Revista, Técnicas, Cursos, Problemas => Consultas - comentarios - ejercitación de los cursos => Mensaje iniciado por: argentinator en 05/01/2010, 02:49:59 pm



Título: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 05/01/2010, 02:49:59 pm
Este es el thread de "trabajo" del curso Topología (Munkres),
que está en estas direcciones:

Organización e inscripción al curso: Topología (Munkres) (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,28734.msg113043.html#msg113043)

Curso de Topología (Munkres) (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,28733.msg113042.html#msg113042)

Para hacer cualquier consulta, duda, pregunta, comentario, sugerencia, o lo que deseen, deben postear respondiendo en este thread.



Conocimientos previos requeridos para iniciar el curso: Voy a tratar de que sea llevadero para todo tipo de público. No obstante, es recomendable tener algo de experiencia con operaciones de conjuntos, y haber hecho algunas demostraciones que involucren conjuntos, funciones, inducción, cosas más o menos elementales...
También es necesario tener "experiencia" con cálculo, sobretodo la noción de límite.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 05/01/2010, 07:41:36 pm
...


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: Jabato en 06/01/2010, 06:06:52 pm
Una pregunta solo argentinator, creo que establecer la definición de unión infinita de conjuntos en la forma que lo hiciste:

[texx]\bigcup_{\iota \in I} A_\iota := \{x:\exists{\iota \in I}(x\in A_\iota )\}[/texx]

no es equivalente a ninguna de las anteriores que mostraste, si no que es más general, porque admite que el conjunto de subíndices pueda ser cualquiera, no necesariamente un conjunto finito ó numerable (cosa que sería obligada si consideramos que los subíndices fueran un número natural).

Esto nos permite entonces definir la unión de familias de conjuntos de cualquier cardinalidad (cardinalidad de la familia claro), y esa es la razón de que se prefiera hacerlo en esta forma, para evitar esas limitaciones debidas a la cardinalidad de los subíndices. Ya que dicha cardinalidad (la de la família) debe coincidir con la cardinalidad del conjunto de subíndices, pero haciéndolo de esta forma no se exigirá que sea finita ó numerable, sino que puede ser cualquiera:

Así por ejemplo la família [texx]\{A_r\}_{r\in{R}}[/texx] podría expresarse facilmente usando esa forma de definir una familia, pero ...

¿Esa es la única razón ó hay alguna otra?

Cuando leí la expresión que usaste "FAMILIA ARBITRARIA DE CONJUNTOS" me hice para mis adentros la pregunta del porqué usaste esa expresión. Creo que hubiera sido interesante haber definido dicho concepto previamente para luego entrar a definir la unión ó la intersección de tales familias. Ese es un matiz que pasa desapercibido a menudo.

Es este tipo de "sutilezas" (creo que se mostrarán muchas parecidas en este curso), el que me interesa pulir asistiendo a este cursillo.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 06/01/2010, 06:18:42 pm
Las dos definiciones de unión debieran coincidir en el caso de que el conjunto de índices sea I = {1,2,...,n}. O sea, deben dar siempre el mismo resultado, cualesquiera sean los conjuntos que se tomen.

Cita
Así por ejemplo la família  [texx]\{A_r\}_{r\in{R}}[/texx] podría expresarse facilmente usando esa forma de definir una familia, pero ...
¿Esa es la única razón ó hay alguna otra?

En realidad no entiendo bien la pregunta. ¿La razón de qué?




Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: Jabato en 06/01/2010, 06:31:44 pm
Me preguntaba el porqué dijiste:

Esta última definición reformulémosla en un modo algo más "interesante", en términos del cuantificador existencial:

[texx]A_1\cup A_2\cup \cdots A_n:= \{x:\exists{k\in\{1,2,\cdots,n\}}(x\in A_k)\}[/texx]

y el porqué utilizaste la expresión "FAMILIA ARBITRARIA DE CONJUNTOS"

Intenté responderme y obtuve como única razón que haciéndolo de esta forma se obtiene la ventaja de poder trabajar con familias de cualquier cardinalidad, pero desconozco si esa es la única razón ó hay alguna otra que se me escape.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 06/01/2010, 07:52:15 pm
Al cambiar el formato "enumerado" [texx]A_1\cup A_2\cup \cdots A_n:= \{x:x\in A_1\textsf{\ ó\ }x\in A_2\textsf{\ ó\ }\cdots \textsf{\ ó\ }x\in A_n\}[/texx]
por el formato "con cuantificador" [texx]A_1\cup A_2\cup \cdots A_n:= \{x:\exists{k\in\{1,2,\cdots,n\}}(x\in A_k)\}[/texx]
se pretende introducir el concepto de unión arbitraria de un modo "pedagógico".

Claro, justamente esa es la razón de dar una misma definición de dos maneras distintas.
Uno no puede escribir "infinitas" conjunciones "ó", que sería lo necesario para definir una unión infinita.
Así que se usa el cuantificador. El símbolo "[texx]\exists{}[/texx]" es como una conjunción "ó" aplicada a finitos o infinitos términos.

Así como el símbolo + se usa para expresar sumas de finitos términos,
y el símbolo [texx]\displaystyle\sum[/texx] se usa para sumas tanto finitas como infinitas,
del mismo modo el cuantificador existencial [texx]\exists{}[/texx] se puede pensar como una conjunción "ó" generalizada a tantos términos como uno quiera.

Análogamente, el cuantificador universal "[texx]\forall{}[/texx]" se puede ver como un "operador lógico" que generaliza a la conjunción "y" al caso de tantos términos como uno quiera.

Hay un salto cualitativo del caso finito al no finito.
La idea es diferente. Se está reemplazando el uso iterado de la conjunción "ó" por el de un cuantificador "[texx]\exists{}[/texx]".
Esto exige un pequeño esfuerzo de mayor comprensión.
Estudiar el significado del cuantificador en el caso finito permitiría hacer ese salto de modo que se entienda mejor lo que se está haciendo.



"Mis" razones para pasar a la forma con "cuantificador" fueron justamente esas:
poder definir uniones e intersecciones de familias arbitrarias de conjuntos, tanto finitas como infinitas, y además "que se entienda" el sentido de la generalización.

Cita
"FAMILIA ARBITRARIA DE CONJUNTOS" (,,,) Creo que hubiera sido interesante haber definido dicho concepto previamente para luego entrar a definir la unión ó la intersección de tales familias.

Bien. Voy a agregar más detalles de esto en la teoría.




Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: Jabato en 06/01/2010, 08:53:11 pm
Pues después de leer tu respuesta creo que efectivamente hay más de una razón para usar esa forma de definir la familia arbtraria de conjuntos:

1ª.- El poder considerar familias de cualquier cardinalidad, no solo de cardinalidad numerable, que es la que estaríamos considerando si usamos como subínice  un número natural.

2ª.- La de substituir el operador [texx]\vee[/texx] por el cuantificador universal [texx]\exists{}[/texx] en la definición de la unión infinita.

Ambas son dos buenas razones, no cabe duda.

Ahora ya lo tengo más claro, si.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 06/01/2010, 09:37:59 pm
Jabato: En "Dictado" agregué el ejercicio A.5.1.a.
Lo que hay que probar tiene bastante sentido común, y mezcla familias de conjuntos finitas e infinitas.
La gracia está en escribir  ;) la demostración completa, escribiendo una a una las implicaciones  y usando todas las propiedades de conjuntos, y de paso sirve para practicar la notación.

Recordar que toda igualdad de conjuntos tiene dos partes: la inclusión hacia un lado y hacia el otro.

Para "entrenarse" con el manejo de estas cosas conviene sentarse a demostrar ciertas igualdades clásicas, como por ejemplo las leyes de De Morgan para familias infinitas (ejercicios A1.3.e/f).

También agregué un spoiler con una larga explicación sobre las familias de conjuntos. Creo que exageré con el aspecto pedagógico, pero al final se muestran un poco las distintas maneras de notación empleadas para familias de conjuntos, y el hecho de que hay una función dando vueltas por ahí, que define a la familia.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: topo23 en 11/01/2010, 12:26:40 am
Dejamos como ejercicios demostrar las siguientes propiedades elementales:

  • Ejercicio A1.3.a. [texx]A\cap (B \cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)[/texx]
  • Ejercicio A1.3.b.[texx]A\cup (B\cap  C)=(A\cup  B)\cap (A\cup C)[/texx]
  • Ejercicio A1.3.c.[texx](A\cup B)^c=A^c\cap  B^c[/texx]
  • Ejercicio A1.3.d.[texx](A\cap B)^c=A^c\cup  B^c[/texx]
  • Ejercicio A1.3.e.[texx](\bigcup_{\iota \in I}A_\iota )^c=\bigcap_{\iota \in I}A_\iota ^c[/texx]
  • Ejercicio A1.3.f.[texx](\bigcap_{\iota \in I}A_\iota )^c=\bigcup_{\iota \in I}A_\iota ^c[/texx]

Las primeras propiedades son las leyes distributivas.
Las últimas propiedades son las leyes de De Morgan.


Quda mas claro si dice que las "2" primeras son las leyes distributivas y que las "4" ultimas son las leyes de DeMorgan.

Comentario: Para ser un curso de topologia aparece mucha teoria de conjuntos, lo que me parece bien, pero tal vez convenga separarlos un curso de teoria de conjuntos.




Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 11/01/2010, 12:41:41 pm
Cita
topologia aparece mucha teoria de conjuntos

Como bien dije al principio, voy a desarrollar los temas de teoría de conjuntos que hagan falta para entender bien el curso, y lo haré en la medida que los participantes me lo demanden.

Y ocurre que ha habido algo de demanda por algun que otro participante.

Además, ya dije que ese capítulo es opcional, y cada cual lo estudia o repasa si quiere.

Incluso, voy a agregar más temas de conjuntos.

Topo23: Acorde a las reglas en los foros de cursos, para una mejor ordenación hay que poner los comentarios en la sección "Consultas, comentarios y ejercicios".
Lleva mucho trabajo mover los mensajes al lugar correcto.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 14/01/2010, 04:05:38 am
Argentinador, he hecho los ejercicios del Munkres capítulo 1. Nada más me quedan un par de dudas, el ejercicio 1.1 recomiendas probarlo con elementos?

Me atoré un poco en el ejercicio 1.7, sé que parecer muy sencillo, pero pues qué puedo decir:
mi respuesta es (traté de usar LaTex pero no pude):

D=Ainter(BunionC)
E=(AinterB)unionC


Pero estoy un poco trabado con el F para establecer que si x es elemento de B implica que es elemento de C.

Alguna sugerencia?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/01/2010, 04:18:37 am
el ejercicio 1.1 recomiendas probarlo con elementos?

Sí. Se supone que en la sección 1 no sabemos nada de las operaciones de conjuntos salvo su definición. Si ya tuviéramos antes probada alguna propiedad "algebraica", podríamos usarla, pero si no tenemos nada, entonces... "Sea [texx]x \in A[/texx], entonces..."

Cita
traté de usar LaTex pero no pude

Hay que poner las fórmulas entre etiquetas [tex][/tex] (primer botón a la izquierda).
Por ejemplo: [tex]A\cap{B}[/tex] genera [texx]A\cap B[/texx].

Cita
Pero estoy un poco trabado con el F para establecer que si x es elemento de B implica que es elemento de C

No sé bien cuál es tu duda. Hay que expresar F usando sólo operaciones [texx]\cap,\cup,-[/texx], sin "propiedades" enunciadas entre llaves.

Te puede ayudar recordar que para premisas lógicas [texx]p,q[/texx], la implicación

[texx]p\Rightarrow{ q}[/texx]   es equivalente a   [texx]\textsf{no-}p\textsf{\ ó }q[/texx].




Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 14/01/2010, 04:24:02 am
el ejercicio 1.1 recomiendas probarlo con elementos?

Sí. Se supone que en la sección 1 no sabemos nada de las operaciones de conjuntos salvo su definición. Si ya tuviéramos antes probada alguna propiedad "algebraica", podríamos usarla, pero si no tenemos nada, entonces... "Sea [texx]x \in A[/texx], entonces..."

Sí, así lo intenté y funciona bien para las leyes distributivas, aunque para las de Morgan me quedó un poquitín larga, preferiría usar propiedades algebraicas. Pero bueno, mantegámonos con elementos por el momento. Veré que tanto tardo en pasar las respuestas a LaTex para irlas subiendo, creo que voy a tardar pues nunca lo he usado!


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/01/2010, 04:33:19 am
En el mensaje anterior agregué otras respuestas a lo que me habías preguntado.

Con las propiedades de De Morgan creo que no se pueden usar propiedades algebraicas a esta altura tan básica...

Sin embargo, podrías aprovechar que las operaciones de conjuntos son "paralelas" a las operaciones lógicas.

Si tenemos 3 proposiciones [texx]\alpha,\beta,\gamma[/texx], la fórmula:

[texx]\alpha\textsf{\ y \ } \textsf{no-}(\beta\textsf{\ o \ }\gamma)[/texx]

es lógicamente equivalente a

[texx](\alpha\textsf{\ y \ }\textsf{no-}\beta)\textsf{\ o \ }(\alpha\textsf{\ y \ }\textsf{no-}\gamma)[/texx]

Luego basta poner [texx]\alpha :\equiv{}x\in A[/texx], [texx]\beta :\equiv{}x\in B[/texx], [texx]\gamma :\equiv{}x\in C[/texx].

Con eso la demostración queda bastante clara. No sé si breve en el papel, pero sí rápida de escribir...

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 14/01/2010, 04:40:34 am
OK, ya veo, bueno, éste es ahora mi intento. Me quedó muy larga la F, me da la impresión que está correcta, pero habría que refinarla:
[texx]D=A\cap{(B\cup{C)}}[/texx]
[texx]E=(A\cap{B)}\cup{C}[/texx]
[texx]F=(A\cap{B)}-(A\cap{(B-C))[/texx]


Abusando un poco de ti, ¿cuál es el editor de LaTex que usas en tu PC?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/01/2010, 04:54:31 am
Me parece que el conjunto F es incorrecto.

Yo razono así:

[texx]\alpha\equiv{x\in A}[/texx]
[texx]\beta\equiv{x\in B}[/texx]
[texx]\gamma\equiv{x\in C}[/texx]
[texx]\phi\equiv{x\in F}[/texx]

Estoy usando el signo [texx]\equiv{}[/texx] para indicar "equivalencia lógica".
Es  un "si, y sólo si". O como un [texx]\Longleftrightarrow{}[/texx]...

Así que
[texx]\phi\equiv{}x\in A\textsf{\ y\ }(x\in B\Longrightarrow{x\in C})\equiv{}\alpha\textsf{\ y\ }(\beta\Longrightarrow{\gamma})[/texx]

Usando que [texx](\beta\Longrightarrow{\gamma})\equiv \textsf{no-}\beta\textsf{\ ó\ }\gamma[/texx], puedo escribir ahora:

[texx]\phi\equiv{}\alpha\textsf{\ y\ }(\textsf{no-}\beta\textsf{\ ó\ }\gamma)[/texx]

Aplicando ley distributiva de la conjunción "y":

[texx]\phi\equiv{}(\alpha\textsf{\ y\ }\textsf{no-}\beta)\textsf{\ ó\ }(\alpha\textsf{\ y\ }\gamma)[/texx]



Si reescribimos el significado de estas proposiciones en función de "x", se ve que esta última condición que es equivalente a la condición [texx]\phi[/texx] que determina a los elementos de F, nos dice que:

[texx]F=(A-B)\cup(A\cap C)[/texx]

Hace un rato me habías preguntado si podrías usar "operaciones algebraicas de conjuntos".

En rigor no, pero fijate que "casi" las he usado, porque las mismas propiedades algebraicas de los conjuntos valen para las operaciones lógicas.

Esto es así por la propia definición de las operaciones conjuntísticas, que se hacen en paralelo a dichas operaciones.

Se "traduce" negación por "diferencia", "disyunción" por "unión", y "conjunción" por "intersección".

Y con las operaciones lógicas se puede aplicar "leyes distributivas" y "leyes de De Morgan", aunque en su propio contexto, claro está.

Creo que esto aclara muchos pasos en las demostraciones.

Saludos






Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 14/01/2010, 05:03:15 am

Ya veo, muy clara la demostración y la aclaración de las propiedades.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 14/01/2010, 06:44:19 am
[texx]\Longrightarrow{A\subset{(B\cup{C})}[/texx]


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: Alejo en 14/01/2010, 06:44:02 pm
[texx]\Longrightarrow{A\subset{(B\cup{C})}[/texx]
Supongo que estas en 1.7, yo lo veo asi:

[texx](A\cap{B})\subset{C}[/texx]

A ver que dice el profe



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: Alejo en 14/01/2010, 07:39:31 pm
Me refiero al ejercicio 1.3 a)

[texx]

Directa:\\
Si\;\;\; $x < 0 \Longrightarrow{x^2-x}> 0$\\
Reciproca:\\
Si\;\;\; $x^2-x > 0 \Longrightarrow{x} < 0$\\
Contrapositiva:\\
Si\;\;\; $\neg (x^2-x) > 0 \Longrightarrow{\neg } x < 0$
[/texx]

Creo que en los tres casos las conclusiones son falsas, por lo que creo que algo no debe funcionar en mis apreciaciones "logicas" y quisiera vuestra opinión

EDITO: OK. resuelto! un lapsus!! ... :)

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/01/2010, 09:25:19 pm
[texx]\Longrightarrow{A\subset{(B\cup{C})}[/texx]
Supongo que estas en 1.7, yo lo veo asi:

[texx](A\cap{B})\subset{C}[/texx]

A ver que dice el profe



No sé a qué se refieren con esto.

No tiene ningún sentido.  ::)



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 14/01/2010, 09:29:24 pm
La verdad estaba empezando a escribir las respuestas para el ejercicio 1.3, pero se hizo tarde y dejé la computadora. Fue un error mio y se refiere a parte de un problema, pero no tienen ningún sentido pues está incompleto. Iré posteando poco a poco algunas respuestas para que las podamos discutir.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/01/2010, 09:29:59 pm
Me refiero al ejercicio 1.3 a)

EDITO: OK. resuelto! un lapsus!! ... :)

Saludos

 :)


Sí, parece que no importa sin son verdaderas o falsas, sino sólo escribir las proposiciónes que se piden.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/01/2010, 09:32:00 pm
no tienen ningún sentido pues está incompleto

Me imaginé, pero lo que no entiendo es lo que dice Alejo.

Igual no hay problema. Sigan trabajando.
Ya les voy a ir subiendo los ejercicios de las secciones que siguen.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: vekito22 en 15/01/2010, 04:57:05 pm
bueno desearia de favor que las clases lo ponga en archivo pdf para imprimirlo y poderlo estudiar por que para estudiarlo en la pc duelen las vistas....solo pido eso nada mas ......


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 15/01/2010, 06:05:58 pm
Lo de poner las clases en pdf puedes hacerlo por tu cuenta, con adobe professional o novapdf.

Ahí van mis respuestas para algunos ejercicios (argentinador me ayudó con uno del 7).

Problema 2

[a)] {[texx]A\subset{B}[/texx] y [texx]A\subset{C}[/texx] [texx]\Longrightarrow{A\subset{(B\cup{C})}}[/texx]}
[b)] {[texx]A\subset{B}[/texx] o [texx]A\subset{C}[/texx] [texx]\Longrightarrow{A\subset{(B\cup{C})}}[/texx]}
[c)] {Verdadero, supongamos [texx]x\in{A}[/texx][texx]\Longrightarrow{x\in{B}}[/texx],[texx]x\in{C}[/texx]}[texx]\Longrightarrow{x\in{(B\cap{C})}}[/texx]
[d)] {[texx]A\subset{B}[/texx] o [texx]A\subset{C}[/texx] [texx]\Longleftarrow{A\subset{(B\cap{C})}}[/texx]}
[e)] {[texx]A-(A-B)\subset{B}[/texx]}
[f)] {[texx]A-(B-A)\supset{(A-B)}[/texx]}
[g)] {Verdadero, supongamos [texx]x\in{A\cap{(B-C)}}[/texx][texx]\Longrightarrow{x\notin{C}}[/texx],[texx]x\in{A}[/texx],[texx]x\in{B}[/texx][texx]\Longrightarrow{x\in{(A\cap{B})}}[/texx],[texx]x\notin{(A\cap{C})}[/texx]. Ahora, supongamos [texx]x\in{A}[/texx],[texx]x\in{B}[/texx], y [texx]x\notin{C}[/texx], [texx]\Longrightarrow{x\in{(A\cap{B})}}[/texx],[texx]x\notin{(A\cap{C})}[/texx][texx]\Longrightarrow{x\in{A\cap{(B-C})}}[/texx]}
[h)] {[texx]A\cup{(B-C)}\supset{(A\cup{B})-(A\cup{C})}[/texx]}
[i)] {Verdadero por definición de unión y complemento}
[j)] {Verdadero por definición de subconjunto y producto cartesiano}
[k)] {Falso porque A o B pueden ser conjuntos vacíos}
[l)] {Verdadero por definición de subconjunto y producto cartesiano}
[m)] {[texx](a,b)\cup{(c,d)}\subset{((A\cup{C}),(B\cup{D}))}[/texx]}
[n)] {Verdadero por definición de intersección y producto cartesiano}
[o)] {Verdadero por definición de complemento y producto cartesiano}
[p)] {Verdadero por definición de complemento y producto cartesiano}
[q)] {[texx](A\times{B})-(C\times{D})\supset{(A-C)-(B-D)} [/texx]}


Problema 7

{[texx]D=A\cap{(B\cup{C)}}[/texx]}
{[texx]E=(A\cap{B})\cup{C}[/texx]}
{[texx]F=(A-B)\cup(A\cap C)[/texx]}

Problema 10

[10 a.]{Sí, el conjunto es el producto de los enteros con los reales}
[10 b.]{Sí, el conjunto es el producto de los reales con (0, 1]}
[10 c.]{No, el conjunto (x,y) siempre depende del valor de x, si fijamos x, o de y si fijamos y}
[10 d.]{Sí, el conjunto es el producto de (reales menos enteros) por los enteros}
[10 e.]{No, debido a que es un círculo abierto puede tener dos valores, por lo que no sería uno a uno}


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 15/01/2010, 06:58:31 pm
Del ejercicio 2: los enunciados de (a), (b), (c), (d) están incorrectos.
Las inclusiones van para el otro lado, los conjuntos no son los correctos... así que cuidado.

Otra cosa: en el (c), obviando que está la inclusión al revés, la demostración está incompleta, porque lo que hay que probar es una "doble implicación" [texx]\Longleftrightarrow{}[/texx].
O sea que se tiene que probar [texx]p\Rightarrow{ q}[/texx] y [texx]q\Rightarrow{p}[/texx], cuando se tiene algo como [texx]p\Longleftrightarrow{q}[/texx].

El (g) está bastante bien, salvo que al final has puesto un par de implicaciones en orden invertido al correcto.

Se debe partir de [texx]{x\in{(A\cap{B})-(A\cap C)}}\Longrightarrow{}[/texx].

En el (m) no sé qué has puesto.

El (k) no está claramente justificado. Si los dos conjuntos A, B son vacíos, todas las inclusiones se dan.
Hay que exhibir un ejemplo concreto donde valgan las inclusiones de la derecha, pero no valga alguna de las de la izquierda. Y exhibirlo claramente...

El 10 en general está bien, se entiende todo, pero los incisos (c) y (e) requieren una justificación un poco más detallada.

En los lugares que has puesto "Verdadero por definición de tal y tal" es muy sospechoso, porque las igualdades no salen tan directamente desde la definición de union, interseccion, etc.



Te resumo varias cosas:

* 1) Soy conciente del esfuerzo que estás haciendo para escribir las cosas en Latex. Es una ardua lucha, así que te lo agradezco.

* 2) Hay que tener cuidado de copiar bien los enunciados, porque si no uno demuestra cosas que no se piden, o que no son ciertas (ej. 2 incisos a, b, c, d).

* 3) No son tan importantes las "respuestas" como todo el "desarrollo". Hay pasos que no hay que saletearse, otros quizá sí.
En esto, depende de qué cosas dé uno por obvias, y desconozco qué tanta experiencia tienes con conjuntos. Así que puede que debas escribir más o menos cosas.
Pero los pasos que uno se saltea tienen que ser fáciles de rellenar para quien los lee.
Hay que fijarse bien.

* 4) Los contraejemplos deben exhibirse bien.

* 5) Las demostraciones de tipo "negacion de propiedades" como 10(c) y 10(e) requieren una demostración más detallada. Por suerte con números reales y funciones en el plano las cosas se entienden bien, pero aún así hay que demostrar dando algún detalle más...

Es claro que toda esta batería de ejercicios de conjuntos puede resultar pesado y rutinario.
Pero aún así hay que escribir las cosas con cuidado.

Uno puede elegir qué ejercicios hacer, y cuáles no.
Yo no les exijo que los hagan a todos.

Eso depende de cuán seguros se sientan ustedes con la teoría de conjuntos.

Pero aprovechemos para escribir las demostraciones con la mayor corrección y exactitud posibles.

Saludos,
y de nuevo gracias Morito por tu esfuerzo






Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 15/01/2010, 08:06:51 pm
Mmm, lo siento mucho. De hecho, los volví a checar y no entendía por qué estaba mal! Hasta que comparé los que pusiste en el post con los que tenía en mi libro, son diferentes. Para la otra seré más cuidadoso y veré si posteas los mismos o los cambias un poco.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 15/01/2010, 08:52:52 pm
Bueno, tengo dos ediciones distintas, la 1era y la 2da.
Me confié de que en ambas los ejercicios estaban enunciados igual,
así que el error es mío,
porque anuncié que nos íbamos a basar en la 2da edición del libro.

Te pido disculpas Morito, ahora lo arreglo.



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: Alejo en 15/01/2010, 09:13:00 pm
Respecto al ejercicio 1.10
[texx]
c)\\

$$\{(x,y): y > x\}$$

Podria hacerse valer la cortadura?

$$\alpha = A|B : A\cup{B} = R, \;\;\;A\neq{\emptyset}\:\:\; y\;\;\; B\neq{\emptyset},\;\;\; x < y, \;\;\;x\in{A}, \;\;\;y \in{B}$$\\
Aunque asi existiria una cota para el dominio y la funcion estaria como algo mutiliada?

e)

Valdrian los subconjuntos A=\{-1,0,1\} B=\{0,1\} (pregunta)

Saludos

[/texx]


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 15/01/2010, 10:07:12 pm
¿Una cortadura en R?

Supongamos que hay una cortadura, con las propiedades que has especificado.
Ahora deseamos describir el semiplano [texx]\{x<y\}[/texx] como el producto [texx]A\times B[/texx].

Como has dicho que [texx]A, B[/texx], son no vacíos, podemos tomar ciertos elementos, digamos [texx]a\in A,b\in B[/texx].
Ahora te pregunto si el par ordenado [texx]\mathbb{(}b,b+1\mathbb{)}[/texx], que obviamente es un punto de [texx]\{x<y\}[/texx], acaso pertenece a [texx]A\times B[/texx].
Si perteneciera, entonces tendría que cumplirse, por def. de prod. cartesiano, que [texx]b\in A,b+1\in B[/texx]. (arreglé una B que estaba mal  :o )
Luego, [texx]b\in B\cup A[/texx].

Pero esto se contradice con el hecho de que [texx]A,B[/texx], son disjuntos por ser [texx]A|B[/texx] una cortadura.

La idea es fácil. El punto [texx]b[/texx] es una cota superior de [texx]A[/texx]. O sea que desde [texx]b[/texx] hacia la derecha, ningún punto puede ser de [texx]A[/texx].
Pero aún a la derecha de [texx]b[/texx] se pueden hallar puntos [texx]x[/texx] que están "debajo" de la diagonal con ecuación [texx]x=y[/texx].

El semiplano [texx]\{x<y\}[/texx] está limitado por una recta en diagonal con ecuación [texx]y=x[/texx].

Así que hay que seguir la idea de Morito en todo esto.



La demostración iría más o menos así.

Supongase que en verdad existen [texx]A,B[/texx], subconjuntos [texx]\mathbb{R}[/texx] tales que [texx]A\times B=\{(x,y)|x<y\}[/texx].

Para que eso tenga sentido, [texx]A, B[/texx], han de ser no vacíos.
Sea [texx]b\in B[/texx].
Como [texx]b<b+1[/texx], resulta que [texx](b,b+1)\in\{x<y\}[/texx].
Como esto coincide con [texx]A\times B[/texx] por hipótesis, escribimos [texx](b,b+1)\in A\times B[/texx].
Esto implica que [texx]b\in A,b+1\in B[/texx].
Solo nos interesa lo que pasa con [texx]b[/texx].

Hemos probado que, si [texx]b\in B[/texx] entonces [texx]b\in A[/texx].
Esto implica que [texx]B\subset A[/texx].

Razonando de modo similar con [texx]a\in A[/texx] y [texx]a-1<a[/texx], obtendríamos la conclusión recíproca: [texx]A\subset B[/texx].

Por lo tanto [texx]A=B[/texx].
Sea ahora [texx]c\in A[/texx], tenemos que [texx]c\in B[/texx], y así [texx](c,c)\in A\times B[/texx].
Pero también tiene que cumplirse que [texx]c<c[/texx], absurdo.

Esto muestra que no es posible expresar [texx]\{x<y\}[/texx] como un producto [texx]A\times B[/texx].

 


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 15/01/2010, 10:20:19 pm
Respecto al ejercicio 1.10
e)

Valdrian los subconjuntos A=\{-1,0,1\} B=\{0,1\} (pregunta)

Saludos

[/tex]

Creo que no estás entendiendo bien el enunciado.
El conjunto que describe la ecuación [texx]x^2+y^2<1[/texx] es un disco abierto con centro en el origen y radio 1.
Esto es por el teorema de pitagoras y la fórmula de la distancia en el plano.

Fijate en unos de los posts que puse en "Dictado del curso...", en el que explico con todo detalle la geometría del plano, y el tema de los discos abiertos a partir de la noción de distancia.



La idea general en este tipo de problemas es que el producto cartesiano de conjuntos cualesquiera de la recta real, da como resultado en el plano cosas de forma "cuadriculada", o sea, o bien da rectangulos, o bien ciertas uniones de rectángulos, dejando "vacias" las partes no consideradas.

Más concretamente, digamos esto: tomar un conjunto E del plano, proyectarlo en los ejes horizontal y vertical. Esas proyecciones son conjuntos A, B.
Si uno pregunta si E puede escribirse como producto cartesiano de un par de conjuntos, entonces los elementos de A y B tienen que estar en esos conjuntos.
Ahora bien, cuando hacemos el producto [texx]A\times B[/texx] nos va a dar, en muchos casos, un conjunto del plano mayor que el E original.
Y entonces hay que fijarse cuáles son los elementos que sobran, y quedarse con al menos uno de ellos, para exhibirlo como contrajemplo.

En el caso del disco, sus proyecciones A, B, son los intervalos abiertos [texx](-1,1)[/texx] y [texx](-1,1)[/texx].
El producto [texx]A\times B=(-1,1)\times(-1,1)[/texx] es un cuadrado sin sus bordes, pero no es un círculo.
Hay que ahora tomar un punto de ese cuadrado que no esté en el círculo.
Por ejemplo, el punto [texx]{\color{blue}(}0.9,0.9{\color{blue})}[/texx] cumple con esa propiedad (verificarlo).

Ese punto sirve de contraejemplo.



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: Alejo en 16/01/2010, 08:59:00 pm
OK. Gracias por tu detallado razonamiento, que me viene muy bien para ir aclarando conceptos y ordenando ideas.


Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 16/01/2010, 09:08:58 pm
 :)

Bueno.

De todas maneras, siempre hay algo más detrás de las cosas que se discuten.
Por ahora parece un simple problema de productos cartesianos en el plano.

Pero inconvenientes más profundos y preguntas más interesantes provienen luego en el estudio de la continuidad o en las topologias producto, a partir de estas mismas vicisitudes de las "proyecciones".
Por eso también me tomé el tiempo de explicar lo más posible la idea geométrica.

Saludos.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 17/01/2010, 12:30:07 am
Bueno, ahora tratando de hacer los ejercicios de la parte 2.2. La verdad que son ejercicios relativamente sencillos, pero me gustaría hacerlos bien con el fin de mejorar mi manera de escribir la mate (quiero ser más formal)  :banghead: .
 
a) Supongamos que [texx]x\in B_{0}\Rightarrow x\in B_{1}[/texx]. Dado que [texx]f^{-1}[/texx] es suryectiva [texx]f^{-1}\left(x\right)[/texx] existe y es elemento del codominio, dado que [texx]f^{-1}[/texx] es inyectiva [texx]f^{-1}\left(x\right)[/texx] es único. Por lo que [texx]f^{-1}\left(B_{0}\right)\subset f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx].

Es esto suficiente?? Debo confesar que no quedé muy contento. Aunque la siguiente es peor.

b)Supongamos que [texx]x\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in B_{0}\: or\: x\in B_{1}[/texx]. Luego, si x es elemento sólo de uno de los conjuntos o pertenece a ambos la igualdad se cumple.

Entiendo que debería ser más formal en la última parte, pero no se me ocurre cómo. Sé que si x pertenece a B0, se cumple; si x pertenece a B1, se cumple; o si pertenece a la intersección de B0 con B1 también se cumple. ¿Hay alguna manera de formalizar esto?



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 17/01/2010, 01:19:34 am
Intentando hacer el 2.d se me ocurrió una idea que me sirve para el 2.b y 2.c. Ahora sí que quedaron muy lindos. Vean que hermosura

b)
Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]

c)
Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: y\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]

d)
Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\right),f^{-1}\left(x\right)\notin\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right),x\notin f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]

Espero que compartan que son unas lindas demostraciones (aunque reconozco que los ejercicios son bastante sencillos).


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 17/01/2010, 01:28:55 am
(quiero ser más formal) 
 
a) Supongamos que [texx]x\in B_{0}\Rightarrow x\in B_{1}[/texx]. Dado que [texx]f^{-1}[/texx] es suryectiva [texx]f^{-1}\left(x\right)[/texx] existe y es elemento del codominio, dado que [texx]f^{-1}[/texx] es inyectiva [texx]f^{-1}\left(x\right)[/texx] es único. Por lo que [texx]f^{-1}\left(B_{0}\right)\subset f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx].

Es esto suficiente?? Debo confesar que no quedé muy contento. Aunque la siguiente es peor.


Yo lo que veo es que suplantas cosas por su definición.
No es que eso esté mal... hay algunas cuestiones que son del gusto de cada uno.
Por ejemplo eso de que "Supongamos que [texx]x\in B_{0}\Rightarrow x\in B_{1}[/texx]".
Es claramente equivalente a [texx]B_0\subset B_1[/texx].

¿Cuál conviene usar?

En la teoría ultraarchirobótica-inhumana-exacta-dificil de los lenguajes de primer orden, quizá no se usaría una notación como [texx]B_0\subset B_1[/texx], sino algo más preciso como [texx]x\in B_{0}\Rightarrow x\in B_{1}[/texx].

Pero en el trabajo matemático cotidiano, uno define símbolos y abreviaturas, y también terminología, para hacer el trabajo más entendible.

Las abrevituras, definiciones, terminología, son traducibles en última instancia a simbilos frios de la lógica formal pura e intrincada... pero por ahora no conviene hacer eso, porque nadie va a entendernos.

Así que hagamos las cosas como se suelen hacer en el trabajo matemático cotidiano.
Uno "sabe" que puede ser más exacto, pero se "permite" el uso de definiciones y otras cosillas.

Ahora bien. Cuando uno define el simbolo de inclusión, "es para usarlo".
Así que, estéticamente, es más lindo empezar diciendo "supongamos [texx]B_0\subset B_1[/texx]...".

No sólo es más estético, sino que es más rápido y fácil de leer y entender.

Y la razón más importante para comenzar así es que... el ejercicio está enunciado así!!!

Uno debe partir desde el enunciado del ejercicio, y llegar a la conclusión que se pide.

Lo que sigue no le veo sentido.

Me parece que estás mezclando el ejercicio 1 con el ejercicio 2.
En el ejercicio 2 no se supone nada de que f sea suryectiva o inyectiva.

Se trata simplemente de propiedades de los conjuntos de preimágenes.
No requieren hipótesis alguna, salvo que f es una función...


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 17/01/2010, 01:42:25 am
b)
Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]

Está mal demostrado.

Estás suponiendo que x es un elemento de la preimagen de f, lo cual es correcto.
Pero eso implica que x es un elemento de A.
Inmediantamente en la implicación estás poniendo que la preimagen de x es un elemento de los "B"s.
No hay ninguna justificación para eso.

En primer lugar, ¿tiene sentido [texx]f^{-1}(x)[/texx]? Ahí estás presuponiendo que x está en la "imagen" de [texx]f[/texx], si no, no podrías tomarle la preimagen [texx]f^{-1}[/texx]...
En segundo lugar, toda preimagen de [texx]f[/texx] cae en A, no en los "B"s esos.

Primero tenés que tener bien claro lo que estás tratando de demostrar.
Armar bien la idea.
La exactitud formal es el último paso de todo el proceso.

La gracia no está solo en "meter implicaciones" sino embarrarse realmente en las ideas de las demostraciones.

Las pruebas no son difíciles, pero no son tan fáciles tampoco.
Tienen una vuelta de tuerca, que vas a tener que dar.

Lo que se hace es reemplazar una premisa por su definición, y después hacer inferencias lógicas concretas a partir de ahí.
Así que te vas a tener que topar con la [texx]f[/texx] en alguna parte, aunque el enunciado sólo hable de [texx]f^{-1}[/texx]. Esa es la vuelta de tuerca necesaria.



No es importante que quede "hermoso", ni que quede "formal".

Lo más importante de todo es que lo que estás diciendo "sea verdad"!!!

Cada paso que escribas tiene que ser VERDADERO.
Cada expresión que escribas tiene que TENER SENTIDO (o sea, todos los objetos utilizados tienen que estar bien definidos, los términos puestos tienen que haberse ganado el derecho a estar donde los pongas).

Y después sí, vas a poder rellenar los huecos que faltan, formalizando mejor.





Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 17/01/2010, 02:08:59 am
Tienes razón, hice un completo desmadre.

Creo que así va el b

Supongamos
[texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right),[/texx]
por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]

Cómo la ves ahora?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 17/01/2010, 04:21:59 am
y ésta sería mi respuesta para el a)
a

Supongamos [texx]f\left(x\right)\in B_{0}[/texx], por la definición de preimagen, [texx]\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)[/texx]. Dado que [texx]B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1}\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 17/01/2010, 05:31:50 am
Respuesta 2.4
a)
Supongamos [texx]a\in\left(g\circ f\right)^{-1}\left(C_{0}\right)\Rightarrow a\in A\Rightarrow f\left(a\right)\in B\Rightarrow g\left(f\left(a\right)\right)\in C[/texx], tal que [texx]g\left(f\left(a\right)\right)\in C_{0}\subset C[/texx]. La preimagen de [texx]C_{0}[/texx] se define como [texx]g^{-1}\left(C_{0}\right)[/texx] y por definición está en [texx]B[/texx]. Luego [texx]f\left(a\right)\in g^{-1}\left(C_{0}\right)\Rightarrow a\in f^{-1}\left(g^{-1}\left(C_{0}\right)\right)[/texx].

Cómo ve Profesor, éstos demostraciones están correctas o me hace falta estudiar más antes de seguir contestando los ejercicios?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 17/01/2010, 04:05:17 pm
Tienes razón, hice un completo desmadre.

Creo que así va el b

Supongamos
[texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right),[/texx]
por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]

Cómo la ves ahora?

Muy bien, este está pefecto.
Era cuestión de "ponerle más cariño" al asunto, nada más, parece.

Sólo te faltó el remate:

* "Por lo tanto [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right) \cup  f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]".


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 17/01/2010, 04:22:22 pm
y ésta sería mi respuesta para el a)
a

Supongamos [texx]f\left(x\right)\in B_{0}[/texx], por la definición de preimagen, [texx]\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)[/texx]. Dado que [texx]B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1}\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]

Este está muy bien razonado.
Sólo le falta un poco más de precisión, que ahora te explico.

Si empiezas diciendo: "supongamos que [texx]f(x)\in B_0[/texx]", no tiene sentido.
¿Por qué? Porque nunca has dicho qué cosa es [texx]x[/texx].

Fijate que el significado de [texx]f,B_0,B_1[/texx], etc. está dado ya en alguna parte, al menos en el enunciado del ejercicio. ¿Pero [texx]x[/texx]?
Es sólo una letra que no se sabe qué significa.

Uno al leerlo lo entiende, pero trata de imaginarte que esto mismo se lo tienes que explicar a una computadora, y no a una persona. ¿Podrá adivinar la máquina qué representa "x"?
Claro que no.

La "formalidad" en una demostración busca que la misma sea bastante "maquinal".
Esa es la idea de fondo.

Y eso amerita que "nada se puede adivinar" en una demostración.
Con la práctica, y el acostumbramiento a la jerga en cierto tema, la gente empieza a abreviar y quitar pedazos de demostraciones o de definiciones, pero eso viene después de la mucha práctica, no antes.

Bien. El comienzo correcto en tu demostración necesita decir quién es x, así que mejor se empieza por la hipotesis de lo que se desea probar.

Estás queriendo probar una inclusión, así que decimos:

Sea [texx]y\in B_0[/texx].
(Luego/entonces/por lo tanto) existe [texx]x\in f^{-1}(B_0)[/texx] tal que [texx]f(x)=y[/texx].
Esto implica que [texx]f(x)\in B_0[/texx].

Y después se puede seguir con tus pasos.



Mi sensación es que "te queda incómodo" trabajar en el conjunto imagen de una función, y entonces das unas vueltas enredadas, tratando de que la cosa se aclare.

Pero mi consejo es que "no le tengas miedo" al contexto.

Una prueba de que "un conjunto está incluido en otro" se hace "siempre de la misma forma".
Si hay que probar que [texx]C\subset D[/texx], hay que empezar diciendo
"Sea [texx]z\in C[/texx], luego bla bla bla bla bla, y  por lo tanto [texx]z\in D[/texx]".

Eso no cambia. Tenés que confiar en la lógica.
Después en el camino vas agregando todo lo que haga falta para completar la demostración, pero el objetivo es siempre el mismo y no cambia.

Cuando se prueban igualdades de conjuntos, es lo mismo, sólo que ahora se deben demostrar dos inclusiones, una para un lado y otra para el otro lado.

Fijate que "las inclusiones" van corriendo paralelas a "las implicaciones".

Un truquillo para probar igualdades de conjuntos más rápido es aprovechar este otro:
"Las igualdades de conjuntos" van corriendo paralelas a los "si, y sólo si", o sea, flechas de doble implicación.

Pero eso sólo funciona cuando la prueba es fácil.





Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 17/01/2010, 04:48:10 pm
Respuesta 2.4
a)
Supongamos [texx]a\in\left(g\circ f\right)^{-1}\left(C_{0}\right)\Rightarrow a\in A\Rightarrow f\left(a\right)\in B\Rightarrow g\left(f\left(a\right)\right)\in C[/texx], tal que [texx]g\left(f\left(a\right)\right)\in C_{0}\subset C[/texx]. La preimagen de [texx]C_{0}[/texx] se define como [texx]g^{-1}\left(C_{0}\right)[/texx] y por definición está en [texx]B[/texx]. Luego [texx]f\left(a\right)\in g^{-1}\left(C_{0}\right)\Rightarrow a\in f^{-1}\left(g^{-1}\left(C_{0}\right)\right)[/texx].


Acá lo que veo es que el exceso de hipótesis te da inseguridad de que los pasos intermedios estén correctos o tengan sentido.
Ese temor es bueno, pero en todo caso conviene aclarar todas las posibles dudas en un trabajito preliminar a la demostración.

Por ejemplo, podrías calcular o decir cosas sobre los dominios e imagenes y preimagnes de las funciones f, g, asegurarte de que están bien definidas, y que su composición [texx]f\circ g[/texx] está bien definida controlando que "calcen" bien los conjuntos de salida y llegada de las funciones...

Pero eso va antes.
Cuando empezamos con la demostración de la inclusión, tiene que estar más limpia, si no, se arma una gran confusión.

Como te he dicho antes, tenés que tener en cuenta dos cosas:

* "Partir confiadamente del punto en donde el ejercicio te obliga a empezar como hipótesis".
* Tener claro cuál es la conclusión a la que se desea llegar.
* Y confiar en que la lógica misma nos va a llevar por buen camino en los pasos intermedios.

cuando no se sabe qué hacer, lo más fácil es reemplazar una premisa por otra equivalente, o un símbolo por su definición.
No hay mucho más que eso en teoría de conjuntos, las cuentas tienen que salir, muchas cosas son sistemáticas.
Otra cuestión importante es que no hay que forzar los pasos de una demostración.

En cada premisa que uno escribe hay que preguntarse:
* ¿Todas las letras y símbolos de esta premisa que he escrito están ya bien definidos de antemano? ¿Están combinados de forma correcta? ¿Las variables pertenecen al domino de la función que estoy considerando? Etcetera

Cuando se pasa de una premisa a otra por una implicación, hay que preguntarse:
* ¿Es cierto que suponiendo [texx]p[/texx] se implica la verdad de [texx]q[/texx]?

No hay muchos más misterios.

..............................................

Te pediría que trates de hacer de nuevo el ejercicio 2.4(a), de una forma menos enredada, y más limpia. Las ideas que has puesto en el medio sobre la g y su inversa van bien.
Pero busquemos más claridad en los pasos.

Después yo te ayudo a reescribirlo mejor, si hiciera falta.

---------------

Con el 2(b) has mostrado que eres capaz de escribir muy bien estas demostraciones.
Creo que sólo te falta seguir insistiendo con más práctica.




Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 18/01/2010, 12:48:36 am
y ésta sería mi respuesta para el a)
a

Supongamos [texx]f\left(x\right)\in B_{0}[/texx], por la definición de preimagen, [texx]\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)[/texx]. Dado que [texx]B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1}\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]


Sea [texx]y\in B_0[/texx].
(Luego/entonces/por lo tanto) existe [texx]x\in f^{-1}(B_0)[/texx] tal que [texx]f(x)=y[/texx].
Esto implica que [texx]f(x)\in B_0[/texx].


Es cierto lo que dices, todavía estoy un poco incómodo con la imagen y preimagen. Pero bueno, le haré frente hasta que esté cómodo.

De hecho acá me queda una duda (2.2 a)
Sea [texx]y\in B_0[/texx]. (Luego/entonces/por lo tanto) existe [texx]x\in f^{-1}(B_0)[/texx] tal que [texx]f(x)=y[/texx].

Tal vez no le estoy entendiendo bien al concepto de preimagen, pero no me queda claro que el hecho de que exista [texx]y\in B_0[/texx] garantice que exista existe [texx]x\in f^{-1}(B_0)[/texx]. No podría ser la preimagen un conjunto vacío?

Vamos a ver, en términos bastante coloniales, tengo mi función f: A mapeando en B. Si tomo un subconjunto de A (Ao), la imagen de este subconjunto son los elementos de B que cumplen f(Ao). De igual forma, si tomo un subconjunto de B (Bo) y me los regreso a A con la inversa [texx]f^{-1}(B_0)[/texx], esos puntos en A son la preimagen, no?

Entonces acá cuando asumimos que existe y eso implica que existe x tal como lo defines?, o también tendríamos que asumir que existe ese x elemento de la preimagen y luego seguir con los otros pasos?

Espero que no te sea incómodo que te hable tan informalmente, siento que si lo puedo decir así lo entiendo un poco más.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 18/01/2010, 01:48:45 am
Tal vez no le estoy entendiendo bien al concepto de preimagen, pero no me queda claro que el hecho de que exista [texx]y\in B_0[/texx] garantice que exista existe [texx]x\in f^{-1}(B_0)[/texx]. No podría ser la preimagen un conjunto vacío?


Bueno, me parece que acá me equivoqué en grande.

Lo que hice mal fue mirar el razonamiento que habías puesto, pero no me fijé en cuál era en realidad el ejercicio.

Así que tenés razón.
Lo que te corregí estaba mal corregido.

Me disculpo por la confusión que te habré causado.

A ver, empecemos de nuevo.

Hipotesis del ejercicio: [texx]B_0\subset B_1[/texx].
Equivalencia, por definición de inclusión: [texx]x\in B_0\Rightarrow{x\in B_1}[/texx]

Se desea probar: [texx]f^{-1}(B_0)\subset f^{-1}(B_1)[/texx].
Equivalencia, por definicion de inclusión: [texx]\forall{x:}(x\in f^{-1}(B_0) \Rightarrow{}x\in f^{-1}(B_1))[/texx].

Así que probemos eso último.

1) Sea [texx]x\in f^{-1}(B_0)[/texx].
2) Por definición del conjunto [texx]f^{-1}(B_0)[/texx], se deduce que [texx]f(x)\in B_0[/texx].
3) Por hipotesis, [texx]B_0\subset B_1[/texx].
4) Por (2) y (3), se deduce que [texx]f(x)\in B_1[/texx].
5) Por definición de preimagen, (4) implica que [texx]x\in f^{-1}(B_1)[/texx].

Bajo la hipótesis (1) se ha demostrado (5).
O sea, se ha probado la validez de la implicación: [texx]x\in f^{-1}(B_0)\Rightarrow{x\in f^{-1}(B_1)}[/texx].
Pero además eso se ha probado para todo x, sin excepción...
O sea, es verdadero que:

[texx]\forall{x:}(]x\in f^{-1}(B_0)\Rightarrow{x\in f^{-1}(B_1)})[/texx]

Ahora aplicamos definición de inclusión, y obtenemos [texx]f^{-1}(B_0)\subset f^{-1}(B_1)[/texx].



Fijate que acá puse el resumen de la teoría de funciones, sección 2, y está explicado o definido qué son la imagen y la preimagen.
Lo que amerita un cuantificador "existencial" es la imagen.
Yo me había equivocado cuando te corregí. En la definición de preimagen no se pone eso.

Ahí va el link por las dudas:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,28733.msg113147.html#msg113147 (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,28733.msg113147.html#msg113147)



Ahora viene otra duda tuya, respecto los conjuntos vacíos.

En teoria de conjuntos es muy común que aparezcan implicaciones vacías.
Se suele decir: "Sea [texx]x\in\emptyset[/texx], entonces..."

¿Es esto válido?

Esta es una gran cuestión molesta en la teoría.
Lo que se puede hacer es separar las demostraciones en dos casos: uno, el caso en que el conjunto considerado es vacío, y otro, cuando no es vacío.
Eso puede ayudar a aclarar las cosas, y a que las demostraciones no tengan dudas.

Sin embargo, desde un punto de vista lógico, no hay inconveniente en tomar elementos en un conjunto vacío... ¿Por qué?

Hay que recordar lo que significa la operación de "implicación".
Es un "operador lógico". Fijate en la tabla de verdad que puse en la teoría.
Ahí, la tabla tiene 4 entradas, para operandos p,q.
La implicación [texx]p\Rightarrow{q}[/texx] es verdadera casi siempre: cuando p, q son ambas verdaderas, y cuando el antecedente p es falso.

El unico caso que es falso es cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso.

¿Qué significa esto?
Lo que significa es que la implicación es una "operación de inferencia", una "parte de un razonamiento", pero no es un "validador" de premisas.

Puede que las premisas sean falsas, y que "el razonamiento aún sea correcto".
Justamente, en ese tipo de cosas se basa el método de reducción al absurdo.
Uno parte de algo falso, para demostrar la negación de algo verdadero...

No tiene nada que ver que las premisas sean falsas o verdaderas, lo que ¡mporta es que el razonamiento sea correcto.

Abajo, en la misma teoría, expliqué la definición de razonamiento correcto.
En un razonamiento, sí que se exige que todas las premisas sean verdaderas.
Se exigen dos cosas en el razonamiento Modus Ponens: que el razonamiento sea correcto, o sea que [texx]p\Rightarrow{q}[/texx] sea siempre verdadero para las premisas consideradas.
Y también se exige que la premisa inicial p sea verdadera.

Luego, el razonamiento permite concluir la verdad de q.

O sea que no es lo mismo una "implicación" que un "si... entonces...".

El "Si ... entonces..." tiene esta estructura:

* Demostrar que son ciertas [texx]p[/texx], y también [texx]p\Rightarrow{q}.[/texx]
* Se concluye que [texx]q[/texx] es cierta.

No se pone un símbolo de [texx]\Rightarrow{}[/texx] en un "Si ... entonces...", son cosas distintas.

Espero no estar confundiéndote con esto, pero ahí radica la cuestión.

Si uno dijera algo como "Si [texx]x\in A[/texx], entonces [texx]x\in B[/texx]...", ese razonamiento sólo sería válido si A no fuera un conjunto vacío.
Si A estuviera vacío, directamente el razonamiento no se aplica.
Porque en este caso podría ser que la implicación [texx]x\in A\Rightarrow{x\in B}[/texx] sea cierta o demostrable, pero sin embargo la premisa [texx]x\in A [/texx] sería falsa, por ser A vacío.






Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 18/01/2010, 03:26:55 am
Posteo todas las respuestas por si alguien las quiere comentar
2

(a) Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\Rightarrow x\in A\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{0}[/texx], por hipótesis [texx]B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1}[/texx], por la definición de preimagen, [texx]\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f^{-1}\left(B_{0}\right)\subset f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx].

(b) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)[/texx], por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]

(c) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)[/texx], por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: y\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cap f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]

(d) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\notin\left(B_{1}\right)\therefore x\in\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)-f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)[/texx]

(e) Supongamos [texx]x\in A_{0}[/texx], entonces, [texx]f\left(x\right)\in f\left(A_{0}\right)[/texx].Por hipótesis [texx]A_{0}\subset A_{1}\Rightarrow x\in A_{1}[/texx], entonces, [texx]f\left(x\right)\in f\left(A_{1}\right)\therefore f\left(A_{0}\right)\subset f\left(A_{1}\right)[/texx]

(f) Supongamos [texx]x\in f\left(A_{0}\cup A_{1}\right)[/texx], por definición de función [texx]x\in f\left(A_{0}\right)[/texx] o [texx]x\in f\left(A_{1}\right)[/texx], por lo tanto [texx]x\in f\left(A_{0}\right)\cup f\left(A_{1}\right)[/texx]

la g y la h son parecidas, pero no sé si esté correcto el razonamiento en la f por lo que mejor espero la aprobación del profe


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 18/01/2010, 04:07:53 am
Voy a repetir tu mensaje, y le agrego en rojo lo que considero son correcciones.


(a) Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cancel{\color{red}\Rightarrow x\in A}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{0}[/texx], por hipótesis [texx]B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1}[/texx], por la definición de preimagen, [texx]\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f^{-1}\left(B_{0}\right)\subset f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx].

(b) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)[/texx], por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]

(c) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)[/texx], por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: y\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cap f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]

(d) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\notin\left(B_{1}\right)\therefore x\in\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)-f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)[/texx]

(e) Supongamos [texx]\cancel{\color{red}x\in A_{0}}[/texx],
Supongamos que [texx]y\in f(A_0)[/texx].
Entonces existe [texx]x\in A_0[/texx] tal que [texx]f(x)=y[/texx].

entonces, [texx]f\left(x\right)\in f\left(A_{0}\right)[/texx].
Por hipótesis [texx]A_{0}\subset A_{1}[/texx]. Entonces [texx]x\in A_{1}[/texx],
entonces, [texx]f\left(x\right)\in f\left(A_{1}\right)[/texx].
Pero teníamos [texx]y=f(x)[/texx], [texx]\therefore f\left(A_{0}\right)\subset f\left(A_{1}\right)[/texx]



Fijate qué tipo de corrección te hice en el (e):
Cambié lo más importante que son "cómo se empieza" y "cómo se termina".

Las ideas de tu razonamiento están muy bien en el (e), pero esta vez sí que había que "meter el cuantificador existencial". Esta vez sí que corresponde.
Fijate si no en la definición de imagen f(A) de una función: ahí aparece un cuantificador existencial.

El inciso (f) me parece que tendrías que revisarlo y hacerlo de nuevo.
Se va a necesitar un cuantifador existencial en algún lugar, imagino.

Los demás incisos me parece que están muy bien.

Otra cosa: te cambién un signo [texx]\Rightarrow{}[/texx] por la palabra "Entonces" separando la oración con anterior con un punto.
Revisá lo que te expliqué sobre la diferencia entre "implicación" y "Si... entonces... ".
Son cosas distintas.

En el uso común, se suele decir una cosa por otra, y la gente no se queja.
O sea, se suele mezclar el uso de las palabras "implica" y la construcción "Si...entonces...".
Pero el uso del símbolo [texx]\Rightarrow{}[/texx] ya queda feo.
Porque lo estás usando como una "abreviatura" de la frase "Si...entonces..."  y eso es más bien incorrecto.
El símbolo [texx]\Rightarrow{}[/texx] es un operador lógico.
No estaría bien escribir, como has puesto:

"Por hipotesis [texx]\color{blue}A_{0}\subset A_{1}\Rightarrow x\in A_{1}[/texx]".

Porque se entiende que todo lo que está en azul es lo que estás tomando como hipótesis.



Veo que te gusta poner muchas implicaciones encadenadas en una misma línea.
A la larga eso resulta cada vez más difíciles, porque las demostraciones se vuelven cada vez más complicadas.
Es cierto que una cadena de implicaciones puede ir toda junta, una a la derecha de otra en seguidilla.

Pero un "razonamiento" en una "demostración" no tiene por qué ir en ese orden.
Fijate cómo te puse el inciso (a) en pasos numerados.
Al numerar los hechos que uno va demostrando, puede más tarde invocarlos claramente sin riesgo de confusión.
Cuando quisiste invocar la hipótesis [texx]A_{0}\subset A_{1}[/texx], y después conectar con una implicación lo que venía antes, con lo que viene después, se armó lío.

No hace falta poner una seguidilla de implicaciones así.
El Modus Ponens, que es el razonamiento que estamos empleando en estos ejemplos, no requiere que se trabaje de esa manera.

Modus Ponens: Si P entonces Q.

Procedimiento:

(1) Demostrar P, o darlo como hipótesis.
(2) Demostrar la implicación [texx]P\Rightarrow{Q}[/texx]
----------------------------------------------------
(3) Q es verdadero

Ahora puede afirmarse: "Si P es cierto, entonces Q es cierto".
Y no es lo mismo que escribir [texx]P\Rightarrow{Q}[/texx].
El símbolo de la "flechita" se traduce por "implica", pero no por "entonces".

La diferencia es sutil, pero se entiende más cuando recordamos que la flechita de "implica" es una operación más entre las 16 posibles del álgebra de Boole, Su valor es verdadero o falso.
O sea, dadas dos premisas P, Q, su resultado puede ser V o F.

Mientras que el "Si...entonces..." es un método de inferencia, y como tal, no es una operación booleana.
Su "resultado" no es V o F, sino que "produce" una premisa:
De las premisas "P" y "Q" da como resultado "Q".

Y además estamos seguros que Q es verdadera...

Hay que meditar mucho sobre qué significa "razonamiento válido" en lógica.
Pasan los años y todavía me hago preguntas sobre esto.  ;)


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 18/01/2010, 04:15:09 am
En cuanto al (f) te hago estos comentarios:

Si bien lo que has puesto "en el medio" está mal, has puesto al principio y al final la hipótesis y la conclusión correctas.

Parece algo menor, pero en realidad muestra que uno tiene claro de donde parte, y hacia donde quiere llegar.

Para las imagenes he usado la variable [texx]y[/texx] en vez de la [texx]x[/texx].
Eso no tiene importancia en sí mismo, pero veo que has usado una [texx]x[/texx], y aunque formalmente no está mal, sospecho que "tu mente" anda mezclando imágenes con preimagenes.



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 18/01/2010, 04:17:45 am
Posteo todas las respuestas por si alguien las quiere comentar


Me olvidé de algo importante.

En los incisos (b), (c), (d), se pide demostrar igualdades.
Y sólo has probado inclusiones, porque las implicaciones iban para un solo lado.

Fijate si podés probar las inclusiones hacia el lado opuesto.
No deberían diferir mucho.

A veces, si la cosa viene fácil, basta repetir todas las implicaciones puestas en orden inverso, desde el final hasta el principio.

Pero hay que ir mirando con cuidado que cada paso está bien.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 18/01/2010, 05:08:53 am

Para las imagenes he usado la variable [texx]y[/texx] en vez de la [texx]x[/texx].
Eso no tiene importancia en sí mismo, pero veo que has usado una [texx]x[/texx], y aunque formalmente no está mal, sospecho que "tu mente" anda mezclando imágenes con preimagenes.

Fíjate que no, creo que no me había puesto a pensar pero está mucho mejor la manera en la que tu lo propones. Dejar una letra para la imagen y otra para la preimagen, en lugar de mezclar las letras (que no los conceptos, al menos trato  :P).

Pensaré qué me hace falta de la f) y veré si no es mucha lata hacer las demostraciones hacia el otro lado. Si es mucha lata ya dejaré que otro compañero las haga, que al menos creo haber aprendido y todavía quedan muchos ejercicios de esta sección.

Por otro lado, una pregunta de LaTex. ¿Existe el símbolo "tal que"? Mi profesor de mate usaba como una t inversa con dos puntitos. Pero no sé si sea algo estándar y si exista en LaTex.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 18/01/2010, 05:16:33 am
Creo que la f) (después de tanto problema con las otras), ya se me facilitó más.

(f) Supongamos [texx]y\in f\left(A_{0}\cup A_{1}\right)[/texx]. Entonces existe [texx]x\in\left(A_{0}\cup A_{1}\right)[/texx] tal que [texx]f\left(x\right)=y[/texx]. Entonces [texx]x\in A_{0}[/texx] o [texx]x\in A_{1}\Rightarrow y\in f\left(A_{0}\right)\cup f\left(A_{1}\right)[/texx]



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 18/01/2010, 05:19:33 am
Cita
Por otro lado, una pregunta de LaTex. ¿Existe el símbolo "tal que"? Mi profesor de mate usaba como una t inversa con dos puntitos. Pero no sé si sea algo estándar y si exista en LaTex.

Para decir tal que, yo suelo usar dos puntos ":".
Hay gente que usa una barra /.
Podrías usar la abreviatura t.q.

En la definición de un conjunto se usa la barra vertical |.



La (f) está perfecta.  :)

Sólo le agrego un detallito en azul "por las dudas":


(f) Supongamos [texx]y\in f\left(A_{0}\cup A_{1}\right)[/texx]. Entonces existe [texx]x\in\left(A_{0}\cup A_{1}\right)[/texx] tal que [texx]f\left(x\right)=y[/texx]. Entonces [texx]x\in A_{0}[/texx] o [texx]x\in A_{1}\Rightarrow y{\color{blue}=f(x)}\in f\left(A_{0}\right)\cup f\left(A_{1}\right)[/texx]


(Editado: Falta la inclusión hacia el otro lado, pero sale facil..., no?)

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 19/01/2010, 04:28:29 am
Profe, haciendo la g me di cuenta de que no era tan trivial demostrar las igualdades hacia el otro lado. Así que me di a la tarea de agregarle es parte a las que les hacía falta, de hecho me di cuenta que para eso se usa que f es biyectiva (creo)... ahí van:
2

(a) Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{0}[/texx], por hipótesis [texx]B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1}[/texx], por la definición de preimagen, [texx]\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f^{-1}\left(B_{0}\right)\subset f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx].

(b) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)[/texx], por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]. Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)[/texx]. Entonces, [texx]f\left(x\right)\in B{}_{0}[/texx] o [texx]f\left(x\right)\in B{}_{1}[/texx], dado que [texx]f[/texx] es biyectiva [texx]f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)[/texx].

(c) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)[/texx], por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: y\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cap f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]. Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cap f\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)[/texx]. Entonces, [texx]f\left(x\right)\in B{}_{0}[/texx] y [texx]f\left(x\right)\in B{}_{1}[/texx], dado que [texx]f[/texx] es biyectiva [texx]f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\cap B_{1}\right)[/texx].

(d) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\notin\left(B_{1}\right)\therefore x\in\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)-f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)[/texx]. Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)-f\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: x\in B_{0},x\notin B_{1}[/texx]. Entonces, [texx]f\left(x\right)\in B{}_{0}[/texx] y [texx]f\left(x\right)\notin B{}_{1}[/texx], dado que [texx]f[/texx] es biyectiva [texx]f\left(x\right)\in\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}-B_{1}\right)[/texx].

(e) Supongamos que [texx]y\in f(A_{0})[/texx]. Entonces existe [texx]x\in A_{0}[/texx] tal que [texx]f(x)=y[/texx]. Entonces, [texx]f\left(x\right)\in f\left(A_{0}\right)[/texx]. Por hipótesis [texx]A_{0}\subset A_{1}[/texx]. Entonces [texx]x\in A_{1}[/texx], entonces, [texx]f\left(x\right)\in f\left(A_{1}\right).[/texx] Pero teníamos [texx]y=f(x)[/texx], [texx]\therefore f\left(A_{0}\right)\subset f\left(A_{1}\right)[/texx].

(f) Supongamos [texx]y\in f\left(A_{0}\cup A_{1}\right)[/texx]. Entonces existe [texx]x\in\left(A_{0}\cup A_{1}\right)[/texx] tal que [texx]f\left(x\right)=y[/texx]. Entonces [texx]x\in A_{0}[/texx] o [texx]x\in A_{1}\Rightarrow f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}\right)\cup f\left(A_{1}\right)[/texx]. Supongamos [texx]y\in f\left(A_{0}\right)\cup f\left(A_{1}\right)[/texx], entonces [texx]y\in f\left(A_{0}\right)[/texx] o [texx]y\in f\left(A_{1}\right)[/texx] y existe [texx]x\in A_{0}\cup A_{1}[/texx] tal que [texx]f\left(x\right)=y[/texx]. Entonces, [texx]x\in\left(A_{0}\cup A_{1}\right)\Rightarrow y\in f\left(A_{0}\cup A_{1}\right)[/texx]

(g) Supongamos [texx]y\in f\left(A_{0}\cap A_{1}\right)[/texx]. Entonces existe [texx]x\in\left(A_{0}\cap A_{1}\right)[/texx] tal que [texx]f\left(x\right)=y[/texx]. Entonces [texx]x\in A_{0}[/texx] y [texx]x\in A_{1}\Rightarrow f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}\right)\cap f\left(A_{1}\right)[/texx]. Si [texx]f[/texx] es inyectiva, entonces existe un solo [texx]x[/texx] tal que [texx]f\left(x\right)=y[/texx], entonces, sea [texx]y\in f\left(A_{0}\right)\cap f\left(A_{1}\right)[/texx], por lo tanto, [texx]y\in f\left(A_{0}\right) [/texx]y[texx] y\in f\left(A_{1}\right)[/texx]. Esto implica que [texx]x\in A_{0} [/texx]y[texx] x\in A_{1}[/texx], dado que [texx]x [/texx]es único[texx] x\in\left(A_{0}\cap A_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}\cap A_{1}\right)[/texx].

(h) Sea [texx]y\in f\left(A_{0}\right)-f\left(A_{1}\right)[/texx], por definición de función [texx]y[/texx] es el único elemento de [texx]B[/texx] que cumple con [texx]f\left(x\right)=y[/texx]. Además, [texx]y\in f\left(A_{0}\right) [/texx]y[texx] y\notin f\left(A_{1}\right)[/texx]. Entonces, [texx]x\in A_{0},x\notin A_{1}[/texx], o bien [texx]x\in A_{0}-A_{1}\Rightarrow f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}-A_{1}\right)[/texx]. Supongamos [texx]y\in f\left(A_{0}-A_{1}\right)[/texx], entonces, [texx]y\in f\left(A{}_{0}\right)[/texx] y [texx]y\notin f\left(A{}_{1}\right)[/texx], si [texx]f[/texx] es inyectiva implica que sólo existe un [texx]x[/texx] tal que [texx]f\left(x\right)=y[/texx], por lo que podríamos decir que [texx]x\in A_{0},x\notin A_{1}\Rightarrow x\in\left(A_{0}-A_{1}\right)\therefore f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}-A_{1}\right) [/texx]

PD ya vi que me han puesto como usario Junior, ¿cuándo termine este curso seré usuario nivel Sensei?  ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 20/01/2010, 03:22:50 am
2.4

modifiqué el c y el e, el e lo traté de hacer de la manera en la que me has enseñado

(c) [texx]f[/texx] tiene que ser inyectiva, pero [texx]g[/texx] no necesariamente. Ejemplo: [texx]A=\left\{ 1\right\} ,B=\left\{ 1,2\right\} ,C=\left\{ 1\right\} [/texx],
let [texx]f\left(x\right)=x[/texx] and [texx]g\left(y\right)=1[/texx], tal que [texx]x\in A,y\in B[/texx].
Entonces, hace falta probar que [texx]f[/texx] necesita ser inyectiva, por contradicción,
supongamos[texx]f[/texx] no es inyectiva, es decir, [texx]\exists x_{1}\neq x_{2}[/texx]
tal que [texx]x_{1},x_{2}\in domain\left(f\right)[/texx] y que [texx]f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)[/texx].
Sin embargo, por hipótesis si [texx]g\circ f\left(x_{1}\right)=g\circ f\left(x_{2}\right)\Rightarrow g\left(f\left(x_{1}\right)\right)=g\left(f\left(x_{2}\right)\right)\Rightarrow{x_{1}=x_{2}}[/texx]
lo cual es una contradicción.

(e) [texx]f[/texx] no necesita ser suryectiva, sólo [texx]g[/texx]. Ejemplo: [texx]A=\left\{ 1\right\} ,B=\left\{ 1,2\right\} ,C=\left\{ 1\right\} [/texx],
let [texx]f\left(x\right)=1[/texx] and [texx]g\left(y\right)=y[/texx], , tal que [texx]x\in A,y\in B[/texx].
Hace falta probar que [texx]g[/texx] necesita ser suryectiva:

[1] Por contradicción, suponga que [texx]g[/texx] no es surjectiva, esto es, [texx]\exists z_{0}\in C[/texx]
tal que [texx]g\left(y_{i}\right)\neq z_{0}[/texx] para [texx]\forall{y_{i}\in B}[/texx].
[2] Definamos [texx]f\left(x_{j}\right)=y_{j}[/texx], entonces [texx]y_{j}\subset y_{i}[/texx]
[3] Por 1 y 2, [texx]g\left(y_{j}\right)\neq z_{0}[/texx] o sustituyendo [texx]g\left(f\left(x_{j}\right)\right)\neq z_{0}[/texx]
[4] Sin embargo, nuestra hipótesis inicial era que [texx]g\circ f[/texx], es decir [texx]g\left(f\left(x\right)\right)[/texx],
era suryectiva. Entonces tenemos una contradicción.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 20/01/2010, 10:43:36 am
Ante todo, te pido disculpas por las demoras en las respuestas,
pero se debe a problemas de fuerza mayor: no funciona mi proveedor de internet.


(b) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)[/texx], por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx].

Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)[/texx]. Entonces, [texx]f\left(x\right)\in B{}_{0}[/texx] o [texx]f\left(x\right)\in B{}_{1}[/texx], dado que [texx]f[/texx] es biyectiva [texx]f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)[/texx].


No entiendo por qué te complicás la vida con la "reciproca", si después de todo es igual que la primer implicación, pero en orden inverso:

Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx]

Se sigue que :[texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right) \textsf{\ o\ } x\in f^{-1}\left(B_{1}\right) [/texx]

Luego: [texx]f(x)\in\left(B_{0}\right) \textsf{\ o\ } f(x)\in\left(B_{1}\right) .[/texx]

Entonces [texx]f(x)\in\left(B_{0}\right)\cup\left(B_{1}\right) [/texx].
Finalmente, se deduce que: [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right) [/texx].

No entiendo por qué has invocado la biyectividad de f en este ejercicio...
El ejercicio no supone que f es biyectiva. Además la implicación es cierta, sin recurrir a biyectividad alguna.

En los demás incisos del ejercicio 2 has cometido el mismo error de invocar propiedades que no están en el enunciado.
Pareciera que estás mezclando las hipótesis de otros ejercicios.
Cada nuevo ejercicio... es borrón y cuenta nueva.
En los incisos del ejercicio 2 no se exige biyectividad ni ninguna otra propiedad a las funciones...

¿Estás teniendo claro que "no todas las funciones son biyectivas, o inyectivas o suryectivas"?

¿O es sólo una mezcla de enunciados de ejercicios?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 20/01/2010, 02:26:35 pm
Ante todo, te pido disculpas por las demoras en las respuestas,
pero se debe a problemas de fuerza mayor: no funciona mi proveedor de internet.


(b) Supongamos [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)[/texx], por la definición de preimagen [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)[/texx].

Sea [texx]x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)[/texx]. Entonces, [texx]f\left(x\right)\in B{}_{0}[/texx] o [texx]f\left(x\right)\in B{}_{1}[/texx], dado que [texx]f[/texx] es biyectiva [texx]f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)[/texx].


No entiendo por qué te complicás la vida con la "reciproca", si después de todo es igual que la primer implicación, pero en orden inverso:

¿Estás teniendo claro que "no todas las funciones son biyectivas, o inyectivas o suryectivas"?

¿O es sólo una mezcla de enunciados de ejercicios?


Más preocupante, según yo necesitaba esa propiedad. Pero bueno, vamos mejorando. Revisaré los conceptos antes de intentar corregir los ejercicios.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 21/01/2010, 02:14:54 am
Creo que ya me quedó claro lo del 2.2, no se necesitaba que fuera biyectiva.

Ahora, una duda, la preimagen y la función inversa tienen la misma notación. Sin embargo, la preimagen siempre existe pero no necesariamente la función inversa. Cómo sabemos cuando hablamos de preimagen o de función inversa?

cómo ves el 2.4?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 21/01/2010, 02:21:22 am
Ante todo, te pido disculpas por las demoras en las respuestas,
pero se debe a problemas de fuerza mayor: no funciona mi proveedor de internet.



No importa, al contrario te agradezco mucho, me siento cada vez un poco más cómodo con las demostraciones.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: morito14 en 21/01/2010, 03:32:52 am
Sección 3
1
[texx]E=\left\{ y\mid y\sim x^{2}\right\} [/texx]
Reflexibilidad: [texx]x_{i}^{2}\sim x_{i}^{2}\forall x_{i}\in A[/texx], esto se cumple dada la igualdad
Simetría: [texx]x_{0}^{2}\sim y_{0}[/texx], entonces [texx]y_{0}\sim x_{0}^{2}[/texx], esto se cumple dada la igualdad
Transitividad: dada la igualdad, reflexibilidad y simetria podemos afirmar que [texx]x_{1}^{2}\sim y_{0}[/texx]

4
(a) Transitividad: sea [texx]a_{i}\in A[/texx], [texx]i=1,2,3,...[/texx] Si [texx]a_{1}\sim a_{2}[/texx] y [texx]a_{2}\sim a_{3}[/texx], entonces [texx]f(a_{1})=f(a_{2})[/texx] y [texx]f(a_{2})=f(a_{3})[/texx], entonces [texx]f(a_{1})=f(a_{3})[/texx]. Luego [texx]a_{1}\sim a_{3}[/texx].
Simetría: si [texx]a_{0}\sim a_{1}\Rightarrow\left(f(a_{0})=f(a_{1})\right)\Rightarrow\left(f(a_{1})=f(a_{2})\right)\Rightarrow a_{1}\sim a_{0}[/texx]
Reflexibilidad: si [texx]a_{1}\sim a_{1}\Rightarrow\left(f(a_{1})=f(a_{1})\right)\Rightarrow a_{1}\sim a_{1}[/texx]
(b) Sea [texx]A={[a]|a\in A}[/texx] la relación de equivalencia, también sea
[texx]f^{\star}:A^{\star}\rightarrow B[/texx] la función que mapea el conjunto de relaciones de equivalencia en [texx]B[/texx]. Por definición de función suryectiva, dado [texx]b\in B[/texx] existe un [texx]a\in A[/texx] tal que [texx]f\left(a\right)=b[/texx], por definición de relación de equivalencia [texx]f^{\star}\left(\left[a\right]\right)=f\left(a\right)[/texx], luego [texx]f^{\star}\left(\left[a\right]\right)=b[/texx] [texx]\therefore f^{\star}[/texx] es suryectiva. Además, dada la igualdad y la relación de equivalencia [texx]f^{\star}\left(\left[a_{1}\right]\right)=f^{\star}\left(\left[a_{2}\right]\right)\Rightarrow f(a_{1})=f(a_{2})[/texx], por la definición de [texx]f^{\star}[/texx], entonces [texx]a_{1}\sim a_{2}\Rightarrow[/texx][texx]\left[a_{1}\right]=\left[a_{2}\right][/texx] [texx]\therefore f[/texx] es inyectiva.

5


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 21/01/2010, 06:58:28 pm
Creo que ya me quedó claro lo del 2.2, no se necesitaba que fuera biyectiva.

Ahora, una duda, la preimagen y la función inversa tienen la misma notación. Sin embargo, la preimagen siempre existe pero no necesariamente la función inversa. Cómo sabemos cuando hablamos de preimagen o de función inversa?

cómo ves el 2.4?

Recuerdo que Munkres explica este punto en alguna parte.
Si mal no recuerdo, yo mencioné algo también en los posts de teoría.

Fijate que no hay lugar a confusión.
Supongamos una función común y corrienge [texx]g[/texx].
Si C es un subconjunto del dominio de la función, entonces está bien definido lo que significa [texx]g(C)[/texx].
Eso es un conjunto: el de las imágenes [texx]g(x)[/texx], para toda [texx]x\in C[/texx].

Pero como g es función, también está definida la notación [texx]g(x)[/texx], para cada [texx]x\in C[/texx].
¿Acaso hay alguna confusión?

No, porque [texx]g(x)[/texx] es un elemento de [texx]g(C)[/texx].
Con [texx]g(x)[/texx] se denota un elemento de un conjunto,
mientras que con [texx]g(C)[/texx] se denota un conjunto.

Ahora vamos a la preimagen.
Resulta que [texx]g^{-1}(D)[/texx] está definido como un conjunto, donde D es un subconjunto del codominio de la función.

Supongamos que [texx]g[/texx] es biyectiva.
En ese caso tiene inversa, y denotémosla [texx]h[/texx].
Resulta que [texx]h(D)[/texx] es un conjunto, el de todas las imágenes de la función [texx]h(y)[/texx], con [texx]y\in D[/texx].

Si ahora nos preguntamos si el conjunto de "preimágenes" [texx]g^{-1}(D)[/texx] es igual o diferente al conjunto de imágenes [texx]h(D)[/texx], veremos que son iguales.
Eso se puede demostrar, y es seguramente muy fácil. (Ejercicio)

Por lo tanto, no hay confusión alguna si usamos la notación [texx]g^{-1}(D)[/texx] para la preimagen de [texx]g[/texx], tanto como para la imagen de la función inversa [texx]g^{-1}[/texx].



Queda todavía una posible fuente de confusión.

Cuando [texx]g[/texx] no es invertible, el símbolo [texx]g^{-1}(y)[/texx] no estaría bien definido.
Si queremos expresar el conjunto de todas las preimágenes de [texx]y[/texx], lo correcto y además más claro, sería escribir [texx]g^{-1}(\{y\})[/texx].
El [texx]\{y\}[/texx] es un conjunto unitario que sólo tiene al elemento [texx]y[/texx].
No hay lugar a confusión.

Sin embargo, si se "relaja" la notación, uno puede aceptar que [texx]g^{-1}(y)[/texx] signifique el conjunto [texx]g^{-1}(\{y\})[/texx]...
Este tipo de cosas hay que tratar de evitarlas.
Y en todo caso, si uno las usa, es preferible aclarar en alguna parte del texto que uno va a usar esa notación ambigua, y lo que significa.

En ese caso sí podría haber confusión cuando hay inversa, porque [texx]g^{-1}(y)[/texx] denotaría a la vez un solo elemento, y también un conjunto (el que contiene a ese elemento).

Así que, en resumen, no hay peligro de confusión, a menos que uno relaje demasiado la notación y no aclare lo que está haciendo.
Pero aunque uno no haga estragos con la notación, es bueno reflexionar sobre esto, porque puede haber libros que sí hagan ese tipo de cosas, y hay que saber leer e interpretar adecuadamente lo que se está queriendo decir.



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 21/01/2010, 07:52:14 pm
Una pregunta, he visto que cuando tu escribiste una respuesta usaste la palabra "existe", en este ejercicio uso el símbolo [texx]\exists[/texx] y también la palabra existe. Supongo que es de estilo, no? Cuál recomiendas y/o tu cuál empleas con más frecuencia?

Da igual.
Cuando uno está aprendiendo a demostrar... yo aconsejo usar siempre el símbolo [texx]\exists{}[/texx], así uno lo emplea con corrección.
El simbolo [texx]\exists{}[/texx] sólo puede ir acompañado de una variable, y no de otra cosa...

Eso te ayudará a darte cuenta de errores como en el siguiente ejercicio, que te marco en rojo:

Cita
Ejercicio 2.4
(a) Sea [texx]x\in\left(g\circ f\right)^{-1}\left(C_{0}\right)[/texx], [texx]\exists\: z\in C_{0}[/texx] tal que [texx]g\circ f\left(x\right)=z[/texx], por definición [texx]g\circ f\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)[/texx].
Entonces, [texx]f\left(x\right)\in g^{-1}\left(C_{0}\right)[/texx], y [texx]x\in f^{-1}\left(g^{-1}\left(C_{0}\right)\right)[/texx].
Sea [texx]x\in f^{-1}\left(g^{-1}\left(C_{0}\right)\right)[/texx], entonces existe [texx]f\left(x\right)\in g^{-1}\left(C_{0}\right)[/texx], y también [texx]g\left(f\left(x\right)\right)\in C_{0}[/texx]. Por definición, [texx]g\left(f\left(x\right)\right)=g\circ f\left(x\right)[/texx], [texx]g\circ f\left(x\right)\in C_{0}[/texx], y finalmente esto implica que [texx]x\in\left(g\circ f\right)^{-1}\left(C_{0}\right)[/texx].

No se puede decir "existe f(x)".
Se entiende la idea, pero no es correcto.

Lo que se hace es siempre "copiar la definición de imagen" tal como está al definir conjunto de imagenes (lo que está en rojo son agregados o correcciones mias, en negro va lo tuyo):

Sea [texx]x\in f^{-1}\left(g^{-1}\left(C_{0}\right)\right)[/texx], entonces existe [texx]y[/texx] tal que [texx]y=f(x),y\in g^{-1}\left(C_{0}\right)[/texx], y también existe [texx]z[/texx] tal que [texx]z=g(y)[/texx], con [texx]g(y)\in C_{0}[/texx].
Además deducimos que: como [texx]z=g(y)[/texx], [texx]y=f(x)[/texx], entonces [texx]z=g(f(x))[/texx].

Por definición, [texx]g\left(f\left(x\right)\right)=g\circ f\left(x\right)[/texx], [texx]g\circ f\left(x\right)\in C_{0}[/texx], y finalmente esto implica que [texx]x\in\left(g\circ f\right)^{-1}\left(C_{0}\right)[/texx].


Cita
(b) Por definición, si [texx]f[/texx] es inyectiva para cualquier [texx]x_{0}\in A[/texx] tal que [texx]f\left(x_{0}\right)=y_{0}[/texx], [texx]y_{0}\in B[/texx], tenemos que para cualquier otro [texx]x_{1}\in A[/texx], dado [texx]x_{0}\neq x_{1}[/texx], [texx]f\left(x_{1}\right)\neq y_{0}[/texx]. Entonces, si [texx]g[/texx] es inyectiva para cualquier [texx]y_{0}\in B[/texx] tal que [texx]g\left(y_{0}\right)=z_{0}[/texx], [texx]z_{0}\in C[/texx], tenemos que para cualquier otro [texx]y_{1}\in B[/texx], dado [texx]y_{0}\neq y_{1}[/texx], [texx]g\left(y_{1}\right)\neq z_{0}[/texx]. Esto implica que [texx]g\left(f\left(x_{0}\right)\right)[/texx] tiene un único elemento en [texx]C[/texx] llamado [texx]z_{0}[/texx], por definición es inyectiva. Por definición [texx]g\left(f\left(x_{0}\right)\right)=g\circ f\left(x\right)[/texx].

Esto está muy conversado.
Si yo quisiera convencer a mí mamá de algo, se lo explicaría más o menos, y me diría: "está bien hijo".
Porque mi mamá me quiere mucho.

Pero si trato de explicárselo a Terminator, sencillamente me liquidaría al primer síntoma de no-claridad.

Una demostracion es correcta solo si no hacemos enojar a Terminator...

Cuando atamos los argumentos "a la fuerza" las cosas no quedan bien demostradas.
El inicio de tu demostración no parece mal escrito, es aceptable... pero viene con un arranque dudoso, y eso hace que el final de la demostración sea tan forzado que simplemente ya no es correcto.

Para andar seguros en una demostración, hay que escribir las cosas tal como vienen en la definición de los conceptos que se utilizan.

Ese es el camino. Y es el camino más fácil, y más claro.
Así que ahí va una demostración en ese estilo: usando la definición de inyectividad.
Fijate que voy a hacer una demostración en varios pasos, usando modus ponens, y no metiendo todo en una sola línea de implicaciones... eso termina embarrando la demostración, y ya te expliqué que no hace falta.
Las conclusiones parciales de un razonamiento se pueden ir coleccionando en distintas líneas, y después, como ya están demostradas, se las puede invocar para demostrar lo deseado.


[1] Hipotesis: [texx]f, g[/texx] son funciones inyectivas.
[2] Hipotesis: [texx]f, g[/texx], son "componibles", o sea, la imagen de [texx]f[/texx] está incluida en el dominio de [texx]g[/texx], y definimos [texx]h=g\circ f[/texx].
[3] La linea [1] implica, por definición de inyectividad, a este enunciado:

[texx]\forall{x_1,x_2\in dominio(f)}:f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow{x_1=x_2}[/texx]

En castellano: Para cualesquiera [texx]x_1,x_2[/texx], que sean elementos del dominio de la función [texx]f[/texx], vale la siguiente implicación: la igualdad [texx]f(x_1)=f(x_2)[/texx] implica la igualdad [texx]x_1=x_2[/texx].

[4] La línea [1] implica idéntica propiedad para [texx]g[/texx]:

[texx]\forall{x_1,x_2\in dominio(g)}:g(x_1)=g(x_2)\Rightarrow{x_1=x_2}[/texx]

[5] Sean [texx]x_1,x_2\in dominio(h)[/texx], tales que [texx]h(x_1)=h(x_2)[/texx].

[6] Por la línea [2], y por definición de composición de funciones, sabemos que [texx]x_1,x_2\in dominio(f)[/texx].  (También hemos usado la línea [5], donde se dice quiénes son [texx]x_1,x_2[/texx])

[7] Por [5] tenemos además que [texx]g(f(x_1))=g(f(x_2))[/texx]. (También la línea [6] nos permite )

[8] Sean [texx]y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)[/texx]. Por [2], sabemos que [texx]y_1,y_2\in dominio(g)[/texx].

[9] Además, por [7] y [8], tenemos ahora que [texx]g(y_1)=g(y_2)[/texx].

[10] Las líneas [9] y [4] implican que [texx]y_1=y_2[/texx].

[11] Las líneas [10] y [8] implican que [texx]f(x_1)=f(x_2)[/texx].

[12] Las líneas [11] y [3] implican que [texx]x_1=x_2[/texx].

[13] Por [5] y [12], [texx]\forall{x_1.x_2\in dominio(h)}:(h(x_1)=h(x_2)\Longrightarrow{x_1=x_2})[/texx].

[14] Por definición de función inyectiva, y por [13]: [texx]h[[/texx] es una función inyectiva.

Si ahora vemos todo el razonamiento, vemos que las hipótesis [1] y [2], que son el enunciado del ejercicio, implican finalmente la línea [14], o sea, que [texx]h[/texx] es una función inyectiva.
Eso es lo que hay que lograr decir en última instancia.



Una vez que aprendes a hacer demostraciones con todo este desarrollo, claridad, y exactitud, ahí podrás de a poco ir resumiento.

Además, en los pasos [1] a [14] he agregado mucho palabrerío... ese palabrerío no tienes que imitarlo, porque son sólo comentarios aclaratorios.
Lo que va es la expresión simbólica concreta, sin palabras, nada de conversación.

Los demás incisos  del 2.4 te los dejo que los revises por tu cuenta.



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: Alejo en 02/02/2010, 05:15:47 pm
SUGERENCIA:

Cuando abro el foro "DICTADO DEL CURSO DE TOPOLOGIA", resulta que va muy lento y cada vez cuesta mas que aparezcan los textos escritos con latex. Supongo que será debido al gran tamaño de los diferentes post que vas enviando. Asi el último post no ologro que se abra con toda su simbología (latex) y el Explorer da un aviso: "Listo, pero con errores en la pagina" (o algo parecido. No se si esto me ocurre solo a mi, o es algo mas generalizado.

Sugiero que los diferentes dicatados, sean escritos en distintos post, que pueden estar clasificados por temas o lecciones, de esta forma basta con abrir el tema que vas a estudiar y quizas sea mas efectivo.

Algo similar ocurriria con este foro de Consultas. Podrian abrirse distintos hilos para Consultas tema 1, Consultas tema 2 etc.

De todas formas, valoro de forma muy sincera y positiva el esfuerzo y la dedicacion que debe suponerte el impartir este curso.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 02/02/2010, 06:57:57 pm
Bueno, voy a ver cómo soluciono el problema.

Gracias
Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: Alejo en 04/02/2010, 11:43:17 am
ESPACIOS TOPOLOGICOS
La verdad es que cuando te pones a hacer un ejercicio, se presentan algunas dudas, y no vanales

En el siguiente ejercicio, según mi interpretación, ¿no se darían "demasiadas topologías"?

Sea
[texx]

$X=\{a,b,c\}$\\

Son topologias:

$\tau=\{\emptyset,X,A\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A,B\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A,B,C\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{C}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{C}\cup{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cap{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cap{C}\}$

$\ldots$

[/texx]
¿Serian tambien topologias?

[texx]
$\tau=\{\emptyset,X,(A\cap{C})\cup{B}\}$ con A,B,C\;\in{\tau}[/texx]

Otra duda: ¿Es posible la interseccion de dos conjuntos con un solo elemento cada uno?:

Sea:[texx]A=\{a\}\;\; B=\{b\} [/texx] He de suponer que [texx]A\cap{B}[/texx] no es posible porque ninguno de los elementos [texx]a, b[/texx] estan en A y B al mismo tiempo? En este caso las intersdecciones del ejercicio anterior no serían posibles

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 06/02/2010, 01:22:15 pm
Hola argentinator, no voy a perder la oportunidad de repasar topología, voy con algunos ejercicios

Ejercicio 13.1. Sean [texx]X[/texx] un espacio topológico y A un subconjunto de X. Supongamos que para cada [texx]x\in{A}[/texx] existe un conjunto abierto U que contiene a x tal que [texx]U\subset{A}[/texx]. Pruebe que A es abierto.

Solución 13.1: Sea [texx]\tau[/texx] la topología asociada a X, queremos probar que [texx]A\in{\tau}[/texx].
Sea [texx]x\in{A}[/texx], entonces, existe [texx]U_x\in{\tau}[/texx] tal que:
[texx]x\in{U_x}\subseteq{A}[/texx].
Por tanto:
[texx]A=\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{\left\{x}}\right\}}\subseteq{\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{U_x}}\subseteq{A}[/texx].
En consecuencia,
[texx]A=\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{U_x}[/texx], donde [texx]U_x\in{\tau}[/texx].

Es decir, A es unión(arbitraria) de elementos de [texx]\tau[/texx]. Por tanto, por los axiomas de una topología, [texx]A\in{\tau}[/texx], es decir, A es abierto.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 06/02/2010, 01:35:00 pm
Ejercicio 13.3. Muestre que la colección [texx]\tau_c[/texx]  dada en el Ejemplo 4 de la sección 12 es una topología sobre el conjunto [texx]X[/texx].
¿Es la siguiente colección una topología sobre [texx]X[/texx]?:

[texx]\tau_\infty=\{U|X-U\textsf{\ es infinito, o vacío, o es el total\ }X\}.[/texx]

Solución 13.3: Recordemos que dado un conjunto X, se define:
[texx]\tau _c=\left\{{U\subseteq{X}:X-U\mbox{es numerable o todo X}}\right\}[/texx].

1) ¿[texx]\emptyset[/texx] y X están en [texx]\tau _c[/texx]?
    Puesto que [texx]X-\emptyset=X\Rightarrow{\emptyset\in{\tau _c}}[/texx].
    [texx]X-X=\emptyset[/texx], y por definición, el conjunto [texx]\emptyset[/texx] es finito, de aquí, numerable, entonces [texx]X\in{\tau _c}[/texx]

2) Sea [texx]\left\{{U_i}\right\}_{i\in{I}}[/texx], donde I es un conjunto de índices, tales que: [texx]U_i\in{\tau_c}[/texx], [texx]\forall{i\in{I}}[/texx], ¿se tiene [texx]\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\in{\tau}[/texx]?
Por propiedades de conjuntos:
[texx]X-\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}=\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{(X-U_i)}[/texx].

Como [texx]U_i\in{\tau_c}[/texx], [texx]\forall{i\in{I}}[/texx], tenemos los siguientes casos:

i) [texx]X-U_i[/texx] es numerable, [texx]\forall{i\in{I}}[/texx].
Nuevamente, por definición de la unión de conjuntos tenemos:
[texx]U_i\subseteq{\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}}[/texx], [texx]\forall{i\in{I}}[/texx], luego
[texx]X-\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\subseteq{X-U_i}[/texx], [texx]\forall{i\in{I}}[/texx].

Como [texx]X-U_i[/texx] es numerable [texx]\forall{i\in{I}}[/texx], y sabemos que todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable, entonces
[texx]X-\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}[/texx] es numerable.

ii) [texx]X-U_i=X[/texx], [texx]\forall{i\in{I}}[/texx]
Entonces la union, sería todo X.

iii) Algunos [texx]U_i[/texx] son numerables y otros son todo X.
La unión nuevamente es todo X.
Por tanto, en cualquier aso

[texx]X-\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\in{\tau}[/texx].
     
3) Sea [texx]\left\{{U_i}\right\}_{i=1}^n[/texx], tales que:
[texx]U_i\in{\tau_c}[/texx], [texx]\forall{1\leq{i}\leq{n}}[/texx], ¿se tiene    [texx]\displaystyle\bigcap_{i=1}^n{U_i}\in{\tau}[/texx]?

La respuesta es afirmativa, basta utilizar el mismo razonamiento que en (2)

De (1), (2) y (3). [texx]\tau_c[/texx] es una topología.

De la misma forma, solo con algunas cositas extras se puede probar que [texx]\tau_{\infty}[/texx] es una topología.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 06/02/2010, 02:30:52 pm
Ejercicio 13.4.
Con más detalles en la otra página.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 06/02/2010, 10:32:43 pm
Ejercicio 13.5. Demuestre que si A es una base para una topología sobre X, entonces la topologia generada por A es igual a la interseccion de todas las topologias sobre X que contienen a A. Pruebe lo mismo que si A es una subbase.

Solución 13.5:Sean los conjuntos:
[texx]\tau_A[/texx], la topología generada por A.
[texx]\mathbb{H}=\left\{{\tau\mbox{  topología sobre X}:A\subseteq{\tau}}\right\}[/texx].
Sea [texx]D=\displaystyle\bigcap_{H\in{\mathbb{H}}}{H}[/texx]

Por probar que [texx]\tau_A=D[/texx].

Por la definición de D, y por las partes (a) y (b) del ejercicio 13.4, D es la menor topología sobre X que contiene a A, es decir:

Si existe una topología [texx]T[/texx] sobre X, tal que [texx]A\subseteq{T}[/texx], entonces [texx]D\subseteq{T}[/texx]

Recordemos(es por la misma definición) que los elementos de una base, tambíen son elementos de la topología generada por dicha base, entonces [texx]A\subseteq{\tau_A}[/texx] y [texx]\tau_A[/texx] es topología sobre X. Luego por el párrafo anterior tenemos que:
[texx]D\subseteq{\tau_A}[/texx]             (1)
.

Probemos que [texx]\tau_A\subseteq{D}[/texx].

Sabemos por un lema de la teoría, que [texx]\tau_A[/texx] es la colección de todas las uniones de elementos de A. Entonces si [texx]Z\in{\tau_A}[/texx], existe un conjunto de índices I, tal que:
[texx]Z=\cup_{i\in I}{B_i}[/texx], donde [texx]B_i\in{A}[/texx], para todo [texx]i\in{I}[/texx].

Sea ahora, [texx]H\in{\mathbb{H}}[/texx], entonces H es topología sobre X y [texx]A\subseteq{H}[/texx], luego [texx]B_i\in{A}\subseteq{H}[/texx], para todo [texx]i\in{I}[/texx], es decir, [texx]B_i\in{H}[/texx], para todo [texx]i\in{I}[/texx].
Luego tenemos:
[texx]Z=\cup_{i\in I}{B_i}[/texx], donde [texx]B_i\in{H}[/texx], para todo [texx]i\in{I}[/texx]  y como H es topología, tenemos que [texx]Z\in{H}[/texx], como el H fue un elemento arbitrario de [texx]\mathbb{H}[/texx], se sigue que:

[texx]Z\in{H}[/texx], [texx]\forall{H\in{\mathbb{H}}}[/texx], es decir, [texx]Z\in{\displaystyle\bigcap_{H\in{\mathbb{H}}}{H}}=D[/texx]
De donde
[texx]\tau_A\subseteq{D}[/texx]                  (2)

De (1) y (2) [texx]\tau_A=D[/texx], que es lo que deseábamos probar.

El caso de la subbase es análogo, pero de todas maneras, es bueno hacerlo.

Saludos.

Pd: ¿Cómo voy profe?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 07/02/2010, 01:42:09 am
Voy a dejar un ratito el capítulo de bases y subbases, para regresar a la sección 3 del capítulo 1(Relaciones), hay un ejercicio bonito, es el 3.3, dice asi:

Ejercicio 3.3. Aquí hay una "demostración" de que toda relación C que es a la vez simétrica y transitiva es también reflexiva:"Como C es simétrica, aCb implica bCa. Como C es transitiva, acb y bCa implican aCa, como se quería demostrar". Encuentre el fallo en este argumento.

Solución: Al principio, parace ser cierto, pero hay que recordar que las tres propiedades son independientes.
El fallo es que la reflexividad dice que PARA TODO a, aCa.
La simetría dice que si aCb entonces bCa.
Por tanto, basta tener un elemento a que no esté relacionado con ninguno, y se pueden cumplir las propiedades simétrica y transitiva sin problemas.

Un ejemplo: Sea C la relacion definida en el conjunto de los enteros no negativos {0,1,2,...} de la siguiente manera: aCb si y sólo si ab es distinto de 0. Entonces es fácil comprobar que es simétrica y transitiva, pero NO es reflexiva porque el 0 no está relacionado con ningún elemento y en particular 0 no está relacionado con 0.

Saludos

 


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: alefa en 07/02/2010, 02:47:55 pm


Otra duda: ¿Es posible la interseccion de dos conjuntos con un solo elemento cada uno?:

Sea:[texx]A=\{a\}\;\; B=\{b\} [/texx] He de suponer que [texx]A\cap{B}[/texx] no es posible porque ninguno de los elementos [texx]a, b[/texx] estan en A y B al mismo tiempo? En este caso las intersdecciones del ejercicio anterior no serían posibles

Saludos

Hola La intersección te daria el vacío que también tiene que ser un elemento de la topología


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 08/02/2010, 01:31:43 am
En el siguiente ejercicio, según mi interpretación, ¿no se darían "demasiadas topologías"?

Sea
[texx]

$X=\{a,b,c\}$\\

Son topologias:

$\tau=\{\emptyset,X,A\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A,B\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A,B,C\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{C}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{C}\cup{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cap{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cap{C}\}$

$\ldots$

[/texx]


Otra duda: ¿Es posible la interseccion de dos conjuntos con un solo elemento cada uno?:

Sea:[texx]A=\{a\}\;\; B=\{b\} [/texx] He de suponer que [texx]A\cap{B}[/texx] no es posible porque ninguno de los elementos [texx]a, b[/texx] estan en A y B al mismo tiempo? En este caso las intersdecciones del ejercicio anterior no serían posibles

Saludos


Hola.

Disculpen la demora en las respuestas, pero es que estoy pasando una situación personal bastante complicada (aunque nada que lamentar por suerte).

Bien. En cuanto a las topologías posibles, no hay que ser tímidos. Hay una definición de topología y una lista de familias de conjuntos.
Cada una de ellas es una topología o no lo es.


En el caso de [texx]X = \{a, b, c\}[/texx] hay 8 subconjuntos posibles, los de [texx]P(X)[/texx], claro está.
La cantidad de familias de conjuntos posibles es el cardinal de partes de este conjunto, o sea, el de P(P(X)), que es [texx]2^8 = 256[/texx].

De esas 64 familias posibles, algunas son topologías y otras no.

Sin embargo, todas las topologías tienen a los elementos [texx]\emptyset,X[/texx], así que la búsqueda se reduce a las familias posibles de subconjuntos de [texx]P(X) - \{\emptyset,X\}[/texx], que tiene cardinal 6. Luego, habrá máximo [texx]2^6=64[/texx] posibilidades de topologías (seguramente menos).

En primer lugar, siempre hay que contar las topologías triviales [texx]\{\emptyset, X\}[/texx], y P(X):

Esas son 2 topologías en nuestro haber.

Luego, en general, para cualquier subconjunto E de X, la terna [texx] \{\emptyset, E, X\}[/texx] es una topología. ¿O no?
Así que ahí tomemoes como E a todos los subconjuntos no triviales de X, y habremos obtenido 6 topologías distintas (porque P(X) tiene 6 de tales subconjuntos).

Si ahora tomamos dos subconjuntos de X, no triviales, y distintos entre sí, digamos E, F, hay dos situaciones clave a las que observar: que E \subset F, en cuyo caso [texx]\{\emptyset, E, F, X\}[/texx] es una topología; y que ni E ni F tengan elementos no comunes el uno con el otro. En ese caso, la intersección de ellos difiere de E y F, y lo mismo pasa con la unión.

Analicemos por parte cada caso.

Cuando E, F cumplen [texx]E\subset F[/texx], tenemos estas posibilidades:

* [texx]E = \{a\}, F = \{a, b\}[/texx]
* [texx]E = \{a\}, F = \{a, c\}[/texx]

Y no hay más casos no triviales.
Multiplicamos por los 3 casos posibles que puede tomar E: [texx]\{a\}, \{b\}, \{c\}.[/texx]
Tenemos un total de 6 topologías obtenidas por esta vía.

Pasemos a los casos en que E y F tienen elementos mutuamente no comunes… además de ser no triviales.

Supongamos que [texx]E = \{a\}[/texx] y no tiene elementos en común con F.

Puede ser entonces: [texx]F = \{b\}, F = \{c\}, F = \{b, c\}.[/texx]

En cualquier caso obliga que a [texx]E\cup F[/texx] esté en la topología, pero no hay otras “obligaciones”. Supongamos que no hay más conjuntos que estos obligados.

Podemos contar las posibilidades de este tipo… pero conviene enumerarlas, porque se van a repetir, incluso con casos futuros:

[texx]\{\emptyset, X, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}[/texx]
[texx]\{\emptyset, X, \{a\}, \{c\}, \{a,c\}\}[/texx]
[texx]\{\emptyset, X, \{b\}, \{c\}, \{b,c\}\}[/texx]
[texx]\{\emptyset, X, \{a\}, \{b,c\}\}[/texx]
[texx]\{\emptyset, X, \{b\}, \{a,c\}\}[/texx]
[texx]\{\emptyset, X, \{c\}, \{a,b\}\}[/texx]

¿Puede haber elementos E, F tales que su intersección sea no vacía, y no sean subconjuntos uno de otro?

Claro que sí. Tenemos por ejemplo [texx]E = \{a, b\}, F = \{a, c\}. [/texx]

Pero esto obliga a que su intersección esté en la topología.

Casos como estos nos dan 3 topologías:

[texx]\{\emptyset, X, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a\}\}[/texx]
[texx]\{\emptyset, X, \{a,b\}, \{b,c\}, \{b\}\}[/texx]
[texx]\{\emptyset, X, \{a,c\}, \{b,c\}, \{c\}\}[/texx]

A estas les podemos agregar siempre conjuntos unitarios como nuevos elementos adosados, y obtenemos otras 6 topologías:

[texx] \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a\}, \{b\}\} [/texx]
[texx] \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a\}, \{b\}\} [/texx]
[texx] \{\emptyset, X, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a\}, \{c\}\} [/texx]
[texx]\{\emptyset, X, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a\}, \{c\}\}[/texx]
[texx]\{\emptyset, X, \{a,b\}, \{b,c\}, \{b\}, \{c\}\}[/texx]
[texx]\{\emptyset, X, \{a,c\}, \{b,c\}, \{b\}, \{c\}\}[/texx]
 

Toda topología que contenga a [texx]\{a\}, \{b\}, \{c\},[/texx] al mismo tiempo contendrá a todos los subconjuntos de X. ¿Por qué? Pero esto es P(X) y ya la habíamos contado.

 

Así que ahora nos preguntamos si al tomar cualquiera de las topologías obtenidas, es posibles obtener una distinta agregando un nuevo elemento de [texx]P(X)[/texx], sin caer de nuevo en los ejemplos ya vistos.

Quizá convenga comenzar desde las últimas hacia atrás, e ir comparando.

Como sea, veamos por ejemplo que si en la última topología agregamos el elemento [texx]\{a, b\}[/texx], esto obliga por intersección a que esté el elemento [texx]\{a\},[/texx] y esto obliga a que la topología sea [texx]P(X).[/texx]
Los demás casos se analizan uno a uno viendo si al agregar algun nuevo elemento de [texx]P(X)[/texx] se obtienen topologías repetidas.

Si descubrís que alguno de mis ejemplos no es topología… avisame!!!!
Pero hasta ahora creo que mi recuento va bien, y tengo en total: 29 topologías.

¿Serán esas todas las topologías de X, será que agregué a la lista alguna que no lo era?

-------------------------------------

En cuanto a tu ultima pregunta, sobre si la interseccion de dos conjuntos {a}, {b} tiene sentido...
Claro que sí lo tiene!!!
La intersección da el vacio, que es elemento de toda topología.

En ese caso, la interseccion de elementos disjuntos no obliga a que haya nuevos elementos en la topologia.
Pero si que obliga a que esté su union, en este caso, el conjunto {a,b}.

Es muy simple la cosa, dados ciertos elementos de una familia de conjuntos, se toman sus intersecciones de a pares, y se ve si hay alguna que no está en la familia (no topologia), o están todas.
Luego, se consideran uniones arbitrarias, y se ve si todas ellas están aún en la familia. Esto puede ser complicado con conjuntos infinitos, pero con 3 elementos es cuestión de ponerse a enumerar, y hacer una búsqueda algo sistematica.

A lo mejor mi método de busqueda no sea el más eficaz... Pero tiene la virtud de que no se asusta.
En realidad, la idea de fondo que he usado es la de las "subbases".
Dada cualquier familia de conjuntos, existe una topologia "generada" por esa familia. Basta agregar el vacio, el total X, y luego todas las intersecciones finitas y uniones arbitrarias.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 08/02/2010, 01:44:49 am
Ejercicio 13.1. Sean [texx]X[/texx] un espacio topológico y A un subconjunto de X. Supongamos que para cada [texx]x\in{A}[/texx] existe un conjunto abierto U que contiene a x tal que [texx]U\subset{A}[/texx]. Pruebe que A es abierto.

Solución 13.1: Sea [texx]\tau[/texx] la topología asociada a X, queremos probar que [texx]A\in{\tau}[/texx].
Sea [texx]x\in{A}[/texx], entonces, existe [texx]U_x\in{\tau}[/texx] tal que:
[texx]x\in{U_x}\subseteq{A}[/texx].
Por tanto:
[texx]A=\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{\left\{x}}\right\}}\subseteq{\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{U_x}}\subseteq{A}[/texx].
En consecuencia,
[texx]A=\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{U_x}[/texx], donde [texx]U_x\in{\tau}[/texx].

Es decir, A es unión(arbitraria) de elementos de [texx]\tau[/texx]. Por tanto, por los axiomas de una topología, [texx]A\in{\tau}[/texx], es decir, A es abierto.


Está perfecta la prueba.
Así que comento por si hay alguno que pueda sentir extraños algunos pasos.
Por ejemplo, cuando se dice que
[texx]A=\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{\left\{x}}\right\}}\subseteq{\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{U_x}}\subseteq{A}[/texx].
se esta usando la propiedad de que si una familia arbitraria de conjuntos está contenida en A, entonces su unión sigue estando contenida en A.

Eso puede probarse, si es que no lo han hecho en la tanda de ejercicios de teoría de conjuntos.

Por lo demás, es mera cuestión de apelar a la definición de topología, una y otra vez, sin buscar ninguna otra cosa extraña en el camino.

Lo que sí puede hacer uno es tratar de congeniar la intuición geométrica que uno tiene de la topología de "abiertos en [texx]R^n[/texx]" con los resultados generales, o ejemplos contraintuitivos. Eso enriquece la experiencia topologica.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 08/02/2010, 02:08:59 am
Ejercicio 13.3. Muestre que la colección [texx]\tau_c[/texx]  dada en el Ejemplo 4 de la sección 12 es una topología sobre el conjunto [texx]X[/texx].
¿Es la siguiente colección una topología sobre [texx]X[/texx]?:

[texx]\tau_\infty=\{U|X-U\textsf{\ es infinito, o vacío, o es el total\ }X\}.[/texx]

Solución 13.3: Recordemos que dado un conjunto X, se define:
[texx]\tau _c=\left\{{U\subseteq{X}:X-U\mbox{es numerable o todo X}}\right\}[/texx].

(...)

2) Sea [texx]\left\{{U_i}\right\}_{i\in{I}}[/texx], donde I es un conjunto de índices, tales que:
[texx]U_i\in{\tau_c}[/texx], [texx]\forall{i\in{I}}[/texx], ¿se tiene  [texx]\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\in{\tau}[/texx]?
[texx]X-\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}=\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{X-U_i}[/texx].

Como [texx]U_i\in{\tau_c}[/texx], [texx]\forall{i\in{I}}[/texx], entonces [texx]X-U_i[/texx] es numerable o es todo X,

entonces en el primer caso, sabemos que la unión arbitraria de conjuntos numerables, es numerables, 


Eso que marqué en rojo está mal.
La unión arbitraria de conjuntos numerables puede ser no-numerable. Por ejemplo, la unión de los conjuntos unitarios formados por puntos de la recta real... da la recta real, que no es numerable, jeje.

Así que hay que cambiar el argumento.

Supongamos que tenemos una familia de conjuntos [texx]U_i,i\in I[/texx] tales que los [texx]X-U_i[/texx] son todos finitos, o infinito.numerables.
Consideremos la unión V de todos ellos.
Dado un elemento cualquiera de la familia, digamos [texx]U_0[/texx], se tiene que [texx]U_0\subset V[/texx].
Por lo tanto [texx]X-V\subset X-U_0[/texx].
Pero como [texx]X-U_0[/texx] era finito o infinito-numerable, también debe serlo [texx]X-V[/texx], por estar contenido en [texx]X-U_0[/texx].

--------------------

En cuanto a las intersecciones, tu razonamiento funciona bien, porque tomando complementos se obtiene una familia finita de finitos o infinito-numerables, cuya unión es de nuevo numerable, y así el complemento de esta unión está en la familia.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 08/02/2010, 02:24:11 am

De la misma manera [texx]\bigcup_\alpha \tau_\alpha[/texx] es una topología.


Eso no es correcto... mmm

El ejercicio de que la intersección arbitrarias de topologias es de nuevo una topologia, lo has demostrado perfectamente, pero la unión de topologías no es necesariamente una topología, a menos que se trate de casos muy especiales (como el caso de unir finitas topologias ordenadas por refinamiento).

Un ejemplo claro es el mismo inciso (c) del ejercicio 13,4.
En él se tiene

[texx]\tau_1=\{\emptyset,X,\{a\},\{a,b\}\},\qquad\qquad\tau_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b,c\}\}.[/texx]

La unión de ambas topologías no puede ser una topologia.
Por ejemplo, la intersección de los elementos [texx]\{a,b\},\{b,c\}[/texx] da el conjunto [texx]\{b\}[/texx], que no está en [texx]\tau_1\cup\tau_2[/texx].

---------------------------

En cuanto a la parte final del inciso (a), y lo dicho en el inciso (b) del ejercicio 13, la "unión" de las topologias está cerca de ser la topología más pequeña que contenga a todas las de la familia, pero "le falta un paso".
¿Cuál es?
Es decir, es obvio que a la unión hay que considerarla, porque esa topología que estamos buscando debe contener a todos los elementos de la familia de topologias considerada... Pero al final habrá que "tunear" esa unión para que en efecto sea una topología.

¿Pistas? Hay dos caminos que se me ocurren: usar la idea de subbase, o bien usar ¡¡intersecciones y lo probado en (a)!!!
Pensar un poco, que sale.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 08/02/2010, 02:31:22 am
Hola argentinator, bueno sí, se me pasaron algunas cosas, como lo de la unión, es unión numerable, y no arbitraria como escribí.

Lo de la union de topologías, lo hice a la volada, pero tienes razón, voy a pensarlo un poquito y lo pongo, ya tengo sueñito zzzzzzzzzzzzzz.

Saludos, respecto a  los problemillas que esta pasando, tranqui, los problemas tienen solución, o hay que demostrar que no la tienen ;), un abrazo.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 08/02/2010, 02:33:51 am
Solución 13.5:Sean los conjuntos:

Pd: ¿Cómo voy profe?


Este ejercicio, a pesar de basarse en el anterior que tenía errores... está excelentemente demostrado.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 08/02/2010, 02:36:38 am
respecto a  los problemillas que esta pasando.

No sé si llamarlos problemas, son asuntos urgentes y complicados que debo atender, pero no es nada grave.
Lo único problemático es que la situación en sí me oblida a estar alejado de internet y las computadoras, y por eso no respondo con la continuidad que quisiera.
Quizá siga con estas intermitencias todo el mes, pero sobretodo esta semana. Ya veremos.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 08/02/2010, 02:38:21 am
Voy a dejar un ratito el capítulo de bases y subbases, para regresar a la sección 3 del capítulo 1(Relaciones), hay un ejercicio bonito, es el 3.3, dice asi:

Ejercicio 3.3. Aquí hay una "demostración" de que toda relación C que es a la vez simétrica y transitiva es también reflexiva:"Como C es simétrica, aCb implica bCa. Como C es transitiva, acb y bCa implican aCa, como se quería demostrar". Encuentre el fallo en este argumento.

Solución: Al principio, parace ser cierto, pero hay que recordar que las tres propiedades son independientes.
El fallo es que la reflexividad dice que PARA TODO a, aCa.
La simetría dice que si aCb entonces bCa.
Por tanto, basta tener un elemento a que no esté relacionado con ninguno, y se pueden cumplir las propiedades simétrica y transitiva sin problemas.

Un ejemplo: Sea C la relacion definida en el conjunto de los enteros no negativos {0,1,2,...} de la siguiente manera: aCb si y sólo si ab es distinto de 0. Entonces es fácil comprobar que es simétrica y transitiva, pero NO es reflexiva porque el 0 no está relacionado con ningún elemento y en particular 0 no está relacionado con 0.


Muy bien.
Tenía ganas de poner un "smiley" de esos que aplauden, o un pulgar para arriba, pero no hay en el foro.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 08/02/2010, 02:39:23 am


Otra duda: ¿Es posible la interseccion de dos conjuntos con un solo elemento cada uno?:

Sea:[texx]A=\{a\}\;\; B=\{b\} [/texx] He de suponer que [texx]A\cap{B}[/texx] no es posible porque ninguno de los elementos [texx]a, b[/texx] estan en A y B al mismo tiempo? En este caso las intersdecciones del ejercicio anterior no serían posibles

Saludos

Hola La intersección te daria el vacío que también tiene que ser un elemento de la topología

Yo dije esto después que Alefa.
Disculpa Alefa que te he visto tarde.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 08/02/2010, 10:04:07 pm
Hola a todos, ya corregí mi soluciones, pero me falta la de la topologías más grande, pensando

Como comentó argentinator dicha topología debe contener a la unión de las topologías, para trabajar con subbases, tengo que buscar una colección de conjuntos tales que su unión sea todo X. sigo pensando...

Profe ayudaaaaaa!!!!!!!!!


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 09/02/2010, 11:27:20 am
Ejercicio 13.6. Pruebe que las topologías de [texx]\mathbb{R}_l[/texx] y [texx]\mathbb{R}_k[/texx] no son comparables.
Solución 13.6:
Recordemos que dos topologías [texx]\tau_1[/texx] y [texx]\tau_2[/texx] son comparables si
[texx]\tau_1\subseteq{\tau_2}[/texx] o [texx]\tau_2\subseteq{\tau_1}[/texx].

Por tanto, decir que [texx]\tau_1[/texx] y [texx]\tau_2[/texx] NO son comparables quiere decir que
[texx]\tau_1\not\subseteq{\tau_2}[/texx] y [texx]\tau_2\not\subseteq{\tau_1}[/texx].

Tambien recordemos que:
1)La topología del limite inferior sobre [texx]\mathbb{R}[/texx], [texx]\mathbb{R}_l[/texx], es la formada por los intervalos semi abiertos del tipo
[texx][a,b)=\{x\in\mathbb{R}|a \leq x<b\},\qquad\qquad a<b.[/texx]

2)Sea [texx]K=\left\{{\displaystyle\frac{1}{n}:n\in{\mathbb{Z}_+}}\right\}[/texx], La K-topología sobre [texx]\mathbb{R}[/texx], [texx]\mathbb{R}_k[/texx], es la topologia generada por los conjuntos de la forma
[texx]\left\{{(a,b),(a,b)-K:(a,b)\mbox{ es intervalo abierto}}\right\}[/texx].

Sean [texx]\tau_l[/texx] y [texx]\tau_k[/texx] las topologías de [texx]\mathbb{R}_l[/texx] y [texx]\mathbb{R}_k[/texx] respectivamente.
i) [texx]\tau_l\not\subseteq{\tau_k}[/texx]
Tomemos un elemento básico de [texx]\tau_l[/texx], sea [texx][0,b)[/texx]. Supongamos que: [texx]\tau_l\subseteq{\tau_k}[/texx], entonces tenemos dos casos existe un elemento básico de [texx]\tau_k[/texx],[texx]U[/texx] ,tal que para todo [texx]x\in{[0,b)}[/texx](en particular a 0), se tiene, [texx]0\in{U\subseteq{[0,b)}}[/texx]. Tenemos dos casos de elementos básicos en [texx]\tau_k[/texx].

i-a) Si [texx]U[/texx] es un intervalo, es decir, [texx]U=(c,d)[/texx].

Entonces, tenemos un [texx](c,d)\in{\tau_k}[/texx] ,tal que para todo [texx]x\in{[0,b)}[/texx](en particular a 0), se tiene,
[texx]0\in{(c,d)\subseteq{[0,b)}}[/texx]
Tenemos que [texx]c<0<d[/texx] y [texx]0\leq{c}>b[/texx]
lo cual es una contradicción.

i-b) Si [texx]U[/texx] es de la forma [texx]U=(c,d)-K[/texx].
Entonces, tenemos un [texx](c,d)-K\in{\tau_k}[/texx] ,tal que para todo [texx]x\in{[0,b)}[/texx](en particular a 0), se tiene,
[texx]0\in{(c,d)-K\subseteq{[0,b)}}[/texx]
Nuevamente tenemos que [texx]c<0<d[/texx] y [texx]0\leq{c}>b[/texx]
lo cual es una contradicción.

Dichas contradicciones vinieron de suponer que
[texx]\tau_l\subseteq{\tau_k}[/texx].
Por tanto, [texx]\tau_l\not\subseteq{\tau_k}[/texx]

ii) [texx]\tau_k\not\subseteq{\tau_l}[/texx]

Tomemos un elemento básico de [texx]\tau_k[/texx], en particular, [texx]B=(-1,1)-K[/texx]. Supongamos que [texx]\tau_k\subseteq{\tau_l}[/texx], entonces para todo [texx]x\in{B}[/texx](en particular para 0), existe un elemento básico de [texx]\tau_l[/texx], digamos [texx][a,b)[/texx] tal que: [texx]0\in{[a,b)\subseteq{B}}[/texx]. Como [texx]a\leq{0}<b[/texx], existe un [texx]n_b\in{\mathbb{Z^+}}[/texx] suficientemente grande tal que [texx]y=\displaystyle\frac{1}{n_b}<b[/texx](en realidad existen infinitos, pero nos basta solo uno), es decir, [texx]\displaystyle\frac{1}{n_b}\in{[a,b)}[/texx], pero por definición, [texx]\displaystyle\frac{1}{n_b}\not\in{B}[/texx], es decir, [texx][a,b)\not\subset{B}[/texx], que es una contradicción. Dicha contradicción vino de suponer que [texx]\tau_k\subseteq{\tau_l}[/texx].
Por tanto, [texx]\tau_k\not\subseteq{\tau_l}[/texx].

De (i) y (ii), las topologías de [texx]\mathbb{R}_l[/texx] y [texx]\mathbb{R}_k[/texx] no son comparables.
CORREGIDO


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: alefa en 09/02/2010, 07:20:03 pm
Hola para probar que no son comparables yo hice lo siguiente:
si la topología del limite inferior es menos fina que la k-topología entonces para todo x real, y para todo elemento básico de la k-topologia (al que llamo B) talque x pertenece a ese elemento básico entonces existe [a,b) elemento básico de la topología de la topologia de limite inferior que cumple que x este en ese intervalo y el intervalo está incluido en el B.
Considero el conjunto B =(-1,1)-K y x=0 en este caso particular no existe un [0,b) que cumplo que este incluido en el B por lo tanto la topología del limite inferior no es menos fina que la k topologia
El otro caso lo demostre de forma analoga tomando el conjunto B=(a,b)-K
Pido disculpas por no usar el latex prometo estudiarlo porque nunca trabaje con él.
Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 10/02/2010, 07:55:14 am
Hola a todos, ya corregí mi soluciones, pero me falta la de la topologías más grande, pensando

Profe ayudaaaaaa!!!!!!!!!

Bueno, la unión de todas las topologías es, ciertamente un conjunto.
A ese conjunto se lo toma como subbase, y fin de la historia.

Más concretamente, sin adelantar el tema de subbases si no se desea, se puede razonar así:
Sea [texx]\mathcal S[/texx] la unión de todas las topologías [texx]\tau_\alpha[/texx] sobre el conjunto X.
Ciertamente, ese gran conjunto [texx]\mathcal S[/texx] está contenido en la topología P(X).

Por lo tanto, "existe" al menos una topología que contiene al conjunto [texx]\mathcal S[/texx].
Ahora tomamos la familia de topologías que contienen a [texx]\mathcal S[/texx]. Como esta familia es no vacía, se puede calcular sin problemas su intersección.
Y esta intersección, que denotaremos [texx]\tau[/texx], es de nuevo una topología por la parte (a) del ejercicio.

Ahora bien. Es claro que [texx]\tau[/texx] es la topología más pequeña que contiene a todas las [texx]\tau_\alpha[/texx], porque si hubiera una más pequeña... estaría estrictamente dentro de la intersección, y no puede ser.

En cuanto a la topología más grande contenida en todas las topologías [texx]\tau_\alpha[/texx], es la intersección de todas las [texx]\tau_\alpha[/texx], ya que toda otra topología contenida en todas las [texx]\tau_\alpha[/texx] está contenida necesariamente en la intersección.

Saludos



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 10/02/2010, 08:01:13 am
si la topología del limite inferior es menos fina que la k-topología entonces para todo x real, y para todo elemento básico de la k-topologia (al que llamo B) talque x pertenece a ese elemento básico entonces existe [a,b) elemento básico de la topología de la topologia de limite inferior que cumple que x este en ese intervalo y el intervalo está incluido en el B.

Hola. Para el razonamiento que has usado no hace mucha falta el Latex.
Lo que sí veo es que no está del todo claro lo que estás diciendo, aunque el razonamiento parece arrancar bien.
Pero habría que terminar de decirlo bien.

Usar las bases, como has hecho, es lo más adecuado, acorde a los teoremas de bases de topologias, porque simplifica el ejercicio. Así que eso está bien. Sólo te pido redactarlo más claramente para que entendamos bien lo que has hecho.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 10/02/2010, 12:39:37 pm
Puesto que el ejercicio 13.4 es muy largo, lo voy a hacer por partes.

Ejercicio 13.4.a
Si [texx]\{\tau_\alpha\}_\alpha[/texx] es una familia de topologías sobre [texx]X[/texx], muestre que [texx]\bigcap_\alpha \tau_\alpha[/texx] es una topología sobre [texx]X[/texx].
¿Es [texx]\bigcup_\alpha \tau_\alpha[/texx] una topología sobre [texx]X[/texx]? ???
Solución:
(a)
1)¿[texx]\emptyset[/texx] y [texx]X[/texx] pertenecen a [texx]\bigcap_\alpha \tau_\alpha[/texx]?

Puesto que [texx]\tau _\alpha[/texx] son topologías [texx]\forall{\alpha}[/texx], entonces tanto [texx]\emptyset[/texx] como [texx]X[/texx] pertenecen a [texx]\tau _\alpha[/texx]  [texx]\forall{\alpha}[/texx], luego, pertenecen a la intersección.

2) Sea [texx]\left\{{U_i}\right\}_{i\in{I}}[/texx], donde I es un conjunto de índices, tales que [texx]U_i\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha}[/texx], [texx]\forall{i\in{I}}[/texx], ¿ se tiene 
[texx]\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha}[/texx]?

Como
[texx]U_i\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha}[/texx], [texx]\forall{i\in{I}}[/texx], entonces [texx]U_i\in{\tau_\alpha}[/texx], [texx]\forall{i\in{I}}[/texx], [texx]\forall{\alpha}[/texx], luego [texx]\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\in{\tau_\alpha}[/texx], [texx]\forall{\alpha}[/texx].

En consecuencia

[texx]\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha}[/texx].

3) Sea [texx]\left\{{U_i}\right\}_{i=1}^n[/texx], tales que [texx]U_i\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha}[/texx], [texx]\forall{1\leq{i\leq{n}}[/texx], ¿se tiene [texx]\displaystyle\bigcap_{i=1}^n{U_i}\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha}[/texx]?

[texx]U_i\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha}[/texx], [texx]\forall{i\in{I}}[/texx], entonces [texx]U_i\in{\tau_\alpha}[/texx], [texx]\forall{i\in{I}}[/texx], [texx]\forall{\alpha}[/texx], luego [texx]\displaystyle\bigcap_{i=1}^n{U_i}\in{\tau_\alpha}[/texx], [texx]\forall{\alpha}[/texx].

Por tanto:
[texx]\displaystyle\bigcap_{i=1}^n{U_i}\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha}[/texx].

De (1), (2) y (3). [texx]\tau_c[/texx] es una topología.

Sin embargo, al igual que sucede con los espacios vectoriales, la unión de topologías no necesariamente es una topología, basta ver las topologias del item (c)




Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 10/02/2010, 01:15:58 pm
Ejercicio 13.4.b.
Sea [texx]\{\tau_\alpha\}_\alpha[/texx] una familia de topologías sobre [texx]X[/texx].
Muestre que hay una única topología más pequeña sobre [texx]X[/texx] que contiene a todas las colecciones [texx]\tau_\alpha[/texx], y que hay una única topología mayor que está contenida en todas las [texx]\tau_\alpha[/texx].
Solución:
1)Sea [texx]S=\bigcup_\alpha \tau_\alpha[/texx], luego [texx]S\subseteq{P(X)}[/texx], donde P(X) es la topología más grande sobre X.
Entonces, sea
[texx]R=\left\{{T\mbox{ topología sobre X}:S\subseteq{T}}\right\}[/texx], luego, [texx]P(X)\in{R}[/texx], por tanto, [texx]R\neq{\emptyset}[/texx], entonces podemos tomar su intersección
[texx]\tau=\bigcap_{T\in{R}} T[/texx], puesto que T es topología, entonces por la parte (a), [texx]\tau[/texx] también es una topología.

Veamos que [texx]\tau[/texx] es la topología más pequeña que contiene a todas las topologías de la familia [texx]\{\tau_\alpha\}_\alpha[/texx].

Sea [texx]T[/texx] una topología sobre X tal que [texx]\tau_\alpha\subseteq{T}[/texx] para todo [texx]\alpha[/texx] [texx]\Rightarrow{S=\bigcup_\alpha \tau_\alpha\subseteq{T}}[/texx], entonces [texx]T\in{R}[/texx], por tanto [texx]\tau\subseteq{T}[/texx], de donde se obtiene el resultado.

2) Sabemos por (a) que [texx]\tau=\bigcap_\alpha \tau_\alpha[/texx] es una topología, probemos que es la más grande entre todas las que estan contenidas en toda [texx]\{\tau_\alpha\}_\alpha[/texx].

Sea [texx]T[/texx] una topología sobre X tal que [texx]T\subseteq{\tau_\alpha}[/texx] para todo [texx]\alpha[/texx], entonces [texx]T\subseteq{\bigcap_\alpha \tau_\alpha=\tau}[/texx]




Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 10/02/2010, 01:25:10 pm
Ejercicio 13.4.c.

Si [texx]X=\{a,b,c\}[/texx], sea

[texx]\tau_1=\{\emptyset,X,\{a\},\{a,b\}\},\qquad\qquad\tau_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b,c\}\}.[/texx]

Hallar la topología más pequeña que contiene a [texx]\tau_1[/texx] y a [texx]\tau_2[/texx], y
la topología más grande contenida en [texx]\tau_1[/texx] y [texx]\tau_2[/texx].

Solución:
[texx]\tau_1=\{\emptyset,X,\{a\},\{a,b\}\}[/texx]
[texx]\tau_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b,c\}\}[/texx]

1) Hallemos la topología más grande contenida en [texx]\tau_1[/texx] y a [texx]\tau_2[/texx], por (b)
[texx]\tau=\tau_1\cap{\tau_2}=\{\emptyset,X,\{a\}\}[/texx].

2) Hallemos la topología más pequeña que contenga a [texx]\tau_1[/texx] y a [texx]\tau_2[/texx], por (b)
Primero hallamos su unión, S.
[texx]S=\tau_1\cup{\tau_2}=\left\{{\emptyset,X,\{a\},\{a,b\},\{b,c\},}\right\}[/texx]
Luego, hallamos el conjunto
[texx]R=\left\{{T\mbox{ topología sobre X}:S\subseteq{T}}\right\}[/texx]

Aca tengo un problema, pues X tiene 29 topologías, y es muy trabajoso hallar todas.
pensando...
¿Alguna pista profesor?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: alefa en 10/02/2010, 04:18:41 pm
hola
lo que hice fue encontrarr un elemento de la base de la k-topología (B=(-1,1)-K)  que contiene al 0 de manera que no existe un elemento de la topología del limite inferior de la forma B'=[0,b)que este incluido en B. Por lo que ahí se da la contradiccción porque si una es más fina que la otra para todo elemento de conjunto y para todo elemento de una de las base que lo contenga tiene que existir un elemento de la otra base que contenga al otro basico
No se si aclaré mi razonamiento


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 10/02/2010, 05:38:46 pm
No estoy muy seguro de que esté bien.

Lo que pasa es que "no ser más fina que la otra" es una condición que se debe verificar en las dos direcciones. Que una de las topologías no es más fina que la otra sale con ese ejemplo, y la ¿"viceversa"?
Creo que eso es lo que no veo claramente en lo que hiciste.

Además lo que has mirado son sólo los intervalos [0, b), eso no me parece suficiente.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 10/02/2010, 06:08:19 pm
Tomemos el ejemplo que has elegido de la base de [texx] \mathbb{R}_K[/texx]:
[texx]B=(-1,1)-K[/texx].

Te has posicionado en el punto x = 0 para buscar una contradicción.
Bien. Es cierto que los intervalos [0, b) cumplen que [texx]x\in [0, b)[/texx] y que además [texx][0,b)[/texx] no está incluido en B. Basta tomar un [texx]n\in Z^+[/texx] lo bastante grande como para que [texx]1/n< b[/texx], y listo.

Pero también hay otros intervalos [texx]I = [a,b)[/texx] que contienen a x = 0.
Todos los posibles son aquellos que [texx]a \leq 0 < b[/texx].
Basta decir ahora que para un tal intervalo se obtiene también la contradicción, porque tomando [texx]y= 1/n < b[/texx], de nuevo ese punto no está en [texx][a, b)[/texx].

Faltaría ver la recíproca.
Es más fácil todavía.
Consideremos el elemento [texx][0, b)[/texx] de la base de [texx]\mathbb{R}_\ell[/texx].
Supongamos que [texx]I = (c,d)[/texx] es un elemento de la base de [texx]\mathbb{R}_K[/texx] que contiene al 0. Necesariamente entonces [texx]c < 0 < d[/texx].
Si ahora exigimos que I esté contenido en [texx][0,b)[/texx], necesariamente [texx]0 \leq c < b[/texx].
Se obtienen las exigencias: [texx]c<0[/texx], y [texx]0 \leq c[/texx], que son contradictorias.

Resta ver los elementos del tipo [texx]I = (c,d)-K[/texx]. Pero el razonamiento es casi el mismo.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 11/02/2010, 02:34:23 am
Hola a todos, argentinator, vi tus mensajes y los de alefa, sobre el ejercicio 13.6, sólo los he ordenado en el mensaje numero 81, si puedes lo revisas, y me ayudas con el item (c) ejercicio 13.4.

Saludos.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 11/02/2010, 02:50:56 am
Solución 13.6:

Sean [texx]\tau_l[/texx] y [texx]\tau_k[/texx] las topologías de [texx]\mathbb{R}_l[/texx] y [texx]\mathbb{R}_k[/texx] respectivamente.
i) [texx]\tau_l\not\subseteq{\tau_k}[/texx]
Tomemos un elemento básico de [texx]\tau_l[/texx], sea [texx][0,b)[/texx]. Supongamos que: [texx]\tau_l\subseteq{\tau_k}[/texx], entonces existe un elemento básico de [texx]\tau_k[/texx],[texx](c,d)[/texx] ,tal que para todo [texx]x\in{[0,b)}[/texx](en particular a 0), se tiene,
[texx]0\in{(c,d)\subseteq{[0,b)}}[/texx]
Tenemos que [texx]c<0<d[/texx] y [texx]0\leq{c}>b[/texx]
lo cual es una contradicción, dicha contradicción vino de suponer que
[texx]\tau_l\subseteq{\tau_k}[/texx].
Por tanto, [texx]\tau_l\not\subseteq{\tau_k}[/texx]


Esta parte tiene un error, pequeño, pero importante.
Los conjuntos de la base de [texx]\mathbb{R}_K[/texx] son de dos tipos, y por lo tanto, hay que considerar las dos posibles alternativas.
Pueden ser del tipo "intervalo abierto" (a, b) o del tipo (a, b) - K.
Si el elemento de la base a considerar es del tipo (a, b), la prueba sigue como has indicado.
Si fuera de la forma (a, b) - K, la prueba sigue de modo algo similar, pero hay que escribirlo.

La importancia del error está justamente en que "no se lo ha visto".
Todas las alternativas han de ser consideradas, porque justo lo que se escapa puede ser lo que haga la diferencia.
En este caso no, pero... nunca se sabe.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 11/02/2010, 10:47:16 pm
Hola argentinator, ya corregí mi solución, pero me queda una espina, es que en el caso de que el elemento básico es (c,d)-K, he hecho lo mismo, ¿está bien?
Saludos.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 11/02/2010, 11:21:29 pm
Ejercicio 13.7. Considere las siguientes topologías sobre [texx]\mathbb{R}[/texx]:
[texx]\tau_1=[/texx] la topología usual.
[texx]\tau_2=[/texx] la topología de [texx]\mathbb{R}_K[/texx].
[texx]\tau_3=[/texx] la topología de los complementos finitos.
[texx]\tau_4=[/texx] la topología del límite superior, con todos los conjuntos [texx](a,b][/texx] como base.
[texx]\tau_5=[/texx] la topología con todos los conjuntos [texx](-\infty,a)=\{x\in{\mathbb{R}}:x<a\}[/texx] como base.

Determine las posibles relaciones de inclusión entre estas topologías
Solución 13.7:

Sabemos que
[texx]\tau_1\subseteq{\tau_2}[/texx]
[texx]\tau_1\subseteq{\tau_4}[/texx]
donde la inclusión es estricta y no se da en sentido contrario.
..........


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 12/02/2010, 02:08:49 am
Ejercicio 13.8.
(a) Aplique el Lema 13.2 para ver que la colección numerable
[texx]\mathfrak{B}=\{(a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\}[/texx]
es una base que genera la topología usual sobre [texx]\mathbb{R}[/texx].
(b) Demuestre que la colección
[texx]\mathfrak{C}=\{[a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\}
[/texx]
es una base que genera una topología distinta de la topología del límite inferior sobre [texx]\mathbb{R}[/texx].

Solución 13.8:
(a)
Lema 13.2. Sea [texx]X[/texx] un espacio topológico. Supongamos que [texx]\mathfrak{C}[/texx] es una colección de conjuntos abiertos de [texx]X[/texx] tal que, para cada conjunto abierto [texx]U[/texx] de [texx]X[/texx] y cada [texx]x\in{U}[/texx], existe un elemento [texx]C[/texx] de [texx]\mathfrak{C}[/texx] tal que [texx]x\in{C}\subseteq{U}[/texx]. Entonces [texx]\mathfrak{C}[/texx]  es una base para la topología de [texx]X[/texx].

Entonces, debemos probar que para cualquier conjunto abierto,[texx]U[/texx], de [texx]\mathbb{R}[/texx](especto a la topología usual), y para cada [texx]x\in{U}[/texx], existe un elemento de [texx]B[/texx] de [texx]\mathfrak{B}[/texx] tal que [texx]x\in{B\subseteq{U}}[/texx].

Bien, con eso en mente, elijamos un abierto de la topología usual, [texx]U[/texx], sea [texx]x\{U}[/texx] un elemento arbitrario, entonces existe un intervalo abierto [texx](c,d)[/texx] [texx]c<d[/texx], tal que [texx]x\in{(c,d)}\subset{U}[/texx], entonces tenemos
[texx]c<x<d[/texx]. Como [texx]c<x[/texx] y [texx]x<d[/texx], por el ejercicio 9(d) del capítulo 1 sección 4(Los enteros y los números reales) existen un a,b racionales, tales que [texx]c<a<x[/texx] y [texx]x<b<d[/texx], es decir, existe un intervalo abierto [texx](a,b)[/texx] con [texx]a,b[/texx] racionales, esto es, existe [texx](a,b)\in{\mathfrak{B}}[/texx] tal que [texx]a<x<b[/texx] y [texx](a,b)\subseteq{(c,d)}\subset{U}[/texx], y por el Lema 13.2 se tiene el resultado.

(b)

Dame una manito argentinator, ya??
Saludos.
CORREGIDO VER RESPUESTA 127


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 13/02/2010, 07:40:27 pm
Bueno siguendo con los ejercicios, paso a los ejercicios de la seccion 16, que comprende, La Topología del orden, La Topología del producto sobre [texx]X\times{Y}[/texx] y La Topología de subespacio.
Ejercicio 16.1. Pruebe si [texx]Y[/texx] es un subespacio de [texx]X[/texx] y [texx]A[/texx] es un subconjunto de [texx]Y[/texx], entonces la topología que [texx]A[/texx] hereda como subespacio de [texx]Y[/texx] es la misma que la topología que hereda como subespacio de [texx]X[/texx].

Solución 16.1:
Sea [texx]\tau_[/texx] la topología de X, entonces sabemos que [texx]\tau_y=\{Y\cap {U}|U\in{\tau}\}[/texx]
Como [texx]A\subseteq{Y}[/texx], entonces [texx]\tau^Y_A=\{A\cap{W}|W\in{\tau_Y}\}[/texx]
pero también [texx]A\subseteq{X}[/texx], por tanto, también existe [texx]\tau^X_A=\{A\cap{Z}|Z\in{\tau}\}[/texx].

Probemos que [texx]\tau^X_A=\tau^Y_A[/texx].

[texx]\color{red}\tau^Y_A=\{A\cap{W}|W\in{\tau_Y}\}=\{A\cap{W}|\exists{U\in{\tau}|W=Y\cap U}}\}=\{A\cap({Y\cap{U}})|U\in{\tau}}\}=\{A\cap U|U\in{\tau}\}=\tau^X_A[/texx]

Una manera más detallada es:
i) Sea [texx]T\in{\tau^Y_A}[/texx], entonces existe [texx]W\in \tau_y[/texx] tal que
[texx]T=A\cap{W}[/texx], pero como [texx]W\in \tau_y[/texx], entonces existe un [texx]U\in{\tau}[/texx] tal que [texx]W=Y\cap{U}[/texx], luego
[texx]T=A\cap{W}=A\cap({Y\cap{U}})=(A\cap{Y})\cap{U}=A\cap{U}[/texx], con [texx]U\in{\tau}[/texx], luego
[texx]T=A\cap U[/texx], con [texx]U\in{\tau}[/texx], de donde se tiene que [texx]T\in{\tau^X_A}[/texx].
Por tanto, [texx]{\tau^Y_A\subseteq{\tau^X_A}}[/texx].

ii) Sea [texx]T\in{\tau^X_A}[/texx], entonces existe [texx]W\in \tau[/texx] tal que
[texx]T=A\cap{W}[/texx], pero como [texx]A\subset Y[/texx], entonces [texx]A=A\cap Y[/texx], luego
[texx]T=A\cap{W}=A\cap{Y}\cap{W}[/texx].
Como [texx]W\in \tau[/texx], entonces [texx]Z=W\cap{Y}\in{\tau^Y_A}[/texx], de donde
[texx]T=A\cap{Y}\cap{W}=A\cap({Y}\cap{W})=A\cap{Z}[/texx], con [texx]Z\in{\tau^Y_A}[/texx], luego [texx]T\in{\tau^Y_A}[/texx].
En consecuencia [texx]{\tau^X_A\subseteq{\tau^Y_A}}[/texx].

De (i) y (ii) se tiene que:
[texx]\tau^X_A=\tau^Y_A[/texx].


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 13/02/2010, 07:41:42 pm
Ejercicio 16.2. Si [texx]\tau[/texx] y [texx]\tau^{\prime}[/texx] son dos topologías sobre [texx]X[/texx] y [texx]\tau^{\prime}[/texx] es estrictamente más fina que [texx]\tau[/texx], ¿qué puede decir sobre las correspondientes topologías de subespacio sobre el subconjunto [texx]Y[/texx] de [texx]X[/texx]?

Solución16.2:
Como [texx]\tau^{\prime}[/texx] es estrictamente más fina que [texx]\tau[/texx], [texx]\tau\subsetneqq{\tau^{\prime}}[/texx].

Sean [texx]\tau_Y[/texx] y [texx]\tau^{\prime}_Y[/texx] las topologías de subespacio sobre [texx]Y[/texx] heredadas respecto a las topologías [texx]\tau[/texx] y [texx]\tau^{\prime}[/texx].

Sea [texx]U\in{\tau_Y}[/texx], entonces existe un [texx]W\in{\tau}[/texx] tal que
[texx]U=Y\cap{W}[/texx], como [texx]W\in{\tau}\subseteq{\tau^{\prime}}[/texx], entonces [texx]U\in{\tau^{\prime}_Y}[/texx]

Corregido

Por tanto, [texx]\tau_Y\subseteq{\tau^{\prime}_Y}[/texx].

Es decir [texx]\tau _Y'[/texx] es más fina que [texx]\tau _Y[/texx]



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 13/02/2010, 07:50:37 pm
Ejercicio 16.3. Consideremos el conjunto [texx]Y=[-1,1][/texx] como subespacio de [texx]\mathbb{R}[/texx]. ¿Cuál de los siguientes conjuntos son abiertos en [texx]Y[/texx]?¿Cuales son abiertos en [texx]R[/texx]?
[texx]A=\left\{{x\in{\mathbb{R}}|\displaystyle\frac{1}{2}<|x|<1}\right\},[/texx]
[texx]B=\left\{{x\in{\mathbb{R}}|\displaystyle\frac{1}{2}<|x|\leq{1}}\right\},[/texx]
[texx]C=\left\{{x\in{\mathbb{R}}|\displaystyle\frac{1}{2}\leq{|x|}<1}\right\},[/texx]
[texx]D=\left\{{x\in{\mathbb{R}}|\displaystyle\frac{1}{2}\leq{|x|}\leq{1}}\right\},[/texx]
[texx]E=\left\{{x\in{\mathbb{R}}|0<|x|<1\wedge\displaystyle\frac{1}{x}\not\in{\mathbb{Z_+}}}\right\}.[/texx]

Solución 16.3:
[texx]Y=[-1,1][/texx]. Como no dicen que topología se utilizará, trabajaré con la usual, a saber, la generada por la colección [texx]\mathcal{B}[/texx] de todos los intervalos abiertos en la recta real.
[texx](a,b)=\left\{{x\in{\in{\mathbb{R}}}|a<x<b\}\right\}[/texx]
1)
[texx]A=\left\{{x\in{\mathbb{R}}|\displaystyle\frac{1}{2}<|x|<1}\right\},[/texx]

Para que A sea un abierto en [texx]Y=[-1,1][/texx], debemos probar que existe un abierto
[texx]U[/texx] de [texx]\mathbb{R}[/texx] tal que [texx]A=[-1,1]\cap{U}[/texx].
Sea [texx]x\in{A}[/texx], entonces, [texx]\displaystyle\frac{1}{2}<|x|[/texx] y [texx]|x|<1[/texx], de aquí,
[texx]\displaystyle\frac{1}{2}<x[/texx] o [texx]x<-\displaystyle\frac{1}{2}[/texx] y [texx]-1<x<1[/texx], es decir

[texx]x\in{\left(\displaystyle-1,-\frac{1}{2} \right)\cup{\left( \displaystyle\frac{1}{2},1 \right) }}[/texx].

Por tanto [texx]A=\left(\displaystyle-1,-\frac{1}{2} \right)\cup{\left( \displaystyle\frac{1}{2},1 \right)}[/texx].
Como [texx]A\subseteq{[-1,1]}[/texx], entonces[texx]A=[-1,1]\cap{A}[/texx].
Como [texx]\left(\displaystyle-1,-\frac{1}{2} \right)[/texx] y [texx]\left( \displaystyle\frac{1}{2},1 \right)[/texx] son abiertos en [texx]\mathbb{R}[/texx], entonces [texx]A=\left(\displaystyle-1,-\frac{1}{2} \right)\cup{\left( \displaystyle\frac{1}{2},1 \right)}[/texx] también es abierto en [texx]\mathbb{R}[/texx], luego
[texx]A=[-1,1]\cap{A}[/texx], con [texx]A[/texx] abierto de [texx]\mathbb{R}[/texx], entonces [texx]A[/texx] es abierto en [texx]Y[/texx].





Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 13/02/2010, 09:51:46 pm
Ejercicio 16.4. Una aplicación [texx]f:X\rightarrow{Y}[/texx] se dice que es una aplicación abierta si, para cada conjunto abierto [texx]U[/texx] de [texx]X[/texx], el conjunto [texx]f(U)[/texx] es abierto en [texx]Y[/texx]. Pruebe que [texx]\pi_1:X\times{Y}\rightarrow{X}[/texx] y [texx]\pi_2:X\times{Y}\rightarrow{Y}[/texx] son aplicaciones abiertas.

Solución 16.4:
Recordemos que [texx]\pi_1:X\times{Y}\rightarrow{X}[/texx] es definida por [texx]\pi_1(x,y)=x[/texx] y [texx]\pi_2:X\times{Y}\rightarrow{Y}[/texx] es definida por [texx]\pi_2(x,y)=y[/texx].

Sea [texx]W[/texx] un elemento básico de [texx]X\times{Y}[/texx], entonces existe elementos básicos [texx]V, U[/texx] de [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] respectivamente tales que [texx]W=V\times{U}[/texx], entonces como [texx]\pi_1[/texx] es sobreyectiva, tenemos que [texx]\pi_1(W)=\pi_1(V\times{U})=V[/texx], luego [texx]\pi_1(W)[/texx] es un básico, en particular es abierto.

Sea ahora [texx]A\subseteq{X\times{Y}}[/texx] un abierto, entonces existen [texx]W_\alpha[/texx] elementos básicos tales que [texx]A=\bigcup_\alpha W_\alpha[/texx], es decir, existen [texx]V_\alpha[/texx] y [texx]U_\alpha[/texx] elementos básicos de  [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] respectivamente tales que [texx]W_\alpha=V_\alpha\times{U_\alpha}[/texx] y [texx]A=\bigcup_\alpha \left( V_\alpha\times{U_\alpha} \right)[/texx].

Entonces [texx]\pi_1(A)=\pi_1\left(\bigcup_\alpha \left( V_\alpha\times{U_\alpha} \right) \right)=\bigcup_\alpha\pi_1\left(  V_\alpha\times{U_\alpha} \right)=\bigcup_\alpha V_\alpha [/texx], es decir, [texx]\pi_1(A)[/texx] es la unión de elementos básicos de X. Por tanto es un abierto de X, así, [texx]\pi_1[/texx] es abierta.

De la misma manera, se prueba que [texx]\pi_2[/texx] es abierta.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 14/02/2010, 12:56:16 am
Ejercicio 16.5. Denotemos por [texx]X[/texx] y [texx]X'[/texx] a conjuntos de las topologías [texx]\mathcal{T}[/texx] y [texx]\mathcal{T}^{\prime}[/texx], respectivamente; sean [texx]Y[/texx] e [texx]Y'[/texx] conjuntos de las topologías [texx]\mathcal{U}[/texx] y [texx]\mathcal{U}^{\prime}[/texx], respectivamente. Asumimos que estos conjuntos son no vacíos.

(a) Demuestre que si [texx]\mathcal{T}^{\prime}\supset{\mathcal{T}}[/texx] y [texx]\mathcal{U}^{\prime}\supset{\mathcal{U}}[/texx], entonces la topología producto sobre [texx]X'\times{Y'}[/texx] es más fina que la topología producto sobre [texx]X\times{Y}[/texx].

(b)¿Se cumple el recíproco de (a)? Explique su respuesta.

Solución 16.5:
(a)
Sean [texx]\mathcal{B}[/texx] una base y [texx]\mathcal{T}_{X\times{Y}}[/texx] la topología producto sobre [texx]X\times{Y}[/texx]

Sea [texx]\mathcal{B'}[/texx] una base y [texx]\mathcal{T}_{X'\times{Y'}}[/texx] la topología producto sobre [texx]X'\times{Y'}[/texx].

Deseamos probar que [texx]\mathcal{T}_{X\times{Y}}\subset{\mathcal{T}_{X'\times{Y'}}}[/texx].

Tomemos [texx]B\in{\mathcal{B}}[/texx], entonces existen elementos básicos [texx]U[/texx], [texx]V[/texx] de [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] respectivamente, tales que [texx]B=U\times{V}[/texx], como [texx]U\in{\mathcal{T}}\subseteq{\mathcal{T'}}[/texx] y [texx]V\in{\mathcal{U}}\subseteq{\mathcal{U'}}[/texx], entonces
[texx]B=U\times{V}[/texx], con [texx]U\in{\mathcal{T'}}[/texx] y [texx]V\in{\mathcal{U'}}[/texx], es decir, [texx]B\in{\mathcal{B'}}[/texx].

Por tanto, [texx]\mathcal{T}_{X\times{Y}}\subset{\mathcal{T}_{X'\times{Y'}}}[/texx], que es lo que deseábamos probar.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 14/02/2010, 12:59:16 am
Me detengo para revisar y tratar de terminar los ejercicios faltantes de la sección 13.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 03:20:37 am
(...)
Solución 13.8:
(a)
Lema 13.2. ...

Entonces, debemos probar que para cualquier conjunto abierto,[texx]U[/texx], de [texx]\mathbb{R}[/texx](especto a la topología usual), y para cada [texx]x\in{U}[/texx], existe un elemento de [texx]B[/texx] de [texx]\mathfrak{B}[/texx] tal que [texx]x\in{B\subseteq{U}}[/texx].

Bien, con eso en mente, elijamos un abierto de la topología usual, [texx](c,d)[/texx], [texx]c<d[/texx], sea [texx]x\in{(c,d)}[/texx] un elemento arbitrario, entonces ...


En este ejercicio, la prueba "sirve", pero no está planteada correctamente.
Por un lado, estás diciendo que vas a tomar abiertos [texx]U[/texx] cualesquiera,
pero después, en la demostración, te conformas sólo con abiertos en forma de intervalo [texx](a, b)[/texx]. ¿Cómo es la cosa?

Para "aprovechar" tu razonamiento, quizá convenga usar el Lema 13.3, y demostrar que las bases de intervalos con extremos racionales, y la base "usual" de intervalos cualesquiera, generan topologías que son una más fina que la otra, y viceversa, o sea, generan la misma topología.

En ese caso, "sirve" lo que has dicho de que para un elemento [texx](a,b)[/texx] de la base "usual" y para [texx]x\in(a,b)[/texx] se obtiene un [texx](c,d)[/texx] con extremos racionales tal que [texx]x\in(c,d)\subset(a,b)[/texx].
Restaría verificar el caso "recíproco", o sea, que todo intervalo con extremos racionales [texx](c,d)[/texx] satisface algo como [texx]x\in(c,d)\subset (a,b)[/texx], pero esto es trivial, porque se puede tomar al mismo [texx](c,d)[/texx] como el "[texx](a,b)[/texx]". ¿No?



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 03:24:59 am
Solución 13.8:
(b)
(...)
Dame una manito argentinator, ya??


Por la parte (a), la topología de intervalos con extremos racionales es la misma que la topología usual.
Y eso es todo lo que se necesita para decir que se trata de una topología distinta a la del límite inferior, porque ya sabemos que la usual difiere de la del limite inferior.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 03:28:49 am
Ahora vuelvo a comentar la parte (a) del ejercicio 13.8.

Ahí el enunciado exigía que se use el Lema 13.2, y no el 13.3, como yo hice.
Perdón por la imprecisión.

Pero las ideas son entonces más o menos las mismas.

Sólo que hay que "aprovechar" tus ideas de la manera correcta.
Falta un detallito, que vendría así:

Sea U un conjunto abierto según la topología usual.
Sea [texx]x\in U[/texx]. En tal caso, existe un intervalo abierto [texx](a,b)[/texx] tal que [texx]x\in(a,b)\subset U[/texx].
Ahora usamos tu construcción para encontrar un intervalo abierto [texx](c,d)[/texx] con extremos racionales tal que [texx]x\in(c,d)\subset(a,b)[/texx].
En particular, esto muestra que [texx]x\in(c,d)\in U[/texx].

Por el Lema 13.2, la familia de todos estos "[texx](c,d)[/texx]" (con extremos racionales) sería una base.



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 14/02/2010, 03:50:10 am
Revisando vi el HORROR que cometí
Ejercicio 13.8.
(a) Aplique el Lema 13.2 para ver que la colección numerable
[texx]\mathfrak{B}=\{(a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\}[/texx]
es una base que genera la topología usual sobre [texx]\mathbb{R}[/texx].
(b) Demuestre que la colección
[texx]\mathcal{B}=\{(a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\}
[/texx]
es una base que genera una topología distinta de la topología del límite inferior sobre [texx]\mathbb{R}[/texx].

En (b) es[texx]\mathfrakl{C}=\{[a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\}
[/texx]

Mil perdones, voy a corregirlo


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 14/02/2010, 03:54:18 am
Ya corregí la parte (a)
Solución 13.8:
(b)
(...)
Dame una manito argentinator, ya??


Por la parte (a), la topología de intervalos con extremos racionales es la misma que la topología usual.
Y eso es todo lo que se necesita para decir que se trata de una topología distinta a la del límite inferior, porque ya sabemos que la usual difiere de la del limite inferior.

¿Se sigue cumpliendo?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 04:10:23 am
Claro, porque las topologías "con extremos racionales" o "con extremos cualesquiera" son las mismas.
Y dos topologías [texx]\tau,\tau'[/texx] son "la misma" si y sólo si contienen a los mismos elementos, que son los "abiertos" de cada una de ellas.

Si un miembro de la topología del límite inferior no está en [texx]\tau[/texx] tampoco está en [texx]\tau'[/texx]. ¿No?

Las "bases" pueden ser distintas, pero una vez que hemos probado que la topología es la misma, ¿qué duda hay? La igualdad topologica es una igualdad de familias de conjuntos. No hay lugar a confusión en esto, o al menos eso creo yo, jeje  ::)



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 04:16:33 am
La duda viene porque la topología generada por los intervalos con extremo racional es "aparentemente" más pequeña que la "topología usual". Pero en realidad son la misma topología.

Hay otro ejemplo: considerar los intervalos de la forma
[texx]\left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right)[/texx], donde [texx]m,k[/texx] son enteros cualesquiera.
Esta es la familia de intervalos diádicos, y claramente es una familia estrictamente más chica que la de los intervalos de extremos racionales.

Aún así, forman una base para la topologia usual.  ;)



Ser una base para una cierta topología significa que la susodicha base "genera" esa topología, y no otra.
Y en definitiva, la pregunta que tenemos que hacernos en todo contexto de trabajo es esta:
¿Qué topología/as son las que tengo en este momento?

¡¡¡Y no dejarse confundir por las bases posibles, que las hay muchas!!!


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 14/02/2010, 04:18:56 am
Estuve leyendo el link de la teoría, y en la sección de la topología del orden, a partir del ejemplo 2, los paréntesis azules, no tienen el " ) ".


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 04:19:26 am
Gracias, lo acabo de arreglar.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 14/02/2010, 04:24:42 am
Mi duda que tenía es, por ejemplo, en R, la topología usual es generada por los intervalos abiertos (a,b), y la topología del límite inferior, por los intervalos semiabiertos, [a,b), y por el Lema 13.4 ésta estrictamente más fina que la usual, por eso pensé que en el ejercicio 13.8 podía pasar algo similar.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 14/02/2010, 04:38:14 am
Bueno argentinator, ya tengo sueño, voy a dormirrrrrrrrrrrrrrrr, saludos, mañana sigo con mis dudas, cuidate.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 04:51:58 am
No entiendo bien cuál te imaginás que es estrictamente más fina que cuál...

Supongamos que tenemos las topologías:

[texx]\tau_1[/texx]: generado por los intervalos abiertos de extremos diádicos.
[texx]\tau_2[/texx]: generado por los intervalos abiertos de extremos racionales.
[texx]\tau_3[/texx]: generado por los intervalos abiertos de extremos arbitrarios.
[texx]\tau_4[/texx]: generado por los intervalos semiabiertos a derecha (o sea, la del límite inferior).

Se tiene que:

[texx]\tau_1=\tau_2=\tau_3  \subsetneqq \tau_4[/texx].

La inclusión [texx]  \subsetneqq[/texx] es sinónima de la frase "estrictamente menos fina que".

Ser más fina quiere decir "tener más elementos".
Ser menos fina quiere decir "tener menos elementos".

Fijate que lo que ocurre en los tres primeros casos es que se trata sólo de intervalos "abiertos".
Nunca se incluyen los extremos.
Cuando pasemos a la teoría de puntos límites y conjuntos cerrados, vamos a ver, como a lo mejor ya sepas, que los extremos de los intervalos son puntos especiales: son puntos límite de los intervalos abiertos.

Si agregamos esos puntos limite, el conjunto obtenido ya no es abierto...
Si ahora se nos ocurre inventar una topología que sí contenga conjuntos con esos puntos límite como miembros de sí misma (ya se trata de su base, o de donde vengan), es absolutamente seguro que la topología va a ser otra distinta.

El hecho de que [texx]\tau_4[/texx] sea a su vez más fina,
resulta simplemente por el hecho de que un intervalo abierto (de la base "usual") puede "generarse" con intervalos semiabiertos, y por lo tanto los "intervalos abiertos (a, b)" son también "abiertos" de [texx]\tau_4[/texx]:

[texx](a,b)=\bigcup_{\epsilon>0}[a+\epsilon,b)[/texx]



Se puede complicar más la cosa todavía:

Considerar las topologías siguientes:
[texx]\tau_5[/texx]: generado por los intervalos semiabiertos de extremos "diádicos" [texx][m2^{-k},(m+1)2^{-k})[/texx].
[texx]\tau_6[/texx]: generado por los intervalos semiabiertos de extremos "racionales" [texx][c,d)[/texx].

En este caso, ya no es fácil establecer relaciones entre las bases respectivas tal como se han indicado para [texx]\tau_3,\tau_5.\tau_6,\tau_4[/texx].
Está todo más "enrededado".

Sin embargo, se tiene que

[texx]\tau_3  \subsetneqq\tau_5[/texx]
[texx]\tau_3  \subsetneqq\tau_6[/texx]

porque esas topologías siguen generando a cualesquiera intervalos "abiertos" (a,b).

Sin embargo, se tienen las siguiente relaciones, aunque en forma estricta:

[texx]\tau_5  \subsetneqq\tau_6 \subsetneqq \tau_4[/texx]

¿Podrías argumentar por qué?
¿O estás en desacuerdo?

Fijate en en el paralelismo de las definiciones de las primeras 3 topologías con las últimas 3, y sin embargo como es que las relaciones entre ellas se dan de forma diferente.

Te molesto con estos ejemplos, porque las vicisitudes de la topología del limite inferior ofrece ejemplos muy interesantes.

Uno puede buscar o estudiar engendros similares, por ejemplo preguntarse por [texx]R_K[/texx] y "similares".



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 05:04:15 am
Bueno, te dejo ir a dormir.
Que descanses.

Yo voy a tratar de continuar, a ver si te alcanzo el ritmo, que vas por delante de mí, jaja.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 14/02/2010, 02:06:21 pm
Me parece muy bueno que hayas mencionado los diádicos, pues los he visto en varios temas. Por eso(si es posible) quiero tratar de estudiarlos con detalle.
Hay otro ejemplo: considerar los intervalos de la forma
[texx]\left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right)[/texx], donde [texx]m,k[/texx] son enteros cualesquiera.

He visto en algunos textos que piden que [texx]k\geq{0}[/texx] y [texx]0\leq{m\leq{2^k}}[/texx]

Esta es la familia de intervalos diádicos, y claramente es una familia estrictamente más chica que la de los intervalos de extremos racionales.

Sea [texx]\left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right)[/texx], donde [texx]m,k[/texx] son enteros cualesquiera, pero, tanto [texx]\displaystyle\frac{m}{2^k}[/texx] y [texx]\displaystyle\frac{m+1}{2^k}[/texx] son racionales, luego, [texx]\left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right)[/texx] es un elemento de la familia de intervalos abiertos con extremos racionales.

Aún así, forman una base para la topologia usual.  ;)

Sean [texx]a,b\in{\mathbb{R}}[/texx], con [texx]a<b[/texx], entonces [texx]0<b-a[/texx], entonces existe un entero, que lo denotaré por [texx]n_{ab}[/texx], tal que
[texx]0<\displaystyle\frac{1}{2^{n_{ab}}}<b-a[/texx]. Luego
Por otra parte, sabemos que
[texx]2^{n_{ab}}a<[2^{n_{ab}}a]+1=[2^{n_{ab}}a+1]\leq{2^{n_{ab}}a+1}[/texx], donde [] es la parte entera, luego

[texx]a=\displaystyle\frac{2^{n_{ab}}a}{2^{n_{ab}}}<\displaystyle\frac{[2^{n_{ab}}a+1]}{2^{n_{ab}}}\leq{\displaystyle\frac{2^{n_{ab}}a+1}{2^{n_{ab}}}}=a+\displaystyle\frac{1}{2^{n_{ab}}}<a+b-a=b[/texx]

Luego, tenemos que existen enteros, [texx]n_{ab}[/texx] y [texx]m_{ab}=[2^{n_{ab}}a+1][/texx] tales que [texx]a<\displaystyle\frac{m_{ab}}{2^{n_ab}}<b[/texx].

Moraleja: "entre dos números reales cualesquiera (racionales o irracionales) existe un número diádico"

Deseo probar que la familia de los intervalos diádicos forma una base de la topología usual, por el Lema 13.2, sea [texx](a,b)[/texx] un intervalo abierto, por probar que para cualquier [texx]x\in{(a,b)}[/texx], existe un intervalo diádico, [texx]\left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right)[/texx], donde [texx]m,k[/texx] son enteros cualesquiera, tal que [texx]x\in{\left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right)}\subset{(a,b)}[/texx].

Sea [texx]x\in{(a,b)}[/texx], entonces [texx]a<x<b[/texx], por la moraleja, existen enteros [texx]m_{ax},n_{ax},m_{xb},n_{xb}[/texx] tales que
[texx]a<\displaystyle\frac{m_{ax}}{2^{n_{ax}}}<x<\displaystyle\frac{m_{xb}}{2^{n_{xb}}}<b[/texx]
Pero aca tengo problemas, pues no sé cómo conseguir el intervalo diádico pedido.

Profe ayuda porfa!!!


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 14/02/2010, 06:27:10 pm
Vayamos a los ejemplos.

 [texx] \bullet[/texx] Ejemplo 1. En el sistema de números reales [texx]\mathbb{R}[/texx], con la relación de orden usual, tenemos una topología del orden, claro está, pero los intervalos de la base son sólo del tipo (1), ya que en [texx]\mathbb{R}[/texx] no hay elementos que sean el mínimo ni el máximo (dado un [texx]c\in\mathbb{R}[/texx], siempre existen [texx]a, b\in\mathbf{R}[/texx] tales que [texx]a<c[/texx] y [texx]c<b[/texx]).
Se deja como ejercicio comprobar que la topología del orden en [texx]\mathbb{R}[/texx] es la misma que la topología estándar.

La topología usual de [texx]\mathbb{R}[/texx] es la formada sólamente por la colección de intervalos abiertos [texx](a,b)[/texx] y éstos a su vez(solo éstos)  tambíen generan la topología del orden, por tanto las topologías son las mismas.



  • Ejemplo 2. Consideramos el plano coordenado [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx] con el orden de diccionario:

    [texx]{\color{blue}(}a_1,a_2{\color{blue})} < {\color{blue}(}b_1,b_2{\color{blue})}\textsf{\ sii\ }a_1 < b_1[/texx] ó [texx]a_1=b_1, a_2 < b_2.[/texx]

    Se deja como ejercicio comprobar que con esta relación de orden, el conjunto [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx] no tiene elementos que sean ni el primero (o sea un mínimo) ni el último (o sea un máximo).
Supongamos que existe un [texx]P=(x_0,y_0)\in{\mathbb{R}\times{R}}[/texx] elemento mínimo, entonces
[texx](x_0,y_0)<(x,y)[/texx], para cualquier [texx](x,y)\in{\mathbb{R}\times{R}}[/texx], entonces tenemos dos casos:
i) [texx]x_0<x[/texx], para todo [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx], lo cual es falso.
ii) [texx](x_0=x)[/texx] y [texx]y_0<y[/texx], para todo [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx], lo cual también es falso.

Por tanto, [texx]\mathbb{R}\times{R}[/texx] no tiene elemento mínimo.
De la misma forma, se prueba que [texx]\mathbb{R}\times{R}[/texx] no tiene elemento máximo.[/list]


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 06:59:05 pm
Cita
La topología usual de R es la formada sólamente por la colección de intervalos abiertos (a,b) y éstos a su vez(solo éstos)  tambíen generan la topología del orden, por tanto las topologías son las mismas.

La expresión correctamente escrita sería así:

La topología usual de R es la generada sólamente por la colección de intervalos abiertos (a,b) y éstos a su vez(solo éstos)  tambíen generan la topología del orden, por tanto las topologías son las mismas.



Sin embargo, se puede dar menos vueltas.
Ambas bases, la estándar y del orden son exactamente iguales en este caso, o sea, iguales como conjuntos. O sea, es una y la misma base.

Y como una base sólo puede generar una sola topología,
naturalmente las dos topologías son iguales.

O sea, demostrar que dos bases distintas generan la misma topología, puede tener algo de complicación... pero si dos bases son iguales... más iguales son sus topologías!!!



Lo que has escrito sobre los minimos y maximos del ejemplo 2 está bien.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 07:15:02 pm
En el siguiente ejercicio creo que los errores que he encontrado son más bien de redacción que de razonamiento. Te los marco en rojo.

Solución 16.1:
Sea [texx]\tau_[/texx] la topología de X, entonces sabemos que [texx]\tau_y=\{Y\cap {U}|U\in{\tau}\}[/texx]
Como [texx]A\subseteq{Y}[/texx], entonces [texx]\tau^Y_A=\{A\cap{W}|W\in{\tau_Y}\}[/texx]
pero también [texx]A\subseteq{X}[/texx], por tanto, también existe [texx]\tau^X_A=\{A\cap{Z}|Z\in{\tau}\}[/texx].

Probemos que [texx]\tau^X_A=\tau^Y_A[/texx].

Esta línea no se entiende nada:

[texx]\color{red}\tau^Y_A=\{A\cap{W}|W\in{\tau_Y}\}=\{A\cap{W}|\exists{U\in{\tau}|W=Y\cap U}}=\{A\cap({Y\cap{U}})|U\in{\tau}}=\{A\cap U|U\in{\tau}\}=\tau_X_A[/texx]

Una manera más detallada es:
i) Sea [texx]T\in{\tau^Y_A}[/texx], entonces existe [texx]W\in \tau_y[/texx] tal que
[texx]T=A\cap{W}[/texx], pero como [texx]W\in \tau_y[/texx], entonces existe un [texx]U\in{\tau}[/texx] tal que [texx]W=Y\cap{U}[/texx], luego
[texx]T=A\cap{W}=A\cap({Y\cap{U}})=(A\cap{Y})\cap{U}=A\cap{U}[/texx], con [texx]U\in{\tau}[/texx], luego [texx]\color{red}\cancel{T\in{\tau^X_A}}[/texx] [texx]{\color{blue}\Rightarrow}{\tau^Y_A\subseteq{\tau^X_A}}[/texx].

ii) Sea [texx]T\in{\tau^X_A}[/texx], entonces existe [texx]W\in \tau[/texx] tal que
[texx]T=A\cap{W}[/texx], pero como [texx]\color{red}\cancel{A\cap Y}[/texx] [texx]A\subset  Y[/texx], entonces [texx]A=A\cap Y[/texx], luego
[texx]T=A\cap{W}=A\cap{Y}\cap{W}[/texx].
Como se tiene [texx]W\in \tau[/texx], entonces [texx]Z=W\cap{Y}\in{\tau^Y_A}[/texx], de donde
[texx]T=A\cap{Y}\cap{W}=A\cap({Y}\cap{W})=A\cap{Z}[/texx], con [texx]Z\in{\tau^Y_A}[/texx], luego [texx]T\in{\tau^Y_A}[/texx]
[texx]{\color{blue}\Rightarrow}{\tau^X_A\subseteq{\tau^Y_A}}[/texx].

De (i) y (ii) se tiene que:
[texx]\tau^X_A=\tau^Y_A[/texx].
[/size]

Las flechitas que te marqué azul indican que "no me gusta" esa flecha ahí.
Estás poniendo un signo de implicación para "rematar" toda una cadena de razonamientos.

La implicación es una operación lógica entre dos "operandos" consecutivos, que son proposiciones lógicas.
Pero la conclusión final de un razonamiento no es lo mismo.

Al terminar un razonamiento se debe usar la palabra entonces.

Ante cualquier duda al respecto, podrías repasar lo que puse en la teoría de la Sección 1, en el spoiler de las tablas de verdad. Allí explico la diferencia, e incluso uso una "flecha distinta" para indicar el "entonces".

Se suelen confundir los usos de "implica que" y "entonces", pero eso es por la forma en que el modus ponens se compenetra con la operación de implicación.



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 07:38:45 pm
Solución16.2:
Como [texx]\tau^{\prime}[/texx] es estrictamente más fina que [texx]\tau[/texx], [texx]\tau\subsetneqq{\tau^{\prime}}[/texx].

Sean [texx]\tau_Y[/texx] y [texx]\tau^{\prime}_Y[/texx] las topologías de subespacio sobre [texx]Y[/texx] heredadas respecto a las topologías [texx]\tau[/texx] y [texx]\tau^{\prime}[/texx].

Sea [texx]U\in{\tau_Y}[/texx], entonces existe un [texx]W\in{\tau}[/texx] tal que
[texx]U=Y\cap{W}[/texx], como [texx]W\in{\tau}\subseteq{\tau^{\prime}}[/texx], entonces [texx]U\in{\tau^{\prime}_Y}[/texx]

Por tanto, [texx]\tau_Y\subseteq{\tau^{\prime}_Y}[/texx].

Lo que sigue no está bien:

Por otra, parte, puesto que [texx]\tau_\subsetneqq{\tau^{\prime}}[/texx], entonces, existe un [texx]U\in{\tau^{\prime}}[/texx] tal que [texx]{\color{red} U}\not\in{\tau}[/texx], de donde existe un
[texx]W=Y\cap U[/texx], con [texx]U\in{\tau^{\prime}}[/texx] y [texx]U\not\in{\tau}[/texx], esto es
[texx]W\in{\tau^{\prime}_Y}[/texx] y [texx]W\not\in{\tau_Y}[/texx],
[texx]\tau_Y\subsetneqq{\tau^{\prime}_Y}[/texx].
Es decir, [texx]\tau^{\prime}_Y[/texx]. es estrictamente más fina que [texx]\tau_Y[/texx].


Para ver que la última parte no está bien, te dejo buscar los errores en el razonamiento, yo tan sólo me limitaré a mostrar un ejemplo donde la situación que "demostraste" no se cumple.

Tomemos el Ejemplo 2 de la sección 16.

Llamemos aquí [texx]X=[0,1)\cup \{2\}[/texx], o sea, este es nuestro espacio y dejemos la letra [texx]Y[/texx] para un subespacio más pequeño...

Se puede ver que todo elemento de la base de la topología del orden [texx]\tau [/texx]es también un elemento de la base de la topología de subespacio [texx]\tau '[/texx]de la estándar de la recta real.
Sin embargo, en esta última el conjunto [texx]\{2\}[/texx] es abierto, mientras que en [texx]\tau [/texx] no lo es.

Así que [texx]\tau  \subsetneqq \tau '[/texx]

Ahora consideremos el conjunto [texx]Y=(0,1)[/texx].
En este caso, las topologías de subespacio [texx]\tau _Y[/texx] y [texx]\tau _Y'[/texx] coinciden, porque sus bases contienen ahora los mismos elementos.

Hay que comprobar los detalles, pero por ahí va la cosa.



Así que en general, puede afirmarse que:

[texx]\tau _Y'[/texx] es más fina que [texx]\tau _Y[/texx], pero NO puede asegurarse que sea estrictamente más fina.

Se puede disentir... Lo importante es llegar a estar convencido.
Yo nunca lo estoy, jeje.  ;)


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 07:43:37 pm
Solución 16.3:
[texx]A=\left\{{x\in{\mathbb{R}}|\displaystyle\frac{1}{2}<|x|<1}\right\},[/texx]
(...)


Sólo hiciste el A, por eso lo marco.
Está correcta esa parte.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 07:48:52 pm
Ejercicio 16.5.

(a) Demuestre que si [texx]\mathcal{T}^{\prime}\supset{\mathcal{T}}[/texx] y [texx]\mathcal{U}^{\prime}\supset{\mathcal{U}}[/texx], entonces la topología producto sobre [texx]X'\times{Y'}[/texx] es más fina que la topología producto sobre [texx]X\times{Y}[/texx].

(b)¿Se cumple el recíproco de (a)? Explique su respuesta.


Resolviste la parte (a), y me pareció correcta.

La parte (b) estimo que es falsa, habrá que pensar un contraejemplo.
Si no te sale avisame, a ver si pienso un ejemplito.
Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 08:00:15 pm
Para el ejercicio 16.2 se pueden encontrar ejemplos más sencillos, me parece.

Podríamos pensar en un espacio [texx]X = (0,1)\cup  (3,4)[/texx].
Damos a [texx]X[/texx] una topología de la siguiente manera:

Tomamos como base [texx]\mathcal{B}[/texx] a la formada por los intervalos [texx](a,b)[/texx] tales que,
* O bien [texx]0< a< b< 1[/texx]
* O bien [texx]3< a< b< 4[/texx].

Habrá que comprobar que eso es una base (no dará la heredada de la estandar de la recta real).
La topologia generada la llamamos [texx]\tau [/texx].

Ahora formamos una nueva base [texx]\mathcal{B}'[/texx] que consta de los mismos elementos de [texx]\mathcal{B}[/texx], y además agregamos los intervalos de la forma

* [texx][a,b)[/texx] con [texx]3< a< b< 4[/texx].

Fijate que sólo hemos cambiado un "pedazo" de la topología, la del segmente [texx](3,4)[/texx].
A la topología generada la llamamos [texx]\tau '[/texx]

Naturalmente que [texx]\tau '[/texx] es estrictamente más fina que [texx]\tau [/texx], porque por ejemplo [texx][3.{}1,3.{}2)[/texx] es abierto en [texx]\tau '[/texx] pero no en [texx]\tau [/texx].

He puesto esos dos pedazos (0,1) y (3,4) "despegados" a propósito, para poder hacer toda esta construcción.

Ahora consideramos el subconjunto [texx]Y = (0,1)[/texx].
Las topologías de subespacio se generan con las bases que vienen de las intersecciones que muestra el Lema 1, sección 16, y se obtiene ahora que

[texx]\mathcal{B}_Y=\mathcal{B}'_Y[/texx]

Así que las topologías de subespacio se hacen iguales.




Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 14/02/2010, 08:28:24 pm
Hola argentinator, gracias por las correcciones, está muy bonito como va el curso, estaba pensando,
¿y si creas un post solo con las respuestas de los ejercicios?, de tal manera que los que ya están resueltos y bien revisados se ponen ahi, si deseas yo te ayudo y los pongo en orden, desde el primer capítulo, sección por sección, un mensaje para una pregunta, y si tiene items, como (a), (b), etc, un mensaje para cada item.
Aparte del post Consultas, comentarios y ejercitación de los cursos, vendría un nuevo post que se llamaria "Soluciones de Ejercicios"
Mas o menos sería así:
Cursos del rincon> Solución de Ejercicios >Topología-Munkres>
y en este post también abrían 14 post cada uno con su capítulo
y a partir de ahi, los mensajes serían, por ejemplo en el capítulo I
Sección 1.1. Conceptos Fundamentales
Sección 1.2. Funciones.
etc.
O algo así. Sé que puede resultar un poco laborioso, pero no sé, talvez soy un poco exquisito, jejeje ;D ;D ;D
¿Qué opinas?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 14/02/2010, 08:50:52 pm
Lo voy a ir pensando a medida que el curso avance más.
Todavía está todo en sus comienzos, y no me gusta "armar estructuras" de cosas que no se sabe a ciencia cierta como van a evolucionar.
Cuando esté todo más avanzado, y se vea mejor lo que se va gestando, se puede ver ahí la mejor solución.

Pero bueno, tendré en cuenta tus inquietudes.

Otra cosa: dejar ejercicios resueltos tiene el defecto de que la gente puede pensar que hay una sola manera de resolver o escribir una solución. Eso no es bueno.

Estaría bueno "coleccionar" soluciones de ejercicios ordenadamente, pero también estaría bueno que haya más de una solución a los ejercicios que así lo permiten.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 15/02/2010, 01:40:38 am
Las flechitas que te marqué azul indican que "no me gusta" esa flecha ahí.
Estás poniendo un signo de implicación para "rematar" toda una cadena de razonamientos.
La implicación es una operación lógica entre dos "operandos" consecutivos, que son proposiciones lógicas.
Pero la conclusión final de un razonamiento no es lo mismo.

Al terminar un razonamiento se debe usar la palabra entonces.

Ante cualquier duda al respecto, podrías repasar lo que puse en la teoría de la Sección 1, en el spoiler de las tablas de verdad. Allí explico la diferencia, e incluso uso una "flecha distinta" para indicar el "entonces".

Se suelen confundir los usos de "implica que" y "entonces", pero eso es por la forma en que el modus ponens se compenetra con la operación de implicación.
Hola argentinator, tienes mucha razón, ya lo corregí con rojo, si puedes lo ves. Me mal acostumbre en usar la flechita [texx]\Rightarrow{}[/texx] para no escribir "entonces", olvidando que represanta una operación, lógica.

Talvez suene raro, pero en los botoncitos de fórmulas hay varias, a saber, [texx]\Rightarrow{}[/texx] , [texx]\Longrightarrow{}[/texx], [texx]\Leftarrow{}[/texx] y [texx]\Longleftarrow{}[/texx] , también
[texx]\Leftrightarrow{}[/texx][texx]\Longleftrightarrow{}[/texx]
Hasta me da un poco de vergüenza preguntar ¿hay diferencias entre las flechas?  :-\ :-\

Gracias


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 15/02/2010, 04:34:41 am
La diferencia está en el "tamaño", pero no creo que haya diferencia en el significado.
Sería muy confuso.

Yo las interpretaría todas igual.

Salvo claro que las dobles flechas significan "doble implicación".

Lo que debiera hacer uno es usar la palabra "entonces" en los razonamientos.
Y la flecha que yo usé en las notas de teoría es un invento mío, una flecha "de una sola linea horizontal y larga". Pero eso no es costumbre en los textos.
Mejor pues poner la palabra "entonces" en ese lugar.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 20/02/2010, 12:50:29 am
Ejercicio 13.8.
(a) Aplique el Lema 13.2 para ver que la colección numerable
[texx]\mathfrak{B}=\{(a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\}[/texx]
es una base que genera la topología usual sobre [texx]\mathbb{R}[/texx].
(b) Demuestre que la colección
[texx]\mathfrak{C}=\{[a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\}
[/texx]
es una base que genera una topología distinta de la topología del límite inferior sobre [texx]\mathbb{R}[/texx].

Solución 13.8:
(b)
Dame una manito argentinator, ya??
Saludos.
(b)
Puesto que la topología generada por [texx]\mathfrak{C}=\{[a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\}
[/texx] es la misma que la generada por [texx]\mathfrak{B}=\{(a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\}[/texx] y por (a) esta base genera la topología usual, entonces, la topología generada por [texx]\mathfrak{C}[/texx] es la usual que es diferente de la topología del límite inferior


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 20/02/2010, 02:20:15 am
Vayamos a los ejemplos.
  • Ejemplo 2. Consideramos el plano coordenado [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx] con el orden de diccionario:

    [texx]{\color{blue}(}a_1,a_2{\color{blue})} < {\color{blue}(}b_1,b_2{\color{blue})}\textsf{\ sii\ }a_1 < b_1[/texx] ó [texx]a_1=b_1, a_2 < b_2.[/texx]

    Se deja como ejercicio comprobar que con esta relación de orden, el conjunto [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx] no tiene elementos que sean ni el primero (o sea un mínimo) ni el último (o sea un máximo).
Ya está probado en la respuesta 116.

Un intervalo abierto tiene ahora la forma:
[texx]({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}c, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}x, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}x, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}c, d{\color{blue})}\}[/texx]
Dejamos el ejercicio de "intentar" graficar ejemplos de estos intervalos.

Por la definición de la relación del orden del diccionario, existe dos posibilidades
i) a<c.
Aca no nos dan datos sobre b y d, puede suceder que b=d, b<d, b>d, la gráfica muestra el caso, b>d, las demás son análogas.
ii) a=c y b>d
Las gráficas son como muestra la figura adjunta.

Ya sabemos que la colección [texx]\mathcal{B}[/texx] formada por todos estos intervalos abiertos respecto el orden lexicográfico en [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx] tienen que formar una base para una topología de [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx].
¿Alguna intuición de cómo son los conjuntos abiertos en esta topología?

Observemos el caso especial de los intervalos que tienen la primer coordenada fija, o sea, los de la forma:

[texx]({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}a, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}\}[/texx]

Es un sencillo ejercicio verificar que la colección [texx]\mathcal{B}[/texx] de este tipo de intervalos con una coordenada fija, también es una base para una topología de [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx].

Sea [texx]\mathcal{B}=\left\{{({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}) :a,b,d\in{\mathbb{R}}}\right\}[/texx], la colección de los intervalos con una coordenada fija. Para probar que [texx]B[/texx] es una base para una topología de [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx], debemos probar que:

1) Para cada [texx](x,y)\in{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}[/texx], existe un elemento [texx]({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})})\in{\mathcal{B}}[/texx], tal que
[texx]x\in{({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})})}[/texx].

2) Si [texx](x,y)\in{({\color{blue}(}a_1, b_1{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_1, d_1{\color{blue})})\cap{({\color{blue}(}a_2, b_2{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_2, d_2{\color{blue})})}}[/texx], entonces, existe un [texx]({\color{blue}(}a_3, b_3{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_3, d_3{\color{blue})})\in{\mathcal{B}}[/texx], tal que
[texx](x,y)\in{({\color{blue}(}a_3, b_3{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_3, d_3{\color{blue})})\in{\mathcal{B}}}\subseteq{({\color{blue}(}a_1, b_1{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_1, d_1{\color{blue})})\cap{({\color{blue}(}a_2, b_2{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_2, d_2{\color{blue})})}}[/texx]

En efecto.

1) Para cada [texx](x,y)\in{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}[/texx], sabemos que [texx]x=x=x[/texx], y [texx]\displaystyle\frac{y}{2}<y<2y[/texx], entonces existe
[texx]({\color{blue}(}x, \displaystyle\frac{y}{2}{\color{blue})}, {\color{blue}(}x, 2y{\color{blue})})\in{\mathcal{B}}[/texx] tal que
[texx](x,y)\in{({\color{blue}(}x, \displaystyle\frac{y}{2}{\color{blue})}, {\color{blue}(}x, 2y{\color{blue})})[/texx].

2) Si [texx](x,y)\in{({\color{blue}(}a_1, b_1{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_1, d_1{\color{blue})})\cap{({\color{blue}(}a_2, b_2{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_2, d_2{\color{blue})})}}[/texx], entonces
[texx](x,y)\in{({\color{blue}(}a_1, b_1{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_1, d_1{\color{blue})})}[/texx] y
 Si [texx](x,y)\in{({\color{blue}(}a_2, b_2{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_2, d_2{\color{blue})})}[/texx], de aquí,
[texx]x=a_1=a_2[/texx], [texx]b_1<y<d_1[/texx] y [texx]b_2<y<d_2[/texx], es decir
Sean [texx]a_3=x[/texx], [texx]b_3=max\{b_1,b_2\}[/texx], [texx]d_3=min\{d_1,d_2\}[/texx], entonces
[texx]x=a_3[/texx] y [texx]b_3<y<d3[/texx], es decir, existe un [texx]({\color{blue}(}a_3, b_3{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_3, d_3{\color{blue})})\in{\mathcal{B}}[/texx] tal que
[texx](x,y)\in{({\color{blue}(}a_3, b_3{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_3, d_3{\color{blue})})\in{\mathcal{B}}}[/texx].

De (1) y (2), la colección de intervalos con una coordenada fija, forma una base para una topología de [texx]\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}[/texx].

Más aún esta topología es la misma que la topología del orden en [texx]\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}[/texx]
[/list]


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 20/02/2010, 03:08:08 am

  • Ejemplo 3. Considérese el sistema de enteros positivos [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] con el orden [texx]<[/texx] usual. Consideremos aquí el comportamiento de la topología del orden. Dejamos como ejercicio los siguientes hechos:
    • Observar que [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] tiene un elemento mínimo.
Es el 1.

Prestar atención entonces al tipo de intervalos que han de incluirse en la base de la topología del orden.
Entonces los elementos básicos son de la forma:
(1) [texx](a,b)[/texx] con [texx]a,b[/texx] en [texx]\mathbb{Z}_+[/texx].
(2) [texx][1,b)[/texx] con [texx]b[/texx] en [texx]\mathbb{Z}_+[/texx].

  • Demostrar que los subconjuntos de [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] que tienen un solo punto, son abiertos (en la topología del orden).
Sea {n} un tal subconjunto.
1) Si n=1, y como 1<2, entonces {1}=[1,2), en efecto
Sea [texx]x\in{[1,2)}[/texx], entonces [texx]1\leq{x}<2[/texx], pero [texx]x\in{\mathbb{Z}_+}[/texx], entonces x=1 y se tiene lo afirmado.

2) Si n>1, entonces como [texx]n-1<n<n+1[/texx] y [texx]n\in{\mathbb{Z}_+}[/texx], entonces [texx]\{n\}=(n-1,n+1)[/texx].

En ambos casos, {n} es un elemento básico, en particular es abierto.

  • Usar el hecho precedente para demostrar que la topología discreta coincide en este caso con la topología del orden.

Es claro que la topología del orden está contenida en la discreta, por ser ésta la topología más grande, probemos la otra inclusión.
 
Sea [texx]X\in{P(\mathbb{Z})_+}[/texx], entonces [texx]X\subseteq{\mathbb{Z}_+}[/texx], luego X se puede expresar como reunión de sus elementos.
[texx]X=\{x_1,x_2,....x_n,...\}=\bigcup_{n\in{\mathbb{Z}_+}}{\{x_n\}}[/texx], es decir, X es la unión numerable de conjuntos unitarios de [texx]\mathbb{Z}_+[/texx], es decir, es unión numerable de elementos básicos de la topología del orden. Por tanto, X es un abierto en la topología del orden, de donde se sigue el resultado.
CORREGIDO[/list][/list]


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 20/02/2010, 03:25:16 am
  • Ejemplo 4. Consideremos el conjunto [texx]\{1,2\}[/texx] ordenado de la manera obvia: [texx]1<2[/texx], y sea [texx]X=\{1,2\}\times\mathbb{Z}_+[/texx], con el orden lexicográfico, y la correspondiente topología del orden.
    El autor Munkres elige denotar a los elementos de la forma [texx]{\color{blue}(}1, n{\color{blue})}[/texx] como [texx]a_n[/texx] y a los de la forma [texx]{\color{blue}(}2, n{\color{blue})}[/texx] como [texx]b_n[/texx]. En ese caso, uno puede "visualizar" el orden escribiendo una especie de lista, de izquierda a derecha, así:

    [texx]a_1,a_2,a_3,\cdots;\quad b_1,b_2,b_3,\cdots[/texx]


  • Ejercicio: Comprobar que hay un primer elemento con el orden lexicográfico, y anotar correctamente cómo son los elementos de la base en este caso.

Afirmo que tal elemento mínimo es el [texx](1,1)[/texx]. Lo dejo para que los demás compañeros lo prueben o me corrijan si estoy equivocado.
Con este mínimo los elementos básicos no son difíciles de encontrar.



  • Ejercicio: Comprobar que ahora la topología del orden no es la topología discreta.

  • Ejercicio: La mayoría de los conjuntos de un solo punto son también conjuntos abiertos.

  • Ejercicio: El conjunto que consta sólo del punto [texx]b_1[/texx] no es un conjunto abierto. ¿Hay otros ejemplos de esto en [texx]X[/texx]?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 20/02/2010, 03:57:04 pm

Cita de: argenatinator
Sin embargo, esta topología es diferente de la topología del orden. ¿Por qué? ¿Cuál es más fina que la otra?

Aca tengo problemas, no sé como hacerlo.


Bueno, no es un problema tuyo.

En realidad yo me equivoqué feo en la teoría  :-[ , porque ambas bases deben generar la misma topología.   :o

No sé en qué estaba pensando.
Creo que me dejé confundir por alguna propiedad de "conexión" mal empleada.  :-\

Creo que un ejercicio interesante sería preguntarse si toda topología del orden lexicografico en [texx]XxX[/texx] para un X ordenado cualquiera, puede generarse así, con una coordeanda fija en la base (aunque hay que agregar algunos detalles o consideraciones en los puntos o regiones "disconexas").

Ya he corregido la teoría.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 20/02/2010, 04:01:55 pm

  • Usar el hecho precedente para demostrar que la topología discreta coincide en este caso con la topología del orden.

Es claro que la topología del orden está contenida en la discreta, por ser ésta la topología más grande, probemos la otra inclusión.
 
Sea [texx]X\in{P(\mathbb{Z})_+}[/texx], entonces [texx]X\subseteq{\mathbb{Z}_+}[/texx], luego X es finito o numerable, en ambos casos
[texx]X=\{x_1,x_2,....x_n,...\}=\bigcup_{n\in{\mathbb{Z}_+}}{\{x_n\}}[/texx], es decir, X es la unión numerable de conjuntos unitarios de [texx]\mathbb{Z}_+[/texx], es decir, es unión numerable de elementos básicos de la topología del orden. Por tanto, X es un abierto en la topología del orden, de donde se sigue el resultado.

Esto está bien, pero eso que te marqué en rojo no sé dónde lo usás para probar el resultado posterior.
Creo que no se usa en ningunar parte.
Basta con usar que la base se forma con conjuntos unitarios, ya que la definición de abierto no pide uniones finitas o numerables, sino tan sólo uniones "arbitrarias".

Para conjuntos cerrados sí habrá que tener en cuenta finitud.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 20/02/2010, 04:14:11 pm

  • Ejercicio: El conjunto que consta sólo del punto [texx]b_1[/texx] no es un conjunto abierto. ¿Hay otros ejemplos de esto en [texx]X[/texx]?


¿Cómo vas con este?

HAbría que especificar cómo son los "intervalos abiertos" en este espacio.
Tenemos intervalos de las formas siguientes:

* [texx][a_1, a_n) = \{a_1, a_2, a_3, ..., a_{n-1}\}[/texx]
* [texx](a_m,a_n)=\{a_{m+1},...,a_{n-1}\}[/texx]
* [texx](b_m,b_n)=\{b_{m+1},...,b_{n-1}\}[/texx]
* [texx](a_m,b_1)=\{a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k},...\}[/texx]
* [texx](a_m,b_k)=\{a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k},...\}\cup\{b_1,b_2,...\}[/texx]

Ahora bien, si [texx]b_1[/texx] tiene que pertenecer a uno de estos intervalos abiertos, viniendo desde la derecho, lo más ajustadamente posible, tendríamos que tomar [texx]b_2[/texx] como extremo del intervalo, para que no hayan más elementos en el intervalo "siguiendo" a [texx]b_1[/texx].
Pero con el extremo izquierdo del intervalo hay problemas, porque cualquier elemento menor que [texx]b_1[/texx] es de la forma [texx]a_m[/texx], algún m, y así, nos quedaría algo como [texx](a_m,b_2)[/texx], lo cual contiene a los infinitos elementos [texx]a_k[/texx] con [texx]k>m[/texx].

Así, [texx]\{b_1\}[/texx] no puede ser jamás por sí sólo un intervalo abierto.

Ni tampoco puede ser abierto.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: memo20 en 20/02/2010, 09:06:17 pm
Hola esta muy bueno eso del curso de topología, felicitaciones, ¿donde me puedo inscribir?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: memo20 en 20/02/2010, 09:08:01 pm
Ya vi, jejejejeje, saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 20/02/2010, 09:19:10 pm
Hola argentinator, espero que estes bien, ya corregí lo de rojo, ahora voy a pensar en el ejemplo 4. Para ser sincero ahora me voy a una reunión para celebrar el cumpleaños de un amigo, mañana continuo.
Salud..os ;D ;D ;D ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 21/02/2010, 08:59:14 pm
¿Cómo vas con este?

HAbría que especificar cómo son los "intervalos abiertos" en este espacio.
Tenemos intervalos de las formas siguientes:

 [texx][a_1, a_n) = \{a_1, a_2, a_3, ..., a_{n-1}\}[/texx]
 [texx](a_m,a_n)=\{a_{m+1},...,a_{n-1}\}[/texx]
 [texx](b_m,b_n)=\{b_{m+1},...,b_{n-1}\}[/texx]
 [texx](a_m,b_1)=\{a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k},...\}[/texx]
 [texx](a_m,b_k)=\{a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k},...\}\cup\{b_1,b_2,...\}[/texx]

Ahora bien, si [texx]b_1[/texx] tiene que pertenecer a uno de estos intervalos abiertos, viniendo desde la derecho, lo más ajustadamente posible, tendríamos que tomar [texx]b_2[/texx] como extremo del intervalo, para que no hayan más elementos en el intervalo "siguiendo" a [texx]b_1[/texx].
Pero con el extremo izquierdo del intervalo hay problemas, porque cualquier elemento menor que [texx]b_1[/texx] es de la forma [texx]a_m[/texx], algún m, y así, nos quedaría algo como [texx](a_m,b_2)[/texx], lo cual contiene a los infinitos elementos [texx]a_k[/texx] con [texx]k>m[/texx].

Así, [texx]\{b_1\}[/texx] no puede ser jamás por sí sólo un intervalo abierto.

Ni tampoco puede ser abierto.
Saludos

Entendido perfectamente, entonces existe un subconjunto de [texx]{1,2}\times{Z_+}[/texx] tal que no es abierto, entonces la topología del orden es distinta de la discreta.

Pero según tu orden, primero debo probar este resultado y luego ver lo de [texx]\{b_1\}[/texx]
¿Como lo haría ?

He intentado con los básicos que mencionas, pero el único que encuentro es precisamente [texx]\{b_1\}[/texx].
Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 21/02/2010, 09:36:17 pm
Sección 16. La Topología del Subespacio.

[texx] \bullet [/texx] Ejemplo 2. Sea [texx]Y[/texx] el subconjunto [texx]Y=[0,1)\cup \{2\}[/texx] de [texx]\mathbb{R}[/texx].
En la topología de subespacio sobre [texx]Y[/texx], el conjunto de un solo punto [texx]\{2\}[/texx] es abierto porque se puede escribir como la intersección, por ejemplo, [texx](3/2,5/2)\cap Y[/texx].
Pero en la topología del orden el conjunto [texx]\{2\}[/texx] no es abierto. Veamos por qué.
Todo elemento de la base de la topología del orden que contiene a [texx]b=2[/texx], tiene la forma [texx]\{x\in Y|a< x \leq 2\}[/texx], con [texx]a\in Y, a< 2[/texx].
Todo conjunto de esta forma contiene siempre puntos de [texx]Y[/texx] que son distintos de [texx]\{2\}[/texx]. Comprobarlo.
Pregunta: ¿Por qué es suficiente razonar de este modo sobre la base para asegurar que el conjunto analizado no es abierto?

Creo porque para que {2} sea abierto, debe ser unión de elementos de la base, o en su defecto un elemento de la base y como no lo es, por eso no es abierto.

¿Está bien?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 21/02/2010, 10:10:32 pm
[texx] \bullet [/texx] Ejemplo 3. Sea [texx]I=[0,1][/texx]. Consideremos sobre [texx]I\times  I[/texx] la topología del orden de diccionario.
El orden en [texx]I\times I[/texx] es la restricción del orden de diccionario de [texx]\mathbb R\times \mathbb R[/texx] a [texx]I\times I[/texx].
Sin embargo, la topología del orden de diccionario de [texx]I\times I[/texx] no es la topología de subespacio de [texx]I\times I[/texx] respecto la topología de orden de diccionario de [texx]\mathbb R\times \mathbb R[/texx]. Veamos por qué:
El conjunto [texx]\{1/2\}\times (1/2,1][/texx] es abierto en [texx]I\times I[/texx] en la topología de subespacio (¿por qué?),
pero no es abierto en la topología del orden de diccionario. ¿Por qué? (Pista: observar qué le ocurre al punto [texx]{\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}[/texx]).

Hola argentinator
¿Puedes explicar en detalle este ejemplo por favor ?
Gracias


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 21/02/2010, 10:52:12 pm

Antes de continuar con el Teorema que nos interesa, veamos algunos ejercicios.
Supongamos que [texx]X[/texx] es un conjunto ordenado (lineal y estrictamente),
que [texx]Y\subset X[/texx] es un conjunto convexo en [texx]X[/texx],
y que [texx]a\in X[/texx].

[texx] \bullet [/texx] Ejercicio. Demostrar que si [texx]a\in Y[/texx], entonces
[texx](a,+\infty )\cap Y=\{x\in Y|x>  a\}.[/texx]
¿que no es trivial?, ¿ para qué me sirve la conexidad de Y? ¿ para qué me sirve [texx]a\in Y[/texx].

Intentando probar.

[texx]z\in{(a,+\infty)\capY)}[/texx] si, y solo si [texx]z\in{(a,+\infty)}[/texx] y [texx]z\in{Y}[/texx], si, y solo si [texx]a<z[/texx] y [texx]z\in{Y}[/texx], si y solo si [texx]z\in{\{x\in Y|x>a\}}[/texx].

Mi intuición me dice que me he equivocado en malo, pero no sé en que  :banghead: :banghead: :banghead:


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 23/02/2010, 08:47:49 pm

Entendido perfectamente, entonces existe un subconjunto de [texx]{1,2}\times{Z_+}[/texx] tal que no es abierto, entonces la topología del orden es distinta de la discreta.

Pero según tu orden, primero debo probar este resultado y luego ver lo de [texx]\{b_1\}[/texx]
¿Como lo haría ?

He intentado con los básicos que mencionas, pero el único que encuentro es precisamente [texx]\{b_1\}[/texx].

La cuestión es que elegí el inciso (d) antes que los otros porque me pareció más interesante.
No me fijé si los incisos anteriores ayudaban a dicho inciso.

Creería que en efecto [texx]\{b_1\}[/texx] es el único conjunto "unitario" que no es abierto.



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 23/02/2010, 08:52:40 pm
Sección 16. La Topología del Subespacio.
...
Pregunta: ¿Por qué es suficiente razonar de este modo sobre la base para asegurar que el conjunto analizado no es abierto?

Creo porque para que {2} sea abierto, debe ser unión de elementos de la base, o en su defecto un elemento de la base y como no lo es, por eso no es abierto.

¿Está bien?


Creo que sí. Es una pregunta de refuerzo, y por eso no lo puse como ejercicio.
Mi intención era frenar un poco la lectura de la teoría para reflexionar sobre cómo razonamos respecto a las bases y las topologías.

Sobretodo, hay que tener especial cuidado en este contexto donde hay varias topologías relacionadas entre sí.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 23/02/2010, 09:32:50 pm
Ante todo: de nuevo pido disculpas por las demoras en las respuestas. Sigo con problemas informáticos.
El otro día vi tu consulta, y me dispuse a responderte, y a mitad del mensaje colapsó la conexión a internet que tenía en ese momento. (Tengo problemas de internet en casa, el trabajo, en los bares con Wi Fi, estoy harto!!!  :banghead:  :banghead:)
En algún momento se normalizará mi vida virtual supongo.

[texx] \bullet [/texx] Ejemplo 3. Sea [texx]I=[0,1][/texx]. Consideremos sobre [texx]I\times  I[/texx] la topología del orden de diccionario.
El orden en [texx]I\times I[/texx] es la restricción del orden de diccionario de [texx]\mathbb R\times \mathbb R[/texx] a [texx]I\times I[/texx].
Sin embargo, la topología del orden de diccionario de [texx]I\times I[/texx] no es la topología de subespacio de [texx]I\times I[/texx] respecto la topología de orden de diccionario de [texx]\mathbb R\times \mathbb R[/texx]. Veamos por qué:
El conjunto [texx]\{1/2\}\times (1/2,1][/texx] es abierto en [texx]I\times I[/texx] en la topología de subespacio (¿por qué?),
pero no es abierto en la topología del orden de diccionario. ¿Por qué? (Pista: observar qué le ocurre al punto [texx]{\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}[/texx]).

Hola argentinator
¿Puedes explicar en detalle este ejemplo por favor ?
Gracias

Consideremos el conjunto [texx]A=\{1/2\}\times (1/2,1]=\{{\color{blue}(}1/2,y{\color{blue})}|1/2<y\leq 1\}[/texx].

En la topología del orden de diccionario de [texx]R\times R[/texx], el conjunto A es un intervalo semiabierto.
En dicha topología, el conjunto [texx]B=\{1/2\}\times (1/2,3/2)=\{{\color{blue}(}1/2,y{\color{blue})}|1/2<y<3/2\}[/texx], por ejemplo, es un elemento de la base, en particular abierto.

Por definición, [texx]B\cap (I\times I)[/texx] es abierto en la topología del subespacio [texx]I\times I[/texx].
Estamos considerando en [texx]I\times I[/texx] el "subespacio topologico" que viene heredado de la topologia de diccionario de [texx]R\times R[/texx].

Bueno, pero [texx]B\cap (I\times I)=A[/texx], o sea que A es abierto en la topología del subespacio.


Vamos a la topología del orden de [texx]I\times I[/texx], olvidandonos de lo que ocurria en [texx]R\times R[/texx].

Los elementos de la base tipicamente tienen la forma [texx]({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}c,d{\color{blue})})[/texx], con excepciones en los "extremos" de todo el espacio, que son [texx]{\color{blue}(}0,0{\color{blue})},{\color{blue}(}1,1{\color{blue})}[/texx].

Nos preguntamos si A es abierto en esta topología.
Si lo fuera, en torno a cada punto de A tendría que haber un elemento C de la base que contenga al punto, y esté incluido en A.

Consideremos el caso específico del punto "problemático" [texx]\mathbf p={\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}[/texx].
Sea C un elemento de la base tal que [texx]x\in C\subset A[/texx].
Además [texx]A=({\color{blue}(}1/2,1/2{\color{blue})},{\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}][/texx].

En tal caso [texx]C=({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}c,d{\color{blue})})[/texx],
y además tiene que cumplirse que [texx]{\color{blue}(}1/2,1/2{\color{blue})}\leq{\color{blue}(}a,b{\color{blue})}<\mathbf p={\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}<{\color{blue}(}c,d{\color{blue})}<{\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}[/texx].

Esta cadena de desigualdades es imposible, como es fácil apreciar, ya que no hay valores admisibles para [texx]c[/texx] y [texx]d[/texx].

De este modo, el conjunto A no es abierto con el orden lexicográfico en [texx]I\times I[/texx].



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 23/02/2010, 10:09:21 pm

Antes de continuar con el Teorema que nos interesa, veamos algunos ejercicios.
Supongamos que [texx]X[/texx] es un conjunto ordenado (lineal y estrictamente),
que [texx]Y\subset X[/texx] es un conjunto convexo en [texx]X[/texx],
y que [texx]a\in X[/texx].

[texx] \bullet [/texx] Ejercicio. Demostrar que si [texx]a\in Y[/texx], entonces
[texx](a,+\infty )\cap Y=\{x\in Y|x>  a\}.[/texx]
¿que no es trivial?, ¿ para qué me sirve la conexidad de Y? ¿ para qué me sirve [texx]a\in Y[/texx].

Intentando probar.

[texx]z\in{(a,+\infty)\capY)}[/texx] si, y solo si [texx]z\in{(a,+\infty)}[/texx] y [texx]z\in{Y}[/texx], si, y solo si [texx]a<z[/texx] y [texx]z\in{Y}[/texx], si y solo si [texx]z\in{\{x\in Y|x>a\}}[/texx].

Mi intuición me dice que me he equivocado en malo, pero no sé en que  :banghead: :banghead: :banghead:


La verdad me puse a releer esto y no sé qué habré querido decir, porque es trivial.
Es claro que la convexidad no se usa en nada.

Creo que no me supe expresar correctamente, porque hay una "vuelta de tuerca" en el asunto.

La cuestión es que el conjunto [texx]\{x\in Y|x>  a\}[/texx] es el rayo [texx](a,+\infty)[/texx] en Y...
pero no en X !!!.

Si hubiera usado la notación [texx](a,+\infty)[/texx], hubiera resultado, pues, ambiguo.
Creo que no supe cómo escribir eso de manera que no haya ambigüedad.

Me parece que lo que quise poner ahí es que: [texx](a,+\infty)\cap Y[/texx] es igual al rayo [texx](a,+\infty)[/texx], pero ahora entendiendo esta última notación en el sentido de "Y".

Usando subíndices, se podría escribir algo así:

[texx](a,+\infty)_X \cap Y= (a,+\infty)_Y[/texx].

Pero el hecho es que "no me animé" a hacer cambios de notación, o mayores enredos en relación a esto.
Hubiera sido innecesariamente confuso para quien lo lea.
La conclusión final queda expositivamente clara: la intersección de un rayo en X con un Y es un rayo en Y.

Tal vez tendría que haber hecho más hincapié en la propiedad recíproca, que es la que se usa en el teorema: todo rayo en Y puede escribirse como la intersección de Y con un rayo en X.
Pero esto también es trivial, ¿no?

Me parece que he puesto esas observaciones triviales porque me inquieta todo lo no trivial que hay de fondo.
Un rayo en Y es un subconjunto de X, y como tal bien puede no ser un rayo en X.
Aún si Y es convexo, puede que un rayo en Y no sea un rayo en X.
Basta imaginar intervalos en la recta real para entender lo que está pasando.

Otra sutileza es el uso de [texx]+\infty[/texx].
Puede que en X el intervalo [texx](a,+\infty)[/texx] no tenga último elemento,
mientras que en Y sí, si tomamos [texx]Y=(a,b][/texx], para algún b.
Y así [texx](a,+\infty)[/texx] en Y (pensandolo como intervalo en Y) sería lo mismo que [texx](a,b][/texx].

Sospecho que no he sabido transmitir estas sutilezas e inquietudes debidamente, y las he dejado a la suerte de los interesados.
No sé si conviene que extienda estas cuestiones en la teoría.
Pero todo es "editable", por suerte, aprovechando que estamos en un foro.



Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 24/02/2010, 09:06:09 pm
Ante todo: de nuevo pido disculpas por las demoras en las respuestas. Sigo con problemas informáticos.
El otro día vi tu consulta, y me dispuse a responderte, y a mitad del mensaje colapsó la conexión a internet que tenía en ese momento. (Tengo problemas de internet en casa, el trabajo, en los bares con Wi Fi, estoy harto!!!  :banghead:  :banghead:)
En algún momento se normalizará mi vida virtual supongo.

[texx] \bullet [/texx] Ejemplo 3. Sea [texx]I=[0,1][/texx]. Consideremos sobre [texx]I\times  I[/texx] la topología del orden de diccionario.
El orden en [texx]I\times I[/texx] es la restricción del orden de diccionario de [texx]\mathbb R\times \mathbb R[/texx] a [texx]I\times I[/texx].
Sin embargo, la topología del orden de diccionario de [texx]I\times I[/texx] no es la topología de subespacio de [texx]I\times I[/texx] respecto la topología de orden de diccionario de [texx]\mathbb R\times \mathbb R[/texx]. Veamos por qué:
El conjunto [texx]\{1/2\}\times (1/2,1][/texx] es abierto en [texx]I\times I[/texx] en la topología de subespacio (¿por qué?),
pero no es abierto en la topología del orden de diccionario. ¿Por qué? (Pista: observar qué le ocurre al punto [texx]{\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}[/texx]).

Hola argentinator
¿Puedes explicar en detalle este ejemplo por favor ?
Gracias

Consideremos el conjunto [texx]A=\{1/2\}\times (1/2,1]=\{{\color{blue}(}1/2,y{\color{blue})}|1/2<y\leq 1\}[/texx].

En la topología del orden de diccionario de [texx]R\times R[/texx], el conjunto A es un intervalo semiabierto.
En dicha topología, el conjunto [texx]B=\{1/2\}\times (1/2,3/2)=\{{\color{blue}(}1/2,y{\color{blue})}|1/2<y<3/2\}[/texx], por ejemplo, es un elemento de la base, en particular abierto.

Por definición, [texx]B\cap (I\times I)[/texx] es abierto en la topología del subespacio [texx]I\times I[/texx].
Estamos considerando en [texx]I\times I[/texx] el "subespacio topologico" que viene heredado de la topologia de diccionario de [texx]R\times R[/texx].

Bueno, pero [texx]B\cap (I\times I)=A[/texx], o sea que A es abierto en la topología del subespacio.


Vamos a la topología del orden de [texx]I\times I[/texx], olvidandonos de lo que ocurria en [texx]R\times R[/texx].

Los elementos de la base tipicamente tienen la forma [texx]({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}c,d{\color{blue})})[/texx], con excepciones en los "extremos" de todo el espacio, que son [texx]{\color{blue}(}0,0{\color{blue})},{\color{blue}(}1,1{\color{blue})}[/texx].

Nos preguntamos si A es abierto en esta topología.
Si lo fuera, en torno a cada punto de A tendría que haber un elemento C de la base que contenga al punto, y esté incluido en A.

Consideremos el caso específico del punto "problemático" [texx]\mathbf p={\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}[/texx].
Sea C un elemento de la base tal que [texx]x\in C\subset A[/texx].
Además [texx]A=({\color{blue}(}1/2,1/2{\color{blue})},{\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}][/texx].

En tal caso [texx]C=({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}c,d{\color{blue})})[/texx],
y además tiene que cumplirse que [texx]{\color{blue}(}1/2,1/2{\color{blue})}\leq{\color{blue}(}a,b{\color{blue})}<\mathbf p={\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}<{\color{blue}(}c,d{\color{blue})}<{\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}[/texx].

Esta cadena de desigualdades es imposible, como es fácil apreciar, ya que no hay valores admisibles para [texx]c[/texx] y [texx]d[/texx].
De este modo, el conjunto A no es abierto con el orden lexicográfico en [texx]I\times I[/texx].

Gracias, comprendido


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 24/02/2010, 09:09:56 pm
Lo de los rayos, lo comprendí mejor con tu explicación, aunque sea un poco pesadito, personalmente prefiero utilizar subíndices. Bueno a terminar la lista de ejercicios para pasar a la siguiente sección


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 24/02/2010, 10:32:34 pm
Ejercicio 16.6. Pruebe que la colección numerable

[texx]B=\{(a,b)\times (c,d)\;|\;a< b,\;c< d,\quad a,b,c,d \textsf{\ racionales}\}[/texx]

es una base para [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Solución.
Por definición de base, debemos probar que:

1) Para cada [texx](x,y)\in{\mathbb{R}^2}[/texx], existe un [texx](a,b)\times{(c,d)}\in B[/texx] tal que [texx](x,y)\in (a,b)\times{(c,d)}[/texx].

2) Si [texx]x\in{((a_1,b_2)\times{(c_1,d_1)})\cap{((a_2,b_2)\times{(c_2,d_2)}})}[/texx], entonces existe un [texx](a,b)\times{(c,d)}\in B[/texx] tal que [texx]x\in{(a,b)\times{(c,d)}}\subset {(a_1,b_2)\times{(c_1,d_1)}\cap{(a_2,b_2)\times{(c_2,d_2)}}}[/texx]

En efecto,
1) Sea [texx](x,y)\in{\mathbb{R}^2}[/texx] entonces existen [texx]a,b,c,d\in{\mathbb{Q}}[/texx] tal que [texx]a<x<b[/texx], [texx]c<y<d[/texx] y se tiene lo pedido.

2) Utilizando la densidad de los racionales se tiene el resultado.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 24/02/2010, 10:39:04 pm
Ejercicio 16.7. Sea [texx]X[/texx] un conjunto ordenado. Si [texx]Y[/texx] es un subconjunto propio de [texx]X[/texx] que es convexo en [texx]X[/texx], ¿se deduce que [texx]Y[/texx] es un intervalo o un rayo de X?

Solución.
No sé como empezar.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 25/02/2010, 01:24:53 am
Ejercicio 16.8. Si [texx]L[/texx] es una recta en el plano, describa la topología que [texx]L[/texx] hereda como subespacio de [texx]\mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}}[/texx] y como subespacio de [texx]\mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}_l}[/texx]. En ambos casos se trata de una topología conocida.

Solución.

No la he resuelto, pero pongo mi intento. Tengo problemas en definir a L, la que se me ocurre es
[texx]L=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}|y=mx+n\mbox{, m y n números reales}\}[/texx].
Para estudiar la topología, voy a ver que sucede con la base.

Sea [texx]U[/texx] un elemento básico de la base del subespacio que L hereda de [texx]\mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}}[/texx], entonces existen [texx][a,b)\in{B_{\mathbb{R}_l}}[/texx] y [texx](c,d)\in{B_{\mathbb{R}}}[/texx] tal que
[texx]U=L\cap{([a,b)\times{(c,d)})}[/texx]
Entonces, si [texx](w,z)\in{U}[/texx], se tiene que
[texx]z=mw+n[/texx] y [texx]a\leq{w}<b[/texx] y [texx]c<z<d[/texx], de aquí

Aca tendría que estudiar dos casos:
1) [texx]m>0[/texx]
entonces [texx]ma+n\leq{mw+n}<mb+n\Rightarrow{ma+n\leq{z}<mb+n}[/texx] y [texx]c<z<d[/texx].
Es decir [texx]z\in{[ma+n,mb+n)\cap{(c,d)}}[/texx].
Ahi me quedo  :banghead: :banghead:


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 25/02/2010, 01:34:30 am
Ejercicio 16.9. Pruebe que la topología del orden del diccionario sobre el conjunto [texx]\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}[/texx] es la misma que la topología producto [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx], donde [texx]\mathbb{R}_d[/texx] denota a [texx]\mathbb{R}[/texx] con la topología discreta. Compare esta topología con lla topología usual sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Solución.

Creo que en este ejercicio también se debe trabajar con las bases, intuyo que se tiene que probar que las bases sean iguales, y por ende sus topologías, pero también tengo problemas con esto.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 25/02/2010, 01:38:56 am
Ejercicio 16.10 Sea [texx]I=[0,1][/texx]. Compare la topología producto sobre [texx]I\times{I}[/texx], y la topología que [texx]I\times{I}[/texx] hereda como subespacio de [texx]\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}[/texx] en la topología del orden del diccionario.

Solución

¿Qué esto no se deduce el ejemplo 3 de la sección 16?
hummmmmmmmmmmmmmmmmm ??? ??? ??? ???

P.d:Estos últimos ejercicios me dan dolor de cabeza


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 26/02/2010, 02:06:21 pm
Ejercicio 16.6. Pruebe que la colección numerable

[texx]B=\{(a,b)\times (c,d)\;|\;a< b,\;c< d,\quad a,b,c,d \textsf{\ racionales}\}[/texx]

es una base para [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Solución.
Por definición de base, debemos probar que:

1) Para cada [texx](x,y)\in{\mathbb{R}^2}[/texx], existe un [texx](a,b)\times{(c,d)}\in B[/texx] tal que [texx](x,y)\in (a,b)\times{(c,d)}[/texx].

2) Si [texx]x\in{((a_1,b_2)\times{(c_1,d_1)})\cap{((a_2,b_2)\times{(c_2,d_2)}})}[/texx], entonces existe un [texx](a,b)\times{(c,d)}\in B[/texx] tal que [texx]x\in{(a,b)\times{(c,d)}}\subset {(a_1,b_2)\times{(c_1,d_1)}\cap{(a_2,b_2)\times{(c_2,d_2)}}}[/texx]

En efecto,
1) Sea [texx](x,y)\in{\mathbb{R}^2}[/texx] entonces existen [texx]a,b,c,d\in{\mathbb{Q}}[/texx] tal que [texx]a<x<b[/texx], [texx]c<y<d[/texx] y se tiene lo pedido.

2) Utilizando la densidad de los racionales se tiene el resultado.

En la parte (2) ¿por qué sale con la densidad de los racionales?
Hay que decir que entre dos reales siempre hay un racional estrictamente contenido.
Y de ahí se pueden encontrar elementos a, b, c, d...
Es fácil, pero hay que decirlo. O al menos eso me parece a mí.

Es muy sutil la línea entre "una prueba satisfactoria" y una que "no lo es del todo".
Los detalles que son obvios para algunos, no lo son tanto para otros.
Para mi gusto, faltaría un poco más de exactitud en lo dicho ahí.



Yo no sé si el libro sugiere o no que, además, se compruebe que la topología resultante es la estándar.
No sé si en la teoría se dice algo al respecto, no lo recuerdo.
La base topologica definida en este ejercicio es, además, base de la topología estándar, y estaría bueno "chequearlo".
Podríamos agregarlo quizá al enunciado del ejercicio, para mejorarlo un poco, porque justamente la "gracia" de esta base es que genera la topologia estandar.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 26/02/2010, 02:28:30 pm
Ejercicio 16.7. Sea [texx]X[/texx] un conjunto ordenado. Si [texx]Y[/texx] es un subconjunto propio de [texx]X[/texx] que es convexo en [texx]X[/texx], ¿se deduce que [texx]Y[/texx] es un intervalo o un rayo de X?

Solución.
No sé como empezar.


Me parece que esto tiene que ver con la estructura de X.

Tomemos a X como el sistema de los racionales.
Sea [texx]\{x_n\}[/texx] la sucesión creciente de aproximaciones racionales decimales del número [texx]\pi[/texx].
Entonces la unión de los intervalos [texx]Y=\bigcup_{n=1}^\infty (0,x_n)[/texx] es un conjunto convexo en X, pero no hay forma de expresar eso como un intervalo (0, q) en X, porque q tiene que ser racional, y siempre se le va a "escapar" un elemento de la sucesión.

"Intuitivamente", X está sumergido en R, y el conjunto Y sería pues el intervalo [texx](0,\pi)\cap Q[/texx] (Q = racionales).
Pero [texx]\pi[/texx] no es racional, así que eso impide que Y sea un intervalo.

Tampoco es un rayo.
Se aprecia intuitivamente bien esto, porque entendemos cómo funciona R.
Pero faltaría escribir con detalles más técnicos la prueba, o los puntos más importantes de ella:

* Que el conjunto Y definido arriba es convexo. ¿Cómo se argumenta?
* Que el conjunto Y no es un intervalo en X.
* Que el conjunto Y no es un rayo en X.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 26/02/2010, 02:32:52 pm
Ejercicio 17.1. Sea [texx]\mathcal{C}[/texx] una colección de subconjuntos de [texx]X[/texx]. Supongamos que [texx]\emptyset[/texx] y [texx]X[/texx] están en [texx]\mathcal{C}[/texx], y que las uniones finitas y las intersecciones arbitrarias de elementos de [texx]\mathcal{C}[/texx] están en [texx]\mathcal{C}[/texx]. Pruebe que la colección

[texx]\tau=\{X-C|C\in{\mathcal{C}}\}[/texx]

es una topología sobre [texx]X[/texx].
Solución.

1) [texx]\emptyset,X\in{\tau}[/texx].
Como por hipótesis [texx]X,\emptyset\in{\mathcal{C}}[/texx], entonces
[texx]X=X-\emptyset[/texx], luego [texx]X\in \tau[/texx]
[texx]\emptyset=X-X[/texx], luego [texx]\emptyset\in \tau[/texx]

2) Sean [texx]\{U_i\}[/texx], tal que [texx]U_i\in{\tau}[/texx] para todo [texx]i[/texx], entonces [texx]U_i=X-C_i[/texx], [texx]C_i\in{\mathcal{C}}[/texx], para todo [texx]i[/texx]. Luego
[texx]\displaystyle\bigcup_{i} {U_i}=\displaystyle\bigcup_{i} {X-C_i}=X-\displaystyle\bigcap_{i} {C_i}[/texx]

Por hipótesis [texx]\displaystyle\bigcap_{i} {C_i}\in{\mathcal{C}}[/texx].

Entonces [texx]\displaystyle\bigcup_{i} {U_i}\in{\tau}[/texx].

3) Sean [texx]\{U_i\}_{i=1}^{n}[/texx], tal que [texx]U_i\in{\tau}[/texx] para todo [texx]1\leq{i\leq{n}}[/texx], de aquí [texx]U_i=X-C_i[/texx], [texx]C_i\in{\mathcal{C}}[/texx],  para todo [texx]1\leq{i\leq{n}}[/texx].
[texx]\displaystyle\bigcap_{i=1}^n{U_i}=\displaystyle\bigcap_{i=1}^n{X-C_i}=X-\displaystyle\bigcup_{i=1}^n{C_i}[/texx]

Por hipótesis [texx]\displaystyle\bigcup_{i=1}^n{C_i}\in{\mathcal{C}}[/texx].
Luego [texx]\displaystyle\bigcap_{i=1}^n{U_i}\in{\tau}[/texx].

De (1), (2) y (3) [texx]\tau[/texx] es una topología sobre [texx]X[/texx].


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 26/02/2010, 02:40:25 pm
Ejercicio 17.2. Pruebe que si [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]Y[/texx] e [texx]Y[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx], entonces [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx].
Solución.
[texx]A[/texx] es cerrado en [texx]Y[/texx], entonces [texx]A=Y\cap F[/texx], donde [texx]F[/texx] cerrado en [texx]X[/texx] y como [texx]Y[/texx] también es cerrado en [texx]X[/texx], entonces A es intersección de dos cerrados en X, luego es cerrado en X


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 26/02/2010, 02:56:31 pm
Ejercicio 17.3. Pruebe que si [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx] y [texx]B[/texx] es cerrado en [texx]Y[/texx], entonces [texx]A\times{B}[/texx] es cerrado en [texx]X\times{Y}[/texx].
Solución.
Como [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx], entonces [texx]X-A[/texx] es abierto.
Como [texx]B[/texx] es cerrado en [texx]Y[/texx], entonces [texx]Y-B[/texx], es abierto

Luego, [texx](X-A)\times{(Y-B)}[/texx] es abierto, pero
[texx](X-A)\times{(Y-B)}=(X\times{Y})-(A\times{B})[/texx], luego
[texx](X\times{Y})-(A\times{B})[/texx] es abierto, de donde [texx]A\times{B}[/texx] es cerrado.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 26/02/2010, 03:13:14 pm
Ejercicio 17.4. Pruebe que si [texx]U[/texx] es abierto en [texx]X[/texx] y [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx], entonces [texx]U-A[/texx] es abierto en [texx]X[/texx] y [texx]A-U[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx].
Solución.
Como [texx]U[/texx] es abierto en [texx]X[/texx], entonces [texx]X-U[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx].
Como [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx], entonces [texx]X-A[/texx] es abierto en [texx]X[/texx].

Luego [texx]U-A=U\cap{X-A}[/texx] es abierto en [texx]X[/texx] y
[texx]A-U=A\cap{X-U}[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx].


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 26/02/2010, 03:28:00 pm
Ejercicio 17.5. Sea [texx]X[/texx] un conjunto ordenado con la topología del orden. Muestre que [texx]\overline{(a,b)}\subseteq{[a,b]}[/texx]. ¿Bajo qué condiciones se cumple la igualdad?
Solución.
¿Es necesario saber si X tiene elemento máximo o mínimo? hummmm, profe deme una pista como empezar.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 26/02/2010, 05:45:34 pm
Ejercicio 16.8. Si [texx]L[/texx] es una recta en el plano, describa la topología que [texx]L[/texx] hereda como subespacio de [texx]\mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}}[/texx] y como subespacio de [texx]\mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}_l}[/texx]. En ambos casos se trata de una topología conocida.

Solución.

No la he resuelto, pero pongo mi intento. Tengo problemas en definir a L, la que se me ocurre es
[texx]L=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}|y=mx+n\mbox{, m y n números reales}\}[/texx].
Para estudiar la topología, voy a ver que sucede con la base.

Sea [texx]U[/texx] un elemento básico de la base del subespacio que L hereda de [texx]\mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}}[/texx], entonces existen [texx][a,b)\in{B_{\mathbb{R}_l}}[/texx] y [texx](c,d)\in{B_{\mathbb{R}}}[/texx] tal que
[texx]U=L\cap{([a,b)\times{(c,d)})}[/texx]
Entonces, si [texx](w,z)\in{U}[/texx], se tiene que
[texx]z=mw+n[/texx] y [texx]a\leq{w}<b[/texx] y [texx]c<z<d[/texx], de aquí

Aca tendría que estudiar dos casos:
1) [texx]m>0[/texx]
entonces [texx]ma+n\leq{mw+n}<mb+n\Rightarrow{ma+n\leq{z}<mb+n}[/texx] y [texx]c<z<d[/texx].
Es decir [texx]z\in{[ma+n,mb+n)\cap{(c,d)}}[/texx].
Ahi me quedo  :banghead: :banghead:



En los ejercicios donde hay "planos", "rectas" y cosas por el estilo, incluso tambien "intervalos" y "rayos", es siempre buena idea hacer el dibujo y tratar de comprender la situación geométrica.

¿Qué aspecto tiene un elemento típico de la base en la topología de [texx]L[/texx]?

Claro que hay que separar en casos...
Sin embargo, toda recta [texx]L[/texx] en el plano tiene un orden estándar.
Esto es típico de la geometría plana.

Estableciendo el orden "natural" de la recta [texx]L[/texx], se puede definir allí la topología de los intervalos semiabiertos por la izquierda, y denotamos con [texx]L_\ell[/texx] a la recta cuando la miramos con esa topología.

Ahora te pregunto si al considerar [texx]L[/texx] como subespacio de [texx]\mathbb{R}_\ell\times \mathbb R[/texx] tiene la topología de [texx]L_\ell[/texx].

Para trabajar con comodidad, hay que probar que la intersección de dos intervalos da otro intervalo, y conviene tener claro qué tipo de intervalo da en cada caso (abierto, semiabierto, etc.).

Una vez probado eso, la traducción de la geometría a la forma analítica es casi directa.
Aunque se dan varios casos distintos, según como se efectúen las "intersecciones" con distintos elementos de la base de [texx]\mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R}[/texx]

Consideremos primero una recta con pendiente positiva.

La base de la topología de subespacio de [texx]\mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R}[/texx] contiene a todos los elementos de la topología de [texx]L_\ell[/texx].
También contiene a los "intervalos abiertos" de [texx]L[/texx] con su "orden natural". Pero estos conjuntos ya son "abiertos" en [texx]L_\ell[/texx], así que no estamos agregando nada a la topología, aunque sí que la "base" subespacio obtenido es mayor...

¿Hay otros elementos posibles en la base de subespacio para L?
Hay 4 casos tipicos posibles, y la respuesta sería, según veo, que no.
(Se puede disentir, claro está!!! ...)

Así que la topología sería la de [texx]L_\ell[/texx], aunque la base obtenida sea mayor.

El conjunto vacío pertenece también a la base en este caso.



Supongamos ahora que [texx]L[/texx] tiene pendiente nula, o sea, [texx]L[/texx] es horizontal.
La situación que se obtiene es similar al caso anterior, salvo que la base es la misma que la  [texx]L_\ell[/texx], aunque con el agregado del conjunto vacío.

Así que obtenemos otra vez [texx]L_\ell[/texx].



Si la recta [texx]L[/texx] es vertical, se obtiene la base de segmentos "abiertos", o sea, "sin extremos". Esto nos daría la "topología del orden" de la recta L, que difiere claro está de [texx]L_\ell[/texx].




El último caso a analizar es el de las rectas de pendiente negativa.

La situación es la misma que para las pendientes positivas, aunque con algunas salvedades en el camino.
Por ejemplo, con el orden natural respecto a la orientación del eje x, la recta [texx]L[/texx] puede considerarse como ordenada "al revés".
Además, la prueba no es exactamente igual, porque los "bordes" de [texx]R_\ell[/texx] quedan del lado izquierdo siempre, mientras que la inclinación de las rectas ha quedado ahora para el lado opuesto.

Así que podríamos decir que la topología es la de [texx]L_\ell[/texx], pero teniendo cuidado de decir en qué sentido se toma el orden en [texx]L[/texx].





Ahora pasemos a las rectas [texx]L[/texx] como subespacios de [texx]\mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R}_\ell[/texx].

Para las rectas [texx]L[/texx] de pendiente vertical se obtiene de nuevo [texx]L_\ell[/texx].

Cuando la recta [texx]L[/texx] es horizontal, se obtiene de nuevo [texx]L_\ell[/texx].

Cuando la recta [texx]L[/texx] es vertical, ahora la cosa cambia, y se obtiene [texx]L_\ell[/texx].

Finalmente, cuando la recta [texx]L[/texx] tiene pendiente negativa, se obtiene la topología discreta de [texx]L[/texx].
¿Por qué? Bastaría probar que cada punto en L es abierto.

¿Y por qué en el resto del ejercicio no se obtuvo la topología discreta?





Lo que no entiendo del ejercicio es por qué dice que lo que se obtiene es una "topología familiar". No sé a qué se refiere.

La cuestión es que si uno le da a la recta [texx]L[/texx] un sistema de coordenadas, olvidándose de su descripción inicial con coordenadas [texx](x,y)[/texx], lo que se obtiene es que [texx]L[/texx] es ahora "lo mismo" que el sistema de números reales [texx]\mathbb{R}[/texx], y las topologías obtenidas han sido: [texx]\mathbb{R}_\ell,\mathbb{R},\mathbb{R}_d[/texx], según los casos.

O sea, 3 de las topologías más familiares.

Esto está bien justificado, si consideramos un isomorfismo algebraico entre el sistema [texx]\mathbb{R}[/texx] de números reales y los puntos de la recta [texx]L[/texx], dados en la forma analítica siguiente (que además sirve de isomorfismo): [texx]t\to (t,mt+b)[/texx], por ejemplo.

Hasta ahora no hemos visto isomorfismos topológicos,
pero lo que estamos describiendo es tan sólo un isomorfismo algebraico,
y sólo cuenta la interacción entre [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx] y [texx]L[/texx] con su sistema de coordenadas.

Y además, cuando hablamos de [texx]\mathbb{R}[/texx], nos estamos refiriendo a "cualquier conjunto que satisfaga los axiomas de los números reales".
Fijate que en la sección 4 se dan a los reales sólo como axiomas, y todas las propiedades de los reales son aplicables a cualquier sistema algebraico que verifique esos axiomas.

Parametrizando las rectas en un espacio vectorial, mediante la manera usual del álgebra lineal básica, se obtiene un sistema coordenado sobre dicha recta que satisface los axiomas de números reales, y es isomorfo a cualquier cosa que consideremos como [texx]\mathbb{R}[/texx].

Ese es el sentido del álgebra lineal, que en cualquier espacio vectorial hay líneas rectas y nociones de paralelismo (suma vectorial).
Hagamos la salvedad de que, si bien una recta en un espacio vectorial cualquiera tiene una topología idéntica a los reales, si así se desea, esto no quiere decir que el espacio completo esté dotado de alguna topología adecuada.





No vislumbro otro sentido de la palabra "familiar" en el enunciado del ejercicio.
Salvo que me esté saltando algún detalle importante.
¿Qué pensás de todo esto?
Antes de pensar cualquier cosa, hay que dibujar, jeje...  ;)

¡Con ejercicios de productos cartesianos siempre hay que dibujar!

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 26/02/2010, 05:57:55 pm
Ejercicio 16.9. Pruebe que la topología del orden del diccionario sobre el conjunto [texx]\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}[/texx] es la misma que la topología producto [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx], donde [texx]\mathbb{R}_d[/texx] denota a [texx]\mathbb{R}[/texx] con la topología discreta. compare esta topología con lla topología usual sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Solución.

Creo que en este ejercicio también se debe trabajar con las bases, intuyo que se tiene que probar que las bases sean iguales, y por ende sus topologías, pero también tengo problemas con esto.

Basta probar que todo elemento de la base de una de las topologías es "abierto" en la otra topología.
Creo que ese es el enfoque que hay que darle.

O sea, pretender demostrar que un elemento de la base de una topología es "también" eleemtno de la base de la otra, puede que no resulte.
Lo que yo te sugiero es más sencillo. Una vez de que te convenzas de que ese método es correcto, la prueba es automática, creo yo.

No cuesta nada mirar un poco cuando hago el producto cartesiano de un punto y un intervalo.
Con esos objetos en mente la prueba sale sola.

¿Un esfuercito más?  ;D


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 26/02/2010, 06:07:14 pm
Ejercicio 16.10 Sea [texx]I=[0,1][/texx]. Compare la topología producto sobre [texx]I\times{I}[/texx], y la topología que [texx]I\times{I}[/texx] hereda como subespacio de [texx]\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}[/texx] en la topología del orden del diccionario.

Solución

¿Qué esto no se deduce el ejemplo 3 de la sección 16?
hummmmmmmmmmmmmmmmmm ??? ??? ??? ???

P.d:Estos últimos ejercicios me dan dolor de cabeza

No se deduce todo del ejemplo 3, porque en ese ejemplo se comparan dos topologias diferentes relacionadas con el orden de diccionario.
Ahora se pide comparar con la topología producto típica, o sea, la usual del plano, que viene por ejemplo del producto de intervalos abiertos.

Además, "comparar" significa establecer claramente cuál topología es más fina que la otra, si es que eso es posible, y si no es posible decir por qué.

El capítulo 16 aún te necesita...



Si me aceptás un consejo, te digo que no dejes a la ligera los ejercicios que involucra propiedades de los números reales. Te dan experiencia topológica en ejemplos y contraejemplos típicos de la topología general. Son importantes.

Venís muy bien, no me dejes los ejercicios que parecen difíciles sin pelea.
Justamente, hay que hacerlos porque cuestan.

No hay que "deshacerse lo antes posible" de un ejercicio, sino tratar de comprender lo que está ocurriendo, la esencia de cada situación problemática.



Por otro lado, te estoy muy agradecido por tu enorme esfuerzo en este curso.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 26/02/2010, 06:15:19 pm

El capítulo 16 aún te necesita...



Si me aceptás un consejo, te digo que no dejes a la ligera los ejercicios que involucra propiedades de los números reales. Te dan experiencia topológica en ejemplos y contraejemplos típicos de la topología general. Son importantes.

Venís muy bien, no me dejes los ejercicios que parecen difíciles sin pelea.
Justamente, hay que hacerlos porque cuestan.

No hay que "deshacerse lo antes posible" de un ejercicio, sino tratar de comprender lo que está ocurriendo, la esencia de cada situación problemática.



Por otro lado, te estoy muy agradecido por tu enorme esfuerzo en este curso.

Saludos

Tienes mucha razón, no me van a ganar unos ejercicios, a darle duro, voy a pensar en ellos. Muchas gracias por tu preocupación y motivación.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 26/02/2010, 06:18:10 pm
 

Ejercicio 16.7. Sea [texx]X[/texx] un conjunto ordenado. Si [texx]Y[/texx] es un subconjunto propio de [texx]X[/texx] que es convexo en [texx]X[/texx], ¿se deduce que [texx]Y[/texx] es un intervalo o un rayo de X?

Me parece que esto tiene que ver con la estructura de X.

Tomemos a X como el sistema de los racionales.
Sea [texx]\{x_n\}[/texx] la sucesión creciente de aproximaciones racionales decimales del número [texx]\pi[/texx].
Entonces la unión de los intervalos [texx]Y=\bigcup_{n=1}^\infty (0,x_n)[/texx] es un conjunto convexo en X, pero no hay forma de expresar eso como un intervalo (0, q) en X, porque q tiene que ser racional, y siempre se le va a "escapar" un elemento de la sucesión.

"Intuitivamente", X está sumergido en R, y el conjunto Y sería pues el intervalo [texx](0,\pi)\cap Q[/texx] (Q = racionales).
Pero [texx]\pi[/texx] no es racional, así que eso impide que Y sea un intervalo.

Tampoco es un rayo.
Se aprecia intuitivamente bien esto, porque entendemos cómo funciona R.
Pero faltaría escribir con detalles más técnicos la prueba, o los puntos más importantes de ella:

* Que el conjunto Y definido arriba es convexo. ¿Cómo se argumenta?
Sea [texx]Y=\bigcup_{n=1}^\infty (0,x_n)[/texx]. Tomemos [texx]a,b\in{Y}[/texx], con a<b elementos arbitrarios, probemos que [texx](a,b)\subseteq{Y}[/texx]. Como [texx]a,b\in{Y}[/texx], entonces  existen n y m tales que [texx]a\in{(0,x_n)}[/texx] y [texx]b\in{(0,x_m)}[/texx], de donde
[texx]0<a<x_n[/texx] y [texx]0<b<x_m[/texx] .

Sea [texx]c\in (a,b)[/texx], entonces [texx]a<c<b[/texx], luego [texx]0<a<c<b<x_m[/texx], es decir [texx]c\in{(a,x_m)}[/texx], por tanto c pertence a Y. Luego [texx](a,b)\subseteq{Y}[/texx], es decir, Y es convexo.

* Que el conjunto Y no es un intervalo en X.

Tomo un elemento arbitrario de la unión que conforma a Y, sea [texx](0,x_n)[/texx], Pero entre 0 y [texx]x_n[/texx] siempre hay un irracional, por tanto [texx](0,x_n)[/texx] no es un intervalo de números racionales(o sea no es un intervalo en Q). En consecuencia Y no es un intervalo en Q.


* Que el conjunto Y no es un rayo en X.
Saludos

Si Y es un rayo, entonces debo ver que Y es de una de las siguientes formas:
1) [texx]Y=(a,+\infty)[/texx], [texx]a\in{X}[/texx].
2) [texx]Y=(-\infty,a)[/texx], [texx]a\in{X}[/texx].
3) [texx]Y=[a,+\infty)[/texx], [texx]a\in{X}[/texx].
4) [texx]Y=(-\infty,a][/texx], [texx]a\in{X}[/texx].

Puesto que Y no tiene negativos, descarto (2) y (4)

****
Pensando esto, se me viene a la cabeza una duda,
Pero si Y ni siquiera es intervalo entonces mucho menos es rayo
****

¿Están bien?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 26/02/2010, 06:33:47 pm

* Que el conjunto Y no es un intervalo en X.

Tomo un elemento arbitrario de la unión que conforma a Y, sea [texx](0,x_n)[/texx], Pero entre 0 y [texx]x_n[/texx] siempre hay un irracional, por tanto [texx](0,x_n)[/texx] no es un intervalo de números racionales(o sea no es un intervalo en Q). En consecuencia Y no es un intervalo en Q.

¿Están bien?

No, no está bien, pero yo también tengo culpa por la notación que usé.

Tengamos en cuenta que ahora nuestro "espacio" consta sólo de números racionales.
Así que un "intervalo" como (a, b), quiere decir que sus extremos son racionales... y también todos sus elementos son racionales.
Esto es correcto, si repasamos las definiciones de intervalos en conjuntos ordenados cualesquiera...

La confusión viene porque cuando hablamos de números, estamos acostumbrados a pensar siempre en intervalos de números reales.
Habría que aclarar en alguna parte que [texx](0,x_m)[/texx] no sólo es un intervalo con extremos racionales, sino que sus elementos también son racionales.
Estamos pensando, entonces, en algo como [texx](0,x_m)\cap Q[/texx], con Q conjunto de racionales.

Estas cuestiones de notación ambigua... son un problema, claro, pero son parte de las cosas que tenemos que aprender.

¿Cuál es el espacio X y sus elementos? ¿Cuál es el orden en X? ¿Cómo son sus "intervalos" abiertos, o lo que fuere? ¿Cómo difieren de intervalos de sistemas más amplios, o más pequeños?
Quizá convenga decir en la misma demostración del ejercicio, o en el enunciado de lo que te pedí probar, que los intervalos son "racionales" y no contienen puntos "irracionales".

Dicho de ese modo, "no es la existencia de irracionales en el interior del intervalo la fuente del problema". ¿Entonces dónde está el problema? Obviamente, cerca del punto [texx]\pi[/texx]. ¿Pero cómo es?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 26/02/2010, 06:43:29 pm

****
Pensando esto, se me viene a la cabeza una duda,
Pero si Y ni siquiera es intervalo entonces mucho menos es rayo
****

¿Están bien?


Hay que ajustarse estrictamente a las definiciones que estamos manejando en el curso.
Los intervalos y los rayos son definiciones que corresponden a nociones de "conjuntos totalmente ordenados", y puede que no coincidan con las nociones de cálculo que estamos acostumbrados a usar.

Así que en la recta real por ejemplo, un intervalo no sería un rayo, y un rayo tampoco sería un intervalo.
Los rayos abiertos son "conjuntos abiertos", pero no "intervalos abiertos".

En cada "juego" tenemos que tener claras las reglas con las que estamos jugando.

Ahora bien, si en un X hay máximos o mínimos, un intervalo semiabierto puede ser abierto, e incluso un rayo, y viceversa...

Todo depende de cada espacio considerado.



Así que hay que pensar de otra manera por qué razón Y no es un rayo.

Pero es fácil... basta pensar cuánto fastidia cualquier elemento de X mayor que [texx]\pi[/texx], o menor que 0.
El número [texx]\pi[/texx] NO EXISTE en X, pero es válido usarlo, porque X es un subespacio de R.
Por otro lado, abrevia comentarios. Y si no te convence, usar el racional 7/2, que es mayor que [texx]\pi[/texx].



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 28/02/2010, 04:50:39 pm
Ejercicio 16.9. Pruebe que la topología del orden del diccionario sobre el conjunto [texx]\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}[/texx] es la misma que la topología producto [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx], donde [texx]\mathbb{R}_d[/texx] denota a [texx]\mathbb{R}[/texx] con la topología discreta. compare esta topología con lla topología usual sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx].
Solución.

Recordemos que la colección B de intervalos de la forma
[texx]({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}a, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}\}[/texx]
también forma una base de la topología del orden sobre [texx]\mathbb{R}\times{\mathbb R}[/texx].
Entonces, sea [texx]U[/texx] un elemento básico de la la base B, luego [texx]U=({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}a,d{\color{blue})})[/texx], pero
 [texx]({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}a,d{\color{blue})})=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2};x=a,\quad b<y<d\}=\{a\}\times (b,d)[/texx], y como
[texx]\{a\}\in{P(\mathbb{R})}[/texx], es un abierto básico de la topología discreta, y [texx](b,d)[/texx] es un intervalo abierto, es un abierto básico de la topología usual tenemos que
[texx]U=\{a\}\times (b,d)[/texx] es un elemento básico de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx].

Por tanto, la base topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx] está contenida  en la base de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx].

Ahora, sea [texx]V=V_0\times (a,b)[/texx] un elemento básico de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx]. Tomemos
[texx](x,y)\in V[/texx], entonces [texx]x\in V_0[/texx] y [texx]y\in (a,b)[/texx], luego [texx]\{x\}\subseteq{V_0}[/texx] y tomando [texx]U=({\color{blue}(}x,a{\color{blue})},{\color{blue}(}x,b{\color{blue})})=\{x\}\times (a,b)\subseteq{V_0\times (a,b)}=V[/texx] tenemos que
[texx](x,y)\in{U}\subseteq{V}[/texx]. Por tanto [texx]V[/texx] es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Luego ambas bases son iguales, de donde sus topologías generadas también lo son.
¿Es correcto?
Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 28/02/2010, 05:28:06 pm
Ejercicio 16.9. Pruebe que la topología del orden del diccionario sobre el conjunto [texx]\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}[/texx] es la misma que la topología producto [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx], donde [texx]\mathbb{R}_d[/texx] denota a [texx]\mathbb{R}[/texx] con la topología discreta. compare esta topología con lla topología usual sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx].
Solución.

Recordemos que la colección B de intervalos de la forma
[texx]({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}a, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}\}[/texx]
también forma una base de la topología del orden sobre [texx]\mathbb{R}\times{\mathbb R}[/texx].
Entonces, sea [texx]U[/texx] un elemento básico de la la base B, luego [texx]U=({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}a,d{\color{blue})})[/texx], pero
 [texx]({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}a,d{\color{blue})})=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2};x=a,\quad b<y<d\}=\{a\}\times (b,d)[/texx], y como
[texx]\{a\}\in{P(\mathbb{R})}[/texx], es un abierto básico de la topología discreta, y [texx](b,d)[/texx] es un intervalo abierto, es un abierto básico de la topología usual tenemos que
[texx]U=\{a\}\times (b,d)[/texx] es un elemento básico de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx].

Por tanto, la base topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx] está contenida  en la base de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx].

Ahora, sea [texx]V=V_0\times (a,b)[/texx] un elemento básico de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx]. Tomemos
[texx](x,y)\in V[/texx], entonces [texx]x\in V_0[/texx] y [texx]y\in (a,b)[/texx], luego [texx]\{x\}\subseteq{V_0}[/texx] y tomando [texx]U=({\color{blue}(}x,a{\color{blue})},{\color{blue}(}x,b{\color{blue})})=\{x\}\times (a,b)\subseteq{V_0\times (a,b)}=V[/texx] tenemos que
[texx](x,y)\in{U}\subseteq{V}[/texx]. Por tanto [texx]V[/texx] es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Luego ambas bases son iguales, de donde sus topologías generadas también lo son.
¿Es correcto?
Saludos

Yo diría que está bastante bien.
Pero detecto algunas "debilidades".
Por ejemplo, empezaste razonando "si B es elemento de la 1er topología entonces es de la 2da", esa parecía la intención.
En ese caso, faltaría agregar un razonamiento parecido del tipo "si B es un elemento de la 2da, entonces también está en la 1era."

Eso sería lo correcto...
Pero también hay una tendencia natural a saltearse ese ida y vuelta porque en verdad sería mera repetición de palabras con contenido lógico muy similar.
La solución a situaciones como esta podría ser escribir en borrador la prueba de "ida" y verificar si la "vuelta" sigue siendo válida, yendo con los mismos pasos de atrás hacia adelante.
Entonces, en todos los pasos de la prueba se reemplazan los "entonces" por los "si y solo si", y las flechas [texx]\Rightarrow{}[/texx] por las [texx]\Leftrightarrow{}[/texx].

Cuando las pruebas son sencillas está bien trabajar así.

Modificado: Veo que has corregio esto, o bien yo no me di cuenta de que lo habías escrito bien. mmmm
En todo caso lo que has puesto está bien estructurado.


Otro detallito por ahí es lo de la "base" de la topología discreta.
La topología discreta no se "define" a través de una base, sino que se la define dando todos sus elementos: "la familia de todos los subconjuntos de X".
Y de hecho, una "topologia" es una "base trivial para sí misma", así que hay que "demostrar" o al menos dejar "indicado" con cierta claridad que "la topologia discreta tiene como base a los conjuntos de un solo punto".

A lo mejor ya lo hemos dicho en la teoría o en algun ejercicio, y la verdad es que no me acuerdo.
Repetir demasiado lo mismo es algo pesado a veces.
Asi que esto de la base de la topologia discreta lo apunto como algo que me llamó la atención.
Si querés lo cambiás, y si no, da igual, porque la prueba está bien.

No detecto errores en la prueba. No es de extrañar que sea sencilla.
Saludos

Modificado: He releído tu prueba, y creo que malinterpreté el tratamiento de la "base" que diste a la topología discreta. Así que así como está iría bien. Pero tengo dudas en la parte final. Ahora te digo bien.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 28/02/2010, 05:39:05 pm
(...) Por tanto [texx]V[/texx] es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Luego ambas bases son iguales, de donde sus topologías generadas también lo son.


Creo que esa frase hacia el final me confundió bastante, porque estás concluyendo algo correcto, pero que no sirve.
Estás concluyendo que V es un abierto en la top. del diccionario.
Eso está bien, pero después estás queriendo decir que las "bases" y no las "topologías" son iguales.
O sea que hubiera sido bueno concluir que V es, más que un abierto, un elemento de la base.

O bien cambiar la intención final donde pretendes llegar a la igualdad de topologías a través de las bases.

Quedémenos conque V es un abierto en top. diccionario.
Eso alcanza ya para concluir que ambas topologías son iguales.
O sea, si un elemento de la base de la 1er topologia es abierto en la 2da, y si un elemento de la base de la 2da es abierto en la 1era, sin necesidad de que vuelvan a ser "básicos", entonces las topologías son iguales.

Si lo que te interesa es demostrar algo más fuerte: "que las bases son inclusive iguales", me parece que vas a tener que elegir una base adecuada para la topología discreta, como por ejemplo, la formada por todos los conjuntos de un solo punto.

Son detalles menores todos esto, porque el ejercicio ya lo tenés "contra las cuerdas". Pero trato de detectar fuentes de errores o dificultades a través de "pequeños síntomas", que ojalá te sirvan.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 28/02/2010, 07:00:13 pm
Hola argentinator, mil disculpas, si lo corregí, lo que pasa es que en mi pc, exáctamente en el programa de internet, utilizo el google chrome, y ahí no sé por qué, pero no se puede visualizar, intenté con el internet explorer, ahí sí se puede visualizar, pero no se puede escribir, creo que algo anda mal con mi pc, jejeje. Así, que me quedé con el google chrome, y por eso cuando mando un mensaje, lo publico y después lo corrijo, mil disculpas.

Sobre los detalles, muchas gracias, me gusta eso.

 
(...) Por tanto [texx]V[/texx] es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Luego ambas bases son iguales, de donde sus topologías generadas también lo son.

Creo que esa frase hacia el final me confundió bastante, porque estás concluyendo algo correcto, pero que no sirve.
Estás concluyendo que V es un abierto en la top. del diccionario.
Eso está bien, pero después estás queriendo decir que las "bases" y no las "topologías" son iguales.
O sea que hubiera sido bueno concluir que V es, más que un abierto, un elemento de la base.

O bien cambiar la intención final donde pretendes llegar a la igualdad de topologías a través de las bases.

Yo también tenía mis dudas, pero lo lanzé pues no sabía como expresar mi duda y esperaba que tú la puedas expresar mejor, jijiji  ;D ;D ;D.

Voy a revisarla, ahorita tengo que salir, cuidate mucho, estamos en contacto.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 28/02/2010, 08:15:04 pm
Lo del google chrome es así para todo el mundo.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 03/03/2010, 01:56:21 am
Hola argentinator, bueno siguiendo con el ejercicio 16.9

Me quedé en que si [texx]V[/texx] es un elemento básico de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx] entonces, es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx]

Sea ahora, V un abierto cualquiera de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx], entonces es la unión de elementos básicos de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx], es decir, existe [texx]V_\alpha[/texx] básicos tales que
[texx]V=\bigcup_ \alpha[/texx], pero ya sé que cada básico es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx], luego V es unión de abiertos de la topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx], entonces es un abierto en esta topología, luego

La topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx] está incluida en la topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

También en el primer post de este ejercicio, a saber la respuesta 166 se probó que, la base topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx] está contenida  en la base de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx]. Luego
La topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx] está incluida en la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx].

De donde tengo que las topologías son iguales.



Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 03/03/2010, 02:01:55 am
Pasando a limpio.

Ejercicio 16.9. Pruebe que la topología del orden del diccionario sobre el conjunto [texx]\mathbb{R}\times{\mathbb{R}}[/texx] es la misma que la topología producto [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx], donde [texx]\mathbb{R}_d[/texx] denota a [texx]\mathbb{R}[/texx] con la topología discreta. Compare esta topología con la topología usual sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Solución.
Recordemos que la colección B de intervalos de la forma
[texx]({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}a, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}\}[/texx]
también forma una base de la topología del orden sobre [texx]\mathbb{R}\times{\mathbb R}[/texx].
Entonces, sea [texx]U[/texx] un elemento básico de la la base B, luego [texx]U=({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}a,d{\color{blue})})[/texx], pero
 [texx]({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}a,d{\color{blue})})=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2};x=a,\quad b<y<d\}=\{a\}\times (b,d)[/texx], y como
[texx]\{a\}\in{P(\mathbb{R})}[/texx], es un abierto básico de la topología discreta, y [texx](b,d)[/texx] es un intervalo abierto, es un abierto básico de la topología usual tenemos que
[texx]U=\{a\}\times (b,d)[/texx] es un elemento básico de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx].

Por tanto, la base topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx] está contenida  en la base de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx]. De donde concluimos que la topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx] está incluida en la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx]....(1)

Ahora, sea [texx]V=V_0\times (a,b)[/texx] un elemento básico de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx]. Tomemos
[texx](x,y)\in V[/texx], entonces [texx]x\in V_0[/texx] y [texx]y\in (a,b)[/texx], luego [texx]\{x\}\subseteq{V_0}[/texx] y tomando [texx]U=({\color{blue}(}x,a{\color{blue})},{\color{blue}(}x,b{\color{blue})})=\{x\}\times (a,b)\subseteq{V_0\times (a,b)}=V[/texx] tenemos que
[texx](x,y)\in{U}\subseteq{V}[/texx]. Por tanto [texx]V[/texx] es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Sea ahora, V un abierto cualquiera de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx], entonces es la unión de elementos básicos de la topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx], es decir, existe [texx]V_\alpha[/texx] básicos tales que
[texx]V=\bigcup_ \alpha[/texx], pero ya sé que cada básico es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx], luego V es unión de abiertos de la topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx], entonces es un abierto en esta topología, luego

La topología producto sobre [texx]\mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}}[/texx] está incluida en la topología del orden del diccionario sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx]....(2)

De (1) y (2) tengo que las topologías son iguales.

Para terminar el ejercicio, me piden que compare esta topología con la topología usual sobre [texx]\mathbb{R}^2[/texx]. Para eso tengo que ver si una es más fina que otra, y en caso de no serlo , tendría que encontrar un abierto que esté solo en una, pero no se me ocurre.  :banghead: :banghead:


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 03/03/2010, 02:10:29 am
Los ejercicios 16.7 y 16.8 sí creo que las puedo hacer, pero el 16.10 me está derrotando, es como el policía que se derrite en Terminator II y se ha disfrazado de ejercicio fácil al que me acerqué y ahora me quiere destruir............necesito la ayuda de argentinator!!!!!!!!!!!!!


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 03/03/2010, 10:00:44 am
La clave está en prestar atención a lo que ocurre con los puntos que están en los bordes del cuadrado [texx]I\times I[/texx]. O sea, cuando termina un "palito" o cuando comienza un nuevo "palito".
Hay que analizar qué ocurre allí con los elementos de una cierta base que contenga a esos puntos.
Los demás puntos son más fáciles de analizar.

Por ahora no tengo más tiempo, si no, te podría explicar mejor.

Fijate si con esa guía el ejercicio sale. Hacer un dibujito también ayuda.
Hay que hacer razonamientos geométricos, y apenas después traducirlos a lenguaje formal.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 14/03/2010, 01:09:13 am
Hola argentinator, disculpa por la ausencia, estuve estudiando otras cosas y haciendo un trabajito.

Para serte sincero no he intentado los últimos ejercicios de la sección 16, pero no me quiero atrazar y deseo seguir con el resto, te prometo que los haré y los publicaré aca. Espero no decepcionarte.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 14/03/2010, 02:42:29 am
Ejercicio 17.5. Sea [texx]X[/texx] un conjunto ordenado con la topología del orden. Muestre que [texx]\overline{(a,b)}\subseteq{[a,b]}[/texx]. ¿Bajo qué condiciones se cumple la igualdad?
Solución.
¿Es necesario saber si X tiene elemento máximo o mínimo? hummmm, profe deme una pista como empezar.

[texx]X[/texx] con la topología del orden tiene tres tipos de elementos básicos, a saber,
[texx](a,b)[/texx], [texx][a_0,b)[/texx] donde [texx]a_0[/texx] es el mínimo de X y [texx](a,b_0][/texx], donde  [texx]b_0[/texx] es el máximo de X, en caso los haya.

Por definición, [texx]\overline{(a,b)}=\bigcap\limits_{\substack{F\mbox{cerrado}\\(a,b)\subseteq{F}}} F[/texx].

Como [texx]X-[a,b]=[a_0,a)\cup (b,b_0][/texx], entonces [texx][a,b][/texx] es un cerrado, y claramente contiene a [texx](a,b)[/texx], entonces [texx]\overline{(a,b)}\subseteq{[a,b]}[/texx].

Por otra parte, también sabemos que
[texx]\overline{(a,b)}=(a,b)\cup (a,b)'[/texx], para tener la igualdad se tiene que cumplir que
[texx](a,b)'=\{a,b\}[/texx].

¿Es correcto?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 14/03/2010, 03:05:53 am
17.6 Denotemos por [texx]A,B[/texx] y[texx]A_\alpha[/texx] a subconjuntos del espacio [texx]X[/texx]. Pruebe lo siguiente:
(a) Si [texx]A\subseteq{B}[/texx], entonces [texx]\overline{A}\subseteq{\overline{B}}[/texx].
(b) [texx]\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup \overline{B}[/texx].
(c) [texx]\bigcup \overline{A}_\alpha\subset{\overline{\bigcup A_\alpha}}[/texx]; dé un ejemplo donde no se cumpla la igualdad.

Solución:
(a) Por definición [texx]\overline{A}=\bigcap\limits_{\substack{F\mbox{ cerrado}\\A\subset{F}}} F[/texx] y [texx]\overline{B}=\bigcap\limits_{\substack{G\mbox{ cerrado}\\B\subset{G}}} G[/texx]

Como [texx]A\subseteq{B}\subseteq{\overline{B}}[/texx] y [texx]\overline{B}[/texx] es cerrado, entonces, [texx]\overline{B}[/texx] es un cerrado que contiene a [texx]A[/texx], y por definición se tiene [texx]\overline{A}\subseteq{\overline{B}}[/texx]..

Otra forma:

(*)Si tomemos [texx]x\in{\overline{A}}[/texx], entonces [texx]x\in{F}[/texx], para todo [texx]F[/texx] cerrado con [texx]A\subseteq{F}[/texx].

Tomemos un [texx]G[/texx] cerrado arbitrario con [texx]B\subseteq{G}[/texx]. Como [texx]A\subseteq{B}[/texx], entonces [texx]A\subseteq{G}[/texx], con G cerrado, luego por (*) [texx]x\in{G}[/texx]. Por tanto, [texx]x\in{G}[/texx], para todo [texx]G[/texx] cerrado con [texx]B\subseteq{G}[/texx], es decir [texx]x\in{\overline{B}}[/texx]. En consecuencia [texx]\overline{A}\subseteq{\overline{B}}[/texx].

(b)


[texx]\overline{A}\cup \overline{B}=\bigcap\limits_{\substack{F\mbox{ cerrado}\\A\subset{F}}} F\cup{\bigcap\limits_{\substack{G\mbox{ cerrado}\\B\subset{G}}} G}=\bigcap\limits_{\substack{G\mbox{ cerrado, }F\mbox{ cerrado}\\A\subset{G},B\subset{H}}} F\cup {G}[/texx] ........(*)
Como [texx]F, G[/texx] son cerrados, entonces [texx]H=F\cup G[/texx] también es cerrado, y también [texx]A\cup{B}\subseteq{F\cup{G}}=H[/texx], por tanto en (*)

[texx]\overline{A}\cup \overline{B}=\bigcap\limits_{\substack{H\mbox{ cerrado}\\A\cup {B}\subset{H}}} H=\overline{A\cup B}[/texx]

(c)

Como [texx]\overline{A_\alpha}[/texx] es cerrado, y sabemos que la unión arbitraria de cerrados no necesariamente es cerrado, se tiene que
[texx]\bigcup \overline{A}_\alpha\subset{\overline{\bigcup A_\alpha}}[/texx]

Respecto al ejemplo, sea [texx]A_n=\left({a+\cfrac{1}{n},b-\cfrac{1}{n}}\right)[/texx], luego [texx]\overline{A_n}=\left[{a+\cfrac{1}{n},b-\cfrac{1}{n}}\right][/texx].

Por otra parte, se tiene que [texx](a,b)=\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbb{N}}}{\left[{a+\cfrac{1}{n},b-\cfrac{1}{n}}\right]}=\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbb{N}}}{\overline{A_n}}[/texx], es decir [texx]\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbb{N}}}{\overline{A_n}}[/texx] es un conjunto abierto, y no se cumple la igualdad pues [texx]\overline{\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbb{N}}}A_n}[/texx] es cerrado.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 14/03/2010, 05:54:28 pm
17.7 Discuta la siguiente "prueba" de que [texx]\overline{\bigcup A_\alpha}\subset{\bigcup \overline{A_\alpha}}[/texx]: si [texx]\{A_\alpha\}[/texx] es una colección de conjuntos de [texx]X[/texx] y si [texx]x\in{\overline{\bigcup A_\alpha}}[/texx], entonces cada entorno [texx]U[/texx] de [texx]x[/texx] interseca a [texx]\bigcup A_\alpha[/texx]. Así, [texx]U[/texx] debe intersecar a algún [texx]A_\alpha[/texx], por lo que [texx]x[/texx] debe pertenecer a la clausura de algún [texx]A_\alpha[/texx]. Por consiguiente, [texx]x\in{\bigcup A_\alpha}[/texx].
Solución

Estoy utilizando la famila de conjuntos del ejercicio 17.6.c para ver si hay una falla, pero todavía no la encuentro


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 15/03/2010, 02:02:28 am
Hola Debor, una consulta, ¿ese ejercicio pertenece al libro de Munkres o a alguno de los ejercicios anexos dejados por argentinator?, si es así, ¿puedes poner en que sección está?, y sino te aconsejaría ponerlo en el Post de Teoría de conjuntos.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: cuberomeli23 en 19/03/2010, 10:32:42 pm
Me inscribo al curso de topología. Qué buena idea. Gracias


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 20/03/2010, 11:54:24 pm
Ejercicio 17.8. Denotemos por [texx]A[/texx], [texx]B[/texx] y [texx]A_\alpha[/texx] a subconjuntos del espacio [texx]X[/texx]. Determine si las siguientes ecuaciones se cumplen; si una igualdad es falsa, determine si una de las inclusiones [texx]\supset{}[/texx] o [texx]\subset{}[/texx] se cumple.

(1) [texx]\overline{A\cap B}=\overline{A}\cap \overline{B}[/texx].

(2) [texx]\overline{\displaystyle\bigcap A_\alpha}=\displaystyle\bigcap \overline{A_\alpha}[/texx].

(3) [texx]\overline{A-B}=\overline{A}-\overline{B}[/texx].
Solución:

(1) Falso. Tomemos dos contraejemplos.
  • Sea [texx]A=(0,1/2)[/texx], [texx]B=(1/2,1)[/texx], luego
    [texx]\overline{A\cap B}=\emptyset[/texx], pero [texx]\overline{A}\cap \overline{B}=\{1/2\}[/texx]
  • Sea [texx]A=\mathbb{Q}[/texx] y [texx]B=\mathbb{Q}^c=\mathbb{I}[/texx], luego [texx]A\cap{B}=\emptyset\Rightarrow{\overline{A\cap{B}}}=\emptyset[/texx] y [texx]\overline{A}=\mathbb{R}[/texx] y [texx]\overline{B}=\overline{\mathbb{I}}=\mathbb{R}[/texx]. Luego,
    [texx]\overline{A}\cap{\overline{B}}=\mathbb{R}\neq{\emptyset}[/texx].

Lo que sí se cumple es
[texx]\overline{A\cap{B}}\subseteq{\overline{A}\cap{\overline{B}}}[/texx]. En efecto, puesto que [texx]A\cap{B}\subseteq{A}\Rightarrow{\overline{A\cap{B}}\subseteq{\overline{A}}}[/texx], de igual manera [texx]\overline{A\cap B}\subseteq{\overline{B}}[/texx]. Por tanto, [texx]\overline{A\cap{B}}\subseteq{\overline{A}\cap{\overline{B}}}[/texx]

(2) Falso De (1) vemos que sólo se cumple [texx]\overline{\displaystyle\bigcap {A_\alpha}}\subseteq{\displaystyle\bigcap{\overline{A_\alpha}}}[/texx].

(3) (1) Falso. Tomando como en (1) [texx]A=(0,1/2)[/texx], [texx]B=(1/2,1)[/texx], luego
[texx]\overline{A- B}=[0,1/2][/texx], pero [texx]\overline{A} - \overline{B}=[0,1/2)[/texx].
y lo que se cumple es
[texx]\overline{A} - \overline{B}\subseteq\overline{A- B}[/texx].
La demostración la encontré en este post:


http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,5004.0.html


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 21/03/2010, 12:39:21 am
Ejercicio 17.9. Sean [texx]A\subset{X}[/texx] y [texx]B\subset{Y}[/texx]. Pruebe que en el espacio [texx]X\times{Y}[/texx],
[texx]\overline{A\times B}=\overline{A}\times \overline{B}[/texx].
Solución:
[texx]\boxed{\overline{A\times B}\subseteq \overline{A}\times \overline{B}}[/texx]
Sea [texx]p=(p_A,p_B)\in{\overline{A\times B}}[/texx], luego, todo entorno de p, intersecta a  [texx]A\times B[/texx], es decir, si [texx]V_p[/texx] es entorno de [texx]p[/texx], se tiene [texx]V_p\cap{(A\times{B})}\neq{\emptyset}[/texx]. Pero  [texx]V_p=U_{p_A}\times U_{p_B}[/texx], donde [texx]U_{p_A},U_{p_B}[/texx] son entornos de [texx]p_A[/texx] y [texx]p_B[/texx] respectivamente. Entonces
[texx]V_p\cap{(A\times{B})}\neq{\emptyset}\Rightarrow{(U_{p_A}\times U_{p_B})\cap{(A\times{B})}}=(U_{p_A}\cap A)\times (U_{p_B}\cap B)\neq{\emptyset}[/texx]
Y esto a su vez significa
[texx]U_{p_A}\cap A\neq{\emptyset}[/texx] y [texx]U_{p_B}\cap B\neq{\emptyset}[/texx], de donde se tiene [texx]p_A\in{\overline{A}}[/texx] y [texx]p_B\in{\overline{B}}[/texx] y por tanto [texx]p\in{\overline{A}\times{\overline{B}}}[/texx].

[texx]\boxed{\overline{A}\times{\overline{B}}}\subseteq{\overline{A\times B}}[/texx]
Es repetir lo anterior pero en orden inverso.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 21/03/2010, 01:09:08 am
Ejercicio 17.10. Pruebe que cada topología del orden es Hausdorff.
Solución:
¿A qué topologías se refiere?


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 21/03/2010, 01:19:22 am
Ejercicio 17.11. Pruebe que el producto de dos espacios de Hausdorff es de Hausdorff.
Solución:
Sean [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] dos espacios de Hausdorff, tomemos [texx](a,b),(c,d)\in{X\times{Y}}[/texx] diferentes, podemos tomar [texx]a\neq{c}[/texx] y con b y c no interesa, tomémoslos también diferentes, Luego tenemos que [texx]a,c\in{X}[/texx] y [texx]b,d\in{Y}[/texx], al ser [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] dos espacios de Hausdorff, existen entornos [texx]V_a,V_b,V_c,V_d[/texx] tales que
[texx]V_a\cap{V_c}\neq{\emptyset}[/texx] y [texx]V_b\cap{V_d}\neq{\emptyset}[/texx], luego
[texx](V_a\times V_b)\cap{(V_c\times V_d)}=(V_a\cap V_c)\times (V_b\cap V_d)\neq{\emptyset}[/texx] y se tiene lo pedido.

Para el caso de b y d iguales solo se hacen unas ciertas modificaciones.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 21/03/2010, 01:27:57 am
Ejercicio 17.12. Pruebe que un subespacio de un espacio de Hausdorff es de Hausdorff.
Solución:
Sea [texx]X[/texx] un espacio de Hausdorff, y [texx]Y\subseteq{X}[/texx] un subespacio, tomemos [texx]a,b\in{Y\subseteq{X}}[/texx], como [texx]X[/texx] es Hasudorff, existen entornos disjuntos [texx]U_a,U_b[/texx] de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] respectivamente, luego los entornos de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] respecto al subespacio [texx]Y[/texx], [texx]V_a=U_A\cap Y[/texx] y [texx]V_b=U_b\cap Y[/texx] también son disjuntos y por tanto [texx]Y[/texx] es Hausdorff.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 21/03/2010, 01:47:31 am
Ejercicio 17.13. Pruebe que si [texx]X[/texx] es de Hausdorff si, y sólo si, la diagonal [texx]\triangle=\{(x,x)|x\in{X}\}[/texx] es cerrada en [texx]X\times X[/texx].
Solución:
[texx]\boxed{\Rightarrow{}}[/texx]
Para probar que la diagonal [texx]\triangle=\{(x,x)|x\in{X}\}[/texx] es cerrada en [texx]X\times X[/texx], probaremos que su complemento es abierto. Sean entonces [texx]w=(p,q)\not\in{\triangle}[/texx], entonces [texx]p\neq{q}[/texx] y como [texx]X[/texx] es Hausdorff, existen entornos [texx]V_p[/texx] y [texx]V_q[/texx] de p y q respectivamente tales que [texx]V_p\cap V_q=\emptyset[/texx]. Sea [texx]U_w=V_p\times V_q[/texx], se tiene que [texx]U_w[/texx] es entorno de [texx]w[/texx] y [texx]U_w\cap{\triangle}=\emptyset\Rightarrow{U_w\subseteq{\triangle}^c}[/texx]. Por tanto [texx]\triangle ^c[/texx] es abierto, de donde [texx]\triangle [/texx] es cerrado.

[texx]\boxed{\Leftarrow{}}[/texx]
 Si la diagonal [texx]\triangle=\{(x,x)|x\in{X}\}[/texx] es cerrada en [texx]X\times X[/texx], entonces su complemento es abierto, luego tomando [texx](p,q)\in{\triangle ^c}[/texx], se tiene que [texx]p\neq{q}[/texx] y al ser abierto, existe un entorno de [texx](p,q)[/texx], sea este [texx]U_{(p,q)}[/texx], tal que [texx]U_{(p,q)}\subseteq{\triangle}^c[/texx], pero al ser este un entorno del espacio producto [texx]X\times X[/texx], es producto de dos entornos, es decir, existen [texx]V_p,V_q[/texx] entornos de [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] respectivamente tales que [texx]U_{(p,q)}=V_p\times V_q[/texx], luego
[texx]V_p\times V_q=U_{(p,q)}\subseteq{\triangle}^c\Rightarrow{(V_p\times V_q)}\cap{\triangle}=\emptyset\Rightarrow{V_p\cap V_q}=\emptyset[/texx] y por tanto [texx]X[/texx] es Hausdorff.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 01:47:24 pm
Hola enloalto.

Ante todo me disculpo enormemente por la larga ausencia.
Ya te contaré los motivos.


El ejercicio 17.1 está muy bien.
Sólo tengo dudas en la forma más correcta de escribir la prueba, por ejemplo en la parte (2):

Ejercicio 17.1. Sea [texx]\mathcal{C}[/texx] una colección de subconjuntos de [texx]X[/texx]. Supongamos que [texx]\emptyset[/texx] y [texx]X[/texx] están en [texx]\mathcal{C}[/texx], y que las uniones finitas y las intersecciones arbitrarias de elementos de [texx]\mathcal{C}[/texx] están en [texx]\mathcal{C}[/texx]. Pruebe que la colección

[texx]\tau=\{X-C|C\in{\mathcal{C}}\}[/texx]

es una topología sobre [texx]X[/texx].
Solución.

(...)



2) Sean [texx]\{U_i\}[/texx], tal que [texx]U_i\in{\tau}[/texx] para todo [texx]i[/texx], entonces [texx]\color{red}U_i=X-C_i,\quad C_i\in{\mathcal{C}}[/texx], para todo [texx]i[/texx]. Luego
[texx]\displaystyle\bigcup_{i} {U_i}=\displaystyle\bigcup_{i} {X-C_i}=X-\displaystyle\bigcap_{i} {C_i}[/texx]

Por hipótesis (...)
[size]

Fijate lo que marqué en rojo.
Aunque se entiende perfectamente, creo que la forma exacta de decirlo sería así:
"entonces, para todo [texx]i[/texx] existe [texx]C_i\in\mathcal C[/texx] tal que [texx]U_i=X-C_i[/texx]".

Todo depende de que tan exactos queramos ser, o bien del estilo a emplear.
Tal vez lo que he puesto se pueda incluso escribir de una forma más parecida a la tuya.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 02:26:41 pm
Ejercicio 17.2. Pruebe que si [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]Y[/texx] e [texx]Y[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx], entonces [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx].
Solución.
[texx]A[/texx] es cerrado en [texx]Y[/texx], entonces [texx]A=Y\cap F[/texx], donde [texx]F[/texx] cerrado en [texx]X[/texx] y como [texx]Y[/texx] también es cerrado en [texx]X[/texx], entonces A es intersección de dos cerrados en X, luego es cerrado en X

Claro...


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 02:35:11 pm
Ejercicio 17.3. Pruebe que si [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx] y [texx]B[/texx] es cerrado en [texx]Y[/texx], entonces [texx]A\times{B}[/texx] es cerrado en [texx]X\times{Y}[/texx].
Solución.
Como [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx], entonces [texx]X-A[/texx] es abierto.
Como [texx]B[/texx] es cerrado en [texx]Y[/texx], entonces [texx]Y-B[/texx], es abierto

Luego, [texx](X-A)\times{(Y-B)}[/texx] es abierto, pero
[texx](X-A)\times{(Y-B)}=(X\times{Y})-(A\times{B})[/texx], luego
[texx](X\times{Y})-(A\times{B})[/texx] es abierto, de donde [texx]A\times{B}[/texx] es cerrado.


Este ejercicio es sencillo, pero no hay que dejarse confundir por la sencillez.

Creo que es incorrecta la igualdad de conjuntos:
[texx]\color{red}(X-A)\times{(Y-B)}=(X\times{Y})-(A\times{B})[/texx]

Habría que hacer un dibujo, por ejemplo con intervalos de la recta real, y ver qué está sucediendo.
La igualdad correcta a emplear sería:
[texx](X\times{Y})-(A\times{B})=[(X-A)\times Y]\cup [X\times(Y-B)][/texx]

Luego, basta verificar que cada corchete es un conjunto abierto en [texx]X\times Y[/texx].

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 02:39:21 pm
Ejercicio 17.4. Pruebe que si [texx]U[/texx] es abierto en [texx]X[/texx] y [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx], entonces [texx]U-A[/texx] es abierto en [texx]X[/texx] y [texx]A-U[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx].
Solución.
Como [texx]U[/texx] es abierto en [texx]X[/texx], entonces [texx]X-U[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx].
Como [texx]A[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx], entonces [texx]X-A[/texx] es abierto en [texx]X[/texx].

Luego [texx]U-A=U\cap{X-A}[/texx] es abierto en [texx]X[/texx] y
[texx]A-U=A\cap{X-U}[/texx] es cerrado en [texx]X[/texx].

Bien.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 02:55:42 pm
Ejercicio 17.5. Sea [texx]X[/texx] un conjunto ordenado con la topología del orden. Muestre que [texx]\overline{(a,b)}\subseteq{[a,b]}[/texx]. ¿Bajo qué condiciones se cumple la igualdad?
Solución.
¿Es necesario saber si X tiene elemento máximo o mínimo? hummmm, profe deme una pista como empezar.

[texx]X[/texx] con la topología del orden tiene tres tipos de elementos básicos, a saber,
[texx](a,b)[/texx], [texx][a_0,b)[/texx] donde [texx]a_0[/texx] es el mínimo de X y [texx](a,b_0][/texx], donde  [texx]b_0[/texx] es el máximo de X, en caso los haya.

Por definición, [texx]\overline{(a,b)}=\bigcap\limits_{\substack{F\mbox{cerrado}\\(a,b)\subseteq{F}}} F[/texx].

Como [texx]X-[a,b]=[a_0,a)\cup (b,b_0][/texx], entonces [texx][a,b][/texx] es un cerrado, y claramente contiene a [texx](a,b)[/texx], entonces [texx]\overline{(a,b)}\subseteq{[a,b]}[/texx].

Por otra parte, también sabemos que
[texx]\overline{(a,b)}=(a,b)\cup (a,b)'[/texx], para tener la igualdad se tiene que cumplir que
[texx](a,b)'=\{a,b\}[/texx].

¿Es correcto?

Bueno, has analizado el caso en que el orden tiene máximo y mínimo.
En caso de que eso no sea así, como una semirrecta real, o la recta real misma, los racionales, y muchos otros ejemplos, también debiera funcionar tu prueba.
La diferencia estaría en que al considerar intervalos de la forma [texx](-\infty, a)[/texx], ya no sería un elemento de la base, sino que tendría que escribirse como unión de "muchos" intervalos abiertos.

Para unificar todos esos casos, se puede usar la notación [texx](-\infty, a)[/texx] en lugar de [texx][a_0,a)[/texx].
Fijate que en el caso de que haya un mínimo [texx]a_0[/texx] en el espacio, aún así se tendría algo como [texx](-\infty, a)=[a_0,a)[/texx], y entonces todo marcha.

Es peculiar esto de que un intervalo con notación "de infinito" sea en realidad "finito", pero así está usado en el texto, y si uno lo interpreta correctamente, no hay problemas.

Ahora bien. No voy a obligarte a que escribas esa parte de nuevo.

Tu conclusión final es que los puntos frontera deben ser "los" puntos límite del intervalo (a, b).
Esto no funcionaría, porque por ejemplo, en un intervalo (a, b) de la recta real, también los puntos interiores son puntos límite del intervalo. O sea, (a, b)' = [a, b] en ese caso.

La condición a pedir es, pues, que {a, b} sea subconjunto de (a, b)'.
Ahora bien, no sé si el ejercicio pretende ir más allá de esto, y tratar de analizar qué significa esa condición topológica en un conjunto ordenado.
Si lo analizamos un poco más, vemos que si por ejemplo, b no fuese un punto límite del intervalo (a, b), entonces estaría aislado, intuitivamente hablando.
¿Significa esto que es el siguiente de algún otro punto del intervalo (a, b)?
En ese caso el intervalo abierto (a, b) tendría, en realidad, un máximo.

Fijate este ejemplo: consideremos el conjunto ordenado [texx]X = (0, 1] \cup [2, 3)[/texx].
El intervalo [texx](a, b) = (0, 2)[/texx] en este conjunto X coincide con (0, 1]. ¿No es cierto?
En este caso, el punto b = 2 es el siguiente del punto x = 1.

Yo pienso que esta situación se cumple en general, en todo conjunto ordenado.
¿Te animas a demostrarlo?
O sea, habría que probar que si b, por ejemplo, no pertenece al conjunto de puntos límites del intervalo (a, b), entonces es el siguiente de un punto c, tal que, o bien c está en (a, b), y además es máximo en (a, b), o bien c = a, si (a, b) fuese un conjunto vacío.

Saludos


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 09/04/2010, 07:34:16 pm
Hola enloalto.

Ante todo me disculpo enormemente por la larga ausencia.
Ya te contaré los motivos.


El ejercicio 17.1 está muy bien.
Sólo tengo dudas en la forma más correcta de escribir la prueba, por ejemplo en la parte (2):

Ejercicio 17.1. Sea [texx]\mathcal{C}[/texx] una colección de subconjuntos de [texx]X[/texx]. Supongamos que [texx]\emptyset[/texx] y [texx]X[/texx] están en [texx]\mathcal{C}[/texx], y que las uniones finitas y las intersecciones arbitrarias de elementos de [texx]\mathcal{C}[/texx] están en [texx]\mathcal{C}[/texx]. Pruebe que la colección

[texx]\tau=\{X-C|C\in{\mathcal{C}}\}[/texx]

es una topología sobre [texx]X[/texx].
Solución.

(...)



2) Sean [texx]\{U_i\}[/texx], tal que [texx]U_i\in{\tau}[/texx] para todo [texx]i[/texx], entonces [texx]\color{red}U_i=X-C_i,\quad C_i\in{\mathcal{C}}[/texx], para todo [texx]i[/texx]. Luego
[texx]\displaystyle\bigcup_{i} {U_i}=\displaystyle\bigcup_{i} {X-C_i}=X-\displaystyle\bigcap_{i} {C_i}[/texx]

Por hipótesis (...)
[size]

Fijate lo que marqué en rojo.
Aunque se entiende perfectamente, creo que la forma exacta de decirlo sería así:
"entonces, para todo [texx]i[/texx] existe [texx]C_i\in\mathcal C[/texx] tal que [texx]U_i=X-C_i[/texx]".

Todo depende de que tan exactos queramos ser, o bien del estilo a emplear.
Tal vez lo que he puesto se pueda incluso escribir de una forma más parecida a la tuya.

Saludos

Holaaaaaaaaaaaaa, bueno tienes mucha razón, así se comprende mejor.


Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
Publicado por: enloalto en 09/04/2010, 07:37:44 pm
    Creo que es incorrecta la igualdad de conjuntos:
    [texx]\color{red}(X-A)\times{(Y-B)}=(X\times{Y})-(A\times{B})[/texx]

    Aca utilicé la igualdad q del ejercicio 1 del capítulo 1, para ser exactos.

    • (q) [texx](A\times B)-(C\times D)=(A-C)\times (B-D)[/texx]


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 08:07:51 pm
    Bueno, pero ese ejercicio dice: "Determine cuál de las igualdades siguiente es cierta".
    Esa pareciera que no es cierta.

    Y bastaría visualizarlo dibujando intervalos en la recta real, y tomar su producto cartesiano.
    Fijate con ese ejemplito, y te vas a convencer.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 08:11:31 pm
    Aprovecho a citarme a mí mismo:


    ¡Con ejercicios de productos cartesianos siempre hay que dibujar!



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 08:42:05 pm
    17.6 Denotemos por [texx]A,B[/texx] y[texx]A_\alpha[/texx] a subconjuntos del espacio [texx]X[/texx]. Pruebe lo siguiente:
    (a) Si [texx]A\subseteq{B}[/texx], entonces [texx]\overline{A}\subseteq{\overline{B}}[/texx].
    (b) [texx]\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup \overline{B}[/texx].
    (c) [texx]\bigcup \overline{A}_\alpha\subset{\overline{\bigcup A_\alpha}}[/texx]; dé un ejemplo donde no se cumpla la igualdad.

    Solución:
    (a) Por definición [texx]\overline{A}=\bigcap\limits_{\substack{F\mbox{ cerrado}\\A\subset{F}}} F[/texx] y [texx]\overline{B}=\bigcap\limits_{\substack{G\mbox{ cerrado}\\B\subset{G}}} G[/texx]

    Como [texx]A\subseteq{B}\subseteq{\overline{B}}[/texx] y [texx]\overline{B}[/texx] es cerrado, entonces, [texx]\overline{B}[/texx] es un cerrado que contiene a [texx]A[/texx], y por definición se tiene [texx]\overline{A}\subseteq{\overline{B}}[/texx]..

    Otra forma:

    (*)Si tomemos [texx]x\in{\overline{A}}[/texx], entonces [texx]x\in{F}[/texx], para todo [texx]F[/texx] cerrado con [texx]A\subseteq{F}[/texx].

    Tomemos un [texx]G[/texx] cerrado arbitrario con [texx]B\subseteq{G}[/texx]. Como [texx]A\subseteq{B}[/texx], entonces [texx]A\subseteq{G}[/texx], con G cerrado, luego por (*) [texx]x\in{G}[/texx]. Por tanto, [texx]x\in{G}[/texx], para todo [texx]G[/texx] cerrado con [texx]B\subseteq{G}[/texx], es decir [texx]x\in{\overline{B}}[/texx]. En consecuencia [texx]\overline{A}\subseteq{\overline{B}}[/texx].

    (b)


    [texx]\overline{A}\cup \overline{B}=\bigcap\limits_{\substack{F\mbox{ cerrado}\\A\subset{F}}} F\cup{\bigcap\limits_{\substack{G\mbox{ cerrado}\\B\subset{G}}} G}=\bigcap\limits_{\substack{G\mbox{ cerrado, }F\mbox{ cerrado}\\A\subset{G},B\subset{H}}} F\cup {G}[/texx] ........(*)
    Como [texx]F, G[/texx] son cerrados, entonces [texx]H=F\cup G[/texx] también es cerrado, y también [texx]A\cup{B}\subseteq{F\cup{G}}=H[/texx], por tanto en (*)

    [texx]\overline{A}\cup \overline{B}=\bigcap\limits_{\substack{H\mbox{ cerrado}\\A\cup {B}\subset{H}}} H=\overline{A\cup B}[/texx]


    La parte (a) me encantó por lo sintética de la prueba.
    Está muy bien.

    En cuanto a la parte (b), no entiendo bien lo que has querido poner, creo que hay errores en algunas letras en los índices al tomar intersecciones...
    Tampoco me queda claro por qué ha de dar una igualdad...

    Lo que has probado ahí parecer ser es que [texx]\bar A\cup \bar B[/texx] es un conjunto cerrado que contiene a [texx]A\cup B[/texx], pero no necesariamente todos los "H"s tendrían que venir de la forma en que los has descripto...
    Tengo mis dudas.

    Es claro que [texx]A'\subset (A\cup B)'\subset \overline{A\cup B}[/texx].
    Lo mismo con B'.
    También [texx]A\subset A\cup B\subset \overline{A\cup B}[/texx], y lo mismo con B.

    Ahora escribimos:
    [texx]\bar A\cup \bar B=(A\cup A')\cup(B\cup B')\subset \overline{A\cup B}[/texx].

    En general, para una familia [texx]A_\alpha[/texx] sería lo mismo:
    [texx]A_\alpha\subset \bigcup_\alpha A_\alpha\subset \overline{\bigcup_\alpha}A_\alpha[/texx]
    [texx]A_\alpha'\subset \big(\bigcup_\alpha A_\alpha\big)'\subset \overline{\bigcup_\alpha}A_\alpha[/texx]

    Y por lo tanto [texx]\bigcup \bar A_\alpha\subset\overline{\bigcup_\alpha A_\alpha}[/texx].

    (Eso es ya la parte (c))

    Siguiendo con el inciso (b), falta la inclusión recíproca [texx]\overline{A\cup B}\subset \bar A\cup \bar B[/texx].

    Veamos. Usando razonamientos parecidos a los que usaste en la parte (a), es muy fácil, porque [texx]\bar A\cup \bar B[/texx] es un conjunto cerrado que contiene ciertamente a [texx]A[/texx] y a [texx]B[/texx], y por lo tanto contiene a [texx]A\cup B[/texx].
    Pero [texx]\overline{A\cup B}[/texx] está necesariamente contenido en todos los cerrados que contienen a [texx]A\cup B[/texx], y así [texx]\overline{A\cup B}\subset \bar A\cup\bar B[/texx].

    ¿No?



    Cita
    (c)

    Como [texx]\overline{A_\alpha}[/texx] es cerrado, y sabemos que la unión arbitraria de cerrados no necesariamente es cerrado, se tiene que
    [texx]\bigcup \overline{A}_\alpha\subset{\overline{\bigcup A_\alpha}}[/texx]

    Respecto al ejemplo, sea [texx]A_n=\left({a+\cfrac{1}{n},b-\cfrac{1}{n}}\right)[/texx], luego [texx]\overline{A_n}=\left[{a+\cfrac{1}{n},b-\cfrac{1}{n}}\right][/texx].

    Por otra parte, se tiene que [texx](a,b)=\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbb{N}}}{\left[{a+\cfrac{1}{n},b-\cfrac{1}{n}}\right]}=\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbb{N}}}{\overline{A_n}}[/texx], es decir [texx]\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbb{N}}}{\overline{A_n}}[/texx] es un conjunto abierto, y no se cumple la igualdad pues [texx]\overline{\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbb{N}}}A_n}[/texx] es cerrado.

    Bueno, el ejemplo está bien... pero encierra una sutileza muy importante en topología, y que se te ha pasado por alto:

    Abierto no es lo opuesto de cerrado.

    Demostraste que una unión de cerrados da un conjunto abierto... ¿quiere decir eso que el intervalo (a, b) no es un conjunto cerrado?

    Eso depende de cada espacio topológico.
    Puede haber conjuntos abiertos y cerrados a la vez.
    Así que hay que probar que el conjunto obtenido es no-cerrado.
    Y para eso hay que probar por ejemplo que no contiene al menos a uno de sus puntos límite.

    Por ejemplo, el punto b es un punto límite, porque todo entorno abierto de él tiene intersección con (a, b).
    Y eso prueba que (a, b) no es cerrado.



    Para que la cosa no quede en lo teórico, te pongo un ejemplo.

    Supongamos el espacio topológico [texx]X = [0, 1] \cup (2, 3) \cup [4, 5)[/texx],
    con la topología de subespacio heredada de la recta real.

    El intervalo [texx](2, 3)[/texx] es abierto y cerrado a la vez. ¿O no?
    Fijate que contiene a todos sus puntos interiores, por lo tanto es abierto, y contiene a todos sus puntos límite, por lo tanto es cerrado.
    O si prefieres, puedes verlo así: es intersección de un abierto de R con X: [texx](2, 3) = (\sqrt 2, \pi)\cap X[/texx], y también es intersección de un cerrado de R con X: [texx](2, 3) = [\sqrt 2, \pi]\cap X[/texx].

    Luego es abierto y cerrado relativo a la topología de X, heredada de R.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 08:51:46 pm
    17.7 Discuta la siguiente "prueba" de que [texx]\overline{\bigcup A_\alpha}\subset{\bigcup \overline{A_\alpha}}[/texx]: si [texx]\{A_\alpha\}[/texx] es una colección de conjuntos de [texx]X[/texx] y si [texx]x\in{\overline{\bigcup A_\alpha}}[/texx], entonces cada entorno [texx]U[/texx] de [texx]x[/texx] interseca a [texx]\bigcup A_\alpha[/texx]. Así, [texx]U[/texx] debe intersecar a algún [texx]A_\alpha[/texx], por lo que [texx]x[/texx] debe pertenecer a la clausura de algún [texx]A_\alpha[/texx]. Por consiguiente, [texx]x\in{\bigcup \bar A_\alpha}[/texx].
    Solución

    Estoy utilizando la famila de conjuntos del ejercicio 17.6.c para ver si hay una falla, pero todavía no la encuentro

    Bueno, si bien se prueba que cada entorno U de x intersecta a algún [texx]A_\alpha[/texx], lo que se debería probar, para que la demostración sea correcta,
    es que dado un x, existe un [texx]\alpha[/texx] tal que todo entorno U de x intersecta a [texx]A_\alpha[/texx].

    Eso es mucho más fuerte que lo que se ha probado, ya que en todo caso se tiene que
    dado un x, existe un [texx]\alpha[/texx] tal que existe algún entorno U de x intersecta a [texx]A_\alpha[/texx].


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 08:57:25 pm
    Ejercicio 17.8. Denotemos por [texx]A[/texx], [texx]B[/texx] y [texx]A_\alpha[/texx] a subconjuntos del espacio [texx]X[/texx]. Determine si las siguientes ecuaciones se cumplen; si una igualdad es falsa, determine si una de las inclusiones [texx]\supset{}[/texx] o [texx]\subset{}[/texx] se cumple.

    (1) [texx]\overline{A\cap B}=\overline{A}\cap \overline{B}[/texx].

    (2) [texx]\overline{\displaystyle\bigcap A_\alpha}=\displaystyle\bigcap \overline{A_\alpha}[/texx].

    (3) [texx]\overline{A-B}=\overline{A}-\overline{B}[/texx].
    Solución:

    (1) Falso. Tomemos dos contraejemplos.
    • Sea [texx]A=(0,1/2)[/texx], [texx]B=(1/2,1)[/texx], luego
      [texx]\overline{A\cap B}=\emptyset[/texx], pero [texx]\overline{A}\cap \overline{B}=\{1/2\}[/texx]
    • Sea [texx]A=\mathbb{Q}[/texx] y [texx]B=\mathbb{Q}^c=\mathbb{I}[/texx], luego [texx]A\cap{B}=\emptyset\Rightarrow{\overline{A\cap{B}}}=\emptyset[/texx] y [texx]\overline{A}=\mathbb{R}[/texx] y [texx]\overline{B}=\overline{\mathbb{I}}=\mathbb{R}[/texx]. Luego,
      [texx]\overline{A}\cap{\overline{B}}=\mathbb{R}\neq{\emptyset}[/texx].

    Lo que sí se cumple es
    [texx]\overline{A\cap{B}}\subseteq{\overline{A}\cap{\overline{B}}}[/texx]. En efecto, puesto que [texx]A\cap{B}\subseteq{A}\Rightarrow{\overline{A\cap{B}}\subseteq{\overline{A}}}[/texx], de igual manera [texx]\overline{A\cap B}\subseteq{\overline{B}}[/texx]. Por tanto, [texx]\overline{A\cap{B}}\subseteq{\overline{A}\cap{\overline{B}}}[/texx]

    (2) Falso De (1) vemos que sólo se cumple [texx]\overline{\displaystyle\bigcap {A_\alpha}}\subseteq{\displaystyle\bigcap{\overline{A_\alpha}}}[/texx].

    (3) (1) Falso. Tomando como en (1) [texx]A=(0,1/2)[/texx], [texx]B=(1/2,1)[/texx], luego
    [texx]\overline{A- B}=[0,1/2][/texx], pero [texx]\overline{A} - \overline{B}=[0,1/2)[/texx].
    y lo que se cumple es
    [texx]\overline{A} - \overline{B}\subseteq\overline{A- B}[/texx].
    La demostración la encontré en este post:


    http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,5004.0.html



    Muy lindo todo el ejercicio.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 09:18:01 pm
    Ejercicio 17.9. Sean [texx]A\subset{X}[/texx] y [texx]B\subset{Y}[/texx]. Pruebe que en el espacio [texx]X\times{Y}[/texx],
    [texx]\overline{A\times B}=\overline{A}\times \overline{B}[/texx].
    Solución:
    [texx]\boxed{\overline{A\times B}\subseteq \overline{A}\times \overline{B}}[/texx]
    Sea [texx]p=(p_A,p_B)\in{\overline{A\times B}}[/texx], luego, todo entorno de p, intersecta a  [texx]A\times B[/texx], es decir, si [texx]V_p[/texx] es entorno de [texx]p[/texx], se tiene [texx]V_p\cap{(A\times{B})}\neq{\emptyset}[/texx]. Pero  [texx]V_p=U_{p_A}\times U_{p_B}[/texx], donde [texx]U_{p_A},U_{p_B}[/texx] son entornos de [texx]p_A[/texx] y [texx]p_B[/texx] respectivamente. Entonces
    [texx]V_p\cap{(A\times{B})}\neq{\emptyset}\Rightarrow{(U_{p_A}\times U_{p_B})\cap{(A\times{B})}}=(U_{p_A}\cap A)\times (U_{p_B}\cap B)\neq{\emptyset}[/texx]
    Y esto a su vez significa
    [texx]U_{p_A}\cap A\neq{\emptyset}[/texx] y [texx]U_{p_B}\cap B\neq{\emptyset}[/texx], de donde se tiene [texx]p_A\in{\overline{A}}[/texx] y [texx]p_B\in{\overline{B}}[/texx] y por tanto [texx]p\in{\overline{A}\times{\overline{B}}}[/texx].

    [texx]\boxed{\overline{A}\times{\overline{B}}}\subseteq{\overline{A\times B}}[/texx]
    Es repetir lo anterior pero en orden inverso.

    Esta prueba tiene muchas trampas.
    Una de las cosas que observo es que estás pensando que si [texx]V_p[/texx] es un entorno de [texx]p=(p_A,p_B)[/texx] entonces [texx]V_p=U_A\times U_B[/texx], donde [texx]U_A[/texx] y [texx]U_B[/texx] son entornos de [texx]p_A,p_B[/texx] respectivamente.

    Eso en general es falso, porque no todo entorno en el espacio producto es producto de entornos de los espacios coordenados.

    Sin embargo, sí que es cierto que todo entorno básico del espacio producto es producto de entornos abiertos de los espacios coordenados.
    Así que corrigiendo eso, tu prueba marcharía por mejor camino.

    Sin embargo aún detecto errores.
    Estás razonando así: tomo un entorno cualquiera de p en el espacio producto, y veo que su intersección con el conjunto [texx]A\times B[/texx] es no vacía. De ahí deduzco que su primer coordenada es punto límite de A...

    Pero eso no es del todo exacto. ¿Has probado que todo entorno de [texx]p_A[/texx] tiene intersección no vacía con A?

    Creo que la prueba andaría mejor por este otro lado, siguiendo ideas tuyas en ejercicios previos:

    * [texx]A\times B\subset \bar A\times \bar B[/texx].
    * El conjunto [texx]\bar A\times \bar B[/texx] es cerrado por ser producto de cerrados (fijate si esto está demostrado en alguna parte, ya sea teoría o práctica).
    * Luego, como [texx]\overline{A\times B}[/texx] es el mínimo cerrado que contiene al producto de A, B, resulta que:

    [texx]\overline{A\times B}\subset \bar A\times \bar B[/texx]

    Para ver la recíproca, observemos que si [texx]p=(x,y)\in \bar A\times\bar B[/texx], entonces [texx]x\in \bar A,y\in\bar B[/texx].
    Ahora, sea W = U x V un entorno abierto de la base de la topología producto, que contiene al punto p = (x, y).
    En tal caso U, V son entornos abiertos de cada uno de los puntos x, y, respectivamente,
    y sus respectivas intersecciones con A, B, son no vacías, por el modo en que elegimos a los puntos x, y.
    Entonces W = U x V tiene intersección no vacía con A x B. ¿Por qué?  ;)

    Pero entonces (x, y) pertenece a [texx]\overline{A\times B}[/texx].

    ¿De acuerdo? Me creo que lo hice bien, pero puedo haber fallado en algo.

    No obstante, la clave del ejercicio es usar la caracterización de la topología producto en términos de bases.
    Más aún, con topología producto casi siempre es conveniente trabajar con la base.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 09:21:14 pm
    Ejercicio 17.10. Pruebe que cada topología del orden es Hausdorff.
    Solución:
    ¿A qué topologías se refiere?

    Se refiere a un conjunto X cualquiera, en el que se ha definido un orden total (lineal), tal como hemos venido trabajando hasta ahora.
    En cualquiera de esas topologías, vale la propiedad de Hausdorff.

    Podrías intentar hacer la demostración para R, aunque usando sólo propiedades de orden, y después quizá sea muy fácil adaptarla para un orden general.

    También conviene trabajar con la base de la topología, que son intervalos abiertos, y no con todos los elementos abiertos de la misma, que es un lío.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 09:22:32 pm
    Ejercicio 17.11. Pruebe que el producto de dos espacios de Hausdorff es de Hausdorff.
    Solución:
    Sean [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] dos espacios de Hausdorff, tomemos [texx](a,b),(c,d)\in{X\times{Y}}[/texx] diferentes, podemos tomar [texx]a\neq{c}[/texx] y con b y c no interesa, tomémoslos también diferentes, Luego tenemos que [texx]a,c\in{X}[/texx] y [texx]b,d\in{Y}[/texx], al ser [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] dos espacios de Hausdorff, existen entornos [texx]V_a,V_b,V_c,V_d[/texx] tales que
    [texx]V_a\cap{V_c}\neq{\emptyset}[/texx] y [texx]V_b\cap{V_d}\neq{\emptyset}[/texx], luego
    [texx](V_a\times V_b)\cap{(V_c\times V_d)}=(V_a\cap V_c)\times (V_b\cap V_d)\neq{\emptyset}[/texx] y se tiene lo pedido.

    Para el caso de b y d iguales solo se hacen unas ciertas modificaciones.

    Me parece que la prueba está correcta.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 09:23:34 pm
    Ejercicio 17.12. Pruebe que un subespacio de un espacio de Hausdorff es de Hausdorff.
    Solución:
    Sea [texx]X[/texx] un espacio de Hausdorff, y [texx]Y\subseteq{X}[/texx] un subespacio, tomemos [texx]a,b\in{Y\subseteq{X}}[/texx], como [texx]X[/texx] es Hasudorff, existen entornos disjuntos [texx]U_a,U_b[/texx] de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] respectivamente, luego los entornos de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] respecto al subespacio [texx]Y[/texx], [texx]V_a=U_A\cap Y[/texx] y [texx]V_b=U_b\cap Y[/texx] también son disjuntos y por tanto [texx]Y[/texx] es Hausdorff.

    Me parece que esto está bien.

     :laugh:


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 09/04/2010, 09:31:07 pm
    Ejercicio 17.13. Pruebe que si [texx]X[/texx] es de Hausdorff si, y sólo si, la diagonal [texx]\triangle=\{(x,x)|x\in{X}\}[/texx] es cerrada en [texx]X\times X[/texx].
    Solución:
    [texx]\boxed{\Rightarrow{}}[/texx]
    Para probar que la diagonal [texx]\triangle=\{(x,x)|x\in{X}\}[/texx] es cerrada en [texx]X\times X[/texx], probaremos que su complemento es abierto. Sean entonces [texx]w=(p,q)\not\in{\triangle}[/texx], entonces [texx]p\neq{q}[/texx] y como [texx]X[/texx] es Hausdorff, existen entornos [texx]V_p[/texx] y [texx]V_q[/texx] de p y q respectivamente tales que [texx]V_p\cap V_q=\emptyset[/texx]. Sea [texx]U_w=V_p\times V_q[/texx], se tiene que [texx]U_w[/texx] es entorno de [texx]w[/texx] y [texx]U_w\cap{\triangle}=\emptyset\Rightarrow{U_w\subseteq{\triangle}^c}[/texx]. Por tanto [texx]\triangle ^c[/texx] es abierto, de donde [texx]\triangle [/texx] es cerrado.


    Esta parte está perfecta.

    Cita
    [texx]\boxed{\Leftarrow{}}[/texx]
     Si la diagonal [texx]\triangle=\{(x,x)|x\in{X}\}[/texx] es cerrada en [texx]X\times X[/texx], entonces su complemento es abierto, luego tomando [texx](p,q)\in{\triangle ^c}[/texx], se tiene que [texx]p\neq{q}[/texx] y al ser abierto, existe un entorno de [texx](p,q)[/texx], sea este [texx]U_{(p,q)}[/texx], tal que [texx]U_{(p,q)}\subseteq{\triangle}^c[/texx], pero al ser este un entorno del espacio producto [texx]X\times X[/texx], es producto de dos entornos, es decir, existen [texx]V_p,V_q[/texx] entornos de [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] respectivamente tales que [texx]U_{(p,q)}=V_p\times V_q[/texx], luego
    [texx]V_p\times V_q=U_{(p,q)}\subseteq{\triangle}^c\Rightarrow{(V_p\times V_q)}\cap{\triangle}=\emptyset\Rightarrow{V_p\cap V_q}=\emptyset[/texx] y por tanto [texx]X[/texx] es Hausdorff.

    Acá estás cometiendo otra vez el error de pensar que todo entorno del producto es producto de entornos abiertos...
    Eso no es así, sin embargo la idea es válida, porque todo entorno básico del producto es producto de entornos abiertos.
    Corrigiendo eso, las cosas marchan mejor.
    Creo que con ese cambio tu prueba estaría perfecta.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: enloalto en 09/04/2010, 09:47:56 pm
    Bueno, pero ese ejercicio dice: "Determine cuál de las igualdades siguiente es cierta".
    Esa pareciera que no es cierta.

    Y bastaría visualizarlo dibujando intervalos en la recta real, y tomar su producto cartesiano.
    Fijate con ese ejemplito, y te vas a convencer.

    PLOP, tienes razón, ahora con tus comentarios voy a revisar los ejercicios, a seguir estudiando.........


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: robinharra en 02/05/2010, 07:56:05 pm
    Hola argentinator
    Estoy repasando conjuntos, logica y funciones, creo que tienes un error de tecleo en la defición de Imágenes y preimágenes de conjuntos por una función, te falta el [texx]_0[/texx].

    Además en la última propiedad es [texx]A_0[/texx] ó [texx]B_0[/texx]

    También falta algo en Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas.
    Tienes algo así [texx]f^{-1}(f(a))=a, f(f^{-1}(b))[/texx]


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 02/05/2010, 08:43:23 pm
    Hola robinbarra.

    Gracias por las observaciones tan minuciosas.

    Esos errores tontos pueden ser todo un problema para muchos lectores, que pueden pensar que todo lo que estan leyendo no tiene error alguno.

    Ya hice las correcciones.
    En cuanto a la frase incompleta, lo que deseaba escribir era lo siguiente.

    Cita
    Se cumple que [texx]f^{-1}(f(a))=a, \qquad f(f^{-1}(b))=b[/texx].

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: robinharra en 04/05/2010, 04:53:16 pm
    Hola
    Tengo una duda con respecto al lema 3.1,
    Cuando hablas de dos clases de equivalencia [texx]E,E'[/texx] te refieres a que para algún [texx]x[/texx] y algún [texx]y[/texx] en [texx] A[/texx] se cumple que [texx]E=E_x[/texx] y [texx]E'=E_y[/texx].

    Spoiler (click para mostrar u ocultar)

    Hasta pronto y gracias.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 05/05/2010, 10:03:20 am
    Hola
    Tengo una duda con respecto al lema 3.1,
    Cuando hablas de dos clases de equivalencia [texx]E,E'[/texx] te refieres a que para algún [texx]x[/texx] y algún [texx]y[/texx] en [texx] A[/texx] se cumple que [texx]E=E_x[/texx] y [texx]E'=E_y[/texx].


    Claro, eso es lo que quiero decir.
    Cita
    La demostración serìa como suponer que no son disjuntas, luego existe un elemento [texx]w\in{E'\cap{E}}[/texx]
    por tanto [texx]w\sim{x}[/texx] y [texx]w\sim{y}[/texx]. Luego por ser una relacion de equivalencia se cumple que (falta aplicar la propiedad dos a una de las relaciones) [texx]x\sim{y}[/texx] y [texx]y\sim{x}[/texx]. De lo anterior [texx]x\in{E'}[/texx] y [texx]y\in{E}[/texx]

    ¿Es correcta mi apreciación?

    Lo que has dicho es correcto, pero hay que mantener el foco de lo que se desea demostrar.
    Se desea probar que E = E'.

    Para ello, se prueba que E es subconjunto de E', y luego se prueba la recíproca, pero como la mecánica es la misma se puede obviar esto último.
    Así que probemos que [texx]E\subset E'[/texx].
    Con tu notación esto es probar [texx]E_x\subset E_y[/texx].
    Sea pues [texx]z\in E_x[/texx].
    Se tiene [texx]z\sim{x}\sim{w}\sim{y}[/texx].
    Por transitividad aplicada 2 veces resulta que [texx]z\in E_y[/texx].

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: cambio en 19/05/2010, 06:01:17 pm
    Hola.

    Amigo argentinator me puedes explicar mejor esta respuesta que enunciaste:

    ¿Está definida la intersección de los elementos de ?
    Respuesta: no.

    Este tipo de cosas tienen que ver con las sutilezas de la teoría de conjuntos.
    Digamos, sin entrar en detalles, que la intersección de la familia vacía da como resultado la clase universal, que no es un conjunto. En ciertas teorías de conjuntos, como la de Zermelo-Fraenkel, no hay clases que no sean conjuntos, y así la intersección quedaría indefinida.

    Gracias.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: cambio en 19/05/2010, 06:53:41 pm
    Hola.

    Argentinator como has estado, apenas he empezado a repazar y me surgio una pregunta la cual escribi al final de tus notas pues no habia visto que cuando se termina cierto tema uno puede poner sus comentarios o preguntas.

    Hasta pronto.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 19/05/2010, 11:36:55 pm
    Las preguntas o comentarios se ponen en esta sección, y no en la parte de Dictado, donde se supone que sólo el responsable del curso postea cosas.
    n realidad esa regla es solo para mantener un poco de orden, y que la teoria este visible y con claridad, que si no, se mezclan los comentarios con la teoria y se vuelve un caos.

    Pero no hay problema, voy a mover tu pregunta a esta seccion de Comentarios y aqui te respondo.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 20/05/2010, 12:03:14 am
    Hola.

    Amigo argentinator me puedes explicar mejor esta respuesta que enunciaste:

    ¿Está definida la intersección de los elementos de ?
    Respuesta: no.

    Este tipo de cosas tienen que ver con las sutilezas de la teoría de conjuntos.
    Digamos, sin entrar en detalles, que la intersección de la familia vacía da como resultado la clase universal, que no es un conjunto. En ciertas teorías de conjuntos, como la de Zermelo-Fraenkel, no hay clases que no sean conjuntos, y así la intersección quedaría indefinida.

    Gracias.

    No estoy seguro de a qué te refieres, porque no has copiado completamente el enunciado que supuestamente hice.
    Para copiar algo, te puedes ayudar mejor del botón que dice "Citar", porque si no, las expresiones matemáticas no se copian bien.

    Me imagino que se refiere a que la intersección de una familia vacía de conjuntos no está definida.

    Como estamos en un curso de Topología y no de Teoría de Conjuntos, he preferido dejar las cosas así, sin muchas más explicaciones.
    En las teorías de conjuntos que admiten clases que no son conjuntos, como bien has dicho, la intersección de la familia vacía es la clase Universal, que dicho sea de paso, es una clase que no es un conjunto.

    Pero también podemos adoptar, si queremos, un punto de vista más "aritmético", y pensar en la unión y en la intersección de conjuntos como operaciones "aritméticas" (en algún sentido caprichoso de "aritmética") entre conjuntos.
    Con esa interpretación, la intersección aplicada a la "familia vacía" sería algo así como la operación de "dividir por 0".
    Simplemente decimos que la operación en ese caso no está definida.

    O sea, [texx]\bigcap \emptyset[/texx] no está definida...

    Ahora seamos un poco más precisos en la idea que quizá tenía cuando escribí lo que escribí, pero no expliqué vaya a saber Dios por qué.

    Cuando trabajamos con una estructura matemática, ya sea espacios topológicos, o espacios vectoriales, o un espacio métrico, o álgebras de uno u otro tipo... lo cierto es que nos restringimos por nuestra propia voluntad a trabajar dentro de un conjunto concreto [texx]X[/texx], al cual llamamos "el espacio".

    Cuando nos restringimos a un espacio, las operaciones de conjuntos se refieren siempre a subconjuntos de ese espacio, y entonces [texx]\big(Partes(X),\cup{,\cap{,-}}\big)[/texx] constituye un álgebra de Boole, siendo [texx]X[/texx] el "1", y [texx]\emptyset[/texx] el "0" de dicha álgebra.

    Ahora que estamos viendo a [texx]Partes(X)[/texx] como un álgebra con ciertas operaciones (unión, intersección y diferencia), no nos sirve definir [texx]\bigcap \emptyset[/texx] como el "Universal", porque el "Universal" no es un elemento de [texx]Partes(X)[/texx].
    En cambio, cualquier otra unión o intersección aribitraria de una familia de elementos de [texx]Partes(X)[/texx] sí que sigue siendo un elemento de [texx]Partes(X)[/texx], o sea, es un elemento que pertenece al álgebra.

    Así que uno puede pensar que es conveniente decir que, algebraicamente, [texx]\bigcap \emptyset[/texx] no está definido.

    Si lo estuviera, tendría que ser quizá el "conjunto más grande posible", o sea, el mismo [texx]X[/texx].
    Pero esto es incómodo, porque tendríamos que tener siempre en cuenta una versión diferente de intersección para cada espacio X distinto...
    (Esto no es tan alocado como parece, por ejemplo, la operación de tomar "complemento" es siempre relativa a un espacio concreto X que se fija en el contexto, así que uno podría definir un operador de intersección "restringido" a X, y así la intersección de la familia vacïa me daría el mismo X).

    Claro que estas cuestiones son sutilezas que dependen de cómo esté uno dispuesto a trabajar, qué salvedades hacer, etc.

    A mí me parece mucho más simple dejar todas estas posibilidades algebraicas y sus vicisitudes de lado, no complicarnos la vida, y simplemente decir que, por el bien de nuestra salud convengamos en que la intersección de una familia vacía de conjuntos... no está definida, o sea, es una operación prohibida para una familia de conjuntos, y punto. No se hace, se evita, al igual que evitamos dividir por 0.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: gmares en 20/05/2010, 12:15:59 pm
    Hola amigos, es mi primer comentario respecto al curso. Hace pocos días que tome conocimiento del foro  así que seguramente estoy llegando bastante tarde a los contenidos, pido disculpas y agradezco el hecho de mi admisión, pese a ello tengo un gran interés por los temas aquí tratados así que pondré empeño en avanzar en la medida que el tiempo me lo permita.
    Quiero adelantar que soy una de esas personas que tratan de entender más que de aprender, por ello me gusta cerrar los temas con la máxima comprensión posible. En función de lo dicho, me tomo el atrevimiento de plantear una pregunta que tiene que ver con temas ya tratados, espero no generar molestias.

    Estoy leyendo: "Resumen de hechos fundamentales de Teoría de conjuntos" y me topé aquí con una duda que ya me había surgido leyendo el libro: "Teoría de Conjuntos y temas afines" de "Seymour Lipschuts". Allí se menciona algo parecido a lo que observo en este curso (transcribo): "El vacío es subconjunto de cualquier
    otro conjunto. Esto puede demostrarse mediante cuidadosas implicaciones lógicas, o bien tomarlo como axioma, para evitar demasiadas discusiones filosóficas."

    En el libro que cite se plantean además los siguientes detalles:
    a) {0} es un conjunto que contiene el elemento cero, no es [texx]\emptyset[/texx];
    b) [texx]\emptyset[/texx], es un conjunto que no tiene elementos "conjunto vacío";
    c) el conjunto {[texx]\emptyset[/texx]} es un conjunto que tiene un elemento, el conjunto vacío [texx]\emptyset[/texx].

    1) Qué diferencia hay entre los conjuntos?
    1-1- Desde mi modesto punto de vista es inevitable relacionar el cero del conjunto de números, (tratando este conjunto en particular pues puede haber conjuntos de otra naturaleza) con el conjunto vacío así que pregunto:
    En el marco particular del conjunto de números, que diferencia tiene {0} con [texx]\emptyset[/texx]? Digo esto porque el cero es neutro, en la antigüedad ciertas culturas lo representaban con un espacio VACIO, hoy con el símbolo cero "0" pero esto no cambia lo que representa.
    1-2- Más conflictiva me resulta aún la diferenciación de vacío con {[texx]\emptyset[/texx]}, cual es la diferencia si al fin y al cabo un conjunto [texx]\emptyset[/texx] es vacío y por lo tanto un conjunto que contiene el vació también es vacío? Creo que podría pensarse que el conjunto [texx]\emptyset[/texx] contiene el vacío y este al vacío y al vacío y al vacío... indefinidamente. Vacío es vacío y punto. O es que acaso tengo que entender a los conjuntos como un lugar “disponible para que halla algo”, es decir si yo simplifico {[texx]\emptyset[/texx]} con [texx]\emptyset[/texx], estaría perdiendo información pues habría un conjunto disponible para ser ocupado, el que contiene al conjunto [texx]\emptyset[/texx], mientras que el conjunto vacío propiamente dicho es tomado estrictamente como un conjunto que no puede ser “ocupado” por ningún elemento en ninguna circunstancia. Es así?
    1-3- Por otra parte qué debo interpretar (no pido una demostración aunque me sería muy didáctica) sobre el hecho de que todo conjunto contiene al conjunto [texx]\emptyset[/texx]? Si yo entiendo el conjunto como un lugar “disponible a ser ocupado” entonces que contenga al[texx]\emptyset[/texx] significa que por más que yo quite todos los elementos del conjunto, este seguirá siendo un conjunto y no perderá su identidad, es decir, seguirá existiendo a pesar de no tener elementos. Desde ese punto de vista si lo podría comprender pues, que contenga al [texx]\emptyset[/texx] parece ser algo así como un artificio lógico para permitir que un conjunto cuyos elementos hayan sido extinguidos siga siendo conjunto, algo así como darle una razón de existencia (contener al conjunto vacío, y no ser el mísmo un conjunto vacío) para que no desaparezca, pero no se si es acertado mi razonamiento…

    1-4- Por último, hace días estuve investigando en la Web y en los textos a los que pude acceder sobre las indefiniciones e indeterminaciones que involucran al elemento neutro de los números, el cero. Mi búsqueda demostró que hay gran cantidad de contenidos erróneos y muchas opiniones encontradas, por lo que traté de aferrarme a aquellos medios más "responsables" a la hora de brindar contenidos, pudiendo llegar a conclusiones aceptables. Dejando de lado el tema de las indeterminaciones quiero exponer continuación un texto de Wikipedia con el que me topé en mi búsqueda, trata particularmente de la indeterminación [texx]0^0[/texx]:

    "En lógica formal se puede probar que [texx]0^0 = 1[/texx], esto se hace observando que existe una única función de vacío en el vacío, la cual es la función vacía."

    Me encantaría entender esto pues parece ser muy didáctico :) ….

    2-1-Cuando se dice que: : Si dos conjuntos no tienen elementos en común se dicen disjuntos, o sea: [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son disjuntos si y sólo si todo elemento [texx]x \in A[/texx] no está en [texx]B[/texx], y también todo [texx]x \in B[/texx] no está en [texx]A[/texx]."

    No bastaría con decir [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son disjuntos si y sólo si todo elemento [texx]x \in A[/texx] no está en [texx]B[/texx] pues ya con eso no puede haber en [texx]B[/texx] ningun elemento que este en [texx]A[/texx], es decir la segunda condición seda con la primera, no es así?

    2-2-En cuanto a las familias de conjuntos  "El conjunto de índices [texx]I[/texx] puede ser un conjunto arbitrario" esto es asi siempre y cuando los elemento sean números naturales no? En principio lo di por obvio pero luego me encontre con el siguiente comentario:

    Una pregunta solo argentinator, creo que establecer la definición de unión infinita de conjuntos en la forma que lo hiciste:

    [texx]\bigcup_{\iota \in I} A_\iota := \{x:\exists{\iota \in I}(x\in A_\iota )\}[/texx]

    no es equivalente a ninguna de las anteriores que mostraste, si no que es más general, porque admite que el conjunto de subíndices pueda ser cualquiera, no necesariamente un conjunto finito ó numerable (cosa que sería obligada si consideramos que los subíndices fueran un número natural).

    Esto nos permite entonces definir la unión de familias de conjuntos de cualquier cardinalidad (cardinalidad de la familia claro), y esa es la razón de que se prefiera hacerlo en esta forma, para evitar esas limitaciones debidas a la cardinalidad de los subíndices. Ya que dicha cardinalidad (la de la família) debe coincidir con la cardinalidad del conjunto de subíndices, pero haciéndolo de esta forma no se exigirá que sea finita ó numerable, sino que puede ser cualquiera:

    Así por ejemplo la família [texx]\{A_r\}_{r\in{R}}[/texx] podría expresarse facilmente usando esa forma de definir una familia, pero ...

    A partir de esto me pregunto: el conjunto de índices [texx]I[/texx] puede ser entonces de naturaleza real [texx]I\subset{R}[/texx]? De esta forma la función que define la familia de conjuntos sería biyectiva y se definiría como [texx]F:R\rightarrow{R}[/texx]?

    Desde ya gracias y perdón si incomodo a alguien pero cuando no comprendo algo me “enrosco” y me cuesta seguir, más cuando tengo que aplicarlo después…

    GMARES


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 20/05/2010, 04:35:14 pm
    Intentaré responder todas tus preguntas.
    Repito tu mensaje en una cita, y en color azul voy intercalando mis respuestas.


    Quiero adelantar que soy una de esas personas que tratan de entender más que de aprender, por ello me gusta cerrar los temas con la máxima comprensión posible.

    No logro discernir la diferencie entre "entender" y "comprender". Para mí todo es lo mismo, jeje. De todas maneras, mi opinión es que para entender/comprender bien las matemáticas hay que hacer preguntas filosóficas, como las tuyas, o sea, preguntarse por las ideas, pero también hay que hacer cuentas, poner a prueba las definiciones y teoremas con ejercicios y ejemplos. Ambas cosas son fundamentales, porque una materia de matemática no se entiende hasta que no nos hemos peleado con ella.


    (transcribo): "El vacío es subconjunto de cualquier otro conjunto. Esto puede demostrarse mediante cuidadosas implicaciones lógicas, o bien tomarlo como axioma, para evitar demasiadas discusiones filosóficas."

    El problema aquí viene por la manera en que se hacen las demostraciones en la teoría de conjuntos.
    La noción de "inclusión" de conjuntos estipula que:

    [texx]A\subset{ B}[/texx] sii [texx]\forall{x:}(x\in A\Rightarrow{x\in B})[/texx]

    En otras palabras, si se puede demostrar que para todo elemento x de A también es cierto que x es elemento de B, entonces A está incluido en B.

    Ahora bien, el problema es que el vacío no tiene elemento alguno, entonces de por sí, la implicación
    [texx](x\in  \emptyset\Rightarrow{x\in B})[/texx]
    pareciera que no tiene sentido, porque está suponiendo que hay algún elemento x que pertenece a [texx]\emptyset[/texx].

    Aunque eso genera "dudas" desde el punto de vista intuitivo, tenemos que darnos cuenta de que aquí gobierna la lógica, no la intuición.
    No hay que llevar nuestra intuición de los conjuntos al extremo, sino que en algún momento tenemos que atenernos a las estrictas definiciones matemáticas.
    Y también tenemos que atenernos a las reglas de demostración.

    Por ejemplo: una implicación [texx]p\Rightarrow{q}[/texx] es "verdadera" en cualquier caso... excepto cuando p es Verdadera y q es falsa.
    En cualquier otro caso, la implicación es verdadera.
    Ahora bien, si el antecedente de la implicación fuera [texx]p \equiv{} [x\in \emptyset][/texx], y el consecuente fuera [texx]q \equiv{} [x\in B][/texx],
    claramente p sería falso.
    Pero en ese caso la implicación [texx]p\Rightarrow{q}[/texx] sería Verdadera.
    Y para ello no importa el valor de verdad de q.

    Recordemos: si en una implicación, el antecedente es Falso, la implicación toda ella es verdadera.

    Ahora bien. Vayamos a la fórmula proposicional siguiente:
    [texx]\forall{x:r(x)}[/texx]
    en donde r(x) indica la función proposicional: [texx]r(x)\equiv[{x\in\emptyset}\Rightarrow{x\in B}][/texx].

    Como ya hemos explicado arriba, para cada valor dado de x, se tiene que r(x) es una proposición Verdadera.
    Como r(x) es verdadera para todo valor posible de x, se tiene que la proposición completa [texx]\forall{x:r(x)}[/texx] es ella misma Verdadera.

    O sea, hemos probado que la proposición siguiente es verdadera:

    [texx]\forall{x}:{x\in\emptyset}\Rightarrow{x\in B}[/texx]

    Pero esta proposición es la "definición" de inclusión.
    O sea, [texx]\emptyset\subset{B}[/texx] es exactamente lo mismo, porque con esa fórmula lógica se ha definido la inclusión de conjuntos.

    Así que ahí tendrías una demostración de que el conjunto vacío está incluido en todo otro conjunto B posible.

    La cuestión es que esta demostración, aunque lógicamente correcta, resulta para algunas personas algo contraintuitivo, porque se basa en una ristra de proposiciones r(x) con antecedente Falso.
    Ese tipo de demostraciones que involucran el vacío o en general antecedente Falsos, son indeseadas, sobretodo porque pueden conducir a alguna que otra confusión, o una duda de si lo que se hace está correcto.

    Pero te repito que en algunos detalles técnicos lo que cuenta es que los cálculos proposicionales sean correctos, y poco importa la intuición.
    La intuición es una guía, pero no el último juez en cuestiones matemáticas.



    En el libro que cite se plantean además los siguientes detalles:
    a) {0} es un conjunto que contiene el elemento cero, no es [texx]\emptyset[/texx];
    b) [texx]\emptyset[/texx], es un conjunto que no tiene elementos "conjunto vacío";
    c) el conjunto {[texx]\emptyset[/texx]} es un conjunto que tiene un elemento, el conjunto vacío [texx]\emptyset[/texx].

    1) Qué diferencia hay entre los conjuntos?

    Lo que veo son dos cosas. Estás entendiendo mal tanto la idea intuitiva de conjunto como la formulación lógica del concepto.
    Comencemos por la intuición de los conjuntos.

    Un conjunto es una "caja" que puede contener otros objetos.
    También puede haber "cajas vacías". Adentro de ella no hay objeto alguna, pero la caja está.
    Ese sería el conjunto/caja que se denota con el símbolo [texx]\emptyset[/texx].

    Podemos también tener "cajas" hechas para albergar "otras cajas".
    Esto es perfectamente posible, y no hay problema en ello.
    Si tengo una "caja de zapatos", pero no tengo zapatos, mi caja está vacía.
    Pero ahora me compro un gran cajón para poner adentro otras cajas, y sólo guardo allí mi caja de zapatos.
    El "cajón" no está vacío, porque tiene adentro de él un objeto: "la caja de zapatos".
    Pero la "caja de zapatos" está vacía.

    ¿Y qué? Son dos situaciones distintas.
    La caja de zapatos está vacía, pero ella misma es un objeto concreto, y lo he puesto en una caja o cajón más grande. Este cajón grande contiene a dicho objeto, y por lo tanto no está vacío.

    En teoría de conjuntos, las "cajas de cajas" se llaman "conjuntos de conjuntos".
    También se les dice "familias de conjuntos", pero es sólo palabrerío.
    Los términos "conjunto, familia, clase", etc., se suelen usar con el mismo significado (hay excepciones técnicas con el término "clase", pero por ahora no te preocupes por eso).

    Si indagamos aún más profundo en los fundamentos de la teoría de conjuntos, vamos a ver que incluso todos los "elementos" de algún conjunto son ellos también "conjuntos", o sea que todos los elementos de la teoría, ya sea "cajas" u "objetos" que están en ellas... son conjuntos.
    Todo es una "caja" en la teoría de conjuntos.

    Pero esto no debe asustarte, se hace así solamente para simplificar el desarrollo de la teoría, no hay motivos filosóficos oscuros detrás de esta aparente anécdota.
    Y te lo comento solamente para que no te dejes confundir con el palabrerío.
    Cuando se habla de "objetos, elementos, conjuntos, familias, clases, colecciones, etc.", en general es todo lo mismo, y lo único que cambia es la "intuición" de lo que se está haciendo en cierto contexto.
    Por ejemplo, el término "familia" se usa cuando uno trabaja a la vez con conjuntos, y con "conjuntos de conjuntos".



    1-2- Más conflictiva me resulta aún la diferenciación de vacío con {[texx]\emptyset[/texx]}, cual es la diferencia si al fin y al cabo un conjunto [texx]\emptyset[/texx] es vacío y por lo tanto un conjunto que contiene el vació también es vacío? Creo que podría pensarse que el conjunto [texx]\emptyset[/texx] contiene el vacío y este al vacío y al vacío y al vacío... indefinidamente. Vacío es vacío y punto. O es que acaso tengo que entender a los conjuntos como un lugar “disponible para que halla algo”, es decir si yo simplifico {[texx]\emptyset[/texx]} con [texx]\emptyset[/texx], estaría perdiendo información pues habría un conjunto disponible para ser ocupado, el que contiene al conjunto [texx]\emptyset[/texx], mientras que el conjunto vacío propiamente dicho es tomado estrictamente como un conjunto que no puede ser “ocupado” por ningún elemento en ninguna circunstancia. Es así?

    Ya te lo he explicado antes, y la respuesta es que: no, no es así.

    El signo de las llaves {} se usa para indicar "conjunto de...", y entonces [texx]\{\emptyset\}[/texx] es el conjunto que contiene 1 solo elemento: el conjunto vacío.
    El conjunto [texx]\{\{\emptyset\}\}[/texx] es el conjunto que contiene a un solo elemento: el "conjunto que contiene al conjunto vacío", y así sucesivamente, una caja que contiene a otra.

    La noción de número natural admite muchas posibles definiciones.
    La mejor de todas es la Axiomática, porque no depende de alguna implementación concreta que se haya elegido.
    En efecto, los números naturales están definidos a través de sus propiedades aritméticas (se los define a través de cómo "funcionan", y no de "con qué material están hechos").

    Todo sistema matemático que satisfaga las propiedades de los números naturales (que se llaman "Axiomas de Peano") pueden usarse en la vida diaria como "los números naturales".
    No hay distinción entre ellos, y nadie puede asegurar que está usando un sistema u otro.

    Ahora bien, a pesar de esa generalidad, es importante estar seguros de que "existe al menos un sistema que en efecto verifica los axiomas de los números naturales".
    ¿Existe tal cosa?
    Para probarlo hay que construirse algún sistemita, y probar que cumple todas las propiedades.

    Esto se puede hacer en la misma teoria de conjuntos, de la siguiente manera:

    * Se define al 0 como el conjunto vacío [texx]\emptyset[/texx].
    * Se define al 1 como el conjunto que contiene al conjunto vacío: [texx]1=\{\emptyset\}[/texx].

    En tal caso, tenemos que [texx]1=\{0\}[/texx], o sea, hemos "construido" al 1 como el "conjunto" cuyo único elemento es el 0. ¿Re-loco no?  :o

    * Y ahora se construye el 2 como el conjunto que contiene al 0 y el 1:

    [texx]2=\{0,1\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}[/texx]

    Fijate que 2 se está considerando como un "conjunto" que tiene como elementos al conjunto vacío, y también al conjunto que contiene al conjunto vacío.
    El 2 es "más loco todavía".

    * En general, si ya están construidos los conjuntos 0, 1, 2, 3, ..., n, podemos "construir" el "siguiente" número natural n+1 así: [texx]n+1=\{0,1,2,...,n\}[/texx].

    O sea que te podés dar una idea de que n+1 es un "conjunto" algo complicado.
    ¿Cómo serían el 3, el 4, el 5?
    Tratá de escribirlo en un papel, y vas a ver de qué se trata.
    Cuando te cansés... poné n, como hice yo, jaja.

    Se puede demostrar que esa construcción da lugar a un sistema que satisface los axiomas usuales de los números naturales.

    SI TE INTERESA UNA DISCUSIÓN COMPLETA SOBRE EL TEMA DE LOS NATURALES, AHÍ TE PASO UN LINK A MI "KIOSQUITO" DE CAMPOS NUMÉRICOS:

    Construcción de los Sistemas Numéricos (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477)

    Te ruego paciencia porque tarda algo en cargarse...



    1-3- Por otra parte qué debo interpretar (no pido una demostración aunque me sería muy didáctica) sobre el hecho de que todo conjunto contiene al conjunto [texx]\emptyset[/texx]? Si yo entiendo el conjunto como un lugar “disponible a ser ocupado” entonces que contenga al[texx]\emptyset[/texx] significa que por más que yo quite todos los elementos del conjunto, este seguirá siendo un conjunto y no perderá su identidad, es decir, seguirá existiendo a pesar de no tener elementos. Desde ese punto de vista si lo podría comprender pues, que contenga al [texx]\emptyset[/texx] parece ser algo así como un artificio lógico para permitir que un conjunto cuyos elementos hayan sido extinguidos siga siendo conjunto, algo así como darle una razón de existencia (contener al conjunto vacío, y no ser el mísmo un conjunto vacío) para que no desaparezca, pero no se si es acertado mi razonamiento…

    Más arriba te dí la demostración lógica rigurosa de este hecho.
    La intuición del asunto es muy simple.
    Supongamos que una "caja" X tiene ahora varios compartimentos A, B, C.
    En el compartimento A pongo llaves, en el B pongo canicas, y en el C irían dólares, pero no pongo nada porque no tengo...
    La caja X es un conjunto de "llaves, canicas y dólares".

    El conjunto A de llaves es un subconjunto de X.
    El conjunto B de canicas es un subconjunto de X.
    El conjunto C de dólares es un subconjunto de X.

    Sin embargo, el conjunto C además está vacío, así que hay una "parte" de X que está vacía.
    Luego el conjunto vacío es subconjunto de X.

    Pero la intuición de subconjuntos puede darse de otra manera.
    Si tengo una colección X de objetos, puedo formarme una colección más pequeña Y, seleccionando tan sólo algunos de esos objetos.

    Por ejemplo, si X es una colección de canicas con las cifras del 0 al 9, puedo formarme la colección Y de las canicas con cifra impar.

    Ahora bien, ¿qué pasa si desea formarme el subconjunto Z de canicas que tienen estampado un número de dos cifras? Claramente no hay tales canicas en X, así que Z es una colección sin objetos, es vacía.
    Y así, el vacío es subconjunto de X.

    La moraleja de esto es que, dado un conjunto X cualquiera, siempre puedo formarme una colección de objetos de X... que en realidad no tenga objeto alguno.
    Dicha colección es vacía.
    Podría quedar la duda de si acaso no es mejor pensar que "cada conjunto X tiene su propia subcolección vacía". Sería un "vacío que depende de X", y se denotaría [texx]\emptyset_X[/texx].
    Se puede demostrar que, aún en este caso, todos los conjuntos [texx]\emptyset_X[/texx] son en verdad "iguales".
    Pero no creo que valga la pena enredarse en estos piolines.

    Hay un sólo conjunto vacío, y está incluido en todo otro conjunto.
    La demostración está arriba, y punto final.

    (Claro que, si te sigue dando comezón... no hay punto final, jeje).



    1-4- Por último, hace días estuve investigando en la Web y en los textos a los que pude acceder sobre las indefiniciones e indeterminaciones que involucran al elemento neutro de los números, el cero. Mi búsqueda demostró que hay gran cantidad de contenidos erróneos y muchas opiniones encontradas, por lo que traté de aferrarme a aquellos medios más "responsables" a la hora de brindar contenidos, pudiendo llegar a conclusiones aceptables. Dejando de lado el tema de las indeterminaciones quiero exponer continuación un texto de Wikipedia con el que me topé en mi búsqueda, trata particularmente de la indeterminación [texx]0^0[/texx]:

    "En lógica formal se puede probar que [texx]0^0 = 1[/texx], esto se hace observando que existe una única función de vacío en el vacío, la cual es la función vacía."

    Me encantaría entender esto pues parece ser muy didáctico :) ….

    Supongamos que hay un conjunto A de m elementos, y un conjunto B de n elementos.
    ¿Cuántas funciones se pueden formar de A en B?
    Si te pones a calcularlo verás que te da [texx]n^m[/texx].

    Ahora bien, supongamos que el conjunto B es vacío, o sea, tiene 0 elementos.
    ¿Cuántas funciones hay de A en B?
    Si A es un conjunto no vacío (m > 0), no hay funciones posibles.
    ¿Por qué? Bueno, muy simple, supongamos que sí hay alguna función h de A en B.
    Como A es no vacío, tiene algun elemento x, y a ese x hay que hacerle corresponde algún elemento de B. Pero no hay elementos en B, así que la función h no se puede definir, porque se contradice la propiedad fundamental de las funciones: todo elemento del dominio tiene una imagen.

    Así que en este caso, la cantidad de funciones de A en B es igual a 0, y eso se corresponde con la aritmética que conocemos: [texx]0^m = 0[/texx].

    Ahora supongamos que A es vacío (0 elementos) y que B no es vacío (n > 0).
    ¿Existen funciones de A en B?
    Bueno, el conjunto vacío podría considerarse una función de A en B.
    ¿Por qué? Porque el vacío es una "colección de pares ordenados con preimagen en A e imagen en B", aunque la pobre está "vacía".
    Cuando nos preguntamos "¿es cierto que a cada elemento de A le corresponde algún elemento de B?", estamos escribiendo una implicación con antecedente Falso, como ya nos ha ocurrido antes:

    [texx]\forall{x:}(x\in A\Rightarrow{\exists{y\in B}:y=h(x)})[/texx]

    Lo que está entre paréntesis es verdadero siempre, porque es una implicación con antecedente Falso, y no importa el valor de verdad del consecuente.
    Esto prueba que la función "vacía" es un elemento de la clase de "funciones de A en B".
    Se puede probar también, como es muy obvio, que ninguna colección "no vacía" puede ser función de A en B, porque eso implicaría que habría una componente con preimagen en A, pero no hay elementos en A... en fin.

    En resumidas cuentas, la clase de las funciones de A en B en este caso tiene 1 elemento: la función vacía, y eso es consecuente con la operación aritmética [texx]n^0=1[/texx].

    Finalmente consideremos el caso en que A y B son vacíos, o sea, ambos tienen 0 elementos.
    Otra vez se puede decir que la función vacía es una función de A en B.
    Es la misma fórmula proposicional, y tiene el mismo valor de verdad.
    Así que la familia de funciones de A en B tiene de nuevo 1 elemento.

    Así que, en lo que a conjuntos se refiere, se tiene que [texx]0^0=1[/texx].

    ¿Pero en qué sentido está esto?
    Bueno, en el sentido de "cardinalidad de clases".
    Las clases de funciones son conjuntos, y como tales tienen un cardinal, y se puede operar entre cardinales como con los números.
    De hecho, las operaciones entre números naturales y cardinales son muy similares...

    Pero no tienen por qué ser la misma cosa.
    Los números naturales se definen en forma axiomática, y tienen reglas de suma, multiplicación y potencia dadas acorde a "axiomas algebraicos".
    Mientras que las operaciones sobre "cardinales" no están interesadas en "preservar" propiedades algebraicas, sino que sólo "dan cuenta del cardinal de un conjunto".

    Algebraicamente, las operaciones entre números naturales no tienen obligación de interpretarse como cardinales de nada, y son simplemente una "escala" que puede tener muchas aplicaciones.
    Por ejemplo, sirve también para hacer aritmética de los números ordinales.

    En teoría de conjuntos, los ordinales y los cardinales son cosa muy distinta.
    Las operaciones entre ordinales son simplemente "el resultado de concatenar dos conjuntos ordenados y ver el tipo de orden resultante".
    Cuando esto se hace así, no tiene mucho sentido hablar de [texx]0^0[/texx].

    Y en aritmética en general, la potencia [texx]0^0[/texx] no está definida, porque requiere que se satisfagan las leyes algebraicas:

    [texx]0^0=0^{a-a}=\dfrac{0^a}{0^a}=\dfrac00[/texx] indeterminado.




    2-1-Cuando se dice que: : Si dos conjuntos no tienen elementos en común se dicen disjuntos, o sea: [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son disjuntos si y sólo si todo elemento [texx]x \in A[/texx] no está en [texx]B[/texx], y también todo [texx]x \in B[/texx] no está en [texx]A[/texx]."

    No bastaría con decir [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son disjuntos si y sólo si todo elemento [texx]x \in A[/texx] no está en [texx]B[/texx] pues ya con eso no puede haber en [texx]B[/texx] ningun elemento que este en [texx]A[/texx], es decir la segunda condición seda con la primera, no es así?

    Sí, es una redundancia.

    2-2-En cuanto a las familias de conjuntos  "El conjunto de índices [texx]I[/texx] puede ser un conjunto arbitrario" esto es asi siempre y cuando los elemento sean números naturales no? En principio lo di por obvio pero luego me encontre con el siguiente comentario:




    Una pregunta solo argentinator, creo que establecer la definición de unión infinita de conjuntos en la forma que lo hiciste:

    [texx]\bigcup_{\iota \in I} A_\iota := \{x:\exists{\iota \in I}(x\in A_\iota )\}[/texx]

    no es equivalente a ninguna de las anteriores que mostraste, si no que es más general, porque admite que el conjunto de subíndices pueda ser cualquiera, no necesariamente un conjunto finito ó numerable (cosa que sería obligada si consideramos que los subíndices fueran un número natural).

    Esto nos permite entonces definir la unión de familias de conjuntos de cualquier cardinalidad (cardinalidad de la familia claro), y esa es la razón de que se prefiera hacerlo en esta forma, para evitar esas limitaciones debidas a la cardinalidad de los subíndices. Ya que dicha cardinalidad (la de la família) debe coincidir con la cardinalidad del conjunto de subíndices, pero haciéndolo de esta forma no se exigirá que sea finita ó numerable, sino que puede ser cualquiera:

    Así por ejemplo la família [texx]\{A_r\}_{r\in{R}}[/texx] podría expresarse facilmente usando esa forma de definir una familia, pero ...

    A partir de esto me pregunto: el conjunto de índices [texx]I[/texx] puede ser entonces de naturaleza real [texx]I\subset{R}[/texx]? De esta forma la función que define la familia de conjuntos sería biyectiva y se definiría como [texx]F:R\rightarrow{R}[/texx]?

    El conjunto de índices I puede ser cualquier conjunto de cualquier cosa: números, puntos de una superficie, partes de un conjunto, tipos de frutas, colores del arco iris... lo que se te ocurra, jeje.

    Lo importante del conjunto de índices es que esté claramente especificado o sobreentendido a partir de una cierta regla (una función, bah), cuyo dominio sea I, y cuya imagen sea la colección de conjuntos dada.

    Por ejemplo, supongamos que tengo la familia de conjuntos F = {A, B, C} donde A es el conjunto de presidentes mundiales del año 2000, B es el conjunto de ciudades capitales del mundo en donde no hubo atentados terroristas en el 2005, y C es el conjunto de equipos de fútbol participantes del mundial de sudáfrica,
    puedo indicar a esa familia de conjuntos F en forma "subindicada", o sea, con ayuda de un conjunto de índices cualquiera, que se establece con alguna regla (léase: función).

    Tomo I como el conjunto I = {Sol, Mercurio, Saturno}.
    Ahora defino la función [texx]\alpha:I\to F[/texx] mediante:

    [texx]\alpha_{Sol} = A, \quad\alpha_{Mercurio} = B,\quad\alpha_{Saturno}=C[/texx]

    claramente tengo que la familia de conjuntos F es igual a:

    [texx]F=\{\alpha_{Sol},\alpha_{Mercurio},\alpha_{Saturno}\}[/texx]

    Fijate que he usado como índices a los astros del sistema solar, y ellos no son números naturales ni reales.

    Es cierto también que el conjunto I de índices puede tener cardinal arbitrario.

    Y más aún, una familia de conjuntos puede usarse como conjuntos de índices de "ella misma".  :o

    Suponte que [texx] \mathbb{F}[/texx] es una familia de conjuntos.
    Defino [texx]\alpha:\mathbb{F}\to\mathbb{F}[/texx] como la función [texx]\alpha_A = A[/texx].
    En este caso, el conjunto de índices I es la misma familia [texx]\mathbb F[/texx] que estoy tratando de describir.

    Y entonces tengo se cumple la igualdad: [texx]\mathbb{F}=\{\alpha_A:A\in\mathbb{F}\}[/texx].

    Las familias de conjuntos son simplemente, "conjuntos de conjuntos".
    No necesitan del uso de "subíndices" para indicar sus elementos.
    La gracia está en que uno se ayuda con "índices" para poner de relieve alguna estructura de la familia que a uno le interesa, para llevara a cabo alguna construcción, o demostración, o lo que sea.




    Desde ya gracias y perdón si incomodo a alguien pero cuando no comprendo algo me “enrosco” y me cuesta seguir, más cuando tengo que aplicarlo después…

    El curso presente es más bien de Topología y no de Teoría de Conjuntos, así que las preguntas sobre conjuntos no estarían del todo "acordes" al espíritu del curso.
    Pero tampoco te lo puedo reprochar, porque si yo he puesto en el curso notas de teoría de conjuntos, cualquiera tiene el derecho de preguntarme cosas sobre esas notas.
    Así que tus preguntas no molestan.


    GMARES





    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: gmares en 20/05/2010, 10:16:16 pm
    Hola, muchas gracias por tu respuesta, se ve muy completa, la leí por encima pero en cuanto pueda le voy a dedicar el tiempo necesario para comprenderla. No era mi intención desviar el tema, solo que tenía un par de dudas "frescas" y al leer la introducción se me dispararon nuevamente. Además como tenía al maestro Argentinator  ;) disponible, era un sin sentido no aprovechar.
    Con entender y comprender tal vez no fui preciso quise establecer diferencia clara entre "conocer algo" y tener realmente una comprensión profunda de algo. Por lo menos es lo que intento, je.
    Saludo amigo seguiré avanzando...


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 20/05/2010, 10:26:47 pm
    Ya que tu perfil dice que sos argentino, supongo no te será problema encontrar el "Introducción a a la Teoria de Conjuntos" de Oubiña, Eudeba.

    Una vez manejes esa teoría, podrás profundizar en otros textos sobre Teoría Axiomática de Conjuntos, como los libros online de Ivorra, o el thread de Axiomas que puse en la sección de Lógica, o bien un curso aquí en el futuro que anda flotando en la mente de algunos...

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 02/06/2010, 01:15:46 am
    hola! recién iniciando el curso, ya estoy consultando algo que puede ser una tontería pero posteriormente seguro me servirá.
    Esta unión de conjuntos que defines para una lista finita de conjuntos, es decir
    [texx]A_1\cup{A_2}\cup{......}A_n[/texx]es lo que llamamos unión numerable, si no es así, podrías aclararme lo de la unión numerable o no numerable, por favor, gracias. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 02/06/2010, 01:28:45 am
    hola! recién iniciando el curso, ya estoy consultando algo que puede ser una tontería pero posteriormente seguro me servirá.
    Esta unión de conjuntos que defines para una lista finita de conjuntos, es decir
    [texx] A_1\cup{}A_2\cup{}........A_n[/texx]

    es lo que llamamos unión numerable, si no es así, podrías aclararme lo de la unión numerable o no numerable, por favor, gracias. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 02/06/2010, 12:33:39 pm
    Hola.

    Primero que nada, te indico cómo poner subíndices en Latex:

    [tex]A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n[/tex]

    Produce:

    [texx]A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n[/texx]



    En cuanto a tu pregunta, la respuesta sería que NO, pero también hay varias sutilezas, por culpa de ciertas imprecisiones en los libros.

    Cuando los objetos involucrados forman una lista con cardinal finito, [texx]A_1,A_2,\cdots,A_n[/texx], se dice que el conjunto es finito, y una unión de ellos es entonces una unión finita.
    El valor de n puede ser cualquier número natural: n = 1, 2, 3, 4, etc.
    Incluso muchas veces se deja sin especificar, y se pone simplemente "n".

    Cuando los objetos involucrados pueden ponerse en correspondencia con los números naturales en una lista infinita [texx]A_1,A_2,A_3,\cdots[/texx], y observando que dicha lista "no tiene fin", entonces se dice que su cardinal es infinito numerable.
    Si se los une, entonces la unión es infinita numerable.

    La palabra infinito indica que el conjunto no es finito, o sea, no hay ningún número natural n que sea el cardinal del conjunto.
    La palabra numerble indica que se pueden poner en una lista "enumerada", vale decir, hay un primero, un segundo, un tercer elemento, etc.
    Dicho formalmente, hay una función que hace corresponder a cada número natural k, un elemento [texx]A_k[/texx] de la lista, para k = 1, 2, 3, etc.

    En teoría de conjuntos se suele usar la palabra numerable tanto para los conjuntos que son finitos, como los infinito-numerables.
    La razón es que los finitos también se pueden "poner en una lista con índices 1, 2, 3, etc."
    La diferencia es que la lista finita "se termina en algún n". Mientras que la infinita no termina.

    A mí no me gusta usar la palabra numerable para conjuntos finitos.
    Y en esto puede haber divergencia también en distintos autores.
    Hay gente (yo por ejemplo) que insiste en considerar que el numerable es un término que se refiere mejor a un único cardinal posible, y en ese caso corresponde al infinito-numerable.

    Pero vas a encontrar en muchos textos que numerable se refiere a una lista de la cual en principio no se sabe, no se especifica, o no importa, si el conjunto es finito o infinito-numerable.

    En los textos de la OEA de matemática he visto que se usan las palabras numerable y enumerable para distinguir ambas situaciones.
    No recuerdo cuál palabra se usa para qué.
    Creo que enumerable se refiere a un conjunto que se puede "enumerar", o sea, finito o infinito-nmerable, y numerable se refiere al cardinal de los números naturales, que es infinito-numerable.

    La unión que me pusiste, en la cual figura explícitamente un valor de "n" como último objeto de la lista, se dice mejor unión finita, porque ahí está claro que la lista de objetos a unir se termina en un "n" determinado, aunque no está indicado el valor de n.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 03/06/2010, 12:14:10 am
    muchísimas gracias, espero me tengas unpoco de paciencia con latex, ya que estoy practicando de a poco. En fin, buenísimo saber de estas sutilezas, que en algún momento nos pueden producir dolores de cabeza. gracias. y sigo, de a poco, pero en el frente de batalla.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 03/06/2010, 12:21:20 am
    Yo sabía Latex antes de ser participante del foro, y aún así me costó un poco entender cómo funcionaban las cosas.
    Así que te entiendo, todos hemos sufrido algo por este tema, pero con el tiempo se aprecia la claridad que uno logra en los mensajes gracias a esto.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 08/06/2010, 11:51:35 am
    hola envío mi primer duda respecto al primer ejercicio que estoy haciendo de este curso, referido a :
    Demostrar que dos conjuntos  A y B son disjuntos si, y sólo si, [texx] A\cap{}B = \emptyset.[/texx]
    entonces digo
    1. A y B son disjuntos, entonces [texx] A\cap{}B=\emptyset[/texx]
    [texx] x\in{}A \wedgexx\not\in{}B[/texx] además [texx] x\in{}B \wedgex\not\in{}A\Rightarrow{}x \not\in{}A\cap{}B\Rightarrow{}A\cap{}B =\emptyset[/texx]
    2. [texx] A\cap{}B=\emptyset[/texx] entonces A y B son disjuntos
    [texx] A\cap{}B=\emptyset[/texx] entonces no existe [texx] x \in{}A\wedgex\in{}B[/texx], luego son disjuntos

    Por ahí creo que en la parte 2, falta algo, pero no sé qué es. gracias. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 08/06/2010, 12:57:13 pm
    La última oración está mal escrita, y no sé si has olvidado algo, o estás usando los símbolos como meros sustitutos del lenguaje hablado...

    Para decir "x pertenece a A y también a B", se debe primero entender que se está diciendo esto "x pertenece a A y x pertenece a B". Luego se escribe "[texx]x\in A[/texx] y [texx]x\in B[/texx]".
    Pero no está bien escribir [texx]x\in A\in B[/texx], porque ahí estás dando a entender que x es un elemento de A y que "A" es un elemento de B.

    Además, la relación de pertenencia no es "transitiva", así que no está permitido encadenar símbolos "pertenece" en una oración, como se suele hacer con los signos = o < o [texx]\subset[/texx], que sí son relaciones transitivas.



    Supongamos que todo elemento que está en A en B no está en A, y que todo elemento que está en B no está en A.
    Esto en símbolos se dice así:

    [texx]\forall x: (x\in A\Longrightarrow{x\not\in B}) [/texx] y
    [texx]\forall x: (x\in B\Longrightarrow{x\not\in A}) [/texx].

    Supongamos que [texx]A\cap B\neq \emptyset[/texx] y veamos si podemos llegar a una contradicción.
    Sea [texx]x\in A\cap B[/texx].
    En particular, un tal x pertenece a A, y también a  B, en símbolos: [texx]x\in A[/texx] y [texx]x\in B[/texx].
    Pero por hipótesis, sabemos que, como [texx]x\in A[/texx], esto implica que [texx]x\not\in B[/texx].

    Hemos probado por un lado que [texx]x\in B[/texx], y por el otro lado que [texx]x\not\in B[/texx].

    Este absurdo o contradicción provino de suponer que existía un elemento [texx]x\in A\cap B[/texx].

    Así que concluimos que [texx]A\cap B=\emptyset[/texx].

    ¿Te animás a reescribir la implicación recíproca, usando un estilo parecido a esto?

    Saludos



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 09/06/2010, 05:23:40 am
    mmmmm... ¿se entendió algo de todo lo que dije? ¿ o te parece que compliqué la cosa?

    Estoy usando la definición de conjuntos disjuntos que figura en el primer post.
    Porque es posible definir este concepto de varias formas.
    Además no estaba seguro de cuál era el ejercicio.
    Parece ser el Anexo 1.1.d.

    Si no te gustó mi razonamiento, decime, a ver si logro que se entienda mejor.

     ;D


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 09/06/2010, 11:58:57 am
    Hola
    Aquí nuevamente, no es que no me gustó tu demostración, clarísima.
    Ahora voy con tu desafío de demostrar la implicación recíproca. Intenté 2 versiones, para ver si le pego a una por lo menos. Paciencia con el latex..
    Debemos demostrar que [texx] A\cap{}B =\emptyset [/texx] entonces A y B son disjuntos

    Supongamos que A y B no son disjuntos, entonces [texx] \forall{}x:(x\in{}A y x\in{}B)[/texx]
     ( aquí hice la negación de la definición de disjuntos)
    por lo que [texx] x \in{}A\cap{}B[/texx] , entonces [texx] A\cap{}B\neq{}\emptyset [/texx]
    como por hipótesis [texx] A \cap{}B= \emptyset[/texx], se cumple que no existe [texx] x\in{}A\cap{}B[/texx]
    llegamos a la contradicción [texx] x\in{}A\cap{}B y x \not\in{}A\cap{}B[/texx] que proviene de suponer que A y B no son disjuntos, luego A y B son disjuntos
    [


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 09/06/2010, 12:08:39 pm
    hola de nuevo:
    va la segunda parte, ya que no sé porqué no me permitía ver lo que escribia en el mensaje anterior

    [texx] A \cap{}B = \emptyset[/texx] entonces A y B son disjuntos
    Como [texx] A \cap{}B = \emptyset[/texx], entonces no existe [texx] x \in{}A\cap{}B[/texx]
    luego se cumple que [texx] x\in{}A \Rightarrow{}x\not\in{}B[/texx] y [texx] x\in{}B \Rightarrow{}x\not\in{}A[/texx],
    luego por definición A y B son disjuntos

    Esto al margen, pero te comento que no me detendré tanto en los ejercicios, ya que debo rendir el recuperatorio el 26 de junio y me falta bastante. Por allí te encontrarás con preguntas un poco adelantadas, pero bueno, es lo que debo. gracias. mabel.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 09/06/2010, 04:27:29 pm
    Hola.

    Respecto a los ejercicios, preguntame sobre lo que te haga falta, no hay problema.

    En cuanto a la demostración, la veo con algunas cabos sueltos.
    Es como si estuvieras tratando de convencerte de que es cierto, pero falta un poquitín de lógica en los pasos intermedios.

    Voy a seguir tu prueba, y a reescribir con más exactitud las cosas, para que se vea en dónde están el inconveniente.

    Como [texx]A\cap B=\emptyset[/texx], entonces "no existe [texx]x[/texx] tal que: [texx]x\in A\cap B[/texx]".
    Acá conviene reescribir el cuantificador existencial "negado", como un "universal" con partículas negadas.
    La última afirmación es, pues, equivalente a la siguiente:

    "Para todo [texx]x[/texx]: no es [texx]x\in A\cap B[/texx]". Esto equivale a:
    "Para todo [texx]x[/texx]: no es ([texx]x\in A[/texx] y [texx]x\in B[/texx])". Aplicando leyes de De Morgan a las operaciones lógicas, tenemos que:
    "Para todo [texx]x[/texx]: (no es [texx]x\in A[/texx]) ó (no es [texx]x\in  B[/texx])". O sea:
    "Para todo [texx]x[/texx]: ([texx]x\not\in A[/texx]) ó ([texx]x\not\in  B[/texx])". O sea:

    Ahora supongamos que:

    (1) [texx]x\in A[/texx].

    Por la  afirmación de más arriba, que no hago más que repetirla, sabemos que

    (2)  ([texx]x\not\in A[/texx]) ó ([texx]x\not\in B[/texx]).

    O sea, (1) y (2) son "verdaderas".
    La primer parte de esta conjunción (2) es falsa, porque es la negación de (1), que sabemos que es verdadera.

    Pero entonces, como (2) aún es verdadera, tiene que ser cierta la segunda parte de la conjunción, o sea, que

    (3) [texx]x\not\in B[/texx]

    En resumen, hemos probado que:
    si [texx]A\cap B=\emptyset[/texx], entonces (para todo [texx]x\in A:[/texx] es cierto que [texx]x\not\in B[/texx]).

    Falta probar la otra parte, o sea, concluir que si [texx]x\in B[/texx] entonces x no está en A.
    Pero esta demostración es totalmente análoga a la que ya hice, así que no la voy a repetir.



    Hay que tener claras las tablas de verdad, el formato correcto de las expresiones lógicas con cuantificadores. También el modo "exacto" de llevar a cabo un razonamiento por Modus Ponens o por Reducción al Absurdo.

    En el post siguiente al de este ejercicio que estamos discutiendo, en la Sección 1, puse algo de material sobre todo esto.
    Podemos practicar estas cosas de lógica formal todo lo que quieras.

    Además, aunque las demostraciones de cuentitas con conjuntos son un poco tontas en apariencia, en realidad son una excelente práctica de lógica, porque el lenguaje lógico y el de conjuntos corre en paralelo, con la diferencia de que uno a los conjuntos puede "dibujarlos" con diagramas de Venn.
    Cuando uno puede ir y venir de lógica a conjuntos con facilidad, claridad y exactitud, las demostraciones de Teoremas más complejos se hacen más claras de entender, e incluso uno mismo puede lograr la capacidad  de ser bien crítico con las propias demostraciones, y notar enseguida si falta algo, o si sobra...

    A mí me gusta jugar con las tablitas de verdad y las proposiciones, así que cuando quieras hacemos algunas cuentas por ese lado. Es el famoso álgebra de Boole (aunque con solo dos valorcitos, V y F).



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 09/06/2010, 11:13:54 pm
    hola argentinator: muchas gracias por la ayuda con la lógica, me hace falta bastante de eso. Está bueno practicar las negaciones y las tablas de verdad. mañana sigo .


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: enloalto en 12/06/2010, 01:53:13 am
    Hola argentinator y mabelmatema espero que esten bien, bueno de tiempo que paso por este post y me puse a leer los mensajes, respecto a este
    En los textos de la OEA de matemática he visto que se usan las palabras numerable y enumerable para distinguir ambas situaciones.
    No recuerdo cuál palabra se usa para qué.

    El libro que mencionas debe ser INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DE LEBESGUE EN LA RECTA, monografía Nº. 18 serie de matemática de la OEA, el autor es Juan Antonio Gatica ahí dice:

    Un conjunto [texx]X[/texx] es Finito si [texx]X=\emptyset[/texx] o si existe una función biyectiva [texx]f:X\rightarrow I_n[/texx], donde [texx]I_n=\{1,2,...,n\}[/texx], para algún [texx]n\in\mathbb N[/texx].
    Si [texx]X=\emptyset[/texx], se dice que [texx]X[/texx] tiene 0 elementos, y si [texx]X[/texx] es finito y no vacío, el (único) número natural [texx]n[/texx] tal que existe una biyección de [texx]X[/texx] en [texx]I_n[/texx] recibe el nombre de número de elementos de [texx]X[/texx].
    Si [texx]X[/texx] es un conjunto no finito y tal que existe una biyección de [texx]X[/texx] sobre [texx]\mathbb N[/texx], se dice que [texx]X[/texx] es enumerable.
    Un conjunto [texx]X[/texx] se dice numerable si es finito o enumerable.
    Si [texx]X[/texx] no es finito, se dice que [texx]X[/texx] es infinito

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 12/06/2010, 01:57:11 am
    Gracias por la aclaración.

    También se puede decir "contable" para decir que un conjunto puede ser "finito" o "infinito numerable", y dejar la palabra "numerable" para el cardinal.

    Pero esto contradice el significado de "numerable" que pone enloalto.

    Así que... a sufrir con las ambigüedades, como siempre.

    Buenas noches... y que sueñen con los "infinitos"...

    (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=28735.0;attach=6782)


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: jvm78 en 14/06/2010, 12:59:46 am
    Argentinator,
    Estoy mirando los ejercicios de la capítulo 2 ej.16.8 que habla de en cada caso es una topología familiar, a que se refiere con eso?
    Supongo que debe ser algunas de las ya nombradas, pero como las distingo para cada caso?
    Debería de encararlo como la topología producto y ver el L  como un subespacio que hereda de esas topologías familiares.
    gracias


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 14/06/2010, 01:13:15 am
    Bueno, sinceramente cuando hice ese ejercicio tuve las mismas dudas.


    Lo que hice fue, simplemente, ponerme a ver cuáles eran las topologías que se obtenían en cada caso, y enumerarlas.

    Ya hemos discutido este ejercicio con enloalto, acá te repito lo que hemos hablado, por si te sirve.
    Si no, preguntá de nuevo.
    Deseaba hacer unos dibujos para ver las distintas situaciones, pero siempre está el verdugo tiempo.
    Podrías intentar dibujar y ver si te aclara las ideas.

    Ejercicio 16.8. Si [texx]L[/texx] es una recta en el plano, describa la topología que [texx]L[/texx] hereda como subespacio de [texx]\mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}}[/texx] y como subespacio de [texx]\mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}_l}[/texx]. En ambos casos se trata de una topología conocida.

    Solución.

    No la he resuelto, pero pongo mi intento. Tengo problemas en definir a L, la que se me ocurre es
    [texx]L=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}|y=mx+n\mbox{, m y n números reales}\}[/texx].
    Para estudiar la topología, voy a ver que sucede con la base.

    Sea [texx]U[/texx] un elemento básico de la base del subespacio que L hereda de [texx]\mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}}[/texx], entonces existen [texx][a,b)\in{B_{\mathbb{R}_l}}[/texx] y [texx](c,d)\in{B_{\mathbb{R}}}[/texx] tal que
    [texx]U=L\cap{([a,b)\times{(c,d)})}[/texx]
    Entonces, si [texx](w,z)\in{U}[/texx], se tiene que
    [texx]z=mw+n[/texx] y [texx]a\leq{w}<b[/texx] y [texx]c<z<d[/texx], de aquí

    Aca tendría que estudiar dos casos:
    1) [texx]m>0[/texx]
    entonces [texx]ma+n\leq{mw+n}<mb+n\Rightarrow{ma+n\leq{z}<mb+n}[/texx] y [texx]c<z<d[/texx].
    Es decir [texx]z\in{[ma+n,mb+n)\cap{(c,d)}}[/texx].
    Ahi me quedo  :banghead: :banghead:




    En los ejercicios donde hay "planos", "rectas" y cosas por el estilo, incluso tambien "intervalos" y "rayos", es siempre buena idea hacer el dibujo y tratar de comprender la situación geométrica.

    ¿Qué aspecto tiene un elemento típico de la base en la topología de [texx]L[/texx]?

    Claro que hay que separar en casos...
    Sin embargo, toda recta [texx]L[/texx] en el plano tiene un orden estándar.
    Esto es típico de la geometría plana.

    Estableciendo el orden "natural" de la recta [texx]L[/texx], se puede definir allí la topología de los intervalos semiabiertos por la izquierda, y denotamos con [texx]L_\ell[/texx] a la recta cuando la miramos con esa topología.

    Ahora te pregunto si al considerar [texx]L[/texx] como subespacio de [texx]\mathbb{R}_\ell\times \mathbb R[/texx] tiene la topología de [texx]L_\ell[/texx].

    Para trabajar con comodidad, hay que probar que la intersección de dos intervalos da otro intervalo, y conviene tener claro qué tipo de intervalo da en cada caso (abierto, semiabierto, etc.).

    Una vez probado eso, la traducción de la geometría a la forma analítica es casi directa.
    Aunque se dan varios casos distintos, según como se efectúen las "intersecciones" con distintos elementos de la base de [texx]\mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R}[/texx]

    Consideremos primero una recta con pendiente positiva.

    La base de la topología de subespacio de [texx]\mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R}[/texx] contiene a todos los elementos de la topología de [texx]L_\ell[/texx].
    También contiene a los "intervalos abiertos" de [texx]L[/texx] con su "orden natural". Pero estos conjuntos ya son "abiertos" en [texx]L_\ell[/texx], así que no estamos agregando nada a la topología, aunque sí que la "base" subespacio obtenido es mayor...

    ¿Hay otros elementos posibles en la base de subespacio para L?
    Hay 4 casos tipicos posibles, y la respuesta sería, según veo, que no.
    (Se puede disentir, claro está!!! ...)

    Así que la topología sería la de [texx]L_\ell[/texx], aunque la base obtenida sea mayor.

    El conjunto vacío pertenece también a la base en este caso.

    ------------------------------------------------------------------------------------

    Supongamos ahora que [texx]L[/texx] tiene pendiente nula, o sea, [texx]L[/texx] es horizontal.
    La situación que se obtiene es similar al caso anterior, salvo que la base es la misma que la  [texx]L_\ell[/texx], aunque con el agregado del conjunto vacío.

    Así que obtenemos otra vez [texx]L_\ell[/texx].

    ------------------------------------------------------------------------------

    Si la recta [texx]L[/texx] es vertical, se obtiene la base de segmentos "abiertos", o sea, "sin extremos". Esto nos daría la "topología del orden" de la recta L, que difiere claro está de [texx]L_\ell[/texx].


    --------------------------------------------------------------------------------

    El último caso a analizar es el de las rectas de pendiente negativa.

    La situación es la misma que para las pendientes positivas, aunque con algunas salvedades en el camino.
    Por ejemplo, con el orden natural respecto a la orientación del eje x, la recta [texx]L[/texx] puede considerarse como ordenada "al revés".
    Además, la prueba no es exactamente igual, porque los "bordes" de [texx]R_\ell[/texx] quedan del lado izquierdo siempre, mientras que la inclinación de las rectas ha quedado ahora para el lado opuesto.

    Así que podríamos decir que la topología es la de [texx]L_\ell[/texx], pero teniendo cuidado de decir en qué sentido se toma el orden en [texx]L[/texx].



    -----------------------------------------------------------------------------------------------------

    Ahora pasemos a las rectas [texx]L[/texx] como subespacios de [texx]\mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R}_\ell[/texx].

    Para las rectas [texx]L[/texx] de pendiente vertical se obtiene de nuevo [texx]L_\ell[/texx].

    Cuando la recta [texx]L[/texx] es horizontal, se obtiene de nuevo [texx]L_\ell[/texx].

    Cuando la recta [texx]L[/texx] es vertical, ahora la cosa cambia, y se obtiene [texx]L_\ell[/texx].

    Finalmente, cuando la recta [texx]L[/texx] tiene pendiente negativa, se obtiene la topología discreta de [texx]L[/texx].
    ¿Por qué? Bastaría probar que cada punto en L es abierto.

    ¿Y por qué en el resto del ejercicio no se obtuvo la topología discreta?


    -------------------------------------------------------------------------------------------

    Lo que no entiendo del ejercicio es por qué dice que lo que se obtiene es una "topología familiar". No sé a qué se refiere.

    La cuestión es que si uno le da a la recta [texx]L[/texx] un sistema de coordenadas, olvidándose de su descripción inicial con coordenadas [texx](x,y)[/texx], lo que se obtiene es que [texx]L[/texx] es ahora "lo mismo" que el sistema de números reales [texx]\mathbb{R}[/texx], y las topologías obtenidas han sido: [texx]\mathbb{R}_\ell,\mathbb{R},\mathbb{R}_d[/texx], según los casos.

    O sea, 3 de las topologías más familiares.

    Esto está bien justificado, si consideramos un isomorfismo algebraico entre el sistema [texx]\mathbb{R}[/texx] de números reales y los puntos de la recta [texx]L[/texx], dados en la forma analítica siguiente (que además sirve de isomorfismo): [texx]t\to (t,mt+b)[/texx], por ejemplo.

    Hasta ahora no hemos visto isomorfismos topológicos,
    pero lo que estamos describiendo es tan sólo un isomorfismo algebraico,
    y sólo cuenta la interacción entre [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx] y [texx]L[/texx] con su sistema de coordenadas.

    Y además, cuando hablamos de [texx]\mathbb{R}[/texx], nos estamos refiriendo a "cualquier conjunto que satisfaga los axiomas de los números reales".
    Fijate que en la sección 4 se dan a los reales sólo como axiomas, y todas las propiedades de los reales son aplicables a cualquier sistema algebraico que verifique esos axiomas.

    Parametrizando las rectas en un espacio vectorial, mediante la manera usual del álgebra lineal básica, se obtiene un sistema coordenado sobre dicha recta que satisface los axiomas de números reales, y es isomorfo a cualquier cosa que consideremos como [texx]\mathbb{R}[/texx].

    Ese es el sentido del álgebra lineal, que en cualquier espacio vectorial hay líneas rectas y nociones de paralelismo (suma vectorial).
    Hagamos la salvedad de que, si bien una recta en un espacio vectorial cualquiera tiene una topología idéntica a los reales, si así se desea, esto no quiere decir que el espacio completo esté dotado de alguna topología adecuada.



    -------------------------------------------

    No vislumbro otro sentido de la palabra "familiar" en el enunciado del ejercicio.
    Salvo que me esté saltando algún detalle importante.
    ¿Qué pensás de todo esto?
    Antes de pensar cualquier cosa, hay que dibujar, jeje...  ;)

    ¡Con ejercicios de productos cartesianos siempre hay que dibujar!

    Saludos



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 14/06/2010, 01:17:20 am
    Mensaje para enloalto: Ahora veo lo útil de tu plan de poner los ejercicios resueltos en un "solucionario".
    Evita que se repitan los mensajes como el anterior.

    Por un lado, lo malo de un solucionario es que al haber una solución a un problema, pareciera que es la única posible, y mata el espíritu de búsqueda de alternativas, o el desafío de hacer por primera vez un ejercicio.
    Pero muchos ejercicios se hacen "de una sola manera", y es tedioso repetirlo todo.



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 21/06/2010, 05:52:38 pm
    Hola profe:
    referida a la unión de conjuntos, en 2 partes figuran expresiones que me son un poco raraas y quería saber si son equivalentes
    1. en la introducción que hace inidca referido a la unidón de familia de conjuntos algo así
    [texx]\bigcup_{\iota \in I} A_\iota := \{x:\exists{\iota \in I}(x\in A_\iota )\}[/texx]
     
    esto va clarísimo, pero
    2.En la síntesis del Munkres,
    [texx]\displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal B}A=\{x|\exists{A\in\mathcal B}:x\in A\}[/texx]

    ???
    en ese caso quién es B? la familia de conjuntos?
    NO me queda clara la diferencia entre familia de conjuntos y las uniones generalizadas entre conjuntos. Podrías aclararme un poco más? gracias. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 21/06/2010, 06:24:19 pm
    Hay que reflexionar un rato acerca de los "conjuntos de conjuntos".

    Son conjuntos que tienen como elementos a su vez a otros conjuntos.

    Una "familia de conjuntos" es exactamente eso: un conjunto de conjuntos, nada ha cambiado.
    Sin embargo, lo que suele hacerse es indicar una función [texx]\gamma[/texx] que parte desde cierto conjunto de índices, digamos I, y "cae" en la familia de conjuntos [texx]\mathcal B[/texx].
    Así que, para cada [texx]i\in I[/texx], tenemos un elemento [texx]\gamma(i)[/texx] de la familia [texx]\mathcal B[/texx].

    Pero cuando se trata de familias de conjuntos solemos olvidarnos de toda esta descripción funcional, y en vez de escribir algo como [texx]\gamma(i)[/texx] preferimos algo más breve como [texx]A_i[/texx], donde [texx]A_i=\gamma(i)[/texx].

    Luego, la unión de la familia [texx]\mathcal B[/texx] es lo que vos ya entendés perfectamente: [texx]\bigcup_{i\in I}A_i[/texx].

    Bueno, pero eso no es necesario.
    A uno lo que le interesa es simplemente la "unión de todos los conjuntos que están en [texx]\mathcal B[/texx]".

    ¿Qué significa esto para la familia? Quiere decir que un elemento [texx]x[/texx] está en la unión [texx]\bigcup_{i\in I}A_i[/texx] si, y solamente si, existe algún valor del índice [texx]i[/texx] tal que [texx]x\in A_i[/texx].

    Bueno, pero ¿no quiere decir esto que [texx]x[/texx] está en la unión si y solamente si existe un elemento [texx]A[/texx] del conjunto [texx]\mathcal B[/texx] tal que [texx]x\in A[/texx]? ¿No son afirmaciones equivalentes?

    Bien, pues eso es lo que significa el símbolo de "unión", es un operador que se traduce por "existe", en el sentido que expliqué párrafos arriba.

    Creo que haciendo esa analogía entre

    * "operador de unión generalizada" ----> "cuantificador existencial"   ([texx]\bigcup\longrightarrow{\exists{}}[/texx])
    * "operador de intersección generalizada" ----> "cuantificador universal" ([texx]\bigcap\longrightarrow{\forall{}}[/texx])

    se puede ayudar a la mente a captar bien y mejor lo que se está haciendo.

    O sea, las uniones e intersecciones generalizadas son, en realidad, "abreviaturas" de ciertas afirmaciones de la teoría de conjuntos que usan cuantificadores. El paralelismo de ideas es correctamente aplicado.




    Otra forma de entender que ambas notaciones son lo mismo, consiste en pensar simplemente que todo conjunto de conjuntos [texx]\mathcal B[/texx] puede describirse como una "familia subindicada" usando [texx]I=\mathcal B[/texx] como conjunto de subíndices!!!

    O sea, a la familia misma la usamos como índices, y elegimos [texx]B_A=A[/texx] para todo elemento A de [texx]\mathcal B[/texx].
    En ese caso, tendríamos claro está:

    [texx]\bigcup_{A\in I} B_A[/texx]

    Pero como [texx]B_A=A[/texx], es lo mismo que poner:

    [texx]\bigcup_{A\in I} A[/texx]

    Pero además, como [texx]I=\mathcal B[/texx], es lo mismo que poner:

    [texx]\bigcup_{A\in\mathcal B} A[/texx]



    Lo importante es darse cuenta que "cualquier conjunto" puede usarse como conjunto I de índices.

    Hay incluso otra notación de operador generalizado, que no usa subíndices:

    [texx]\bigcup \mathcal B[/texx] significa: la unión de todos los conjuntos que son elementos de [texx]\mathcal B[/texx]
    [texx]\bigcap \mathcal B[/texx] significa: la intersección de todos los conjuntos que son elementos de [texx]\mathcal B[/texx]

    Esa notación no se confunde con las anteriores, porque no hay subíndices afectando a los operadores de unión o intersección.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 21/06/2010, 08:32:05 pm
    hola argentinator
    Gracias por la respuesta rápida, aclaratoria y con buenos detalles, como siempre.
    Me queda más claro, lo que a veces uno se pregunta, aunque no lo vea enelmomento porqué tantas notaciones para indicar lo mismo.
    Pero entendí muy bien las diferencias y similitudes. de nuevo gracias y saludos
    será hasta la próxima consulta.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 21/06/2010, 09:17:33 pm
    hola nuevamente:
    Como verás marcha un poco rápido el estudio..
    Preguntonta referida a los conjuntoa abiertos y cerrados,
    Dice el texto algo así:
    Si [texx] A [/texx] es un conjunto abierto, entonces [texx] A^C [/texx] es conjunto cerrado, ahora bien, puedo decir:
    Si [texx] A^C[/texx] es conjunto abierto, quiere decir que [texx] A [/texx] es conjunto cerrado?
    gracias. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 21/06/2010, 09:20:39 pm
    Por supuesto, los conjuntos abiertos y cerrados siempre son complementarios porque justamente un conjunto cerrado C se define como el complemento de "algún" abierto A.
    Cuando le tomás el complemento a C, que es cerrado, volvés a obtener el mismo A de antes, que era abierto.

    O sea, recordar que [texx]A^C[/texx] es simplemente [texx]X\setminus A[/texx], donde X es el espacio de referencia.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 21/06/2010, 10:16:48 pm
    ajá era cuestión de pensarlo un poquito, gracias. saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 22/06/2010, 01:12:22 am
    hola: Vuelta la pelota al patio y volverá varias veces estos días.
    pregunta en la definición de discon sin borde se expresa
    [texx]\begin{align*}\displaystyle   B_r(P) := \{Q\in X:|Q-P|< r\}.\end{align*}[/texx]
    el X que se indica además de aclarar posteriormente que es el plano euclideo, es un espacio topolgógico o simplemente el plano?

    Otra pregunta no referida a consulta específica, sino que veo has desarrollado hasta el capítulo 2 dle Munkres, y realmente exepcional tu desarrollo más aclaratorio que del libro mismo, pensas seguir con los otros capítulos? De todos modos seguiré con el Munkres en mano, preguntandote lo que no pueda desarrollar o no me quede claro, puede ser? gracias. mabel.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 22/06/2010, 12:49:42 pm
    Hola.

    Me frené en el capítulo 2 por problemas de mala suerte con la computación, básicamente
    No puedo trabajar con la misma comodidad de antes...
    Estoy de a poco tratando de arreglar las cosas.
    Además quiero agregar más material gráfico, que creo que hace mucha falta, y a veces me las arreglo, pero a veces no.

    Sin embargo, podés preguntarme igual sobre las secciones que faltan, no hay problema.

    En cuanto al "X" y los discos, es el plano euclidiano, ya que la palabra "disco" se usa en el plano, y la palabra "bola" es el término general en espacios más generales.
    Luego fui generalizando de a poco, hasta lograr la mayor abstracción posible.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 24/06/2010, 10:35:23 am
    hola nuevamente, pregunta que puede parecer obvia, pero quiero asegurarme
    referido a los discos. el borde se define
    [texx]\begin{align*}\displaystyle   B_r(P) := \{Q\in X:|Q-P|= r\}.\end{align*}[/texx]
    ¿?
    Aparte, me parece muy bien lo de las gráficas, nos aclara a todos muchísimo, ya que esta materia es tan abstracta, que tus dibujos, por lo menos a mí me están sirviendo de mucho. gracias. mabel.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 24/06/2010, 10:59:46 am
    El borde...

    Bueno, en el plano clásico de la geometría euclidiana, el borde del disco se define tal como lo has escrito.

    Pero en topología se usa otra definición de "borde", que en realidad se llama "frontera", y se aplica a cualquier conjunto, no necesariamente discos o cosas similares.

    Cuando hacemos topología del plano, usando a los discos abiertos como base, resulta que la "frontera" del disco coincide con el conjunto de "borde" que definiste.

    Pero ese tipo de cosas hay que demostrarlas.
    Cuando vayas por conjuntos "cerrados" o "puntos límite", podemos echar una ojeada de nuevo a este asunto.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 24/06/2010, 11:18:40 am
    va otra más, perdón por lo desprolijo de las consultas, pero aparecen mientras voy leyendo el material.
    Esta expresión:
    [texx]\begin{align*}\displaystyle \tau &=\Big\{A\subset X|\\   &\qquad\qquad A=\emptyset\textsf{\ ó bien\ }\\   &\qquad\qquad\qquad \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}:      A=\bigcup_{\iota\in I}N_\iota\textsf{\ \ y\ \ } N_\iota = B_{r_{\iota }}(P_\iota),              \textsf{\ para ciertos\ }            P_\iota\in X, r_\iota>0 \Big\}\end{align*}[/texx]

    sería en síntesis la forma de definir la unión de discos sin borde ? o soy muy simple en el razonamiento?
    gracias. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 24/06/2010, 11:20:46 am
    hola:
    bueno justamente mi pregunta del borde se refería a la continuidad y uso posterior para la frontera y demás, pero espero y cuando llegue a ese punto te consulto. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 24/06/2010, 12:03:22 pm
    va otra más, perdón por lo desprolijo de las consultas, pero aparecen mientras voy leyendo el material.
    Esta expresión:
    [texx]\begin{align*}\displaystyle \tau &=\Big\{A\subset X|\\   &\qquad\qquad A=\emptyset\textsf{\ ó bien\ }\\   &\qquad\qquad\qquad \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}:      A=\bigcup_{\iota\in I}N_\iota\textsf{\ \ y\ \ } N_\iota = B_{r_{\iota }}(P_\iota),              \textsf{\ para ciertos\ }            P_\iota\in X, r_\iota>0 \Big\}\end{align*}[/texx]

    sería en síntesis la forma de definir la unión de discos sin borde ? o soy muy simple en el razonamiento?
    gracias. mabel

    Un conjunto se definirá abierto si es unión de "alguna" familia de discos sin borde.
    Una familia de discos sin borde se puede describir como una familia de conjuntos [texx]\{N_{\iota }\}_{\iota \in I}[/texx] tal que cada uno de los elementos [texx]N_\iota[/texx] es un disco abierto.
    La familia [texx]\tau[/texx] de todos estos "abiertos" así considerados es lo que tomamos como topología del plano.

    Lo que he hecho con esa expresión es escribir las cosas de una manera menos "charlada".
    Creo que he estado buscando "traducir" de a poco entre la forma "charlada" y la manera "formal exacta", o sea, la escritura "lógica correcta" de lo que estamos diciendo.

    Vayamos traduciendo:

    (1) La topología del plano euclidiano es la colección [texx]\tau[/texx] de todos los conjuntos [texx]A[/texx] que son uniones de discos abiertos. Las uniones pueden ser finitas o infinitas, o sea, arbitrarias, sin restricción.

    (2) La topología [texx]\tau[/texx] del plano se define como:

    [texx]\tau=\{A:A\textsf{\ es un subconjunto del plano tal que es unión de discos abiertos \ }\}[/texx]

    (3) La topología [texx]\tau[/texx] en [texx]X[/texx] se define por:

    [texx]\tau=\{A|A\subset X:A\textsf{\ es unión de discos abiertos \ }\}[/texx]

    (4) La topología [texx]\tau[/texx] en [texx]X[/texx] se define por:

    [texx]\tau=\{A\subset X|\textsf{\ hay una colección de discos abiertos cuya unión es \ }A\}[/texx]

    (5) La topología [texx]\tau[/texx] en [texx]X[/texx] se define por:

    [texx]\tau=\{A\subset X|\textsf{\ hay una colección de discos abiertos, digamos\ }\{N_\iota\}_{\iota},\textsf{\ tal que\ }A=\bigcup_{\iota}N_\iota\}.[/texx]

    Comentario: para no hacer engorrosa la escritura, no he puesto el conjunto de índices en el que varía [texx]\iota[/texx], pero el detalle es importante, porque el conjunto de índices depende de cada conjunto [texx]A[/texx].
    Esto se puede arreglar simplificando la notación, y usando la forma de "operador" que vimos unos posts atrás.
    En vez de hablar de una familia [texx]\{N_\iota\}_\iota[/texx], que dependen de un conjunto de índices [texx]\iota[/texx], podríamos simplemente hablar de una cierta familia de bolas [texx]\mathcal B_A[/texx], que depende de A, y tal que la unión de los elementos de [texx]\mathcal B_A[/texx] es A.
    ([texx]A=\bigcup \mathcal B_A[/texx]).

    Pero dejo la notación de índices para que "se entienda un poco mejor" intuitivamente.
    Estamos más acostumbrados a unir conjuntos "de a uno", y los subíndices nos hacen creer que estamos haciendo más o menos lo mismo, jeje.

    (6) La topología [texx]\tau[/texx] en [texx]X[/texx] se define por:

    [texx]\tau=\{A\subset X|\textsf{\ hay una colección de conjuntos, digamos\ }\{N_\iota\}_{\iota},\textsf{\ tal que cada \ }N_\iota\textsf{\ es un disco abierto y tal que \ }A=\bigcup_{\iota}N_\iota\}.[/texx]

    (7) La topología [texx]\tau[/texx] en [texx]X[/texx] se define por:

    [texx]
    \begin{align*}
    \tau=\{A\subset X|&\\
    &\textsf{\ hay una colección de conjuntos, digamos\ }\{N_\iota\}_{\iota},\\
    &\qquad\textsf{\ tal que \bf para todo índice\ }\iota: N_\iota\textsf{\ es un disco abierto y tal que \ }A=\bigcup_{\iota}N_\iota\}
    \end{align*}
    [/texx]

    (8) La topología [texx]\tau[/texx] en [texx]X[/texx] se define por:

    [texx]
    \begin{align*}
    \tau=\{A\subset X|&\\
    &\textsf{\ hay una colección de conjuntos, digamos\ }\{N_\iota\}_{\iota},\\
    &\qquad\textsf{\ tal que\ }\forall{\iota}:N_\iota=B_{r_\iota}(P_\iota)\textsf{\ para algún punto \ }P_\iota,\textsf{\ y algún radio (número positivo)\ }r_\iota,\textsf{\ de manera que\  }A=\bigcup_{\iota}N_\iota\}
    \end{align*}
    [/texx]

    (9) La topología [texx]\tau[/texx] en [texx]X[/texx] se define por:

    [texx]
    \begin{align*}
    \tau=\{A\subset X|&\\
    &\textsf{\ hay una colección\ }\{N_\iota\}_{\iota},\\
    &\qquad\textsf{\ tal que \ }\forall{\iota:}N_\iota=B_{r_\iota}(P_\iota)\textsf{\ para ciertos\ }P_\iota\in X,r_\iota>0,\textsf{\ de manera que\  }A=\bigcup_{\iota}N_\iota\}
    \end{align*}
    [/texx]

    (10) La topología [texx]\tau[/texx] en [texx]X[/texx] se define por:

    [texx]
    \begin{align*}
    \tau=\{A\subset X|&\\
    &\textsf{\ existe\ }\{N_\iota\}_{\iota},\\
    &\qquad\textsf{\ tal que \ }\forall{\iota:}N_\iota=B_{r_\iota}(P_\iota)\textsf{\ siendo\ }P_\iota\in X,r_\iota>0,\textsf{\ de manera que\  }A=\bigcup_{\iota}N_\iota\}
    \end{align*}
    [/texx]


    (11) La topología [texx]\tau[/texx] en [texx]X[/texx] se define por:

    [texx]
    \begin{align*}
    \tau=\{A\subset X|&\\
    &\exists\{N_\iota\}_{\iota},
    &\qquad\textsf{\ tal que \ }\forall{\iota}: N_\iota=B_{r_\iota}(P_\iota)\textsf{\ siendo\ }P_\iota\in X,r_\iota>0,\textsf{\ tal que\  }A=\bigcup_{\iota}N_\iota\}
    \end{align*}
    [/texx]


    La clave en todo esto es que quise mantener explícitamente todo el tiempo que los conjuntos A de la familia son uniones de bolas, porque si no, uno puede simplificar la escritura, haciendo un paso más:

    (12) La topología [texx]\tau[/texx] en [texx]X[/texx] se define por:

    [texx]
    \begin{align*}
    \tau=\{A\subset X|&\\
    &\exists\{P_\iota\}_{\iota}\subset X,\{r_\iota\}_{\iota}\subset (0,\infty):
    A=\bigcup_{\iota}B{r_\iota}(P_\iota)\}
    \end{align*}
    [/texx]


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 24/06/2010, 12:18:26 pm
    En el post anterior estuve escribiendo "disco abierto" cuando quería decir "disco sin borde".

    Espero que se entienda. En realidad el término "disco sin borde" no se usa, y lo he empleado yo para explicar mejor la geometría específica del plano.
    Pero la costumbre me ha llevado a escribir "disco abierto" en todas partes.

    Si no se entiende, lo arreglo.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 24/06/2010, 12:26:47 pm
    En los pasos del (7) en adelante me olvidé de "traducir" la palabra "cada" por "para todo", que luego se convierte en el cuantificador universal [texx]\forall{}[/texx].

    Así que ahora lo arreglé, y te ruego que lo vuelvas a mirar a esos pasos para ver cómo quedó.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 24/06/2010, 01:36:31 pm
    gracias, ya lo imprimí, lo leo con detenimiento y te consulto cualquier cosa. como verás no te librás de mí fácilmente. :)


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 24/06/2010, 01:48:35 pm
    Ahora me quedó mucho más claro a qué se quiere llegar y los pasos: definir que es una topología del plano en funcío de los discos abiertos. gracias. mabel. vuelvo más tarde


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 24/06/2010, 03:43:40 pm
    Preguntá lo que quieras, no hay problema.

    Ocurre que muchas veces "pienso en idioma lógico" y lo "escribo en castellano" o bien algo intermedio, y cuando uno elige expresiones intermedias se pierde exactitud matemática.

    Me parece importante ir entrenándose en el manejo exacto de las expresiones lógicas con conjuntos, puesto que es una de las habilidades que a uno luego le dan confianza en el resto de la matemática.

    Uno puede decir muchas cosas con ideas, pero al final hay que poder expresarlo con exactitud matemáticamente.

    Para eso hay que tener más o menos claro que el lenguaje lógico es "restrictivo" en la manera en que permite construir enunciados o afirmaciones. Se me ocurren los siguientes criterios:

    * Usar letras (latinas o griegas) para indicar variables, constantes, conjuntos, subíndices, etc, pero no para expresar "palabras".

    *) Aceptar el uso de números (en toda la matemática necesitamos usar números).

    *) Permitirse usar los símbolos de cuantificación [texx]\forall{,\exists{}}[/texx], y los simbolos de pertenencia, inclusión, igualdad: [texx]\in,\subset,=[/texx].

    *) Permitirse el uso de paréntesis, y signos que indiquen operaciones o relaciones: [texx](,),<,>,\cup,\setminus,\prod,\sum,\bigcup,\bigcap[/texx].

    *) Y reemplazar los "tal que" por ":", y sólo detrás de un cuantificador.

    Uno tiene que tratar de expresar las relaciones matemáticas que necesita restringiéndose a esos signos del lenguaje.
    Claro que también hay ciertas reglas en la manera de combianar esos símbolos, pero no creo que haga falta entrar ahora en eso, y tampoco creo que convenga...

    Pero sí hay que tratar de "eliminar" la fraseología en castellano, hasta que quede algo bien escrito, con exactitud, en lenguaje lógico-matemático.

    Una vez que uno se mueve con seguridad en estas expresiones, puede "relajar" la manera de hacer una exposición, reemplazando signos por palabras, a fin de hacer la lectura menos accidentada, más suave, más placentera, en fin.

    Pero no es posible explicar matemática en "castellano" (en prosa) si no se tiene un manejo exacto del costado "lógico estricto".

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 25/06/2010, 12:33:41 am
    hola arentinator: muy buenas tus sugerencias, tenes toda la razón. Sucede que hasta ahora me manejé en el nivel secundario y terciario (análisis de sistemas) y te diré que ambos ambientes, hay que traducir tanto que se pierde toda la simbología, sería muy bueno que desde la primaria se trabajara con la simbología más simple para luego acostumbrarlos, de otra forma es muy difícil y uno termina escribiendo cualquier cosa, es decir mezcla de símbolos y palabras y aún así, piden expliquelo en facil.
    bueno, mañana seguimos con la topología n-dimensional. gracias. saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 25/06/2010, 12:37:28 am
    Saludos, hasta luego  :)


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 25/06/2010, 06:49:26 pm
    hola profe: de nuevo y ahora sí empieza el baile: ( para mí), aplicar lo leído:
     A ver si me  podés orientar en esto:
    El ejercicio en cuestión dice:( ejercitación de la materia que curso)
    Probar que en un espacio métrico (X;d)
    a) X y [texx]\emptyset[/texx] son abiertos
    b) la unión de una familia de abiertos es abierto
    la intersección de una familia finita de abiertos es abierto
    En el ejercicio siguiente dice lo mismo pero para cerrados
    La verdad es que no sé como empezar lo que tengo claro es que [texx]\emptyset[/texx] es tanto abierto como cerrado, pero X, ( que vendría siendo el plano, espacio, o la n-dimensión) también es abierto y cerrado? o abierto solamente?
    espero tu respuesta y sigo resolviendo ejercicios, y se vendrá otra catarata de dudas.


    Perdón pero creo que aunque no me queda muy clara la parte posterior creo que está en el apunto, lo veo y consulto
    gracias


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 25/06/2010, 07:59:41 pm
    Bueno, aquí voy empezando a aclararme algunas cosas, en tu explicación anterior, lo que entiendo es como definis una familia de conjuntos [texx]\tau[/texx]  que luego probarás, demostrando los 4 axiomas que es una topología, ¿ Hasta ahí bien?
    Es lo mismo que me piden en el ejercicio a mí, pero sin la definición que has hecho de [texx]\tau[/texx] 
    Pregunta:
    ¿Porqué definiste así
    [texx]\tau=\{A:A\textsf{\ es un subconjunto del plano tal que es unión de discos abiertos \ }\}[/texx]
    por conveniencia para demsotración posterior de axiomas 3 y 4?
    Si no defino así [texx]\tau[/texx] y digo simplemente X sin aclarar que son los conjuntos abiertos?
    se entiende la pregunta?, perdón si es para crispar, pero me parece fundamental tenerlo claro ahora para poder seguir con los contenidos siguientes. gracias por tu paciencia, desde ya. mabel




    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 25/06/2010, 11:08:32 pm
    No, con el X solamente no sirve para definir una topología.

    X es sólo un conjunto, y una topología es un conjunto sobre el cual se "toma en consideración" una "estructura".

    Un error muy común es pensar que un conjunto ya tiene su propia estructura.
    Eso pasa porque estamos acostumbrados a trabajar con operaciones dentro del conjunto, y no nos damos cuenta de que el conjunto y la estructura están separados (desde el punto de vista de la teoría de conjuntos), y que luego se han juntado como un todo.

    Por ejemplo, cuando trabajamos con los números enteros, estamos acostumbrados a trabajar con la suma, resta y producto de dichos números.
    Y entonces hablamos del "conjunto" Z de los números enteros y sus propiedades.
    En realidad esto está mal dicho, mal expresado, porque los elementos de un conjunto no tienen orden interno, ni estructura. Son solamente una colección de objetos.

    De un conjunto sólo puede saberse su "cardinalidad", y claro está, los elementos que le pertenecen.

    Así que Z, como conjunto, es sólo un conjunto infinito numerable, y nada más puede saberse de él.
    Para poder hacer operaciones, hay que dotarlo de estructura, y esto significa que a cada elemento de Z se lo distingue de los otros por medio de una estructura que dice qué operaciones se pueden hacer con ellos.

    Por eso yo siempre hablo del "sistema de números enteros" y no del "conjunto de números enteros", porque pienso que eso induce a confusión.
    El "sistema" de números enteros es una lista (Z, +, ., <, 0, 1), formada por un conjunto Z, es cierto, pero también unas operaciones + y . (suma y producto), una relación de orden < definida en Z, y también unos elementos 0 y 1 que se distinguen por tener propiedades especiales (son neutros respecto las operaciones + y .).

    La suma es ahora una "función" de dos variables, cuyo dominio es el producto cartesiano Z x Z, y cuya imagen es Z mismo.
    Lo mismo para el producto.
    Ambas operaciones se relacionan con el orden < satisfaciendo ciertas propiedades.
    Y un largo etcétera.

    Con espacios métricos pasa lo mismo.
    Un conjunto "pelado" X no tiene estructura ni propiedades, salvo una lista de elementos, y un cardinal.
    La estructura hay que "imponérsela" desde afuera, nosotros le decimos a los elementos del conjunto X cómo tienen que comportarse y relacionarse entre sí.

    Por eso, un espacio topológico necesita de un par [texx](X, \tau)[/texx], tal que X es un conjunto dado, y [texx]\tau[/texx] es una familia de subconjuntos del mismo X que cumplen los Äxiomas de una "topología".

    Si tengo solamente X... ¿cómo voy a hacer para "adivinar" cuáles son los abiertos, los cerrados, etc?



    Me parece bien que preguntes estas cosas.
    Yo las escribo naturalmente creyendo que se entienden, pero el formalismo matemático seguramente requiere explicación.
    La clave está en que si vas a demostrar propiedades de algo, o calcular algo, necesitás que los objetos o cosas de las que hablás tienen que estar definidas o construidas en alguna parte.



    Cuando uno estudia topología general, "asume" que tiene una familia de conjuntos "abiertos".
    Pero en la práctica, te dan una familia de conjuntos y tenés que probar que realmente cumple con los axiomas de topología.
    Una vez hecho esto, podés decir que los conjuntos son abiertos... pero claro, sólo respecto a esa topología.

    Y acá es cuando surge otra cuestión que no permite especificar el X solito: en un mismo conjunto X se puden definir muchas topologías distintas, y por eso hay que especificar claramente las dos cosas: el conjunto X y la familia [texx]\tau[/texx].



    En cuanto a los 10 pasos que dí antes... no he demostrado nada.
    Solamente te "mostré" 10 o 12 formas distintas de escribir lo mismo.
    Lo único que hice fue pasar de una forma "conversada" a un formato más "técnico", lógico, formal.

    La "idea" es que estamos definiendo una topología en el plano a partir de discos abiertos, y entonces decimios, "informalmente" que un abierto será una "unión de discos abiertos".

    Para decirlo con mayor exactitud es que vamos puliendo el lenguaje hablado hasta llegar a los cuantificadores  y los signos de conjuntos, etc.

    Para demostrar que X es un "elemento de la topología" en (X, d), lo que hacemos es escribirlo como una "unión de bolas abiertas" (si es que estamos en un espacio métrico cualquiera).
    Eso es todo lo que queremos, pero bueno, lo hacemos paso a paso, buscando bolas definidas con la distancia d que nos den la métrica.





    En cuanto a las cosas que yo fui escribiendo por ahí, el "X" es un espacio que comienza siendo un plano.
    Lo que hago es construir una topología en el plano, en base a discos abiertos.
    Después lo que hago es tratar de cambiar la "intuición geométrica" al espacio 3-dimensional, y luego al n-dimensional.
    Lo único que hago es "cambiar la notación" y el "palabrerío", pero las demostraciones son las mismas.

    Y por eso estoy insistiendo siempre con cambios de notación.
    A lo mejor te he confudido porque hago lo mismo más de una vez posiblemente, pero eso es sólo para mostrar que "lo mismo" se dice de modo "diferente", y al hacerlo así "se adapta" la demostración o la construcción a "espacios geométricos" más generales.

    O sea, la misma demostración vale en contextos más generales que el n-espacio euclidiano.
    Puede ser un espacio métrico cualquiera (X, d) (siempre que hablemos de bolas).

    En la recta numérica real la topología se genera con "intervalos". Los intervalos son como "bolas" o "discos" degenerados, porque tienen una sola dimensión... pero lo interesante es que la recta está ordenada, y entonces la misma topología puede "mirarse" con una idea distinta a la de una "métrica", y aprovechar el concepto de "orden", generalizando a "topologías de orden" en cualquier conjunto ordenado.

    Generalizaciones puede haberlas de varias formas, y en varias direcciones. La topología permite estudiarlas a todas de modo muy general.

    Espero esto aclare tus dudas.

    Si no entendí tus preguntas, decime.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 26/06/2010, 01:58:04 am
    Hola profe, de nuevo golpeando la puerta
    A ver, clarísimos tus conceptos, pero la verdad es que no encuadran en lo que tengo de teoría, que no sé por que la veo más simple.

    " Una  colección T de subconjuntos de X se dirá que es una topologÌa sobre X si:
     Xes uno de los elementos de esa colección,
    si [texx]\emptyset[/texx]  es un elemento de la colección,
    si la unión de elementos de la colección da como resultado un elemento de la colección
    y si la intersección finita de elementos de la colección también es un elemento de
    la  colección."

    Hasta ahí todo va igual, mi duda aparece cuando se dice
     
    A  los  elementos  de  la  colección  T  se  les  denomina  abiertos  de  la
    topologÌa T, y al par (X,T) se le denomina espacio topológico.

    En este caso T vendría a ser [texx]\displaystyle \tau[/texx]
    pero no se lo define como unión de abiertos, entonces

    Cuando se pide probar que (X,d) es un espacio métrico
    para probar que X es abierto, simplemente se puede decir
    [texx] \forall{[/texx] x [texx]\in{}[/texx] X y [texx]\forall{}[/texx]delta[texx]\geq{}[/texx] o B(x,detla)[texx]\subset{}[/texx]X

    Es decir se libera de todo lo que incluis vos como unión de abiertos, que no es que no lo comprenda sólo quiero saber si son equivalentes . gracias. mabel.








     


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 26/06/2010, 02:20:01 am
    En cuanto a demostrar que X es abierto, depende de la definición de abierto que se use.

    * Si abierto significa: "ser unión de discos sin borde", entonces hay que demostrar que vale esta igualdad de conjuntos:

    [texx]X=\bigcup_{x\in X} B(x,r_x)[/texx]

    en donde [texx]r_x[/texx] es algún número positivo que depende de cada x, pero no importa mucho, ya que se trata de un caso sencillo.

    * Si abierto significa "tener un disco centrado en cada punto del conjunto", entonces hay que demostrar que en cada punto x del conjunto X existe una bola B(x, r) incluida totalmente en X (aquí el radio r dependería del punto x).

    Esto último es lo que vos hiciste.

    Puede ser que haya complicado las cosas en algún lugar.
    No sé qué razones habré tenido.
    A lo mejor quería resaltar alguna idea geométrica, quién sabe.  :)

    Ya no recuerdo.
    Pero bueno, teneme paciencia. Ese texto que puse es introductorio al capítulo 2.
    Algunas cosas te van a resultar demasiado pesadas, otras fáciles, y otras quizá incomprensibles, jeje.

    Igual tus comentarios son bienvenidos.
    Gracias por leer tan minuciosamente. Eso me ayudará a mejorar el texto.

    En la lista de ejemplos he dejado hacia al final algunos huecos sin llenar, porque quise acelerar los temas de teoría, y seguí adelante con el libro.
    Pero todo es mejorable.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 26/06/2010, 02:27:49 am
    muchísimas gracias, de todos modos tranquilo, yo entendí lo rebuscado de tu anotación, sino que vi la otra y me parecio más simple, pero vlae
    ahora seguiré con las demostraciones de los otros axiomas, pero mañana. saludos.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 26/06/2010, 02:31:38 am
    Hasta mañana


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 28/06/2010, 11:26:37 am
    hola de nuevo por aquí:
    Te pido opinión sobre las siguientes demostraciones, (no son siguiendo el formato de tu texto)
    "la unión de familias de abiertos es abierto"
    Sea [texx]\displaystyle A=\bigcup_{\iota\in I}A_\iota.[/texx]  donde [texx]A_\iota[/texx] es abierto

    Sea x un punto de A, entonces existe [texx] i \in{}I[/texx] , tal que [texx]A_\iota[/texx]  es abierto.

    Por lo tanto existe  [texx]\displaystyle r>0[/texx] que verifica B(x,r) [texx]\subset{}A_\iota\subset{}A [/texx], entonces A es abeirto.



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 28/06/2010, 11:36:51 am
    sigo porque me es difícil escribir un texto largo,
    ahora
    Ahora:
    "la intersección de una familia de abiertos es abierta"

    Sean G1 y G2 abiertos

    Sea G= [texx] G1 \cap{}G2[/texx]

    si G no es el vacío y

    tomemos un punto x, tal que [texx] x\in{}G1[/texx] y [texx] x\in{}G2[/texx] , que son abiertos

    Luego existen r1 y r2, mayores que 0, tales que

    [texx] x \in{}B)x,r1) \subset{}G1[/texx] y [texx] x\in{}B(x,r2)\subset{}G2[/texx]

    si llamamos r al menor de r1 y r2, resulta

    [texx] x\in{}B(x,r)\subset{}G1\cap{}G2 =G[/texx]

    luego G es abierto


    espero tus correciones. saludos, mabel.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 28/06/2010, 12:27:40 pm
    hola de nuevo por aquí:
    Te pido opinión sobre las siguientes demostraciones, (no son siguiendo el formato de tu texto)
    "la unión de familias de abiertos es abierto"
    Sea [texx]\displaystyle A=\bigcup_{\iota\in I}A_\iota.[/texx]  donde [texx]A_\iota[/texx] es abierto

    Sea x un punto de A, entonces existe [texx] i \in{}I[/texx] , tal que [texx]A_\iota[/texx]  es abierto.

    Por lo tanto existe  [texx]\displaystyle r>0[/texx] que verifica B(x,r) [texx]\subset{}A_\iota\subset{}A [/texx], entonces A es abeirto.



    Me  parece perfecto.

    Esta demostración es válida en todo espacio topológico que tenga una métrica d, o más aún, que tenga alguna noción de bolas B(x, r) en el espacio.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 28/06/2010, 01:32:23 pm
    sigo porque me es difícil escribir un texto largo,
    ahora
    Ahora:
    "la intersección de una familia de abiertos es abierta"

    Sean G1 y G2 abiertos

    Sea G= [texx] G1 \cap{}G2[/texx]

    si G no es el vacío y

    tomemos un punto x, tal que [texx] x\in{}G1[/texx] y [texx] x\in{}G2[/texx] , que son abiertos

    Luego existen r1 y r2, mayores que 0, tales que

    [texx] x \in{}B)x,r1) \subset{}G1[/texx] y [texx] x\in{}B(x,r2)\subset{}G2[/texx]

    si llamamos r al menor de r1 y r2, resulta

    [texx] x\in{}B(x,r)\subset{}G1\cap{}G2 =G[/texx]

    luego G es abierto


    espero tus correciones. saludos, mabel.

    Con respecto a la intersección, creo que también tenés razón.

    No recuerdo lo que hice yo, creo que habrá sido más complicado...
    Me puse a buscar cuál era el radio máximo que cabía en el punto x, para cada uno de los abiertos (que en mi caso eran bolas), y de esos dos radios tomé el mínimo.

    No sé por qué busqué el máximo. Es una cuestión de precisión, a lo mejor con la intención de que se viera geométricamente bien lo que estaba ocurriendo.

    Pero pensando en lo que vos hiciste, creo que tenés razón, ya que si uno toma la bola de radio más chico, parece muy lógico que esté contenida en los dos abiertos.

    Pero es cierta una cosa: "al menos tuviste que tomar el mínimo de dos números", o sea, tuviste que hacer una "cuentita". Mi propio desarrollo tal vez apunte a eso, a mostrar que la intersección requiere hacer alguna cuentecilla más, que no son meras inclusiones de conjuntos.
    Sin embargo, parece que mi enfoque es muy complicado de más.

    Pero ahora que lo pienso, hay otra sutileza en todo este asunto, que ahora me vengo a dar cuenta.
    Me parece que el lado "positivo" de mi construcción pasa por una cuestión técnica más profunda.
    Al definir explícitamente cuáles son los "radios" de las circunferencias en torno de los puntos x de la intersección, me he evitado el uso del Axioma de Elección...

    Recordemos que el objetivo era escribir la intersección de abiertos como un elemento de la topología, y entonces esto quiere decir, escribir dicha intersección como unión de bolas abiertas en torno a cada punto x.
    Pero entonces, para cada x en esa intersección hay que "elegir" un radio [texx]r_x[/texx] adecuado, que depende de x.
    Si sólo digo que en cada x "existe" un radio [texx]r_x[/texx], y no digo cuál es ese radio, no tengo un criterio para "elegir" un radio para cada x.
    Sin embargo, usando el Axioma de Elección, esto es perfectamente factible, porque ese tal Axioma nos permite "elegir" de entre familias de conjuntos que sabemos son no vacías (en este caso, conjuntos de "radios").

    Pero yo evité usar ese polémico Axioma de Elección.

    Bueno, no sé si te aclaré o te confundí peor.
    En conclusión, creo que lo tuyo es correcto, porque probaste que cada punto tiene una bola contenida en la intersección, y eso es consecuente con "tu" definición de abierto.
    "Mi" definición requiere una vueltita de tuerca más porque estoy pidiendo que un abierto sea "unión de bolas".
    En el fondo, es lo mismo, pero el modo de probar las cosas puede variar un poquito.

    No sé qué definición es la mejor.
    Las dos son igual de convenientes, incluso en espacios topológicos más generales.



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 28/06/2010, 02:09:01 pm
    hola de nuevo, ¡qué bueno esto de tener el profe al toque en la consulta! Un lujito!!
    La verdad es que no pensé en axioma de elección ni mucho menos, pero si usé la lógica (mía) de pensar que el menor si o sí debía esta incluido
    Ahora salté a la sección 17 de tipos de conjuntos y puntos, perdón por lo desordenado, pero en la ejercitación que poseo habla de interior, clausura y borde con esos tipos de puntos, así que me metí de lleno
    Surge el problema, no menor, del [texx]\emptyset[/texx], qué disyuntiva,
    ¿es cerrado? ¿es abierto? ¿es abierto y cerrado?
    Mi pregunta apunta a que cuando hablamos de demostrar que es una topología ( como unión o selección de abiertos) se lo considera abierto, pero mientras en la sección 17, dice en el Teorema de las propiedades de los conjuntos cerrados [texx]\emptyset[/texx] y X son cerrados
    entonces??
    de nuevo muchísimas gracias por tus respuestas tan orientadoras.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 28/06/2010, 02:20:04 pm
    El vacío y el total siempre tienen que ser abiertos, porque si alguno no está, la familia dada no es topología.

    Por eso aconsejo: SIEMPRE VERIFICAR PRIMERO QUE EL VACIO Y EL X ESTÁN EN LA FAMILIA DADA.

    Bien, los cerrados son complementos respecto X de abiertos, así que X y el vacío son cerrados.

    Así que el vacío y el X son abiertos y cerrados a la vez siempre.

    Pero claro, cuando te dan una familia, y te piden probar que es topología, hay que verificar que el vacío y el X están.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 28/06/2010, 02:30:20 pm
    Ahh bien, uno es complemento del otro, claro!!!
    una más y te tedo tranki por un rato, me voy a trabajar, pero sin antes, consultar respecto del Int y clausura
    Por lo visto en el apunte, uno es complemento del otro?
    O tal vez yo lo pensaba como la clausura la cáscara del conjunto, el borde de los discos o de las bolas, se me confundió ahí la cosa. de nuevo gracias, nos vemos luego. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 28/06/2010, 02:35:54 pm
    La clausura sería el conjunto dado unido a su frontera.
    El interior son todos los puntos del conjunto que están "holgaditos", o sea, tienen un entorno (una bolita) alrededor que todavía yace en el conjunto dado.

    Pero se pueden definir de otra manera más formal, que para hacer demostraciones puede ser más sencillo:

    Interior (A) = unión de todos los abiertos incluidos en A.
    Clausura (A) = Intersección de todos los cerrados que incluyen al A.

    Los puntos límite de A son aquellos x a los que uno puede "acercarse" mediante puntos de A distintos de x.

    La frontera puede definirse de varias maneras. Fijate en los ejercicios las igualdades que hay con la frontera, y las vamos estudiando.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 28/06/2010, 02:51:37 pm
    ajá si, no me quería meter mucho en los ejercicios antes de tener claro esto, entonces claor clausura no es limite!!. bien. sigo más tarde. hasta luego. saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 28/06/2010, 03:28:15 pm
    Es más, todo punto de A está en la clausura de A.

    Pero puede haber puntos del mismo A que no sean punto límite de A: se trata de los puntos "aislados".



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 29/06/2010, 10:49:28 am
    Buen día
    Se me atravesó el tema de los tipos de puntos y conjuntos. ( perdón si no uso el lenguaje simbólico, pero como no tengo claro el concepto sería un lío)

    Voy a escribir lo que entendí hasta ahora y por favor te pido me corrijas o aclares si es necesario

    1. x es interior de A si existe una bola abierta alrededor de él que esté incluida en A. El cojunto de  todos los puntos interiores de A hacen el conjunto int(A).

    2. El conjunto clausura:
    a) no puedo verlo como intersección  de los cerrados que incluyen a A. ¿hay puntos exteriores a A, porque puede haber un conjunto cerrado que incluya a A, pero que además no tenga elementos de A?
    b) Por otro lado se define como clausura al conjunto de puntos adherentes de A y ahí viene la cosa.
    Punto adherente:se lo define como: " x es adherente si toda bola de centro en x contiene puntos de A. entonces me surge el conflicto entre adeherentes e interiores, ¿Cuál sería la diferencia esencial? gracias.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 29/06/2010, 12:48:14 pm
    Lo que veo es que estás hablando de "bolas abiertas", así que estás asumiendo que estamos en un espacio métrico.

    En topología general no siempre hay "bolas".... mmmm

    Así que concretemos al menos que estamos hablando de cosas más específicas: bolas en un espacio métrico.

    Inclusive, hasta podríamos decir que estamos trabajando en un espacio métrico bien conocido: [texx]\mathbb{R}^n[/texx].

    Un conjunto A puede tener regiones muy irregulares de diverso tipo, pero si un punto x es interior, quiere decir que al menos en esa zona por donde vive el x, hay un conjunto abierto que contiene al x, o sea, es un lugar menos "inhóspito" jeje. Es bastante holgadito.

    En particular hay una bola centrada en x ahí.

    Bien.

    En cuanto a los conjuntos cerrados, son complementos de abiertos. Claro.
    Ahora nos preguntamos por todos aquellos puntos que están "cerca" de un conjunto C.
    Obviamente, los mismos puntos de C están "cerca" de C.
    Los puntos x "cercanos" a C que vienen de afuera de C satisfacen que hay alguna sucesión de puntos de C que se aproxima al x.
    Esa es la idea en el espacio euclidiano.
    Uno puede acercarse por alguna sucesión, por ejemplo, que venga desde "adentro" del conjunto C.

    Sea [texx]\{x_n\}_n[/texx] la sucesión. Lo que estamos diciendo es que el límite de [texx]x_n[/texx] tiende a x cuando n tiende a infinito.
    Ahora bien, esto quiere decir que, para todo [texx]\epsilon[/texx] existe un índice N  tal que
    para todo [texx]n \geq N[/texx] los puntos [texx]x_n[/texx] "caen" todos adentro de [texx]B_\epsilon (x)[/texx].
    El valor de N depende de [texx]\epsilon[/texx].

    Esto significa ahora que todo abierto U que contenga a x tiene asociado un índice [texx]N=N_U[/texx] como antes, ya que "dentro" de U hay alguna bolita que contiene a x como centro,
    y por lo tanto [texx]x_N\in U[/texx].
    Pero recordemos que [texx]x_N[/texx] es un elemento de C.

    Lo que estamos concluyendo es lo siguiente:

    * Dado un abierto U que contiene al punto x, hay algún punto de C, que también pertenece a U.

    Esto es equivalente a pedir que [texx]U\cap C\neq \emptyset[/texx].

    Pero si esto ocurre para todo entorno U de x, resulta que x es punto de aherencia de C.

    La diferencia entre "adherente" e "interior" es que

    * un punto x es adherente si la intersección de "toda bola" que en torno a x con el conjunto es no vacía.

    * un punto x es interior si "existe una bola" completamente contenida en el conjunto.

    Fijate el dibujillo:

    El punto z es "adherente", porque tomo un abierto U cualquiera, dentro de él una bola de centro z, y "me conformo" con encontrar "al menos" un solo punto p que esté dentro de A.
    Hay muchos otros puntitos verdes ahí, pero no me interesan. Conque haya uno, el p, me alcanza.
    No hace falta que la bola B(z, r) esté contenida en A.

    Para decir que el punto x es interior, tengo que encontrar una bola, la roja, tal que todos los puntos de esa bola estén contenidos dentro de A.

    (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=28735.0;attach=6914)



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 29/06/2010, 01:09:07 pm
    gracias por la rapidiísima respuesta
    una conclusión tal vez alocada
    un punto interior puede considerarse adherente también pero un adherente no puede ser nunca interior?
    gracias. ahora sí puedo seguir con los otros..


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 29/06/2010, 01:28:11 pm
    Todo punto de A está en la clausura de A, trivialmente.

    En particular un punto interior de A es un punto de A, y está en la clausura.



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 30/06/2010, 12:23:18 am
    hola profe:
    bueno mando algo hecho, para ver si hay algo que correjir, agregar,etc. Pido disculpas por no seguir la ejercitación propuesta pero, voy haciendo los que tengo de la materia y luego analizaré los propuestos, creo que algunos deben ser muy similares. Lógicamente en todos casos me estoy refiriendo a que (X,d) es un espacio métrico.

    la consigna " la unión de cerrados es cerrada"
    LLamemos [texx]\begin{align*}\displaystyle A=\bigcup_{\iota \in I} N_\iota,\end{align*}[/texx]
    , donde  [texx]\displaystyle N_i[/texx]  es cerrado [texx] \forall{}i\in{}I[/texx]
    [texx] A^c [/texx] = [texx](\bigcup_{\iota \in I} A_\iota)^c [/texx]  = [texx]\bigcup_{\iota \in I} A_\iota ^c}[/texx]
    donde cada [texx] A_i[/texx] es abierto ya que [texx] A_i[/texx] es cerrado
    luego [texx] A^c [/texx] es abierto, ya que es la intersección de una familia de abiertos, por lo demostrado anteriormente
    Entonces A es cerrado por ser el complemento de un abiero.

    El mismo procedimiento se puede seguir para demostrar que la intersección de cerrados es cerrada. gracias. por la paciencia. mabel.




    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 30/06/2010, 12:30:20 am
    Mmmm

    Esa igualdad no es cierta.

    La unión de cerrados no es necesariamente cerrada.
    Por ejemplo, un punto en el plano euclidiano es cerrado, pero la unión de puntos con coordenadas racionales es un conjunto que no es cerrado, ni abierto, ni nada...

    La unión de una cantidad "finita" de cerrados es cerrada.
    La intersecciónde una cantidad "finita" de abiertos es abierta.

    Pero uniones arbitrarias de cerrados no siempre da cerrado.

    Como sólo son válidas uniones finitas, no hace falta unir sobre una familia general.
    Basta tomar 2 conjuntos cerrados, unirlos, y probar que es cerrado.
    Luego, por inducción, se puede probar que la unión de n cerrados es cerrado.

    A propósito. ¿Qué definición de cerrado estás usando en (X, d)? ¿Complemento de algún abierto, o usando la noción de adherencia, o cómo?





    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 30/06/2010, 12:38:07 am
    está correcta tu observación la consiga es " la unión finita de de una familia de cerrados es cerrada".
     Y si la definición de cerrado que tomo es complemento de abierto


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 30/06/2010, 12:42:18 am
    La idea es correcta, pero erraste el símbolo de la operación.
    Debe haber sido un mero error de tipeo: al usar las leyes de De Morgan, hay que poner "intersección".

    Y entonces el razonamiento estaría perfecto.
    Es así cómo se razona, no hay duda.
    Incluso, la misma prueba vale cualquier espacio topológico, no sólo métricos, porque solamente se está usando que "un cerrado es complemento de un abierto", y las leyes de De Morgan.


    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 30/06/2010, 12:44:11 am
    ahh bueno, muchas gracias. si fue un error de tipeo, pero tengo bien presenta la aplicación de De Morgan. siguen las gracias.
    pero no termina aquí.
    nos vemos.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 30/06/2010, 01:57:25 am
    sigo todavía en pie, medio dormida peroen esto.
    Intenté una demostración, no sé que salió y la segunda parte me quedó trunca, podés ver lo que hice y tirarme una idea para seguir

    " x es punto de acumulación de A sii d(x,A) = 0
    [texx]\Rightarrow{}[/texx] x es de acumulación [texx]\Rightarrow{}[/texx] d (x,A) = 0

    x es de acumulación de A si [texx]\displaystyle B_r(\mathbf x)[/texx] [texx] \forall{}r>0[/texx], incluye puntos de A diferentes de x

    si   [texx]\begin{align*}\displaystyle   B_r(  x) := \{  y\in X:d(x,y) < r\}.\end{align*}[/texx]

    entonces el inf [texx]{d(x,y)/ x\in{}A e y \in{}B}= 0[/texx], entonces d(x,A)= 0

    para la 2da parte, pensé

    d(x,A)=0, [texx]{d(x,y)/ x\in{}A e y \in{}B}= 0[/texx] y ahí me quedé

    veamos que salió


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 30/06/2010, 02:05:54 am
    La primer parte no me queda muy clara cómo la estás probando.

    Hay dos formas: directa o por absurdo.

    En la forma directa, hay que tomar un número positivo r, y probar que hay un punto z del conjunto A tal que d(x, z) < r.
    En ese caso, el ínfimo que estás calculando está obligado a ser menor o igual que r.
    Pero como esto lo probarías para r arbitrario, el único número no negativo que es menor o igual que todo r positivo... es el 0.

    Creo que eso estás tratando de decir, pero hay que ser más claro.
    Está bien invocar el hecho de que en la bola de radio r hay puntos distintos de x.
    Hay que tomar uno de esos puntos, y usarlo un ratito para probar lo que te indiqué arriba.


    La prueba por reducción al absurdo procedería suponiendo que la distancia del conjunto A al punto x es positiva, digamos s > 0.
    En tal caso, tomando una bola de radio s/2 (o incluso menor, si te gusta) en torno al punto x, se obtiene un abierto que necesariamente es disjunto con A, porque si no el ínfimo no sería s, sino algún número menor o igual que s/2, contra la hipótesis.
    Pero entonces la bola B(x, s/2) es un entorno de x que no contiene puntos de A, y esto contradice que x es punto de adherencia de A.

    Fijate si se entiende lo que dije, si no, lo escribo menos conversado y con más rigor lógico.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 30/06/2010, 02:16:22 am

    La primer parte no me queda muy clara cómo la estás probando.

    Hay dos formas: directa o por absurdo.

    En la forma directa, hay que tomar un número positivo r, y probar que hay un punto z del conjunto A tal que d(x, z) < r

    Pregunta: hay que probarlo a esto anterior que escribiste o se cumple sólo por el hecho de ser punto de acumulación?




    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 30/06/2010, 02:23:09 am
    respecto a lo que decís

    "En ese caso, el ínfimo que estás calculando está obligado a ser menor o igual que r.
    Pero como esto lo probarías para r arbitrario, el único número no negativo que es menor o igual que todo r positivo... es el 0.

    Creo que eso estás tratando de decir, pero hay que ser más claro.
    Está bien invocar el hecho de que en la bola de radio r hay puntos distintos de x.
    Hay que tomar uno de esos puntos, y usarlo un ratito para probar lo que te indiqué arriba.

    Esto quiere decir que al tomar puntos de la bola de radio r, deberia trabajarlo para indicar que es distinto de x?

    ya estoy muerta de sueño, miro tus respuestas mañana y sigo
    mil gracias. saludos.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 30/06/2010, 02:26:58 am
    Y... cuando te dije "tenés que probarlo", no se trata de una prueba difícil... es casi lo mismo que decir que es un punto de "adherencia".

    Pero hay que desenredar un poco la madeja desde al definición de "adherencia" hasta la conclusión d(x, A) = 0.
    "Probarlo" es simplemente "escribir las definiciones" y luego "fijarse si hay que deducir alguna cosita que falte para llegar a la conclusión".

    Los pasos son casi triviales, a lo mejor. Pero hay que escribirlos a todos de una manera clara.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 30/06/2010, 10:34:04 am
    a ver si pude cerrar esta cuestión
    x es de acumulación de A, entonces [texx]B(x,1/n)\cap{}A\neq{} \emptyset\forall{}n\in{}N[/texx]
    Luego existe [texx]a_n\in{}B(x,1/n)/d(x,a_n)<1/n \forall{}n\in{}N[/texx]
    Luego  el [texx] inf {d(x,a)/ a\in{}A}<1/n \forall{}n\in{}N[/texx]
    es decir d( {x},a) = 0

    para la vuelta
    d(x,a) = 0, dice que toda bola con centro en x debe contener puntos de A, o sea x es punto de acumulación de A

    para la primera parte miré un poco otras cosas porque no podía darme cuenta de que detalles faltaban, lamentablemente me falta mucho escirtura simbólica y lógica, pero, bueno, se irá adquiriendo.
    saludos. mabel.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 30/06/2010, 02:25:37 pm
    Bueno, la prueba de la primer parte ya estaría "matemáticamente" correcta.
    La corrección "lógica" falta pulirse, pero eso de a poco se va logrando.

    Una prueba está bastante correcta, según mi opinión, cuando uno comienza "exactamente" con la hipótesis, en el medio reemplaza hipótesis por definiciones o viceversa, se encadenan hechos o resultados intermedios de una manera clara y ordenada, y se llega al último paso con la "tesis" deseada, "tal cual" se indica en el enunciado.

    Porque si uno pone una conclusión "equivalente", es que al menos falta "un pasito" en la prueba.

    En el último paso, está correcto que si el ínfimo es menor que 1/n, todo n, entonces tiene que dar 0.
    En realidad es "solamente" [texx]\leq 0[/texx], y uno podría agregar, si es muy quisquilloso, un pasito que diga: "y además sabemos que toda distancia es no negativa, así que el ínfimo no puede ser negativo".

    Para la vuelta, no veo claramente cómo lo que has dicho es una prueba "completa" de lo que querés probar.
    Te doy mi versión.

    (1) Partimos de la hipótesis: d(x, A) = 0.
    (2) Como A es un conjunto, y no un punto, esta notación significa que:

    [texx]0=d(x,A)=\inf\{d(x,z):z\in A\}[/texx]

    (3) Usando una propiedad bien conocido de los supremos y los ínfimos, sabemos ahora que para cada [texx]n\in N[/texx] existe algún [texx]a_n\in A[/texx] tal que [texx]d(x,a_n)<1/n[/texx].

    (4) Consideremos, para un n fijo, la bola de centro x y radio 1/n.  Por lo visto en (3), vemos que al menos existe un punto z, digamos el [texx]z = a_n[/texx], tal que [texx]z\in B(x,1/n)[/texx].

    (5) Por lo tanto, para todo [texx]n\in N[/texx], la bola B(x,1/n) contiene algún punto de A.

    Ya hemos "casi" probado que x es de adherencia de A. Nos falta un paso, que es sencillo pero importante, porque puede que un contexto más general no tengamos "tanta suerte" de que el paso (5) alcance para hablar de "adherencia".

    (6) Sea U un entorno (abierto) cualquiera del punto x. Por ser entorno, existe alguna bola B con centro x tal que [texx]B \subset U[/texx]. Sea r > 0 el radio de la bola. Tenemos que [texx]B(x,r)= B\subset A[/texx].
    Como r > 0, "se sabe" (usamos acá propiedades de tipo "arquimediana" de los números) existe un número natural n tal que 0 < 1/n < r.
    Entonces, juntando hechos ya probados: [texx]a_n\in B(x,1/n)\subset B(x,r)\subset U[/texx].

    (7) Como cada [texx]a_n[/texx] es un elemento de A, lo que hemos probado en (6), en definitiva, es que todo entorno U del punto x contiene algún punto de A.

    (8) La conclusión de (7) es equivalente a decir que "x es punto de adherencia de A".

     

    Desde el punto de vista "lógico" estricto, me parece que la línea (8) es innecesaria.
    Pero en el trabajo matemático se suelen dar enunciados con más "palabrerío", porque los matemáticos prefieren trabajar mejor con las ideas y la explicación de las cosas, y no ser tan rígido con la lógica pura.

    Entonces aparecen "definiciones" que son más bien de lenguaje hablado que de lógica misma.
    Decir "x es punto de adherencia si... blabla" no tiene ninguna utilidad lógica, pero sirve en un texto matemático para llevar mejor el tema.

    Sin embargo, cuando insisto con el rigor lógico es porque en definitiva la lógica es nuestro último juez: en caso de duda, o de enunciado difuso o arriesgado, siempre tenemos la lógica pura y estricta para hilar fino en los pasos de la deducción, y obtener mayor certeza de lo que estamos diciendo.
    O sea, al menos sabemos que hay precisión si la buscamos.




    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 01/07/2010, 10:23:03 am
    Hola profe: de nuevo yo con la clausura y no clausurando.


    "la clausura de un conjunto es un conjunto cerrado"

    1er versión:

    Cl(A) = conjunto de todos los puntos adherentes de A

    Si todos los puntos de un conjunto son adherentes es cerrado, luego Cl(a) es cerrado

    2da. versión:

    A esta incluido en cl(A) si A es cerrado, luego cl(A)= intersección de todos los conjuntos cerrados de A

    Como la intersección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado, cl(A) es un conjunto cerrado.

    Seguro sé falta algo, pero no sé qué. No la veo totalmente cerrada.(jeje)
    Yo sé que me vas a criticar el nulo lenguaje simbólico, pero quisiera saber si la idea está y luego "juntos" le ponemos los símbolos. ¿te parece?
    saludos. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 01/07/2010, 02:04:43 pm
    Me parece que la definición de clausura podría estar mal.

    ¿Cuál es la definición de punto adherente que estás usando?


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 01/07/2010, 08:52:30 pm
    hola!
    te cuento:
    en los apuntes de la materia que curso en la licenciatura de CAECE dice:
    El conjunto de todos los puntos de A se llama clausura de A

    anteriormente:
     x es un punto adherente de A si toda bola de centro en x contiene puntos de A.
    Luego sub-clasifica los puntos adherentes en aislados y de acumulación.

     no te cierra esto?
    ahora lo miro en el Munkres y en el Schaumm
    gracias. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 01/07/2010, 09:06:48 pm
    Sí, todo es posible.
    Es que los distintos libros usan términos algo diferentes, y parece que me he confundido.

    Lo importante a tener en cuenta es lo siguiente:

    * Consideremos la intersección del conjunto A con un entorno U del punto x.
    * Si dicha intersección sólo contiene puntos distintos del punto x, entonces x es de acumulación de A, y pertenece a la clausura de A.
    * Si x es un punto de A, puede ser aislado o de acumulación. En cualquier caso, pertenece a la clausura de A.

    Con la definición que has puesto, está correcto que la clausura de A contiene a todos los puntos adherentes de A.

    Lo que hay que recordar es justamente que hay dos clases de puntos: los que son de acumulación de A, y los que no.

    Geométricamente, se ve claro que un punto aislado x no puede alcanzarse con una sucesión de puntos de A (distintos de x) que se aproxime al x.
    Por eso se le llama "aislado".

    Los otros puntos, llamados límite o de acumulación, sí pueden "aproximarse" por punos de A.

    Esto de ser aproximable o no por puntos de A tiene que ver con la posición que el punto x ocupa en relación al conjunto A, y por supuesto que en esto influye el conjunto A mismo que se ha tomado.

    Vale la pena ver varios ejemplos de conjuntos en los que algunos puntos son aislados, otros no, mezcla de ambos.

    Si un conjunto A contiene a todos sus puntos de acumulación, quiere decir que todo punto que no está en A tiene "algún" entorno que no interseca al conjunto A. Pero entonces todo punto que no está en A es un "punto interior" del complemento de A.
    Esto quiere decir que el complemento de A es abierto.
    Luego el mismo A es cerrado.

    Esta es la conexión importante entre la noción sencilla de conjunto cerrado, visto como complemento de abierto, y la noción de puntos de acumulación, que involucra sucesiones que convergen a los puntos de acumulación...





    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 01/07/2010, 09:17:26 pm
    si ya veo, realmente la bibliografía habla poco de los adherentes, más bien tiene muy en cuenta los de acumulación. gracias, entonces. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 01/07/2010, 09:36:53 pm
    Fijate que en la prueba anterior no usé los puntos aislados.

    Solamente probé que: si un conjunto contiene a sus puntos de acumulación, es cerrado.
    También se puede probar lo recíproco: todo conjunto cerrado A contiene a sus puntos de acumulación.
    Esto es fácil, porque si un punto x es de acumulación de A, no es interior del complemento de A,
    pero como el complemento de A es abierto, el punto x no pertence al complemento de A, así que está en A.

    Ahora veamos lo que ocurre con la clausura de un conjunto A.

    Si un punto x es de acumulación de, digamos, cl(A), entonces existe una sucesión [texx]x_n[/texx] de puntos de cl(A) que tiende a x.
    Sea [texx] r_n = d(x,x_n). [/texx]
    La sucesión [texx]r_n[/texx] tiende a 0.

    Por ser [texx]x_n[/texx] un punto de cl(A), es de adherencia de A, así que para cada n existe un punto [texx]z_n[/texx] de A tal que [texx]d(x_n,z_n)
    <r_n[/texx].

    Ahora calculamos [texx]d(x,z_n)\leq d(x,x_n)+d(x_n,z_n)<2r_n[/texx], que tiende a 0.
    Por lo tanto, hemos probado que x es, también, un punto de acumulación de A mismo.
    Así que x pertenece a cl(A).

    En resumen: todo punto de acumulación de cl(A) es punto de cl(A).

    Por lo dicho arriba de todo, resulta que cl(A) es un conjunto cerrado.



    Tengo la sensación de que la prueba debiera ser menos trabajosa.
    No recuerdo haber sufrido tanto para espacios topológicos, que son más generales que los métricos, en relación a esta prueba de que la clausura es cerrada...

    En realidad todo depende de la definición que se dé de clausura.

    A lo mejor el camino al que estoy acostumbrado es a "definir" que la clausura es intersección de los cerrados que contienen al A, y esto da automáticamente que A es cerrado.
    Pero luego uno trata de describir cuáles son los puntos que están en dicha clausura.
    En algún momento hay que probar que los puntos que están ahí son los de adherencia de A.

    Pero esto también es fácil, porque todos los cerrados B que contienen al A, contienen a todos los puntos de adherencia de A...

    Hay algo en todo esto que no me cierra... no sé dónde está la "vueltita" que complicó todo.

    Saludos



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 01/07/2010, 10:02:35 pm
     a ver preguntonta, a propósito dejaste de lado, los aislados?
    porque los aislados son adherentes o no? y por lo tanto pertenecen a la clausura?
    te compliqué mucho?


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 01/07/2010, 10:11:56 pm
    Sí, están en la clausura, pero para concluir que un conjunto es cerrado, basta demostrar que los de acumulación están en el conjunto.

    No los tuve en cuenta sólo en la prueba de ese resultado.

    Pero no es que no haya que tomarlos en cuenta.

    Es sólo una propiedad: contener los propios puntos de acumulación es equivlente a ser cerrado


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 01/07/2010, 11:46:59 pm
    ok. gracias. en un rato sigo.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 03/07/2010, 01:18:16 am
    hola argentinator: de nuevo yo peleando con los interiores, la clausura y la frontera.
    La verdad es que en la teoría esta claro, pero cuando se presenta un caso concreto es difícil de verlos a cada conjunto, por ejemplo te pido en ayuda para determinar el conjunto interior int(A), cl(a) y F(A) en los siguientes casos:

    a) [texx]\left\{(x_1,x_2)\in{}R^2: x_1=0, a<x_2<b\right\}[/texx]

    b) [texx] \left\{{(x_1,x_2,x_3)/x_1^2+x_2^2<1}\right\}[/texx]

    gracias, mabel.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 03/07/2010, 01:25:23 am
    olvidé colocar que ambos conjuntos se consideran con la distancia euclídea.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 03/07/2010, 02:15:00 am
    El ejercicio (a) se resuelve de manera muy sencilla: hacete un dibujito, y empezá a dibujar bolas (en este caso discos) y ver cómo se relacionan con el conjunto.

    El ejercicio (b) es algo difícil de dibujar, porque es en dimensión 3...
    Sin embargo, sólo hay restricciones para las primeras 2 variables, así que se trata de una figura cilindrica (infinito) con eje vertical.
    La base del cilindro es un disco abierto.

    Creo que dibujando ambas cosas: una perspectiva del cilindro, y la base circular, te vas a dar una idea de cómo han de ser las bolas.

    Las bolas en torno a un punto del conjunto te dirán si el punto es interior o no.

    El dibujo mismo te sugerirá en cada caso cuál es la frontera, y entonces los puntos de la frontera son candidatos a puntos de adherencia (además de los del conjunto mismo, claro, que siempre están) .

    Si aún así las cosas no salen, avisame, y nos metemos en las cuentas.

    A propósito... ¿te animás a colgar acá en los posts algunos dibujitos? Jeje


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 03/07/2010, 02:51:37 am
    bien veré como salen, la verdad es que nunca dibujé en la compu en 3 dimensiones, pero veré, si prometes que será sólo entre nostros, sin mostrar a nadie más. mañana veo como hago. hasta mañana. mabel.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 03/07/2010, 02:54:30 am
    No te pido que me hagas el cilindro, pero quizá sí lo que va en el plano.
    El cilindro podrías dibujarlo para vos misma.

    (Si subís una imagen acá, la van a ver todos, ejeje)

    No te estoy obligando. Hacelo si tenés ganas.
    Pero en tu hoja sí que tendrías que dibujar.
    Te va a ahorrar mucho tiempo de cálculos.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 03/07/2010, 03:02:09 am
    vemos como sale
    por ahora lo único que puedo deducir es que el int del primer conjunto es vacío ya que  no se pueden armar bolas.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 03/07/2010, 03:04:19 am
    correcto  ;)


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 03/07/2010, 03:21:37 am

    a ver como se ve
    no manejo geogebra así que intentaré acá como pueda, al final adjunté el archivo en word, espero se pueda ver

                                                                   









    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 03/07/2010, 03:27:17 am
    la clausura sería [texx] A \cup{}{(0,a), (0,b)}[/texx]
    y la frontera [texx] \left\{{}\right\(0,a),(0,b)}[/texx]

    queda para mañana el cilindro



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 03/07/2010, 03:28:55 am
    La frontera de un conjunto coincide con la frontera de su complementario.

    ¿Cuál es la frontera del complemento del "palito" vertical en todo el plano?


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 03/07/2010, 03:33:58 am
    Estoy pensando en esta sencilla definición de frontera: [texx]\partial A=\bar A\cap\overline{X-A}[/texx].

    Obviamente, con esa definición, la frontera de un conjunto coincide con la de su complemento, lo cual intuitivamente parece bastante razonable: lo que limita a lo de dentro con lo de afuera, es lo mismo que aquello que limita lo de afuera con lo de adentro.  :o


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 03/07/2010, 03:47:06 am
    (disculpá, tuve un error de tipeo, me faltó una "A")


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 03/07/2010, 03:48:44 am
    aquí dibujé el cilindro
    el int sería el mismo conjunto
    la clausura ni idea y menos la frontera


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 03/07/2010, 03:56:27 am
    en el caso del plano si la frontera es también la del complemento y, es en todo el plano,  sería
    [texx] A \cup{}\left\{{}\right\(0,a), (0,b)}[/texx]
    o sea igual que la clausura?????


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 03/07/2010, 03:57:33 am
    hasta mañana y gracias.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 03/07/2010, 04:08:37 am
    Creo que sí, que la frontera coincide con la clausura del palito.

    ¿Hace dudar no? Después me fijo mejor, pero creo que eso es lo correcto.
    Ahora ya es muy tarde para reflexiones filosóficas...  ;D

    En cuanto al cilindro, está precioso el dibujo, me encantó!!  :-*

    La frontera tendría que ser la "cáscara" del cilindro, o sea, la superficie que limita el conjunto A en cuestión.
    ¿Te parece?

    Mañana nos ponemos con las cuentas. Ahora estoy cansado.

    Con las cuentas vamos a corroborar lo que la intuición nos ha venido diciendo.

    Saludos, y hasta mañana


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 03/07/2010, 03:42:56 pm
    Hola , bueno después de la derrota hay que ponerle más ganas al estudio
    Con respecto al cilindro pienso que:
    interior= al mismo conjunto
    cl(a) = [texx] \left\{{(x_1,x_2,x_3)/x_1^2+x_2^2\leq{}1}\right\}[/texx]
    y frontera (A) = [texx] \left\{{(x_1,x_2,x_3)/x_1^2+x_2^2=1}\right\}[/texx]

    La verdad verdad es que la frontera vino a desacomodarme las cosas porque tiene tanto puntos del conjunto como de su complemento, tiene puntos aislados, que pueden no ser del conjunto como de acumulación, contiene puntos de la clausura, pero no está incluida en ella.
    Podría decirse que es como una "zona de aproximación tanto por dentro como por fuera"?. veo si puedo hacer un dibujito o si lo podés hacer vos que manejás mejor los gráficos, te lo agradezco.
    desde ya gracias. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 03/07/2010, 03:57:00 pm
    a ver si está mas o menos bien lo que pienso
    en el dibujo que adjunto lo celeste sería el interior del conjunto, y lo que tiene puntos la frontera
    puede ser o hice de las mías?
    gracias.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 03/07/2010, 04:27:51 pm
    Los dibujos los hago en su mayoría con el famoso Paint de Windows, y mucha paciencia.
    Todo es cuestión de práctica.
    Es difícil ser preciso con el Paint, pero es más simple para expresar ideas topológicas generales en forma rápida.

    Tu dibujo está bien, salvo que la frontera la hiciste demasiado "gruesa", jeje. Pero bueno, supongo que no es fácil dibujar en la compu.

    Cuando se trata de regiones limitadas por una curva cerrada y visiblemente suave, la frontera tiene que ser esa curva, o sea, el "borde" del dibujo.

    En las figuras geométricas sencillas, la idea intuitiva de frontera tiene que coincidir con la noción topológica de frontera, sin duda.
    Así que la frontera de un círculo es la circunferencia que lo limita, y la frontera de un rectángulo relleno es el borde rectangular que lo limita, y así por el estilo.

    La frontera no es que tenga "puntos del conjunto y su complemento", sino "puntos de acumulación del conjunto y de acumulación de su complemento".

    Así que si x es un punto de la frontera de A, toda bola centrada en x contiene puntos tanto de A como de X - A.

    Si una de las bolas queda en el "interior" de A, o de X - A, ese punto ya no está en la frontera de A.

    Para el cilindro, dado un punto [texx]P=(x,y,z)[/texx] en el interior de A, tiene que haber una bola B(P, r) totalmente contenida en A.
    Eso obliga a que [texx]r<1-(x^2+y^2+z^2)^{1/2}[/texx].
    Con un tal radio, dado un punto [texx]Q = (a, b, c)[/texx] en la bola B(P, r), se obtiene, por desigualdad triangular:

    [texx]d(Q,0)\leq d(Q,P)+d(P,0) = r+(x^2+y^2+z^2)^{1/2}< 1.[/texx]

    Esto muestra que [texx]a^2+b^2+c^2< 1[/texx], y por lo tanto [texx]Q[/texx] está en el cilindro, porque aquello implica que [texx]a^2+b^2<1[/texx].
    Como esto es válido para todo punto Q de la bola B(P, r), resulta que B(P, r) es subconjunto de A.

    Así que todo punto de A es interior de A.

    Ahora habría que analizar los puntos P = (x, y, z) que satisfacen [texx]x^2+y^2>1[/texx].
    Mediante consideraciones geométricas, se puede probar que estos puntos son "interiores" al "complemento de A", o sea, cada uno de esos puntos P tiene una bolita abierta centrada en P, disjunta con A.
    Para hallarla, basta darse cuenta que P está una cierta distancia alejado del "borde" del cilindro, y entonces uno elige un radio bastante pequeño en torno a P, para obtener una bolita centrada en P que no toque el cilindro.

    Ahora bien. Resta analizar los puntos [texx]P=(x,y,z)[/texx] de la forma [texx]x^2+y^2=1[/texx], o sea, el borde del cilindro.

    Intuitivamente, todos esos puntos son de acumulación tanto de A como del complementario de A.
    Para comprobarlo, para cada [texx]r > 0[/texx] hay que encontrar en la bola B(P, r) puntos que estén tanto en A como en el complemento, o sea, puntos [texx]Q = (a, b, c)[/texx] que cumplan [texx]a^2+b^2< 1[/texx], y puntos [texx]S = (u, v, w)[/texx] que cumplan [texx]u^2+v^2\geq 1[/texx].
    Para cada r > 0 basta encontrar un solo punto Q, y un solo punto S.

    Hay que ingeniárselas un poco, uno tiene mucha libertad, aunque hay que elegir inteligentemente algo para cada r dado.
    Eso nos daría la frontera de A.

    La clausura es unión de A con su frontera, así que sería como vos pusiste, sin muchas más vueltas, una vez que uno ya haya determinado que la frontera es la cáscara del cilindro, que se ve tan claramente con los ojos.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 03/07/2010, 10:39:34 pm
    hola de nuevo
    esta frase
    "La frontera no es que tenga "puntos del conjunto y su complemento", sino "puntos de acumulación del conjunto y de acumulación de su complemento"."

    El tema de mi dibujo, es que yo creía que la frontera era una  zona que contenía tanto los exteriores cercanos al borde y los interiores cercanos al borde, por eso la banda.

    Ahora si, me quedó clarísimo.
    saludos. mabel



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 04/07/2010, 02:03:20 am
    En los ejemplos de dibujos "sencillos" (figuras geométricas clásicas como elipses, círculos, rectángulos, etc.) la frontera es sólo el borde de la figura, o sea, un trazo lineal. No tiene "grosor" en esos casos.

    Sólo cuando las situaciones son más especiales o extrañas, la frontera tiene grosor.

    Un ejemplo de esto sería la frontera del conjunto A formado por todos los puntos del plano cuyas coordenadas son números racionales. Su frontera es todo el plano, que es bastante "gordito" por cierto.



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 05/07/2010, 11:38:41 am
    hola profe:
    Seguimos, no creas que te librarás de mí fácilmente
    La preguntita: Hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, por ejemplo

    [texx] \left\{{(x_1,x_2,x_3)/x_1^2+x_2^2\leq{}1}, a< x_3\leq{}b\right\}[/texx]

    que correspondería al cilindro anterior, pero con una tapa

    gracias. saludos, buen inicio de semana


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 05/07/2010, 12:25:35 pm
    Como diría el Chavo del ocho: "Eso, eso, eso..."

    En efecto, hay muchos conjuntos que no son abiertos ni cerrados.

    ¡Con una alumna así de aplicada, el día entero se me alegra!

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 05/07/2010, 12:36:22 pm
    gracias por el aliento, pero vuelvo más tarde ehhh


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 05/07/2010, 06:42:03 pm
    hola profe, de nuevo por acá, fronterizando conjuntos, seguro no soy fronteriza, sino lo tendría más claro

    Bueno en el conjunto
    B= [texx]\left\{{}\right\(x,y) \in{}R^2/ x^2+y^2=1. \left |{x}\right|<y}[/texx]



    yo hice el dibujo, marque puntos y todo. Obtengo una circunferencia de radio [texx]\sqrt[ ]{}2/2[/texx]

    Primero me piden si es cerrrado, es así.
    Luego me piden frontera, y ahí no encajo, yo pienso en la frontera así:
    frontera de B= [texx]\left\{{}\right\(x,y) \in{}R^2/ x^2+y^2=\sqrt[ ]{}2/2}[/texx]
    a lo que el texto agrega [texx] \cup{}\left\{{}\right\(x,y)\in{}R^2/ x=y, \left |{x}\right |\leq{}\sqrt[ ]{}2/2}[/texx] esta parte no sé de dónde salió
    me puede ayudar a comprender esto?
    gracias. mabel

     


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 05/07/2010, 08:16:48 pm
    de nuevo yo por aquí
    te escribo una demostración para que la critiques ya que no veo otra forma de llegar

    voy con "una bola cerrada es un conjunto cerrado"

    a) con los puntos, de dicha bola que están más cercanos al centro que el radio (xn)

    Sea K(x,r) una bola cerrada

    Sea [texx] x_n\in{}K(x,r)\Rightarrow{}\exists{}B(x_n,r/n) \forall{}n \in{}N/ B(x_n,r/n)\subset{}K(x,r)[/texx], de modo que
    [texx] K(x,r)\cap{}B(x_n,r/n)\neq{}\emptyset[/texx] , luego [texx] x_n[/texx] es punto adherente de K(x,r)


    b) con los puntos que estan a una distancia =r ( yn)

    Sea  [texx] y_n\in{} K(x,r) / d(x,y_n) = r\Rightarrow{} \exists{}B(yn,r)/ K(x,r) \cap{}B(y_n,r)\neq{} \empty[/texx], luego [texx] y_n [/texx] es adherente

    Luego, los puntos que se encuentran a menor distancia que el radio y los que están a igual distancia que el radio son adherentes, entonces K(x,r) es cerrada

    espero haber mejorado un poco en las demostraciones. saludos. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 06/07/2010, 06:38:34 pm
    hola profe, de nuevo por acá, fronterizando conjuntos, seguro no soy fronteriza, sino lo tendría más claro

    Bueno en el conjunto
    B= [texx]\left\{{}\right\(x,y) \in{}R^2/ x^2+y^2=1. \left |{x}\right|<y}[/texx]



    yo hice el dibujo, marque puntos y todo. Obtengo una circunferencia de radio [texx]\sqrt[ ]{}2/2[/texx]

    Primero me piden si es cerrrado, es así.
    Luego me piden frontera, y ahí no encajo, yo pienso en la frontera así:
    frontera de B= [texx]\left\{{}\right\(x,y) \in{}R^2/ x^2+y^2=\sqrt[ ]{}2/2}[/texx]
    a lo que el texto agrega [texx] \cup{}\left\{{}\right\(x,y)\in{}R^2/ x=y, \left |{x}\right |\leq{}\sqrt[ ]{}2/2}[/texx] esta parte no sé de dónde salió
    me puede ayudar a comprender esto?
    gracias. mabel

     


    No entiende por que´el radio te da alguna cosa distinta de 1. Si la ecuación es [texx]x^1+y^2<1[/texx], se trata de un disco circular abierto, sin borde, cuyo radio es 1.
    Ese conjunto no es cerrado, porque los puntos del borde, que cumplen [texx]x^2+y^2=1[/texx], son puntos de acumulación del conjunto.

    mmm


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 06/07/2010, 11:55:40 pm
    hola profe
    lo que sucede es que al armar os valores para dibujar el conjunto, eliminé aquellos que no cumplían la condición [texx] \left |{x}\right |<y[/texx]. por esto llega a [texx]\sqrt[ ]{}2/2[/texx]
    saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 07/07/2010, 01:47:08 pm
    hola de nuevo
    referido al ejercicio anterior el conjunto tenía un error de tipeo
    sería
    B= [texx]\left\{{}\right\(x,y) \in{}R^2/ x^2+y^2\leq{}1,\left |{x}\right |<y}[/texx]
    así da un conjunto cerrado, pero la frontera realmente no sé como sacarla
    gracias, perdón por el error


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 07/07/2010, 01:49:17 pm
    Ah, perdón, ahora veo bien la corrección del enunciado, voy a analizar todo de nuevo.
    Olvidate lo que puse antes, que lo voy a borrar.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 07/07/2010, 02:08:00 pm
    Al pedir una condición como |x| < y, estás exigiendo, sin querer queriendo, que y > 0 siempre, para todo x.
    Así que la mitad inferior del círculo ya no está en el conjunto B.

    Habría que graficar la curva y = |x|, para después fijarse cuáles son los puntos que están "encima" de esa curva, y que intersecan al círculo.

    Acá te pongo el dibujillo. Es la región que está en amarillo lo que sería el conjunto B.
    Fijate que el borde superior está incluido en B, pero el borde inferior no lo está, porque la condición es |x| < y, estrictamente.

    El radio no cambia, sigue siendo 1, pero tenemos un trozo de círculo.

    Los puntos en rosa son la intersección de las rectas y el círculo.
    Busquemos el del lado derecho: [texx]x^2+y^2 = 1[/texx] se intersecta con la recta [texx]x = y[/texx].
    Basta poner esta última condición en la primer igualdad, para obtener [texx]x^2+x^2=1[/texx], y de ahí sale tu famosa raíz de 2. Se obtiene que [texx]x=\sqrt 2/2[/texx], y como [texx]y = x[/texx], obviamente también [texx]y = \sqrt 2/2[/texx].

    Es importante saber que el punto [texx](\sqrt 2/2,\sqrt 2/2)[/texx] es punto de corte porque eso puede influir en los cálculos...

    Sin embargo, para ver que "no es cerrado", basta analizar un solo punto de acumulación que sea fácil de demostrar que "no está" en el conjunto. Por ejemplo el (x, y) = (0, 0).

    (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=28735.0;attach=6969)








    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 07/07/2010, 04:41:19 pm
    ya de vuelta del trabajo y a estudiar de nuevo
    mirá vos! ni pensé en el conjunto como intersección de 2 condiciones, así quedó clarísimo.
    no sé si no te has dado cuenta o a lo mejor esta todo bien pero el 5/7 puse una demostración de "una bola cerrada es un conjunto cerrado", espero tus correcciones.
    por todo muchas gracias, mabel

    ahhh y entonces el conjunto no sería ni cerrado ni abierto


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 07/07/2010, 04:55:38 pm
    ahhh y entonces el conjunto no sería ni cerrado ni abierto

    El dibujjo muestra que no, pero habría que ponerse a probarlo.
    El punto (0, 1) es un punto de B que no es interior.
    Y el punto (0, 0) es de adherencia de B pero no está en B.



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 07/07/2010, 05:01:38 pm
    Creo que te referís a esta prueba:

    de nuevo yo por aquí
    te escribo una demostración para que la critiques ya que no veo otra forma de llegar

    voy con "una bola cerrada es un conjunto cerrado"

    a) con los puntos, de dicha bola que están más cercanos al centro que el radio (xn)

    Sea K(x,r) una bola cerrada

    Sea [texx] x_n\in{}K(x,r)\Rightarrow{}\exists{}B(x_n,r/n) \forall{}n \in{}N/ B(x_n,r/n)\subset{}K(x,r)[/texx], de modo que
    [texx] K(x,r)\cap{}B(x_n,r/n)\neq{}\emptyset[/texx] , luego [texx] x_n[/texx] es punto adherente de K(x,r)


    b) con los puntos que estan a una distancia =r ( yn)

    Sea  [texx] y_n\in{} K(x,r) / d(x,y_n) = r\Rightarrow{} \exists{}B(yn,r)/ K(x,r) \cap{}B(y_n,r)\neq{} \empty[/texx], luego [texx] y_n [/texx] es adherente

    Luego, los puntos que se encuentran a menor distancia que el radio y los que están a igual distancia que el radio son adherentes, entonces K(x,r) es cerrada

    espero haber mejorado un poco en las demostraciones. saludos. mabel

    Se me pasó entre todas las cosas que hemos hablado.
    Me parece que no se entiende nada  :'(

    Más tarde con más tiempo la miro mejor, pero me parece que así no anda.

    Para ver que un conjunto cerrado, hay que tomar un punto x cualquier (genérico) que sea de acumulación del conjunto A, y demostrar que x es efectivamente un elemento de A.
    Esto sería una forma sencilla de hacerlo, aprovechando que un conjunto es cerrado si y sólo si contiene a todos sus puntos de acumulación (o puntos límite).

    Otra manera de hacerlo es demostrar que su complemento es abierto.
    Para ello, se toma un punto x (genérico) del complemento de A, y se procura demostrar que hay una bola abierta centrada en x, tal que toda ella sigue aún fuera de A, o sea, todos los puntos z de esa bola están fuera de A.



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 07/07/2010, 05:51:46 pm
    hola
    de nuevo, si la idea era tomar un punto genérico interior a la bola y demostrar que es de acumulación (adherente) y después tomar un punto del límite de la bola y demostrar que también es de acumulación (adherencia)
    veo que no se entendió nada, pruebo con el complemento, pero cuál es el complemento de una bola cerrada???


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 07/07/2010, 06:03:59 pm
    Bien, lo último que has hecho, de contar la idea, y después pasar a las cuentas, es una metodología muy recomendable.

    La "práctica" en las demostraciones consiste en hacer una "traducción" gradual de la idea a la lógica.

    Hasta lueguito


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 07/07/2010, 06:04:56 pm
    pero cuál es el complemento de una bola cerrada???


    Es lo mismo que el complemento de cualquier otro conjunto: "todos los puntos del plano que están afuera", en este caso, todo lo que está afuera de la bola cerrada.

    La parte lógica se hace "negando" las condiciones que definen los puntos de la bola cerrada


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 07/07/2010, 06:08:51 pm
    ahhh pruebo más tarde y te cuento, eso es lo que te gusta de negar als cuestiones lógicas y todas, me metiste en un lío!
    pero no me achico


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 07/07/2010, 07:02:01 pm
    a ver si esto parece una demostración lógica. (lógicamente planteada y escrita)
    Demostrare que el complemento de una bola cerrada es un conjunto abierto, por lo tanto la bola cerrada es un conjunto cerrado

    Sea [texx]\begin{align*}\displaystyle   \bar{  B}_r(\mathbf x) := \{y\in \mathbb{R}^n:|\mathbf y-\mathbf x|\leq  r\}.\end{align*}[/texx]
    una bola cerrada,

    Definimos su complemento
    [texx]\bar{  B}_r(\mathbf x)^c[/texx]  como X- [texx]\bar{  B}_r(\mathbf x)[/texx] = [texx]\{h\in \mathbb{R}^n:|\mathbf h-\mathbf x|>  r\}.\end{align*}[/texx]
    tomamos [texx] h\in{}\bar{  B}_r(\mathbf x)^c[/texx] , entonces [texx]\displaystyle B_{r/2}(\mathbf h) \subset{}\bar{  B}_r(\mathbf x)^c[/texx]
    luego [texx]\displaystyle B_{r/2}(\mathbf h)\not\subset{}\bar{  B}_r(\mathbf x)[/texx]
    por lo que [texx]\bar{  B}_r(\mathbf x)^c[/texx]  es abierto y por lo tanto [texx]\bar{  B}_r(\mathbf x)[/texx]es cerrado

    puede que no esté muy prolijo o lógicamente escrito pero creo que la idea está
    saludos. mabel










    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 07/07/2010, 07:47:44 pm
    ahhh pruebo más tarde y te cuento, eso es lo que te gusta de negar als cuestiones lógicas y todas, me metiste en un lío!
    pero no me achico

    No es que me guste, sino que el conjunto complementario se define negando una propiedad, y no queda otra que trabajar así.  ::)


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 07/07/2010, 07:59:10 pm
    Te marco las correcciones u observaciones en azul:

    Sea [texx]\begin{align*}\displaystyle   \bar{  B}_r(\mathbf x) := \{y\in \mathbb{R}^n:|\mathbf y-\mathbf x|\leq  r\}.\end{align*}[/texx]
    una bola cerrada,

    Definimos su complemento
    [texx]\bar{  B}_r(\mathbf x)^c[/texx]  como  [texx]X-\bar{  B}_r(\mathbf x)[/texx] = [texx]\{h\in \mathbb{R}^n:|\mathbf h-\mathbf x|>  r\}.\end{align*}[/texx]
    tomamos [texx] h\in{}\bar{  B}_r(\mathbf x)^c[/texx] , entonces [texx]\displaystyle B_{r/2}(\mathbf h) \subset{}\bar{  B}_r(\mathbf x)^c[/texx] (esto no es cierto en general, porque el punto h puede estar muy cerca de la frontera del círculo. Hay que elegir un radio adecuado. Sabiendo que [texx]D=|y-h|>r[/texx], basta elegir el radio [texx]s = D-r[/texx], y ya la bola abierta B(h,s) no toca la bola cerrada original)

    luego [texx]\displaystyle B_{r/2}(\mathbf h)\not\subset{}\bar{  B}_r(\mathbf x)[/texx]
    (eso que pusiste es cierto, pero no es lo que sirve, porque solamente estás diciendo que "no hay una inclusión de un conjunto en otro", que es muy poco decir.
    Lo que sirve es decir que en realidad la bola cerrada y la bolita centrada en h son conjuntos disjuntos, porque así la bolita centrada en h está "toda" contenida en el complemento.
    Sin embargo, eso ya lo pusiste un renglón antes.
    O sea que esto que agregaste de la inclusión no va, está de más)


    por lo que [texx]\bar{  B}_r(\mathbf x)^c[/texx]  es abierto y por lo tanto [texx]\bar{  B}_r(\mathbf x)[/texx]es cerrado

    El final es feliz, y sólo hay que arreglar lo que te comentado más arriba


    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 07/07/2010, 08:00:52 pm
    La clave está en darse cuenta que el número [texx]s = D - r[/texx] es estrictamente mayor que 0, y entonces se puede construir una bola con radio s.

    Esa observación que parece tonta, es la clave del análisis en este caso.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 08/07/2010, 12:10:20 am
    como siempre gracias..
    creo estoy mejorando de poco. paso lento pero seguro, eso espero.
    Hasta lueguito


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 10/07/2010, 11:22:05 pm
    hola argentinator, aunque no estés.
    ya entré de lleno al tema de las convergencias y se me presentan algunas dudas, sobre todo en el tratamiento de los ejercicios
    Va uno que necesito que me des un empujoncito, me gustaría demostrarlo sola pero necesita ayuda

    Sea la ecuación g(x) - x = = en R y supongamos que para alguna distancia y cierto intervalo finito I = [a,b] se verifica que [texx] g(I) \subset{}I[/texx] y para todo [texx] x\neq{}y[/texx] d( (g(x), g(y)) < q. d( x,y) con 0<q<1. Entonces
    i) existe [texx] c\in{}I[/texx] que es la única solución de dicha ecuación
    ii) para cualquier [texx]x_i\in{}I[/texx] la sucesión definida por [texx] x_{n+1} = g(x_n)[/texx] converge a c

    A ver lo que he podido deducir  que g(x) = x, con la condición de q y de las distancias entre las imágenes y la pre-imágenes la función es de contracción ( que sería lo mismo que la condición para los elementos de una sucesión de Cauchy, ( a medida que n crece, los [texx]a_n[/texx] están más juntos, las distancias son menores) no?

    Ahora cómo demostrar que c es única solución no sé

    Con respecto a Iii) no sé como demostrar que esa sucesión converge a c???, sé armarla pero no me doy idea de la convergencia, es decir si me doy idea porque se irían acercado cada vez más, porque la función es de contracción pero la convergencia??

    gracias. saludos, espero tu colaboración. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 11/07/2010, 03:44:33 am
    Por la manera en que has definido la recurrencia, se cumple para todo n, k,  que:

    [texx]|x_{n+k+1}-x_{n+1}|=|g(x_{n+k})-g(x_n)|\leq q|x_{n+k}-x_n||[/texx]

    Ahora, si aplicamos inducción a esta desigualdad, obtendremos que:

    [texx]|x_{n+k+1}-x_{n+1}|\leq q^{n-1}|x_k-x_1|[/texx]

    Aplicando desigualdad triangular varias veces (unas k veces), y aprovechando la primer desigualdad obtenida, resulta ahora que:

    [texx]|x_{n+k+1}-x_{n+1}|\leq q^{n-1}(q^{k-1}+q^{k-2}+\cdots+q^1)|x_1-x_0||[/texx]

    Reconozco que la última expresión puede ser algo oscura... pero al menos quería responder tu consulta.
    Después podemos ir más en detalle en las cuentas que no se entiendan.

    Ahora bien, como [texx]x_1,x_0\in I[/texx], su diferencia es menor o igual que la longitud del intervalo I, que voy a denotar |I|.
    Usando el último caso de factoreo, podemos escribir:

    [texx]q^{k-1}+q^{k-2}+\cdots+q^1\leq (1-q^k)/(1-q)[/texx]

    Juntado todo, usando que [texx]1-q^k < 1[/texx], podemos concluir que:

    [texx]|x^{n+k}-x^n|\leq q^n/(1-q)[/texx].

    Como se aprecia, esta cota obtenida no depende de k, así que si m, n, son mayores que un N dado, se obtiene que

    [texx]|x^{n+k}-x^n|\leq q^n/(1-q)\leq q^N/(1-q)[/texx].

    Hemos usado ahí que q < 1.

    Bien. La sucesión nos quedó de Cauchy, por lo tanto converge a algún número c.
    Pero como la sucesión está en el rango de la función g, y dicho rango está incluido en el intervalo I, parece claro que c es un elemento de I, ya que I es un intervalo cerrado.

    La unicidad creo que sale usando la hipótesis contractiva.
    En efecto, si c, c' fueran dos puntos fijos de g, entonces
     
    [texx]|g(c)-g(d)|< q|c-d|=q|g(c)-g(d)|<q^2|c-d|<...[/texx]

    Continuando de ese modo hasta cualquier exponente k, se obtiene que [texx]|g(c)-g(d)| < q^k|c-d|[/texx].
    Haciendo que k tienda a 0, nos da que g(c) - g(d) = 0.

    Luego c = g(c) = g(d) = d, y listo la unicidad.

    No está de más que revises todas las cuentas, porque en el apuro la puedo haber pifiado en algo.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 11/07/2010, 01:34:10 pm
    está todo casi bien, agrego algunas cositas en color que me quedaron medio colgadas

    Por la manera en que has definido la recurrencia, se cumple para todo n, k,  que:

    [texx]|x_{n+k+1}-x_{n+1}|=|g(x_{n+k})-g(x_n)|\leq q|x_{n+k}-x_n||[/texx]

    Ahora, si aplicamos inducción a esta desigualdad, obtendremos que:

    [texx]|x_{n+k+1}-x_{n+1}|\leq q^{n-1}|x_k-x_1|[/texx]

    Aplicando desigualdad triangular varias veces (unas k veces), y aprovechando la primer desigualdad obtenida, resulta ahora que:
    aquí la apliqué unas 5 veces para darme cuenta bien segura de lo que era[texx]|x_{n+k+1}-x_{n+1}|\leq q^{n-1}(q^{k-1}+q^{k-2}+\cdots+q^1)|x_1-x_0||[/texx]

    Reconozco que la última expresión puede ser algo oscura... pero al menos quería responder tu consulta.
    Después podemos ir más en detalle en las cuentas que no se entiendan.

    Ahora bien, como [texx]x_1,x_0\in I[/texx], su diferencia es menor o igual que la longitud del intervalo I, que voy a denotar |I|.
    Usando el último caso de factoreo, podemos escribir:

    [texx]q^{k-1}+q^{k-2}+\cdots+q^1\leq (1-q^k)/(1-q)[/texx]

    Juntado todo, usando que [texx]1-q^k < 1[/texx], podemos concluir que:

    [texx]|x^{n+k}-x^n|\leq q^n/(1-q)[/texx].

    auí se me perdió [texx] \left |{x_1-x_0}\right |[/texx]
    Como se aprecia, esta cota obtenida no depende de k, así que si m, n, son mayores que un N dado, se obtiene que

    [texx]|x^{n+k}-x^n|\leq q^n/(1-q)\leq q^N/(1-q)[/texx].

    Hemos usado ahí que q < 1.

    Bien. La sucesión nos quedó de Cauchy, por lo tanto converge a algún número c.
    (esasa es la expresión generasl de unas suces de Cauchy?
    Pero como la sucesión está en el rango de la función g, y dicho rango está incluido en el intervalo I, parece claro que c es un elemento de I, ya que I es un intervalo cerrado.

    La unicidad creo que sale usando la hipótesis contractiva.
    En efecto, si c, c' fueran dos puntos fijos de g, entonces
     
    [texx]|g(c)-g(d)|< q|c-d|=q|g(c)-g(d)|<q^2|c-d|<...[/texx]

    Continuando de ese modo hasta cualquier exponente k, se obtiene que [texx]|g(c)-g(d)| < q^k|c-d|[/texx].
    Haciendo que k tienda a 0, nos da que g(c) - g(d) = 0.

    Luego c = g(c) = g(d) = d, y listo la unicidad.

    No está de más que revises todas las cuentas, porque en el apuro la puedo haber pifiado en algo.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 13/07/2010, 08:59:38 pm
    Hola.

    No he sabido nada de vos en estos días.
    A lo mejor esperabas que te responda algo, en ese caso disculpame, pero a lo mejor no entendí lo que me planteabas.

    Por lo que has puesto en azul, parece que al final te salió, por eso no dije más nada.

    Pero no sé si todo esto está claro.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 13/07/2010, 11:14:43 pm
    hola gracias profe:
     en cuanto a la demostración anterior, estas serían mis consultas, a ver si puedo hacerlas de a una por vez

    Ahora bien, como , su diferencia es menor o igual que la longitud del intervalo I, que voy a denotar |I|.
    Usando el último caso de factoreo, podemos escribir:

    [texx]q^{k-1}+q^{k-2}+\cdots+q^1\leq (1-q^k)/(1-q)[/texx]


    Juntado todo, usando que [texx]1-q^k < 1[/texx]
    , podemos concluir que:
    [texx]|x^{n+k}-x^n|\leq q^n/(1-q)[/texx]

    .

    aquí se me perdió
    [texx] \left |{x_1-x_0}\right |[/texx]


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 13/07/2010, 11:17:16 pm
    otra que no se notó en la copia
    Como se aprecia, esta cota obtenida no depende de k, así que si m, n, son mayores que un N dado, se obtiene que

    .[texx]|x^{n+k}-x^n|\leq q^n/(1-q)\leq q^N/(1-q)[/texx]


    Hemos usado ahí que q < 1.

    Bien. La sucesión nos quedó de Cauchy, por lo tanto converge a algún número c.
    (esa es la expresión generasl de unas suces de Cauchy?
    ¿Cómo sabes que es de Cauchy?


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 13/07/2010, 11:27:34 pm
    y para no ser menos, me tiene mal el tema de las sucesiones, no por sí mismas sino porque me cuesta mucho relacionarlas, como por ejemplo en la siguiente propiedad, que me cuesta mucho encaminar o relacionar:
    "En un espacio métrico (E,d) son equivalentes:
    i. (E,d) es un espacio metrico completo
    ii. Todo encaje de bolas cerradas en E cuyos diámetros tienden a o, tienen interección no vacía.

    Demos hacer las demostraciones [texx] i \Rightarrow{}ii[/texx]  y también [texx] ii \Rightarrow{}i [/texx]
    En la primera [texx] i \Rightarrow{}ii[/texx]

    (E,d) es un espacio metrico completo, [texx] \Rightarrow{}
    \exists{}c\in{}E[/texx] tal que la sucesión [texx] \left\{{a_n}\right}[/texx] converge a c y se cumple que [texx] \forall{}\epsilon>0 [/texx] se cumple [texx] d(a_n, a_m)<\epsilon \forall{}m>n[/texx]

    pero de ahí no puedo relacionarlo con el encaje de bolas cerradas, podes darme una guía? plis gracias. mabel. ahh no estuve por aca por una gripe que me tiró


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 13/07/2010, 11:33:57 pm
    Bien, para ser de Cauchy se requiere que para cada [texx]\epsilon>0[/texx] existe un N tal que para todo par de índices n, m, que sean mayores que M, se obtiene [texx]|x_n-x_m|<\epsilon[/texx].

    Ahora bien, prestá atención a la condición que encontré con los "q"s.

    Agarrate un [texx]\epsilon>0[/texx], ahora definir [texx]N = \log_q [(1-q)\epsilon][/texx].

    Si m, n, son mayores que N, suponiendo que m > n > N, definimos k = m - n, y quedamos en la situación de la desigualdad anterior:

    [texx]|x_m-x_n|=|x^{n+k}-x^n|\leq q^n/(1-q)\leq q^N/(1-q)=\epsilon[/texx] (por la manera en que elegimos N).

    Así que hemos logrado que se cumpla la condición de Cauchy, tal como corresponde al formato "original".

    La pista para conseguirlo fue que estuve buscando una "cota" que no depende de k, y que para n, k "grandes" (mayor que algún N, quién sabe cuál...) la resta de los elementos de la sucesión quede acotada por algo que depende de N... pero ese algo tiene que tender a 0 con N.
    Esa es la intención.

    Al obtener una cota "uniforme" en n, k, para N grande, y esa cota tender a 0 cuando N tiende a infinito, es fácil buscarle la vuelta para que se cumpla la condición de Cauchy.

    O sea, es un "truquillo".

    Y estas cosas se aprenden con la práctica.

    Además, fijate que en vez de trabajar con n, m grandes, trabajé con n y n+k.
    El lugar de m lo ocupó el n+k.

    Eso depende de la situación planteada. En este caso usé n+k porque me quedó más cómodo, ya que así podía expresar con más claridad las relaciones de recurrencia.

    Son trucos o técnicas que uno puede intentar aplicar casi siempre al tratar de demostrar que una sucesión es de Cauchy.
    Hay que buscar que las diferencias de términos con índice grande... tienda uniformemente a 0.
    Con la intención basta, después hay que ir viendo qué se puede tocar para lograrlo... si es que sale, jeje.

    En este caso salió porque se trata de un caso típico. Yo no recordaba la prueba exacta, pero "sentía" que me iba a salir.
    En cierto modo lo ví fácil.
    Y espero que con la costumbre y la práctica lo veas así también.  ;)

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 13/07/2010, 11:35:36 pm
     y sigo con la vuelta
    [texx] ii\Rightarrow{}i[/texx]
    El encaje de bolas cerradas sería algo así?
    [texx] \forall{}n\in{}N[/texx]; K(x,delta/n) [texx]\subset{}_\infty[/texx] K(x,delta/n) y
    K(x,delta/n) [texx]\cap{}[/texx] K(x, delta) [texx]\neq{}\emptyset[/texx]
    Con la letra K indico que son bolas cerradas a diferencia de bolas abiertas
    y ahí no alcanzo a relacionar con las sucesiones
    ¿armo una sucesión con los diámetros? delta/n y delta, y demustro que converge a algún punto, entonces que hago con la intersección, estoy enredada.
    alguna orientación? o estoy totalmente fuera de foco?
    gracias. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 14/07/2010, 12:10:19 am
    mañana miro tus respuestas, hoy ya no me da para pensar más
    la aclaración de la demostración anterior me pareció excelente y la forma en que se puede llegar a la sucesión de Cauchy también, mañana sigo
    gracias. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 14/07/2010, 11:21:24 pm
    hola profe:
    pudiste ver el teorema del espacio completo y el encaje de bolas cerradas?
    espero tus respuestas, gracias. mabel.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 14/07/2010, 11:38:18 pm
    ahí va de nuevo por si no lo leíste
    y para no ser menos, me tiene mal el tema de las sucesiones, no por sí mismas sino porque me cuesta mucho relacionarlas, como por ejemplo en la siguiente propiedad, que me cuesta mucho encaminar o relacionar:
    "En un espacio métrico (E,d) son equivalentes:
    i. (E,d) es un espacio metrico completo
    ii. Todo encaje de bolas cerradas en E cuyos diámetros tienden a o, tienen interección no vacía.

    Demos hacer las demostraciones [texx] i \Rightarrow{}ii[/texx]
      y también [texx] ii \Rightarrow{}i [/texx]

    En la primera  [texx] i \Rightarrow{}ii[/texx]


    (E,d) es un espacio metrico completo, [texx] \Rightarrow{}\exists{}c\in{}E[/texx]
     tal que la sucesión [texx] \left\{{a_n}\right}[/texx]
     converge a c y se cumple que [texx] \forall{}\epsilon>0 [/texx]
      se cumple [texx] d(a_n, a_m)<\epsilon \forall{}m>n[/texx]


    pero de ahí no puedo relacionarlo con el encaje de bolas cerradas, podes darme una guía? plis gracias. mabel. ahh no estuve por aca por una gripe que me tiró


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 14/07/2010, 11:45:25 pm
    y sigo con la vuelta
    [texx] ii\Rightarrow{}i[/texx]

    El encaje de bolas cerradas sería algo así?
    [texx] \forall{}n\in{}N[/texx]; K(x,delta/n) [texx]\subset{}_\infty[/texx] K(x,delta/n) y
    K(x,delta/n)[texx]\cap{}[/texx]  K(x, delta) [texx]\neq{}\emptyset[/texx]

    Con la letra K indico que son bolas cerradas a diferencia de bolas abiertas
    y ahí no alcanzo a relacionar con las sucesiones
    ¿armo una sucesión con los diámetros? delta/n y delta, y demustro que converge a algún punto, entonces que hago con la intersección, estoy enredada.
    alguna orientación? o estoy totalmente fuera de foco?
    gracias. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 15/07/2010, 08:19:05 pm
    hola argentinator, nuevamente yo con estas demostraciones....
    La siguiente, la hice un poco desordenada, pero me pareció que la idea estaba, espero tus observaciones
    "Sea (E,d) un espacio métrico y A un sub-conjunto denso en E tal que toda sucesión de Cauchy en A converge a un punto de E. Entonces E es completo"

    la idea es " como A es denso en E, la sucesión en A es sucesión en E y como es convergente a un punto de E, tenemos una sucesión convergente en E, entonces E es completo"
    Y la simbología de todo esto sería
    A es sub-conjunto denso en E, entonces cl(A) = E
    Si cl(A)= E se cumple [texx] \forall{}x\in{}cl(A)\Rightarrow{}x\in{}E[/texx] (1)
    Como [texx] A\subseteq{}cl((A)[/texx] se cumple que [texx] \forall{}x\in{}cl(A) x\in{}A[/texx] (2)
    De (1) y (2) [texx] \forall{}x\in{}A, x\in{}E[/texx], luego si [texx] \left\{{x_n}\right\}[/texx] es sucesión en A, también lo es en E
    Como [texx]\left\{{x_n}\right\}[/texx] converge a [texx] a \in{}E[/texx], se tiene una sucesión convergente en E, lo que indica que E es completo
    espero haber sido mínimamente clara.mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 15/07/2010, 08:50:02 pm
    Hola.

    Estos días he estado muy ocupado y no pude responderte.
    Pero pronto contestaré todos tus últimos mensajes.
    Se trata de cuentas muy interesantes, y no quiero dejarlas pasar!!!

    Pero ando medio complicado. Disculpame. Igual no te voy a hacer esperar mucho, a lo sumo uno o dos días más.

    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: mabelmatema en 15/07/2010, 10:57:27 pm
    gracias argentinator, te tomo la palabra como siempre me has ayudado. mabel


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 21/07/2010, 11:55:06 pm
    ahí va de nuevo por si no lo leíste
    y para no ser menos, me tiene mal el tema de las sucesiones, no por sí mismas sino porque me cuesta mucho relacionarlas, como por ejemplo en la siguiente propiedad, que me cuesta mucho encaminar o relacionar:
    "En un espacio métrico (E,d) son equivalentes:
    i. (E,d) es un espacio metrico completo
    ii. Todo encaje de bolas cerradas en E cuyos diámetros tienden a o, tienen interección no vacía.

    Demos hacer las demostraciones [texx] i \Rightarrow{}ii[/texx]
      y también [texx] ii \Rightarrow{}i [/texx]

    En la primera  [texx] i \Rightarrow{}ii[/texx]


    (E,d) es un espacio metrico completo, [texx] \Rightarrow{}\exists{}c\in{}E[/texx]
     tal que la sucesión [texx] \left\{{a_n}\right}[/texx]
     converge a c y se cumple que [texx] \forall{}\epsilon>0 [/texx]
      se cumple [texx] d(a_n, a_m)<\epsilon \forall{}m>n[/texx]


    pero de ahí no puedo relacionarlo con el encaje de bolas cerradas, podes darme una guía? plis gracias. mabel. ahh no estuve por aca por una gripe que me tiró

    Supongamos (i) y tratemos de probar (ii).

    Sea [texx]\{A_m\}_{m=1}^\infty[/texx] un encaje de bolas en E.
    Eso quiere decir que [texx]A_m\supset A_{m+1}[/texx] para todo m, y que cada [texx]A_m[/texx] es una bola cerrada.
    O sea, [texx]A_m=\bar B(x_m,r_m)[/texx], donde [texx]x_m[/texx] es un punto de E, y [texx]r_m>0[/texx].

    El diámetro [texx]\delta_m[/texx] de cada bola [texx]A_m[/texx] es menor o igual que [texx]2r_m[/texx].

    Eso no nos dice nada de los radios [texx]r_m[/texx]...

    Sin embargo, podemos olvidarnos de eso, y quedarnos con los diámetros.
    Ya que los diámetros tienden a 0, resulta que, dado [texx]\epsilon>0[/texx], existe N tal que [texx]\delta_N<\epsilon/2[/texx].

    Tomando m, n > N, obtenemos que [texx]d(x_m,x_n) \leq d(x_m,x_N)+d(x_N,x_n) <\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon.[/texx]

    Por lo tanto, la sucesión de "centros" de las bolas, [texx]\{x_m\}_{m=1}^\infty[/texx] es una sucesión de Cauchy.
    Como E es completo, dicha sucesión converge a un punto x de E.

    Supongamos que los diámetros son todos números positivos (si no, todo esto se vuelve trivial...).

    Supongamos que x no está en alguna de las bolas [texx]\bar B(x_N, r_N)[/texx].
    Esto quiere decir que existe [texx]s > r_N[/texx] tal que [texx]d(y,x) > s[/texx], para todo y en dicha bola, ya que la bola en cuestión es cerrada.
    Existe N tal que n > N implica [texx]d(x_n, x)< s-r_N[/texx], pues la sucesión de centros converge a x.
    Tenemos que [texx]d(x_n, x_N) \leq r_N[/texx].
    Pero entonces [texx]d(x_N,x)\leq d(x_n, x_N)+d(x_N,x)\leq r_N+s-r_N=s[/texx].
    Pero esto no es posible para puntos en la bola N-ésima.

    La constradicción viene de suponer que x no está en alguna de las bolas.
    Luego x está en todas las bolas [texx]A_N[/texx], y así, x es un punto de la intersección de todas ellas.
    Asi, la intersección de todas las bolas cerradas [texx]A_N[/texx] es no vacía.



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 22/07/2010, 12:57:20 am
    Supongamos (ii) y tratemos de demostrar (i).

    Sea [texx]\{x_n\}_{n=1}^\infty[/texx] una sucesión de Cauchy en E.

    Consideremos el número [texx]s_n= \sup_{m>n} d(x_m,x_n).[/texx]

    A partir de algún valor grande de n, cada [texx]r_n[/texx] es finito. (Probarlo usando que la sucesión [texx]x_n[/texx] es de Cauchy).
    Sin pérdida de generalidad, vamos a suponer que todos los [texx]r_n[/texx] son finitos.

    Además, es claro que la sucesión de números [texx]s_n[/texx] es "decreciente" (en realidad es "no creciente", pero no quiero confundir la intuición del asunto).

    Usando que la sucesión de puntos es de Cauchy, se puede probar también que [texx]s_n[/texx] tiende a 0.


    Mediante recurrencia, se puede extraer una subsucesión [texx]r_k=s_{n_k}[/texx] que satisfaga [texx]r_1=s_1[/texx] y [texx]r_{k+1}=s_{n_{k+1}}<r_k/2[/texx].

    Consideremos bolas cerradas [texx]A_k=\bar B(x_{n_k},2r_k)[/texx].

    Si z es un punto de [texx]A_{k+1}[/texx], entonces
    [texx]d(z,x_{n_{k}})\leq d(z,x_{n_{k+1}})+d(x_{n_{k+1}},x_{n_k})\leq 2r_{k+1}+s_{n_k}<r_k+r_k=2r_k[/texx].

    Esto muestra que [texx]A_{k+1}\subset A_k[/texx], para todo índice k.

    Como los radios de esas bolas tienden a 0, los diámetros tienden a 0, y por hipótesis (ii), la intersección de dichas bolas es un conjunto C no vacío.
    Sea x un punto de C.

    Tenemos que [texx]d(x_{n_k}, x)<2r_k[/texx], todo k, o sea, que la subsucesión [texx]x_{n_k}[/texx] tiende a x en E.

    De paso, notemos que [texx]n_k\geq k[/texx] (pues se trata de los índices [texx]n_k[/texx] de una subsucesión).

    Sea ahora [texx]\epsilon > 0[/texx].
    Existe N tal que k > N implica [texx]d(x_{n_k},x)< \epsilon. [/texx]
    Por otro lado, existe M tal que m, n > M satisface [texx]d(x_n, x_m) < \epsilon[/texx], por ser la sucesión de Cauchy.

    Elijamos ahora K = max(M, N). Claramente [texx]n_K\geq K[/texx], y en tal caso, para n > K:
    [texx]d(x_n,x)\leq d(x_n, x_{n_K})+d(x_{n_K},x)<2\epsilon[/texx].

    Esto implica que [texx]x_n[/texx] converge a x.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 23/07/2010, 12:28:31 am
    Bueno Mabel, ahí te pude responde lo del tema de Cauchy.

    Disculpá que no respondí antes, tuve una semana complicada.

    Aún así, puse las cuentas de un modo algo "sistemático".
    Al menos quería dejar las cuentas "asentadas" para que las tengas a mano, y después podemos analizar la idea de la demostración con más tranquilidad, o ver qué pasa con algunos detalles.

    Así no más como está a lo mejor no se entiende nada, jeje, escupí una chorrera de cálculos.
    Pero hay una idea atrás de todos esos pasos, así que preguntá lo que haga falta.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 26/07/2010, 02:21:01 am
    Extraño a mi alumna  :'(


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: sanmath en 07/10/2010, 09:43:38 am
    Ejercicio 16.4. Una aplicación [texx]f:X\rightarrow{Y}[/texx] se dice que es una aplicación abierta si, para cada conjunto abierto [texx]U[/texx] de [texx]X[/texx], el conjunto [texx]f(U)[/texx] es abierto en [texx]Y[/texx]. Pruebe que [texx]\pi_1:X\times{Y}\rightarrow{X}[/texx] y [texx]\pi_2:X\times{Y}\rightarrow{Y}[/texx] son aplicaciones abiertas.

    Solución 16.4:
    Recordemos que [texx]\pi_1:X\times{Y}\rightarrow{X}[/texx] es definida por [texx]\pi_1(x,y)=x[/texx] y [texx]\pi_2:X\times{Y}\rightarrow{Y}[/texx] es definida por [texx]\pi_2(x,y)=y[/texx].

    Sea [texx]W[/texx] un elemento básico de [texx]X\times{Y}[/texx], entonces existe elementos básicos [texx]V, U[/texx] de [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] respectivamente tales que [texx]W=V\times{U}[/texx], entonces como [texx]\pi_1[/texx] es sobreyectiva, tenemos que [texx]\pi_1(W)=\pi_1(V\times{U})=V[/texx], luego [texx]\pi_1(W)[/texx] es un básico, en particular es abierto.

    Sea ahora [texx]A\subseteq{X\times{Y}}[/texx] un abierto, entonces existen [texx]W_\alpha[/texx] elementos básicos tales que [texx]A=\bigcup_\alpha W_\alpha[/texx], es decir, existen [texx]V_\alpha[/texx] y [texx]U_\alpha[/texx] elementos básicos de  [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] respectivamente tales que [texx]W_\alpha=V_\alpha\times{U_\alpha}[/texx] y [texx]A=\bigcup_\alpha \left( V_\alpha\times{U_\alpha} \right)[/texx].

    Entonces [texx]\pi_1(A)=\pi_1\left(\bigcup_\alpha \left( V_\alpha\times{U_\alpha} \right) \right)=\bigcup_\alpha\pi_1\left(  V_\alpha\times{U_\alpha} \right)=\bigcup_\alpha V_\alpha [/texx], es decir, [texx]\pi_1(A)[/texx] es la unión de elementos básicos de X. Por tanto es un abierto de X, así, [texx]\pi_1[/texx] es abierta.

    De la misma manera, se prueba que [texx]\pi_2[/texx] es abierta.

    hola en lo alto, me podrìas explicar por que dices que la aplicaciòn es sobreyectiva y por que [texx]\pi_1(W)=\pi_1(V\times{U})=V[/texx],

    saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: sanmath en 07/10/2010, 10:27:36 am
    Ejercicio 17.11. Pruebe que el producto de dos espacios de Hausdorff es de Hausdorff.
    Solución:
    Sean [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] dos espacios de Hausdorff, tomemos [texx](a,b),(c,d)\in{X\times{Y}}[/texx] diferentes, podemos tomar [texx]a\neq{c}[/texx] y con b y c no interesa, tomémoslos también diferentes, Luego tenemos que [texx]a,c\in{X}[/texx] y [texx]b,d\in{Y}[/texx], al ser [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] dos espacios de Hausdorff, existen entornos [texx]V_a,V_b,V_c,V_d[/texx] tales que
    [texx]V_a\cap{V_c}\neq{\emptyset}[/texx] y [texx]V_b\cap{V_d}\neq{\emptyset}[/texx], luego
    [texx](V_a\times V_b)\cap{(V_c\times V_d)}=(V_a\cap V_c)\times (V_b\cap V_d)\neq{\emptyset}[/texx] y se tiene lo pedido.

    Para el caso de b y d iguales solo se hacen unas ciertas modificaciones.

    Me parece que la prueba está correcta.

    Hola , me parece que hay un error  en esta demostraciòn pues las vecindades deben ser disjuntas por ser un espacio de Haursdoff, es correcto lo que digo , es decir [texx]V_a\cap{V_c=\emptyset}[/texx]


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 07/10/2010, 05:23:56 pm
    Ejercicio 16.4. Una aplicación [texx]f:X\rightarrow{Y}[/texx] se dice que es una aplicación abierta si, para cada conjunto abierto [texx]U[/texx] de [texx]X[/texx], el conjunto [texx]f(U)[/texx] es abierto en [texx]Y[/texx]. Pruebe que [texx]\pi_1:X\times{Y}\rightarrow{X}[/texx] y [texx]\pi_2:X\times{Y}\rightarrow{Y}[/texx] son aplicaciones abiertas.

    Solución 16.4:
    Recordemos que [texx]\pi_1:X\times{Y}\rightarrow{X}[/texx] es definida por [texx]\pi_1(x,y)=x[/texx] y [texx]\pi_2:X\times{Y}\rightarrow{Y}[/texx] es definida por [texx]\pi_2(x,y)=y[/texx].

    Sea [texx]W[/texx] un elemento básico de [texx]X\times{Y}[/texx], entonces existe elementos básicos [texx]V, U[/texx] de [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] respectivamente tales que [texx]W=V\times{U}[/texx], entonces como [texx]\pi_1[/texx] es sobreyectiva, tenemos que [texx]\pi_1(W)=\pi_1(V\times{U})=V[/texx], luego [texx]\pi_1(W)[/texx] es un básico, en particular es abierto.

    Sea ahora [texx]A\subseteq{X\times{Y}}[/texx] un abierto, entonces existen [texx]W_\alpha[/texx] elementos básicos tales que [texx]A=\bigcup_\alpha W_\alpha[/texx], es decir, existen [texx]V_\alpha[/texx] y [texx]U_\alpha[/texx] elementos básicos de  [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] respectivamente tales que [texx]W_\alpha=V_\alpha\times{U_\alpha}[/texx] y [texx]A=\bigcup_\alpha \left( V_\alpha\times{U_\alpha} \right)[/texx].

    Entonces [texx]\pi_1(A)=\pi_1\left(\bigcup_\alpha \left( V_\alpha\times{U_\alpha} \right) \right)=\bigcup_\alpha\pi_1\left(  V_\alpha\times{U_\alpha} \right)=\bigcup_\alpha V_\alpha [/texx], es decir, [texx]\pi_1(A)[/texx] es la unión de elementos básicos de X. Por tanto es un abierto de X, así, [texx]\pi_1[/texx] es abierta.

    De la misma manera, se prueba que [texx]\pi_2[/texx] es abierta.

    hola en lo alto, me podrìas explicar por que dices que la aplicaciòn es sobreyectiva y por que [texx]\pi_1(W)=\pi_1(V\times{U})=V[/texx],

    saludos

    La aplicación es sobreyectiva porque es una proyección de una coordenada:

    Sea [texx]\pi_1:X\times Y\to X[/texx] dada por [texx]\pi (x,y)=x[/texx].
    Entonces, para cada [texx]x\in X[/texx], eligiendo un elemento arbitrario [texx]y\in Y[/texx], se tiene que:
    [texx]\pi _1(x,y)=x[/texx].

    O sea, el elemento x es "imagen" por la proyección, de algún punto del dominio XxY.

    Así que la proyección es sobreyectiva.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: sanmath en 11/10/2010, 01:29:23 am
    Por cierto en la pregunta anterior a que se refieren con un elemento básico?


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 11/10/2010, 04:26:45 pm
    enloalto se refiere a elementos de la "base" de la topología producto, que son conjuntos de la forma ÜxV, siendo U abierto en X, V abierto en Y.

    Para esto hay que entender los conceptos de base y de topología producto. ¿Has visto esos temas en la sección de teoría? Esos temas están explicados en la sección de Dictado del Curso.


    Saludos


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: enloalto en 18/12/2010, 06:15:17 pm
    Holaaa a todos, volviendo con los ejercicios, pero me gustaría hacer los del primer capítulo que considero más interesantes. Empiezo con la sección 2 "Funciones"
    Ejercicio 2.4
    Sean [texx]f:A\rightarrow{B}[/texx] y [texx]g:B\rightarrow{C}[/texx].
    (c) Si [texx]g\circ{f}[/texx] es inyectiva, ¿qué se puede decir sobre la inyectividad de [texx]f[/texx] y de [texx]g[/texx]?
    Veamos que pasa con [texx]f[/texx]. Sean [texx]x,y\in{A}[/texx] tales que [texx]f(x)=f(y)[/texx], entonces [texx]g(f(x))=g(f(y))\Longrightarrow{(g\circ{f})(x)=(g\circ{f})(y)}\Rightarrow{x=y}[/texx]. Por tanto [texx]f[/texx] es inyectiva.

    Pero para [texx]g[/texx], sean [texx]x,y\in{B}[/texx] tales que [texx]g(x)=g(y)[/texx] pero como [texx]f:A\rightarrow{B}[/texx] solo es inyectiva, nada nos garantiza que [texx]x=f(a)[/texx] para algún [texx]a\in{A}[/texx], eso solo pasaría si fuera sobre. Supongamos que [texx]f[/texx] sea también sobre, y por tanto biyectiva. Entonces existen [texx]a,b\in{A}[/texx] tales que [texx]x=f(a)[/texx], [texx]y=f(b)[/texx], entonces tenemos que [texx]g(f(a))=g(f(b))[/texx], luego [texx]a=b[/texx], de donde [texx]x=f(a)=f(b)=y[/texx], y así [texx]g[/texx] sí es inyectiva.

    En conclusión se puede decir que [texx]f[/texx] es inyectiva, pero que [texx]g[/texx] no necesariamente lo sea, imagino que debe haber algún ejemplo, pero ahora no se me ocurre. Además [texx]g[/texx] es inyectiva sí [texx]f[/texx] es sobre. Resumo esto en el siguiente

    Si [texx]g\circ{f}[/texx] es inyectiva entonces [texx]f[/texx] es inyectiva. Además si [texx]f[/texx] es sobreyectiva entonces [texx]g[/texx] es inyectiva.

    Algo análogo es para la (e).

    ¿Correcto?


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: enloalto en 18/12/2010, 06:44:07 pm
    Para la 6 de esa misma sección, a saber
    Ejercicio 2.6
    [texx]f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx], [texx]f(x)=x^3-x[/texx]. Restringiendo adecuadamente el dominio y rango de [texx]f[/texx] obtenga a partir de [texx]f[/texx] una función biyectiva [texx]g[/texx]. Dibuje las gráficas de [texx]g[/texx] y [texx]g^{-1}[/texx].

    La verdad no sé por donde empezar. ¿ Alguna idea Argentinator?


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: enloalto en 18/12/2010, 08:39:38 pm
    Ejercicio 4.4
    (a) Demuestre por inducción que dado [texx]n\in{\mathbb{Z}_+}[/texx], todo subconjunto no vacío de [texx]\left\{{1,2,...,n}\right\}[/texx] tiene un mayor elemento.
    Solución
    Veamos para [texx]n=1[/texx], entonces tenemos [texx]\{1\}[/texx] y se cumple. Supongamos la válida la afirmación para [texx]n\in{\mathbb{Z}_+}[/texx], entonces veamos que sucede con [texx]\left\{{1,2,...,n,n+1}\right\}[/texx]. Sea [texx]N[/texx] el elemento máximo de [texx]\left\{{1,2,...,n}\right\}[/texx], entonces haciendo [texx]M=max \left\{{N,n+1}\right\}[/texx] se tiene que M es el elemento máximo de [texx]\left\{{1,2,...,n+1}\right\}[/texx]. Por tanto, la afirmación es válida para todo [texx]n\in{\mathbb{Z}_+}[/texx].

    (b) Explique por qué no se puede deducir de (a) que todo subconjunto no vacío de [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] tiene un mayor elemento.
    Solución
    Porque (a) solo se cumple para subconjuntos no vacíos que son finitos.

    ¿Correcto?


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: enloalto en 18/12/2010, 09:56:39 pm
    Ejercicio 4.5
    Demuestre las siguientes propiedades de [texx]\mathbb{Z}[/texx] y [texx]\mathbb{Z}_+[/texx]:
    (a) [texx]a,b\in{\mathbb{Z}_+}\Rightarrow{a+b\in{\mathbb{Z_+}}}[/texx].
    Recordemos que [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] es la intersección de todos los conjuntos inductivos de [texx]\mathbb{R}[/texx]
    Sea [texx]a\in{\mathbb{Z}_+}[/texx] arbitrario y definamos [texx]X_a=\{x\in \mathbb{R};a+x\in{\mathbb{Z_+}}\}[/texx], veamos que [texx]X_a[/texx] es inductivo.
    Como [texx]a>0[/texx], entonces [texx]a+1>1>0\Rightarrow{a+1\in{\mathbb{Z}_+}}[/texx], por lo que [texx]1\in{X_a}[/texx].
    Supongamos que [texx]n\in X_a[/texx], entonces [texx]a+n\in Z_+\Rightarrow{a+n>0}[/texx], luego [texx]a+(n+1)=1+(n+a)>n+a>0\Rightarrow{a+(n+1)}\in Z_+[/texx]. Por lo que [texx]n+1\in X_a[/texx].
    Luego [texx]X_a[/texx] es inductivo, [texx]a\in Z_+[/texx], como el [texx]a[/texx] fue arbitrario, se tiene [texx]X_a[/texx] es inductivo, [texx]\forall a\in Z_+[/texx], luego [texx]X= \displaystyle\bigcap_{a\in \mathbb{Z}_+}^{}{X_a}[/texx] es inductivo por el ejercicio 3(a). De esto se tiene que [texx]Z_+\subset{X}[/texx]. Luego sean [texx]a,b\in{\mathbb{Z}_+}[/texx], entonces [texx]a\in{X}[/texx], luego para todo [texx]z\in \in{\mathbb{Z}}_+[/texx] se tiene que [texx]a\in X_z[/texx], en particular para [texx]z=b[/texx], tenemos que [texx]a\in{X_b}[/texx], luego [texx]a+b\in{\mathbb{Z}_+}[/texx]

    Corregido


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: enloalto en 18/12/2010, 10:53:52 pm
    Ejercicio 4.5
    (d) [texx]c,d\in{\mathbb{Z}}[/texx], entonces [texx]c+d\in{\mathbb{Z}}[/texx] y [texx]c-d\in{\mathbb{Z}}[/texx].
    Primero para el caso [texx]d=1[/texx]. Sabemos que [texx]\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_+\cup{\left\{{0}\right\}}\left\{{\mathbb{Z}_-}\right\}[/texx].
    Sea [texx]c\in \mathbb{Z}[/texx], tenemos los siguientes casos:
    • Si [texx]c\in \mathbb{Z}_+[/texx] como [texx]1\in \mathbb{Z}+[/texx] por el ejercicio anterior [texx]c+1\in \mathbb{Z}_+\subseteq{\mathbb{Z}}[/texx].
    • Si [texx]c=0[/texx], entonces [texx]c+1=1\in \mathbb{Z}_+\subset{\mathbb{Z}}[/texx].
    • Si [texx]c\in \mathbb{Z}_-[/texx], entonces acá también hay dos casos:
      • Si [texx]c=-1[/texx], entonces [texx]c+1=0\in\mathbb Z[/texx].
      • Si [texx]c<-1[/texx], entonces [texx]c+1<0\Rightarrow{c+1\in{\mathbb{Z}_-}\subset{\mathbb{Z}}}[/texx]
    En cualquier caso [texx]c+1\in{\mathbb{Z}}[/texx]

    Siento que estoy haciendo trampa.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 19/12/2010, 12:06:00 pm
    Hola enloalto. ¡Tanto tiempo sin verte por acá!

    Las resoluciones tuyas están muy claras y ordenadas y eso facilita hacer cualquier tipo de comentario o corrección.

    En cuanto al ejercicio 2.4, me parece que todos los pasos están correctos:

    Holaaa a todos, volviendo con los ejercicios, pero me gustaría hacer los del primer capítulo que considero más interesantes. Empiezo con la sección 2 "Funciones"
    Ejercicio 2.4
    Sean [texx]f:A\rightarrow{B}[/texx] y [texx]g:B\rightarrow{C}[/texx].
    (c) Si [texx]g\circ{f}[/texx] es inyectiva, ¿qué se puede decir sobre la inyectividad de [texx]f[/texx] y de [texx]g[/texx]?
    Veamos que pasa con [texx]f[/texx]. Sean [texx]x,y\in{A}[/texx] tales que [texx]f(x)=f(y)[/texx], entonces [texx]g(f(x))=g(f(y))\Longrightarrow{(g\circ{f})(x)=(g\circ{f})(y)}\Rightarrow{x=y}[/texx]. Por tanto [texx]f[/texx] es inyectiva.

    Pero para [texx]g[/texx], sean [texx]x,y\in{B}[/texx] tales que [texx]g(x)=g(y)[/texx] pero como [texx]f:A\rightarrow{B}[/texx] solo es inyectiva, nada nos garantiza que [texx]x=f(a)[/texx] para algún [texx]a\in{A}[/texx], eso solo pasaría si fuera sobre. Supongamos que [texx]f[/texx] sea también sobre, y por tanto biyectiva. Entonces existen [texx]a,b\in{A}[/texx] tales que [texx]x=f(a)[/texx], [texx]y=f(b)[/texx], entonces tenemos que [texx]g(f(a))=g(f(b))[/texx], luego [texx]a=b[/texx], de donde [texx]x=f(a)=f(b)=y[/texx], y así [texx]g[/texx] sí es inyectiva.

    En conclusión se puede decir que [texx]f[/texx] es inyectiva, pero que [texx]g[/texx] no necesariamente lo sea, imagino que debe haber algún ejemplo, pero ahora no se me ocurre. Además [texx]g[/texx] es inyectiva sí [texx]f[/texx] es sobre. Resumo esto en el siguiente

    Si [texx]g\circ{f}[/texx] es inyectiva entonces [texx]f[/texx] es inyectiva. Además si [texx]f[/texx] es sobreyectiva entonces [texx]g[/texx] es inyectiva.

    Algo análogo es para la (e).

    ¿Correcto?

    En cuanto a tu última conclusión, se puede establecer sin hacer "la cuenta", usando lo que ya sabemos sobre funciones inyectivas.

    * Estableciste que [texx]f[/texx] es inyectiva.
    * Al suponer que [texx]f[/texx] es sobre, te queda biyectiva.
    * La inversa [texx]f^{-1}[/texx] existe como función, y es inyectiva.
    * Definiendo [texx]h = g\circ f[/texx], se obtiene que [texx]g = h\circ f^{-1}[/texx].
    * Como [texx]h[/texx] y [texx]f^{-1}[/texx] son inyectivas, se puede usar el inciso (b) para demostrar que [texx]g[/texx] es inyectiva.

    A la hora de la verdad, me parece que habrá que hacer la misma cuenta que vos hiciste,
    pero al escribir las ideas en la forma en que lo hice, se sistematiza el punto de vista sobre la situación,
    y el mismo esquema puede tratar de aplicarse en otras situaciones.
    (Son los famosos diagramas conmutativos).



    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 19/12/2010, 12:21:02 pm
    Para la 6 de esa misma sección, a saber
    Ejercicio 2.6
    [texx]f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx], [texx]f(x)=x^3-x[/texx]. Restringiendo adecuadamente el dominio y rango de [texx]f[/texx] obtenga a partir de [texx]f[/texx] una función biyectiva [texx]g[/texx]. Dibuje las gráficas de [texx]g[/texx] y [texx]g^{-1}[/texx].

    La verdad no sé por donde empezar. ¿ Alguna idea Argentinator?

    El enunciado del ejercicio, así como está, no es muy claro.
    Incluso tiene una solución trivial: tomar un dominio A con un solo punto, y B = f(A), y ya está.
    Munkres dice que hay muchas posibilidades para g.

    Creo que hay que conformarse con algún dominio bastante amplio, por ejemplo los reales positivos, o los negativos, o algo por el estilo.

    En realidad, basta con analizar los intervalos donde la función f es estrictamente creciente, y estrictamente decreciente.
    En cada uno de esos intervalos, la función f es inyectiva.
    Un tal intervalo se puede entonces considerar como el "dominio" de g, y el conjunto de imágenes f(x) con x en dicho dominio sería el conjunto imagen a tomar.

    Esto se hace con cálculo, viendo los signos de la derivada:

    [texx]f'(x) = 3x^2-1.[/texx]

    Se ve que f decrece cuando  [texx]|x|<1/ \sqrt 3[/texx], y crece cuando [texx]|x|>1/ \sqrt 3[/texx].


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 19/12/2010, 12:30:58 pm
    Ejercicio 4.4
    (a) Demuestre por inducción que dado [texx]n\in{\mathbb{Z}_+}[/texx], todo subconjunto no vacío de [texx]\left\{{1,2,...,n}\right\}[/texx] tiene un mayor elemento.
    Solución
    Veamos para [texx]n=1[/texx], entonces tenemos [texx]\{1\}[/texx] y se cumple. Supongamos la válida la afirmación para [texx]n\in{\mathbb{Z}_+}[/texx], entonces veamos que sucede con [texx]\left\{{1,2,...,n,n+1}\right\}[/texx]. Sea [texx]N[/texx] el elemento máximo de [texx]\left\{{1,2,...,n}\right\}[/texx], entonces haciendo [texx]M=max \left\{{N,n+1}\right\}[/texx] se tiene que M es el elemento máximo de [texx]\left\{{1,2,...,n+1}\right\}[/texx]. Por tanto, la afirmación es válida para todo [texx]n\in{\mathbb{Z}_+}[/texx].

    La idea está correcta, pero veo que hay imprecisiones.

    Por ejemplo, el máximo de [texx]\left\{{1,2,...,n}\right\}[/texx] es [texx]n[/texx].

    Lo que falta es trabajar más claramente con el "subconjunto" del cual habla el enunciado.

    * Sea A un subconjunto no vacío de {1, 2, ..., n, n+1}.
    * Sea B el conjunto de elementos de A distintos de n+1.
    * Si B es no vacío, entonces tiene un máximo elemento N, y luego la prueba sigue como vos la escribiste.
    * Si B es vacío, entonces [texx]A = \{n+1\}[/texx], y así el [texx]\max(A) = n+1[/texx].

    Fijate que el enunciado habla de "todo subconjunto no vacío" y no sólo de la lista [texx]\{1, 2, ..., n\}[/texx].
    En el caso n = 1, la única posibilidad para A es {1}, y por eso no hay nada que corregir.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 19/12/2010, 12:34:48 pm

    (b) Explique por qué no se puede deducir de (a) que todo subconjunto no vacío de [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] tiene un mayor elemento.
    Solución
    Porque (a) solo se cumple para subconjuntos no vacíos que son finitos.

    ¿Correcto?

    Este tipo de preguntas "conceptuales" son cosas que me cuesta responder,
    porque no sé qué es lo que pretende el "profe Munkres", jeje.

    Estoy de acuerdo con tu respuesta, ya que yo hubiese respondido lo mismo.

    Sin embargo, lo más exacto matemáticamente es exhibir un contraejemplo.
    El mismo conjunto [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] es un subconjunto no vacío que no tiene máximo elemento. En efecto, si x fuese un tal máximo, x + 1 sería un entero positivo mayor que x, absurdo.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: enloalto en 19/12/2010, 12:35:35 pm
    Hola argentinator, también me da mucho gusto regresar. Sigamos con los ejercicios
    Ejercicio 4.8
    (a) Demuestre que [texx]\mathbb R[/texx] tiene la propiedad del ínfimo.

    Sea [texx]X\subset\mathbb{R}[/texx] un conjunto no vacío acotado inferiormente, por probar que posee ínfimo. Como [texx]X[/texx] es acotado inferiormente, entonces existe un [texx]x_0\in\mathbb{R}[/texx] tal que [texx]x_0\leq x[/texx], para todo [texx]x\in{X}[/texx]. Entonces [texx]-x\leq -x_0[/texx] para todo [texx]x\in{X}[/texx]. Haciendo [texx]-X=\{y\in\mathbb{R};y=-x, x\in{X}\}[/texx] y [texx]y_0=-x_0[/texx] tenemos que
    [texx]y\leq y_0[/texx] para todo [texx]y\in{-X}[/texx]. De acá concluimos que el conjunto [texx]-X[/texx] es acotado superiormente y por el axioma del supremo tiene supremo. Defino el ínfimo de X como [texx]-sup(-X)[/texx]. No es difícil probar que esta definición es la correcta


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: enloalto en 19/12/2010, 12:42:25 pm
    Ejercicio 4.8
    (b) Demuestre que [texx]\inf\{1/n;n\in{\mathbb{Z}_+}\}=0[/texx].

    Se tiene que [texx]\inf\{1/n;n\in{\mathbb{Z}_+}\}=0[/texx] si y solo si [texx]\forall\varepsilon>0[/texx] existe un [texx]n_0\in\mathbb{Z}_+[/texx] tal que [texx]0<\cfrac{1}{n_0}<\varepsilon[/texx]. Supongamos lo contrario, entonces
    Existe [texx]\varepsilon_0>0[/texx] tal que [texx]\forall{n\in{\mathbb{Z}_+}}[/texx] [texx]\cfrac{1}{n}\leq\varepsilon_0\Rightarrow{\cfrac{1}{\varepsilon_0}}\geq n[/texx], [texx]\forall{n\in{\mathbb{Z}_+}}[/texx] que es una contradicción. Por tanto se tiene lo pedido.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 19/12/2010, 12:46:55 pm
    Ejercicio 4.5
    Demuestre las siguientes propiedades de [texx]\mathbb{Z}[/texx] y [texx]\mathbb{Z}_+[/texx]:
    (a) [texx]a,b\in{\mathbb{Z}_+}\Rightarrow{a+b\in{\mathbb{Z_+}}}[/texx].
    Recordemos que [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] es la intersección de todos los conjuntos inductivos de [texx]\mathbb{R}[/texx]

    (...) luego [texx]X= \displaystyle\bigcap_{a\in \mathbb{Z}_+}^{}{X_a}[/texx] es inyectivo [/color]  (inductivo) por el ejercicio 3(a).

    (...)

    Salvo esa palabreja, el ejercicio está fantástico.


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: enloalto en 19/12/2010, 12:52:12 pm
    Ejercicio 4.5
    Demuestre las siguientes propiedades de [texx]\mathbb{Z}[/texx] y [texx]\mathbb{Z}_+[/texx]:
    (a) [texx]a,b\in{\mathbb{Z}_+}\Rightarrow{a+b\in{\mathbb{Z_+}}}[/texx].
    Recordemos que [texx]\mathbb{Z}_+[/texx] es la intersección de todos los conjuntos inductivos de [texx]\mathbb{R}[/texx]

    (...) luego [texx]X= \displaystyle\bigcap_{a\in \mathbb{Z}_+}^{}{X_a}[/texx] es inyectivo [/color]  (inductivo) por el ejercicio 3(a).

    (...)

    Salvo esa palabreja, el ejercicio está fantástico.

    Jajaja un blooper, ahora mismo lo corrijo


    Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
    Publicado por: argentinator en 19/12/2010, 01:03:14 pm
      Ejercicio 4.5
      (d) [texx]c,d\in{\mathbb{Z}}[/texx], entonces [texx]c+d\in{\mathbb{Z}}[/texx] y [texx]c-d\in{\mathbb{Z}}[/texx].
      Primero para el caso [texx]d=1[/texx].
      (...)

      • Si [texx]c<-1[/texx], entonces [texx]c+1<0\Rightarrow{c+1\in{\mathbb{Z}_-}\subset{\mathbb{Z}}}[/texx]
      [/li]
      [/list]

      Siento que estoy haciendo trampa.

      Estas cosas sobre propiedades tan conocidas sobre los números son molestas y tienen sutilezas que obedecen estrictamente al punto de vista adoptado por el libro.

      Z se definió como la unión de Z+, el 0, y los negativos de Z+.
      En principio, eso no quiere decir que los enteros negativos sean "menores que 0".
      Salvo que se haya demostrado en algún lugar. (¿dónde se ha probado que los enteros positivos son mayores que 0?) En el ejercicio 4.2(d) se ve lo que pasa con los negativos...

      En fin, sea [texx]c[/texx] un entero "opuesto" a un entero positivo.
      En tal caso, [texx]-c[/texx] es un entero positivo.
      Sea [texx]m = -c-1[/texx].
      Usando el ejercicio 4.1(h), se ve que [texx]-m=-(-c)+1=c+1[/texx].

      Usando el inciso 4.5.(c), se ve que [texx]m \in Z_+\cup\{0\}[/texx].
      Si [texx]m = 0[/texx], entonces [texx]c+1=-m=0[/texx].
      Si [texx]m[/texx] es entero positivo, entonces [texx]c+1= -m[/texx] es entero, por mera definición de entero.


      Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
      Publicado por: enloalto en 19/12/2010, 01:06:32 pm
      Ejercicio 4.8
      (c) Demuestre que dado [texx]a[/texx] con [texx]0<a<1[/texx], [texx]\inf\{a^n;n\in{\mathbb{Z}_+}\}=0[/texx]
      Sea [texx]h=\cfrac{1-a}{a}[/texx] por inducción se demuestra que [texx](1+h)^n\geq 1+nh[/texx], luego
      [texx]\left({\cfrac{1}{a}}\right)^n=(1+h)^n\geq 1+nh=1+\cfrac{n(1-a)}{a}[/texx]....(1),
      Supongamos que [texx]\inf\{a^n;n\in{\mathbb{Z}_+}\}\neq 0[/texx], entonces existe [texx]\varepsilon_0>0[/texx] tal que [texx]a^n\geq \varepsilon_0\Rightarrow{\cfrac{1}{a^n}\leq\cfrac{1}{\varepsilon_0}}[/texx]....(2)
      De (1) y (2)
      [texx]1+\cfrac{n(1-a)}{a}\leq\cfrac{1}{\varepsilon_0}[/texx], de donde obtengo
      [texx]n\leq\cfrac{1+\varepsilon_0}{\varepsilon_0}\cfrac{a}{1-a}[/texx] y esto es para todo [texx]n\in{\mathbb{Z}_+}[/texx] que es una contradicción. El resultado sigue.


      Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
      Publicado por: argentinator en 19/12/2010, 01:07:56 pm
      Hola argentinator, también me da mucho gusto regresar. Sigamos con los ejercicios
      Ejercicio 4.8
      (a) Demuestre que [texx]\mathbb R[/texx] tiene la propiedad del ínfimo.

      (,,,)

      Defino el ínfimo de X como [texx]-sup(-X)[/texx]. No es difícil probar que esta definición es la correcta


      La parte de tu demostración que borré está correcta.
      Pero este remate no es correcto.

      El ínfimo se define usando solamente propiedades de la relación de orden <, puesto que es un concepto de la teoría de conjuntos ordenados.
      No se usa el álgebra de los números reales para "definir" el ínfimo.

      Lo que hay que hacer es seguir un pòco con las cuentas,
      y "demostrar" que el numerito [texx]-sup(-X)[/texx] es efectivamente un ínfimo para [texx]X[/texx].

      Hay que definir [texx]s = -sup(-X)[/texx] y probar que [texx]s[/texx] es ínfimo de X.
      Quizá eso es lo que has querido decir, y la cuenta seguro ya la hiciste.


      Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
      Publicado por: enloalto en 19/12/2010, 01:09:09 pm
      Hola argentinator, también me da mucho gusto regresar. Sigamos con los ejercicios
      Ejercicio 4.8
      (a) Demuestre que [texx]\mathbb R[/texx] tiene la propiedad del ínfimo.

      (,,,)

      Defino el ínfimo de X como [texx]-sup(-X)[/texx]. No es difícil probar que esta definición es la correcta

      La parte de tu demostración que borré está correcta.
      Pero este remate no es correcto.

      El ínfimo se define usando solamente propiedades de la relación de orden <, puesto que es un concepto de la teoría de conjuntos ordenados.
      No se usa el álgebra de los números reales para "definir" el ínfimo.

      Lo que hay que hacer es seguir un pòco con las cuentas,
      y "demostrar" que el numerito [texx]-sup(-X)[/texx] es efectivamente un ínfimo para [texx]X[/texx].

       :P también pensé lo mismo, pero me dio pereeza, jejeje


      Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
      Publicado por: enloalto en 19/12/2010, 01:24:08 pm
      Ejercicio 4.9
      (a) Demuestre que todo subconjunto no vacío de [texx]\mathbb Z[/texx] acotado superiormente tiene un máximo.
      Sea [texx]X\subset{\mathbb{Z}}[/texx] acotado superiormente, entonces el conjunto [texx]A=\{y\in\mathbb{Z};y\geq{x},\forall{x\in{X}}\}[/texx] es no vacío y por el principio del buen orden tiene un elemento mínimo. Sea este [texx]x_0[/texx]. Afirmo que [texx]x_0\in X[/texx] y éste es el elemento máximo que buscamos. Si [texx]x_0\not\in{X}[/texx], entonces [texx]x_0>x[/texx], [texx]\forall{x\in X}[/texx]...
      Ahí me quedo, mi idea es ver que existe un [texx]p_0<x_0[/texx] que también esté en A contradiciendo la minimilidad de [texx]x_0[/texx] por lo que sería una contradicción y tendría que [texx]x_0\in X[/texx]


      Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
      Publicado por: enloalto en 19/12/2010, 01:33:33 pm
      Ejercicio 4.9
      (b) Si [texx]x\not\in{\mathbb{Z}}[/texx], demuestre que existe exactamente un [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx]n<x<n+1[/texx].
      Supongo lo contrario, es decir que para todo [texx]n\in\mathbb{Z}[/texx] [texx]n\geq x[/texx] o [texx]x\geq n+1[/texx], como [texx]x\geq n+1[/texx] no es posible, entonces para todo [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] [texx]n\geq x[/texx], es decir que el conjunto [texx]\mathbb{Z}[/texx] es acotado inferiormente lo que no es cierto. Por tanto existe un [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx]n<x<n+1[/texx]. La unicidad no veo como probarlo.

      Otra manera que encontré es la siguiente. Como [texx]x\in \mathbb{R}[/texx], entonces por la propiedad arquimedeana de los números reales, existe un [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]x<n[/texx], luego el conjunto [texx]A_x=\{n\in\mathbb{Z};x<n\}[/texx] es no vacío y por el principio del buen orden posee elemento mínimo(que es único), sea este [texx]m_x=1+n_x[/texx]. Luego [texx]n_x\not\in{A}[/texx], entonces [texx]n_x\leq x<m_x=n_x+1[/texx], pero como [texx]\color{red}x\not\in{\mathbb{Z}}[/texx], no puede suceder que [texx]n_x=x[/texx], por lo que
      [texx]n_x< x<n_x+1[/texx]
      Modificado


      Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
      Publicado por: enloalto en 19/12/2010, 01:49:22 pm
      Ejercicio 4.9
      (c) Si [texx]x-y>1[/texx], demuestre que existe al menos un [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]y<n<x[/texx].
      Humm por contradicción, supongamos que para todo [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] se cumple [texx]y\geq n[/texx] o [texx]n\geq x[/texx], como no puede suceder que [texx]y\geq n[/texx], para todo [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx], entonces [texx]n\geq x[/texx] para todo [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx], pero esto tampoco es posible. Por tanto, se cumple lo pedido

      Esta demostración no me gusta mucho, hummmm

      (d) Si [texx]y<x[/texx], demuestre que existe un número racional [texx]z[/texx] tal que [texx]y<z<x[/texx]
      Como [texx]y<x[/texx], por el ejercicio 4.2(k), [texx]y<\cfrac{y+x}{2}<x[/texx], tomando [texx]z=\cfrac{y+x}{2}[/texx] tengo lo pedido.

      ¿Qué tal?


      Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
      Publicado por: enloalto en 19/12/2010, 01:50:26 pm
      Ya regreso voy a ordenar mi cuarto


      Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
      Publicado por: enloalto en 19/12/2010, 05:16:45 pm
      Ejercicio 4.10 Demuestre, como se indica a continuación, que todo número positivo [texx]a[/texx] tiene exactamente una raíz cuadrada positiva:
      (a) Demuestre que si [texx]x>0[/texx] y [texx]0\leq h<1[/texx], entonces
      [texx](x+h)^2\leq x^2+h(2x+1)[/texx], [texx](x-h)^2\geq x^2-h(2x)[/texx]
      Demostración:
      [texx](x+h)^2=x^2+2xh+h^2[/texx]. Como [texx]0\leq h<1[/texx], entonces [texx]h^2<h[/texx], luego
      [texx](x+h)^2=x^2+2xh+h^2<x^2+2xh+h=x^2+h(2x+1)[/texx], luego
      [texx](x+h)^2<x^2+h(2x+1)[/texx]. Si h=0, se tiene la igualdad. Por tanto
      [texx](x+h)^2\leq x^2+h(2x+1)[/texx]
      De la misma manera se tiene la otra desigualdad.


      Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
      Publicado por: enloalto en 19/12/2010, 06:24:10 pm
      Ejercicio 4.10
      (b) Sea [texx]x>0[/texx]. Demuestre que si [texx]x^2<a[/texx], entonces [texx](x+h)^2<a[/texx], para algún [texx]h>0[/texx], y que si [texx]x^2>a[/texx], entonces [texx](x-h)^2>a[/texx], para algún [texx]h>0[/texx].
      Demostración:

      Un resultado que es consecuencia de la propiedad arquimedeana
      Si [texx]x>0[/texx] entonces existe [texx]n_x\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]\cfrac{1}{n_x}<x[/texx].
      Como [texx]x^2<a\Rightarrow{a-x^2>0}[/texx], como [texx]x>0\Rightarrow{2x+1>0}\Rightarrow{\cfrac{1}{2x+1}}>0[/texx]. De donde obtenemos que
      [texx]\cfrac{a-x^2}{2x+1}>0[/texx], por la propiedad arquimedeana existe un [texx]n_x\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]\cfrac{1}{n_x}<\cfrac{a-x^2}{2x+1}[/texx]. Luego si hacemos [texx]h=\cfrac{1}{n_x}[/texx], se tiene que [texx]0<h<1[/texx] y [texx]h<\cfrac{a-x^2}{2x+1}[/texx].

      Por (a) [texx](x+h)^2\leq x^2+h(2x+1)[/texx], luego
      [texx](x+h)^2\leq x^2+h(2x+1)<x^2+(a-x^2)=a[/texx]

      Para el otro caso, se repite la idea con el cambio correspondiente.


      Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
      Publicado por: enloalto en 19/12/2010, 06:48:36 pm
        Ejercicio 4.10
        (c) Dado [texx]a>0[/texx] sea [texx]B=\{x\in \mathbb{R}:x^2<a\}[/texx]. Demuestre que [texx]B[/texx] está acotado superiormente y que contiene, al menos un número positivo. Sea [texx]b=\sup B[/texx]; demuestre que [texx]b^2=a[/texx].
        Demostración:
        Sabemos que [texx](1+a)^2>a[/texx], entonces [texx](1+a)[/texx] es cota superior de B, entonces B está acotado superiormente, además como [texx](1+a)^2>a\Rightarrow{a(1+a^2)>a^2}\Rightarrow{a>\left({\cfrac{a}{1+a}}\right)^2}[/texx], luego [texx]\cfrac{a}{1+a}\in B[/texx], por lo que [texx]B\neq{\emptyset}[/texx] y también [texx]\cfrac{a}{1+a}>0[/texx]. Por el axioma del supremo, [texx]B[/texx] posee supremo, sea este [texx]b[/texx], luego como [texx]b\geq\cfrac{a}{1+a}\Rightarrow{b>0}[/texx]. Falta probar que [texx]b^2=a[/texx]. Supongamos que no, tenemos los siguientes casos:
        • [texx]b^2>a[/texx], luego por (b) existe [texx]h>0[/texx] tal que [texx](b-h)^2>a[/texx], luego [texx](b-h)^2>x^2[/texx], para todo [texx]x\in B[/texx]
        , entonces [texx](b-h)>x[/texx], para todo [texx]x\in B[/texx][/li][/list]. Por lo que [texx]b-h[/texx] es una cota superior de B menor que [texx]b=\sup B[/texx]. Contradicción.
        • [texx]b^2<a[/texx], luego existe [texx]h>0[/texx] tal que [texx](b+h)^2<a[/texx], entonces [texx](b+h)\in{B}\Rightarrow{b+h\leq{b}}[/texx] lo que es una contradicción.
        Por tanto, [texx]b^2=a[/texx].
        ¿Qué tal?


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 19/12/2010, 07:13:25 pm
        Ejercicio 4.10
        (d) Demuestre que si [texx]b[/texx] y [texx]c[/texx] son positivos y [texx]b^2=c^2[/texx], entonces [texx]b=c[/texx]

        Pensando


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 20/12/2010, 01:16:59 am
        Ejercicio 4.11
        Dado [texx]m\in\mathbb{Z}[/texx], decimos que [texx]m[/texx] es par si [texx]m/2\in\mathbb{Z}[/texx], y que [texx]m[/texx] es impar en caso contrario.
        (a) Demuestre que si [texx]m[/texx] es impar, [texx]m=2n+1[/texx] para algún [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx]
        Como [texx]m[/texx] es impar, entonces por definición [texx]m/2\not\in{\mathbb{Z}}[/texx], y por el ejercicio 4.9 (b) existe un [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que

        [texx]n<m/2<n+1\Rightarrow{2n<m<2n+2}[/texx] y como [texx]m\in{\mathbb{Z}}[/texx] no queda otra que [texx]m=2n+1[/texx]. Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 20/12/2010, 02:48:59 am
        Ejercicio 4.11
        (b) Demuestre que si [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] son impares, también lo son [texx]p\cdot{q}[/texx] y [texx]p^n[/texx], para cualquier [texx]n\in{\mathbb{Z}_+}[/texx]
        Tenemos que [texx]p=2n+1[/texx] y [texx]q=2m+1[/texx], con [texx]n,m\in{\mathbb{Z}}[/texx], luego
        [texx]p\cdot{q}=2(nm+n+m)+1=2k+1[/texx], luego se tiene lo pedido.
        Por inducción sobre [texx]n[/texx]
        Para [texx]n=1[/texx] se cumple, supongamos el resultado válido para [texx]n[/texx].
        [texx]p^{n+1}=p^n\cdot{p}[/texx]. Como por hipótesis, [texx]p^n[/texx] es impar y [texx]p[/texx] también es impar, por lo mostrado anteriormente se tiene que [texx]p^{n+1}[/texx] también es impar. Luego el resultado es válido para cualquier [texx]n\in{\mathbb{Z}_+}[/texx].


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 20/12/2010, 03:08:15 am
        Ejercicio 4.11
        (c) Demuestre que si [texx]a>0[/texx] es un número racional, entonces [texx]a=m/n[/texx] para ciertos [texx]m,n\in{\mathbb{Z}_+}[/texx], donde [texx]m[/texx] y [texx]n[/texx] no pueden ser a la vez pares. Indicación: sea [texx]n[/texx] el menor elemento del conjunto [texx]\{x\in\mathbb{Z}_+/x\cdot{a}\in{\mathbb{Z}_+\}[/texx]

        ¿ Cómo demuestro que [texx]\{x\in\mathbb{Z}_+/x\cdot{a}\in{\mathbb{Z}_+\}[/texx] es no vacío ?


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 20/12/2010, 04:23:41 pm
        Ejercicio 4.11
        (d) Teorema: [texx]\sqrt[ ]{2}[/texx] es irracional
        Esta demostración es muy conocida y está en cualquier libro de análisis matemático.


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 20/12/2010, 05:33:36 pm
        Ejercicio 6.1
        (a) Haga una lista de todas las aplicaciones inyectivas
        [texx]f:\{\1,2,3}\rightarrow{\{1,2,3,4\}}[/texx]
        Demuestre que ninguna es biyectiva.

        Humm esta la veo como tanteando, una puede ser la inclusión
        [texx]f_1(k)=k[/texx], [texx]K=1,2,3.[/texx]
        [texx]f_2(1)=1, f_2(2)=2, f_2(3)=4[/texx]
        [texx]f_3(1)=1, f_3(2)=3, f_3(3)=4[/texx]
        [texx]f_4(1)=1, f_4(2)=4, f_3(3)=3[/texx]
        hmm me da pereza, acaso ¿hay otra manera de hacerla?


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 20/12/2010, 06:10:29 pm
        Ejercicio 6.2
        Demuestre que si [texx]B[/texx] no es finito y [texx]B\subset{A}[/texx], entonces [texx]A[/texx] no es finito.
        Demostración:
        Si [texx]A[/texx] es finito, como  [texx]B\subset{A}[/texx] entonces, por el corolario 6.6, [texx]B[/texx] es finito. Contradicción.


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 20/12/2010, 07:01:58 pm
        Ejercicio 6.3
        Sea [texx]X=\{0,1\}[/texx]. Encuentre una correspondencia biyectiva entre [texx]X^{\omega}[/texx] y un subconjunto de sí mismo.
        Sea [texx]Y_n=\left\{{\cfrac{1-(-1)^n}{2}}\right\}[/texx], luego [texx]Y_1=\{1\}[/texx], [texx]Y_2=\{0\}[/texx], [texx]Y_3=\{1\}[/texx] y así sucesivamente, luego tenemos
        [texx]Y^{\omega}\subset{X^{\omega}}[/texx]. Humm no avanzo, a pensar un poco más


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 20/12/2010, 09:32:06 pm
        Ejercicio 6.4
        Sea [texx]A[/texx] un conjunto finito, no vacío, simplemente ordenado.
        (a) Demuestre que [texx]A[/texx] tiene un máximo.
        Demostración:
        Sea [texx]Card(A)=n[/texx], procedamos por inducción sobre [texx]n[/texx].
        Si [texx]n=1[/texx], entonces [texx]A=\{a\}[/texx], luego se cumple la afirmación.
        Supongamos válido la afirmación para [texx]n[/texx]. Sea [texx]Card(A)=n+1[/texx]. Tomemos [texx]a_0\in A[/texx], luego por el Lema 6.1, [texx]Card(A-\{a_0\})=n[/texx], entonces por H.I. [texx]A-\{a_0\}[/texx] posee un elemento máximo, digamos [texx]a[/texx]. Como [texx]A[/texx] es simplemente ordenado, para [texx]a[/texx] y [texx]a_0[/texx] se cumple qué [texx]a=a_0[/texx], [texx]a<a_0[/texx] o [texx]a>a_0[/texx]. Pero, [texx]a\neq{a_0}[/texx], entonces si [texx]a<a_0[/texx], el elemento máximo de [texx]A[/texx] es [texx]a_0[/texx]. Caso contrario, es decir, si [texx]a>a_0[/texx], el elemento máximo de [texx]A[/texx] es [texx]a[/texx]. En ambos casos [texx]A[/texx] tiene elemento máximo. Es decir, se cumple la afirmación para [texx]Card(A)=n+1[/texx].
        El resultado sigue.


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 20/12/2010, 11:18:20 pm
        Ejercicio 6.4
        (b) Demuestre que [texx]A[/texx] tiene el tipo de orden de una sección de los enteros positivos.
        Demostración:
        Debemos buscar una biyección [texx]A[/texx] con alguna sección [texx]S_n[/texx], con [texx]n\in{\mathbb{Z_+}}[/texx]. [texx]f:S_n\rightarrow{A}[/texx]. Como A es no vacío, y está simplemente ordenado, sea [texx]Card(A)=n[/texx], y denotemos a su máximo [texx]a_n[/texx], luego tenemos que [texx]A-\{a_n\}[/texx], también tiene elemento máximo, sea este [texx]a_{n-1}[/texx]. Tenemos que [texx]a_{n-1}<a_n[/texx]. Ahora consideremos [texx]A-\{a_n,a_{n-1}\}[/texx], sea [texx]a_{n-2}[/texx] su elemento máximo. Tenemos que [texx]a_{n-2}<a_{n-1}<a_n[/texx]. De esta manera, tenemos [texx]A=\{a_1,...,a_n}[/texx], con [texx]a_1<a_2<...<a_n[/texx]. Luego, definimos [texx]f:S_n\rightarrow{A}[/texx] por [texx]f(n)=a_n[/texx]. Claramente [texx]f[/texx] es biyectiva y se tiene lo pedido


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 20/12/2010, 11:36:19 pm
        Ejercicio 6.5
        Si [texx]A\times B[/texx] es finito, ¿se deduce que [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] también lo son?
        Demostración
        Estas clases de preguntas son buenas, pues nos hace pensar mucho y se obtienen buenos contraejemplos. Pensando


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: argentinator en 20/12/2010, 11:39:41 pm
        Ejercicio 2.9
        (a) Demuestre que todo subconjunto no vacío de [texx]\mathbb Z[/texx] acotado superiormente tiene un máximo.
        Sea [texx]X\subset{\mathbb{Z}}[/texx] acotado superiormente, entonces el conjunto [texx]A=\{y\in\mathbb{Z};y\geq{x},\forall{x\in{X}}\}[/texx] es no vacío y por el principio del buen orden tiene un elemento mínimo. Sea este [texx]x_0[/texx]. Afirmo que [texx]x_0\in X[/texx] y éste es el elemento máximo que buscamos. Si [texx]x_0\not\in{X}[/texx], entonces [texx]x_0>x[/texx], [texx]\forall{x\in X}[/texx]...
        Ahí me quedo, mi idea es ver que existe un [texx]p_0<x_0[/texx] que también esté en A contradiciendo la minimilidad de [texx]x_0[/texx] por lo que sería una contradicción y tendría que [texx]x_0\in X[/texx]

        Podrías preguntarte qué pasa con [texx]x_0-1[/texx]. Se sabe ya que no existen enteros entre [texx]x_0-1[/texx] y [texx]x_0[/texx].
        El elemento [texx]x_0-1[/texx] no puede ser una cota superior de X,
        porque si no, estaría en A,
        y sería más pequeño que el mínimo [texx]x_0[/texx], absurdo.

        Así que existe x en X tal que [texx]x_0-1<x\leq x_0[/texx].
        Pero se sabe ya que no existen enteros entre uno dado y su "siguiente", así que [texx]x = x_0[/texx].


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: argentinator en 20/12/2010, 11:44:03 pm
        Ejercicio 4.9
        (b) Si [texx]x\not\in{\mathbb{Z}}[/texx], demuestre que existe exactamente un [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx]n<x<n+1[/texx].
        Supongo lo contrario, es decir que para todo [texx]n\in\mathbb{Z}[/texx] [texx]n\geq x[/texx] o [texx]x\geq n+1[/texx], como [texx]x\geq n+1[/texx] no es posible, entonces para todo [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] [texx]n\geq x[/texx], es decir que el conjunto [texx]\mathbb{Z}[/texx] es acotado inferiormente lo que no es cierto. Por tanto existe un [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx]n<x<n+1[/texx]. La unicidad no veo como probarlo.

        Otra manera que encontré es la siguiente. Como [texx]x\in \mathbb{R}[/texx], entonces por la propiedad arquimedeana de los números reales, existe un [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]x<n[/texx], luego el conjunto [texx]A_x=\{n\in\mathbb{Z};x<n\}[/texx] es no vacío y por el principio del buen orden posee elemento mínimo(que es único), sea este [texx]m_x=1+n_x[/texx]. Luego [texx]n_x\not\in{A}[/texx], entonces [texx]n_x\leq x<m_x=n_x+1[/texx], pero como [texx]x\in{\mathbb{Z}}[/texx], no puede suceder que [texx]n_x=x[/texx], por lo que
        [texx]n_x< x<n_x+1[/texx]

        El enunciado está incorrecto, debe decir algo como: [texx]n\leq x <n+1[/texx].

        La primer demostración que hiciste me parece más clara.
        Pero usaste que Z no está acotado. ¿Eso está probado? Igual, eso es fácil de probar, tomando el "supremo" de Z...

        En cuanto a la unicidad, creo que sale de la mera linealidad del orden.
        Si hubiera dos enteros distintos m, n, con la propiedad indicada,
        podemos suponer que m < n.
        Por tricotomía vale que  [texx]m + 1 < n[/texx], o bien [texx]m +1 = n[/texx].

        Luego, [texx]m \leq x < m+1 \leq n \leq  x < n+[/texx]1.
        Esto da x < x, absurdo.


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: argentinator en 20/12/2010, 11:52:12 pm
        Ejercicio 4.9
        (c) Si [texx]x-y>1[/texx], demuestre que existe al menos un [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]y<n<x[/texx].
        Humm por contradicción, supongamos que para todo [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] se cumple [texx]y\geq n[/texx] o [texx]n\geq x[/texx], como no puede suceder que [texx]y\geq n[/texx], para todo [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx], entonces [texx]n\geq x[/texx] para todo [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx], pero esto tampoco es posible. Por tanto, se cumple lo pedido

        Esta demostración no me gusta mucho, hummmm


        No entiendo mucho la lógica, no parece estar bien.

        Si [texx]x-y > 1[/texx], entonces [texx]x > 1 + y[/texx].
        Se sabe que existe un entero [texx]n[/texx] tal que [texx]n-1 \leq y < n[/texx].
        Sumando 1 da [texx]y< n \leq 1 + y < x[/texx].
        El entero [texx]n[/texx] es el buscado.


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: argentinator en 20/12/2010, 11:53:03 pm
        Ejercicio 4.9
        (d) Si [texx]y<x[/texx], demuestre que existe un número racional [texx]z[/texx] tal que [texx]y<z<x[/texx]
        Como [texx]y<x[/texx], por el ejercicio 4.2(k), [texx]y<\cfrac{y+x}{2}<x[/texx], tomando [texx]z=\cfrac{y+x}{2}[/texx] tengo lo pedido.

        ¿Qué tal?

        Un desastre, jaja!! Así no es...

        Los números x, y no son racionales.


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 20/12/2010, 11:53:46 pm
        Ejercicio 4.9
        (d) Si [texx]y<x[/texx], demuestre que existe un número racional [texx]z[/texx] tal que [texx]y<z<x[/texx]
        Como [texx]y<x[/texx], por el ejercicio 4.2(k), [texx]y<\cfrac{y+x}{2}<x[/texx], tomando [texx]z=\cfrac{y+x}{2}[/texx] tengo lo pedido.

        ¿Qué tal?

        Un desastre, jaja!! Así no es...

        Los números x, y no son racionales.

        jajajaja  >:D sip, tampoco me gustaba


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: argentinator en 20/12/2010, 11:57:30 pm
        Ejercicio 4.10 Demuestre, como se indica a continuación, que todo número positivo [texx]a[/texx] tiene exactamente una raíz cuadrada positiva:
        (a) Demuestre que si [texx]x>0[/texx] y [texx]0\leq h<1[/texx], entonces
        [texx](x+h)^2\leq x^2+h(2x+1)[/texx], [texx](x-h)^2\geq x^2-h(2x)[/texx]
        Demostración:
        [texx](x+h)^2=x^2+2xh+h^2[/texx]. Como [texx]0\leq h<1[/texx], entonces [texx]h^2<h[/texx], luego
        [texx](x+h)^2=x^2+2xh+h^2<x^2+2xh+h=x^2+h(2x+1)[/texx], luego
        [texx](x+h)^2<x^2+h(2x+1)[/texx]. Si h=0, se tiene la igualdad. Por tanto
        [texx](x+h)^2\leq x^2+h(2x+1)[/texx]
        De la misma manera se tiene la otra desigualdad.


        Claro.
        Me queda la duda de cuándo se dijo o probó que [texx]h^2< h[/texx] para h < 1. A lo mejor está en los ejercicios 4.1 y 4.2 que directamente ni transcribí en teoría...


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 20/12/2010, 11:57:49 pm
        Ejercicio 4.9
        (b) Si [texx]x\not\in{\mathbb{Z}}[/texx], demuestre que existe exactamente un [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx]n<x<n+1[/texx].
        Supongo lo contrario, es decir que para todo [texx]n\in\mathbb{Z}[/texx] [texx]n\geq x[/texx] o [texx]x\geq n+1[/texx], como [texx]x\geq n+1[/texx] no es posible, entonces para todo [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] [texx]n\geq x[/texx], es decir que el conjunto [texx]\mathbb{Z}[/texx] es acotado inferiormente lo que no es cierto. Por tanto existe un [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx]n<x<n+1[/texx]. La unicidad no veo como probarlo.

        Otra manera que encontré es la siguiente. Como [texx]x\in \mathbb{R}[/texx], entonces por la propiedad arquimedeana de los números reales, existe un [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]x<n[/texx], luego el conjunto [texx]A_x=\{n\in\mathbb{Z};x<n\}[/texx] es no vacío y por el principio del buen orden posee elemento mínimo(que es único), sea este [texx]m_x=1+n_x[/texx]. Luego [texx]n_x\not\in{A}[/texx], entonces [texx]n_x\leq x<m_x=n_x+1[/texx], pero como [texx]x\in{\mathbb{Z}}[/texx], no puede suceder que [texx]n_x=x[/texx], por lo que
        [texx]n_x< x<n_x+1[/texx]

        El enunciado está incorrecto, debe decir algo como: [texx]n\leq x <n+1[/texx].

        La primer demostración que hiciste me parece más clara.
        Pero usaste que Z no está acotado. ¿Eso está probado? Igual, eso es fácil de probar, tomando el "supremo" de Z...

        En cuanto a la unicidad, creo que sale de la mera linealidad del orden.
        Si hubiera dos enteros distintos m, n, con la propiedad indicada,
        podemos suponer que m < n.
        Por tricotomía vale que  [texx]m + 1 < n[/texx], o bien [texx]m +1 = n[/texx].

        Luego, [texx]m \leq x < m+1 \leq n \leq  x < n+[/texx]1.
        Esto da x < x, absurdo.
        Bonita la demostración de la unicidad. Y la otra demostración me gusta más, ¿qué no te convence?
        Modificado
        Creo que el enunciado está bien, no puede ser [texx]n\leq x[/texx], pues [texx]x\neq n[/texx] ya que por hipotesis [texx]x\not\in{\mathbb{Z}}[/texx]


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: argentinator en 20/12/2010, 11:59:25 pm
        Ejercicio 4.10
        (b) Sea [texx]x>0[/texx]. Demuestre que si [texx]x^2<a[/texx], entonces [texx](x+h)^2<a[/texx], para algún [texx]h>0[/texx], y que si [texx]x^2>a[/texx], entonces [texx](x-h)^2>a[/texx], para algún [texx]h>0[/texx].
        Demostración:

        Un resultado que es consecuencia de la propiedad arquimedeana
        Si [texx]x>0[/texx] entonces existe [texx]n_x\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]\cfrac{1}{n_x}<x[/texx].
        Como [texx]x^2<a\Rightarrow{a-x^2>0}[/texx], como [texx]x>0\Rightarrow{2x+1>0}\Rightarrow{\cfrac{1}{2x+1}}>0[/texx]. De donde obtenemos que
        [texx]\cfrac{a-x^2}{2x+1}>0[/texx], por la propiedad arquimedeana existe un [texx]n_x\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]\cfrac{1}{n_x}<\cfrac{a-x^2}{2x+1}[/texx]. Luego si hacemos [texx]h=\cfrac{1}{n_x}[/texx], se tiene que [texx]0<h<1[/texx] y [texx]h<\cfrac{a-x^2}{2x+1}[/texx].

        Por (a) [texx](x+h)^2\leq x^2+h(2x+1)[/texx], luego
        [texx](x+h)^2\leq x^2+h(2x+1)<x^2+(a-x^2)=a[/texx]

        Para el otro caso, se repite la idea con el cambio correspondiente.


        Fabuloso  :aplauso:


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 20/12/2010, 11:59:56 pm
        Ejercicio 4.10 Demuestre, como se indica a continuación, que todo número positivo [texx]a[/texx] tiene exactamente una raíz cuadrada positiva:
        (a) Demuestre que si [texx]x>0[/texx] y [texx]0\leq h<1[/texx], entonces
        [texx](x+h)^2\leq x^2+h(2x+1)[/texx], [texx](x-h)^2\geq x^2-h(2x)[/texx]
        Demostración:
        [texx](x+h)^2=x^2+2xh+h^2[/texx]. Como [texx]0\leq h<1[/texx], entonces [texx]h^2<h[/texx], luego
        [texx](x+h)^2=x^2+2xh+h^2<x^2+2xh+h=x^2+h(2x+1)[/texx], luego
        [texx](x+h)^2<x^2+h(2x+1)[/texx]. Si h=0, se tiene la igualdad. Por tanto
        [texx](x+h)^2\leq x^2+h(2x+1)[/texx]
        De la misma manera se tiene la otra desigualdad.


        Claro.
        Me queda la duda de cuándo se dijo o probó que [texx]h^2< h[/texx] para h < 1. A lo mejor está en los ejercicios 4.1 y 4.2 que directamente ni transcribí en teoría...
        Es de la teoría, la propiedad (6): Si [texx]x>y[/texx] y [texx]z>0[/texx] entonces [texx]xz>yz[/texx].


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 12:01:57 am
        Ejercicio 4.10
        (b) Sea [texx]x>0[/texx]. Demuestre que si [texx]x^2<a[/texx], entonces [texx](x+h)^2<a[/texx], para algún [texx]h>0[/texx], y que si [texx]x^2>a[/texx], entonces [texx](x-h)^2>a[/texx], para algún [texx]h>0[/texx].
        Demostración:

        Un resultado que es consecuencia de la propiedad arquimedeana
        Si [texx]x>0[/texx] entonces existe [texx]n_x\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]\cfrac{1}{n_x}<x[/texx].
        Como [texx]x^2<a\Rightarrow{a-x^2>0}[/texx], como [texx]x>0\Rightarrow{2x+1>0}\Rightarrow{\cfrac{1}{2x+1}}>0[/texx]. De donde obtenemos que
        [texx]\cfrac{a-x^2}{2x+1}>0[/texx], por la propiedad arquimedeana existe un [texx]n_x\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]\cfrac{1}{n_x}<\cfrac{a-x^2}{2x+1}[/texx]. Luego si hacemos [texx]h=\cfrac{1}{n_x}[/texx], se tiene que [texx]0<h<1[/texx] y [texx]h<\cfrac{a-x^2}{2x+1}[/texx].

        Por (a) [texx](x+h)^2\leq x^2+h(2x+1)[/texx], luego
        [texx](x+h)^2\leq x^2+h(2x+1)<x^2+(a-x^2)=a[/texx]

        Para el otro caso, se repite la idea con el cambio correspondiente.


        Fabuloso  :aplauso:

        Gracias profe :D :D


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 12:02:23 am
        Ejercicio 4.9
        (b) Si [texx]x\not\in{\mathbb{Z}}[/texx], demuestre que existe exactamente un [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx]n<x<n+1[/texx].
        Supongo lo contrario, es decir que para todo [texx]n\in\mathbb{Z}[/texx] [texx]n\geq x[/texx] o [texx]x\geq n+1[/texx], como [texx]x\geq n+1[/texx] no es posible, entonces para todo [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] [texx]n\geq x[/texx], es decir que el conjunto [texx]\mathbb{Z}[/texx] es acotado inferiormente lo que no es cierto. Por tanto existe un [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx]n<x<n+1[/texx]. La unicidad no veo como probarlo.

        Otra manera que encontré es la siguiente. Como [texx]x\in \mathbb{R}[/texx], entonces por la propiedad arquimedeana de los números reales, existe un [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]x<n[/texx], luego el conjunto [texx]A_x=\{n\in\mathbb{Z};x<n\}[/texx] es no vacío y por el principio del buen orden posee elemento mínimo(que es único), sea este [texx]m_x=1+n_x[/texx]. Luego [texx]n_x\not\in{A}[/texx], entonces [texx]n_x\leq x<m_x=n_x+1[/texx], pero como [texx]x\in{\mathbb{Z}}[/texx], no puede suceder que [texx]n_x=x[/texx], por lo que
        [texx]n_x< x<n_x+1[/texx]

        El enunciado está incorrecto, debe decir algo como: [texx]n\leq x <n+1[/texx].

        La primer demostración que hiciste me parece más clara.
        Pero usaste que Z no está acotado. ¿Eso está probado? Igual, eso es fácil de probar, tomando el "supremo" de Z...

        En cuanto a la unicidad, creo que sale de la mera linealidad del orden.
        Si hubiera dos enteros distintos m, n, con la propiedad indicada,
        podemos suponer que m < n.
        Por tricotomía vale que  [texx]m + 1 < n[/texx], o bien [texx]m +1 = n[/texx].

        Luego, [texx]m \leq x < m+1 \leq n \leq  x < n+[/texx]1.
        Esto da x < x, absurdo.
        Bonita la demostración de la unicidad. Y la otra demostración me gusta más, ¿qué no te convence?

        En realidad creo que la cosa es al revés.
        Es la primer demostración la que no me parece tan clara. Me da vueltas en la cabeza, y a estas horas de la noche... mmm


        Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
        Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 12:04:42 am
          Ejercicio 4.10
          (c) Dado [texx]a>0[/texx] sea [texx]B=\{x\in \mathbb{R}:x^2<a\}[/texx]. Demuestre que [texx]B[/texx] está acotado superiormente y que contiene, al menos un número positivo. Sea [texx]b=\sup B[/texx]; demuestre que [texx]b^2=a[/texx].
          Demostración:
          Sabemos que [texx](1+a)^2>a[/texx], entonces [texx](1+a)[/texx] es cota superior de B, entonces B está acotado superiormente, además como [texx](1+a)^2>a\Rightarrow{a(1+a^2)>a^2}\Rightarrow{a>\left({\cfrac{a}{1+a}}\right)^2}[/texx], luego [texx]\cfrac{a}{1+a}\in B[/texx], por lo que [texx]B\neq{\emptyset}[/texx] y también [texx]\cfrac{a}{1+a}>0[/texx]. Por el axioma del supremo, [texx]B[/texx] posee supremo, sea este [texx]b[/texx], luego como [texx]b\geq\cfrac{a}{1+a}\Rightarrow{b>0}[/texx]. Falta probar que [texx]b^2=a[/texx]. Supongamos que no, tenemos los siguientes casos:
          • [texx]b^2>a[/texx], luego por (b) existe [texx]h>0[/texx] tal que [texx](b-h)^2>a[/texx], luego [texx](b-h)^2>x^2[/texx], para todo [texx]x\in B[/texx]
          , entonces [texx](b-h)>x[/texx], para todo [texx]x\in B[/texx][/li][/list]. Por lo que [texx]b-h[/texx] es una cota superior de B menor que [texx]b=\sup B[/texx]. Contradicción.
          • [texx]b^2<a[/texx], luego existe [texx]h>0[/texx] tal que [texx](b+h)^2<a[/texx], entonces [texx](b+h)\in{B}\Rightarrow{b+h\leq{b}}[/texx] lo que es una contradicción.
          Por tanto, [texx]b^2=a[/texx].
          ¿Qué tal?

          No veo errores.
          En todo caso, el razonamiento es justo ese mismo.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 12:07:06 am
          Ejercicio 4.11
          Dado [texx]m\in\mathbb{Z}[/texx], decimos que [texx]m[/texx] es par si [texx]m/2\in\mathbb{Z}[/texx], y que [texx]m[/texx] es impar en caso contrario.
          (a) Demuestre que si [texx]m[/texx] es impar, [texx]m=2n+1[/texx] para algún [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx]
          Como [texx]m[/texx] es impar, entonces por definición [texx]m/2\not\in{\mathbb{Z}}[/texx], y por el ejercicio 4.9 (b) existe un [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que

          [texx]n<m/2<n+1\Rightarrow{2n<m<2n+2}[/texx] y como [texx]m\in{\mathbb{Z}}[/texx] no queda otra que [texx]m=2n+1[/texx]. Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

          No sé por qué no te convence. Está muy bien.
          Aún si el n fuese negativo, no habría problema.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 12:07:58 am
          Ejercicio 4.11
          (b) Demuestre que si [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] son impares, también lo son [texx]p\cdot{q}[/texx] y [texx]p^n[/texx], para cualquier [texx]n\in{\mathbb{Z}_+}[/texx]
          Tenemos que [texx]p=2n+1[/texx] y [texx]q=2m+1[/texx], con [texx]n,m\in{\mathbb{Z}}[/texx], luego
          [texx]p\cdot{q}=2(nm+n+m)+1=2k+1[/texx], luego se tiene lo pedido.
          Por inducción sobre [texx]n[/texx]
          Para [texx]n=1[/texx] se cumple, supongamos el resultado válido para [texx]n[/texx].
          [texx]p^{n+1}=p^n\cdot{p}[/texx]. Como por hipótesis, [texx]p^n[/texx] es impar y [texx]p[/texx] también es impar, por lo mostrado anteriormente se tiene que [texx]p^{n+1}[/texx] también es impar. Luego el resultado es válido para cualquier [texx]n\in{\mathbb{Z}_+}[/texx].

          Un lujo  :aplauso:


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 12:09:17 am
          Ejercicio 4.11
          Dado [texx]m\in\mathbb{Z}[/texx], decimos que [texx]m[/texx] es par si [texx]m/2\in\mathbb{Z}[/texx], y que [texx]m[/texx] es impar en caso contrario.
          (a) Demuestre que si [texx]m[/texx] es impar, [texx]m=2n+1[/texx] para algún [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx]
          Como [texx]m[/texx] es impar, entonces por definición [texx]m/2\not\in{\mathbb{Z}}[/texx], y por el ejercicio 4.9 (b) existe un [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que

          [texx]n<m/2<n+1\Rightarrow{2n<m<2n+2}[/texx] y como [texx]m\in{\mathbb{Z}}[/texx] no queda otra que [texx]m=2n+1[/texx]. Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

          No sé por qué no te convence. Está muy bien.
          Aún si el n fuese negativo, no habría problema.
          No me gusta esto:"no queda otra que [texx]m=2n+1[/texx]", osea ¿es aceptable?


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 12:13:42 am
          Ejercicio 4.9
          (c) Si [texx]x-y>1[/texx], demuestre que existe al menos un [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]y<n<x[/texx].
          Humm por contradicción, supongamos que para todo [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] se cumple [texx]y\geq n[/texx] o [texx]n\geq x[/texx], como no puede suceder que [texx]y\geq n[/texx], para todo [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx], entonces [texx]n\geq x[/texx] para todo [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx], pero esto tampoco es posible. Por tanto, se cumple lo pedido

          Esta demostración no me gusta mucho, hummmm


          No entiendo mucho la lógica, no parece estar bien.

          Si [texx]x-y > 1[/texx], entonces [texx]x > 1 + y[/texx].
          Se sabe que existe un entero [texx]n[/texx] tal que [texx]n-1 \leq y < n[/texx].
          Sumando 1 da [texx]y< n \leq 1 + y < x[/texx].
          El entero [texx]n[/texx] es el buscado.

          Entendido!!!! ;D


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 12:14:39 am
          Ejercicio 4.11
          (c) Demuestre que si [texx]a>0[/texx] es un número racional, entonces [texx]a=m/n[/texx] para ciertos [texx]m,n\in{\mathbb{Z}_+}[/texx], donde [texx]m[/texx] y [texx]n[/texx] no pueden ser a la vez pares. Indicación: sea [texx]n[/texx] el menor elemento del conjunto [texx]\{x\in\mathbb{Z}_+/x\cdot{a}\in{\mathbb{Z}_+\}[/texx]

          ¿ Cómo demuestro que [texx]\{x\in\mathbb{Z}_+/x\cdot{a}\in{\mathbb{Z}_+\}[/texx] es no vacío ?

          El número a es cociente de dos enteros p, q, con q no nulo.
          Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q).

          Así que, sin pérdida de generalidad, se puede considerar que q > 0.
          Luego aq = p es entero.
          Como q > 0, a > 0, resulta p > 0.
          Esto quiere decir que q es elemento del dichoso conjunto que estás estudiando.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 12:16:28 am
          Ejercicio 4.11
          Dado [texx]m\in\mathbb{Z}[/texx], decimos que [texx]m[/texx] es par si [texx]m/2\in\mathbb{Z}[/texx], y que [texx]m[/texx] es impar en caso contrario.
          (a) Demuestre que si [texx]m[/texx] es impar, [texx]m=2n+1[/texx] para algún [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx]
          Como [texx]m[/texx] es impar, entonces por definición [texx]m/2\not\in{\mathbb{Z}}[/texx], y por el ejercicio 4.9 (b) existe un [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que

          [texx]n<m/2<n+1\Rightarrow{2n<m<2n+2}[/texx] y como [texx]m\in{\mathbb{Z}}[/texx] no queda otra que [texx]m=2n+1[/texx]. Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

          No sé por qué no te convence. Está muy bien.
          Aún si el n fuese negativo, no habría problema.
          No me gusta esto:"no queda otra que [texx]m=2n+1[/texx]", osea ¿es aceptable?

          Entre 2n y 2n+1 no existen otros enteros posibles,
          y lo mismo entre 2n+1 y 2n +2.
          Si m es entero, y 2n < m < 2n+2, entonces necesariamente m = 2n+1.

          La frase "no queda otra" es muy informal, es cierto.
          Mi exposición también fue informal, pero quizá más "elegante".


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 12:19:05 am
          El número a es cociente de dos enteros p, q, con q no nulo.
          Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q).
          Eso del [texx]q[/texx] no nulo, creo que le faltó mencionar al profesor Munkres, lo otro, osea: "Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q)" tendría que probarlo, ¿verdad?


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 12:20:34 am
          Ejercicio 4.11
          Dado [texx]m\in\mathbb{Z}[/texx], decimos que [texx]m[/texx] es par si [texx]m/2\in\mathbb{Z}[/texx], y que [texx]m[/texx] es impar en caso contrario.
          (a) Demuestre que si [texx]m[/texx] es impar, [texx]m=2n+1[/texx] para algún [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx]
          Como [texx]m[/texx] es impar, entonces por definición [texx]m/2\not\in{\mathbb{Z}}[/texx], y por el ejercicio 4.9 (b) existe un [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que

          [texx]n<m/2<n+1\Rightarrow{2n<m<2n+2}[/texx] y como [texx]m\in{\mathbb{Z}}[/texx] no queda otra que [texx]m=2n+1[/texx]. Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

          No sé por qué no te convence. Está muy bien.
          Aún si el n fuese negativo, no habría problema.
          No me gusta esto:"no queda otra que [texx]m=2n+1[/texx]", osea ¿es aceptable?

          Entre 2n y 2n+1 no existen otros enteros posibles,
          y lo mismo entre 2n+1 y 2n +2.
          Si m es entero, y 2n < m < 2n+2, entonces necesariamente m = 2n+1.

          La frase "no queda otra" es muy informal, es cierto.
          Mi exposición también fue informal, pero quizá más "elegante".

          Sí, así está mucho mejor.  ;)


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 12:21:24 am
          Ejercicio 6.1
          (a) Haga una lista de todas las aplicaciones inyectivas
          [texx]f:\{\1,2,3}\rightarrow{\{1,2,3,4\}}[/texx]
          Demuestre que ninguna es biyectiva.

          Humm esta la veo como tanteando, una puede ser la inclusión
          [texx]f_1(k)=k[/texx], [texx]K=1,2,3.[/texx]
          [texx]f_2(1)=1, f_2(2)=2, f_2(3)=4[/texx]
          [texx]f_3(1)=1, f_3(2)=3, f_3(3)=4[/texx]
          [texx]f_4(1)=1, f_4(2)=4, f_3(3)=3[/texx]
          hmm me da pereza, acaso ¿hay otra manera de hacerla?

          Como el conjunto del dominio es 1, 2, 3, se puede denotar cada función como una mera terna ordenada, listando las "imágenes":

          [texx]f_1 = (1, 2, 3)[/texx]
          [texx]f_2 = (1, 3, 4)[/texx]

          etc.

          El total son todos los subconjuntos de 1, 2, 3, 4 que tienen 3 elementos,
          multiplicado esto por el número de permutaciones de 3 elementos.
          O sea: [texx]\dbinom43 3!=24[/texx]



          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 12:24:37 am
          Ejercicio 6.2
          Demuestre que si [texx]B[/texx] no es finito y [texx]B\subset{A}[/texx], entonces [texx]A[/texx] no es finito.
          Demostración:
          Si [texx]A[/texx] es finito, como  [texx]B\subset{A}[/texx] entonces, por el corolario 6.6, [texx]B[/texx] es finito. Contradicción.

          Eso es así, en virtud de las definiciones y resultados probados en teoría.

          Pero también se puede usar la definición de Dedekind-finito, para obtener un resultado análogo:

          Por definición, se tendría algo así:

          Como B no es Dedekind-finito, existen un subconjunto propio C de B, y una biyección f de B en C.
          Denotemos h a la función identidad de A \ B en sí mismo.

          Ahora, E = A \ B U C es subconjunto propio de A, y además "pegando" las funciones f y h,
          se obtiene una función biyectiva de A en E.
          Esto nos dice que A no puede ser Dedekind-finito.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 12:28:29 am
          El número a es cociente de dos enteros p, q, con q no nulo.
          Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q).
          Eso del [texx]q[/texx] no nulo, creo que le faltó mencionar al profesor Munkres, lo otro, osea: "Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q)" tendría que probarlo, ¿verdad?

          Yo creo que sí, habría que probar esa igualdad.
          Quizá esté en la lista de items de los ejercicios 4.1 y 4.2... no sé.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 12:30:13 am
          El número a es cociente de dos enteros p, q, con q no nulo.
          Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q).
          Eso del [texx]q[/texx] no nulo, creo que le faltó mencionar al profesor Munkres, lo otro, osea: "Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q)" tendría que probarlo, ¿verdad?

          Yo creo que sí, habría que probar esa igualdad.
          Quizá esté en la lista de items de los ejercicios 4.1 y 4.2... no sé.
          Nop, no está  :banghead: :banghead:


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 12:37:31 am
          Ejercicio 6.2
          Demuestre que si [texx]B[/texx] no es finito y [texx]B\subset{A}[/texx], entonces [texx]A[/texx] no es finito.
          Demostración:
          Si [texx]A[/texx] es finito, como  [texx]B\subset{A}[/texx] entonces, por el corolario 6.6, [texx]B[/texx] es finito. Contradicción.

          Eso es así, en virtud de las definiciones y resultados probados en teoría.

          Pero también se puede usar la definición de Dedekind-finito, para obtener un resultado análogo:

          Por definición, se tendría algo así:

          Como B no es Dedekind-finito, existen un subconjunto propio C de B, y una biyección f de B en C.
          Denotemos h a la función identidad de A \ B en sí mismo.

          Ahora, E = A \ B U C es subconjunto propio de A, y además "pegando" las funciones f y h,
          se obtiene una función biyectiva de A en E.
          Esto nos dice que A no puede ser Dedekind-finito.

          Tons tendríamos esto: existe [texx]f:B\rightarrow{C}[/texx] biyección, e [texx]I_{A-B}:A-B\rightarrow{A-B}[/texx] es la identidad, entonces sea [texx]E=(A-B)\cup{C}[/texx]definimos [texx]g:A\rightarrow{C}[/texx], como [texx]g(x)=x[/texx] cuando [texx]x\in{A-B}[/texx] y [texx]g(x)=f(x)[/texx], [texx]x\in C[/texx]


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 12:51:14 am
          Ejercicio 6.3
          Sea [texx]X=\{0,1\}[/texx]. Encuentre una correspondencia biyectiva entre [texx]X^{\omega}[/texx] y un subconjunto de sí mismo.
          Sea [texx]Y_n=\left\{{\cfrac{1-(-1)^n}{2}}\right\}[/texx], luego [texx]Y_1=\{1\}[/texx], [texx]Y_2=\{0\}[/texx], [texx]Y_3=\{1\}[/texx] y así sucesivamente, luego tenemos
          [texx]Y^{\omega}\subset{X^{\omega}}[/texx]. Humm no avanzo, a pensar un poco más

          Si [texx]u = \{a_1,a_2,...\}[/texx] es un elemento de [texx]X^ \omega[/texx], entonces [texx]u' = \{0,a_1,a_2,...\}[/texx]
          también lo es.

          La aplicación que manda cada u en su correspondiente u' es inyectiva, y no es sobre.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 12:52:21 am
          Ejercicio 6.4
          Sea [texx]A[/texx] un conjunto finito, no vacío, simplemente ordenado.
          (a) Demuestre que [texx]A[/texx] tiene un máximo.
          Demostración:
          Sea [texx]Card(A)=n[/texx], procedamos por inducción sobre [texx]n[/texx].
          Si [texx]n=1[/texx], entonces [texx]A=\{a\}[/texx], luego se cumple la afirmación.
          Supongamos válido la afirmación para [texx]n[/texx]. Sea [texx]Card(A)=n+1[/texx]. Tomemos [texx]a_0\in A[/texx], luego por el Lema 6.1, [texx]Card(A-\{a_0\})=n[/texx], entonces por H.I. [texx]A-\{a_0\}[/texx] posee un elemento máximo, digamos [texx]a[/texx]. Como [texx]A[/texx] es simplemente ordenado, para [texx]a[/texx] y [texx]a_0[/texx] se cumple qué [texx]a=a_0[/texx], [texx]a<a_0[/texx] o [texx]a>a_0[/texx]. Pero, [texx]a\neq{a_0}[/texx], entonces si [texx]a<a_0[/texx], el elemento máximo de [texx]A[/texx] es [texx]a_0[/texx]. Caso contrario, es decir, si [texx]a>a_0[/texx], el elemento máximo de [texx]A[/texx] es [texx]a[/texx]. En ambos casos [texx]A[/texx] tiene elemento máximo. Es decir, se cumple la afirmación para [texx]Card(A)=n+1[/texx].
          El resultado sigue.

          :aplauso:


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 01:03:37 am
          Ejercicio 4.9
          (d) Si [texx]y<x[/texx], demuestre que existe un número racional [texx]z[/texx] tal que [texx]y<z<x[/texx]
          Como [texx]y<x[/texx], por el ejercicio 4.2(k), [texx]y<\cfrac{y+x}{2}<x[/texx], tomando [texx]z=\cfrac{y+x}{2}[/texx] tengo lo pedido.

          ¿Qué tal?

          Un desastre, jaja!! Así no es...

          Los números x, y no son racionales.
          Y respecto a esto, no sé como puedo empezar


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 01:16:53 am
          Ejercicio 6.4
          (b) Demuestre que [texx]A[/texx] tiene el tipo de orden de una sección de los enteros positivos.
          Demostración:
          Debemos buscar una biyección [texx]A[/texx] con alguna sección [texx]S_n[/texx], con [texx]n\in{\mathbb{Z_+}}[/texx]. [texx]f:S_n\rightarrow{A}[/texx]. Como A es no vacío, y está simplemente ordenado, sea [texx]Card(A)=n[/texx], y denotemos a su máximo [texx]a_n[/texx], luego tenemos que [texx]A-\{a_n\}[/texx], también tiene elemento máximo, sea este [texx]a_{n-1}[/texx]. Tenemos que [texx]a_{n-1}<a_n[/texx]. Ahora consideremos [texx]A-\{a_n,a_{n-1}\}[/texx], sea [texx]a_{n-2}[/texx] su elemento máximo. Tenemos que [texx]a_{n-2}<a_{n-1}<a_n[/texx]. De esta manera, tenemos [texx]A=\{a_1,...,a_n}[/texx], con [texx]a_1<a_2<...<a_n[/texx]. Luego, definimos [texx]f:S_n\rightarrow{A}[/texx] por [texx]f(n)=a_n[/texx]. Claramente [texx]f[/texx] es biyectiva y se tiene lo pedido

          En la última línea debe decir [texx]f(k) = a_k, k = 1, 2, ..., n.[/texx]

          Los detalles técnicos son un poco aburridos.
          Por ejemplo, uno tendría que definir el proceso recursivo hacia atrás de manera más "formal".
          Ahora bien, este tipo de procedimiento no parece estar justificado en la sección 6, porque se desarrolla el tema de la recurrencia en la sección 8.
          Así que, ¿cómo arreglárselas con los elementos teóricos de la sección 6 y previas?

          Es claro que existe una biyección b entre [texx]S_n[/texx] y el conjunto finito A.
          Definimos la relación de orden [texx]\prec[/texx] en [texx]S_n[/texx] de manera que [texx]j  \prec k[/texx] si [texx]b(j)< b(k)[/texx].
          Esto hace que [texx](S_n,\prec)[/texx] tenga el mismo tipo de orden que [texx](A, <)[/texx].

          Ahora, basta probar que [texx](S_n, \prec)[/texx] tiene el mismo tipo de orden que [texx](S_n,<)[/texx].

          Quizá este resultado general pueda probarse por inducción para todo n.

          En resumen, creo que la clave está en trabajar con órdenes "arbitrarios" dentro del mismo [texx]S_n[/texx], confiando en que todo orden lineal allí en realidad es una mera permutación del orden usual.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 01:18:39 am
          Ejercicio 4.9
          (d) Si [texx]y<x[/texx], demuestre que existe un número racional [texx]z[/texx] tal que [texx]y<z<x[/texx]
          Como [texx]y<x[/texx], por el ejercicio 4.2(k), [texx]y<\cfrac{y+x}{2}<x[/texx], tomando [texx]z=\cfrac{y+x}{2}[/texx] tengo lo pedido.

          ¿Qué tal?

          Un desastre, jaja!! Así no es...

          Los números x, y no son racionales.
          Y respecto a esto, no sé como puedo empezar

          Hay que hacer algunos malabares con la propiedad arquimediana.
          En la teoría de números reales que he puesto por ahí en el foro, eso está explicado.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 01:19:07 am
          Ejercicio 4.9
          (b) Si [texx]x\not\in{\mathbb{Z}}[/texx], demuestre que existe exactamente un [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx]n<x<n+1[/texx].
          Supongo lo contrario, es decir que para todo [texx]n\in\mathbb{Z}[/texx] [texx]n\geq x[/texx] o [texx]x\geq n+1[/texx], como [texx]x\geq n+1[/texx] no es posible, entonces para todo [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] [texx]n\geq x[/texx], es decir que el conjunto [texx]\mathbb{Z}[/texx] es acotado inferiormente lo que no es cierto. Por tanto existe un [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx]n<x<n+1[/texx]. La unicidad no veo como probarlo.

          Otra manera que encontré es la siguiente. Como [texx]x\in \mathbb{R}[/texx], entonces por la propiedad arquimedeana de los números reales, existe un [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]x<n[/texx], luego el conjunto [texx]A_x=\{n\in\mathbb{Z};x<n\}[/texx] es no vacío y por el principio del buen orden posee elemento mínimo(que es único), sea este [texx]m_x=1+n_x[/texx]. Luego [texx]n_x\not\in{A}[/texx], entonces [texx]n_x\leq x<m_x=n_x+1[/texx], pero como [texx]x\in{\mathbb{Z}}[/texx], no puede suceder que [texx]n_x=x[/texx], por lo que
          [texx]n_x< x<n_x+1[/texx]

          El enunciado está incorrecto, debe decir algo como: [texx]n\leq x <n+1[/texx].

          La primer demostración que hiciste me parece más clara.
          Pero usaste que Z no está acotado. ¿Eso está probado? Igual, eso es fácil de probar, tomando el "supremo" de Z...

          En cuanto a la unicidad, creo que sale de la mera linealidad del orden.
          Si hubiera dos enteros distintos m, n, con la propiedad indicada,
          podemos suponer que m < n.
          Por tricotomía vale que  [texx]m + 1 < n[/texx], o bien [texx]m +1 = n[/texx].

          Luego, [texx]m \leq x < m+1 \leq n \leq  x < n+[/texx]1.
          Esto da x < x, absurdo.
          Bonita la demostración de la unicidad. Y la otra demostración me gusta más, ¿qué no te convence?
          Modificado
          Creo que el enunciado está bien, no puede ser [texx]n\leq x[/texx], pues [texx]x\neq n[/texx] ya que por hipotesis [texx]x\not\in{\mathbb{Z}}[/texx]

          De acuerdo


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 01:21:32 am
          Ejercicio 6.5
          Si [texx]A\times B[/texx] es finito, ¿se deduce que [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] también lo son?
          Demostración
          Estas clases de preguntas son buenas, pues nos hace pensar mucho y se obtienen buenos contraejemplos. Pensando


          Si alguno de ellos, digamos B, fuese infinito, entonces {x} X B sería infinito para todo elemento x en A.
          Como {x} X B es subconjunto de A X B, nos daría que A X B es finito.

          Pero aquí estamos usando que A es no vacío.

          Creo que el problema está en el caso en que A ó B es vacío.
          Allí el producto cartesiano es vacío, aún cuando el otro conjunto sea infinito.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 01:25:40 am
          Ejercicio 4.9
          (d) Si [texx]y<x[/texx], demuestre que existe un número racional [texx]z[/texx] tal que [texx]y<z<x[/texx]
          Como [texx]y<x[/texx], por el ejercicio 4.2(k), [texx]y<\cfrac{y+x}{2}<x[/texx], tomando [texx]z=\cfrac{y+x}{2}[/texx] tengo lo pedido.

          ¿Qué tal?

          Un desastre, jaja!! Así no es...

          Los números x, y no son racionales.
          Y respecto a esto, no sé como puedo empezar

          Hay que hacer algunos malabares con la propiedad arquimediana.
          En la teoría de números reales que he puesto por ahí en el foro, eso está explicado.


          En el siguiente enlace, sección 4.7, fijate en la Proposición 6.

          http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142857.html#msg142857 (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142857.html#msg142857)


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 01:25:59 am
          Ejercicio 6.4
          (b) Demuestre que [texx]A[/texx] tiene el tipo de orden de una sección de los enteros positivos.
          Demostración:
          Debemos buscar una biyección [texx]A[/texx] con alguna sección [texx]S_n[/texx], con [texx]n\in{\mathbb{Z_+}}[/texx]. [texx]f:S_n\rightarrow{A}[/texx]. Como A es no vacío, y está simplemente ordenado, sea [texx]Card(A)=n[/texx], y denotemos a su máximo [texx]a_n[/texx], luego tenemos que [texx]A-\{a_n\}[/texx], también tiene elemento máximo, sea este [texx]a_{n-1}[/texx]. Tenemos que [texx]a_{n-1}<a_n[/texx]. Ahora consideremos [texx]A-\{a_n,a_{n-1}\}[/texx], sea [texx]a_{n-2}[/texx] su elemento máximo. Tenemos que [texx]a_{n-2}<a_{n-1}<a_n[/texx]. De esta manera, tenemos [texx]A=\{a_1,...,a_n}[/texx], con [texx]a_1<a_2<...<a_n[/texx]. Luego, definimos [texx]f:S_n\rightarrow{A}[/texx] por [texx]f(n)=a_n[/texx]. Claramente [texx]f[/texx] es biyectiva y se tiene lo pedido

          En la última línea debe decir [texx]f(k) = a_k, k = 1, 2, ..., n.[/texx]

          Los detalles técnicos son un poco aburridos.
          Por ejemplo, uno tendría que definir el proceso recursivo hacia atrás de manera más "formal".
          Ahora bien, este tipo de procedimiento no parece estar justificado en la sección 6, porque se desarrolla el tema de la recurrencia en la sección 8.
          Así que, ¿cómo arreglárselas con los elementos teóricos de la sección 6 y previas?
          Precisamente hay una observación que hace el mismo Munkres, y menciona el principio de definición recursiva, pero es en la sección 7.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 01:30:55 am
          Ejercicio 4.9
          (d) Si [texx]y<x[/texx], demuestre que existe un número racional [texx]z[/texx] tal que [texx]y<z<x[/texx]
          Como [texx]y<x[/texx], por el ejercicio 4.2(k), [texx]y<\cfrac{y+x}{2}<x[/texx], tomando [texx]z=\cfrac{y+x}{2}[/texx] tengo lo pedido.

          ¿Qué tal?

          Un desastre, jaja!! Así no es...

          Los números x, y no son racionales.
          Y respecto a esto, no sé como puedo empezar

          Hay que hacer algunos malabares con la propiedad arquimediana.
          En la teoría de números reales que he puesto por ahí en el foro, eso está explicado.


          En el siguiente enlace, sección 4.7, fijate en la Proposición 6.

          http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142857.html#msg142857 (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142857.html#msg142857)

          ??? es trabajadito, me gusta mucho


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 03:30:24 am
          Bueno hoy sí hemos avanzado bastante, ya es hora de descanzar, mañana seguimos, un abrazo argentinator.
          varios  :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso:


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 08:00:26 am
          Bueno, gracias a vos.
          Has trabajado duro.

          Justamente los cursos funcionan cuando hay participación.
          Yo podría intentar escribir todo un largo apunte de teoría con algunos ejercicios resueltos,
          pero es difícil encontrar las ganas yendo en solitario.

          Nos vemos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 12:15:08 pm
          Ejercicio 4.10
          (d) Demuestre que si [texx]b[/texx] y [texx]c[/texx] son positivos y [texx]b^2=c^2[/texx], entonces [texx]b=c[/texx]

          Pensando
          Si [texx]c<b[/texx], entonces [texx]c^2<bc[/texx] y [texx]cb<b^2[/texx], como [texx]b^2=c^2[/texx] se tiene
          [texx]cb<b^2=c^2<bc[/texx] contradicción. De igual manera con el caso [texx]c>b[/texx]


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 12:25:13 pm
          Ejercicio 6.6
          (A) Sea [texx]A=\{1,...,n}[/texx]. Demuestre que existe una biyección entre [texx]P(A)[/texx] y el producto cartesiano [texx]X^{\omega}[/texx], donde [texx]X[/texx] es el conjunto de dos elementos [texx]\{0,1\}[/texx]
          Demostración
          Dame una idea argentinator, no sé cómo empezar.
          Gracias


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 12:43:50 pm
          El conjunto es [texx]X^n[/texx].

          El conjunto [texx]X^n[/texx] consta de las funciones de {1, 2, ..., n} en {0, 1}.
          Pero como la imagen de estas funciones sólo es 0 ó 1,
          entonces [texx]X^n[/texx] es el conjunto de funciones características de los subconjuntos de {1, 2, ..., n}.

          Por cada subconjunto A hay una y sólo una función característica [texx]\chi_A[/texx].
          La aplicación que manda A en [texx]\chi_A[/texx] es la biyección buscada.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 12:47:42 pm
          opps


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 12:58:19 pm
          El conjunto es [texx]X^n[/texx].

          El conjunto X^n consta de las funciones de {1, 2, ..., n} en {0, 1}.
          Pero como la imagen de estas funciones sólo es 0 ó 1,
          entonces X^n es el conjunto de funciones características de los subconjuntos de {1, 2, ..., n}.

          Por cada subconjunto A hay una y sólo una función característica [texx]\chi_A[/texx].
          La aplicación que manda A en [texx]\chi_A[/texx] es la biyección buscada.

          Entendido


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 01:12:21 pm
          Ejercicio 6.6
          (b) Demuestre que si [texx]A[/texx] es finito, entonces [texx]P(A)[/texx] es finito
          Demostración
          Como [texx]A[/texx] es finito, entonces existe una biyección entre [texx]I_m=\{1,...,m\}[/texx] y [texx]A[/texx], luego, definamos [texx]h:P(A)\rightarrow{P(I_m)}[/texx], como por [texx]h(B)=I_{m_B}[/texx], donde [texx]m_B=Card(B)[/texx], [texx]h[/texx] es biyección.

          Por otro lado, por (a) tenemos que existe una biyección [texx]f:P(I_m)\rightarrow{\{0,1\}^{m}}[/texx], dado por [texx]f(I_k)=\chi_{I_k}[/texx], luego la composición [texx]g=f\circ{h}:P(A)\rightarrow{\{0,1\}^{m}}[/texx] dada por [texx]g(B)=\chi_{I_{m_B}}[/texx] es una biyección. Por otra parte, como [texx]\{0,1\}[/texx] es finito, entonces [texx]\{0,1\}^{m}[/texx] es finito, y existe una biyección [texx]r:\{0,1\}^{m}\rightarrow{I_p}[/texx], luego como [texx]r\circ{g}:P(A)\rightarrow{I_p}[/texx] es biyección, por lo que [texx]P(A)[/texx] es finito.

          hay algo que no me gusta Voy a arreglarlo espérame


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 02:09:49 pm
          Ejercicio 6.6
          (b) Demuestre que si [texx]A[/texx] es finito, entonces [texx]P(A)[/texx] es finito
          Demostración
          Sé que debo utilizar (a), pero me cuesta trabajo ordenar mis ideas, una ayudadita profe

          Si [texx](a_1,...,a_n)\in X^n[/texx], le asignamos el número natural
          [texx]x =1+ \sum_{j=1}^{n}a_j2^{j-1}[/texx].

          Esto nos da una aplicación biyectiva de [texx]X^n[/texx] en [texx]S_{2^{n}}[/texx].


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 02:26:34 pm
          Ejercicio 6.6
          (b) Demuestre que si [texx]A[/texx] es finito, entonces [texx]P(A)[/texx] es finito
          Demostración
          Como [texx]A[/texx] es finito, entonces existe una biyección entre [texx]I_m=\{1,...,m\}[/texx] y [texx]A[/texx], luego, definamos [texx]h:P(A)\rightarrow{P(I_m)}[/texx], como por [texx]h(B)=I_{m_B}[/texx], donde [texx]m_B=Card(B)[/texx], [texx]h[/texx] es biyección.

          Por otro lado, por (a) tenemos que existe una biyección [texx]f:P(I_m)\rightarrow{\{0,1\}^{m}}[/texx], dado por [texx]f(I_k)=\chi_{I_k}[/texx], luego la composición [texx]g=f\circ{h}:P(A)\rightarrow{\{0,1\}^{m}}[/texx] dada por [texx]g(B)=\chi_{I_{m_B}}[/texx] es una biyección. Por otra parte, como [texx]\{0,1\}[/texx] es finito, entonces [texx]\{0,1\}^{m}[/texx] es finito, y existe una biyección [texx]r:\{0,1\}^{m}\rightarrow{I_p}[/texx], luego como [texx]r\circ{g}:P(A)\rightarrow{I_p}[/texx] es biyección, por lo que [texx]P(A)[/texx] es finito.

          hay algo que no me gusta Voy a arreglarlo espérame

          Está mal, pues [texx]h[/texx] no es biyección, pero lo dejo, pues a veces de los errores se aprende


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 21/12/2010, 02:30:53 pm
          Está mal, ..., pero lo dejo, pues a veces de los errores se aprende

          Yo pienso que el profesor perfecto es aquel que ha cometido todos los errores posibles, porque así puede guiar mejor al estudiante, ya que entiende por qué algo está mal.

          Pero claro, con los errores solos no alcanza... también se necesita al menos una solución correcta, jeje.
          Y en lo posible varias.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 02:46:02 pm
          Ejercicio 6.7
          Si [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] son finitos, demuestre que el conjunto de todas las funciones [texx]f:A\rightarrow{B}[/texx] es finito.
          Demostración:
          Sea [texx]Card(A)=m[/texx] y [texx]Card(B)=n[/texx]. Fijando [texx]n[/texx] lo haré por inducción sobre [texx]m[/texx].
          Si [texx]m=1[/texx], entonces [texx]A=\{a\}[/texx], luego [texx]f:\{a\}\rightarrow{B}[/texx] solamente puede tomar un valor en [texx]B[/texx], como [texx]B[/texx] tiene [texx]n[/texx] elementos, entonces existen [texx]n[/texx] funciones [texx]f:\{a\}\rightarrow{B}[/texx]. Luego el resultado es válido para [texx]m=1[/texx].
          Supongamos el resultado válido para [texx]m[/texx], probemos que vale para [texx]m+1[/texx]. Sea [texx]a\in A[/texx], a ese [texx]a[/texx] le podemos asociar [texx]n[/texx] elementos de [texx]B[/texx]. Para cada asociación, existen [texx]n^m[/texx] funciones definidas en [texx]A-\{a\}[/texx] hacia [texx]B[/texx]. Luego tenemos [texx]n\times{n^m}[/texx] funciones definidas en [texx]A[/texx] con valores en [texx]B[/texx].


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 05:37:46 pm
          Ejercicio 7.1 Demuestre que [texx]\mathbb{Q}[/texx] es infinito numerable.
          Demostración
          Sabemos que [texx]\mathbb{Q}_+[/texx] es infinito numerable, defino [texx]f:\mathbb{Q}_+\rightarrow{\mathbb{Q}_ -}[/texx] como [texx]f(x)=-x[/texx], claramente es una biyección, luego [texx]\mathbb{Q}_-[/texx] es numerable. Por tanto, [texx]\mathbb{Q}=\mathbb{Q}_+\cup{\{0\}}\cup{\mathbb{Q}_-}[/texx] es numerable


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 05:50:03 pm
          Ejercicio 7.3
          Sea [texx]X=\{0,1\}[/texx]. Demuestre que existe una correspondencia biyectiva entre [texx]P(\mathbb{Z}_+)[/texx] y [texx]X^{\omega}[/texx].
          Demostración:
          Es lo mismo que este
          Ejercicio 6.6
          (b) Demuestre que si [texx]A[/texx] es finito, entonces [texx]P(A)[/texx] es finito
          Demostración
          Sé que debo utilizar (a), pero me cuesta trabajo ordenar mis ideas, una ayudadita profe

          Si [texx](a_1,...,a_n)\in X^n[/texx], le asignamos el número natural
          [texx]x =1+ \sum_{j=1}^{n}a_j2^{j-1}[/texx].

          Esto nos da una aplicación biyectiva de [texx]X^n[/texx] en [texx]S_{2^{n}}[/texx].
          solo que ahora sería

          Si [texx](a_1,...,a_n,...)\in X^{\omega}[/texx], le asignamos el número natural
          [texx]x =1+ \sum_{j=1}^{+\infty}a_j2^{j-1}[/texx].
          ¿Está bien???


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 06:06:40 pm
          Ejercicio 7.4
          (a) Probar que el conjunto de los números algebraicos es numerable.
          Demostración:
          Denotemos por [texx]\mathbb{Q}_n
          • [/tex] al conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que [texx]n[/texx] con coeficientes racionales, es decir
            [texx]\mathbb{Q}_n
            • =\{p(x)=a_0+a_1x+\ldots a_nx^n;a_i\in{\mathbb{Q}},i=0,...,n\}[/tex]
              Entonces la función [texx]f:\mathbb{Q}_n
              • \rightarrow{\mathbb{Q}_n^{n+1}}[/tex] definida como [texx]f(p(x))=f(a_0+a_1x+\ldots a_nx^n)=(a_0,a_1,...,a_n)[/texx] es una biyección, como [texx]\mathbb{Q}_n^{n+1}[/texx] es numebrable, se tiene que [texx]\mathbb{Q}_n
                • [/tex] es numerable. Entonces, sea [texx]\mathbb{Q}_n
                  • =\{p_1,p_2,...\}[/tex], luego para cada [texx]k\geq{1}[/texx], el Teorema Fundamental de la Álgebra nos dice que el conjunto [texx]A_k=\{x\in{\mathbb{R}};p_k(x)=0\}[/texx] es finito. [texx]A_k[/texx] es el conjunto de ceros del polinomio [texx]p_k[/texx] que es de grado menor o igual a [texx]n[/texx]. Luego denotando [texx]Z_n=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{+\infty}{A_k }[/texx] es unión numerable de conjuntos finitos, por lo que [texx]Z_n[/texx] es numerable. Pero por la definición [texx]Z_n[/texx] es el conjunto de todos los ceros de todos los polinomios de grado menor igual a [texx]n[/texx]. Como el conjunto de los números algebraicos es el conjunto de todos los ceros de los polinomios de todos los grados, se tiene que [texx]A=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty}{Z_n }[/texx] que es unión numerable de conjuntos numerables, por lo que es numerable.

                    ¿Qué tal?
                  [/texx]
                [/texx]
              [/texx]
            [/texx]
          [/texx]


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 06:18:23 pm
          Ejercicio 7.4
          (b) El conjunto de los números trascendentes es no numerable.
          Demostración
          Sea A el conjunto de los números algebraicos y T el de los números trascendentes,
          Por definición [texx]\mathbb{R}=A\cup{T}[/texx] y la unión es disjunta. Luego como [texx]\mathbb{R}[/texx] es no numerable y [texx]A[/texx] sí lo es, se tiene que [texx]T[/texx] es no numerable.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 07:01:28 pm
          [/li]
          [li]Ejercicio 7.5 Determine, para cada uno de los siguientes conjuntos, si son o no numerables. Justifique sus respuestas:
          • (a) El conjunto [texx]A[/texx] de todas las funciones [texx]f:\{0,1\}\to \mathbb{Z}_+[/texx].
          • (b) El conjunto [texx]B_n[/texx] de todas las funciones [texx]f:\{1,\cdots,n\}\to\mathbb{Z}_+[/texx].
          • (c) El conjunto [texx]C=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}_+}B_n[/texx].
          • (d) El conjunto [texx]D[/texx] de todas las funciones [texx]f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+[/texx].
          • (e) El conjunto [texx]E[/texx] de todas las funciones [texx]f:\mathbb{Z}_+\to\{0,1\}[/texx].
          • (f) El conjunto [texx]F[/texx] de todas las funciones [texx]f:\mathbb{Z}_+\to \{0,1\}[/texx] que son eventualmente cero (esto significa que existe un entero positivo [texx]N[/texx] tal que [texx]f(n)=0[/texx] para todo [texx]n \geq N[/texx]).
          • (g) El conjunto [texx]G[/texx] de todas las funciones [texx]f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+[/texx] que son eventualmente [texx]1[/texx].
          • (h) El conjunto [texx]H[/texx] de todas las funciones [texx]f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+[/texx] que son eventualmente constantes.
          • (i) El conjunto [texx]I[/texx] de todos los subconjuntos de 2 elementos de [texx]\mathbb{Z}_+[/texx].
          • (j) El conjunto [texx]J[/texx] de todos los subconjuntos finitos de [texx]\mathbb{Z}_+[/texx].

          He estado pensando, pero no veo como hacerlo, una idea profe. Desde la (a), luego seguimos con los demás


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 21/12/2010, 08:45:30 pm
          Ejercicio 6.6
          (b) Demuestre que si [texx]A[/texx] es finito, entonces [texx]P(A)[/texx] es finito
          Demostración
          Como [texx]A[/texx] es finito, entonces existe una biyección entre [texx]I_m=\{1,...,m\}[/texx] y [texx]A[/texx], luego, definamos [texx]h:P(A)\rightarrow{P(I_m)}[/texx], como por [texx]h(B)=I_{m_B}[/texx], donde [texx]m_B=Card(B)[/texx], [texx]h[/texx] es biyección.

          Por otro lado, por (a) tenemos que existe una biyección [texx]f:P(I_m)\rightarrow{\{0,1\}^{m}}[/texx], dado por [texx]f(I_k)=\chi_{I_k}[/texx], luego la composición [texx]g=f\circ{h}:P(A)\rightarrow{\{0,1\}^{m}}[/texx] dada por [texx]g(B)=\chi_{I_{m_B}}[/texx] es una biyección. Por otra parte, como [texx]\{0,1\}[/texx] es finito, entonces [texx]\{0,1\}^{m}[/texx] es finito, y existe una biyección [texx]r:\{0,1\}^{m}\rightarrow{I_p}[/texx], luego como [texx]r\circ{g}:P(A)\rightarrow{I_p}[/texx] es biyección, por lo que [texx]P(A)[/texx] es finito.

          hay algo que no me gusta Voy a arreglarlo espérame
          Mencioné que mi [texx]h[/texx] así definida no es biyección, voy a buscar otra biyección entre [texx]P(A)[/texx] y [texx]P(I_m)[/texx]. Como [texx]A[/texx] tiene [texx]m[/texx] elementos, sea [texx]p:I_m\rightarrow{A}[/texx] una biyección, defino [texx]h:P(I_m)\rightarrow{P(A)}[/texx] como
          Si [texx]B\in{P(I_m)}[/texx], es decir [texx]B\subset{I_m}[/texx], entonces [texx]h(B)=\{p(b);b\in{B}\}=p(B)[/texx]. Es decir, [texx]h(B)[/texx] consiste en las imágenes de [texx]B[/texx] por [texx]p[/texx]

          Veamos que [texx]h[/texx] es inyectiva. Sean [texx]B,B'\subset{I_m}[/texx] distintos, entonces existe [texx]x\in{B}[/texx] tal que [texx]x\not\in{B'}[/texx], entonces si [texx]b'\in{B'}[/texx], se tiene que [texx]x\neq{b'\Rightarrow{p(x)\neq{p(b')}}}[/texx] para todo [texx]b'\in{B'}[/texx], de donde [texx]h(B)\neq{h(B')}[/texx].

          Veamos que [texx]h[/texx] es sobre. Tomemos un [texx]C\subset{A}[/texx], por probar que existe [texx]B\subset{I_m}[/texx] tal que [texx]h(B)=C[/texx]. Como [texx]p[/texx] es sobre, para ese [texx]C[/texx] existe un [texx]I_C\subseteq{I_m}[/texx] con [texx]C=p(I_C)=h(I_C)[/texx]. Por tanto [texx]h[/texx] es sobre


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 22/12/2010, 05:56:24 pm
          • Ejercicio 7.6 Decimos que dos conjuntos [texx]A,B[/texx] tienen la misma cardinalidad si hay una biyección de [texx]A[/texx] con [texx]B[/texx].
            • (a) Muestre que si [texx]B\subset A[/texx] y si hay una inyección [texx]f:A\to B[/texx], entonces [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] tienen la misma cardinalidad.
              Ayuda: Utilice una definición recursiva para construir conjuntos [texx]A_1=A,B_1=B[/texx] y para [texx]n>1[/texx], [texx]A_n=f(A_{n-1}),B_n=f(B_{n-1})[/texx].
              Luego observe que [texx]A_1\supset B_1\supset A_2\supset B_2\supset A_3\supset\cdots[/texx].
              Finalmente defina la biyección [texx]h:A\to B[/texx] mediante:

              [texx]h(x)=\begin{cases}f(x),&x\in \bigcup_n (A_n-B_n),\\ x,&\textsf{en otro caso.}\end{cases}[/texx]
            • (b) Teorema (de Schroeder-Bernstein). Si hay inyecciones [texx]f:A\to C[/texx] y [texx]g:C\to A[/texx], entonces [texx]A[/texx] y [texx]C[/texx] tienen la misma cardinalidad.
            Demostración
            (a) Con la sugerencia, veamos que [texx]h[/texx] es biyectiva. Claramente es inyectiva. Falta probar que [texx]h[/texx] es sobreyectiva.

            Sea [texx]C=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty} (A_n-B_n)[/texx], luego [texx]A=(A-C)\cup{C}[/texx], luego
            [texx]h(A)=h(A-C)\cup h(C)=(A-C)\cup f(C)=\left({A-\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty}(A_n-B_n)}\right)\cup f\left({\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty} (A_n-B_n)}\right)[/texx]
            Pero claramente se ve que [texx]A_n=f^n(A), B_n=f^n(B)\Rightarrow{C_n=A_n-B_n=f^n(A-B)}[/texx], esto último SOLO porque [texx]f[/texx] es inyectiva.
            Es bonita la demostración de que [texx]C_n\cap C_m=\emptyset[/texx] si [texx]n\neq m[/texx], inténtela, si no sale me avisan. Luego tenemos
            [texx]h(A)=\left({A-\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty} f^n(A-B)}\right)\cup f\left({\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty} f^n(A-B)}\right)=[/texx]
            [texx]\left({A-\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty} f^n(A-B)}\right)\cup\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty}f^{n+1}(A-B)[/texx]
            [texx]=\left({A-\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty} f^n(A-B)}\right)\cup\displaystyle\bigcup_{n=2}^{+\infty}f^{n}(A-B)=A-(A-B)=B[/texx]
          Como ejercicio dejo los detalles.
          Y tenemos que [texx]h[/texx] es sobreyectiva

          (b) Tenemos [texx]g\circ{f}:A\rightarrow{g(C)}[/texx] es inyectiva con [texx]g(C)\subseteq{A}[/texx]. Luego por (a) tenemos un biyección [texx]h:A\rightarrow{g(C)}[/texx], pero [texx]g:C\rightarrow{g(C)}[/texx] es biyección, luego [texx]g^{-1}\circ{h}:A\rightarrow{C}[/texx] es una biyección y se cumple el resultado.
          (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=28735.0;attach=7881)


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 22/12/2010, 07:03:54 pm
          Ejercicio 7.7
          Demuestre que los conjuntos [texx]D[/texx] y [texx]E[/texx] del ejercicio 5 tienen el mismo cardinal.
          Demostración
          Defino [texx]\alpha:D\rightarrow{E}[/texx], como [texx]\alpha (f)(n)=\cfrac{1-(-1)^{f(n)}} {2}[/texx]. Sean [texx]f,g\in{D}[/texx], entonces [texx]f,g:\mathbb{Z}_+\rightarrow{\mathbb{Z}_+}[/texx] tales que [texx]\alpha(f)=\alpha(g)\Rightarrow{\alpha(f)(n)=\alpha(g(n))}[/texx], para todo [texx]n\in{\mathbb{Z}_+}\Rightarrow{f(n)=g(n)}[/texx], para todo [texx]n\in{\mathbb{Z}_+}\Rightarrow{f=g}[/texx]. Por tanto, [texx]\alpha[/texx] es inyectiva.

          Defino [texx]\beta:E\rightarrow{F}[/texx] como [texx]\beta(f)(n)=n-f(n)[/texx], entonces [texx]\beta[/texx] es inyectiva. Por el teorema de Schroeder-Bernstein, [texx]D[/texx] y [texx]E[/texx] tienen el mismo cardinal.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 22/12/2010, 07:22:55 pm
          Ejercicio 7.8
          Sea [texx]X=\{0,1\}[/texx]; [texx]B[/texx] el conjunto de los subconjuntos numerables de [texx]X^{\omega}[/texx]. Demuestre que [texx]X^{\omega}[/texx] y [texx]B[/texx] tienen el mismo cardinal.
          Demostración:
          Ni idea profe


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 22/12/2010, 08:01:50 pm
          • Ejercicio 7.9
            • (a) La fórmula
              [texx](*)\qquad h(1)=1,\qquad h(2)=2,\qquad h(n)=[h(n+1)]^2-[h(n-1)]^2,\quad  n\geq2[/texx]

              no es una a la cual se aplica el principio de definición recursiva.
              Muestre que no existe una función [texx]h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R}[/texx] que satisface esta fórmula.
              Ayuda: Reformule [texx](*)[/texx] tal que el principio pueda aplicarse y requiera que [texx]h[/texx] sea positiva.
            • (b) Muestre que la fórmula [texx](*)[/texx] de la parte (a) no determina [texx]h[/texx] unívocamente.
              Ayuda: Si [texx]h[/texx] es una función positivia que satisface [texx](*)[/texx], hacer [texx]f(i)=h(i)[/texx] para [texx]i\neq3[/texx], y [texx]f(3)=-3[/texx].
            • Muestre que no hay una función [texx]h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R}[/texx] que satisface la fórmula

              [texx]h(1)=1,\qquad h(2)=2,\qquad h(n)=[h(n+1)]^2-[h(n-1)]^2,\quad n \geq2.[/texx]

          No entiendo que hacer  :-\ :-\ :-\


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 22/12/2010, 10:22:21 pm
          Ejercicio 7.3
          Sea [texx]X=\{0,1\}[/texx]. Demuestre que existe una correspondencia biyectiva entre [texx]P(\mathbb{Z}_+)[/texx] y [texx]X^{\omega}[/texx].
          Demostración:
          Es lo mismo que este
          Ejercicio 6.6
          (b) Demuestre que si [texx]A[/texx] es finito, entonces [texx]P(A)[/texx] es finito
          Demostración
          Sé que debo utilizar (a), pero me cuesta trabajo ordenar mis ideas, una ayudadita profe

          Si [texx](a_1,...,a_n)\in X^n[/texx], le asignamos el número natural
          [texx]x =1+ \sum_{j=1}^{n}a_j2^{j-1}[/texx].

          Esto nos da una aplicación biyectiva de [texx]X^n[/texx] en [texx]S_{2^{n}}[/texx].
          solo que ahora sería

          Si [texx](a_1,...,a_n,...)\in X^{\omega}[/texx], le asignamos el número natural
          [texx]x =1+ \sum_{j=1}^{+\infty}a_j2^{j-1}[/texx].
          ¿Está bien???

          En realidad es lo mismo que este otro:
          El conjunto es [texx]X^n[/texx].

          El conjunto [texx]X^n[/texx] consta de las funciones de {1, 2, ..., n} en {0, 1}.
          Pero como la imagen de estas funciones sólo es 0 ó 1,
          entonces [texx]X^n[/texx] es el conjunto de funciones características de los subconjuntos de {1, 2, ..., n}.

          Por cada subconjunto A hay una y sólo una función característica [texx]\chi_A[/texx].
          La aplicación que manda A en [texx]\chi_A[/texx] es la biyección buscada.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 22/12/2010, 10:24:34 pm
          Ejercicio 7.4
          (a) Probar que el conjunto de los números algebraicos es numerable.
          Demostración:
          Denotemos por [texx]\mathbb{Q}_n
          • [/tex] al conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que [texx]n[/texx] con coeficientes racionales, es decir
            [texx]\mathbb{Q}_n
            • =\{p(x)=a_0+a_1x+\ldots a_nx^n;a_i\in{\mathbb{Q}},i=0,...,n\}[/tex]
              Entonces la función [texx]f:\mathbb{Q}_n
              • \rightarrow{\mathbb{Q}_n^{n+1}}[/tex] definida como [texx]f(p(x))=f(a_0+a_1x+\ldots a_nx^n)=(a_0,a_1,...,a_n)[/texx] es una biyección, como [texx]\mathbb{Q}_n^{n+1}[/texx] es numebrable, se tiene que [texx]\mathbb{Q}_n
                • [/tex] es numerable. Entonces, sea [texx]\mathbb{Q}_n
                  • =\{p_1,p_2,...\}[/tex], luego para cada [texx]k\geq{1}[/texx], el Teorema Fundamental de la Álgebra nos dice que el conjunto [texx]A_k=\{x\in{\mathbb{R}};p_k(x)=0\}[/texx] es finito. [texx]A_k[/texx] es el conjunto de ceros del polinomio [texx]p_k[/texx] que es de grado menor o igual a [texx]n[/texx]. Luego denotando [texx]Z_n=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{+\infty}{A_k }[/texx] es unión numerable de conjuntos finitos, por lo que [texx]Z_n[/texx] es numerable. Pero por la definición [texx]Z_n[/texx] es el conjunto de todos los ceros de todos los polinomios de grado menor igual a [texx]n[/texx]. Como el conjunto de los números algebraicos es el conjunto de todos los ceros de los polinomios de todos los grados, se tiene que [texx]A=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty}{Z_n }[/texx] que es unión numerable de conjuntos numerables, por lo que es numerable.

                    ¿Qué tal?
                  [/texx]
                [/texx]
              [/texx]
            [/texx]
          [/texx]
          Está bien, así es el razonamiento típico de este ejercicio.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 22/12/2010, 10:25:28 pm
          Ejercicio 7.4
          (b) El conjunto de los números trascendentes es no numerable.
          Demostración
          Sea A el conjunto de los números algebraicos y T el de los números trascendentes,
          Por definición [texx]\mathbb{R}=A\cup{T}[/texx] y la unión es disjunta. Luego como [texx]\mathbb{R}[/texx] es no numerable y [texx]A[/texx] sí lo es, se tiene que [texx]T[/texx] es no numerable.

          100% de acuerdo


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 22/12/2010, 10:28:24 pm
          [/li]
          [li]Ejercicio 7.5 Determine, para cada uno de los siguientes conjuntos, si son o no numerables. Justifique sus respuestas:
          • (a) El conjunto [texx]A[/texx] de todas las funciones [texx]f:\{0,1\}\to \mathbb{Z}_+[/texx].
          • (b) El conjunto [texx]B_n[/texx] de todas las funciones [texx]f:\{1,\cdots,n\}\to\mathbb{Z}_+[/texx].
          • (c) El conjunto [texx]C=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}_+}B_n[/texx].
          • (d) El conjunto [texx]D[/texx] de todas las funciones [texx]f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+[/texx].
          • (e) El conjunto [texx]E[/texx] de todas las funciones [texx]f:\mathbb{Z}_+\to\{0,1\}[/texx].
          • (f) El conjunto [texx]F[/texx] de todas las funciones [texx]f:\mathbb{Z}_+\to \{0,1\}[/texx] que son eventualmente cero (esto significa que existe un entero positivo [texx]N[/texx] tal que [texx]f(n)=0[/texx] para todo [texx]n \geq N[/texx]).
          • (g) El conjunto [texx]G[/texx] de todas las funciones [texx]f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+[/texx] que son eventualmente [texx]1[/texx].
          • (h) El conjunto [texx]H[/texx] de todas las funciones [texx]f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+[/texx] que son eventualmente constantes.
          • (i) El conjunto [texx]I[/texx] de todos los subconjuntos de 2 elementos de [texx]\mathbb{Z}_+[/texx].
          • (j) El conjunto [texx]J[/texx] de todos los subconjuntos finitos de [texx]\mathbb{Z}_+[/texx].

          He estado pensando, pero no veo como hacerlo, una idea profe. Desde la (a), luego seguimos con los demás

          (a) [texx]A=Z_+\times Z_+[/texx]
          (b) [texx]B=Z_+^n[/texx]
          (c) numerable
          (d) [texx]D\supset E[/texx]
          (e) [texx]E\approx P(Z_+)[/texx]
          (f) [texx]F\approx C[/texx]
          (g) [texx]G\approx F[/texx]

          H, I, J son obviamente numerables


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 22/12/2010, 10:46:32 pm
          Ejercicio 7.8
          Sea [texx]X=\{0,1\}[/texx]; [texx]B[/texx] el conjunto de los subconjuntos numerables de [texx]X^{\omega}[/texx]. Demuestre que [texx]X^{\omega}[/texx] y [texx]B[/texx] tienen el mismo cardinal.
          Demostración:
          Ni idea profe

          Si S es un elemento de B, entonces S es subconjunto numerable de [texx]X^\omega[/texx].
          Digamos [texx]S=\{\sigma_j\}_{j=1}^\infty[/texx].
          Cada [texx]\sigma_j[/texx] es de la forma [texx]\sigma_j={\sigma_{jk}\}_{k=1}^\infty[/texx].

          Formemos a partir de S un elemento s de [texx]X^\omega[/texx] mediante la siguiente asignación:
          [texx]s=(s_1,s_2, s_3,...)[/texx]
          donde:
          [texx]s_{2^j(2k-1)}=\sigma_{jk}[/texx].

          Esto produce la biyección buscada.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 23/12/2010, 03:29:46 am
          Ejercicio 7.8
          Sea [texx]X=\{0,1\}[/texx]; [texx]B[/texx] el conjunto de los subconjuntos numerables de [texx]X^{\omega}[/texx]. Demuestre que [texx]X^{\omega}[/texx] y [texx]B[/texx] tienen el mismo cardinal.
          Demostración:
          Ni idea profe

          Si S es un elemento de B, entonces S es subconjunto numerable de [texx]X^\omega[/texx].
          Digamos [texx]S=\{\sigma_j\}_{j=1}^\infty[/texx].
          Cada [texx]\sigma_j[/texx] es de la forma [texx]\sigma_j={\sigma_{jk}\}_{k=1}^\infty[/texx].

          Formemos a partir de S un elemento s de [texx]X^\omega[/texx] mediante la siguiente asignación:
          [texx]s=(s_1,s_2, s_3,...)[/texx]
          donde:
          [texx]s_{2^j(2k-1)}=\sigma_{jk}[/texx].

          Esto produce la biyección buscada.

          Wow!!!!!! :aplauso: :aplauso: la verdad nunca se me hubiera ocurrido. Pero imagino que debe haber una forma buscando inyecciones para usar el teorema de Schroder Berenstein.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: enloalto en 23/12/2010, 04:59:31 pm
          • Ejercicio 7.9
            • (a) La fórmula
              [texx](*)\qquad h(1)=1,\qquad h(2)=2,\qquad h(n)=[h(n+1)]^2-[h(n-1)]^2,\quad  n\geq2[/texx]

              no es una a la cual se aplica el principio de definición recursiva.
              Muestre que no existe una función [texx]h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R}[/texx] que satisface esta fórmula.
              Ayuda: Reformule [texx](*)[/texx] tal que el principio pueda aplicarse y requiera que [texx]h[/texx] sea positiva.
            • (b) Muestre que la fórmula [texx](*)[/texx] de la parte (a) no determina [texx]h[/texx] unívocamente.
              Ayuda: Si [texx]h[/texx] es una función positivia que satisface [texx](*)[/texx], hacer [texx]f(i)=h(i)[/texx] para [texx]i\neq3[/texx], y [texx]f(3)=-3[/texx].
            • Muestre que no hay una función [texx]h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R}[/texx] que satisface la fórmula

              [texx]h(1)=1,\qquad h(2)=2,\qquad h(n)=[h(n+1)]^2-[h(n-1)]^2,\quad n \geq2.[/texx]

          (a) Hallemos [texx]h(3)[/texx], por la definición de la fórmula se tiene
          [texx]h(2)=[h(3)]^2-[h(1)]^2\Rightarrow{2=[h(3)]^2-1}\Rightarrow{[h(3)]^2=3}[/texx] de donde tenemos dos valores para [texx]h(3)[/texx] lo que contradice el hecho de que [texx]h(i)[/texx] debe estar unívocamente determinado para los enteros menores que [texx]i[/texx]. Pero si exigimos que [texx]h[/texx] sea positiva, se tendría que [texx]h(3)=\sqrt[ ]{3}[/texx]. Reformulando [texx]h[/texx] se tiene
          [texx]h(n)=\sqrt[ ]{h(n-1)+[h(n-2)]^2}[/texx], para [texx]n\geq{3}[/texx]

          (b) no lo entiendo, creo que ya lo hice en(a)
          (c) debe ser
          [texx]h(1)=1,\qquad h(2)=2,\qquad h(n)=[h(n+1)]^2{\color{red}+}[h(n-1)]^2,\quad n \geq2.[/texx]


          Título: Primera consulta
          Publicado por: iguanodon en 29/12/2010, 06:17:10 am
          Hola! Hago mi primera consulta:


          Ejercicio: pag.114  6) Denotemos por [texx]A, B, A_\alpha[/texx] subconjuntos de X. Pruebe:

          a)Si [texx]A \subset B \Longrightarrow{ }\overline{A}\subset\overline{B}[/texx]
          b)[texx]\overline{A \cup B} = \overline{A}\cup\overline{B}[/texx]
          c)[texx]\cup \overline{A_\alpha} \subset \overline{\cup A_\alpha}[/texx].  Dé un ejemplo donde no se de la igualdad


          Solución:
          a)
          No sé cómo empezar. Parece fácil pero no se como empezarlo. No me importaría tener una pequeña pista...

          b)

          [texx]\subset[/texx]

          Sea [texx]x\in{\overline{A \cup B}} \Longrightarrow  \forall{} U[/texx] entorno de x, se tiene que [texx]U\cap[A \cup B]\neq\emptyset \Rightarrow [U \cap A] \cup [U \cap B] \neq\emptyset  \forall{} [/texx]U entorno de x, luego [texx]x\in{\overline{A} \cup \overline{B}}[/texx]

          [texx]\supset{}[/texx]

          No creo que esté bien, pero ahí va mi intento:

          Supongamos que [texx]x\notin\overline{A \cup B}[/texx]. Entonces [texx]\exists{} U [/texx]entorno de x tal que [texx]\emptyset = U \cap [A \cup B] = [U \cap A] \cup [U \cap B] [/texx]de donde [texx][U \cap A]=\emptyset=[U \cap B] \Rightarrow x\notin\overline{A},x\notin\overline{B}\Rightarrowx\notin \overline{A} \cup \overline{B}[/texx]


          c)

          Sea [texx]x\in{}\cup \overline{A_\alpha}. [/texx]Entonces [texx]\exists{} \alpha _i [/texx]tal que [texx]x\in{\overline{A_\alpha_i}} [/texx]luego [texx] \forall{} U [/texx]entorno de x, [texx]U \cap A_\alpha_i  \neq \emptyset.[/texx]
          Sea V entorno de x. Entonces [texx]V \cap [ \cup A_\alpha] = \cup (V \cap A_\alpha)\neq\emptyset [/texx]porque [texx]U \cap A_\alpha_i  \neq \emptyset [/texx]para todo U entorno de x (en particular, para V). Luego [texx]x\in{} \overline{\cup A_\alpha}[/texx]

          Todavía estoy buscando el ejemplo donde no se de la igualdad pero no doy con él... ¿Quizás haya que considerar subespacios o irse a una topología "rara"?

          Espero que algo por lo menos esté bien... Muchas gracias!


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 29/12/2010, 10:05:25 am
          No sé por qué usás demostraciones tan complicadas en términos de entornos.
          La definición de "clausura" que hace Munkres es una intersección de cerrados.

          (a) Se sabe que [texx]E\subset \bar E[/texx] para todo E.
          Así que [texx]B\subset \bar B[/texx].
          Por lo tanto [texx]A\subset \bar B[/texx].
          Como [texx]\bar B[/texx] es cerrado, y contiene a [texx]A[/texx],
          ha de contener al mínimo cerrado que contiene a [texx]A[/texx], que es...

          (b) [texx]\subset{}[/texx] Tendrías que probar que para todo entorno U de x, la intersección con A es no vacía, o bien la intersección con B es no vacía. Pienso que tu prueba es errónea.

          A mí me gusta más así: [texx]A\cup B\subset \bar A\cup\bar B[/texx], que es un conjunto cerrado que contiene a [texx]A\cup B[/texx]. Luego, por definición de "clausura", contiene a [texx]\overline{A\cup B}[/texx]

          [texx]\supset{}[/texx] Parece que está bien, pero hacia el final está mal escrito.

          (c) Está ok, creo.

          Para el contraejemplo, hay que notar que no se puede hacer una generalización como en (b), ya que la unión infinita de cerrados no es siempre cerrado.

          Podríamos tomar [texx]A_\alpha = (\alpha, \infty)[/texx] en R, con [texx]\alpha  >0[/texx].



          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: algebra1 en 05/02/2011, 08:55:17 pm
          Ejercicio 4.9
          (b) Si [texx]x\not\in{\mathbb{Z}}[/texx], demuestre que existe exactamente un [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx]n<x<n+1[/texx].
          Supongo lo contrario, es decir que para todo [texx]n\in\mathbb{Z}[/texx] [texx]n\geq x[/texx] o [texx]x\geq n+1[/texx], como [texx]x\geq n+1[/texx] no es posible, entonces para todo [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] [texx]n\geq x[/texx], es decir que el conjunto [texx]\mathbb{Z}[/texx] es acotado inferiormente lo que no es cierto. Por tanto existe un [texx]n\in{}\mathbb{Z}[/texx] tal que [texx]n<x<n+1[/texx]. La unicidad no veo como probarlo.

          Otra manera que encontré es la siguiente. Como [texx]x\in \mathbb{R}[/texx], entonces por la propiedad arquimedeana de los números reales, existe un [texx]n\in{\mathbb{Z}}[/texx] tal que [texx]x<n[/texx], luego el conjunto [texx]A_x=\{n\in\mathbb{Z};x<n\}[/texx] es no vacío y por el principio del buen orden posee elemento mínimo(que es único), sea este [texx]m_x=1+n_x[/texx]. Luego [texx]n_x\not\in{A}[/texx], entonces [texx]n_x\leq x<m_x=n_x+1[/texx], pero como [texx]x\in{\mathbb{Z}}[/texx], no puede suceder que [texx]n_x=x[/texx], por lo que
          [texx]n_x< x<n_x+1[/texx]

          El enunciado está incorrecto, debe decir algo como: [texx]n\leq x <n+1[/texx].

          La primer demostración que hiciste me parece más clara.
          Pero usaste que Z no está acotado. ¿Eso está probado? Igual, eso es fácil de probar, tomando el "supremo" de Z...

          En cuanto a la unicidad, creo que sale de la mera linealidad del orden.
          Si hubiera dos enteros distintos m, n, con la propiedad indicada,
          podemos suponer que m < n.
          Por tricotomía vale que  [texx]m + 1 < n[/texx], o bien [texx]m +1 = n[/texx].

          Luego, [texx]m \leq x < m+1 \leq n \leq  x < n+[/texx]1.
          Esto da x < x, absurdo.

          Hola argentinator, tengo unas dudas al principio cuando enloalto dice [texx]x\not\in{\mathbb{Z}}[/texx] entonces x es un real?, segundo cuando dice: como [texx]x\geq n+1[/texx] no es posible, no es posible qué? 3) cómo veo que Z no es acotado, 4) cuando dices: podemos suponer que m < n.
          Por tricotomía vale que  [texx]m + 1 < n[/texx], o bien [texx]m +1 = n[/texx]., no entiendo lo que dices por tricotomia vale que [texx]m + 1 < n[/texx]


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 05/02/2011, 11:28:34 pm
          Si x no es entero, entonces se supone que es un real no entero.
          El contexto es el de números reales.

          Hay que prestar atención a lo que dice todo el ejercicio.
          Los enunciados están en la sección de Dictado.

          Lo que dice es que "como [texx]x\geq n+1[/texx] no es posible", entonces ocurre el otro caso y bla bla bla.

          Lo que no es posible es eso, que [texx]x\geq n+1[/texx].
          Eso es por lo que dice en el renglón anterior sobre el intervalo en que se halla x.

          Z es no acotado porque contiene a N que es un conjunto no acotado.
          Así que basta ver  que N no es acotado.
          Para demostrar esto, se supone que N tiene cota, luego por ser N subconjunto acotado de R, tiene supremo. Ese supremo lo llamamos s. Obviamente s es no natural...

          Para todo t < s existe un número natural m tal que t < m <s.
          En particular, existe un tal m tal que s-1< m < s, luego s < m+1, pero m+1 está en N, absurdo, porque s es supremo de N.

          Cuando tomo m < n es porque son letras genéricas, da igual lo que suponga.
          Si supongo n < m, el análisis es el mismo, se repite todo pero intercambiando las letras m y n entre sí.
          Son las únicas dos posibilidades, por tricotomía, ya que hemos tomad [texx]m\neq n[/texx].

          Por tricotomía sólo hay tres posibilidades: m+1 < n, m+1 = n  ó m+1 > n.
          La última opción se descarta porque [texx]m+1\leq (n-1)+1 = n[/texx], ya que hemos tomado m < n, siendo m, n naturales.



          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: algebra1 en 05/02/2011, 11:43:10 pm
          Hola argentinator, mil disculpa por molestarte, ahora si quedo claro en la mayoría de las cosas, por último aquí ¿a cuál renglón te refieres? "Eso es por lo que dice en el renglón anterior sobre el intervalo en que se halla x", cuando suponemos lo contrario tenemos las desigualdades que coloco enloalto, pero dónde vive x ???

          Saludos y muchas gracias


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 06/02/2011, 01:53:32 am
          En los reales


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: javier m en 07/06/2011, 12:08:30 am
          hola, una pregunta: ¿que nivel en matemáticas es necesario para aventurarse a leer el curso?

          saludos.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 07/06/2011, 01:03:17 pm
          Bastaría con Cálculo de una variable,
          pero tal vez convenga tener experiencia con cursos superiores: cálculo de varias variables, análisis avanzado, haber visto por ahí espacios métricos, espacios de funciones y límites, convergencia uniforme, etc.

          Pero eso es una recomendación no más, porque los temas son bastante autocontenidos, y yo contesto cualquier pregunta relativa a los ejercicios del libro.

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: pierrot en 22/02/2012, 10:13:04 pm
          Buenas noches argentinator

          Estoy en la misma situación que Richard. Estudio ingeniería en computación y en mi carrera naturalmente no tengo ninguna asignatura que se llame "Topología". Lo único que sé es el capítulo 1 del libro de Juan de Burgos, Cálculo Infinitesimal de varias variables, en el que se hace una breve introducción a la topología del espacio euclídeo [texx]\mathbb{R}^p[/texx]. Pero la materia ciertamente me interesa y en varias oportunidades he estado tentado de estudiarla de manera autodidacta.

          Más allá de que he estudiado algunos temas por mi cuenta, mi experiencia me dice que es mucho más enriquecedor aprender con alguien que te guíe y te explique lo que no entiendes. Tal vez esta impresión haya sido fomentada por el hecho de que en facultad he tenido buenos profesores que despiertan el interés del alumno y lo estimulan. Desconocía que había un curso de Topología en el foro; había visto otros, pero éste se me había pasado por alto. Me parece una excelente idea que se dicten estos cursos y felicito a todos aquellos que participen ya sea como profesores o como alumnos, pero especialmente a los profesores, por todo el tiempo dedicado a contribuir al conocimiento de otros. Me parece un acto de solidaridad digno de admiración.

          No sé si puedo integrarme a estas alturas, ya que veo que el curso está muy avanzado (se inició hace más de un año). He visto además que ya muchos han intervenido en la resolución de los ejercicios o haciendo comentarios de los temas (y yo en caso de inscribirme, empezaría por el principio). Tal vez te sea a ti muy cansador tener que repetir las mismas cosas.

          Por otra parte, la semana que viene empiezo las clases y mi disponibilidad horaria se ve fuertemente reducida (además tengo 4 horas diarias de viaje -dos de ida, y dos de vuelta-, ya que soy del interior y la facultad es en Montevideo). Si todos los ómnibus tuvieran wi-fi sería estupendo, pero por el momento no es así :'(. Dadas estas complicaciones, tengo miedo de asumir un compromiso demasiado serio, por ejemplo, con lo que respecta a la resolución de ejercicios. Por otra parte, sé que es necesario cierto nivel de exigencia para poder aprender. Es como contradictorio, pero veré como puedo hacer.

          Desde ya, muchas gracias por tu atención.

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 23/02/2012, 07:41:30 am
          Bueno, tendría que aclarar de alguna manera en algún lugar que aunque el curso esté "empezado", en realidad cada persona puede comenzar por donde le guste, y a su propio ritmo.

          Las bases teóricas que se necesitan para Topología son muy pocas, básicamente se necesita teoría de conjuntos algo avanzada, y haber cursado cálculo de una o varias variables.
          Las bases de conjuntos necesarias están cubiertas en el curso, ya que agregué el capítulo de teoría de conjuntos, y es igual al Taller de teoría de conjuntos que puse por ahí en forma aislada.
          En ambos cursos se pueden discutir los mismos ejercicios de Munkres de Teoría de conjuntos.

          Sin embargo, la dificultad está en el grado de abstracción y en la práctica de los ejercicios.

          Pero ese tipo de cosas se pueden discutir todo lo que haga falta.
          Estudiar vos solo, con las bases que mencionás que tenés, me parece que puede ser una cuesta arriba, aunque a lo mejor no, eso no lo puedo saber.

          El libro que estamos siguiendo tiene ejercicios de nivel intermedio, no son difíciles, pero requieren cierto esfuerzo intelectual, y práctica de conjuntos.

          Si la práctica con conjuntos te lleva tiempo antes de empezar con topología, no te desanimes, es tiempo bien invertido para toda la matemática en general.
          Además ciertos temas de teoría de conjuntos se pueden pasar por alto hasta que realmente hagan falta.

          En cuanto al proceso de abstracción, yo agregué en la teoría una introducción que no está en el libro de Munkres, que permite ver la Topología desde varios puntos de vista, a partir de hechos conocidos y elementales, como por ejemplo los intervalos abiertos en la recta real.

          Quizá no queda claro un concepto importante, que es el de la continuidad, que viene más adelante.

          Te comento acá entonces que la noción de continuidad es la primer que se intenta generalizar a conjuntos cualesquiera, y para ello se necesita la noción de entorno pequeño alrededor de un punto, para definir cierta noción de convergencia allí.
          Esos entornos en realidad serán tanto pequeños como grandes, y son lo que en Topología General reciben el nombre de conjuntos abiertos.

          Reemplazan a los intervalos abiertos en R, o a las bolas abiertas en el n-espacio real, o en los complejos.

          De allí que la definición de abierto sea central en topología, y se empieza por ahí.

          Creo que sería sabio de mi parte agregar alguna aclaración sobre esto en la introducción.

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 28/03/2012, 03:22:49 pm
          Hola! En el ejercicio de la sección 3 "relaciones" tengo un problema para demostrar que
          siendo los conjuntos [0,1]=[texx]\{x | 0\leq {x}\leq 1\}[/texx] y [0,1)=[texx]\{x | 0\leq {x}\leq 1\}[/texx]
          (es estricta la desigualdad enel segundo conjunto pero no se escribirla con esos códigos, disculpen)
          el conjunto [0,1]\times{[01]}, [0,1]\times{[01)}, [0,1)\times{[01]} con la relacion del diccionario poseen la propiedad del supremo.

          Resolucion: Para el caso[0,1]\times{[01]} en la grafica tenemos un cuadrado cerrado.

          Primero supongamos que para todo punto (a,b) en (0,1)\times(0,1) podemos siempre tomar un radio  \varepsilon\geq0  / [texx]\{(x,y):d((a,b),(x,y))\leq{\epsilon}\}[/texx]
          Asi estaria considerando todas aquellas esferas cerradas contenidas en el conjunto (0,1)\times(0,1).
          Tomemos la espera [texx](a-x)^2[/texx]  + [texx](b-y)^2[/texx]\ leq{[texx]\epsilon^2[/texx]}\ \subset{[0,1]\times{[01]}}
          entonces este conjunto esta acotado superiormente y su supremo será el punto (x+r,y)

          Ahora bien, necesitaria considerar un conjunto que tenga en cuenta los bordes.
          Por ahora el razonamiento esta bien?, como podria continuar con el ejercicio?

          Desde ya muchas gracias!  :D


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 28/03/2012, 03:39:51 pm
          Hola.

          En este foro hay que usar Latex para escribir las fórmulas.

          Hay un tutorial y todo que habrás visto al inscribirte.

          Esta noche recién podré contestarte adecuadamente.

          Mientras tanto, podrías reeditar un poco el mensaje para que se vean las expresiones matemáticas correctamente.

          A vuelo de pájaro ví que pusiste algo de una esfera... En este ejercicio eso no tiene sentido.
          Hay que usar sólo las propiedades de los reales, y analizar un poco cómo se comporta el orden de diccionario.

          Hasta luego.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 28/03/2012, 09:30:52 pm
          Te arreglé algunos detalles de Latex que aún no estaban del todo bien.

          Lo importante en todo ejercicio es tener claras las definiciones y el contexto en el que estamos.

          En este caso no hay que olvidarse de que, a pesar de que se trata de un cuadradito en el plano, se lo está mirando como un cierto conjunto ordenado X, con una cierta relación de orden dada <, que en este caso es el orden de diccionario.

          Acá no importa ni de qué conjunto se trata, ni cuál es la relación de orden.
          Lo que importa es entender que se está preguntando si se cumple o no se cumpla la propiedad del supremo en ese conjunto ordenado (X, <).

          Según la definición, un conjunto ordenado (X, <) cumple la propiedad del supremo, si vale la siguiente condición:

          * Dado un subconjunto no vacío A de X, con una cota superior c de A, con c en X; siempre existe otra cota superior s de A, con s en X, tal que s es la mínima de todas las cotas superiores de A posibles.

          (A veces s podría llegar a ser igual a c, pero no interesa acá).

          Esa definición de "tener supremo" es lo que nos dice qué es lo que tenemos que demostrar en el ejercicio.

          Ahora volvemos al cuadradito unitario con el orden de diccionario.
          Lo que hay que hacer es tomar un subconjunto cualquiera A dentro del cuadradito, sin ningún tipo de temor, decir simplemente: "Sea A cualquier subconjunto de X".

          Ahora, pedimos además que A sea no vacío, y que tenga una cota superior en X.
          Esas condiciones son las que hacen falta en la condición del supremo dada arriba.

          Finalmente, hay que demostrar que ese conjunto A tiene una mínima cota superior (o sea, tiene supremo).

          ______________

          Así que, ahí voy.

          Sea A un subconjunto cualquiera de [0,1]x[0,1], tal que A es no vacío, y además supongamos que A tiene una cota superior en [0,1]x[0,1].
          Esa cota superior es un par (c,d) de números en el intervalo [0,1], ya que (c,d) es un punto del cuadradito unitario.

          ¿Qué significa que (c,d) sea cota superior de A?
          Quiere decir que para todo punto (x, y) que está en A, vale la relación [texx](x,y) \leq (c,d).[/texx]

          Nos interesa hallar, si es posible, un punto (s, t) de X que sea cota superior de A, y que se la mínima.
          O sea que tiene que cumplir que [texx](x,y)\leq (s,t)[/texx] para todo punto (x,y) de A (o sea, es "cota superior"), y además,
          si (p,q) es cualquier otra cota superior de A, entonces [texx](s,t)\leq (p,q)[/texx] (o sea, es mínima).

          ______________________

          La estrategia para hallar tal cota mínima es hacerlo en dos etapas, una que analice la coordenada "x", y luego una 2da que analice la coordenada "y",
          debido a que el orden de diccionario se define justamente en 2 etapas, primero según la coordenada "x", y después según la coordenada "y".

          Por lo tanto, un primer paso es proyectar las coordenadas "x" de todos los puntos (x, y) del conjunto A, y formar con ellos un conjunto E en el eje de las "x", o sea, un subconjunto de [0, 1] en este caso.

          Esas proyecciones son números reales, y como en el conjunto R de los números reales vale la propiedad del supremo, podemos hallar allí un supremo s de E (ya que E está acotado por ejemplo por c).
          Una vez hallado este supremo, se analiza qué valor de t ha de cumplir la condición de que (s, t) "sirva" como supremo de A.

          Allí se analizan una o dos situaciones según cómo sea el conjunto A...

          Esto te lo dejo para que lo pienses.
          Fijate si con estas indicaciones llegás a la solución correcta del ejercicio.
          Si no, preguntame de nuevo a ver dónde están las dudas.

          ___________________

          La imaginación y la intuición no son parte de una demostración matemática correcta,
          pero aún así son ingredientes necesarios para encontrar la solución de un problema.
          Si no, se hace imposible.
          Los ejercicios hay que reflexionarlos con tranquilidad y paciencia, hasta que se entienda intuitivamente la situación.
          Después la solución viene casi siempre en forma natural.

          Si se intenta resolver un ejercicio a los garrotazos, significa que uno seguramente está usando la estrategia equivocada.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 31/03/2012, 01:35:39 pm
          Ejercicio 7.1 Demuestre que [texx]\mathbb{Q}[/texx] es infinito numerable.
          Demostración
          Sabemos que [texx]\mathbb{Q}_+[/texx] es infinito numerable, defino [texx]f:\mathbb{Q}_+\rightarrow{\mathbb{Q}_ -}[/texx] como [texx]f(x)=-x[/texx], claramente es una biyección, luego [texx]\mathbb{Q}_-[/texx] es numerable. Por tanto, [texx]\mathbb{Q}=\mathbb{Q}_+\cup{\{0\}}\cup{\mathbb{Q}_-}[/texx] es numerable

          Proviene de los siguiente no?

          Para probar que  [texx]\mathbb{Q}_+[/texx] es infinito numerable.

          Sea g:[texx]\mathbb Z_+\times\mathbb Z_+\rightarrow\mathbb{Q}_+ [/texx]/g(n,m)=m/n sobreyectiva
          Como [texx]\mathbb Z_+\times\mathbb Z_+[/texx] es numerable, existe una w:[texx]\mathbb Z_+\rightarrow\mathbb Z_+\times\mathbb Z_+[/texx] sobreyectiva
          Así [texx]\ g\circ\ w [/texx]:[texx]\mathbb Z_+\rightarrow\mathbb{Q}_+[/texx] es sobreyectiva. Luego [texx]\mathbb{Q}_+[/texx] es numerable y como [texx]\mathbb Z_+\subset \mathbb{Q}_+[/texx] es infinito numerable.

          Para probar que  [texx]\mathbb{Q}_-[/texx] es  numerable.
          [texx]\ f\circ\ w\circ\ g [/texx]:[texx]\mathbb Z_+\rightarrow\mathbb{Q}_-[/texx] es sobreyectiva. Entonces [texx]\mathbb{Q}_-[/texx] es numerable.

          Luego la union de numerables es numerable. Por definicion de numerables: un conjunton es numerable si es finito numerable o finito.

          Luego [texx]\mathbb{Q}[/texx] es infinito numerable.

          Saludos. :D


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 31/03/2012, 05:00:58 pm
          Está correcto. La resolución está muy bien y detallada.

          En el último paso, cuando decís que finalmente Q es "infinito numerable", tenés que saber de antemano que Q ya era infinito.

          Pero esto se deduce de que [texx]Z_+[/texx] ya era infinito (Corolario 1.6.4) y del hecho de que [texx]Z_+\subset Q[/texx], pues se aplica el Ejercicio 1.6.2.

          O sea, como Q contiene algún conjunto infinito, es infinito.
          Esto es casi obvio, pero ya que estás haciendo las cuentitas con cuidado, no está de más argumentar todos los pasos en forma exhaustiva, diciendo siempre qué teoremas o qué ejercicios o qué hechos son los que estás usando.



          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 31/03/2012, 05:29:06 pm

          Para probar que  [texx]\mathbb{Q}_+[/texx] es infinito numerable.

          Sea g:[texx]\mathbb Z_+\times\mathbb Z_+\rightarrow\mathbb{Q}_+ [/texx]/g(n,m)=m/n sobreyectiva

          Como [texx]\mathbb Z_+\times\mathbb Z_+[/texx] es numerable, existe una w:[texx]\mathbb Z_+\rightarrow\mathbb Z_+\times\mathbb Z_+[/texx] sobreyectiva

          Así [texx]\ g\circ\ w [/texx]:[texx]\mathbb Z_+\rightarrow\mathbb{Q}_+[/texx] es sobreyectiva.

          Luego [texx]\mathbb{Q}_+[/texx] es numerable y como [texx]\mathbb Z_+\subset \mathbb{Q}_+[/texx] es infinito numerable.


          Quería comentar esta prueba tuya.
          Como ya te dije, está correcta.
          Sin embargo, si se exige mayor rigor técnico,
          te faltaría indicar en cada una de las afirmaciones qué resultado o hecho estás invocando.

          En la primer afirmación por ejemplo, tendrías que decir que estás usando el Ejemplo 2 de la Sección 7.
          En la 2da afirmación podrías decir que estás invocando el Teorema 7.1 (parte (2)).
          En la 3ra afirmación, justificar que la composición de funciones sobreyectivas es de nuevo una función sobreyectiva... no haría falta, ya que es un hecho bastante obvio sobre funciones en general. No obstante, recordar que eso está probado por ejemplo en el Ejercicio 4 (d) de la Sección 2.
          En la 4ta afirmación estás usando las dos cosas que ya te dije en el post anterior, a saber, que [texx]Z_+[/texx] es infinito (Corolario 6.4) y que si un conjunto infinito contiene un conjunto infinito, es que él mismo es infinito (ejercicio 6.2).



          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 31/03/2012, 05:41:10 pm

          Luego [texx]\mathbb{Q}[/texx] es finito numerable.

          Saludos. :D

          Acá al final le pifiaste, pero estoy seguro que es un error de escritura solamente.
          Q es "infinito" numerable, no "finito", jeje.

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 31/03/2012, 05:43:53 pm
          jajajajajajajaja tanta demostración para luego escribir cualquier conclusión! jajajajaja ahora lo modifico!! Tendré en cuenta todo lo que me sugeriste en las demás demostraciones.  :laugh:
          Profe una consulta, espero no molestar...
          Prodía darme  un ejemplo de función finalmente cero, la definición apunta a que si tengo una regla de asignación que dice que la función me va a dar elementos enteros positivos hasta un tope y luego solo da todos ceros? Es eso verdad?
          Por ejemplo en el ejercicio 7.5.f
          Concluyo que el conjunto que se refiere es  [texx]\{0,1\}^\mathbb Z_+ [/texx] pero...cómo incluyo esa funcion finalmente cero?  :-\


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 31/03/2012, 05:56:22 pm
          Las funciones [texx]X^{Z_+}[/texx] para cualquier conjunto [texx]X[/texx] son las bien conocidas "sucesiones de elementos de X", o sea, si tenés una función

          [texx]f\in X^{Z_+}[/texx], quiere decir que [texx]f:Z_+\to X[/texx], o sea, una función con dominio los enteros positivos e imagen en X.
          Esto a su vez se puede visualizar como una sucesión (de hecho, ES una sucesión), pues si en vez de escribir [texx]f(1),f(2),[/texx], etc., escribimos

          [texx](a_1,a_2,a_3,...)[/texx]

          donde [texx]a_j=f(j)[/texx], todo [texx]j[/texx],

          entonces, lo que estamos diciendo en este ejercicio en particular con X = {0,1} es que hablamos de sucesiones de 0's y 1's.

          Ahora una "función" finalmente 0, quiere decir que, si la miramos como "sucesión", hay un índice N a partir del cual la sucesión se hace 0 de ahí en adelante:

          [texx]a_1,a_2,...,a_N,0,0,0,...[/texx]

          Esto ahora visto de nuevo como "función", se dice así:

          [texx]\exists{N\in Z_+}:(\forall{j> N}:f(j)=0).[/texx]

          _________

          Siempre conviene "mirar" a las funciones con dominio [texx]Z_+[/texx] como sucesiones, y viceversa.
          Matemáticamente es "exactamente" lo mismo.
          La única diferencia es la "intuición" que se obtiene en la "manera en que se escribe".

          Es decir, la sucesión es una manera de escribir la función de modo que nos recuerde a una "lista ordenada de objetos".
          Pero eso es sólo una ayuda intuitiva.
          Técnicamente, una sucesión es una función con dominio [texx]Z_+[/texx].

          Por otro lado, una función de un conjunto A en {0,1} conviene pensarla también como la "función característica" de un cierto subconjunto B de A.

          En efecto, si [texx]f=\chi_B:A\to\{0,1\}[/texx], se tiene que

          [texx]\chi_B(x)=1[/texx] si y sólo si [texx]x\in B[/texx], y
          [texx]\chi_B(x)=0[/texx] si y sólo si [texx]x\not\in B[/texx].

          A su vez, si [texx]f[/texx] es una función [texx]f:A\to\{0,1\}[/texx], entonces es la característica de algún subconjunto B de A, pues basta definir:

          [texx]B=\{x\in A:f(x) =1\}[/texx]

          y luego es trivial verificar que [texx]f=\chi_B[/texx] (o sea, [texx]f(x) = \chi_B(x)[/texx] para todo [texx]x\in A[/texx]).

          _____________

          Una función finalmente cero en el ejercicio citado, es una sucesión de 0's y 1's (corregido) enteros positivos que son finalmente 0 en el sentido arriba explicado, o sea, esas funciones son elementos de [texx]\{0,1\}^{Z_+}[/texx] que son 0 "a partir de un cierto índice N dado".








          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 31/03/2012, 08:28:17 pm
          Hago una corrección a lo último que escribí:

          Cita
          Una función finalmente cero en el ejercicio citado, es una sucesión de enteros positivos que son finalmente 0 en el sentido arriba explicado

          Lo correcto es decir que "es una sucesión de 0's y 1's".

          Disculpá el error, espero no te haya confundido.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 05/04/2012, 11:13:41 am
          Hola  :D

          Tratando de resolver los ejercicios complementarios: el buen orden surgió una duda.

          El ejercicio pide:
          Si E es un conjunto bien ordenado, demuestre que ninguna seccion de E tiene el tipo de orden de E, ni dos secciones diferentes de E tienen el mismo tipo de orden.

          Demostración:

          Sea E el conjunto bien ordenado, y [texx]\ S_x[/texx] debo probar que no existe funcion biyectiva de E a [texx]\ S_x[/texx] tal que si dos elementos de E estan relacionados bajo una relacion en E la imagen de estos dos elementos esten relacionados bajo la relacion de [texx]\ S_x[/texx].

          Observé, que no existe una funcion inyectiva entre E y [texx]\ S_x[/texx] pero si de [texx]\ S_x[/texx] a E, así concluí que el [texx]\ |E|\geq{|S_x|}[/texx] entonces no existe una funcion biyectiva, así no tienen el mismo tipo de orden.

          Jaja, está bien? ¿Alguna sugerencia para hacer la segunda parte?

          Desde ya muchas gracias.  :)


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 05/04/2012, 11:48:52 am
          Al hablar sólo de biyecciones estás demostrando sólo hechos de cardinalidad.

          Una sección de un ordinal E bien puede tener el mismo cardinal que E.

          Por ejemplo, si [texx]E=\omega +\omega [/texx], entonces la sección [texx]S_\omega [/texx] tiene el mismo cardinal que E, y así existen biyecciones entre ambos conjuntos.

          Para trabajar con el tipo de orden, lo que hay que hacer es usar justamente la relación de orden, pues de otro modo es casi imposible demostrar propiedades "ordinales".

          Así, podrías suponer que existe un isomorfismo ordinal (que en particular es una biyección) y luego arribar a alguna contradicción.

          Para probar que no tienen el mismo tipo de orden, hay que trabajar con biyecciones que conservan (o no) el orden.
          Aquí hay que usar el principio de buena ordenación.
          Si [texx]\phi :S_x\to E[/texx] es un isomorfismo ordinal, en particular es una biyección, y además [texx]\alpha <\alpha '[/texx] implica [texx]\phi (\alpha )<\phi (\alpha ')[/texx].

          Aquí el orden es el mismo en ambos conjuntos porque la sección está contenida en E y hereda el orden de E.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 05/04/2012, 12:01:58 pm
          Me parece que sale fácil razonando con la Buena Ordenación.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 05/04/2012, 12:03:01 pm
          Cita
          Si [texx]\phi :S_x\to E[/texx] es un isomorfismo ordinal, en particular es una biyección, y además [texx]\alpha <\alpha '[/texx] implica [texx]\phi (\alpha )<\phi (\alpha ')[/texx].

          Aquí el orden es el mismo en ambos conjuntos porque la sección está contenida en E y hereda el orden de E.


          Había, en un principio supuesto algo parecido, pero despues dudé, pues el ejercicio me pide mostrar que ninguna seccion tiene el mismo tipo de orden. Si uso el teorema de buen orden llego a una contradiccion de lo que tengo que mostrar, pues...

          Cualquier sección de E es subconjunto del mismo y por el teorema me aseguro que le induce la relación de buen orden.Entonces?

          mmm, no debo entonces estar comprendiendo lo que me piden hacer. :'(


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 05/04/2012, 12:07:05 pm
          Cualquier sección de E es subconjunto del mismo y por el teorema me aseguro que le induce la relación de buen orden.Entonces?

          Claro, en la sección tenés que considerar el orden inducido o heredado que obtiene por ser subconjunto de E.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 05/04/2012, 12:39:46 pm
          Creo que primero convendría probar (si es que no figura ya como teorema o ejercicio previo) que la imagen de un isomorfismo ordinal de una sección es de nuevo una sección.

          Sean D, E conjuntos bien ordenados, y sea [texx]h[/texx] un isomorfismo ordinal de D en E.
          Sea [texx]x[/texx] un elemento de D, y sea [texx]S_x[/texx] la sección correspondiente.
          Mostraremos que [texx]h(S_x)=S_{h(x)}[/texx].

          En efecto, sea  [texx]z=h(x)[/texx] la imagen en E de x.
          Si [texx]\beta < z[/texx] entonces [texx]\alpha =h^{-1}(\beta )<x[/texx], porque tanto h como su inversa conservan el orden.
          Esto muestra que [texx]\beta \in h(S_x)[/texx].

          Además, si [texx]\beta \geq z[/texx], entonces [texx]\alpha \geq x[/texx], otra vez porque h y su inversa conservan el orden, y así [texx]\beta \not\in h(S_x)[/texx].

          En conclusión, [texx]h(S_x)=S_z=S_{h(x)}[/texx], con lo cual hemos probado que la imagen de una sección en D es una sección en E.

          __________________

          (Lo que sigue está mal, no sale así). Después de probar este resultado, usando ahora que [texx]x\in E[/texx], vemos que la sección [texx]S_x[/texx] no es todo E, puesto que [texx]x[/texx] mismo no está en [texx]S_x[/texx].
          La imagen de [texx]x[/texx] es algún elemento [texx]z=\phi (x)\in E[/texx], y de nuevo [texx]S_z[/texx] no es todo E, porque no contiene al elemento [texx]z[/texx].
          Sin embargo, la imagen de [texx]S_x[/texx] por [texx]\phi [/texx] es la sección [texx]S_z[/texx], que ya sabemos que no es todo E.

          Esto demuestra que ninguna sección de E tiene el mismo tipo de orden que E.

          _________________

          Es importante señalar que puede haber subconjuntos de E con el mismo tipo de orden que E, pero dichos subconjuntos no serán Secciones de E, por lo que acabamos de probar.

          Por ejemplo, el conjunto de los números impares tiene el mismo tipo de orden que el conjunto "E" de los números naturales.




          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 05/04/2012, 01:25:06 pm
          la verdad...muchas gracias por ayudarme!

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 03/05/2012, 06:32:35 pm
          Buenas...

          En el ejercicio 14.7 me piden determinar relaciones de inclusiones entre topologias, tuve un inconveniente en relacionar la topologia de los complementos (Tf) con la topologia generada por la base [texx]{(\infty,a)/ a\in{\mathbb{R}} \}[/texx] (Tr)


          intuitivamente puedo deducir que [texx]Tr\not\subset{Tf} \wedge Tf\not\subset{Tr}[/texx]

          La primera no inclucion la demuestro haciendo...

          Los elementos de Tf tienen la forma, [texx]U=\mathbb{R}-\displaystyle\bigcup_{k=1}^{k=n}{x_k }[/texx]

          [texx](\infty,a)\neq{ \displaystyle\bigcup{U}}[/texx] pues [texx]\forall{x>a,x\not\in{(\infty,a)}} \wedge  x\in{ \displaystyle\bigcup{U }}[/texx]

          Y como hago la otra?

          Desde ya muchas gracias


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 03/05/2012, 06:58:18 pm
          La notación está muy confusa, imagino que por culpa del Latex.

          Supongo también que te referís a la topología de los complementos FINITOS (no de los "complementos").
          Ambas topologías en R.

          Bueno, sean pues [texx]T_f,T_r[/texx] las topologías que indicaste.

          La topología [texx]T_r[/texx] sólo contiene intervalos [texx](-\infty,a)[/texx].

          Obviamente, un tal elemento de [texx]T_r[/texx] no tiene complemento finito, porque [texx][a,\infty)[/texx] es el complemento respecto R, que no es finito.
          Por otra parte, si [texx]U[/texx] es un abierto no trivial en [texx]T_f[/texx], entonces su complemento es finito, y suopngo que lo que quisiste denotar son los puntos [texx]x_1,...,x_n[/texx] del complemento.

          Conviene pensar que esos puntos están ordenados, o sea, [texx]x_1< x_2< ...< x_n[/texx].
          Esto está bien porque son finitos, y luego hay un mínimo elemento, otro que le sigue, etc.

          Entonces se escribe: [texx]U=R\setminus \{x_1,...,x_n\}=(-\infty,x_1)\cup \bigcup _{k=1}^{n-1}(x_{k},x_{k+1})\cup (x_n,\infty)[/texx]

          La pregunta es si ese conjunto puede pertenecer a [texx]T_r[/texx].

          La respuesta es que no, porque ese conjunto on es de la forma [texx](-\infty,a)[/texx] para algún [texx]a\in R[/texx].

          Si lo fuera, estaría acotado por algún número real [texx]a[/texx], pero esto no sucede, porque [texx]U[/texx] contiene al intervalo no acotado [texx](x_n,\infty)[/texx]. (Lo aclaro por si no me creías lo que puse arriba).

          ___________

          Así que esas dos topologías no pueden ser comparables.

          Ninguna estará contenida en la otra.



          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 03/05/2012, 10:25:28 pm
          Hola Alejandra.

          Un colega me hizo notar que tengo un error en el modo en que planteé el siguiente ejercicio, que me consultaste la vez pasada:

          Creo que primero convendría probar (si es que no figura ya como teorema o ejercicio previo) que la imagen de un isomorfismo ordinal de una sección es de nuevo una sección.

          Sean D, E conjuntos bien ordenados, y sea [texx]h[/texx] un isomorfismo ordinal de D en E.
          Sea [texx]x[/texx] un elemento de D, y sea [texx]S_x[/texx] la sección correspondiente.
          Mostraremos que [texx]h(S_x)=S_{h(x)}[/texx].

          En efecto, sea  [texx]z=h(x)[/texx] la imagen en E de x.
          Si [texx]\beta < z[/texx] entonces [texx]\alpha =h^{-1}(\beta )<x[/texx], porque tanto h como su inversa conservan el orden.
          Esto muestra que [texx]\beta \in h(S_x)[/texx].

          Además, si [texx]\beta \geq z[/texx], entonces [texx]\alpha \geq x[/texx], otra vez porque h y su inversa conservan el orden, y así [texx]\beta \not\in h(S_x)[/texx].

          En conclusión, [texx]h(S_x)=S_z=S_{h(x)}[/texx], con lo cual hemos probado que la imagen de una sección en D es una sección en E.

          __________________

          Después de probar este resultado, usando ahora que [texx]x\in E[/texx], vemos que la sección [texx]S_x[/texx] no es todo E, puesto que [texx]x[/texx] mismo no está en [texx]S_x[/texx].
          La imagen de [texx]x[/texx] es algún elemento [texx]z=\phi (x)\in E[/texx], y de nuevo [texx]S_z[/texx] no es todo E, porque no contiene al elemento [texx]z[/texx].
          Sin embargo, la imagen de [texx]S_x[/texx] por [texx]\phi [/texx] es la sección [texx]S_z[/texx], que ya sabemos que no es todo E.

          Esto demuestra que ninguna sección de E tiene el mismo tipo de orden que E.


          Te invito a que intentes resolverlo de nuevo por tu cuenta.

          El inconveniente principal es que en ninguna parte he usado la hipótesis de buena ordenación de E.

          Además, aunque el 1er resultado auxiliar que probé es cierto en general, y puede ser útil tenerlo a mano, no sirve para ese ejercicio.

          Disculpas por el error, y que andes bien.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 04/05/2012, 07:50:28 pm
          Hola!! gracias por avisar. Lo repasaré otra vez...

          Espero no molestar... en el ejercicio 16.3 tengo que decir si ciertos conjuntos son abiertos en Y y [texx]\mathbb{R}[/texx] pero no sé si la manera en que estoy resolviendo el ejercicio es correcto...

          [texx]A={  x | 0.5<|x|<1 \}[/texx], en conclusión digo que si, pertenecen a ambos.

          Análisis: [texx](-1,-0.5)=(-1,-0.5)\cap{[-1,1]}[/texx] donde [texx](-1,-0.5)\in{\mathbb{R}}[/texx]
          análogo para el otro conjunto.

          [texx](-1,-0.5)\cup{(0.5,1)}= \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{(a_i,b_i) }[/texx]

          B=[texx]\{ x | 0.5\leq{|x|}<1\}[/texx]

          [texx]B\not\in{\tau_y}[/texx]

          no existe [texx]M\in{\tau_\mathbb{R}}/ (-1,-0.5]=[-1,1]\cap{M}[/texx] pues M es de la forma (a,b)

          [texx]B\not\in{\tau_\mathbb{R}}[/texx]
          supongamos que [texx][0.5,1)= \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{(a_i,b_i) }[/texx]
          [texx]\exists{i_o\in{I}}/0.5\in{(a_i_o,b_i_o)}\rightarrow{a_i_o<0.5<b_i_o}\rightarrow{[0.5,1)\subset{(a_i_o,b_i_o)}}[/texx] absurdo

          E=[texx]\{ x | 0\leq{|x|}<1 y 1/x con x\in{\mathbb{Z_+}}\}[/texx]

          por intuición digo que pertenece a ambos, pero ahora cómo puedo realizar un análisis?

          Saludos y muchas gracias  :laugh:


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 05/05/2012, 12:17:17 am

           en el ejercicio 16.3 tengo que decir si ciertos conjuntos son abiertos en Y y [texx]\mathbb{R}[/texx] pero no sé si la manera en que estoy resolviendo el ejercicio es correcto...

          [texx]A={  x | 0.5<|x|<1 \}[/texx], en conclusión digo que si, pertenecen a ambos.

          Análisis: [texx](-1,-0.5)=(-1,-0.5)\cap{[-1,1]}[/texx] donde [texx](-1,-0.5)\in{\mathbb{R}}[/texx]
          análogo para el otro conjunto.

          [texx](-1,-0.5)\cup{(0.5,1)}= \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{(a_i,b_i) }[/texx]

          Esto está bien planteado, pero está mal redactado.
          A lo último escribiste el conjunto [texx]A[/texx] como unión de intervalos.
          ¿Para qué?
          ¿Y cuáles intervalos? ¿O qué quisiste decir ahí?

          Lo que estás intentando demostrar es que [texx]A[/texx] es abierto en la topología de subespacio de [texx]Y=[-1,1][/texx].
          Entonces eso es lo que tenés que dejar claro en tu argumentación.
          Lo podés decir con símbolos o con palabras, pero tiene que ser claro, eso es lo que importa.

          Podrías decir algo como esto: "Hemos podido escribir [texx]A[/texx] como unión de (dos) conjuntos abiertos en la topología de subespacio [texx]Y[/texx], por lo tanto [texx]A[/texx] es abierto en dicha topología".

          O bien, en símbolos:

          Puesto que [texx]A=(-1,-0,5)\cup (0,5,1)[/texx] y [texx](-1,-0,5),(0,5,1)\in\tau_Y[/texx], entonces [texx]A\in Y[/texx].

          Cita
          B=[texx]\{ x | 0.5\leq{|x|}<1\}[/texx]

          [texx]B\not\in{\tau_y}[/texx]

          no existe [texx]M\in{\tau_\mathbb{R}}/ (-1,-0.5]=[-1,1]\cap{M}[/texx] pues M es de la forma (a,b)


          Esto está incompleto e impreciso.

          Pareciera que estás tratando de trabajar con elementos de la base, pero faltan cosas que probar.

          La idea es ésta:

          * Todo abierto en una topología se puede escribir como unión de elementos de alguna base, si te dan alguna.
          * Para demostrar que un conjunto no es abierto en esa topología, razonamos por absurdo pensando que sí es abierto.
          * Pero si es abierto, es unión de (algunos de los) elementos de la base, siempre.
          * Luego, cada punto del conjunto está cubierto por algún elemento de la base, que a su vez está contenido en el conjunto.
          * Si hallamos un tal elemento de la base que está contenido en el conjunto... pero a la vez no lo está, llegamos al absurdo buscado.

          Siguiendo ese camino, dibujando los intervalos en un borrador, y especulando con lo que va pasando, vamos obteniendo esto:

          (1) Supongamos que [texx]B\in\tau_Y[/texx] (o sea, abierto en la topología subespacio [texx]Y[/texx]).
          (2) Entonces existe una familia [texx]\{M_j\}_{j\in J}[/texx] de elementos básicos de [texx]\tau_Y[/texx] tal que [texx]U=\bigcup _{j\in J}M_j[/texx].
          (3) En particular, existe [texx]j\in J[/texx] tal que [texx]0,5\in M_j[/texx]. Llamémosle [texx]M[/texx] a este elemento [texx]M_j[/texx], para seguir tu notación.
          (4) Como la base de [texx]\tau_Y[/texx] se obtiene intersecando intervalos abiertos  (básicos de R) con [texx]Y[/texx], tenemos que: existe [texx](a,b)[/texx] tal que [texx]M=Y\cap (a, b)[/texx].
          (Llegamos a lo que vos escribiste).

          Vos lo hiciste con -0,5, y yo lo hice con 0,5... pero es lo mismo.

          En resumen, tenemos estos hechos importantes, que conducirán a lo que buscamos:

          [texx]0,5\in M, M\subset B[/texx] (pues [texx]M[/texx] era uno de los [texx]M_j[/texx] de la unión).

          (5) Fijate que el intervalo [texx](a,b)[/texx] podría ser muy grande, y no nos sirve para el análisis que estamos haciendo. Necesitamos llegar a una contradicción, y para eso basta observar lo que pasa "localmente", o sea "cerquita" del punto 0,5.

          (6) Entonces observamos que si [texx]0< a'< 0,5[/texx] y si [texx]a< a'[/texx], entonces [texx]M'=(a',b)\cap Y[/texx] es un conjunto aún más pequeño, y que todavía está contenido en [texx]B[/texx], pues: [texx]M'\subset M\subset B[/texx].

          Además, también sigue ocurriendo que [texx]0,5\in M'[/texx].

          Así que tomaremos [texx]M[/texx] ó [texx]M'[/texx] como nuestro conjunto básico, según lo que nos convenga.

          Voy a denotar a ambos con la misma [texx]M[/texx]... mmmmm

          Tenemos ahora que [texx]M=(a,b)\cap [-1,1][/texx] es un intervalo de números reales que contiene al elemento 0,5.
          (Esto es un hecho elemental de los números reales, o sea: la intersección de dos intervalos que tienen un punto en común, es de nuevo un intervalo que contiene a ese punto común).

          Pero observemos que el intervalo [texx](a, 0,5][/texx] está contenido en [texx]M[/texx], que a su vez está contenido en [texx]B[/texx].
          Esto quiere decir que [texx]B[/texx] contiene elementos [texx]x[/texx] que están entre [texx]a[/texx] y [texx]0,5[/texx], y mayores todavía que -0,5...

          Esto es absurdo.

          _______________

          Me paré en muchos detalles, por las dudas.
          No sé si vos tenés que escribir tantos detalles.

          En realidad, para no dar tantas vueltas, lo que conviene es ir comprendiendo cómo se trabaja con elementos básicos.

          En este caso, lo que hicimos fue un análisis "localizado" del conjunto [texx]B[/texx].
          O sea, nos paramos en un punto [texx]x[/texx] (x = 0,5) del que sospechamos que tiene un comportamiento anómalo, y a partir del cual hallaremos una contradicción.

          (O sea, si B no es abierto, es por "culpa" del 0,5).

          Cuando se hace un análisis "localizado", conviene hacerlo con elementos de la base tan "pequeños" como sea necesario.
          Si uno tiene un elemento M de la base, contenido en B, que contiene el punto x, siempre puede encontrar un elemento básico N que siga cumpliendo lo mismo que M, pero que sea más chico que M.

          Esto se infiere de las propiedades de las bases, y es una propiedad útil, pues en topología, muchas veces, conviene irse "tan cerca" como se pueda.
          Después de todo, la topología tiene que ver con continuidad y procesos de límite.

          Hay que acostumbrarse a manejar con soltura "entornos pequeños alrededor de un punto dado".


          Cita
          [texx]B\not\in{\tau_\mathbb{R}}[/texx]
          supongamos que [texx][0.5,1)= \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{(a_i,b_i) }[/texx]
          [texx]\exists{i_o\in{I}}/0.5\in{(a_i_o,b_i_o)}\rightarrow{a_i_o<0.5<b_i_o}\rightarrow{[0.5,1)\subset{(a_i_o,b_i_o)}}[/texx] absurdo

           

          Esta parte es muy parecido a la anterior, y sospechosamente lo resolviste mucho mejor.
          Quizás es porque la topología es la de R, y no la topología relativa...

          Lo que hiciste mal es el último paso, porque eso no es cierto en general, y además el absurdo no sale así.

          Lo que vos tenés es que [texx](a_{i_o},b_{i_o})\subset B[/texx], por la manera en que escribiste B, como unión de esos intervalos...

          Pero entonces, como  [texx]a_{i_o}< 0,5< b_{i_o}[/texx], estás diciendo que los puntos del intervalo [texx](a_{i_o},0,5][/texx] están contenidos en [texx]B[/texx].
          Pero en [texx]B[/texx] no hay puntos que cumplan eso (y que estén "cerquita" del 0,5).
          Ahí está el absurdo.
          La idea es como antes.

          ______________


          A ver si logro simplificar algunas cosas.

          Si en vez de B, tuvieras solamente el conjunto [texx]C=[0,5,1)[/texx], no haría falta hacer esos análisis que hice de irme tan "cerquita" del 0,5.
          De hecho, cualquier intervalo hallado (a, b) en los razonamientos previos, con [texx]a< 0,5< b[/texx] ya sirve, porque [texx](a,0,5][/texx] queda contenido en B, absurdo.

          Acá, lo que "molesta" es que B es unión de dos pedazos, y uno no quiere "mezclar" el pedazo [texx](-1,-0,5][/texx] con el pedazo [texx][0,5,1)[/texx].

          Por eso, se hace un análisis un poquito más fino, y se buscan conjuntos básicos que no sean cualesquiera, sino lo bastante cercanos al 0,5, como para que me "pesquen" puntos del pedazo [texx](-1,-0,5][/texx].
          Lamento no haberlo explicado antes, que puede haber enturbiado las ideas de la demostración.
          Pues en realidad la idea original es muy simple.

          _______________

          En cuanto al conjunto [texx]E[/texx], no sé qué te dice tu intuición, quizás si describieras un dibujo de la situación podría "creerte", jeje.

          Lo que tenés ahí es el intervalo abierto (-1, 1), que es abierto en R, al que le has quitado la sucesión de los números de la forma 1/n, con n = 1, 2, 3, 4, ...

          Cuando uno quita puntos que están "separados" entre sí una cierta distancia, lo que te queda entre dos de ellos es un "intervalo abierto" en la recta.
          O sea que pareciera que sí, que es abierto, porque uno uniría los intervalos intermedios [texx](1/n, 1/(n+1))[/texx], y eso te da un conjunto abierto.

          Sin embargo no es abierto, pues hay un "problemilla" en el punto [texx]x=0[/texx], que es el límite de la sucesión 1/n.
          Esto es un problema "sólo" cuando agregamos los elementos negativos, porque estamos agregando el intervalo [texx](-1,0][/texx], que "intuitivamente" no es un conjunto abierto.
          No hace falta probar que este intervalo no es abierto, pero usaremos esta información para demostrar que E no es abierto.

          Razonamos con bases, como hasta ahora.
          Como sospechamos que el culpable de arruinar el ejercicio es el x = 0, entonces analizamos lo que pasa ahí.

          Supongamos que E es abierto en R.
          En particular, existe un elemento básico [texx](a, b)[/texx]  tal que [texx]0\in (a, b)[/texx] y tal que [texx](a, b)\subset (-1,1)[/texx].

          Tenemos que [texx]a< 0< b[/texx].

          Como 1/n tiende a 0, sabemos que existe un n tal que [texx]0< 1/n <  b[/texx]. Con lo cual [texx]1/n\in (a, b)\subset E[/texx].

          Pero [texx]1/n\not\in E[/texx], y esto es una contradicción.

          Lo mismo pasará para el subespacio Y porque E está contenido en Y.
          ________

          Fijate que las cuentas salen de forma casi automática, una vez que uno se ha situado correctamente en el problema. (En este caso, apuntándole los tiros al x = 0).

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 05/05/2012, 02:59:42 pm
          Cita
          En cuanto al conjunto [texx]E[/texx], no sé qué te dice tu intuición, quizás si describieras un dibujo de la situación podría "creerte", jeje.

          Lo que tenés ahí es el intervalo abierto (-1, 1), que es abierto en R, al que le has quitado la sucesión de los números de la forma 1/n, con n = 1, 2, 3, 4, ...

          Cuando uno quita puntos que están "separados" entre sí una cierta distancia, lo que te queda entre dos de ellos es un "intervalo abierto" en la recta.
          O sea que pareciera que sí, que es abierto, porque uno uniría los intervalos intermedios [texx](1/n, 1/(n+1))[/texx], y eso te da un conjunto abierto.

          Sin embargo no es abierto, pues hay un "problemilla" en el punto [texx]x=0[/texx], que es el límite de la sucesión 1/n.
          Esto es un problema "sólo" cuando agregamos los elementos negativos, porque estamos agregando el intervalo [texx](-1,0][/texx], que "intuitivamente" no es un conjunto abierto.
          No hace falta probar que este intervalo no es abierto, pero usaremos esta información para demostrar que E no es abierto.


          Razonamos con bases, como hasta ahora.
          Como sospechamos que el culpable de arruinar el ejercicio es el x = 0, entonces analizamos lo que pasa ahí.

          Supongamos que E es abierto en R.
          En particular, existe un elemento básico [texx](a, b)[/texx]  tal que [texx]0\in (a, b)[/texx] y tal que [texx](a, b)\subset (-1,1)[/texx].

          Tenemos que [texx]a< 0< b[/texx].

          Como 1/n tiende a 0, sabemos que existe un n tal que [texx]0< 1/n <  b[/texx]. Con lo cual [texx]1/n\in (a, b)\subset E[/texx].

          Pero [texx]1/n\not\in E[/texx], y esto es una contradicción.

          Lo mismo pasará para el subespacio Y porque E está contenido en Y.
          ________

          Fijate que las cuentas salen de forma casi automática, una vez que uno se ha situado correctamente en el problema. (En este caso, apuntándole los tiros al x = 0).

          Saludos


          Si me hubieran dado el conjunto [texx]\{ x | 0<|x|<1 y 1/x con x\in{\mathbb{Z_+}}\}[/texx]

          los intervalos intermedios [texx](1/(n+1), 1/n)[/texx] abiertos en [texx]\mathbb{R}[/texx] y agrregando el intervalo abierto (-1,0) en [texx]\mathbb{R}[/texx] seria por union de conjuntos abiertos un abierto en [texx]\mathbb{R}[/texx]
          Para el subespacio Y digo...

          [texx]E\subset{Y}[/texx] entonces puedo escribir los elementos de E como unión de conjuntos abiertos  de [texx]{\tau_y}[/texx]

          Estaría bien? o habría alguna complicación por el cero?, yo supongo que no, porque a pesar de que el cero este en Y existen elementos básicos de la forma [texx](a,b)\in{\tau_y}[/texx] excluyendo el elemento cero, para el cual pueda escribir a E como unión de los mismos.

          Desde ya muchas gracias, me ha clarificado mejor el tema! muchas gracias por su disposición.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 05/05/2012, 03:06:42 pm
          Es cierto, si de [texx]E[/texx] quitamos el 0, queda abierto en ambas topologías.

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 08/05/2012, 10:14:50 pm
          Hola Argentinator tengo una consulta... las topologias conservan la inclusión? por ejemplo si [texx]\tau_1\subset{\tau_2} \wedge \tau_2\subset{\tau_3}\longrightarrow{\tau_1\subset{\tau_3}}?[/texx]


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 08/05/2012, 10:18:40 pm
          Claro, porque es una mera inclusión de conjuntos.

          :)


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 08/05/2012, 10:44:26 pm
          [texx]\tau_3[/texx] es la topologia de los complementos finitos e [texx]\tau_4[/texx]es la del limite superior y [texx]\tau_1[/texx] es la usual entonces para probar que [texx]\tau_3\subset{\tau_4}[/texx]

          Tomo un elemento básico U de [texx]\tau_3[/texx] este es union de elementos de la topologia usual pues es de la forma (a,b) entonces

          [texx]U=R\setminus \{x_1,...,x_n\}=(-\infty,x_1)\cup \bigcup _{k=1}^{n-1}(x_{k},x_{k+1})\cup (x_n,\infty)

          \tau_3\subset{\tau_1} entonces \tau_3\subset{\tau_4} pues  \tau_1\subset{\tau_4}[/texx]

          ¿Está bien?

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 08/05/2012, 11:01:40 pm
          Está bien, pero en la [texx]\tau_3[/texx] no está bien dicho que tomás "elementos básicos", porque en esa topología nadie ha dado una "base", sino que se define directamente diciendo cuáles son sus abiertos.

          Resulta que todo abierto en esa topología es abierto en [texx]\tau_1[/texx].

          El razonamiento o técnica de los "básicos" vale para incluir [texx]\tau_3[/texx] en [texx]\tau_4[/texx].

          No entiendo a qué te referís con que [texx]U[/texx] es de la forma (a, b), porque no lo es.

          O sea que el resultado está bien, pero la justificación no.   :'(




          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 08/05/2012, 11:05:40 pm
          A veces conviene descansar un poco.  ;D


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 08/05/2012, 11:20:13 pm
          Tomemos un elemento U de [texx]\tau_3[/texx] estos son de la forma


          [texx]U=R\setminus \{x_1,...,x_n\}=(-\infty,x_1)\cup \bigcup _{k=1}^{n-1}(x_{k},x_{k+1})\cup (x_n,\infty)[/texx]

          Todo abierto U en [texx]\tau_3[/texx] es abierto en [texx]\tau_1[/texx]  por qué? por ser unión de abiertos de [texx]\tau_1[/texx] entonces como
          [texx]\tau_3\subset{\tau_1\subset{\tau_4}}\rightarrow{\tau_3\subset{\tau_4}}[/texx]

          Ahora bien cada conjunto de la union es de la forma (a,b) es por eso que digo que son abiertos de [texx]\tau_1[/texx].

          Eso quise decir...pero  :'( tal vez me falta mucha practica para expresarme mejor...


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 08/05/2012, 11:25:04 pm



          Ahora bien cada conjunto de la union es de la forma (a,b) es por eso que digo que son abiertos de [texx]\tau_1[/texx].

          Eso quise decir...


          Esto está bien dicho.

          Y sí, es práctica.

          ¡Suerte!


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 09/05/2012, 10:55:56 am
          Ejercicio 16.5
          X conjunto con la topologia [texx]\tau_x[/texx],   [texx]\ X^{'}[/texx] conjunto con la topologia [texx]\tau^{' }_{x^{'}}[/texx] ,  Y conjunto con la topologia [texx]\tau_y[/texx], [texx]\ Y^{'}[/texx] conjunto con la topologia [texx]\tau^{' }_{y^{'}}[/texx]

          Debo probar que si [texx]\tau_x\subset{\tau^{' }_{x^{'}}} y \tau_y\subset{\tau^{' }_{y^{'}}}[/texx] entonces [texx]\tau_p\subset{\tau^{' }_{p^{'}}}[/texx] siendo las topologias producto sobre XxY, [texx]\ X^{'}\times{\ Y^{'}}[/texx] respectivamente

          Sea [texx]\{B_x}[/texx] la base que genera a [texx]\tau_x[/texx]
          Sea [texx]\{B^{'}_{x^{'}}}[/texx] la base que genera a [texx]\tau^{' }_{x^{'}}[/texx]
          Sea [texx]\{B_y}[/texx] la base que genera a [texx]\tau_y[/texx]
          Sea [texx]\{B^{'}_{y^{'}}}[/texx] la base que genera a [texx]\tau^{' }_{y^{'}}[/texx]

          [texx]U\in{\tau_p}\rightarrow{U=\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{{B_i\times{{C_i : B_i\in{{B_x}}}\wedge C_i\in{{B_y} }}}\rightarrow{U=\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{{B_i\times{{C_i : B_i\in{{\tau_x}}}\wedge C_i\in{{\tau_y} }}}\rightarrow{U=\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{{B_i\times{{C_i : B_i\in{{\ tau^{' }_{x^{'}}}}}\wedge C_i\in{{\ tau^{' }_{y^{'}}} }}}\rightarrow{U\in{\ tau^{' }_{p^{'}}}}[/texx]


          b) Sean [texx]B_1 , B_2 \in{{B_x}}[/texx] ambos iguales al vacio y [texx]C_1, C_2 \in{}{B_y}|C_1, C_2\not\in{B^{'}_{y^{'}}} [/texx]

          queremos ver que la reciproca no se cumple es decir que [texx]\tau_p\subset{\tau^{' }_{p^{'}}}\rightarrow{]\tau_x\subset{\tau^{' }_{x^{'}}} y \tau_y\subset{\tau^{' }_{y^{'}}}}[/texx]

          Entonces supongamos por absurdo que se cumple entonces sea [texx]V=B_1\times{C_1}\cup{B_2\times{C_2}} y U={B^{'}_1\times{{C^{'}_1}}\cup{B^{'}_2\times{{C^{'}_2}}}}[/texx] entonces [texx]V=\emptyset\subset{U}[/texx] pero a pesar de que [texx]{B_x}\subset{{B^{'}_{x^{'}}}}[/texx] no ocurre que [texx]{B^{'}_{x^{'}}}\subset{{B^{'}_{y^{'}}}}[/texx] Absurdo!



          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 09/05/2012, 11:49:53 am
          En el (a) estás asumiendo que hay una base en X, X', Y, Y', cuando eso no siempre se tiene, debido a que la base alguien te la tiene que dar.

          (En realidad una topología es trivialmente una "base" que genera su propia topología..., o sea que técnicamente no es incorrecto lo que escribiste).

          Es más interesante aprovechar las técnicas de bases para la topología producto, ya que ahí es donde simplifican el desarrollo.

          Así, basta demostrar que si [texx]U\times V[/texx] es básico en la topología producto [texx]\tau_p[/texx], entonces es un abierto en [texx]\tau_p'[/texx].

          Pero esto es trivial ya que, si [texx]B[/texx] es básico en [texx]\tau_p[/texx], entonces [texx]B[/texx] es de la forma [texx]B=U\times V[/texx], con [texx]U\in \tau_X,V\in \tau_Y[/texx] (o sea, abiertos cualesquiera, no hace falta que sean básicos).

          Pero, debido a las inclusiones de topologías del enunciado, se tiene ahora que [texx]U\in\tau_{X'},V\in\tau_{Y'}[/texx].
          Se deduce entonces que [texx]U\times V[/texx] es básico en [texx]X'\times Y'[/texx], por lo tanto es abierto en esa topología.

          Esto implica que todo abierto en [texx]\tau_p[/texx] es abierto en [texx]\tau_{p'}[/texx], lo cual se prueba de un modo totalmente rutinario, escribiendo cada abierto como unión de elementos de la base.

          Pero esto último, que es rutina, conviene dejarlo para el final, y centrarse en la prueba de más arriba en lo que ocurre con los conjuntos "básicos".

          Vos arrancaste directamente desde los abiertos de la topología producto, y eso no está mal, pero no le veo utilidad a que hayas empleado básicos en cada coordenada, para después no aprovechar los básicos en la topología producto.

          Pero parece que tus cuentas son correctas a pesar de que el enfoque no es el más óptimo.
          ________

          En la parte (b) no entiendo qué estás haciendo, imagino que buscás un contraejemplo.
          Pero el conjunto vacío en general no se toma como elemento de una base, no podés asumir que el vacío es elemento de una familia de conjuntos básicos.

          Tampoco sirve pensar en topologías vacías.
          Eso no sé qué tan claro está en cada libro, pero en general no se aceptan conjuntos vacíos como espacios topológicos.

          Así que, si bien el vacío te destroza los productos cartesianos como conjuntos, en el caso del tema de topología no se podría usar con esa intención.

          El enunciado asume que los productos satisfacen [texx]\tau_p\subset \tau_{p'}[/texx].
          Para ver que las topologías en cada coordenada X, Y, son más gruesas que cada coordenada X', Y',
          basta usar proyecciones.
          Hay que tomar preimágenes e imágenes de proyecciones, y jugando con eso vas a ver que te salen las inclusiones en cada coordenada.

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 09/05/2012, 02:49:56 pm

          En la parte (b) no entiendo qué estás haciendo, imagino que buscás un contraejemplo.
          Pero el conjunto vacío en general no se toma como elemento de una base, no podés asumir que el vacío es elemento de una familia de conjuntos básicos.

          Tampoco sirve pensar en topologías vacías.
          Eso no sé qué tan claro está en cada libro, pero en general no se aceptan conjuntos vacíos como espacios topológicos.

          Así que, si bien el vacío te destroza los productos cartesianos como conjuntos, en el caso del tema de topología no se podría usar con esa intención.

          El enunciado asume que los productos satisfacen [texx]\tau_p\subset \tau_{p'}[/texx].
          Para ver que las topologías en cada coordenada X, Y, son más gruesas que cada coordenada X', Y',
          basta usar proyecciones.
          Hay que tomar preimágenes e imágenes de proyecciones, y jugando con eso vas a ver que te salen las inclusiones en cada coordenada.

          Saludos


          Lo estuve pensando y lo desarrolle de la siguiente manera...

          Hipotesis: [texx]\tau_p\subset{\tau^{' }_{p^{'}}}[/texx]
          Tesis: [texx]\tau_x\subset{\tau^{' }_{x^{'}}} y \tau_y\subset{\tau^{' }_{y^{'}}}[/texx]

          supongamos que [texx]U\in\tau_x,V\in\tau_y[/texx] notemos que U,V son abiertos en [texx]\tau_x[/texx] y [texx]\tau_y[/texx] respectivamente
          Defino la proyeccion [texx]\pi_1:X\times Y\to X[/texx] y [texx]\pi_2:X\times Y\to Y[/texx]
          si [texx]U\subset X,V\subset Y[/texx] se tiene que [texx]\pi_1^{-1}(U)=U\times Y,\qquad \pi_2^{-1}(V)=X\times V[/texx]
          [texx]U\times V=\pi_1^{-1}(U)\cap{ \pi_2^{-1}(V)}[/texx] con  [texx]U\in\tau_x,V\in\tau_y[/texx] entonces por definicion de topologia producto sobre XxY se tiene que es aquella en la que todo abierto básico de [texx]\tau_p[/texx] es de la foma WxM con [texx]W\in\tau_x,M\in\tau_y[/texx] entonces UxV responde a esa forma entonces UxV es basico en XxY por lo tanto es abierto en [texx]\tau_p[/texx] y por hipotesis  [texx]\tau_p\subset{\tau^{' }_{p^{'}}}[/texx] entonces UxV es basico de [texx]X'\times Y'[/texx] por lo tanto es abierto en [texx]\tau^{' }_{p^{'}}[/texx] es decir [texx]U\in{\tau^{'}_{x'}} y V\in{\tau^{'}_{y'}}[/texx]. que era lo que queriamos probar...

          Uff costo...   :o es asi la idea? ::)


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 09/05/2012, 05:15:27 pm
          Sí, esa es la idea.

          Después te voy a pulir unos muy pequeños detalles técnicos.

          Pero está muy bien resuelto.

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 09/05/2012, 06:09:31 pm
          Los ejercicios 16.8 y 16.9 los he resuelto pero son muy largos para escribirlos por aca, ajjajajjaja por eso quisiera decirle los resultados que obtuve para saber si los hice bien...

          Ej.16.8
          a) La topologia del limite inferior es la que mas se aproxima a la topologia como subespacio de [texx]R_{l}\times{R}[/texx]
          b) En este me quedan tres casos que generan la topologia del limite inferior y una sola que me genera la topologia discreta

          Ej.16.9
          b)son comparables...osea obtuve que la topologia usual es mas gruesa que la topologia producto sobre  [texx]{R_{d}\times{R}[/texx]

          ahora intentare el 16.10

          Desde ya muchas gracias... :D


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 09/05/2012, 09:23:11 pm
          Lo estuve pensando y lo desarrolle de la siguiente manera...

          Hipotesis: [texx]\tau_p\subset{\tau^{' }_{p^{'}}}[/texx]
          Tesis: [texx]\tau_x\subset{\tau^{' }_{x^{'}}} y \tau_y\subset{\tau^{' }_{y^{'}}}[/texx]

          supongamos que [texx]U\in\tau_x,V\in\tau_y[/texx] notemos que U,V son abiertos en [texx]\tau_x[/texx] y [texx]\tau_y[/texx] respectivamente
          Defino la proyeccion [texx]\pi_1:X\times Y\to X[/texx] y [texx]\pi_2:X\times Y\to Y[/texx]
          si [texx]U\subset X,V\subset Y[/texx] se tiene que [texx]\pi_1^{-1}(U)=U\times Y,\qquad \pi_2^{-1}(V)=X\times V[/texx]
          [texx]U\times V=\pi_1^{-1}(U)\cap{ \pi_2^{-1}(V)}[/texx] con  [texx]U\in\tau_x,V\in\tau_y[/texx] entonces por definicion de topologia producto sobre XxY se tiene que es aquella en la que todo abierto básico de [texx]\tau_p[/texx] es de la foma WxM con [texx]W\in\tau_x,M\in\tau_y[/texx] entonces UxV responde a esa forma entonces UxV es basico en XxY por lo tanto es abierto en [texx]\tau_p[/texx] y por hipotesis  [texx]\tau_p\subset{\tau^{' }_{p^{'}}}[/texx] entonces UxV es basico de [texx]X'\times Y'[/texx] por lo tanto es abierto en [texx]\tau^{' }_{p^{'}}[/texx] es decir [texx]U\in{\tau^{'}_{x'}} y V\in{\tau^{'}_{y'}}[/texx]. que era lo que queriamos probar...

          Uff costo...   :o es asi la idea? ::)

          Bueno, vuelvo otra vez sobre este ejercicio.

          Lo que voy a hacerte es un comentario "accesorio", para ayudar a pulir las ideas, puesto que el ejercicio está correcto.

          Cuando tomaste las preimágenes por las proyecciones, obtuviste los conjuntos UxY y XxV.
          Esos conjuntos "ya" son abiertos en la topología producto XxY, y en particular son abiertos en X'xY'.
          Por lo tanto, si los volvés a proyectar, al 1ero en el eje X y al 2do en el eje Y, vas a obtener que U es abierto en X' y que V es abierto en Y'.

          A lo que voy con esto es que "no estabas obligada" a considerar el conjunto producto _UxV para poder trabajar.
          No te marco esto por molestar, sino que, en algún ejercicio distinto a éste, con el mismo enfoque, te podrías llegar a trabar, si es que creés que estás "obligada" a usar el conjunto UxV.

          Por otra parte, en cierto modo, el hecho de haber usado el conjunto UxV ahorra algo de "tinta".



          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 09/05/2012, 09:32:34 pm
          Respecto el ejercicio 16.8, ya lo discutimos con un par de amigos de este curso.

          Te copio la discusión que tuvimos por ejemplo con enloalto.

          La cuestión es que el Munkres no es muy claro en lo que pretenden en este ejercicio, puesto que afirma que uno obtiene una topología "familiar", pero sin embargo uno necesita el concepto de "homeomorfismo" para poder decir que "es la misma topología" que, por ejemplo [texx]R_\ell[/texx], cuando se presenta.

          Y eso viene en una sección posterior. Así que bueno, cuando veas lo de espacios homeomorfos, podrás decir algo más preciso que "lo más parecido" o "familiar", y decir algo concreto como "homeomorfo a".



          Ejercicio 16.8. Si [texx]L[/texx] es una recta en el plano, describa la topología que [texx]L[/texx] hereda como subespacio de [texx]\mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}}[/texx] y como subespacio de [texx]\mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}_l}[/texx]. En ambos casos se trata de una topología conocida.

          Solución.

          No la he resuelto, pero pongo mi intento. Tengo problemas en definir a L, la que se me ocurre es
          [texx]L=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}|y=mx+n\mbox{, m y n números reales}\}[/texx].
          Para estudiar la topología, voy a ver que sucede con la base.

          Sea [texx]U[/texx] un elemento básico de la base del subespacio que L hereda de [texx]\mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}}[/texx], entonces existen [texx][a,b)\in{B_{\mathbb{R}_l}}[/texx] y [texx](c,d)\in{B_{\mathbb{R}}}[/texx] tal que
          [texx]U=L\cap{([a,b)\times{(c,d)})}[/texx]
          Entonces, si [texx](w,z)\in{U}[/texx], se tiene que
          [texx]z=mw+n[/texx] y [texx]a\leq{w}<b[/texx] y [texx]c<z<d[/texx], de aquí

          Aca tendría que estudiar dos casos:
          1) [texx]m>0[/texx]
          entonces [texx]ma+n\leq{mw+n}<mb+n\Rightarrow{ma+n\leq{z}<mb+n}[/texx] y [texx]c<z<d[/texx].
          Es decir [texx]z\in{[ma+n,mb+n)\cap{(c,d)}}[/texx].
          Ahi me quedo  :banghead: :banghead:




          En los ejercicios donde hay "planos", "rectas" y cosas por el estilo, incluso tambien "intervalos" y "rayos", es siempre buena idea hacer el dibujo y tratar de comprender la situación geométrica.

          ¿Qué aspecto tiene un elemento típico de la base en la topología de [texx]L[/texx]?

          Claro que hay que separar en casos...
          Sin embargo, toda recta [texx]L[/texx] en el plano tiene un orden estándar.
          Esto es típico de la geometría plana.

          Estableciendo el orden "natural" de la recta [texx]L[/texx], se puede definir allí la topología de los intervalos semiabiertos por la izquierda, y denotamos con [texx]L_\ell[/texx] a la recta cuando la miramos con esa topología.

          Ahora te pregunto si al considerar [texx]L[/texx] como subespacio de [texx]\mathbb{R}_\ell\times \mathbb R[/texx] tiene la topología de [texx]L_\ell[/texx].

          Para trabajar con comodidad, hay que probar que la intersección de dos intervalos da otro intervalo, y conviene tener claro qué tipo de intervalo da en cada caso (abierto, semiabierto, etc.).

          Una vez probado eso, la traducción de la geometría a la forma analítica es casi directa.
          Aunque se dan varios casos distintos, según como se efectúen las "intersecciones" con distintos elementos de la base de [texx]\mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R}[/texx]

          Consideremos primero una recta con pendiente positiva.

          La base de la topología de subespacio de [texx]\mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R}[/texx] contiene a todos los elementos de la topología de [texx]L_\ell[/texx].
          También contiene a los "intervalos abiertos" de [texx]L[/texx] con su "orden natural". Pero estos conjuntos ya son "abiertos" en [texx]L_\ell[/texx], así que no estamos agregando nada a la topología, aunque sí que la "base" subespacio obtenido es mayor...

          ¿Hay otros elementos posibles en la base de subespacio para L?
          Hay 4 casos tipicos posibles, y la respuesta sería, según veo, que no.
          (Se puede disentir, claro está!!! ...)

          Así que la topología sería la de [texx]L_\ell[/texx], aunque la base obtenida sea mayor.

          El conjunto vacío pertenece también a la base en este caso.

          ------------------------------------------------------------------------------------

          Supongamos ahora que [texx]L[/texx] tiene pendiente nula, o sea, [texx]L[/texx] es horizontal.
          La situación que se obtiene es similar al caso anterior, salvo que la base es la misma que la  [texx]L_\ell[/texx], aunque con el agregado del conjunto vacío.

          Así que obtenemos otra vez [texx]L_\ell[/texx].

          ------------------------------------------------------------------------------

          Si la recta [texx]L[/texx] es vertical, se obtiene la base de segmentos "abiertos", o sea, "sin extremos". Esto nos daría la "topología del orden" de la recta L, que difiere claro está de [texx]L_\ell[/texx].


          --------------------------------------------------------------------------------

          El último caso a analizar es el de las rectas de pendiente negativa.

          La situación es la misma que para las pendientes positivas, aunque con algunas salvedades en el camino.
          Por ejemplo, con el orden natural respecto a la orientación del eje x, la recta [texx]L[/texx] puede considerarse como ordenada "al revés".
          Además, la prueba no es exactamente igual, porque los "bordes" de [texx]R_\ell[/texx] quedan del lado izquierdo siempre, mientras que la inclinación de las rectas ha quedado ahora para el lado opuesto.

          Así que podríamos decir que la topología es la de [texx]L_\ell[/texx], pero teniendo cuidado de decir en qué sentido se toma el orden en [texx]L[/texx].



          -----------------------------------------------------------------------------------------------------

          Ahora pasemos a las rectas [texx]L[/texx] como subespacios de [texx]\mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R}_\ell[/texx].

          Para las rectas [texx]L[/texx] de pendiente vertical se obtiene de nuevo [texx]L_\ell[/texx].

          Cuando la recta [texx]L[/texx] es horizontal, se obtiene de nuevo [texx]L_\ell[/texx].

          Cuando la recta [texx]L[/texx] es vertical, ahora la cosa cambia, y se obtiene [texx]L_\ell[/texx].

          Finalmente, cuando la recta [texx]L[/texx] tiene pendiente negativa, se obtiene la topología discreta de [texx]L[/texx].
          ¿Por qué? Bastaría probar que cada punto en L es abierto.

          ¿Y por qué en el resto del ejercicio no se obtuvo la topología discreta?


          -------------------------------------------------------------------------------------------

          Lo que no entiendo del ejercicio es por qué dice que lo que se obtiene es una "topología familiar". No sé a qué se refiere.

          La cuestión es que si uno le da a la recta [texx]L[/texx] un sistema de coordenadas, olvidándose de su descripción inicial con coordenadas [texx](x,y)[/texx], lo que se obtiene es que [texx]L[/texx] es ahora "lo mismo" que el sistema de números reales [texx]\mathbb{R}[/texx], y las topologías obtenidas han sido: [texx]\mathbb{R}_\ell,\mathbb{R},\mathbb{R}_d[/texx], según los casos.

          O sea, 3 de las topologías más familiares.

          Esto está bien justificado, si consideramos un isomorfismo algebraico entre el sistema [texx]\mathbb{R}[/texx] de números reales y los puntos de la recta [texx]L[/texx], dados en la forma analítica siguiente (que además sirve de isomorfismo): [texx]t\to (t,mt+b)[/texx], por ejemplo.

          Hasta ahora no hemos visto isomorfismos topológicos,
          pero lo que estamos describiendo es tan sólo un isomorfismo algebraico,
          y sólo cuenta la interacción entre [texx]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/texx] y [texx]L[/texx] con su sistema de coordenadas.

          Y además, cuando hablamos de [texx]\mathbb{R}[/texx], nos estamos refiriendo a "cualquier conjunto que satisfaga los axiomas de los números reales".
          Fijate que en la sección 4 se dan a los reales sólo como axiomas, y todas las propiedades de los reales son aplicables a cualquier sistema algebraico que verifique esos axiomas.

          Parametrizando las rectas en un espacio vectorial, mediante la manera usual del álgebra lineal básica, se obtiene un sistema coordenado sobre dicha recta que satisface los axiomas de números reales, y es isomorfo a cualquier cosa que consideremos como [texx]\mathbb{R}[/texx].

          Ese es el sentido del álgebra lineal, que en cualquier espacio vectorial hay líneas rectas y nociones de paralelismo (suma vectorial).
          Hagamos la salvedad de que, si bien una recta en un espacio vectorial cualquiera tiene una topología idéntica a los reales, si así se desea, esto no quiere decir que el espacio completo esté dotado de alguna topología adecuada.

          -------------------------------------------

          No vislumbro otro sentido de la palabra "familiar" en el enunciado del ejercicio.
          Salvo que me esté saltando algún detalle importante.



          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 09/05/2012, 09:41:07 pm

          Ej.16.9
          b)son comparables...osea obtuve que la topologia usual es mas gruesa que la topologia producto sobre  [texx]{R_{d}\times{R}[/texx]


          Es cierto, pero no es tan extenso el ejercicio que no se pueda escribir acá.

          Basta tomar un básico en [texx]R^2[/texx] y ver si es abierto en [texx]R_d\times R[/texx].

          Es más, podés tomar un "básico cuyas coordenadas son también básicos en [texx]R[/texx]" (fijate que hay algún lema por ahí que te dice que si tomás "básicos" en cada coordenada, eso te genera una "base" del producto [texx]R\times R[/texx]".

          Así que tendrías que tomar un conjunto en [texx]R^2[/texx] de la forma [texx]B=U\times V[/texx], con [texx]U,V[/texx] abiertos en [texx]R[/texx], y verificar que [texx]B[/texx] es abierto en [texx]R_d\times R[/texx].

          Pero [texx]B[/texx] es abierto en [texx]R_d\times R[/texx] porque [texx]R_d[/texx] es [texx]R[/texx] con la topología discreta, en la cual todo conjunto es abierto, o sea que trivialmente [texx]U[/texx] es abierto en [texx]R_d[/texx].
          Y por otro lado, [texx]V[/texx] ya era abierto en [texx]R[/texx].
          O sea que [texx]U\times V[/texx] es abierto en la topología producto [texx]R_d\times R[/texx].

          Y ahí termina.
          No me imagino cómo es que te ha quedado muy largo este ejercicio.

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 09/05/2012, 10:19:51 pm

          Se me hiso largo el ejercicio porque quise gastar tinta ajjajajajja pues ademas probé, que no se puede escribir un abierto de la topologia sobre [texx]R_d\times R[/texx] como union de abiertos de la topologia usual... por eso...  :D


          En realidad eso pasa sòlo "a veces", así que en ese detalle basta conque encuentres un contraejemplo.
          Por ejemplo, como [texx]\{0\}[/texx] es abierto en [texx]R_d[/texx], tendrás que [texx]\{0\}\times R[/texx] es abierto en [texx]R_d\times R[/texx].

          Pero ese conjunto no puede ser abierto en la topología usual, porque si fuera abierto, su proyección sería abierta también en la topología usual de R... pero su proyección es el conjunto [texx]\{0\}[/texx] en [texx]R[/texx], que no es abierto en la topología usual de R.

          (Otra manera de ver esto último, sin proyecciones, es pararse en un punto, digamos el (0, 0), y ver que no es un "punto interior" del conjunto [texx]\{0\}\times R[/texx] en la topología usual, porque en tal caso tendría que haber algún rectángulo abierto que contenga al (0, 0) contenido en el conjunto, lo cual no es posible).


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 09/05/2012, 10:20:29 pm
          en cuanto al ejercicio 16.8 por lo que leo llegamos a la misma conclusión  ;D
          en cuanto al ejercicio 16.9..

          [texx]B_d[[/texx] base para la topologia usual ([texx]\tau_d[/texx]) sobre RxR
          [texx]B_p[/texx] para para la topologia producto ([texx]\tau_p[/texx]) sobre [texx]R_d\times R[/texx]
          [texx]\forall{(x,y)}\in{RxR} (xb)\times{(cd)}\in{B_d}/ (xy)\in{(xb)\times{(cd)}} \exists{\ { x\ }\times{(cd)}}\in{B_p}/ (xy)\in{ {\ x\}\times{(cd)}}\subset{(xb)\times{(cd)}}[/texx]

          Asi [texx]\tau_d\subset{\tau_p}[/texx]

          Se me hiso largo el ejercicio porque quise gastar tinta ajjajajajja pues ademas probé, que no se puede escribir un abierto de la topologia sobre [texx]R_d\times R[/texx] como union de abiertos de la topologia usual... por eso


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 09/05/2012, 10:21:10 pm
          perdon por los idas y vueltas pero no me funciona bien el internet. Mil disculpas!! y gracias


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 10/05/2012, 02:35:04 pm
          Ejercicio 16.10
          [texx]\tau_p[/texx] topologia producto generada por [texx]B=\{ U\times{V}/ U,V abiertos en I \}[/texx]
          [texx]\tau_d[/texx] cuyos elementos son de la forma ((ab)(cd)) con [texx](a<c o a=c)\wedge b<d[/texx]
          [texx]\tau=\{ (I\times{I})\cap{(W\times{M})}/ W\times{M}\in{\tau_d} \}[/texx]

          i) Sea [texx]A=((0.5,0.5),(0.75,0.75))\in{\tau_d}[/texx] supongamos que [texx]A\in{\tau_p}[/texx] esto es [texx]\exists{U,V}[/texx] abiertos en I de la forma (ab)x(cd) tal que en particular el punto (0.5,1) esta en A=UxV  esto es a<0.5<b, c<1<d, [texx](a,b)\times{(cd)}\subset{I\times{I}}[/texx] pero entonces los puntos de intervalo (1,d) estan contenidos en I Absurdo. Así [texx]\tau_d\not\subset{\tau_p}[/texx]

          ii)De forma análoga llegue que [texx]\tau\not\subset{\tau_d}[/texx]

          iii) Sea [texx](xy)\in{(ab)\times{(cd)}\in{B_p}[/texx] tal que (ab)(cd) abiertos en I puedo formar a [texx]\ {x\}\times{(cd)}\in{B_d}[/texx] pues [texx](a<c o a=c)\wedge b<d[/texx] y a demas [texx](xy)\in{\ {x\}\times{(cd)}\in{B_d}}\subset{(ab)\times{(cd)}[/texx] pues a<x<b  entonces [texx]B_d\subset{B_p}[/texx] por lema 13.3 [texx]\tau_p\subset{\tau_d}[/texx]

          iv) por i,ii,iii [texx]\tau\not\subset{\tau_p}[/texx]

          v) el abierto [texx]A=\{0.5\}\times{(0.5,1]}\in{\tau}[/texx] pero no es abierto en [texx]\tau_p[/texx] pues en caso contrario se tendria que A=UxV con U,V abiertos en I pero

          U={0.5} es abierto en I pues existe un entorno para todo punto del unitario totalmente contenido en I pero no pasa lo mismo con
          V=(0.5,1] pues para cualquier entorno que contenga en especial al punto 1 tendra elementos fuera de I

          entonces [texx]\tau_p\not\subset{\tau}[/texx]

          vi) si [texx]\tau_d\subset{\tau}[/texx] entonces como [texx]\tau_p\subset{\tau_d}[/texx] se tendria que [texx]\tau_p\subset{\tau}[/texx] absurdo por v) entonces  [texx]\tau_d\not\subset{\tau}[/texx]

          Por lo tanto las unicas comparables seran  [texx]\tau_p y \tau_d[/texx]

          uff...esta bien? ::)

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 10/05/2012, 05:58:22 pm
          Ejercicio 16.10
          [texx]\tau_p[/texx] topologia producto generada por [texx]B=\{ U\times{V}/ U,V abiertos en I \}[/texx]
          [texx]\tau_d[/texx] cuyos elementos son de la forma ((ab)(cd)) con [texx](a<c o a=c)\wedge b<d[/texx]
          [texx]\tau=\{ (I\times{I})\cap{(W\times{M})}/ W\times{M}\in{\tau_d} \}[/texx]


          Los elementos que has descripto ahí no son "los" abiertos, sino los "básicos" de cada una de las respectivas topologías.
          ¿Los valores de a, b, c, d, varían en todo R o sólo en el intervalo I?
          Hay que ser más específico con eso, pues en [texx]\tau_d[/texx] y [texx]\tau[/texx] la cosa es diferente.

          ________________

          La notación en (i) es imprecisa.
          Debe decir por ejemplo que [texx]U=(a, b), V=(c, d)[/texx].

          Entiendo que escribir en el foro te está costando, pero también se refleja que hay algunas imprecisiones que trasladás desde lo que escribís en el papel.

          _____________

          Las ideas más o menos parece que estuvieran correctas, pero me perdí debido a las muchas imprecisiones en la escritura.

          ¿Podrías reescribir todo lo que está antes del inciso (i), así me ubico mejor?
          _____________

          Para escribir "frases" dentro de una fórmula, se usa el comando \textsf{}.
          Así, algo como [texx]B=\{ U\times{V}/ U,V abiertos en I \}[/texx], se ve más claro y lindo si escribís:
          [tex]B=\{ U\times{V}/ U,V \textsf{\ abiertos en\ }I \}[/tex], que se visualiza así:
          [texx]B=\{ U\times{V}/ U,V \textsf{\ abiertos en\ } I \}[/texx]

          Fijate que, para que haya un "espaciamiento" adecuado, puse el comando "\ ", que genera un espacio en el texto: "U, V\textsf{\ abiertos en\ } I".



          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 10/05/2012, 11:04:25 pm
          Hola Alejandra.

          He intentado leer de nuevo tu último ejercicio y la verdad es que me cuesta mucho leerlo.

          Creo que no queda más remedio que intentar rescribirlo otra vez desde el comienzo.

          __________

          Nn obstante, has trabajado con conjuntos "básicos" y eso es correcto.

          La topologìa [texx]\tau[/texx] es estrictamente más fina que la topología [texx]\tau_p[/texx] y también estrictamente más fina que la topología [texx]\tau_d[/texx].

          Estas últimas dos no son comparables.

          Yo podría escribir los cálculos, pero algunos son muy parecidos a los que vos pusiste, por lo tanto quisiera trabajar con lo que ya hiciste.

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 11/05/2012, 04:30:48 pm
          Hola profe!

          La verdad que no se de que manera clarificar lo escrito... pero tratare de dar la idea de cada paso que realicé

          i) La idea fue tomar un abierto de la topologia del orden del diccionario sobre IxI y por absurdo trato de ver que es abierto en la topologia del producto sobre IxI pero llego a un absurdo. La clave fue tomar un punto en el cual me sea difícil de tomar un rectángulo y que quede contenido.

          iii) tomé un elemento básico UxV de la base de la topologia producto tal que contenga al punto (xy), de manera que después encontré un básico de la  forma {x} x (cd) en la topologia del orden del diccionario. El punto (xy) esta en este ultimo y a su vez este ultimo esta contenido en UxV y por el lema 13.3 se tiene lo llegado

          iv)por propiedades de inclusión concluyo lo llegado

          v) En este encontre un abierto de la topologia de IxI heredada como subespacio de RxR en la topologia del orden del diccionario. pero no es abierto en la topologia del producto sobre IxI

          vi) razonamiento análogo a iv)

          Eso fue lo que hice... pero llego a que solo son comparables la topologia producto con la del diccionario nada mas.

          Esa es mas  o menos la idea que trate de escribir...

          igual desde ya muchas gracias por su disposición espero no serle molesta...

          GRACIAS y buenas tardes!



          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 11/05/2012, 04:42:45 pm
          Hola.

          Creo que la idea del planteo es correcta.
          Ahora bien, lo que me confunde es que hay cosas que están mal, y me cuesta decirte por qué están mal.

          Tengo que ir demasiado en detalle en cada cosa.

          Por ejemplo, con la topología producto en IxI, me parece que te has confundido en cómo considerarla,
          ya que considerás que un intervalo como (0.5, 1] no es abierto, cuando en realidad sí lo es.

          Lo mejor creo que será que yo te dé mi versión de la resolución (lo haré más tarde) para que luego vos puedas comparar y razonar en qué te has equivocado.

          ________________

          En resumen, las ideas que aplicás tienen la intención correcta, y eso me ha complicado corregirte porque luego hay errores mezclados en algunas topologías.

          Me parece que te puede estar fallando la comprensión de cómo funciona en general una topología de subespacio.

          Más tarde vuelvo con este ejercicio.

          A mí no me molesta nada sobre todo esto, debido a que soy yo el que abrió el curso de topología al público.
          No te preocupes por eso.
          Si yo no pudiera dar el curso por algún motivo, lo suspendería y listo.

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 13/05/2012, 10:14:18 pm
          Hola profe! En mi facultad me pidieron realizar una monografía respecto a los grupos topologicos, me podría sugerir alguna bibliografia, o página web en donde se trate con precisión el tema?

          Gracias...


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 13/05/2012, 10:54:02 pm
          Uff, es un tema muy extenso, con muchas vertientes, dependiendo de qué enfoque quieras darle.

          Ya que estás con el Munkres, hay un apéndice ahí como para arrancar con las definiciones básicas y algunos ejercicios.

          En este momento me viene a la mente el libro "Topological Groups" de Pontryagin, el cual se consigue en castellano (Grupos Topológicos).

          Si te vas por el área de Grupos de Lie, hay muchísimos libros, y seguro que cualquiera que encuentres te servirá.
          Yo de este tema no sé nada.

          Si tenés que armar una bibliografía, podrías arrancar por Wikipedia para ver si te da un contexto histórico y enlaces a bibliografía.

          http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_group (http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_group)

          Allí menciona varias cosas, está interesante el artículo.
          Por ejemplo habla de los grupos topológicos localmente compactos (para que te sirva de guía, los números reales forman un grupo localmente compacto), en los cuales se pueden generalizar nociones del análisis armónico, como series de Fourier y demás cosas, imagino.

          En el Pontryagin se habla de este tema, más o menos, entre otros tantos, pues habla por ejemplo de los grupos duales.
          Hay una relación entre la dualidad de grupos y los desarrollos tipo Fourier.

          http://es.wikipedia.org/wiki/Dualidad_de_Pontryagin (http://es.wikipedia.org/wiki/Dualidad_de_Pontryagin)
          __________

          No obstante, tendrías que preguntar en clase qué es lo que tenés que hacer en la monografía.

          Saludos


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 14/05/2012, 10:27:53 am
          jijijiji si, es un tema extenso, tenia que elejir entre espacios uniformes, redes, filtros, compactificacion, y grupos topologicos. Y este ultimo me llamó la atencion.

          Desde ya muchas gracias!!

          A trabajar!!!  ;D


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 19/05/2012, 09:21:00 pm
          Ejercicio 16.10
          [texx]\tau_p[/texx] topologia producto generada por [texx]B=\{ U\times{V}/ U,V\textsf{\ abiertos en\ }I \}[/texx]
          [texx]\tau_d[/texx] cuyos elementos son de la forma ((ab)(cd)) con [texx](a<c o a=c)\wedge b<d[/texx]
          [texx]\tau=\{ (I\times{I})\cap{(W\times{M})}/ W\times{M}\in{\tau_d} \}[/texx]


          Bueno, estuve revisando de nuevo este ejercicio.

          Veo que está mal redactado el comienzo.

          La topología producto [texx]\tau_p[/texx] está correctamente formulada.

          La topología del orden de diccionario [texx]\tau_d[/texx] está incorrectamente formulada.
          Lo que escribiste ahí son solamente los conjuntos básicos de la topología.
          Es importante recordar que la topología [texx]\tau_d[/texx] es como cualquier otra topología del orden, es un caso particular, sin importar que tenga un aspecto bidimensional.

          Por lo tanto, la topología [texx]\tau_d[/texx] es aquella generada por la base de los intervalos abiertos (y también se consideran los intervalos semiabiertos inicial y final, sin los hubiera, como elementos básicos).
          Así que los conjuntos que describiste, los intervalos: [texx]((a_1,a_2),(b_1,b_2))[/texx], con [texx]a_1<  a_2[/texx] ó [texx]a_1=a_2,b_1< b_2[/texx], son sólo elementos de la base de [texx]\tau_d[/texx].

          Pero como además en [texx]I\times I[/texx] tenemos un mínimo elemento, el [texx](0,0)[/texx], y un máximo elemento [texx](1,1)[/texx], también son elementos básicos los intervalos semiabiertos de la forma: [texx][(0,0),(b_1,b_2))[/texx] y [texx]((a_1,a_2),(1,1)][/texx].

          La topología [texx]\tau_d[/texx] se forma tomando todas las uniones posibles de intervalos de la forma descrita.
          _________

          En la topología de orden de diccionario de [texx]R\times R[/texx] los elementos de la base son sólo aquellos de la forma [texx]((a_1,a_2),(b_1,b_2))[/texx], ya que esta vez no hay ni mínimo ni máximo elemento.

          Los abiertos allí son conjuntos formados por uniones arbitrarias de esos intervalos.

          Ahora, la topología que se hereda de allí, al conjunto [texx]I\times I[/texx], que denotaste como [texx]\tau[/texx], se forma con la intersección de esos "abiertos" en [texx]R\times R[/texx] (con orden de diccionario) con el conjunto [texx]I\times I[/texx].

          Los elementos de la base de [texx]\tau[/texx] se obtienen asimismo intersecando los elementos de la base en el espacio grande, con [texx]I\times I[/texx].
          Así que una base para [texx]I\times I[/texx] está formada por los elementos de la forma [texx](I\times I)\cap((a_1,a_2),(b_1,b_2))[/texx], donde [texx]((a_1,a_2),(b_1,b_2))[/texx] es un intervalo abierto en [texx]R\times R[/texx] (siempre con orden de diccionario).


          _________________

          A continuación voy a resolver el ejercicio a mi modo,
          ya que lamentablemente no soy capaz de meterme a fondo en tu resolución para marcarte los errores.

          Así que te pido disculpas si es que paso por encima algo que vos ya hiciste correctamente.

          Mi intención es simplemente mostrarte mi modo de resolver el ejercicio, para que puedas comparar con el tuyo, y detectar en qué has fallado, y también en qué has acertado.



          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 19/05/2012, 09:22:04 pm
          ____________


          Ahora procedamos a comparar las topologías.

          Como bien sabés, se pueden comparar usando elementos de la base.

          Sea [texx]W[/texx] un elemento de la base de [texx]\tau_p[/texx].
          En ese caso, [texx]W=(I\times I)\cap(U\times V)[/texx], donde [texx]U,V[/texx], son elementos de la base de [texx]R[/texx], o sea, intervalos abiertos.
          Pero por otro lado [texx]W=(I\cap U)\times (I\cap V)[/texx].

          Se puede observar que, como [texx]I=[0,1][/texx] y [texx]U[/texx] es un intervalo abierto, de la forma [texx]U=(a,b)[/texx], en [texx]R[/texx], tenemos que [texx]U_0=I\cap U[/texx] es un intervalo contenido en el [texx][0,1][/texx].
          Lo mismo pasa con [texx]V_0=I\cap V[/texx].

          Fijate que, para cada [texx](x,y)\in W=U_0\times V_0[/texx], tenemos que el conjunto [texx]\{x\}\times V_0[/texx] es abierto en [texx]\tau[/texx] porque es la intersección del abierto [texx]\{x\}\times V[/texx] de la topología del orden de diccionario de [texx]R\times R[/texx] con [texx]I\times I[/texx].

          Además, es claro que [texx](x,y)\in \{x\}\times V_0\subset U_0\times V_0=W[/texx].
          Hemos podido hallar, pues, un elemento de la base de [texx]\tau[/texx], el [texx]B_0=\{x\}\times V_0[/texx], tal que [texx](x,y)\in B_0\subset W[/texx].

          Como esto vale para un [texx](x,y)[/texx] genérico en [texx]W[/texx], hemos probado que [texx]W[/texx] es [texx]\tau[/texx]-abierto.

          Usando los adecuados teoremas sobre bases y topologías finas, esto implica que [texx]\tau_p\subset \tau[/texx].

          ______________

          Consideremos ahora un elemento básico de la topología [texx]\tau_d[/texx].
          Tomemos [texx]W=((a_1,a_2),(b_1,b_2))[/texx] un intervalo en [texx]I\times I[/texx].
          Si [texx]a_1=a_2[/texx], entonces trivialmente [texx]W\in\tau[/texx], porque es un abierto del orden de diccionario de [texx]R\times R[/texx], el cual, al ser intersecado por [texx]I\times I[/texx] queda igual...
          Así que analicemos el caso en que [texx]a_1\neq a_2[/texx].
          En ese caso el intervalo [texx]((a_1,a_2),(a_1,1)][/texx] está contenido en [texx]W[/texx].
          También está en [texx]W[/texx] el intervalo [texx][(b_1,0),(b_1,b_2))[/texx].
          Finalmente, si [texx]a_1< c< b_1[/texx], entonces el "segmento vertical" completo [texx][(c,0),(c,1)][/texx] está contenido en [texx]W[/texx].

          Sea [texx](x,y)\in W[/texx].
          Si [texx]x=a_1[/texx], entonces [texx]a_2< y\neq 1[/texx]. Vemos que [texx]B=(I\times I)\cap (\{a_1\}\times (b_1,+\infty))[/texx] es un abierto en la topología [texx]\tau[/texx], que satisface [texx](x,y)\in B\subset W[/texx].
          Si [texx]x=b_1[/texx], entonces [texx]0\leq y< b_2[/texx]. Vemos que [texx]B=(I\times I)\cap (\{b_1\}\times (-\infty,b_2))[/texx] es un abierto en la topología [texx]\tau[/texx], que satisface [texx](x,y)\in B\subset W[/texx].
          Si [texx]a_1< x< b_1[/texx], entonces   [texx]B=(I\times I)\cap (\{c\}\times (-\infty,+\infty))[/texx] es un abierto en la topología [texx]\tau[/texx], que satisface [texx](x,y)\in B\subset W[/texx].

          Esto muestra que [texx]W[/texx] es [texx]\tau[/texx]-abierto.

          Nos falta analizar los casos en que [texx]W[/texx] es un intervalo "inicial" (o sea, que contiene al punto (0,0)) o bien "final" (o sea, que contiene al punto máximo (1,1)).

          Esos casos se analizan de modo muy similar al anterior.

          Entonces todo elemento básico de [texx]\tau_d[/texx] es un conjunto abierto de [texx]\tau[/texx].
          Esto implica que [texx]\tau_d\subset \tau[/texx].

          ____________________


          Esas son las dos inclusiones válidas.
          Las otras 4 posibilidades son falsas, como veremos a continuación con los contraejemplos.


          _____________

          Con la misma notación anterior para [texx]W[/texx], intentaremos probar que [texx]W\in\tau_d[/texx].

          Tomemos ahora [texx]W=(a,b)\times (c,1][/texx], con [texx]0<  a< b< 1[/texx], [texx]0< c<  1[/texx].
          Supongamos, por absurdo, que [texx]\in\tau _d[/texx].
          Sea [texx]p=(x,1)[/texx] para [texx]a< x< b[/texx].
          Tendría que haber un elemento básico [texx]B=((a_1,a_2),(b_1,b_2))[/texx] en [texx]i\times I[/texx] tal que [texx]p\in B\subset W[/texx].
          Como [texx](x,0)\not\in W[/texx], para que [texx]B[/texx] esté contenido en [texx]W[/texx], no puede ocurrir que [texx]x< a_1[/texx].
          Luego [texx]x=a_1[/texx] (ya que [texx](a_1,a_2)< (x,1)< (b_1,b_2)[/texx]).
          Como [texx](z,0)\not\in W[/texx] para [texx]z>  x[/texx], tampoco puede ser que [texx]b_1> x[/texx].
          Así que [texx]b_1=x[/texx].

          Luego [texx]a_1=x=b_1[/texx], y esto obliga a que [texx]a_2< 1< b_2[/texx], lo cual es absurdo, porque [texx]b_2\leq 1[/texx] (pues [texx]B[/texx] es un intervalo dado en [texx]I\times I[/texx]).

          Esto muestra que [texx]W\not\in \tau_d[/texx].

          ________________

          Ahora, sea [texx]W=\{1/2\}\times (0,1)[/texx].
          Este conjunto es un elemento básico tanto de [texx]\tau_d[/texx] como de [texx]\tau[/texx], como es fácil ver.
          Sin embargo, no es un [texx]\tau_p[/texx]-abierto.
          Si lo fuera, por ejemplo el punto [texx]p=(1/2,1/2)\in W[/texx] tendría que tener un entorno básico [texx]B[/texx] en [texx]\tau_p[/texx] tal que [texx]p\in B\subset W[/texx].
          Este conjunto básico tiene la forma [texx]B=(I\times I)\cap ((a,b)\times (c,d))[/texx] con [texx]a< 1/2< b,c< 1/2< d[/texx].
          Pero todo tal conjunto [texx]B[/texx] tiene necesariamente algún punto [texx](x,y)[/texx] con [texx]x\neq 1/2[/texx], con lo cual [texx](x,y)\not\in W[/texx], y así [texx]B[/texx] no puede estar contenido en [texx]W[/texx].

          Con este solo ejemplo hemos dado "contraejemplo" para dos casos a la vez:

          Que [texx]\tau_d[/texx] no está contenida en [texx]\tau_p[/texx], y que [texx]\tau[/texx] no está contenida en [texx]\tau_p[/texx].

          __________________

          Finalmente, nos falta ver que [texx]\tau[/texx] no está contenida en [texx]\tau_d[/texx].

          Tomemos el conjunto [texx]W=(I\times I)\cap (\{1/2\}\times (-\infty,+\infty))=\{1/2\}\times [0,1][/texx], que es obviamente un abierto en [texx]\tau[/texx].
          Veremos que no es abierto en [texx]\tau_d[/texx].

          Si lo fuera, entonces para el punto [texx]p=(1/2,1)[/texx] existiría un elemento básico [texx]B[/texx] de [texx]\tau_d[/texx] tal que [texx]x\in B\subset W[/texx].
          [texx]B[/texx] tiene la forma [texx]B=((a_1,a_2),(b_1,b_2))[/texx], un intervalo en [texx]I\times I[/texx].
          Esto quiere decir, por ejemplo, que hay algún punto [texx](c,d)\in B[/texx] tal que [texx](c,d)> p=(1/2,1)[/texx].

          Esto nos dice que [texx]c> 1/2[/texx], pero [texx](c,d)[/texx] no pertenece a [texx]W[/texx].
          Así, [texx]B[/texx] no puede estar contenido en [texx]W[/texx].

          Esto muestra que [texx]\tau[/texx] no está contenida en [texx]\tau_d[/texx].


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: alejandra en 23/05/2012, 10:03:28 pm
          ____________


          Ahora procedamos a comparar las topologías.

          Como bien sabés, se pueden comparar usando elementos de la base.

          Sea [texx]W[/texx] un elemento de la base de [texx]\tau_p[/texx].
          En ese caso, [texx]W=(I\times I)\cap(U\times V)[/texx], donde [texx]U,V[/texx], son elementos de la base de [texx]R[/texx], o sea, intervalos abiertos.
          Pero por otro lado [texx]W=(I\cap U)\times (I\cap V)[/texx].


          Aquí cuando decis que U V son abiertos de R, estos a su vez deben estar contenidos en I, porque sino cuando hago la intersección
           [texx]W=(I\cap U)\times (I\cap V)[/texx] existiría el caso en que me quedara semiabierto y deja de ser W elemento básico para la topologia producto o no?


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 23/05/2012, 10:46:03 pm
          Si los intervalos quedan semiabiertos, todavía sirven para la base de la topologíá producto.

          Por ejemplo, [texx](1/3,1]\times [0,1/4)[/texx] es un elemento básico de la topología producto, si consideramos el espacio [texx]X=I\times I[/texx].

          No importa que haya algunos casos en que aparezcan intervalos semiabiertos.
          Esos casos sólo corresponden al "borde" del cuadrado [texx]I\times I[/texx].
          Lejos del borde, coinciden los abiertos de [texx]I\times I[/texx] con los de [texx]R\times R[/texx].

          Pero en el borden no coinciden.


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: Gustavo en 10/06/2012, 05:51:14 am
          Hola. Leí la parte introductoria que escribiste y me pareció excelente. Aún sigo pensando el ejercicio en el que se pide que se muestre que una elipse E sin borde es un conjunto abierto. Como pista dices: "Renegar con los cálculos de distancia al borde.", pero lo único que se me ocurre es lo siguiente:

          Ubicar la elipse en un sistema de coordenadas adecuado de tal forma que los semiejes estén sobre los ejes del sistema, así se tiene que la ecuación de la elipse será de la forma [texx]a^2x^2+b^2y^2=a^2b^2.[/texx] Luego, dado un punto P dentro de la elipse, plantear una función que me dé la distancia del punto P a los puntos del borde de la elipse. Después encontrar el punto Q más cercano a P que esté sobre el borde, hallo la distancia entre P y Q, y la uso como radio para la bola abierta alrededor de P que va a estar contenida en E. Haciendo éso para todo P dentro de la elipse ya se prueba que es abierto, pero las cuentas no son nada bonitas, y lo peor es que se vuelven peores si se piensa hacer lo mismo para probar que el elipsoide es un conjunto abierto. ¿cómo atacar el problema de una mejor forma?

          Sobre esta parte:

          Cita
          Ejercicio. Si [texx]\mathcal B[/texx] es una base en [texx]X[/texx] , se define la familia [texx]\tau[/texx] mediante la siguiente propiedad: un subconjunto U de [texx]X[/texx] es elemento de [texx]\tau[/texx] si, para cada [texx]x\in X[/texx] existe [texx]B[/texx] en la base [texx]\mathcal B[/texx] tal que [texx]x\in B\subset U[/texx] . En símbolos:

          [texx]\tau=\{U\subset X| \exists B\in \mathcal B(x\in B\subset U)\}[/texx]

          Tienes una pequeña errata: debe ser "para cada [texx]x\in U[/texx]". Y en la presentación de la topología [texx]\tau[/texx] con sólo símbolos, ¿no debería escribirse también la condición de "para cada [texx]x\in U[/texx]"? Es decir, yo pensaba en algo como [texx]\tau =\{U\subset X\;:\; (\forall x\in U)(\exists B\in \mathcal B)(x\in B \mbox{ y }B\subset U)\}[/texx].


          Estos son algunos ejercicios de la sección 13:

          1. Sean X un espacio topológico y A un subconjunto de X. Supongamos que para cada [texx]x\in A[/texx] existe un conjunto abierto [texx]U[/texx] que contiene a [texx]x[/texx] tal que [texx]U\subset A.[/texx] Pruebe que A es abierto.

          Para cada [texx]x\in A,[/texx] denotemos con [texx]U_x[/texx] al conjunto abierto que por hipótesis cumple que [texx]x\in U_x[/texx] y [texx]U_x \subset A.[/texx]

          Consideremos ahora [texx]B=\bigcup_{x\in A}U_x.[/texx] Veamos que [texx]B=A.[/texx]

          [texx]B\subset A.[/texx] Si [texx]x\in \bigcup_{x\in A}U_x,[/texx] existe [texx]y\in A[/texx] tal que [texx]x\in U_y,[/texx] como [texx]U_y\subset A,[/texx] entonces [texx]x\in A.[/texx]

          [texx]A\subset B.[/texx] Si [texx]x\in A,\; x\in U_x,[/texx] luego pertenece a la unión de los [texx]U_x,[/texx] es decir [texx]x\in \bigcup_{x\in A}U_x=B.[/texx]

          Como todos los [texx]U_x[/texx] son abiertos, su unión, A, sera un conjunto abierto.

          3. Pruebe que [texx]\mathcal{T}_c =\{U\subset X\;:\; X-U\mbox{ es numerable o }X\}[/texx] es una topología sobre X.  ¿Es [texx]\tau_\infty=\{U\;:\; X-U\mbox{ es infinita o vacía o todo }X \}[/texx] una topología sobre X?

          Hay que verificar que [texx]\mathcal{T}_c[/texx] es una topología con los cuatro axiomas:

          i) [texx]\emptyset \in\mathcal{T}_c[/texx] porque es finito. ii) [texx]X\in\mathcal{T}_c[/texx] por definición.

          iii) Sea [texx]\{A_i\}_i[/texx] una familia de abiertos de [texx]\mathcal{T}_c.[/texx] Debemos ver que [texx]\bigcup_i A_i \in \mathcal{T}_c,[/texx] pero para ésto es suficiente ver que [texx]X-\bigcup A_i[/texx] es numerable. [texx]X-\bigcup A_i =\bigcap (X-A_i)\subset X-A_{i_1}[/texx] para algún [texx]i_1[/texx] en el conjunto de índices. Como [texx]A_{i_1}\in \mathcal{T}_c,\, X-A_{i_1}[/texx] es numerable, y un subconjunto de un conjunto numerable es numerable, por tanto [texx]\bigcup_i A_i[/texx] pertenece a [texx]\mathcal{T}_c.[/texx]

          iv) Si A y B están en [texx]\mathcal{T}_c,[/texx] se debe ver que [texx]A\cap B[/texx] está en [texx]\mathcal{T}_c.[/texx] [texx]X-(A\cap B)=(X-A)\cup (X-B),[/texx] y dado que la unión de un par de conjuntos numerables es numerable, se tiene que [texx]A\cap B[/texx] pertenece a [texx]\mathcal{T}_c.[/texx]

          Como se verificaron los cuatro axiomas, [texx]\mathcal{T}_c[/texx] es una topología sobre X.

          [texx]\tau_\infty=\{U\;:\; X-U\mbox{ es infinita o vacía o todo }X \}[/texx] no es una topología sobre X.

          Para verlo, consideremos [texx]X=\mathbb{R}, A=\mathbb{Q}-\{0\}[/texx] y [texx]B=\mathbb{I}. [/texx] [texx]X-A=\mathbb{I}\cup \{0\}[/texx] que es infinito. [texx]X-B=\mathbb{Q}[/texx] que es infinito. Se debería entonces cumplir que la unión de A y B esté en [texx]\tau_\infty,[/texx] pero [texx]X-(A\cup B)=X-(\mathbb{R}-\{0\})=\{0\}[/texx] que no es ni infinito, ni vacío, ni X, luego [texx]A\cup B\not\in \tau_\infty.[/texx]

          4. a) Si [texx]\{\tau_\alpha \}[/texx] es una familia de topologías sobre X, pruebe que [texx]\bigcap_\alpha \tau_\alpha[/texx] es una topología sobre X. ¿Es [texx]\bigcup_\alpha \tau_\alpha[/texx] una topología sobre X?

          Debemos comprobar los cuatro axiomas:

          i) Ya que [texx]\emptyset \in \tau_\alpha[/texx] para todo [texx]\alpha,[/texx] [texx]\emptyset\in \bigcap_\alpha \tau_\alpha.[/texx]

          ii) [texx]X\in\tau_\alpha[/texx] para todo [texx]\alpha,[/texx] luego [texx]X\in \bigcap_\alpha \tau_\alpha.[/texx]

          iii) Sea [texx]\{A_i\}\subset \bigcap_\alpha \tau_\alpha.[/texx] Para todo [texx]\alpha,[/texx] puesto que [texx]\tau_\alpha[/texx] es una topología, tenemos que [texx]\bigcup_i A_i \in \tau_\alpha,[/texx] por ende [texx]\bigcup_i A_i \in \bigcap_\alpha \tau_\alpha.[/texx]

          iv) Si A y B están en [texx]\bigcap_\alpha \tau_\alpha,[/texx] A y B están en [texx]\tau_\alpha[/texx] para todo [texx]\alpha,[/texx] y como cada uno de éstos es una topología, entonces [texx]A\cap B \in \tau_\alpha,[/texx] y por ende [texx]A\cap B\in \bigcap \tau_\alpha.[/texx]

          [texx]\bigcup_\alpha \tau_\alpha[/texx] puede no ser una topología sobre X. Consideremos [texx]X=\{a,b,c\},\; \tau_1=\{\emptyset,X,\{a\}\},\; \tau_2=\{\emptyset,X,\{b\}\}.[/texx] Entonces [texx]\tau_1 \cup \tau_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b\}\}[/texx] debería ser unatopología, pero no lo es ya que la unión de abiertos es abierto y sin embargo [texx]\{a\}\cup \{b\}=\{a,b\}\not\in \tau_1\cup \tau_2.[/texx]

          b) Sea [texx]\{\tau_\alpha \}[/texx] una familia de topologías sobre X. Pruebe que existe una única topología sobre X más pequeña entre todas las que contienen a todas las colecciones [texx]\tau_\alpha,[/texx] y una única topología más grande entre todas las que están contenidas en toda [texx]\tau_\alpha.[/texx]

          -- [texx]\bigcap_\alpha \tau_\alpha[/texx] es la topología más grande contenida en toda [texx]\tau_\alpha.[/texx] Para mostrarlo, veamos que, efectivamente, si [texx]\tau[/texx] es una topología contenida en toda [texx]\tau_alpha,[/texx] entonces [texx]\tau \subseteq \bigcap_\alpha \tau_\alpha.[/texx] Si [texx]U\in \tau,[/texx] por hipótesis se tiene que [texx]U\in\tau_\alpha[/texx] para toda [texx]\alpha,[/texx] luego U está en su intersección [texx]\bigcap_\alpha \tau_\alpha.[/texx]

          -- Sean [texx]\mathcal S=\bigcup_\alpha \tau_\alpha[/texx] y [texx]\tau[/texx] la topología generada por la subbase [texx]\mathcal S[/texx] (que es subbase ya que la unión es todo X porque cada [texx]\tau_\alpha[/texx] es una topología). [texx]\tau[/texx] es la topología más pequeña que contiene a toda [texx]\tau_\alpha.[/texx] Para probarlo necesitamos mostrar que si [texx]\tau '[/texx] es una topología tal que contiene a [texx]\tau_\alpha[/texx] para toda [texx]\alpha,[/texx] entonces [texx]\tau \subseteq \tau '.[/texx]

          Sea [texx]U\in \tau,[/texx] es decir que U es unión de intersecciones finitas de elementos de [texx]\mathcal S:\; U=\bigcup_\beta \left( \displaystyle\bigcap_{i=1}^{n_\beta } A_{(\beta, i)}\right).[/texx] [texx]A_{(\beta ,i )}\in \tau '[/texx] para toda [texx]\beta[/texx] e [texx]i[/texx] ya que [texx]\tau_\alpha \subseteq \tau '[/texx] para toda [texx]\alpha.[/texx] Como [texx]\tau '[/texx] es una topología, la intersección finita de elementos de [texx]\tau '[/texx] está en [texx]\tau ',[/texx] y así mismo con las uniones arbitrarias. Por tanto [texx]U\in \tau '.[/texx]

          5. Demuestre que si [texx]\mathcal{A}[/texx] es una base para una topología sobre X, entonces la topología generada por [texx]\mathcal{A}[/texx] es igual a la intersección de todas las topologías sobre X que contienen a [texx]\mathcal{A}.[/texx]

          Sea [texx]\tau '[/texx] la topología generada por [texx]\mathcal{A}.[/texx] Sea [texx]\{\tau_\alpha \}[/texx] la familia de topologías que contienen a [texx]\mathcal{A}.[/texx] Debemos ver que [texx]\tau ' =\bigcap _\alpha \tau_\alpha.[/texx]

          [texx]\tau ' \subset \bigcap _\alpha \tau_\alpha.[/texx] Sea [texx]U\in \tau '.[/texx] Como [texx]\mathcal{A}[/texx] es una base para [texx]\tau ',[/texx] podemos escribir a U como unión de elementos de [texx]\mathcal{A}: U=\bigcup_i A_i.[/texx] Como todo [texx]\tau_\alpha[/texx] contiene a [texx]\mathcal{A},[/texx] [texx]A_\i \in \tau_alpha[/texx] para todo [texx] \alpha,[/texx] y dado que cada una es una topología, la unión de los [texx]A_\i,[/texx] o sea, U, estará en todos los [texx]\tau_\alpha[/texx] y en su intersección.

          La otra contenencia aún no la he podido demostrar.

          6. Pruebe que las topologías de [texx]\mathbb{R}_\ell[/texx] y [texx]\mathbb{R}_K[/texx] no son comparables.

          Para este ejercicio es suficiente mostrar un abierto y un punto "rebelde" en cada una de las dos topologías.

          Consideremos el conjunto [texx]V=(-1/2,1/2)-K[/texx] abierto en [texx]\mathbb{R}_K[/texx] y el punto 0. No hay abierto [texx]U[/texx] de la forma [texx][a,b) \in\mathbb{R}_{\ell}[/texx] tal que [texx]0\in U[/texx] y [texx]U\subseteq.[/texx] Si [texx]0\in U,[/texx] entonces [texx]0<b[/texx] y podemos encontrar un [texx]n\in\mathbb{Z}^+[/texx] tal que [texx]0<\frac{1}{2^n}<b[/texx] con lo que [texx]U[/texx] no estaría contenido en [texx]V.[/texx]

          Consideremos el abierto [texx][0,1) \in\mathbb{R}_\ell[/texx] y el punto [texx]1/2.[/texx] No hay ningún abierto [texx]U\in \mathbb{R}_K[/texx] tal que [texx]1/2\in U[/texx] ya que, por definición, los abiertos allí no tienen los puntos de la forma [texx]\frac{1}{2^n}[/texx] con n entero positivo.

          Si hay algo que deba corregir o justificar mejor, por favor, no dudes en mencionarlo. Gracias. :)


          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 10/06/2012, 09:21:11 am
          Hola. Leí la parte introductoria que escribiste y me pareció excelente. Aún sigo pensando el ejercicio en el que se pide que se muestre que una elipse E sin borde es un conjunto abierto. Como pista dices: "Renegar con los cálculos de distancia al borde.", pero lo único que se me ocurre es lo siguiente:



          Bueno, eso depende de cómo esté planteado el ejercicio.
          No recuerdo quién me lo preguntó, ni en qué contexto estaba.

          Si hay que demostrarlo desde cero, sin herramientas, entonces sí, hay que "renegar con la distancia al borde".
          Sin embargo sale en forma muy sencilla con argumentos de continuidad.

          Por ejemplo, podemos decir que la función de dos variables [texx]f(x,y)=x^2/a^2+y^2/b^2[/texx] es continua, y en tal caso la preimagen del conjunto abierto [texx]A=(-\infty,1)[/texx] por [texx]f[/texx] es un conjunto abierto del plano.
          Pero justamente este conjunto abierto es el interior de la elipse:
          [texx]U=\{(x,y):x^2/a^2+y^2/b^2< 1\}=f^{-1}(-\infty,1)[/texx]
          que es abierto.

          Si no podemos usar argumentos de continuidad, porque todavía no lo hemos aprendido, entonces hay que demostrar que cada punto de la región interna de la elipse es un "punto interior" del conjunto.
          Para ello, sea [texx](x_0,y_0)[/texx] un punto tal que [texx]x_0^2/a^2+y_0^2/b^2< 1[/texx].
          Tenemos que encontrar una bola abierta en torno a ese punto, tal que todos los puntos estén aún en el interior de la elipse.

          Supongamos que la bola buscada tiene radio [texx]r> 0[/texx]. Nos preguntamos qué radio [texx]r[/texx] será suficiente.
          En ese caso hacemos el cálculo y después estimamos el valor de [texx]r[/texx].

          Geométricamente uno ve más o menos lo que tiene que pasar.
          Podemos considerar un punto [texx](x,y)[/texx] del borde de la elipse, y tenemos que minimizar la distancia hasta el punto [texx](x_0,y_0)[/texx], lo cual puede hacerse con cálculo de 2 variables, o algún otro análisis parecido.
          Una vez hallado ese punto de mínima distancia, llamamos [texx]r[/texx] a la distancia que ese punto tiene hasta [texx](x_0,y_0)[/texx].

          Luego, tomamos la bola [texx]B_r(x_0,y_0)[/texx], y verificamos que dicha bola está contenida en el interior de la elipse.
          Entre otras razones, esto ocurre porque la distancia [texx]r[/texx] es mínima, y así todo punto de la bola, por tener distancia menor que [texx]r[/texx], no puede estar en el borde de la elipse, ni tampoco fuera de ella..
          En caso de dudas, hay que hacer una verificación algebraica de las desigualdades pertinentes.

          O bien achicar aún más el valor de [texx]r[/texx] a fin de que se simplifiquen los cálculos.

          ____________

          Ya corregiré la errata.
          Gracias.

          Nos estamos viendo, y bienvenido al curso.



          Título: Re: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)
          Publicado por: argentinator en 10/06/2012, 03:13:44 pm
          Hola.

          Estuve revisando tus ejercicios de la Sección 13.
          En general me parece muy bien cómo están planteados y escritos, y casi no importan las pequeñas faltas que pudiera haber.
          Es muy clara la exposición y el razonamiento, y tiene un estilo "topológico" adecuado.

          En el ejercicio 3 pareciera que has pasado por alto los casos triviales, por ejemplo cuando U es el conjunto vacío.
          En cuanto a los incisos (i) y (ii) allí, hay que justificar con más cuidado, puesto que X está en la topología por ser X - X numerable, mientras que el conjunto vacío está por "decreto".
          Entonces se razona al revés.

          Es comprensible que esos pequeños casos estén mal, porque son los más tontos y aburridos, y ni te has fijado si estaba bien.
          Lo que se puede decir en esos casos es que "los casos triviales los damos por sentado", y suponemos un abierto U no trivial... o algo por el estilo.

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          Luego voy a revisar bien el Ejercicio 5 para ver qué te faltó.

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          En cuanto al Ejercicio 6, habría que cambiar la última parte.

          Ahí te conviene tomar un intervalo [a, b) alejado de la "zona de desastre", o sea, del conjunto K, ya que lejos del 0 los abiertos de [texx]\mathbb R_K[/texx] son los mismos que los de la topología usual.
          Así que, por ejemplo, [2, 3) es un abierto en [texx]\mathbb R_\ell[/texx] tal que no es abierto en [texx]\mathbb R_K[/texx] ni en [texx]\mathbb R[/texx], ya que el punto x = 2 no es un punto interior en estas últimas topologías.
          (Si lo fuera, habría un intervalo abierto [texx](2-\epsilon ,2+\epsilon )[/texx] contenido completamente dentro de [2, 3), lo cual es absurdo, pues no puede haber puntos a la izquierda de x = 2).

          Saludos