Matemática => Cálculo 1 variable => Mensaje iniciado por: Quema en 16/10/2018, 05:46:45 pm



Título: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 16/10/2018, 05:46:45 pm
Supongamos que [texx]f:[0,1]\rightarrow{}[0,1][/texx] es continua, creciente, cóncava-convexa (con punto de inflexión [texx]c[/texx]) con [texx]f(0)=0,f(1)=1[/texx], tal que [texx]2f(x/2)\leq 1,[/texx] para todo [texx]x \in [0,1][/texx]

Existe siempre un [texx]b \in (0,1][/texx] tal que [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx]. Es éste único?

Mi respuesta es afirmativa, simplemente hay que trazar una recta del punto [texx](b/2,f(b/2))[/texx] con pendiente [texx]2[/texx] y cortará solamente una vez la recta [texx]f(x)[/texx], pues [texx]c\leq{}b/2[/texx] y [texx]f(x)[/texx] es creciente. Mi duda está si la pendiente de [texx]f(x)[/texx] en [texx]x=b/2[/texx] es mayor a 2, capaz que esa recta no cortaría ningún punto de [texx]f(x)[/texx].

Saludos


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Masacroso en 17/10/2018, 12:22:19 am
Supongamos que [texx]f:[0,1]\rightarrow{}[0,1][/texx] es continua, creciente, cóncava-convexa (con punto de inflexión [texx]c[/texx]) con [texx]f(0)=0,f(1)=1[/texx], tal que [texx]2f(x/2)\leq 1,[/texx] para todo [texx]x \in [0,1][/texx]

Existe siempre un [texx]b \in (0,1][/texx] tal que [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx]. Es éste único?

Mi respuesta es afirmativa, simplemente hay que trazar una recta del punto [texx](b/2,f(b/2))[/texx] con pendiente [texx]2[/texx] y cortará solamente una vez la recta [texx]f(x)[/texx], pues [texx]c\leq{}b/2[/texx] y [texx]f(x)[/texx] es creciente. Mi duda está si la pendiente de [texx]f(x)[/texx] en [texx]x=b/2[/texx] es mayor a 2, capaz que esa recta no cortaría ningún punto de [texx]f(x)[/texx].

Saludos

¿Y qué punto es el [texx]b[/texx]? Tienes un punto indefinido [texx](b/2,a)[/texx], para algún [texx]b\in[0,2][/texx] con [texx]a=f(b/2)[/texx]. A partir de ahí haces una recta con pendiente 2 y aseguras que corta una vez [texx]f[/texx], ¿por qué? No me queda nada claro lo que has hecho, en todo caso tienes que explicarte mejor.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: martiniano en 17/10/2018, 03:37:22 am
Hola.

Yo lo que afirmaría, según está el enunciado y si lo he entendido bien, es que no existe [texx]b[/texx] con esas características. Debe de estar fallando algo, porque tampoco veo que se deba cumplir [texx]c\leq{b/2}[/texx]

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 17/10/2018, 06:37:49 am
Hola

Supongamos que [texx]f:[0,1]\rightarrow{}[0,1][/texx] es continua, creciente, cóncava-convexa (con punto de inflexión [texx]c[/texx]) con [texx]f(0)=0,f(1)=1[/texx], tal que [texx]2f(x/2)\leq 1,[/texx] para todo [texx]x \in [0,1][/texx]

Existe siempre un [texx]b \in (0,1][/texx] tal que [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx]. Es éste único?

En cuanto a la existencia.

Si definimos:

[texx]g(x)=f(x)-2f(x/2)[/texx]

tenemos [texx]g(0)=0[/texx], [texx]g(1)=1-2f(1/2)> 0[/texx] (si fuese [texx]g(1)=0[/texx] ya tendríamos [texx]b=1[/texx]).

Ahora asumiendo las funciones derivables:

[texx]g'(x)=f'(x)-f'(x/2)[/texx]

Dado que [texx]f(x)[/texx] es cóncava en [texx][0,c][/texx] su derivada es decreciente y así si [texx]x<c[/texx] se tiene que [texx]g'(x)<0[/texx].

Por tanto como [texx]g(0)=0[/texx], [texx]g(1)>0[/texx] y [texx]g(x)[/texx] es decreciente en [texx](0,c)[/texx], necesariamente [texx]g(x)[/texx] tiene al menos una raíz en [texx](c,1][/texx], es decir, existe [texx]b\in (c,1][/texx] tal que [texx]f(b)=2f(b/2).[/texx]

Cita
Mi respuesta es afirmativa, simplemente hay que trazar una recta del punto [texx](b/2,f(b/2))[/texx] con pendiente [texx]2[/texx] y cortará solamente una vez la recta [texx]f(x)[/texx], pues [texx]c\leq{}b/2[/texx] y [texx]f(x)[/texx] es creciente. Mi duda está si la pendiente de [texx]f(x)[/texx] en [texx]x=b/2[/texx] es mayor a 2, capaz que esa recta no cortaría ningún punto de [texx]f(x)[/texx].

No acabo de entender el argumento.

No es cierto en general que necesariamente [texx]c\leq b/2[/texx] (se pueden poner ejemplos donde no se da esa cota); lo que sabemos es que [texx]c<b[/texx].

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: martiniano en 17/10/2018, 07:06:30 am
Hola

[texx]g'(x)=f'(x)-f'(x/2)[/texx]

Dado que [texx]f(x)[/texx] es cóncava en [texx][0,c][/texx] su derivada es decreciente y así si [texx]x<c[/texx] se tiene que [texx]g'(x)<0[/texx].

No acabo de ver esto. Observa que al ser [texx]f(x)[/texx] creciente se cumple [texx]f'(x)>0[/texx] en [texx][0,c][/texx]. Es más, al ser [texx]f(x)[/texx] cóncava su derivada es creciente, luego [texx]f'(x)>f'(x/2)[/texx] en [texx][0,c][/texx], ¿no?

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 17/10/2018, 07:08:46 am
Hola

No acabo de ver esto. Observa que al ser [texx]f(x)[/texx] creciente se cumple [texx]f'(x)>0[/texx] en [texx][0,c][/texx]. Es más, al ser [texx]f(x)[/texx] cóncava su derivada es creciente, luego [texx]f'(x)>f'(x/2)[/texx] en [texx][0,c][/texx], ¿no?

Al revés, si es cóncava su derivada es decreciente. Por ejemplo [texx]f(x)=1-x^2[/texx].

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: martiniano en 17/10/2018, 07:13:51 am
Hola.

Hola

No acabo de ver esto. Observa que al ser [texx]f(x)[/texx] creciente se cumple [texx]f'(x)>0[/texx] en [texx][0,c][/texx]. Es más, al ser [texx]f(x)[/texx] cóncava su derivada es creciente, luego [texx]f'(x)>f'(x/2)[/texx] en [texx][0,c][/texx], ¿no?

Al revés, si es cóncava su derivada es decreciente. Por ejemplo [texx]f(x)=1-x^2[/texx].

Saludos.

No. Esa es convexa en todo [texx] \mathbb{R}[/texx]. "Cóncava" es una palabra derivada de "cuenco", y esa función no tiene forma de "cuenco".

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: martiniano en 17/10/2018, 07:21:34 am
Hola.

Vale, eso es lo que pasa... En Wikipedia he visto que está así como dices tú. Pero en los libros de segundo de bachillerato está como digo yo...  ???

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 17/10/2018, 07:27:56 am
Hola

Vale, eso es lo que pasa... En Wikipedia he visto que está así como dices tú. Pero en los libros de segundo de bachillerato está como digo yo...  ???

¡Quémalos!... Diría que al menos el 95% de la biblografía considera que [texx]x^2[/texx] es convexa y [texx]1-x^2[/texx] es cóncava. Yo tengo grabado esto en la cabeza pensando que la concavidad se mira desde abajo; entonces [texx]1-x^2[/texx] es un cuenco si lo miras desde abajo.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 17/10/2018, 07:34:53 am
Hola

 Una familia de ejemplos para ver que no tiene porque cumplirse que [texx]b\geq 2c[/texx].

 Se trata de dos trozos de parábolas con vértice en el punto [texx](c,h)[/texx], a primera cóncava y la segunda convexa.

 En naranja está representada la función [texx]f(x)[/texx].

 En azul [texx]f(x)-2f(x/2)[/texx].

 En verde [texx]f(x)+f(b-x)-f(b)[/texx].

 Pueden modificarse [texx]c[/texx] y [texx]h[/texx].


Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 17/10/2018, 09:37:25 am
Y para esta función: [texx]f(x)=x[/texx] si [texx]0\leq x\leq 0.1,[/texx], [texx]f(x)=0.5(x-0.1)+0.1[/texx] si [texx]0.1\leq x\leq 0.2,[/texx] y [texx]f(x)=\displaystyle\frac{85}{80}(x-0.2)+0.15[/texx] si [texx]0.2\leq x\leq 1.[/texx]

¿Existe ese [texx]b[/texx]?



Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 17/10/2018, 09:55:31 am
Hola

Y para esta función: [texx]f(x)=x[/texx] si [texx]0\leq x\leq 0.1,[/texx], [texx]f(x)=0.5(x-0.1)+0.1[/texx] si [texx]0.1\leq x\leq 0.2,[/texx] y [texx]f(x)=\displaystyle\frac{85}{80}(x-0.2)+0.15[/texx] si [texx]0.2\leq x\leq 1.[/texx]

¿Existe ese [texx]b[/texx]?

Si, ahí lo tienes, en azul [texx]f(x)[/texx] y en naranja [texx]f(x)-2f(x/2)[/texx]:

(http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=106506.0;attach=20217)

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 17/10/2018, 10:08:40 am
Si, perfecto, hay muchos [texx]b's[/texx], de hecho, como muestras en el gráfico para todo [texx]b\leq 0.1[/texx] se cumple la igualdad, luego el que me interesa es el que está en [texx][0.28,0.29].[/texx]

El comportamiento de la función [texx]f(x)-2f(x/2)[/texx], puede ser que para todo [texx]x\geq c[/texx] empiece siempre negativo, es decir [texx]f(c^+)-2f(c^+/2)\leq 0[/texx] y luego corte en algún punto el eje de las abscisas?


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 17/10/2018, 11:55:39 am
Hola

Si, perfecto, hay muchos [texx]b's[/texx], de hecho, como muestras en el gráfico para todo [texx]b\leq 0.1[/texx] se cumple la igualdad, luego el que me interesa es el que está en [texx][0.28,0.29].[/texx]

El comportamiento de la función [texx]f(x)-2f(x/2)[/texx], puede ser que para todo [texx]x\geq c[/texx] empiece siempre negativo, es decir [texx]f(c^+)-2f(c^+/2)\leq 0[/texx] y luego corte en algún punto el eje de las abscisas?

Pero esos primeros infinitos valores iniciales no me preocupen; son consecuencia de que al principio la función es lineal pura. Basta por ejemplo exigir que se estrictamente cóncava para que no se den.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: martiniano en 17/10/2018, 05:21:40 pm
Hola.

Yo tengo grabado esto en la cabeza pensando que la concavidad se mira desde abajo; entonces [texx]1-x^2[/texx] es un cuenco si lo miras desde abajo.

A mí me pasa justo al revés. Estoy petrificado. Espero poder dormir esta noche.  :D  He abierto un hilo para hablar de esto.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=106517.msg419921;topicseen#msg419921 (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=106517.msg419921;topicseen#msg419921)

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 19/10/2018, 09:15:48 am
Hola

Una familia de ejemplos para ver que no tiene porque cumplirse que [texx]b\geq 2c[/texx].

 Se trata de dos trozos de parábolas con vértice en el punto [texx](c,h)[/texx], a primera cóncava y la segunda convexa.

 En naranja está representada la función [texx]f(x)[/texx].

 En azul [texx]f(x)-2f(x/2)[/texx].

 En verde [texx]f(x)+f(b-x)-f(b)[/texx].

 Pueden modificarse [texx]c[/texx] y [texx]h[/texx].

 Por concretar la ecuación es:

[texx]f(x)=\begin{cases} \dfrac{-h(c-x)^2}{c^2}+h & \text{si}& 0\leq x\leq c\\\dfrac{(1-h)(x-c)^2}{(1-c)^2}+h& \text{si}& c<x\leq 1\end{cases}[/texx]

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 19/10/2018, 09:42:56 am
Para  qué valores de [texx]c,h[/texx] se tiene el máximo valor de subaditividad [texx][0,b][/texx] en el cual no se cumple que [texx]f(b)=2f(b/2).[/texx]


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 19/10/2018, 11:25:48 am
Hola

Para  qué valores de [texx]c,h[/texx] se tiene el máximo valor de subaditividad [texx][0,b][/texx] en el cual no se cumple que [texx]f(b)=2f(b/2).[/texx]

Lo que se tiene (visto empíricamente) es que dado [texx]b[/texx] solución de  [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx], el máximo intervalo de subadtividad es [texx][0,b][/texx] si y sólo si [texx]b\geq 2c[/texx].


En este dibujo he añadido en rojo [texx]f(x)+f(k-x)-f(k)[/texx] con un valor de [texx]k[/texx] que podemos variar moviendo el punto rojo, para ver como se comporta la subaditividad en intervalos [texx][0,k][/texx] distintos del [texx][0,b][/texx].

Saludos.

P.D. Para no liarnos es mejor que le llamemos siempre [texx]b[/texx] a la solución de [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx] y no al límite del máximo intervalo de subadtividad (aunque en muchos casos coincidirán).


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 19/10/2018, 12:03:58 pm
Perdón, pero yo en visualización gráfica soy nulo. Me puedes dar un ejemplo numérico concreto de mi pedido.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 19/10/2018, 12:54:10 pm
Hola

Perdón, pero yo en visualización gráfica soy nulo. Me puedes dar un ejemplo numérico concreto de mi pedido.

La respuesta más precisa a tu pedido es la que te dí:

Lo que se tiene (visto empíricamente) es que dado [texx]b[/texx] solución de  [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx], el máximo intervalo de subadtividad es [texx][0,b][/texx] si y sólo si [texx]b\geq 2c[/texx].

Si quieres un ejemplo concreto donde la función no sea subaditiva en [texx][0,b][/texx], toma:

[texx]c=0.4,\qquad h=0.2[/texx]

El valor de [texx]b[/texx] es aproximadamente [texx]0.69.[/texx]

Si sería subaditiva por ejemplo en [texx][0,6][/texx].

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 19/10/2018, 03:50:35 pm
Una resultado medio vago. Cuál es el [texx]b[/texx] no existe? Pues no es igual a [texx]b=0.69,[/texx] no? Tendería a 0.69. Cada vez lo veo más confuso.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 19/10/2018, 04:12:44 pm
Hola

Una resultado medio vago. Cuál es el [texx]b[/texx] no existe?

Antes de nada insisto en algo que te comenté antes porque sino vamos a liarnos y confundirnos continuamente:

P.D. Para no liarnos es mejor que le llamemos siempre [texx]b[/texx] a la solución de [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx] y no al límite del máximo intervalo de subadtividad (aunque en muchos casos coincidirán).

Entonces en el ejemplo el [texx]b[/texx] es decir la solución de [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx] es "exactamente" [texx]0.69[/texx] (las comillas son porque no he escrito todos sus decimales, sólo dos).

Entonces creo que tu preguntas por el intervalo maximal donde es subaditiva [texx][0,k][/texx]. No he hallado exactamente cuanto vale [texx]k[/texx].. pero ¡claro que es un valor concreto!. Habría que hacer las cuentas (pueden hacerse en este caso porque todo lo que manejamos son parábolas, aunque son un poco pesadas). Un poco a ojo será un poquito más de [texx]0.6[/texx], [texx]k=0.62[/texx] o así. Pero no sé que interés tiene que te de el valor exacto para el ejemplo concreto.

Cita
Pues no es igual a [texx]b=0.69,[/texx] no? Tendería a 0.69. Cada vez lo veo más confuso.

No tiene sentido que digas "tiende a" para un ejemplo concreto. El valor de [texx]k[/texx] con toda seguridad es un número muy concreto entre el punto de inflexión [texx]c[/texx] y la solución [texx]b[/texx] de  [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx].

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 19/10/2018, 05:47:40 pm
No entendí, cómo dices que hallas ese [texx]k[/texx], qué cuentas tienes que hacer?


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 19/10/2018, 06:22:41 pm
Hola

No entendí, cómo dices que hallas ese [texx]k[/texx], qué cuentas tienes que hacer?

Si consideras la función:

[texx]h(z)=min\{f(x)+f(z-x)-f(z)|x\in [0,z]\}[/texx]

Se tiene que:

[texx]k=inf\{z|h(z)<0\}[/texx]

En este caso la función [texx]f(x)+f(z-x)-f(z)[/texx] es a trozos una parábola y por tanto puede hallarse (el que sea a trozos lo hace más farragoso, pero viable) explícitamente su mínimo [texx]h(z)[/texx] y por tanto después puede hallarse también [texx]k[/texx] explícitamente.

Mi estimiación de [texx]0.62[/texx] es gráfica, jugando el el gráfico de Geogebra moviendo el punto rojo hasta que la función roja empiece a tomar algún valor negativo.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 20/10/2018, 10:59:08 am
\oplus{}Es igual que hallar

[texx]k=sup\left\{{z/h(z)\geq 0}\right\}[/texx]. Además, [texx]h(k)[/texx] no es igual a cero, no?


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 20/10/2018, 04:33:08 pm
Hola

\oplus{}Es igual que hallar

[texx]k=sup\left\{{z/h(z)\geq 0}\right\}[/texx].

Si, es lo mismo.

Cita
Además, [texx]h(k)[/texx] no es igual a cero, no?

Si, si es igual a cero como consecuencia de que [texx]h(z)[/texx] es una función continua por ser máximo en [texx][0,z][/texx] de una función continua en [texx][0,1][/texx].

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 26/10/2018, 04:37:08 pm
Pero, entonces existirán valores de [texx]z\in(k,b)[/texx] tal que [texx]h(z)<0[/texx], no?


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 26/10/2018, 04:49:20 pm
Hola

Pero, entonces existirán valores de [texx]z\in(k,b)[/texx] tal que [texx]h(z)<0[/texx], no?

¡Claro! Se ve claramente en el gráfico de GeoGebra de hace algunos mensajes.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 26/10/2018, 05:05:00 pm
Pero, entonces [texx]f(z)<2f(z/2)[/texx], no?


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 26/10/2018, 05:20:53 pm
Hola

Cita
Pero, entonces [texx]f(z)<2f(z/2)[/texx], no?

¡No necesariamente!. Ten en cuenta que [texx]h(z)[/texx] es el mínimo de [texx]f(x)+f(z-x)-f(z)[/texx], pero , y esa es la clave del asunto, ese mínimo no tienen porque alcanzarse en [texx]x=z/2[/texx]. De hecho nuevamente en el gráfico de Geogebra se ve que en los casos en los que [texx]k<b[/texx], el mínimo no se alcanza en el punto central del intervalo.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 26/10/2018, 05:52:31 pm
 ??? ??? Justamente, si [texx]f(z)\neq{}2f(z/2)[/texx] necesariamente, [texx]f(z)<2f(z/2).[/texx] De otra forma, no se cumpliría la subaditividad. Una condición necesaria para la subaditividad de [texx]f(x)[/texx] en [texx][0,z][/texx] es que [texx]f(z)\leq{}2f(z/2).[/texx] Yo antes creía que la condición necesaria era [texx]f(z)=2f(z/2).[/texx]


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 26/10/2018, 06:21:33 pm
Hola

??? ??? Justamente, si [texx]f(z)\neq{}2f(z/2)[/texx] necesariamente, [texx]f(z)<2f(z/2).[/texx] De otra forma, no se cumpliría la subaditividad. Una condición necesaria para la subaditividad de [texx]f(x)[/texx] en [texx][0,z][/texx] es que [texx]f(z)\leq{}2f(z/2).[/texx] Yo antes creía que la condición necesaria era [texx]f(z)=2f(z/2).[/texx]

Si, me lie un poco, pero aun así no entiendo tu pregunta.

Comenzaste hablando de un [texx]z[/texx] en [texx](k,b)[/texx] es decir, por tanto un [texx]z[/texx] tal que en [texx][0,z][/texx] la función NO es subaditiva.

Eso nos garantiza que exista algún [texx]x[/texx] en [texx][0,z][/texx] tal que:

[texx]f(x)+f(z-x)<f(z)[/texx]

 ¿Cúal es ese [texx]x[/texx] concreto?.  No lo se. Dependerá del caso.

 Independientemente de todo eso creo que habíamos razonado que en [texx][0,b][/texx] nunca se daba que [texx]f(x)>2f(x/2)[/texx] y por tanto eso garantiza que ese [texx]x[/texx] no será [texx]z/2[/texx].

 El fondo de todo esto es que en contra de lo que creo que pensabas no es suficiente analizar el signo de [texx]f(x)-2f(x/2)[/texx] para tener controlada la subadtividad.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 26/10/2018, 06:24:51 pm
Perdón, quise decir [texx]f(k)<2f(k/2).[/texx]


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 26/10/2018, 06:27:14 pm
Hola

Perdón, quise decir [texx]f(k)<2f(k/2).[/texx]

Si, se cumple eso.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 27/10/2018, 10:25:43 am
Veo que el test propuesto por Bruckner, ya no es muy atractivo, pues el método proponía hallar el [texx]k[/texx] simplemente igualando [texx]f(k)=2f(k/2),[/texx] pero éste ejemplo muestra que, cuando no se cumple esa igualdad ese valor ya no es tan fácil de hallar.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 27/10/2018, 10:33:47 am
Hola

Veo que el test propuesto por Bruckner, ya no es muy atractivo, pues el método proponía hallar el [texx]b[/texx] (el [texx]k[/texx] del ejemplo) simplemente igualando [texx]f(b)=2f(b/2),[/texx] pero éste ejemplo muestra que ese valor ya no es tan fácil de hallar, pues el [texx]k[/texx] no es tan obvio de encontrar como en ese test.

Pero yo creo que esa es una idea que te habías hecho tu.

El test de Bruckner lo que simplifica es sustituir analizar el signo de:

[texx]f(x)+f(y)-f(x+y)[/texx] cuando [texx]x,y\in [0,b][/texx],

Por el signo de:

[texx]f(x)+f(b-x)-f(b)[/texx] cuando [texx]x\in [0,b][/texx].

Pasando de dos variables a sólo una.

Tu quisieras que todo se redujese a ver que pasa en un sólo punto, lo cual sería un “chollazo”. Pero no funciona.

Saludos.



Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 27/10/2018, 11:12:46 am
Justamente, el test de Bruckner es útil si el mínimo se da en [texx]x=b/2[/texx] 


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 28/10/2018, 09:32:23 am
Hola

Justamente, el test de Bruckner es útil si el mínimo se da en [texx]x=b/2[/texx] 

No necesariamente. Es útil si se puede calcular el mínimo. Si por ejemplo para una determinada función o familia de funciones sabemos que se da en [texx]x=b/3[/texx] (por decir algo), el test sería igualmente útil.

O incluso si podemos acotar el mínimo; si sabemos que es mayor que cero en un intervalo [texx][0,b][/texx] (aunque no sepamos donde se alcanza exactamente) garantizamos al menos la subadtividad en ese intervalo.

Otra cosa mas el test no está pensado especialmente (al menos tal como lo he leído enunciado) como un método para hallar el máximo intervalo de subadtividad, sino simplemente para decidir si en un determinado intervalo es o no subaditiva; obviamente esto ayuda como efecto secundario a hallar el intervalo más grande con esa propiedad.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 30/10/2018, 09:12:19 am
Si se pudiese probar que [texx]f(x)+f(b-x)\geq{}f(b)[/texx] para todo [texx]x \in [0,b][/texx] entonces la condición [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx] es condición necesaria y suficiente para la subaditividad de [texx]f(x)[/texx] en [texx]x \in [0,b][/texx].



Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 30/10/2018, 10:04:24 am
Hola

Si se pudiese probar que [texx]f(x)+f(b-x)\geq{}f(b)[/texx] para todo [texx]x \in [0,b][/texx] entonces la condición [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx] es condición necesaria y suficiente para la subaditividad de [texx]f(x)[/texx] en [texx]x \in [0,b][/texx].

Si; pero para cualquier f(x) con esas condiciones de concavidad convexidad ya sabemos que no se va a dar.

SAludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 30/10/2018, 10:13:44 am
Si, claro, pero me interesa en particular algún tipo de función [texx]f(x)=e^{-(-lnx)^a}[/texx] con [texx]a \in [0,1][/texx], [texx]x\in [0,1].[/texx] Entonces en lugar de hallar el mínimo de [texx]f(x)+f(b-x)-f(b)[/texx] como sugiere el test de Bruckner, sirve probar que [texx]f(x)+f(b-x)-f(b)\geq{}0[/texx]. O llamando [texx]-lnx=v,-ln(b-x)=y, -lnb=z[/texx] es lo mismo que probar que

[texx]g(a)=e^{-v^a}+e^{-y^a}-e^{-z^a}\geq{}0[/texx] con [texx]e^{-v}+e^{-y}=e^{-z}[/texx]

Ahora, [texx]g(0)=1/e>0,g(1)=0[/texx] entonces si probamos que [texx]g'(a)\leq{}0[/texx] entonces habremos probado que [texx]g(a)\geq{}0[/texx].

Siendo, [texx]g'(a)=-v^ae^{-v^a}lnv-y^aye^{-y^a}lny+z^ae^{-z^a}lnz[/texx].


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 30/10/2018, 01:02:14 pm
Hola

Si, claro, pero me interesa en particular algún tipo de función [texx]f(x)=e^{-(-lnx)^a}[/texx] con [texx]a \in [0,1][/texx], [texx]x\in [0,1].[/texx] Entonces en lugar de hallar el mínimo de [texx]f(x)+f(b-x)-f(b)[/texx] como sugiere el test de Bruckner, sirve probar que [texx]f(x)+f(b-x)-f(b)\geq{}0[/texx]. O llamando [texx]-lnx=v,-ln(b-x)=y, -lnb=z[/texx] es lo mismo que probar que

[texx]g(a)=e^{-v^a}+e^{-y^a}-e^{-z^a}\geq{}0[/texx] con [texx]e^{-v}+e^{-y}=e^{-z}[/texx]

Ahora, [texx]g(0)=1/e>0,g(1)=0[/texx] entonces si probamos que [texx]g'(a)\leq{}0[/texx] entonces habremos probado que [texx]g(a)\geq{}0[/texx].

Siendo, [texx]g'(a)=-v^ae^{-v^a}lnv-y^aye^{-y^a}lny+z^ae^{-z^a}lnz[/texx].

¿Pero tiene mejor pinta la función [texx]g(a)[/texx] que la función [texx]f(x)-f(b-x)-f(b)[/texx] original?.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 30/10/2018, 02:41:24 pm
Bueno, no se, supongo que no, pero otra es ver cuántas raíces tiene [texx]f(x)+f(b-x)-f(b)[/texx] para [texx]x \in (0,b/2)[/texx] pero estamos con el problema de utilizar métodos numéricos para eso. Además, estudiar el signo de esa expresión, parece más fácil que estudiar sus mínimos, no?


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 30/10/2018, 03:46:34 pm
Hola

Bueno, no se, supongo que no, pero otra es ver cuántas raíces tiene [texx]f(x)+f(b-x)-f(b)[/texx] para [texx]x \in (0,b/2)[/texx] pero estamos con el problema de utilizar métodos numéricos para eso. Además, estudiar el signo de esa expresión, parece más fácil que estudiar sus mínimos, no?

Viene a ser lo mismo.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 30/10/2018, 05:03:20 pm
Si expreso

[texx]v=-(-lnx)^a,y=-(-ln(b-x))^a,z=-(-lnb)^a[/texx] entonces obtengo

[texx]e^v+e^y-e^z[/texx]. Ahora [texx]f(x)=e^x[/texx] es una función convexa y creo que en el intervalo [texx]x \in [0,b/2][/texx] se cumple que (creo que no es muy difícil de probar) [texx]v+y-z<0.[/texx]

Entonces existe [texx]w>0[/texx] tal que [texx]v+y+w=z[/texx] entonces por convexidad de [texx]f[/texx] se cumple que [texx]f(v)+f(y)-f(-w)\geq{}f(z)[/texx] y por lo tanto [texx]f(v)+f(y)-f(z)\geq{}f(-w)\geq{}0[/texx]

Está bien?



Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 31/10/2018, 08:27:49 am
Hola

[texx]e^v+e^y-e^z[/texx]. Ahora [texx]f(x)=e^x[/texx] es una función convexa y creo que en el intervalo [texx]x \in [0,b/2][/texx] se cumple que (creo que no es muy difícil de probar) [texx]v+y-z<0.[/texx]

Entonces existe [texx]w>0[/texx] tal que [texx]v+y+w=z[/texx] entonces por convexidad de [texx]f[/texx] se cumple que [texx]f(v)+f(y)-f(-w)\geq{}f(z)[/texx] y por lo tanto [texx]f(v)+f(y)-f(z)\geq{}f(-w)\geq{}0[/texx]

Es imposible que de [texx]v+y-z<0[/texx] puedas deducir que [texx]e^v+e^y-e^z\geq 0[/texx].

Fíjate que la condición [texx]v+y-z<0[/texx] se da para [texx]z[/texx] tan grande como queramos. Pero para z muy grande es claro que [texx]e^v+e^y-e^z<0[/texx].

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 31/10/2018, 08:30:57 am
No entiendo, has el gráfico de [texx]v+y-z[/texx] y verás que se cumple.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 31/10/2018, 08:37:49 am
Hola

No entiendo, has el gráfico de [texx]v+y-z[/texx] y verás que se cumple.

Para el caso concreto que planteas es cierto que se cumple: [texx]v+y-z<0[/texx] y es cierto que se cumple que [texx]e^v+e^y-e^z\geq 0[/texx].

Pero lo que no es cierto es que lo segundo se deduzca simplemente de lo primero. Por que uno puede poner ejemplos donde se cumple lo primero pero no lo segundo sin más que tomar [texx]z[/texx] suficientemente grande.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 31/10/2018, 08:41:07 am
Es que no puedes usar cualquier [texx]z,[/texx] el [texx]z[/texx] que usé utiliza el [texx]b[/texx] tal que [texx]e^{-(-lnb)^a}=2e^{-(-ln(b/2))^a}.[/texx]


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 31/10/2018, 08:49:21 am
Hola

Es que no puedes usar cualquier [texx]z,[/texx] el [texx]z[/texx] que usé utiliza el [texx]b[/texx] tal que [texx]e^{-(-lnb)^a}=2e^{-(-ln(b/2))^a}.[/texx]

No se si logro explicarme. En esta parte:

[texx]e^v+e^y-e^z[/texx]. Ahora [texx]f(x)=e^x[/texx] es una función convexa y creo que en el intervalo [texx]x \in [0,b/2][/texx] se cumple que (creo que no es muy difícil de probar) [texx]v+y-z<0.[/texx]

Entonces existe [texx]w>0[/texx] tal que [texx]v+y+w=z[/texx] entonces por convexidad de [texx]f[/texx] se cumple que [texx]f(v)+f(y)-f(-w)\geq{}f(z)[/texx] y por lo tanto [texx]f(v)+f(y)-f(z)\geq{}f(-w)\geq{}0[/texx]

lo único que utilizas es que [texx]v+y-z<0 [/texx] y la convexidad de [texx]e^x[/texx]. Entonces sólo con eso no puede obtenerse la conclusión que quieres, porque entonces podría probarse lo mismo para casos donde no es cierto.

No están mal ni tus hipótesis ni tus conclusiones (en cuanto que son ciertas); pero lo que está mal es el argumento que has expuesto y que quieres que te permita deducir las conclusiones a partir de las hipótesis.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 31/10/2018, 08:59:01 am
Sigo sin entender, hasta que no lo vea no lo creo.  ;)


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 31/10/2018, 09:18:25 am
Hola

Sigo sin entender, hasta que no lo vea no lo creo.  ;)

[texx]1+1-2.1<0[/texx]

Pero:

[texx]e^1+e^1-e^{2.1}<0[/texx]

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 31/10/2018, 09:34:53 am
No!!!! Repito [texx]z[/texx] no sale de cualquier lado. [texx]z[/texx] es fijo.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 31/10/2018, 09:40:43 am
Hola

No!!!! Repito [texx]z[/texx] no sale de cualquier lado.

¡Buf!. ¡No logro hacerme entender! Insisto en que la clave es si está bien la justificación, lo que pretendes que sea una demostración. No si está bien la conclusión que ya sabemos que es cierta: es decir todos nuestros dibujitos muestran que la función es subaditiva donde decimos que lo es.

¿Por qué se supone que tu argumento, el del medio, el que permitiría demostrar lo que ya sabemos que es cierto pero no sabemos probar funciona en el rango que tu dices y no en mi ejemplo si lo único que usa es la convexidad de [texx]f(x)=e^x[/texx] y que [texx]v+y-z<0[/texx]?

Si usas otra cosa. ¿Cómo la usas? ¿Exactamente en qué influye?.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 31/10/2018, 09:51:31 am
Pero a ver, es cierto, con mis hipótesis que

[texx]f(v)+f(y)-f(-w)\geq{}f(z).[/texx]


Además, [texx]v,y,z[/texx] son negativos, tu ejemplo está mal.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 31/10/2018, 10:55:38 am
Hola

Pero a ver, es cierto, con mis hipótesis que

[texx]f(v)+f(y)-f(-w)\geq{}f(z).[/texx]

Además, [texx]v,y,z[/texx] son negativos, tu ejemplo está mal.

No es que mi ejemplo está mal. Tu deberías de haber respondido a:

¿Por qué se supone que tu argumento, el del medio, el que permitiría demostrar lo que ya sabemos que es cierto pero no sabemos probar funciona en el rango que tu dices y no en mi ejemplo si lo único que usa es la convexidad de [texx]f(x)=e^x[/texx] y que [texx]v+y-z<0[/texx]?

 "También utilizo que [texx]v,y,z[/texx] son negativos".

 Bueno, pues ni con esas:

[texx] (-1)+(-1)-(-0.2)<0[/texx]

 Pero:

[texx] e^{-1}+e^{-1}-e^{-0.2}<0[/texx]

 Lo que está mal es que no es cierto que por ser [texx]f(x)[/texx] convexa:

[texx]v+y+w=z[/texx] implique que [texx]f(v)+f(y)-f(-w)\geq f(z)[/texx]

 Ejemplo [texx]f(x)=e^x[/texx] y:

[texx] v=y=-1, \quad w=1.8,\quad z=-0.2[/texx]

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 31/10/2018, 11:31:12 am
Quise utilizar la propiedad de funciones convexas

[texx]f(x+y-x)\leq{}f(x+y)-f(x)[/texx]

En el caso, creo que es

[texx]f(v+y)\geq{}f(v)+f(y)[/texx] y [texx]f(z-w)\geq{}f(z)+f(-w)[/texx], no?


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: manooooh en 31/10/2018, 12:03:41 pm
Hola

Me parece raro que por un lado el signo menos esté fuera de la función, y por otro adentro. ¿Es así la propiedad?

Saludos


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 31/10/2018, 12:08:22 pm
Hola

Quise utilizar la propiedad de funciones convexas

[texx]f(x+y-x)\leq{}f(x+y)-f(x)[/texx]

En el caso, creo que es

[texx]f(v+y)\geq{}f(v)+f(y)[/texx] y [texx]f(z-w)\geq{}f(z)+f(-w)[/texx], no?

Lo que se tienes que si [texx]f(x)[/texx] es convexa y [texx]f(0)\leq 0[/texx] entonces para [texx]x,y\geq 0[/texx] se cumple:

[texx]f(x+y)\geq f(x)+f(y)[/texx]

No estamos en esas hipótesis. No se cumple por ejemplo [texx]f(0)\leq 0[/texx].

Me parece raro que por un lado el signo menos esté fuera de la función, y por otro adentro.

¿Y por qué? Mas allá de alguna fobia personal...  ;).. ¿qué problema tiene?.

Si te refieres a definir:

[texx]-(-ln(x))^a[/texx]

como [texx]x\in (0,1)[/texx] entonces [texx]ln(x)<0[/texx] y para poder elevarla a una potencia cualquiera se le cambia de signo. Luego completamos la definición ponemos signo negativo.

Si te refieres a [texx]-f(-w)[/texx]... pues, ¿qué problema hay de nuevo?.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: manooooh en 31/10/2018, 12:13:09 pm
Hola

Me refiero a

Quise utilizar la propiedad de funciones convexas

[texx]f(x+y-x)\leq{}f(x+y)-f(x)[/texx]

En el caso, creo que es

[texx]f(v+y)\geq{}f(v)+f(y)[/texx] y [texx]f(z-w)\geq{}f(z)+f(-w)[/texx], no?

La primera inecuación tiene un menos delante de [texx]f(x)[/texx], mientras que en la última el menos está dentro de [texx]f(-w)[/texx]. ¿Son equivalentes esas desigualdades?

Quizás estoy confundiendo cosas o soy ciego. Lo pregunto porque Quema afir-pregunta si se cumple.

O sea el problema que "veo" es el signo.

Saludos


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 31/10/2018, 12:17:40 pm
Hola

Me refiero a

Quise utilizar la propiedad de funciones convexas

[texx]f(x+y-x)\leq{}f(x+y)-f(x)[/texx]

En el caso, creo que es

[texx]f(v+y)\geq{}f(v)+f(y)[/texx] y [texx]f(z-w)\geq{}f(z)+f(-w)[/texx], no?

La primera inecuación tiene un menos delante de [texx]f(x)[/texx], mientras que en la última el menos está dentro de [texx]f(-w)[/texx]. ¿Son equivalentes esas desigualdades?

Quizás estoy confundiendo cosas o soy ciego. Lo pregunto porque Quema afir-pregunta si se cumple.

O sea el problema que "veo" es el signo.

Suponiendo que fuese cierto:

[texx]f(x+y)\geq f(x)+f(y)[/texx] (*)

o equivalentemente:

[texx]f(y)=f(x+y-x)\leq{}f(x+y)-f(x)[/texx]

para cualesquiera [texx]x,y[/texx] se cumpliría tomando [texx]x=z[/texx] e [texx]y=-w[/texx] en (*) que:

[texx]f(z-w)\geq f(z)+f(-w)[/texx]

Saludos.



Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 31/10/2018, 12:20:16 pm
En resumen, por este lado no sale el problema?


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 31/10/2018, 12:21:26 pm
Hola

En resumen, por este lado no sale el problema?

No.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 07/01/2019, 06:46:15 pm
Retomando el ejemplo con [texx]h=0.2, c=0.4[/texx] en una parte dices que la función es subaditiva sys [texx]b\geq{}2c[/texx] y le llamamos a [texx][0,k][/texx] el máximo intervalo de subaditiva y a [texx]b[/texx] la solución de [texx]w(b)=2w(b/2)[/texx]. Pero creo que en una parte pones que [texx]b=0.69[/texx] que es menor a [texx]0.8[/texx] y no se de dónde sale [texx]k[/texx], no debiste decir [texx]k=0.69[/texx] y cuánto vale en este ejemplo. No lo puedo ver bien en el gráfico.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 08/01/2019, 06:52:33 am
Hola

Retomando el ejemplo con [texx]h=0.2, c=0.4[/texx] en una parte dices que la función es subaditiva sys [texx]b\geq{}2c[/texx]

¿Exactamente qué digo sobre eso y dónde?.

Cita
y le llamamos a [texx][0,k][/texx] el máximo intervalo de subaditiva y a [texx]b[/texx] la solución de [texx]w(b)=2w(b/2)[/texx]. Pero creo que en una parte pones que [texx]b=0.69[/texx] que es menor a [texx]0.8[/texx]


¿Y cuál es el problema? De hecho precisamente en ese ejemplo la función NO es subaditiva en [texx][0,b][/texx].

Cita
y no se de dónde sale [texx]k[/texx], no debiste decir [texx]k=0.69[/texx] y cuánto vale en este ejemplo. No lo puedo ver bien en el gráfico.

No. No debí de decir [texx]k=0.69[/texx] porque [texx]k[/texx] es el máximo intervalo de subaditividad y en ese ejemplo no es subaditiva en [texx][0,0.69][/texx].

Observa la captura del gráfico de Geogebra.

(http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=106506.0;attach=20493)

En  primer lugar he colocado el punto [texx]h[/texx] en [texx]0.2[/texx] y el [texx]c[/texx] en [texx]0.4[/texx] para ceñirnos a ese ejemplo.

El punto [texx]b[/texx] aparece entonces más o menos en [texx]0.69[/texx].

Ahora nosotros podemos mover el punto ROJO que es el valor candidato a [texx]k[/texx] que queremos analizar. Será subaditiva en [texx][0,k][/texx] si la gráfica en rojo es positiva en todo punto. Si te fijas en la captura el punto rojo está mas o menos en [texx]0.65[/texx] y la gráfica en rojo, más o menos a partir de [texx]0.5[/texx] toma (por muy poquito, pero lo toma) valores negativos. Por tanto NO hay subaditividad en [texx][0,0.65][/texx].

El gráfico no da el valor [texx]k[/texx] máximo de subaditvidad, pero permite estimarlo por tanteo: vamos moviendo el punto rojo hasta conseguir que la gráfica roja sea totalmente positiva.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 09/01/2019, 12:00:32 pm
En este caso puede ser que no exista ese b tal que w(b)=2w(b/2).


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 09/01/2019, 12:53:35 pm
Hola

En este caso puede ser que no exista ese b tal que w(b)=2w(b/2).

Si te refieres al ejemplo anterior.. si existe. Es el puntito negro donde pone "b".

Por otra parte aquí se vio  que bajo las condiciones indicadas siempre existe ese [texx]b[/texx]:

En cuanto a la existencia.

Si definimos:

[texx]g(x)=f(x)-2f(x/2)[/texx]

tenemos [texx]g(0)=0[/texx], [texx]g(1)=1-2f(1/2)> 0[/texx] (si fuese [texx]g(1)=0[/texx] ya tendríamos [texx]b=1[/texx]).

Ahora asumiendo las funciones derivables:

[texx]g'(x)=f'(x)-f'(x/2)[/texx]

Dado que [texx]f(x)[/texx] es cóncava en [texx][0,c][/texx] su derivada es decreciente y así si [texx]x<c[/texx] se tiene que [texx]g'(x)<0[/texx].

Por tanto como [texx]g(0)=0[/texx], [texx]g(1)>0[/texx] y [texx]g(x)[/texx] es decreciente en [texx](0,c)[/texx], necesariamente [texx]g(x)[/texx] tiene al menos una raíz en [texx](c,1][/texx], es decir, existe [texx]b\in (c,1][/texx] tal que [texx]f(b)=2f(b/2).[/texx]

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 09/01/2019, 06:18:11 pm
Como sabes que 1-2f(1/2)>0 y como hallas el k, que algoritmo usas puede ser mas especifico?


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 10/01/2019, 07:12:41 am
Hola

Como sabes que 1-2f(1/2)>0

Estoy bajo las hipótesis que tu imponía en tu mensaje inicial:

Supongamos que [texx]f:[0,1]\rightarrow{}[0,1][/texx] es continua, creciente, cóncava-convexa (con punto de inflexión [texx]c[/texx]) con [texx]f(0)=0,f(1)=1[/texx], tal que [texx]2f(x/2)\leq 1,[/texx] para todo [texx]x \in [0,1][/texx]

y como hallas el k, que algoritmo usas puede ser mas especifico?

Yo no he dado ningún algoritmo para hallar [texx]k[/texx]. En todo caso dije esto:

Cita
Si consideras la función:

[texx]h(z)=min\{f(x)+f(z-x)-f(z)|x\in [0,z]\}[/texx]

Se tiene que:

[texx]k=inf\{z|h(z)<0\}[/texx]

y gráficamente en Geogebra lo que hago es mover [texx]k[/texx] hasta que encontrar el [texx]k[/texx] más pequeño donde la función [texx]f(x)+f(k-x)-f(k)[/texx] empieza a tomar algún valor negativo en algún punto de [texx][0,k][/texx]; o equivalentemente el valor más grande donde esa función es siempre positiva en el intervalo indicado.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 10/01/2019, 07:18:54 am
Y con el Mathematica que valor de [texx]k[/texx] da? En una parte parece que dijeras que es cercano a 0.5, pero necesito saber el valor exacto. Además, siempre tendremos que [texx]k\leq{}b[/texx], no?


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 01/02/2019, 02:28:19 pm
Hola

En el ejemplo con [texx]h=0.2, c=0.4[/texx] hice lo siguiente:

[texx]h(b,x)=w(x)+w(b-x)-w(b)=x(2.777-4.444b)+0.97222x^2[/texx] y por lo tanto haciendo [texx]h(x)<0[/texx] me da que debe cumplirse que [texx]b\leq{}\displaystyle\frac{0.97222x+2.7777}{4.4444}.[/texx] Es decir, el  máximo intervalo de subaditividad se da para [texx]x=0[/texx] y por lo tanto [texx]k=0.625.[/texx] Está bien?


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 01/02/2019, 02:33:07 pm
Hola

En el ejemplo con [texx]h=0.2, c=0.4[/texx] hice lo siguiente:

[texx]h(x)=w(x)+w(b-x)-w(b)=x(2.777-4.444b)+0.97222x^2[/texx] y por lo tanto haciendo [texx]h(x)<0[/texx] me da que debe cumplirse que [texx]b\leq{}\displaystyle\frac{0.97222x+2.7777}{4.4444}.[/texx] Es decir, el  máximo intervalo de subaditividad se da para [texx]x=0[/texx] y por lo tanto [texx]k=0.625.[/texx] Está bien?

Pero en ese ejemplo [texx]w(x)[/texx] es una función a trozos; entonces [texx]h(x)[/texx] debería de ser a trozos. ¿No?.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 01/02/2019, 02:35:36 pm
Debe cumplirse que [texx]b-x>c>x.[/texx]


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 07/02/2019, 08:19:09 am
Hola

Debe cumplirse que [texx]b-x>c>x.[/texx]

¿Por qué?.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 07/02/2019, 09:32:07 am
Pero el [texx]k=0.625[/texx] independientemente de mi método de hallarlo?


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 07/02/2019, 09:39:57 am
Hola

Pero el [texx]k=0.625[/texx] independientemente de mi método de hallarlo?

No he revisado las cuentas, pero si por ahí le anda. Es decir lo que digo simplemente es que a priori no tengo claro porque podemos asegurar esas cotas que dices. Pero en este caso si funciona.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 07/02/2019, 09:40:47 am
Es que en este caso creo que puedes hallarlo exacto y es el valor que digo, me parece.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 07/02/2019, 09:43:18 am
Hola

Es que en este caso creo que puedes hallarlo exacto y es el valor que digo, me parece.

Si, si. No hay duda de que puede hallarse exacto en este caso. Lo que digo es que si no se aseguran esas cotas, habría que considerar otro posibles valores de la función a trozos. Pero con un poco más de trabajo se llega al valor exacto.

Es decir que en esa familia de funciones parábolas a trozos siempre puede calcularse de manera exacta el máximo intervalo de subaditividad no hay duda, porque aparecerán siempre ecuaciones de primer o segundo grado.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 07/02/2019, 11:20:35 am
El valor [texx]c[/texx] es el punto de inflexión separando la concavidad y convexidad de la función, entonces es obvio que debo analizar los valores tal que [texx]b-x>c>x.[/texx]


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 08/02/2019, 08:50:52 am
Hola

El valor [texx]c[/texx] es el punto de inflexión separando la concavidad y convexidad de la función, entonces es obvio que debo analizar los valores tal que [texx]b-x>c>x.[/texx]

Pues no te digo que no, ¿pero exactamente que justifica esa afirmación?.

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 08/02/2019, 09:16:02 am
Muy simple, [texx]b-x[/texx] no tiene sentido que fuera menor a [texx]c[/texx] pues ahí sabemos que es subaditiva, pues estamos en el tramo cóncavo de [texx]h[/texx] y si [texx]b-x>c[/texx] entonces debemos tener necesariamente que [texx]x<c.[/texx]

Tampoco tiene sentido [texx]c<x<b-x[/texx] pues ahí estaríamos en el tramo convexo y sería superaditiva.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 08/02/2019, 09:55:21 am
Hola

Muy simple, [texx]b-x[/texx] no tiene sentido que fuera menor a [texx]c[/texx] pues ahí sabemos que es subaditiva, pues estamos en el tramo cóncavo de [texx]h[/texx] y si [texx]b-x>c[/texx] entonces debemos tener necesariamente que [texx]x<c.[/texx]

Pero puede ocurrir que [texx]x,b-x<c[/texx] pero [texx]b>c[/texx], entonces no tenemos concavidad en [texx][0,b].[/texx]

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 08/02/2019, 10:10:02 am
Eso que planteas no tiene sentido pq siempre en la subaditividad debe cumplirse que [texx]x+y \in I[/texx] y en este caso [texx]x,y \in [0,c],[/texx] pero [texx]x+y \not\in{} [0,c].[/texx]


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Luis Fuentes en 11/02/2019, 05:42:21 am
Hola

Eso que planteas no tiene sentido pq siempre en la subaditividad debe cumplirse que [texx]x+y \in I[/texx] y en este caso [texx]x,y \in [0,c],[/texx] pero [texx]x+y \not\in{} [0,c].[/texx]

No. Se supone que estamos analizando la subaditividad en un intervalo [texx][0,k][/texx]; para que tenga sentido tiene que ocurrir que [texx]x,y,x+y\in [0,k][/texx]; de acuerdo en eso. Pero imagina [texx]c=0.4[/texx] y [texx]k=0.625[/texx]. Entonces si por ejemplo [texx]x=0.3[/texx] e [texx]y=k-x=0.325[/texx], entonces [texx]x,y,x+y\in [0,k][/texx] pero sin embargo [texx]x,y<c[/texx].

Saludos.


Título: Re: Función cóncava convexa
Publicado por: Quema en 13/02/2019, 10:10:53 am
La otra opción sería [texx]x<b-x<c<b[/texx]  y en ese caso [texx]h(x)<0[/texx] si

[texx]b^2+2.571x(b-x)-0.8b+16<0[/texx] que creo que no tiene solución. Ergo, la solución que propuse es la única, no?