Matemática => Estructuras algebraicas => Mensaje iniciado por: argentinator en 25/08/2009, 03:35:51 pm



Título: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 25/08/2009, 03:35:51 pm
No siempre es fácil encontrar libros o textos en internet que sean completos y claros sobre  la construcción de los sistemas numéricos.
Hay retazos de esa teoría desperdigados por ahí, y a veces con un enfoque que no me parece acertado.

Se me ocurrió que sería bueno dejar "a mano" esta referencia general en los foros del rincón matemático,
en el que se van a desarrollar todos los detalles necesarios para entender cómo se obtienen los sistemas numéricos.

Tanto la introducción como las secciones principales continúan en hilos aparte, para mejor manejo del contenido
y mejor carga de la página. Los enlaces son los siguientes:


  • C. Sists. Numéricos. --- Sección 0: Introducción >> (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) (clic para acceder)
  • C. Sists. Numéricos. --- Sección 1: Números Naturales >> (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) (clic para acceder)
  • C. Sists. Numéricos. --- Sección 2: Números Enteros >> (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) (clic para acceder)
  • C. Sists. Numéricos. --- Sección 3: Números Racionales >> (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) (clic para acceder)
  • C. Sists. Numéricos. --- Sección 4: Números Reales (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) (clic para acceder) [editado en un 90%]
  • C. Sists. Numéricos. --- Sección 5: Números Complejos (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) (clic para acceder) [aún no escrito]
  • C. Sists. Numéricos. --- Sección 6: Posibles nuevos sistemas numéricos (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865) (clic para acceder) [aún no escrito]


  • Nota: Este material es posterior a lo que había escrito en un principio,
    y posterior a algunas contestaciones y conversaciones que hubo en el thread.
    He hecho algunos arreglos y aclaraciones ayudándome de los comentarios recibidos,
    que me sirvieron para darme cuenta de qué cosas convenía agregar o modificar.
    También hubo algunos cambios y agregados en la teoría de Números Naturales.

  • Como esto es un thread dentro de un foro,
    está abierto a comentarios y discusiones de todos los usuarios.
    Espero que la gente no sea tímida y se anime a opinar o preguntar,
    y así me ayudan a dejar todo mucho más claro y exacto.
    Deseo dejar una versión definitiva y sin cambios, pero por ahora,
    año 2012, estoy abierto a hacer modificaciones.

  • Detalles que podrían faltar o no: Hay muchas demostraciones que las he expuesta al máximo detalles,
    y en cambio hay algunas otras que las he pasado por alto,
    dejando al lector que complete los detalles.
    Esto es tramposo, porque sabemos que muy raramente el lector efectivamente completa los detalles.
    Los pasos que he omitido son, básicamente, aburridos,
    pero que cualquiera podría llevar a cabo si lo intenta.

    Si alguien tiene interés en que se agregue o complete alguna prueba o paso faltante,
    puede solicitarlo posteando en este mismo thread, y vemos cómo se soluciona.





Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 26/08/2009, 11:06:24 am
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)

 

He introducido los sistemas numéricos mediante axiomas, y como una tarea posterior he llevado a cabo las típicas y muy conocidas construcciones correspondientes.

El motivo de esto, así como la razón por la cual digo sistemas numéricos en vez de conjuntos numéricos, viene explicado en la Sección 0,
y además se discute en este mismo thread con los compañeros del foro.

Inicialmente las Secciones 0 a 6 estaban todas juntas en este mismo thread, pero las he debido separar en threads independientes porque se dificultaba la carga de las páginas.
También he hecho cambios en esas secciones, posteriormente a los comentarios que siguen.
Esos cambios, espero, no alteran el espíritu inicial que había en la exposición teórica.
En cambio no he modificado los posts en que dialogo con otras personas.

 


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 01/11/2009, 02:56:44 am
Has elegído el método axiomático para definir los sistemas numéricos, y yo personalemente prefiero otro método.

Por ejemplo definir número natural como la clase de todos los conjuntos finitos biyectivos, aparte de ser mucho más simple es mas intuitivo.

Definir los números enteros como clases de pares ordenados de númeo naturales es básico, con la archiconocida relación de equivalencia:

[texx](a,b)\equiv{}(m,n)\quad \Leftrightarrow{}\quad a+n=b+m[/texx]

Y definir los racionales como clases de ternas ordenadas de naturales raya casi lo elemental, con la relación de equivalencia:

[texx](a,b,c)\equiv{}(m,n,o)\quad\Leftrightarrow{}\quad ao+nc=bo+mc[/texx]

Definiéndose las operaciones suma y producto de naturales por el método clasico de iterar la operación siguiente para la suma e iterar la operación suma para el producto (e incluso definir la operación potencia como la iteración del producto) y la operaciones suma y producto de enteros y racionales en base a la suma y producto de naturales.

Todas sus propiedades, incluido el orden que presentan, se deducen facilmente de estas definiciones y a lo sumo de los axiomas de la T.C., ¿no sería mejor utilizar este enfoque en lugar de un conjunto de axiomas independientes para cada tipo de número?

Mi opinión es que una teoría matemática es tanto más deseable cuanto menor sea el número de axiomas que contiene.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 01/11/2009, 09:10:11 am

Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


No se trata de que "elegí" ese método, sino que opino que es el método correcto.

Fiajte que dos personas distintas podrían "construir" los números enteros, por ejemplo, con dos métodos diferentes.
Ambas personas podrían argüir que "su" método define el concepto de número entero.
¿A quién le doy la razón?
Una cosa que habría que comprobar, por ejemplo, es que los métodos de estas dos personas conducen a estructuras que tienen las mismas propiedades, o sea, hay un "isomorfismo".
Pero entonces, lo que estamos haciendo es reconocer que en el fondo hay una estructura común, un concepto de número entero que toda "construcción" debe cumplir.

Porque si no, ¿cuáles son las propiedades específicas de los números enteros?
Si tomo como "definición" de entero a las clases de equivalencia de pares ordenados de naturales, un número entero es una clase de equivalencia, y por tanto, un número entero sería un conjunto con ciertos elementos.
Las propiedades de ese número entero incluirían ciertas propiedades de la teoría de conjuntos, como por ejemplo, que algunos elementos sean a su vez conjuntos, y entonces uno podría demostrar relaciones extrañas entre los "números enteros", hablando de pertenencias, inclusiones, uniones.... cosas que nada tienen que ver con la noción que uno tiene de número entero.

Un número entero es algo que "tiene que funcionar de cierto modo".
Esa manera de funcionar ha de ser independiente de la manera en que se los construya.

La construcción conocida de las "clases de equivalencia de pares de naturales", resulta que sólo es "una de tantas" maneras de construir un sistema de números enteros.

También podría usar esta construcción: [texx]Z = (N\times \{1\})\cup \{0\} \cup (N\times\{2\})[/texx].
Los pares ordenados [texx](n,1)[/texx] serían los enteros negativos, y los pares [texx](n,2)[/texx] serían los enteros positivos.
Luego bastaría definir adecuadamente la suma, el producto, y el orden en Z, y tengo un sistema de enteros.
¿O acaso no puedo?
¿Y por qué no sería preferible este método al de las clases de equivalencia de pares de N?

También puedo definir los enteros a través de la geometría de la línea recta: tomo una línea recta en el espacio geométrico euclidiano, tomo un segmento fijo OU, y lo traslado a izquierda y derecha, infinitas veces.
Ese conjunto de puntos, con el orden que tiene la línea recta, tiene una estructura análoga a la de los números enteros, y pueden definirse sin problemas las operaciones de suma y producto ahí, etc.

Y te doy un ejemplo aún más corriente, y que aparece indefectiblemente al trabajar con números.
Supongamos que has construido los racionales con el método que más te guste.
Ese sistema tiene un subconjunto que satisface las propiedades de los números enteros.
Pero ese sistema "es totalmente diferente" de "las clases de equivalencia de pares de naturales".
O sea, ambos conjuntos tienen elementos que son cosas muy distintas...
¿Con qué derecho digo entonces que hay en Q un subconjunto de "enteros"?
¿Qué propiedades tiene ese subconjunto de Q que lo hacen un sistema de enteros?
¿Es isomorfo a quién?
Y si es isomorfo... debo decir qué tipo de isomorfismo se trata, o sea, ¿qué propiedades espero que el isomorfismo conserve? Porque los isomorfismos no son algo libre, sino que hay qué decir de qué tipo es: isomorfismo de anillos, de cuerpos, de sistemas ordenados, topológicos... de lo que sea... (en este caso, las propiedades de un sistema de entero, que al parecer se trata de anillos ordenados con cierta propiedad de buena ordenación)

En algún momento tengo que reconocer que necesito una lista de propiedades comunes a todos los sistemas de enteros, y es ahí donde las pongo en un sistema axiomático.


Además, es necesario probar que todos los sistemas de enteros que yo vaya a obtener, son "en esencia el mismo", o sea, no puede ser que haya ambigüedad en el significado de sistema de números enteros.
Para eso debo ponerme de acuerdo en qué propiedades comunes a esos sistemas considero que definen la estructura de número entero.
Y hay por ahí un Teorema en el que he demostrado que todos los sistemas que satisfacen los axiomas 1, 2, 3 y 4 que he dado para los enteros, son isomorfos entre sí en el sentido de conservar esos axiomas. No hay lugar a ambigüedad.

Si no te convencen los enteros, entonces podemos ir a los números reales, que todavía los debo...
Puedo construir los números reales a partir de 5 métodos diferentes o más.
¿Por qué esos sistemas puedo considerarlos "equivalentes"?
La única manera de decir que todos ellos conducen al mismo concepto es mediante un sistema axiomático.



Pero ahora hay otra cuestión importante.
El "método axiomático" es parte necesaria de la teoría, pero no es suficiente.

Una lista de axiomas no alcanza para "definir" el concepto de, por ejemplo, números enteros.
¿Por qué?
Porque podría pasar que no haya sistema matemático alguno que cumpla con una cierta lista de Axiomas.
Tengo que demostrar que existe algún sistema que sí la cumpla.

Y entonces es ahí donde viene esa construcción que te cae tan simpática de los pares ordenados de naturales...

Esa construcción es necesaria, porque constituye al menos un ejemplo, o sea, un modelo que verifica los axiomas.
Podrían haber muchos modelos más, pero exhibir al menos un modelo es necesario para que una teoría no sea inconsistente.



Así que, resumiendo, tanto el sistema axiomático como las construcciones "a mano" de los distintos sistemas de números, son necesarias para que la teoría de cada sistema de números esté completa, correcta, y que no tenga huecos o ambigüedades matemáticamente hablando.

Es por eso que doy las dos cosas.

Además, si te fijás, en el post de números enteros, en la mitad inferior está esa construcción de los pares de naturales.



En cuanto a la definición de racionales que das con ternas ordenadas de naturales... no es la estándar.
La que se suele dar es otra.
¿Y entonces por qué estás seguro de que tu construcción conduce a "un sistema correcto de racionales"?
¿Basado en qué criterio?
¿Qué es un "sistema de racionales", de tal forma que tu construcción o cualquier otra se pueda considerar válida?
¿Qué propiedades han de cumplir...? Respuesta: Los Axiomas 1, 2, 3 y 4 del post de los racionales.



Editado: Lo que sigue podría obviarse, ya que he modificado el post de números naturales agregando los detalles que faltaban.

En cuanto a los números naturales, es cierto que me contradigo conmigo mismo, porque sólo he puesto los Axiomas.
He demostrado que todos los sistemas de naturales posibles son equivalentes.
Pero no he dado ningún modelo de sistema de números naturales.

A lo mejor agregue un comentario sobre ello, pero no voy a ponerme en detalles, porque eso es algo que tiene más bien que ver con la teoría de conjuntos. Creo que me alejaría demasiado del tema.
Por lo general se suele partir del sistema de los números naturales, sin mucho protocolo, y a partir de ahí se construyen o edifican los demás sistemas de números.

O sea, si uno puede aceptar que tiene en alguna parte a los números naturales, lo demás puede construirse.
Pero hay en torno a los números naturales muchas cuestiones filosóficas y teóricas intrincadas de diverso tipo que no quiero mezclar en todo esto.
Y por eso lo voy a dejar un poco "playo".

De todas maneras, hay muchas maneras de construir "números naturales".
Basta con saber que hay alguna forma.

El método que te gusta, de las clases de todos los finitos biyectivos... tiene el problema de que el conjunto de los naturales tendría como elementos a "clases que no son conjuntos".
Eso provoca que uno tenga que ser excesivamente cuidadoso con el tratamiento que les da a esos objetos.

Por eso puede ser más preferible usar la lista de conjuntos típica siguiente:

[texx]\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}, \{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}...[/texx], etc.,.

Cada elemento es un "conjunto" y no una clase propia, y eso nos deja en terreno más "seguro" cuando se hacen demostraciones.
Para que esa lista de elementos sea un "conjunto" hay que exigirlo mediante uno de los "axiomas" de la teoría de conjuntos,
Así que un modelo o ejemplo de sistema de naturales existe por "decreto", es un Axioma matemático.

Si no se acepta eso... es porque uno es un intuicionista, y todo lo demás se va al diablo.




Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 01/11/2009, 09:24:20 am
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Lo que quiero decir, en definitiva, es que en algún texto los autores hablan del "método axiomático" como si fuera un "método" más entre aquellos tantos posibles "métodos de construcción de sistemas de números".

Yo opino que eso es didácticamente incorrecto, y también matemáticamente flojo.
La relación entre el sistema de axiomas de un tipo de números y los diferentes "métodos de construcción" es que esos "métodos" conducen a meros ejemplos o casos particulares del sistema axiomático.

A su vez, el sistema axiomático por sí mismo no construye nada.
Es un error pensar, decir o enseñar que es un "método de construcción".
Se requiere que haya un modelo (un ejemplo "construido") para dicho sistema de axiomas, porque si no, se trata de Axiomas de una teoría vacía.



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 01/11/2009, 09:40:58 am
Bueno, la verdad es que tus argumentos resultan bastante abrumadores, aunque no estoy de acuerdo con algunas de tus apreciaciones:

1ª.- Los números naturales serían clases de equivalencia, los enteros también y los racionales también, y no es dificil demostrar que hay isomorfismo entre los naturales y un subconjunto de los racionales, ó entre los enteros y un subconjunto de los racionales, etc.

2º Entiendo que de todas las propiedades que satisfarían estas clases de equivalencia debe decidirse cuales son las que carácterizan a los sistemas numéricos, y en ese caso si quizás fueran necesarios los axiomas, ahora bién te acepto el argumento si me sabes poner al menos un ejemplo de una propiedad que satisfagan estas clases de equivalencia y que no satisfagan los números correspondientes, lo que demostraría que efectivamente es necesario el filtro de los axiomas.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 01/11/2009, 10:18:36 am
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)



A ver...

Un número entero positivo [texx]k[/texx] está formado por la clase [texx]\{(k+m,m):m\in N\}[/texx], cuando viene por la parte de "la construcción".

Cuanto se habla del racional entero positivo [texx]k[/texx], se trata de la clase [texx]\{(km,m):m\in N\}[/texx].

Ahora considero la suma de pares ordenados [texx](a,b)\oplus{}(c,d)=(a+c,b+d)[/texx].

Tengo que [texx](k+m,m)\oplus{}(k+n,n)=(2k+m+n,m+n)[/texx], lo cual es un elemento de la clase que define el entero "por construcción" [texx]2k[/texx].

Por otro lado, tengo que [texx](km,m)\oplus{}(kn,n)=(k(m+n),m+n)[/texx], lo cual es un elemento de la clase que define el entero "via racionales" [texx]k[/texx].

En ambos casos, la operación [texx]\oplus{}[/texx] está bien definida entre clases de equivalencia, porque el resultado que me da pertenece a una clase de equivalencia determinada, y así puede redefinirla como una operación entre esas clases.
En un caso, obtuve [texx]k\oplus{k}=2k[/texx],
y en el otro caso obtuve [texx]k\oplus{k}=k[/texx].

Son dos resultados diferentes para una misma operación entre las clases, vistas como conjuntos.


Pero más allá de ese ejemplo (que a mí tampoco me convence demasiado...  :P ),
el hecho de que las clases que definen el entero positivo [texx]k[/texx] sean simplemente diferentes en ambas situaciones: [texx]\{(k+m,m)\}[/texx] y [texx]\{(km,m)\}[/texx],
ya alcanza para notar que se trata de objetos matemáticos diferentes, y que para identificarlos no hay más remedio que poner una lista de propiedades comunes que deben cumplir.

Si no, ¿cómo sé yo que ambos sistemas definen correctamente al entero [texx]k[/texx], aún siendo tan diferentes?
¿Qué criterio uso?  ???  ???  ???



no es dificil demostrar que hay isomorfismo entre los naturales y un subconjunto de los racionales, ó entre los enteros y un subconjunto de los racionales, etc.

Ahora soy yo el que se pone exigente, y te aceptaría esto si me dijeras qué tipo de isomorfismo estás poniendo entre, por ejemplo, un subconjunto de los racionales y los enteros.
¿A qué le llamás isomorfismo?

Hay muchos isomorfismos: de grupo, de anillo, de espacio vectorial, de relaciones de orden, de espacios topológicos.

¿De qué tipo ha de ser el isomorfismo en el caso de, por ejemplo, un subconjunto de enteros de Q y los enteros Z "construidos"?
¿En qué momento puedo decir: "he probado todas las propiedades que me dicen que efectivamente tengo un isomorfismo"?

Y si tengo un anillo ordenado tal que todos sus subconjuntos acotados inferiormente están bien ordenados.
¿Puedo tratarlos como números enteros? ¿Hay isomorfismo con los enteros? ¿No es eso un sistema de números enteros?
¿Adónde empieza el ovillo?

(Lo que está en azul es la versión resumida del sistema de axiomas 1, 2, 3 y 4,  ;) ).


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 01/11/2009, 10:36:37 am
La operación de suma via racionales no es correcta, ya te he comentado que los racionales son clases de equivalencia de [texx]N^3[/texx], así que tu operación no es correcta. Si quieres luego la analizamos más despacio pero creo que el concepto de racional has usado no coincide con el mío.

Por otro lado bastaría considerar la biyección entre los enteros [texx](m,n)[/texx] y los racionales [texx](m,n,1)[/texx] para tener el isomorfismo creado, ¿ó no?

La operación suma vía racionales sería así:

[texx](a,b,c)+(m,n,o)=(ao+mc, bo+nc,oc)[/texx]

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 01/11/2009, 10:41:00 am
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Las ternas ordenadas son algo que nunca he visto.
La construcción que yo uso, que está en "mi" post de números racionales, es la forma estándar, o sea, la que aparece en todos los textos. Por eso la uso.

Es cierto que se pueden usar otras construcciones, pero entonces, ¿por qué preferir la tuya que usa ternas en N? ¿Por qué tus clases de ternas "son" los números racionales?


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 01/11/2009, 11:07:16 am
Yo no descarto en absoluto tu forma de hacerlo, es tan válida como la mía supongo (ó incluso según tu opinión la tuya es la correcta, bien), y hay más formas de hacerlo imagino. Ahora bien ya te indiqué que planteando el asunto en la forma que yo lo hago no hacen falta axiómas ya que todas las propiedades se deducen de una simple definición y esa para mi es la única ventaja que presenta mi método. No existen verdades indiscutibles ya que eso es al fin y al cabo lo que es un axioma, sino que todo se realiza a traves de una simple definición y unas propiedades que son consecuencia de ella. Esa es la razón de que yo prefiera esa forma, y si acaso el hecho de la homogeneidad de poder definir los enteros como pares y los racionales como ternas de números naturales.

¿Porque debemos hacerlo en esa forma? Pues no es obligatorio claro está, pero reducir el número de axiomas necesarios siempre deberíamos considerarlo como una mejora de la teoría, ¿no te parece? De ahí mi propuesta.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 01/11/2009, 11:51:45 am
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Yo no descarto en absoluto tu forma de hacerlo, es tan válida como la mía supongo (ó incluso según tu opinión la tuya es la correcta, bien),

Yo no dije que mi forma es la correcta...
Las construcciones de racionales no son ningunas mejores que otras, ya sea con pares o con ternas, o con puntos en una recta euclidiana...

Esa es la cuestión, no hay una manera más correcta que otra de "construir" los racionales.

Además, ¿por qué tu forma de ternas "son" números racionales? ¿Por qué mi forma de pares ordenados "son" también números racionales?
¿Por qué todas las formas posibles "son" números racionales?

¿Por qué estás tan seguro de que unas formas u otras "son" números racionales si nunca has definido el concepto de lo que significa "ser un número racional"?

La gente suele usar el formato de pares ordenados para introducir los racionales, porque es el más natural, viendo a un racional como un cociente de enteros, y no como una cierta "terna".
La forma de pares es "más estándar", y no lo digo para defenderme a mí, que no soy "hincha" de los pares ordenados, ni de ninguna otra construcción, sino que si te vas a salir de lo "estándar" entonces tendrás que convencer a todo un mundo de por qué es mejor tu "definición" de números racionales.

Lo que digo es que ninguna construcción particular de números racionales puede tomarse como "definición" del concepto de número racional.

Porque así como todo el mundo define alegremente esos pares ordenados, y vos has definido otra cosa distinta, en base a ternas, todo el mundo puede dar su versión.

La versión de pares ordenados tiene la misma virtud que tus ternas: "en principio no agregan nuevos axiomas que parecen accesorios".
Y luego funcionan igual que cualquier sistema de racionales. ¿Cuál de los dos tengo que elegir yo? ¿Cuáles son las propiedades de los racionales con las que puedo trabajar aritméticamente? ¿Qué es la aritmética de racionales? ¿En qué momento deja de ser aritmética las operaciones que yo esté haciendo con esos objetos, clases o lo que sea?

Ninguna construcción, ni la de pares ordenados, ni la de ternas, tiene una "intuición" de número racional adecuada.
Todas son inventos extraños.
No veo motivo para preferir alguna.

Sin la lista de propiedades, no veo que haya una forma "uniforme" de establecer qué es un sistema de números racionales, por ejemplo.

Y además, como ya dije, aún si definimos el concepto por axiomas, eso no sirve tampoco, porque puede ser un concepto vacío, así que hay que agregar una construcción, para demostrar existencia.

Los Axiomas no son un "agregado innecesario". Las propiedades que se listan en los axiomas las cumplen todos los ejemplos "constuidos" de racionales. Por lo tanto, son en realidad las "propiedades mínimas" que todos esos sistemas cumplen.

En todo caso, los "agregados innecesarios" son las características peculiares de cada "construcción particular".



En cuanto al isomorfismo, lo honesto matemáticamente es preguntar ¿isomorfismo de qué?
La aplicación [texx](m,n) \to (m,n,1)[/texx] es una función biyectiva... ¿pero por qué es un isomorfismo? ¿Lo es? ¿Qué es lo que lo convierte en un isomorfismo?

Es un isomorfismo entre "anillos ordenados con buena ordenación de conjuntos inferiormente acotados".
Pero ser un "anillos ordenados con buena ordenación de conjuntos inferiormente acotados" es lo mismo que satisfacer los Axiomas 1, 2, 3 y 4 (anillo: axioma 1, ordenado: axiomas 2 y 4, buena ordenación: axioma 3).

Los axiomas están, aunque no queramos, porque "se cumplen".

Creo que la confusión viene porque todavía estás pensando que estoy "construyendo" los racionales a través de axiomas.
Y eso no es así.
Estoy definiendo el concepto de racionales por axiomas, pero lo que se dice "construir" es con mis pares o tus ternas, o lo que sea.



Los Axiomas no son "innecesarios". Son lo que define el concepto de número entero, racional, real, el que fuere.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 01/11/2009, 12:25:29 pm
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Cita
No existen verdades indiscutibles ya que eso es al fin y al cabo lo que es un axioma

Bueno, pero los Axiomas matemáticos no se deben tomar así, con esa carga emocional o filosófica.

Una lista de axiomas es lo mismo que una lista de propiedades, o de teoremas... Se cumplen o no.
Hay que tomarlos como los Axiomas de Grupo o de Anillo, o de Espacio Vectorial.
Solamente es una lista de propiedades generales de una estructura común a varios casos específicos.
Los sistemas de Axiomas son ahora una herramienta que permite demostrar hechos de índole general, evitando tener que repetir los mismos argumentos cada vez que se repite la misma estructura.

No es ya algo "fatalista" del tipo "verdad indiscutible".

¿O acaso los axiomas de grupo te parecen una "verdad decretada" a la que hay que inclinarse sin discusión?
No es esa la función de la teoría de grupos, sino aislar las propiedades comunes a varios sistemas.

Lo mismo pasa con los axiomas de "sistema de números enteros", por poner un ejemplo. Es una estructura de anillo, aunque con más propiedades que un anillo: tiene además un orden y satisface una propiedad adicional de "buena ordenación".

La diferencia entre los axiomas de grupo, y los de "sistema de enteros", es que dos grupos cualesquiera no son isomorfos (en el sentido de isomorfismo de grupos), salvo por mera casualidad. No importa que satisfagan los mismos axiomas de grupo, no hay isomorfismo (en general).

En cambio, dos sistemas que cumplan las propiedades de los enteros, siempre son isomorfos (en el sentido de "isomorfismo de sistemas de enteros").
Eso es lo que hace a los números una herramienta tan útil (sospecho).



Los Axiomas del tipo "verdad indiscutible" podrían ser los del tipo "fundacional" de la matemática, o sea, los axiomas de la lógica y la teoría de conjuntos.
Pero resulta que... en el fondo uno podría discutir estos axiomas y tratarlos como a cualquier sistema matemático.
Pero "tocar" esas reglas es más difícil, porque la gente no se anima...




Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 01/11/2009, 12:41:37 pm
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Cita
las propiedades se deducen de una simple definición y esa para mi es la única ventaja que presenta mi método

Como siempre, debo preguntar, ¿a cuáles propiedades te estás refiriendo? ¿No serán esas que puse en los axiomas, mmm,  :P ?

Como sea, hasta hace poco (días) tenía una visión de los números similar a la tuya, digamos, constructivista, y no me simpatizaban los axiomas.
Pero cuando me puse a escribir todo esto acerca de los sistemas de números me di cuenta de que estaba haciendo agua en alguna parte. No era sólido lo que estaba escribiendo, matemáticamente hablando.
Así que terminé cambiando mi postura a la que defiendo actualmente, y que se refleja en la manera que he trabajado en los posts anteriores:

  • Definir un concepto básico a través de propiedades comunes: los axiomas.
  • Demostrar existencia: a través de alguna de las construcciones típicas.
  • Demostrar unicidad: a través de un teorema que afirma que todos los sistemas con tales y tales axiomas, son "el mismo".

Creo que este "enfoque" es matemáticamente consistente, porque determina el concepto de número sin ambigüedades, ni omisiones.

Dejar sólo una "construcción" no me define bien el concepto de número entero o racional o real.
Dejar sólo "axiomas" no me demuestra que tiene sentido aquello de lo que estoy hablando.
Si uso los dos, necesito saber que puedo usar los números en forma consistente en todo contexto, sin importar cómo los represente: esa es la unicidad.

Esos tres ingredientes son los que, a mi juicio, deben estar en toda teoría que pretenda desarrollar en forma matemáticamente válida el concepto de número, que es una herramienta básica y general. No puede ser algo anecdótico (una construcción), ni un supuesto indefinido que no se sabe si es inconsistente (axiomas), ni posiblemente ambiguo (unicidad).

Además, el cuarto ingrediente presente en los desarrollos es, naturalmente la propiedad de que cada nuevo sistema de números contiene a los anteriores como un "subsistema", al menos vía isomorfismo.

Para la teoría de números reales, que aún no he terminado, hay mucho que decir, porque la "continuidad" que les caracteriza se puede definir de varias maneras diferentes. Es una propiedad que se explica desde muchos puntos de vista distintos, y en análisis avanzado todas esas formas son útiles y necesarias.
Así que me tomé un trabajo adicional para estudiar a fondo dicha propiedad.

Faltan los complejos, que tienen también sus "cosillas" intrincadas. (cerradura algebraica  ;) )


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 01/11/2009, 02:33:01 pm
Ya entiendo tu postura, creo. Lo que se está diciendo con los axiomas es que cualquier conjunto que satisfaga esas propiedades (los axiomas) puede ser utilizado como sistema numérico, da igual que los elementos del conjunto sean pares de naturales, pares de enteros, ternas de naturales, polinomios ó matrices. Eso es lo de menos, lo importante es que se satisfagan todas esa propiedades ¿Es eso?

En cualquier caso aún me quedaría una bala en la recámara, y la usaré. Puedo aceptarte que para la definición de los números naturales sea necesario una definición axiomática, por los motivos ya comentados, pero los enteros y los racionales son estructuras numéricas que se construyen a partir de los naturales, y todas sus propiedades se deducen a partir de las de estos últimos y de como se definen dichas estructuras. ¿Son necesarios los axiomas en estos dos casos? Si yo acepto que los enteros son un par de naturales y los racionales una terna de naturales (también es posible representarlos como un par natural, entero), entonces todas sus propiedades son perfectamente deducibles sin acudir a la axiomática. ¿Para qué entonces los axiomas en estos dos casos? Incluso creo que el mismo argumento es extrapolable al caso de los reales y de los complejos.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 01/11/2009, 05:45:25 pm
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Cita
y todas sus propiedades se deducen

¿Y cuáles son "todas" esas propiedades? ¿No deberíamos estar todos de acuerdo en qué propiedades deben cumplirse, para entender de qué estamos hablando?
Cuando uno se pone a detallar las propiedades que los números han de cumplir, y que de algún modo "caractericen" sin sobras ni faltas, a determinado sistema de números, son los axiomas (o "propiedades", si te choca menos) que han sido listadas.

Es cierto que de las "construcciones" se deducen las "propiedades" correspondientes, de lo contrario, no serían buenos modelos de enteros o racionales.

Cita
los enteros y los racionales son estructuras numéricas que se construyen a partir de los naturales


Esa es sólo una de las tantas formas distintas posibles de construir los enteros y los racionales.
Y vos las estás tomando como "la definición".
Eso es lo que critico, justamente.
Porque pienso que con esas construcciones particulares no se llega a comprender qué es realmente un número entero o un racional.
Al zambullirse en los axiomas uno ve que son "al menos eso", y "no más que eso" (y lo que se deduzca de allí).
Eso da una "precisión" de los conceptos.
Pero los axiomas no están completos sin un modelo que les dé sentido.
Así que tampoco quiero "axiomas" pelados. También quiero ver una construcción concreta, como la de los pares ordenados.
O sea, quiero comprobar que los axiomas se cumplen en algún caso, que "existen" tales sistemas.

Hay infinidad de maneras de inventarse una construcción alternativa, y que "tengan las mismas propiedades".
El hecho de que mucha gente exhiba esas construcciones, siempre las mismas, y no se ponga a discutir sobre otras fundamentaciones de los enteros o racionales, no quiere decir que esas clases de pares ordenados "sean" ellos y sólo ellos los números en cuestión, o la única posibilidad.


Cita
con los axiomas es que cualquier conjunto que satisfaga esas propiedades (los axiomas) puede ser utilizado como sistema numérico

Eso es lo que digo de cualquier sistema numérico, no sólo los naturales.

Opino que para llegar a una comprensión completa de cada sistema numérico, hay que pasar por los axiomas, las construcciones de pares ordenados, y los teoremas de unicidad, así como los teoremas de inmersión de sistemas más chicos en los más grandes.

En cuanto a los naturales, creo que tengo que revisar lo que he escrito, y acomodarlo mejor según esta postura que supuestamente estoy defendiendo.
Ocurre que no me decido qué axiomas tomar de naturales. En todos los casos "me sobran" propiedades, o sea, habría axiomas que puedo deducir a partir de otros... y en tal caso ya no son axiomas.
Los naturales son un dolor de cabeza, y no tengo claro cuál es el mínimo conjunto de axiomas que los caracteriza.
Eso me va a llevar un tiempo más, y quizá lo perfeccione después de terminar lo de los reales y complejos.
(Post-Edición: Ya me he decidido por una "definición" de números naturales, a través de una lista de Propiedades que siempre debieran cumplir, que he designado como Posultados 1 al 6. Si bien lógicamente hay mucha redundancia: unos postulados sirven para demostrar a los restantes, hay razones para dejar las cosas así. Ver "Números Naturales" (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97597.html#msg97597))

Sí es claro que hay, como siempre, muchas formas de "construirlos".
Me faltó agregar ejemplos de "construcción" de modelos de naturales. (Post-Edición: Ya he agregado al menos un ejemplo de "construcción" de los naturales, el más típico usado hoy en día...)


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 01/11/2009, 06:25:08 pm
Bueno, parece que han quedado claros todos los extremos, salvo eso que has comentado de los axiomasde los naturales. Entonces imagino que defiendes que existen infinidad ó mejor múltiples construcciones que son representativas de cada uno de los sitemas numéricos. Pero esto nos conduce a que los números propiamente dichos no existen, solo existen estructuras que satisfacen cierto conjunto de axiomas y que identificamos con los números pero ninguna de ellas puede considerarse que sea el conjunto de los naturales N, los enteros Z ó los racionales Q. Este enfoque es nuevo para mi, yo tenía asumido que los números verdaderamente existen, pero con esa teoría que nos presentas la pregunta del millon sería esta:

¿Existen verdaderamente los números?

¿Cuales son los elementos de N? ¿y los de Z ó Q?

¿Existen esos conjuntos?

Con esa teoría resulta que cada uno de los matemáticos del mundo podría estar trabajando con conceptos distintos de números, y aunque todos ellos deberán satisfacer los axiomas correspondientes no necesariamente deben coincidir unos con otros. Curioso punto de vista.

Pero ... sigamos razonando con este modelo. Todas las construcciones posibles de naturales tendrán necesariamente un primer elemento. Entonces el 1 sería representativo de todos esos primeros elementos. Es decir el 1 sería la clase de todos los primeros elementos de todas las estructuras naturales posibles. El 2 sería la clase de todos los siguientes a los primeros elementos, el 3 sería la clase de los siguientes a los segundos y así sucesivamente. Pero ... ¿a donde nos lleva esto? ¿a definir número natural? ¿cada número natural es representativo de una clase? ¿Y qué elementos pertenecen a cada clase? Yo creo que cualquier elemento podría pertenecer a la clase del 1. Y lo mismo para la clase del 2. ¿Entonces ... todas las clases son iguales? Ya me estoy liando como siempre.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 01/11/2009, 07:10:29 pm
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Cita
Con esa teoría resulta que cada uno de los matemáticos del mundo podría estar trabajando con conceptos distintos de números, y aunque todos ellos deberán satisfacer los axiomas correspondientes no necesariamente deben coincidir unos con otros. Curioso punto de vista.

Justamente, ese es un problema no menor, y por eso me estoy tomando el trabajo de dejar, para cada sistema, la demostración de un Teorema concreto que dice que tal o cual sistema de números es "el mismo" salvo isomorfismos.

Por ejemplo, el grupo de las rotaciones del cuadrado es el mismo (isomorfo) que el de las congruencias módulo 4.
(El grupo de rotaciones del cuadrado es el de las rotaciones que rotan los vértices del cuadrado, pero a la vista se ve igual, o sea, no está el cuadrado inclinado, ni nada similar)
Pero ese mismo grupo no es isomorfo al grupo de las matrices ortogonales de nxn con la operación de producto matricial.
No son isomorfos, a pesar de que cumplen los mismos axiomas de grupo.

Pero los sistemas de números por suerte "no tienen ese inconveniente", sino que todos los ejemplos concebibles de enteros, por ejemplo, son "isomorfos" entre sí, "son el mismo".
O sea, no sólo cumplen los mismos axiomas, sino que además puede tomarse cualquiera de ellos como sustituto de otro.
Y por eso es posible andar tan tranquilos usando un sistema de números como si fuera "uno solo".

En matemática, ser "uno solo" significa esto, "que multitud de objetos se identifiquen por alguna noción de equivalencia que los identifique".
Esas relaciones suelen recibir el nombre de "isomorfismos", pero podríamos pensar también que en el gran universo de los sistemas posibles, se establece una "relación de equivalencia".

Cita
¿Cuales son los elementos de N? ¿y los de Z ó Q?

¿Existen esos conjuntos?

Como siempre, no me gusta hablar de elementos y conjuntos en este contexto, porque es necesario asumir que "el" conjunto N está acompañado de otros objetos (operaciones, relaciones), que determinan una estructura.

Pero la cuestión de la existencia...
Podemos verlo así.

Todos los grupos isomorfos al grupo de rotaciones del cuadrado forman una clase.
"Ser isomorfo a" es una relación de equivalencia entre grupos.
Por lo tanto, se puede definir, como siempre, una relación de equivalencia, que dará lugar a una clase de equivalencia.
El grupo de rotaciones del cuadrado será un representante de esa clase, al igual que lo es el grupo de las congruencias módulo 4 con la suma.

De esta manera, todos los grupos quedan clasificados en clases enormes (que no son conjuntos, seguramente), que contienen, cada una de ellas, todos los grupos isomorfos entre sí.

Ese ejemplo creo que es fácil de comprender.

Ahora la misma idea la aplicamos a sistemas de números.
Hay un tipo de isomorfismo que es el de "preservación de propiedades de enteros", digamos.
Entonces, de nuevo, todos los sistemas de enteros, que a su vez sean isomorfos, formarán una determinada clase de equivalencia.

Pero hemos probado que, en realidad, todos los sistemas de enteros son isomorfos.
O sea que hay una sola clase de equivalencia vía esos isomorfismos.
En cierto modo, esa gran clase, que contiene a todos los sistemas de enteros posibles, es lo que vendrían a precisar el concepto de lo que son los números enteros.

Sin embargo, en la práctica, estaríamos trabajando con un representante específico de esa clase, aunque daría igual cuál usemos, porque lo que se demuestre para uno valdrá para todos, siempre y cuando las propiedades que usemos sean "sólo aquellas que vengan de los axiomas", porque esas propiedades son las que preservan los isomorfismos.
Puede haber otras propiedades "peculiares", de las que los isomorfismos no nos dicen nada.
Los axiomas junto con el teorema de "unicidad" son los que nos garantizan que en esencia hay "un solo" sistema de enteros.

Cuando hablamos de "el conjunto de enteros" es que estamos trabajando con un representante de todos los posibles sistemas.
En ese sentido, que estamos usando un conjunto propiamente dicho. Sólo que no especificamos cuál de todos los de la gran familia es el que estamos usando. Pero se trabaja con un conjunto concreto, porque si no... ¿cómo hacemos?

En los libros en vez de decir, sea Z "el conjunto de enteros", debiera decir, sea Z "un sistema de enteros".
Todo lo que se pruebe con un Z, se podrá probar con cualquier otro Z', así que los teoremas seguirían valiendo...



¿Qué son los números en realidad? Eso francamente no lo sé, y creería que nadie lo sabe.
Pero aún así, creo que todos estos isomorfismos y construcciones son algo maravilloso que nos da una comprensión acabada de lo que son.
Además es sorprendente que los números tengan una estructura tan sólida, uniforme, inambigua.

Por un lado, sus propiedades o axiomas obedecen a motivos que en cierto modo vienen de la intuición humana de número, y de las propiedades que les hemos impuesto.
Pero luego, cuando se los estudia a fondo, se ve que tienen mucha más riqueza y estructura de la que se sospechaba en un principio.

Me parece que por ahora la mejor comprensión que soy capaz de alcanzar de qué cosa son los números viene dada por este trío de:

axiomas + construccion-de-modelos + teoremas de unicidad

que he expuesto.

Pero siempre queda la duda de qué son realmente, aunque ahora estoy más contento con las cosas que he aprendido... y que ya sabía, sólo que no sabía que las sabía hasta que empecé a escribirlas.

Una cosa es demostrar que un teorema es cierto, y otra es lograr cierta "comprensión" del asunto.
Esa tarea extra-matemática roza peligrosamente lo no-lógico, y por eso me da algo de culpa defender tanto una "actitud" que no es nada "demostrable", pero que confío en que llevan por el buen camino.



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 01/11/2009, 07:20:15 pm
Pues chico, tu te habrás aclarado más, no lo dudo, pero a mi me acabas de hacer polvo.

Saludos, Jabato. :banghead: :banghead: :banghead: :banghead: :banghead:


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 01/11/2009, 07:43:41 pm
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Y bueno.

Si te sirve de consuelo: la igualdad en matemática casi que no existe.
En general hay "un" objeto "salvo" isomorfismos. O sea, "muchos" objetos que son "equivalentes en algún sentido".
Esa idea abre muchos caminos en el pensamiento matemático. Y es lo común.

Así es como uno se abre paso en la teoría algebraica.

Sin embargo no creo haber sido tan "duro". Quizá sí al remover "ideas en la cabeza", pero el tratamiento que he dado a los detalles, creo que he sido lo más claro posible en los posts pertinentes de cada sistema.

Puede "abrumar" un poco ver todo esto así, pero a la larga es bueno, porque se abre la mente a muchas ramas de la matemática, y con menor dificultad, porque la cabeza ya está "mejor preparada".

Fijate que podría haber hecho los posts de una forma más exageradamente abstracta, con álgebra pura y sin compasión, relaciones de orden, y un sinfín de propiedades que nunca "aterrizan" ni se parecen a algo familiar.
Pero creo que las cosas que he posteado en cada sistema de números son digeribles por todo el mundo,
y uso razonamientos básicos y detallados.

Pero tamibién es cierto que introduzco nombres y propiedades que suelen usarse en:
  • Teoría algebraica: Los números nos ayudan a entender cómo surgen las estructuras algebraicas elementales.
    El habituarse a jugar con isomorfismos es ejercicio de entrenamiento para entrar en calor en el lenguaje algebraico.
    A mí no me gusta que el álgebra se vaya por caminos de divagación tan abstracto, porque se vuelve difícil de comprender de qué se está hablando con tantos grados de abstracción.
    Pero los números nos dan la oportunidad de empezar ese camino, si es que nos interesa andar por ahí.
  • Teoría de relaciones de orden: Los números nos ayudan a entender las propiedades más importantes de las relaciones de orden, y cómo se encajan armoniosamente en una estructura algebraica.
    Las relaciones de orden por sí mismas son una rama de la matemática con muchas vicisitudes (ordinales transfinitos, problema de Suslin, etc.).
  • Teoría topológica: Los números nos sirven de motivación para estudiar cuestiones geométricas y/o topológicas, ya que aparecen nociones de arquimedianeidad, distancias, convergencia, conjuntos abiertos, cerrados, compactos, etc.
    Entendiendo por ejemplo las propiedades del "continuo" de los números reales, se puede luego entrar al mundo abstracto de la topología sin dificultad. (Me refiero a la topología de la convergencia ante todo, no tanto la topología algebraica... en fin)

Estudiar a fondo los números abre las puertas a muchas cuestiones de la matemática.
Y por eso he procurado hablar de todo eso en términos lo más elementales que sea posible, con pruebas y definiciones detalladas, pero con la intención de dejar una puertecita abierta a muchas otras posibilidades.

Si hay detalles poco claras... avisen, che


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 07/11/2009, 02:49:06 am
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Bueno, parece que han quedado claros todos los extremos, salvo eso que has comentado de los axiomasde los naturales.

Estuve editando el post de números naturales, y ahora he puesto una definición más precisa de lo que uno espera que sean los números naturales. He puesto, pues, una lista de 6 Postulados.
Elegí la palabra "Postulados" para distinguir un poco a esa lista de los "Axiomas" de la lista de Peano.

Por una parte, los números naturales tienen una serie de propiedades que todos sabemos que han de cumplir.
Podría haber listado más, pero son redundantes, porque se pueden demostrar a partir de los Postulados 1 al 6 que están puestos ahí ahora.

Pero hay una situación aún más confusa... y es que basta sólo el Postulado 1 para demostrar todas las propiedades conocidas de los números naturales. Este postulado invoca la lista de axiomas de Peano.
Si un sistema cumple los Axiomas de Peano, pueden construirse sobre su base las operaciones de suma y producto, y además la típica relación de orden entre los naturales.

Esto quiere decir que hay mucha redundancia en esos Postulados, y bastaría decir que, Axiomáticamente, los Numeros Naturales se caracterizan por los Axiomas de Peano.

Pero por otra parte, este punto de vista se puede tomar si uno parte de los Axiomas de Peano, e intenta con ellos demostrar las restantes propiedades...
¿Qué pasa si uno no parte de algunas otras propiedades, y trata de demostrar las restantes?
¿Qué pasa si uno pretende demostrar las "propiedades" de Peano a partir de otras propiedades de los números naturales, tomadas como hipótesis?
Esto es perfectamente válido, y puede hacerse, como mostraré en un futuro próximo (creo que algo he comentado alguna vez hace años en el foro), así que no es demasiado "sincero" el acto de conformarnos con una lista "mínima" de axiomas y probar las restantes propiedades de los naturales "más tarde" como teoremas.

Porque la verdad es que el "concepto de números naturales" abarca todas las propiedades listadas en los Postulados 1 a 6.
Esas propiedades son las que queremos que se cumplan. Eso son los números para nosotros.
El hecho de que unas puedan probarse a partir de otras con alta redundancia es algo interesante, que merece estudio, pero no hay razón para preferir unos postulados en vez de otros como los "postulados o axiomas primeros" de los números naturales.

De lo único que estamos seguros es que las propiedades de los Postulados 1 a 6 deben cumplirse todas.
Las queremos a todas.
A continuación, si queremos, podemos estudiar cuáles sublistas de esos postulados o propiedades son suficientes para "generar" a todas las demás.
La lista de propiedades de "Peano" son una de esas sublistas.
Pero hay otras, y prometo agrear prontamente detalles sobre ello.



Finalmente, agregué un modelo matemático concreto de número natural.
Matemáticamente hablando, lo único concreto que tenemos a mano para definir y demostrar cosas es la teoría de conjuntos.
No hay más objetos de los que podamos echar mano que los que la teoría de conjuntos nos autoriza.
Luego, formamos un conjunto N, que contiene un elemento designado como 1, y adosamos una función sucesor S, de tal manera que la terna (N,1,S) satisface los Axiomas de Peano.
A partir de ahí tenemos un modelo construido de números naturales, matemáticamente válido.

Esto nos dice que la teoría de los Axiomas de Peano, o si se prefiere, la de los Postulados 1 al 6, es una teoría no vacía.
Existe al menos una terna (N,1,S) que cumple con los requisitos de los números naturales.

A partir de ahí, pueden luego construirse cualesquiera otros conjuntos, que al darles una correspondencia biyectiva con "ése" N, se puede obtener otro modelo de números naturales.

Las posibilidades son ilimitadas, porque cualquier función biyectiva cuyo dominio sean los números naturales, se puede usar para "contagiarle" la estructura al conjunto "numerable" de llegada de la función.





Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 07/11/2009, 03:14:17 am
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Cita
Pero ... ¿a donde nos lleva esto? ¿a definir número natural? ¿cada número natural es representativo de una clase? ¿Y qué elementos pertenecen a cada clase?

Me parece que la construcción que has sugerido no está muy clara.

En efecto se puede definir la clase de todos los conjuntos biyectivos con uno dado...
En particular, esto puede hacerse para los conjuntos finitos.

Ahora bien, primera pregunta: ¿existe realmente la clase de todos los conjuntos de, digamos, 7 elementos?
Podría ser que dicha clase esté vacía.
Para asegurarnos que no es vacía, debieramos demostrar que al menos existe algún objeto en la teoría de conjuntos que tiene exactamente 7 elementos.

Si usamos la construcción típica de [texx]\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\},[/texx] etc., podremos lograrlo tras 7 pasos.
Luego, tras obtener este "ejemplo" de conjunto de 7 elementos, la clase del "cardinal" 7 tendría un representante, y entonces la clase es no vacía.

Esto es importante, porque si no, la clase del "cardinal" 7 se pòdría confundir con alguna otra clase, la del 11 quizá, si también fuera vacía.

Pero ¿cómo podemos probar que para cada "n" existe de verdad un conjunto con "n" elementos?
¿Existe realmente?
Esto se podría probar por inducción...
Pero para poder hacer demostraciones por inducción, necesito basarme primero en un conjunto de números naturales...
Pero como estoy construyendo, supuestamente, los cardinales de uno en uno, porque quiero formar N a partir de ellos... ocurre que no tengo aún un principio de inducción que pueda usar.

No tengo nada.

Tengo que demostrar, entonces, que tengo algún conjunto en donde es válido el principio de inducción.
Es ahí donde viene en nuestro auxilio el axioma del infinito, que dice que: Existe un conjunto X tal que el vacío es un elemento de X, y para todo elemento x de X, el conjunto de nivel superior, {x}, también pertenece a X.
Con eso, y usando intersecciones... se puede construir el famoso conjunto que contiene a todos los [texx]\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\},[/texx] etc. como sus elementos.




Ahora puedo usar inducción, porque tengo un conjunto inductivo... jeje. Y lo llamo N.
Volvamos a las clases de equivalencia.
Puede definir la clase de equivalencia [texx]C_n[/texx] que contenga a todos los conjuntos de la teoría de conjuntos, de cardinal [texx]n[/texx], para [texx]n\in N[/texx]. Esto quiere decir, biyectivos con el conjunto [texx]{1,...,n}[/texx].

Todas esas clases [texx]C_n[/texx] son no-conjuntos. O sea, son clases propias, porque se puede definir en ellas una aplicación sobreyectiva cuya imagen sea la clase universal.
Así que hay cosas que no se pueden hacer.

Por ejemplo, si yo quisiera definir un sistema [texx]M[/texx] de números naturales como un "conjunto" que contiene a todas esas clases [texx]C_n[/texx] como sus elementos, no se puede, porque justamente una clase propia no puede pertenecer a ninguna otra clase. Si algún objeto pertenece a M, ya es un conjunto, y no una clase propia...

Así que lo que puedo hacer es tomar un representante de cada clase.
Para eso se requiere un proceso de elección...
En este momento no recuerdo si los procesos de elección se pueden aplicar a familias de clases cualesquiera, o si sólo se puede aplicar a conjuntos.

Como sea, supongamos que sí se puede...
Entonces de cada clase [texx]C_n[/texx] debiera elegir un representante para formarme un conjunto de números naturales.
La forma correcta de hacerlo sería la siguiente:

Elijo un representante de la clase [texx]C_1[/texx], que será un conjunto unitario, digamos [texx]U_1[/texx]. De él extraigo su único elemento [texx]x_1[/texx].

Ahora tomo un representante de la clase [texx]C_2[/texx], que será un conjunto [texx]U_2[/texx] de dos elementos, digamos [texx]a, b[/texx].
Podría tomar quizá cualquiera de ellos como el elemento extraído [texx]x_2[/texx].
Pero no es cierto eso, porque alguno de los dos elementos, ya sea [texx]a[/texx] ó [texx]b[/texx], podría coincidir con [texx]x_1[/texx]. Así que debo tomar un elemento cualquiera de [texx]U_2[/texx], que no sea el [texx]x_1[/texx] antes obtenido.
En general, para la clase [texx]C_n[/texx] tomo un conjunto [texx]U_n[/texx] de [texx]n[/texx] elementos, y elijo cualquiera de sus elementos, siempre que no esté en las lista de los anteriores pasos del proceso: [texx]x_1, x_2, ..., x_{n-1}[/texx].

En forma recursiva queda definida una lista numerable de elementos "distintos".
Ahí sí que puedo tener un modelo de números naturales diferente, basado en clases de "cardinales".

No obstante, todo este proceso requiere que uno haga las definiciones por recurrencia con mucho más cuidado, desde un punto de vista formal.



No obstante, he seguido esos "pasos" para hallar [texx]x_1, x_2, ...[/texx] porque quería reconstruir tu idea de cómo obtener un conjunto N a partir de las clases de cardinales.

Pero no es lo que yo haría, por ejemplo.
Yo me quedaría tranquilo tomando directamente a los conjuntos [texx]U_1, U_2, U_3[/texx], etc. como los elementos de ese nuevo conjunto N que deseo formar. Esos serían los "elementos" que tomaría.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 07/11/2009, 07:07:40 am
Esta claro, he entendido tus argumentos, y la única conclusión que saco de ellos es que "el conjunto de los números naturales" no existe, solo existen ... familias de conjuntos biyectivos que cuando satisfacen ciertas propiedades podemos identificar con algo que llamamos número, pero si el conjunto de los números naturales propiamente dicho no existe tampoco existen sus elementos y toda la matemática se iría al garete, por no decir otro sitio menos digno. Así que los números naturales deberían existir, pero entonces la única posibilidad es que el concepto de número haga referencia a una clase de conjuntos , ¿qué clase? pues existen varias posibilidades de definir número natural como clase, no hay duda, pero aunque te parezca algo empecinado yo lo veo así.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 07/11/2009, 07:22:29 am
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Matemáticamente los números naturales existen, incluso como conjunto... (junto a operaciones, relaciones, lo de siempre).
Lo que ocurre es que no hay un solo conjunto al que se le pueda dar el mote de "números naturales".
Esa "clase" que contiene a todos los sistemas de números naturales solamente dice que el concepto de número natural es "confiable", en el sentido de que cualquier conjunto que a uno se le ocurra construir con las propiedades de número natural... se va a comportar como cualquier otro. Son todos el "mismo" en esencia.

No entiendo lo último que has dicho.

Lo que saco en limpio del uso de "clases" para definir naturales a partir de "cardinales" es que primero hay que demostrar que dichas clases existen... y luego, que se debe tomar representantes de esas clases, o elementos de esos representantes... como quieras.
Lo importante en todo caso es hacerlo con cuidado.

Pero no se puede tomar a las "clases de cardinales" mismas como elementos de un "conjunto" de números.
Aunque se las puede coordinar tomando representantes de ellas, y en ese sentido dichas clases se corresponderían con números.
Aunque ya a esta altura...
Mejor me voy a ver si entiendo el problema de la escalera.  (se hace referencia a un thread del foro de física)


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 14/11/2009, 03:31:43 pm
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Al parecer, este asunto me está llevando mucho más tiempo del que imaginé.

He terminado la mayor parte de la teoría de números reales.

Números Reales (parte 1) (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97604.html#msg97604)

Me falta tan sólo agregar un teorema que demuestre que cualquier par de sistemas que satisfagan los 4 axiomas de los números reales, son en realidad isomorfos entre sí, ya sea algebraica como ordinalmente. (Ya está agregado)

La teoría de números reales tiene muchos aspectos interesantes que no quise pasar por alto.
La propiedad del supremo, que es lo que dota a [texx]R[/texx] la estructura de "continuo", merece ser estudiada desde los muchos puntos de vista que presenta, para poder entender sus implicaciones, y ayudarnos a comprender mejor a los números reales.

Es por eso que he puesto una serie de equivalencias en el Teorema 3 de la teoría de números reales,
todas propiedades equivalentes a la propiedad de tener un supremo...

También hay un Teorema 4 con varios preliminares, que muestra la equivalencia entre tener supremo y tener las propiedades de arquimedianeidad y completitud de Cauchy.

Estos detalles geométricos y topológicos son tan fundamentales e importantes en la comprensión de los números reales que no los quise dejar "en el aire", como he hecho en cambio con muchas otras propiedades y teoremas aritméticos de [texx]N, Z, Q[/texx] y también [texx]R[/texx] mismo.

Ha sido un trabajo arduo, porque he preferido, como hasta ahora, hacer un mínimo uso de ciertas propiedades de los números,
y por otra parte pretendo que las demostraciones sean exactas, a la vez que claras para el ojo no muy especializado.

Además falta desarrollar un segundo post de números reales en el que se muestre que existe al menos un modelo de números reales, o sea, la teoría no es vacía.
Este post estará dedicado exclusivamente a los modelos constructivos de dichos números.
Los casos que voy a desarrollar son los siguientes:

  • [texx]R[/texx] se obtiene a partir de clases de equivalencia en el espacio de sucesiones crecientes de racionales.
  • [texx]R[/texx] se obtiene a partir de clases de equivalencia por el método de "intervalos encajados" de racionales (casi lo mismo que lo anterior)
  • [texx]R[/texx] se obtiene dotando al espacio de las "sucesiones de dígitos" de las operaciones y relaciones adecuadas.
  • [texx]R[/texx] se obtiene a partir de los racionales mediante el método de las cortaduras de Dedekind.
  • [texx]R[/texx] se obtiene a partir de ciertos axiomas y propiedades de la geometría euclidiana de la "línea recta".
  • Dado cualquier modelo de cuerpo ordenado arquimediano [texx]C[/texx], se puede construir un modelo de [texx]R[/texx] agregando los "elementos faltantes" para que se cumpla la completitud de Cauchy.
    En particular, si ya hemos probado que hay un modelo de números racionales [texx]Q[/texx], entonces completando en el sentido de Cauchy se obtiene un modelo que cumple los axiomas [texx]R[/texx] de forma trivial.

Es la historia sin fin...  :'(
Pero ya llegaremos.

También planeo agregar varios gráficos para hacer la cosa algo más digerible...  (Ya están agregados... ojalá cumplan su propósito)

Mientras tanto, los interesados tienen bastante material con el cual entretenerse.
De paso pueden marcar errores, sugerir cambios o agregados, comentar, etc.

 ;)


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 17/11/2009, 12:31:45 am
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)



Hola gente.

Estuve retocando el post de números reales (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97604.html#msg97604):
Le agregué unos cuantos dibujos en medio de las definiciones o incluso demostraciones.

No soy Rembrandt dibujando, pero algo es algo.  :-\

Los dibujos están en el interior de los spoilers, así que no se ven a simple vista, y hay que ir abriendo los desplegables para buscarlos. Si no hay ganas de leer largas demostraciones, por lo menos uno puede divertirse "buscando el dibujito".  :P

Como sea, ya nadie tiene excusa para decir que no se entiende la teoría de números reales.
Aunque voy a tener que hacer algún curso de arte y diseño gráfico  :banghead: ... he abusado demasiado del Paint  :-[ (no le cuenten a nadie que uso ese programejo :-X ).

Cariños a todos  :-*


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 20/11/2009, 12:30:42 am
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Aviso importante: Estuve revisando "a fondo" el post de números reales, parte 1, y encontré algunos errores en el extenso Teorema 3:
  • Errores pequeños de notación en la parte (c), en una parte donde se usan unos índices "[texx]r[/texx]".
    El error era de notación en latex, pero al leerlo podia causar confusión, porque era un paso algo intrincado de la demostración.
  • Un pequeño error en la parte (f). En vez de la intersección de los intervalos [texx]J_m[/texx] había escrito la unión...
    También cambié de lugar el gráfico que figura en la equivalencia con (f), porque el lugar correcto es después de haber discutido acerca de los intervalos que no pueden cubrirse con finitos abiertos.
  • Error gigantesco en la prueba de la parte (d):
    La recíproca de la equivalencia de la parte (d) estaba completamante mal,

    y en realidad la demostración correcta, que es lq que puse ahora, es incluso mucho más fácil de entender y de llevar a cabo.

Creería que ya no hay más errores en la parte de números reales, ya que realicé una lectura paciente y muy minuciosa en busca de errores, y parece que todo está en orden.

Según he visto en google, sé que hay gente que ha estado imprimiendo todo este material... jeje  :D
A tales personas les sugiero que tengan en cuenta estas correcciones, y les agradecería que me indiquen si han detectado algún otro error en las cuentas.  :P


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 21/11/2009, 06:20:30 pm
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Aviso: Ahora hice una revisión exhaustiva del post de números racionales, y sólo encontré pequeños errores, que han sido corregidos. También está algo más "colorida" la presentación, y algo más retocada toda la parte visual.

¿Son muy molestos los colorinches salpicados por todos lados?
Estoy abusando de los colores porque he notado que le dan más vida al texto, se hace menos monótono, y se realzan los puntos clave de una demostración.

Estoy tratando de ser consecuente con el sistema de colores, pero no es perfecto.
En general el verde significa "ideas filosóficas o discusiones informales".
El marrón indicaría hipótesis o conclusiones intermedias importantes en una demostración, o bien algunas definiciones o recomendaciones.
El azul marino indica hipótesis o conclusiones definitivas o mucho más importantes que las que aparecen en marrón.

Pero no necesariamente he respetado esos parámetros de colores a rajatabla.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 22/11/2009, 03:24:10 am
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Aviso: He realizado una verificación exhaustiva de lo escrito en el post de números enteros, y parece estar todo correcto.
También he hecho un retoque estético de todo el post, con más colorido.



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 15/10/2011, 06:34:24 am
No quisiera estropear tu hilo con cosas menores, pero voy a incluir aquí una forma muy sencilla (no geométrica) de construir números reales. Si consideras que esto no debiera estar aquí ó simplemente que estropea la estética del hilo lo borras y seguimos tan amigos.

Baste decir que los números reales presentan en su estructura dos partes bien diferenciadas, la mantisa y la parte entera, de manera que podríamos considerar que un número real no es más que un par ordenado de la forma:

[texx]r=(e,m)[/texx]

  · La parte entera, [texx]e[/texx], es un número entero, positivo ó negativo, cualquiera.

  · La mantisa, [texx]m[/texx], es una sucesión indefinida de dígitos, que cuando es cíclica permite identificar el par con un
    número racional y cuando no lo es el par se identifica con un numero irracional.

El conjunto de pares así construidos podemos pues identificarlo con un modelo del conjunto de los números reales. Demostrar que tales construcciones cumplen sus axiomas es algo más peliagudo que solo intentaré si consideras que este mensaje merece sobrevivir aquí, en otro caso lo olvidaré ó si acaso abriría un hilo nuevo para intentarlo sin molestar tu intervención.

NOTA: el concepto de mantisa, visto como una sucesión indefinida de dígitos, es un concepto poco utilizado y menos aún desarrollado en matemática, pero si se molesta uno en analizarlo con detenimiento resulta que presenta unas propiedades muy interesantes y útiles tal y como se muestra aquí mismo, en el que se utiliza dicho concepto para definir los números racionales y los irracionales partiendo tan solo de los números enteros, caso que bien vale como ejemplo de sus interesantes propiedades, entre las que cabe citar la más relevante y es la de que el conjunto de todas las mantisas es un conjunto que presenta cardinalidad continua.
 
Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 15/10/2011, 03:17:01 pm
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


No quisiera estropear tu hilo con cosas menores, pero voy a incluir aquí una forma muy sencilla (no geométrica) de construir números reales. Si consideras que esto no debiera estar aquí ó simplemente que estropea la estética del hilo lo borras y seguimos tan amigos.


Hola.

Como el hilo está dedicado específicamente a un tipo de construcción: "encaje de intervalos racionales", no correspondería hablar de repente de una construcción distinta.

Se me ocurrió pegar esta pregunta tuya con el hilo "maestro" en donde llevábamos las discusiones referidas a la construcción de los sistemas numéricos.

Si no te gusta que quede ahí, porque se mezcla demasiado con las otras discusiones, puedo poner este hilo aparte, como un tema nuevo. No hay problema.





Las construcciones que conozco incluyen, creo, la que has nombrado (aunque a lo mejor la estás pensando en un modo sutilmente diferente). La lista que conozco es la siguiente:


En cada desplegable llevamos a cabo una construcción de un modelo diferente de sistema números reales, y basta hacer clic para ver los detalles.

En todo lo que sigue, supondremos que tenemos disponible un sistema de números racionales [texx](Q,+,\cdot,0,1, \leq)[/texx], y denotaremos con [texx]N[/texx] y [texx]Z[/texx] a sus correspondientes subsistemas de numeros naturales y números enteros.

Método de los intervalos encajados de números racionales (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,42091.msg167963.html#msg167963)[/font]


Spoiler: Método de los cortaduras de Dedekind (click para mostrar u ocultar)






De esa lista sólo he desarrollado la mitad principal de la primera: encajes de intervalos.
Las otras, bueno, llevan tiempo.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 15/10/2011, 03:33:15 pm
Está bien así, no te preocupes.

El modelo expuesto por mí es una ocurrencia más de Jabato (de las muchas que pululan por mi mente), es decir que no lo he sacado de ninguna otra parte que no sea de mi cabeza, aunque es probable que solo haga que reproducir, en los aspectos más generales, otros modelos que ya hayan sido ideados con anterioridad. En cualquier caso intentaré, a medida que vaya teniendo tiempo, demostrar que este modelo cumple los axiomas de los reales, y tendré que hacerlo claro improvisando las pruebas, ya que todo lo que exponga aquí deberá ser original mío, porque el modelo también lo es, aunque no parece que vaya a ser muy complicado hacerlo si se definen la suma y el producto en la forma adecuada.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 15/10/2011, 03:37:25 pm
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)



Fijate que hay una de las construcciones que se hace en base a "dígitos".
Esa sería muy similar a lo que estás proponiendo.

Después de todo, ¿cómo describirías la parte fraccionaria del número real?
O bien, se puede construir la parte fraccionaria siguiendo métodos cualesquiera.
No has especificado el método que estás usando para construir esa parte.

Lo que decís está bien como idea, pero al desarrollar la idea verás que lleva mucho trabajo.
Creo que sugeriste que sería más rápido, pero no es así.

El problema estriba en que se supone que uno no tiene a la mano ningún conjunto de números reales, sólo tiene racionales, y entonces tiene que inventarse algo que "funcione" como los números reales.

Así que:

* Primero hay que definir con mayor precisión a qué le llamás "parte decimal o fraccionaria". Así como está, pareciera que te referís a una sucesión de dígitos.

* A continuación está el problema de la unicidad de los objetos. Si se usan dígitos, hay objetos con dos representaciones, y hay que tomar algún tipo de decisión de qué hacer con eso.

* Pero definir el conjunto que va a funcionar como R no es suficiente, hace falta definir también las operaciones aritméticas de suma y producto, y también la relación de orden <.

* También hay que indicar qué objetos harán las veces de elementos 0 y 1, pero eso en general es fácil.

* El siguiente paso es comprobar que tu construcción (R, +, ., < , 0, 1) satisface todos los axiomas de un "sistema de números reales", porque los números reales son un "sistema" que ha de cumplir leyes, y no es un simple conjunto. Si bastara con construir un conjunto sin nada más que hacer, entonces sólo habría que tomar [texx]R=\mathcal P(N)[/texx], que es un conjunto con el cardinal del "continuo", y ya está. Pero necesitamos que R esté acompañado de una "estructura algebraico-analítica", y entonces hay que trabajar más.

Una vez establecido el punto anterior, ya podríamos andar más o menos tranquilos, porque lo que nos hacía falta era que nuestro sistema recién construido verifique los postulados especificados.
Pero por una cuestión de seriedad matemática, hace falta verificar algo más:

* Que nuestro sistema (R, +, ., < , 0, 1) tiene en forma natural un "subsistema isomorfo a los números racionales". En tal caso, hay que indicar un subconjunto Q de "nuestro sistema construido R", especificar una biyección con el "sistema de partida [texx]\mathbb Q[/texx]" de racionales que usamos para "apoyar la construcción", y finalmente demostrar que la biyección en cuestión conserva la suma, el producto, y la relación de orden <, además de las identidades 0 y 1.

Todo este trabajo no puede ser evitado, y debe acompañar a toda construcción.

Quizá tengas razón en que al menos el primer paso de la construcción sea más breve.
Eso sí.
Pero es de sospechar que lo que uno se ahorra en ese paso, se complica luego en pasos subsiguientes, porque uno tiene que hacer todo a mano: la suma, el producto y el orden, y tiene que estar seguro de que todo está correcto, que no hay errores.





Hay un modo de saltearse todos esos pasos, pero es tramposo.

Veamos. Supongamos que ya tenemos alguna otra construcción alternativa de R, como la de encaje de intervalos.
En ese caso, bastaría establecer una biyección entre esa construcción y la nuestra, y así "contagiar" las operaciones y el orden <.

Se podría "contagiar" la estructura, y cruzar los dedos.

Si uno no se convence de eso, puede construir algunos pasos más, como por ejemplo fabricar la suma, el producto y el orden <, y luego usar la biyección anterior para demostrar simplemente que se conservan dichas operaciones y el orden.

Eso sería indudablemente correcto, y estaría demostrando automáticamente que se cumplen todos los axiomas de los reales, sin necesidad de comprobarlos uno por uno.

Pero el problema con este enfoque es que necesitamos previamente tener una construcción que alguien "ya" nos haya dado de R, una distinta, que funcione.
O sea que el "trabajo a mano" alguna vez hay que hacerlo.

Y como ninguna construcción es preferible a otra, mi idea es construir todo a mano, para todas las construcciones posibles, y después cada cual elige la que más le gusta como su "construcción inicial de referencia", si así le place.

Además, la subsección 4.9 del thread Teoría Números Reales (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142860.html#msg142860)
establece un teorema de unicidad: no importa cuáles construcciones hagamos de los reales, son todas equivalentes entre sí, son isomorfas.

Esto es importante, porque no queremos una noción ambigua de número real.

Sin embargo, no nos ayuda mucho ese teorema en ahorrarnos trabajo, porque para aplicarlo necesitamos previamente haber demostrado que un par de construcciones dadas de R satisfacen (a mano) cada uno de los Axiomas listados al principio del citado thread.

Saludos


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 15/10/2011, 03:47:04 pm
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)



Baste decir que los números reales presentan en su estructura dos partes bien diferenciadas, la mantisa y la parte entera, de manera que podríamos considerar que un número real no es más que un par ordenado de la forma:

[texx]r=(e,m)[/texx]

  · La parte entera, [texx]e[/texx], es un número entero, positivo ó negativo, cualquiera.

  · La mantisa, [texx]m[/texx], es una sucesión indefinida de dígitos, que cuando es cíclica permite identificar el par con un
    número racional y cuando no lo es el par se identifica con un numero irracional.

El conjunto de pares así construidos podemos pues identificarlo con un modelo del conjunto de los números reales. Demostrar que tales construcciones cumplen sus axiomas es algo más peliagudo que solo intentaré si consideras que este mensaje merece sobrevivir aquí, en otro caso lo olvidaré ó si acaso abriría un hilo nuevo para intentarlo sin molestar tu intervención.

NOTA: el concepto de mantisa, visto como una sucesión indefinida de dígitos, es un concepto poco utilizado y menos aún desarrollado en matemática, pero si se molesta uno en analizarlo con detenimiento resulta que presenta unas propiedades muy interesantes y útiles tal y como se muestra aquí mismo, en el que se utiliza dicho concepto para definir los números racionales y los irracionales partiendo tan solo de los números enteros, caso que bien vale como ejemplo de sus interesantes propiedades, entre las que cabe citar la más relevante y es la de que el conjunto de todas las mantisas es un conjunto que presenta cardinalidad continua.


Tal cual, es cierto. Esta construcción sería muy similar a la de las sucesiones de dígitos (que no he expuesto).
Es tal el parecido que uno duda en si hacer la construcción usando sólo sucesiones de dígitos desde un índice positivo k hasta "menos infinito", o bien hacer las cosas tal como vos decís: una parte entera y los demás dígitos.

Y es cierto eso que decís que sólo se usan números enteros y nada de racionales.
Es verdad que es el aspecto interesante de dicha construcción.

Te diría que la construcción no es "original".
Tampoco puedo citarla, porque no sé dónde anda.

En realidad las demuestro por mi propia cuenta porque me sale más rápido hacerlo por mi propia cuenta que buscando en algún libro como se hace.
Pero no me preocupa decir que las demostraciones o construcciones son originales mías porque estoy seguro que no lo son.

Por eso también me animo a hacer demostraciones confiadamente, porque sé que es terreno trillado, y que las cuentas dan. Es cuestión de ponerse a hacerlas.

Creo que ponerte a hacer la construcción completa será un ejercicio muy interesante.
Los pasos que hay que dar los dí en mi post anterior.
Son muchos, pero no es para desanimarte, sino que son los pasos que hay que dar.

En todo caso, podés ir dejando las "ideas" de qué harías en cada paso, como he venido haciendo con los encajes de intervalos.
Yo me canso de sólo imaginarlo, jeje.

Creo que el método más laborioso es el de Cortaduras de Dedekind.

Saludos


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 15/10/2011, 04:09:28 pm
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Te puedo ir ayudando con los detalles en los sucesivos pasos, porque me voy dando cuenta de lejos dónde estarán las dificultades...

Y así entre los dos vamos completando esta construcción, que tiene muchos detalles interesantes, y es distinta a las demás.



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 15/10/2011, 04:12:02 pm
Bueno, lo que voy a hacer es intentarlo y sin trampas, es decir demostrar que esta construcción satisface todas y cada una de las propiedades que debe satisfacer. Si lo consigo pues eso que me llevo pal cuerpo y si fracaso pues también ya que al menos aprenderé algo nuevo. Sí resulta muy interesante la cuestión de que al mismo tiempo que se construyen los reales se construyen los racionales y que el punto de partida es [texx]\mathbb Z[/texx], lo cual es ciertamente novedoso, al menos para mi.

Saludos y gracias por tu apoyo. Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Carlos Ivorra en 15/10/2011, 04:16:38 pm
Creo que ponerte a hacer la construcción completa será un ejercicio muy interesante.
Los pasos que hay que dar los dí en mi post anterior.
Son muchos, pero no es para desanimarte, sino que son los pasos que hay que dar.

Tal cual está enunciado, el proyecto no puede funcionar. Al menos debe ser retocado para tener en cuenta que el par [texx](0,1299999\ldots)[/texx] tiene que definir el mismo número real que el par [texx](0,13000\ldots)[/texx]. O bien se eliminan las mantisas que acaban en nueves, o bien hay que hacer una identificación entre ellas.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 15/10/2011, 04:26:04 pm
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Creo que ponerte a hacer la construcción completa será un ejercicio muy interesante.
Los pasos que hay que dar los dí en mi post anterior.
Son muchos, pero no es para desanimarte, sino que son los pasos que hay que dar.

Tal cual está enunciado, el proyecto no puede funcionar. Al menos debe ser retocado para tener en cuenta que el par [texx](0,1299999\ldots)[/texx] tiene que definir el mismo número real que el par [texx](0,13000\ldots)[/texx]. O bien se eliminan las mantisas que acaban en nueves, o bien hay que hacer una identificación entre ellas.

Jaja, Donald, es cierto, pero no es cuestión de decir que no va a funcionar. La dificultad es menor, y supongo que se resolverá cuando se presente.

De las soluciones que mencionaste, la preferible es la segunda, porque la primera sólo va a traer problemas al definir la suma por ejemplo.

Además, estas cosas son conocidas. No entiendo por qué decís que no va a funcionar.

O sea, me parece muy natural la construcción de los reales a partir de los dígitos.
Si decís que no está en ningún libro, entonces Jabato tiene razón, y se trata de una idea original suya.

Yo he tenido dificultades para encontrar las construcciones completas en los libros. A lo sumo aparece la de Dedekind bien desarrollada en todos lados, porque a todo el mundo le fascina Dedekind.

Pero hay muchas maneras de construir R, y todas enseñan algo importante, además de que son tan distintas que dejan una gran lección que aprender acerca de la riqueza o propiedades de los números reales.

La construcción por medio de dígitos nos obliga a trabajar por ejemplo con el orden lexicográfico, y a intentar definir la suma y el producto en forma de "algoritmo", con las dificultades que conlleva dicho algoritmo al trabajar con infinitos dígitos.

El caso del producto es a simple vista el más complicado.

Pero que va a funcionar, no tengo duda alguna.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 15/10/2011, 04:37:21 pm
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


De hecho, una vez construidos los reales con algún otro método, se le asigna a cada número real su desarrollo decimal, que es parte entera más su parte decimal.

Esto muestra que el conjunto de objetos que describe Jabato (con la pequeña corrección que apunta Donald) tiene asociadas operaciones de suma, producto, y un orden, que funcionan, pues en este caso simplemente les son "contagiados" desde la "otra" construcción de números reales que ya teníamos (por ejemplo, como puntos en la recta euclidiana, digamos).

Este "contagio" se evita todo el problema de definir a mano las operaciones, pero el problema es, como dije antes, que uno tiene que contar ya con una construcción previa.

Otra cosa interesante es que el tema de los dígitos surge naturalmente directo a partir de los postulados de los números reales.

Por esa razón dudé en poner esta construcción primera en la lista, y me puse a hacer otras.

Justamente por lo que arriba mencioné, si uno ya tiene o sabe que tiene un sistema que cumple las propiedades de los reales, puede hacerle una asignación de su representación con dígitos.

Este tipo de cosas hacen interesante esta construcción específica.

¿Qué pasa si uno intenta hacer la construcción desde la nada, sin asumir que hay un sistema de reales, sino sólo racionales, o enteros?

Hay que escalar la montaña.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 15/10/2011, 04:40:34 pm
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


En realidad, la única objeción que yo le veo a esta construcción es lo que va a ocurrir cuando se intente definir la multiplicación de estos objetos mixtos "parte entera + parte fraccionaria".

El problema es que ahí ambas partes tienen que empezar a interactuar fuertemente, y se dificulta el trabajo.
Por ejemplo, ¿qué pasaría si multiplicamos un número por 511?
Un trozo de la parte fraccionaria tendrá que pasar a ser parte entera, y hay que tener cuidado en esos detalles para que no se vuelva confuso.

Si no se discriminara entre parte entera y decimal, y sólo se usan sucesiones de dígitos, este problema no aparecería, ya que el tratamiento sería uniforme.



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 15/10/2011, 04:54:48 pm
Yo estoy de acuerdo con argentinator, es posible que escalar la montaña conlleve algunas dificultades y también es posible que alguna de ellas no podamos resolverla aquí, pero que la construcción es un modelo para los reales de eso no albergo ninguna duda.

La duda que planteas es simplemente tonta porque si yo establezco que cualquier secuencia infinita de dígitos que tenga al menos una cola que esté formada exclusivamente por nueves no es una mantisa, entonces resuelvo el problema. Considera que cola de una secuencia infinita de dígitos es cualquier secuencia infinita formada por todos los dígitos que siguen a uno dado.

Más peliaguda parece la dificultad que propone argentinator, la de definir el producto en este modelo que parece que va a tener su aquel, aunque creo que es posible hacerlo modificando en cierta medida los algoritmos de suma y producto de números naturales para adaptarlos a la suma y producto de mantisas. Evidentemente trabajar con secuencias infinitas tiene su dificultad pero solo la reconoceré si alguien aquí me dice cual es el valor exacto del producto [texx]e\times{}\pi[/texx]

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Carlos Ivorra en 15/10/2011, 04:59:19 pm
Jaja, Donald, es cierto, pero no es cuestión de decir que no va a funcionar. La dificultad es menor, y supongo que se resolverá cuando se presente.

De las soluciones que mencionaste, la preferible es la segunda, porque la primera sólo va a traer problemas al definir la suma por ejemplo.

Además, estas cosas son conocidas. No entiendo por qué decís que no va a funcionar.

No he dicho que el proyecto no vaya ha funcionar. Sólo que no va a funcionar tal y como está enunciado, es decir, para mantisas arbitrarias. Como Jabato se proponía ponerse a hacer la construcción con detalle, consideré oportuno advertirlo porque, la dificultad no se resolverá cuando se presente, sino que, si se da cuenta de ella después de haber llenado cuatro páginas de comprobaciones, tendrá que volver al principio, modificar las definiciones, y reescribir lo escrito teniendo en cuenta la definición modificada.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 15/10/2011, 07:09:23 pm
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Está bien Donald, entiendo tu punto y tu intención.

Pero me parece más interesante que sea Jabato mismo el que se dé cuenta de eso mientras intenta hacer la construcción, y volver a reescribirla.

Después de todo, no hay que reescribir tanto, sino sólo agregar un paso más.

Al trabajar con clases de equivalencia, se aprovecha todo el trabajo previo. Pienso que no habrá que "reescribir" demasiado.

De hecho, hay muchas dificultades que uno ve antes de empezar, pero me parece más productivo analizar cada uno a medida que aparezcan.
Ya me ha pasado que hago comentarios generales sobre "lo que va a pasar" y nadie me los cree, porque yo los veo por anticipado, pero los demás no.
La única forma de que se convenzan es haciendo las cuentas.





En cuanto al problema que menciono sobre la multiplicación, Jabato dice que seguramente tiene arreglo, y esto es así.
El problema no es matemático, sino estético, pues se pierde la intención original de tener cómodamente separadas la parte entera y la parte fraccionaria.
Es inevitable, pues deben interactuar.

Pero con algo de paciencia, se arregla sin muchos problemas.

Saludos


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 15/10/2011, 07:18:51 pm
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Evidentemente trabajar con secuencias infinitas tiene su dificultad pero solo la reconoceré si alguien aquí me dice cual es el valor exacto del producto [texx]e\times{}\pi[/texx]


Sólo te lo diré si me dices cuál es el valor exacto de [texx]e[/texx] y de [texx]\pi[/texx].  :D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 15/10/2011, 07:35:21 pm
Bueno, para ir haciendo boca antes voy a intentar haceros notar que el modelo (con la exclusión de las mantisas que presentan colas de periodo 9, como ya indiqué antes) es el mismo conjunto que el de los reales y por lo tanto el problema tiene solución, para ello me basta con haceros notar dos cosas muy fáciles de probar:

a) A cada número real le corresponde uno y solo un par de la forma [texx](e,m)[/texx]

b) A cada par de la forma [texx](e,m)[/texx] le corresponde uno y solo un número real.

¿Hace falta que plantee las demostraciones ó me las puedo ahorrar?. Basta solo notar que un número real solo presenta una única parte entera y una única parte fraccionaria, hecho que vuelve a ser válido para los pares del modelo, con lo que al identificar la parte entera del par con la parte entera del número real y hacer lo propio con las mantisas tenemos establecida la correspondencia elemento a elemento, lo que nos garantiza que el modelo es válido.

Claro está que eso no prueba de una forma directa que se cumplen todos los axiomas, aunque sí lo hace de una forma indirecta, "tramposa" si quereis, como la calificó argentinator, pero matemáticamente correcta y por lo tanto tan válida como prueba como la que más. ¿Alguna duda de que el modelo funciona?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 15/10/2011, 08:00:19 pm
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


No sé si tan "tramposa".

Imaginemos que nadie ha construido los números reales de ninguna forma hasta el día de hoy.

No podrías decir: "a cada real le corresponde un objeto [texx](e,m)[/texx] tal que bla bla ...".
¿A cuál "real" te estás refiriendo, si no hay ninguno?

Si ya hay alguna construcción por ahí, entonces te podrías referir a esa construcción, y asignarle un par [texx](e,m)[/texx], de un modo bastante sencillo, sistemático.

Si no hay ninguna construcción hecha, no se sabe si el concepto de números reales tiene sentido.
Por eso hace falta tener a mano al menos una construcción que sea válida.

Si no, no se sabe si los reales "existen" o no.
No basta con dar los axiomas.
Si los axiomas se contradijeran, la lista de sistemas que los cumple... sería vacía, no existirían o no tendría sentido hablar de números reales.

Sin embargo, los axiomas en sí mismos se pueden dar sin más, y entonces quedaríamos en una situación "hipotética", en la cual uno supone que tiene un conjunto que cumple tales y tales propiedades.

Bajo esa hipótesis, es posible asignar a cada número real su desarrollo (e, m). Pero esto seguiría siendo hipotético.

Lo malo de eso es que a partir de hipótesis falsas uno puede construir o demostrar lo que se le dé la gana, y entonces la construcción no tendría ningún valor.

Lo que has expresado es sólo la idea, el puntapié inicial.
Para llamarla construcción, se necesita todo lo que enuncié.
Hace falta comprobar los "axiomas" de números reales.

Si no, sólo estás diciendo que hay una biyección entre los reales y los desarrollos con dígitos, y eso no dice nada.

Después de todo, también hay una biyección entre los reales y [texx]\mathcal P(\mathbb N)[/texx], y no hay modo de definir en ese conjunto una suma y un producto, ni un orden, que funcionen como lo hacen los números reales.



¿Te fijaste cómo hice la construcción con el método de intervalos encajados?
¿Por qué es tan larga y por qué la hice?
¿Qué es lo que fallaría si no lo hago así?

Es el problema de "petición de principio" lo que intento evitar.
No puedo definir algo en términos de sí mismo.

Visualicemos la cosa geométricamente, la recta numérica con los puntos racionales e irracionales formando la recta real.

Es fácil entender que a cada punto real x lo puedo encerrar entre dos números racionales, formando un intervalo cerrado, y que dicho intervalo lo puedo hacer cada vez más estrecho, formando una sucesión de intervalos con extremos racionales,
cuya INTERSECCIÓN es el punto x señalado.

Pero ahora imaginemos que solamente me han dado los puntos racionales de la recta, y que los irracionales no están.
Cuando hacemos lo mismo que antes, con los intervalos racionales que se aproximan por ejemplo al número [texx]\pi[/texx],
lo que va a pasar es que en la INTERSECCIÓN de esos intervalos no hay nada, hay un "hueco", porque el [texx]\pi[/texx] no está en ninguna parte, no me lo dieron.

Lo tengo que "construir".
Así que tengo que "inventar" [texx]\pi[/texx].
Como no tengo de dónde sacarlo, digo que [texx]\pi[/texx] es ¡la sucesión de intervalos con la que estoy intentando aproximarlo!

Detalles técnicos obligan a dar un paso más y trabajar con clases de equivalencia de estas sucesiones.
Pero no importa.

Lo que importa es que ahora estoy inventando algo: una sucesión de intervalos. Eso forma un cierto conjunto matemáticamente complicado, al cual llamo o etiqueto [texx]\pi[/texx], y lo pongo en el "hueco" donde tendría que ir el "punto" [texx]\pi[/texx].

Pero no es cuestión no más de rellenar huecos, sino de ver que estos objetos así incrustados cumplen todas las propiedades.
Si no, ¿de qué estamos hablando?

¿Cómo me aseguro que todos los "huecos" de puntos irracionales están debidamente rellenados, que al sumarlos o multiplicarlos da lo que tiene que dar, y que respetan el orden que corresponde?

Esta es la única manera de saber que el sistema construido son números reales.

Si no, si es sólo por poner una biyección, ponemos [texx]\mathcal P(\mathbb N)[/texx] y listo.




La situación con los desarrollos decimales es parecida.
Si no hubiera nadie que hubiese construido algún sistema de reales antes, el de los desarrollos decimales sería el primero, y como no hay base de comparación con otro sistema, no queda más opción que verificar uno a uno los axiomas.

Es lo mismo que cuando te tiran un conjunto con unas operaciones, y te piden verificar si es un espacio vectorial o no.
Hay varias maneras: o bien es la imagen de una transformación lineal de otro espacio vectorial "ya construido" o que "previamente se sabe" que es espacio vectorial, o bien es subespacio de otro espacio vectorial ya conocido,
o bien simplemente verificar a mano la lista de propiedades de un espacio vectorial, una a una.

Con los sistemas numéricos hay más trabajo que con espacios vectoriales.
Es tedioso. Pero también es sistemático, trivial. Las cuentas salen.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 15/10/2011, 08:05:56 pm
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Como sea, me dejás con las ganas de hacer la construcción.
Yo sí tengo ganas de hacerla.

Se puede hacer con el formato (e, m) como vos querés, o directamente con sucesiones de dígitos (sin separar parte entera y decimal).

Si no tenés ganas de hacer las cuentas, entonces yo me pondría a desarrollar el segundo de estos dos métodos, porque me gusta más así.



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 16/10/2011, 03:35:39 am
No, no, déjame a mi, que la idea fué mía, si acaso tu ayuda será bienvenida pero déjame hacerlo a mi. Ya sabía que la pega de mi último mensaje era esa, pero a pesar de eso lo expuse para asegurarme de que el modelo es válido. Es decir que ese modelo es un modelo de los reales, falta escalar la montaña, claro, pero vamos pasito a pasito.

El primer paso será establecer las operaciones de la suma, del producto y la relación de orden. Pero no me adelantes, déjame a mi, que vaya a mi ritmo.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 16/10/2011, 03:53:16 am
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Ok, de acuerdo.

Pero que el modelo funciona es obvio, porque como bien sabés, a cada número real le corresponde su desarrollo decimal.
Si uno "ya" tiene los reales construidos, es como vos decís, se vuelve casi trivial demostrar que satisface los axiomas de los números reales, y no hay mucho más que hacer.

Saludos


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 16/10/2011, 04:41:38 am
El algoritmo de la suma Esto es casi más difícil explicarlo que hacerlo. Se realiza en los pasos siguientes:

[texx](e_1,m_1)+(e_2,m_2)=(e,m)[/texx]

a) Cálculo de la mantisa resultante, [texx]m[/texx], para lo cual basta sumar los dígitos de las mantisas sumandos, dos a dos, como si fueran números naturales, empezando por la izquierda, y aumentando una unidad en el dígito anterior cada vez que la suma de los dígitos sea mayor que nueve, en análoga forma a como se hace para la suma de números naturales. Si la mantisa resultante presentara periodo 9 se anularán todos los digitos del periodo y se incrementara en una unidad la última cifra no periódica ó la parte entera si todas las cifras de la mantisa fueran periódicas.

b) Calculo de la parte entera resultante [texx]e[/texx], se suman las partes enteras como si fueran números enteros y se incrementa este resultado en una unidad si el primer dígito en la suma de mantisas resultó ser mayor que 9 ó la mantisa resultante resultó ser periódica de periodo 9.

Creo que está bastante mal explicado pero aún así la idea se entiende bastante bien así que de momento lo dejo en esta forma.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: feriva en 16/10/2011, 06:03:19 am
El algoritmo de la suma Esto es casi más difícil explicarlo que hacerlo. Se realiza en los pasos siguientes:


Hola, Jabato. Ayer estaba yo un poco cegato, no me di cuenta de lo buena que es tu idea. Puedes llegar a definir un espacio vectorial erre dos restringido y usar el producto escalar; de hecho ya tienes todo el conjunto usando este producto escalar (e,m)(1,1); sólo hay que ir justificándolo (que no digo que sea fácil). Claro que está la dificulta de que en uno de los ejes tengamos sólo enteros, pero yo creo que lo podrás solucionar.

Saludos.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 16/10/2011, 06:15:05 am
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Lo que estás haciendo de sumar de izquierda a derecha va en contra del algoritmo usual de suma.

Uno no suma así, porque al hacerlo tiene que "corregir" volviendo hacia la izquierda en caso de obtener un dígito de acarreo.

Si bien esto podría hacerse cuando la cantidad de dígitos es finita, ¿cómo resolver la cuestión cuando la cantidad de dígitos es infinita?

Además, las sumas que producen acarreo no son siempre "puros nueves".

A ver si se entiendo lo que digo.

Puedo tener los números 0.52678989... y 0.9754334...

Fijate que al sumar el segundo dígito, se tiene 2 y 7, que dan 9, y entonces no producen dígito de "acarreo", luego no hay que retroceder al primer dígito para "corregir" nada, pues no hay acarreo.

Pero resulta que en realidad los dígitos de más a la derecha siempre vienen trayendo "acarreo", y eso haría que en el segundo dígito haya que sumar un "1" de acarreo al 2 y al 7, dando un total de 10, que ahora me obliga a retroceder aún más hacia el primer dígito, para ponerle este "1" de acarreo, que en la primer "pasada" no habíamos detectado.

La situación puede ser más complicada, en el sentido de que puede haber un millón de dígitos, por ejemplo, antes de detectar que hay un "acarreo" a tener en cuenta.

Por ejemplo: 0.127272727... y 0.872727298...

Hasta que no se llega al 9 del segundo número, no se detecta el acarreo producido, que obliga a retroceder varios pasos hasta el primer dígito de todos!!!

Es por esto que en la escuela no nos dejan sumar así, de izquierda a derecha, y hay que empezar desde la derecha hacia la izquierda.

El problema es que, como tenemos infinitos dígitos hacia la derecha, no hay modo posible de empezar desde la derecha, porque no hay una posición de "inicio".



Hay al menos dos soluciones que se me ocurren.
Una, definir un algoritmo más cuidadoso (que incluso alguna vez estoy seguro que discutimos acá en el foro, pero el público se me aburrió).

La otra opción sería por aproximación por racionales, pero como la construcción está en pañales, creo que esto no va a funcionar: no se han analizado las propiedades de estas sucesiones de dígitos, así que hablar de "convergencia" puede llevar a un callejón sin salida.
O bien, obliga a dar un rodeo técnico más elaborado.

Ese rodeo tiene que ser el necesario para justificar esto: definir sumas con finitos dígitos, que uno sabe hacer sin dolor, y luego hacer tender el número de dígitos a infinito, de alguna forma, y demostrar que el desarrollo obtenido es "único" en algún sentido.
Esto definiría formalmente la suma, aunque es más técnico...



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 16/10/2011, 06:16:38 am
El algoritmo de la suma Esto es casi más difícil explicarlo que hacerlo. Se realiza en los pasos siguientes:


Hola, Jabato. Ayer estaba yo un poco cegato, no me di cuenta de lo buena que es tu idea. Puedes llegar a definir un espacio vectorial erre dos restringido y usar el producto escalar; de hecho ya tienes todo el conjunto usando este producto escalar (e,m)(1,1); sólo hay que ir justificándolo (que no digo que sea fácil). Claro que está la dificulta de que en uno de los ejes tengamos sólo enteros, pero yo creo que lo podrás solucionar.

Saludos.

No hay espacios vectoriales en ninguna parte.
Sólo hay pares ordenados, cuya primer componente es un número entero, y segunda componente es una sucesión de dígitos entre 0 y 9.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: feriva en 16/10/2011, 06:25:21 am
 Un comentario de opinión sobre la naturaleza de los números.

 Solemos pensar que a la hora de definir operaciones la suma debe de ser la primera; después de haber definido el elemento neutro y todo eso. Yo, en cambio, veo que la suma es un proceso muy brusco siempre poco justificado cuando se estudian las estructuras algebraicas; explico por qué.

 La abstracción parte antes de la observación, y algunas de esas observaciones las viene haciendo el ser humano desde los más remotos tiempo; por ejemplo el concepto de unidad es quizá el más primario, es el YO, cada uno de nosotros como individuos que sabemos distinguirnos del resto de las cosas.
 ¿De dónde se ha abstraído el concepto unidad matemática? Podría contar una anécdota de cuando, un día, hace ya muchos años, intenté enseñar a contar a mi hijo mayor cuando tenia unos tres años: no aprendía fácilmente, cuando yo decía UNO y DOS  y estiraba mis dedos creía que los dedos índice y corazón se llamaban "UNO" y "DOS", no captaba la idea. Hasta que tomé un lápiz viejo sin punta y lo partí; y entonces, antes de decirle yo dos y sólo habiéndole dicho "uno", respecto de un trozo, él se adelantó y dijo "dos" señalando el otro.
 Evidentemente, los niños muy pequeños no están contaminados por supersticiones milenarias; si sólo tenemos una unidad de algo material y queremos sumar dos, no podemos hacer otra cosa que partirla, ahí no podemos hacer magia y sacarnos otra unidad de la manga.
 Luego los números (así, números sin apellidos) sólo se pueden construir sin trucos mágicos partiendo una unidad para después ir sumando valores; una vez que tengo dos trozos, si parto uno de los trozos tengo tres trozos, y así voy obteniendo -con trozos a veces desiguales y más pequeños cada vez- los llamados números naturales. Da igual la comparación de tamaño, ya que en principio comparamos sumas de trozos sin importarnos eso. Es decir, al principio del todo no hay números distintos, sino unidades que se van partiendo y se convierten tan sólo, en eso, en unidades. Ya vendrá después la comparación entre ellas, que no es exactamente el uso de la división aunque esté relacionado "operativamente".

 La idea de Jabato es muy interesante porque separa ambas cosas, antes que la comparación entre cosas está la partición de una cosa.

 Entendemos que la suma es más básica porque es la más fácil, es lo que siempre los hombres enseñaron a sus hijos primero, pero ése no es argumento para asignarle tal honor, nació de una necesidad, es menos básica, está menos al principio, que la división.
 
 No me alargo más, que me enrollo mucho y no puede ser.

Saludos


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 16/10/2011, 06:28:20 am
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Es que los pares de Jabato "ya" son los números.

No hay nada que pasar.



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: feriva en 16/10/2011, 07:15:36 am
Es que los pares de Jabato "ya" son los números.

No hay nada que pasar.


Bueno, pues no digamos producto escalar, digamos que debe justificar una operación análoga al producto escalar y conocemos el producto escalar para ver qué ideas nos puede dar. De todas formas fíjate en el "elemento" de transformación (1,1) ¿no es sugerente?


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 16/10/2011, 07:19:12 am
mmmmmmm...

Odio la intuición. Es pseudociencia.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: feriva en 16/10/2011, 07:37:20 am
mmmmmmm...

Odio la intuición. Es pseudociencia.

 :laugh:

No es del todo intuición, es también observación: todos esos pares se transforman mediante el par que hace corresponder la unidad natural para dicho producto. La observación es el primer paso del método científico, después... la hipótesis, etc.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 16/10/2011, 09:48:36 am
argentinator, sabrías decirme cuanto vale la suma [texx]e+\pi[/texx]. Cualquiera que sea el resultado que me des tendrás que haberlo calculado con un número finito de cifras decimales, y además ese valor lo habrás obtenido necesariamente con valores obtenidos para ambos números con un número finito de cifras decimales. ¿Entonces porqué me exiges a mi que sume con infinitas cifras decimales? Ya sabes que no puedo. No ocurre exactamente lo mismo al sumar los infinitos términos de una sucesión y nadie se ha escandalizado hasta la fecha.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 16/10/2011, 03:34:59 pm
No te estoy pidiendo que lo hagas, sólo te digo que es posible.

Pero también te dije que hay una segunda forma, que es como vos lo estás diciendo.

Pero no se trata de una cuestión de ver si la gente se escandaliza o no,
sino de si es correcto o no el procedimiento.

En realidad, lo importante es dar una definición precisa que asigne a cada par de objetos (e, m) algo que llamarías "la suma", y que esté claramente definida, que sea unívoca, y que luego permita demostrar las propiedades algebraicas y ordinales de la suma, que figuran en los axiomas.

Si lo hacés con sumas de finitos dígitos, que es factible, hay que justificar el procedimiento correctamente cuando se pasa a considerar todas las infinitas cifras.

No hace falta un algoritmo como el primero que intentaste hacer, aunque es posible.
Se puede hacer con aproximaciones finitas, claro está.
Pero como sea, algo hay que hacer.

Habría, pues, que hacer algo en etapas: definir la suma en el caso de un desarrollo finito,
luego considerar para cada n, el desarrollo truncado a n dígitos de ambos números y efectuar la suma,
finalmente definir cuál van a ser los infinitos dígitos de la suma, basado en lo anterior, y demostrar que está bien definido, y que no es ambiguo.

En cuanto [texx]e+\pi[/texx], para mí no es problema sumarlos, el problema es que no conozco los dígitos de [texx]e[/texx] y de [texx]\pi[/texx].

Pero, suponiendo que los conociera, se puede hacer.
De hecho, esto es todo lo que hace falta para construir la teoría de los números reales en base a los dígitos.

No hace falta conocer el desarrollo decimal completo de números concretos como [texx]e[/texx] ó [texx]\pi[/texx].
Y menos aún hace falta en la etapa "constructiva", en la cual los números irracionales ni siquiera existen, porque aún no los hemos construido.

_______________

La suma y el producto de los objetos (e, m) que has  declarado, hay que definirlos, porque si no, nunca vas a poder concluir que tu construcción es un cuerpo que satisface los axiomas de los números reales.

Te quejás como si esto fuera culpa mía o capricho mío.
La construcción tiene todos esos pasos.

Todas las construcciones de este tipo son largas.
Cualquier construcción de los números reales da trabajo, porque es necesariamente mucho más complicada que la construcción de Z o de Q.

No es sólo construir lo que a uno le gusta, sino también comprobar una serie de cosas.
La matemática es así.



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 16/10/2011, 04:20:58 pm
Pues realmente la cosa se ve que no es fácil, y cuando lleguemos al producto las dificultades se van a multiplicar, ya se ve. El orden creo que es más sencillo de definir. En fin, ahora te admitiría que intentaras hacer algo con la suma, a ver que se te ocurre. Tu mismo me dijiste que deseabas hacerlo por lo interesante que parecía el modelo, pues bien, a ver como te las apañarías tu en este caso. Le he dado bastantes vueltas y no veo como salvar el problemilla. De momento solo con la suma.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 16/10/2011, 04:57:38 pm
Principal  (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477) * (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35781.msg142800.html#msg142800) N (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35783.msg142805.html#msg142805) Z (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35786.msg142823.html#msg142823) Q (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35788.msg142835.html#msg142835) R (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848) C (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35795.msg142864.html#msg142864) + (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35796.msg142865.html#msg142865)


Bueno, la forma algorítimica de la suma se puede hacer más o menos fácilmente, pero tiene que ser con dígitos binarios.

Con dígitos en base diez no sé, tendría que pensarlo un poco más.



Lo que puede hacerse con el mismo procedimiento, usando cualquier base b de dígitos, es lo de las aproximaciones.



Como lo problemático está en la parte decimal, diría que mejor conviene trabajar sólo con esa parte, y lo demás es sólo rutina.

Sean [texx]x=(0, m), y=(0, m')[/texx], donde [texx]m,m'[/texx] son "mantisas".
Esto quiere decir que [texx]m,m'[/texx] son sucesiones [texx]m=\{a_n\}_{n=1}^\infty,m'=\{b_n\}_{n=1}^\infty[/texx], tal que [texx]a_n,b_n\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/texx], para todo [texx]n=1,2,3,...[/texx].

Ahora hay que trabajar con las truncaciones a [texx]n[/texx] dígitos, para luego pasar al caso infinito.

Definimos [texx]<x>_n=(0, \{a_1,a_2,...,a_n,0,0,0,...\})[/texx], o sea, hemos tomado los primeros [texx]n[/texx] dígitos de [texx]x[/texx], y el resto, en vez de dejarlo en blanco, hemos puesto "0"s.

Lo mismo se puede hacer para [texx]y[/texx].

Ahora, es fácil definir la suma de los números "truncados" [texx]<x> _n\oplus<y> _n[/texx].
El algoritmo es conocido, y se puede especificar con precisión (basta que me lo pidan).
Pero lo hago resumido: uno se "para" en la posición [texx]n[/texx], y "suma" dígito a dígito, como nos han enseñado en la escuela,
yendo de "derecha a izquierda", llevando acarreos si fuera necesario.

Los dígitos "a la derecha" de la posición [texx]n[/texx] se declaran todos como "0", como es natural.

Eso nos da como resultado un cierto objeto [texx]z_n=(e,M )[/texx], donde [texx]e[/texx] es 0 ó 1, según como venga el acarreo, mientras que [texx]M[/texx] es la "mantisa" que corresponde a [texx]z_n[/texx].
La "mantisa" de [texx]z_n[/texx] es una sucesión de dígitos, con esta pinta:

[texx]M=\{c_1^{(n)},c_2^{(n)},c_3^{(n)},c_4^{(n)},...\}[/texx]

Se puede ser más precisos, y decir que cuando [texx]i\leq n[/texx] el dígito en la posición [texx]i[/texx] es un número entre 0 y 9, pero que cuando [texx]i> n[/texx], el dígito [texx]i[/texx]-ésimo es siempre 0.

Para "hacerlo más visual", muestro el resultado de esto, así:

[texx]M=\{c_1^{(n)},c_2^{(n)},c_3^{(n)},c_4^{(n)},...,c_n^{(n)},0,0,0,...\}[/texx]



Lo que uno quisiera hacer acá es definir un objeto [texx]z=(e,M)[/texx], con mantisa

[texx]\{c_1,c_2,c_3,...\}[/texx]

de tal forma que los dígitos sucesivos [texx]c_1,c_2,c_3,...[/texx] etc. coincidan acordemente con los obtenidos en cada suma "truncada".

Por ejemplo, quisiera que los dígitos de [texx]c_1[/texx] hasta [texx]c_{800}[/texx] coincidan con los de la suma truncada [texx]z_{800}[/texx].
Está claro que los dígitos de [texx]z[/texx] desde la posición 801 en adelante no coincidirían (en general) con la "cola de 0s" que hemos dejado en la suma truncada [texx]z_{800}[/texx], pero eso no importa.

Este "deseo" tiene dos problemas. Uno es que la suma truncada hasta el dígito 800 no necesariamente nos coincide con los dígitos que debiera tener [texx]z[/texx] hasta la posición 800. Esto es por los problemas que trae el "acarreo desde la derecha" cuando se trabaja con infinitos dígitos.

Otra cuestión es que los dígitos pueden ir cambiando a medida que avanza el índice [texx]n[/texx] en la sucesivas sumas truncadas [texx]z_n[/texx].

Se necesita demostrar que, para cada posición [texx]i[/texx]-ésima, el dígito en esa posición se estabiliza, no cambia a medida que [texx]n[/texx] tiende a infinito.
Esto de hablar de que "tiende a infinito" en un contexto donde sólo tenemos alfabetos de dígitos, y nada de geometría, no nos conduce a nada...

Aunque en realidad tendremos suerte, porque veremos que a partir de un [texx]n[/texx] bastante grande (que depende de [texx]i[/texx]) el dígito [texx]c_i^{(n)}[/texx] (o sea, el [texx]i[/texx]-ésimo de la suma truncada [texx]z_n[/texx]) empieza a ser siempre el mismo.

Esta propiedad nos permite definir con total certeza, en forma inambigua, cuál es "exactamente" el dígito [texx]i[/texx]-ésimo de la suma.

Si vos me dieras los dígitos de [texx]e[/texx] y de [texx]\pi[/texx], yo tendría que trabajar de esta manera para determinar con precisión cada dígito.

Es una especie de "algoritmo", pero que escribiré más bien en formato de demostración.



Todo ese palabrerío puede quitarse, pero si no pongo la idea de la demostración, va a quedar como una construcción matemática pedante e intentendible, y no le veo el sentido.

En el post que sigue continúo.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 16/10/2011, 10:17:51 pm
Para resolver los dilemas anteriores sobre la "estabilidad" definitiva de un dígito en una posición dada, hay que separar el análisis en varios casos, para ver qué puede hacerse en cada uno.

Ciertamente, el problema surge cuando hay acarreo.

Consideremos el primer dígito [texx]c_1^{(n)}[/texx]de cada suma truncada [texx]z_n[/texx], para [texx]n=1,2,3,...[/texx]

Ciertamente [texx]c_1^{(1)}[/texx] es la cifra de las unidades de la suma de [texx]a_1[/texx] y [texx]b_1[/texx], lo cual se puede decir matemáticamente que es el resto módulo 10 de la suma [texx]a_1+b_1[/texx].

A medida que se van considerando más cifras en la suma, la primer cifra [texx]c_1^{(n)}[/texx] para [texx]n=2,3,...[/texx] puede ir variando.
Sin embargo, nosotros sabemos que a lo sumo puede variar en "1" unidad más, debido a que si hay "acarreo" desde los dígitos de la derecha, este acarreo es a lo sumo "1".

Ahora bien. Si en la "iteración" [texx]n[/texx] (o sea, si al calcular la suma truncada [texx]z_n[/texx]) la suma de los dígitos de [texx]x,y[/texx] en la posición [texx]n[/texx] es 8 o menor, o sea, [texx]a_n+b_n\leq 8[/texx], entonces NUNCA se producirá acarreo hacia la posición inmediata izquierda [texx]n-1[/texx].

En cambio, si [texx]a_n+b_n\geq 10[/texx], entonces SIEMPRE se producirá acarreo en "1" unidad en la posición inmediata izquierda [texx]n-1[/texx].

Si [texx]a_n+b_n=9[/texx], entonces no hay acarreo al calcular ese dígito en la suma truncada [texx]z_n[/texx], pero no sabemos si en el paso siguiente [texx]z_{n+1}[/texx] obligará a sumarle un "1" a ese 9 en la posición [texx]n[/texx], produciendo un acarreo.

Ahora bien. En caso de que se produzca acarreo en la posición [texx]n-1[/texx] o no, hay que considerar la suma total de los dígitos [texx]a_{n-1}+b_{n-1}[/texx]+"el acarreo desde posición n", y eso da el dígito [texx]c_{n-1}^{(n)}[/texx] de [texx]z_n[/texx].

Según que se hayan obtenido números [texx]\geq 9[/texx] el "acarreo" se seguirá contagiando hacia la izquierda hasta algún dígito donde no haya más acarreo.





Este análisis nos da la pista de cómo proceder.

Supongamos que [texx]a_2+b_2\geq 10[/texx]. Entonces habrá acarreo en todas las sumas truncadas [texx]z_n[/texx], para [texx]n=2,3,4,...[/texx] etc.
De manera que [texx]c_1^{(n)}=a_1+b_1+1[/texx] (módulo 10).

Se ve claramente que esto no depende de [texx]n[/texx], al menos para [texx]n> 1[/texx], y podemos estar tranquilos, pues, de que el primer dígito no va a variar nunca más.
Sólo ha diferido el [texx]c_1^{(1)}[/texx] (primer dígito de la etapa 1) con el [texx]c_1^{(n)}[/texx] (primer dígito de la etapa [texx]n[/texx]) para [texx]n\geq 2[/texx].

Hemos probado (un poco conversado, lo sé) lo siguiente:

* Existe un valor [texx]n=N[/texx] ("lo bastante grande") tal que para todo [texx]n\geq N[/texx] el valor de [texx]c_1^{(n)}[/texx] es siempre el mismo.



Pero sólo analizamos un caso, faltan otros dos.

Veamos qué pasa si [texx]a_2+b_2\leq 8[/texx].
Entonces el acarreo "hacia" la posición 1 siempre será "0" (o sea, no se produce jamás acarreo), y otra vez tenemos que [texx]c_1^{(n)}[/texx] no varía a medida que [texx]n[/texx] "se hace grande". Es constante.

El caso más problemático es aquel en que [texx]a_2+b_2=9[/texx].
Es problemático, porque en [texx]z_2[/texx] no se "ve" si a ese 9 habrá que sumarle algún acarreo desde la posición 3, y si hay un 9 en la 3, si hay que considerar o no el acarreo desde la posición 4, etc.

Sin embargo, "supongamos" que [texx]a_n+b_n\neq 9[/texx] para algún [texx]n\geq 2[/texx], y tomemos el mínimo [texx]n[/texx] que cumple esa propiedad y denotémoslo N.

En ese caso, entre el dígito 1 de la suma, y el dígito [texx]n[/texx], "todos son 9"s. ¡¡!!

Si [texx]a_N+b_N\leq 8[/texx], entonces no hay acarreo hacia la izquierda, luego los 9s intermedios no son afectados por acarreo alguno, y llegamos hasta el primer dígito, el de la posición 1, "sin acarreo alguno", con lo cual, podemos asegurar que para todo [texx]n\geq N[/texx], el dígito [texx]c_1^{(n)}[/texx] será siempre constante, sin importar el valor de [texx]n[/texx].

Hemos encontrado el punto exacto a partir del cual las sumas "se estabilizan" en el primer dígito por lo menos.

En cambio, si [texx]a_N+b_N\geq 10[/texx], entonces para todo [texx]n\geq N[/texx] siempre habrá acarreo de "1" unidad hacia la izquierda, lo cual afecta a todos los 9s intermedios, hasta llegar al dígito de la posición 1 de la suma.
Esto convierte a todos los 9s que había... en 0s, y se le suma 1 al dígito de la primer posición.

Pero lo importante es que, para [texx]n\geq N[/texx] esto ya no va a sufrir más cambios, y el dígito [texx]c_1^{(n)}[/texx] quedará estable.





Hemos casi resuelto todo el problema, al menos para dejar fijo, de una vez por todas, el primer dígito de la suma de [texx]x,y[/texx].

Esto es así porque en la mayoría de los casos, siempre ocurrirá que al menos hay un índice [texx]n[/texx] tal que [texx]a_n+b_n\neq 9[/texx].

La negación de esta situación es el caso especial en que "todas las sumas [texx]a_n+b_n=9[/texx], para [texx]n\geq 2[/texx]".

Este caso especial lo tratamos aparte.
En realidad, aquí lo que ocurre es que jamás se produce acarreo, en ninguna de las sumas truncadas [texx]z_n[/texx], todo [texx]n[/texx], y por lo tanto, [texx]c_1^{(n)}[/texx] siempre permanece constante, igual a la suma obtenida en el primer paso.





Es cierto que se obtiene el caso "molesto" de dígitos con "cola de 9"s.
Pero eso no es un problema en esta etapa de la construcción, porque lo que estamos haciendo es simplemente definir una "suma" de sucesiones de dígitos.

Para que eso se "arregle" de modo que se obtenga un sistema de números reales sin esos desarrollos con "cola de 9"s, se hacen unas pequeñas tretas que vienen después.

Lo principal ha sido esto, de poder demostrar que para las sumas truncadas [texx]z_n[/texx], existe un índice [texx]n=N[/texx] tan grande como sea necesario, a partir del cual [texx]z_n[/texx] siempre mantiene constante su primer dígito [texx]c_1^{(n)}[/texx].

En virtud de que todos estos números [texx]c_1^{(n)}[/texx] ahora son iguales para [texx]n=N,N+1,N+2, etc.[/texx],
tenemos un modo NO-AMBIGUO de definir el primer dígito del objeto [texx]z=x\oplus y[/texx] que estamos buscando.


Para su mantisa, definimos pues [texx]c_1=\lim_{n\to \infty} c_1^{(n)}[/texx], lo cual tiene sentido (por la constancia de ese valor para [texx]n[/texx] grande),
y es nada más ni nada menos que lo que hemos dicho: aquel valor de [texx]c_1^{(n)}[/texx] que se vuelve siempre constante para [texx]n[/texx] grande.



Finalmente, recordemos que lo único que hicimos en los párrafos anteriores fue demostrar que tenía sentido definir en forma inambigua al "primer dígito" de la mantisa de [texx]z[/texx].

Sin embargo, el mismo procedimiento puede repetirse para el "2do dígito", luego el "3er dígito", y así sucesivamente.

En general, la fórmula que se obtiene para dichos dígitos es siempre la misma, y sigue las ideas anteriores, resultando que existe el límite:

[texx]c_j=\lim_{n\to\infty} c_j^{(n)}[/texx],

Se define, pues, la mantisa de [texx]z[/texx] como [texx]\{c_1,c_2,c_3,c_4,...\}[/texx].




Espero que se haya entendido.



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Dani en 17/10/2011, 09:44:34 am
Yo desde mis humildes conocimientos voy a criticar el método de Jabato para construir números reales.

Su método no me parece nada novedoso, en el sentido de que no introduce ideas o conceptos nuevos. Lo único que hace es poner nombres y apellidos a los números. De ese par ordenado que él define, a lo que él llama "mantisa", desde siempre se ha llamado "parte decimal". Y las propiedades que él 'descubre' de la "mantisa" (que si es cíclica define un número racional, etc.) son ya las que se conocen de la "parte decimal" desde hace siglos.

No me parece nada "matemático" (en el sentido de que no sigue un método axiomático, sino que lo único que hace es juntar las piezas de un puzzle al tun-tún) coger, por ejemplo, del número pi, el 3, llamarlo parte entera, coger el 141592... llamarlo "mantisa", juntarlo en (e,m) = (3,141592...) y concluir que (con un par ordenado) hemos construído el número pi. Y esa es otra, el concepto de par ordenado ya viene implícito en el concepto de número real, en el sentido de que hay una parte entera, que va siempre al principio, y otra parte llamada "parte decimal", que siempre va después y separada por una coma.

Es absurdo demostrar las propiedades ya conocidas de los números reales a partir del par ordenado de Jabato porque, en realidad, y dicho así burdamente, es lo mismo que demostrar esas mismas propiedades utilizando los números reales y encerrándolos con paréntesis para que tengan aspecto de pares ordenados. Por supuesto, definir las operaciones básicas entre los pares ordenados de Jabato se reduce a un ejercicio de aritmética básica, que es identificar y formalizar los axiomas que rigen las operaciones definidas en ésta.

Tampoco veo que tenga mucho sentido demostrar que el conjunto de pares ordenados de Jabato coincide con el conjunto de los números reales, ya que, como digo, realmente no veo que haya construido nada nuevo, lo único que ha hecho ha sido cambiar la notación de los elementos de [texx]\mathbb{R}[/texx] simplemente añadiéndoles paréntesis y redefiniendo las palabras castellanas con las que nos referimos a ellos ('número' por 'par ordenado' (como digo, los números ya llevan implícitamente el concepto de par ordenado), 'parte decimal' por 'mantisa'...).

En mi opinión, lo único que veo que ha hecho Jabato ha sido redefinir la notación y las palabras con las que nos referimos todos al mismo concepto y redescubrir reescribir las propiedades que ya conocemos todos en otra notación; y considero que todas las dificultades que se encuentre para tal menester son las mismas dificultades que se encontraría si hiciera el mismo ejercicio con los números "de toda la vida", por lo que, para mí, su método no aporta ninguna idea nueva ni mejora lo que ya tenemos.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: feriva en 17/10/2011, 10:53:38 am


Voy a contar algo sobre la intuición y cómo nos confunde; se trata de una “paradoja” que “inventé yo” y que, como siempre, habrán inventado muchas personas a través de los tiempos.

 La intuición nos hace pensar en un primer y único hombre que está al principio en el tiempo (en la historia del hombre) en  una sola porción de materia que también está al principio del tiempo del Universo... en definitiva, que siempre intuimos que todas las singularidades están al principio y que en “la parte final” todo es pluralidad (salvo con las especies extinguidas o alguna cosa así).

 Sin embargo, pensemos matemáticamente: todos hemos tenido un padre y una madre, dos abuelos y dos abuelas, cuatro bisabuelos y cuatro bisabuelas... si seguimos así hasta “el principio” del tiempo, el número de personas que habría en ese principio del tiempo serían muchísimas; es verdad que todas las especies, incluso la humana, son endogámicas, pero la endogamia difícilmente puede justificar que al principio de los tiempos hubiera sólo una pareja que diera lugar a toda la especie.
Y lo mismo se puede decir para cualquier especie, para la “primera” especie que pudiera haber existido.

Del mismo puede ocurrir a la hora de pensar en la construcción de los números: ¿había al principio de los tiempos una sola dimensión?

El hecho de estudiar primero con una sola variable se debe a que es más fácil operar con una variable que con dos, pero a la hora de observar cosas como las que se tratan en este post, ¿tiene que ser así?

 Un profesor que tenía yo -explicando estructuras algebraicas- recuerdo que contó una vez que los rusos -al menos en algunos libros de la editorial Mir- empezaban por estudiar primero los cuerpos y después les iban quitando propiedades hasta llegar a los grupos.

 Si pensamos en el sistema numérico como decía -partiendo la unidad y considerando unidades las partes resultantes- entonces podremos “inventar” la suma e ir dando lugar a un conjunto cada vez mayor de elementos distintos; hasta llegar a infinitos elementos. A partir de ahí podemos comparar esos elementos porque todos tienen un número distinto de unidades (y podríamos ordenarlos al darles valor) No habrá nunca números negativos, lo que habrá será una unidad cambiante y menguante (ambas cosas). Evidentemente, tampoco habrá números “Q” ni complejos al no haber negativos; tendríamos LOS NÚMEROS, sin apellidos.

 Más tarde se podría intentar determinar una única unidad principal para establecer posteriormente relaciones de equivalencia; y ahí la cosa se hace imposible, porque tendremos que tomar un número que no es nadie respecto de los otros, que está en medio de una sucesión infinita, es decir, que no está ni en un extremo ni en otro y a ninguna distancia determinada de los extremos, y darle propiedades de unidad; esto es como hacer capitán general a Merceditas la de la pescadería; que seguro que es muy buena, la pobre, no tengo nada contra ella, pero hacer eso es una barbaridad; una barbaridad inevitable, ya lo sé, pero una barbaridad en sentido matemático con la que no nos queda más remedio que vivir.

Saludos.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 17/10/2011, 02:18:26 pm
Contestando a Dani: Solo te diré una cosa Dani, si fuera así como tu dices yo creo que argentinator, que es un buen matemático, no se habría molestado en escribir sus dos últimos mensajes, ¿no te parece? Podría decirte más cosas pero creo que con eso es suficiente.

Lee más despacio las cosas que hemos escrito en este hilo, medítalas y luego haz una crítica un poco menos apasionada, más racional. Piensa que la mantisa no es la parte decimal de nada porque debe suponerse que ni los números racionales ni los números reales existen todavía, porque los estamos construyendo con el modelo. La construcción de este modelo presupone que solo existen los números naturales y los enteros, lo que por otra parte es uno de sus mayores alicientes ya que la construcción de los racionales y de los reales se hace simultaneamente, y además resulta que la mantisa no es un número sino una cadena infinita de caracteres que en principio no tiene valor numérico, no puede tenerlo al menos hasta que se complete la construcción, por razones evidentes.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 17/10/2011, 02:56:55 pm
Intentando entender a argentinator:

Bueno, la forma algorítimica de la suma se puede hacer más o menos fácilmente, pero tiene que ser con dígitos binarios.

Con dígitos en base diez no sé, tendría que pensarlo un poco más.



Lo que puede hacerse con el mismo procedimiento, usando cualquier base b de dígitos, es lo de las aproximaciones.



Como lo problemático está en la parte decimal, diría que mejor conviene trabajar sólo con esa parte, y lo demás es sólo rutina.

Sean [texx]x=(0, m), y=(0, m')[/texx], donde [texx]m,m'[/texx] son "mantisas".
Esto quiere decir que [texx]m,m'[/texx] son sucesiones [texx]m=\{a_n\}_{n=1}^\infty,m'=\{b_n\}_{n=1}^\infty[/texx], tal que [texx]a_n,b_n\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/texx], para todo [texx]n=1,2,3,...[/texx].

Ahora hay que trabajar con las truncaciones a [texx]n[/texx] dígitos, para luego pasar al caso infinito.

Definimos [texx]<x>_n=(0, \{a_1,a_2,...,a_n,0,0,0,...\})[/texx], o sea, hemos tomado los primeros [texx]n[/texx] dígitos de [texx]x[/texx], y el resto, en vez de dejarlo en blanco, hemos puesto "0"s.

Lo mismo se puede hacer para [texx]y[/texx].

Ahora, es fácil definir la suma de los números "truncados" [texx]<x> _n\oplus<y> _n[/texx].
El algoritmo es conocido, y se puede especificar con precisión (basta que me lo pidan).
Pero lo hago resumido: uno se "para" en la posición [texx]n[/texx], y "suma" dígito a dígito, como nos han enseñado en la escuela,
yendo de "derecha a izquierda", llevando acarreos si fuera necesario.

Los dígitos "a la derecha" de la posición [texx]n[/texx] se declaran todos como "0", como es natural.

Eso nos da como resultado un cierto objeto [texx]z_n=(e,M )[/texx], donde [texx]e[/texx] es 0 ó 1, según como venga el acarreo, mientras que [texx]M[/texx] es la "mantisa" que corresponde a [texx]z_n[/texx].
La "mantisa" de [texx]z_n[/texx] es una sucesión de dígitos, con esta pinta:

[texx]M=\{c_1^{(n)},c_2^{(n)},c_3^{(n)},c_4^{(n)},...\}[/texx]

Se puede ser más precisos, y decir que cuando [texx]i\leq n[/texx] el dígito en la posición [texx]i[/texx] es un número entre 0 y 9, pero que cuando [texx]i> n[/texx], el dígito [texx]i[/texx]-ésimo es siempre 0.

Para "hacerlo más visual", muestro el resultado de esto, así:

[texx]M=\{c_1^{(n)},c_2^{(n)},c_3^{(n)},c_4^{(n)},...,c_n^{(n)},0,0,0,...\}[/texx]



Lo que uno quisiera hacer acá es definir un objeto [texx]z=(e,M)[/texx], con mantisa

[texx]\{c_1,c_2,c_3,...\}[/texx]

de tal forma que los dígitos sucesivos [texx]c_1,c_2,c_3,...[/texx] etc. coincidan acordemente con los obtenidos en cada suma "truncada".

Por ejemplo, quisiera que los dígitos de [texx]c_1[/texx] hasta [texx]c_{800}[/texx] coincidan con los de la suma truncada [texx]z_{800}[/texx].

Está claro que los dígitos de [texx]z[/texx] desde la posición 801 en adelante no coincidirían (en general) con la "cola de 0s" que hemos dejado en la suma truncada [texx]z_{800}[/texx], pero eso no importa.

Este "deseo" tiene dos problemas. Uno es que la suma truncada hasta el dígito 800 no necesariamente nos coincide con los dígitos que debiera tener [texx]z[/texx] hasta la posición 800. Esto es por los problemas que trae el "acarreo desde la derecha" cuando se trabaja con infinitos dígitos.

Otra cuestión es que los dígitos pueden ir cambiando a medida que avanza el índice [texx]n[/texx] en la sucesivas sumas truncadas [texx]z_n[/texx].

Se necesita demostrar que, para cada posición [texx]i[/texx]-ésima, el dígito en esa posición se estabiliza, no cambia a medida que [texx]n[/texx] tiende a infinito.
Esto de hablar de que "tiende a infinito" en un contexto donde sólo tenemos alfabetos de dígitos, y nada de geometría, no nos conduce a nada...

Aunque en realidad tendremos suerte, porque veremos que a partir de un [texx]n[/texx] bastante grande (que depende de [texx]i[/texx]) el dígito [texx]c_i^{(n)}[/texx] (o sea, el [texx]i[/texx]-ésimo de la suma truncada [texx]z_n[/texx]) empieza a ser siempre el mismo.

Esta propiedad nos permite definir con total certeza, en forma inambigua, cuál es "exactamente" el dígito [texx]i[/texx]-ésimo de la suma.

Si vos me dieras los dígitos de [texx]e[/texx] y de [texx]\pi[/texx], yo tendría que trabajar de esta manera para determinar con precisión cada dígito.

Es una especie de "algoritmo", pero que escribiré más bien en formato de demostración.



Todo ese palabrerío puede quitarse, pero si no pongo la idea de la demostración, va a quedar como una construcción matemática pedante e intentendible, y no le veo el sentido.

Para resolver los dilemas anteriores sobre la "estabilidad" definitiva de un dígito en una posición dada, hay que separar el análisis en varios casos, para ver qué puede hacerse en cada uno.

Ciertamente, el problema surge cuando hay acarreo.

Consideremos el primer dígito [texx]c_1^{(n)}[/texx]de cada suma truncada [texx]z_n[/texx], para [texx]n=1,2,3,...[/texx]

Ciertamente [texx]c_1^{(1)}[/texx] es la cifra de las unidades de la suma de [texx]a_1[/texx] y [texx]b_1[/texx], lo cual se puede decir matemáticamente que es el resto módulo 10 de la suma [texx]a_1+b_1[/texx].

A medida que se van considerando más cifras en la suma, la primer cifra [texx]c_1^{(n)}[/texx] para [texx]n=2,3,...[/texx] puede ir variando.
Sin embargo, nosotros sabemos que a lo sumo puede variar en "1" unidad más, debido a que si hay "acarreo" desde los dígitos de la derecha, este acarreo es a lo sumo "1".

Ahora bien. Si en la "iteración" [texx]n[/texx] (o sea, si al calcular la suma truncada [texx]z_n[/texx]) la suma de los dígitos de [texx]x,y[/texx] en la posición [texx]n[/texx] es 8 o menor, o sea, [texx]a_n+b_n\leq 8[/texx], entonces NUNCA se producirá acarreo hacia la posición inmediata izquierda [texx]n-1[/texx].

En cambio, si [texx]a_n+b_n\geq 10[/texx], entonces SIEMPRE se producirá acarreo en "1" unidad en la posición inmediata izquierda [texx]n-1[/texx].

Si [texx]a_n+b_n=9[/texx], entonces no hay acarreo al calcular ese dígito en la suma truncada [texx]z_n[/texx], pero no sabemos si en el paso siguiente [texx]z_{n+1}[/texx] obligará a sumarle un "1" a ese 9 en la posición [texx]n[/texx], produciendo un acarreo.

Ahora bien. En caso de que se produzca acarreo en la posición [texx]n-1[/texx] o no, hay que considerar la suma total de los dígitos [texx]a_{n-1}+b_{n-1}[/texx]+"el acarreo desde posición n", y eso da el dígito [texx]c_{n-1}^{(n)}[/texx] de [texx]z_n[/texx].

Según que se hayan obtenido números [texx]\geq 9[/texx] el "acarreo" se seguirá contagiando hacia la izquierda hasta algún dígito donde no haya más acarreo.





Este análisis nos da la pista de cómo proceder.

Supongamos que [texx]a_2+b_2\geq 10[/texx]. Entonces habrá acarreo en todas las sumas truncadas [texx]z_n[/texx], para [texx]n=2,3,4,...[/texx] etc.
De manera que [texx]c_1^{(n)}=a_1+b_1+1[/texx] (módulo 10).

Se ve claramente que esto no depende de [texx]n[/texx], al menos para [texx]n> 1[/texx], y podemos estar tranquilos, pues, de que el primer dígito no va a variar nunca más.
Sólo ha diferido el [texx]c_1^{(1)}[/texx] (primer dígito de la etapa 1) con el [texx]c_1^{(n)}[/texx] (primer dígito de la etapa [texx]n[/texx]) para [texx]n\geq 2[/texx].

Hemos probado (un poco conversado, lo sé) lo siguiente:

* Existe un valor [texx]n=N[/texx] ("lo bastante grande") tal que para todo [texx]n\geq N[/texx] el valor de [texx]c_1^{(n)}[/texx] es siempre el mismo.



Pero sólo analizamos un caso, faltan otros dos.

Veamos qué pasa si [texx]a_2+b_2\leq 8[/texx].
Entonces el acarreo "hacia" la posición 1 siempre será "0" (o sea, no se produce jamás acarreo), y otra vez tenemos que [texx]c_1^{(n)}[/texx] no varía a medida que [texx]n[/texx] "se hace grande". Es constante.

El caso más problemático es aquel en que [texx]a_2+b_2=9[/texx].
Es problemático, porque en [texx]z_2[/texx] no se "ve" si a ese 9 habrá que sumarle algún acarreo desde la posición 3, y si hay un 9 en la 3, si hay que considerar o no el acarreo desde la posición 4, etc.

Sin embargo, "supongamos" que [texx]a_n+b_n\neq 9[/texx] para algún [texx]n\geq 2[/texx], y tomemos el mínimo [texx]n[/texx] que cumple esa propiedad y denotémoslo N.

En ese caso, entre el dígito 1 de la suma, y el dígito [texx]n[/texx], "todos son 9"s. ¡¡!!

Si [texx]a_N+b_N\leq 8[/texx], entonces no hay acarreo hacia la izquierda, luego los 9s intermedios no son afectados por acarreo alguno, y llegamos hasta el primer dígito, el de la posición 1, "sin acarreo alguno", con lo cual, podemos asegurar que para todo [texx]n\geq N[/texx], el dígito [texx]c_1^{(n)}[/texx] será siempre constante, sin importar el valor de [texx]n[/texx].

Hemos encontrado el punto exacto a partir del cual las sumas "se estabilizan" en el primer dígito por lo menos.

En cambio, si [texx]a_N+b_N\geq 10[/texx], entonces para todo [texx]n\geq N[/texx] siempre habrá acarreo de "1" unidad hacia la izquierda, lo cual afecta a todos los 9s intermedios, hasta llegar al dígito de la posición 1 de la suma.
Esto convierte a todos los 9s que había... en 0s, y se le suma 1 al dígito de la primer posición.

Pero lo importante es que, para [texx]n\geq N[/texx] esto ya no va a sufrir más cambios, y el dígito [texx]c_1^{(n)}[/texx] quedará estable.





Hemos casi resuelto todo el problema, al menos para dejar fijo, de una vez por todas, el primer dígito de la suma de [texx]x,y[/texx].

Esto es así porque en la mayoría de los casos, siempre ocurrirá que al menos hay un índice [texx]n[/texx] tal que [texx]a_n+b_n\neq 9[/texx].

La negación de esta situación es el caso especial en que "todas las sumas [texx]a_n+b_n=9[/texx], para [texx]n\geq 2[/texx]".

Este caso especial lo tratamos aparte.
En realidad, aquí lo que ocurre es que jamás se produce acarreo, en ninguna de las sumas truncadas [texx]z_n[/texx], todo [texx]n[/texx], y por lo tanto, [texx]c_1^{(n)}[/texx] siempre permanece constante, igual a la suma obtenida en el primer paso.





Es cierto que se obtiene el caso "molesto" de dígitos con "cola de 9"s.
Pero eso no es un problema en esta etapa de la construcción, porque lo que estamos haciendo es simplemente definir una "suma" de sucesiones de dígitos.

Para que eso se "arregle" de modo que se obtenga un sistema de números reales sin esos desarrollos con "cola de 9"s, se hacen unas pequeñas tretas que vienen después.

Lo principal ha sido esto, de poder demostrar que para las sumas truncadas [texx]z_n[/texx], existe un índice [texx]n=N[/texx] tan grande como sea necesario, a partir del cual [texx]z_n[/texx] siempre mantiene constante su primer dígito [texx]c_1^{(n)}[/texx].

En virtud de que todos estos números [texx]c_1^{(n)}[/texx] ahora son iguales para [texx]n=N,N+1,N+2, etc.[/texx],
tenemos un modo NO-AMBIGUO de definir el primer dígito del objeto [texx]z=x\oplus y[/texx] que estamos buscando.


Para su mantisa, definimos pues [texx]c_1=\lim_{n\to \infty} c_1^{(n)}[/texx], lo cual tiene sentido (por la constancia de ese valor para [texx]n[/texx] grande),
y es nada más ni nada menos que lo que hemos dicho: aquel valor de [texx]c_1^{(n)}[/texx] que se vuelve siempre constante para [texx]n[/texx] grande.



Finalmente, recordemos que lo único que hicimos en los párrafos anteriores fue demostrar que tenía sentido definir en forma inambigua al "primer dígito" de la mantisa de [texx]z[/texx].

Sin embargo, el mismo procedimiento puede repetirse para el "2do dígito", luego el "3er dígito", y así sucesivamente.

En general, la fórmula que se obtiene para dichos dígitos es siempre la misma, y sigue las ideas anteriores, resultando que existe el límite:

[texx]c_j=\lim_{n\to\infty} c_j^{(n)}[/texx],

Se define, pues, la mantisa de [texx]z[/texx] como [texx]\{c_1,c_2,c_3,c_4,...\}[/texx].




Espero que se haya entendido.


Hasta aquí leído, entendido y más ó menos conforme. No veo errores, aunque la última parte del desarrollo está un poco revuelta y cuesta leerla, pero parece correcta.

De todas forma se me ha ocurrido una forma que quizás permitiera simplificar un poco el desarrollo, consistiría en realizar un desarrollo similar, más sencillo, para mantisas periódicas, lo que permitiría definir los números racionales en primer lugar (*), y después solo bastaría identificar las mantisas no periódicas con los irracionales (ya que a fin de cuentas los números irracionales son todos aquellos que no son racionales por propia definición). Bueno esa es más ó menos la idea.

(*) NOTA: Habría que demostrar además que cuando la mantisa es periódica existe un número natural que al realizar el producto por la mantisa se obtiene una mantisa periódica de perido 0, aunque eso no parece muy complicado (recuerdas aquello de tantos nueves como cifras tiene la parte periódica seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica).

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Dani en 17/10/2011, 05:34:20 pm
Contestando a Dani: Solo te diré una cosa Dani, si fuera así como tu dices yo creo que argentinator, que es un buen matemático, no se habría molestado en escribir sus dos últimos mensajes, ¿no te parece? Podría decirte más cosas pero creo que con eso es suficiente.

Lee más despacio las cosas que hemos escrito en este hilo, medítalas y luego haz una crítica un poco menos apasionada, más racional. Piensa que la mantisa no es la parte decimal de nada porque debe suponerse que ni los números racionales ni los números reales existen todavía, porque los estamos construyendo con el modelo. La construcción de este modelo presupone que solo existen los números naturales y los enteros, lo que por otra parte es uno de sus mayores alicientes ya que la construcción de los racionales y de los reales se hace simultaneamente, y además resulta que la mantisa no es un número sino una cadena infinita de caracteres que en principio no tiene valor numérico, no puede tenerlo al menos hasta que se complete la construcción, por razones evidentes.

Saludos, Jabato. ;D

No discuto que argentinator sea un buen matemático, y además he leído parte de sus (vuestros) mensajes. Pero por eso mismo pienso que no es necesario introducir esa nueva notación que has introducido tú (yo no la llamaría nuevo modelo, porque realmente de nuevo no veo que tenga nada) para llevar a cabo todos los desarrollos que ha hecho él, sino que pueden hacerse prescindiendo de ella. Lo que veo que está haciendo argentinator en varios de sus mensajes es formalizar los algoritmos que conocemos de la aritmética básica en axiomas, pero también veo que para eso no es requisito imprescindible definir los números reales como lo haces tú. Considero que éste es uno de esos casos en los que los árboles no nos dejan ver el bosque. Es más, sigo pensando que realmente no estáis descubriendo nada nuevo, sino que estás reinventando la rueda y comprobando si ésta gira si en vez de "rueda" le pones otro nombre.

No he dicho que la "mantisa" que defines tú pretenda ser la parte decimal de nada, sino que los resultados que obtienes y obtendrás trabajando con tus pares ordenados en su totalidad son los mismos que los que obtendrás considerando los números reales sin paréntesis. Los números reales ya incorporan implícitamente el concepto de par ordenado ( (parte real, parte decimal) ). Y al igual que la "mantisa" de tu definición, no hay nada que te impida ver en la parte decimal de un número real una sucesión de dígitos sin valor numérico (de hecho, el concepto de "valor númerico" yo lo veo solo como una construcción psicológica que nos hacemos nosotros por necesidad; matemáticamente los números no tienen ningún significado).

Análogamente, tampoco veo problema en construir los números reales como los conocemos utilizando solo los números enteros.

Si no es mucho pedir, intenta responderme a estas preguntas:

1) ¿Qué idea nueva introduce tu 'modelo' que no esté ya contenida en el modelo que conocemos de los números reales?

2) ¿Qué desarrollos permite hacer tu 'modelo' que no permita el otro?

3) El problema que apuntaba antes donald. ¿Cómo lo solventas? No parece muy lícito decidir sobre la marcha que ahora esto es una "mantisa", o ahora no lo es, según te convenga. Y aunque lo hagas, no salvas el problema. Por definición, si [texx](a,b)[/texx] es un par ordenado, [texx](a,b) = (a,c) \Rightarrow{} b = c [/texx]. ¿Qué haces cuando en dos pares ordenados que representan a un mismo número tengas dos "mantisas" distintas?


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 17/10/2011, 05:53:53 pm
Es que acaso yo he hecho semejantes afirmaciones. Yo no he dicho tales cosas, eres tu el que me las asigna, pero ni yo he dicho que mi modelo sea algo nuevo ni que permita hacer cosas que no puedan hacerse con otros modelos de números reales. La única novedad es el propio modelo, que no cabe duda que es otro más de los muchos que existen, pero concretamente este modelo parece que no está establecido, al menos por lo que yo sé y por lo que afirma argentinator no parece que esté descrito en los textos conocidos.

Respecto a que haya dos pares ordenados que representen el mismo número real pero que contengan mantisas distintas es un caso que no puede darse, siempre que se excluyan las mantisas de periodo nueve, que ya lo están porque así le contesté yo mismo a donald hace ya varios mensajes. Aunque parece que no te has enterado de eso. (Si conoces algún contra ejemplo exponlo aquí por favor, no te coartes)

Por cierto ¿cuando hablas de números reales de que modelo estas hablando? Porque probablemente con este modelo si puedan hacerse cosas que con otros no se pueda aunque eso habría que investigarlo si queremos saberlo a ciencia cierta, pero para eso tienes que explicarme que modelo de numeros reales es al que te refieres. Desde luego el modelo que yo he propuesto cumple con todas las propiedades de los reales, pero también tendrá algunas propiedades que no tengan otros modelos, ¿no te parece? Por ejemplo, los números reales se muestran aquí como el conjunto formado como producto cartesiano de dos conjuntos bien definidos, el de los números enteros y el de las sucesiones de dígitos. ¿Podrías demostrar semejante propiedad usando el modelo de Dedekind ó el de Cantor?

De hecho aún te diría más, para poder descomponer un número real en su parte entera y su parte fraccionaria es necesario demostrar que este modelo es viable, por el procedimiento que más te guste, pero si no lo demuestras estás hablando del sexo de los ángeles cada vez que realizas tal descomposición. ¿Puedes decirme en base a que construcción justificas la expresión decimal de los números reales? ¿Quien dice que tal cosa puede hacerse? Porque no te documentas un poco antes de hablar Dani.

Vamos, digo yo, Jabato.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: feriva en 17/10/2011, 07:36:39 pm

) El problema que apuntaba antes donald. ¿Cómo lo solventas? No parece muy lícito decidir sobre la marcha que ahora esto es una "mantisa", o ahora no lo es, según te convenga. Y aunque lo hagas, no salvas el problema. Por definición, si [texx](a,b)[/texx] es un par ordenado, [texx](a,b) = (a,c) \Rightarrow{} b = c [/texx]. ¿Qué haces cuando en dos pares ordenados que representan a un mismo número tengas dos "mantisas" distintas?

Eso no es ni siquiera un problema menor, como ha dicho Argentinator, es que no es un problema, o al menos no es un problema de Jabato, lo es de las bases, si acaso; en este caso de la base diez. Y nuestro propio sistema de números reales, escrito con comas detrás de las unidades enteras, tiene ambas representaciones, ¿qué le obliga a quitarlos? Si no quiere no tiene por qué hacerlo.   
Las calculadoras convierten automáticamente esos números en cuanto ven varios nueves: 0.999999=1, pero porque son máquinas y aproximan como si hubiera infinitos nueves; multiplicando a mano no saldría nunca:

[texx]\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=3(0.333..)=0.999...= \dfrac{3}{3}=1[/texx]

sale por eso, porque [texx]\dfrac{a}{a}=1[/texx], pero a mano no sale nunca.

Y para ver que es un problema de la base basta fijares que al dividir 1/3 lo que hacemos es partir ese uno en diez partes y poner un cero en el cociente:

[texx]\dfrac{1}{3}=0.333..\Rightarrow 10=3 \cdot 0,333...[/texx]

Pero si usamos base 6, y partimos el 1 en seis partes:

[texx]\dfrac{1}{3}\Rightarrow 6=3 \cdot 0,2[/texx]

No sale periódico, sale 0,2 escrito en base decimal, pero que multiplicado por 3 es:

[texx]0,2+0,2+0,2=0,6=1_{en\,\,base\,\,6}[/texx]

Saludos.
 
 


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 18/10/2011, 02:05:34 am
En respuesta a Dani: Creo que has malentendido el punto central de la discusión.

Has hablado del "modelo de los reales que ya conocemos".

Bueno, pero eso supone que "ya" conocemos un "modelo".
¿Cuál?

Mi respuesta es: ninguno, hasta tanto se haya construido al menos un modelo.

((Debido a que los posts me han quedado largos, voy a poner trozos de texto en Spoilers, para que sea más cómodo seguirlos))

________________

Spoiler: Una analogía ilustrativa... (click para mostrar u ocultar)

_________________

¿Como se construye un ejemplo (o "modelo", si se prefiere esta palabra) de "sistema de números reales"?

Hay muchas alternativas, pero lo cierto es que uno puede construir uno, usarlo como "el" sistema de números reales, y después demostrar que es equivalente a cualquier otro modelo dado.


Desde el punto de vista lógico, lo que vos llamás "números reales de toda la vida" en realidad NO EXISTEN.

Van a existir después de que hayamos construido al menos un primer modelo.

___________

Y la pregunta acá es: ¿qué pasa si elegimos que, el primer modelo de reales que construimos sea directamente a través de dígitos?
¿Cómo se efectúa la construcción?

Uno tiene que definir "a mano" la suma, la multiplicación, la relación de orden, y finalmente probar que se cumplen cada uno de los axiomas de los números reales: los axiomas algebraicos, los axiomas ordinales, los axiomas algebraico-ordinales, y por último el axioma del supremo.

_____________________

Cuando vos decís que "los dígitos" están asociados a los "reales de toda la vida" estás pensando en una situación diferente:

Spoiler: (Abrir para seguir los detalles) (click para mostrar u ocultar)

No es lícito probar las propiedades de los desarrollos decimales "desde los axiomas", porque los axiomas PUEDEN SER FALSOS.
Una lista de axiomas SIN MODELOS es falsa, no sirve para nada.

___________________

Por otra parte, al usar uno desarrollos decimales tiene la certeza de que va a llegar a buen puerto, porque uno sabe por experiencia que, de existir de verdad los números reales (mejor dicho, algún modelo de ellos), entonces automáticamente aparecen asociados los desarrollos decimales.

Pero estos desarrollos decimales "sólo tienen sentido" después que se ha demostrado que LOS AXIOMAS TIENEN SENTIDO, y esto ocurre sólo DESPUÉS que se ha construido un modelo válido.

Este tipo de cosas van en la dirección del trabajo de Hilbert, al tratar de fundar la matemática sobre la base de los números naturales.



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 18/10/2011, 02:26:15 am
En cuanto a si la construcción por desarrollos decimales es conocida o no...

Spoiler: Mi visión del asunto... (click para mostrar u ocultar)


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 18/10/2011, 02:38:52 am
Finalmente, hago un comentario sobre las quejas de Dani de que esto de los desarrollos decimales se supone que son algo "obvio" o demasiado conocido.

En realidad los desarrollos decimales son algo ambiguo, no corresponde a números reales.

No es sólo cuestión de decir que un número real es una parte entera y una parte decimal.

Porque además hay que verificar la estructura algebraica y analítica.

Para ver que esto efectivamente es así, lo más adecuado es poner un ejemplo, que en este caso lo pongo dentro de los mismos números reales.

Spoiler: (Detalles del ejemplo) (click para mostrar u ocultar)
_________________________

En cuanto a la queja de Dani, de que hay casos ambiguos en la definición de suma con desarrollos decimales...

Eso sería cierto sólo si a los desarrollos decimales quisiéramos llamarlos números reales, sin ningún "arreglo" previo.

Spoiler: (click para continuar leyendo) (click para mostrar u ocultar)


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 18/10/2011, 02:55:09 am
Spoiler: Un ejemplo análogo en los enteros (click para mostrar u ocultar)

Sobre el sentido y utilidad de estas construcciones "a mano" de los sistemas numéricos:

Spoiler: (Click para ver explicación) (click para mostrar u ocultar)


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 18/10/2011, 05:21:13 am
Contestando a Dani: Solo te diré una cosa Dani, si fuera así como tu dices yo creo que argentinator, que es un buen matemático, no se habría molestado en escribir sus dos últimos mensajes, ¿no te parece? 

No discuto que argentinator sea un buen matemático, 

Estas cosas no tienen importancia, pues en rigor, se trata de la "Falacia de Autoridad".

Me doy cuenta que Donald sabe mucho más que yo de teoría de modelos,
y sin embargo sigo sin creerme lo que él opina sobre la fiabilidad de la intuición como fundamento base para la matemática.

Mientras estemos en el marco de la teoría de conjuntos estándar (ZFC o NBG o MK, cualquiera de ellas),
la discusión sobre los sistemas numéricos gira en torno a qué son "dentro de la teoría de conjuntos".

Una pregunta central es "qué entendemos por números".
En el marco formal de la teoría de conjuntos, los números no son algo "intuitivo", ni "conocidos de toda la vida".



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 18/10/2011, 03:41:04 pm
La suma de pares quedaría establecida entonces en la forma:

[texx](e_1,\ m_1)+(e_2,\ m_2)=(e,\ m)[/texx]

en la que:

[texx]e=e_1+e_2+a[/texx]                  [texx]m=m_1+m_2[/texx]

siendo [texx]a[/texx] el indicador de acarreo de la suma de mantisas en la primera posición y m la mantisa resultante de la suma de mantisas en la forma que ya estableció argentinator.

En esta tesitura podemos establecer ahora las propiedades de la suma y ver que se satisfacen los axiomas de los reales para la suma:

- La suma es ley de composición interna, es decir la suma de dos pares es un par. Es evidente que se cumple ya que por propia definición se establece que la suma de dos pares es un par.

- La suma de dos pares es única. Es también evidente por la propia definición puesto que la suma de dos enteros es un entero único y la suma de dos mantisas es una mantisa única (si las mantisas de periodo 9 se transforman en mantisas de periodo nulo) y el indicador de acarreo solo puede tomar un único valor.

- La suma presenta la propiedad asociativa. También se cumple porque dicha propiedad se cumple para la suma de números enteros y la suma de números naturales.
 
- La suma presenta la propiedad conmutativa. Exactamente igual que la anterior.

- Existe el elemento neutro para la suma. Dicho elemento es [texx](0,\ 000000.....)[/texx]

- Existe el elemento inverso para la suma. Dicho elemento es [texx](e,m)^{-1}=(-e-1,m_c)[/texx]  en la que [texx]m_c[/texx] es la mantisa complementaria respecto de la mantisa de periodo 9, que se obtiene al substituir cada digito por su complemento respecto de 9.

[texx](e,\ m)+(e,\ m)^{-1}=(e-e-1,\ m+m_c)=(0,\ 000000....)[/texx]

Es claro que al sumar las mantisas se obtendrá una mantisa de periodo 9, que al ser convertida a una mantisa de periodo 0 anulará la parte entera.

He tratado de ser breve y omitir los detalles porque creo que esto no debería plantearle problemas a nadie, supongo.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 18/10/2011, 07:06:20 pm
Bueno, en este punto es que aparece el problema de los 9's y hay que resolverlo formalmente.

Lo que se hace no es "convertir los 9s a 0s y listo", sino que uno define clases de equivalencia.

Si la mantisa m no termina en un período de 0s o 9s, se define la clase de equivalente de m como el conjunto que contiene a m como único elemento.

La clase de m, [m], sería el conjunto {m}.
O sea [m] = {m}.

En cambio, cuando m termina en una cola de 0s o de 9s, la clase de equivalencia tiene que contener a los dos casos posibles.

Por ejemplo [0.1249999...] = {0.1250000...,    0.1249999....}
Otro ejemplo: [0.337000...] = {0.3369999...,   0.3370000...}

Es engorroso trabajar con estas "clases" porque casi no difieren de las sucesiones mismas, no tiene mucha gracia.

Pero es lo más correcto o conveniente.

Si no, uno tiene que usar otra convención en las sumas de sucesiones de dígitos, y evitar el caso de mantisas que terminan en cola de 9s, digamos.

Pero tanto un enfoque como el otro tienen su precio a pagar.

___________________

En cuanto a que las propiedades algebraicas que mencionaste son sencillas de probar...
No estoy de acuerdo.

No es que sea difícil, pero no es trivial.
Me refiero a que, así como definimos la suma como un proceso iterativo, truncando a n digitos y luego pasando a una especie de "límite" para n que tiende a infinito.

Esta misma operatoria tendría que repetirse al comprobar cosas como la ley asociativa, conmutativa, etc.

Sin embargo, es cierto también que, salvo esto, la forma de proceder de todos modos es bastante obvia.

Por otro lado, en el caso "ambiguo" de las colas de 0s y colas de 9s, hay que prestar especial atención.
Sin embargo, si uno tuvo el cuidado previo de definir una suma correctamente con clases de equivalencia, no habría dudas en esta parte (no haría falta considerar todos los casos).



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 18/10/2011, 07:22:46 pm
Creo argentinator que no merece la pena parase mucho más en estos temas, lo de las clases de equivalencia puede evitarse si establecemos de forma previa, yo ya lo hice, que las sucesiones de periodo 9 no son mantisas y definimos la suma incluyendo el caso de la transformación de periodo 9 a periodo nulo, es decir que cuando al sumar dos mantisas se obtenga una mantisa de periodo 9 ésta deberá transformarse a periodo nulo sumando una unidad al último dígito de la parte no periódica ó a la parte entera si la mantisa es periódica pura. Yo seguiría avanzando en el modelo, pero eso será mañana porque a mi hoy ya me sonó la hora. Mañana será otro día.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 19/10/2011, 03:48:47 pm
El paso siguiente parece que debería ser establecer el producto de dos pares y parece que la forma más lógica sería hacerlo de esta manera:


[texx]{(e_1,m_1)\times (e_2,m_2)=(e_1,0)\times (e_2,0)+(e_1,0)\times (0,m_2)+(e_2,0)\times (0,m_1)+(0,m_1)\times (0,m_2)}[/texx]


pero ello nos obliga a realizar varias definiciones previas lo cual parece que va a complicar la cosa en grado sumo.


      [texx](e_1,0)\times (e_2,0)=(e_1\cdot e_2,0)[/texx]

      [texx](e,0)\times (0,m)=?[/texx]   (Obliga a definir el producto de un entero por una mantisa)

      [texx](0,m_1)\times (0,m_2)=?[/texx]   (Obliga a definir el producto de dos mantisas entre si)


No veo otra forma más sencilla. ¿Alguna sugerencia?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 19/10/2011, 04:24:00 pm
 :D

¡No digas que no te avisé!

Ese tipo de problemas son los que ocurren al separar parte entera de mantisa.

Por eso siempre he dicho: es preferible hacer un modelo en que sólo se consideren dígitos.

O sea, desarrollos de la forma:

[texx]\displaystyle\sum_{n=-k}^{\infty} a_n 10^{-n}.[/texx]

donde [texx]k[/texx] es algún entero cualquiera.

Los índices [texx]n[/texx] negativos corresponden a la parte entera del número.
Los positivos se asocian a la parte fraccionaria.

Debido a que la parte entera siempre tiene una cantidad finita de dígitos, no se introducen dificultades en el tratamiento al permitir desarrollos así.
El "costado derecho" que es el que tiene infinitos dígitos, es lo más complicado, y ya hemos explicado cómo se trabaja en ese caso (por truncaciones y aproximaciones).


De todas maneras, la parte más complicada es la que corresponde al producto de dos mantisas.
Analicemos eso.

Lo que yo haría sería muy similar a lo hecho para la suma, y resumo las ideas:

* Truncar los factores cada uno hasta el decimal [texx]n[/texx]-ésimo "a la derecha de la coma".
* Multiplicar con el algoritmo usual, ya que tenemos ahí finitos decimales y no hay problema. Al resultado lo llamamos [texx]z_n[/texx], que no es el resultado buscado, pero se aproxima.
* A medida que [texx]n[/texx] crece, hay que demostrar que los dígitos de [texx]z_n[/texx] se van "estabilizando".

Pongo un ejemplo numérico que aclarará mejor la idea que la demostración:

Pongamos el ejemplo de la parte fraccionaria de [texx]\pi\by e[/texx]. Esto es [texx](\pi-3)(e-2)[/texx].

Parte fraccionaria de [texx]\pi[/texx]: 0.14159265358979....
Parte fraccionaria de [texx]e[/texx]:   0.71828182845904...
El producto de estos números da algo como: [texx]0.1017034301168....[/texx]

El algoritmo anterior funcionaría así:

[texx]z_1=0.1\times 0.7=0.07[/texx]
[texx]z_2=0.14\times 0.71=0.0994[/texx]
[texx]z_3=0.141\times 0.718=0.101238[/texx]
[texx]z_4=0.1415\times 0.7182=0.1016253[/texx]
[texx]z_5=0.14159\times 0.71828=0,1017012652[/texx]

y así sucesivamente.

Fijate que hubo un momento, a partir de [texx]n=3[/texx], en que el primer dígito se hizo "1", y ese valor será el definitivo de ahí en adelante.
Lo mismo ocurrió para el 2do y el 3er dígito.
Es una casualidad que se hayan "estabilizado" a partir del mismo índice [texx]n[/texx] que el 1er dígito.
El 4to y 5to dígito se estabilizan a partir de [texx]n=5[/texx].

Para cada posición del desarrollo decimal del producto, o sea, para el [texx]k-[/texx]ésimo dígito,
no es posible predecir en qué momento comenzará a "estabilizarse".
Pero basta demostrar que habrá algún paso [texx]n[/texx] a partir del cual ese dígito empieza a vale siempre lo mismo (yo digo pues, que "se estabiliza").

Esta es la cuestión central que hay que ponerse a demostrar para que este método esté justificado.
Y hay que hacerlo, porque si no el método no está justificado.

Ahora bien, al menos hoy no tengo muchas ganas de hacerlo. Pero es cuestión de rutina ponerse a luchar con los dígitos "en abstracto", buscar un índice [texx]n[/texx] adecuado, etc.

_____________________

En el ejemplo se vislumbra otra dificultad, que con la suma no teníamos: al multplicar desarrollos truncados, el número de dígitos del producto se duplica hasta [texx]2n[/texx].

Esto trae una dificultad adicional que se debe tener en cuenta.

Otro problema interesante también es el de que los "acarreos" en el producto no son tan simples como en la suma. En ella se acarrea 0 ó 1. En el producto se puede acarrear hasta 8.



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 20/10/2011, 02:20:59 pm
El problema de multiplicar un entero por una mantisa se reduce fácilmente a una suma finita de mantisas y por lo tanto no le dedicaré mucha más atención que esta. Nuestro gran problema, como dice argentinator, es el producto de mantisas y es ahí donde se va a demostrar nuestra habilidad para desarrollar este modelo.

Vamos con el primer caso:

[texx](e,0)\times (0,m)[/texx]

a) Si [texx]e>0[/texx] se suma tantas veces como indique [texx]e[/texx] el par (0,m) consigo mismo

b) Si [texx]e=0[/texx] el resultado de la operación es el par nulo (0,00000...)

c) Si [texx]e<0[/texx] se suma tantas veces como indique [texx]|e|[/texx] el par (0,m) consigo mismo y a continuación se cambia el signo a la parte entera obtenida, se le resta 1 y por último se substituye la mantisa resultante por su complemento respecto de la mantisa 99999999999.....

NOTA: Nótese que, en este caso, por parte entera de un número real negativo se ha tomado el valor por defecto, es decir el mayor entero menor que el número real dado. La otra opción hubiera sido tomar el valor por exceso. Había que tomar una de las dos opciones y elegí ésta por que me pareció la más útil, aunque cualquiera de las dos hubiera valido.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 20/10/2011, 04:17:21 pm
Y vamos a continuación a intentar desarrollar el producto de mantisas, es decir el producto de la forma:

[texx](0,m_1)\times (0,m_2)[/texx]

¿Alguna sugerencia?

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 20/10/2011, 05:03:47 pm
Yo ya dije cuáles son los pasos a seguir en ese caso.

En cuanto a tu preocupación por casos positivo y negativo, yo diría que eso no tiene importancia.

Basta pensar que todos los números son positivos, y al final de todo considerar qué ocurre con los signos.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Jabato en 20/10/2011, 05:50:50 pm
Bueno, yo solo trataba de ver si a alguien se le ocurria alguna estrategia que pudiera simplificar algo la cosa, algo así como una "tormenta de ideas", pero ya veo que esto no va a ser fácil. De todas formas gracias por tu aporte. A mi me tira más la idea de convertir el producto de mantisas en una combinación de sumas y productos de mantisas por un entero, dos operaciones que ya sabemos realizar, y es posible que pueda hacerse aunque aún no veo la forma precisa de hacerlo. Le daré algunas vueltas más a ver si lo consigo precisar ó alguien nos aporta un nuevo punto de vista.

Saludos, Jabato. ;D


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Marcos Castillo en 06/11/2012, 05:43:19 am
Hola, Argentinator. Acabo de descubrir este thread. Estoy interesado en la propiedad arquimediana de los diferentes conjuntos de números, y tu explicación es muy buena, muy gráfica. Pero todavía me quedan dudas. ¿Podrías echarle un vistazo a los mensajes que he colgado en el apartado Matemáticas Generales?.
No sé si he metido la pata diciendo que no veía cuál era la trascendencia de la propiedad arquimediana, y desde luego tenía que haber descubierto tu thread antes, habiendo buscado en el epígrafe que realmente le toca. :'(


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 06/11/2012, 06:12:06 am
No soy partidario de los adjetivos, porque no sirven para resolver problemas ni demostrar teoremas.

La propiedad arquimediana tiene su mayor importancia en R, porque es un conjunto donde dicha propiedad vale de un modo no trivial.

Pero el hecho de que valga ahí es consecuencia de su relación con sus subsistemas N, Z, Q.

En cuanto a tus posts, no he comentado nada porque hacen una alegoría sobre Aquiles y la tortuga, y no soy muy amigo de esas interpretaciones. Me gustan más los cálculos en frío. Si hay algún problema matemático concreto, una demostración con la propiedad arquimediana, entonces me avisás y me fijo.

Saludos


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Marcos Castillo en 06/11/2012, 07:53:03 am
Es que lo que quiero es desmontar esa paradoja, y creo que la propiedad arquimediana lo consigue; pero no estoy seguro de estar razonando correctamente, porque al fin y al cabo soy un principiante.  ???


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Lycan en 07/02/2013, 09:52:58 pm
Saludos

He estado leyendo los post y todos están muy interesantes.

Tengo una duda: el desarrollo de la teoría de cada sistema numérico ha sido acompañado de un grupo de axiomas que nos orientan sobre el conjunto de propiedades que determinan las características que dan forma a cada sistema. Por ejemplo para construir los números naturales se tuvo en cuenta los axiomas de Peano, o para los números enteros los axiomas de cuerpo + los de orden + el de completud. Por otro lado, puntualizando en mi duda, el conjunto de los números complejos suele presentarse como un conjunto de pares ordenados de reales, al cual se dota de una multiplicación y una suma, entonces  ¿existen unos axiomas que determinen las propiedades de los números complejos?


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 08/02/2013, 01:46:23 am
Bueno, esto tendría que pensarlo.

Para seguir con el enfoque que estuve desarrollando, tendría que dar un sistema de axiomas para los números complejos.

Como haber un tal sistema, lo hay, no es nada complicado.

Pero el problema es que los sistemas axiomáticos que estuvimos desarrollando son "categóricos",
con lo cual quiero decir que satisfacen una propiedad de unicidad: todos los sistemas que satisfacen la lista de axiomas son isomorfos entre sí.

Así que la pregunta exacta sería: ¿existe un sistema axiomático de los complejos tal que todos los sistemas que cumplen esos axiomas son isomorfos entre sí?

O sea, estamos preguntando cuáles son los axiomas que caracterizan unívocamente a los complejos.

__________

Dado que eso no suele estar en los libros hay que pensarlo.
Hasta ahora no lo he pensado, confiando en que si me pongo a escribirlo me va a salir.
No obstante, es posible que haya algunos obstáculos para lograrlo.

Puedo acá ensayar algo:

Una lista [texx](C, +, \cdot, 0, 1,  i, R, <) [/texx] es un sistema de números complejos si:

* [texx]C[/texx] es un conjunto no vacío,
* [texx](C, +, \cdot, 0 , 1)[/texx] es un cuerpo con neutro 0 para la +, y neutro 1 para [texx]\cdot[/texx].
* [texx]R[/texx] es un subconjunto de [texx]C[/texx] tal que 0 y 1 son elementos de [texx]R[/texx], y tales que [texx](R, +, \cdot, 0, 1, <)[/texx] es un cuerpo ordenado completo (o sea, un sistema de números reales). [Aquí [texx]+,\cdot[/texx] son las operaciones de [texx]C[/texx] restringidas a [texx]R[/texx]].
Nota: La relación < solamente está definida en [texx]R[/texx], no está definida en el resto de elementos de [texx]C[/texx]. Esta aclaración algo incómoda se puede subsanar dando los axiomas de [texx]R[/texx] de un modo algo distinto.

* El elemento [texx]i[/texx] no pertenece a R, y cumple la relación [texx]i^2= -1[/texx].

* [texx](C, 0, +, \cdot|_{R\times C})[/texx] es un espacio vectorial definido sobre el cuerpo [texx](R, 0, 1, +, \cdot)[/texx], donde 0 es el "vector" 0, y [texx]\cdot|_{R\times C}[/texx] es el "producto de escalares por vectores", que se toma como el producto de [texx]C[/texx] restringido a [texx]R\times C[/texx].

(Recordemos que todo espacio vectorial ha de definirse en relación a un cuerpo de escalares. Aquí especificamos explícitamente que el cuerpo de escalares es el mismo R que antes teníamos como subcuerpo ordenado completo de C).

Hay que prestar atención porque aquí las mismas operaciones de suma y producto de C sirven tanto para las operaciones de suma y producto del subcuerpo R, el cual a su vez es "cuerpo de escalares para C como espacio vectorial", y además el producto de C, debidamente restringido, funciona como "producto por escalar" de C como R-espacio vectorial.

* La dimensión de [texx]C[/texx] como [texx]R[/texx]-espacio vectorial es 2: [texx]dim_R(C) = 2[/texx]. Además, los "vectores" [texx]1[/texx] e [texx]i[/texx] son linealmente independientes, y constituyen una base del espacio vectorial [texx]C[/texx].


Creería que esos axiomas son suficientes para garantizar la unicidad (salvo isomorfismos) del sistema de los números complejos (siempre bajo una teoría formal y estándar de conjuntos).

Para verlo, hay que suponer que tenemos dos sistemas de complejos distintos:

[texx](C, +, \cdot, 0, 1, i, R, <)[/texx] y [texx](C', +', \cdot', 0', 1', i', R', <')[/texx]

y demostrar que:

* Existe una biyección [texx]h[/texx] entre [texx]C[/texx] y [texx]C'[/texx] tal que:
* [texx]h(0) = 0', h(1) = 1', h(i) = i', h(R) = R'[/texx],
* [texx]h(w+z) = h(w) + h(z), h(w\cdot z) = h(w)\cdot h(z).[/texx]
* [texx]w,z\in R, w< z[/texx] implica [texx]h(w), h(z) \in R'[/texx] y [texx]h(w) < h(z).[/texx]
* Y análogas propiedades para la función inversa [texx]h^{-1}[/texx].

No he hecho las comprobaciones, para ver si falta algo en el camino.

Si esos axiomas no caracterizan la unicidad de los sistemas de números complejos,
entonces habrá que agregar algún axioma más,
y para esto hay que elegir alguna propiedad característica de los números complejos,
como por ejemplo que C es un espacio vectorial con producto interno (no creo que esto agregue más información que la que ya hay desde los axiomas),
o que el subconjunto [texx]S = \{cos\theta + i\sen\theta: 0\leq\theta <2\pi\}[/texx] con el producto de [texx]C[/texx] restringido a [texx]S[/texx], forma un grupo conmutativo, isomorfo al grupo de matrices ortonormales reales de 2x2, con determinante 1.
Pero esto también seguramente es consecuencia de los axiomas.

O quizá el teorema de que todo polinomio de coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.

Otro día me pondré a hacer bien los cálculos, y los agregaré a la teoría de los sistemas numéricos.

Un saludo.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Lycan en 08/02/2013, 04:18:00 pm
Hola Argentinator.

Gracias por la respuesta. Estoy viendo sistemas numéricos (también álgebra lineal) y la información de aquí me ha servido bastante para estudiar.

¿Estos axiomas determinan los complejos?

*[texx]C[/texx] es un cuerpo.

*[texx]C[/texx] tiene un subconjunto propio de números reales, con la misma suma, multiplicación, cero y uno que [texx]C[/texx].

*Existe un número imaginario (un complejo no real) [texx]i[/texx], tal que [texx]i^2=-1[/texx].

*Todo número complejo es de la forma [texx]a+bi[/texx] para únicos [texx]a,\,b[/texx] reales.

Si no lo son, corrígeme.






Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Carlos Ivorra en 08/02/2013, 06:02:02 pm
Me temo que he cruzado este hilo con este otro:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=65635.msg263930#msg263930 (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=65635.msg263930#msg263930)

y ahora han quedado demasiado enredados para deshacer la maraña. Traigo aquí algo planteado allí:

Hago aquí un comentario sobre un asunto que argentinator está tratando en este otro hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=24564.msg263877#msg263877 (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=24564.msg263877#msg263877)

Como voy a hacer referencia a lo dicho en este hilo, creo que será más fácil de seguir aquí.

En resumen: Todo conjunto con una suma y un producto que cumpla los axiomas de cuerpo, que tenga característica 0, que sea algebraicamente cerrado y que tenga cardinal [texx]2^{\aleph_0}[/texx] es isomorfo al cuerpo [texx]\mathbb C[/texx] de los números complejos. Esto, como digo, es una posible respuesta (no la única, por supuesto) a la pregunta planteada en el hilo que he citado.

Recordaba que el hecho de ser algebraicamente cerrado era importante.
Pero me quedó la duda de si los otros axiomas que puse en "ese" hilo acaso serían suficientes, y ser algebraicamente cerrado sería ya un Teorema deducible de todo lo demás que supuse.
Creo que con probar la unicidad allí, y comprobando luego que la construcción básica de C como pares ordenados de reales cumple los requisitos allí exigidos, ya se podrían usar todos los teoremas conocidos de variable compleja, y en particular que C es algebraicamente cerrado.

Estimo que las cuentas son fáciles, pero no las he hecho.

Sí, es cierto, si garantizamos axiomáticamente que el cuerpo [texx]C[/texx] contiene una copia de [texx]\mathbb{R}[/texx] (sea explícitamente, como hace Lycan, o indirectamente, a través de una caracterización axiomática de [texx]\mathbb R[/texx], como hace argentinator), las propiedades exigidas ya garantizan que [texx]C\cong \mathbb C[/texx] (es decir, que la respuesta a la última pregunta de Lycan es afirmativa) y en particular que C es algebraicamente cerrado.

De hecho (y no sé si esto es simplificar o complicar las cosas) se puede omitir toda referencia a [texx]i[/texx] en los axiomas y suponer únicamente que [texx]C[/texx] es un espacio vectorial de dimensión finita (mayor que 1) sobre [texx]\mathbb R[/texx].


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Carlos Ivorra en 08/02/2013, 08:10:31 pm
Puestos a buscar caracterizaciones sencillas de [texx]\mathbb{C}[/texx], se me ocurre otra en términos del valor absoluto (quiero decir sencillas de enunciar, no de probar).

Sea [texx](C,+,\cdot, |\ |)[/texx] una cuádrupla que cumpla las condiciones siguientes:

1) [texx](C,+,\cdot)[/texx] es un cuerpo de característica 0 (es decir, tal que al sumar 1 consigo mismo las veces que sea nunca da 0 o, equivalentemente, tal que [texx]\mathbb Q\subset C[/texx]).

2) [texx]|\ |:C\longrightarrow \left[0,+\infty\right[[/texx] cumple las propiedades siguientes:

a) [texx]|x|=0\leftrightarrow x=0[/texx]

b) [texx]|x|=|-x|[/texx]

c) [texx]|x+y|\leq |x|+|y|[/texx]

d) La restricción de [texx]|\ |[/texx] a [texx]\mathbb Q[/texx] es el valor absoluto usual.

Estas propiedades implican que [texx]d(x,y)=|x-y|[/texx] es una distancia en [texx]C[/texx].

3) [texx](C, d)[/texx] es un espacio métrico completo.

Bajo estas condiciones, si suponemos que [texx]\mathbb Q[/texx] es denso en [texx]C[/texx], entonces [texx]C\cong \mathbb R[/texx].

En cambio, si suponemos que existe [texx]i\in C[/texx] tal que [texx]i^2=-1[/texx] y [texx]\mathbb Q(i)[/texx] es denso en [texx]C[/texx], entonces [texx]C\cong \mathbb C[/texx] y la clausura [texx]\overline{\mathbb Q}\cong \mathbb R[/texx].

Aquí, [texx]\mathbb Q(i) = \{a+bi\mid a,b\in \mathbb Q\}[/texx].

Este enfoque presupone conocido [texx]\mathbb R[/texx], pero no como subcuerpo de [texx]C[/texx].

AÑADO:

He estado repasando, y me he dado cuenta de que en realidad las condiciones en esta línea se pueden simplificar mucho:

Sea [texx](C, +, \cdot, |\ |)[/texx] una cuádrupla tal que:

1) [texx](C,+,\cdot)[/texx] es un cuerpo

2) [texx]|\ |: C\longrightarrow \left[0,+\infty\right[/texx] cumple las tres propiedades a), b), c) de los valores absolutos y además [texx]|n|=n[/texx] para todo número natural [texx]n[/texx] (donde el [texx]n[/texx] de dentro del valor absoluto hay que entenderlo como la suma de [texx]n[/texx] veces [texx]1[/texx] en [texx]K[/texx]).

3) C es completo con la distancia definida por el valor absoluto.

4) Existe un [texx]i\in C[/texx] tal que [texx]i^2=-1[/texx].

Bajo estas condiciones [texx]C\cong \mathbb C[/texx] y la clausura de [texx]\mathbb Q[/texx] en C es isomorfa a [texx]\mathbb R[/texx].


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 09/02/2013, 12:32:57 am
Bueno, parece que Carlos nos ha traído nuevas posibilidades.
Por supuesto, me gustan todas.

Una cosa que parece que "todo el mundo desea" es siempre buscar las caracterizaciones que sean lo más "sencillas de enunciar" que sea posible.

Yo, en cambio, al menos en lo que respecta a estos hilos de la construcción de sistemas numéricos,
no me interesa tanto esa sencillez o brevedad, sino que busco:

¿Cuáles son todas las propiedades deseables que un sistema numérico debiera cumplir?
O sea, busco una lista "máxima" de axiomas, no tanto una "mínima".

Así, es muy posible que nos encontremos con muchos axiomas redundantes,
que se demuestran en realidad unos a otros como teoremas.

La razón de que busco esto es filosófica.
Ante la pregunta: ¿cuál es la "definición" del concepto de "números complejos", o de "números enteros", etc., etc.?
lo más apropiado es que pongamos en una colección todas las propiedades que nosotros creemos que "debiera cumplir" un tal sistema.

Porque si no, ¿qué significado tiene cuando decimos que "tal o cual sistema satisface luego TODAS las propiedades usuales de los números complejos"? (Lo mismo para naturales, enteros, etc.).

El decir frases así presupone que tenemos dando vueltas un "concepto de sistema de números complejos".
¿Cuál es ese concepto?
¿Cómo hacemos para decir que todos los sistemas de tal o cual forma es "lo mismo" que C?

Carlos ha dicho que con "tales y tales propiedades" se puede demostrar que un conjunto C es "isomorfo" a [texx]\mathbb{C}[/texx]. ¿A cuál [texx]\mathbb{C}[/texx]?

O sea, ¿qué es un isomorfismo de sistemas de números complejos?
¿Cómo se define que dos de tales sistemas son "isomorfos"?

Para eso hace falta un "concepto" de sistema de número complejo,
de tal manera que dados dos sistemas C, C', al decir que una biyección entre C y C' es un isomorfismo, lo que estamos diciendo es que la biyección "conserva TODAS las propiedades" de un "sistema de números complejos".

De nuevo, ¿cuáles son TODAS esas propiedades?

_____________

Si les damos vueltas al asunto, creo que vamos a terminar diciendo cosas muy parecidas a la lista de axiomas que propuse,
y además agregar la importante propiedad de que todo polinomio tiene una raíz (o sea, algebraicamente cerrado).





Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 09/02/2013, 12:39:38 am
Se ve más sencillo lo que quiero decir si lo pensamos para un isomorfismo de espacios vectoriales.
Ahí está claro lo que es un espacio vectorial, y qué es lo que un isomorfismo de espacio vectorial tiene que cumplir.

Lo mismo para isomorfismos de grupos, entre otras cosas.

Lo que no se suele plantear es un "isomorfismo de sistemas numéricos".

Si uno toma a los sistemas numéricos igual que a cualquier otro concepto matemático,
no sabe a priori si ese concepto satisface: existencia y unicidad.
Antes de eso, hay que definir claramente el concepto (enunciando TODAS las propiedades, ¿cuáles son TODAS?) de sistema de números naturales, o de enteros, etc.

Luego sí uno puede plantearse preguntas sobre la existencia y la unicidad.
La unicidad se plantea bajo "isomorfismos".
Y el isomorfismo tiene que ser de algún tipo claramente establecido. No puede quedar "en el aire".

La cosa se confunde acá, porque después de todo vamos a llegar siempre a la conclusión de que todos los sistemas de números complejos, por ejemplo, son isomorfos entre sí,
o sea, es como si en el fondo hubiera sólo uno,
y no haría falta definirlo por axiomas.

Pero eso no pasa con otras entidades matemáticas.
Con grupos o con espacios vectoriales no hay esa suerte.

______________


Pero hay todavía una sutileza más en todo esto.

Estamos suponiendo siempre una teoría de conjuntos clásica de fondo,
en donde hemos hecho las construcciones de los sistemas numéricos y la definición de los conceptos.

Pero ¿siempre vamos a tener las mismas teorías de conjuntos, o los mismos axiomas para toda la matemática?

En cambio, los sistemas numéricos van a sobrevivir aún cuando los fundamentos de la matemática evolucionen de un modo u otro.

Así, es bueno también en ese caso tener listadas "TODAS" las propiedades de un sistema numérico dado, porque no sabemos si las podremos necesitar bajo unas bases matemáticas menos complacientes.




Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Carlos Ivorra en 09/02/2013, 12:20:03 pm
Yo, en cambio, al menos en lo que respecta a estos hilos de la construcción de sistemas numéricos,
no me interesa tanto esa sencillez o brevedad, sino que busco:

¿Cuáles son todas las propiedades deseables que un sistema numérico debiera cumplir?
O sea, busco una lista "máxima" de axiomas, no tanto una "mínima".

No acabo de captar la idea. Si das unos axiomas mínimos y de ellos deduces todas las demás propiedades hasta llegar a esa lista "máxima", tienes toda la información mucho mejor organizada.

Así, es muy posible que nos encontremos con muchos axiomas redundantes,
que se demuestran en realidad unos a otros como teoremas.

La razón de que busco esto es filosófica.
Ante la pregunta: ¿cuál es la "definición" del concepto de "números complejos", o de "números enteros", etc., etc.?
lo más apropiado es que pongamos en una colección todas las propiedades que nosotros creemos que "debiera cumplir" un tal sistema.

Cierto, pero si sabemos que todas se deducen de unas pocas, resulta que se vuelve equivalente decir que "debiera cumplirlas todas" o decir que "debiera cumplir esas pocas".

Porque si no, ¿qué significado tiene cuando decimos que "tal o cual sistema satisface luego TODAS las propiedades usuales de los números complejos"? (Lo mismo para naturales, enteros, etc.).

Pues tiene exactamente el mismo significado que decir que cumple las pocas que los caracterizan, pues es equivalente cumplirlas todas o esas pocas. De hecho, eso te da la definición de "todas" que estás buscando. "Todas" son todas las que se deducen de esas pocas concretas.

El decir frases así presupone que tenemos dando vueltas un "concepto de sistema de números complejos".
¿Cuál es ese concepto?
¿Cómo hacemos para decir que todos los sistemas de tal o cual forma es "lo mismo" que C?

Insisto en que no te acabo de entender y estoy tratando de esforzarme por lograrlo, y lo que te contesto no son tanto objeciones como intentos de hacerte ver qué puedo estar entendiendo mal.  Por ejemplo, las dos preguntas que haces aquí me parecen bastante diferentes. Diría que una respuesta a la primera en la línea que tratas de fijar sería decir que "los números complejos" son el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a [texx]\mathbb R[/texx]. Creo que eso es lo que "pretenden ser" los números complejos, y presupone la demostración de si en un cuerpo algebraicamente cerrado que contenga a [texx]\mathbb R[/texx] tomamos el menor subcuerpo que cumple esto, dicho subcuerpo existe y es isomorfo al que podríamos obtener a partir de cualquier otro cuerpo en dichas condiciones.

En cuanto a la segunda pregunta, me parece trivial, y por eso entiendo que no te entiendo: lo que hacemos es probar que dos estructuras cualesquiera que cumplan tales axiomas son isomorfas entre sí, y entonces llamamos [texx]\mathbb C[/texx] a cualquiera de ellas. ¿Qué se me escapa?

Carlos ha dicho que con "tales y tales propiedades" se puede demostrar que un conjunto C es "isomorfo" a [texx]\mathbb{C}[/texx]. ¿A cuál [texx]\mathbb{C}[/texx]?

A cualquiera definido de modo que cumpla las propiedades. Quiero decir que puedes tomar a cualquiera de ellos como definición de [texx]\mathbb{C}[/texx] teniendo en cuenta que la definición sólo es relevante salvo isomorfismo, pero me consta que esto lo sabes perfectamente, por lo que sigo sin entenderte.

O sea, ¿qué es un isomorfismo de sistemas de números complejos?
¿Cómo se define que dos de tales sistemas son "isomorfos"?

Toda el álgebra y toda la topología y la métrica de los números complejos se desprende de su estructura de cuerpo. En todo cuerpo isomorfo a [texx]\mathbb C[/texx] puedes definir una topología que lo haga homeomorfo a [texx]\mathbb C[/texx] un valor absoluto "isomorfo" al de [texx]\mathbb C[/texx] en el sentido que fácilmente se precisa, etc.

Dos sistemas son isomorfos cuando puedes poner en correspondencia biyectiva los números de uno con los del otro y todos los conceptos definidos en uno con los del otro de forma que la biyección conserva todos estos conceptos en el sentido usual (la imagen de la suma es la suma de las imágenes, la imagen del valor absoluto es el valor absoluto de las imágenes, etc.). Pero no me quito la sensación de no decirte nada que no sepas ya.

Para eso hace falta un "concepto" de sistema de número complejo,
de tal manera que dados dos sistemas C, C', al decir que una biyección entre C y C' es un isomorfismo, lo que estamos diciendo es que la biyección "conserva TODAS las propiedades" de un "sistema de números complejos".

De nuevo, ¿cuáles son TODAS esas propiedades?

Las que garantizan el isomorfismo y, si quieres, todas las que se deducen de ellas. Ahí puedes hacer una lista tan larga como quieras.

Si les damos vueltas al asunto, creo que vamos a terminar diciendo cosas muy parecidas a la lista de axiomas que propuse, y además agregar la importante propiedad de que todo polinomio tiene una raíz (o sea, algebraicamente cerrado).

Obviamente, tu lista vale, y como tú mismo indicas, es redundante. Sí. No sé qué decirte.

Se ve más sencillo lo que quiero decir si lo pensamos para un isomorfismo de espacios vectoriales.
Ahí está claro lo que es un espacio vectorial, y qué es lo que un isomorfismo de espacio vectorial tiene que cumplir.

Lo mismo para isomorfismos de grupos, entre otras cosas.

Lo que no se suele plantear es un "isomorfismo de sistemas numéricos".

Si uno toma a los sistemas numéricos igual que a cualquier otro concepto matemático,
no sabe a priori si ese concepto satisface: existencia y unicidad.
Antes de eso, hay que definir claramente el concepto (enunciando TODAS las propiedades, ¿cuáles son TODAS?) de sistema de números naturales, o de enteros, etc.

No veo la distinción que pretendes hacer: Al hablar de espacios vectoriales, tienes por una parte los axiomas de espacio vectorial, y por otra parte las propiedades adicionales que se deducen de esos axiomas, como que un escalar por el vector cero da el vector cero, etc. La única diferencia a lo sumo es que existe un consenso en qué propiedades tomar como axiomas de espacio vectorial, mientras que hay muchas alternativas distintas que podrías tomar como definición de "sistema de los números complejos", pero ello se debe a que hay espacios vectoriales no isomorfos entre sí, mientras que con los números complejos buscamos unos axiomas que determinen una única estructura salvo isomorfismo, y ello hace que puedas construir (de varias formas) una estructura así sin necesidad de concretar unos axiomas y, recíprocamente, que puedas elegir distintos grupos de axiomas que determinen la misma estructura.

Luego sí uno puede plantearse preguntas sobre la existencia y la unicidad.
La unicidad se plantea bajo "isomorfismos".
Y el isomorfismo tiene que ser de algún tipo claramente establecido. No puede quedar "en el aire".

La cosa se confunde acá, porque después de todo vamos a llegar siempre a la conclusión de que todos los sistemas de números complejos, por ejemplo, son isomorfos entre sí,
o sea, es como si en el fondo hubiera sólo uno,
y no haría falta definirlo por axiomas.

Pero eso no pasa con otras entidades matemáticas.
Con grupos o con espacios vectoriales no hay esa suerte.

Exacto. Es lo que acabo de decir (es que te contesto a medida que te leo, sin anticiparme). Te decía antes que todas las propiedades de los números complejos se deducen de su estructura de cuerpo, luego basta conservar ésta. En realidad debo hacer una rectificación. Como ya decía en otro mensaje, a partir de un [texx]\mathbb C[/texx] determinado axiomáticamente como mero cuerpo, no podemos reconstruir [texx]\mathbb R[/texx], luego para tener definido "todo lo relevante" sobre [texx]\mathbb C[/texx], incluyendo que extiende a [texx]\mathbb R[/texx], necesitamos asegurar que tenemos un cuerpo isomorfo a [texx]\mathbb C[/texx] y una forma de identificar dentro de él un cuerpo isomorfo a [texx]\mathbb R[/texx].

Por lo tanto, el tipo de isomorfismo que no quieres dejar en el aire, sería un isomorfismo de cuerpos que se restringiera a otro isomorfismo entre los subcuerpos respectivos identificados como [texx]\mathbb R[/texx] en cada caso.

Pero hay todavía una sutileza más en todo esto.

Estamos suponiendo siempre una teoría de conjuntos clásica de fondo,
en donde hemos hecho las construcciones de los sistemas numéricos y la definición de los conceptos.

Pero ¿siempre vamos a tener las mismas teorías de conjuntos, o los mismos axiomas para toda la matemática?

En cambio, los sistemas numéricos van a sobrevivir aún cuando los fundamentos de la matemática evolucionen de un modo u otro.

Eso sí que es más sutil. Y me pregunto (no niego, sino que me cuestiono) si la pregunta está bien planteada. Y lo digo pensando en esto: Considera una teoría de conjuntos no estándar, es decir, una teoría de conjuntos que tiene incorporados los principios del análisis no estándar. En esa teoría (quiero decir, en una de las teorías actualmente conocidas en esas condiciones) puedes definir un conjunto de los números reales, y demostrar todos los teoremas que los matemáticos demuestran sobre números reales, derivadas, integrales, etc., pero también puedes demostrar que existen infinitésimos no nulos, cosa que es falsa en ZFC

Las teorías de las que hablo son equiconsistentes con ZFC, por lo que si ésta "cae", caen también. Pero ¿qué pasaría si "cayera" ZFC y fuera sustituida por una teoría no estándar, es decir, por una teoría en la que "quieras que no", cuando defines [texx]\mathbb R[/texx] necesariamente te lo encuentras poblado de infinitésimos no nulos. ¿Habrían sobrevivido, como dices, los números reales que conocemos al cambio de axiomática?

Así, es bueno también en ese caso tener listadas "TODAS" las propiedades de un sistema numérico dado, porque no sabemos si las podremos necesitar bajo unas bases matemáticas menos complacientes.

No digo que no tengas razón en lo que dices, pero creo que, cuando no se juega uno la vida en ello, no es eficiente tratar de sobreponerse a una catástrofe antes de saber cuál podría ser la catástrofe y, con qué características, porque si sabes que vas a estar vivo después de que suceda, es mejor plantearse el asunto cuando sepas a qué te enfrentas.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 09/02/2013, 01:43:45 pm
Bueno, no sé si tengo razón, qué sé yo.

Además, algunas de las preguntas que he lanzado tienen alguna vuelta retórica.

______________

En cuanto a la eficiencia, es claro que lo que planteo no es eficiente, y no vale la pena hacer lo que propongo, en la práctica.

Pero acá estamos hablando de los sistemas numéricos como axiomas, y buscando ejemplos de conjuntos construidos, que satisfacen esos axiomas.

__________


Yo lo que digo acá es que el "concepto" de "sistema de números naturales", por ejemplo (complejos, enteros, da igual), es algo que ya traemos de antemano.

Cuando damos una lista de axiomas, no tenemos la certeza de que van a cumplir todo lo que "pretendemos que cumplan".
Hasta que no comprobamos todas las propiedades "que consideramos usuales" de los naturales, es que el sistema axiomático elegido todavía no está aceptado como "un sistema de axiomas" que define los naturales.

Sólo cuando hemos comprobado propiedades una lista bastante grande de propiedades,
y vemos que los axiomas nos permiten operar en la práctica de la forma que nos gustaría o esperamos, entonces es que estamos satisfechos, y la lista de axiomas se acepta.

Si no, los axiomas no se aceptarían, y se buscarían otros.

O sea que los axiomas dependen de un concepto previo que ya tenemos en nuestra mente de cómo se supone que deben comportarse los números.

Ese comportamiento esperado, es la lista de las propiedades algebraicas, ordinales y analíticas de cada sistema numérico, más el hecho de que C extiende a R, R extiende a Q, etc.

Esos "deseos" o ese "comportamiento esperado", es lo que "realmente define" a los sistemas numéricos.
Están definidos desde antes de que escribamos los axiomas, porque ellos se comportan como nosotros creemos que se debieran comportar.

Tal es así, que si esto no ocurriera, se cambiarían hasta los axiomas de la teoría de conjuntos si fuera necesario.

Por eso, esa lista "maximal", es la lista de todas las propiedades que vamos a usar en la práctica,
que nos gusta que estén ahí, y que esperamos que un buen sistema axiomático cumpla.

_________________

No sé si te escapa algo.
A lo mejor estoy enfocando el asunto de un modo inadecuado.

Lo único que sé es que, cuando me he puesto a escribir y pensar acerca de qué son los números,
tuve que preguntarme por el papel que juegan las construcciones, qué papel juegan los axiomas, y de todo eso qué son los números y qué no lo son.

Y al final terminé reflexionando que los axiomas y los teoremas son lo mismo, en el sentido de que todos ellos tienen que estar presentes para que uno diga: "Ahá, ahora estas sí son TODAS las propiedades que espero que cumpla un sistema de números complejos, y por lo tanto usaré luego el sistema axiomático que los produjo".

El estudio de todas las posibles caracterizaciones  axiomáticas, desde distintos puntos de vista, no es "económico", sino que es conocimiento acumulado. Pero eso es lo que estamos estudiando acá.

Lo mismo que las distintas maneras de construir, digamos R. Algunas serán más eficientes que otras, y basta con exhibir una sola construcción para convencerse de que el sistema de axiomas dado tiene sentido. Pero todas las posibles construcciones nos enseñan, cada una, un aspecto distinto de qué son los números reales.

Para comprender profundamente los números, intento poner todo sobre el tapete, por ineficiente que sea, porque no nos interesa aquí su "utilización" sino su construcción.



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 09/02/2013, 02:08:07 pm
Este hilo surgió tratando de llenar huecos que suelen dejar, creo yo, los textos básicos, o incluso los cursos básicos de la universidad.

Una vez oí decir a un profesor algo como esto: "los números reales se pueden introducir por el método constructivo o por el método axiomático".

Nunca le dí mayor importancia a eso, y no tuve necesidad de cuestionarlo.
Sólo cuando me puse a escribir en este hilo sobre el tema es que empecé a darme cuenta que se dicen muchas cosas por ahí, que la gente no suele reflexionar demasiado.
Estos dichos y otros poco afortunados, los he oído de estudiantes y profesionales, en diversos lugares, y creo que es por falta de reflexión sobre el asunto. Se aceptan algunos hechos sólo como "creencias", y listo.

No es que sea algo muy grave, porque los números son algo que siempre funciona bien.

Pero ahora me queda muy claro que lo axiomático "no son un método más", sino una definición, que es obligatorio que esté.
Y las construcciones no sólo no son suficientes, sino que también son necesarias, porque le dan consistencia al concepto definido por los axiomas. Tiene que haber un conjunto que cumpla los axiomas, para que la teoría no sea trivial.

Y por último me convencí de que "el verdadero jefe", el que manda, es un concepto de número previo.

La lista de todas esas propiedades deseables y usuales de cada sistema numérico, eso es lo que define el concepto.
Si después se logran con un reducido número de axiomas, es otra cosa.

Ese concepto va a sobrevivir, con los axiomas que fueren,
porque lo que interesa es poder usar esas propiedades que todos conocemos, y no otras.

No conozco la teoría de números no estándar para poder contestar si cambiaría yo de opinión en esto último que dije.
Pero por ahora, creo que una teoría con infinitesimales no es una teoría de números reales, sino otra cosa.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Carlos Ivorra en 09/02/2013, 07:43:33 pm
Bueno, creo que te voy entendiendo. Te doy mi opinión sobre el asunto.

Creo que no se puede "meter en el mismo saco" a los naturales, los enteros, los racionales, los reales y los complejos. Creo que la situación es distinta en cada caso. Bueno, los tres primeros son bastante similares, pero bastante distintos de los dos últimos, que a su vez son bastante distintos entre sí.

Creo que de las cosas que dices, unas se aplican más a unos casos y otras más a otros, pero al tratar de aplicarlas a todos a la vez es donde surge la confusión.

Tomemos primero los números naturales. Coincido contigo (como bien sabes) en que primero tenemos un concepto previo que se puede plasmar en unos axiomas y luego podemos dar una construcción explícita de un conjunto que cumpla esos axiomas, pero de modo que son los axiomas los que hacen aceptable la construcción y es la idea previa la que hace aceptables los axiomas.

Ahora bien, discrepo en que hagan falta más propiedades aparte de los axiomas de Peano para que podamos decir que hemos capturado correctamente el concepto de número natural. Los axiomas de Peano dicen que los números naturales son el (o un) cero, y su siguiente, y su siguiente... y nada más (el "nada más" lo aporta el principio de inducción), y creo que eso y nada más que eso hace que los números naturales sean "lo que deben ser". Todas las propiedades que vengan después serán las que serán. A lo sumo habrá que pensar en ellas a la hora de juzgar, por ejemplo, si una definición de suma es aceptable o inaceptable. Si pretendes (lo cual es muy sensato) incluir la suma de números naturales como parte del "sistema de los números naturales", entonces la propiedad que dice que la suma es la que tiene que ser es la que establece que el cardinal de una unión finita de conjuntos es la suma de los cardinales, y ya está. Todas las demás propiedades serán las que serán, pero una suma será "la suma" siempre y cuando cumpla esta propiedad. Si defines la suma de otro modo (por ejemplo, con la típica relación recurrente) uno se convencerá de que esa definición "es buena" en cuanto se convence de que la suma así definida es la misma que la definida por la propiedad del cardinal de la unión. Todas las demás propiedades son, a mi juicio, auxiliares.

Con los números enteros pasa algo parecido: unos axiomas o una construcción serán razonables siempre y cuando produzcan un conjunto que tenga el aspecto de "dos copias de los naturales pegadas por el cero". Ésa es la idea previa que hay detrás del concepto de número entero y las demás propiedades serán las que serán.

En cuanto a la aritmética de los enteros, la suma y el producto deben cumplir que extiendan a las de los números naturales y que den estructura de anillo. Que luego va y resulta que el anillo es íntegro o un dominio de factorización única, pues mejor que mejor, pero no creo que nadie tenga una idea preconcebida de cómo tiene que ser la suma de los números enteros más allá de que debe extender a la de los números naturales y respetar las normas de manipulación algebraica que conocemos (o sea, la estructura de anillo).

Y lo mismo vale para los números racionales. En suma, en estos tres casos coincido contigo en que hay una idea previa perfectamente definida a la cual se deben subordinar tanto los axiomas como las construcciones, pero discrepo en que esa idea previa sea equiparable a "todas las propiedades relevantes". Tú mismo dudas sobre cuáles deberían ser "todas" esas propiedades, mientras que tienes perfectamente clara la noción de número natural o entero, etc. Yo interpreto eso como que esa idea previa sobre los sistemas numéricos hasta los racionales no abarca una amplia lista de propiedades, sino meramente aquellas que realmente determinan qué aspecto deben tener los números (siguientes del cero para los naturales, naturales con signo para los enteros, cocientes de enteros para los racionales) y en qué consiste esencialmente sumar y multiplicar números.

La cosa cambia radicalmente, siempre a mi juicio, con los reales y los complejos. Empiezo por los complejos, que es más fácil. Yo creo que no existe absolutamente ninguna idea preconcebida de lo que "deben ser" los números complejos. Los matemáticos se los encontraron medio por casualidad y de ahí "salió lo que salió". La única idea subyacente al concepto de número complejo es que es un cuerpo (es decir, un conjunto de números que se pueden operar como si fueran números reales, con las mismas propiedades de manipulación algebraica) pero en el que los números negativos tienen raíz cuadrada. Que luego ese cuerpo resultara ser algebraicamente cerrado fue un regalo de los dioses, pero si hubiera resultado no serlo, los números complejos habrían sido los mismos. Y no digamos ya las curiosas propiedades que tienen las funciones holomorfas, como el principio de prolongación analítica, etc. Todo eso viene dado "por añadidura", sin que nadie lo haya pedido (y mucho menos exigido).

Si lo vemos así, cualquier construcción del cuerpo de los números complejos no es más que una forma de obtener un cuerpo que extienda a [texx]\mathbb R[/texx] y en el que los números negativos tengan raíz cuadrada. Creo que el hecho de que al final un número complejo sea de la forma [texx]a+bi[/texx] es algo que nos encontramos, no algo que imponemos como condición para que consideremos a algo digno de ser llamado "número complejo".

El caso de los números reales es mucho más complejo (valga la contradicción). Aquí me parece cuestionable que haya algo concreto a lo que llamar "idea previa de número real", al menos una "idea previa fija". Si miramos lo que los matemáticos han entendido por número real a lo largo de la historia, resulta que los griegos no concebían los números negativos y admitían al regañadientes algunos números irracionales. El concepto moderno de número real "viene grande" a cualquier concepto que pudiéramos encontrar en la mente de un griego.

En cambio, el concepto de número real de los siglos XVII, XVIII y parte del XIX es más generoso que el moderno, pues incluye números infinitesimales, de modo que los números reales del análisis no estándar están más próximos del concepto de número real que tenía Euler que los números reales de Cantor o Dedekind. Pero es que aun en tiempos de Cantor y Dedekind vivía Kronecker, quien afirmaba resueltamente que los números trascendentes no existen, luego su concepto de número real era más próximo al de los griegos que al de Cantor o Dedekind.

Yo creo que cuando Cantor dijo: "voy a llamar números reales a los objetos construidos así", no estaba formalizando una idea previa unívoca de número real, sino más bien concretando una de varias alternativas posibles. Dicho de otro modo: si unos extraterrestres visitaran la Tierra, creo que podríamos estar seguros de que conocerían unos números naturales, enteros y racionales "isomorfos" a los nuestros, pero, ¿podríamos asegurar que sus números reales serían isomorfos a los nuestros? La diferencia entre el análisis estándar y el no estándar es que el segundo está lleno de tecnicismos lógicos que lo hacen enojoso al "matemático estándar", ¿pero no podrían los extraterrestres estar habituados a una lógica más compleja (fíjate que hablo de una diferencia meramente cultural, no digo que tuvieran mentes que funcionaran de forma diferente a la nuestra) de modo que los números reales no estándar les parecieran una teoría más natural, y en cambio nuestros números estándar les parecieran "primitivos"?

Desde este punto de vista, creo que los números reales se definen realmente por una construcción de los números reales. Es verdad que cuando uno piensa en un número informalmente no piensa ni en una "cortadura" ni en una "clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy", pero también creo que el concepto en que uno piensa es vago, hasta el punto de que Cantor, Kronecker y Euler podían razonar con conceptos diferentes bajo esa misma idea informal de número real, y sólo una construcción específica (en principio en una teoría de conjuntos específica) acaba de definir el concepto. En esa idea previa, no concreta del todo, de número real hay incorporadas ideas sobre cómo deben sumarse, multiplicarse y ordenarse los números reales, y la construcción debe respetar esas propiedades, pero esas propiedades no alcanzan para concretar un concepto de número real, sino que dejan abiertas variantes que deben ser concretadas con una construcción o con axiomas adicionales que caractericen salvo isomorfismo el producto de una construcción.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Capitan Trueno en 09/02/2013, 08:15:51 pm
Bueno, yo solo añadiré algo por no estar demasiado de acuerdo con lo que dice Ivorra. Si creo que existe un concepto preconcebido de los reales, al igual que existe de los naturales, de los enteros e incluso de los racionales. Aunque básicamente podemos decir que los números propiamente dichos son los naturales y los reales ya que los otros (enteros, racionales y complejos) son básicamente estructuras más o menos complejas formadas a partir de los anteriores y construidas "ad hoc" para conseguir un objetivo bien establecido. Pero las ideas preconcebidas que hay detrás de los naturales y de los reales son muy claras para mi, los números naturales sirven para contar objetos y los reales sirven para medirlos, luego sí hay una idea preconcebida de los reales, de igual forma que la hay de los naturales. De hecho una de las construcciones más habituales de los reales es la identificarlos con puntos de la recta real, el método de las cortaduras de Dedekind, o el descubrimiento, creo que legendario, de la medida de la diagonal del cuadrado de lado 1 en el seno de la comunidad Pitagórica, por ejemplo.

Personalmente creo que todo el desarrollo histórico de los números esta determinado por esas ideas preconcebidas de lo que tales objetos deben ser, incluso Gauss cuando abordó el problema de los complejos sabía como debían comportarse (al menos en su forma mas elemental) y por lo tanto tenía una idea preconcebida, ya que los números imaginarios eran conocidos desde mucho antes, e incluso los algebristas sabían que cosas podían hacerse con ellos y llegar a soluciones correctas manipulándolos de la forma adecuada.

Así pues para mí es más correcto decir que los distintos tipos de números se han formalizado en base a las ideas preconcebidas que hemos tenido de ellos. De donde han salido esas ideas, eso es harina de otro costal, pero que dichas ideas existían mucho antes de que la formalización subsiguiente se produjera eso es incuestionable para mi.

Salu2


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: pierrot en 09/02/2013, 09:35:41 pm
El caso de los números reales es mucho más complejo (valga la contradicción). Aquí me parece cuestionable que haya algo concreto a lo que llamar "idea previa de número real", al menos una "idea previa fija".

En la actualidad, me parece que la idea intuitiva que la mayoría tiene de los números reales es la de puntos en una recta (por más que esa identificación adolezca de algunas deficiencias). A tal punto esto es así, que por ejemplo, cuando se va a definir el límite de una sucesión [texx]\lim a_n=a[/texx], es común dibujar una recta y el entorno [texx](a-\epsilon,a+\epsilon)[/texx] para un [texx]\epsilon>0[/texx] cada vez más pequeño y ver como a partir de un umbral [texx]n_0[/texx] los puntos [texx]a_n[/texx] van cayendo en ese entornito (al menos así me lo explicaron en el liceo). También que fuera del entorno quedan una cantidad finita de términos, etc.

Y así en muchos casos más, de manera que yo creo que ésa es la "idea previa" de número real que se tiene al día de hoy. Por lo menos, ésa es mi impresión.

Añado: Perdón, no había leído el mensaje de Capitan Trueno al momento de escribir este post. Estoy bastante de acuerdo con lo que dice.

Pero las ideas preconcebidas que hay detrás de los naturales y de los reales son muy claras para mi, los números naturales sirven para contar objetos y los reales sirven para medirlos, luego sí hay una idea preconcebida de los reales, de igual forma que la hay de los naturales.

Pienso igual.

Personalmente creo que todo el desarrollo histórico de los números esta determinado por esas ideas preconcebidas de lo que tales objetos deben ser, incluso Gauss cuando abordó el problema de los complejos sabía como debían comportarse (al menos en su forma mas elemental) y por lo tanto tenía una idea preconcebida, ya que los números imaginarios eran conocidos desde mucho antes, e incluso los algebristas sabían que cosas podían hacerse con ellos y llegar a soluciones correctas.

También en el caso de los cuaterniones. Se cuenta que Hamilton iba acompañado de su mujer en el puente Brougham (en Dublín), cuando de repente se le ocurrió una gran idea: escribió en su libreta la ecuación [texx]i^2=j^2=k^2=ijk=-1[/texx]. A partir de ese momento, trabajó duramente a lo largo de su vida para desarrollar toda una teoría en base a una ecuación que concibió casi espontáneamente.

Así pues para mí es más correcto decir que los distintos tipos de números se han formalizado en base a las ideas preconcebidas que hemos tenido de ellos. De donde han salido esas ideas, eso es harina de otro costal, pero que dichas ideas existían mucho antes de que la formalización subsiguiente se produjera eso es incuestionable para mi.

Sí, yo pienso más o menos igual. Pero es mi modesta opinión, puedo estar equivocado.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Carlos Ivorra en 09/02/2013, 09:53:09 pm
El caso de los números reales es mucho más complejo (valga la contradicción). Aquí me parece cuestionable que haya algo concreto a lo que llamar "idea previa de número real", al menos una "idea previa fija".

Pero fíjate que lo que cuestiono es que haya "algo concreto" "fijo". No digo que el concepto de "número real" esté vacío fuera de la definición formal. Sólo digo que la idea en que se basa la definición formal no es suficiente para concretar si una definición formal u otra es la que "realmente" se corresponde con esa idea previa, sino que dentro de esa idea previa caben varias formalizaciones alternativas.

En la actualidad, me parece que la idea intuitiva que la mayoría tiene de los números reales es la de puntos en una recta (por más que esa identificación adolezca de algunas deficiencias).

Eso nadie lo niega, pero el caso es que Euler tenía la misma idea de lo que es una recta que Cantor, que Kronecker o que tú o que yo y, a pesar de que todos compartimos esa idea de recta, los tres primeros tenían cada uno un concepto distinto de lo que debían ser formalmente los números reales.

A tal punto esto es así, que por ejemplo, cuando se va a definir el límite de una sucesión [texx]\lim a_n=a[/texx], es común dibujar una recta y el entorno [texx](a-\epsilon,a+\epsilon)[/texx] para un [texx]\epsilon>0[/texx] cada vez más pequeño y ver como a partir de un umbral [texx]n_0[/texx] los puntos [texx]a_n[/texx] van cayendo en ese entornito (al menos así me lo explicaron en el liceo). También que fuera del entorno quedan una cantidad finita de términos, etc.

Sí, pero incluso hoy en día hay quienes "dibujan" entornos infinitesimales de un punto, y esa idea no tiene ninguna correspondencia directa con el concepto usual de número real, pero sí que la tiene en el concepto de número real del análisis no estándar. Tanto un cuerpo de números reales estándar como un cuerpo de números reales no estándar pueden corresponderse con las ideas que todos tenemos de lo que son los "números reales".

Y así en muchos casos más, de manera que yo creo que ésa es la "idea previa" de número real que se tiene al día de hoy. Por lo menos, ésa es mi impresión.

Sí, pero esa idea se puede desarrollar de varias formas distintas. También podemos ir en sentido contrario: hasta cierto punto, el conjunto de los números racionales (o, mejor, de los números reales algebraicos) también se corresponde con esa idea de "puntos de una recta". Tú dirás que ahí faltan puntos, pero Kronecker te diría que no falta ninguno, y todo a partir de la misma idea de "puntos de una recta".


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: pierrot en 09/02/2013, 11:57:11 pm
Pero fíjate que lo que cuestiono es que haya "algo concreto" "fijo". No digo que el concepto de "número real" esté vacío fuera de la definición formal. Sólo digo que la idea en que se basa la definición formal no es suficiente para concretar si una definición formal u otra es la que "realmente" se corresponde con esa idea previa, sino que dentro de esa idea previa caben varias formalizaciones alternativas.

Ya entiendo.

Sí, pero esa idea se puede desarrollar de varias formas distintas. También podemos ir en sentido contrario: hasta cierto punto, el conjunto de los números racionales (o, mejor, de los números reales algebraicos) también se corresponde con esa idea de "puntos de una recta". Tú dirás que ahí faltan puntos, pero Kronecker te diría que no falta ninguno, y todo a partir de la misma idea de "puntos de una recta".

Ciertamente, diría que la recta no está completa. Tiene "agujeros". Y la concepción intuitiva que uno tiene de una recta es la de una línea continua, que no se interrumpe. No entiendo (o mejor dicho no me imagino) cómo Kronecker podría argumentar que no faltan puntos (aclaro que no sé nada de análisis no estándar).


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: feriva en 10/02/2013, 12:36:25 am
Pero también se puede entender que incluyendo los irracionales existen agujeros; porque si decimos que los reales cubren todo la recta de forma continua, entendiendo que ya están todos metidos, entonces no cabe nada entre dos puntos, y si no cabe nada, existe mínimo, porque si no existiese, cabría siempre un punto entre otros dos puntos... luego si existe mínimo no son irracionales... todo es según se vea.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Capitan Trueno en 10/02/2013, 12:50:23 am
De hecho la mejor definición de número irracional (o la única si me apuráis) es la de no ser racional, que viene a completar la "recta racional" con todo lo que aparentemente le falta, y que es por lo tanto lo mismo que "tapar" los "agujeros" de la recta real, concepto que es fácilmente identificable con el concepto geométrico de recta. Así pues el descubrimiento de los números reales seguía una intuición geométrica muy clara.

Pensemos en el caso de los complejos. Históricamente fueron formalizados por Gauss, que nació en 1777, pero Euler que murió en 1783 ya escribió cosas como ésta:


[texx]e^{ix}=Cos(x)+iSen(x)[/texx]


o por ejemplo la fórmula de Moivre (De Moivre murió en 1754):


[texx]\left(Cos x+iSen x\right)^n=Cos\left(nx\right)+iSen\left(nx\right)[/texx]


Es claro que Gauss tenía una idea preconcebida de lo que eran los números complejos cuando los formalizó, claramente sabía lo que estaba buscando.

Salu2


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: feriva en 10/02/2013, 09:55:16 am
En mi opinión, los huecos que puedan dejar los puntos son relativos siempre a cuestiones geométricas, separar los números de la geometría puede hacernos ver muchas “paradojas” en las que parece que no podemos decidir.

  Pongo un dibujo para explicarme.

(http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=24564.0;attach=11694)

Si tomamos aisladamente el segmento blanco del dibujo de arriba podemos elegir que tenga los puntos que sea y que no quepan más puntos entre ellos; con un mínimo, por tanto. Pero si ahora consideramos la proyección de la longitud —no digamos puntos todavía— del segmento amarillo sobre el blanco, resulta que, si no quedan huecos, no podemos meter toda esa longitud del segmento amarillo en el blanco.
Si una vez metidos todos los puntos del segmento amarillo en el blanco, pensamos que ya no quedan huecos, vayamos al dibujo de más abajo; y ocurre que sí que tiene que quedar huecos porque, si no, no podemos proyectar la totalidad de los puntos de ese nuevo segmento amarillo, más largo que el anterior.

 Como siempre podemos considerar, sin terminar nunca, un segmento amarillo más largo, resulta que siempre tendrán que existir esos huecos teóricos para poder proyectar los puntos del segmento que se nos pueda ocurrir; porque en todo caso se nos puede ocurrir uno más largo, no tiene límite.

 Esto es lo mismo que decir que no podemos tomar ninguna unidad mínima con valor, no existe una unidad universal que sirva para todas esas proyecciones, pero sí podemos tomar unidades restringidas a los casos que consideremos; ahora bien, en esos casos estamos hablando siempre de racionales, los irracionales son los que están esperando nuevas consideraciones por parte del pensador, los que llaman por teléfono para reservar esas plazas, esos huecos; pero cuando llegan y las ocupan en la cabeza del matemático, se convierten en racionales inmediatamente.   


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 10/02/2013, 01:40:54 pm
No entiendo de que estan hablando, jeje.

Los Q se llaman racionales porque son la razon entre dos enteros. He podido leer en alguna parte que se los llamaba de ese modo porque eran aceptables por la razon humana. Pero estos juegos de palabras no tienen importancia.

El hueco que llenan los irracionales son los puntos respecto el continuo, o sea, una recta euclidiana. Usando solamente razones enteras de un segmento unidad no es posible obtener todos los puntos de la recta.



Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 10/02/2013, 02:02:06 pm
La pregunta clave es: ¿qué cosa son los números?


Pienso que el debate debiera girar en torno a ese punto. A todos nos han inculcado diversas creencias a lo largo de la vida. Con el mero ejercicio de ponerme a escribir este hilo hube de culminar desechando muchas de esas creencias.

Y no se imaginan lo complicado que es intentar armar frases sin acentos, por estar escribiendo desde el celular.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Capitan Trueno en 10/02/2013, 02:44:32 pm
Es que quizás se debiera distinguir entre diversas cuestiones que afectan a los números:

1ª).- ¿Qué son?

2ª).- ¿Como se construyen?

3ª).- ¿Para qué sirven?

y no debiera confundirse una con otra cosa. Por ejemplo este debate se inició hablando de como se construyen pero la forma como se construyen no tiene, al parecer, demasiada relación con qué cosa sean o cual sea su utilidad de igual forma que las tres mismas preguntas aplicadas a un colchón por ejemplo nos darían tres respuestas muy distintas. Quizás sea conveniente no mezclar las tres preguntas si queremos llegar a buen puerto.

El como se construyen no parece que tenga demasiados misterios, está en los libros para quien quiera consultarlos. El qué son y para qué sirven es otra historia, son preguntas algo más complejas de contestar y que dan mucho más de si para un debate como éste.

Salu2


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 10/02/2013, 02:58:46 pm
Todas esas cuestiones son parte del mismo tema. Y bueno, intentemos mantenerlas separadas a esas preguntas.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Capitan Trueno en 10/02/2013, 03:09:37 pm
Yo diría al respecto del concepto intuitivo de número que nuestra mente lo desarrolla de forma automática cuando compara magnitudes digamos ... físicas. Es decir al comparar objetos nuestra mente desarrolla el concepto de cantidad, y de ahí salta fácilmente al concepto de medida para terminar desarrollando un concepto intuitivo de número. Esta parece ser la puerta de entrada para poder responder a la primera pregunta. El para qué sirven los números se respondería, según lo veo yo, es para resolver el problema de la medida y por lo tanto de la comparación. Así que todo parece provenir de una actividad muy útil y frecuente de nuestra mente, la actividad de comparar objetos.

Salu2

 


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: argentinator en 10/02/2013, 03:13:10 pm
Las propiedades arquimediana y de conergencia de puntos racionales a algo que no sea un hueco en la recta, son dos propiedades que me parece han sido de mucha utilidad practica. Estos hechos geometricos permiten a los numeros reales interactuar con la aritmetica de los enteros y con la geometria euclidiana. Cuando Descartes creo' los ejes cartesianos, no existia la teoria de conjuntos. Pero la correspondencia entre puntos y reales ha quedado ya establecida y esa idea no es sencilla de erradicar.


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: feriva en 10/02/2013, 08:26:41 pm
No entiendo de que estan hablando, jeje.

Los Q se llaman racionales porque son la razon entre dos enteros. He podido leer en alguna parte que se los llamaba de ese modo porque eran aceptables por la razon humana. Pero estos juegos de palabras no tienen importancia.

El hueco que llenan los irracionales son los puntos respecto el continuo, o sea, una recta euclidiana. Usando solamente razones enteras de un segmento unidad no es posible obtener todos los puntos de la recta.




Claro, yo no discuto la definición en sí, lo que sí discutiría es si es apropiado llamarle a ese conjunto “recta”.
 Precisamente, en el ejemplo he intentado ilustrar que, en general, no hay una unidad común para el segmento blanco y el amarillo. Pero esos segmentos, por separado, en un mundo geométrico unidimensional donde no existan superficies, ni curvas, etc., no tienen problema en encontrar una unidad común válida —por mucho que pueda ser infinitamente pequeña— para ellos mismos. Al no haber más de una dimensión no aparece [texx]\pi[/texx] ni aparecen las raíces ni las potencias... Sí pueden existir esos “valores” igual de infinitos o muy parecidos, pero siendo racionales, con una diferencia no estructural que vas más allá del discernimiento o de la distinción del número en sí mismo; o visto con números finitos, existirá el 4, por ejemplo, pero no existirá [texx] 2^2[/texx], ese concepto es ajeno a la recta del mundo unidimensional.
 Para mí, el conjunto llamado “la recta real”, es un espacio, no una sola recta, porque dicho conjunto no tiene sentido o tiene poco sentido si no se le considera “rodeado” de una familia de rectas con al menos algunas de ellas no LI; y no me refiero a la recta dibujada, sino a la recta abstracta; geométrica, eso sí, pero abstracta.

 Decimos que los reales constituyen un cuerpo y los escribimos como escalares, así [texx]5,\,\, 6...[/texx]  o lo que sea, pero en realidad yo veo que más bien son más parecidos a algo así [texx](...0, 0, 0...,5, 0,0,0... )[/texx] ...

En cuanto al "hueco" que "llenan" lo irracionales, yo creo que nunca lo llenan del todo; de lo contrario habría que admitir que tienen siguiente, y eso implica mínimo y, en consecuencia, existencia de unidad para la racionalización. 

 

Saludos y buenas noches, profe.   


Título: Re: Construcción de los sistemas numéricos
Publicado por: Ritsuka en 20/11/2018, 03:20:10 am
Hola :)
Es la primera vez que escribo en este foro. Primeramente quisiera felicitarlos por su trabajo,  :aplauso:   realmente me encanta este foro y lo que leído aquí hasta ahora me ha servido muchísimo. Estoy buscando desde hace rato sin éxito un lugar donde pueda ver la construcción de los números reales a partir de las sucesiones de Cauchy, todo el material que he consultado habla de lo famosa que es pero no puedo encontrarla por ningún lado. He leído el siguiente post http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=35792.msg97604#msg97604 y agradezco enormemente el esfuerzo que ha puesto su autor, está muy completo, muy bien explicado, se nota que hay mucho trabajo y amor puestos en ese hilo.
No he podido ver la última parte de la sección 4.6 http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=35792.msg142854#msg142854 . La última línea que veo dice "Si para todo k ocurriera que ..." . Sé que sigue porque falta la otra implicación y además en este otro post http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=42091.msg167963#msg167963 habla del Teorema 3, parte (d) que no lo puedo ver.
Me gustaría saber si a alguien le sucede lo mismo y ver si puedo hacer algo para que se vea el texto que me falta.
Por otra parte, me encantaría que pudiera completar la sección  "Método de la completación métrica en el sentido de Cauchy" Doy mi voto para que reanude ese proyecto  :D Realmente me es muy necesario conocer los detalles de esa construcción, hace mucho tiempo que quiero verla pero no encuentro dónde. Muchas gracias y saludos
PD: Sí, recién voy a poder dormir en paz cuando vea esa construcción de principio a fin y la pueda entender  ;D ;D
Muchas gracias de nuevo a todos los que construyen este hermoso foro. Recién llego y ya me siento como en casa.