Matemática => Geometría Diferencial - Variedades => Mensaje iniciado por: Julio_fmat en 10/02/2019, 07:36:15 pm



Título: Valores regulares
Publicado por: Julio_fmat en 10/02/2019, 07:36:15 pm
Sea [texx]f(x,y,z)=(x+y+z-1)^2.[/texx]

a) Encuentra los valores regulares de [texx]f[/texx].

b) Encuentra los valores de [texx]c[/texx] para los cuales [texx]f^{-1}(c)[/texx] es una superficie regular.


Hola, para el a). Se supone que debemos derivar para hallar los puntos criticos y el supuesto valor regular. Se tiene, [texx]\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=2(x+y+z-1)[/texx]. Si igualamos a cero, tenemos el plano [texx]x+y+z-1=0.[/texx] O sea, los valores regulares de [texx]f[/texx] son de la forma [texx]x+y+z-1=0[/texx]?



Título: Re: Valores regulares
Publicado por: Luis Fuentes en 11/02/2019, 07:27:35 am
Hola

Sea [texx]f(x,y,z)=(x+y+z-1)^2.[/texx]

a) Encuentra los valores regulares de [texx]f[/texx].

b) Encuentra los valores de [texx]c[/texx] para los cuales [texx]f^{-1}(c)[/texx] es una superficie regular.


Hola, para el a). Se supone que debemos derivar para hallar los puntos criticos y el supuesto valor regular. Se tiene, [texx]\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=2(x+y+z-1)[/texx]. Si igualamos a cero, tenemos el plano [texx]x+y+z-1=0.[/texx] O sea, los valores regulares de [texx]f[/texx] son de la forma [texx]x+y+z-1=0[/texx]?

Las cuentas están bien, pero la conclusión mal.

Un valor regular de una función diferenciable [texx]f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}[/texx] es todo punto [texx]c\in \mathbb{R}[/texx] tal que [texx]df_p\neq 0[/texx] para todo [texx]p\in f^{-1}(c)[/texx].

Entonces en tu caso se deduce que los valores regular son los puntos [texx]c\neq 0[/texx], porque si [texx](x,y,z)\in f^{-1}(c)[/texx], entonces [texx]f(x,y,z)=c[/texx], es decir, [texx](x+y-z-1)^2=c[/texx]. Si [texx]c\neq 0[/texx] entonces [texx]x+y-z-1\neq 0[/texx] y por tanto la diferencial no se anula en ese punto.

Saludos.