REGLAS, Herramientas, Tutoriales => Geogebra (consultas y comentarios) => Mensaje iniciado por: zhiiniitho en 07/07/2009, 06:04:10 pm



Título: Cada una de las caras de un triedro es menor que la suma de las restantes
Publicado por: zhiiniitho en 07/07/2009, 06:04:10 pm
Demostración..

Cada una de las caras de un triedros es menor que la suma de las restantes.

Necesito demostrarlo pero no sé cómo..!


Título: Re: Cada una de las caras de un triedro es menor que la suma de las restantes
Publicado por: EnRlquE en 08/07/2009, 02:35:33 am
Hola.

 Consideremos el triedro [texx]OABC[/texx], supongamos que [texx]m\angle BOC=\alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}[/texx], [texx]m\angle AOC=\beta[/texx] y [texx]m\angle AOB=\theta[/texx] como se muestra en la siguiente figura

(http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=23177.0;attach=4782)

 Mostremos por ejemplo que [texx]\alpha<\beta+\theta[/texx], observa que bastara mostrar que [texx]\alpha_{1}<\beta[/texx], pues análogamente se puede mostrar que [texx]\alpha_{2}<\theta[/texx] y sumando se obtiene lo que queremos.

 Notemos también que si [texx]\beta\geq90^{\circ}[/texx] la desigualdad que queremos es clara pues siempre [texx]\alpha_{1}<90^{\circ}[/texx]. Supongamos entonces que [texx]r=OP[/texx] y [texx]\beta<90^{\circ}[/texx], entonces [texx]OC=r\cos\alpha_{1}[/texx], luego [texx]OA=\dfrac{OC}{\cos\beta}=r\dfrac{\cos\alpha_{1}}{\cos\beta}[/texx], entonces en el triángulo rectángulo [texx]OAP[/texx] tenemos que

[texx]1<\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{r\dfrac{\cos\alpha_{1}}{\cos\beta}}{r}=\dfrac{\cos\alpha_{1}}{\cos\beta}[/texx],

de donde deducimos que [texx]\cos\beta<\cos\alpha_{1}[/texx] y por tanto [texx]\alpha_{1}<\beta[/texx] como queríamos mostrar.

Saludos.


Título: Re: Cada una de las caras de un triedro es menor que la suma de las restantes
Publicado por: zhiiniitho en 10/07/2009, 01:42:05 pm
gracias