin{array}{lll}A+B+C=0\\5A+4B+3C=0\\6A+3B+2C=1\end{array}\right \}[/texx]

a partir de :

[texx]1\equiv{}A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)[/texx]

saludos herotodo.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 08/11/2010, 05:12:08 pm
Supongo que te refieres al apartado b) del ejercicio de aplicación 1, de los ejecicios de aplicación de funciones racionales, en el que se plantea la siguiente identidad:


[texx]y'=\displaystyle\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\displaystyle\frac{A}{x-1}+\displaystyle\frac{B}{x-2}+\displaystyle\frac{C}{x-3}=\displaystyle\frac{A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}[/texx]


que nos obliga a que, al igualar numeradores nos conduce a:


[texx]1\equiv{}A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)[/texx]


Solo debes pensar que dicha igualdad debe ser una identidad, es decir que debe ser satisfecha para todos los valores posibles de [texx]x[/texx], por lo tanto la función que aparece en el primer miembro (y=1) debe ser exactamente la misma función que aparece en el segundo miembro, que es un polinomio de segundo grado cuyos coeficientes vienen expresados en función de [texx]A, B, C[/texx]. Por lo tanto los coeficientes de dicho polinomio deben ser tales que satisfagan dicha igualdad para todo [texx]x[/texx], es decir los coeficientes del término de segundo grado y del de primer grado deben anularse, y el término independiente debe ser 1 para que la identidad sea satisfecha, lo que nos conduce al sistema de ecuaciones expuesto.

Nota: desarrolla   [texx]A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)[/texx]  como si fuera un polinomio de segundo grado y verás lo que te digo.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: herotodo en 08/11/2010, 06:14:21 pm
Ya entiendo, después de desarrollar el polinomio de segundo grado me di cuenta de como se llega al sistema de ecuaciones.
muchas gracias,
saludos.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: herotodo en 10/11/2010, 01:16:17 pm
Buenas, por favor díganme si lo siguiente está bien

[texx] \displaystyle\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} [/texx]

aplicando Hermite:

[texx]
D(x)=1+x^2
q(x)=1+x^2
[/texx]

por lo que

[texx]
\displaystyle\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2}= \frac{Mx+N}{1+x^2}+ \displaystyle\int \frac{Ax+B}{1+x^2}
[/texx]

aplicando la condición 2 de Hermite  obtengo:

[texx] \frac{x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{M(1+x^2)-(Mx+N)2x}{(1+x^2)^2}+\frac{Ax+B}{1+x^2} [/texx]

lo cual al agrupar términos según el grado de x obtengo:

[texx]x^2=x^2(B-M)-x(2N+A)+x^3A+(B+M)[/texx]

lo que produce el siguiente sistema de ecuaciones:

[texx]B-M=1[/texx]

[texx]2N+A=0[/texx]

[texx]A=0[/texx]

[texx]B+M=0
[/texx]

a partir del cual puedo calcular la integral.


saludos a todos.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: Jabato en 10/11/2010, 04:16:14 pm
Sí, parece estar correcto.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración
Publicado por: herotodo en 11/11/2010, 06:31:56 pm
Te entiendo, de todas formas te agradezco por la ayuda con las integrales.
saludos
herotodo