Matemática => Geometría Diferencial - Variedades => Mensaje iniciado por: Julio_fmat en 15/02/2019, 02:09:14 pm



Título: Superficie contenida en un plano
Publicado por: Julio_fmat en 15/02/2019, 02:09:14 pm
Sea [texx]S[/texx] una superficie conexa, parametrizada por [texx]\varphi:
U\to S[/texx] con normal unitaria [texx]N[/texx] y que consiste únicamente de puntos umbilicales. Es decir, [texx]dN_p(v)=k(p)v[/texx], donde [texx]k(p)[/texx] es una función de [texx]p[/texx] con valores en [texx]\mathbb{R}[/texx]. Demostrar directamente que si [texx]k_0=0[/texx], entonces [texx]S[/texx] esta contenida en un plano.

Hola, como lo podemos hacer con este problema?


Título: Re: Superficie contenida en un plano
Publicado por: Julio_fmat en 21/02/2019, 08:23:04 am
Alguien me puede ayudar? Hay una proposición que tengo en mi cuaderno, pero hay que demostrarla.


Título: Re: Superficie contenida en un plano
Publicado por: Luis Fuentes en 21/02/2019, 08:46:22 am
Hola

Sea [texx]S[/texx] una superficie conexa, parametrizada por [texx]\varphi:
U\to S[/texx] con normal unitaria [texx]N[/texx] y que consiste únicamente de puntos umbilicales. Es decir, [texx]dN_p(v)=k(p)v[/texx], donde [texx]k(p)[/texx] es una función de [texx]p[/texx] con valores en [texx]\mathbb{R}[/texx]. Demostrar directamente que si [texx]k_0=0[/texx], entonces [texx]S[/texx] esta contenida en un plano.

Hola, como lo podemos hacer con este problema?

Mira por aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/141940/umbilic-points-on-a-connected-smooth-surface-problem

Saludos.


Título: Re: Superficie contenida en un plano
Publicado por: Julio_fmat en 25/02/2019, 07:50:12 pm
Hola

Sea [texx]S[/texx] una superficie conexa, parametrizada por [texx]\varphi:
U\to S[/texx] con normal unitaria [texx]N[/texx] y que consiste únicamente de puntos umbilicales. Es decir, [texx]dN_p(v)=k(p)v[/texx], donde [texx]k(p)[/texx] es una función de [texx]p[/texx] con valores en [texx]\mathbb{R}[/texx]. Demostrar directamente que si [texx]k_0=0[/texx], entonces [texx]S[/texx] esta contenida en un plano.

Hola, como lo podemos hacer con este problema?

Mira por aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/141940/umbilic-points-on-a-connected-smooth-surface-problem

Saludos.

Muchas Gracias, me guie por el Do Carmo, se tiene:

Si [texx]k_0=0[/texx], entonces [texx]N_u=N_v=0[/texx], y por tanto, [texx]N=N_0= \text{ constante en } V[/texx]. Así, [texx]\left<{\varphi(u,v),N_0}\right>_u=\left<{\varphi(u,v),N_0}\right>_v=0[/texx], luego [texx]\left<{\varphi(u,v),N_0}\right>=\text{ constante}[/texx], y todos los puntos [texx]\varphi(u,v)[/texx] de [texx]V[/texx] pertenecen a un plano. Lo que implica que [texx]S[/texx] está contenida en un plano.