Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Masacroso en 27/10/2018, 12:04:15 am



Título: Darle sentido a expresiones del tipo \(\displaystyle\int_{f(x)}^{g(x)}h(x)\,dx\)
Publicado por: Masacroso en 27/10/2018, 12:04:15 am
Ayer vi en MSE una manera de darle sentido a expresiones de la forma [texx]\int_{f(x)}^{g(x)}h(x)\, dx[/texx] para funciones reales [texx]f,g,h:\Bbb R\to\Bbb R[/texx] utilizando la "parafernalia" de las integrales de Lebesgue asumiendo alguna medida (como por ejemplo la medida de Lebesgue), por ejemplo:

[texx]\displaystyle\int_{f(x)}^{g(x)}h(x)\, dx:=\int_{\Bbb R}\chi_{[f(x),g(x)]}(x)h(x)\lambda(dx)[/texx]

donde [texx]\lambda(dx)[/texx] es la medida de Lebesgue respecto de [texx]x[/texx] y [texx]\chi_A[/texx] es la función indicatriz del conjunto [texx]A[/texx]. Aunque claro que en vez de tomar el intervalo cerrado [texx][f(x),g(x)][/texx] también podría tomarse uno abierto o semiabierto, etc.

Me ha parecido curioso e interesante que se pudiese dar sentido a esas expresiones, ya que este tipo de expresiones han aparecido en el foro en los últimos meses, erróneamente escritas, asociadas a integrales de Riemann.


Título: Re: Darle sentido a expresiones del tipo \(\displaystyle\int_{f(x)}^{g(x)}h(x)\,dx\)
Publicado por: manooooh en 27/10/2018, 02:19:26 am
Yo soy uno de los que vio comenzar esa respuesta de MSE que dio nacimiento a este [prometedor] hilo ;D.

Pregunta de alguien que no sabe nada de esto: ¿las funciones [texx]f[/texx], [texx]g[/texx] y [texx]h[/texx] deben ser continuas en algún subconjunto de [texx]\Bbb R[/texx]?

Saludos


Título: Re: Darle sentido a expresiones del tipo \(\displaystyle\int_{f(x)}^{g(x)}h(x)\,dx\)
Publicado por: Luis Fuentes en 27/10/2018, 03:36:52 am
Hola

Yo soy uno de los que vio comenzar esa respuesta de MSE que dio nacimiento a este [prometedor] hilo ;D.

Pregunta de alguien que no sabe nada de esto: ¿las funciones [texx]f[/texx], [texx]g[/texx] y [texx]h[/texx] deben ser continuas en algún subconjunto de [texx]\Bbb R[/texx]?

Deben de ser medibles (https://es.wikipedia.org/wiki/Función_medible), que es más débil (para la medida de Lebesgue) que ser continuas.

En la práctica equivale a restringir el conjunto de integración a los puntos solución de:

[texx]f(x)\leq x\leq g(x)[/texx]

que para funciones "normales" será una unión de ciertos intervalos.

Saludos.