Matemática => Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) => Mensaje iniciado por: dresuer en 11/10/2018, 08:52:37 pm



Título: Mostrar que una matriz es nilpotente de índice 2.
Publicado por: dresuer en 11/10/2018, 08:52:37 pm
Buenas.

Dada la matriz [texx]A = \begin{bmatrix} 0&1&1&0&1 \\ 0&0&1&1&1 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}[/texx], mostrar que es nilpotente de índice 2.

Probaremos [texx]A^2 = \begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots \\{0}\end{bmatrix}[/texx].
Primero representamos los vectores canónicos de [texx]R^3[/texx] de la base [texx][R^3]_A[/texx] en la base canónica [texx]R^3[/texx], [texx]\left \{ \begin{array}{rlc} Ae_1 = 0 \ (vector\ nulo) \\ Ae_2 = e_1 \\ Ae_3 = e_1+e_2 \\ Ae_4 = e_2 \\ Ae_5 = e_1 + e_2 \end{array} \right . [/texx]

Luego, [texx]A^n e_1 = (A^{n-1}A)e_1 = A^{n-1} (A e_1) = A^{n-1}\begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots \\{0}\end{bmatrix}[/texx]
[texx]A^n e_2 = (A^{n-1}A)e_2 = A^{n-1} (A e_2) = A^{n-1}\begin{bmatrix}1\\0\\ 0 \\0 \\  0\end{bmatrix} = A^{n-1}e_1 = \begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots \\{0}\end{bmatrix}[/texx]

Y así con los demás [texx]e_i[/texx], ¿está bien ese razonamiento?
Sé que una condición que tiene que cumplir este tipo de matrices es que el determinante sea 0, necesario pero no suficiente.

Saludos.


Título: Re: Mostrar que una matriz es nilpotente de índice 2.
Publicado por: delmar en 11/10/2018, 09:27:23 pm
Hola

No es nilpotente de orden 2, si [texx]B=A^2[/texx] se tiene [texx]b_{1,3}=1\neq{0}[/texx] esto significa que [texx]A^2\neq{Nula}[/texx]



Saludos


Título: Re: Mostrar que una matriz es nilpotente de índice 2.
Publicado por: dresuer en 11/10/2018, 09:33:59 pm
Hola

No es nilpotente de orden 2, si [texx]B=A^2[/texx] se tiene [texx]b_{1,3}=1\neq{0}[/texx] esto significa que [texx]A^2\neq{Nula}[/texx]



Saludos

Edito: @delmar estaba haciendo la multiplicación xD.


Título: Re: Mostrar que una matriz es nilpotente de índice 2.
Publicado por: delmar en 11/10/2018, 09:39:48 pm
[texx]b_{1,3}[/texx] es el elemento del renglón 1 y de la columna 3 de la matriz [texx]B=A^2[/texx], en forma práctica [texx]b_{1,3}=A_1 \ \cdot{A^3}[/texx] es el producto  de la fila 1 de A con la columna 3 de A, observa que este producto es 1 no es cero, en consecuencia [texx]A^2[/texx] no es la matriz nula y su orden de nilpotencia no puede ser 2.

Saludos

Nota : Puede haber un error tipográfico en el enunciado


Título: Re: Mostrar que una matriz es nilpotente de índice 2.
Publicado por: dresuer en 11/10/2018, 09:53:42 pm
[texx]b_{1,3}[/texx] es el elemento del renglón 1 y de la columna 3 de la matriz [texx]B=A^2[/texx], en forma práctica [texx]b_{1,3}=A_1 \ \cdot{A^3}[/texx] es el producto  de la fila 1 de A con la columna 3 de A, observa que este producto es 1 no es cero, en consecuencia [texx]A^2[/texx] no es la matriz nula y su orden de nilpotencia no puede ser 2.

Saludos

Nota : Puede haber un error tipográfico en el enunciado

Si, vos multiplicaste las dos pero yo no quería hacerlo así igual, porque no me sirve para los siguientes ejercicios, y tenés razón no lo es.

Yo estaba intentando implementar este razonamiento xD https://math.stackexchange.com/questions/123666/how-to-prove-a-matrix-is-nilpotent
No entendí bien la respueta más votada, al parecer.


Título: Re: Mostrar que una matriz es nilpotente de índice 2.
Publicado por: Masacroso en 11/10/2018, 09:59:05 pm
[texx]b_{1,3}[/texx] es el elemento del renglón 1 y de la columna 3 de la matriz [texx]B=A^2[/texx], en forma práctica [texx]b_{1,3}=A_1 \ \cdot{A^3}[/texx] es el producto  de la fila 1 de A con la columna 3 de A, observa que este producto es 1 no es cero, en consecuencia [texx]A^2[/texx] no es la matriz nula y su orden de nilpotencia no puede ser 2.

Saludos

Nota : Puede haber un error tipográfico en el enunciado

Si, vos multiplicaste las dos pero yo no quería hacerlo así igual, porque no me sirve para los siguientes ejercicios, y tenés razón no lo es.

Yo estaba intentando implementar este razonamiento xD https://math.stackexchange.com/questions/123666/how-to-prove-a-matrix-is-nilpotent
No entendí bien la respueta más votada, al parecer.

También se verificaría al comprobar que [texx]Ae_3=e_1+e_2\implies A^2e_3=A(Ae_3)=A(e_1+e_2)=Ae_1+Ae_2=0+e_1\neq 0[/texx].


Título: Re: Mostrar que una matriz es nilpotente de índice 2.
Publicado por: dresuer en 11/10/2018, 10:05:23 pm
[texx]b_{1,3}[/texx] es el elemento del renglón 1 y de la columna 3 de la matriz [texx]B=A^2[/texx], en forma práctica [texx]b_{1,3}=A_1 \ \cdot{A^3}[/texx] es el producto  de la fila 1 de A con la columna 3 de A, observa que este producto es 1 no es cero, en consecuencia [texx]A^2[/texx] no es la matriz nula y su orden de nilpotencia no puede ser 2.

Saludos

Nota : Puede haber un error tipográfico en el enunciado

Si, vos multiplicaste las dos pero yo no quería hacerlo así igual, porque no me sirve para los siguientes ejercicios, y tenés razón no lo es.

Yo estaba intentando implementar este razonamiento xD https://math.stackexchange.com/questions/123666/how-to-prove-a-matrix-is-nilpotent
No entendí bien la respueta más votada, al parecer.

También se verificaría al comprobar que [texx]Ae_3=e_1+e_2\implies A^2e_3=A(Ae_3)=A(e_1+e_2)=Ae_1+Ae_2=0+e_1\neq 0[/texx].

Yeah, you right jajajaja como me compliqué tanto para algo tan simple, lo que pasa que primero empecé probando para [texx]A^n[/texx] y después me dí cuenta leyendo el enunciado de nuevo que era [texx]A^2[/texx], muchas gracias.