Matemática => Triángulos => Mensaje iniciado por: Alcornoque en 11/06/2019, 10:08:53 pm



Título: Hallar distancia entre los ortocentros de dos triángulos
Publicado por: Alcornoque en 11/06/2019, 10:08:53 pm
Buenas noches estimad@s,

A continuación les propongo un problema que he tratado de resolver durante varios días, pero aún no encuentro la idea feliz que me lleve a darle solución, así que recurro a este maravilloso foro con ánimo de obtener alguna ayuda.

Un triángulo rectángulo tiene trazada la bisectriz del ángulo recto. Hallar la distancia entre los puntos de intersección de las alturas de los dos triángulos formados, si los catetos del triángulo dado son a y b.

Saludos cordiales.


Título: Re: Hallar distancia entre los ortocentros de dos triángulos
Publicado por: ingmarov en 11/06/2019, 11:54:12 pm
Hola.    Cometí un error, estos resultados no son correctos

Creo que la respuesta debe ser

[texx]Dist=|a-b|[/texx]

Si tienes la respuesta y confirmas resultado, pues lo resolví trabajando con todos los triángulos notables de 45 grados del problema. Además encontrando la longitud de la bisectriz que es la diagonal de un cuadrado. El lado x de este cuadrado mide,

[texx]x=\dfrac{ab}{a+b}[/texx]


Saludos


Título: Re: Hallar distancia entre los ortocentros de dos triángulos
Publicado por: Alcornoque en 12/06/2019, 12:06:15 am
Buenas noches estimado,

En efecto esa es la respuesta, pero no he podido llegar a ella, porque como dices, yo también trabajé con varios triángulos de 45 grados, pero a diferencia tuya ninguno me sugirió una idea para encontrar la distancia pedida, podrías explicarme más al respecto.

Saludos.


Título: Re: Hallar distancia entre los ortocentros de dos triángulos
Publicado por: ingmarov en 12/06/2019, 12:13:43 am
Tengo la solución a mano en una página que me da vergüenza, te envío una foto por un privado y cuando comprendas la solución. Publícala aquí.

Saludos


Título: Re: Hallar distancia entre los ortocentros de dos triángulos
Publicado por: ingmarov en 12/06/2019, 07:10:36 am
Hola

Revisando, creo hay un error en la solución (hay un ortocentro mal ubicado), muy fácil de corregir.
Más tarde publicaré una solución.

Saludos


Título: Re: Hallar distancia entre los ortocentros de dos triángulos
Publicado por: ingmarov en 12/06/2019, 11:52:37 am
Hola

A ver, primero la imagen, aún fea pero...

(http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=109471.0;attach=20991)

Podemos ver el cuadrado de lado x y diagonal bisectriz Dada.

Fuera del cuadrado un par de triángulos rectángulos semejantes completan el triángulo original. Por su semejanza podemos decir que,

[texx]\dfrac{a-x}{x}=\dfrac{x}{b-x}[/texx].   

Despejando x nos queda

[texx]x=\dfrac{ab}{a+b}[/texx].

Entonces sabemos que la diagonal del cuadrado mide

[texx]d=\dfrac{ab}{a+b}\sqrt{2}[/texx]


El cateto del triángulo rectángulo pequeño sombreado en gris mide,

[texx]C1=\dfrac{ab}{a+b}\sqrt{2}-\dfrac{b}{\sqrt{2}}\bf =\dfrac{b(a-b}{\sqrt{2}(a+b)}[/texx]

Por lo que la hipotenusa del mismo mide.
[texx]H1=\bf \dfrac{b(a-b)}{(a+b)}[/texx]


Para el triángulo rectángulo grande sombreado en gris tenemos

[texx]C2=\dfrac{a}{\sqrt{2}}-\dfrac{ab}{a+b}\sqrt{2}\bf =\dfrac{a(a-b}{\sqrt{2}(a+b)}[/texx]

[texx]H2=\bf \dfrac{a(a-b)}{(a+b)}[/texx]

Entonces concluimos [texx]AB=\sqrt{H1^2+H2^2}[/texx]

Terminalo


Título: Re: Hallar distancia entre los ortocentros de dos triángulos
Publicado por: Alcornoque en 17/06/2019, 03:33:58 pm
Buenas tardes,

Excelente tu idea, finalmente yo seguí por un camino diferente, pero aprendí algo con esta solución tuya, no se debe trazar a la ligera la figura...

Saludos cordiales.


Título: Re: Hallar distancia entre los ortocentros de dos triángulos
Publicado por: ingmarov en 17/06/2019, 04:06:20 pm
.. finalmente yo seguí por un camino diferente...


Hola

Sería bueno que nos muestres cómo lo resolviste.

Saludos