Matemática => Estructuras algebraicas => Mensaje iniciado por: Julio_fmat en 13/07/2019, 09:09:26 pm



Título: Grupo de Galois
Publicado por: Julio_fmat en 13/07/2019, 09:09:26 pm
Calcule el grupo de Galois de la extension [texx]\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \varepsilon)[/texx] en donde [texx]\varepsilon=e^{2\pi i/3}[/texx].

Hola, la solucion es [texx]\text{Gal}(K/k)=\left<{\sigma, \tau}\right>\cong S_3[/texx], pero mis dudas son... En que momento [texx]\varepsilon[/texx] es raiz de [texx]x^2+x+1=0[/texx]?


Título: Re: Grupo de Galois
Publicado por: geómetracat en 14/07/2019, 06:02:32 am
Una manera sencilla es ver que [texx]x^3 -1 = (x-1)(x^2+x+1)[/texx]. Como [texx]\epsilon[/texx] es raíz cúbica de la unidad, es raíz de [texx]x^3-1[/texx]. Pero como [texx]\epsilon \neq 1[/texx], debe ser raíz de [texx]x^2+x+1[/texx].