Matemática => Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) => Mensaje iniciado por: zimbawe en 11/06/2018, 06:05:57 pm



Título: Subconjunto generador.
Publicado por: zimbawe en 11/06/2018, 06:05:57 pm
Hola tengo el siguiente problema, que no he podido resolver:
1) Sea [texx]V[/texx] un espacio vectorial de dimensión [texx]n[/texx] y sea [texx]S[/texx] un subconjunto de [texx]V[/texx] que genera a [texx]V[/texx]

a) Demostrar que [texx]S[/texx] contiene al menos [texx]n[/texx] elementos.
b) Demostrar que un subconjunto de [texx]S[/texx] es una base para [texx]V[/texx] (tenga cuidad de no suponer que S es finito)

Gracias.


Título: Re: Subconjunto generador.
Publicado por: Luis Fuentes en 11/06/2018, 06:20:59 pm
Hola

Hola tengo el siguiente problema, que no he podido resolver:
1) Sea [texx]V[/texx] un espacio vectorial de dimensión [texx]n[/texx] y sea [texx]S[/texx] un subconjunto de [texx]V[/texx] que genera a [texx]V[/texx]

Sería bueno saber que resultados previos tienes probados hasta ahora. Normalmente previamente se prueba el Teorema de Steiniz (https://en.wikipedia.org/wiki/Steinitz_exchange_lemma):

- Si [texx]\{a_1,\ldots,a_m\}[/texx] son vectores independientes y [texx]\{b_1,\ldots,b_n\}[/texx] una base entonces [texx]m\leq n[/texx] y pueden sustiuitse m vectores de la base por los independientes iniciales y el conjunto sigue siendo base.

De ahí se demuestra que dos bases de un subespacio tienen el mismo número de elementos y se llama dimensión del espacio vectorial a ese número.

Cita
a) Demostrar que [texx]S[/texx] contiene al menos [texx]n[/texx] elementos.

Si [texx]S[/texx] tuvera menos elementos de [texx]n[/texx], eliminando los dependientes tendríamos [texx]m<n[/texx] elementos independientes que generan [texx]V[/texx]. Pero entonces tendríamos una base con menos de [texx]n[/texx] elementos: imposible.

Cita
b) Demostrar que un subconjunto de [texx]S[/texx] es una base para [texx]V[/texx] (tenga cuidad de no suponer que S es finito)

Ahí supongo que quisiste poner:

"b) Demostrar que existe un subconjunto de [texx]S[/texx] que es una base para [texx]V[/texx] (tenga cuidad de no suponer que S es finito)"

La idea es: se toma un elemento [texx]u_1[/texx] de [texx]S[/texx] no nulo. Si genera [texx]V[/texx] ya es base, en caso contrario existe otro elemento [texx]u_2\in S[/texx] que no es combinación lineal de él.

Entonces [texx]\{u_1,u_2\}[/texx] son independientes. Si generan [texx]V[/texx] ya son base, en caso contrario existe [texx]u_3\in S[/texx] independiente de ellos.


Entonces [texx]\{u_1,u_2,u_3\}[/texx] son independientes. Si genera [texx]V[/texx] son base, sino.... etcétera

Seguimos el proceso inductivamente. Cuando llegamos a [texx]n[/texx] vectores independientes, por el Teorema de Steiniz son base, ya que no puede haber [texx]n+1>dim(V)[/texx] vectores independientes.

Saludos.


Título: Re: Subconjunto generador.
Publicado por: zimbawe en 11/06/2018, 06:38:06 pm
Hola Luis. En el libro si prueban ese Lema, no llaman al teorema cono ese nombre. Muchas gracias, es muy constructiva la demostración.