Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: AlejandroCB en 03/09/2018, 07:47:00 pm



Título: Flujo del rotacional de la intersección entre un paraboloide y un plano.
Publicado por: AlejandroCB en 03/09/2018, 07:47:00 pm
Hola, ¿qué tal?

La cosa es que me estoy enfrentando a un problema de examen y me tiene loco porque no sé en qué fallo, veréis:

Calcula el flujo del rotacional del campo [texx]F(x, y, z) = (0, 0, x^2)[/texx] a través de la porción de paraboloide [texx]z = 11 − x^2 − y^2[/texx] limitado por el plano [texx]z = 2x + 4y[/texx].

Yo lo que he intentado ha sido calcular la integral de superficie:
[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{} n*rot(F)  dS[/texx] siendo n un vector normal a la superficie apuntando hacia el exterior (escogí el vector [texx](-2,-4,1)[/texx], y procediendo al cálculo de la integral de superficie con la proyección en XY de esa intersección ([texx](x+1)^2 + (y+2)^2 = 8^2[/texx]).
El problema es que parece que esta forma está mal, pues mi resultado es [texx]-32\pi[/texx], y el resultado parametrizando la curva y resolviendo la integral de línea en la curva "borde" de la intersección (Teorema de Stokes).

Lamento mi falta de rigurosidad, soy estudiante de ingeniería y estaba ultimando detalles para un examen.


Título: Re: Flujo del rotacional de la intersección entre un paraboloide y un plano.
Publicado por: manooooh en 03/09/2018, 10:04:11 pm
Hola

Lamento mi falta de rigurosidad, soy estudiante de ingeniería y estaba ultimando detalles para un examen.

Somos dos ;).

Yo lo que he intentado ha sido calcular la integral de superficie:
[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{} n*rot(F)  dS[/texx] siendo n un vector normal a la superficie apuntando hacia el exterior (escogí el vector [texx](-2,-4,1)[/texx], y procediendo al cálculo de la integral de superficie con la proyección en XY de esa intersección ([texx](x+1)^2 + (y+2)^2 =\color{red} 8^2[/texx]).

¡Está muy bien salvo el radio de la circunferencia (marcada en rojo)! Debería ser [texx]4^2[/texx]. Quizás por eso no salía bien :(.

En primer lugar encontremos la curva:

[texx]C\equiv\begin{cases}z=11-x^2-y^2\\z=2x+4y\end{cases}\equiv\begin{cases}2x+4y=11-x^2-y^2\\z=2x+4y\end{cases}\equiv\begin{cases}(x+1)^2+(y+2)^2=\color{red}16\\z=2x+4y\text,\end{cases}\quad\vec N=(-2,-4,1)\text.[/texx]

El rotor del campo es

[texx]\operatorname{rot}{(\vec F)}=\begin{vmatrix}\check i&\check j&\check k\\\partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\0&0&x^2\end{vmatrix}=(0,-2x,0)\text.[/texx]

Ahora bien, aplicando el teorema del rotor tenemos

[texx]\displaystyle\iint\limits_S{\left.\nabla\times\vec F\right|_S\;\text d\vec\sigma}=\displaystyle\iint\limits_{P_{xy}}{(0,-2x,0)\cdot(-2,-4,1)\;\text dx\text dy}=8\displaystyle\iint\limits_{P_{xy}}{x\;\text dx\text dy}\underbrace=_{\text{Usando}\\\text{Polares}}8\displaystyle\int_0^{2\pi}{\text d\theta}\displaystyle\int_0^4{(\rho\cos\theta-1)\cdot\rho\;\text d\rho}\text,[/texx]

y esta última integral, según WolframAlpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=8*integral_0%5E(2pi)+integral_0%5E4+(r+cos(theta)-1)r+dr+dtheta), es [texx]\boxed{-128\pi}[/texx], cuatro veces más que tu resultado. ¡Por muy poquito! :).

Saludos

P.D.: diría que esta pregunta se adecúa mejor si está en el subforo Cálculo varias variables (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?board=202.0).


Título: Re: Flujo del rotacional de la intersección entre un paraboloide y un plano.
Publicado por: AlejandroCB en 04/09/2018, 09:19:46 am
Hola

Lamento mi falta de rigurosidad, soy estudiante de ingeniería y estaba ultimando detalles para un examen.

Somos dos ;).

Yo lo que he intentado ha sido calcular la integral de superficie:
[texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{} n*rot(F)  dS[/texx] siendo n un vector normal a la superficie apuntando hacia el exterior (escogí el vector [texx](-2,-4,1)[/texx], y procediendo al cálculo de la integral de superficie con la proyección en XY de esa intersección ([texx](x+1)^2 + (y+2)^2 =\color{red} 8^2[/texx]).

¡Está muy bien salvo el radio de la circunferencia (marcada en rojo)! Debería ser [texx]4^2[/texx]. Quizás por eso no salía bien :(.

En primer lugar encontremos la curva:

[texx]C\equiv\begin{cases}z=11-x^2-y^2\\z=2x+4y\end{cases}\equiv\begin{cases}2x+4y=11-x^2-y^2\\z=2x+4y\end{cases}\equiv\begin{cases}(x+1)^2+(y+2)^2=\color{red}16\\z=2x+4y\text,\end{cases}\quad\vec N=(-2,-4,1)\text.[/texx]

El rotor del campo es

[texx]\operatorname{rot}{(\vec F)}=\begin{vmatrix}\check i&\check j&\check k\\\partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\0&0&x^2\end{vmatrix}=(0,-2x,0)\text.[/texx]

Ahora bien, aplicando el teorema del rotor tenemos

[texx]\displaystyle\iint\limits_S{\left.\nabla\times\vec F\right|_S\;\text d\vec\sigma}=\displaystyle\iint\limits_{P_{xy}}{(0,-2x,0)\cdot(-2,-4,1)\;\text dx\text dy}=8\displaystyle\iint\limits_{P_{xy}}{x\;\text dx\text dy}\underbrace=_{\text{Usando}\\\text{Polares}}8\displaystyle\int_0^{2\pi}{\text d\theta}\displaystyle\int_0^4{(\rho\cos\theta-1)\cdot\rho\;\text d\rho}\text,[/texx]

y esta última integral, según WolframAlpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=8*integral_0%5E(2pi)+integral_0%5E4+(r+cos(theta)-1)r+dr+dtheta), es [texx]\boxed{-128\pi}[/texx], cuatro veces más que tu resultado. ¡Por muy poquito! :).

Saludos

P.D.: diría que esta pregunta se adecúa mejor si está en el subforo Cálculo varias variables (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?board=202.0).

Gracias de nuevo manooooh, lo cierto es que estaba muy frustrado ayer y no me salía, al final descubrí mi fallo por la noche pero quería venir a comprobarlo.
Un saludo y gracias por echar una mano a los estudiantes de ingeniería que pululan por aquí, pronto me uniré a ti tras los exámenes, ya tengo mucha más confianza con el álgebra lineal y el análisis vectorial (nuestras herramientas básicas, y que los matemáticos me perdonen por escribir eso xD).