Matemática => Cálculo 1 variable => Mensaje iniciado por: lcdeoro en 20/02/2019, 01:04:20 am



Título: Demostración sobre integrales
Publicado por: lcdeoro en 20/02/2019, 01:04:20 am
Reescribo el ejercicio, dice:

Sea [texx]f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] no negativa, acotada. Probar que [texx]\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx=sup \displaystyle \int_{a}^{b} \beta(x)\, dx [/texx] donde [texx]\beta[/texx] recorre el conjunto de las funciones tales que [texx]\beta(x)\leq{f(x)}[/texx] para todo [texx]x\in{[a,b]}[/texx]. Mostrar que un resultado análogo vale si tomamos [texx]\beta[/texx] continua o [texx]\beta[/texx] integrable. (Manteniendose la hipótesis de que [texx]\beta(x)\leq{f(x)}[/texx] para todo [texx]x\in{[a,b]}[/texx].


Por el momento solo tendría de donde iniciar y es que:   [texx]\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx= inf \ S(f,P)[/texx] donde [texx]P[/texx] es una partición de [texx][a,b][/texx]

alguien me puede dar una idea de como desarrollar el ejercicio?


Título: Re: Demostración sobre integrales
Publicado por: delmar en 20/02/2019, 10:47:45 pm
Hola

No entiendo el símbolo [texx]\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx[/texx] ese subrayado que significa o hay un error tipográfico.

Saludos


Título: Re: Demostración sobre integrales
Publicado por: lcdeoro en 21/02/2019, 08:24:28 pm
Se trata de la integral inferior.

Creo tengo una idea de hacer una parte y seria así:

Sabemos que como [texx]g(x)\leq{f(x)}[/texx] entonces [texx]\displaystyle \underline \int_{a}^{b}g(x)dx\leq{\displaystyle \underline \int_{a}^{b}f(x)}[/texx], pero no sé si el enunciado esta mal, porque yo pienso que aquí debería usar la integrabilidad de [texx]g[/texx] para decir que

[texx]\displaystyle \underline \int_{a}^{b}g(x)dx=\displaystyle \int_{a}^{b}g(x)dx\leq{\displaystyle \underline \int_{a}^{b}f(x)}[/texx] luego [texx] sup \displaystyle \int_{a}^{b}g(x)dx\leq{\displaystyle \underline \int_{a}^{b}f(x)}[/texx]

No estoy muy convencido de lo que acabo de hacer, y también me faltaría probar la otra desigualdad.

Alguna ayuda.


Título: Re: Demostración sobre integrales
Publicado por: Luis Fuentes en 22/02/2019, 06:34:32 am
Hola

Creo tengo una idea de hacer una parte y seria así:

Sabemos que como [texx]g(x)\leq{f(x)}[/texx] entonces [texx]\displaystyle \underline \int_{a}^{b}g(x)dx\leq{\displaystyle \underline \int_{a}^{b}f(x)}[/texx], pero no sé si el enunciado esta mal, porque yo pienso que aquí debería usar la integrabilidad de [texx]g[/texx] para decir que

[texx]\displaystyle \underline \int_{a}^{b}g(x)dx=\displaystyle \int_{a}^{b}g(x)dx\leq{\displaystyle \underline \int_{a}^{b}f(x)}[/texx] luego [texx] sup \displaystyle \int_{a}^{b}g(x)dx\leq{\displaystyle \underline \int_{a}^{b}f(x)}[/texx]

Está bien entendiendo que lo que llamas [texx]g(x)[/texx] es lo que el enunciado llama [texx]\beta(x)[/texx] y cuando igualas la integral inferior y la "normal" de [texx]g(x)[/texx] puede hacerse porque la función [texx]g(x)[/texx] es integrable.

Para terminar tienes que probar que dado [texx]\epsilon>0[/texx] existe una función [texx]g(x)[/texx] integrable y menor que [texx]f(x)[/texx] tal que:

[texx]\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx>\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx-\epsilon[/texx]

Pero por definición de integral inferior existe una partición inferior [texx]P=\{x_0=a,x_1,\ldots,x_n=b\}[/texx] del intervalo [texx][a,b][/texx] tal que [texx]L(f,p)>\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx-\epsilon[/texx]

Si tomas:

[texx]g(x)=inf\{f(x)|x\in[x_i,x_{i+1}]\}[/texx] cuando [texx]x\in [x_i,x_{i+1})[/texx]

se tiene que [texx]g(x)\leq \color{red}f(x)\color{black}[/texx] y [texx]L(f,p)=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx.[/texx]

Saludos.

CORREGIDO


Título: Re: Demostración sobre integrales
Publicado por: lcdeoro en 23/02/2019, 01:30:16 am

Para terminar tienes que probar que dado [texx]\epsilon>0[/texx] existe una función [texx]g(x)[/texx] integrable y menor que [texx]f(x)[/texx] tal que:

[texx]\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx>\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx-\epsilon[/texx]

Pero por definición de integral inferior existe una partición inferior [texx]P=\{x_0=a,x_1,\ldots,x_n=b\}[/texx] del intervalo [texx][a,b][/texx] tal que [texx]L(f,p)>\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx-\epsilon[/texx]

Si tomas:

[texx]g(x)=inf\{f(x)|x\in[x_i,x_{i+1}]\}[/texx] cuando [texx]x\in [x_i,x_{i+1})[/texx]

se tiene que [texx]g(x)\leq g(x) y L(f,p)=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx.[/texx]


A ver si entendí, [texx]L(f,p)[/texx] es la suma inferior de [texx]f[/texx] en [texx]P[/texx], y sabemos que [texx]L(f,p)>\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx-\epsilon[/texx] lo que sería equivalente a decir que [texx]\left |{L(f,p)-\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx}\right |<\epsilon[/texx]


Si tomamos:

[texx]g(x)=inf\{f(x)|x\in[x_i,x_{i+1}]\}[/texx] cuando [texx]x\in [x_i,x_{i+1})[/texx] entonces

[texx]g(x)\leq g(x)[/texx] no entiendo esta parte, se supone que sabemos que eso se cumple, o tal vez quisite decir que  [texx]g(x)\leq f(x)[/texx] y además [texx]L(f,p)=\displaystyle \underline \int_{a}^{b}g(x)dx=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx[/texx].

Luego tendríamos que [texx]\left |{\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\, dx - \displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx}\right |<\epsilon[/texx]

[texx]\Longrightarrow{}\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx\leq{}\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx[/texx]

Luego combinando ambas desigualdades tendriamos la igualdad.

??


Título: Re: Demostración sobre integrales
Publicado por: Luis Fuentes en 25/02/2019, 04:42:10 am
Hola

[texx]g(x)\leq g(x)[/texx] no entiendo esta parte, se supone que sabemos que eso se cumple, o tal vez quisite decir que  [texx]g(x)\leq f(x)[/texx]

¡Claro! Fue una errata.

Cita
Luego tendríamos que [texx]\left |{\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\, dx - \displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx}\right |<\epsilon[/texx]

[texx]\Longrightarrow{}\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx\leq{}\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx[/texx]

No; esa última afirmación está mal. Lo que se deduce es que:

[texx]\displaystyle \underline \int_{a}^{b} f(x)\, dx\leq{}\color{red}sup\color{black}\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)dx[/texx]

donde el supremo es sobre las funciones [texx]g(x)[/texx] integrables cumpliendo [texx]g\leq f[/texx].

Saludos.