Matemática => Geometría Diferencial - Variedades => Mensaje iniciado por: Julio_fmat en 19/02/2019, 11:28:05 pm



Título: Superficie S
Publicado por: Julio_fmat en 19/02/2019, 11:28:05 pm
Sea [texx]S[/texx] la superficie parametrizada por [texx]\varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2})[/texx] donde [texx]-1<u<1[/texx] y [texx]-1<v<1.[/texx] ¿Cual es el valor de [texx]dN_p (v)[/texx] en un vector tangente [texx]v[/texx] arbitrario? Que forma tiene la superficie S? Describe la superficie [texx]S[/texx] lo mejor que puedas.

Hola, con describir se refiere a su forma? Podemos ver lo que pasa en el punto [texx](u,v)=(0,0)[/texx]. Si [texx]\varphi(u,v)=(x,y,z)[/texx] podemos hacer un sistema y despejar u y v en función de x,y,z.


Título: Re: Superficie S
Publicado por: Luis Fuentes en 20/02/2019, 06:07:02 am
Hola

Sea [texx]S[/texx] la superficie parametrizada por [texx]\varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2})[/texx] donde [texx]-1<u<1[/texx] y [texx]-1<v<1.[/texx] ¿Cual es el valor de [texx]dN_p (v)[/texx] en un vector tangente [texx]v[/texx] arbitrario? Que forma tiene la superficie S? Describe la superficie [texx]S[/texx] lo mejor que puedas.

Hola, con describir se refiere a su forma? Podemos ver lo que pasa en el punto [texx](u,v)=(0,0)[/texx]. Si [texx]\varphi(u,v)=(x,y,z)[/texx] podemos hacer un sistema y despejar u y v en función de x,y,z.

Este ejercicio es una segunda parte de:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=107551.msg426812#msg426812

Quizá deberías de haberlos planteado en un sólo hilo.

Nota que la coordenada [texx]z[/texx] es:

[texx]z=\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}[/texx]

Dado que [texx]25+2uv-2u^2-5v^2=cte[/texx] es una elipse (puede verse usando los criterios usuales de clasificación de cónicas), la superficie es un semielipsoide.

Saludos.



Título: Re: Superficie S
Publicado por: Julio_fmat en 21/02/2019, 04:24:27 pm
Hola

Sea [texx]S[/texx] la superficie parametrizada por [texx]\varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2})[/texx] donde [texx]-1<u<1[/texx] y [texx]-1<v<1.[/texx] ¿Cual es el valor de [texx]dN_p (v)[/texx] en un vector tangente [texx]v[/texx] arbitrario? Que forma tiene la superficie S? Describe la superficie [texx]S[/texx] lo mejor que puedas.

Hola, con describir se refiere a su forma? Podemos ver lo que pasa en el punto [texx](u,v)=(0,0)[/texx]. Si [texx]\varphi(u,v)=(x,y,z)[/texx] podemos hacer un sistema y despejar u y v en función de x,y,z.

Este ejercicio es una segunda parte de:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=107551.msg426812#msg426812

Quizá deberías de haberlos planteado en un sólo hilo.

Nota que la coordenada [texx]z[/texx] es:

[texx]z=\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}[/texx]

Dado que [texx]25+2uv-2u^2-5v^2=cte[/texx] es una elipse (puede verse usando los criterios usuales de clasificación de cónicas), la superficie es un semielipsoide.

Saludos.



Muchas Gracias el_manco. Voy a calcular el valor del operador autoadjunto. Me queda que

[texx]dN_p (v)=dN_p(\alpha'(0))=u'(0)\dfrac{\partial N}{\partial u}+ v'(0)\dfrac{\partial N}{\partial v}=u'(0)N_u+v'(0)N_v.[/texx] Para cada [texx]v\in T_p S.[/texx]

Esta bien?


Título: Re: Superficie S
Publicado por: Luis Fuentes en 22/02/2019, 06:43:30 am
Hola

[texx]dN_p (v)=dN_p(\alpha'(0))=u'(0)\dfrac{\partial N}{\partial u}+ v'(0)\dfrac{\partial N}{\partial v}=u'(0)N_u+v'(0)N_v.[/texx] Para cada [texx]v\in T_p S.[/texx]

Esencialmente está bien; pero mejor no uses [texx]v[/texx] para el nombre del vector que se confunde con el parámetro [texx]v[/texx] de la parametrización de la superficie.

Si tienes [texx]\vec w\in T_pS[/texx] y una curva [texx]\alpha(t)=(u(t),v(t))[/texx], con [texx]\alpha(0)=p, \quad \alpha'(0)=\vec w[/texx] entonces:

[texx]dN_p (\vec w)=dN_p(\alpha'(0))=(N\circ \alpha)'(0)=u'(0)\dfrac{\partial N}{\partial u}+ v'(0)\dfrac{\partial N}{\partial v}=u'(0)N_u+v'(0)N_v.[/texx]

Saludos.


Título: Re: Superficie S
Publicado por: Julio_fmat en 25/02/2019, 07:37:58 pm
Hola

[texx]dN_p (v)=dN_p(\alpha'(0))=u'(0)\dfrac{\partial N}{\partial u}+ v'(0)\dfrac{\partial N}{\partial v}=u'(0)N_u+v'(0)N_v.[/texx] Para cada [texx]v\in T_p S.[/texx]

Esencialmente está bien; pero mejor no uses [texx]v[/texx] para el nombre del vector que se confunde con el parámetro [texx]v[/texx] de la parametrización de la superficie.

Si tienes [texx]\vec w\in T_pS[/texx] y una curva [texx]\alpha(t)=(u(t),v(t))[/texx], con [texx]\alpha(0)=p, \quad \alpha'(0)=\vec w[/texx] entonces:

[texx]dN_p (\vec w)=dN_p(\alpha'(0))=(N\circ \alpha)'(0)=u'(0)\dfrac{\partial N}{\partial u}+ v'(0)\dfrac{\partial N}{\partial v}=u'(0)N_u+v'(0)N_v.[/texx]

Saludos.

Muchas Gracias el_manco.