Matemática => Estructuras algebraicas => Mensaje iniciado por: Julio_fmat en 12 Octubre, 2019, 20:01



Título: Homomorfismo inyectivo 2
Publicado por: Julio_fmat en 12 Octubre, 2019, 20:01
Sea [texx](G,*)[/texx] un grupo finito abeliano. Probar que la función [texx]G\to G[/texx] definida por [texx]a\mapsto a^2[/texx] es un homomorfismo inyectivo si y solo si el orden [texx]\left |{G}\right |[/texx] de [texx]G[/texx] es impar.

Hola, no entiendo la frase "el orden [texx]\left |{G}\right |[/texx] de [texx]G[/texx] es impar". Hay que demostrar dos implicaciones.


Título: Re: Homomorfismo inyectivo 2
Publicado por: geómetracat en 12 Octubre, 2019, 20:15
La frase que dices que no entiendes lo único que dice es que el grupo [texx]G[/texx] tiene un número impar de elementos.

Hay diversas maneras de hacer el ejercicio. Una elemental es la siguiente.
Si el orden de [texx]G[/texx] es par, entonces tiene un elemento de orden par, y de aquí es fácil ver que existe un elemento distinto de la identidad tal que su cuadrado es la identidad, luego la aplicación que te dan no es inyectiva.
Recíprocamente, si el orden de [texx]G[/texx] es impar y [texx]a^2=1[/texx], entonces necesariamente [texx]a=1[/texx], pues en caso contrario tendrías un elemento de orden [texx]2[/texx], contradiciendo el teorema de Lagrange.