Matemática => Estructuras algebraicas => Mensaje iniciado por: Julio_fmat en 12/10/2019, 10:42:35 pm



Título: Subgrupo normal y cociente
Publicado por: Julio_fmat en 12/10/2019, 10:42:35 pm
Sea [texx]G=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}[/texx] y [texx]H=\{(x,y)\in G: x,y\, \, \text{son pares}\}[/texx]. Probar que [texx]H[/texx] es un subgrupo normal de [texx]G[/texx] y encontrar los elementos de [texx]G/H.[/texx]

Hola, por Teorema sabemos que un subgrupo es normal si [texx]a*h*a^{-1}\in H, \forall a\in G, \forall h\in H.[/texx]



Título: Re: Subgrupo normal y cociente
Publicado por: Fernando Revilla en 13/10/2019, 07:04:55 am
Sea [texx]G=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}[/texx] y [texx]H=\{(x,y)\in G: x,y\, \, \text{son pares}\}[/texx]. Probar que [texx]H[/texx] es un subgrupo normal de [texx]G[/texx] y encontrar los elementos de [texx]G/H.[/texx]

Es inmediato verificar que  [texx]H[/texx] es subgrupo, que además es normal por ser [texx]G[/texx] abeliano.
Todo elemento de [texx]G/H[/texx] es de la forma [texx][(m,n)]=(m,n)+H=\{(m,n)+(2k,2s)\}[/texx] con [texx]m,n,k,s[/texx] enteros.