Matemática => Lógica => Mensaje iniciado por: Jambo en 03/11/2019, 19:30:49



Título: Dudas sobre semántica (y derivaciones)?
Publicado por: Jambo en 03/11/2019, 19:30:49
Hola!

Estoy haciendo unos ejercicios y al ver las soluciones me surgieron dudas; el ejercicio es el siguiente:

En este ejercicio trabajaremos con el tipo de similaridad [texx]<2;2;0>[/texx] y un alfabeto con simbolo de predicado [texx]P[/texx] y simbolo de funcion [texx]f[/texx].
Se consideran las siguientes sentencias: [texx]\alpha_1 = (\forall{x})P(x,x)[/texx], [texx]\alpha_2 = (\forall{x})(\forall{y})(P(x,y)\rightarrow{}P(y,x)\rightarrow{x=y})[/texx], [texx]\beta_1 = (\forall{x})(f(x,x)=x)[/texx] , [texx]\beta_2 = (\forall{x})(\forall{y})(f(x,y)=f(y,x))[/texx] y [texx]\gamma  = (\forall{x})(\forall{y})(P(x,y)\leftrightarrow{f(x,y)=x})[/texx]

En cierta parte del ejercicio me piden probar que [texx]\beta_1 , \beta_2, \gamma \models \alpha_1[/texx]. Yo, aplicando Completitud y correctitud, demostré que [texx]\beta_1 , \beta_2, \gamma \vdash \alpha_1[/texx], pero en las soluciones utilizan el teorema 2.4.5 (adjunto notas), pero antes dicen que [texx]\beta_1 , \gamma \models \alpha_1 \Rightarrow{} \beta_1 , \beta_2, \gamma \models \alpha_1[/texx] y no entiendo porque se puede excluir [texx]\beta_2[/texx]  ???

En otra parte del ejercicio me preguntan si [texx]\left\{{\beta_1,\beta_2,\gamma,\neg \alpha_2}\right\}[/texx] tiene o no tiene modelo. La respuesta es que no tiene modelo, y yo lo que intente demostrar es que dicho conjunto deriva [texx]\bot[/texx], el problema es que no sé si esta bien dicho razonamiento (y tampoco estoy pudiendo hacer la derivacion  :'().

Agradezco cualquier ayuda que me puedan brindar :)

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