Matemática => Ecuaciones diferenciales => Mensaje iniciado por: Maekvor en 10/06/2018, 09:06:14 pm



Título: Hallar constante Lipschitz o demostrar que no existe
Publicado por: Maekvor en 10/06/2018, 09:06:14 pm
Buenas a todos.
Veréis, tengo que hallar la constante Lipschitz o demostrar que no existe para diferentes casos.
Y por boba que es la definición, no la entiendo, o sea, no sé trabajar con ella. Pongo dos ejemplos:

(1) Ejercicio hecho por el profe:

[texx]f(x,y)=1+y^2[/texx] Dominio: [texx]\mathbb{R^2}[/texx]
Para que sea lipschitziana:
[texx]|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq{K}|y_1-y_2|[/texx] Entonces sustituye:
[texx]|(1+y_1^2)-(1+y_2^2)|=|y_1^2-y_2^2|\leq{K}|y_1-y_2|[/texx]
Luego:
[texx]|y_1^2-y_2^2|=|y_1-y_2||y_1+y_2|\leq{K}|y_1-y_2|[/texx] Entonces:
Para cierto [texx]K>0 [/texx] y [texx] \forall{(x,y_1),(x,y_2)}\in{\mathbb{R^2}} [/texx] [texx]|y_1+y_2|\leq{K} [/texx]
Y pone que es absurdo, pero mi pregunta es: ¿No se supone que ha encontrado un [texx]K[/texx]? ¿Por qué es absurdo?



(2) Y luego he intentado hacer yo un ejercicio pero no sé como continuar

[texx]f(x)=\sqrt[ 3]{x}[/texx], [texx]x\in{[-1,1]}[/texx]
Yo sé que por definición:
[texx]f(x)[/texx] es lipschitziana si [texx]\exists{L}>0: |f(x)-f(y)|\leq{L|x-y|}[/texx] [texx]\forall{x,y}\in{[-1,1]}[/texx]
Yo hago lo siguiente:
Defino:
[texx]f(x)=\sqrt[ 3]{x}[/texx], [texx]f(y)=\sqrt[ 3]{y}[/texx] Entonces:
[texx]|f(x)-f(y)|=|\sqrt[ 3]{x}-\sqrt[ 3]{y}|[/texx]
Y suponemos que:
[texx]|\sqrt[ 3]{x}-\sqrt[ 3]{y}|\leq{K|x-y|}[/texx]
Sabemos que:
[texx]\sqrt[ 3]{x}\leq{|1|}[/texx] y [texx]\sqrt[ 3]{y}\leq{|1|}[/texx]
Luego:
[texx]|\sqrt[ 3]{x}-\sqrt[ 3]{y}|\leq{2}\leq{K|x-y|}[/texx]
Por tanto:
[texx]\frac{2}{|x-y|}\leq{K}[/texx]
Y aquí concluí que sería lipschitz, pero viendo el ejemplo del profesor pues supongo que no lo es xD Así que si alguien me ayuda le estaré eternamente agradecido D:


Título: Re: Hallar constante Lipschitz o demostrar que no existe
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 10/06/2018, 09:30:54 pm
Tienes que [texx]|y_1-y_2| [/texx] se puede hacer pequeño, lo que propone el profesor es que habría un [texx]K>0[/texx] tal
que para todo [texx]y_1,y_2 [/texx] se tendría [texx]|y_1+y_2| < K [/texx].
Toma [texx]y_1^n = n [/texx] y [texx] y_2^n = n + \dfrac{1}{n} [/texx] donde [texx]n \in \mathbb{N} [/texx] cuando [texx]n[/texx] crece tenemos:
[texx] |y_1^n - y_2^n| \to 0[/texx]
[texx] |y_1^n + y_2^n| \to +\infty[/texx] entonces no existe [texx]K[/texx]

Para ver tu ejemplo usa:
[texx]a^3-b^3 = (a-b) \cdot (a^2+ab+b^2) [/texx] donde:
[texx]a = \sqrt[3]{y}[/texx]
[texx]b = \sqrt[3]{x}[/texx]

Queda:

[texx]\sqrt[3]{y} - \sqrt[3]{x} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{y^2} + \sqrt[3]{yx} + \sqrt[3]{x^2}} \cdot (y-x) [/texx]  y mira que pasa cuando [texx]x [/texx] e [texx]y [/texx] están cerca del cero.


Título: Re: Hallar constante Lipschitz o demostrar que no existe
Publicado por: Maekvor en 11/06/2018, 06:36:11 pm
Respecto a la primera explicación en sí la he entendido, solo que no sé por qué puedes tomar esas sucesiones.
¿Siempre es así? Digamos: ¿ingeniándotelas?
Yo pensaba que esta definición simplemente consistía en ir despejando hasta encontrar un K
Igualmente haré otros ejercicios a ver si me salen.



Título: Re: Hallar constante Lipschitz o demostrar que no existe
Publicado por: Luis Fuentes en 11/06/2018, 06:46:19 pm
Hola

Respecto a la primera explicación en sí la he entendido, solo que no sé por qué puedes tomar esas sucesiones.
¿Siempre es así? Digamos: ¿ingeniándotelas?

Cuando se  trata de probar que NO es Lipchiziana de alguna forma si; es decir se trata de buscar un contrajemplo a la definición. Mostrar que pares de puntos pueden estar muy cerca pero sus imágenes muy lejos, impidiendo la cota [texx]|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|[/texx] para cualquier [texx]K[/texx].

En el segundo te puede simplificar aun más lo indicado por Juan Pablo si tomas [texx]x=0[/texx].

Saludos.


Título: Re: Hallar constante Lipschitz o demostrar que no existe
Publicado por: Maekvor en 16/06/2018, 01:49:51 pm
Tienes que [texx]|y_1-y_2| [/texx] se puede hacer pequeño, lo que propone el profesor es que habría un [texx]K>0[/texx] tal
que para todo [texx]y_1,y_2 [/texx] se tendría [texx]|y_1+y_2| < K [/texx].
Toma [texx]y_1^n = n [/texx] y [texx] y_2^n = n + \dfrac{1}{n} [/texx] donde [texx]n \in \mathbb{N} [/texx] cuando [texx]n[/texx] crece tenemos:
[texx] |y_1^n - y_2^n| \to 0[/texx]
[texx] |y_1^n + y_2^n| \to +\infty[/texx] entonces no existe [texx]K[/texx]


Viento lo que me has puesto, no entiendo por qué dices que [texx] |y_1^n + y_2^n| \to +\infty[/texx] ya que la [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] pero mi intervalo es [texx]I=[-1,1][/texx] luego, mi pregunta es: ¿el único natural disponible no sería el [texx]1[/texx]? Es que no entiendo por qué de contraejemplo tomas una sucesión con números que se salen de mi intervalo.
De resto sí lo comprendí, gracias.


Título: Re: Hallar constante Lipschitz o demostrar que no existe
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 16/06/2018, 03:55:54 pm
Eso es para el ejemplo del profesor no el que pones tú.



Título: Re: Hallar constante Lipschitz o demostrar que no existe
Publicado por: Maekvor en 16/06/2018, 06:14:53 pm
Ah cierto
Fallo mío