Matemática => Matemática Discreta y Algoritmos => Mensaje iniciado por: manooooh en 20/08/2018, 04:01:44 am



Título: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: manooooh en 20/08/2018, 04:01:44 am
Hola!

Considere el grupo [texx]GM_2(Q)[/texx] formado por las matrices  de [texx]2\times2[/texx] con coeficientes racionales y la operación producto matricial.

1) Halle el subgrupo generado por [texx]A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}[/texx], indique si es abeliano y si es normal.

2) Analice si el subgrupo generado por la matriz [texx]A[/texx] es isomorfo a [texx](\mathbb Z_4,\overline +)[/texx].




En primer lugar espero que compartan la rara notación para nombrar al grupo. ¿Quién es [texx]G[/texx]? Yo interpretaría al grupo de la siguiente manera: [texx]\Big(M_2(\mathbb Q),\cdot\Big)[/texx]. ¿Es correcto?

La verdad es que no tengo idea cómo contestar las preguntas... He visto el problema C. de la subsección 4.7 (página 87) de la guía de problemas resueltos de Álgebra de Fernando Revilla (http://fernandorevilla.es/wp-content/uploads/2015/10/problemas-resueltos-de-algebra.pdf) pero no logro conectarlo con este ejercicio.



1)

Yo tengo anotada la siguiente propiedad:



Sea [texx](G,\ast)[/texx] grupo y [texx]H\neq\varnothing[/texx] y [texx]H\subset G[/texx].

[texx]H\text{ es subgrupo de }G\quad\Leftrightarrow\quad H\leq G\quad\Leftrightarrow\quad\forall a,b\in H\Rightarrow a\ast b'\in H[/texx],

donde [texx]b'[/texx] es el inverso de [texx]b[/texx]. ¿Es correcta esta propiedad?



Si es así yo creo que deberíamos utilizar la última definición. ¿Quién es [texx]a[/texx] y el inverso de [texx]b[/texx]?

Abeliano estoy seguro que no es pues el producto de matrices, en general, NO es conmutativo, pero no sé cómo probarlo en este ejercicio.

¿Para decir si es normal (luego de haber resuelto las dudas anteriores) debemos mostrar que toda clase lateral a derecha es una clase lateral a izquierda, o debemos utilizar la siguiente propiedad (vista en el documento de Fernando):?



Sea [texx](G,\ast)[/texx] grupo y [texx]H[/texx] subgrupo de [texx]G[/texx].

[texx]H\text{ es subgrupo normal de }G\quad\Leftrightarrow\quad H\triangleleft G\quad\Leftrightarrow\quad \forall g\in G\;\forall h\in{\color{red}\bf H}:g\ast h\ast g'\in H[/texx],

donde [texx]g'[/texx] es el inverso de [texx]g[/texx]. ¿Es correcta esta propiedad?



Si lo es, ¿cómo tomamos a [texx]g[/texx] y [texx]h[/texx]?



2)

Los dos grupos son isomorfos si y sólo si comparten la misma cantidad de elementos. ¿Es correcto?


Perdonen la cantidad de preguntas :( pero me gustaría enunciar todas las propiedades para luego aplicarlas a este caso en particular.

Desde ya muchas gracias!
Saludos

CORREGIDO


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: martiniano en 20/08/2018, 06:36:22 am
Hola.



Sea [texx](G,\ast)[/texx] grupo y [texx]H\neq\varnothing[/texx] y [texx]H\subset G[/texx].

[texx]H\text{ es subgrupo de }G\quad\Leftrightarrow\quad H\leq G\quad\Leftrightarrow\quad\forall a,b\in H\Rightarrow a\ast b'\in H[/texx],

donde [texx]b'[/texx] es el inverso de [texx]b[/texx]. ¿Es correcta esta propiedad?



Diría que sí, pero no creo que nos sirva. Fíjate que [texx]A^4=I[/texx]. El grupo engendrado por [texx]A[/texx] tiene cuatro elementos, yo creo que quieren que escribas los 4.

Abeliano estoy seguro que no es pues el producto de matrices, en general, NO es conmutativo, pero no sé cómo probarlo en este ejercicio.

Vaya hombre, tan seguro como estabas y llego yo y te voy a sembrar dudas...  :)

Todo grupo generado por un sólo elemento es abeliano. Lo puedes demostrar a partir de la propiedad asociativa de la operación. El hecho de que el producto de matrices no sea conmutativo, no quiere decir que no haya matrices que sí que conmuten.

¿Para decir si es normal (luego de haber resuelto las dudas anteriores) debemos mostrar que toda clase lateral a derecha es una clase lateral a izquierda, o debemos utilizar la siguiente propiedad (vista en el documento de Fernando):?



Sea [texx](G,\ast)[/texx] grupo y [texx]H[/texx] subgrupo de [texx]G[/texx].

[texx]H\text{ es subgrupo normal de }G\quad\Leftrightarrow\quad H\triangleleft G\quad\Leftrightarrow\quad \forall g\in G\;\forall h\in G:g\ast h\ast g'\in H[/texx],

donde [texx]g'[/texx] es el inverso de [texx]g[/texx]. ¿Es correcta esta propiedad?



Si lo es, ¿cómo tomamos a [texx]g[/texx] y [texx]h[/texx]?

La propiedad es correcta y creo que el subgrupo no es normal. Busca un contraejemplo sencillo.

2)

Los dos grupos son isomorfos si y sólo si comparten la misma cantidad de elementos. ¿Es correcto?

Eso es cierto porque son cíclicos. En general, un grupo abeliano cíclico de [texx]n[/texx] elementos es isomorfo a [texx]\mathbb{Z_n}[/texx]. Pero hay grupos con el mismo cardinal que no son isomorfos.

Saludos.


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: manooooh en 20/08/2018, 06:30:05 pm
Hola

Vaya hombre, tan seguro como estabas y llego yo y te voy a sembrar dudas...  :)

¡Me encanta y te agradezco! Está bueno que corrijas mis errores y los de los demás.  :)

Diría que sí, pero no creo que nos sirva. Fíjate que [texx]A^4=I[/texx]. El grupo engendrado por [texx]A[/texx] tiene cuatro elementos, yo creo que quieren que escribas los 4.

Ok. Mi respuesta:

[texx]\begin{matrix}
A&&&=&\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\\
A^2&=&A\cdot A&=&\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\\
A^3&=&A^2\cdot A&=&\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\\
A^4&=&A^3\cdot A&=&\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}&=&I.
\end{matrix}[/texx]

Luego

[texx]\langle A\rangle=\left\lbrace\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\right\rbrace[/texx], ¿correcto?

Abeliano estoy seguro que no es pues el producto de matrices, en general, NO es conmutativo, pero no sé cómo probarlo en este ejercicio.
Todo grupo generado por un sólo elemento es abeliano. Lo puedes demostrar a partir de la propiedad asociativa de la operación. El hecho de que el producto de matrices no sea conmutativo, no quiere decir que no haya matrices que sí que conmuten.

¿Para decir si es normal (luego de haber resuelto las dudas anteriores) debemos mostrar que toda clase lateral a derecha es una clase lateral a izquierda, o debemos utilizar la siguiente propiedad (vista en el documento de Fernando):?



Sea [texx](G,\ast)[/texx] grupo y [texx]H[/texx] subgrupo de [texx]G[/texx].

[texx]H\text{ es subgrupo normal de }G\quad\Leftrightarrow\quad H\triangleleft G\quad\Leftrightarrow\quad \forall g\in G\;\forall h\in G:g\ast h\ast g'\in H[/texx],

donde [texx]g'[/texx] es el inverso de [texx]g[/texx]. ¿Es correcta esta propiedad?



Si lo es, ¿cómo tomamos a [texx]g[/texx] y [texx]h[/texx]?

La propiedad es correcta y creo que el subgrupo no es normal. Busca un contraejemplo sencillo.

Ahora recuerdo una propiedad que dice que si un grupo es abeliano entonces es normal. Por supuesto es una condición necesaria; si no es abeliano no necesariamente el subgrupo es no normal. Pero como decís que es abeliano inmediatamente por esta propiedad es normal. Creo.

Lo que no entiendo es cómo sabés que en este caso:

Cita
Todo grupo generado por un sólo elemento es abeliano.

¿Cómo sabés que solamente [texx]A[/texx] genera a todo el grupo?

2)

Los dos grupos son isomorfos si y sólo si comparten la misma cantidad de elementos. ¿Es correcto?

Eso es cierto porque son cíclicos. En general, un grupo abeliano cíclico de [texx]n[/texx] elementos es isomorfo a [texx]\mathbb{Z_n}[/texx]. Pero hay grupos con el mismo cardinal que no son isomorfos.

Ok. Un grupo es cíclico si existe un elemento que lo genera. ¿Cuál sería en este caso? ???

Gracias!
Saludos


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: martiniano en 21/08/2018, 10:40:41 am
Hola

Ahora recuerdo una propiedad que dice que si un grupo es abeliano entonces es normal. Por supuesto es una condición necesaria; si no es abeliano no necesariamente el subgrupo es no normal. Pero como decís que es abeliano inmediatamente por esta propiedad es normal. Creo.

Tal vez lo que quieras decir es que si un grupo es abeliano todos sus subgrupos son normales. Aquí no pasa esto, es más, diría que este grupo no es normal. Intenta hallar un contraejemplo sencillo, si no te sale me dices y te echo un cable.

¿Cómo sabés que solamente [texx]A[/texx] genera a todo el grupo?

Pues porque el grupo en cuestión es:
[texx]\{A,A^2,A^3,A^4\}[/texx]

Es cíclico y generado por A, entonces, considerando sin pérdida de generalidad que [texx]m\geq{n}[/texx]

[texx]A^mA^n=(A^{n}A^{m-n})A^n=A^n(A^{m-n}A^n)=A^nA^m[/texx]

Saludos.


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: manooooh en 21/08/2018, 02:13:08 pm
Hola

Tal vez lo que quieras decir es que si un grupo es abeliano todos sus subgrupos son normales.

Sí, me expresé mal.

Aquí no pasa esto, es más, diría que este grupo no es normal. Intenta hallar un contraejemplo sencillo, si no te sale me dices y te echo un cable.

Disiento. Has dicho que el grupo es conmutativo/abeliano. Aquí hay dos ejemplos:

(...) Como el grupo es conmutativo, todo subgrupo es normal (...)

y

(...)
1) Notar que el grupo es abeliano.
2) De lo anterior todo subgrupo es normal.
(...)

(Cliquear en los quotes para dirigirse a los mensajes)

Saludos


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: martiniano en 21/08/2018, 02:21:32 pm
Hola.

Ya ya, pero es que aquí el subgrupo que queremos averguar si es normal o no, es un subgrupo del grupo de matrices regulares 2x2, que no es abeliano. El hecho de que el subgrupo sea abeliano no garantiza que sea normal.

Saludos.


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: manooooh en 21/08/2018, 03:15:38 pm
Hola

Ya ya, pero es que aquí el subgrupo que queremos averguar si es normal o no, es un subgrupo del grupo de matrices regulares 2x2, que no es abeliano. El hecho de que el subgrupo sea abeliano no garantiza que sea normal.

Claro, se sabe que las matrices cuadradas de orden [texx]2[/texx] no conmutan, pero eso no impide que algún subgrupo sí conmute o no. Entonces hay que hacer un trabajo extra.

Entonces, como decís, hay que buscar un contraejemplo. Veamos:

[texx]H\text{ es subgrupo normal de }G\quad\Leftrightarrow\quad H\triangleleft G\quad\Leftrightarrow\quad \forall g\in G\;\forall h\in{\color{red}\bf H}:g\ast h\ast g'\in H[/texx],

donde [texx]g'[/texx] es el inverso de [texx]g[/texx].

Negando resulta

[texx]H\text{ NO es subgrupo normal de }G\quad\Leftrightarrow\quad H\not\triangleleft G\quad\Leftrightarrow\quad \exists g\in G\;\exists h\in{\color{red}\bf H}:g\ast h\ast g'\not\in H[/texx],

donde [texx]g'[/texx] es el inverso de [texx]g[/texx]. ¿Bien?



¿Quién es [texx]H[/texx]? ¿[texx]A[/texx] o [texx]\langle A\rangle[/texx]? Si tomo [texx]H=A[/texx] entonces no sé cómo tomar un elemento de [texx]H[/texx], es decir [texx]h[/texx] ???.

Mi intento fallido:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos

AGREGADO


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: manooooh en 21/08/2018, 03:28:29 pm
Por otra parte escribo la justificación del ejercicio 2) para tenerlo en limpio:

2) Analice si el subgrupo generado por la matriz [texx]A[/texx] es isomorfo a [texx](\mathbb Z_4,\overline +)[/texx].

Respuesta:

En primer lugar el grupo es cíclico pues

el grupo en cuestión es:
[texx]\{A,A^2,A^3,A^4\}[/texx]

Es cíclico y generado por A, entonces, considerando sin pérdida de generalidad que [texx]m\geq{n}[/texx]

[texx]A^mA^n=(A^{n}A^{m-n})A^n=A^n(A^{m-n}A^n)=A^nA^m[/texx]

¿Es correcta la cadena de justificaciones?

Saludos

EDIT: sé que cité las mismas palabras de martiniano y que por ende comparto :), pero lo quiero repreguntar porque en el libro que tengo el cual estoy estudiando hay una propiedad que dice (escrita tal cual):



Propiedad:

Para todo grupo [texx]G[/texx] cíclico finito existe algún [texx]n\in\mathbb N[/texx] de modo que [texx]G[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb Z_n[/texx].




A mí parecer difiere un poco con lo escrito por martiniano, porque esta propiedad impone que el grupo sea finito, y "las matrices de orden...", o sea el grupo [texx]GM_2(Q)[/texx], no es finito (¡hay infinitos elementos!). Entonces, me gustaría saber si esta propiedad NO se aplica en este ejercicio y por ende sigo aceptando la respuesta de martiniano. Gracias.


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: martiniano en 21/08/2018, 04:02:20 pm
Hola, creo que en tu último mensaje te has liado un poco.

¿Quién es [texx]H[/texx]? ¿[texx]A[/texx] o [texx]\langle A\rangle[/texx]? Si tomo [texx]H=A[/texx] entonces no sé cómo tomar un elemento de [texx]H[/texx], es decir [texx]h[/texx] ???.

Primero el subgrupo del que queremos averiguar si es normal o no es:

[texx]\left<{A}\right>=\{A,A^2,A^3,A^4\}=\{I,A,A^2,A^3\}[/texx].

Le puedes llamar [texx]H[/texx] si quieres, pero entonces deberías escribir [texx]H=\left<{A}\right>[/texx].

Éste es un subgrupo del grupo de las matrices regulares o invertibles de orden 2 con coeficientes racionales, llamémosle [texx]G[/texx], como en el enunciado. Es necesario decir lo de regulares o invertibles, porque sinó no todos los elementos tendrían inverso y el conjunto no sería un grupo.

[texx]h=A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\in A,\quad g=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\in GM_2(Q),\quad g'={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{-1}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\in GM_2(Q).[/texx]

Según has definido [texx]g[/texx], ésta no es regular, es decir, no tiene inversa, es decir, lo que has llamado [texx]g'[/texx] no es su inversa.

[texx]h=A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\in A[/texx]. Se sabe que un conjunto no puede pertenecerse a sí mismo, [texx]A\in A[/texx] es falso...

Cierto, eso no está bien escrito, si quieres puedes hacerlo así:

[texx]h=A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\in \left<{A}\right>[/texx]

Otro error es que, siguiendo el libro de Fernando, el elemento neutro debe pertenecer al subgrupo (que aun no sabemos si es normal o no), pero yo estoy forzando que sea el subgrupo que genera generado por [texx]A[/texx], es decir [texx]\langle A\rangle[/texx] y no [texx]A[/texx]. Esto es otro error mío.

No te he entendido muy bien aquí, pero el elemento neutro de [texx]H=\left<{A}\right>[/texx], es la indentidad de orden dos, que coincide con [texx]A^4[/texx].

Por otra parte escribo la justificación del ejercicio 2) para tenerlo en limpio:

2) Analice si el subgrupo generado por la matriz [texx]A[/texx] es isomorfo a [texx](\mathbb Z_4,\overline +)[/texx].

Respuesta:

En primer lugar el grupo es cíclico pues

el grupo en cuestión es:
[texx]\{A,A^2,A^3,A^4\}[/texx]

Es cíclico y generado por A, entonces, considerando sin pérdida de generalidad que [texx]m\geq{n}[/texx]

[texx]A^mA^n=(A^{n}A^{m-n})A^n=A^n(A^{m-n}A^n)=A^nA^m[/texx]

¿Es correcta la cadena de justificaciones?

Saludos

EDIT: sé que cité las mismas palabras de martiniano y que por ende comparto :), pero lo quiero repreguntar porque en el libro que tengo el cual estoy estudiando hay una propiedad que dice (escrita tal cual):



Propiedad:

Para todo grupo [texx]G[/texx] cíclico finito existe algún [texx]n\in\mathbb N[/texx] de modo que [texx]G[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb Z_n[/texx].




A mí parecer difiere un poco con lo escrito por martiniano, porque esta propiedad impone que el grupo sea finito, y "las matrices de orden...", o sea el grupo [texx]GM_2(Q)[/texx], no es finito (¡hay infinitos elementos!). Entonces, me gustaría saber si esta propiedad NO se aplica en este ejercicio y por ende sigo aceptando la respuesta de martiniano. Gracias.

Sí claro, difiere, difiere... Yo lo que pretendía quí era demostrarte que todo grupo cíclico es abeliano. Por otra parte, como bien dice la propiedad que citas de tu libro, todo grupo cíclico de orden [texx]n[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb{Z}_n[/texx], resultado del que se desprende inmediatamente la respuesta a tu ejercicio si la aplicas a [texx]H[/texx], no a [texx]G[/texx].

Saludos.


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: manooooh en 21/08/2018, 04:13:39 pm
Hola

Éste es un subgrupo del grupo de las matrices regulares o invertibles de orden 2 con coeficientes racionales, llamémosle [texx]G[/texx], como en el enunciado. Es necesario decir lo de regulares o invertibles, porque sinó no todos los elementos tendrían inverso y el conjunto no sería un grupo.

¿O sea que con el enunciado, escrito tal cual, los ejercicios son irresolubles porque falta la hipótesis de que las matrices deben ser invertibles?

Si es así ¡¡te dije que en mi asignatura los ejercicios de examen los hacen faltan!! :laugh: :laugh:.

Por otra parte, como bien dice la propiedad que citas de tu libro, todo grupo cíclico de orden [texx]n[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb{Z}_n[/texx], resultado del que se desprende inmediatamente la respuesta a tu ejercicio si la aplicas a [texx]H[/texx], no a [texx]G[/texx].

¿Pero allí no estaríamos cambiando la propiedad? Porque ella dice "un grupo [texx]G[/texx]", pero decís que querés cambiarlo por un subgrupo [texx]H=\langle A\rangle[/texx]. ¿Se puede hacer eso? ???

En el resto de acuerdo en todo.

Saludos


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: martiniano en 21/08/2018, 04:17:25 pm
Sí, bueno, es que un subgrupo no es otra cosa que un grupo que está incluido en otro.

Saludos.


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: manooooh en 21/08/2018, 04:19:19 pm
Sí, bueno, es que un subgrupo no es otra cosa que un grupo que está incluido en otro.

... ¿y por tanto comparte las mismas propiedades estructurales que el grupo?

Saludos


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: martiniano en 21/08/2018, 04:23:34 pm
Supongo que sí. Desde luego este teorema se puede aplicar. Queda lo del contraejemplo para demostrar que [texx]\left<{A}\right>[/texx] no es normal...

Saludos.


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: manooooh en 21/08/2018, 04:30:27 pm
Desde luego este teorema se puede aplicar.

¿Al teorema te referís a:

Eso es cierto porque son cíclicos. En general, un grupo abeliano cíclico de [texx]n[/texx] elementos es isomorfo a [texx]\mathbb{Z_n}[/texx]. Pero hay grupos con el mismo cardinal que no son isomorfos.
?



Queda lo del contraejemplo para demostrar que [texx]\left<{A}\right>[/texx] no es normal...

No entiendo por qué en

Cita
[texx]h=A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\in A,\quad g=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\in GM_2(Q),\quad g'={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{-1}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\in GM_2(Q).[/texx]

[texx]g[/texx] no es invertible (aun asumiendo que las matrices del grupo lo son).

Saludos


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: martiniano en 21/08/2018, 04:44:40 pm
EDITADO. En el mensaje original estaban muy mal gestionadas las citas.

Hola.

[texx]\quad g'={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{-1}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\in GM_2(Q).[/texx]

¿De dónde has sacado eso?

[texx]g[/texx] no es invertible (aun asumiendo que las matrices del grupo lo son).

Claro, [texx]g[/texx] no es invertible, entonces no pertenece a [texx]G[/texx], que hemos dicho que debe ser el conjunto de matrices invertibles de orden 2...

Saludos.


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: manooooh en 21/08/2018, 07:02:14 pm
Hola

Me he tomado un pequeño receso porque sino me iba a volver loco incluyendo al lector, si ya no lo estaba. No escribo las citas de martiniano por una cuestión estética pero la gran mayoría de los dos ejercicios fueron resueltos por él.

Considere el grupo [texx]GM_2(Q)[/texx] formado por las matrices  de [texx]2\times2[/texx] con coeficientes racionales y la operación producto matricial.

Debemos aclarar que este grupo es regular, o, lo que es lo mismo, todos sus elementos poseen simétrico (inverso), pues sino no habría grupo.

1) Halle el subgrupo generado por [texx]A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}[/texx], indique si es abeliano y si es normal.

[texx]\begin{matrix} A&&&=&\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\\ A^2&=&A\cdot A&=&\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\\ A^3&=&A^2\cdot A&=&\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\\ A^4&=&A^3\cdot A&=&\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}&=&I. \end{matrix}[/texx]

Por tanto el subgrupo generado por [texx]A[/texx] tiene cuatro elementos

[texx]\langle A\rangle=\left\lbrace\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\right\rbrace=\left\lbrace I,A,A^2,A^3\right\rbrace.[/texx]

Para probar que es abeliano considérense [texx]m[/texx] y [texx]n[/texx] dos números naturales. Sin pérdida de generalidad supondremos [texx]m\geq n[/texx]. Luego

[texx]A^mA^n=(A^{n}A^{m-n})A^n=A^n(A^{m-n}A^n)=A^nA^m,[/texx]

lo cual prueba que las matrices conmutan.

Ahora sean

[texx]h=A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\in\langle A\rangle,\qquad g=\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}\in GM_2(Q),\qquad g'={\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}}^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1/2&0\end{pmatrix}\in GM_2(Q).[/texx]

Vemos que el elemento neutro con el producto usual de matrices de orden [texx]2[/texx] es la matriz identidad ([texx]I[/texx]) que pertenece a [texx]\langle A\rangle[/texx]. Éste no es normal pues

[texx]ghg'=\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1/2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\-1/2&0\end{pmatrix}\not\in\langle A\rangle[/texx].

2) Analice si el subgrupo generado por la matriz [texx]A[/texx] es isomorfo a [texx](\mathbb Z_4,\overline +)[/texx].

Como [texx]\langle A\rangle[/texx] es finito y tiene cuatro elementos luego, por una propiedad conocida, es isomorfo al grupo aditivo de los enteros módulo [texx]4[/texx].



¿Está bien ahora? ¿Bien justificado?

Muchas gracias.

Saludos y buenas noches


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: martiniano en 22/08/2018, 02:06:32 am
Hola.

Bien, veo que ya se va aclarando la cosa...

Lo único que creo que es importante que digas en el último apartado que [texx]\left<{A}\right>[/texx] es cíclico, pues es lo que permite aplicar el teorema.

Saludos.


Título: Re: Dado un grupo de matrices con coeficientes racionales hallar subgrupo generado
Publicado por: manooooh en 22/08/2018, 02:15:44 am
Hola

Lo único que creo que es importante que digas en el último apartado que [texx]\left<{A}\right>[/texx] es cíclico, pues es lo que permite aplicar el teorema.

Cierto.

2) Analice si el subgrupo generado por la matriz [texx]A[/texx] es isomorfo a [texx](\mathbb Z_4,\overline +)[/texx].

Como [texx]\langle A\rangle[/texx] es cíclico, finito y tiene cuatro elementos luego, por una propiedad conocida, es isomorfo al grupo aditivo de los enteros módulo [texx]4[/texx].

Saludos