Matemática => Álgebra => Mensaje iniciado por: natydlv en 11/08/2019, 19:11:12 pm



Título: Proporcionar valor de p
Publicado por: natydlv en 11/08/2019, 19:11:12 pm
Hola compañeros, me podrán ayudar con este ejercicio? Es con el teorema fundamental.

Consigna: dar el valor de [texx]p[/texx] si una raíz de la ecuación [texx]x^3-5x^2+qx+p=0[/texx] es [texx]2+i[/texx] con [texx]p,q \in{\mathbb{}}\mathbb{R}[/texx]

Avances:

si [texx]2+i[/texx] es raíz entonces [texx]2-i[/texx] también lo es

[texx]P(x)=[(x-(2+i))\cdot{(x-(2-i))}]\cdot{Q(x)}[/texx]
[texx]P(x)=(x^2-4x+5)\cdot{Q(x)}[/texx]

desde aquí no se como continuar... alguna idea? Saludos


Título: Re:Hallar el valor de \(p\) si \(2+i\) es raíz de la ecuación \(x^3-5^2+qx+p=0\)
Publicado por: manooooh en 11/08/2019, 21:40:57 pm
Hola

Consigna: dar el valor de [texx]p[/texx] si una raíz de la ecuación [texx]x^3-5^2+qx+p=0[/texx] es [texx]2+i[/texx] con [texx]p,q \in{\mathbb{}}[/texx]

Revisá bien el enunciado porque [texx]-5^2[/texx] no parece tener mucha coherencia y además ¿a qué conjunto pertenecen [texx]p,q[/texx]?

si [texx]2+i[/texx] es raíz entonces [texx]2-i[/texx] también lo es

Creo que está bien. Debe ser un teorema: si el polinomio tiene coeficientes reales entonces las soluciones complejas vienen de a "pares".

[texx]P(x)=[(x-(2+1))\cdot{(x-(2-i))}]\cdot{Q(x)}[/texx]
[texx]P(x)=(x^2-4x+5)\cdot{Q(x)}[/texx]

desde aquí no se cómo continuar... ¿alguna idea?

Está bien lo que planteaste (es [texx](2+i)[/texx] no [texx](2+1)[/texx]) pero no sé si podemos concluir algo.

Como [texx]2+i[/texx] es raíz de [texx]k(x)=x^3-5^2+qx+p[/texx] luego [texx]k(2+i)=0[/texx]. También es [texx]k(2-i)=0[/texx]. Entonces:

[texx]\left\{\begin{aligned}&k(2+i)=0\\&k(2-i)=0\end{aligned}\right.\iff
\left\{\begin{aligned}&(2+i)^3-25+q(2+i)+p=0\\&(2-i)^3-25+q(2-i)+p=0\end{aligned}\right.[/texx]

Tenés un sistema de ecuaciones lineales de [texx]2\times2[/texx], podés hallar [texx]p[/texx] (incluso [texx]q[/texx]).

Saludos

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Título: Re: proporcionar valor de p
Publicado por: hméndez en 12/08/2019, 00:34:58 am
Hola compañeros, me podrán ayudar con este ejercicio? Es con el teorema fundamental.

Consigna: dar el valor de [texx]p[/texx] si una raíz de la ecuación [texx]x^3-5^2+qx+p=0[/texx] es [texx]2+i[/texx] con [texx]p,q \in{\mathbb{}}[/texx]

Avances:

si [texx]2+i[/texx] es raíz entonces [texx]2-i[/texx] también lo es

[texx]P(x)=[(x-(2+1))\cdot{(x-(2-i))}]\cdot{Q(x)}[/texx]
[texx]P(x)=(x^2-4x+5)\cdot{Q(x)}[/texx]


desde aquí no se como continuar... alguna idea? Saludos


Creo que la mejor idea (por ser elemental y rápida) es la siguiente:
Con la división del polinomio [texx]x^3+0x^2+qx+p-5^2[/texx] entre [texx]x^2-4x+5[/texx]  (división larga o euclídea)
tendrás [texx]Q(x)[/texx] (de grado 1) y de inmediato sabrás cuál es la tercera raíz de la ecuación (si te interesa), además tendrás
una expresión para el resto en términos de p y q de la que podrás obtener sus valores imponiendo que sea idénticamente nula.

Esto es:

[texx]Q(x)=x+4[/texx]

resto [texx]r(x)=(16+q-5)x+p-5^2-20[/texx]
 

Saludos


Título: Re: Proporcionar valor de p
Publicado por: geómetracat en 12/08/2019, 03:58:29 am
Otra solución (así tienes un montón donde escoger).
Es fácil ver que si [texx]r_1,r_2,r_3[/texx] son las tres raíces del polinomio, tienes que:
[texx]p = -r_1r_2r_3[/texx]
y el coeficiente de [texx]x^2[/texx] es:
[texx]-5 = -(r_1+r_2+r_3)[/texx].
Esto lo puedes ver escribiendo el polinomio como
[texx](x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)[/texx]
y desarrollando.

Ahora, sabes que una raíz es [texx]r_1=2+i[/texx], y por lo que ya se ha comentado de los polinomios con coeficientes reales, otra debe ser [texx]r_2=2-i[/texx].
De las ecuaciones de antes puedes sacar [texx]r_3[/texx] y luego [texx]p[/texx] muy fácilmente.


Título: Re: Proporcionar valor de p
Publicado por: natydlv en 13/08/2019, 14:48:20 pm
Gracias compañeros. Modifique los datos que estaban mal en el posteo inicial. Creo que por ahora voy a optar por el camino de manooooo, puesto que me resulta mas amigable usar ecuaciones.