Matemática => Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato => Mensaje iniciado por: nathan en 10/01/2019, 10:47:15 am



Título: Números primos
Publicado por: nathan en 10/01/2019, 10:47:15 am
Hola amigos, tengo un ejercicio:
¿Cuántos números que tienen dos factores primos, tienen 4 divisores que suman 48?

Bueno, si los números buscados tienen 2 factores primos su descomposición canónica es de la forma [texx]p^{x}q^{y}[/texx]. Pero ahora como manejo eso de que suman 48.


Título: Re: Números primos
Publicado por: zimbawe en 10/01/2019, 12:52:06 pm
A mi me parece el enunciado algo ambivalente, bueno no ambivalente, sino que admite más de una interpretación.
Porque si tiene exclusivamente cuatro divisores entonces [texx](x+1)(y+1)=4[/texx] y hay una fórmula para la suma de los divisores (que no sé si la conozcas) que es:
[texx]\displaystyle\frac{p^{x+1}-1}{p-1}\displaystyle\frac{q^{y+1}-1}{q-1}=48[/texx]
Pero de la primera ecuación deduces, que [texx]x=1[/texx] y [texx]y=1[/texx]
En cambio si es que cuatro de sus divisores suman 48, pues el problema se complica más, porque deberás encontrar las cuatrupletas [texx](a, b, c, d)\ in \mathbb{Z}[/texx] tales que cada uno de esos números divide a tu número y [texx]a+b+c+d=48[/texx] espero tu aclaración.


Título: Re: Números primos
Publicado por: feriva en 10/01/2019, 12:56:28 pm
Hola amigos, tengo un ejercicio:
¿Cuántos números que tienen dos factores primos, tienen 4 divisores que suman 48?

Bueno, si los números buscados tienen 2 factores primos su descomposición canónica es de la forma [texx]p^{x}q^{y}[/texx].


Creo que no se refiere a eso. Dos factores son dos factores, dos números (distintos o iguales) dos y no más. Es decir, pienso que se refiere a semiprimos, números del tipo [texx]pq[/texx] con “p” y “q” primos. Las suma será 1+(p+q)+pq.


EDITADO; Perdón, que había puesto un 2 de otra cosa que había pensado

Restando el 1, la escribimos así

[texx]q+p+qp=47[/texx]

o sea

[texx]q+p(q+1)=47[/texx]

Y así ahora mismo no sé.

Con lo Wolfram, sólo veo la pareja -5, -13

https://www.wolframalpha.com/input/?i=p%2Bq%2Bpq%3D47

Ah, y 3,11 y 5,7, si no me dejo alguna más


Saludos.


Título: Re: Números primos
Publicado por: zimbawe en 10/01/2019, 01:03:05 pm
Si, porque en el segundo caso habría infinitos de estos números. Tomar por ejemplo [texx]x=2^3*3^n; n\geq{1}[/texx]
Deberás entonces resolver la ecuación [texx](p+1)(q +1)=48[/texx] si tienes dudas por qué está ecuación,  solo di.


Título: Re: Números primos
Publicado por: zimbawe en 10/01/2019, 01:05:48 pm
[texx]1+pq+p+q=1+q+pq+p=1+q+p(1+q)=(1+p)(1+q)[/texx]


Título: Re: Números primos
Publicado por: feriva en 10/01/2019, 01:47:20 pm
[texx]1+pq+p+q=1+q+pq+p=1+q+p(1+q)=(1+p)(1+q)[/texx]

Ya, pero de una forma u otra, ¿cuál sería el método de resolución general? Yo he encontrado tres soluciones con Wolfram, pero no sé qué método general sería; algún teorema habrá que usar, pero no caigo.

Saludos.


Título: Re: Números primos
Publicado por: Luis Fuentes en 10/01/2019, 03:29:54 pm
Hola

Con lo Wolfram, sólo veo la pareja -5, -13

Pero entiendo que trabajamos sólo con positivos; en otro caso volvemos al lío de tener más de [texx]4[/texx] divisores.

Las soluciones [texx](p,q)[/texx] de [texx](1+p)(1+q)=48[/texx] son tantas como divisores de [texx]48[/texx] ya que dado d divisor de [texx]48[/texx] tenemos [texx]p=d-1[/texx] y [texx]q=\dfrac{48}{d}-1[/texx].

En nuestro caso sólo nos interesan los casos en los que [texx]p,q[/texx] son primos y además nos interesa el producto [texx]pq[/texx] que son los números que cumplen la propiedad pedida: por lo que podemos suponer [texx]p<q[/texx]. Y así [texx]1+p<1+q[/texx] y [texx]1+p\leq [\sqrt{48}]=6[/texx]. Las posibilidades son [texx]p=2,3,5[/texx] para las cuales respectivamente [texx]q=15,11,7[/texx]. Nos quedamos con las dos en las que [texx]q[/texx] también es primo.

[texx]3\cdot 11=33[/texx].
[texx]5\cdot 7=35[/texx].

Saludos.


Título: Re: Números primos
Publicado por: feriva en 10/01/2019, 07:51:06 pm
Hola

Con lo Wolfram, sólo veo la pareja -5, -13

Pero entiendo que trabajamos sólo con positivos; en otro caso volvemos al lío de tener más de [texx]4[/texx] divisores.

Las soluciones [texx](p,q)[/texx] de [texx](1+p)(1+q)=48[/texx] son tantas como divisores de [texx]48[/texx] ya que dado d divisor de [texx]48[/texx] tenemos [texx]p=d-1[/texx] y [texx]q=\dfrac{48}{d}-1[/texx].

En nuestro caso sólo nos interesan los casos en los que [texx]p,q[/texx] son primos y además nos interesa el producto [texx]pq[/texx] que son los números que cumplen la propiedad pedida: por lo que podemos suponer [texx]p<q[/texx]. Y así [texx]1+p<1+q[/texx] y [texx]1+p\leq [\sqrt{48}]=6[/texx]. Las posibilidades son [texx]p=2,3,5[/texx] para las cuales respectivamente [texx]q=15,11,7[/texx]. Nos quedamos con las dos en las que [texx]q[/texx] también es primo.

[texx]3\cdot 11=33[/texx].
[texx]5\cdot 7=35[/texx].

Saludos.

Ah, cierto, no me había dado cuenta, si se consideran negativos salen más divisores, claro.
Haciendo la cuenta con positivos si me había dado cuenta de que [texx]7*7[/texx] ya se pasaba, con lo que se podía ir buscando hacia abajo y hacia arriba, pero no tenía una idea muy sistemática sobre cómo hacerlo.

Muchas gracias, Luis, saludos.