Matemática => Teoría de Juegos => Mensaje iniciado por: nchlpz en 15/12/2018, 08:59:27 pm



Título: Equilibrio juego no cooperativo 3x2
Publicado por: nchlpz en 15/12/2018, 08:59:27 pm
Hola:

Tengo un problema en el que necesito calcular los puntos de equilibrio del juego no cooperativo cuya bi-matriz de pagos es la siguiente:

\begin{bmatrix} (-1,-1) & (6,0)  \\ (2,2) & (9,0) \\ (5,5) & (12,0) \end{bmatrix}


Si fuese una matrix 2x2, podría asignar la probabilidad [texx]x[/texx] a la primera fila, [texx]1-x[/texx] a la segunda, [texx]y[/texx] a la primera columna e [texx]1-y[/texx] a la segunda columna. De esta forma, podría dibujar en el plano los valores de [texx]x[/texx] que maximizan la función de ganancia del jugador fila ([texx]\pi_1 (x,y)[/texx]), y los valores de [texx]y[/texx] que maximizan la del jugador columna ([texx]\pi_2 (x,y)[/texx]).

Al tener una matriz 3x2, no sé muy bien cómo abordar el problema. Si ahora tengo [texx]a[/texx] para la primera fila, [texx]b[/texx] para la segunda fila, [texx]1-a-b[/texx] para la tercera fila, [texx]y[/texx] para la primera columna y [texx]1-y[/texx] para la segunda columna, tendría que maximizar ([texx]\pi_1 (a,b,y)[/texx]) respecto a [texx]a[/texx] y a [texx]b[/texx], y ([texx]\pi_2 (a,b,y)[/texx]) respecto a [texx]y[/texx]. Entonces,

[texx]\pi_1 (a,b,y)=-3b-7y-6a+12[/texx]
[texx]\frac{{\partial \pi_1 (a,b,y)}}{{\partial a}}=-6\Rightarrow{}[/texx] [texx]a=0[/texx] porque siempre decrece.
[texx]\frac{{\partial \pi_1 (a,b,y)}}{{\partial b}}=-3\Rightarrow{}[/texx] [texx]b=0[/texx] porque siempre decrece.

Análogamente con [texx]\pi_2 (a,b,y)[/texx]:
[texx]\pi_2 (a,b,y)=-6ay-3by+5y[/texx]
[texx]\frac{{\partial \pi_2 (a,b,y)}}{{\partial y}}=-6a-3b+5\Rightarrow{}[/texx] si [texx](a,b)[/texx] está por debajo de la recta [texx]-6a-3b+5=0[/texx], entonces [texx]y=1[/texx]; si está sobre la recta, cualquier [texx]y[/texx]; en otro caso,[texx]y=0[/texx].

Haciendo un boceto en 3 dimensiones me sale que la intersección es el punto [texx]a=0, b=0, y=1[/texx].

Muchas gracias de antemano por cualquier comentario.