Matemática => Geometría Diferencial - Variedades => Mensaje iniciado por: Julio_fmat en 10/02/2019, 07:51:23 pm



Título: Curvatura en coordenadas polares
Publicado por: Julio_fmat en 10/02/2019, 07:51:23 pm
Sea [texx]\rho=\rho(\theta), a\le \theta \le b[/texx] una curva en coordenadas polares. Prueba que la curvatura esta dada por la formula [texx]\kappa(\theta)=\dfrac{2(\rho')^2-\rho \rho''+\rho^2 }{(\rho^2+(\rho')^2)^{3/2}}.[/texx]

Hola, me pueden ayudar con este problema.


Título: Re: Curvatura en coordenadas polares
Publicado por: manooooh en 10/02/2019, 09:10:58 pm
Hola

Por favor, indicanos que es lo que intentaste para poder ayudarte mejor.

Sea [texx]\rho=\rho(\theta), a\le \theta \le b[/texx] una curva en coordenadas polares. Prueba que la curvatura esta dada por la formula [texx]\kappa(\theta)=\dfrac{2(\rho')^2-\rho \rho''+\rho^2 }{(\rho^2+(\rho')^2)^{3/2}}.[/texx]

¿Cuál es la expresión de la función [texx]\rho=\rho(\theta)[/texx]? Pensé que era [texx]\vec\rho(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)[/texx] pero resulta que tiene que ser un campo escalar, no una función vectorial ???.

Saludos


Título: Re: Curvatura en coordenadas polares
Publicado por: Luis Fuentes en 11/02/2019, 07:19:39 am
Hola

Sea [texx]\rho=\rho(\theta), a\le \theta \le b[/texx] una curva en coordenadas polares. Prueba que la curvatura esta dada por la formula [texx]\kappa(\theta)=\dfrac{2(\rho')^2-\rho \rho''+\rho^2 }{(\rho^2+(\rho')^2)^{3/2}}.[/texx]

Hola, me pueden ayudar con este problema.

La fórmula de la curvatura para una curva con una parametrización arbitraria [texx]\alpha(t)[/texx] es:

[texx]\kappa=\dfrac{det(\alpha'(t),\alpha''(t))}{\|\alpha'(t)\|^3}[/texx]

No tienes más que aplicarla para:

[texx]\alpha(t)=\rho(t)(cos(t),sin(t))[/texx]

Haces las cuentas y sale inmediatamente.

Saludos.