Matemática => Teoría de Conjuntos => Mensaje iniciado por: Francolino en 13/07/2019, 06:40:39 am



Título: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: Francolino en 13/07/2019, 06:40:39 am
Hola.

Quería saber si la siguiente afirmación es verdadera o falsa.

Afirmación: Sean [texx]A,B[/texx] dos conjuntos. [texx]A\subseteq{} B \Rightarrow{} f(A) \subseteq{} f(B)[/texx] donde [texx]f[/texx] es una función cualquiera.

Intuitivamente creo que sí lo es pero no he sabido cómo probarlo.

Saludos y gracias.


Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: geómetracat en 13/07/2019, 09:51:41 am
Es cierta. Supón que [texx]A \subseteq B[/texx] y vamos a ver que [texx]f(A) \subseteq f(B)[/texx].
Si [texx]y \in f(A)[/texx], existe un [texx]x \in A[/texx] tal que [texx]y=f(x)[/texx]. Como [texx]A \subseteq B[/texx] y [texx]x \in A[/texx], tenemos que [texx]x \in B[/texx], luego [texx]y=f(x) \in f(B)[/texx]. Esto prueba que [texx]f(A) \subseteq f(B)[/texx].


Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: Francolino en 14/07/2019, 11:28:40 am
Hola geómetracat y gracias por responder. :)

Cuando intenté hacer la prueba razoné de forma análoga a la tuya, sin embargo descarté el escenario dado que [texx]f[/texx] recibe como argumento un conjunto, pero al decir [texx]y=f(x) \in f(B)[/texx] veo un conflicto de tipos dado que [texx]x[/texx] es simplemente un elemento; y es por esto que la prueba no me termina de convencer.  ???

Saludos.


Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: sugata en 14/07/2019, 12:44:20 pm
Pero [texx]x [/texx] es un elemento genérico, de ahí que funcione la solución.
Si [texx]x\in{A}\Rightarrow{}x\in{}B[/texx] por ser [texx]A\subseteq{B}[/texx]


Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: Francolino en 14/07/2019, 12:53:18 pm
Hola sugata y gracias por responder. :)

A lo que me refiero es a lo siguiente: si [texx]B = \{ a_1,\ldots, a_n \}[/texx] entonces [texx]f(x) \in f(\{ a_1,\ldots, a_n \})[/texx], sin embargo [texx]x[/texx] no tiene el mismo tipo que [texx]\{ a_1,\ldots, a_n \}[/texx] por ser este último un conjunto.

Tal vez me estoy entreverando con los tipos de programación, por ejemplo:
Cita
int max(int valor1, int valor2)

En ese caso, ¿cómo es la definición de [texx]f[/texx] aplicada sobre un elemento si por hipótesis sólo tengo la función definida para conjuntos?

Saludos.


Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: sugata en 14/07/2019, 02:03:37 pm
Una función sobre un conjunto es una función sobre cada uno de sus elementos. Si estos pertenecen a dos conjuntos, entonces....


Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: martiniano en 14/07/2019, 03:10:22 pm
Hola.

Básicamente es una cuestión de notación. Lo que utiliza geómetracat está muy extendido y se define de forma natural como: [texx]f(A) =\{f(x) :x\in{A}\} [/texx]

Saludos.



Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: manooooh en 14/07/2019, 03:25:34 pm
Hola

[texx]f(A) =\{f(x) :x\in{A}\} [/texx]

¿o [texx]\{x\in A:f(x)\}[/texx]? ¿Cuál se prefiere, nombrar la condición primero o poner la definición primero?

Saludos y gracias


Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: martiniano en 15/07/2019, 03:05:51 am
Hola manooooh.

La verdad es que no entiendo demasiado bien a qué te refieres.

Dada una aplicación entre dos conjuntos [texx]f:X\rightarrow{Y}[/texx] y un subconjunto [texx]A\subseteq{X}[/texx] se define imagen de [texx]A[/texx] como el subconjunto [texx]f(A)\in{Y} [/texx] formado por las imágenes de los elementos de [texx]A[/texx] eso se suele abreviar como he puesto anteriormente, o si quieres también puedes incluir, en caso de que tengas el conjunto de llegada que [texx]f(x) \in{Y}[/texx].

El conjunto que tu estás dando es un subconjunto del conjunto de salida, ya que está formado por elementos de [texx]A[/texx] y este debe ser un subconjunto de aquél. Por otro lado, después de los dos puntos se suele poner la condición que debe cumplir un [texx]x\in{A}[/texx] para estar en el conjunto que estás definiendo, pero esa condición no queda muy clara sólo con un [texx]f(x) [/texx], ¿no te parece?

Un saludo.


Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: Francolino en 22/07/2019, 03:45:03 am
Hola.

Básicamente es una cuestión de notación. Lo que utiliza geómetracat está muy extendido y se define de forma natural como: [texx]f(A) =\{f(x) :x\in{A}\} [/texx]

Saludos.

Ignoraba esta hecho. Gracias por aclararlo y al resto por participar de la discusión. :)

Saludos.