Matemática => Teorema de Fermat => Mensaje iniciado por: Proyecto en 20/09/2005, 09:22:16 am



Título: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 20/09/2005, 09:22:16 am
Este es mi primer mensaje en un foro matemático y para empezar os propongo un reto:

Falsar el siguiente enunciado:

“Dados dos números cualesquiera que os imaginéis, podréis encontrar siempre el tercero (x) que hace falta para obtener una terna solución a la ecuación pitagórica  x2 + y2 = z2 , aplicando la siguiente fórmula: x2 = (z – y)·(z + y) “

El porqué de esto lo podréis encontrar en la siguiente dirección web: http://www.solucionfermat.es

Os animo también a que falséis la tesis general que se encuentra allí expuesta, me harías un gran favor; aunque más favor me haríais si no podéis falsarla   ;)

En todo caso espero vuestras noticias.

Saludos,

Fernando


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: teeteto en 20/09/2005, 11:42:31 am
z=1 y=2
Tú dirás


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 20/09/2005, 04:24:09 pm
teeteto, por un momento me has puesto cara de tonto y no sin algo de razón. Al enunciado del ‘reto’ le faltan dos condiciones, que verás sí vienen especificadas en la dirección web a la que hago referencia donde está toda la teoría, y son las siguientes:

[texx]x\neq{y}[/texx] [texx]\wedge[/texx] ( x [texx]\wedge[/texx] y ) < z

Por lo tanto sólo puede ser: y = 1, z = 2

Ahora dirás tú    ;)


Saludos,


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: teeteto en 21/09/2005, 04:59:04 am
z=2, y=1 sigue siendo imposible pues llegas a x2=3.

Usualmente la gracia de esta ecuación es resolverla en números enteros...ahora bien, si la quieres resolver en reales entonces lo que dices es correcto (pero no tiene interés)

saludos.


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 21/09/2005, 09:22:50 am
Para z = 2  [texx]\wedge[/texx]  y = 1, resulta que  x = [texx]\sqrt[ ]{3}[/texx] , por lo tanto cumple que:

([texx]\sqrt[ ]{3}[/texx])2   + 12  =  22

Yo creo que el último teorema de Fermat sí tiene interés, pero estamos viendo películas diferentes. Saludos,



Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: teeteto en 22/09/2005, 05:20:05 am
Efectivamente estamos viendo películas diferentes.
En la que yo veo el Teorema de Fermat está enunciado en términos de números enteros por lo uqe las raíces están desterradas.
Ya me contarás de qué trata la tuya.


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 22/09/2005, 09:04:10 am
Mi película:

El Teorema de Fermat no está basado en números enteros, sino en potencias enteras de números racionales (originalmente) pero que, a mi entender, es fácil de extender a números reales sin desnaturalizar el fondo de la cuestión. De esta forma, lo único ‘entero’ que hay que respetar son los exponentes de los números, no el resultado operado de los mismos, cosa que yo hago escrupulosamente. El final ‘destripado’ de este cortometraje es simplemente un original (creo) método de hallar ternas solución a la ecuación diofántica  para n = 2 : x2 + y2 = z2, cosa que no es tan sencilla, si te miras un poco el tema. El tiempo dirá si hace taquilla o no. Yo estoy dispuesto a asumir, por supuesto, que no la tenga y a irme al paro. Saludos,


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 23/09/2005, 08:22:27 am
Te respondo, Carlos:

Ya veo que nadie se lee la tesis que expongo en mi web, pero no puedo reprocharlo, no es obligatorio  ;)  Intentaré explicarme desde mi nivel de matemáticas, que no es alto ni medio, sino bajo, a pesar de lo que pueda parecer.

Precisamente la clave de la cuestión está en olvidarse de las circunferencias (esta es la novedad). Yo puedo trazar una circunferencia sobre un triángulo rectángulo y empezar a especular por ahí. Este es el camino tradicional y el Sr. Wiles lo llevó con éxito hasta su demostración final. Pero es un camino largo. Sin embargo, sobre un triángulo rectángulo yo también puedo construir una figura cuadrangular de lados ortogonales (un rectángulo, por ejemplo, sobre la hipotenusa del mencionado triángulo como eje de simetría) y también puedo llegar a la misma demostración (aunque no es literalmente así como lo hago); y es un camino más corto. Como ves, tanto en un caso como en otro, se trata siempre de una analogía con el mundo de la geometría, que es la que nos da la intuición necesaria para llegar a una solución. Mi intención no es dar a elegir entre una analogía u otra, sino hacer un hueco a la que yo planteo. Sinceramente creo que dicha analogía  (http://es.geocities.com/solucionfermat) no es complicada y lo único que me gustaría es un apoyo o disconformidad, de forma razonada, sobre lo que expongo allí, no sobre la demostración de Andrew J. Wiles, que no conozco en sus detalles, ni creo tampoco que la entendiera, por lo menos sin un largo período de estudio.

Saludos,

Fernando


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: León en 23/09/2005, 10:27:58 am
Hola Fernando. Por alguna razón no puedo ver tu web (al menos con firefox/linux).
Prometo comentarlo si exponés tu razonamiento en los foros o en html en tu sitio (que por el momento no me queda nada claro).


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: teeteto en 23/09/2005, 05:35:05 pm
Es notable que todos los teoremas enunciados como desafíos por Fermat fueron finalmente demostrados; unos cien años después y, el último, trescientos cincuenta años. ¡Y vaya trabajo que costaron!

Bueno esto no es del todo cierto. Tal es el caso de los primos de Fermat y creo recordar, aunque hablo de memoria, que hay algún otro caso.

Saludos.


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 24/09/2005, 08:14:13 am
Bueno, contesto, ahora que he conseguido sacar algo de tiempo:

León, los archivos que están colgados en mi web son flash (.swf). Me los hizo un amigo que sabe de eso, yo sólo puse el texto en word y los dibujos en papel. No veo forma de convertirlos en html. No manejo firefox, pero imagino que habrá alguna clase de plugin  para hacer que lea flash o pueda instalarse el macromedia flash player.

Dar razonamientos sin los gráficos allí expuestos me  resulta difícil. Lo único que he intentado es relacionar geométricamente, mediante una sencilla analogía, la propiedad intocable de ser enteros positivos los exponentes de la ecuación diofántica de marras. Si logro vincular la propiedad algebraica ‘ser un número entero positivo’ con la propiedad geométrica ‘ser una figura cuadrada perfecta de lados ortogonales’ (o ‘convertible en’ una suma de figuras cuadradas perfectas de lados ortogonales), lo demás va resultando al ir tirando del hilo.

Carlos, gracias por leerte la web. Lo que ocurre es que intento una y otra vez bajarme los attach que pones en tu mensaje y no lo consigo. ¿Serías tan amable de enviármelos a mi dirección de correo electrónico? Así que te comento ahora un poco a ciegas: Efectivamente, puede parecer que si hay muchas maneras de descomponer una diferencia de cuadrados como la que planteo, la teoría estaría rota por su parte algebraica y sería incompleta. Ahora bien, esto sería así fuera de todo contexto geométrico, en álgebra pura. Pero ocurre que sólo ‘una’ descomposición de una diferencia de cuadrados corresponde a ‘una’ descomposición de una diferencia de figuras cuadradas perfectas en otras figuras cuadrangulares perfectas (90 º). Obviamente puedo construir y descomponer todas las figuras cuadriláteras de ángulos mayores o menores de 90 grados que quiera y hacer que sumen y cuadren, pero entonces me estaría saliendo del marco de la analogía que planteo y que dice que entonces “no pueden representar geométricamente la potencia natural de un número algebraico”

Saludos cordiales,
 
Fernando


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 02/10/2005, 03:46:23 pm
Hola Carlos,

gracias por tu segunda lectura. Si no pudiste entrar ayer en la página puede deberse a que la he actualizado en algunos pequeños detalles (el viernes). Son sobre todo algunas palabras de la versión inglesa y un detalle en la figura de la página XIII para que se entienda mejor. No me gusta como ha quedado el tema de la descarga del texto nueva que se ha puesto, pero como creo que decís allá: se me ha acabado la guita para este tema; así que cualquier modificación posterior tendré que hacerla yo mismo, sin la colaboración profesional de terceros.

Mañana, en el trabajo, intentaré sacar un poco de tiempo para ver tu attach, pues desde ese ordenador sí me permite (no sé porqué) abrirlo y procuraré contestarte de una manera más formal. Vi los otros attach que me mandaste por correo-e y sigo pensando lo que te dije antes de leerlos. Pienso que en una clase de equivalencia cualquier elemento perteneciente a ella puede ser el representante total de la misma. No obstante, me parecieron muy ilustrativas tus disquisiciones, que sin duda aportan al saber de todos los que nos interesamos por estos temas.

Saludos cordiales,



Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 03/10/2005, 02:53:05 pm
Hola Carlos,

leí tu attach 'Foro' del otro día y paso a contestar, como prometí. No me gusta el tono en general de superioridad que se respira en él, aunque se tenga. Yo personalmente cuando me siento superior a alguien en una determinada materia procuro siempre no demostrarlo, porque no me es necesario, pero cada uno es cada uno. Por supuesto que no me interesa cualquier consideración de caridad para que se lea mi tesis, espero no haber dado esa impresión. Se trata de un reto lógico. Se coge o no se coge, se está deacuerdo o se refuta o simplemente se pasa de él. En cuanto al tema de la verdad, no es para mí algo baladí, como pareces decir; el día que tenga claro que lo que he propuesto es básicamente erróneo, ese será el último día que lo defienda. Por fin, después de tanta disquisión filosófica-religiosa llegamos al grano: a las extensiones de kummer; donde dices que está demostrado que es imposible seguir lógicamente por la vía de la analogía geométrica que propongo. Con eso me quedo y es lo que voy a preguntar por ahí y a estudiar, con objeto de averiguar la verdad, que es lo que me interesa, más que la gimnasia.

Saludos,

Fernando


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 04/10/2005, 12:11:52 pm
Hola Carlos,

me alegro de haberme equivocado contigo. ¡Así que resulta que eres un compañero de fatigas!. Yo también tengo anécdotas que contar acerca del 'staff', te las puedes imaginar, por eso, entre otras cosas, estoy también aquí en el foro. Seguiré tu consejo y no lo dejaré. Yo no estoy seguro de la corrección de mi teoría, por eso la someto a debate, pero estoy prácticamente seguro de que hay muchas demostraciones posibles, no solamente 'una'. Hay una persona por el ancho mundo de internet que está intentando recopilar demostraciones 'falsas'   :) acerca del teorema, yo le he enviado la mía (Hector Flores [h_flores@mail2Mexico.com]), podrías enviarle también tú la tuya y de paso darme la dirección -a mí y a navegantes- de donde se encuentra en el foro.

Aciertas, de nuevo, al mencionar el tema de otras posibles ideas. En realidad hace tiempo que trabajo en una en la rama del análisis, que es la parte de las matemáticas que más me gusta (esto de ahora sólo ha sido un paréntesis). Si consigue sobrevivir a mis propios exámenes, cuando la termine -allá por el 2006- ,..., me comprometo a enviártela al mail tuyo personal que figura en el foro, con el que me quedo. Y es que a mí no sólo me gusta decir las cosas, sino demostrarlas  ;)

Saludos cordiales,

Fernando,
 
(cambio de pie de firma, como observarás)


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 13/10/2005, 09:55:06 am
Hola a todos:

Vuelvo a la carga. Para dar más facilidades dejo como attach el documento de texto de lo que propongo (sólo hay que entrar en la web: http://www.solucionfermat.es,  para ver los gráficos).

Dados dos números cualesquiera, por ejemplo: y=10 y z=13, (hoy estamos a 13 del 10), con la única condición que y < z, yo puedo hallar un 'x' mediante la ecuación x2=(z - y)(z + y) tal que cumpla que x2 + y2 = z2 (o sea, una terna pitagórica solución). Tendremos, pues, que x=[texx]\sqrt[ ]{69}[/texx], de tal modo que: 69 + 102=132. Esto prueba la analogía geométrica de la diferencia de figuras cuadradas inscritas para n=2.

Para la analogía geométrica de n=3, vemos gráficamente cómo no cumple en la descomposición de sus figuras ortoédricas en términos de una suma de cubos perfectos que den cuenta de forma completa (real) de sus volúmenes (que es condición de la analogía para ser exponente entero), al tener necesariamente uno de los paralelepípedos rectangulares descompuestos más de dos lados de diferente longitud.

Para n>3 no tenemos visualización para el correlato geométrico, pero se hace evidente por la correspondencia establecida de forma algebraica en los casos anteriores, que: (1) existen indefinidamente todas las figuras cuadriláteras rectas así descritas que podamos imaginar, léase: 'y3 z b' (5d) ó 'y32 b' (33d); y: (2) que de todas las formas xn, se haga la composición que se haga de sus descomposiciones ortogonales, siempre contarán con una figura de más de dos lados de diferente longitud; por lo que no podrán traducirse nunca a una ecuación perfecta como resultado de una suma de dos números cualesquiera de exponentes enteros.

Yo sigo sin ver fisuras en la teoría. Puede que me ciegue la vanidad. Muchas veces la vanidad es el motor necesario que nos lleva a la verdad, otras veces a un simple espejismo. Y muchas veces es también la vanidad de los otros la que les impide ver cualquier posibilidad de verdad.

Saludos cordiales, Fernando Moreno

(Cambio el formato del attach y le añado las figuras para facilitar su lectura. 23/11/2006)



Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 18/10/2005, 07:40:57 am
He modificado el mensaje del jueves anterior (13) para que sea más preciso y más didáctico. Gracias, Fernando


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 23/10/2005, 08:31:06 am
Hola de nuevo:

Se me ocurre, releyendo mi mensaje anterior, que alguien puede atascarse al pensar cómo una suma de cuadrados o cubos puede ser perfecta, esto es: completa, respecto de un área o volumen que tienen que cubrir y que no tengan como condición (éstos últimos) de ser cantidades enteras.

Quiero exponer aquí (ver attach) una versión ‘recursiva’ de este asunto. Disculpad si no soy completamente riguroso formalmente.

Saludos cordiales,   Fernando Moreno

(Esta versión recursiva no me parece correcta, ver una versión más completa en el topic: http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=4337.0 . 20/10/2006)


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: rotceh1974 en 09/11/2005, 09:27:52 am
Hola,
para los demostradores del teorema de fermat:
En muchos casos el autor se brinca de l caso n=2 al caso general (miedo a n=3?) Podria alguien explicarme el caso n=3 utilizando sus argumentos.


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 10/11/2005, 11:11:44 am
Hola, intentaré ser breve.

Entendamos por ‘cuadrar’ el acomodar de forma completa la región del espacio de una figura de lados rectos (en la dimensión que sea), en una figura de ‘forma cuadrada’, esto es: de lados exactamente iguales. A esta propiedad geométrica le asociaré la propiedad algebraica de ‘ser una raíz cualquiera de exponente entero positivo’ (ver figuras).

Establezcamos ahora un procedimiento para realizar tal operación en figuras de ‘forma rectangular’. Tal figura, en 2 dimensiones, tiene los lados iguales de 2 en 2. El procedimiento es sencillo, basta con dividirla en una suma de cuadrados más pequeños, cuyo número vendrá dado por la razón: x/y , donde ‘x’ e ‘y’ son los lados de diferente longitud de un rectángulo corriente. [Imaginemos un rectángulo cualquiera de proporciones 6(x)[texx]\cdot{}[/texx]2(y), para x,y reales e iguales a 1; yo puedo convertirlo en una suma de 3 cuadrados]

Establezcamos ahora el mismo concepto y el mismo procedimiento para figuras rectas de ‘forma rectangular’ en 3 dimensiones (ortoedros). Éstos podrán tener los lados iguales de 2 en 2 o de 3 en 3 (de 1 en 1 serían cubos). Si los lados son de 2 a 2, podrán ser ‘cuadrables’ en cubos más pequeños por el mismo procedimiento descrito antes. El número de éstos será entonces de (x/y)2. Se puede probar (ver figuras correspondientes) que si a un cubo le quito otro de tamaño menor inscrito en él, de las 3 figuras ortoédricas que completan naturalmente el espacio resultante, por fuerza una de ellas tiene que tener los lados iguales de 3 en 3 y, por tanto, no será cuadrable. Al no serlo no hará cuadrable tampoco el resultado de una suma en la que esté como sumando, cuando el resto de los sumandos (cubos u ortoedros) sí son cuadrables, como es el caso.

Saludos cordiales,   Fernando Moreno


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: rotceh1974 en 11/11/2005, 05:56:32 am
Estamos en tres dimensiones... bien! Me gustan las tres dimensiones. ;D

"Cuadrar" significa "acomodar" una caja (ortoedro) o varias en un cubo. Donde "acomodar" supongo que significa recortar y pegar. (Tal vez también deformar?).  Estoy entendiendo?

Establezcamos ahora un procedimiento para realizar tal operación ...
Estas explicando UN procedimiento, no EL procedimiento. Eso querría decir que si alguna figura no cumple tu procedimiento no significa que no sean cuadrable. Podría existir otro procedimiento que aun no se nos ocurre para cuadrarla.
Por otro lado. No entiendo el sentido del ejemplo del rectángulo de proporciones 6:2. Viste que es suma de tres cuadrados, pero aun no sabemos si es cuadrable. (debería ser un solo cuadrado).  Pero bueno... nunca dijiste que fuera cuadrable.

Establezcamos ahora el mismo concepto y el mismo procedimiento para figuras rectas .... Se puede probar (ver figuras correspondientes) que si a un cubo le quito otro de tamaño menor inscrito en él, de las 3 figuras ortoédricas que completan naturalmente el espacio resultante, por fuerza una de ellas tiene que tener los lados iguales de 3 en 3 y, por tanto, no será cuadrable....
Dejame ver si capté.
"lados iguales de 2 en 2" = Dos lados iguales y uno diferente? = Una cara cuadrada?
"lados iguales de 3 en 3" = Todos los lados diferentes?
 ¿Se puede probar? ??? ¡Pruébalo!
Se supone que estamos en medio de una demostración y varias cosas aquí no están demostradas.
1) Que el volumen que queda al quitar un cubo pequeño a uno mas grande genera alguna caja con "lados iguales de 3 en 3". (Esta como sea si te la creo.)
2) Que una caja "con lados iguales de 3 en 3" no es cuadrable. (Esta no te la creo). Como dije, tal vez no cumpla tu procedimiento, pero eso no significa que no sea cuadrable.
3) Que si en un conjunto de figuras todas son cuadrables menos una, todas juntas no serán cuadrables.
4) Que si una figura no es cuadrable entonces no puede representar una raíz cubica(en tres dimensiones).

(2), (3) y (4) no están demostradas. 
Todo esto tiene mucha relación con el tercer problema de Hilbert... podrías echarle un vistazo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_third_problem (http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_third_problem)


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 13/11/2005, 09:58:08 am
Descubrirás con el tiempo, rotceh1974, que con la mitad de la mitad compras el doble. Pero el tiempo es ley de vida y no soy yo quien va a saltarse esta ley.

Paso a contestar:

1) Recortar y pegar

2) Es EL PROCEDIMIENTO, en la medida en que cualquier otro puede reducirse de forma más simple a él.

3) Todo rectángulo es cuadrable. Toda figura recta n-dimensional de lados iguales de 2 a 2 es cuadrable. Volvamos al ejemplo  6(x)[texx]\cdot{}[/texx]2(y). Para x=2 [texx]\wedge[/texx] y=5, convertiré el rectángulo en una suma de 1,2 cuadrados y, por lo tanto, SERÁ CUADRABLE. Para x=e [texx]\wedge[/texx] y=3,2 , convertiré el rectángulo en una suma de 0,9375(e) cuadrados y, por lo tanto, SERÁ CUADRABLE.

4) Con 'lados iguales de 2 en 2', por ejemplo, en un ortoedro, me refiero a que de los 3 lados ortogonales maestros a los que puede reducirse por su dimensión, 2 son iguales; por lo tanto, constituirán una figura de 6 pares de lados iguales. Con lados iguales de 3 en 3 me referiré a que de estos 3 lados directores que constituyen su dimensión, ninguno es igual (por lo que formarán una figura de sólo 3 cuaternas de lados iguales).

5) Que una caja con lados iguales de 3 en 3 (o sea, con 3 lados de diferente longitud) no es cuadrable, está más que de sobra lógicamente probado. ¿O es que tú eres capaz de poner una longitud (cantidad) en función de otras dos diferentes? ¿Cómo lo hacemos, la divido entre las dos? Pero entonces ya no son dos, sino una, porque serían factores.. ¡Pruébalo tú! Yo ya lo probé.

6) Si un conjunto de figuras son cuadrables, se pueden reducir cada una de ellas a una suma de cuadrados; la suma de esta suma es otra suma de cuadrados. Cada cuadrado, a su vez, lo puedo dividir en otros tantos cuadrados, de tal forma que al final siempre podré construir una figura cuadrada global. Pero si a todo esto le sumo una figura ‘no cuadrable’, el resultado ya no podrá ser nunca la construcción de esa figura cuadrada.

7) El punto de partida de toda la demostración (¿te lo leíste?) consiste en vincular la propiedad de ser cuadrada una figura recta n-dimensional con el carácter entero positivo del exponente de la expresión algebraica que la representa, (incluidas las raíces de exponente cúbico).

8) Claro que le echaré un vistazo al tercer problema de Hilbert, a eso y a tantas y tantas cosas que me gustaría ver.

Al venir del mundo de la filosofía estoy acostumbrado a trabajar directamente con ideas y puedo entender que para un matemático puro esta demostración adolezca de cierta falta de formalización matemática. Pero 'probar', en última instancia, es convencer, incluso en matemáticas..

Me voy una semanita de vacaciones a un lugar donde no hay internet ni puñeteros libros de matemáticas  ;)   
Ciao           Fernando Moreno


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: rotceh1974 en 14/11/2005, 07:34:45 am
3) Lo creo.

1) y 5)
Ok. La propiedad de que hablas la conozco como "scissors-congruent" (al menos en ingles). No estoy seguro acerca del termino en castellano ("congruente-tijera"?). Esa propiedad ya la utilizaba Euclides cuando trataba con areas. De hecho como bien mencionas. "Todo rectángulo es cuadrable." y de hecho "todo poligono puede ser recortado y pegado para formar un cuadrado". Eso ya lo sabia Euclides. Aunque el mismo Euclides no pudo usar sus argumentos para tres dimensiones.
El su tercer problema, Hilbert pregunta si todo poliedro en el espacio es "congruente-tijera" con un cubo. Y la respuesta es No. Un tetraedro no puede ser cortado y repegado para formar un cubo.  Eso lo probo Dehn casi de inmediato.
Aunque si es cierto que TODO ORTOEDRO PUEDE SER RECORTADO Y PEGADO PARA FORMAR UN CUBO.  Eso se probo tiempo después.
En particular un ortoedro de lados  [texx]4\times{}6\times{}9[/texx]  (lados iguales de 3 en 3) puede ser recortado en 216 cubitos y reacomodados en un cubo de lado 6.

2)
Si tu procedimiento es EL procedimiento. entonces tienes que dar algún argumento para probar que cualquier otra manera de recortar y pegar que a cualquiera se le pueda ocurrir, es equivalente a tu manera de hacerlo. Tal vez estas tomando este particular hecho muy a la ligera. (Puede ser mas dificil que el mismo teorema de Fermat).

6)
Ahora tomate dos ortoedros de lados  [texx]1\times{}2\times{}2[/texx]  y uno de lados  [texx]2\times{}4\times{}7[/texx] (lados iguales de 3 en 3) . Los primeros dos pueden reacomodarse para formar un cubo de lado 2. Y si agregamos el tercer ortoedro podremos cortar todos en 64 cubitos para reacomodar las tres figuras en un cubo de lado 4.

7)
En una direccion es cierto. "Una figura cuadrable representa una potencia. "
Pero al revez, no." Que una figura no sea cuadrable no significa que no pueda representar una potencia."
Una esfera (o cualquier otra figura que se te ocurra)  de volumen 8 sigue representando a la tercera potencia de 2, pueda o no pueda ser recortada para formar un cubo.

Si, lei tu pagina. Y creeme que estoy tratando de seguir la linea de tus argumentos. Precisamente por eso escribo aqui.

Espero que pases bien tus vacaciones.


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 20/11/2005, 07:17:05 pm
Agradezco mucho tu interés por este tema, rotceh1974, si no lo dije antes lo digo ahora. Seguro que platicando contigo llegamos a algo más en claro, incluso definitivo.

7)
Efectivamente, me refiero a una analogía de una sola dirección. Entiéndelo como una aplicación sobreyectiva de  recorrido de un solo elemento (los exponentes enteros positivos), que sería imagen no sólo de las figuras rectas cuadrables, sino de  las esferas y otras figuras que podrían serlo también. Creo que nunca empleé aquí la palabra ‘equivalencia’. Si lo hice, no quise decir equivalencia lógica.

2)
Seamos pragmáticos. ‘Cuadrar’ es reducir completamente a cuadraditos una figura recta con el objetivo de construir una figura cuadrada perfecta. Tú mismo dices que este procedimiento ya lo utilizaba Euclides y se lo planteaba Hilbert. NO HAY OTRO. Si me he referido a la posibilidad de la existencia de otros, no he sido preciso. ¿Probaron acaso Newton o Leibniz que no puede existir otro método que la derivada para definir la velocidad instantánea de un cuerpo en un punto? ¿Podemos estar seguros realmente de que no existe otro? ¿Qué hacemos entonces, ponemos en duda el Cálculo? Siendo rigurosos sí, ¿no te parece?

1), 5) y 6)
Las objeciones que planteas en estos puntos son aparentemente contundentes. Yo las reduzco, permíteme, a una: la posibilidad de ser cuadrables ortoedros de más de 2 lados de diferente longitud. Ocurre efectivamente que en mis explicaciones para defender la teoría me he salido de contexto y he generalizado con demasiada alegría, ¿typical spanish?   :)

En la figura 6 de la tesis, página IX de la web, si te fijas, no me refiero a TODO ORTOEDRO, me refiero a una clase concreta de ortoedros obtenidos por descomposición al extraer de un cubo mayor, otro menor inscrito en él. Estos ortoedros no tienen cualquier longitud de lados, sino que deben cumplir una relación de diferencia entre éstos. En concreto y por ejemplo, en aquél que tiene los lados iguales de 3 en 3: ( y, z, b ), debe cumplirse (página V de la Web) que: ( b < y < z ) [texx]\wedge[/texx] b = z - y . Ninguno de los ejemplos que has dado: (4 x 6 x 9) y (2 x 4 x 7) la cumple y no por casualidad.

Las vacaciones bien, ¿conoces Andalucía? Yo te puedo dar buena información.

Saludos cordiales,   Fernando Moreno

 


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: teeteto en 21/11/2005, 05:59:40 am
Seamos pragmáticos. ‘Cuadrar’ es reducir completamente a cuadraditos una figura recta con el objetivo de construir una figura cuadrada perfecta. Tú mismo dices que este procedimiento ya lo utilizaba Euclides y se lo planteaba Hilbert. NO HAY OTRO. Si me he referido a la posibilidad de la existencia de otros, no he sido preciso. ¿Probaron acaso Newton o Leibniz que no puede existir otro método que la derivada para definir la velocidad instantánea de un cuerpo en un punto? ¿Podemos estar seguros realmente de que no existe otro? ¿Qué hacemos entonces, ponemos en duda el Cálculo? Siendo rigurosos sí, ¿no te parece?

No quiero inmiscuirme en una conversación ajena, pero creo que rotceh no se refiere al hecho de hacer cuadraditos (como tú dices) sino que cuando habla de un método se refiere a cómo hacer esos cuadraditos. Por dónde empiezas a cogerlos o qué hacer con los retales que te sobren...

Saludos


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: rotceh1974 en 21/11/2005, 01:06:41 pm
Sobre el ejemplo (4x6x9) o (9x6x4).
No tengo que quebrarme la cabeza buscando un contraejemplo que ajuste en tu figura del "cubo menos cubo" porque ya sé que no existe.  Me lo dice el teorema de Fermat. Sería como buscar x,y,z que cumplan la ecuación para n=3. 
Ya sé que el Teorema de Fermat es verdadero, lo que tengo que hacer es revisar tu demostración. Para esto lo único que hago es buscar contraejemplos para lo que tu argumento asegura.

Voy a leerme con calma tu argumento de los cuadritos. Pero advierto, que aunque llegues a demostrar que algo no es cuadrable con tu método.  No has demostrado que no es (congruente-tijera) usando alguna otra forma de cortar y pegar. (Hay más que cubitos en el espacio tridimensional). Y mucho menos habrás demostrado que la ecuación de Fermat no tiene soluciones. Para eso necesitas la otra dirección de la analogía.

Por otro lado. La derivada modela la tasa de cambio (velocidad) no sé si haya otra forma. Y tampoco sé si alguien ha asegurado que no hay otra.

Desafortunadamente no conozco, ni Andalucía, ni España. Aunque tengo una amiga de Andalucía. Que está haciendo el doctorado en física por acá.


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 22/11/2005, 11:32:13 am
Vamos a ver. Pensando con más tranquilidad lo que me contestó rotceh1974 el lunes 14, me di cuenta después de responderle yo el domingo pasado precisamente de lo que apunta teeteto (por cierto, no utilizo el foro como una conversación privada). Efectivamente, hace falta definir con más precisión matemática qué es lo que entiendo por ‘cuadrar’. Tengo que definir un método y luego dar alguna razón de porqué ese y no otro. Me voy a poner a ello, por lo menos a intentarlo. Tiene razón rotceh1974 también de que no tiene porqué ponerse a buscar literalmente contraejemplos. La definición que di el domingo de ‘cuadrar’ que cita teeteto como de reducir a ‘cuadraditos’ no es correcta o, al menos, no es completa. El método que empleo no es exactamente el de ‘congruente-tijera’ que dice rotceh, ahí me he dejado llevar. Lo que no tengo claro todavía es lo de la necesidad de la otra dirección de la analogía, tengo que tener más tiempo para pensarlo. De todas formas lo dicho, voy a intentar formalizar un método (el que empleo tácitamente) y dar alguna razón de porqué utilizo ese. Por lo menos mojarme (como se dice en España) me voy a mojar, por eso decidí un día publicar y reflejarlo después en un foro.

Saludos cordiales,   


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 08/12/2005, 11:36:11 am
Supongamos que ‘cuadrar’ no es reducir a cuadraditos, ni es equivalente a ninguna otra operación geométrica que suponga cortar y pegar. Supongamos que digo que ‘cuadrar’ una figura poligonal de ángulos rectos n-dimensional del tipo f(ai) –ver- es poderla representar algebraicamente mediante una gráfica funcional como  h(f(ai)) = xn, para todo xn perteneciente al dominio de f -1. Supongamos, por último, que este método es un procedimiento que nos lleva a establecer de manera tautológica la verdad de la proposición  xn = K + Mn + L cuando Mn es falso...

No sé si lo he conseguido, pero me gustaría pensar que puedo haber dejado abierto con todo esto un camino alternativo para que alguien en el futuro lo consiga.

Pasen y vean (y diviértanse)

Saludos cordiales,   Fernando Moreno


CORREGIDO: 26/diciembre: Hay varios errores que me pasaron desapercibidos. Próximamente publicaré el attach al que me refiero con la solución completa (borro el que estaba).
CORREGIDO (2): 20/febrero/2006: Me he dado cuenta que este modo de solución que sugiero aquí está fuera de contexto, por lo que cuando lo termine lo publicaré como un artículo independiente como he hecho en esta sección con el tema de ‘Fermat y Hamilton’. Me pongo pues a la tarea de buscar el método implícito al que aludo en la respuesta de 22 de noviembre y así responder de forma adecuada en breve tanto a rotceh1974 como a teeteto. Saludos,


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 05/03/2006, 09:03:01 am
En una direccion es cierto. "Una figura cuadrable representa una potencia. "
Pero al revez, no." Que una figura no sea cuadrable no significa que no pueda representar una potencia."
Una esfera (o cualquier otra figura que se te ocurra)  de volumen 8 sigue representando a la tercera potencia de 2, pueda o no pueda ser recortada para formar un cubo.

Y mucho menos habrás demostrado que la ecuación de Fermat no tiene soluciones. Para eso necesitas la otra dirección de la analogía.

El valor del volumen de una esfera puede representar, efectivamente, el valor de una potencia natural, pero no la ecuación que define el volumen de esa esfera (4/3 pi r3) y, por tanto, a ese valor. En cambio, la ecuación que representa una figura cuadrada (xn) sí que representa el valor real de una potencia natural, independientemente del valor de 'x'. Según tu argumento, el valor de cualquier número raíz entera de otro puede representar una potencia natural. Pero eso no es más que expresar una simple tautología. De la analogía de la que hablo, por tanto, sí que existe la otra dirección, aunque en un momento de flaqueza lógica yo mismo lo negara.


Pero advierto, que aunque llegues a demostrar que algo no es cuadrable con tu método.  No has demostrado que no es (congruente-tijera) usando alguna otra forma de cortar y pegar. (Hay más que cubitos en el espacio tridimensional).

pero creo que rotceh no se refiere al hecho de hacer cuadraditos (como tú dices) sino que cuando habla de un método se refiere a cómo hacer esos cuadraditos. Por dónde empiezas a cogerlos o qué hacer con los retales que te sobren...

Establezcamos la siguiente definición más formal de la idea intuitivamente correcta de "cuadrar" expresada en la Web de referencia y que es el motivo de toda esta discusión: Una figura recta n-dimensional "cuadra" (en concreto una figura rectangular n-dimensional), cuando la región que ocupa en el espacio pueda ser construida geométricamente de manera exhaustiva como una suma de cuadrados. Es decir, cuando pueda ser concebida sólo como el resultado geométrico de una suma completa de éstos.

(1) Esto dará lugar a un método (VER) que determinará: primero, cómo hacer el cuadrado punto de partida de esta suma y, segundo; a qué figuras geométricas, por iteración del mismo, le sobran 'retales' y, por tanto, no serán cuadrables, y a cuáles no, siendo éstas últimas las cuadrables y transformables algebraicamente en un número raíz entera de otro.

(2) Como se ve, no se trata de un simple proceso de 'cortar y pegar' (como yo mismo también pensé en un primer momento equivocadamente), sino de una 'suma' exhaustiva de cuadrados que podrá hacerse de forma completa o no. Lo que yo demuestro aquí es que sólo hay una manera posible de hacerlo, que es la que concuerda con el concepto implícito y explícito definido de "cuadrar".

Saludos cordiales,      Fernando Moreno

(Cambio el formato del attach para facilitar su lectura. 22/11/2006)


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: rotceh1974 en 21/06/2006, 06:56:55 am
Uy. Hace un rato que no me metia a la pagina... dejame darle una leida al documento "ELMETODO.doc".



Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: transmigrado en 21/06/2006, 06:19:59 pm
hola... llegue super atrasado al tema (jaja), me gusta ser escueto en lo que expongo, solo que en el articulo: el fabuloso teorema de fermat (algo asi creo) publique algo sobre esto... son polinomios que cumplen [texx]x^2+y^2=z^2[/texx]


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 25/06/2006, 04:14:27 pm
Acabo hoy de llegar de unas pequeñas vacaciones y estoy un poco descolocado. Lo último que me esperaba era encontrarme otra vez contigo rotceh. Sabes que agradezco tus análisis, aunque no esté de acuerdo a veces con las formas,


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 12/04/2007, 04:22:24 pm
A primeros de este mes hace ahora dos años, en una noche en la que no pude dormir bien, se me ocurrió una manera distinta de abordar el clásico problema UTF que había visto por casualidad unos días antes en internet. Supone para mí el recuerdo de un aniversario feliz y por eso se me ha ocurrido ahora hacer un resumen de aquello pero enfocado desde un único punto de vista: el geométrico. ¿Por qué? Pues porque pienso que es la clave de la originalidad de mi planteamiento y porque sigo pensando que éste pudo ser el motivo de que no le cupiera a Fermat su demostración en los márgenes del libro de Diofanto, en los que sin duda se podían escribir muchas líneas de álgebra. Mi propósito es puramente didáctico y no está en mi intención dar lugar a largas disputas. Simplemente me gustaría pensar que alguien que me leyó hace ya año y medio y no pudo entenderme, al leer este texto (que presupone la lectura del anterior: www.solucionfermat.es) sí lo vea más claro. Si esto le sucede a alguien y lo expresa, incluso con alguna aportación o enfoque propio respecto de lo que ha leído, sería para mí muy gratificante y le daría pleno sentido a este post que, como ninguno de los que hago, me resultó fácil de elaborar. Saludos cordiales,    Fernando Moreno.


La parte fácil:

1 cuadrado inscrito en otro dará lugar a dos lados de diferente longitud respecto del que lo contiene (Ver Fig. [A]).  2 lados rectos de difernte longitud dan lugar a un rectángulo y la suma de 2 rectángulos construibles iguales del tamaño adecuado pueden dar lugar siempre a un tercer cuadrado menor que los otros dos.


La parte menos fácil:

1 cubo inscrito en otro dará lugar también a dos lados de diferente longitud respecto de la longitud del lado del cubo que lo contiene. Con 2 lados rectos de diferente longitud puedo construir, pues estamos en 3 dimensiones, un ortoedro y la suma de 3 ortoedros construibles iguales como éstos (en sentido OX, OY y OZ) de un tamaño adecuado podrán dar lugar siempre a un tercer cubo menor que los otros dos (Ver Fig. (B)). Pero aquí es donde surge el problema (y la solución): no hay hueco entre el cubo inscrito y el que lo contiene para poder obtener 3 ortoedros iguales de 2 lados de diferente longitud, pues uno por fuerza deberá tener 3 lados diferentes. De esta manera, jamás podré construir un tercer cubo de exponente perfecto proporcional a la perfección de los otros 2. Pues el único 'arreglo' que podría hacer para obtener otro cubo sin modificar la longitud del cubo matriz y obligarme a repetir sin fin los cálculos, es hacer no entero el exponente del cubo resultante (Ver [C]).


La parte difícil:

Para más dimensiones hay que estirar la imaginación utilizando la lógica de la inducción completa. Una figura recta perfecta de 4 dimensiones inscrita en otra que la contenga, logicamente también dará lugar a sólo dos lados de diferente longitud respecto de ésta y lo mismo pasaría si fuera una figura de 5 dimensiones inscrita en otra de 5 dimensiones, o una de 6 en otra de 6, etc.. Y en todos estos casos podría construir también figuras rectangulares n-dimensionales a partir de esos 2 lados de diferente longitud. ¿Pero qué me ocurrirá siempre? Que al tener que ir sumando huecos de figuras rectangulares en más de 2 sentidos dimensionales que OX y OY , como ahora: OZ, OW, etc., aparecerá necesariamente al final una figura recta que recoja los retales de las demás y que tendrá 4, 5, etc. lados de diferente longitud según la dimensión que posea y que hará imposible sumada con las otras figuras mantener la perfección proporcional entera con el exponente de la forma continente o bien hacerse imposible de representar geométricamente descrita en términos de un número irracional de longitud decimal infinita, como hemos visto antes.

P S (15/04/07) Tacho los dos párrafos que me parecen erróneos. 1.- No se puede utilizar la lógica de la inducción completa únicamente en sentido geométrico más allá de 3 dimensiones sin apoyo algebraico alguno. 2.- Como consecuencia de lo anterior: (el desarrollo algebraico) no me dice que aparece al final una figura recta que recoja los retales de las demás de 4, 5  lados, etc. etc.; sino que aparecerán, según la dimensión n que sea, n-2 figuras rectas de 3 lados diferentes. El resto sigue igual: la suma de éstas (que se pueden reducir a una sóla figura de 3 lados dif.) con las otras de sólo 2 lados distintos hará imposible construir una figura cúbica n-dimensional de exponente entero.



(http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=1547.0;attach=1557)


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: EverST en 14/04/2007, 08:36:29 pm
Hola, estuve viendo la página web, y leyendo este tema. No puedo entender a qué te refieres en la página XV de la web. En el primer párrafo se hace una afirmación que no logro comprender, y luego en la segundo dice: "Queda claro así porque es imposible [texx]x^3[/texx] en el caso visto antes", ¿Qué quiere decir eso? ¿En qué caso?

Me parece interesante esto, tanto como la página. (Por cierto, no logro comprender bien los dibujos de tu post anterior, ¿cuál es Y, el lado del rectángulo rojo o el lado del cuadrado? ¿[texx]z=(x+\displaystyle\frac{1}{2}b)=(y-\displaystyle\frac{1}{2}b)[/texx]?...

Disculpa, si es una pregunta muy evidente

Saludos


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: EverST en 14/04/2007, 09:48:10 pm
Por cierto, no logro abrir la página en Firefox... tengo que hacer algo en específico para poder verla. (Cuando le doy a entrar, me aparece la nueva página en una ventana pequeñísima y no se puede maximizar, por lo que en teoría abre, pero no se deja ver)

Saludos


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 16/04/2007, 09:03:00 am
Hola EverST,

Ninguna pregunta es muy evidente. No tengo nada que disculpar. Al contrario, agradezco tu interés.

1.- Lo de la página XV de la Web es clave. Estoy elaborando precisamente otro post en la línea del anterior en el que quiero tratar de explicar esta cuestión de otra forma, buscando más la lógica geométrica que otra cosa, como he hecho arriba. Prefiero esperar a contestarte cuando lo tenga terminado.

2.- En cuanto al dibujo: el cuadradito de la esquina representa la intersección de los 2 rectángulos, uno por fuerza más largo que otro. 'y' representaría aquí la longitud del rectángulo en sentido OY que sería el más largo y que por tanto coincide con la longitud del cuadrado (aunque podía ser el otro si fuera éste el que se 'comiera' el cuadradito, es algo puramente relativo). 'x' representaría por lo tanto la  longitud del rectángulo menor en sentido OX que no coincide con la longitud del cuadrado. Reconozco que el dibujo se puede prestar a esta ambigüedad.

3.- Efectivamente, no es 'z', sería 'w', quería expresar sentido OZ. En cuanto pueda lo corrijo en el dibujo. ¡Qué fastidio esto de equivocarse tanto!   :-\

4.- No sé mucho de Firefox, aunque quiero utilizarlo en el futuro. Voy a preguntarle al amigo que me hizo la Web a ver qué me dice y te lo comento.


Saludos,


Título: Re: Reto en teoría de números
Publicado por: Proyecto en 23/04/2007, 08:28:23 am
Una figura cúbica n-dimensional inscrita en otra mayor da lugar a n figuras rectangulares n-dimensionales entre el espacio de un cubo y otro. Se trata ahora de construir con estas figuras rectangulares un cubo n-dimensional de menor tamaño que los otros 2. Éste es el planteamiento geométrico que yo he hecho de UTF (1). Un cubo, por ejemplo, es una figura  cuadrada de un sólo lado de longitud. Este lado sin embargo puede ponerse también en función de la longitud de un segundo lado (en el sentido genérico en que a un número cualquiera puede corresponderle siempre funcionalmente el valor de (sólo) una imagen). Esto significará  geométricamente que en 3 dimensiones sólo puedo obtener proporcionalmente un cubo de forma entera bien a partir de otras figuras de cubos más pequeños o bien a  partir de ortoedros de sólo 2 lados de diferente longitud. Dentro de un cubo puedo también representar una figura recta (ortoedro) de 3 lados diferentes. ¿La puedo considerar a su vez geométricamente una parte proporcional del mismo? Pues no, porque respecto del cubo, esto es, cúbicamente, representa un espacio geométrico indeterminado, sólo expresable mediante números irracionales del tipo: nx ó xn. Esto no quiere decir, obviamente, que dicha figura no represente un lugar concreto en el espacio métrico tridimensional, sólo hay que hacer la operación: a x b x c. Yo lo único que estoy diciendo es que no se puede representar de la  forma: w2 b, para 'a', 'b', 'c', de distinta longitud y, por lo tanto, que no puede formar una parte geométrica proporcional entera de ningún hipotético cubo que pensemos construir. Insisto: ¿Significa esto entonces que no puedo construir con esta parte ninguna figura cúbica? No. Esto quiere decir solamente que no puedo hacerlo proporcionalmente. Que es precisamente a lo que nos vemos avocados en el caso que nos ocupa y del que partimos, pues el resto del espacio que tenemos para construir este cubo es geométricamente entero proporcional.

Un poco de álgebra:

Para: [texx]n \in \mathbf N\, \wedge\,  x, y, z \in \mathbf Q [/texx](2) [texx]\wedge\, x < y < z\, \wedge\, w = (y + \frac12\, b) = (z - \frac12\, b)[/texx]

Caso n = 3:

[texx]x^{3} = y^{2}b + yzb + z^{2}b[/texx] (3) (pág. XI de la Web)
Entonces debería cumplirse que: [texx]y^{2}b + z^{2}b = 2\,yzb[/texx], pues partimos que: [texx]\frac23\,x^{3} + \frac13\,x^{3} = x^{3}[/texx]
Así: [texx]2w^{2}\,b = 2\,yzb\, \wedge\, w^{2} = yz[/texx]

(De hecho ocurrirá siempre que: [texx]y^{2} + z^{2} > 2yz[/texx]. Esto se demuestra de una forma muy elegante que os dejo para vosotros)


Caso n > 3:

[texx]x^{n} = y^{n - 1}b + yzx^{n - 2} + z^{n-1}b[/texx] (pág. XVI y XVII de la Web)
Entonces: [texx]y^{n - 1}b + z^{n - 1}b = 2\,yzx^{n-2} \quad \wedge[/texx]
[texx]2w^{n-1}b = 2yzx^{n-2}\, \wedge\, w^{n-1}b = yzx^{n-2}\quad \Rightarrow\quad w = \sqrt[n-1 ]{\displaystyle\frac{yz}{b}} \cdot \sqrt[n - 1]{x^{n-2}}[/texx]
Por lo que nunca: [texx]x^{\frac{n-2}{n-1}} = x^{n}[/texx], para: [texx]x \in \mathbf Q[/texx]


Como conclusión diré tres cosas. Que sigo pensando que la Conjetura queda así demostrada. Que este 'enfoque geométrico' pudo muy bien ser la idea novedosa que encontrara Fermat y que no le cabía en los márgenes del libro de Diofanto. Y que esto no quita para que puedan existir otras demostraciones de este problema, tanto cortas como largas. En cierto modo todo consiste en buscarlas, aunque eso sí, con mucho empeño. Yo de hecho pienso que todavía esta demostración que hago se puede resumir aún más y llegar más lejos en el sentido de porqué esto es así. Si se me ocure algo al respecto lo expondré en otra ocasión.

Saludos cordiales,     Fernando Moreno



(1) No me gusta referirme a UTF. Fermat establece una Conjetura, pues no se conoce la demostración que él dijo hacer. Yo intento dar solución por lo tanto a una Conjetura, no a un Teorema. El Teorema, que existe, debería denominarse Teorema de Wiles (TW), yo de lo que trato es de UCF.
(2) Esta restricción [[texx]\in \mathbf Q[/texx]] no está correctamente expresada en la Web original, hay que modificarla por lo tanto en este sentido.
(3) Modifico en el dibujo que tomo como referencia del post del día 12 pasado las letras x,y por y,z respectivamente, para evitar confusiones con la notación expuesta  aquí. Espero no estar volviendo loco a nadie.

P S  Para EverST: Pregunté lo del Firefox a mi amigo, pero él es además músico y ahora está haciendo una mini-gira. Me dice que me lo mirará en cuanto pueda. En todo caso te mandaré la información al mail que figure en tu perfil, pues no me gustaría alargar más de lo necesario este topic, no vaya a ser que entre otras cosas me cueste el divorcio, tú sabes..   ;)