Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: carixto en 30 Junio, 2019, 14:01



Título: Linealidad
Publicado por: carixto en 30 Junio, 2019, 14:01
Hola..he podido hacer las demas demás demostraciones de la integral..pero no puedo con esta. Les pido ayuda para resolverla.


Título: Re: Linealidad
Publicado por: Masacroso en 30 Junio, 2019, 18:48
Para la primera identidad puedes usar las definiciones analíticas de máximo y mínimo que son

[texx]\displaystyle f\lor g(x)=\frac{f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|}2,\quad f\land g(x)=\frac{f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|}2[/texx]

Para la segunda observa que [texx]f\le g\iff g-f\ge 0[/texx].


Título: Re: Linealidad
Publicado por: Masacroso en 30 Junio, 2019, 20:52
Comprendo algo..pero en si..¿no me podrias explicar como harias tu la 1?

Si [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx] son integrables significa que [texx]\int |f|,\int|g|<\infty[/texx], entonces

[texx]\displaystyle \int |f\lor g|\le\frac12\int |f|+|g|+|f-g|\le\int |f|+|g|<\infty[/texx]

ya que [texx]| f+g+|f-g||\le|f|+|g|+|f-g|\le |f|+|g|+|f|+|g|[/texx], y de ahí lo de arriba.