Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: elimogo en 13/07/2019, 03:47:22 pm



Título: Función convexa medible
Publicado por: elimogo en 13/07/2019, 03:47:22 pm
Sea [texx](\Omega,\mathcal{A},\mu)[/texx] un espacio medible, y
i)  [texx]g:\Omega\rightarrow{I}[/texx] una función tal que [texx]g\in{L^\infty (\mu)}[/texx].
ii) [texx]\varphi:I\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] una función convexa.

Demuestre que [texx]\varphi[/texx] es medible.


Título: Re: Función convexa medible
Publicado por: Luis Fuentes en 18/07/2019, 05:42:38 am
Hola

Sea [texx](\Omega,\mathcal{A},\mu)[/texx] un espacio medible, y
i)  [texx]g:\Omega\rightarrow{I}[/texx] una función tal que [texx]g\in{L^\infty (\mu)}[/texx].
ii) [texx]\varphi:I\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx] una función convexa.

Demuestre que [texx]\varphi[/texx] es medible.

No estoy seguro de si hay alguna errata en tu pregunta, porque la función [texx]g[/texx] no parece intervenir en nada.

Una función convexa es medible, porque [texx]f^{-1}((-\infty,a))[/texx], por convexidad, es vacío o un intervalo.

Fíjate que si [texx]x,y\in f^{-1}((-\infty,a))[/texx] entonces [texx]f(x),f(y)<a[/texx]. Pero entonces para cualquier punto intermedio [texx]z=tx+(1-t)y[/texx] se tiene que:

[texx]f(z)=f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)<ta+(1-t)a=a\quad \Rightarrow{}\quad z\in f^{-1}((-\infty,a))[/texx]

Saludos.


Título: Re: Función convexa medible
Publicado por: elimogo en 20/07/2019, 06:20:42 pm
Si, disculpe, es asi, la función [texx]g(x)\in{I}
[/texx]. Si puede responder esta pregunta, Si ella es convexa es continua en el interior de [texx]I[/texx], y alli ella es medible por ser continua, tambien es localmente acotada. Pero, en los extremos puede no ser continua pero tales extremos tienen medida cero. Puedo concluir que ella es esencialmente acotada? gracias de antemano. 


Título: Re: Función convexa medible
Publicado por: Luis Fuentes en 22/07/2019, 04:58:48 am
Hola

Si, disculpe, es asi, la función [texx]g(x)\in{I}
[/texx]. Si puede responder esta pregunta, Si ella es convexa es continua en el interior de [texx]I[/texx], y alli ella es medible por ser continua, tambien es localmente acotada. Pero, en los extremos puede no ser continua pero tales extremos tienen medida cero. Puedo concluir que ella es esencialmente acotada? gracias de antemano. 

Por favor, intenta concentrarte en plantear bien la pregunta. No le veo sentido tal como está.

Se supone que [texx]g[/texx] es una función de [texx]\Omega[/texx] (espacio medible) en [texx]I[/texx]. No tiene sentido hablar de su convexidad porque a prioiri [texx]\omega[/texx] no tiene porque ser un espacio vectorial.

Entonces intenta escribir de la manera más precisa posible las hipótesis en que te mueves y la pregunta exacta que quieres hacer.

Como comentario general, lo que ocurre en un conjunto de medida cero no influye en el hecho de ser esencialmente acotado.

Saludos.