Matemática => Estructuras algebraicas => Mensaje iniciado por: Julio_fmat en 12/10/2019, 10:31:27 pm



Título: Subgrupo normal de G
Publicado por: Julio_fmat en 12/10/2019, 10:31:27 pm
Sea [texx](G,*)[/texx] un grupo y [texx]\text{diag}(G)=\{(g,g): g\in G\}\subset G\oplus G.[/texx] Probar que [texx]\text{diag}(G)[/texx] es un subgrupo normal de [texx]G\oplus G[/texx] si y solo si [texx](G,*)[/texx] es abeliano. Si [texx](G,*)[/texx] es finito, encontrar el indice de [texx]\text{diag}(G)[/texx] en [texx]G\oplus G.[/texx]


Título: Re: Subgrupo normal de G
Publicado por: Luis Fuentes en 13/10/2019, 03:38:37 pm
Hola

Sea [texx](G,*)[/texx] un grupo y [texx]\text{diag}(G)=\{(g,g): g\in G\}\subset G\oplus G.[/texx] Probar que [texx]\text{diag}(G)[/texx] es un subgrupo normal de [texx]G\oplus G[/texx] si y solo si [texx](G,*)[/texx] es abeliano. Si [texx](G,*)[/texx] es finito, encontrar el indice de [texx]\text{diag}(G)[/texx] en [texx]G\oplus G.[/texx]

Si el grupo es abeliano es inmediato que el subgrupo es normal.

Recíprocamente si es normal entonces [texx](h,1)^{-1}(g,g)(h,1)\in diag(G)[/texx] para todo [texx]h,g\in G[/texx].

Es decir:

Si es normal entonces [texx](h^{-1}gh,g)\in diag(G)[/texx] para todo [texx]h,g\in G[/texx]. Equivalentemente [texx]h^{-1}gh=g[/texx].

En cuanto al índice ten en cuenta que para grupos cocientes el índice de un subgrupo es el orden del grupo dividido entre el orden del subgrupo.

Saludos.


Título: Re: Subgrupo normal de G
Publicado por: Julio_fmat en 14/10/2019, 08:24:27 pm
Hola

Sea [texx](G,*)[/texx] un grupo y [texx]\text{diag}(G)=\{(g,g): g\in G\}\subset G\oplus G.[/texx] Probar que [texx]\text{diag}(G)[/texx] es un subgrupo normal de [texx]G\oplus G[/texx] si y solo si [texx](G,*)[/texx] es abeliano. Si [texx](G,*)[/texx] es finito, encontrar el indice de [texx]\text{diag}(G)[/texx] en [texx]G\oplus G.[/texx]

Si el grupo es abeliano es inmediato que el subgrupo es normal.

Recíprocamente si es normal entonces [texx](h,1)^{-1}(g,g)(h,1)\in diag(G)[/texx] para todo [texx]h,g\in G[/texx].

Es decir:

Si es normal entonces [texx](h^{-1}gh,g)\in diag(G)[/texx] para todo [texx]h,g\in G[/texx]. Equivalentemente [texx]h^{-1}gh=g[/texx].

En cuanto al índice ten en cuenta que para grupos cocientes el índice de un subgrupo es el orden del grupo dividido entre el orden del subgrupo.

Saludos.

Muchas gracias, me ha quedado claro.  :aplauso:

Saludos.