Matemática => Teorema de Fermat => Mensaje iniciado por: feriva en 10 Diciembre, 2019, 08:55



Título: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 10 Diciembre, 2019, 08:55
Introducción

Aquí va descrito el esbozo de lo que van a ser los elementos del intento (que aún no sé en qué acabará). En otras respuestas iré desarrollando (si algún fermatero quiere usarlo y lo demuestra antes de que yo acabe, estupendo también; es más, me gustaría, porque yo no sé si voy a tener cabeza para no perderme con algo tan denso).

Como en algunas novelas policíacas, empiezo haciendo una lista de los personajes que van a intervenir; los nombres se usarán a lo largo del intento, así que es importante para quien quiera seguir o utilizar esto (en todo caso las letras son enteros).

Elementos a utilizar

Igualdad 1º [texx]x^{3}+y^{3}=z^{3}
 [/texx] (coprimos)

Igualdad 2º [texx]x^{3}+y^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=(a+c)^{3}
 [/texx].

Consideraciones sobre los elementos:

[texx]x=\overset{\bullet}{3}
 [/texx] (x, en hipótesis, será múltiplo de 3).

[texx]x=(a+b):x\: impar\,\Rightarrow
 [/texx] Hagamos “a” par y “b” impar.

Estas condiciones implican:

[texx]a=3k_{1}+1;\quad b=3k_{2}+2
 [/texx].

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Entonces

[texx]k_{1}=2t_{1}+1
 [/texx].

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Análogamente, por similar razón, al ser “b” impar tendremos:

[texx]k_{2}=2t_{2}+1
 [/texx].

Por otra parte

[texx]z=a+c
 [/texx] par; Implica “c” par:

[texx]c=2t_{3}
 [/texx]

[texx]z=a+c\Rightarrow
 [/texx]

[texx]z=3k_{1}+1+2t_{3}=
 [/texx]

[texx]z=3(2t_{1}+1)+1+2t_{3}=
 [/texx]

[texx]z=6t_{1}+4+2t_{3}
 [/texx]

[texx]z=2(3t_{1}+2+t_{3})
 [/texx]

Además, como “z” ha de ser coprimo con 3 para que la igualdad 1º conlleve una terna primitiva, tendremos:

[texx]2+t_{3}=3m+r_{1};\quad r_{1}=1\vee2
 [/texx].

Por tanto, será bueno usar esta expresión que sigue para analizar los casos posibles:

[texx]z=2(3t_{1}+3m+r_{1})
 [/texx].

Y como despejando [texx]2+t_{3}=3m+r_{1}
 [/texx], tenemos [texx]2=3m+r_{1}-t_{3}
 [/texx], quizá podrá ser útil también sustituir y analizar la expresión

[texx]z=(3m+r_{1}-t_{3})(3t_{1}+3m+r_{1})=
 [/texx]

Desarrollando con Wolfram

[texx]z=9m^{2}+6mr_{1}+9mt_{1}-3mt_{3}+3r_{1}t_{1}-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}-3t_{1}t_{3}
 [/texx]

Donde [texx]-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}
 [/texx] no puede ser múltiplo de 3.

Si Ahora, agrupamos todos los [texx]\overset{\bullet}{3}
 [/texx] de ese polinomio “z” y elevamos al cubo, el resto de [texx]z^{3}
 [/texx] es

[texx](-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2})^{3}=-r_{1}^{3}t_{3}^{3}+r_{1}^{6}
 [/texx].

Que tampoco puede ser múltiplo de 3, por la misma razón.

...

Consideremos [texx]r_{1}=1
 [/texx], entonces [texx]-t_{3}+1\equiv2\,(mod\,3)
 [/texx] y [texx]t_{3}\equiv2\,(mod\,3)
 [/texx].

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Probando la expresión elevada al cubo, como era esperable, no hay ninguna contradicción en el resto de “z”; puede ser [texx]r_1=1[/texx]. Del mismo modo, uno sospecha que tampoco nada se opondrá a que puede ser igual 2 (lo dejo sin probar por ahora).

Se analiza todo un poco, se ve claramente que necesitamos obtener o valorar la paridad de [texx]t_{3}
 [/texx] para intentar encontrar una posible contradicción (lo dejo de momento, porque me da la impresión de que puede ser un poco pesado; quien quiera, ahí lo tiene).

...

Añadamos seguidamente una tercera igualdad a tener en cuenta, la que usa empieza usando Euler para demostrar este caso n=3:

Igualdad 3º

[texx]x^{3}+y^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=
 [/texx]

[texx]a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=
 [/texx]

[texx]2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}
 [/texx].

Haciendo distintos cambios de variable con los elementos descritos, quizá se pueda ver esa paridad y alguna más; y, con suerte, quizá se pueda demostrar que si x es múltiplo de 3, entonces pasa algo contradictorio.

No olvidemos, por otra parte, que podemos contar con el pequeño teorema de Fermat e incluso podría ser útil más en general la función phi de Euler, pese a que en principio sólo consideremos potencias de 3.

...

Conclusión sobre este esbozo para atacar el problema

Da la impresión de que hay suficientes elementos como para que se delate el absurdo. A fin de cuentas, se están expresando los números como sumas o restas de otros, considerando restos, relaciones... Uno piensa que, si con los complejos (que son igualmente números expresados por sumas) se puede llegar a un contradicción, tendría que poderse llegar también con un artificio más o menos paralelo usando reales.

Si uno eleva al cubo el polinomio [texx]z=9m^{2}+6mr_{1}+9mt_{1}-3mt_{3}+3r_{1}t_{1}-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}-3t_{1}t_{3}
 [/texx] con todos sus términos (y no sólo con el resto como he hecho) aparecen coeficientes muy grandes que, además de ser múltiplos de 3, lo son de otros números; con lo que quizá se puede investigar parcialmente la factorización de “z” y considerar la divisibilidad según otros módulos.

Claro que profundizar en todo eso va a ser un trabajo de chinos; para los pacientes y a la vez menos despistados. La demostración en reales podría ser muchísimo más larga que las demostraciones tradicionales usando enteros gaussianos; pero sí que da la impresión de que puede existir.

A fin de cuentas, no se trata de encontrar una demostración más corta o sencilla, sino una demostración mediante métodos elementales de teoría de números (aritmética modular y divisibilidad en general... todo menos teoría analítica y usar el grupo Zi); lo cual no implica que tenga que ser más fácil ni más corta. Quede claro, entonces, que el reto que se propone no pretende encontrar una demostración más simple ni tampoco necesariamente más fácil de comprender. Yo lo he intentado alguna vez y no lo he conseguido; pero porque me despisto y no tengo cabeza de "ajedrecista", quizá alguien sí pueda.

(espero no haberme equivocado en lo que he analizado)



Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 10 Diciembre, 2019, 11:07
Hola feriva. Te acabo de leer y sí, estoy trabajando en algo parecido a lo que planteas. Tengo algo hecho pero hasta dentro de una semana o así no voy a poder publicar, en estas fechas tengo poco tiempo. De todas maneras tampoco me hago muchas ilusiones, ni tampoco debes hacértelas tú, porque lo más seguro es que está mal y tenga un error troncal. Pero por lo menos te va a gustar porque -creo- va en esta línea que dices y te puede dar ideas. Un saludo,  -claro, añado, si no descubro yo en fallo antes y entonces no publico nada..  pero en este caso, aunque haya error lo expondré por si te es de utilidad o a alguien..


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 10 Diciembre, 2019, 13:13
Hola feriva. Te acabo de leer y sí, estoy trabajando en algo parecido a lo que planteas. Tengo algo hecho pero hasta dentro de una semana o así no voy a poder publicar, en estas fechas tengo poco tiempo. De todas maneras tampoco me hago muchas ilusiones, ni tampoco debes hacértelas tú, porque lo más seguro es que está mal y tenga un error troncal. Pero por lo menos te va a gustar porque -creo- va en esta línea que dices y te puede dar ideas. Un saludo,  -claro, añado, si no descubro yo en fallo antes y entonces no publico nada..  pero en este caso, aunque haya error lo expondré por si te es de utilidad o a alguien..

Muchas gracias por la visita, Fernando; ya sabía yo que, de interesar esto a alguien, iba a ser a ti.

Mira a ver esto y, si está bien, úsalo como si fuera tuyo, sin reparos (si no te apetece mirarlo, espera a que venga Luis, que le verá los fallos que pueda tener; a ver si hubiera suerte y no estuviera mal nada)

...
...

Tenía que

[texx]z=a+c
 [/texx]

[texx]z=3k_{1}+1+c
 [/texx]

Como z no es múltiplo de 3, entonces el resto de “c” módulo 3 ha de ser cero 0 ó 1.

[texx]c\equiv0(mod\,3)\vee c\equiv1(mod\,3
 )[/texx]

Si es cero, entonces

[texx]z\equiv1(mod\,3)
 [/texx]

Si el resto es 1, entonces

[texx]z\equiv2(mod\,3)
 [/texx]

...

Por otra parte tenía

[texx]z=2(3t_{1}+2+t_{3})
 [/texx]

Si divido entre 2, el resto de z/2 (que sigue sin ser múltiplo de 3) es, partiendo de aquí

[texx]\dfrac{z}{2}=3t_{1}+2+t_{3}
 [/texx]

[texx]t_{3}=3n\vee t_{3}=3n+2
 [/texx]

En el primer caso, [texx]z\equiv2(mod\,3)
 [/texx], en el segundo caso [texx]z\equiv1(mod\,3)
 [/texx]

Así que los restos módulo 3 de [texx]c[/texx] y [texx]t_3[/texx], están condicionados.

Ahora, entrando en la igualdad de Euler

[texx]2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}
 [/texx]

y sutituyendo a y b en función de sus restos, [texx]a=3k_{1}+1;\quad b=3k_{2}+2
 [/texx]

[texx]2(3k_{1}+1)[(3k_{1}+1)^{2}+3(3k_{2}+2)^{2}]=z^{3}
 [/texx]

Ee resto que deja lo que hay entre corchete es 1, el cual multiplica a “2a”; por tanto el resto de “z cubo” módulo 3 es 2.

Entonces el resto de “z” no puede ser 1, es 2 también.

De aquí deducimos que la forma de “c” es

[texx]c=3n+1
 [/texx]

y la forma de t3 es

[texx]t_{3}=3n
 [/texx]...

pero teníamos que [texx]c=2t_{3}
 [/texx] y sería múltiplo 3, lo que es contradictorio con [texx]c=3n+1
 [/texx].

Si esto estuviera bien, análogamente se demostraría lo mismo para “y”; y al no poder ser “x” e “y” múltiplos de 3 no lo podría ser z.

Una vez corregido esto (si estuviera bien) volveríamos a la igualdad que usa Euler

[texx]2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}
 [/texx]

donde (a condición de que eso no esté mal, digo) tendríamos que los factores [texx]2a
 [/texx] y [texx](a^{2}+3b^{2})
 [/texx] serían primos entre sí y serían dos cubos.

Y con eso ya se tendría bastante ganado, faltaría entrarle para ver por dónde se puede descender al infinito.

Y aunque esté mal, pues digo lo mismo que tú, puede dar ideas.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Diciembre, 2019, 14:09
Hola

Si divido entre 2, el resto de z/2 (que sigue sin ser múltiplo de 3) es, partiendo de aquí

[texx]\dfrac{z}{2}=3t_{1}+2+t_{3}
 [/texx]

[texx]t_{3}=3n\vee t_{3}=3n+2
 [/texx]

En el primer caso, [texx]z\equiv2(mod\,3)
 [/texx], en el segundo caso [texx]z\equiv1(mod\,3)
 [/texx]

Eso está de al revés. Si [texx]z\equiv2(mod\,3)[/texx] entonces:

[texx]2(3t_{1}+2+t_{3})=2[/texx] mod [texx]3[/texx]

y de ahí [texx]t_3=2[/texx] mod [texx]3.[/texx] 

Y análogamente si  [texx]z\equiv1(mod\,3)[/texx] entonces [texx]t_3=0[/texx] mod [texx]3[/texx].

Por tanto aquí:

Cita
Entonces el resto de “z” no puede ser 1, es 2 también.

De aquí deducimos que la forma de “c” es

[texx]c=3n+1
 [/texx]

y la forma de t3 es

[texx]t_{3}=3n
 [/texx]...

pero teníamos que [texx]c=2t_{3}
 [/texx] y sería múltiplo 3, lo que es contradictorio con [texx]c=3n+1
 [/texx].

La forma de [texx]t_3[/texx] es en realidad [texx]t_3=3n+2[/texx] y no contradice que [texx]c=2t_3=3(2n+1)+1[/texx].

Por lo demás no veo nada útil en todo lo que has expuesto; la igualdad que usa Euler ya es terreno conocido, pero para proseguir a partir de ella usualmente se usa de manera decisiva un lema que bebe de los cuerpos ciclotómicos.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 10 Diciembre, 2019, 14:35
Hola. Gracias feriva, tú tan generoso como siempre. Bueno como la cosa ya a venido así pues publico lo que tenga este fin de semana y ya está. Seguro que está mal. Yo no utilizo la igualdad de Euler, sino la idea que subyace. Por lo menos sé que a ti te va a resultar curioso y es un aliciente, me lo voy a tomar así. Gracias Luis


- Por cierto no sé si empezar la demostración diciendo: Ave, Caesar, morituri te salutant.. jaja. Mejor no, es muy melodramático para vestir una simple asociación de ideas. Sdos,


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 10 Diciembre, 2019, 15:10

Eso está de al revés.

Muchas gracias, Luis.

Sí, qué raro que me haya equivocado, no es normal en mí (ironía ON :) ).

Cita
Por lo demás no veo nada útil en todo lo que has expuesto; la igualdad que usa Euler ya es terreno conocido, pero para proseguir a partir de ella usualmente se usa de manera decisiva un lema que bebe de los cuerpos ciclotómicos.

Algo tengo oído, se aprovecha la descomposición única; pero yo sigo intuyendo que tiene que ser posible sin números complejos, haciendo algo con reales, tiene que salir de alguna manera una contradicción o algo  (no seré yo quien lo demuestre si llega a ser así, eso también lo intuyo).

Hola. Gracias feriva, tú tan generoso como siempre.

De nada, Fernando, me hace ilusión que lo demuestres, te lo mereces porque llevas mucho tiempo con ello.
Y yo... ya se sabe, el día que vea a la primera algo del derecho en vez de verlo al revés, van a sonar las campanas; ya tengo la foto preparada:

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Cita

- Por cierto no sé si empezar la demostración diciendo: Ave, Caesar, morituri te salutant.. jaja. Mejor no, es muy melodramático para vestir una simple asociación de ideas. Sdos,

No es para tanto, no; mira con qué estoicismo lo llevo yo :D

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: geómetracat en 10 Diciembre, 2019, 16:04
Lo cierto es que a mí esto de las demostraciones del teorema de Fermat me da un poco igual, pero me ha llamado la atención este comentario:

Algo tengo oído, se aprovecha la descomposición única; pero yo sigo intuyendo que tiene que ser posible sin números complejos, haciendo algo con reales, tiene que salir de alguna manera una contradicción o algo  (no seré yo quien lo demuestre si llega a ser así, eso también lo intuyo).

Hasta donde yo sé, hay demostraciones completamente elementales del famoso lema de Euler, que no usan ni complejos ni cuerpos ciclotómicis ni nada por el estilo.

Por otro lado, tengo que confesar que no entiendo la obsesión por encontrar demostraciones elementales a estos resultados. Supongo que depende de la persona, pero a mí siempre me han parecido mucho más iluminadoras las demostraciones que usan conceptos o construcciones más avanzados pero se pueden describir de manera sucinta, que las que se basan en hacer sustituciones y usar argumentos de divisibilidad sin parar hasta llegar a alguna contradicción. Con estas últimas no tengo la sensación de comprender realmente qué es lo que está pasando, cosa que sí me pasa con las primeras. Por ejemplo, me parece mucho más iluminadora la prueba de Kummer para primos regulares (que además sirve para infinitos exponentes) que la de Euler para [texx]n=3[/texx].


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Diciembre, 2019, 16:17
Hola

Hasta donde yo sé, hay demostraciones completamente elementales del famoso lema de Euler, que no usan ni complejos ni cuerpos ciclotómicis ni nada por el estilo.

¿Quieres decir que hay pruebas completamente elementales del Teorema de Fermat para [texx]n=3[/texx]? Yo nunca he visto una; es cierto que en teoría uno podría al menos trampear algún razonamiento que use enteros de Gauss o cuerpos ciclotómicos de forma oculta; pero nunca lo he visto escrito. ¿Tu si? ¿Sabes alguna referencia?.

Cita
Por otro lado, tengo que confesar que no entiendo la obsesión por encontrar demostraciones elementales a estos resultados

Yo creo que hay varios motivos:

- Las matemáticas necesarias para entender el enunciado del Teorema de Fermat son muy básicas; y eso invita a caer en la tentación de que también deberían de ser suficientes para demostrarlo (invita al aficionado).
- Relacionado con lo anterior mucha gente que se aproxima al Teorema no sabe más que esas matemáticas básicas; de ahí que renuncie desde el principio a pruebas que usen cosas más avanzadas.
- La mitología sobre la anotación que dejo Fermat: "He encontrado una demostración verdaderamente maravillosa, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla”, alimenta la idea de que debería de existir una demostración razonablemente sencilla.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 10 Diciembre, 2019, 16:35

Hola, geómetracat.


Hasta donde yo sé, hay demostraciones completamente elementales del famoso lema de Euler, que no usan ni complejos ni cuerpos ciclotómicis ni nada por el estilo.

Digo lo que Luis.

La única que conozco yo de Euler es la que explica Argentinator aquí

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=18414.msg76112#msg76112

Se que hay otra de Gauss, que también utiliza factorización de enteros gaussianos; sin números complejos, si hay alguna, no la conozco (no digo que no la haya). La de n=4 sí, ésa es muy corta y sencilla, sólo con divisibilidad.


Cita
Por otro lado, tengo que confesar que no entiendo la obsesión por encontrar demostraciones elementales a estos resultados. Supongo que depende de la persona, pero a mí siempre me han parecido mucho más iluminadoras las demostraciones que usan conceptos o construcciones más avanzados pero se pueden describir de manera sucinta, que las que se basan en hacer sustituciones y usar argumentos de divisibilidad sin parar hasta llegar a alguna contradicción. Con estas últimas no tengo la sensación de comprender realmente qué es lo que está pasando, cosa que sí me pasa con las primeras. Por ejemplo, me parece mucho más iluminadora la prueba de Kummer para primos regulares (que además sirve para infinitos exponentes) que la de Euler para [texx]n=3[/texx].

También digo lo que Luis, pero en este caso en primera persona, porque yo soy un aficionado :)

Aunque estudié los complejos en el colegio y los usé algo lo poco estuve en la facultad de físicas, la verdad es que para manejar los ciclotómicos hay que practica con ellos. El día que Carlos Ivorra los explicó (junto con la demostración n=3 de Gauss) me prometí ponerme con ellos... pero lo fui dejando. En cambio, otros sí los estudiaron, como Fernando Moreno, precisamente, que intenta demostraciones donde los utiliza.

No aspiro en sí a demostrarlo yo (como sí es el caso y de otros aficionados) soy consciente de la dificultad y de que alguien tan despistado como yo lo tiene especialmente difícil, pero me parece atractiva la idea que alguien lo logre utilizando sólo números reales y teoría de números corriente, no analítica.

Saludos; y muchas gracias por leerme.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: geómetracat en 10 Diciembre, 2019, 16:57
¿Quieres decir que hay pruebas completamente elementales del Teorema de Fermat para [texx]n=3[/texx]? Yo nunca he visto una; es cierto que en teoría uno podría al menos trampear algún razonamiento que use enteros de Gauss o cuerpos ciclotómicos de forma oculta; pero nunca lo he visto escrito. ¿Tu si? ¿Sabes alguna referencia?.

Pues igual me equivoco, pero juraría haber leído alguna vez una prueba elemental de Fermat para [texx]n=3[/texx]. Ahora mismo no sé referencia, pero lo buscaré y pondré por aquí si lo encuentro (pero mira más abajo la respuesta a feriva).

Cita
Yo creo que hay varios motivos:

- Las matemáticas necesarias para entender el enunciado del Teorema de Fermat son muy básicas; y eso invita a caer en la tentación de que también deberían de ser suficientes para demostrarlo (invita al aficionado).
- Relacionado con lo anterior mucha gente que se aproxima al Teorema no sabe más que esas matemáticas básicas; de ahí que renuncie desde el principio a pruebas que usen cosas más avanzadas.
- La mitología sobre la anotación que dejo Fermat: "He encontrado una demostración verdaderamente maravillosa, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla”, alimenta la idea de que debería de existir una demostración razonablemente sencilla.

Sí, puedo entender esos motivos. Solamente era una reflexión general, a mí las demostraciones elementales suelen aportarme menos. También es verdad que depende de la persona, a mí estas cosas se me dan bastante mal pero hay gente que es un hacha dando argumentos difíciles pero elementales.
Sobre el último punto, entiendo el romanticismo, pero con lo famoso que es el problema y la historia que tiene detrás, yo pondría la mano en el fuego (e imagino que tú también) porque la demostración que creía tener Fermat era incorrecta.

Mientras escribía esto ha contestado feriva:

Digo lo que Luis.

La única que conozco yo de Euler es la que explica Argentinator aquí

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=18414.msg76112#msg76112

Se que hay otra de Gauss, que también utiliza factorización de enteros gaussianos; sin números complejos, si hay alguna, no la conozco (no digo que no la haya). La de n=4 sí, ésa es muy corta y sencilla, sólo con divisibilidad.

Solamente lo he mirado por encima, pero a primera vista parece que el lema que prueba Argentinator usando la maquinaria de anillos está demostrado en el blog que él mismo da como referencia por métodos elementales:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html (http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html)
Cita
También digo lo que Luis, pero en este caso en primera persona, porque yo soy un aficionado :)

Aunque estudié los complejos en el colegio y los usé algo lo poco estuve en la facultad de físicas, la verdad es que para manejar los ciclotómicos hay que practica con ellos. El día que Carlos Ivorra los explicó (junto con la demostración n=3 de Gauss) me prometí ponerme con ellos... pero lo fui dejando. En cambio, otros sí los estudiaron, como Fernando Moreno, precisamente, que intenta demostraciones donde los utiliza.

No aspiro en sí a demostrarlo yo (como sí es el caso y de otros aficionados) soy consciente de la dificultad y de que alguien tan despistado como yo lo tiene especialmente difícil, pero me parece atractiva la idea que alguien lo logre utilizando sólo números reales y teoría de números corriente, no analítica.

Y, ¿no te gustaría invertir algo del tiempo que dedicas a intentar demostrar Fermat a aprender algo de teoría de anillos? Desde luego, cada uno es libre de hacer lo que quiera con su tiempo, pero yo creo que invertir un poco en aprender técnicas nuevas vale la pena. Incluso aunque estés interesado en pruebas elementales te da nuevas formas de ver las cosas, lo que siempre ayuda.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 10 Diciembre, 2019, 18:22

Solamente lo he mirado por encima, pero a primera vista parece que el lema que prueba Argentinator usando la maquinaria de anillos está demostrado en el blog que él mismo da como referencia por métodos elementales:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html (http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html)

Sí, pero es sólo una parte de la demostración. Previamente a eso, creo recordar, hay que demostrar que los dos factores son coprimos; según mis letras, los factores son [texx](2a)
 [/texx] y [texx](a^{2}+3b^{2})
 [/texx] (con a y b, en vez de p y q, que usa ahí) y, si son copirmos, como el producto de ellos es [texx]z^{3}
 [/texx], cada factor es en hipótesis un cubo.

Cita
Y, ¿no te gustaría invertir algo del tiempo que dedicas a intentar demostrar Fermat a aprender algo de teoría de anillos?

En cuanto a anillos, pues sí me gusta, de vez en vez miro cosas y, así, he aprendido un poco algún rudimento sobre [texx]Z_{n}
 [/texx], cosas básicas y prácticas (de estar en el foro más que nada, las he aprendido sin esfuerzo). La teoría con muchos símbolos y eso... me cuesta un poco de esfuerzo seguirla, en parte porque no tengo la vista muy allá y en parte por una cuestión de retentiva y concentración; no la tenía de joven, imagina ahora (bueno, ya se ve cada vez que intervengo, no hace falta imaginar nada). Pero tampoco descarto que un día me dé por ponerme a estudiar el anillo [texx]Z[/texx] o algo de ese estilo; yo soy muy bohemio, cualquier cosa es posible (excepto que deje de equivocarme).

Saludos.



Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 10 Diciembre, 2019, 18:42
Hola. Yo sólo puedo contar mi caso. Mis motivaciones son en primer lugar las 3 que pone Luis: Que puedo entender el enunciado, que sólo conozco matemáticas básicas y el mito de la demostración maravillosa de Fermat (esto último lo de menos). Y añado 2 más. Me gustaría saber, en un sentido profundo, por qué es imposible que habiendo infinitos números enteros e infinitas posibilidades de relacionarlos en una suma con exponentes, no tiene la ecuación solución. De esto tengo la mitad (o más) del camino recorrido. Y por último, que mi modo de aprender algo es intentando resolver un problema (difícil) concreto. A mí me ponen delante un manual de teoría de anillos y no soy capaz de terminarlo. Necesito una motivación concreta y fuerte. ¿Para resolver qué?..

Dicho esto, tengo que matizarlo. Las motivaciones, en general, son muy poco razonables. No se me escapa que todas y cada una de las que he puesto son muy poco o nada defendibles y no pueden ser un modelo de nada. Lo ideal para aprender no es nada de lo que he puesto. Lo sé. Pero es lo que me causa adherencia a las matemáticas. Puedo darle muchas vueltas a una cosa, como en este tema y sin embargo siempre tengo la sensación de avanzar algo, poco, pero algo. El día que perciba con claridad que el avance es 0 lo dejaré. Espero geómetracat haber satisfecho algo tu curiosidad. Algo que mereces sobradamente. Un cordial saludo,


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 10 Diciembre, 2019, 20:03

Solamente lo he mirado por encima, pero a primera vista parece que el lema que prueba Argentinator usando la maquinaria de anillos está demostrado en el blog que él mismo da como referencia por métodos elementales:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html (http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html)



¡Síiii! es verdad, lo he estado mirando y parece que sí; nunca me había fijado en ese enlace porque estaba en inglés y me daba pereza seguir lo que decía. Mañana lo miraré más despacio, que hay varias demostraciones asociadas.

Muchas gracias, Geómetrac.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: geómetracat en 10 Diciembre, 2019, 21:31
He estado mirando un poco y me parece que la demostración del blog no es correcta. El paso de 7 a 8 en el link que dí no está justificado. También he estado mirando un poco de literatura y parece que yo estaba equivocado: no he encontrado ningún libro donde no usen [texx]\sqrt{-3}[/texx] en algún momento. El argumento elemental que recordaba haber visto alguna vez me parece que era el que dan en el libro de Edwards "Fermat's Last Theorem: A genetic introduction to algebraic number theory", que sí que usa complejos, aunque me da la sensación que se debería poder reescribir la misma demostración sin usar [texx]\sqrt{-3}[/texx] explícitamente.

Fernando Moreno, gracias por compartir tus motivaciones. Precisamente, una de las cosas que decía es que para mí (y hago énfasis en que esto es algo personal) aporta mucha más comprensión en sentido profundo una demostración del estilo de la de Wiles, que una que se dedique a hacer juegos con naturales. Pero insisto es que esto es algo personal, y para otra gente ocurrirá lo contrario.
Por otro lado, estoy bastante de acuerdo con lo demás. En particular que una buena manera de aprender es enfrentarse a un problema difícil, y que una motivación concreta es muy buena para aprender teoría. Pero es que precisamente buena parte de la teoría de anillos (y la teoría algebraica de números) se desarrollaron para atacar el teorema de Fermat, así que qué mejor motivación para aprender que la misma que tenían los que desarrollaron la teoría.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 11 Diciembre, 2019, 04:50
Hola, geómetracat

He estado mirando un poco y me parece que la demostración del blog no es correcta. El paso de 7 a 8 en el link que dí no está justificado.


Efectivamente. Y ese tipo de paso me ha recordado que tenía escrita una cosa para preguntar sobre la demostración de la fórmula de Cardano; hay algo parecido. Después se me olvidó, ahora no sé dónde lo puse.

Muchas gracias.



Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 11 Diciembre, 2019, 08:03

Hola a todos.

Encuentro en el blog que enlazó Geómetracat que Euler demuestra lo siguiente:

El producto de los números de la forma [texx](a^{2}+3b^{2})
 [/texx] tienen la misma forma:

[texx](a^{2}+3b^{2})(x^{2}+3y^{2})=
 [/texx]

[texx]a^{2}(x^{2}+3y^{2})+3b^{2}(x^{2}+3y^{2})=
 [/texx]

[texx]a^{2}x^{2}+3a^{2}y^{2}+3b^{2}x^{2}+9b^{2}y^{2}=
 [/texx]

[texx]a^{2}x^{2}-6abxy+9b^{2}y^{2}+3a^{2}y^{2}+6abxy+3b^{2}x^{2}=
 [/texx]

[texx](ax-3by)^{2}+3(ay+bx)^{2}
 [/texx]

(estas letras que uso son aparte de las demás, es sólo para mostrar esto).

A partir de aquí, ya con las letras con signficado a parte.

Teníamos:

[texx]2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}
 [/texx]

Elevando al cuadrado a ambos lados existen enteros x,y tales que

[texx](2a(a^{2}+3b^{2}))^{2}=(z^{3})^{2}\Rightarrow
 [/texx]

[texx]4a^{2}(x^{2}+3y^{2})=(z^{3})^{2}
 [/texx]

Entonces [texx](x^{2}+3y^{2})
 [/texx] es un cuadrado al dividir entre [texx]4a^{2}
 [/texx] la ecuación.

Seguidamente, necesito expresarlo así

[texx]x^{2}+3y^{2}=x^{2}+y^{2}+2y^{2}
 [/texx].

Y haciendo [texx]{\color{blue}2y=p}
 [/texx], queda

[texx]x^{2}+3y^{2}=x^{2}+y^{2}+py
 [/texx]

También es un cuadrado, obviamente, esto

[texx](x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy
 [/texx]

y podemos escribirlo igualmente en función de p:

[texx](x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+px
 [/texx]

Entonces

[texx]x^{2}+3y^{2}=(x+y)^{2}-px+py
 [/texx]

[texx]x^{2}+3y^{2}=(x+y)^{2}-p(x+y)
 [/texx]

Ahora, sacando factor común (x+y)

[texx]x^{2}+3y^{2}=(x+y)\cdot[(x+y)-p]
 [/texx]

[texx]x^{2}+3y^{2}=(x+y)\cdot(x+y-p)
 [/texx]

como [texx]{\color{blue}p=2y}
 [/texx], tendremos

[texx]x^{2}+3y^{2}=(x+y)\left(x-y\right)
 [/texx]

[texx]x^{2}+3y^{2}=x^{2}-y^{2}
 [/texx]

[texx]3y^{2}=-y^{2}
 [/texx]

[texx]3=-1
 [/texx]

(perdón por adelantado en caso de que haya algún error; prometo que lo he repasado varias veces y no veo nada).

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: geómetracat en 11 Diciembre, 2019, 08:28
El fallo está aquí:


[texx]x^{2}+3y^{2}=(x+y)^{2}-px+py
 [/texx]

[texx]x^{2}+3y^{2}=(x+y)^{2}-p(x{\color{red} +}y)
 [/texx]

El signo que está en rojo debería ser un menos en vez de un más.

De todas formas, el intento estaba condenado desde el principio. Pretendes llegar a una contradicción usando únicamente que [texx]x^2+3y^2[/texx] es un cuadrado. Pero eso es imposible porque hay números de esa forma que sí que son cuadrados (por ejemplo, [texx]4=1^3+3\cdot 1^3[/texx]).


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Diciembre, 2019, 08:38
Hola

De todas formas, el intento estaba condenado desde el principio. Pretendes llegar a una contradicción usando únicamente que [texx]x^2+3y^2[/texx] es un cuadrado. Pero eso es imposible porque hay números de esa forma que sí que son cuadrados (por ejemplo, [texx]4=1^3+3\cdot 1^3[/texx]).

Peor aun, porque en lo que hace ni siquiera usa de manera efectiva que [texx]x^2+3y^2[/texx] sea un cuadrado. Simplemente usa unas identidades algebraicas, hasta que comete un error.
 
feriva: el tipo de reflexión que apunta geómetracat es importante para evitar perder claramente el tiempo en cuentas que no van a llegar a nada. Es bueno pararse a pensar que hipótesis estamos usando en cada argumento y si es esperable que sólo con esas hipótesis se pueda llegar a contradicción alguna. Llevo revisadas ya muchos intentos de demostración del UTF en el foro; diría que al menos el 50% de ellas se caerían sólo con esa  observación, sin necesidad de encontrar el error de cuentas concreto.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 11 Diciembre, 2019, 08:56

Muchas gracias, Geómetracat y Luis.

Ciertamente no he usado que fuera un cuadrado; de hecho me di cuenta de eso, pero no veía el error del signo.

Pero aunque no usara que fuera un cuadrado, lo que veía es que tenía que, por una parte, esto era un cuadrado [texx]x^{2}+y^{2}+px
 [/texx], y esto también [texx]x^{2}+y^{2}+py
 [/texx]. Lo cual tiene una pinta muy difícil para que existan enteros distintos x e y. Evidentemente, si x=y, sí que existe; aunque no lo haya dicho, estaba descartando ese caso, se me olvidó mencionarlo. Y en esas dos formas de cuadrados poco conciliable estaba la motivación del intento.

Muchas gracias otra vez (lo que más me preocupa son los errores tontos que llevo cometiendo hace tiempo, más que los errores en la estrategia; y que miro y miro y no los veo. No es ya en estos intentos, es en cosas normales y antes no pasaba tanto pese a que siempre haya sido despistado).

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Diciembre, 2019, 09:11
Hola

Pero aunque no usara que fuera un cuadrado, lo que veía es que tenía que, por una parte, esto era un cuadrado [texx]x^{2}+y^{2}+px
 [/texx], y esto también [texx]x^{2}+y^{2}+py
 [/texx]. Lo cual tiene una pinta muy difícil para que existan enteros distintos x e y. Evidentemente, si x=y, sí que existe; aunque no lo haya dicho, estaba descartando ese caso, se me olvidó mencionarlo. Y en esas dos formas de cuadrados poco conciliable estaba la motivación del intento.

En concreto es para [texx]p=2y[/texx], con lo cual [texx]x^2+y^2+\color{red}p\color{black}x=x^2+y^2+2xy=(x+y)^2[/texx] siempre es un cuadrado y lo que estás diciendo es que "tiene una pinta muy difícil" que existan enteros distintos [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] tales que [texx]x^2+y^2+2y^2=x^2+3y^2[/texx] sea un cuadrado.

Y lo curioso es que previamente tu mismo demostraste que eso es muy fácil y tu mismo escribiste una forma de obtener ejemplos (no sólo, eso sino que en tu desarrollo [texx]x^2+3y^2[/texx].... ¡aparece precisamente como un cuadrado que podrías haber concretado sin más que dar valores a las letras!).

Probaste que el producto de dos números de la forma [texx]a^2+3b^2[/texx] vuelve a tener esa "estructura". Bueno pues el cuadrado de uno de tales números tiene esa estructura. En particular:

[texx](a^2+3b^2)^2=(a^2-3b^2)^2+3(2ab)^2[/texx]

Así que ya tienes una colección de ejemplos de eso que te tenía una pinta tan difícil:

[texx]x=|a^2-3b^2|[/texx]
[texx]y=2ab[/texx]
[texx]p=2y=4ab[/texx]

Saludos.

CORREGIDO (gracias manooooh)


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Diciembre, 2019, 12:33
Hola

En concreto es para [texx]p=2y[/texx], con lo cual [texx]\color{red}x^2+y^2+2px\color{black}=x^2+y^2+2xy=(x+y)^2[/texx] (...)

¿No será [texx]x^2+y^2+px[/texx]? Caso contrario será [texx]x^2+y^2+4xy[/texx].

Si, fue una errata. Ya lo he corregido. Gracias por avisar.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 11 Diciembre, 2019, 14:01


Así que ya tienes una colección de ejemplos de eso que te tenía una pinta tan difícil:

[texx]x=|a^2-3b^2|[/texx]
[texx]y=2ab[/texx]
[texx]p=2y=4ab[/texx]



Sí; pues me despistaba. Esa propiedad no la conocía, la vi esta mañana, me parece muy curiosa, me gusta.


Esta pregunta del spoiler ya le he resuelto; era una cosa que no tiene por qué cumplirse


Spoiler (click para mostrar u ocultar)
Muchas gracias, Luis.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 11 Diciembre, 2019, 15:28
Hola,

Fernando Moreno, . . . Precisamente, una de las cosas que decía es que para mí (y hago énfasis en que esto es algo personal) aporta mucha más comprensión en sentido profundo una demostración del estilo de la de Wiles, que una que se dedique a hacer juegos con naturales. . . .

Me ha llamado la atención este comentario de geómetracat. Como todo lo profundo relacionado con las matemáticas me encanta, no quiero dejar pasar esta pequeña oportunidad. Hablemos en profundo de la demostración de Wiles, ¿por qué no? (Ya se entiende que lo profundo que uno pueda). Te digo lo que he entendido yo y luego tú me matizas, con eso para mí es más que suficiente.

La Conjetura de Shimura-Taniyama-Weil viene a decir que toda curva elíptica sobre  [texx]\mathbb{Q}[/texx]  es modular. Una forma modular es una clase de función analítica infinitamente diferenciable en cada punto que coincide con su propia serie de Taylor. Por otra parte, toda curva elíptica es una curva cúbica (no singular). En 1984 Frey relaciona el Último Teorema de Fermat con la Conjetura de Shimura-Taniyama-Weil. Pues:  [texx]a^n+b^n=c^n\,\,\Longleftrightarrow\,\,{y^2=x(x+a^n)(x-b^n)\,=\,x^3-b^nx^2+a^nx^2-a^nb^nx}[/texx] .  Es decir, la ecuación del Teorema es también una curva elíptica pero que no puede ser parametrizada por funciones modulares por sus inusuales propiedades. Luego si la conjetura es cierta, tendremos que el Último Teorema de Fermat no puede ser una curva elíptica sobre  [texx]\mathbb{Q}[/texx]  y sus coeficientes no podrán ser enteros. Ahí es donde entra Wiles y demuestra lo suficiente la Conjetura para incluir el caso de las curvas de tipo Fermat como contradicción. Para mí -esto es personal-, no es Wiles el de la idea ganadora que desata el nudo del Teorema, esta idea es la de Frey. Wiles aporta otro tipo de ideas, superbrillantes por su puesto, para demostrar la Conjetura; pero que no son las que directamente desenmascaran el Teorema. Pero no quiero polemizar sobre esto. Efectivamente como dice geómetracat, esto es maravilloso y nos abre las puertas a porqué el Teorema es cierto. No obstante yo sólo sé llegar hasta ahí. ¿Tú podrías matizar algo más -en este sentido de la comprensión profunda- sobre esta demostración? Por ejemplo algo sobre las formas modulares y su simetría y por qué la famosa ecuación no es parametrizable modularmente? Un saludo,


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: geómetracat en 11 Diciembre, 2019, 16:47

Me ha llamado la atención este comentario de geómetracat. Como todo lo profundo relacionado con las matemáticas me encanta, no quiero dejar pasar esta pequeña oportunidad. Hablemos en profundo de la demostración de Wiles, ¿por qué no? (Ya se entiende que lo profundo que uno pueda). Te digo lo que he entendido yo y luego tú me matizas, con eso para mí es más que suficiente.

Quizás lo mejor, si quieres hablar de la prueba de Wiles y compañía sea abrir otro hilo en el foro.

Sobre la prueba: yo no soy la persona más indicada. No me la he mirado nunca ni siquiera en un mínimo detalle, y lo poco que sé sobre ella es el esquema general, a muy grandes rasgos (más o menos lo que has puesto tú). Desde luego sería un proyecto interesante a largo plazo intentar entender la prueba en un mínimo de profundidad, y es algo que me gustaría hacer antes de morir. Digo en un mínimo de profundidad porque dudo que nadie (ni matemáticos profesionales, ni siquiera Wiles) haya mirado o conozca todos los detalles de la prueba completa, "desde cero".

El resumen que haces es más o menos lo que yo tengo entendido, con algunos matices que te pongo a continuación.

Cita
Una forma modular es una clase de función analítica infinitamente diferenciable en cada punto que coincide con su propia serie de Taylor.

Decir "función analítica" y "función infinitamente diferenciable en cada punto que coincide con su propia serie de Taylor" es lo mismo. Lo que caracteriza las formas modulares, al margen de su analiticidad, es cómo se transforman bajo la acción del grupo modular.

Cita
En 1984 Frey relaciona el Último Teorema de Fermat con la Conjetura de Shimura-Taniyama-Weil. Pues:  [texx]a^n+b^n=c^n\,\,\Longleftrightarrow\,\,{y^2=x(x+a^n)(x-b^n)\,=\,x^3-b^nx^2+a^nx^2-a^nb^nx}[/texx] .  Es decir, la ecuación del Teorema es también una curva elíptica pero que no puede ser parametrizada por funciones modulares por sus inusuales propiedades.

No es cierto que la ecuación del teorema sea una curva elíptica. La curva de Fermat, que viene descrita por la ecuación:
[texx]x^n+y^n=1[/texx]
tiene grado [texx]n[/texx], mientras que una curva elíptica tiene grado [texx]3[/texx].
Lo que hace Frey es construir una curva elíptica (la que has puesto, que sí es de grado [texx]3[/texx]) a partir de una supuesta solución [texx](a,b,c)[/texx] de la ecuación de Fermat, y Serre y Ribet prueban que esa curva elíptica no puede ser modular.

Cita
Para mí -esto es personal-, no es Wiles el de la idea ganadora que desata el nudo del Teorema, esta idea es la de Frey. Wiles aporta otro tipo de ideas, superbrillantes por su puesto, para demostrar la Conjetura; pero que no son las que directamente desenmascaran el Teorema. Pero no quiero polemizar sobre esto. Efectivamente como dice geómetracat, esto es maravilloso y nos abre las puertas a porqué el Teorema es cierto.

Estoy bastante de acuerdo. En la mayoría de los casos, las demostraciones de problemas difíciles son como catedrales góticas, un trabajo a lo largo de años (en este caso siglos) de una cantidad ingente de matemáticos, cada uno aportando ingredientes imprescindibles para la demostración. Pero normalmente la fama se la suele llevar el último, quien por fin consigue la última pieza del puzzle. En mi opinión es bastante injusto, pero es así. Algo parecido pasa con la conjetura de Poincaré y Perelman. Eso sí, no pretendo quitar ningún mérito a Wiles, su contribución es enorme, y probablemente su parte sea la más difícil de todo el argumento.

Cita
No obstante yo sólo sé llegar hasta ahí.

Como ya te dicho, yo esencialmente también. Ahora mismo no puedo aportar muchos más detalles.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 11 Diciembre, 2019, 17:51
Hola geómetracat. Muchas gracias por tu aportación. No es mi deseo seguir hablando de la prueba de Wiles en otro hilo, no tengo nada más que decir. Además no tengo mucho tiempo para documentarme tampoco sobre el tema, en esta época tengo mucho trabajo (del que me da de comer, me refiero). Me queda claro que la ecuación de Fermat no "es" una curva elíptica. Es cierto también que he sido un poco cicatero al no nombrar a Serre y Ribet que son los que demuestran la intuición de Frey de que la ecuación de Fermat no puede ser modular. Muy interesante también tu referencia a la característica distintiva principal de una forma modular: Sus transformaciones como grupo. Va uno aprendiendo. Yo creo que poco a poco irán apareciendo pequeñas aportaciones y a partir de ésas otras aportaciones mayores que irán en el sentido de entender esa maravillosa conexión entre el Teorema de Shimura-Taniyama-Weil y el Último Teorema de Fermat. Y a partir de esos trabajos siempre habrá algún super-profesor de esos que también tienen un meritazo intelectual que haga un video para que los mortales no matemáticos lo entendamos. Es fascinante el tema, me alegra que a ti te lo parezca también. Un saludo,


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 12 Diciembre, 2019, 09:30

He estado analizando un más poco la forma [texx](a^{2}+3b^{2})
 [/texx]

Se llegaba de aquí

[texx](a^{2}+3b^{2})(x^{2}+3y^{2})=
 [/texx]

a aquí

[texx](ax-3by)^{2}+3(ay+bx)^{2}
 [/texx]

se llega a un número de la misma forma: [texx]p^{2}+3q^{2}
 [/texx].

En primer lugar, lo que se observa es que un número de esta forma [texx](a^{2}+3b^{2})
 [/texx] con [texx]|a\wedge b|\geq1
 [/texx] siempre es mayor que 1 porque los dos, “a” y ”b”, están al cuadrado; no existe el neutro para ese tipo de binomio. Y esto hace que se puedan descomponer infinitamente (al menos con letras o números reales); o se puede decir que no existen binomios de esa forma que sean primos en cuanto al tipo de factorización. Hasta aquí, sin profundizar más, el uso de números complejos para deducir esto se me antoja artificioso.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

También me he entretenido en mirar, un poco por encima, el uso de los complejos en la demostración (de la de Euler).

En cuanto a lo puramente operativo, si no me estoy perdiendo algo, el uso de las cuentas con complejos que se utiliza ahí es tan elemental o más que muchas otras cosas que yo considero bastante elementales: resolver ecuaciones diofánticas lineales (con Euclides o la función phi) problemas del Teorema chino del resto... por no entrar en algunas un poquitín menos elementales, y menos relacionadas, de álgebra lineal y otras pocas de análisis (hablo de cosas que, modestamente, yo comprendo y sé operar, aunque sea equivocándome y aunque se me olviden si no las practico). Es cierto que la explicación está vestida con letras “w” y algunas cosas “raras”, palabras, formalismos... pero la impresión que me da, sin haber mirado más, es que, si consigo quitarle del todo el disfraz, me va a resultar básico o al menos conocido. Por esto precisamente, tengo que intentar seguir más detenidamente la demostración para ver si capto bien del todo qué misterioso poder tienen esas simples operaciones con complejos que no puedan tener otras para demostrar eso; porque, de momento, sigo intuyendo que se tiene que poder demostrar de otra manera.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: manooooh en 12 Diciembre, 2019, 09:48
Hola feriva! Buenos días

¿Qué significa la notación [texx]a\wedge b[/texx] en [texx]|a\wedge b|\geq1[/texx]? ¿Es producto vectorial?

Gracias y saludos


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 12 Diciembre, 2019, 11:29
Hola feriva! Buenos días

¿Qué significa la notación [texx]a\wedge b[/texx] en [texx]|a\wedge b|\geq1[/texx]? ¿Es producto vectorial?

Gracias y saludos

Hola, manooooh, buenas tardes de aquí.

Significa que soy un chapucero y un despistado, qué quieres que signifique tratándose de mí :D Quería decir [texx]|a|\wedge|b|
 [/texx] Valor absoluto de ambas, "a" y "b", mayor que 1


Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Diciembre, 2019, 13:47
Hola

He estado analizando un más poco la forma [texx](a^{2}+3b^{2})
 [/texx]

Se llegaba de aquí

[texx](a^{2}+3b^{2})(x^{2}+3y^{2})=
 [/texx]

a aquí

[texx](ax-3by)^{2}+3(ay+bx)^{2}
 [/texx]

se llega a un número de la misma forma: [texx]p^{2}+3q^{2}
 [/texx].

En primer lugar, lo que se observa es que un número de esta forma [texx](a^{2}+3b^{2})
 [/texx] con [texx]|a\wedge b|\geq1
 [/texx] siempre es mayor que 1 porque los dos, “a” y ”b”, están al cuadrado; no existe el neutro para ese tipo de binomio. Y esto hace que se puedan descomponer infinitamente (al menos con letras o números reales); o se puede decir que no existen binomios de esa forma que sean primos en cuanto al tipo de factorización. Hasta aquí, sin profundizar más, el uso de números complejos para deducir esto se me antoja artificioso.

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Para obtener un listado de ejemplos donde [texx]n^2+3m^2[/texx] es un cuadrado perfecto no necesitabas hacer programa de ordenador alguno, sino aplicar la caracterización que te indiqué:

[texx]x=|a^2-3b^2|[/texx]
[texx]y=2ab[/texx]

Por ejemplo los casos que listas:

[texx]a=2[/texx], [texx]b=1[/texx] tienes [texx]x=1[/texx] e [texx]y=4[/texx].
[texx]a=1[/texx], [texx]b=2[/texx] tienes [texx]x=11[/texx] e [texx]y=4[/texx].
[texx]a=4[/texx], [texx]b=1[/texx] tienes [texx]x=13[/texx] e [texx]y=8[/texx].

Por lo demás no entiendo nada que lo que dices de infinitas descomposiciones por el hecho de que el [texx]1[/texx] no tenga esa forma. No tiene nada que ver. Si nos quedamos en los enteros no hay descomposición infinita. Si permitimos raciones, si la hay como la habría, para cualquier número [texx]2=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{5}{1}[/texx] (y se podrían añadir cuantos factores quisieras).

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 12 Diciembre, 2019, 14:49

Para obtener un listado de ejemplos donde [texx]n^2+3m^2[/texx] es un cuadrado perfecto no necesitabas hacer programa de ordenador alguno, sino aplicar la caracterización que te indiqué:

[texx]x=|a^2-3b^2|[/texx]
[texx]y=2ab[/texx]

Por ejemplo los casos que listas:

[texx]a=2[/texx], [texx]b=1[/texx] tienes [texx]x=1[/texx] e [texx]y=4[/texx].
[texx]a=1[/texx], [texx]b=2[/texx] tienes [texx]x=11[/texx] e [texx]y=4[/texx].
[texx]a=4[/texx], [texx]b=1[/texx] tienes [texx]x=13[/texx] e [texx]y=8[/texx].

Por lo demás no entiendo nada que lo que dices de infinitas descomposiciones por el hecho de que el [texx]1[/texx] no tenga esa forma. No tiene nada que ver. Si nos quedamos en los enteros no hay descomposición infinita. Si permitimos raciones, si la hay como la habría, para cualquier número [texx]2=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{5}{1}[/texx] (y se podrían añadir cuantos factores quisieras).

Saludos.

Hola, Luis, muchas gracias.

Sí, me doy cuenta de que ese detalle de la descomposición, por sí sólo, poco puede hacer.

...

Mira esta idea y dime (si te apetece, y en ese caso cuando quieras) qué te parece.

Todo número entero “n”, con [texx]mcd(n,6)=1
 [/texx] se puede escribir como suma de un múltiplo de 2 y un múltiplo de 3; pues la ecuación diofántica [texx]2x+3y=n[/texx] tiene soluciones x,y.

En consecuencia, por ser coprimos siempre con 6, las potencias de cualquier número escrito así siempre tienen esa misma forma

[texx](2{ {\color{blue}x}}+3{\color{blue}y})^{2}=4x^{2}+9y^{2}+2xy=
 [/texx]

[texx]2({\color{blue}2x^{2}+xy})+3({\color{blue}3y^{2}})
 [/texx]

[texx](2{ {\color{blue}x}}+3{\color{blue}y})^{3}=(2x+3y)\cdot[2(2x^{2}+xy)+3(3y^{2})]=
 [/texx]

[texx]2[{\color{blue}{\color{red}x}(2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}]+3[{\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}]
 [/texx]

Ahora, considerando un número distinto y coprimo con ése, [texx](2a+3b)
 [/texx], tendremos que la suma de sus cubos será

[texx]2[{\color{red}x}({\color{blue}2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}+a(2a)^{2}+a^{2}b+a(3b)^{2}]+3[{\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}+(2a)^{2}b+ab^{2}+b(3b)^{2}]
 [/texx]

Si la suma es un cubo par, se puede expresar de la misma forma con “n,m”, siendo [texx]mcd(n,3)=1
 [/texx] y “m” par, de forma análoga. Entonces se trataría de analizar estas expresiones

Esto no
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Qué te parece, ¿crees que podría llevar a algo?

(Después de escribirlo me aparece más complicado que lo otro; y además tengo los ojos hoy un poco irritados y no sé si me habré equivocado al desarrollar, pero lo idea sería intentar atacar con eso).

Saludos y muchas gracias.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Diciembre, 2019, 16:51
Hola

Mira esta idea y dime (si te apetece, y en ese caso cuando quieras) qué te parece.

Todo número entero “n”, con [texx]mcd(n,6)=1
 [/texx] se puede escribir como suma de un múltiplo de 2 y un múltiplo de 3; pues la ecuación diofántica [texx]2x+3y=n[/texx] tiene soluciones x,y.

En consecuencia, por ser coprimos siempre con 6, las potencias de cualquier número escrito así siempre tienen esa misma forma

[texx](2{ {\color{blue}x}}+3{\color{blue}y})^{2}=4x^{2}+9y^{2}+2xy=
 [/texx]

[texx]2({\color{blue}2x^{2}+xy})+3({\color{blue}3y^{2}})
 [/texx]

[texx](2{ {\color{blue}x}}+3{\color{blue}y})^{3}=(2x+3y)\cdot[2(2x^{2}+xy)+3(3y^{2})]=
 [/texx]

[texx]2[({\color{blue}2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}]+3[{\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}]
 [/texx]

Ahora, considerando un número distinto y coprimo con ése, [texx](2a+3b)
 [/texx], tendremos que la suma de sus cubos será

[texx]2[({\color{blue}2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}+(2a)^{2}+a^{2}b+a(3b)^{2}]+3[{\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}+(2a)^{2}b+ab^{2}+b(3b)^{2}]
 [/texx]

Si la suma es un cubo par, se puede expresar de la misma forma con “n,m”, siendo [texx]mcd(n,3)=1
 [/texx] y “m” par, de forma análoga. Entonces se trataría de analizar estas expresiones

1ª [texx]({\color{blue}2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}+(2a)^{2}+a^{2}b+a(3b)^{2}=(2n)^{2}+n^{2}m+n(3m)^{2}
 [/texx]

2ª [texx]{\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}+(2a)^{2}+ab^{2}+b(3b)^{2}=(2n)^{2}+nm^{2}+m(3m)^{2}
 [/texx]

donde de momento se podría empezar por estarlas y se va el cuadrado (2n) y se puede sacar factores comunes.

Qué te parece, ¿crees que podría llevar a algo?

Sin entrar en más disquisiciones esa separación de términos que haces no está bien, porque la expresión de un número en la forma [texx]2a+3b[/texx] no es única. Por ejemplo:

[texx]28=2\cdot 5+3\cdot 6=2\cdot 8+3\cdot 4=2\cdot 2+3\cdot 8[/texx]

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 12 Diciembre, 2019, 16:59


Sin entrar en más disquisiciones esa separación de términos que haces no está bien, porque la expresión de un número en la forma [texx]2a+3b[/texx] no es única. Por ejemplo:

[texx]28=2\cdot 5+3\cdot 6=2\cdot 8+3\cdot 4=2\cdot 2+3\cdot 8[/texx]

Saludos.

Ah sí, hay que contar con el 2 y el 3, es verdad

De todas formas, aparte de eso, ya intuyo que te parece que no va a servir para mucho :)

Muchas gracias.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: geómetracat en 13 Diciembre, 2019, 07:07
También me he entretenido en mirar, un poco por encima, el uso de los complejos en la demostración (de la de Euler).

En cuanto a lo puramente operativo, si no me estoy perdiendo algo, el uso de las cuentas con complejos que se utiliza ahí es tan elemental o más que muchas otras cosas que yo considero bastante elementales: resolver ecuaciones diofánticas lineales (con Euclides o la función phi) problemas del Teorema chino del resto... por no entrar en algunas un poquitín menos elementales, y menos relacionadas, de álgebra lineal y otras pocas de análisis (hablo de cosas que, modestamente, yo comprendo y sé operar, aunque sea equivocándome y aunque se me olviden si no las practico). Es cierto que la explicación está vestida con letras “w” y algunas cosas “raras”, palabras, formalismos... pero la impresión que me da, sin haber mirado más, es que, si consigo quitarle del todo el disfraz, me va a resultar básico o al menos conocido. Por esto precisamente, tengo que intentar seguir más detenidamente la demostración para ver si capto bien del todo qué misterioso poder tienen esas simples operaciones con complejos que no puedan tener otras para demostrar eso; porque, de momento, sigo intuyendo que se tiene que poder demostrar de otra manera.

Sí, no es para nada complicado. Muchas veces hay que tener cuidado con el sentido del término "elemental". A veces, cuando se dice una "demostración elemental" uno se refiere a una demostración que no use técnicas "de fuera del campo". Por ejemplo, en teoría de números muchas veces se usa demostración elemental para referirse a una demostración que no se sale de los enteros. Fíjate que todo lo que nombras (ecuaciones diofánticas lineales, función phi de Euler, teorema chino del resto...) son cosas que se refieren a enteros y de las que puedes dar demostraciones sin salirte de ellos. En cambio, el famoso lema de la prueba de Euler sí que se sale de los enteros (a los complejos), aunque el uso que haga de ellos no sea nada complicado.
En definitiva, que a veces "elemental" es muy distinto de "sencillo".


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 13 Diciembre, 2019, 11:43


Sí, no es para nada complicado. Muchas veces hay que tener cuidado con el sentido del término "elemental". A veces, cuando se dice una "demostración elemental" uno se refiere a una demostración que no use técnicas "de fuera del campo". Por ejemplo, en teoría de números muchas veces se usa demostración elemental para referirse a una demostración que no se sale de los enteros. Fíjate que todo lo que nombras (ecuaciones diofánticas lineales, función phi de Euler, teorema chino del resto...) son cosas que se refieren a enteros y de las que puedes dar demostraciones sin salirte de ellos. En cambio, el famoso lema de la prueba de Euler sí que se sale de los enteros (a los complejos), aunque el uso que haga de ellos no sea nada complicado.
En definitiva, que a veces "elemental" es muy distinto de "sencillo".

Hola, Geómetracat.

Sí, entiendo lo que quieres decir.

Esos métodos de teoría de números yo no los conocía antes de entrar aquí, sólo sabía algo de álgebra lineal y cuatro cosas de análisis. Los he aprendido mirando respuestas, consultando problemas resueltos y a veces contestando yo mismo a consultas; se puede decir que “sin estudiar”. Pero  esa prueba me dio siempre pereza; no me pasó lo mismo con el caso n=4, que me la aprendí bien, o la demostración del pequeño teorema y otras cosas así, de enteros normales.
Quizá esa pereza fue porque leí que era una prueba complicada, pero estoy viendo que, efectivamente, no es tanto, ya tengo una idea más global y veo por dónde van las cosas. A ver si me la aprendo de memoria y bien razonado todo; y después a ver si la pudiera “reconvertir” sin usar complejos (si tengo constancia y mañana no me da por pensar en otras cosas, que me suele pasar).

De todas formas, hablando de eso otro, la demostración del hilo ése, aparte del error que señalaste, no me gusta, parece que las ideas salen de la nada; cuando demuestra la propiedad para el número de esta forma [texx]a^2+3b^2[/texx], entre otras cosas parecidas que hace, da la sensación de que lo saca por probaturas de desarrollos, sin saber lo que busca o haciendo que no lo sabe, cuando se ve que conoce que [texx]a+b\sqrt{-3}[/texx] es normable; si no, no se le hubiera ocurrido.
Yo no pretendo una cosa así, para hacer eso, no hago nada. Mi idea es que se vea que hay un plan de ataque con unos razonamientos que partan de la idea principal, el descenso al infinito. Hay que encontrar algo que lleve a una terna más pequeña. Y puede que exista otra forma para ello, otro tipo de binomio, o lo que sea, adecuado para el particular caso n=3.
Aunque, seguramente, cuando me aprenda bien la demostración de Euler, ya no me apetecerá inventar otra cosa.

Muchas gracias.

Saludos.     

 


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 13 Diciembre, 2019, 15:36
Hola.

EDITADO

Me ha salido una cosa rara que no sé si entiendo bien.

Siendo “c” y “e” impares, podemos decir que para cuales sean los impares distintos y elegidos al azar (“c” y “e”) existen enteros de distinta paridad “a” y “b”, tales que

[texx]a^{2}-b^{2}=n
 [/texx] siendo “n” impar y donde

1) [texx]a=\dfrac{c+e}{2}
 [/texx]

2) [texx]b=\dfrac{c-e}{2}
 [/texx]

Esto, ya se sabe, es muy conocido, se usa en el método de factorización de Fermat, por ejemplo. Y, efectivamente, se pueden elegir al azar los impares para que “a” y “b” sean de distinta paridad:

...

Tenemos que

[texx]a=\dfrac{c+e}{2}
 [/texx]

[texx]b=\dfrac{c-e}{2}
 [/texx]

Elijamos impares [texx]c=2x+1
 [/texx] y [texx]e=2y+1
 [/texx] donde se pueden dar valores arbitrarios a “x” e “y” desde cero para obtener los impares que se quiera.

Entonces

[texx]a=\dfrac{c+e}{2}=\dfrac{2x+2y+2}{2}\Rightarrow a=x+y+1
 [/texx]

[texx]b=\dfrac{c-e}{2}=\dfrac{2x+1-2y-1}{2}\Rightarrow b=x{\color{red}-}y
 [/texx]

Donde “a” y “b” resultan de distinta paridad



...

Despejando de las ecuaciones 1) y 2) tenemos que

[texx]c=a+b
 [/texx] y [texx]e=a-b
 [/texx]

como se detalla en el spoiler

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Ahora sumemos los cubos [texx]c^{3}+e^{3}
 [/texx]:

[texx]c^{3}+e^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=
 [/texx]

[texx]a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=
 [/texx]

[texx]2a(a^{2}+3b^{2})
 [/texx]

Spoiler (click para mostrar u ocultar)
Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: geómetracat en 13 Diciembre, 2019, 15:49
Te has equivocado aquí:

[texx]b=\dfrac{c-e}{2}=\dfrac{2x+1-2y-1}{2}\Rightarrow b=x+y
 [/texx]

Es [texx]b=x-y[/texx].

Esos métodos de teoría de números yo no los conocía antes de entrar aquí, sólo sabía algo de álgebra lineal y cuatro cosas de análisis. Los he aprendido mirando respuestas, consultando problemas resueltos y a veces contestando yo mismo a consultas; se puede decir que “sin estudiar”. Pero  esa prueba me dio siempre pereza; no me pasó lo mismo con el caso n=4, que me la aprendí bien, o la demostración del pequeño teorema y otras cosas así, de enteros normales.

Normal, la prueba de Fermat para [texx]n=4[/texx] es (bastante) más sencilla que para [texx]n=3[/texx].

Cita
Quizá esa pereza fue porque leí que era una prueba complicada, pero estoy viendo que, efectivamente, no es tanto, ya tengo una idea más global y veo por dónde van las cosas. A ver si me la aprendo de memoria y bien razonado todo; y después a ver si la pudiera “reconvertir” sin usar complejos (si tengo constancia y mañana no me da por pensar en otras cosas, que me suele pasar).

Si realmente quieres dar una prueba sin complejos a mí me parece el camino más razonable: entender bien la prueba que usa complejos e intentar reformular la misma prueba pero sin complejos.

Cita
De todas formas, hablando de eso otro, la demostración del hilo ése, aparte del error que señalaste, no me gusta, parece que las ideas salen de la nada; cuando demuestra la propiedad para el número de esta forma [texx]a^2+3b^2[/texx], entre otras cosas parecidas que hace, da la sensación de que lo saca por probaturas de desarrollos, sin saber lo que busca o haciendo que no lo sabe, cuando se ve que conoce que [texx]a+b\sqrt{-3}[/texx] es normable; si no, no se le hubiera ocurrido.
Yo no pretendo una cosa así, para hacer eso, no hago nada. Mi idea es que se vea que hay un plan de ataque con unos razonamientos que partan de la idea principal, el descenso al infinito. Hay que encontrar algo que lleve a una terna más pequeña. Y puede que exista otra forma para ello, otro tipo de binomio, o lo que sea, adecuado para el particular caso n=3.

Bueno, la verdad es que no lo miré con mucho detalle, simplemente vi que argentinator decía que seguía la demostración de ahí.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 13 Diciembre, 2019, 16:11
Te has equivocado aquí:

[texx]b=\dfrac{c-e}{2}=\dfrac{2x+1-2y-1}{2}\Rightarrow b=x+y
 [/texx]

Muchísimas gracias, Geómetracat; qué susto me había llevado.

En cuanto a lo otro, sí, me la estoy mirando y viendo cosas; voy apuntando en un papel, haciendo cuentas... y como me equivoco, tengo que volver a empezar a cada rato... pero seguiré hasta que la asimile.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 15 Diciembre, 2019, 09:51
Hola,

Hola. Gracias feriva, tú tan generoso como siempre. Bueno como la cosa ya a venido así pues publico lo que tenga este fin de semana y ya está. Seguro que está mal. Yo no utilizo la igualdad de Euler, sino la idea que subyace. Por lo menos sé que a ti te va a resultar curioso y es un aliciente, me lo voy a tomar así. Gracias Luis

Pues no voy a poder publicar nada todavía, me precipité. Aún no lo tengo claro. Disculpas. Un saludo,


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 15 Diciembre, 2019, 13:32
Hola,

Hola. Gracias feriva, tú tan generoso como siempre. Bueno como la cosa ya a venido así pues publico lo que tenga este fin de semana y ya está. Seguro que está mal. Yo no utilizo la igualdad de Euler, sino la idea que subyace. Por lo menos sé que a ti te va a resultar curioso y es un aliciente, me lo voy a tomar así. Gracias Luis

Pues no voy a poder publicar nada todavía, me precipité. Aún no lo tengo claro. Disculpas. Un saludo,

No te preocupes. Yo estoy preparando una "explicación" somera sobre lo que veo que es la prueba de Euler; y a la vez intentando una demostración paralela.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 17 Diciembre, 2019, 06:26

Bueno, ya he estado mirando bastantes cosas sobre la prueba de Euler y me he puesto en marcha en mi intento de llegar a lo mismo con un enfoque que use sólo números enteros (no obstante, si al final veo que lo que uso lo complica demasiado, usaré raíces o incluso complejos; y en este último caso pues no habrá nada distinto, pero presentaré también mi enfoque por ver si estoy entendiendo bien y mis razonamientos son validos).

...

Según lo que ponía una de mis últimas respuestas, la expresión [texx]2a(a^{2}+3b^{2})
 [/texx] se puede representar para los enteros impares “c” y “e” que sean; también negativos si se quiere considerar. Por tanto, con esto, cualquiera puede estar seguro de que si se demuestra para esa igualdad, se demuestra para todos los casos.

En spoiler va un resumen de las consideraciones elementales necesarias para la de demostración (que todo ufetero ya conoce).

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Empezamos por pensar en la composición de factores de esta expresión [texx](a^{2}+3b^{2})
  [/texx] a la que llega Euler.

Si 3 no divide a “a”, estos factores son los de la forma [texx]6n\pm1
  [/texx]; es decir, la forma de todos los enteros menos los múltiplos de 6.

Si consideramos lo que se conoce como “primer caso” de la demostración del teorema de Fermat, suponemos primeramente que los factores [texx]2a
  [/texx] y [texx]a^{2}+3b^{2}
  [/texx] no tienen ningún componente primo en común.

Entonces, aquí, [texx](a^{2}+3b^{2})
  [/texx], el número “a” no puede ser múltiplo de 3, pues la suma sería un múltiplo de 3 y lo sería también el otro factor, “2a”.

Además, como ya se ha visto, “a” y “b” son de paridad distinta, por lo que la suma, o sea, el factor del paréntesis, es impar. Por tanto, según estamos considerando, no es múltiplo 6.

Luego en ese caso, está compuesto únicamente por factores de la forma [texx]6n\pm1
  [/texx].

Ahora bien, no quiere decir que necesariamente los primos que componen a [texx](a^{2}+3b^{2})
  [/texx] sean de esa forma o solamente de esa forma; porque [texx](6n-1)^{6}
  [/texx], por ejemplo, también nos va a dar un número así [texx]6n+1[/texx].

En consecuencia, podemos escribir, por ejemplo

[texx]a^{2}+3b^{2}=1+6n=1+3(2n)
 [/texx]

Ahora, para conseguir un “a” cuadrado ahí que no sea 1, tendremos que quitar una cierta cantidad a [texx]3(2n)
 [/texx] de forma que siga siendo un múltiplo de 3 y además, también, tiene que deje de ser par, para así obtener “b” cuadrado impar. Pues, obviamente, lo que tenemos que tenemos en ese segundo sumando es [texx]2k+2k+2k
 [/texx]; si le restáramos un número no divisible entre 3, quedaría un no múltiplo de 3.

Entonces hay que quitarle un múltiplo de 3 impar. De forma que

[texx]b^{2}=3(2n)-3m=3(2n-m)=6n-3m
 [/texx]

[texx]a^{2}=3m+1
 [/texx]

E igual conclusión se obtiene considerando que es de la forma [texx]6n-1
 [/texx]; “b” será múltiplo de 3 si los factores son coprimos (aun en caso de que no me equivoque, no sé si usaré esto).

Y éste ha sido el primer punto a considerar, donde, pese a lo que sea ha deducido al final, quizá lo más importante es ver que en lo sucesivo hay que estar pendientes en cuanto a la posibilidad del signo.

...

Ahora, vuelvo a mi anterior repuesta, donde veía que existen los números [texx]c=a+b
  [/texx] y [texx]e=a-b
 [/texx].

Es fácil ver que, dados unos representantes “a,b” concretos, la pareja asociada de impares “c,e” para la suma “c+e” es única. Para observarlo, basta suponer que existen las parejas de impares “c,e” y “f,g” asociadas a unos mismos “a,b.

Entonces, ocurre:

[texx]\begin{array}{cc}
c=a+b; & e=a-b\\
f=a+b; & g=a-b
\end{array}
 [/texx]

y de ahí

[texx]c+e=2a
  [/texx]

[texx]c+g=2a
  [/texx]

o sea

[texx]g=e
 [/texx]

y análogamente

[texx]g+f=g+c
  [/texx]

[texx]f=c
  [/texx].

No olvidemos las letras que uso para la igualdad

[texx]c^{3}+e^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=2a(a^{2}+3b^{2})
  [/texx].

Así, por ejemplo, podemos pensar en el producto [texx]c\cdot d=(a+b)(a-b)=a^{2}-c^{2}
 [/texx], donde las letras están estrechamente relacionadas con los valores concretos “c” y “e” de la terna.

Del mismo modo, podemos representar una equivalencia en forma de producto

[texx]a=k_{1}\cdot k_{2}
 [/texx]

[texx]b=t_{1}\cdot t_{2}
 [/texx]

Y podemos aprovechar que ya sabemos que “b” es múltiplo de 3 (si me hubiera equivocado en la deducción, pues no podré)

[texx]a=k_{1}\cdot k_{2}
 [/texx]

[texx]b=3\cdot t_{2}
 [/texx]

Donde si cualquiera de ellos es primo, entonces, algún “k” será 1.

...
Y éste es de momento el material para intentarlo.
Lo dejo aquí por hoy, para que no sea demasiado pesado corregirme, que ya he escrito mucho.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Diciembre, 2019, 14:14
Hola

 Creo que está, salvo erratas, todo bien. Aunque con cuatro lineas se deduciría lo mismo.

Si 3 no divide a “a”, estos factores son los de la forma [texx]6n\pm1
  [/texx]; es decir, la forma de todos los enteros menos los múltiplos de 6.

Todo los enteros menos los pares o múltiplos de tres.

Cita
Ahora, vuelvo a mi anterior repuesta, donde veía que existen los números [texx]c=a+b
  [/texx] y [texx]e=a-b
 [/texx].

Es fácil ver que, dados unos representantes “a,b” concretos, la pareja asociada de impares “c,e” para la suma “c+e” es única. Para observarlo, basta suponer que existen las parejas de impares “c,e” y “f,g” asociadas a unos mismos “a,b.

La unicidad es inmediata. ¡Estás definiendo una variable como la suma y otra como la diferencia!. ¡Ya está!.

Cita
Así, por ejemplo, podemos pensar en el producto [texx]c\cdot d=(a+b)(a-b)=a^{2}-c^{2}
 [/texx], donde las letras están estrechamente relacionadas con los valores concretos “c” y “e” de la terna.

Sería:

 [texx]c\cdot e=(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}
 [/texx],

¿No?.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 17 Diciembre, 2019, 14:24
Hola

 Creo que está, salvo erratas, todo bien. Aunque con cuatro lineas se deduciría lo mismo.

Si 3 no divide a “a”, estos factores son los de la forma [texx]6n\pm1
  [/texx]; es decir, la forma de todos los enteros menos los múltiplos de 6.

Todo los enteros menos los pares o múltiplos de tres.

Cita
Ahora, vuelvo a mi anterior repuesta, donde veía que existen los números [texx]c=a+b
  [/texx] y [texx]e=a-b
 [/texx].

Es fácil ver que, dados unos representantes “a,b” concretos, la pareja asociada de impares “c,e” para la suma “c+e” es única. Para observarlo, basta suponer que existen las parejas de impares “c,e” y “f,g” asociadas a unos mismos “a,b.

La unicidad es inmediata. ¡Estás definiendo una variable como la suma y otra como la diferencia!. ¡Ya está!.

Cita
Así, por ejemplo, podemos pensar en el producto [texx]c\cdot d=(a+b)(a-b)=a^{2}-c^{2}
 [/texx], donde las letras están estrechamente relacionadas con los valores concretos “c” y “e” de la terna.

Sería:

 [texx]c\cdot e=(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}
 [/texx],

¿No?.

Saludos.

Hola, Luis. Sí, me he equivocado en la letra; de acuerdo en todo.

Muchas gracias.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 18 Diciembre, 2019, 15:19

Estaba pensando en eso que hice de convertir el [texx]6n\pm1
[/texx] en un [texx](a^{2}+3b^{2}) [/texx] y deducir que “b” tenía que ser divisible entre tres (en el primer caso de la demostración). Es muy sencillo, sí, pero me  pregunto que, si pasara por aquí un lector curioso (no en sí un aficionado a las matemáticas de los que participan y saben cosas) qué entendería con más facilidad, si eso o una simple cuenta con raíces de las que él hizo en el colegio; creo que lo segundo.

Desisto de encontrar otra prueba, la que hay es sencilla realmente (o complejamente) al menos por lo que yo creo entender. No necesita apenas ahondar en la teoría, la unicidad de la factorización se ve clara en este caso. Sólo hay que multiplicar conjugados e identificar términos; que se ve que son los que son mirando las cosas y pensando un poco. Tampoco dan problemas los signos al elegir las soluciones conjugadas. No sé, no veo nada demasiado difícil; si que es un poco largo dar todas las explicaciones sobre los coprimos, descenso al infinito, etc.; es un poco larga de “contar”, pero similar a la de n=4 en la mayoría de las deducciones.

¡Fermateros: no merece la pena, cualquier otra prueba va a ser más complicada seguro, pasaos a la conjetura de Goldbach! :)

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Diciembre, 2019, 05:17
Hola

Estaba pensando en eso que hice de convertir el [texx]6n\pm1
[/texx] en un [texx](a^{2}+3b^{2}) [/texx] y deducir que “b” tenía que ser divisible entre tres (en el primer caso de la demostración). Es muy sencillo, sí, pero me  pregunto que, si pasara por aquí un lector curioso (no en sí un aficionado a las matemáticas de los que participan y saben cosas) qué entendería con más facilidad, si eso o una simple cuenta con raíces de las que él hizo en el colegio; creo que lo segundo.

Dicho con todo el cariño feriva, desde luego con las vueltas que das para probar cosas algunas tan inmediatas como las que te indiqué... desde luego.. si...una prueba con matemáticas elementales escrita por ti, llenaría tres tomos.  ;)

Cita
Desisto de encontrar otra prueba, la que hay es sencilla realmente (o complejamente) al menos por lo que yo creo entender. No necesita apenas ahondar en la teoría, la unicidad de la factorización se ve clara en este caso. Sólo hay que multiplicar conjugados e identificar términos; que se ve que son los que son mirando las cosas y pensando un poco. Tampoco dan problemas los signos al elegir las soluciones conjugadas. No sé, no veo nada demasiado difícil; si que es un poco largo dar todas las explicaciones sobre los coprimos, descenso al infinito, etc.; es un poco larga de “contar”, pero similar a la de n=4 en la mayoría de las deducciones.

Yo reconozco que la curiosidad de ver una prueba escrita trampeando los argumentos que usan factorizaciones de enteros de Gauss y similares, para usar sólo enteros y "matemáticas de Bachillerato" la tengo. Simplemente como ejercicio de estilo, como extravagancia casi. Está claro que sería en realidad más complicada, más larga, más oscura que las pruebas conocidas.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 19 Diciembre, 2019, 06:52


Dicho con todo el cariño feriva, desde luego con las vueltas que das para probar cosas algunas tan inmediatas como las que te indiqué... desde luego.. si...una prueba con matemáticas elementales escrita por ti, llenaría tres tomos.  ;)

:D Sí, soy consciente de eso, es debido a mi torpeza en todo y a lo poco que conozco la teoría, que tanto simplifica las cosas. Pero es que me apasiona lo de ir mirando restos y divisibilidades en plan rupestre,  inventando cosas ya inventadas; y además inventadas de mejor manera. Y después voy y escribo unas sábanas (encima llenas de despistes y errores, que muchas veces no termino de corregir del todo) que imagino que la gente dirá “pero qué tío más pesado”. Pero me lo paso bien, y, cómo soy malo para entender a algunas cosas a la primera, de esta forma, de tanto dar vueltas, al final las entiendo.
De hecho tengo escritas varias páginas “demostrando” a Euler y “explicando” las explicaciones de Argentinator, de Carlos Ivorra y otros... Sin embargo, en esta ocasión me he dicho que para qué, si es lo mismo; al que verdaderamente le interese y quiera mirar cómo es, ahí lo tiene; y sin despistes.

Cita
Yo reconozco que la curiosidad de ver una prueba escrita trampeando los argumentos que usan factorizaciones de enteros de Gauss y similares, para usar sólo enteros y "matemáticas de Bachillerato" la tengo. Simplemente como ejercicio de estilo, como extravagancia casi. Está claro que sería en realidad más complicada, más larga, más oscura que las pruebas conocidas.

Ya sospechaba yo que tenías que ser de capaz de eso; y de mucho más (ah, había leído mal, creí que decías que tenías una demostración así, y hablas de la curiosidad de verla)

Muchas gracias otra vez por las revisiones y correcciones; sin las cuales me enredaría todavía más de lo que me enredo. 

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 19 Diciembre, 2019, 10:51
Hola, no he podido escribir antes.


¡Fermateros: no merece la pena, cualquier otra prueba va a ser más complicada seguro, pasaos a la conjetura de Goldbach! :)


No sé qué le ves a la Conjetura de Goldbach feriva, siento ser tan claro; pero eres tú el que -nos- has tirado de la lengua. ¿Y qué, que todo número par pueda ser escrito como una suma de 2 primos? Existen infinitos primos y no tienen un patrón, no sé cómo se va a poder demostrar eso. Por ejemplo, que todo entero pueda escribirse como una suma de a lo máximo 4 cuadrados. Ya demostrado. Pues sí le veo interés. Muy curioso. Pero que pueda escribirse un número par como la suma de 2 primos pues francamente no. A no ser.. que el propósito secreto de la Conjetura sea buscar "un patrón" en la distribución de los números primos entre los enteros. Entonces sí le vería interés a la Conjetura. Pero tampoco veo un gran flanco con ese planteamiento de los pares para atacar un objetivo así de tanta envergadura.

Un saludo,


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 19 Diciembre, 2019, 14:27

No sé qué le ves a la Conjetura de Goldbach feriva, siento ser tan claro; pero eres tú el que -nos- has tirado de la lengua.

A ver si me voy a enfadar por meterte con la conjetura de Goldbach,  >:( ( :D )

Por supuesto que eso de que os paséis a la conjetura de Goldbach era una broma. Además, ya ha dicho Luis que sí le produce curiosidad una prueba de este caso sin usar complejos.

En realidad, el enunciado de la conjetura fuerte de Goldbach es una particularidad; se puede ampliar según el teorema de feriva (una simpleza de niños, como puedes imaginar ) condicionado a que sea verdad para p=2:

“Siempre que no sea primo, todo múltiplo de un primo “p” se puede expresar como suma de una cantidad exacta de “p” sumandos primos.”

Lo muestro al principio de este hilo (donde además te cito de entrada, ahora que lo remiro  ).

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=91205.msg368105#msg368105

Y eso, a lo mejor, lleva a una relación más amplia con el orden de los primos y demás cuestiones, aunque no sé.


Voy a justificar un poco por qué he opinado así, que por no ser pasado, como decía, no me he querido extender en la última respuesta

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 19 Diciembre, 2019, 15:11
Hola feriva. Supongo que todo consiste en averiguar más sobre la naturaleza de los números primos. Ok. Yo es que siempre he tenido la intuición de que no hay patrón entre los números primos, por eso se me antoja el tema muy ancho. Para mí, una fórmula que determinara qué primo es el siguiente a uno dado, sería algo tan gordo como decir que todo en la vida está determinado y no existe la libertad jaja. Perdona por esta salida de las matemáticas. Leibniz pensaba así. Y no es nada malo, claro. A mí resultaría extraño, eso es todo.

Respecto del UTF, a ver cuando puedo publicar algo al respecto -que estará mal, claro- y entonces con eso te contesto a lo de que no hay otra forma que la estricta literal de Euler para abordar el tema. La semana que viene o la otra podré publicarlo, creo; si no descubro un fallo troncal, claro. Yo sé que parece increíble -porque me lo parece a mí también- que todavía no haya tirado la toalla en este tema. Pero es cierto, todavía no lo he hecho.

Un saludo,


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Diciembre, 2019, 15:47
Hola

Para mí, una fórmula que determinara qué primo es el siguiente a uno dado, sería algo tan gordo como decir que todo en la vida está determinado y no existe la libertad jaja. Perdona por esta salida de las matemáticas. Leibniz pensaba así.

Sin ánimo de remover los cimientos vitales de nadie:

(http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=111757.0;attach=21546)

Añadido: en las fracciones que aparecen en la fórmula se ha de tomar la parte entera.

El autor (creo) es Sebastián Martín Ruíz, que ha intervenido alguna vez en el foro.

Saludos.

P.D. Lo de que los primos no siguen "un patrón", siempre me ha parecido una afirmación muy vaga (y sé que la dicen muchos matemáticos, sobre todo en libros divulgativos).  Hay muchas cosas que se saben sobre los primos y otras no. No hace falta ir a los primos para tener problemas muy difíciles de resolver, como el propio UFT, basado en los naturales cuyo "patrón" es obvio o la Conjetura de Collatz donde precisamente tenemos una fórmula muy clara y sencilla que nos dice como hallar el siguiente término en función del anterior, y aun así se complica.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 19 Diciembre, 2019, 16:16
Hola,

Para mí, una fórmula que determinara qué primo es el siguiente a uno dado, sería algo tan gordo como decir que todo en la vida está determinado y no existe la libertad jaja. Perdona por esta salida de las matemáticas. Leibniz pensaba así.

Sin ánimo de remover los cimientos vitales de nadie:

(http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=111757.0;attach=21546)

El autor (creo) es Sebastián Martín Ruíz, que ha intervenido alguna vez en el foro.

Uno puede no tener ánimo de remover cimientos vitales y sin embargo hacerlo. Bueno, yo soy un poco como Groucho Marx. Tenía unos principios, pero ahora, a la luz de esto, tengo otros. ¿Alguien sería tan amable de indicarme en concreto como funcionaría la fórmula? Lo he intentado pero no me sale. Tengo el primo: p=3 y quiero obtener el siguiente: 5? Por otra parte yo pensé que una fórmula así aclararía el tema de la distribución de los números primos, pero parece que son cosas diferentes.

Cita
P.D. Lo de que los primos no siguen "un patrón", siempre me ha parecido una afirmación muy vaga (y sé que la dicen muchos matemáticos, sobre todo en libros divulgativos).  Hay muchas cosas que se saben sobre los primos y otras no. No hace falta ir a los primos para tener problemas muy difíciles de resolver, como el propio UFT, basado en los naturales cuyo "patrón" es obvio o la Conjetura de Collatz donde precisamente tenemos una fórmula muy clara y sencilla que nos dice como hallar el siguiente término en función del anterior, y aun así se complica.

Ok

Saludos,


Añadido:

Por otra parte en Wikipedia leo esto:

<< Fórmula de los números primos >>

En matemáticas, una fórmula de los números primos es aquella que genera los números primos, exactamente y sin excepción alguna. Otro gran acuerdo a esto es qué se considera como una «fórmula» y qué no. No existe ninguna fórmula polinómica para obtener todos los números primos. Tampoco existe alguna fórmula polinómica no constante que sólo obtenga valores primos. La mayoría de la gente puede objetar que el término «fórmula» se restringe solamente a los polinomios. ¿Podría uno usar sumatorias, factoriales y la función piso? Si así fuera, de hecho, sí existen fórmulas de los números primos. Una interpretación razonable de la palabra «fórmula» es «una máquina de Turing que se detiene bajo todas las entradas». Bajo esta interpretación ciertamente existen máquinas de Turing que se detienen las cuales computan el enésimo número primo. Aun así, nadie sabe cómo calcular el enésimo número primo en tiempo polinómico. Dicho de otra forma, no se conoce alguna fórmula fácilmente computable.

Y si busco en wikipedia quién es << Sebastián Martín Ruíz >>. No sale nada. En otras páginas dice que es un profesor de matemáticas andaluz.

En fin, hay algo que no estoy entendiendo. Sdos


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Diciembre, 2019, 17:33
Hola

Uno puede no tener ánimo de remover cimientos vitales y sin embargo hacerlo. Bueno, yo soy un poco como Groucho Marx. Tenía unos principios, pero ahora, a la luz de esto, tengo otros. ¿Alguien sería tan amable de indicarme en concreto como funcionaría la fórmula? Lo he intentado pero no me sale. Tengo el primo: p=3 y quiero obtener el siguiente: 5?

Si [texx]j=4[/texx], calculemos:

[texx]\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor =\left \lfloor \dfrac{4-1}{1}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{4}{1}\right \rfloor+
\left \lfloor \dfrac{4-1}{2}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{4}{2}\right \rfloor=3-4+1-2=-2[/texx]

Por tanto:

[texx]\left\lfloor \dfrac{2+2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor}{j}\right\rfloor=\left\lfloor \dfrac{-2}{4}\right\rfloor=-1[/texx]

Si [texx]j=5[/texx], calculemos:

[texx]\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor =\left \lfloor \dfrac{5-1}{1}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{5}{1}\right \rfloor+
\left \lfloor \dfrac{5-1}{2}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{5}{2}\right \rfloor=4-5+2-2=-1[/texx]

Por tanto:

[texx]\left\lfloor \dfrac{2+2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor}{j}\right\rfloor=\left\lfloor \dfrac{0}{5}\right\rfloor=0[/texx]

Eso quieres decir que en el producto si [texx]k\geq 5[/texx] siempre aparece el factor cero, así que en este caso sólo hay que calcularlo para [texx]k=4[/texx].

Te va a quedar entonces:

[texx]next(3)=1+3+1=5[/texx]

Si tengo más tiempo te doy una idea de porque funciona la fórmula; ahora no puedo.

Cita
Por otra parte yo pensé que una fórmula así aclararía el tema de la distribución de los números primos, pero parece que son cosas diferentes.

Como te dije en mi opinión, decir "el tema de la distribución de los números primos" es una cuestión demasiado vaga, demasiado amplia; hay cuestiones conocidas sobre los primos y otras no (esto es vago también, lo sé  :D).

Cita
<< Fórmula de los números primos >>

En matemáticas, una fórmula de los números primos es aquella que genera los números primos, exactamente y sin excepción alguna. Otro gran acuerdo a esto es qué se considera como una «fórmula» y qué no. No existe ninguna fórmula polinómica para obtener todos los números primos. Tampoco existe alguna fórmula polinómica no constante que sólo obtenga valores primos. La mayoría de la gente puede objetar que el término «fórmula» se restringe solamente a los polinomios. ¿Podría uno usar sumatorias, factoriales y la función piso? Si así fuera, de hecho, sí existen fórmulas de los números primos. Una interpretación razonable de la palabra «fórmula» es «una máquina de Turing que se detiene bajo todas las entradas». Bajo esta interpretación ciertamente existen máquinas de Turing que se detienen las cuales computan el enésimo número primo. Aun así, nadie sabe cómo calcular el enésimo número primo en tiempo polinómico. Dicho de otra forma, no se conoce alguna fórmula fácilmente computable.

¿Qué no entiendes de ahí?. Básicamente el problema es que esas fórmulas tipo la que te mostré son un infierno para calcular de manera efectiva primos: muy lentas, requieren un número de operaciones brutal. Y tampoco ayudan gran cosa para resultados teóricos. Son casi un extravagancia, una anécdota; pero si sirven para recordar que la cosa no es tan simple como decir "no existe una fórmula para los primos".

Cita
Y si busco en wikipedia quién es << Sebastián Martín Ruíz >>. No sale nada. En otras páginas dice que es un profesor de matemáticas andaluz.

¿Es relevante eso? No se si esperabas que fuera muy famoso. Como te dije las fórmulas tienen la importancia que tienen, sin restar mérito alguno a Sebastián (que aunque en el foro no tuvo una intervención demasiado afortunada, tiene fórmulas sobre primos y combinatoria muy ingeniosas y sorprendentes).

Si quieres saber más sobre él:

http://numerosprimos.net/

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 19 Diciembre, 2019, 18:05
Hola Luis. Muchas gracias por mostrarme lo de la fórmula y por todas las demás explicaciones.

¿Es relevante eso? No se si esperabas que fuera muy famoso. Como te dije las fórmulas tienen la importancia que tienen, sin restar mérito alguno a Sebastián (que aunque en el foro no tuvo una intervención demasiado afortunada, tiene fórmulas sobre primos y combinatoria muy ingeniosas y sorprendentes).

Te digo como lo veo. Alguien -me consta que escriben en este Foro algunos matemáticos andaluces, por ejemplo-, debería editar esa entrada señalada del Wikipedia español y poner como ejemplo de fórmula complicada, pero ingeniosa y concluyente, la de Sebastián Martín. Porque es totalmente pertinente con el tema tratado. Y alguien también, quizás del entorno de este Sr., debería abrir un enlace en el Wikipedia con el nombre de Sebastián Martín Ruíz donde se describiera brevemente quién es y lo que ha hecho. Me parece lo mínimo.

Un saludo,

PD. feriva, ahí tienes un tema estupendo para ti: Mejorar esa fórmula (yo también puedo dar consejos)


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 19 Diciembre, 2019, 19:05

PD. feriva, ahí tienes un tema estupendo para ti: Mejorar esa fórmula (yo también puedo dar consejos)

Pobrecito de mí :)

Te voy a dar una que no es una máquina de Turing; no se para en todas las entradas, se para sólo en los primos; y los va dando todos.

[texx](n-1)!\equiv-1(mod\, n)
 [/texx].

O sea

[texx](n-1)!+1=nk
 [/texx]

Empezando por 2

[texx](2-1)!+1=2k
 [/texx]; se para, 2 es divisible entre 2.

[texx](3-1)!+1=3k
 [/texx]; también, es 3/3.

[texx](4-1)!+1=4k
 [/texx]; no se para, tenemos que 4 no divide a 7.

[texx](5-1)!+1=5k
 [/texx]; se para, 5 divide a 25

[texx](6-1)!+1=6k
 [/texx], no se para, 121 no es divisible entre 6

[texx](7-1)!+1=7k
 [/texx], sí se para, 721 es divisible entre siete...

Y así.

Se llama teorema de Wilson, no sé si lo conocías.

(Mi consejo no es que no intentes demostrar eso, sí que te aconsejo que sigas intentando ésos casos de Fermat, y espero que lo consigas además; pero veo difícil que al final sea una prueba más sencilla, sólo eso).

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Diciembre, 2019, 06:00
Hola

 Explicación de la fórmula:

1) [texx]c(j,s)=\left\lfloor\dfrac{j}{s}\right\rfloor\color{red}-\color{black}\left\lfloor\dfrac{j-1}{s}\right\rfloor[/texx] vale uno si [texx]s[/texx] es divisor de [texx]j[/texx] y cero en otro caso.

2) [texx]d(j)=2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor=2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}c(j,s)[/texx] es el número de divisores de [texx]j[/texx] si [texx]j[/texx] no es cuadrado perfecto y el número de divisores de [texx]j[/texx] más uno si [texx]j[/texx] es cuadrado perfecto.

Para justificarlo basta tener en cuenta (i), y que si [texx]s\neq \sqrt{j}[/texx] entonces [texx]s[/texx] y [texx]j/s[/texx] son dos divisores distintos de [texx]j[/texx].

3) De (2) se deduce que: [texx]2\leq d(j)\leq j[/texx]. Además el número [texx]j[/texx] es primo si y sólo si tiene dos divisores, es decir, [texx]d(j)=2[/texx].

4) [texx]f(j)=-\left\lfloor \dfrac{2+2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor}{j}\right\rfloor=\color{red}-\color{black}\left\lfloor \dfrac{2-d(j)}{j}\right \rfloor[/texx] vale [texx]0[/texx] si [texx]j[/texx] es primo y [texx]1[/texx] en otro caso.

Para probarlo notamos que por (3), [texx]2-j\leq 2-d(j)\leq 0[/texx] por tanto  [texx]-1<\dfrac{2-d(j)}{j}\leq 0[/texx] y[texx] \left\lfloor \dfrac{2-d(j)}{j}\right \rfloor\in \{-1,0\}[/texx]. En particular vale cero sólo si [texx]2-d(j)=0[/texx], es decir, si [texx]d(j)=2[/texx]; esto es, si [texx]j[/texx] es primo.

5) [texx]\displaystyle \prod_{j=p+1}^k f(j)[/texx] vale [texx]1[/texx] si todos los números entre [texx]p+1[/texx] y [texx]k[/texx] (incluidos) son compuestos, y cero si hay entre ellos algún primo. Esto es inmediato de (4).

En otras palabras ese producto vale [texx]0[/texx] a partir del primer [texx]k[/texx] primo mayor que [texx]p[/texx] y [texx]1[/texx] antes.

6) De (5) se deduce que en [texx] \displaystyle\sum_{k=p+1}^{2p}{}\displaystyle \prod_{j=p+1}^k f(j) [/texx] cada sumando vale [texx]1[/texx] hasta que [texx]k[/texx] alcanza el primer primo mayor que [texx]p[/texx]. El postulado de Bertrand (https://es.wikipedia.org/wiki/Postulado_de_Bertrand) garantiza que tal próximo primo se alcanza antes de [texx]2p[/texx].

En otras palabras, si [texx]q[/texx] es el siguiente primo a [texx]p[/texx], entonces ese sumatorio vale [texx]q-(p+1).[/texx]

7) De (6) se deduce que:

[texx]1+p+ \displaystyle\sum_{k=p+1}^{2p}{}\displaystyle \prod_{j=p+1}^k f(j) =1+p+q-(p+1)=q[/texx]

siendo [texx]q[/texx] es el siguiente primo a [texx]p[/texx].

Saludos.

CORREGIDO (gracias geómetracat)


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 20 Diciembre, 2019, 09:58
Hola,

Se llama teorema de Wilson, no sé si lo conocías.

No lo conocía. Muchas gracias por todo feriva


Hola

 Explicación de la fórmula:

1) [texx]c(j,s)=\left\lfloor\dfrac{j}{s}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{j-1}{s}\right\rfloor[/texx] vale uno si [texx]s[/texx] es divisor de [texx]j[/texx] y cero en otro caso.

2) [texx]d(j)=2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor=2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}c(j,s)[/texx] es el número de divisores de [texx]j[/texx] si [texx]j[/texx] no es cuadrado perfecto y el número de divisores de [texx]j[/texx] más uno si [texx]j[/texx] es cuadrado perfecto.

Para justificarlo basta tener en cuenta (i), y que si [texx]s\neq \sqrt{j}[/texx] entonces [texx]s[/texx] y [texx]j/s[/texx] so dos divisores distintos de [texx]j[/texx].

3) De (2) se deduce que: [texx]2\leq d(j)\leq j[/texx]. Además el número [texx]j[/texx] es primo si y sólo si tiene dos divisores, es decir, [texx]d(j)=2[/texx].

4) [texx]f(j)=-\left\lfloor \dfrac{2+2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor}{j}\right\rfloor=\left\lfloor \dfrac{2-d(j)}{j}\right \rfloor[/texx] vale [texx]0[/texx] si [texx]j[/texx] es primo y [texx]1[/texx] en otro caso.

Para probarlo notamos que por (3), [texx]2-j\leq 2-d(j)\leq 0[/texx] por tanto  [texx]-1<\dfrac{2-d(j)}{j}\leq 0[/texx] y[texx] \left\lfloor \dfrac{2-d(j)}{j}\right \rfloor\in \{-1,0\}[/texx]. En particular vale cero sólo si [texx]2-d(j)=0[/texx], es decir, si [texx]d(j)=2[/texx]; esto es, si [texx]j[/texx] es primo.

5) [texx]\displaystyle \prod_{j=p+1}^k f(j)[/texx] vale [texx]1[/texx] si todos los números entre [texx]p+1[/texx] y [texx]k[/texx] (incluidos) son compuestos, y cero si hay entre ellos algún primo. Esto es inmediato de (4).

En otras palabras ese producto vale [texx]0[/texx] a partir del primer [texx]k[/texx] primo mayor que [texx]p[/texx] y [texx]1[/texx] antes.

6) De (5) se deduce que en [texx] \displaystyle\sum_{k=p+1}^{2p}{}\displaystyle \prod_{j=p+1}^k f(j) [/texx] cada sumando vale [texx]1[/texx] hasta que [texx]k[/texx] alcanza el primer primo mayor que [texx]p[/texx]. El postulado de Bertrand (https://es.wikipedia.org/wiki/Postulado_de_Bertrand) garantiza que tal próximo primo se alcanza antes de [texx]2p[/texx].

En otras palabras, si [texx]q[/texx] es el siguiente primo a [texx]p[/texx], entonces ese sumatorio vale [texx]q-(p+1).[/texx]

7) De (6) se deduce que:

[texx]1+p+ \displaystyle\sum_{k=p+1}^{2p}{}\displaystyle \prod_{j=p+1}^k f(j) =1+p+q-(p+1)=q[/texx]

siendo [texx]q[/texx] es el siguiente primo a [texx]p[/texx].

Saludos.

¡Muchas gracias! Qué gran labor. Qué lujo de Administradores tenemos


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: geómetracat en 20 Diciembre, 2019, 14:46
Muchas gracias por compartir la fórmula con la explicación, es muy curiosa e ingeniosa a la vez que sencilla. No la conocía y me ha parecido muy interesante.

Un par de erratas que he detectado en la explicación:



1) [texx]c(j,s)=\left\lfloor\dfrac{j}{s}\right\rfloor{\color{red}-}\left\lfloor\dfrac{j-1}{s}\right\rfloor[/texx] vale uno si [texx]s[/texx] es divisor de [texx]j[/texx] y cero en otro caso.

Un más que debería ser menos.

Cita
4) [texx]f(j)=-\left\lfloor \dfrac{2+2\displaystyle\sum_{s=1}^{\sqrt{j}}{}\left \lfloor \dfrac{j-1}{s}\right \rfloor -\left \lfloor \dfrac{j}{s}\right \rfloor}{j}\right\rfloor={\color{red}-}\left\lfloor \dfrac{2-d(j)}{j}\right \rfloor[/texx] vale [texx]0[/texx] si [texx]j[/texx] es primo y [texx]1[/texx] en otro caso.

Faltaba un menos.

Fernando, el teorema de Wilson ([texx](n-1)! \equiv -1 \; mod \; n[/texx] si y solo si [texx]n[/texx] es primo) es un teorema muy conocido (además de ser útil y bonito) que es relativamente sencillo de demostrar. De hecho, si tienes algún rato muerto puedes entretenerte en intentar demostrarlo, es un buen ejercicio.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 20 Diciembre, 2019, 15:38
Hola,

Fernando, el teorema de Wilson ([texx](n-1)! \equiv -1 \; mod \; n[/texx] si y solo si [texx]n[/texx] es primo) es un teorema muy conocido (además de ser útil y bonito) que es relativamente sencillo de demostrar. De hecho, si tienes algún rato muerto puedes entretenerte en intentar demostrarlo, es un buen ejercicio.

Voy con la tarea. Por ser tú geómetracat.. Tengo poco tiempo así que espero no decir una burrada muy gorda. Haciendo números es inmediato que: [texx](p-1)¡+1=kp[/texx] . Luego:  [texx](p-1)¡\equiv\,-1\,\,mod\,p[/texx] .  Pero claro, tú me pides una demostración.. Me expreso con los vulgares números: Por ejemplo: 7. Tenemos que:  [texx]6\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\,.\,.[/texx]  son coprimos con " 7 ". Luego:  [texx]6\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\,.\,.[/texx]  [texx]+[/texx]  [texx]1[/texx]  es coprimo respecto de  [texx](p-1)¡[/texx] .  Luego no puede estar "compuesto" por ninguno de sus factores y por otra parte tampoco puede ser otro número primo mayor que "p", pues entonces ése " p' " aparecería como contenido en  [texx](p-1)¡[/texx] .  Luego debe ser un compuesto (distinto) de "p" ó una potencia enésima de "p". Sé que esta no es la demostración, pero sí que debe ser la idea. Un saludo profesor. Espero al menos sacar el 5


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 20 Diciembre, 2019, 16:13

...Sé que esta no es la demostración, pero sí que debe ser la idea.

Por ahí va la idea, Fernando; esto te puede ayudar a rematar quizá

EDITADO

[texx](n-1)!\equiv-1(mod\, n)
  [/texx]

entonces

[texx](n-1)!\equiv n-1(mod\, n)
  [/texx]

entonces

[texx](n-1)!+1-n\equiv0(mod\, n)
  [/texx]

y finalmente

[texx]\left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0(mod\, n)
  [/texx]

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 20 Diciembre, 2019, 16:44
Hola feriva. Ok, si insistes..

[texx]\left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0\Rightarrow(mod\, n)[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]

[texx](n-1)(n-2)..1-(n-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx](n-1)\,(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx]-(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx]-(n-2)¡\equiv\,-1[/texx]  mod [texx]n[/texx]

Y lo voy repitiendo hasta llegar supongo a -1

Pero prefiero mi idea, que no es que "vaya por ahí" sino que "da ahí". Sdos

Añado:

Si ahora multiplico ambos lados por [texx]n-1[/texx] ,  tendré:  [texx]-(n-1)¡\equiv\,1[/texx]  mod [texx]n[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](n-1)¡\equiv\,-1[/texx]  mod [texx]n[/texx] .  Pero esto último ya es trampa porque he mirado las demostraciones por internet y la he sacado de Gaussianos que es la que más me gusta (después de la mía, claro)


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 20 Diciembre, 2019, 16:47
Hola feriva. Ok, si insistes..

[texx]\left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0\Rightarrow(mod\, n)[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]

[texx](n-1)(n-2)..1-(n-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx](n-1)\,(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx]-(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx][/tex]

[texx]-(n-2)¡\equiv\,-1[/texx]  mod [texx]n[/texx]

Y lo voy repitiendo hasta llegar supongo a -1

Pero prefiero mi idea, que no es que "vaya por ahí" sino que "da ahí". Sdos

Las flechitas las he puesto mal, van detrás del módulo, como en la primera; es simplemente para continuar las expresiones, no se si eso hace que se entienda otra cosa.

Recuerda que los primos... son los primeros.

En spoiler va la traducción

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Diciembre, 2019, 18:21
Hola

Voy con la tarea. Por ser tú geómetracat.. Tengo poco tiempo así que espero no decir una burrada muy gorda. Haciendo números es inmediato que: [texx](p-1)¡+1=kp[/texx] . Luego:  [texx](p-1)¡\equiv\,-1\,\,mod\,p[/texx] .  Pero claro, tú me pides una demostración.. Me expreso con los vulgares números: Por ejemplo: 7. Tenemos que:  [texx]6\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\,.\,.[/texx]  son coprimos con " 7 ". Luego:  [texx]6\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\,.\,.[/texx]  [texx]+[/texx]  [texx]1[/texx]  es coprimo respecto de  [texx](p-1)¡[/texx] .  Luego no puede estar "compuesto" por ninguno de sus factores y por otra parte tampoco puede ser otro número primo mayor que "p", pues entonces ése " p' " aparecería como contenido en  [texx](p-1)¡[/texx] . 

No se si he entendido bien lo que marco en rojo; pero [texx](p-1)!+1[/texx] puede tener perfectamente factores primos mayores que [texx]p[/texx].

Hola feriva. Ok, si insistes..

[texx]\left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0\Rightarrow(mod\, n)[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]

[texx](n-1)(n-2)..1-(n-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx](n-1)\,(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx]-(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx][/tex]

[texx]-(n-2)¡\equiv\,-1[/texx]  mod [texx]n[/texx]

Y lo voy repitiendo hasta llegar supongo a -1

No esta muy claro como repites...

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 20 Diciembre, 2019, 18:35
Hola,

Voy con la tarea. Por ser tú geómetracat.. Tengo poco tiempo así que espero no decir una burrada muy gorda. Haciendo números es inmediato que: [texx](p-1)¡+1=kp[/texx] . Luego:  [texx](p-1)¡\equiv\,-1\,\,mod\,p[/texx] .  Pero claro, tú me pides una demostración.. Me expreso con los vulgares números: Por ejemplo: 7. Tenemos que:  [texx]6\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\,.\,.[/texx]  son coprimos con " 7 ". Luego:  [texx]6\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\,.\,.[/texx]  [texx]+[/texx]  [texx]1[/texx]  es coprimo respecto de  [texx](p-1)¡[/texx] .  Luego no puede estar "compuesto" por ninguno de sus factores y por otra parte tampoco puede ser otro número primo mayor que "p", pues entonces ése " p' " aparecería como contenido en  [texx](p-1)¡[/texx] . 

No se si he entendido bien lo que marco en rojo; pero [texx](p-1)!+1[/texx] puede tener perfectamente factores primos mayores que [texx]p[/texx]

Supongamos que:  [texx]11k=6\cdot{5}\cdot{4}\cdot{3}\,.\,.[/texx]  [texx]+[/texx]  [texx]1[/texx] .. Ah es cierto. A ver si puedo arreglarlo. Me voy a tomar unos minutos

A ver:

Tendríamos el siguiente contrasentido: Como  [texx]11k=(7-1)¡+1[/texx] ,  entonces:  [texx]11k\equiv\,(7-1)¡+1[/texx] mod [texx]6,5,4..[/texx]   [texx]\wedge[/texx] :  [texx]11k\equiv\,1[/texx] mod [texx]6[/texx] ,  [texx]11k\equiv\,1[/texx] mod [texx]5[/texx] ,  etc.  no?   está mal

Cita
Hola feriva. Ok, si insistes..

[texx]\left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0\Rightarrow(mod\, n)[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]

[texx](n-1)(n-2)..1-(n-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx](n-1)\,(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx]-(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx][/tex]

[texx]-(n-2)¡\equiv\,-1[/texx]  mod [texx]n[/texx]

Y lo voy repitiendo hasta llegar supongo a -1

No esta muy claro como repites...

Saludos.

Cierto, ya he hecho la corrección editando la entrada basándome en la demostración que he encontrado en Gaussianos


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 20 Diciembre, 2019, 19:05


Añado:

Si ahora multiplico ambos lados por [texx]n-1[/texx] ,  tendré:  [texx]-(n-1)¡\equiv\,1[/texx]  mod [texx]n[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](n-1)¡\equiv\,-1[/texx]  mod [texx]n[/texx] .  Pero esto último ya es trampa porque he mirado las demostraciones por internet y la he sacado de Gaussianos que es la que más me gusta (después de la mía, claro)

Pero qué compicación es ésa. Es simplmente esto

[texx]\left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0(mod\, n)
 [/texx]

[texx]n|-(n)\Rightarrow
 [/texx]

[texx]n|\left((n-1)!+1\right)
 [/texx], con [texx]\left(mcd\,(n-1)!+1,\, n\right)=1
 [/texx].

[texx]n=s(n-1)\Rightarrow n\in\mathbb{P}
 [/texx].

Y ya está, “n” está encajonada; ya has visto que no la divide ninguno de los detrás hasta (n-1) incluido; es el primer número después de (n-1), luego no lo van a dividir los más grande que él... blanco y en botella :D

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 20 Diciembre, 2019, 19:09
Hola, estudiaré lo que dices, pero

Pero qué compicación es ésa

¿Es una complicación multiplicar en ambos lados por  [texx]n-1[/texx]  ??   ::)


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Diciembre, 2019, 19:10
Hola

A ver:

Tendríamos el siguiente contrasentido: Como  [texx]11k=(7-1)¡+1[/texx] ,  entonces:  [texx]11k\equiv\,(7-1)¡+1[/texx] mod [texx]6,5,4..[/texx]   [texx]\wedge[/texx] :  [texx]11k\equiv\,1[/texx] mod [texx]6[/texx] ,  [texx]11k\equiv\,1[/texx] mod [texx]5[/texx] ,  etc.  no? 

No es un contrasentido. Y mi afirmación no pretendía ser algo a descartar. Ciertamente pueden aparecer factores mayores que [texx]p[/texx] en la descomposición de [texx](p-1)!+1[/texx]:

[texx](7-1)!+1=7\cdot 103[/texx]

[texx]\left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0\Rightarrow(mod\, n)[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]

[texx](n-1)(n-2)..1-(n-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx](n-1)\,(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx]-(\,(n-2)¡-1)\equiv\,0[/texx]  mod [texx]n[/texx]

[texx]-(n-2)¡\equiv\,-1[/texx]  mod [texx]n[/texx]

Y lo voy repitiendo hasta llegar supongo a -1

Pero prefiero mi idea, que no es que "vaya por ahí" sino que "da ahí". Sdos

Añado:

Si ahora multiplico ambos lados por [texx]n-1[/texx] ,  tendré:  [texx]-(n-1)¡\equiv\,1[/texx]  mod [texx]n[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](n-1)¡\equiv\,-1[/texx]  mod [texx]n[/texx] .  Pero esto último ya es trampa porque he mirado las demostraciones por internet y la he sacado de Gaussianos que es la que más me gusta (después de la mía, claro)

Pero no entiendo lo que pretendes ahí. La igualad:

[texx]-(n-2)!\equiv\,-1[/texx]  mod [texx]n[/texx]

La has obtenido presuponiendo que [texx](n-1)!\equiv -1[/texx]  mod [texx]n[/texx]. Entonces lo que haces simplemente es volver al principio.

No has concluido nada.

Pero qué compicación es ésa. Es simplmente esto

[texx]\left((n-1)!+1\right)-(n)\equiv0(mod\, n)
 [/texx]

[texx]n|-(n)\Rightarrow
 [/texx]

[texx]n|\left((n-1)!+1\right)
 [/texx], con [texx]\left(mcd\,(n-1)!+1,\, n\right)=1
 [/texx].

[texx]n=s(n-1)\Rightarrow n\in\mathbb{P}
 [/texx].

Y ya está, “n” está encajonada; ya has visto que no la divide ninguno de los detrás hasta (n-1) incluido; es el primer número después de (n-1), luego no lo van a dividir los más grande que él... blanco y en botella :D

Independientemente de que tienes varias erratas ahí (y una forma rara de concluir), feriva. Lo que tu estás probando es la parte fácil, es decir, que si [texx](n-1)!=-1[/texx] mod  [texx]n[/texx], entonces [texx]n[/texx] es primo. Sospecho que los intentos de Fernando Moreno van más bien encaminados hacia la otra implicación que es ligeramente más difícil.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 20 Diciembre, 2019, 19:25
Hola,


No es un contrasentido. Y mi afirmación no pretendía ser algo a descartar. Ciertamente pueden aparecer factores mayores que [texx]p[/texx] en la descomposición de [texx](p-1)!+1[/texx]

Pues no lo entiendo. Resulta que:  [texx]11\cdot{5}\equiv\,1[/texx] mod [texx]6[/texx] , y ¿no es un contrasentido que sea congruente también con 1 Módulo 5?.  Perdón, es que está mal. Me he precipitado

Cita
Pero no entiendo lo que pretendes ahí. La igualad:

[texx]-(n-2)!\equiv\,-1[/texx]  mod [texx]n[/texx]

La has obtenido presuponiendo que [texx](n-1)!\equiv -1[/texx]  mod [texx]n[/texx]. Entonces lo que haces simplemente es volver al principio.

No has concluido nada

Pues supongo que sí. Me limité a seguir la entrada de feriva, este hilo se ha vuelto muy loco jajaja


Hola

T Y mi afirmación no pretendía ser algo a descartar. Ciertamente pueden aparecer factores mayores que [texx]p[/texx] en la descomposición de [texx](p-1)!+1[/texx]:

[texx](7-1)!+1=7\cdot 103[/texx]

No la descartaba, pensé buscar otro fallo distinto, está claro que ese no era.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 20 Diciembre, 2019, 19:38

Independientemente de que tienes varias erratas ahí (y una forma rara de concluir), feriva. Lo que tu estás probando es la parte fácil, es decir, que si [texx](n-1)!=-1[/texx] mod  [texx]n[/texx], entonces [texx]n[/texx] es primo. Sospecho que los intentos de Fernando Moreno van más bien encaminados hacia la otra implicación que es ligeramente más difícil.

Saludos.

Ah, sí, sí, tienes razón, estaba yo despistado.

Gracias, Luis.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 20 Diciembre, 2019, 19:55
La otra implicación.

Ah, no, demasiado fácil y corto me parecía

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 20 Diciembre, 2019, 20:39

¿Es una complicación multiplicar en ambos lados por  [texx]n-1[/texx]  ??   ::)

Opino que es una complicación hacer cuentas independientemente de que yo me hubiera saltado la demostración previa.

En Gaussianos se demuestra así que no puede ser compuesto:

Supone que es compuesto, entonces algunos de sus divisores propios están aquí [texx](1,\, n-1)
 [/texx], “n” tiene divisores ahí, y digamos que tomamos un divisor “d” cualquiera, común mayor que 1 (que, obviamente, divide a [texx](n-1)!
 [/texx] y a “n” por hipótesis)

Si ahora dividiera también a [texx](n-1)!+1
 [/texx], pues ocurriría esto

[texx]\dfrac{(n-1)!}{d}+\dfrac{1}{d}
 [/texx] con [texx]\dfrac{(n-1)!}{d}
 [/texx] entero, pero [texx]\dfrac{1}{d}<1
 [/texx], no entero. Y así no puede ser entero. Con lo que “n” no puede ser compuesto, no existen esos divisores “d”; de ese tamaño, digo, de los otros no se sabe.

Entonces ya, tiene que ser compuesto por primos mayores o ser primo; obviamente, sus factores no están en el factorial, y así, todos, desde 1 hasta n-1, son coprimos y, por tanto, no divide a “n” ningún número menor que él.

Como los mayores que “n”, o sea, n+1, n+2... no lo dividen tampoco,  por ser mayores, es un número al que no divide nadie, salvo 1 y sí mismo. Ese argumento que decía sigue siendo bueno, faltaba lo otro, que no me acordaba de que no lo había demostrado.

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: geómetracat en 20 Diciembre, 2019, 21:10
Madre mía, la que he liado con el teorema de Wilson.  ;D
De momento no he visto ninguna demostración correcta, aunque ya habéis mecionado la de gaussianos, que es básicamente en lo que yo estaba pensando. Aunque feriva ha hablado básicamente de la implicación fácil. La implicación hacia el otro lado es más interesante.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 21 Diciembre, 2019, 05:31
Madre mía, la que he liado con el teorema de Wilson.  ;D
De momento no he visto ninguna demostración correcta, aunque ya habéis mecionado la de gaussianos, que es básicamente en lo que yo estaba pensando. Aunque feriva ha hablado básicamente de la implicación fácil. La implicación hacia el otro lado es más interesante.

:) Estaba en en las nubes, cómo siempre, por comparación con la demostración de los primos infinitos, no me daba cuenta de que al ser el factorial de (n+1) no era tan trivial, había que justificarlo.

...

*Bueno, pero esto no ha valido, no vale mirar en internet, Fernando :D Pongo el teorema de Clement, que es parecido pero sólo da primos gemelos

[texx]4((n-1)!+1)+n\equiv0(modn(n+2))
 [/texx]

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: geómetracat en 21 Diciembre, 2019, 08:01
*Bueno, pero esto no ha valido, no vale mirar en internet, Fernando :D Pongo el teorema de Clement, que es parecido pero sólo da primos gemelos

[texx]4((n-1)!+1)+n\equiv0(modn(n+2))
 [/texx]

Vaya, ¡muy interesante! Este no lo conocía. Se puede demostrar bien a partir del teorema de Wilson.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 21 Diciembre, 2019, 08:06
*Bueno, pero esto no ha valido, no vale mirar en internet, Fernando :D Pongo el teorema de Clement, que es parecido pero sólo da primos gemelos

[texx]4((n-1)!+1)+n\equiv0(modn(n+2))
 [/texx]

Vaya, ¡muy interesante! Este no lo conocía. Se puede demostrar bien a partir del teorema de Wilson.

Yo no sé si está la demostración en internet, creo que sí, que la vi, pero en una página en inglés (voy a ver si la encuentro; si es así, prometo que no la contaré, me aguantaré por si Fernando quiere intentarlo).

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: geómetracat en 21 Diciembre, 2019, 08:45
Yo la he pensado al ver tu mensaje, si queréis más tarde la pongo (en spoiler por si alguien quiere pensarla).


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 21 Diciembre, 2019, 08:52
Yo la he pensado al ver tu mensaje, si queréis más tarde la pongo (en spoiler por si alguien quiere pensarla).

Ah, sí, muchas gracias.

(yo ya he encontrado un paper donde viene, pero sólo la he mirado por encima; no obstante, ya me ha dado la idea un poco, mi participación en el "concurso" no sería honrada :) ).

Saludos.



Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 21 Diciembre, 2019, 15:31
Hola, ahí va mi propuesta. Reconozco que me ha costado más de lo que pensaba


[texx](p-1)¡\equiv\,-1[/texx] mod p   [texx]\Leftrightarrow{}[/texx]   [texx](p-1)¡\equiv\,p-1[/texx] mod p

Mostremos ahora esto último por una vía alternativa y demostraremos lo primero.

Lema:  [texx](p-1)¡+(p-2)¡\equiv\,0[/texx] mod p

Demostración inmediata:  [texx](p-2)¡\,(\,p-1\,+1)\equiv\,0[/texx] mod p

Luego si:  [texx](p-1)¡+(p-2)¡\equiv\,0[/texx] mod p ;  entonces:

ó bien:  [texx](p-1)¡\equiv\,p-1[/texx] mod p  [texx]\wedge[/texx]  [texx](p-2)¡\equiv\,1[/texx] mod p

ó bien:  [texx](p-1)¡\equiv\,p-2[/texx] mod p  [texx]\wedge[/texx]  [texx](p-2)¡\equiv\,2[/texx] mod p

ó bien:  [texx](p-1)¡\equiv\,p-3[/texx] mod p  [texx]\wedge[/texx]  [texx](p-2)¡\equiv\,3[/texx] mod p

etc.

Como son excluyentes, basta demostrar la verdad de una para descartar a las otras.

Veamos:  Si  [texx](p-1)¡\equiv\,p-1[/texx] mod p   

y divido ahora entre  " [texx]p-1[/texx] " ,  tendré:  [texx](p-2)¡\equiv\,1[/texx] mod p .  Luego esta es cierta y las demás no.

Por lo tanto:  [texx](p-1)¡\equiv\,p-1[/texx] mod p   [texx]\wedge[/texx]   [texx](p-1)¡\equiv\,-1[/texx] mod p .


Un saludo,


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: geómetracat en 21 Diciembre, 2019, 16:22
Lo prometido es deuda, así que ahí va una demostración del teorema de Clement. Es muy posible que haya una demostración más sencilla, más bonita o más corta, pero esta es la que se me ha ocurrido.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

[texx](p-1)¡\equiv\,-1[/texx] mod p   [texx]\Leftrightarrow{}[/texx]   [texx](p-1)¡\equiv\,p-1[/texx] mod p

Mostremos ahora esto último por una vía alternativa y demostraremos lo primero.

Lema:  [texx](p-1)¡+(p-2)¡\equiv\,0[/texx] mod p

Demostración inmediata:  [texx](p-2)¡\,(\,p-1\,+1)\equiv\,0[/texx] mod p

Luego si:  [texx](p-1)¡+(p-2)¡\equiv\,0[/texx] mod p ;  entonces:

ó bien:  [texx](p-1)¡\equiv\,p-1[/texx] mod p  [texx]\wedge[/texx]  [texx](p-2)¡\equiv\,1[/texx] mod p

ó bien:  [texx](p-1)¡\equiv\,p-2[/texx] mod p  [texx]\wedge[/texx]  [texx](p-2)¡\equiv\,2[/texx] mod p

ó bien:  [texx](p-1)¡\equiv\,p-3[/texx] mod p  [texx]\wedge[/texx]  [texx](p-2)¡\equiv\,3[/texx] mod p

etc.

Como son excluyentes, basta demostrar la verdad de una para descartar a las otras.

Veamos:  Si  [texx](p-1)¡\equiv\,p-1[/texx] mod p   

y divido ahora entre  " [texx]p-1[/texx] " ,  tendré:  [texx](p-2)¡\equiv\,1[/texx] mod p .  Luego esta es cierta y las demás no.

Por lo tanto:  [texx](p-1)¡\equiv\,p-1[/texx] mod p   [texx]\wedge[/texx]   [texx](p-1)¡\equiv\,-1[/texx] mod p .

No está bien. Es decir, (casi) todo lo que dices es cierto, pero no demuestra el teorema de Wilson. El problema es que dices que si [texx](p-1)! \equiv p-1 \mod p[/texx] entonces tendrás [texx](p-2)! \equiv 1 \mod p[/texx]. Esto está bien. Pero a continuación dices "luego esta es cierta" (imagino que quieres decir que [texx](p-2)! \equiv 1 \mod p[/texx] es cierta). Pero esto no está nada claro. ¿Por qué [texx](p-2)! \equiv 1 \mod p[/texx] es cierta? Lo que has hecho es obtener que es cierta suponiendo que el teorema de Wilson se cumple, que es precisamente lo que querías demostrar.

Al margen de esto, fíjate que en tus razonamientos no usas en ningún momento que [texx]p[/texx] sea primo. Podrías cambiar [texx]p[/texx] por un natural cualquiera y todo lo que dices seguiría siendo cierto. Pero sabemos que si [texx]n[/texx] no es primo entonces es falso que [texx](n-1)! \equiv -1 \mod n[/texx], por lo que tu demostración no puede estar bien.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 21 Diciembre, 2019, 16:34
Hola,

No está bien. Es decir, (casi) todo lo que dices es cierto, pero no demuestra el teorema de Wilson. El problema es que dices que si [texx](p-1)! \equiv p-1 \mod p[/texx] entonces tendrás [texx](p-2)! \equiv 1 \mod p[/texx]. Esto está bien. Pero a continuación dices "luego esta es cierta" (imagino que quieres decir que [texx](p-2)! \equiv 1 \mod p[/texx] es cierta). Pero esto no está nada claro. ¿Por qué [texx](p-2)! \equiv 1 \mod p[/texx] es cierta? Lo que has hecho es obtener que es cierta suponiendo que el teorema de Wilson se cumple, que es precisamente lo que querías demostrar.

Al margen de esto, fíjate que en tus razonamientos no usas en ningún momento que [texx]p[/texx] sea primo. Podrías cambiar [texx]p[/texx] por un natural cualquiera y todo lo que dices seguiría siendo cierto. Pero sabemos que si [texx]n[/texx] no es primo entonces es falso que [texx](n-1)! \equiv -1 \mod n[/texx], por lo que tu demostración no puede estar bien.

Ok, lo analizo a ver


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 21 Diciembre, 2019, 18:18
Hola geómetracat. Es cierto todo lo que dices. La verdad es que la demostración de Gaussianos no es mejorable. Respecto de los primos o naturales decir solamente que para todo impar no primo yo entiendo que:  [texx](I-1)¡\equiv\,0[/texx] mod I . Puesto que todos sus factores deben estar contenidos en  [texx](I-1)¡[/texx] ; por lo que no hay caso aquí. Saludos,


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 21 Diciembre, 2019, 18:20
Lo prometido es deuda, así que ahí va una demostración del teorema de Clement. Es muy posible que haya una demostración más sencilla, más bonita o más corta, pero esta es la que se me ha ocurrido.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)


Muchas gracias, Geómetracat.

Lo primero que haces sí lo hice yo esta mañana, me di cuenta de que lo que se planteaba era un sistema de congruencias. Después, a partir de eso, desarrollé una congruencia que funcionaba bien en el Wolfram (daba los gemelos). Pero era un producto de factoriales y otros términos que no pude simplificar hasta llegar a la forma que tiene la de Clement (tampoco lo intenté demasiado, me fui a comer)

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 22 Diciembre, 2019, 10:55
Hola. Quizás exista una manera alternativa de demostrar el Teorema de Wilson. Os lo propongo como tarea (y esta no se puede buscar por internet -que yo sepa). Yo lo voy a intentar también, pero conozco mis limitaciones. Supongo que hay que utilizar Teoría de Grupos.

Haciendo números me doy cuenta de lo siguiente:

Para todo primo impar  [texx]p[/texx] :

1.  [texx](p-1)^{(impar)}\equiv\,p-1[/texx] mod p .

2.  [texx](p-1)^{(par)}\equiv\,1[/texx] mod p .

No sé cuál es la explicación. Se cumple también creo para compuestos impares.

Y ahora tenemos lo siguiente (haciendo números también):

1.  Si  [texx](p-1)¡[/texx]  para  [texx]p\equiv\,1[/texx] mod 4 .  Encontraremos  [texx]\dfrac{p-1}{4}[/texx]  parejas congruentes con  [texx]p-1[/texx] .  Como este número de parejas es impar y el resto de parejas que quedan, multiplicadas entre sí, son congruentes con 1 Módulo  [texx]p[/texx] .  Entonces el resultado será congruente con  [texx]p-1[/texx]  elevado a un número impar y la conclusión es la que dice el Teorema de Wilson: Que   [texx](p-1)¡[/texx]  será congruente con  [texx]p-1[/texx]  Módulo  [texx]p[/texx] .

2.  Si  [texx](p-1)¡[/texx]  para  [texx]p\equiv\,3[/texx] mod 4 .  Nos encontraremos con  [texx]\dfrac{p-1}{2}[/texx]  parejas congruentes con  [texx]p-1[/texx] (todas las parejas posibles). Luego el conjunto de números será congruente con  [texx]p-1[/texx]  elevado a un número impar y el resultado será el del Teorema de Wilson.

Dicho con los vulgares números:

1.  Sea:  [texx]12¡=12\cdot{}11\cdot{\,}10\cdot{\,}9\cdot{\,}8\cdot{\,}7\cdot{\,}6\cdot{\,}5\cdot{\,}4\cdot{\,}3\cdot{\,}2\cdot{\,}1[/texx] .  Entonces:  [texx]12\cdot{1}[/texx]  ,  [texx]6\cdot{2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]4\cdot{3}[/texx]  son congruentes con 12 Módulo 13. Y el resto de números multiplicados entre sí:  [texx]11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 5\equiv\,1[/texx] mod 13 . Luego:  [texx]12¡\equiv\,12^3\cdot 1[/texx] mod 13  [texx]\wedge[/texx]  [texx]12¡\equiv\,12[/texx] mod 13 .

2.  Sea:  [texx]10¡=10\cdot{\,}9\cdot{\,}8\cdot{\,}7\cdot{\,}6\cdot{\,}5\cdot{\,}4\cdot{\,}3\cdot{\,}2\cdot{\,}1[/texx] .  Entonces:  [texx]10\cdot{1}[/texx]  ,  [texx]9\cdot{6}[/texx]  ,  [texx]8\cdot{4}[/texx]  ,  [texx]7\cdot{3}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]5\cdot{2}[/texx]  son congruentes con 10 Módulo 11. Y  [texx]10¡\equiv\,10^5[/texx] mod 11  [texx]\wedge[/texx]  [texx]10¡\equiv\,10[/texx] mod 11 .  Como dice el Teorema de Wilson.


Espero vuestras respuestas. Saludos,


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 22 Diciembre, 2019, 13:13
Hola,

Haciendo números me doy cuenta de lo siguiente:

Para todo primo impar  [texx]p[/texx] :

1.  [texx](p-1)^{(impar)}\equiv\,p-1[/texx] mod p .

2.  [texx](p-1)^{(par)}\equiv\,1[/texx] mod p .

No sé cuál es la explicación. Se cumple también creo para compuestos impares.

De esto ya me he dado cuenta. ¡Qué tonto! Como  [texx]p-1\equiv\,-1[/texx] mod p. Entonces es lo mismo que decir que:  [texx](-1)^{impar}=-1[/texx] mod p   [texx]\wedge[/texx]   [texx](-1)^{par}=1[/texx] mod p .


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 22 Diciembre, 2019, 18:51
Hola. Los casos que no son  [texx]p\equiv 3[/texx] mod 4 ,  no son completamente generalizables. Si se estudia:  [texx]17![/texx] ;  entonces:  [texx]\dfrac{16}{4}\neq{impar}[/texx] .  En este caso en concreto me da (si no me he equivocado), 7 parejas congruentes con -1 y una, la que queda, con 1. Son:  [texx]16\cdot{1}[/texx]  ,  [texx]8\cdot{2}[/texx]  ,  [texx]5\cdot{10}[/texx]  ,  [texx]11\cdot{13}[/texx]  ,  [texx]9\cdot{15}[/texx]  ,  [texx]6\cdot{14}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]7\cdot{12}[/texx] .  Y la que queda congruente con 1 es:  [texx]4\cdot{13}[/texx] .  No sé si todo esto sirve para algo, pero es entretenido.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Luis Fuentes en 22 Diciembre, 2019, 19:03
Hola

 No tengo mucho tiempo ahora, pero el camino que propones Fernando, es muy parecido al habitual (que aparece por ejemplo en Gaussianos). Allí lo que se hace es entre los [texx]1,2,3,\ldots,p-1[/texx] emparejar cada número con su inverso módulo [texx]p[/texx], es decir, emparejar números que verifican [texx]xy=1[/texx] mod [texx]p[/texx]. Tu ahí lo complicas ligeramente analizando los que verifican [texx]xy=-1[/texx], que no es más que emparejar cada número con el opuesto de su inverso; dependiendo de si [texx]p=3[/texx] mod [texx]4[/texx] aparecen o no dos elemento [texx]x[/texx] tal que [texx]x^2=-1[/texx] mod [texx]p.[/texx]

Saludos.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: geómetracat en 23 Diciembre, 2019, 08:24
Muy bien, Fernando. Ese camino sí que lleva a una denostración correcta del teorema de Wilson. Aunque esencialmente ya lo ha dicho todo Luis: es una demostración parecida a la usual pero más enredada, porque debes distinguir casos según si [texx]-1[/texx] es un cuadrado módulo [texx]p[/texx] o no.

Sobre lo que pones en tu mensaje solamente una cosa: en el caso [texx]p \equiv 1 \mod 4[/texx], que es el caso en que [texx]-1[/texx] es un cuadrado módulo [texx]p[/texx], aparecen [texx]\frac{p-3}{2}[/texx] parejas que al multiplicar dan [texx]-1[/texx], y no [texx]\frac{p-1}{4}[/texx] como dices tú. El motivo es que dado un [texx]x \neq 0[/texx] siempre existe un [texx]y[/texx] único módulo [texx]p[/texx] tal que [texx]xy \equiv -1 \mod p[/texx]  (porque todos los elementos no nulos son invertibles módulo [texx]p[/texx] si [texx]p[/texx] es primo) y tenemos que [texx]y \neq x[/texx] (luego forman una pareja) a no ser que [texx]x^2 \equiv -1 \mod p[/texx]. Pero si [texx]p \equiv 1 \mod 4[/texx] hay exactamente dos [texx]x[/texx] tales que [texx]x^2 \equiv -1 \mod p[/texx], y además su producto es [texx]1[/texx].


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 23 Diciembre, 2019, 10:27
Hola. Muchas gracias Luis y geómetracat por las explicaciones. Me ha quedado claro.

Sobre lo que pones en tu mensaje solamente una cosa: en el caso [texx]p \equiv 1 \mod 4[/texx], que es el caso en que [texx]-1[/texx] es un cuadrado módulo [texx]p[/texx], aparecen [texx]\frac{p-3}{2}[/texx] parejas que al multiplicar dan [texx]-1[/texx], y no [texx]\frac{p-1}{4}[/texx] como dices tú. El motivo es que dado un [texx]x \neq 0[/texx] siempre existe un [texx]y[/texx] único módulo [texx]p[/texx] tal que [texx]xy \equiv -1 \mod p[/texx]  (porque todos los elementos no nulos son invertibles módulo [texx]p[/texx] si [texx]p[/texx] es primo) y tenemos que [texx]y \neq x[/texx] (luego forman una pareja) a no ser que [texx]x^2 \equiv -1 \mod p[/texx]. Pero si [texx]p \equiv 1 \mod 4[/texx] hay exactamente dos [texx]x[/texx] tales que [texx]x^2 \equiv -1 \mod p[/texx], y además su producto es [texx]1[/texx].

En lo señalado en rojo tenía especialmente una laguna teórica. Pensaba que 2 elementos eran invertibles en la multiplicación si daban 1, no: -1 . Debo entender entonces que a -1 se le considera también una unidad en el Cuerpo que deben formar este Grupo de números no?

Un saludo,


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: geómetracat en 23 Diciembre, 2019, 10:37
No, no, lo tienes bien entendido: [texx]x[/texx] es invertible si existe un [texx]y[/texx] tal que [texx]xy=yx=1[/texx]. Eso sí: ser invertible es una propiedad de un elemento, no de dos. Si quieres hacer referencia al par puedes decir que ambos elementos son inversos, o que [texx]y[/texx] es el inverso de [texx]x[/texx].

Lo que pasa es que si [texx]x[/texx] es invertible, y [texx]a[/texx] es un elemento cualquiera (en particular esto se aplica a [texx]a=-1[/texx]), existe un único [texx]y[/texx] tal que [texx]xy=a[/texx]. En efecto, basta tomar [texx]y=x^{-1}a[/texx]. Esto es lo que usaba en la frase que has remarcado.

Aunque por otro lado, también es cierto que [texx]-1[/texx] es una unidad en cualquier cuerpo. En general, se define unidad de un anillo como un elemento que es invertible. Como [texx](-1)(-1)=1[/texx], él es su propio inverso, así que [texx]-1[/texx] es invertible.

Es una notación un poco confusa, pero hay que distinguir "ser una unidad" de un anillo (= ser invertible) con la unidad del anillo (que es el [texx]1[/texx]).


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 24 Diciembre, 2019, 07:07

Hola, Fernando.

Hola. Quizás exista una manera alternativa de demostrar el Teorema de Wilson. Os lo propongo como tarea (y esta no se puede buscar por internet -que yo sepa). Yo lo voy a intentar también, pero conozco mis limitaciones. Supongo que hay que utilizar Teoría de Grupos.

Haciendo números me doy cuenta de lo siguiente:

Para todo primo impar  [texx]p[/texx] :

1.  [texx](p-1)^{(impar)}\equiv\,p-1[/texx] mod p .

2.  [texx](p-1)^{(par)}\equiv\,1[/texx] mod p .

No sé cuál es la explicación.


Toda la cuestión de esto radica en que tenemos un número “n” (o “p”) y su anterior y su siguiente, n-1 y n+1.

Lo que se puede usar (que al final va a ser lo mismo que dice en Gaussianos) es que dados tres números consecutivos cualesquiera, éstos pueden tener, como mucho, un factor primo en común, el 2. No pueden ser dos de ellos múltiplos de ningún primo más grande. Para asegurarlo basta contar con la idea que nos da el principio de Dirichlet (el del palomar, que te da la explicación más "visualizable") o simplemente pensar en los restos posibles; es una cuestión de distancias: para que haya dos múltiplos de 3, entre ellos tiene que haber dos números; para que haya dos de cinco, en medio de los dos tiene que haber cuatro...

Así, si “n” es par, al lado tiene dos impares y es coprimo con ellos; si es impar, al lado tiene dos pares y pasa lo mismo.

Por tanto, al considerar n-1, n, n+1, resulta que “n” nunca tiene un factor primo en común con los que están a su lado. A partir de ahí, y considerando que un número nunca divide a otro más pequeño, asumir la verdad del teorema es casi trivial.

Feliz Nochebuena.


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: Fernando Moreno en 24 Diciembre, 2019, 14:49
Hola feriva,

Toda la cuestión de esto radica en que tenemos un número “n” (o “p”) y su anterior y su siguiente, n-1 y n+1.

Lo que se puede usar (que al final va a ser lo mismo que dice en Gaussianos) es que dados tres números consecutivos cualesquiera, éstos pueden tener, como mucho, un factor primo en común, el 2. No pueden ser dos de ellos múltiplos de ningún primo más grande. Para asegurarlo basta contar con la idea que nos da el principio de Dirichlet (el del palomar, que te da la explicación más "visualizable") o simplemente pensar en los restos posibles; es una cuestión de distancias: para que haya dos múltiplos de 3, entre ellos tiene que haber dos números; para que haya dos de cinco, en medio de los dos tiene que haber cuatro...

Así, si “n” es par, al lado tiene dos impares y es coprimo con ellos; si es impar, al lado tiene dos pares y pasa lo mismo.

Por tanto, al considerar n-1, n, n+1, resulta que “n” nunca tiene un factor primo en común con los que están a su lado. A partir de ahí, y considerando que un número nunca divide a otro más pequeño, asumir la verdad del teorema es casi trivial.

Feliz Nochebuena.

No entiendo lo que dices. Pareces intentar resolver el problema por divisibilidad, sin acudir a congruencias. Tampoco creo que sea un problema tan trivial, como dices. Cuando tengas tiempo si quieres muéstrame tu método por ejemplo con el primo: 11; para  [texx]10¡[/texx] .  Me voy ya para la cena. Feliz Nochebuena


Título: Re: UTF N=3; esbozo de ataque.
Publicado por: feriva en 24 Diciembre, 2019, 14:52
Hola feriva,

Toda la cuestión de esto radica en que tenemos un número “n” (o “p”) y su anterior y su siguiente, n-1 y n+1.

Lo que se puede usar (que al final va a ser lo mismo que dice en Gaussianos) es que dados tres números consecutivos cualesquiera, éstos pueden tener, como mucho, un factor primo en común, el 2. No pueden ser dos de ellos múltiplos de ningún primo más grande. Para asegurarlo basta contar con la idea que nos da el principio de Dirichlet (el del palomar, que te da la explicación más "visualizable") o simplemente pensar en los restos posibles; es una cuestión de distancias: para que haya dos múltiplos de 3, entre ellos tiene que haber dos números; para que haya dos de cinco, en medio de los dos tiene que haber cuatro...

Así, si “n” es par, al lado tiene dos impares y es coprimo con ellos; si es impar, al lado tiene dos pares y pasa lo mismo.

Por tanto, al considerar n-1, n, n+1, resulta que “n” nunca tiene un factor primo en común con los que están a su lado. A partir de ahí, y considerando que un número nunca divide a otro más pequeño, asumir la verdad del teorema es casi trivial.

Feliz Nochebuena.

No entiendo lo que dices. Pareces intentar resolver el problema por divisibilidad, sin acudir a congruencias. Tampoco creo que sea un problema tan trivial, como dices. Cuando tengas tiempo si quieres muéstrame tu método por ejemplo con el primo: 11; para  [texx]10¡[/texx] .  Me voy ya para la cena. Feliz Nochebuena

No todo es congruencias en la vida :)

https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_del_palomar

Viene a ser muy parecido divisibilidad, congruencias, modularidad... pero dependiendo de qué problemas se ven las cosas mejor de una manera u otra.

Si dos números, “a,b” están a una distancia “d”, su mcd, como mucho, es “d”. Si tuvieran un factor común mayor que “d”, querría decir que son dos representantes distintos de ese número, de ese factor; y que, por tanto, su distancia sería un múltiplo también de dicho entero. Con eso se puede justificar y visualizar perfectamente que dos números consecutivos son coprimos; por ser su distancia 1. Y dicho así no cabe hablar de congruencias, porque no estamos considerando ningún módulo en concreto; no hace falta, esto es general independiéntemente de la multiplicidad de “a,b”; y también de que uno de ellos esté a la izquierda y otro a la derecha (lo mismo pasa si es n+1 que n-1; no hay que dar vueltas al signo).

Ahora, si escribimos el factorial así [texx](n-1)!=k(n-1)
 [/texx]

y consideramos que un factor de “n” divide a

[texx]k(n-1)
 [/texx]

ya hemos justificado que no divide a “n-1”, luego tendría que dividir a “k”.

Si segudiamente consideramos que divide a

[texx]k(n-1)+1=
 [/texx]

[texx]kn-k+1=
 [/texx]

[texx]kn-(k-1)
 [/texx]

resulta que también tiene que dividir al (k-1); donde “k”, análogamente a lo que ocurría con “n”, es el siguiente de éste, luego es imposible.


Feliz Navidad