Matemática => Geometría sintética (Euclídea, Plana) => Mensaje iniciado por: xxGearAntonioxx en 20/02/2019, 06:22:39 pm



Título: Recta media de trapecio
Publicado por: xxGearAntonioxx en 20/02/2019, 06:22:39 pm
La recta media de un trapecio es la recta que une los puntos medios de los lados no paralelos y es paralelaa las bases del trapecio. ¿Cómo puedo demostrar  que la recta media de un trapecio divide por la mitad a cualquier segmentoque une puntos de sus bases?


Título: Re: Recta media de trapecio
Publicado por: GaToMi en 20/02/2019, 07:00:21 pm
Hola.

Este problema me ha aparecido hartas veces pero nunca me he dado el tiempo para resolverlo jajaja.

Si tenemos el trapecio ABCD de bases AB y CD y de mediana MN(donde M está en AD y N en BC), dados dos puntos P,O en AB y CD respectivamente, el segmento OP corta a la mediana MN en un punto K. Luego utiliza semejanza de triángulos (utiliza el hecho de que las bases son paralelas), por ejemplo, el triángulo AOD y el AKM son semejantes. Si te cuesta visualizarlo haz el dibujo, con eso ya deberías poder demostrarlo :)

Edit: Con mediana me refiero a la recta media jejeje


Título: Re: Recta media de trapecio
Publicado por: feriva en 21/02/2019, 02:40:53 am
La recta media de un trapecio es la recta que une los puntos medios de los lados no paralelos y es paralelaa las bases del trapecio. ¿Cómo puedo demostrar  que la recta media de un trapecio divide por la mitad a cualquier segmentoque une puntos de sus bases?

Hola.

Con un trapecio rectángulo te puede valer (porque lo que demuestres valdrá para una hipotenusa más larga o más corta; y entonces lo que deduzcas también valdría para un trapecio escaleno, porque es lo mismo pero al otro lado).

Luego, necesitas Tales (semejanza) y también Pitágoras; para demostrar que la razón de homotecia es 2 respecto del triángulo rectángulo pequeño, encajado dentro del otro, cuyos lados verás que son la mitad (despejando un poquito, es muy simple). Aunque ahora que me doy cuenta, no hace falta, porque tienes la hipotenusa partida en dos segmentos iguales y ángulos iguales, por tanto eso se deduce sin cuentas

Con esto, ya sólo te faltaría un axioma que hay por ahí (no sé cómo se llama) que dice que si tienes dos paralelas y trazas una diagonal que las corte, los ángulos opuestos (que se forman en el corte de una paralela y la otra) son iguales. Así, al trazar una perpendicular de una paralela a otra (por la mitad según los segmentos que forman los dos puntos tomados en cada lado paralelo) tendrás también dos ángulos rectos que se forman en el corte; y unos ángulos opuestos al cortar también a la diagonal, los cuales. En fin, todo esto da lugar a dos rectángulos opuestos que son semejantes, por tener los ángulos iguales y uno de los lados iguales (digo uno que sepas seguro; el de las alturas). Esto obliga a que los otros dos lados de los triángulos también sean iguales; y, por tanto, las dos hipotenusas tienen que medir lo mismo, y ahí acaba el problema.

(http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=108097.0;attach=20638)

Saludos.