Matemática => Cálculo 1 variable => Mensaje iniciado por: Buscón en 09/06/2018, 04:13:01 am



Título: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 09/06/2018, 04:13:01 am

Probar que existe una única función    [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    verificando que

[texx]2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\;\;\;\;\;\;\forall{\,x\in{\mathbb{R}}}[/texx].

Probar también que    [texx]f[/texx]    es derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx]    y calcular    [texx]f'(0)[/texx].



Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 09/06/2018, 04:55:31 am
Hola.

Lo que te están pidiendo es equivalente a demostrar que la siguiente ecuación en [texx]y[/texx] tiene una, y sólo una, solución para cualquier valor de [texx]x[/texx]:

[texx]2y^3-3y^2+6y-x=0[/texx]

Yo lo que haría es asociar esta ecuación a la siguiente función, que es continua y derivable:

[texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx]

Y como la derivada de esta función no se anula nunca, entonces por el teorema de Rolle no puede tomar dos veces el mismo valor y por tanto no se puede anular dos veces. Pero como su grado es impar, siempre se anulará al menos una vez. Y ya tendrías la primera respuesta.

Para calcular f'(0) debes hallar primero f(0) resolviendo la siguiente ecuación:

[texx]2f(0)^3-3f(0)^2+6f(0)=0[/texx] [texx]\Rightarrow{f(0)=0}[/texx]

Y aplicar derivación implícita.

Espero que te sirva, saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 09/06/2018, 05:35:21 am
Hola.

Lo que te están pidiendo es equivalente a demostrar que la siguiente ecuación en [texx]y[/texx] tiene una, y sólo una, solución para cualquier valor de [texx]x[/texx]:

[texx]2y^3-3y^2+6y-x=0[/texx]

Yo lo que haría es asociar esta ecuación a la siguiente función, que es continua y derivable:

[texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx]

Gracias.

No necesariamente, por ejemplo    [texx]f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\;\;\textrm{si}\;\;x\neq{0};\;\;\;f(0)=b\in{\mathbb{R}}[/texx],    con lo que    [texx]g[/texx]    no sería continua y por lo tanto tampoco derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx],    y    [texx]f[/texx]    tampoco.   

No tiene sentido calcular    [texx]f'(0)[/texx]    si no se sabe si    [texx]f[/texx]    es o no es derivable en    [texx]0[/texx].    Y menos si se desconoce también su expresión. ¿No?

Es de suponer que la cosa va por aquí


Sea    [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    derivable en el intervalo    [texx]I[/texx]    con derivada    [texx]f'(x)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]x\in{I}[/texx].    Entonces    [texx]f[/texx]    es una biyección de    [texx]I[/texx]    sobre el intervalo    [texx]J=f(I)[/texx],     y la función inversa    [texx]f^{-1}:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es derivable en     [texx]J[/texx]    siendo

[texx]\big(f^{-1}\big)'(y)=\displaystyle\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}[/texx]       [texx](y\in{J})[/texx].


Haciendo    [texx]f(x)=y[/texx],    será    [texx]f^{-1}(y)=x[/texx],    con lo que se obtiene

[texx]2y^3-3y^2+6y=f^{-1}(y)[/texx].

Saludos.

EDITO.

Falta saber si    [texx]f[/texx]    es derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx]    y si    [texx]f'(x)\neq{0}[/texx]     para todo    [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx].    No veo como.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 09/06/2018, 08:25:24 am
Hola Buscón, lamento no haber podido exponer antes por qué la función f(x) era continua y derivable, pero tenía que atender otras tareas.

El argumento que yo utilizaría para demostrar que f(x) es continua es que:

[texx]   2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x=0\Longrightarrow{} \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\left[2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x\right]}=0\Longrightarrow{}2(    \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^3-3(\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^2+6\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}-x_0=0[/texx]

Y como la siguiente ecuación, en [texx]y[/texx], sólo tiene una solución y esta es [texx]f(x_0)[/texx]:

[texx]2y^3-3y^2+6y-x_0[/texx][texx]=0 [/texx]

Tiene que ser:

[texx]f(x_0)= \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}[/texx] [texx]\forall{x_0}\in{\mathbb{R}}[/texx]

Y por tanto [texx]f(x)[/texx] es continua en [texx]\mathbb{R}[/texx]. Ahora con la derivación implícita se llega a que:

[texx]f'(x)=\displaystyle\frac{1}{6(f(x))^2-6f(x)+6}[/texx]

Como es una división de funciones continuas y el denominador no se anula nunca, f(x) tiene derivada continua y por tanto es también derivable.

Por cierto, no sé si has dudado con esto, pero la función g(y) que he definido en el comentario anterior es continua y derivable por ser un polinomio.

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 09/06/2018, 02:18:45 pm
Hola Buscón, lamento no haber podido exponer antes por qué la función f(x) era continua y derivable, pero tenía que atender otras tareas.

El argumento que yo utilizaría para demostrar que f(x) es continua es que:

[texx]   2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x=0\Longrightarrow{} \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\left[2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x\right]}=0\Longrightarrow{}2(    \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^3-3(\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^2+6\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}-x_0=0[/texx]

Pues la misma objeción, al suponer por ejemplo    [texx]f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\;\;\textrm{si}\;\;x\neq{0};\;\;\;f(0)=b\in{\mathbb{R}}[/texx]    resulta que para    [texx]x_0=0[/texx]   

\begin{align*}\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\left[2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x\right]}&=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\left[2\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^3-3\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^2+\displaystyle\frac{6}{x}-0\right]}=\\\\
&=\displaystyle\frac{2}{b^3}-\displaystyle\frac{3}{b^2}+\displaystyle\frac{6}{b}\neq{f(0)}=b,\end{align*}

la función    [texx]f\not\in{D(\mathbb{R})}[/texx],    no es continua en    [texx]\mathbb{R}[/texx]    y por lo tanto no es derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx].

Saludos gracias.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 09/06/2018, 02:37:52 pm
Por cierto, no sé si has dudado con esto, pero la función g(y) que he definido en el comentario anterior es continua y derivable por ser un polinomio.

Pero si    [texx]y=f(x)[/texx]    y    [texx]f(x)[/texx]    es una función definida por partes, entonces    [texx]g(y)[/texx]    ya no es un polinomio. ¿O si?

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 09/06/2018, 05:17:40 pm
Lo siento, no consigo verlo.

...
Y como la siguiente ecuación, en [texx]y[/texx], sólo tiene una solución y esta es [texx]f(x_0)[/texx]:

[texx]2y^3-3y^2+6y-x_0\color{red}=0[/texx]

¿Cómo sabes que tiene solución única? Muchas gracias.



Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 09/06/2018, 06:14:06 pm
Vale, creo empezar a entenderlo.

Por hipótesis,    [texx]\forall{\,x\in{\mathbb{R}}}[/texx],    se verifica    [texx]2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\;[/texx],    entonces en particular se verifica    [texx]2\big(f(0)\big)^3-3\big(f(0)\big)^2+6f(0)=0[/texx].

Sacando factor común

[texx]f(0)\cdot{\left(2\big(f(0)\big)^2-3f(0)+6\right)}=0[/texx],

lo que implica

[texx]f(0)=0\;\;\;\vee\;\;\;2\big(f(0)\big)^2-3f(0)+6=0[/texx].

La segunda ecuación tiene por soluciones

[texx]f(0)_{1,2}=\displaystyle\frac{3\pm{\sqrt[ ]{9-48}}}{4}\not\in{\mathbb{R}}[/texx],

con lo que es posible deducir que la ecuación planteada tiene solución única y además la función pedida se anula en    [texx]x=0[/texx].

El razonamiento de momento es que puede haber infinitas funciones compatibles con esas deducciones. Y no necesariamente deben ser continuas.

continuará...

Saludos.



Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 09/06/2018, 07:09:32 pm
Hola Buscón. Me alegro de que te veas avanzando   ;).

Lo siento, no consigo verlo.

...
Y como la siguiente ecuación, en [texx]y[/texx], sólo tiene una solución y esta es [texx]f(x_0)[/texx]:

[texx]2y^3-3y^2+6y-x_0\color{red}=0[/texx]

¿Cómo sabes que tiene solución única? Muchas gracias.



Mi intención era, primero, demostrar que [texx]f(x)[/texx] es única y está bien definida. Para eso demuestro que la ecuación [texx]0=2y^3-3y^2+6y-x[/texx], de tercer grado en y, tiene exactamente una sola solución para cada [texx]x[/texx]. Y eso lo he hecho aquí:

Yo lo que haría es asociar esta ecuación a la siguiente función, que es continua y derivable:

[texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx]

Y como la derivada de esta función no se anula nunca, entonces por el teorema de Rolle no puede tomar dos veces el mismo valor y por tanto no se puede anular dos veces. Pero como su grado es impar, siempre se anulará al menos una vez. Y ya tendrías la primera respuesta.


Es prioritario que entiendas esto antes de nada, porque el resto de la demostración se basa bastante en este punto.

Después de esto con lo siguiente se demuestra que la función es continua en todos los puntos en los que está definida, es decir, en todo [texx] \mathbb{R}[/texx]

[texx]   2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x=0\Longrightarrow{} \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\left[2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x\right]}=0\Longrightarrow{}2(    \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^3-3(\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^2+6\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}-x_0=0[/texx]

Y como la siguiente ecuación, en [texx]y[/texx], sólo tiene una solución y esta es [texx]f(x_0)[/texx]:

[texx]2y^3-3y^2+6y-x_0[/texx]

Tiene que ser:

[texx]f(x_0)= \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}[/texx] [texx]\forall{x_0}\in{\mathbb{R}}[/texx]

Y después se halla una expresión para la derivada.

No entiendo bien el contraejemplo que has propuesto. Además, has cometido un error al pasar de la segunda expresión a la tercera, no son iguales:

\begin{align*}\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\left[2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x\right]}&=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\left[2\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^3-3\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^2+\displaystyle\frac{6}{x}-0\right]}=\\\\
&=\displaystyle\frac{2}{b^3}-\displaystyle\frac{3}{b^2}+\displaystyle\frac{6}{b}\neq{f(0)}=b,\end{align*}



Pero si    [texx]y=f(x)[/texx]    y    [texx]f(x)[/texx]    es una función definida por partes, entonces    [texx]g(y)[/texx]    ya no es un polinomio. ¿O si?

[texx]g(y)[/texx] tal y como está definida es un polinomio en [texx]y[/texx]. Lo que hago es analizar primero esta función para luego analizar [texx]f(x)[/texx]. Si en g(y) substituyes [texx]y=f(x)[/texx] lo que obtienes es un 0 redondo.

Espero haberte aclarado algo. Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 10/06/2018, 06:23:13 am
Hola Buscón. Me alegro de que te veas avanzando   ;).

Lo siento, no consigo verlo.

...
Y como la siguiente ecuación, en [texx]y[/texx], sólo tiene una solución y esta es [texx]f(x_0)[/texx]:

[texx]2y^3-3y^2+6y-x_0\color{red}=0[/texx]

¿Cómo sabes que tiene solución única? Muchas gracias.



Mi intención era, primero, demostrar que [texx]f(x)[/texx] es única y está bien definida. Para eso demuestro que la ecuación [texx]0=2y^3-3y^2+6y-x[/texx], de tercer grado en y, tiene exactamente una sola solución para cada [texx]x[/texx]. Y eso lo he hecho aquí:

Yo lo que haría es asociar esta ecuación a la siguiente función, que es continua y derivable:

[texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx]

Y como la derivada de esta función no se anula nunca, entonces por el teorema de Rolle no puede tomar dos veces el mismo valor y por tanto no se puede anular dos veces. Pero como su grado es impar, siempre se anulará al menos una vez. Y ya tendrías la primera respuesta.


Es prioritario que entiendas esto antes de nada, porque el resto de la demostración se basa bastante en este punto.

Pues es justo lo que no consigo ver. No veo como deduces que la función ha de ser única a partir de que la ecuación    [texx]2y^3-3y^2+6y-x=0[/texx]    tiene solución única para cada    [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx].   

Tampoco me queda claro como deduces esto último.

Lo siento. Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 10/06/2018, 06:40:03 am
Vale, claro. ¿Conoces el teorema de Rolle?


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 10/06/2018, 07:22:20 am
Es fácil probar que la ecuación    [texx]2x^3-3x^2+6x=0\Longleftrightarrow{x\cdot{\left(2x^2-3x+6\right)}=0}[/texx]    tiene como única solución    [texx]x=0[/texx].

Al ser    [texx](-3)^2<4\cdot{2}\cdot{6}[/texx],    la ecuación    [texx]2x^2-3x+6=0[/texx]    no tiene soluciones reales.

Esto prueba que la función    [texx]f(x)=2x^3-3x^2+6x[/texx]    sólo se anula una vez en    [texx]x=0[/texx].

Como    [texx]\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\;\left(2x^3-3x^2+6x\right)}=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\;x^3\cdot{}\left(2-\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{6}{x^2}\right)}=2\cdot{\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\;x^3}}=\pm{\infty}[/texx]

Lo siguiente será probar que tambíen la función    [texx]g(x)=f(x)+c[/texx]    tiene el mismo comportamiento que    [texx]f[/texx]    para todo  [texx]c\in{\mathbb{R}}[/texx].   ¿No?

Para    [texx]c=0[/texx]    es trivial.

Un saludo.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 10/06/2018, 07:55:28 am
Vale, claro. ¿Conoces el teorema de Rolle?

Teorema de Rolle.

Sea    [texx]f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    una función continua en    [texx][a,b][/texx],    derivable en    [texx](a,b)[/texx]    y verificando que    [texx]f(a)=f(b)[/texx].
Entonces existe algún    [texx]c\in{(a,b)}[/texx]   tal que    [texx]f'(c)=0[/texx].



Se demuestra tomando como base el teorema de Weierstrass que asegura que una función continua en un cerrado está acotada y por lo tanto alcanza un máximo y un mínimo absoluto. Por ser derivable la función en éllos por hipótesis, el teorema de Fermat, asegura que sus derivadas son cero.

Esto no prueba que la ecuación en    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx]    objeto de estudio, no puede alcanzar ni un máximo ni un mínimo, de hecho al estar definida en un abierto ya no verifica las condiciones para poder aplicar el teorema de Rolle.

Es continua y derivable, por ser una función polinómica. Toma valores negativos y positivos, lo que prueba, (por Bolzano), que se anula al menos una vez. Se debería probar que es monótona estricta para poder asegurar que sólo lo hace una vez.   

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Fernando Revilla en 10/06/2018, 08:00:08 am
Probar que existe una única función    [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] verificando que [texx]2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\;\;\;\;\;\;\forall{\,x\in{\mathbb{R}}}[/texx]. Probar también que    [texx]f[/texx]    es derivable en [texx]\mathbb{R}[/texx] y calcular [texx]f'(0)[/texx].

Me introduzco de manera "cobarde"  en el hilo para hacer una consideración y una pregunta.

Consideración. Amén de lo expresado por martiniano la unicidad de [texx]f[/texx] se puede demostrar en la misma forma que la expresada en el hilo que abriste: Determinar soluciones reales de \(3x^5+5x^3-30x=\alpha\). (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=104314.msg412528#msg412528)

Pregunta. ¿Cual es el contexto del problema? Me explico, ¿habéis dado algún teorema sobre propiedades de funciones definidas de manera impícita?


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 10/06/2018, 08:06:10 am
Pregunta. ¿Cual es el contexto del problema? Me explico, ¿habéis dado algún teorema sobre propiedades de funciones definidas de manera impícita?

No. El contexto es el Teorema del Valor Medio y sus consecuencias: Monotonía, monotonía estricta, Teorema de la función inversa, Propiedades de la derivada...

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 10/06/2018, 08:43:42 am
Yo diría que el procedimiento para resolver el ejercicio es aplicar el teorema del valor medio y sus consecuencias a la función    [texx]g:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    dada por    [texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx]    lo que permite obtener sus propiedades.

A partir de aquí, estudiar las propiedades de la función    [texx]g(y)-x[/texx]    para todo    [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx]     y luego estudiar que ocurre con    [texx]g\big(f(x)\big)-x[/texx].    Es decir, estudiar la unicidad y que propiedades debe tener la función    [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    para que verifique la ecuación     [texx]g\big(f(x)\big)-x=0[/texx]    para todo    [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx].

No consigo hilar. 

Saludos y gracias.



Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 10/06/2018, 02:26:11 pm
Hola Buscón.

Ya que parece que el teorema de Rolle lo tienes claro, yo te recomiendo que prestes atención al siguiente razonamiento:

Si la función [texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx] tomase dos veces el valor cero, para valores distintos de [texx]y[/texx]. Supón [texx]g(a)=g(b)=0[/texx] entonces, por el teorema de Rolle habría un [texx]c\in{}(a,b)[/texx] tal que [texx]g'(c)=0[/texx].

Como [texx]g'(y)[/texx] no se anula nunca, entonces [texx]g(y)[/texx] no puede tomar el valor cero para dos valores distintos de [texx]y[/texx].

Yo creo que si entiendes esto habremos dado un paso muy importante en la resolución del ejercicio. ¿Qué opinas?

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 10/06/2018, 07:53:46 pm
Hola Buscón.

Ya que parece que el teorema de Rolle lo tienes claro, yo te recomiendo que prestes atención al siguiente razonamiento:

Si la función [texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx] tomase dos veces el valor cero, para valores distintos de [texx]y[/texx]. Supón [texx]g(a)=g(b)=0[/texx] entonces, por el teorema de Rolle habría un [texx]c\in{}(a,b)[/texx] tal que [texx]g'(c)=0[/texx].

Como [texx]g'(y)[/texx] no se anula nunca, entonces [texx]g(y)[/texx] no puede tomar el valor cero para dos valores distintos de [texx]y[/texx].

Yo creo que si entiendes esto habremos dado un paso muy importante en la resolución del ejercicio. ¿Qué opinas?

Saludos.

Que no lo entiendo, sin calcular    [texx]g'(y)[/texx]    y sin una demostración de que no se anula nunca. Gracias.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 11/06/2018, 03:48:25 am
Hola Buscón.

Ya que parece que el teorema de Rolle lo tienes claro, yo te recomiendo que prestes atención al siguiente razonamiento:

Si la función [texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx] tomase dos veces el valor cero, para valores distintos de [texx]y[/texx]. Supón [texx]g(a)=g(b)=0[/texx] entonces, por el teorema de Rolle habría un [texx]c\in{}(a,b)[/texx] tal que [texx]g'(c)=0[/texx].

Como [texx]g'(y)[/texx] no se anula nunca, entonces [texx]g(y)[/texx] no puede tomar el valor cero para dos valores distintos de [texx]y[/texx].

Yo creo que si entiendes esto habremos dado un paso muy importante en la resolución del ejercicio. ¿Qué opinas?

Saludos.

Que no lo entiendo, sin calcular    [texx]g'(y)[/texx]    y sin una demostración de que no se anula nunca. Gracias.

Buenas.

[texx]g'(y)=6y^2-6y+6[/texx]

Si aplicas a este polinomio la fórmula para ecuaciones de segundo grado verás que no tiene raíces reales.

A ver si ahora sí. Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 11/06/2018, 05:07:30 am
Hola Buscón.

Ya que parece que el teorema de Rolle lo tienes claro, yo te recomiendo que prestes atención al siguiente razonamiento:

Si la función [texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx] tomase dos veces el valor cero, para valores distintos de [texx]y[/texx]. Supón [texx]g(a)=g(b)=0[/texx] entonces, por el teorema de Rolle habría un [texx]c\in{}(a,b)[/texx] tal que [texx]g'(c)=0[/texx].

Como [texx]g'(y)[/texx] no se anula nunca, entonces [texx]g(y)[/texx] no puede tomar el valor cero para dos valores distintos de [texx]y[/texx].

Yo creo que si entiendes esto habremos dado un paso muy importante en la resolución del ejercicio. ¿Qué opinas?

Saludos.

Que no lo entiendo, sin calcular    [texx]g'(y)[/texx]    y sin una demostración de que no se anula nunca. Gracias.

Buenas.

[texx]g'(y)=6y^2-6y+6[/texx]

Si aplicas a este polinomio la fórmula para ecuaciones de segundo grado verás que no tiene raíces reales.

A ver si ahora sí. Saludos.

[texx]g'(y)=6y^2\cdot{}y'+6y\cdot{}y'+6[/texx],    el enunciado no dice quien es    [texx]y=f(x)[/texx],    sólo dice que es una función real, se podría tomar por ejemplo la función

[texx]f(x)=\begin{cases}1&\textrm{si}&x\in{\mathbb{Q}}\\\\-1&\textrm{si}&x\in{\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}},\end{cases}[/texx]

(la función de Dirichlet), que no es continua en ningún punto. No es obvio con este supuesto que      [texx]g(y)=(g\circ{f})(x)=g\big(f(x)\big)=2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)[/texx]    sea continua y derivable. De hecho, la intuición dice que no.

Es más, así, sin demostración, parece que la única función posible que verifica lo que pide el enunciado es la función identidad    [texx]f(x)=x[/texx].   

Saludos y gracias por las molestias.   


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 11/06/2018, 05:37:43 am
Lo primero para poder aplicar las propiedades de la derivada a la función

[texx](g\circ{f})(x)=2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)-x[/texx]

es suponer    [texx]f\in{D(\mathbb{R})}[/texx]    o mejor aún    [texx]g\circ{f}\in{D(\mathbb{R})}[/texx].

Esto acota la búsqueda. El problema es que se descartan funciones que podrían verificar lo que se pide.

Hay un teorema que asegura que la composición conserva la continuidad. ¿Algún teorema que asegure que también conserva la derivabilidad?   

??? ??? ???

Saludos.

EDITO.
Ya me contesto yo. Si lo hay. La regla de la cadena. Las hipótesis del teorema (Derivación de una función compuesta o regla de la cadena) son:

   • [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]

   • [texx]g:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]

   • [texx]f(I)\subset{J}[/texx]

   • [texx]f[/texx]    derivable en    [texx]a\in{I}[/texx]   (En el ejercicio planteado se desconoce)

   • [texx]g[/texx]    derivable en    [texx]f(a).[/texx]


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 11/06/2018, 06:24:48 am
Hola. No es molestia, hombre, el hilo me parece interesante.
Sí, la composición de funciones continuas es continua, y la de funciones derivables es derivable.
Una cosa:
Cuando analices g(y) ten en cuenta que y'=1, ya que [texx]y[/texx] es la variable.
Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 11/06/2018, 06:30:13 am

El argumento que yo utilizaría para demostrar que f(x) es continua es que:

[texx]   2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x=0\Longrightarrow{} \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\left[2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x\right]}=0\Longrightarrow{}2(    \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^3-3(\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^2+6\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}-x_0=0[/texx]


Insisto. No sabemos con las hipótesis del enunciado si existe    [texx]\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}[/texx]

Para poder derivar y aplicar las propiedades de la derivada se ha de saber si    [texx]f[/texx]    es derivable. Esto sólo podemos suponerlo. O bien suponer lo contrario y llegar a un absurdo. Lo que si probaría su derivabilidad.

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 11/06/2018, 06:32:12 am
Hola. No es molestia, hombre, el hilo me parece interesante.
Sí, la composición de funciones continuas es continua, y la de funciones derivables es derivable.
Una cosa:
Cuando analices g(y) ten en cuenta que y'=1, ya que [texx]y[/texx] es la variable.
Saludos.

En este caso concreto    [texx]y[/texx]    es una función de la variable    [texx]x[/texx].    No tiene por que ser uno. ¿No?


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 11/06/2018, 06:47:38 am
Te propongo lo siguiente:
Una vez que hayas entendido las propiedades de g(y) como función de la variable [texx]y[/texx], nos pondremos con las propiedades de f(x) como función de x.
Saludos


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 11/06/2018, 06:54:17 am
Te propongo lo siguiente:
Una vez que hayas entendido las propiedades de g(y) como función de la variable [texx]y[/texx], nos pondremos con las propiedades de f(x) como función de x.
Saludos

Vale, yo te propongo para ello lo siguiente:

definir en primer lugar    [texx]g(y)[/texx] en función de    [texx]y[/texx]    sin ambigüedades.



Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 11/06/2018, 07:12:59 am
Ok.
[texx]g(y) =2y^3-3y^2+6y-x[/texx] con x un número real dado.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 11/06/2018, 07:26:34 am
Ok.
[texx]g(y) =2y^3-3y^2+6y-x[/texx] con x un número real dado.

Prefiero esta definición:

[texx]g:\mathbb{R}\longrightarrow{}\mathbb{R}[/texx]    dada por    [texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-b[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx],    [texx]\big(b\in{\mathbb{R}}\big)[/texx].

¿Puede ser?


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Luis Fuentes en 11/06/2018, 07:43:35 am
Hola

Prefiero esta definición:

[texx]g:\mathbb{R}\longrightarrow{}\mathbb{R}[/texx]    dada por    [texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-b[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx],    [texx]\big(b\in{\mathbb{R}}\big)[/texx].

Si te gusta más.. pero es lo mismo que puso martiniano cambiando el nombre de [texx]x[/texx] por [texx]b[/texx]. Lo que tiene que quedar claro es que la variable es [texx]y[/texx]. El valor de [texx]x[/texx] ó [texx]b[/texx] es fijo; dicho de otra manera para cada valor de  [texx]x[/texx] ó [texx]b[/texx] tienes una función diferente.

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 11/06/2018, 08:20:58 am
Bien, estoy de acuerdo con Luis.

Debes ver que la función g(y) se anula exactamente una vez valga lo que valga x (o, si prefieres b, da lo mismo).

Ánimo que ya lo tienes  ;)


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 11/06/2018, 11:02:13 am
Lo siguiente entonces, las propiedades de    [texx]g[/texx].    Se puede considerar    [texx]b[/texx]    como una función constante.

   • Es continua en    [texx]\mathbb{R}[/texx]    por ser sumas, restas, productos de la función identidad y composición de funciones continuas.

   • Es derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx]    por lo mismo sobre derivabilidad de sumas productos, restas de la función identidad y composición de funciones derivables.

   • No está acotada puesto que    [texx]\displaystyle\lim_{y \to{\pm{}}\infty}{g(y)}=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\;x^3\cdot{\big(2-\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{6}{x^2}\big)+b}}=2\cdot{(\pm{}\infty)}+b=\pm{\infty}[/texx].

   • Tanto su dominio como su imagen son el intervalo    [texx](-\infty,+\infty)[/texx].

   • Puesto que toma valores positivos y negativos en dicho intervalo, Bolzano asegura que se anula al menos una vez.

Lo siguiente, calcular su derivada y estudiar sus propiedades.    [texx]g'(y)=6y^2-6y^2+6[/texx].

   • La ecuación    [texx]y^2-y+1=0[/texx]    no tiene soluciones reales así que el teorema de Rolle asegura que    [texx]g[/texx]    no tiene extremos relativos.

   • [texx]y^2-y+1>0[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx]    ya que    [texx]1^2-1+1=1>0[/texx],    luego    [texx]g[/texx]    es estrictamente creciente y por lo tanto biyectiva.

   • Por ser    [texx]g[/texx]    biyectiva y tomar valores positivos y negativos se anula exactamente una vez.

   • Por lo mismo tiene inversa derivable siendo su expresión    [texx]\big(g^{-1}\big)'(x)=\displaystyle\frac{1}{g'\big(g^{-1}(x)\big)}[/texx]

Estas propiedades son comunes a cada una de las funciones así definidas para cada    [texx]b\in{\mathbb{R}}[/texx],    y a sus derivadas también.

No se si se me ha olvidado algo.

Saludos.

   


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 11/06/2018, 11:16:40 am
¡Bien! nos sirve.

Entonces decir que g(y) se anula exactamente una vez para cada valor de b es lo mismo que decir que la solución de la siguente ecuación (en [texx]y[/texx]) siempre existe y es única para cada valor de b.

[texx]2y^3-3y^2+6y-b=0[/texx]

¿Estás de acuerdo? Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 11/06/2018, 11:42:55 am
¡Bien! nos sirve.

Entonces decir que g(y) se anula exactamente una vez para cada valor de b es lo mismo que decir que la solución de la siguente ecuación (en [texx]y[/texx]) siempre existe y es única para cada valor de b.

[texx]2y^3-3y^2+6y-b=0[/texx]

¿Estás de acuerdo? Saludos.

Sip


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 11/06/2018, 11:45:57 am
Pues substituye la [texx]b[/texx] por una [texx]x[/texx] y la [texx]y[/texx] por [texx]f(x)[/texx], tendrás que el valor de [texx]f(x)[/texx] siempre existe y es único para cada valor de [texx]x[/texx], que es lo mismo que decir que [texx]f(x)[/texx] está bien definida para todos los números reales y es única. Esto contesta a la primera pregunta de tu enunciado.

¿Estás conmigo?


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 11/06/2018, 12:14:33 pm
Pues substituye la [texx]b[/texx] por una [texx]x[/texx] y la [texx]y[/texx] por [texx]f(x)[/texx], tendrás que el valor de [texx]f(x)[/texx] siempre existe y es único para cada valor de [texx]x[/texx], que es lo mismo que decir que [texx]f(x)[/texx] está bien definida para todos los números reales y es única. Esto contesta a la primera pregunta de tu enunciado.

¿Estás conmigo?

No del todo. Para empezar:

sea    [texx]y_b[/texx]    la solución de la ecuación    [texx]2y^3-3y^2+6y-b=0[/texx].    ¿En base a que se ha de verificar la igualdad    [texx]y_b=b[/texx]?

Es decir, sustituyendo como dices, ¿cómo probar que la solución de la ecuación    [texx]2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)-x_0=0[/texx]    es precisamente    [texx]f(x_0)[/texx].    Lo que se puede asegura en cualquier caso a la vista de las propiedades deducidas, es que será algún    [texx]f(x_j)[/texx]    con    [texx]j\in{\mathbb{N}}[/texx].

Además se han de imponer ciertas condiciones a    [texx]f[/texx]    para poder hacer la sustitución,    como mínimo    [texx]f[/texx]   debe ser derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx],    porque otra vez volvemos a lo mismo, si    [texx]f[/texx]    es, por ejemplo, la función de Dirichlet, todas las propiedades de    [texx]g[/texx]    obtenidas ya no lo son.

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 11/06/2018, 12:59:40 pm
Lástima.
Substituir [texx]y [/texx] por una función de x no afecta a las propiedades de g(y) respecto a y. Es verdad que se obtiene una función de x que no tiene por qué ser continua, pero eso no afecta los resultados anteriores.
Además, si substituyes y por f(x) lo que obtienes es la función nula.
Saludos


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 11/06/2018, 01:51:12 pm
Lástima.
Substituir [texx]y [/texx] por una función de x no afecta a las propiedades de g(y) respecto a y. Es verdad que se obtiene una función de x que no tiene por qué ser continua, pero eso no afecta los resultados anteriores.

A los resultado en lo que se refiere a la función    [texx]g[/texx]    función de    [texx]y[/texx]    real no. Pero a los resultados en lo que se refiere a la función    [texx]g[/texx]    función de una función cualquiera     [texx]f[/texx]    a su vez función de     [texx]x[/texx]    real si.

Además, si substituyes y por f(x) lo que obtienes es la función nula.
Saludos

Ahá, gracias. Sólo la función    [texx]f(x)=0[/texx]    para     [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx],    continua y derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx],    verifica la ecuación para cualquier    [texx]b\in{\mathbb{R}}[/texx].    Esto es lo que tenía que haber deducido yo.

 
:D

Mereció la pena el hilo. Saludos y muchísimas gracias.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 11/06/2018, 02:26:56 pm
Hola Buscón.
Lamento ser aguafiestas, pero la solución no es f(x) = 0.
No te piden que halles f(x)
Saludos :-\


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 11/06/2018, 02:36:59 pm
Hola Buscón.
Lamento ser aguafiestas, pero la solución no es f(x) = 0.
No te piden que halles f(x)
Saludos :-\

>:(

Es cierto,    [texx]2\cdot{0}-3\cdot{0}+6\cdot{0}=0[/texx],    sólo funciona para    [texx]b=0[/texx].


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 11/06/2018, 07:28:02 pm
¿Es posible que    [texx]f'(0)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{6}}[/texx]?

Saludos, gracias.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 12/06/2018, 02:20:41 am
Hola
A mí me sale [texx]f '(0)=\displaystyle\frac{1}{6}[/texx]
¿Cómo lo has hecho?


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 12/06/2018, 05:43:09 am
Hola
A mí me sale [texx]f '(0)=\displaystyle\frac{1}{6}[/texx]
¿Cómo lo has hecho?


Haciendo    [texx]y=f(x)[/texx],    entonces    [texx]f^{-1}(y)=x=2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=2y^3-3y^2+6y[/texx],
[texx]\forall{y\in{\big\{f(x)\big\}}}[/texx].

Las propiedades de esta función ya se han visto, es derivable por tratarse de un polinomio, su derivada no se anula nunca, así que es una biyección y su inversa es derivable.

(No consigo verlo del todo, puesto que esas propiedades dependen de las de    [texx]f(x)[/texx]).

Se tiene que    [texx](f^{-1})'(y)=\displaystyle\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}=\displaystyle\frac{1}{f'(x)}[/texx]    de donde

[texx]f'(x)=\displaystyle\frac{1}{\big(f^{-1}\big)'(y)}=\displaystyle\frac{1}{6\big(f(x)\big)^2\cdot{f'(x)}-6f(x)\cdot{f'(x)}+6f'(x)}=\displaystyle\frac{1}{6f'(x)}\cdot{\displaystyle\frac{1}{\big(f(x)\big)^2-f(x)+1}}[/texx],

[texx]\big(f'(x)\big)^2=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot{}\displaystyle\frac{1}{\big(f(x)\big)^2-f(x)+1}[/texx],

[texx]f'(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{6}}\cdot{}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{\big(f(x)\big)^2-f(x)+1}}[/texx].

Por otra parte, para    [texx]x=0[/texx],    la ecuación    [texx]2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=0[/texx]    tiene por solución    [texx]f(0)=0[/texx],    así que sustituyendo será,

[texx]f'(0)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{6}}\cdot{}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{\big(f(0)\big)^2-f(0)+1}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{6}}[/texx].

Saludos.


EDITADO.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 12/06/2018, 06:14:59 am
Tengo la sensación de que falta algo que no acabo de entender pero ni tan siquiera estoy seguro de ello y tampoco se de que se trata.

El resultado obtenido ha sido casualidad, ensayando posibilidades y tampoco estoy seguro que sea correcto.

Saludos y gracias.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Luis Fuentes en 12/06/2018, 07:37:51 am
Hola

Haciendo    [texx]y=f(x)[/texx],    entonces    [texx]f^{-1}(y)=x=2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=2y^3-3y^2+6y[/texx],
[texx]\forall{y\in{\big\{f(x)\big\}}}[/texx].

Las propiedades de esta función ya se han visto, es derivable por tratarse de un polinomio, su derivada no se anula nunca, así que es una biyección y su inversa es derivable.

(No consigo verlo del todo, puesto que esas propiedades dependen de las de    [texx]f(x)[/texx]).

Se tiene que    [texx](f^{-1})'(y)=\displaystyle\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}=\displaystyle\frac{1}{f'(x)}[/texx]    de donde

[texx]f'(x)=\displaystyle\frac{1}{\big(f^{-1}\big)'(y)}=\displaystyle\frac{1}{6\big(f(x)\big)^2\cdot{f'(x)}-6f(x)\cdot{f'(x)}+6f'(x)}=\displaystyle\frac{1}{6f'(x)}\cdot{\displaystyle\frac{1}{\big(f(x)\big)^2-f(x)+1}}[/texx],

Te estás liando; en el denominador escribes [texx](f^{-1})'(y)[/texx] pero luego derivas respecto de [texx]x[/texx].

Más sencillo que todo eso, tienes que:

[texx]2f(x)^3-3f(x)^2+6f(x)=x [/texx]

Admitiendo que f(x) es derivable (eso creo que ya ha sido previamente discutido en el hilo) puedes derivar en la igualdad anterior:

[texx]6f(x)^2f'(x)-6f(x)f'(x)+6f'(x)=1[/texx]

Evalúa en [texx]x=0[/texx] (sabiendo que [texx]f(0)=0[/texx]) y despeja [texx]f'(0)[/texx]).

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 12/06/2018, 08:56:50 am
Hola

Haciendo    [texx]y=f(x)[/texx],    entonces    [texx]f^{-1}(y)=x=2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=2y^3-3y^2+6y[/texx],
[texx]\forall{y\in{\big\{f(x)\big\}}}[/texx].

Las propiedades de esta función ya se han visto, es derivable por tratarse de un polinomio, su derivada no se anula nunca, así que es una biyección y su inversa es derivable.

(No consigo verlo del todo, puesto que esas propiedades dependen de las de    [texx]f(x)[/texx]).

Se tiene que    [texx](f^{-1})'(y)=\displaystyle\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}=\displaystyle\frac{1}{f'(x)}[/texx]    de donde

[texx]f'(x)=\displaystyle\frac{1}{\big(f^{-1}\big)'(y)}=\displaystyle\frac{1}{6\big(f(x)\big)^2\cdot{f'(x)}-6f(x)\cdot{f'(x)}+6f'(x)}=\displaystyle\frac{1}{6f'(x)}\cdot{\displaystyle\frac{1}{\big(f(x)\big)^2-f(x)+1}}[/texx],

Te estás liando; en el denominador escribes [texx](f^{-1})'(y)[/texx] pero luego derivas respecto de [texx]x[/texx].

Más sencillo que todo eso, tienes que:

[texx]2f(x)^3-3f(x)^2+6f(x)=x [/texx]

Admitiendo que f(x) es derivable (eso creo que ya ha sido previamente discutido en el hilo) puedes derivar en la igualdad anterior:

[texx]6f(x)^2f'(x)-6f(x)f'(x)+6f'(x)=1[/texx]

Evalúa en [texx]x=0[/texx] (sabiendo que [texx]f(0)=0[/texx]) y despeja [texx]f'(0)[/texx]).

Saludos.


[texx]6f'(x)\cdot{\left[0-0+1\right]}=1[/texx]

[texx]f'(0)=\displaystyle\frac{1}{6}[/texx]

Si, mucho más fácil, gracias, pero oculta aún más lo que trasciende y no consigo captar.

Veo claro que sea cual sea la función    [texx]f[/texx],    ésta debe verificar    [texx]f(0)=0[/texx]     además debe ser derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx],    y siendo así, la pendiente de su tangente en    [texx]x=0[/texx]    debe ser    [texx]\displaystyle\frac{1}{6}[/texx],    pero aún así, debe de haber infinitas funciones que verifican esto. No consigo entender lo de la unicidad.

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 12/06/2018, 11:07:17 am
Hola.
Échale un vistazo a las respuestas de la 30 a la 33, y dime qué es lo que no entiendes exactamente, porfa, que es que ya no sé cómo quedó aquello.
Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 12/06/2018, 11:39:57 am
Hola.
Échale un vistazo a las respuestas de la 30 a la 33, y dime qué es lo que no entiendes exactamente, porfa, que es que ya no sé cómo quedó aquello.
Saludos.

Pues exactamente la implicación:

[texx]2y^3-3y^2+6y=0[/texx]   sol. única   [texx]\Longrightarrow{}[/texx]  unicidad   [texx]f(x)[/texx]  verificando   [texx]2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)-x=0[/texx].


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: martiniano en 13/06/2018, 02:14:55 am
Hola.
La implicación que he intentado explicar en esas respuestas es:

[texx]y^3-3y^2+6y-x=0[/texx]  sol. única   [texx]\Longrightarrow{}[/texx] unicidad de [texx]f(x)[/texx] tal que [texx]f(x)^3-3f(x)^2+6f(x)-x=0[/texx]

Imagínate que resuelves la ecuación [texx]y^3-3y^2+6y-x=0[/texx] para [texx]x=0[/texx]. Da [texx]y=0[/texx], pues entonces dices que [texx]f(0)=0[/texx]. Luego que resuelves la ecuación para [texx]x=1[/texx] por todo lo que hemos dicho antes obtendrás un valor, y sólo un valor de [texx]y[/texx], a ese valor le llamas [texx]f(1)[/texx]. Luego resuelves la ecuación para [texx]x=2[/texx] y a ese valor (hay uno y sólo uno) le llamas [texx]f(2)[/texx]. Imagínate que vas dando a la [texx]x[/texx] todos los números reales, y a la [texx]y[/texx] que obtengas de resolver la ecuación la llamas [texx]f(x)[/texx]...

Espero que lo hayas entendido. Saludos

Saludos


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 13/06/2018, 04:10:11 am
Hola.
La implicación que he intentado explicar en esas respuestas es:

[texx]y^3-3y^2+6y-x=0[/texx]  sol. única   [texx]\Longrightarrow{}[/texx] unicidad de [texx]f(x)[/texx] tal que [texx]f(x)^3-3f(x)^2+6f(x)-x=0[/texx]

Imagínate que resuelves la ecuación [texx]y^3-3y^2+6y-x=0[/texx] para [texx]x=0[/texx]. Da [texx]y=0[/texx], pues entonces dices que [texx]f(0)=0[/texx]. Luego que resuelves la ecuación para [texx]x=1[/texx] por todo lo que hemos dicho antes obtendrás un valor, y sólo un valor de [texx]y[/texx], a ese valor le llamas [texx]f(1)[/texx]. Luego resuelves la ecuación para [texx]x=2[/texx] y a ese valor (hay uno y sólo uno) le llamas [texx]f(2)[/texx]. Imagínate que vas dando a la [texx]x[/texx] todos los números reales, y a la [texx]y[/texx] que obtengas de resolver la ecuación la llamas [texx]f(x)[/texx]...

Espero que lo hayas entendido. Saludos

Saludos

Bueno vale, es posible que lo haya entendido.

[texx]f(x)[/texx]    ha de verificar    [texx]2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)-x=0[/texx]    [texx]\forall{\,x\in{\mathbb{R}}}[/texx].

En particular ha de verificar   

[texx]2\big(f(0)\big)^3-3\big(f(0)\big)^2+6f(0)-0=0[/texx],   (esta ecuación tiene como única solución real    [texx]f(0)=0[/texx]).

[texx]2\big(f(1)\big)^3-3\big(f(1)\big)^2+6f(1)-1=0[/texx],   (esta ecuación tiene como única solución real    [texx]f(1)=x_1[/texx]).

[texx]2\big(f(\sqrt[ ]{2})\big)^3-3\big(f(\sqrt[ ]{2})\big)^2+6f(\sqrt[ ]{2})-\sqrt[ ]{2}=0[/texx],    (esta ecuación tiene como única solución real    [texx]f(\sqrt[ ]{2})=x_{\sqrt[ ]{2}}[/texx]).

...   ...   ...

La función buscada, por lo tanto, deberá verificar    [texx]f(0)=0[/texx].

Se asume    [texx]f[/texx]    derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx]    porque sino no es posible continuar.

Siendo así, la composición es derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx]    por ser suma, resta, producto de la función identidad y composición de funciones derivables en    [texx]\mathbb{R}[/texx].

Se calcula la derivada de la composición

[texx]6\big(f(x)\big)^2\cdot{f'(x)}-6f(x)\cdot{f'(x)}+6f'(x)-1[/texx]

[texx]6f'(x)\cdot{\left[\big(f(x)\big)^2-f(x)+1\right]}-1[/texx]

Se despeja    [texx]f'(x)[/texx]    de la ecuación

[texx]6f'(x)\cdot{\left[\big(f(x)\big)^2-f(x)+1\right]}-1=0[/texx]

[texx]f'(x)=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot{\displaystyle\frac{1}{\big(f(x)\big)^2-f(x)+1}}[/texx]

Al evaluar en    [texx]x=0[/texx]    se obtiene   

[texx]f'(0)=\displaystyle\frac{1}{6}[/texx]


SÓLO FALTA PROBAR QUE    [texx]f[/texx]    ES ÚNICA Y DERIVABLE.


:banghead: :banghead: :banghead:


Saludos y gracias.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Luis Fuentes en 13/06/2018, 04:43:49 am
Hola

SÓLO FALTA PROBAR QUE    [texx]f[/texx]    ES ÚNICA Y DERIVABLE.

¡La unicidad ya la tienes! Revisa otra vez todo. Has probado que fijado [texx]x[/texx] existe un único [texx]y[/texx] tal que [texx]y^3-3y^2+6y-x=0[/texx] por tanto si [texx]f(x)^3-3f(x)^2+5f(x)-x=0[/texx] necesariamente [texx]f(x)=y[/texx].

La diferenciabilidad es más latosa si no puedes echar mano de ningún teorema auxiliar. ¿No has dado el teorema de la función inversa en una variable? Normalmente se enuncia y demuestra cuando se da esta fórmula:

[texx](f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}[/texx]

en tu caso tendrías que aplicarlo a la función [texx]p(y)=y^3-3y^2+6y.[/texx]

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 13/06/2018, 06:50:47 am
Hola

SÓLO FALTA PROBAR QUE    [texx]f[/texx]    ES ÚNICA Y DERIVABLE.

¡La unicidad ya la tienes! Revisa otra vez todo. Has probado que fijado [texx]x[/texx] existe un único [texx]y[/texx] tal que [texx]y^3-3y^2+6y-x=0[/texx] por tanto si [texx]f(x)^3-3f(x)^2+5f(x)-x=0[/texx] necesariamente [texx]f(x)=y[/texx].

Estamos tontos.

Si    [texx]f(x)=\sqrt[ ]{x^2}[/texx]    y    [texx]g(x)=x[/texx]    resulta que    [texx]f=g[/texx].    Es decir, una función es igual a otra si a cada elemento del dominio le hace corresponder igual elemento de la imagen, independientemente de la expresión que tenga. De lo más sencillo de ver!

>:(

Muchas gracias.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 13/06/2018, 01:25:44 pm
...
La diferenciabilidad es más latosa si no puedes echar mano de ningún teorema auxiliar. ¿No has dado el teorema de la función inversa en una variable? Normalmente se enuncia y demuestra cuando se da esta fórmula:

[texx](f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}[/texx]

en tu caso tendrías que aplicarlo a la función [texx]p(y)=y^3-3y^2+6y.[/texx]

Hemos visto éste

Teorema (Derivación de la función inversa).

Sea    [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    derivable en el intervalo    [texx]I[/texx]    con derivada    [texx]f'(x)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]x\in{I}[/texx].    Entonces    [texx]f[/texx]
es una biyección de    [texx]I[/texx]    sobre el intervalo    [texx]J=f(I)[/texx],    y la función inversa    [texx]f^{-1}:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es derivable en
[texx]J[/texx]    siendo


[texx]\big(f^{-1}\big)'(y)=\displaystyle\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}[/texx]       [texx](y\in{\mathbb{R}})[/texx]




Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Luis Fuentes en 14/06/2018, 04:29:51 am
Hola

Hemos visto éste

Teorema (Derivación de la función inversa).

Sea    [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    derivable en el intervalo    [texx]I[/texx]    con derivada    [texx]f'(x)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]x\in{I}[/texx].    Entonces    [texx]f[/texx]
es una biyección de    [texx]I[/texx]    sobre el intervalo    [texx]J=f(I)[/texx],    y la función inversa    [texx]f^{-1}:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es derivable en
[texx]J[/texx]    siendo


[texx]\big(f^{-1}\big)'(y)=\displaystyle\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}[/texx]       [texx](y\in{\mathbb{R}})[/texx]


Bien. Pues aplícalo para la función:

[texx]g(x)=\color{red}2\color{black}x^3-3x^2+6x[/texx]

Dado que [texx]g'(x_0)=\color{red}6x_0^2-6x_0+6\color{black}\neq 0[/texx] en todo punto [texx]x_0[/texx] se tiene que la función inversa [texx]g^{-1}(x)[/texx] es derivable en [texx]g(x_0)[/texx].

Nota que tal función inversa es la que verifica:

[texx]g(g^{-1}(x))=x[/texx]

es decir:

[texx]\color{red}2\color{black}(g^{-1}(x))^3-3(g^{-1}(x))^2+6g^{-1}(x)=x[/texx]

por tanto [texx]g^{-1}(x)[/texx] es precisamente la [texx]f(x)[/texx] del enunciado original.

Saludos.

CORREGIDO


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 14/06/2018, 06:00:28 am
Hola

Hemos visto éste

Teorema (Derivación de la función inversa).

Sea    [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    derivable en el intervalo    [texx]I[/texx]    con derivada    [texx]f'(x)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]x\in{I}[/texx].    Entonces    [texx]f[/texx]
es una biyección de    [texx]I[/texx]    sobre el intervalo    [texx]J=f(I)[/texx],    y la función inversa    [texx]f^{-1}:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es derivable en
[texx]J[/texx]    siendo


[texx]\big(f^{-1}\big)'(y)=\displaystyle\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}[/texx]       [texx](y\in{\mathbb{R}})[/texx]


Bien. Pues aplícalo para la función:

[texx]g(x)=\color{red}2\color{black}x^3-3x^2+6x\color{red}-x[/texx]

Dado que [texx]g'(x_0)=6x^2-6x+5\neq 0[/texx] en todo punto [texx]x_0[/texx] se tiene que la función inversa [texx]g^{-1}(x)[/texx] es derivable en [texx]g(x_0)[/texx].

¿Esta bien la corrección en rojo?


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Luis Fuentes en 14/06/2018, 06:11:52 am
Hola

Cita
Bien. Pues aplícalo para la función:

[texx]g(x)=\color{red}2\color{black}x^3-3x^2+6x\color{red}-x[/texx]

Dado que [texx]g'(x_0)=6x^2-6x+5\neq 0[/texx] en todo punto [texx]x_0[/texx] se tiene que la función inversa [texx]g^{-1}(x)[/texx] es derivable en [texx]g(x_0)[/texx].

¿Esta bien la corrección en rojo?

No del todo. Sobra el [texx]-x.[/texx]

Es:

[texx]g(x)=\color{red}2\color{black}x^3-3x^2+6x\color{red}[/texx]

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 14/06/2018, 12:13:39 pm
Hola

Cita
Bien. Pues aplícalo para la función:

[texx]g(x)=\color{red}2\color{black}x^3-3x^2+6x\color{red}-x[/texx]

Dado que [texx]g'(x_0)=6x^2-6x+5\neq 0[/texx] en todo punto [texx]x_0[/texx] se tiene que la función inversa [texx]g^{-1}(x)[/texx] es derivable en [texx]g(x_0)[/texx].

¿Esta bien la corrección en rojo?

No del todo. Sobra el [texx]-x.[/texx]

Es:

[texx]g(x)=\color{red}2\color{black}x^3-3x^2+6x\color{red}[/texx]

Saludos.

Pues entonces    [texx]g'(x)=6x^2-6x+6[/texx]    ¿No?


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Luis Fuentes en 15/06/2018, 04:47:11 am
Hola

Pues entonces    [texx]g'(x)=6x^2-6x+6[/texx]    ¿No?

Si; cuando me indicaste mi primera errata, de paso corregí esa también.  ;)

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 15/06/2018, 06:23:53 pm
Hola

Hemos visto éste

Teorema (Derivación de la función inversa).

Sea    [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    derivable en el intervalo    [texx]I[/texx]    con derivada    [texx]f'(x)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]x\in{I}[/texx].    Entonces    [texx]f[/texx]
es una biyección de    [texx]I[/texx]    sobre el intervalo    [texx]J=f(I)[/texx],    y la función inversa    [texx]f^{-1}:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es derivable en
[texx]J[/texx]    siendo


[texx]\big(f^{-1}\big)'(y)=\displaystyle\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}[/texx]       [texx](y\in{\mathbb{R}})[/texx]


Bien. Pues aplícalo para la función:

[texx]g(x)=\color{red}2\color{black}x^3-3x^2+6x[/texx]

Dado que [texx]g'(x_0)=\color{red}6x_0^2-6x_0+6\color{black}\neq 0[/texx] en todo punto [texx]x_0[/texx] se tiene que la función inversa [texx]g^{-1}(x)[/texx] es derivable en [texx]g(x_0)[/texx].

Nota que tal función inversa es la que verifica:

[texx]g(g^{-1}(x))=x[/texx]

es decir:

[texx]\color{red}2\color{black}(g^{-1}(x))^3-3(g^{-1}(x))^2+6g^{-1}(x)=x[/texx]

por tanto [texx]g^{-1}(x)[/texx] es precisamente la [texx]f(x)[/texx] del enunciado original.

Saludos.

CORREGIDO

Me estoy liando con la notación. Lo que se debe probar es la unicidad derivabilidad de    [texx]f(x)[/texx]    sabiendo que verifica    [texx]2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x[/texx],    entonces se hace

[texx]g(x)=2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)-x[/texx],

si ahora se quiere considerar que la función    [texx]f[/texx]    es ya la función inversa de alguna función, se debería hacer

[texx]f(x)=h^{-1}(y)[/texx]     y    [texx]h(x)[/texx]    la función directa original. La notación    [texx]g^{-1}(x)=f(x)[/texx]    genera confusión. 

Lo correcto ahora sería    [texx]y=g(x)[/texx]    y por lo tanto    [texx]g^{-1}(y)=x[/texx].

No consigo aclararme para poder aplicar el teorema.

Saludos.

CORREGIDO.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 16/06/2018, 12:57:10 pm
Teorema (Derivada de una función compuesta o regla de la cadena)

Sean    [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    y    [texx]g:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    con    [texx]f(I)\subset{J}[/texx],    y sea    [texx]h=g\circ{f}:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    la función compuesta. Supongamos que     [texx]f[/texx]    es derivable en    [texx]a\in{I}[/texx]    y que    [texx]g[/texx]    es derivable en    [texx]f(a)[/texx].    Entonces    [texx]h[/texx]    es derivable en    [texx]a[/texx]    y    [texx]h'(a)=g'\big(f(a)\big)f'(a)[/texx].

En particular, si    [texx]g[/texx]    es derivable en    [texx]J[/texx],    la función compuesta    [texx]h=g\circ{f}[/texx]    es derivable en todo punto de    [texx]I[/texx]    donde    [texx]f[/texx]    sea derivable.



Este teorema no garantiza que    [texx]2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)[/texx]    sea derivable en    [texx]x[/texx],    [texx]\forall{x\in{\mathbb{R}}}[/texx].    Falta la
hipótesis    [texx]f[/texx]    derivable en    [texx]x[/texx],    [texx]\forall{x}\in{}\mathbb{R}[/texx].

No veo como probar la derivabilidad de    [texx]f[/texx].

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Luis Fuentes en 18/06/2018, 06:40:38 am
Hola

Teorema (Derivada de una función compuesta o regla de la cadena)

Sean    [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    y    [texx]g:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    con    [texx]f(I)\subset{J}[/texx],    y sea    [texx]h=g\circ{f}:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    la función compuesta. Supongamos que     [texx]f[/texx]    es derivable en    [texx]a\in{I}[/texx]    y que    [texx]g[/texx]    es derivable en    [texx]f(a)[/texx].    Entonces    [texx]h[/texx]    es derivable en    [texx]a[/texx]    y    [texx]h'(a)=g'\big(f(a)\big)f'(a)[/texx].

En particular, si    [texx]g[/texx]    es derivable en    [texx]J[/texx],    la función compuesta    [texx]h=g\circ{f}[/texx]    es derivable en todo punto de    [texx]I[/texx]    donde    [texx]f[/texx]    sea derivable.



Este teorema no garantiza que    [texx]2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)[/texx]    sea derivable en    [texx]x[/texx],    [texx]\forall{x\in{\mathbb{R}}}[/texx].    Falta la
hipótesis    [texx]f[/texx]    derivable en    [texx]x[/texx],    [texx]\forall{x}\in{}\mathbb{R}[/texx].

No veo como probar la derivabilidad de    [texx]f[/texx].

¡Pero te acabo de decir dos mensajes más atrás que la derivabilidad de [texx]f[/texx] se prueba usando el Teorema de la función inversa!.

Vuelve a considerar esto y dime que no entiendes:

Hemos visto éste

Teorema (Derivación de la función inversa).

Sea    [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    derivable en el intervalo    [texx]I[/texx]    con derivada    [texx]f'(x)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]x\in{I}[/texx].    Entonces    [texx]f[/texx]
es una biyección de    [texx]I[/texx]    sobre el intervalo    [texx]J=f(I)[/texx],    y la función inversa    [texx]f^{-1}:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es derivable en
[texx]J[/texx]    siendo


[texx]\big(f^{-1}\big)'(y)=\displaystyle\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}[/texx]       [texx](y\in{\mathbb{R}})[/texx]


Bien. Pues aplícalo para la función:

[texx]g(x)=\color{red}2\color{black}x^3-3x^2+6x[/texx]

Dado que [texx]g'(x_0)=\color{red}6x_0^2-6x_0+6\color{black}\neq 0[/texx] en todo punto [texx]x_0[/texx] se tiene que la función inversa [texx]g^{-1}(x)[/texx] es derivable en [texx]g(x_0)[/texx].

Nota que tal función inversa es la que verifica:

[texx]g(g^{-1}(x))=x[/texx]

es decir:

[texx]\color{red}2\color{black}(g^{-1}(x))^3-3(g^{-1}(x))^2+6g^{-1}(x)=x[/texx]

por tanto [texx]g^{-1}(x)[/texx] es precisamente la [texx]f(x)[/texx] del enunciado original.

Saludos.

CORREGIDO

Saludos.


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Buscón en 03/07/2018, 01:00:04 pm
Entonces, recapitulando:

Teorema de derivación de la función inversa.

Sea    [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    derivable en el intervalo    [texx]I[/texx]    con derivada    [texx]f'(x)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]x\in{I}[/texx].    Entonces    [texx]f[/texx]    es una biyección de     [texx]I[/texx]    sobre el intervalo    [texx]J=f(I)[/texx]    y la función inversa    [texx]f^{-1}:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es derivable
en    [texx]J[/texx].






En el caso que se plantea, sea    [texx]\cancel{y=f(x)}[/texx],    entonces    [texx]\cancel{f^{-1}(y)=x}[/texx],    y por consiguiente
Sea
[texx]f^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y[/texx].
   

Está claro que la función    [texx]f^{-1}[/texx]    (la inversa de    [texx]\cancel{f}[/texx]):

   i)    Se define como    [texx]f^{-1}:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    y viene dada por    [texx]f^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx],

   ii)   Es derivable en el intervalo    [texx]\mathbb{R}[/texx]    por ser un polinomio,

   iii)  [texx]\color{red}(\color{black}f^{-1}\color{red})'\color{black}(y)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx].   

   iv)  [texx](f^{-1})'(y)=6y^2-6y+6[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx].






Para el primer punto que piden, la unicidad de    [texx]f[/texx]:

DEFINICIÓN.

Dadas dos funciones    [texx]f:A\rightarrow{B}[/texx]    y    [texx]g:C\rightarrow{D}[/texx],    son iguales o idénticas si se cumple:

   • Tienen el mismo dominio:    [texx]A=C[/texx],
   • Tienen el mismo codominio:    [texx]B=D[/texx],
   • Asignan las mismas imágenes: para cada    [texx]x\in{A}=C[/texx],    se tiene que    [texx]f(x)=g(x)[/texx].




Es obvio que si existe    [texx]g^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y[/texx]    entonces    [texx]g^{-1}[/texx]    debe verificar también i), ii) y iii) por ser    [texx]f^{-1}(y)=g^{-1}(y)[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx],    esto es, la función    [texx]f^{-1}[/texx]    es única.   

Ahora bien, como i), ii) y iii) son las hipótesis del teorema de derivación de la función inversa, resulta que
[texx]f^{-1}[/texx]    es una biyección, y por lo tanto la función    [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    también es única c.q.d.

Ahora existe    [texx]f[/texx],    (la inversa de    [texx]f^{-1}[/texx]),    sea    [texx]y=f(x)[/texx],    entonces    [texx]f^{-1}(y)=x[/texx].


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Igualmente el teorema de derivación de la función inversa prueba el punto dos, la derivabilidad de    [texx]f[/texx].


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Para calcular    [texx]f'(0)[/texx],    el tercer punto pedido, como tanto    [texx]f[/texx]    como    [texx]f^{-1}[/texx]    son derivables en    [texx]\mathbb{R}[/texx],    se puede utilizar la regla de la cadena para derivar la expresión    [texx]f\big(f^{-1}(y)\big)=y[/texx]    con lo que se obtiene la igualdad

[texx]f'\big(f^{-1}(y)\big)\cdot{(f^{-1})'(y)}=1[/texx],

de donde

[texx]f'\big(f^{-1}(y)\big)=\displaystyle\frac{1}{(f^{-1})'(y)}[/texx]

y en el caso que nos ocupa, sustituyendo    [texx](f^{-1})'(y)[/texx]    por    [texx]6y^2-6y+6[/texx]    e    [texx]y[/texx]    por    [texx]f(x)[/texx]    se obtiene la expresión

[texx]f'\big(f^{-1}(f(x))\big)=\displaystyle\frac{1}{6\big(f(x)\big)^2-6f(x)+6}[/texx],

[texx]f'(x)=\displaystyle\frac{1}{6\big(f(x)\big)^2-6f(x)+6}[/texx].

Para el valor pedido será entonces

[texx]f'(0)=\displaystyle\frac{1}{6\big(f(0)\big)^2-6f(0)+6}[/texx],

sólo falta saber que valor toma la función    [texx]f[/texx]    en    [texx]x=0[/texx].


Sacando factor común en la expresión que nos dan,    [texx]f(x)\cdot{\Big[2\big(f(x)\big)^2-3f(x)+6\Big]}=x[/texx]    y dado que la ecuación
[texx]2\big(f(x)\big)^2-3f(x)+6=0[/texx]    no tiene soluciones reales, sólo puede ser    [texx]f(0)=0[/texx].

El valor pedido entonces es    [texx]\displaystyle\frac{1}{6}[/texx].


Saludos.

CORREGIDO por Luis Fuentes. Muchas gracias.

EDITO.

 Lo de la unicidad no me convencen. ¿Alguna sugerencia?


Título: Re: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).
Publicado por: Luis Fuentes en 04/07/2018, 06:56:01 am
Hola

Entonces, recapitulando:

Teorema de derivación de la función inversa.

Sea    [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    derivable en el intervalo    [texx]I[/texx]    con derivada    [texx]f'(x)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]x\in{I}[/texx].    Entonces    [texx]f[/texx]    es una biyección de     [texx]I[/texx]    sobre el intervalo    [texx]J=f(I)[/texx]    y la función inversa    [texx]f^{-1}:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es derivable
en    [texx]J[/texx].






En el caso que se plantea, sea    [texx]y=f(x)[/texx],    entonces    [texx]f^{-1}(y)=x[/texx],    y por consiguiente

[texx]f^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y[/texx].
   

Está claro que la función    [texx]f^{-1}[/texx],    (la inversa de    [texx]f[/texx]):

   i)    Se define como    [texx]f^{-1}:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    y viene dada por    [texx]f^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx],

   ii)   Es derivable en el intervalo    [texx]\mathbb{R}[/texx]    por ser un polinomio,

   iii)  [texx]\color{red}(\color{black}f^{-1}\color{red})'\color{black}(y)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx].   

   iv)  [texx](f^{-1})'(y)=6y^2-6y+6[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx].




 Ya no está bien como empiezas. No puedes comenzar llamando a una función [texx]f^{-1}[/texx] porque presupones que tiene inversa, antes de haberlo demostrado.

 Entonces comienza llamando:

[texx] h(y)=2y^2-3y^2+6y[/texx]

 y en todo caso si luego pruebas que tiene inversa tendrás derecho a tomar [texx]f(x)=h^{-1}(x)[/texx].

saludos.