Matemática => Esquemas de demostración - Inducción => Mensaje iniciado por: mathman en 14/03/2018, 02:08:48 am



Título: \(\prod_{k=1}^{n}(1+a^{2k})\ge\frac{1-a^{2n+2}}{1-a^2}\) con \(a\ne 1,-1\).
Publicado por: mathman en 14/03/2018, 02:08:48 am
Sea [texx]a\ne 1,-1[/texx] un número real. Pruebe que [texx]\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1+a^{2k})\ge\frac{1-a^{2n+2}}{1-a^2}[/texx], para todo entero positivo [texx]n[/texx].


Título: Re: \(\prod_{k=1}^{n}(1+a^{2k})\ge\frac{1-a^{2n}+2}{1-a^2}\) con \(a\ne 1,-1\).
Publicado por: Luis Fuentes en 14/03/2018, 06:27:33 am
Hola

Sea [texx]a\ne 1,-1[/texx] un número real. Pruebe que [texx]\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1+a^{2k})\ge\frac{1-\color{red}a^{2n}+2\color{black}}{1-a^2}[/texx], para todo entero positivo [texx]n[/texx].

Creo que lo tienes mal escrito. Debería de ser:

[texx]\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1+a^{2k})\ge\frac{1-\color{red}a^{2n+2}\color{black}}{1-a^2}[/texx]

Para el paso inductivo tienes que probar que:

[texx]\dfrac{(1+a^{2n+2})(1-a^{2n+2})}{1-a^2}\geq \dfrac{1-a^{2n+4}}{1-a^2}[/texx]

A la hora de simplificar denominadores distingue si [texx]1-a^2[/texx] es positivo o negativo (si es negativo cambia el signo de la desigualdad); teniendo en cuenta eso es fácil concluir.

Saludos.