Matemática => Análisis Matemático => Mensaje iniciado por: NatsuFT en 21/06/2018, 02:01:32 am



Título: Máximo y mínimo de una función trigonométrica
Publicado por: NatsuFT en 21/06/2018, 02:01:32 am
Hola, gente. ¿Cómo están?

Tengo un problema sacando los extremos de la siguiente función:

[texx]y=2sinx-cosx[/texx]

Lo que intenté hacer fue esto:

[texx]y^{\prime}=sinx+2cosx[/texx]

[texx]\sqrt[ ]{1-cos^2x}+2cosx=0[/texx]

[texx](2cosx)^2=(\sqrt[ ]{1-cos^2x})^2[/texx]

[texx]4cos^2x=1-cos^2x[/texx]

[texx]5cos^2x=1[/texx]

[texx]cosx=\pm{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}}{5}}[/texx]

A pesar de que obtengo ese resultado, la respuesta debería ser: [texx]\pm{\sqrt[ ]{5}}[/texx]

Si alguien fuera tan amable de marcar cuál es mi error, se lo agradecería mucho.

Gracias desde ya.

¡Saludos!


Título: Re: Máximo y mínimo de una función trigonométrica
Publicado por: martiniano en 21/06/2018, 04:12:27 am
Hola.
La solución que dices que es la buena no puede ser un coseno porque es mayor que 1.
Saludos.


Título: Re: Máximo y mínimo de una función trigonométrica
Publicado por: Luis Fuentes en 21/06/2018, 06:17:01 am
Hola

Tengo un problema sacando los extremos de la siguiente función:

[texx]y=2sinx-cosx[/texx]

Lo que intenté hacer fue esto:

[texx]y^{\prime}=sinx+2cosx[/texx]

[texx]\sqrt[ ]{1-cos^2x}+2cosx=0[/texx]

[texx](2cosx)^2=(\sqrt[ ]{1-cos^2x})^2[/texx]

[texx]4cos^2x=1-cos^2x[/texx]

[texx]5cos^2x=1[/texx]

[texx]cosx=\pm{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}}{5}}[/texx]

A pesar de que obtengo ese resultado, la respuesta debería ser: [texx]\pm{\sqrt[ ]{5}}[/texx]

Si alguien fuera tan amable de marcar cuál es mi error, se lo agradecería mucho.

Lo que tu has hallado son los puntos críticos donde se anula la derivada y puntos candidatos a alcanzar los extremos.

En concreto:

- Si [texx]cos(x)=\sqrt{5}{5}[/texx] entonces para que [texx]y'=sinx+2cos(x)=0[/texx], se tiene que [texx]sin(x)=-2\sqrt{5}{5}[/texx].
En esos puntos el valor de la función es:

[texx]y=2sin(x)-cos(x)=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}=-\sqrt{5}[/texx]

- Si [texx]cos(x)=-\sqrt{5}{5}[/texx] entonces para que [texx]y'=sinx+2cos(x)=0[/texx], se tiene que [texx]sin(x)=2\sqrt{5}{5}[/texx].
En esos puntos el valor de la función es:

[texx]y=2sin(x)-cos(x)=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}+\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}[/texx]

Entonces el valor máximo de la función es [texx]\sqrt{5}[/texx] y el mínimo [texx]-\sqrt{5}[/texx].

Saludos.


Título: Re: Máximo y mínimo de una función trigonométrica
Publicado por: NatsuFT en 22/06/2018, 07:46:41 pm
Hola

Lo que tu has hallado son los puntos críticos donde se anula la derivada y puntos candidatos a alcanzar los extremos.

En concreto:

- Si [texx]cos(x)=\sqrt{5}{5}[/texx] entonces para que [texx]y'=sinx+2cos(x)=0[/texx], se tiene que [texx]sin(x)=-2\sqrt{5}{5}[/texx].
En esos puntos el valor de la función es:

[texx]y=2sin(x)-cos(x)=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}=-\sqrt{5}[/texx]

- Si [texx]cos(x)=-\sqrt{5}{5}[/texx] entonces para que [texx]y'=sinx+2cos(x)=0[/texx], se tiene que [texx]sin(x)=2\sqrt{5}{5}[/texx].
En esos puntos el valor de la función es:

[texx]y=2sin(x)-cos(x)=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}+\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}[/texx]

Entonces el valor máximo de la función es [texx]\sqrt{5}[/texx] y el mínimo [texx]-\sqrt{5}[/texx].

Saludos.

¡Gracias! Con razón nunca llegaba al resultado, eso me pasa por no estar atento. ;D

¡Saludos!