Matemática => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: zimbawe en 29/05/2018, 12:46:00 pm



Título: Demostración densidad de los racionales: Rudin.
Publicado por: zimbawe en 29/05/2018, 12:46:00 pm
Hola, estoy tratando de seguir la demostración de la densidad de los racionales propuesta en el libro de Rudin, pero me quedo en una parte.
Si [texx]x \in{\mathbb{R}}[/texx] y [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx], además [texx]x<y[/texx] entonces hay racional   [texx]p[/texx] tal que [texx]x<p<y[/texx]
Demostración:
Debido a que [texx]x<y[/texx] se tiene que aplicando la propiedad arquimediana, que existe un entero positivo tal que:
[texx]n(y-x)>1[/texx]
Aplicando la propiedad arquimediana se pueden encontrar enteros positivos, [texx]m_1, m_2[/texx] tales que:
[texx]m_1>nx[/texx]
[texx]m_2>-nx\longrightarrow{-m_2<nx}[/texx]
Ahora es donde viene mi duda:
El afirma que hay un entero [texx]m[/texx] con
[texx]-m_2\leq{m}\leq{m_1}[/texx]
tal que:
[texx]m-1\leq{nx}\leq{m}[/texx]
¿Qué me garantiza la existencia de ese m? y ¿Por qué [texx]m-1\leq{nx}[/texx]
Ya el resto que hace lo entiendo, pero es consecuencia de encontrar este m, me pueden explicar qué garantiza la existencia de este m, muchas gracias.


Título: Re: Demostración densidad de los racionales: Rudin.
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 29/05/2018, 05:25:56 pm
Te pongo este documento.


Título: Re: Demostración densidad de los racionales: Rudin.
Publicado por: Masacroso en 29/05/2018, 06:18:42 pm
Supongamos sin pérdida de generalidad que [texx]x\ge 0[/texx]. Define el conjunto [texx]A_x:=\{n\in\Bbb N: n>x\}[/texx]. Como [texx]A_x\subset\Bbb N[/texx] y [texx]\Bbb N[/texx] es un conjunto bien ordenado (https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_buena_ordenaci%C3%B3n), entonces [texx]m:=\min A_x[/texx] existe, y entonces de ahí obtenemos directamente que [texx]m-1\le x< m[/texx].

Es decir: [texx]m-1\le x[/texx] ya que [texx]m[/texx] es mínimo y por tanto es imposible que [texx]m-1>x[/texx]. Espero te sirva.


Título: Re: Demostración densidad de los racionales: Rudin.
Publicado por: zimbawe en 30/05/2018, 09:37:25 am
Muchas gracias a ambos. Son muy amables.