Matemática => Teorema de Fermat => Mensaje iniciado por: Fernando Moreno en 24/11/2019, 16:17:43 pm



Título: Intento UTF3 por contradicción
Publicado por: Fernando Moreno en 24/11/2019, 16:17:43 pm
Hola,

Supongo que:  [texx]x^3+y^3+z^3=0[/texx] ;  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros usuales, coprimos 2 a 2 y uno de ellos par.

Sabemos que  [texx]3[/texx] ,  que es un primo de Sophie Germain, debe dividir a una de estas varibles  ([texx]x,y,z[/texx]) .  Supongamos que  [texx]z^3[/texx]  no es múltiplo de 3. Entonces:  [texx]-z^3=x^3+y^3\,=\,(x+y)(x+\omega y)(x+\omega^2 y)[/texx] ,  para  [texx]\omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}[/texx] .  Y :  " [texx]x+\omega y[/texx] " ,  por ejemplo, será un cubo en  [texx]\mathbb{Z}[\omega][/texx]  tal que:  [texx]\epsilon(p+\omega q)^3=x+\omega y[/texx] ;  para  [texx]\epsilon[/texx]  una "unidad" -y-  [texx]p,q[/texx]  enteros y coprimos. Las unidades en  [texx]\mathbb{Z}[\omega][/texx]  son:  [texx]\pm 1[/texx]  ,  [texx]\pm\omega[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]\pm\omega^2[/texx] . 

Lema 1:  Dado:  [texx]x^3+y^3+z^3=0[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros.  [texx]3[/texx]  solamente divide a la variable que es par.

Demostración:

Caso 1. Las unidades son:  [texx]\pm 1[/texx] .

[texx]\pmb{x+\omega y}=\pm\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\,(p^3+q^3+(3p^2q-3pq^2)\omega-3pq^2)\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega)[/texx]   [texx]\Rightarrow[/texx]   [texx]x=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2)[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]y=\pm\,(3pq (p-q))[/texx] .

Caso 2. Las unidades son:  [texx]\pm\omega[/texx] .

[texx]\pmb{x+\omega y}=\pm\omega\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\omega\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\omega\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega)[/texx] .  Si ahora divido a ambos lados de la igualdad entre  [texx]\omega[/texx] .  Tendré:  [texx]x\omega^2+y=-x\omega+y-x\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega)[/texx]   [texx]\Rightarrow[/texx]   [texx]y-x=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2)[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]-x=\pm\,(3pq(p-q))[/texx] .

Caso 3: Las unidades son:  [texx]\pm\omega^2[/texx] .

[texx]\pmb{x+\omega y}=\pm\omega^2\,(p+\omega q)^3\,=\,\pm\omega^2\,(p^3+\omega 3p^2 q+\omega^2 3p q^2+\omega^3 q^3)\,=\,\pm\omega^2\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega)[/texx] .  Y si ahora divido a ambos lados de la igualdad entre  [texx]\omega^2[/texx] .  Tendré:  [texx]x\omega+y\omega^2=(x-y)\omega-y\,=\,\pm\,(p^3+q^3-3pq^2+3pq(p-q)\omega)[/texx]   [texx]\Rightarrow[/texx]   [texx]-y=\pm\,(p^3+q^3-3pq^2)[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]x-y=\pm\,(3pq(p-q))[/texx] .


En el Caso 1,  " [texx]3[/texx] "  divide á  " [texx]y[/texx] "  -y-  " [texx]y[/texx] "  es par puesto que  [texx]p[/texx]  ó  [texx]q[/texx]  debe ser par; o si son los dos impares, es par:  [texx]p-q[/texx] .

En el Caso 2,  " [texx]3[/texx] "  divide á  " [texx]x[/texx] "  -y-  " [texx]x[/texx] "  es par puesto que  [texx]p[/texx]  ó  [texx]q[/texx]  debe ser par; o si son los dos impares, es par:  [texx]p-q[/texx] .

El Caso 3  no podría darse. Pues si  [texx]x-y[/texx]  es múltiplo de 2 y 3, significa que no lo son ni  " [texx]x[/texx] " ,  ni  " [texx]y[/texx] "  -y-  tampoco  " [texx]z[/texx] " ;  puesto que no podría serlo:  [texx]x+y[/texx] .


Partamos ahora de:  [texx]-z^3=x^3+y^3[/texx] . Y supongamos, sin perder generalidad, que la variable par es  " [texx]x[/texx] " .  Entonces  [texx]27[/texx] ,  como mínimo, debe dividir á  [texx]x^3[/texx] .

Como:  [texx]x+y=2s[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x-y=2t[/texx] ;  pues  [texx]x\,\wedge\,y[/texx]  son impares. Y :  [texx]x+y[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x-y[/texx]  son coprimos salvo por  " [texx]2[/texx] " ;  entonces:  [texx]s=\dfrac{x+y}{2}[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]t=\dfrac{x-y}{2}[/texx]  serán coprimos; siendo además una de las dos:  [texx]s\,\vee\,t[/texx] ,  divisible entre 2. Pues si  [texx]2s\,\vee\,2t[/texx]  es congruente con 2 Módulo 4, el otro será congruente con 0 Módulo 4. Si despejo  " [texx]x[/texx] "  e  " [texx]y[/texx] " ,  tendré que:  [texx]x=s+t[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=s-t[/texx] .  Y de esta manera:  [texx]-z^3=(s+t)^3+(s-t)^3[/texx]   [texx]\Rightarrow[/texx]   [texx]-z^3=2s(s^2+3t^2)[/texx] .

Como  [texx]3[/texx]  no divide á  " [texx]s[/texx] "  entonces  " [texx]2s[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]s^2+3t^2[/texx] "  serán coprimos y terceras potencias. De esta manera:  [texx]s^2+3t^2=(s+\sqrt{-3}t)(s-\sqrt{-3}t)[/texx] .  Y si sumo:  [texx]s+\sqrt{-3}t\,\pmb{+}\,s-\sqrt{-3}t=2s[/texx] ;  -y- resto: [texx]s+\sqrt{-3}t\,\pmb{-}\,s+\sqrt{-3}t=2\sqrt{-3}[/texx] .  Nos damos cuenta que  " [texx]2s[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]2\sqrt{-3}[/texx] "  son coprimos en  [texx]\mathbb{Z}[\omega][/texx]  salvo por  [texx]2[/texx] ;  que es un primo en este anillo especial de enteros. Pero  " [texx]4[/texx] "  no divide á  [texx]s^2+3t^2[/texx] ,  que es impar. Luego este factor no lo tienen -y-  " [texx]s+\sqrt{-3}t[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]s-\sqrt{-3}t[/texx] "  serán coprimos y terceras potencias en  [texx]\mathbb{Z}[\omega][/texx] .  Como  " [texx]3[/texx] "  en este anillo es:  [texx]-\omega^2\lambda^2[/texx] ,  para:  [texx]”\lambda"=\omega-1[/texx]  -y- éste último es primo en  [texx]\mathbb{Z}[\omega][/texx] .  Entonces tendré que:  [texx]s+\sqrt{-3}t=s+\omega\lambda t[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]s-\sqrt{-3}t=s-\omega\lambda t[/texx] .  Esto es, tendremos:  [texx]s+\omega\lambda t+s-\omega\lambda t=2s[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]"s+\omega\lambda t"+"s-\omega\lambda t”-"2s"=0[/texx] .  Donde:  " [texx]s+\omega\lambda t[/texx] " , " [texx]s-\omega\lambda t[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]-2s[/texx] "  son cubos perfectos, como hemos visto, en  [texx]\mathbb{Z}[\omega][/texx] . 

Lema 2:  Si  " [texx]\lambda[/texx] "  no divide a un entero de Eisenstein que es un cubo perfecto; entonces es congruente con  [texx]\pm 1[/texx]  Módulo 9 .

Demostración:

Me basaré en cómo lo hace Carlos Ivorra aquí (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=82024.msg328482#msg328482).

Supongamos que  [texx]\lambda[/texx]  no divide a un entero de Eisenstein de la forma  [texx]a+\omega b[/texx] ,  para  [texx]a,b[/texx]  enteros. Módulo 3, será el resultado de reducir  [texx]a,b[/texx]  módulo 3. Y tendré:  [texx]1+\omega[/texx]  ,  [texx]-1-\omega[/texx]  ,  [texx]1-\omega[/texx]  ,  [texx]-1+\omega[/texx]  ,  [texx]\pm 1[/texx]  ,  [texx]\pm\omega[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]0[/texx] .  Como hemos dicho que  [texx]\lambda[/texx]  no divide á  [texx]a+\omega b[/texx] ,  no será congruente con:  [texx]1-\omega[/texx]  ,  [texx]-1+\omega[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]0[/texx] .  Y lo que me queda ya entonces son "unidades", pues:  [texx]1+\omega=-\omega^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]-1-\omega=\omega^2[/texx] .  Luego tenemos que:  [texx]a+\omega b\equiv\,\epsilon\,\,mod\,\,3[/texx] .  Pero esto es lo mismo que decir que:  [texx]a+\omega b-\epsilon=3\alpha[/texx] ,  para  [texx]\alpha[/texx]  un entero de Eisenstein. Por lo tanto:  [texx]a+\omega b=3\alpha+\epsilon[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](a+\omega b)^3=(3\alpha+\epsilon)^3\,=\,27\alpha^3+27\alpha^2\epsilon+9\alpha\epsilon^2+\epsilon^3[/texx] .  Por lo que:  [texx](a+\omega b)^3\equiv\,\epsilon^3\,\,mod\,\,9[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   " [texx]\epsilon^3[/texx] "  es siempre igual á  [texx]\pm 1[/texx] , sea cuál sea la unidad de  [texx]\mathbb{Z}[\omega][/texx] .

Pero como  " [texx]\lambda[/texx] "  no divide á  " [texx]s+\omega\lambda t[/texx] "  ni á  " [texx]s-\omega\lambda t[/texx] "  ni á  " [texx]2s[/texx] " ;  puesto que  " [texx]3[/texx] "  no divide á  " [texx]s[/texx] “  y todos son terceras potencias. Entonces tendremos que, Módulo 9:  [texx]"s+\omega\lambda t"+"s-\omega\lambda t”-"2s"=0[/texx]   [texx]\Rightarrow[/texx]   [texx]\pm 1\pm 1\pm 1\not\equiv\,0\,\,mod\,9[/texx] .  Lo que es una contradicción.


Un saludo,


Título: Re: Intento UTF3 por contradicción
Publicado por: Fernando Moreno en 25/11/2019, 18:27:05 pm
Hola,

Pues la anterior demostración va a ser que no. Me acabo de dar cuenta de que si tengo:  [texx]-z^3=2s(s^2+3t^2)[/texx] .  Entonces  " [texx]2[/texx] "  divide á  " [texx]z[/texx] " .  Luego  " [texx]z[/texx] "  es par y múltiplo de  [texx]3[/texx] . 

¡Qué pena!  Intentaré arreglarlo pero me parece que no va a ser posible

 ..Claro, es que ni  [texx]x+y=2s[/texx]  ni  [texx]x-y=2t[/texx]  etc.  jaja  Esto parece un error de corta y pega (de otra demostración) que ha hecho mi mente  ;D