Matemática => Cálculo 1 variable => Mensaje iniciado por: lcdeoro en 21/02/2019, 12:31:04 am



Título: Integral impropia y criterio de Cauchy
Publicado por: lcdeoro en 21/02/2019, 12:31:04 am
Sean [texx]f,g: [a, +\infty]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] continuas y [texx]K>0[/texx] tal que [texx]\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x) dx}\right |\leq{K}[/texx] para cualquier [texx]c,d\in{}[a, +\infty][/texx]. Sí [texx]g\in{C^1}[/texx] y decreciente, con [texx]\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{g(x)=0}[/texx]. Probar que existe el límite:

[texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}f(x)g(x) dx=\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)g(t) dt}[/texx].


Bueno, me dan la sugerencia de utilizar el criterio de Cauchy. Donde me piden que muestre lo siguiente: [texx]\forall{\epsilon>0} \ \exists{A>a}[/texx] tal que [texx]A<c<d \ \Longrightarrow{} \left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)g(x)dx}\right |<\epsilon[/texx]

Suponiendo que ya haya demostrado esa sugerencia, es decir, que ya la pueda utilizar como hipótesis, mi pregunta es cómo la utilizo para demostrar la existencia de dicho límite, porque lo que yo puedo ver con esta sugerencia es que [texx]\displaystyle\lim_{x \to{}d}{f(x)g(x)}[/texx] converge, pero no estoy muy seguro si eso sea correcto.
 


Título: Re: Integral impropia y criterio de cauchy
Publicado por: Luis Fuentes en 21/02/2019, 05:53:10 am
Hola

 Una vez que pruebes la sugerencia aquí tienes como terminar:

http://fernandorevilla.es/blog/2015/03/30/criterio-de-cauchy-para-integrales-impropias-en-intervalos-infinitos/

Saludos.

P.D. En el enunciado tienes una errata:

Sean [texx]f,g: [a, +\infty]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] continuas y [texx]K>0[/texx] tal que  [texx]\left |{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) dx}\right |\leq{K}[/texx] para cualquier [texx]c,d\in{}[a, +\infty][/texx]. Sí [texx]g\in{C^1}[/texx] y decreciente, con [texx]\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{g(x)=0}[/texx]. Probar que existe el límite:

Es:  [texx]\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x) dx}\right |\leq{K}[/texx]


Título: Re: Integral impropia y criterio de Cauchy
Publicado por: lcdeoro en 21/02/2019, 07:18:45 pm
Tengo esta idea:

Como [texx]g[/texx] es continua y decreciente y [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=0[/texx] entonces [texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}g(x)[/texx] converge.

Entonces [texx]\forall{\epsilon>0} \ \exists{A>a}[/texx] tal que [texx]A<c<d[/texx] y tenemos que [texx]\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}g(x)dx}\right |<\epsilon[/texx] y por hipotesis tenemos que [texx]\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)dx}\right |\leq{K}[/texx]

Entonces [texx]\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)g(x)dx}\right |\leq{\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)dx}\right |}\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}g(x)dx}\right |<K\epsilon=\epsilon[/texx], si tomamos [texx]\epsilon=\displaystyle\frac{1}{K}[/texx]

Luego por el citerio de cauchy [texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}f(x)g(x)dx[/texx] es convergente, luego el límite existe y es igual a  [texx]\displaystyle\lim_{x \to\infty}{\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)g(t)dt}=\displaystyle\int_{a}^{\infty}f(x)g(x)dx[/texx]

Quién me hace el favor de verificar?


Título: Re: Integral impropia y criterio de Cauchy
Publicado por: Luis Fuentes en 22/02/2019, 06:12:33 am
Hola

Tengo esta idea:

Como [texx]g[/texx] es continua y decreciente y [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=0[/texx] entonces [texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}g(x)[/texx] converge.

Eso es falso. Por ejemplo [texx]g(x)=\dfrac{1}{x}[/texx] es decreciente, cumple [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=0[/texx] y sin embargo [texx]\displaystyle\int_{2}^{\infty}g(x)[/texx] NO converge.

Lo que tienes es que por tener [texx]g(x)[/texx] límite cero en el infinito, dado [texx]\epsilon'>0[/texx] existe [texx]M>0[/texx] tal que:

[texx]x>M\quad \Rightarrow\quad |g(x)|<\epsilon'[/texx]

Entonces tomando [texx]\epsilon'=\epsilon/K[/texx], si [texx]d>c>M[/texx] se tiene que:

[texx]\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)g(x)dx}\right |\leq \epsilon'\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)dx}\right |\leq K\epsilon'=\epsilon[/texx]

Saludos.