Matemática => Teorema de Fermat => Mensaje iniciado por: simpleimpar en 04/01/2019, 07:24:30 am



Título: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 04/01/2019, 07:24:30 am
Hola:
El caso n>2 primo  de la ecuación de Fermat [texx]m^n = a^n + b^n[/texx] lo he considerado en el archivo pdf adjunto, en los supuestos b par, a par y m par, mediante aritmética y álgebra ordinarias. Creo que se llega a contradicciones que indicarían ,salvo error u omisión, que no existen soluciones enteras y positivas m, a, b para la  ecuación.  en esos supuestos
Si se me hace saber donde están los errores de la supuesta demostración os quedaré sumamente agradecido.
Saludos cordiales


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: aureodd en 10/01/2019, 07:07:20 am
Hola.
¿Estás indicando que [texx]m[/texx], [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] son los 3 pares?
Puedes reducir entonces el UTF a que los tres son coprimos y solo uno de ellos debe ser par.
¿Tu prueba se adaptaría a este supuesto/caso?
Saludos


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 10/01/2019, 10:05:46 am
Hola aureodd
Las soluciones posibles de la ecuación de Fermat de existir, estrían formadas por un número par y dos impares. Cuando considero los casos b par, a par y m par, es porque solo uno de los números b, a, m, puede ser par y se deben considerar estos tres supuestos independientemente. Esto da lugar al desarrollo que hago en el que creo demostrar que en esos supuestos se llega a la contradicción de que los números impares [texx](b,(m-a))/2^p, (a,(m-b))/2^q, (m,(a+b))/2^r [/texx] para los caso b par, a par y m par respectivamente, deben ser iguales a 1 y diferentes de 1 con lo que concluyo que la ecuación de Fermat carece de soluciones enteras y positivas.
Saludos cordiales


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: aureodd en 10/01/2019, 11:00:59 am
Hola.
Sin perdida de generalidad puedes partir del supuesto de que uno de ellos es par, por ejemplo [texx]b[/texx], y si lo demuestras para eso caso no es necesario demostrarlo para los otros 2 (que [texx]a[/texx] sea par o [texx]m [/texx] sea par).
Para el caso que [texx]b[/texx] sea par indicas que [texx](b,(m-a))/2^p[/texx].
¿Con esta notación quieres decir que [texx]2^p[/texx] divide a [texx]b[/texx] y a [texx]m-a[/texx] o que [texx]b/2^p[/texx] y [texx](m-a)/2^p[/texx] son iguales a [texx]1[/texx] y diferentes de  [texx]1[/texx] luego es una contradicción?
Gracias.
Saludos


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 10/01/2019, 01:01:17 pm
Hola de nuevo aureodd
Los supuestos [texx]b[/texx] par y [texx]a[/texx] par en la ecuación [texx]m^n = a^n + b^n[/texx] se pueden tratar de la misma manera, de forma que basta cambiar [texx]b[/texx] por [texx]a[/texx] en el desarrollo del caso [texx]b[/texx]  par para obtener lo  correspondiente al caso [texx]a[/texx] par. Eso es lo que digo y expongo de manera sucinta al tratar el supuesto [texx]a[/texx] par, a fin de poner de manifiesto tal semejanza.
En el caso [texx]m[/texx] par no se puede hacer lo mismo y debe ser demostrado con independencia de los otros dos supuestos.
El simbolo [texx](b,(m-a))[/texx]es la notación corriente para "máximo común divisor" de [texx]b[/texx] y [texx]m-a[/texx].
Saludos y gracias por tu seguimiento.


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 11/01/2019, 06:59:49 am
La notación correcta para el máximo común divisor de [texx]b[/texx] y [texx]m-a[/texx] no es [texx](b,(m-a))[/texx] como le dije a aureodd en mi último mensaje, es la que está en el pdf que envié en mi primer mensaje, o sea [texx](b,m-a)[/texx] y análogamente para los demás mcd. Lamento estos fallos de notación cometidos en mis anteriores mensajes.
Saludos y mis mejores deseos para todos en 2019


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: aureodd en 11/01/2019, 09:57:44 am
Hola.
Con respecto a la paridad de las tres variables que manejas y tratando con números enteros evitaría el caso de [texx]m[/texx] par. Además para cuestiones sobre paridad, el signo no debería afectar.
Para la cuestion sobre la notación creo que sería mas claro si incluyeras algo del tipo [texx]mcd(b,m-a)[/texx].
Donde aparece [texx]4k+1[/texx] entiendo no es el mismo [texx]k[/texx] que utilizas después. Es correcto?
Donde aparece [texx]\beta[/texx] debería ser [texx]\beta_0[/texx]?
Revisando la página 2 del doc, y tomando por ejemplo [texx]n=3[/texx]
[texx]b^3=m^3-a^3=(m-a)(m^2+ma+a^2)[/texx] 
y [texx] b^3=2^3B^3[/texx] con [texx]b=2B[/texx], [texx]B=CM[/texx] y [texx]m-a=2^3M^3[/texx]
No se podría dar [texx]C^3=(m^2+ma+a^2)[/texx]
Y según tu notación sería entonces [texx]k=1[/texx]?
Saludos



Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 12/01/2019, 05:09:54 pm
Hola aureodd y demás foreros.
Como veo que se presta a confusión la notación que empleo, he hecho una revisión de todo el archivo y el resultado es un nuevo pdf que solo se diferencia del original en que utilizo solo símbolos en cursiva y no repito los mismos símbolos, es decir, si pongo [texx]a[/texx] no utilizaré [texx]\mbox{a}[/texx] en el documento para evitar confusiones en los mensajes.
Empleo la notación [texx](a,b)[/texx] para representar el mcd de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] tal y como se hace comúnmente.
El k de 4k +1 y 4k - 1, representa un número que recorre los números naturales y no es el k de la fórmula (3') de aquí una posible confusión que he tratado de corregir en el nuevo documento pdf.
Para que [texx]\beta [/texx] sea igual a [texx]\beta_0[/texx] es preciso que [texx]P_0[/texx] sea igual a [texx]2^\varphi[/texx], ahora bien, la "gracia" de esta posible demostración está precisamente en que el mcd [texx]P_0[/texx] no es potencia de 2 y [texx]r[/texx] es un impar mayor que 1. Lo mismo cabe decir de [texx]Q_0[/texx] y [texx]s[/texx] y [texx]R_o[/texx] y [texx]t[/texx].
Hay que considerar el caso [texx]m[/texx] par independientemente de los otros dos, porque si uno de los números de la terna solución es par, e impares los otros dos por consiguiente, se deben considerar los tres casos [texx]a[/texx] par, [texx]b[/texx]  par y [texx]m[/texx] par. De hecho las formas de los impares [texx]m[/texx]  y [texx]a[/texx] para el caso [texx]b[/texx] par y las de los impares [texx]m[/texx] y [texx]b[/texx] del caso [texx]a[/texx] par son las mismas, mientras que en el caso  [texx]m[/texx] par las formas de los impares [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] par son distintas.
Espero que con esta nueva versión las cosas queden más claras.
Saludos


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 13/01/2019, 09:06:41 am
Hola

 No he tenido mucho tiempo para mirar con calma tu propuesta.

 Pero a vuelapluma le veo un error de bulto; una afirmación gratuita (sin justificar y muy gruesa) que no entiendo de donde sale y que es clave en tu conclusión final.

 Dices en la página 2:

Cita
Para el impar [texx]k[/texx] de (4) resultará, [texx]k=r^j[/texx], e introduciendo este valor de [texx]k [/texx]en (3') será,

[texx]b^n/(m-a)=r^j\beta_0^n,\qquad\qquad (j=1,2,\ldots,n-1)[/texx]

relación que debe ser cierta para todos los valores de [texx]j[/texx] especificados, pues todos ellos determinan el carácter impar del número [texx]k[/texx].

 Lo que me parece gratuito es lo que he marcado en rojo: que digas que esa relación es cierta para TODOS los valores de [texx]j[/texx]. De todo lo que has ido deduciendo aun admitiéndolo correcto (hay algunos errores, más sutiles) en todo caso se deduciría que esa igualdad es cierta par un valor concreto de [texx]j[/texx]. ¡Cómo va a ser cierta para TODOS los valores de [texx]j,[/texx] si las variables implicadas son números fijos!.

Saludos.


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 13/01/2019, 02:48:23 pm
Hola Luis
Debe entenderse "para todos y cada uno de los valores de [texx]j[/texx]"
No se si explicitando esto se puede resolver el error de bulto Tu me dirás.
Saludos.


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 14/01/2019, 06:08:55 am
Hola

Hola Luis
Debe entenderse "para todos y cada uno de los valores de [texx]j[/texx]"
No se si explicitando esto se puede resolver el error de bulto Tu me dirás.

No se muy bien que me quieres decir con esa aclaración. Fíjate que el núcleo de tu conclusión se basa en justificar que [texx]r=1[/texx]. Eso lo haces dando por bueno que:

[texx]r\beta_0^n=r^2\beta_0^n=r^3\beta_0^n=\ldots[/texx]

Eso a su vez lo deduces de:

Cita
Para el impar [texx]k[/texx] de (4) resultará, [texx]k=r^j[/texx], e introduciendo este valor de [texx]k [/texx]en (3') será,

[texx]b^n/(m-a)=r^j\beta_0^n,\qquad\qquad (j=1,2,\ldots,n-1)[/texx]

relación que debe ser cierta para todos los valores de [texx]j[/texx] especificados, pues todos ellos determinan el carácter impar del número [texx]k[/texx].

 En esa igualdad, incluso admitiendo todo lo que haces antes, el [texx]j[/texx] es un valor concreto; no es cierta para TODOS los valores de [texx]j=1,2,\ldots,n-1[/texx] sino para UNVALOR CONCRETO de [texx]j[/texx] en ese rango.

 Fíjate que la primera vez que introduces [texx]j[/texx] es aquí:

Cita
[texx]k=2^{nu-2}r^n/\rho[/texx] impar (4)

y [texx]k[/texx] solo puede ser un número impar si es  [texx]\rho= 2^{nu-2}r^{n-j}[/texx], con [texx]j=1,2,\ldots,n-1[/texx] y [texx]r[/texx] es impar distinto de [texx]1[/texx].

Ahí el valor de [texx]j[/texx] es uno concreto, ¡no muchos valores al mismo tiempo!.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 16/01/2019, 08:01:41 am
Hola a todos
Después de las valiosas observaciones de Luis, he revisado la última "entrega" y el resultado es la versión que adjunto. He procurado ser lo más explícito posible y esa es la razón de las reiteraciones que contiene.
Saludos


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 16/01/2019, 08:44:49 am
Hola

Hola a todos
Después de las valiosas observaciones de Luis, he revisado la última "entrega" y el resultado es la versión que adjunto. He procurado ser lo más explícito posible y esa es la razón de las reiteraciones que contiene.
Saludos

Cuando pones que [texx]m-a=4\rho[/texx]. ¿De dónde te sacas que [texx]\rho[/texx] tiene que ser impar?. No veo motivo.

Saludos.


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 11/02/2019, 12:37:42 pm
Hola
Os envío una nueva y reducida versión del supuesto n > 2 primo  a ver que os parece. Dispensad la insistencia.
Saludos


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 12/02/2019, 01:28:51 pm
Hola

Hola
Os envío una nueva y reducida versión del supuesto n > 2 primo  a ver que os parece. Dispensad la insistencia.
Saludos

En la línea novena pones:

[texx]2^{nu}\beta^n=4\rho=2^3h[/texx]

con [texx]\beta[/texx] impar. Bien. Pero de ahí haces:

[texx]\beta=2^{3-nu}h[/texx]

y afirmas que de ahí se deduce que [texx]3-nu=0[/texx] y [texx]h[/texx] impar. Eso es falso. Por ejemplo (por decir algo) podría ocurrir [texx]3-nu=-10[/texx] y [texx]h=2^{10}\cdot 157[/texx].

Saludos.


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 17/02/2019, 04:05:12 pm
Hola de nuevo
Os envío, en archivo adjunto, el resultado de una última revisión, lo más profunda que he podido, dentro de mis limitadas capacidades, de todo lo que he estado "produciendo" para el TUF con n > 2 primo.
De nuevo os ruego aceptéis mis disculpas por la insistencia.
Saludos 


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 18/02/2019, 07:50:11 am
Hola

Hola de nuevo
Os envío, en archivo adjunto, el resultado de una última revisión, lo más profunda que he podido, dentro de mis limitadas capacidades, de todo lo que he estado "produciendo" para el TUF con n > 2 primo.
De nuevo os ruego aceptéis mis disculpas por la insistencia.
Saludos 

Antes de nada un consejo o recomendación importante.

Escribe una primera versión de los resultados para [texx]n=3[/texx]. Tiene todas las ventajas:

1) Es más corto y claro  de explicar por tu parte.
2) Te será mucho más fácil a ti mismo darte cuenta de tus errores. Y en todo caso será más fácil a cualquier otra persona animarse a leer y criticar tu trabajo.
3) En el improbable caso de que todo estuviese bien, tener una demostración sencilla del caso [texx]n=3[/texx] ya sería interesante. Y es entonces el momento de generalizarlo a [texx]n>3[/texx].

Entonces en tu trabajo la proposición 1 ya está mal.

En la página 2, línea 13 dices:

Cita
... y como se cumple (1) será,

[texx]-\color{red}(-1)^j\color{black}\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}{}n_jm^{n-j}a^j=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}n_ja^{n-j}(hn^{n-1})^j[/texx]

y [texx]n[/texx] será divisor del producto [texx]ma[/texx] ...

 Tienes una pequeña errata (pero eso es lo de menos). Es:

[texx]-\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}{}\color{red}(-1)^j\color{black}n_jm^{n-j}a^j=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}n_ja^{n-j}(hn^{n-1})^j[/texx]

 Pero lo importante es que NO se deduce que [texx]n[/texx] será divisor del producto [texx]ma[/texx].

 Y lo puedes ver claramente si escribes la expresión para [texx]n=3[/texx]. Te quedaría:

[texx]m^2a-ma^2=a^2(9h)+a(9h)^2[/texx]

 Simplificando:

[texx] m^2-ma=9ah+81h^2[/texx]

 y de ahí NO se deduce que [texx]ma[/texx] sea múltiplo de [texx]3[/texx].

 Ya no he leído más del trabajo; si crees que hay algo aprovechable, te animo a que lo reescribas primero para [texx]n=3[/texx].

Saludos.


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 18/02/2019, 05:11:00 pm
Tienes razón Luís. De esa relación se obtiene en el caso [texx]n=3[/texx] solo que [texx]m(m-a)[/texx] es divisible por 3.
Trataré de ver lo que pasa limitándome al caso [texx]n=3[/texx]
Saludos y gracias.


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 13/03/2019, 01:12:34 pm
Hola a todos.
Trato el caso n = 3 aquí porque no es mi intención terciar con mis criterios en el hilo específico de ese caso.
Saludos


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 13/03/2019, 03:01:57 pm
Hola

Hola a todos.
Trato el caso n = 3 aquí porque no es mi intención terciar con mis criterios en el hilo específico de ese caso.
Saludos

He leido el documento por encima. Pero un primer comentario. He entendido que para poder concluir tu demostración necesitas probar que la ecuación:

[texx]27x^2+9ax^2+a^2x-\beta^3=0[/texx]

no tiene soluciones enteras. Es una ecuación de tercer grado a priori más complicada que la original:

[texx]m^3-a^3-b^3=0[/texx]

¿Qué te hace pensar que hemos avanzado algo? ¿Por qué habría de ser más sencillo demostrar que tu ecuación no tiene soluciones enteras?.

Saludos.


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 13/03/2019, 03:39:57 pm
Hola
la ecuación [texx]27x^3 +9ax^2+a^2x-\beta=0[/texx] posee discriminante negativo y por tanto una solución real. En el archivo adjunto trato de encontrar la solución.
Saludos


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 13/03/2019, 06:04:00 pm
Hola

Hola
la ecuación [texx]27x^3 +9ax^2+a^2x-\beta=0[/texx] posee discriminante negativo y por tanto una solución real. En el archivo adjunto trato de encontrar la solución.
Saludos

¿Y te parece que has ganado algo teniendo en cuenta la "barbaridad" de expresión qué te sale?. ¿Te parece más fácil de analizar que la simple ecuación [texx]m^3=a^3+b^3[/texx]?.

Saludos.


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 13/03/2019, 06:38:29 pm
De nuevo Hola.
En principio parecía más tratable una ecuación de tercer grado con una incógnita que una de tercer grado con tres incógnitas.
Todo el problema se reduce a demostrar, como tu ya has advertido, que la solución real de la ecuación en cuestión no puede ser entera. Quizá esto requiera un nivel superior de conocimientos en la materia (para demostrar en particular que la "barbaridad" resultante no es un entero).
Mis saludos cordiales.


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 13/03/2019, 06:53:17 pm
Hola

De nuevo Hola.
En principio parecía más tratable una ecuación de tercer grado con una incógnita que una de tercer grado con tres incógnitas.

Pero es ficticio que tu ecuación tenga una incógnita. ¿Lo dices porque le llamas [texx]x[/texx]?. Tu ecuación tiene tres variables [texx]x,a,\beta[/texx], igual que la original. Puedes llamarle a une de ellas incógnita igual que podrías hacerlo en la original. No hay diferencia, salvo que la ecuación original es más sencilla que a la que has llegado tu.

Saludos.


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 13/03/2019, 08:11:41 pm
Continuando sobre el asunto.

"Mi ecuación" para el caso b múltiplo de 3, es una ecuación de manual con coeficientes enteros y una incógnita que, claro está, tendrá valores que dependen de tales coeficientes, que deben cumplir además las desigualdades (2). Admite tratamientos "standard" como el que he pretendido aplicar, de momento, como prueba, a fin de ver si el aspecto de la solución es o no "amistoso" o "irracionalmente" agresivo.
Quizá merezca la pena seguir por ese camino aunque "aparentemente" las cosas se hayan complicado y nada se haya ganado.

Saludos


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 14/03/2019, 04:21:24 am
Hola

"Mi ecuación" para el caso b múltiplo de 3, es una ecuación de manual con coeficientes enteros y una incógnita que, claro está, tendrá valores que dependen de tales coeficientes, que deben cumplir además las desigualdades (2). Admite tratamientos "standard" como el que he pretendido aplicar, de momento, como prueba, a fin de ver si el aspecto de la solución es o no "amistoso" o "irracionalmente" agresivo.
Quizá merezca la pena seguir por ese camino aunque "aparentemente" las cosas se hayan complicado y nada se haya ganado.

Será la última vez que insisto en esto; lo hago porque me parece que no acabas de entender lo que digo. La ecuación original también admite tratamientos "standard" y también tiene coeficientes que deben de cumplir desigualdades. El aspecto de la solución es amistoso; pero aun así no parece ayudar a discernir el carácter entero de la misma de forma directa:

[texx]m^3=a^3+b^3[/texx]

la solución es...

[texx]m=\sqrt[3]{a^3+b^3}[/texx]  ¡qué expresíón más sencilla!  :D

Cita
Quizá merezca la pena seguir por ese camino aunque "aparentemente" las cosas se hayan complicado y nada se haya ganado.

Sobre ese "quizá"... poco que decir. Inténtalo si quieres; pero no veo ningún motivo objetivo para ser optimista.

Saludos.


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: simpleimpar en 14/03/2019, 06:44:10 am
Me parece muy bien todo lo que dices Luis y no tengo nada que objetar. Trataré de seguir con mi manera de ver el asunto
Saludos cordialísimos por tanto interés.


Título: Re: Intento de demostración General UTF n=primo>2
Publicado por: Luis Fuentes en 21/06/2019, 08:56:03 am
Hola

Hola de nuevo
Aquí os envío un último intento de solución del caso n = 3 por si resulta de interés y es posible generalizarlo para todo exponente primo.
Saludos cordiales


Algunos errores:

1) En pagina 1, en la fórmula (4) pretendes deducir que:

[texx]3(\alpha^2+\beta^2)+[3(\alpha+\beta)+1]/2[/texx] divisible por [texx]2[/texx]

no es posible. Pero no es cierto. El error es que estás presuponiendo que el sumando [texx][3(\alpha+\beta)+1]/2[/texx] tiene que ser impar lo cual obligaría al primero a ser también impar. Pero no hay ningún motivo para que ese cociente necesariamente tenga que ser impar.

2) En la página 2, de (6) tienes que:

[texx]a\left(a+m+\dfrac{m^2-ca}{c-m}\right)[/texx]

es entero. De ahí pretendes deducir que [texx]\dfrac{m^2-ca}{c-m}[/texx] es entero. Pero en realidad lo único que puedes decir en principio es que [texx]\dfrac{a(m^2-ca)}{c-m}[/texx]es entero.

3) Este es el error más grave, en cuanto que es la parte más decisiva de tu intento de demostración.

En la página 3, dices:

[texx]b=\dfrac{f^{1/3}}{f^{1/3}-3g^{1/3}}(m-a)[/texx]

 Y de ahí afirmas que:

 - o bien [texx](m-a)[/texx] es divisor de [texx]b[/texx]
 - o bien [texx]f^{1/3}-3g^{1/3}[/texx] es divisor de [texx]m-a[/texx]

 Eso no tiene porque ser así de nuevo: [texx](m-a)[/texx] podría tener algunos factores comunes con [texx]b[/texx] y otros con el cociente [texx]\dfrac{f^{1/3}}{f^{1/3}-3g^{1/3}}[/texx]

 Más adelante del hecho de que [texx]b^3/(m-a)[/texx] sea un cubo deduces que:

[texx]b^3=m^3a-a^3m[/texx]

 Ahí me pierdo completamente. ¿De dónde sale eso?. Antes pones que:

[texx]\dfrac{m^3-a^3}{m-a}=ma(m+a)[/texx]

pero eso está mal; es:

[texx]\dfrac{m^3-a^3}{m-a}=m^2+ma+a^2[/texx]

Saludos.