Matemática => Variable compleja y Análisis de Fourier => Mensaje iniciado por: Eparoh en 12/01/2019, 01:51:37 pm



Título: Orden de crecimiento de sin(sin(z))
Publicado por: Eparoh en 12/01/2019, 01:51:37 pm
Hola, me piden calcular el orden de crecimiento de la función [texx]f(z)=\sin(\sin(z))[/texx] y la verdad, no se por donde cogerlo.
¿Alguna ayuda?
Un saludo y muchas gracias.


Título: Re: Orden de crecimiento de sin(sin(z))
Publicado por: Gustavo en 12/01/2019, 05:03:51 pm
Hola,

¿Cómo defines el orden de crecimiento?

Si es como aparece acá

https://en.wikipedia.org/wiki/Entire_function#Order_and_type

puedes expresar tu función en términos de exponenciales y ver por ejemplo el límite a lo largo de la parte negativa del eje imaginario, con lo que creo que obtienes que es de orden infinito.

Recuerdo que hay otra forma de definir el orden comparando con la función exponencial, pero no lo tengo en concreto ahora. De todas formas, creo que un buen comienzo sí es escribir tu función con exponenciales.


Título: Re: Orden de crecimiento de sin(sin(z))
Publicado por: Eparoh en 13/01/2019, 06:50:56 am
Hola, la definición creo que si es esa, aun así pongo aquí las tres definiciones equivalentes que tengo.

Siendo
[texx]M(R)=\displaystyle\max_{\left |{z}\right | =R}{\left |{f(z)}\right |}[/texx]
se define el orden de crecimiento de una función entera [texx]f[/texx], no constante, de una de las siguiente formas equivalentes:

  • [texx]\lambda=\displaystyle\limsup_{R \to{+}\infty}{\dfrac{\log(\log(M(R))}{\log(R)}}[/texx]
  • [texx]\lambda=\displaystyle\inf_{}{\{a \geq 0: \left |{f(z)}\right | \leq e^{\left |{z}\right |^a}   \text{ para } \left |{z}\right | \text{suficiente grande}            \}}[/texx]
  • [texx]\lambda=\displaystyle\limsup_{n \to{+}\infty}{\dfrac{\log(n)}{-\log\left( \left |{a_n}\right | ^{\frac{1}{n}} \right)}} [/texx] donde [texx]f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{a_n z^n}[/texx]       

Ya intenté expresarlá en función de exponenciales y tratar de acotar [texx]M(R)[/texx] para hallar el limite deseado por la regla del sandwich como ha resultado útil en otros ejemplos, y también intenté expresar su desarrollo en serie de Taylor, pero no ví ningún patrón claro.
Muchas gracias aun así por los comentarios  ;)


Título: Re: Orden de crecimiento de sin(sin(z))
Publicado por: Gustavo en 13/01/2019, 05:47:10 pm
Hola,

La que no recordaba muy bien era la segunda, pero si puedes usar la primera, es mejor. Nota que

[texx]M(t)\geqslant |\sin \sin(it)|= \frac12 |e^{\frac12(e^t-e^{-t})}-e^{\frac12(e^{-t}-e^t)}|\ge \frac14 e^{\frac12(e^t-e^{-t})} \ge \frac14 e^{\frac14e^t}[/texx]

porque [texx] e^{\frac12(e^{-t}-e^{t})}\le \frac14e^{\frac12(e^t-e^{-t})}[/texx] para [texx]t[/texx] grande (pues el lado izquierdo está acotado y el otro tiende a infinito). Algo similar para la otra desigualdad.