Matemática => Análisis Matemático => Mensaje iniciado por: panchocheo en 12/06/2018, 08:51:09 pm



Título: Duda sobre definición de límite
Publicado por: panchocheo en 12/06/2018, 08:51:09 pm
Hola que tal a todos, soy nuevo en el foro así que espero no estar infringiendo ninguna regla, bueno el asunto es que estoy repasando mi matemática y ahora mismo estoy con cálculo, para ello estoy leyendo el libro de Calculus de Spivak, pero me surgió una duda en cuanto a la definición de límite de una función. En el libro la definición es:

La función [texx]f [/texx] tiende hacia el límite [texx]l[/texx] en [texx]a[/texx] significa que: para todo [texx]\epsilon > 0[/texx] existe algún [texx]\delta > 0[/texx] tal que, para todo [texx]x[/texx], si [texx]0< \left | x-a \right | < \delta[/texx], entonces [texx]\left | f(x)-l \right | < \epsilon[/texx]

La duda que me surge es si el para todo x de la definición, se refiere a todo x real en ese intervalo (0<|x-a|<[texx]\delta[/texx]), o se refiere a todo x en el dominio de la función y que este dentro del intervalo. Lo que pasa es que estaba pensando en la posible existencia de una función que tenga un dominio no continuo, es decir, que no este definida en todo un intervalo sino solo en algunos puntos de él (infinitos puntos de este intervalo si es posible aunque no estoy seguro si lo es, por ejemplo todos los racionales que hay en el intervalo 0 a 1), y entonces quería ver más o menos cuales eran las características de una función tal si esta existiera y existiese el límite de la función en al menos algún punto 'a' de su dominio, pero no estoy seguro si la definición se aplique como lo mencione arriba a todos los x del dominio (lo cual limita el numero de funciones para las cuales existe el limite en algún punto) y que esten en el intervalo o tan solo a los x dentro del intervalo. Bueno eso es todo, espero haberme dado a entender les agradecería mucho que me ayudaran ya que estoy un poco trabado en esto y no puedo avanzar. gracias y saludos a todos.


Título: Re: Duda sobre definición de límite
Publicado por: delmar en 12/06/2018, 10:03:51 pm
Hola panchocheo

Bienvenido al foro.

Respecto a tu pregunta, el para todo x, se refiere, a todo número real x tal que [texx]0<\left |{x-a}\right |<\delta[/texx], para graficar, el x pertenece a [texx](a-\delta,a)[/texx] ó pertenece a  [texx](a,a+\delta)[/texx].Esto implica que f ha de estar definida necesariamente en esos dos intervalos : [texx](a-\delta,a)[/texx] y [texx](a,a+\delta)[/texx].


Saludos


Título: Re: Duda sobre definición de límite
Publicado por: Luis Fuentes en 13/06/2018, 06:14:17 am
Hola

Hola que tal a todos, soy nuevo en el foro así que espero no estar infringiendo ninguna regla, bueno el asunto es que estoy repasando mi matemática y ahora mismo estoy con cálculo, para ello estoy leyendo el libro de Calculus de Spivak, pero me surgió una duda en cuanto a la definición de límite de una función. En el libro la definición es:

La función [texx]f [/texx] tiende hacia el límite [texx]l[/texx] en [texx]a[/texx] significa que: para todo [texx]\epsilon > 0[/texx] existe algún [texx]\delta > 0[/texx] tal que, para todo [texx]x[/texx], si [texx]0< \left | x-a \right | < \delta[/texx], entonces [texx]\left | f(x)-l \right | < \epsilon[/texx]

La duda que me surge es si el para todo x de la definición, se refiere a todo x real en ese intervalo (0<|x-a|<[texx]\delta[/texx]), o se refiere a todo x en el dominio de la función y que este dentro del intervalo. Lo que pasa es que estaba pensando en la posible existencia de una función que tenga un dominio no continuo, es decir, que no este definida en todo un intervalo sino solo en algunos puntos de él (infinitos puntos de este intervalo si es posible aunque no estoy seguro si lo es, por ejemplo todos los racionales que hay en el intervalo 0 a 1), y entonces quería ver más o menos cuales eran las características de una función tal si esta existiera y existiese el límite de la función en al menos algún punto 'a' de su dominio, pero no estoy seguro si la definición se aplique como lo mencione arriba a todos los x del dominio (lo cual limita el numero de funciones para las cuales existe el limite en algún punto) y que esten en el intervalo o tan solo a los x dentro del intervalo. Bueno eso es todo, espero haberme dado a entender les agradecería mucho que me ayudaran ya que estoy un poco trabado en esto y no puedo avanzar. gracias y saludos a todos.

En general dada una función [texx]f:A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/texx] sólo tiene sentido hablar de límite de [texx]f[/texx] en un punto [texx]x_0[/texx] si [texx]x_0[/texx] es un punto de acumulación del dominio [texx]A.[/texx]

En ese caso se dice que [texx]\displaystyle\lim_{x \to x_0}{}f(x)=L[/texx] si se cumple que para todo [texx]\epsilon>0[/texx] existe un [texx]\delta>0[/texx] tal que,

si [texx]0<|x-x_0|<\delta,\,x\in A[/texx] entonces [texx]|f(x)-L|<\epsilon[/texx]

Saludos.


Título: Re: Duda sobre definición de límite
Publicado por: panchocheo en 13/06/2018, 11:09:45 am
okay, creo que ya me quedo claro, entonces son los todos lo x que cumplen ambas condiciones. Muchas gracias a todos por responder, saludos.