Matemática => Ecuaciones diferenciales => Mensaje iniciado por: YeffGC en 13/06/2018, 05:40:16 pm



Título: Resolución de ecuación diferencial por serie de potencias
Publicado por: YeffGC en 13/06/2018, 05:40:16 pm
Hola, he estado resolviendo esta ecuación pero difiere mucho a la del solucionario

[texx]y^{\prime\prime}-y^{\prime}=0[/texx]
[texx]\displaystyle\sum_{2=2}^\infty{n(n-1)a_nx^{n-2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{na_nx^{n-1}}[/texx]

a n=2 lo llevaré a n=1
[texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{(n+1)na_{n+1}x^{n-1}}-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{na_nx^{n-1}}[/texx]
[texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{((n+1)na_{n+1}-na_n)x^{n-1}}=0[/texx]
[texx](n+1)na_{n+1}-na_n=0[/texx]
[texx]a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_n}{n+1}[/texx]
pero desde acá ya es muy disparejo a la solución final que es
[texx]c_0-c_1+c_2e^x[/texx]
espero su ayuda


Título: Re: Resolución de ecuación diferencial por serie de potencias
Publicado por: Masacroso en 13/06/2018, 08:32:27 pm
No sé por qué has supuesto que las funciones son analíticas... eso supondría que son infinitamente diferenciables. Tendrías que justificar previamente eso, ¿no?, o al menos a posteriori.

Desde [texx]a_{n+1}=\frac{a_n}{n+1}[/texx] obtienes que [texx]a_n=\frac{a_1}{n!}[/texx], entonces te queda que [texx]y'=\sum_{n=1}^\infty a_1\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}[/texx], de donde obtenemos integrando que [texx]y=a_1 e^x+C[/texx], que es equivalente a la solución general que adjuntas (observa que [texx]c_0-c_1[/texx] se puede representar por una sola constante).


Título: Re: Resolución de ecuación diferencial por serie de potencias
Publicado por: Fernando Revilla en 14/06/2018, 03:45:58 am
No sé por qué has supuesto que las funciones son analíticas... eso supondría que son infinitamente diferenciables. Tendrías que justificar previamente eso, ¿no?, o al menos a posteriori.

Según el teorema (apartado 3) de Ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes analíticos (http://fernandorevilla.es/blog/2017/09/23/ecuacion-diferencial-homogenea-de-segundo-orden-con-coeficientes-analiticos/), se puede asegurar que las soluciones existen y son analíticas. Si no se usa tal teorema, sustituyendo una serie genérica en la ecuación, nos dará conciciones necesarias que como tú dices se puede verificar a posteriori que son suficientes.