Revista, Técnicas, Cursos, Problemas => De oposición y olimpíadas => Mensaje iniciado por: poolnikov en 14 Febrero, 2020, 15:11



Título: Asturias 2018: Problema 3. Sucesiones recurrentes
Publicado por: poolnikov en 14 Febrero, 2020, 15:11

Sean [texx]\left\{{u_n}\right\}[/texx] y [texx]\{v_n\}[/texx] dos sucesiones con [texx]a+b\not=0[/texx] tales que:
   
         [texx]u_1=a [/texx]
    [texx]\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{u_n+v_n}[/texx]
           
       
   
         [texx]v_1=b[/texx]
    [texx]\\ u_{n+1}=\dfrac{v_n^2}{u_n+v_n}[/texx]
           
   


    a) Si [texx]a=b[/texx] entonces  calcular [texx]\lim\limits_{n \to \infty}u_n[/texx] y [texx]\lim\limits_{n \to \infty}v_n[/texx]
   b) Si [texx]|b|<|a|[/texx] demostrar que las dos sucesiones son convergentes.
    c) Si [texx]|b|<|a|[/texx] calcular [texx]\lim\limits_{n \to \infty}u_n [/texx]y [texx]\lim\limits_{n \to \infty}v_n[/texx]


Un saludo a todos.




Título: Re: Asturias 2018: Problema 3. Sucesiones recurrentes
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Febrero, 2020, 17:58
Hola

 Creo que el enunciado tiene una errata que he corregido en rojo. Por lo demás apunto un esbozo de mi solución.


Sean [texx]\left\{{u_n}\right\}[/texx] y [texx]\{v_n\}[/texx] dos sucesiones con [texx]a+b\not=0[/texx] tales que:
   
         [texx]u_1=a [/texx]
    [texx]\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{u_n+v_n}[/texx]
           
         [texx]v_1=b[/texx]
    [texx]\\ \color{red}v_{n+1}\color{black}=\dfrac{v_n^2}{u_n+v_n}[/texx]
           
 
    a) Si [texx]a=b[/texx] entonces  calcular [texx]\lim\limits_{n \to \infty}u_n[/texx] y [texx]\lim\limits_{n \to \infty}v_n[/texx]

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Cita
   b) Si [texx]|b|<|a|[/texx] demostrar que las dos sucesiones son convergentes.
    c) Si [texx]|b|<|a|[/texx] calcular [texx]\lim\limits_{n \to \infty}u_n [/texx]y [texx]\lim\limits_{n \to \infty}v_n[/texx]

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Saludos.


Título: Re: Asturias 2018: Problema 3. Sucesiones recurrentes
Publicado por: poolnikov en 15 Febrero, 2020, 13:54
Gracias el_manco.

saludos a todos