Matemática => Matemática Discreta y Algoritmos => Mensaje iniciado por: chien-chat en 03/09/2018, 01:51:46 pm



Título: Factorización en Fq[x]
Publicado por: chien-chat en 03/09/2018, 01:51:46 pm
Hola, estoy teniendo problemas al factorizar el siguiente polinomio en [texx]\mathbb{F}_5\left [ x \right ][/texx], alguien podria orientarme por favor :'(
[texx]x^5+2x^4+3x^3+x^2+2x+4 \in \mathbb{F}_5\left [ x  \right ][/texx].

He aquí mi intento de lo que he podido entender: La idea es usar el algoritmo de Cantor&Zasenhauss.

Sea [texx]f(x) := x^5+2x^4+3x^3+x^2+2x+4 \in \mathbb{F}_5\left [ x  \right ] \Rightarrow f'(x) = 3x^3+4x^2+2x+2 \in \mathbb{F}_5\left [ x  \right ][/texx]. Luego, comprobamos que [texx]f(x)[/texx] sea libre de cuadrados, ie que [texx]\gcd(f(x),f'(x))=1[/texx], lo cual no se verifica, ya que [texx]\gcd(f(x),f'(x))=x+2[/texx], por ende, hacemos [texx]g(x) := \dfrac{f(x)}{\gcd(f(x),f'(x))}=x^4+3x^2+2 \Rightarrow g'(x)=4x^3+x[/texx] y así obtenemos que [texx]\gcd(g(x),g'(x))=1[/texx], ie [texx]g(x)[/texx] es libre de cuadrados.

De aquí me empiezo a complicar: (Para los sgtes pasos me estoy guiando de acá http://planetmath.org/cantorzassenhaussplit (http://planetmath.org/cantorzassenhaussplit))
Usaré las mismas notaciones de la página anexa:

[texx]B_1 = A, \ B_{k+1} := \displaystyle\frac{A}{\gcd(B_k, x^{5^k}-x)}  [/texx]

Entonces, tenemos:

[texx]B_1 := x^4+3x^2+2 [/texx]
[texx]B_2 := \displaystyle\frac{x^4+3x^2+2}{\gcd(B_k, x^5-x)}=x^3+2x^2+2x+4[/texx]
[texx]B_3 := \displaystyle\frac{x^4+3x^2+2}{\gcd(B_k, x^{25}-x)}=x^2+1[/texx]

Y luego cómo prosigo?? alguien puede ayudarme por favor
de antemano gracias
saludoss  :laugh:


Título: Re: Factorización en Fq[x]
Publicado por: martiniano en 03/09/2018, 03:06:09 pm
Hola.

Una pregunta, ¿tienes que usar obligatoriamente el algoritmo que citas?

Saludos


Título: Re: Factorización en Fq[x]
Publicado por: chien-chat en 03/09/2018, 04:02:39 pm
Hola. Respondiendo a tu pregunta, es si, pues es la idea del curso ahora.
Anteriormente aprendimos a factorizar ''normalmente'' por así decirlo, es decir, buscar los ceros (los cuáles en mi problema son 2 y 3) y luego factorizar usando la idea de Ruffini, pero en mod 5. No sé si me explico.

Saludos cordiales ;D


Título: Re: Factorización en Fq[x]
Publicado por: martiniano en 04/09/2018, 05:07:08 am
Hola.

Pues no sé si es lo que preguntas, pero yo diría que según la página que has enlazado ahora deberías calcular:

[texx]A_1=gcd(B_1,x^5-x)[/texx]
[texx]A_2=gcd(B_2,x^{25}-x)[/texx]
[texx]A_3=gcd(B_3,x^{125}-x)[/texx]

Lo que no sé cómo...  :-\, ¿y tú?

Saludos.