Matemática => Variable compleja y Análisis de Fourier => Mensaje iniciado por: Eparoh en 11/01/2019, 06:09:40 pm



Título: Integral real por teorema de los residuos
Publicado por: Eparoh en 11/01/2019, 06:09:40 pm
Hola, me piden resolver la siguiente integral mediante el teorema de los residuos:

[texx]\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{x\sin(\pi x)}{x^2-5x+6} dx[/texx]

El problema consigo elegir una función o un camino adecuados, pues con lo que he probado, siempre me aparecen dos polos sobre el camino que desearía tomar y no se como tomar un camino para "evitarlos" o en su defecto, una función compleja mejor.
Un saludo y gracias por su ayuda.


Título: Re: Integral real por teorema de los residuos
Publicado por: Abdulai en 11/01/2019, 07:24:42 pm
Te sugeriría unas simplificaciones previas.

[texx]\dfrac{x}{x^2-5x+6}= \dfrac{3}{x-3}-\dfrac{2}{x-2}[/texx]

[texx]\therefore\quad\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{x\sin(\pi x)}{x^2-5x+6}\text{dx} = 3 \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(\pi x)}{x-3}\text{dx} -2 \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(\pi x)}{x-2}\text{dx}[/texx]


Pero como cambiando la variable resulta

[texx]\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(\pi x)}{x-3}\text{dx}=-\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(\pi x)}{x}\text{dx}[/texx]   y   [texx]\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(\pi x)}{x-2}\text{dx}=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(\pi x)}{x}\text{dx}[/texx]


Queda  [texx]\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{x\sin(\pi x)}{x^2-5x+6}\text{dx}=-5\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin(\pi x)}{x}\text{dx}[/texx]     

Y esa integral debe ser el primer ejemplo cuando se enseña residuos en todo el mundo  :)


Título: Re: Integral real por teorema de los residuos
Publicado por: Eparoh en 12/01/2019, 01:50:07 pm
Muchísimas gracias, era muy simple al final, pero me ofusqué intentandolo de una forma fija en vez de pensar un poquito más.
Y si, efectivamente la ultima integral es el primer ejemplo que estudiamos  :D